江苏省南京市溧水中学2017-2018学年高三上学期期初数学试卷 Word版含解析

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南京市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学参考答案

(这是边文，请据需要手工删加)南京市2017～2018学年度第一学期期中考试数学参考答案1. {2，3}2. －1－i3. 35 4. 600 5.2或5 6. 12 7. －2 8. 2－1 9. －4 10. －1411. 9 12. －4 13. ⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1 14. y＝22x15. (1) a ＋b ＝(sin x －1，3cos x ＋1)．因为(a ＋b )∥c ，所以sin x －1＝3cos x ＋1，则sin x －3cos x ＝2，可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1.因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故x －π3＝π2，解得x ＝5π6.(2) 因为a ·b ＝12，所以－sin x ＋3cos x＝12，即sin x －3cos x ＝－12，可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝－12，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14.因为⎝⎛⎫x ＋π6－⎝⎛⎭⎫x －π3＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. 由x ∈[0，π]，可得x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，又sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14<0，则x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，0，故可得cos ⎝⎛⎭⎫x －π3>0. 因为sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154.16. (1) 如图，连结OE.由四边形ABCD 是正方形知O 为BD 的中点．因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ，所以PD ∥OE.在△PBD 中，PD ∥DE ，O 为BD 为中点，所以E 为PB 的中点．(2) 在四棱锥PABCD 中，AB ＝2PC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ＝2AB ＝2OC ，则AB ＝2OC ，所以PC ＝OC.在△CPO 中，PC ＝OC ，G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO.因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形AC ⊥BD ，因为AC ，PC ⊂所以BD ⊥平面因为CG ⊂平面因为PO ，BD ⊂O ，所以CG ⊥平面17. (1) ＝DB 1＝h ，则AC ＝12(AB －h ＝AC·tan 60故V(x)＝Sh ＝694x 2(30－x)，0<x<30. (2) V′(x)＝94(60x x ＝20.当x ∈(0，20)30)时，V ′(x)>0，所以V(x)在(030)单调递减，所以当且仅当x 值9 000. cm 时，容318. (1) 316，所以3a 4－16a 2a 2＝43.所以椭圆C y 2＝1.(2) 设F 2(c ，0)0)，B(－x 1，－y 1)，故M ⎝⎛⎭⎫x 1－c 2，y 12①由题意，得→因为函数h(x)的最小值为－1e ，所以x ＝－1是不等式f(x)≤g(x)的解，所以－1＋a ≤－1e ，即a ≤1－1e .故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e . (3) 因为h(x)＝g(x)，所以g(x)≥f(x)恒成立，即x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立．令p (x )＝x 2－e x ，即p ′＝2x －e x ，p ″(x )＝2－e x ，当x >ln 2，p ″(x )<0；当x <ln 2，p ″(x )>0，所以p ′(x )max ＝2ln 2－2<0，所以p (x )＝x 2－e x 在R 上单调递减． x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立等价于 ①当x >0时，问题转化为a ≥p (x )在R 上恒成立；②当x ＝0时，不等式恒成立，则a ∈R ； ③当x <0时，问题转化为a ≤p (x )在R 上恒成立．因为p (x )＝x 2－e x 是R 上的单调减函数，所以当x >0时，p (x )<p (0)＝－1，所以a ≥－1；当x <0时，p (x )>p (0)＝－1，所以a ≤－1.综上所述，a ＝－1.20. (1) 由g ⎝⎛⎭⎫－12－g(1)＝f(0)，得(－2b ＋4c)－(b ＋c)＝－3，故b 、c 所满足的关系式为b －c －1＝0. (2) 方法一：由b ＝0，b －c －1＝0，可得c ＝－1.方程f(x)＝g(x)，即ax －3＝－x －2，可转化为ax 3－3x 2＋1＝0在(0，＋∞)上有唯一解．令h(x)＝ax 3－3x 2＋1，则h′(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2)．当a ≤0时，h ′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．又h(0)＝1>0，h(1)＝a －2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；当a>0时，令h′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2a ，所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，所以h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2. 若h ⎝⎛⎭⎫2a ＝0，即a ＝2，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x ＝2a 时，h(x)＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a >0，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a <0，因为h(0)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫3a ＝1>0，所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 和⎝⎛⎭⎫2a ，3a 内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．方法二：由方法一可知a ＝3x －1－x －3.令x －1＝t ，则由题意可得a ＝3t －t 3在(0，＋∞)上有唯一解．令h(t)＝3t －t 3(t>0)，则由h′(t)＝3－3t 2＝0，可得t ＝1，当0<t<1时，由h′(t)>0，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，故当t ＝1时，h(t)取得最大值2；当0<t<1时，h(t)>h(0)＝0，所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解；当t>1时，因为h(3)＝0，所以当t>3时，h(t)<0，由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．故当a ＝2或a ≤0时，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解．从而所求a 的取值范围是{a|a ＝2或a ≤0}．(3) 由b ＝1，b －c －1＝0，可得c ＝0. 由A ＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得ax －3>1x 且x<0，即ax 2－3x －1<0且x<0.当a>0时，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－9＋4a 2a ，0；当a ＝0时，A ＝⎝⎛⎭⎫－13，0；当a<－94时，A ＝(－∞，0)；当－94≤a<0时，A ＝(－∞，3＋9＋4a 2a )∪(3－9＋4a2a，0)．数学附加题21. B. 由题意知M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 2b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，2b －1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123－1.由|M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123－1＝－7得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤172737－17. C. 因为ρ＝2cos θ－2sin θ，即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1，所以圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22. 因为直线的普通方程为x －y ＋42＝0，所以圆心C 到直线l 距离是⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，故直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是52－12＝2 6.22. (1) 如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.取z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n 1＝(0，4，3)．同理可得平面BB 1C 1的一个法向量为n 2＝(3，4，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1625.因为〈n 1，n 2〉∈[0，π]，所以二面角A 1BC 1B 1的正弦值为34125.(2) 假设存在．设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→，0≤λ≤1，则(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，所以x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．因为AD ⊥A 1B ，所以AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时BD BC 1＝λ＝925.23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个，所以P(X＝3)＝6 35.(2)由题意，X的可能取值为3，223，3 3.其中X＝3的三角形如△ABF，角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△个)，△PAB(6个)，共有9个；其中X＝6的三角形如△PBD，角形共有6个；其中X＝23的三角形如△CDF 三角形共有12个；其中X＝33的三角形如△BDF。

江苏省南京市高三数学上学期期中试题(new)

南京市2017～2018学年度第一学期期中考试数学一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分。

1. 已知集合A＝{2，3，5}，B＝｛x|2≤x≤4}，则A∩B＝________.2。

若复数z满足z（1－i)＝2i，其中i是虚数单位,则复数z＝________.3。

从1，2，3，4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为奇数的概率是________________________________________________________________________。

