2020年高考数学一轮复习第九章概率与统计第1讲计数原理与排列组合课件理
第9章 第1讲计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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5．(2019·上海普陀区模拟)2019年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同 学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为__1_6_8___．
[解析] 分步考虑：从 8 所高校中选 2 所，有 C28种选法；依题意必有 2 位同学被 同一所学校录取，则有 C23C12种录取方法；另一位同学被剩余的一所学校录取，所以 共有 C28·C23·C12＝168 种录取方法．
最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是
(D)
A．210
B．84
C．343
D．336
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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[解析] (1)第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的 3 人 中选 1 人当文娱委员，有 3 种选法．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一 种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联 系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
第二步，从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委 员有 4 种选法，再选体育委员有 3 种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共 有 3×4×3＝36(种)．
(2)若每个台阶上每一个只站一人有 A37种；若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人共 有 C13A27种，所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是 A37＋C13A27＝336 种．故 选 D．
高考数学(全国通用)一轮总复习(文理科)配套课件：第九章 计数原理、概率与统计 9.9
������曲边多边形������������������������������ ������四边形������������������������
2 3 1.
【参考答案】 B
第九章
第九节 几何概型
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-15-
解决与面积有关的几何概型的方法 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的几何元素,必要时可根据题意构 造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.
第九章
第九节 几何概型
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-12-
【变式训练】
1.已知函数
f(x)=log2x,x∈
1 2
,2
,若在区间
1 2
,2
上随机取一点
x0,则使得
f(x0)≥0
的
概率为
.
1.
2 3
【解析】由������ ∈
1 2
,2
, 且解不等式得 log2������ ≥ 0 得������ ∈ [1,2], 则使得������(������0) ≥
第九章
第九节 几何概型
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-16-
2015·福州期末考试)如图,若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子,则豆子落在图
中阴影部分的概率为 ( ) A.1 B.2
ππ
C.3 D.1
π2
B 【解析】阴影部分的面积为
π 2
0
cos ������d������
=
sin ������
×3×1 3× 2
=
1 4
2020高考数学20.1 计数原理与排列组合
解析 (1)3个女同学是特殊元素,共有 A33 种排法;由于3个女同学必须排 在一起,视排好的女同学为一整体,再与4个男同学排队,应有 A55种排法. 由分步乘法计数原理,有 A33 A55 =720种不同排法. (2)先将男生排好,共有 A44 种排法,再在这4个男生的中间及两头的5个空 档中插入3个女生有 A35 种方法. 故符合条件的排法共有 A44 A35 =1 440种. (3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人,有 A44 种排法;由于甲、乙要相邻, 故先把甲、乙排好,有 A22 种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分 别插入原先排好的4人的空档及两边有 A52 种排法. 总共有 A44 A22 A52 =960种不同排法.
例 某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指 定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法? (1)只有一名女生; (2)两队长当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选. 解题导引 某些人被选中,主要是将所有人恰当地分组,“至少”或 “最多”含有几个元素的题型,若直接法分类复杂时,逆向思维,间接求解.
考点二 排列
考向基础 1.排列的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 Amn 表示.
分类计数原理.
(2)由于要分成两个小组去两个地方,故需要分步安排,计数时需要用分
步计数原理.
解析 (1)由题意知,满足题设的取法可分为三类:一是四个奇数相加,其 和为偶数,在5个奇数1,3,5,7,9中,任意取4个,有 C54 =5(种);二是两个奇数 加两个偶数,其和为偶数,在5个奇数中任取2个,再在4个偶数2,4,6,8中任 取2个,有 C52·C 24 =60(种);三是四个偶数相加,其和为偶数,4个偶数的取法 有1种,所以满足条件的取法共有5+60+1=66(种). (2)分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有 C12=2(种)选 派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C24=6(种)选 派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6=12(种). 答案 (1)66 (2)12
2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.3两个计数原理、排列与组合
A = ！，0！ = 1
−1 −2 ⋯ −+1
A
=____________________________
排列数公式
ሺ, ∈ ∗,
≤ ሻ
！
阶乘式A
− ！
=________
（3）组合：一般地，从个不同元素中取出 ≤ 个元素作为一组，叫做从
①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2
+
类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有 =_______种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果有类方案,且：第1类方案中有1 种不同的方法，第2
类方案中有2 种不同的方法,⋯ ,第类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共
组合
个不同元素中取出个元素的一个______.
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（4）组合数.