4。

某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19，则该校高三学生共有________人.5. 下面是一个算法的伪代码．如果输出的y值是30，那么输入的x值是________.6。

已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1＝2，S3＝12，则a6的值为________．7. 若曲线y＝错误!在点（3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则实数a的值为________.8。

已知函数f（x）＝2sin错误!，x∈R，若f(x)在区间错误!上的最大值和最小值分别为a,b,则a＋b的值为________．9. 已知奇函数f(x）的图象关于直线x＝－2对称，当x∈［0，2]时,f（x)＝2x，那么f(6)的值为________。

10。

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

已知b－c＝错误!a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________.11. 已知a〉b>0,a＋b＝1，则4a－b＋错误!的最小值等于________.12. 在△ABC中，已知AB＝4，AC＝，10，BC＝错误!，M为边AB的中点，P是△ABC内(包括边界)一点，则错误!·错误!的最小值是________.13. 设函数y＝错误!的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是______________．（e为自然对数的底数)14. 在平面直角坐标系中，已知⊙O1与⊙O2交于P（3，2)，Q两点，两圆半径之积为错误!。

江苏省南京市2017-2018学年高三上学期学情调研考试数学试题 Word版含解析

2017-2018学年注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝ ▲ ．【答案】｛0，1｝考点：集合的运算．2．设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i (i 为虚数单位)，则z 的模为 ▲ ．【答案】2 5 【解析】试题分析：343442iz i i i i i-+=-=+-=+，则42z i =+== 考点：复数的运算，复数的模．3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间时，f (x )的取值范围为【解析】试题分析：0x ≤时，3()12f x x x =-，2'()123f x x =-，当2x <-时，'()0f x <，当20x -<≤时，'()0f x >，即()f x 在(,2)-∞-上递减，在(2,0]-上递增，()(2)16f x f -=-极小值＝，当0x >时，()f x 递减，(0)0f =，(8)16f =-，因此[2,8]m ∈-．考点：函数的单调性，函数的值域．13. 在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →．若DB →·DC →＝3，则AC 的长是▲ ．考点：向量的数量积，余弦定理．【名师点睛】本题是一道平面向量与解三角形的综合题，其中向量部分是概念的应用，AD →＝13AB →，说明D 是线段AB 的一个三等分点，数量积DB →·DC →＝3，只要根据定义写出数量积的定义转化为三角形的边角关系，然后根据条件选择解三角形时要用什么公式：在两个三角形中分别应用余弦定理即可方便求解．14．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝(12)x．若存在x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：由1()()()2xf xg x +=得1()()()2xf xg x --+-=，即1()()()2xf xg x --+=，所以1()(22)2x x f x -=-，1()(22)2x x g x -=+．存在x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，即01[,1]2x ∈，00(2)()g x a f x =-，设(2)()()g x h x f x =-（1[,1]2x ∈），则()h x 221(22)21(22)2xx x x --+=--222222x x x x--+=-2(22)22x x x x--=-+-，1[,1]2x ∈时，322[]22x x--∈，设22x x t -=-，则3[]22t ∈，而2()h x t t =+，易知2y t t =+在[2是递减，在3]2上递增，因此y ==最小222y ==最大，所以()2h x ∈，即2a ∈．考点：函数的奇偶性，函数的值域．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，考查转化与化归思想．解题时需由奇偶性定义求出函数(),()f x g x 的解析式，存在x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，其中等式可转化为00(2)()g x a f x =-，这样求a 的取值范围就转化为求函数(2)1(),[,1]()2g x h x x f x =-∈的值域．当然在求函数()h x 值域时还用到换元法和的单调性，问题进一步进行了转化．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B ．若点A 的横坐标．．．是31010，点B 的纵坐标．．．是255．（1）求cos(α－β)的值；（2）求α＋β的值．（第15题）【答案】（1）10-；（2）34π．考点：三角函数的求值、求角．三角函数的定义，三角函数的同角间的关系，两角和与差的正弦公式．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．（1）求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；（2）若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，A BCDMN1B 1C 1（第16题）所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分（2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． …………………… 8分因为AD ⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分又BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………………… 12分又由（1）知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………………… 14分考点：线面平行的判定，线面垂直的判定与性质． 17．（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．（1）写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围；（2）试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．【答案】（1）S ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π；（2）当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．（第17题）考点：三角函数的应用题． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →．（1）若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，22]，求实数λ的取值范围．【答案】（1）x 24＋y 23＝1；（2）[73，5]．（第18题）（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a )． (7)分因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a)，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b2λa )． (11)分因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e2－3． (14)分因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．【名师点睛】本题考查解析几何中的范围问题，由于题中已知离心率e 的范围，因此我们可以把λ表示为e 的函数，为此先求得点P 的坐标（这里P 点是确定的，否则设出P 点坐标），由向量的运算求得Q 点的坐标，再把Q 点坐标代入椭圆方程可得,,,λa b c 的等式，利用222,c e a b c a==+可化此等式为,e λ的方程，解出λ，即把λ表示为e 的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是解析几何中的基本的计算，考查了学生的运算能力． 19．（本小题满分16分）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n +1．①求数列{ b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a n ＝2n －1；（2）①b n ＝3n －22n －1；②存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．（2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n +1，所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝1a n ·a n +1＝1 (2n －1)·(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， …………………… 6分即 b 2－b 1＝12(1－13)，b 3－b 2＝12(13－15)，……b n －b n －1＝12(12n －3－12n －1)，（n ≥2）累加得：b n －b 1＝12(1－12n －1)＝n －12n －1， …………………… 9分所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1．b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N*． …………………… 11分考点：等差数列的通项公式，累加法求通项公式，存在性命题的研究． 20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋ln x ，a ，b ∈R ．（1）当a ＝b ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；（2）当b ＝2a ＋1时，讨论函数f (x )的单调性；（3）当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)．求证：f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2．【答案】（1）2x －y －2＝0；（2）当a ≤0时，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．0＜a ＜12时，f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减．当a ＝12时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．a ＞12时，f (x )在区间(0，12a)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求切线方程，可根据导数的几何意义，求出导数'()f x ，计算'(1)f ，切线方程为(1)'(1)(1)y f f x -=-，化简即可；（2）研究单调性，同样求出导函数'()f x ＝(2ax －1)(x －1)x，x ＞0．然后研究'()f x 的正负，实质只要研究函数式(21)(1)y ax x =--的正负，必须分类讨论，确定分类的标准是：0a ≤，0a >，在0a >时，按112a <，112a =，112a>分类；（3）要证明此不等式，首先要考察12,x x 的范围与关系，由已知求出221'()(0)x bx f x x x-+=>，因此12,x x 是方程2()210g x x bx =-+=的两根，1212x x =，粗略地估计一下，由于13()0,(1)3022b g g b -=<=-<，因此有121(0,),(1,)2x x ∈∈+∞，由此可知f (x )在上为减函数，从而有f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)，这里133()(1)ln 2ln 22244b f f -=-->-，正好可证明题设结论．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号），所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减． (10)分考点：导数的几何意义，用导数研究单调性，函数的综合应用．【名师点睛】1．导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性．2．在函数中含有参数时，解方程f'(x)=0时必须对参数进行分类讨论，这里分类讨论的标准要按照不等式的形式正确确定．3．已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b),转化为不等式恒成立问题求解.南京市2017届高三年级学情调研数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图， AB 为圆O 的一条弦，C 为圆O 外一点． CA ，CB 分别交圆O 于D ，E 两点．若AB ＝AC ，EF ⊥AC 于点F ，求证：F 为线段DC 的中点．【答案】证明见解析．考点：圆内接四边形的性质． B ．选修4—2：矩阵与变换（第21题A ）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0 0 －1 ，设M ＝AB ．（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 2 13 ；（2）特征值为1或4．考点：矩阵的运算，特征值． C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为 sin(θ＋π6)＝m ．若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．【答案】－12 或 32．【解析】试题分析：由公式222cos sin ρθxρθy ρx y ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩可把极坐标方程化为直角坐标方程，由题意直线与圆相切，在直角坐标方程中，由圆心到直线的距离等于圆的半径可求得m ．试题解析：曲线C 的极坐标方程为＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋ 3y －2m ＝0． ……………………… 6分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ……………………… 10分考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系． D ．选修4—5：不等式选讲解不等式 |x －1|＋2|x |≤4x ．【答案】 [13，＋∞)．考点：解绝对值不等式．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是线段PC 的中点．（1）求异面直线AP 与BE 所成角的大小；（2）若点F 在线段PB 上，使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB的值．【答案】（1）6π；（2）12．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)．因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)．所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，ABCD F PE（第22题）所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． ……………………… 4分考点：用向量法求异面直线所成的角，二面角． 23．（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为 25，乙每次投篮命中的概率为 23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望．【答案】（1）62125；（2）分布列见解析，数学期望为3125．（2）X 所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45； P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425；P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为………………………8分所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ……………………… 10分考点：互斥事件的概率，随机变量的概率分布列和数学期望．。

江苏省南京市溧水高中2017-2018学年高考数学三模试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省南京市溧水高中高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合A={1，2}，B={0，1}，则集合A∪B的所有子集的个数为个．2．已知a，b为实数，设复数z=a+bi满足=2﹣i（i是虚数单位），则a﹣b=．3．运行下面的一个流程图，则输出的S值是．4．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．5．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=．6．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1﹣BCO的体积为．7．已知椭圆的焦距为2，则实数t=．8．已知α、β∈（0，），若cos（α+β）=，sin（α﹣β）=﹣，则cos2α=．9．已知函数f（x）=xlnx，若直线l过点（0，﹣1）并且与曲线y=f（x）相切，则直线l被圆（x﹣2）2+y2=4截得的弦长为．10．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=2，|NF1|=1，则椭圆C的离心率为．11．平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=．12．已知函数f（x）=，若方程f（x）=﹣2x有且只有一个实数根，则实数m的取值范围为．13．已知函数f（x）=mx+2，g（x）=x2+2x+m，若存在整数a，b，使得a≤f（x）﹣g（x）≤b 的解集恰好是[a，b]，则a﹣b的值为．．14．若x，y为实数，且x2+2xy﹣y2=7，则x2+y2的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a﹣c），=（cosB，cosC），且∥（1）求角B的大小；（2）设f（x）=cos（ωx﹣）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M、N分别为AC、PD 的中点．求证：（1）MN∥平面ABP；（2）平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．17．某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元，可获得的加工费的近似值为万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0＜m＜1），从而实际所得的加工费为万美元．（1）若某时段的美元贬值指数，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？（2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为万美元．已知该企业的生产能力为x∈[10，20]，试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？（已知）．18．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），点P为圆O上任意一点（不在坐标轴上），过点P作倾斜角互补的两条直线分别交圆O于另一点A，B．（1）当直线PA的斜率为2时，①若点A的坐标为（﹣，﹣），求点P的坐标；②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，求r的值；（2）当点P在圆O上移动时，求证：直线OP与AB的斜率之积为定值．19．已知直线x﹣y﹣1=0为函数f（x）=log a x+b在点（1，f（1））处的一条切线．（1）求a，b的值；（2）若函数y=f（x）的图象C1与函数g（x）=mx+（n＞0）的图象C2交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，其中x1＜x2，过PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，设C1在点M处的切线的斜率为k1，C2在点N处的切线的斜率为k2，求证：k1＜k2．20．已知数列{x n}和{y n}的通项公式分别为和．（1）当a=3，b=5时，①试问：x2，x4分别是数列{y n}中的第几项？②记，若c k是{y n}中的第m项（k，m∈N+），试问：c k+1是数列{y n}中的第几项？请说明理由；（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2}，使得数列{x n}和{y n}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{z n}，若不存在，请说明理由．附加题21．（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵A=的一个特征值为λ1=﹣1，其对应的一个特征向量为，已知，求A5β．22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．23．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P2的取值范围．24．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．（1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．2016年江苏省南京市溧水高中高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合A={1，2}，B={0，1}，则集合A∪B的所有子集的个数为8个．【考点】子集与真子集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A∪B={0，1，2}，由此能求出集合A∪B的子集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={0，1}，∴集合A∪B={0，1，2}，∴集合A∪B的子集个数为23=8．故答案是：8．2．已知a，b为实数，设复数z=a+bi满足=2﹣i（i是虚数单位），则a﹣b=﹣．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=a+bi代入=2﹣i，然后变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由z=a+bi，且=2﹣i，得，即，∴a=﹣，则a﹣b=﹣．故答案为：．3．运行下面的一个流程图，则输出的S值是35．【考点】循环结构．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到结果为n=3，s=3，此时满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为n=5，s=3+5，此时满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为n=7，s=3+5+7，此时满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为n=9，s=3+5+7+9，此时满足判断框的条件，经过第四次循环得到结果为n=11，s=3+5+7+9+11，此时不满足判断框的条件，执行输出s，即输出s=3+5+7+9+11=35故答案为：354．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2，3，4；2，4，5；3，4，5共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：5．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据题意和等比数列的通项公式，列出关于q的方程，先求出q，再求出a1的值．【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，因为且a3•a9=2a52，a2=1，所以q•q7=2（q3）2，化简得q2=2，即q=，由a2=a1q=1得，a1==，故答案为：．6．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥B 1﹣BCO 的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥B 1﹣BCO 的体积，转化为三棱锥O ﹣BCB 1的体积，求出O 到侧面的距离即可．【解答】解：三棱锥B 1﹣BCO 的体积，转化为三棱锥O ﹣BCB 1的体积，V==故答案为：7．已知椭圆的焦距为2，则实数t= 2，3，6 ．【考点】椭圆的标准方程．【分析】当t 2＞5t ＞0时，a 2=t 2，b 2=5t ，由c 2=t 2﹣5t ；当0＜t 2＜5t ，a 2=5t ，b 2=t 2，由c 2=a 2﹣b 2=5t ﹣t 2，解方程可求【解答】解：当t 2＞5t ＞0即t ＞5时，a 2=t 2，b 2=5t 此时c 2=t 2﹣5t=6解可得，t=6或t=﹣1（舍）当0＜t 2＜5t 即0＜t ＜5时，a 2=5t ，b 2=t 2 此时c 2=a 2﹣b 2=5t ﹣t 2=6 解可得，t=2或t=3综上可得，t=2或t=3或t=6 故答案为：2，3，68．已知α、β∈（0，），若cos （α+β）=，sin （α﹣β）=﹣，则cos2α=．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin （α+β）=，cos （α﹣β）=，再由cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]，利用两角和的余弦公式求出结果．【解答】解：∵α、β∈（0，），若cos（α+β）=，sin（α﹣β）=﹣，∴sin（α+β）=，cos（α﹣β）=，故cos2α=cos[（α+β）+（α﹣β）]=cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sin（α+β）sin（α﹣β）=，故答案为．9．已知函数f（x）=xlnx，若直线l过点（0，﹣1）并且与曲线y=f（x）相切，则直线l被圆（x﹣2）2+y2=4截得的弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用导数的几何意义求出直线l的方程，计算圆心到直线的距离和圆的半径，利用垂径定理得出弦长．