从个不同元素中取出 ≤ 个元素的所有不同组合的个
定义及表示
组合数
数，叫做从个不同元素中取出个元素的________，用符号C
表示
组合数公
式
两个性质
乘积式 C =
A
A
−1 −2 ⋯ −+1
间接法处理
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变式2 【多选题】为响应政府部门号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者
奔赴A，B，C三地参加健康教育工作，则下列说法正确的是(
)
A.不同的安排方法共有64种
B.若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种
√
C.若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种
√
D.若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列9_4古典概型课件理新人教A版
考点二|古典概型计算较复杂事件的概率 (方法突破) 【例2】 (2018·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别 为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活 动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同 学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
4．(必修3·习题3.2B组改编)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则
甲被选中的概率为
．
答案：23
考点一|古典概型的简单应用 (思维突破)
【例1】 (1)(2017·高考山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机
抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
(3)如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，
那么每一个基本事件的概率都是
1 n
；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件
A的概率P(A)＝mn .
[三基自测]
1．(必修3·习题3.2A组改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取
2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )
跟踪训练 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字2,3，这三张卡片除标记 的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数 字依次记为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
(新课标)2020年高考数学一轮总复习计数原理与排列组合课时规范练(理)(含解析)新人教A版
9-1 计数原理与排列组合课时规范练(授课提示：对应学生用书第319页)A 组 基础对点练1．(2018·高考全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( C )A ．10B ．20C ．40D ．802．(2018·河北保定质检)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( B ) A ．4种 B ．6种 C ．10种D ．16种解析：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式． 由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方法．3．(2016·高考四川卷)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( D ) A ．24 B ．48 C ．60D ．724．(2018·湖南郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( A )A ．4 320种B ．2 880种C ．1 440种D ．720种解析：分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法，故选A. 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( B )A．243 B．252C．261 D．2796．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B )A．192种B．216种C．240种D．288种7．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( D )A．144 B．120C．72 D．248．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( C ) A．24对B．30对C．48对D．60对9．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( D )A．60 B．90C．120 D．13010．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( A )A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)11．(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有 660 种不同的选法．(用数字作答)解析：方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．12．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 60 种．(用数字作答)解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．13．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 36 种．解析：将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36(种)．14．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 480 种．(用数字作答)解析：“小集团”处理，特殊元素优先，则不同的排法共有C36C12A22A33＝480(种)．15．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 96 .解析：按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2，2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A44＝96.B组能力提升练1．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( A )A．32个B．34个C．36个D．38个2．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( B )A．18个B．15个C．12个D．9个解析：由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成3个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个)．3．8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有( C )A．C38B．C38A38C．C38A22D．3C384．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( C )A．18种B．24种C．36种D．72种5．某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( B )A．16 B．21C．24 D．906．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( D )A．A26×A45种B．A26×54种C．C26×A45种D．C26×54种7．(2018·合肥质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( C )A．120 B．240C．360 D．480解析：前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C14C13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A25种方法；若相邻，有C15A22种方法，故共有C14C13(A25＋C15A22)＝360(种)，故选C.8．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( C )A．232 B．252C．472 D．4849．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( C )A．240种B．180种C．150种D．540种10．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有( B )A．24种B．28种C．32种D．36种11．某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有( A )A．330种B．420种C．510种D．600种12．设a1，a2，…，a n是1,2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i(i＝1,2，…，n)的顺序数，如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺序数为0.则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为( C )A．48 B．120C．144 D．192解析：由题意确定8和7的位置为第三位和第五位，再保证5的顺序数为3即可．13．若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有 288 个．(用数字作答)解析：分两步进行，第一步，先将1,3,5,7选3个进行排列，有A34＝24(种)排法；第二步，再将2,4,6这3个数插空排列有2A33＝12(种)排法，由分步计数原理得，共有24×12＝288(个)．14．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有 30 种．解析：(间接法)把四位同学分成3组，有C24＝6(种)分法，然后进行全排列，即C24A33＝36(种)，去掉甲、乙在一个组的情况，当甲、乙在一个组时，参加的方式有A33＝6(种)，故符合题意的安排方法为36－6＝30(种)．15．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 328 .解析：首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A29＝9×8＝72(个)，当0不排在个位时，有A14A18＝4×8＝32(个)．当不含0时，有A14·A28＝4×7×8＝224(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．16．在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为 60 .解析：不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12种，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列9_5几何概型课件理新人教A版
名师点拨 求解与体积有关问题的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的 体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
跟踪训练 如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容
器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现
【例3】 (1)(2016·高考全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn， y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和 小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
4n A. m
B．2mn
4m C. n
[三基自测] 1．(必修3·3.3练习改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小 球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘 是( )
答案：A
2．(必修3·3.3例2改编)已知A＝{(x，y)|－1≤x≤1，0≤y≤2}，B＝
x，y| 1－x2≤y .若在区域A中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B中的概率 为( )
用几何度量求概率.