【解答】解：设直线l的方程为y=kx﹣1，直线l与f（x）的图象切点为（x0，y0），则，解得．∴直线l的方程为：y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为（2，0），半径r=2．∴圆心到直线l的距离d==．∴直线l被圆（x﹣2）2+y2=4截得的弦长为2=．故答案为：．10．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=2，|NF1|=1，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0）．直线MN的方程为：my=x+c，M（x1，y1），N（x2，y2）．2+2c=2a，=，直线方程与椭圆方程联立化为：（b2m2+a2）y2﹣2b2mcy﹣b4=0，利用根与系数的关系及其y1=﹣2y2，化简解出a，c，即可得出．【解答】解：设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0）．直线MN的方程为：my=x+c，M（x1，y1），N（x2，y2）．2+2c=2a，=，联立，化为：（b2m2+a2）y2﹣2b2mcy﹣b4=0，∴y1+y2=，y1y2=，y1=﹣2y2，化为：8m2c2=b2m2+a2，与=，b2=a2﹣c2，2+2c=2a联立解得：a=，c=．∴=．故答案为：．11．平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则= 9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用，表示出，，在进行计算．【解答】解：∵=3，=2，∴，，==．∴==，==﹣．∴=（）•（﹣）=﹣=36﹣=9．故答案为：9．12．已知函数f（x）=，若方程f（x）=﹣2x有且只有一个实数根，则实数m的取值范围为m≥﹣1．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意，x≤0时，f（x）≤1+m，x＞0时，f（x）＞4+m．根据方程f（x）=﹣2x 有且只有一个实数根，可得不等式，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：由题意，x≤0时，m＜f（x）≤1+m，x＞0时，f（x）＞4+m（当且仅当x=时，f（x）=4+m）．x=时，﹣2x=﹣2．∵方程f（x）=﹣2x有且只有一个实数根，∴1+m≥0，且4+m≥﹣2，∴m≥﹣1．故答案为：m≥﹣1．13．已知函数f（x）=mx+2，g（x）=x2+2x+m，若存在整数a，b，使得a≤f（x）﹣g（x）≤b 的解集恰好是[a，b]，则a﹣b的值为．﹣2．【考点】其他不等式的解法．【分析】假设存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．则f（a）=a，f（b）=a，a≤f（）≤b，由f（a）=f（b）=a，解出整数a，b，再代入不等式检验即可．【解答】解：设G（x）=f（x）﹣g（x）﹣1=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m．则由题意可得a≤﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤b（2）假设存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．则f（a）=a，f（b）=a，a≤f（）≤b，即有﹣a2+（m﹣2）a+2﹣m=a①，﹣b2+（m﹣2）b+2﹣m=a②，a≤≤b ③．①﹣②可得a+b=m﹣2，代入①得﹣a2+a（a+b）﹣（a+b）=a，再化简得（a﹣1）（b﹣2）=2，因为a、b均为整数，所以a=2，b=4或a=﹣1，b=1．当a=2，b=4时，③即2≤≤4成立；当a=﹣1，b=1时，③即﹣1≤≤1成立．故存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，且a=2，b=4或a=﹣1，b=1，故a﹣b=﹣2，故答案为：﹣2．14．若x，y为实数，且x2+2xy﹣y2=7，则x2+y2的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】设x2+y2=r2，则x=rcosa，y=rsinα，利用三角换元得到sin（2a+）=，根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：x2+2xy﹣y2=7，设x2+y2=r2，则x=rcosa，y=rsinα，∴（rcosα）2+2r2sinαcosα﹣（rsinα）2=7，即r2（cos2α+sin2α）=7，∴r2sin（2α+）=7，∴r2sin（2α+）=，∴sin（2a+）=∴r2≤，故则x2+y2的最小值为，故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a﹣c），=（cosB，cosC），且∥（1）求角B的大小；（2）设f（x）=cos（ωx﹣）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】平行向量与共线向量；三角函数的周期性及其求法；正弦定理；三角函数的最值．【分析】（1）要求B角的大小，要先确定B的一个三角函数值，再确定B的取值范围（2）要求三角函数的最值，要先将其转化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的性质解答．【解答】解：（1）由m∥n，得bcosC=（2a﹣c）cosB，∴bcosC+ccosB=2acosB．由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB．又B+C=π﹣A，∴sinA=2sinAcosB．又sinA≠0，∴．又B∈（0，π），∴．（2）由已知，∴ω=2.当因此，当时，；当，16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M、N分别为AC、PD 的中点．求证：（1）MN∥平面ABP；（2）平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点M，容易得到MN∥BP，由线面平行的判定定理可证；（2）从充分性和必要性两个方面进行证明，利用面面垂直的性质以及判定定理证明．【解答】证明：（1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点M，…又点N是PD的中点，则MN∥BP，…MN⊄平面ABP，BP⊂平面ABP，∴MN∥平面ABP…（2）充分性：由“BP⊥PC．”⇒“平面ABP⊥平面APC”∵AB⊥BP，AB⊥BC，BP⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，BP∩BC=B∴AB⊥平面PBC，…PC⊂平面PBC∴AB⊥PC，…..又PC⊥BP，AB，BP是面ABP内两条相交直线∴PC⊥平面ABP，PC⊂平面APC，…∴平面ABP⊥平面APC；…..必要性：由“平面ABP⊥平面APC”⇒“BP⊥PC．”过B作BH⊥AP于H，∵平面ABP⊥平面APC，面ABP∩APC=AP，BH⊂平面ABP∴BH⊥平面APC，…．由上已证AB⊥PC，所以PC⊥平面ABP，PC⊥PB．…．17．某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元，可获得的加工费的近似值为万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0＜m＜1），从而实际所得的加工费为万美元．（1）若某时段的美元贬值指数，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？（2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为万美元．已知该企业的生产能力为x∈[10，20]，试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？（已知）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据知，，可得函数解析式，利用导数大于0，即可得到结论；（2）设企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有，即10ln（2x+1）﹣（20m+1）x≥0，求出左边对应函数的最小值，即可确定贬值指数m的范围．【解答】解：（1）由已知，，∴∴由f'（x）＞0⇒199﹣2x＞0，解得0＜x＜99.5即加工产品订单金额x∈（0，99.5）（单位：万美元），该企业的加工费随x的增加而增加．（2）依题意，设企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有，即10ln（2x+1）﹣（20m+1）x≥0，设g（x）=10ln（2x+1）﹣（20m+1）x，则令g（x）=0，则∵∴g（x）在[10，20]上是减函数所以，g（x）min=g（20）=10ln41﹣20（20m+1）≥0，∴m≤，又m＞0，所以，m∈（0，]时，该企业加工生产不会亏损．18．已知圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0），点P 为圆O 上任意一点（不在坐标轴上），过点P 作倾斜角互补的两条直线分别交圆O 于另一点A ，B ．（1）当直线PA 的斜率为2时，①若点A 的坐标为（﹣，﹣），求点P 的坐标；②若点P 的横坐标为2，且PA=2PB ，求r 的值；（2）当点P 在圆O 上移动时，求证：直线OP 与AB 的斜率之积为定值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）①求出r 2=2，直线PA 的方程，代入x 2+y 2=2，可得5x 2﹣4x ﹣1=0，即可求点P 的坐标；②若点P 的横坐标为2，且PA=2PB ，设点P 的坐标为（2，t ），由垂径定理得：4（r 2﹣d 12）=16（r 2﹣d 22），因为点P （2，t ）在圆O 上，所以22+t 2=r 2，即可求r 的值；（2）当点P 在圆O 上移动时，求出A ，B 的坐标，即可证明直线OP 与AB 的斜率之积为定值．【解答】解：（1）①点A 的坐标为（﹣，﹣），代入可得r 2=2直线PA 的方程为y+=2（x+），即y=2x ﹣1，代入x 2+y 2=2，可得5x 2﹣4x ﹣1=0，∴点P 的坐标为（1，1）；②因为直线PA 与直线PB 的倾斜角互补且直线PA 的斜率为2，所以直线PB 的斜率为﹣2．