查，难度为中档.
[基础梳理] 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多 个． (2)等可能性：试验结果在每一个区域内 均匀 分布． 3．几何概型的概率公式 P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积.
12，2
，长度为
高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第二节 排列与组合
是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
[典题例析]
(2014· 广东高考)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0，1}， i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋ |x5|≤3”的元素个数为 A．130 C．90 B．120 D．60 ( )
(5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手， 即采用“间接法”．
考点二
组合问题 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．组合与组合数 (1)组合： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cm n.
360 种不同的分法． 所 3 名，则有_____
解析：将 6 名教师分组，分三步完成： 第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C1 6种取法； 第 2 步， 在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组， 有 C2 5种取法； 第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C3 3种取法．
解析：由于满足x2＋y2＝100的整数点(x，y)有12个，它们分别为(± 10,0)， x y (± 6， ± 8)，(± 8， ± 6)，(0，± 10)，故直线a＋b＝1与圆的交点必须经过这些 点，但a，b为非零常数，故在以这些点为公共点的直线中有这样几类： 一类公共点为2个点，去除垂直坐标轴和经过原点的直线，共有C 直线，共有8条．综上，所求的直线共有60条，故选B.
3 1 3 2 另一个等于 1，其余等于 0，于是有 2C3 5＋C5C3＋C5C3＝80 种情况．综
高考讲计数原理与排列组合课件理
课件理2023-11-05contents •引言•计数原理•排列组合的应用•计数原理与排列组合的关系•高考真题解析•总结与展望•参考文献与致谢目录01引言理解计数原理和排列组合的基本概念和应用掌握计数原理和排列组合的解题方法提高解决实际问题的能力课程目标课程大纲第一章：计数原理理解计数原理的概念和意义掌握计数原理的解题方法练习计数原理的例题和习题第二章：排列组合理解排列和组合的概念和意义掌握排列和组合的解题方法练习排列和组合的例题和习题第三章：应用题解法掌握应用题的解题思路和方法通过例题和习题提高解决应用题的能力第四章：综合练习课程大纲通过综合练习，提高解决实际问题的能力对重点和难点进行归纳和总结课程大纲02计数原理定义分类加法计数原理是指，在处理复杂的问题时，将问题分成若干个互不相同的子问题，分别解决子问题，最后将各个子问题的解合并，得到原问题的解。
实例比如，一个学校有三种课程，每种课程有不同的老师和教材，学生可以选择其中一种课程，也可以选择两种或三种课程。
那么，学生选择不同课程的组合数就是分类加法计数原理的应用。
分类加法计数原理分步乘法计数原理是指，在处理复杂的问题时，将问题分成若干个相同的步骤，每个步骤都可以独立完成，最后将各个步骤的解相乘，得到原问题的解。
定义比如，一个班级要组织一次文艺晚会，需要准备节目、布置会场、安排座位等。
如果每个节目都需要排练，那么，所有节目的排练次数之和就是分步乘法计数原理的应用。
实例分步乘法计数原理定义排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的定义与区别区别排列需要考虑元素的顺序，而组合只考虑元素的组合方式。
实例比如，从5个人中选择3个人去旅游，那么这3个人的选择方式有3种，分别是排列3个人、组合3个人和随机选择3个人。
其中排列需要考虑3个人的顺序，而组合只考虑3个人的组合方式。
2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列9_3随机事件的概率课件理新人教A版
至少有1个红球的概率为
．
答案：1
考点一|随机事件的关系 (易错突破) 【例1】 (1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩 具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出 现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
跟踪训练 (2018·沈阳模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、 乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×” 表示未购买.
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
(1)90分以上的概率： (2)不及格的概率：
； .