设点P 的坐标为（2，t ），则直线PA 的方程为：2x ﹣y ﹣4+t=0，直线PB 的方程为：2x+y ﹣t ﹣4=0．圆心（0，0）到直线PA ，PB 的距离分别为d 1=，d 2=因为PA=2PB ，所以由垂径定理得：4（r 2﹣d 12）=16（r 2﹣d 22）所以4（）2﹣（）2=3r 2，又因为点P （2，t ）在圆O 上，所以22+t 2=r 2（2），联立（1）（2）解得r=或；（2）由题意知：直线PA ，PB 的斜率均存在．设点P 的坐标为（x 0，y 0），直线OP 的斜率为k OP =直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），联立直线PA 与圆O 方程x 2+y 2=r 2，消去y 得：（1+k 2）x 2+2k （y 0﹣kx 0）x+（y 0﹣kx 0）2﹣r 2=0，因为点P 在圆O 上，即x 02+y 02=r 2，所以（y 0﹣kx 0）2﹣r 2=（k 2﹣1）x 02﹣2kx 0y 0，由韦达定理得：x A =，故点A 坐标为（，），用“﹣k“代替“k“得：点B的坐标为（，）∴k AB==∴k AB k OP=1．综上，当点P在圆O上移动时，直线OP与AB的斜率之积为定值119．已知直线x﹣y﹣1=0为函数f（x）=log a x+b在点（1，f（1））处的一条切线．（1）求a，b的值；（2）若函数y=f（x）的图象C1与函数g（x）=mx+（n＞0）的图象C2交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，其中x1＜x2，过PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，设C1在点M处的切线的斜率为k1，C2在点N处的切线的斜率为k2，求证：k1＜k2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，即可得到a，b的值；（2）求出PQ的中点坐标，分别求出f（x），g（x）的导数，可得斜率k1，k2，化简整理，法一：令r（t）=lnt﹣，t=＞1，求出r（t）的导数，判断单调性，即可得证；法二：令m（t）=（t+1）lnt﹣2（t﹣1），t=＞1，求出m（t）的导数，判断单调性，可得证明．【解答】解：（1）直线x﹣y﹣1=0的斜率为1，且过（1，0）点，又函数f（x）=log a x+b的导数为f′（x）=，检验=1，log a1+b=0，解得a=e，b=0；（2）证明：PQ的中点为（，），f（x）=lnx，f′（x）=，可得k1==，g（x）=mx+的导数为g′（x）=m﹣，即有k2=m﹣，由x1＞x2＞0，可得（）2＞x1x2，即有k2＞m﹣，则（x2﹣x1）k2＞m（x2﹣x1）﹣=mx2+﹣（mx1+）=y2﹣y1=lnx2﹣lnx1=ln，又（x2﹣x1）k1==，法一：令r（t）=lnt﹣，t=＞1，则r′（t）=﹣=，因为t＞1时，r′（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递增，故r（t）＞r（1）=0，则k2＞k1．法二：令m（t）=（t+1）lnt﹣2（t﹣1），t=＞1，则m′（t）=lnt+﹣1，因为（lnt+）′=﹣=，所以t＞1时，（lnt+）′＞0，故lnt+在[1，+∞）上单调递增，从而lnt+﹣1＞0，即r′（t），于是m（t）在[1，+∞）上单调递增，故m（t）＞m（1）=0，即（t+1）lnt＞2（t﹣1），即lnt＞，则k2＞k1．20．已知数列{x n}和{y n}的通项公式分别为和．（1）当a=3，b=5时，①试问：x2，x4分别是数列{y n}中的第几项？②记，若c k是{y n}中的第m项（k，m∈N+），试问：c k+1是数列{y n}中的第几项？请说明理由；（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2}，使得数列{x n}和{y n}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{z n}，若不存在，请说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）由条件可得，y n=4n+5．①令x2=9=y m=4m+5，得m=1，令x4=81=y k=4k+5，得k=19，由此能得到x2，x4分别是数列{y n}中的第几项．②由题意知，，由c k为数列{y n}中的第m项，则有32k=4m+5，由此得到c k+1是数列{y n}中的第9m+10项．（2）设在{1，2}上存在实数b使得数列{x n}和{y n}有公共项，所以，因自然数a≥2，s，t为正整数，故a s﹣b能被a+1整除．由此入手能够推导出存在b∈{1，2}，使得数列{x n}和{y n}有公共项．【解答】解：（1）由条件可得，y n=4n+5．①令x2=9=y m=4m+5，得m=1，故x2是数列{y n}中的第1项．令x4=81=y k=4k+5，得k=19，故x4是数列{y n}中的第19项．…②由题意知，，由c k为数列{y n}中的第m项，则有32k=4m+5，那么，因9m+10∈N*，所以c k+1是数列{y n}中的第9m+10项．…（2）设在{1，2}上存在实数b使得数列{x n}和{y n}有公共项，即存在正整数s，t使a s=（a+1）t+b，∴，因自然数a≥2，s，t为正整数，∴a s﹣b能被a+1整除．①当s=1时，．②当s=2n（n∈N*）时，当b=1时，=（a ﹣1）[1+a2+a4…+a2n﹣2]∈N*，即a s﹣b能被a+1整除．此时数列{x n}和{y n}有公共项组成的数列{z n}，通项公式为（n∈N*）．显然，当b=2时，，即a s﹣b不能被a+1整除．③当s=2n+1（n∈N*）时，，若a＞2，则，又a与a+1互质，故此时．若a=2，要，则要b=2，此时，由②知，a2n﹣1能被a+1整除，故，即a s﹣b能被a+1整除．当且仅当b=a=2时，a S﹣b能被a+1整除．此时数列{x n}和{y n}有公共项组成的数列{z n}，通项公式为（n∈N*）．综上所述，存在b∈{1，2}，使得数列{x n}和{y n}有公共项组成的数列{z n}，且当b=1时，数列（n∈N*）；当b=a=2时，数列（n∈N*）．…附加题21．（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵A=的一个特征值为λ1=﹣1，其对应的一个特征向量为，已知，求A5β．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】利用特征值、特征向量的定义，构建方程组，由此可求矩阵A．再求矩阵A的特征多项式，从而求得特征值与特征向量，利用矩阵A的特征值与特征向量，进而可求A5β．【解答】解：依题意：Aα1=﹣α1，…即=﹣，∴，∴…A的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）λ﹣2=λ2﹣λ﹣2=0，则λ=﹣1或λ=2．λ=2时，特征方程，属于特征值λ=2的一个特征向量为，∵=﹣2+3，∴A5β=﹣2×（﹣1）5+3×25=．22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程，即可得到根与系数的关系，根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0，化为．∴．（t1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．23．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P2的取值范围．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】（1）根据甲的命中率为，乙的命中率为，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）由已知结合（1）的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率（含参数P2），由Eξ≥5，可以构造一个关于P2的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到P2的取值范围．【解答】解：（1）∵，，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，∴该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P=（C21•）（C21•）+（）（）=（2）该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率P=（C21•）[C21•P2•（1﹣P2）]+（）（P22）=而ξ～B（12，P），所以Eξ=12P由Eξ≥5知，（）•12≥5解得：24．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．（1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线与平面的夹角．【分析】（1）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得向量的坐标关于λ的表示式，而平面ABC的法向量，可建立sinθ关于λ的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角θ达到最大值；（2）根据垂直向量的数量积等于0，建立方程组并解之可得平面PMN的一个法向量为，而平面PMN与平面ABC所成的二面角等于向量、所成的锐角，由此结合已知条件建立关于λ的方程并解之，即可得到λ的值，从而确定点P的位置．【解答】解：（1）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，易得平面ABC的一个法向量为则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：（*），于是问题转化为二次函数求最值，而，当θ最大时，sinθ最大，所以当时，，同时直线PN与平面ABC所成的角θ得到最大值．（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，即可得到平面ABC的一个法向量为，设平面PMN的一个法向量为，．由得，解得．令x=3，得，于是∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，∴，解之得：，故点P在B1A1的延长线上，且．2016年6月14日。

南京市溧水区2018年中考数学一模试卷及答案.docx

2017～ 2018 学年度第一次调研测试试卷九年级数学注意事项：1．本试卷共 6 页．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）．．．．．．． 1．－2的相反数是（ ▲ ）33322 A ．－ 2B ． 2C ．－ 3D ． 32．下列运算正确的是（▲ ）A ． 2a ＋ 3b ＝ 5ab23 ＝a 53 3 639B ．a ·aC ． (2a) ＝ 6aD ． a ＋ a ＝ a3．纳米是非常小的长度单位，1 纳米＝ 10－9米，目前发现一种新型病毒直径为 25100 纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（▲ ）6 米C ． 0.251× 104 米D ． 2.51×10A ． 2.51× 105 米B ． 25.1×10－－－ 4 米－4．实数 a ， b ， c ， d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（▲ ）A ．a ＞－ 4B ． bd ＞ 0C ．|a |＞ |d |D ． b ＋ c ＞0－ 5 －4 －3 －2 － 1 0 1 2 3 4 5（第 5 题）（第 4 题）5．如图，下列选项中不是该正六棱柱三视图的是（ ▲ ）正面A ．B ．C ．D ．6．如图，⊙ O 是以原点为圆心， 2 3为半径的圆，点 P 是直线 y ＝－ x ＋8 上的一点，过点P 作⊙ O 的一条切线 PQ ， Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为（▲ ）A ． 4B ．2 5C ． 8－ 2 3D ． 2 13二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上）．．1 － 17．计算： (2) － 9＝▲.8．当 x▲ 时，二次根式 2x － 3有意义．12 － 1 ＝▲ . 9．化简：a2－1 a－ 110．若关于 x 的方程 x2＋5x＋ m＝ 0 的两个根分别为为x1， x2，且1 ＋1＝ 1，则 m＝▲.x1x211．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为▲.12．某校开展“节约用电，保护环境”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用电情况，从九年级的300名同学中随机选取40 名同学，统计了他们各自家庭一个月节约用电的情况，绘制统计表如下：节电量 /度23456家庭数 /个5121283请你估计九年级300 名同学的家庭一个月节约用电的总量大约是▲度．13．如图，已知直角三角形ABC 中，∠ C＝ 90°，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转至△AED ，使点 C 的对应点 D 恰好落在边AB 上， E 为点 B 的对应点．设∠BAC＝α，则∠ BED＝▲. （用含α的代数式表示）yEy P BQDαO xO A xA C（第 6 题）（第 13 题）（第 14题）14．如图，一次函数的图象与x 轴交于点 A(1， 0)，它与 x 轴所成的锐角为α，且 tanα＝3，则此一次函数表达2式为▲.315．如图，平行四边形ABCD 的顶点 A 在函数 y＝x(x＞0) 的图象上，其余点均在坐标轴上，则平行四边形ABCD 的面积为▲.16．小高从家骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间 x（分钟）与离家距离y（千米）的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家需要的时间是▲ 分钟．y y4BA21CD O x O3812x（第 15 题）（第 16 题）三、解答题（本大题共11 小题，共 88 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题 8 分，每小题 4 分）2（ 1）计算： (1－ 3＋5－ 7)÷ (－ 1 )（ 2）化简： ( 3 － 212 )÷ 126 12 36a － 2 a － 4 a ＋ 218．（本题 6 分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶 5 次，成绩统计如下：命中环数6 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0 乙命中相应环数的次数221（ 1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是▲ 环，乙命中环数的众数是▲ 环；（ 2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（ 3）如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙射击成绩的方差会▲ ．（填“变大”、“变小”或“不变”）19．（本题 7 分）一个不透明箱子中有2 个红球， 1 个黑球和（ 1）从中随机摸取 1 个球，则摸到黑球的概率为 ▲（ 2）小明和小贝做摸球游戏，游戏规则如下．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．1 个白球，四个小球的形状、大小完全相同．；游戏规则让小明先从箱子中随机摸取一个小球，记下颜色后放回箱子，摇匀后再让小贝随机摸取一个小球，记下颜色．若两人所摸小球的颜色相同，则小明胜；反之，则小贝胜．20．（本题 7 分）某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件，已知一小时甲加工的零件数与一小时乙加工的零件数的和为 36 个，甲加工 80 个零件与乙加工100 个零件的所用时间相等．求甲、乙两台机器每小时分别加工零件多少个？21．（本题 8 分）如图，等腰三角形ABC 中， AB ＝ AC ．（ 1）用尺规作出圆心在直线 BC 上，且过 A 、C 两点的⊙ O ；（注：保留作图痕迹，标出点 O ，并写出作法）（ 2）若∠ B ＝30°，求证： AB 与（ 1）中所作⊙ O 相切．3A22．（本题 8 分）现在正是草莓热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓40 箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50 元、 40 元，且第二次比第一次多付款700 元．（ 1）设第一、二次购进草莓的箱数分别为 a 箱、 b 箱，求 a，b 的值；（2）若商店对这 40 箱草莓先按每箱 60 元销售了 x 箱，其余的按每箱 35 元全部售完．①求商店销售完全部草莓所获利润 y（元）与 x（箱）之间的函数关系式；②当x 的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润＝销售总收入－进货总成本）23．（本题 8 分）一艘救生船在码头 A 接到小岛 C 处一艘渔船的求救信号，立即出发，沿北偏东67°方向航行10 海里到达小岛 C 处，将人员撤离到位于码头 A 正东方向的码头B，测得小岛 C 位于码头 B 的北偏西 53°方向，求码头 A 与码头 B 的距离．【参考数据： sin23 °≈ 0.39， cos23°≈ 0.92，tan23 °≈ 0.42， sin37 °≈ 0.60， cos37°≈ 0.80， tan37 °≈0.75】北C北67°53°A（第 23 题）B24．（本题 8 分）如图，在菱形ABCD 中， G 是 BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点 F ，交 AD 于点E．F （ 1）求证：△ ADG≌△ CDG ．（2）若EF＝1， EG＝ 4，求 AG 的长．EC 2AED4G25．