答案：(1)0.07 (2)0.1
2．(必修3·习题3.1A组改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰
有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少
有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的
[解析] (1)根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件 A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件． (2)从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)， (黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都 为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发 生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件． [答案] (1)D (2)A
第三节 随机事件的概率
高考数学一轮总复习第九章9_1计数原理与排列组合课件理新人教A版
等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3
B．4
C．6
D．8
(2)(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数
字是偶数的四位数，这样的四位数一共有
个．(用数字作答)
(3)(2018·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使
种选法；再从余下的5本中选2本，有C
2 5
种选法；最后余下3本全
选，有C33种选法．
故共有C16C25C33＝60(种)．
②有序不均匀分组问题．
由于甲、乙、丙是不同的三人，在①的基础上，还应考虑再分配，共有C
2．分步乘法计数原理的用法及要求 (1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步” 计算． (2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各 个步骤都完成，才算完成这件事． 3．使用这两个原理时，分清是应用“加法”原理，还是“乘法”原理或是两者同时都 用．
答案：B
(3)在奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须 在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有
种．
答案：2 880
考点二|排列问题 (方法突破)
【例2】 (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他
法三
(等机会法)：9个人全排列有A
9 9
种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，
依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241 920(种)．
法四 (间接法)：A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．
高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第1课时两个计数原理、排列与组合课件
不同的选法有35种
(1)B (2)D (3)ABC [(1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法， 由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(种)走法． (2)如图，先在区域A布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E布置花卉， 有4种不同的布置方案，再在区域D布置花卉，有3种不同的布置方案．若区域B 与区域E布置同一种花卉，则区域C2种不同的布置方案，区域C有3种不同的布置方 案．故不同的布置方案有5×4×3×(3＋2×3)＝540(种)．故选D.
跟进训练3 (1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短 道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项 目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种 √C．240种 D．480种
(2)(2024·山东泰安高三模拟)第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至 8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选 项目．若将3男、3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选 项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有( )
点拨 求解排列应用问题的六种常用方法
考向2 组合问题 [典例3] 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35 种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[拓展变式] 若本例(1)中 CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到 G的最短路径有___2_6____条．
高考数学一轮总复习第九章概率与统计第1讲计数原理与排列组合课件理
不同排法共有_____4_8_0种.(用数字(shùzì)作答) 解析：先排除去甲、乙的其余四人，然后采用插空法，则
有不同排法 A44·A25＝480（种）.
第七页，共36页。
4.（2011年大纲）4 位同学(tóng xué)每人从甲、乙、丙 3
④在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形 式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基.
第二十页，共36页。
【互动探究】
1.(2014 年辽宁)6 把椅子(yǐ zi)摆成一排，3 人随机就座，任何 2
人不相邻(xiānɡ lín)的坐法种D数) 为(
A.144 种
B.120 种 D.24 种
第五页，共36页。
1.（2011年大纲）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3 本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方 法(fāngfǎ)共有（ B ）
A.4种 C.18种
B.10种 D.20种
解析：分两类：一是取出 1 本画册，3 本集邮册，此时赠 送方法有 C14＝4 种；二是取出 2 本画册，2 本集邮册，此时赠 送方法有 C24＝6 种.故赠送方法共有 10 种.
C解.析72：先种放 3 把空椅子，剩下 3 人带着椅子插空坐，共有(ɡònɡ yǒu)
A
3 4
＝24(种)不同坐法.
第二十一页，共36页。
2.(2012 年大纲)6 名选手(xuǎnshǒu)依次演讲，其中选手(xuǎnshǒu)
也不在最后一个演讲(yǎnjiǎng)，则不同的演讲(yǎnjiǎngC)次)序共有(
考点分布
考情风向标
2020高考数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布9.2古典概型课件文
{A1，B3}，共 2 个，则所求事件的概率为 P＝29.
解析：(1)由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能 的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1， B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}， {A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2， B3}，共 15 个．
解析：对于 A，发芽与不发芽概率不同；对于 B，任取一球的
概率相同，均为14；对于 C，基本事件有无限个；对于 D，由于受 射击运动员水平的影响，命中 10 环，命中 9 环，…，命中 0 环的 概率不等．因而选 B.
答案：B
3．[2018·全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支 付的概率为( )
共 21 种．
②由(1)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C， 来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同 学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}， {A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 种．
所以，事件 M 发生的概率 P(M)＝251.