（本题 9 分）已知抛物线y＝ 2x2＋ bx＋ c 经过点 A(2，－ 1) ．（ 1）若抛物线的对称轴为x＝ 1，求 b， c 的值；（2）求证：抛物线与 x 轴有两个不同的交点；（3）设抛物线顶点为 P，若 O、 A、P 三点共线（ O 为坐标原点），求 b 的值．26．（本题 9 分）正方形网格（边长为 1 的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格点）是我们在初中阶段常用的工具，利用它可以解决很多问题．（ 1）如图①中，△ABC 是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为▲；（ 2）如图②，在4× 4 网格中作出以 A 为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均为格点）；（ 3）人们发现，记格点多边形（顶点均为格点）内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ ma＋ nb－ 1，其中 m， n 为常数．试确定m， n 的值．A ACB（图②）（图①）27．（本题 10 分）我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（ 0°＜ω＜ 180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点．如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线 PM 和 PN，分别交 x 轴和 y 轴于点 M、N，点 M、N 在 x 轴和 y 轴上所对应的数分别叫做P 点的 x 坐标和y 坐标，有序实数对 (x， y)称为点 P 的斜坐标，记为 P(x， y)．（1）如图 2，ω＝ 45°，矩形 OABC 中的一边 OA 在 x 轴上， BC 与 y 轴交于点 D ，OA ＝2， OC＝ 1．5①点 A、B、 C 在此斜坐标系内的坐标分别为 A ▲，B▲，C▲；②设点 P( x， y)在经过 O、 B 两点的直线上，则y 与 x 之间满足的关系为▲；③设点 Q(x， y)在经过 A、 D 两点的直线上，则y 与 x 之间满足的关系为▲．yyN P C D BωωOM x O A x（图 1）（图 2）（ 2）若ω＝ 120°， O 为坐标原点．①如图 3，圆 M 与 y 轴相切于原点 O，被 x 轴截得的弦长 OA＝ 43，求圆 M 的半径及圆心M 的斜坐标；②如图 4，圆 M 的圆心斜坐标为M(2， 2)，若圆上恰有两个点到y 轴的距离为1，则圆 M 的半径 r的取值范围是▲．y y·M·MωωO Ax O x（图 3）（图 4）62017～2018 学年度第一次质量调研测试试卷九年级数学答案一、号 1 2 3 4 5 6答案DBACAB二、填空317．－ 18．≥ 29．－a ＋ 110．－ 511． 1013312． 1140 13． 2α14．y ＝ 2x －215． 316． 15三、解答17．（ 1）算： (1－3＋ 5－ 7 )÷ (－ 1)26 1236解法①原式＝ 1× (－ 36)－3× (－ 36) ＋5× (－ 36)－ 7× (－ 36) ⋯ 1 分2 6 12＝－ 18＋ 108－ 30＋ 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分＝ 81⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分解法②原式＝－ 9×(－36)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分4＝ 81⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（ 2）化： (3－ 212 )÷ 1 a －2 a － 4 a ＋ 2原式＝ 3(a ＋2) －12 ] · (a ＋ 2) ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分[(a ＋ 2)(a －2) (a ＋ 2)( a － 2)3(a － 2) · (a ＋ 2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分＝(a ＋ 2)(a － 2)＝ 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 18．（ 1）8， 6 或 9；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 _ _（ 2） x 甲＝ 8 ， x 乙＝ 8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2 ＝ 10＋1) ＝ 2 2114 ⋯⋯ 4 分S 甲(1＋0＋ 0＋ 5； S 乙＝(4＋ 4＋ 1＋ 1＋4) ＝555_ _ S 2 甲＜ S 25 分∵ x 甲＝x乙乙 ∴甲的成比定⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3）小．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分19．（ 1）1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分4（ 2）12黑白 1 ( 1， 1) ( 2， 1) (黑， 1) (白， 1) 2 ( 1， 2) ( 2， 2) (黑， 2) (白， 2) 黑 ( 1，黑 ) ( 2，黑 ) (黑，黑 ) (白，黑 ) 白( 1，白 )( 3，白 )(黑，白 )(白，白 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分共有 16 种等可能果，期中色相同的有6 种，色不同的有10 种，7所以 P(小明 )＝ 3； P(小 )＝5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分88∴游不公平．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分20．解：甲机器每小加工x 个零件，乙机器每小加工(36－ x)个零件可得方程：80＝100⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x36－x解得： x ＝ 16 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分： x ＝ 16 是方程的解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∴36－ x ＝ 20答：甲机器每小加工 16 个零件，乙机器每小加工 20 个零件．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分 21．（ 1）作正确⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分作法：①作 AC 的垂直平分交BC 于点 O ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分②以点 O 心， OC 半径作⊙ O ， ⊙ O 所求作的⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（ 2）接 OC ，∵ AB ＝AC ，∴∠ C ＝∠ B ＝30°，⋯⋯⋯⋯ 5 分∴∠ BAC ＝ 120°，∵ OA ＝ OC ，∴∠ OAC ＝∠ C ＝ 30°，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴∠ BAO ＝90°，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分∵点 A 在⊙ O 上，B∴AB 与⊙ O 相切。