(2)①从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，
{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，
{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，
新课标2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布列9_1计数原理与排列组合课件理新人教A
第一节 计数原理与排列组合
教 材 回 顾 考 点 突 破
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最新考纲考情考向分析
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
2．理解排列与组合的概念及排列数、组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，突出分类讨论思想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以选择、填空题的形式出现.
m＋n。
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(8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有多少种？
(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的 排法共有多少种？
2.排列与排列数
(1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺
序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列
的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用
n！ (n－m)！
n！
1
3.组合与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
答案：12
(2)(2018 年浙江)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中 任取 2 个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四 位数.(用数字作答)
答案：1260
【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其 他元素位置的选取出现变化，故出现了分类讨论，分类讨论既 不能重复，又不能遗漏，这样才能保证考虑事情的严谨性.
【互动探究】
4.现安排 4 名老师到 3 所不同的学校支教，每所学校至少 安排一名老师，其中甲、乙两名老师分别到不同的学校的安排
方法有( C ) A.42 种
B.36 种
C.30 种
D.25 种
5.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大 学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现 有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去 任教，有___9_0___种不同的分派方法.
第九章 概率与统计
第1讲 计数原理与排列组合
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决 一些简单的实际问题. 3.理解排列、组合的概念. 4.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 5.能解决简单的实际问题.
1.分类加法原理与分步乘法原理
思想与方法 ⊙ 分类讨论思想在排列组合问题中的应用 例题：(1)(2018 年云南昆明高三质检)某小区一号楼共有 7 层，每层只有 1 家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天 至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家 有快递，则在同一天这 7 家住户有无快递的可能情况共有 ________种.
【互动探究】 6.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，则 3 位男生中
有且只有 2 位男生相邻的概率为_______.
(1)分类加法原理：做一件事，完成它有n类办法，在第 一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同 的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
(2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成n个步骤， 缺一不可，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步 骤中有m2种不同的方法，…，在第n个步骤中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有N＝_____m_1_·_m_2_·…__·_m_n______种不 同的方法.
D.288 种
3.(2018 年新课标Ⅰ)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科 技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有__1_6___种. (用数字填写答案)
4.6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 __4_8_0____种.(用数字作答)
考点 1 排列问题 例 1：7 位同学站成一排： (1)共有多少种不同的排法？ (2)站成两排(前 3 后 4)，共有多少种不同的排法？ (3)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (4)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (5)甲、乙不能站在两端的排法共有多少种？ (6)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (7)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(15)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ (16)甲、乙两人中间恰好有 3 人的不同排法共有多少种？
(9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有：
方法一，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，
方法二，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，
②某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个 元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种 方法称为“捆绑法”；
③某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些 不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
④在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形 式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基.
【互动探究】 3.某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于 上课时间相同，至多选一门.学校规定，每位同学选修 4 门，共 有___7_5___种不同的选修方案(用数值作答).
考点 3 排列组合中的平均分配问题 例 3：六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)平均分成三堆，每堆两本； (2)平均分给甲、乙、 丙三人，每人两本； (3)一堆一本，一堆两本，一堆三本； (4)甲得一本，乙得两本，丙得三本； (5)一人得一本，一人得两本，一人得三本.
方法三，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，
因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置
【规律方法】(1)对有约束条件的排列问题，应注意如下 类型：
①某些元素不能在或必须排列在某一位置； ②某些元素要求连排(即必须相邻)； ③某些元素要求分离(即不能相邻). (2)基本的解题方法： ①有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法)；
C.720
D.960
考点 2 组合问题 例 2：从 4 名男同学和 3 名女同学中，选出 3 人参加学校 的某项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？ (1)无任何限制； (2)甲、乙必须当选； (3)甲、乙都不当选； (4)甲、乙只有一人当选； (5)甲、乙至少有一人当选； (6)甲、乙至多有一人当选.
【规律方法】解决分组分配问题的策略： (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序 如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 (n 为均分的组 数)，避免重复计数. (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶 乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个 分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列 数. (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何 组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.
【互动探究】
1.(2017 年新课标Ⅱ)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人
至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有
( D)
A.12 种
B.18 种
C.24 种
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD.36 种
2.将 7 个座位连成一排，安排 4 个人就座，恰有两个空位
相邻的不同坐法有( B )
A.240
B.480
1
1.(2014 年辽宁)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2
人不相邻的坐法种数为( D )
A.144 种
B.120 种
C.72 种
D.24 种
2.(2014 年四川)6 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲
或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B )
A.192 种
B.216 种
C.240 种
思维点拨：此题不讲究顺序，故采用组合数.
【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将 这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； ②“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必 须十分重视“至少”或“至多”这两个关键词的含义，谨防重 复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类 复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.