江苏省南京市溧水中学2017届高三上学期期初数学试卷含解析

2016—2017学年江苏省南京市溧水中学高三（上)期初数学试卷一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知=3+i（a，b∈R，i为虚数单位)，则a+b=．2．某学校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人,A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O型的学生中应抽取人．3．设集合A={x｜x≤1｝，B={x|x≥a}，则“A∪B=R"是“a=1”的条件．(从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）4．按如图所示的流程图运算，若输入x=8，则输出的k=．5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：（1)若l⊥α,m⊂α,则l⊥m;(2)若l⊥α，l∥m，则m⊥α；（3）若l∥α，m⊂α，则l∥m；（4）若l∥α，m∥α,则l∥m则其中正确的命题是．（填序号)6．将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m,n,则点P（m，n）在直线y=x下方的概率为．7．若函数f(x)=sinωx(ω＞0）在区间[0，］上单调递增，在区间［，］上单调递减,则ω=．8．若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是．9．已知等比数列{a n}中,各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1与抛物线y2=﹣12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为．11．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点，若AB=2，则实数m的值为．12．已知函数f(x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．13．设函数f（x）=﹣x3+x2+2ax,当0＜a＜2时，有f（x）在x∈[1,4]上的最小值为﹣，则f（x）在该区间上的最大值是．14．在平面内,定点A,B，C，D满足||=｜|=||，•=•=•=﹣2，动点P，M满足||=1，=,则|｜2的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计70分．15．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，函数f（x）=sin2x•（1+cos2C）﹣cos2x•sin2C+的图象过点（，）．（1)求sinC的值；（2）当a=2，2sinA=sinC时，求b、c边的长．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点(1)求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上,且BP=BB1,求证：AP⊥平面A1CD．17．如图,某隧道的截面图由矩形ABCD和抛物线型拱顶DEC组成（E为拱顶DEC的最高点），以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，已知拱顶DEC的方程为y=﹣x2+6（﹣4≤x≤4)．（1)求tan∠AEB的值；(2）现欲在拱顶上某点P处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P对隧道底AB的张角∠APB最大，求此时点P到AB的距离．18．已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为(﹣2，0）和（2，0），点C在x轴上方．（Ⅰ）若点C的坐标为（2,3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；（Ⅲ)若在给定直线y=x+t上任取一点P,从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．19．设函数f(x）=ax2﹣a﹣lnx,g（x）=﹣，其中a∈R，e=2。

江苏省普通高中2017-2018学年高三上学期期初数学试卷 Word版含解析

江苏省普通高中2017-2018学年高三上学期期初数学试卷一．填空题：（5分×14=70分．将答案填在答题表中）．1．（4分）复数z=m﹣i（i为虚数单位，m∈R），若z2=﹣2i，则复数z的模为．2．（4分）已知集合A={3，4}，B={x|mx﹣12=0}，若B⊆A，则实数m的值为．3．（4分）设A={x||x﹣2|≤2}，B={x|x＜t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是．4．（4分）若，||=，且，则与的夹角大小是．5．（4分）已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真的序号是．（填上你认为正确的所有的序号）6．（4分）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2，0，1，3，0，3的概率为．7．（4分）偶函数f（x）在（﹣∞，0）内是减函数，若f（﹣1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是．8．（4分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．9．（4分）分别在曲线y=e x与直线y=ex﹣1上各取一点M与N，则MN的最小值为．10．（4分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则ω=，φ=．11．（4分）函数y=e x﹣elnx的最小值为．12．（4分）已知点B是椭圆C：的短轴的一个端点，C的右准线与x轴交于点H，直线BH交C于点M，且，则椭圆C的离心率为．13．（4分）函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（4+x）=f（4﹣x），当x∈（0，4）时，f （x）=2x，则当x∈（﹣8，﹣4）时，f（x）=．14．（4分）已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=84，则实数b的取值范围是．二.解答题：本大题共6小题，共90分．解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．16．（15分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．17．（15分）某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f（x）的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？18．（15分）数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立．（1）若数列{a n}为等差数列，求证：3A﹣B+C=0；（2）若，设b n=a n+n，数列{nb n}的前n项和为T n，求T n；（3）若C=0，{a n}是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值．19．（18分）已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE恒过一个定点．20．（16分）已知函数f（x）=x2+a|lnx﹣1|，g（x）=x|x﹣a|+2﹣2ln2，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间上的最大值；（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）对任意x1∈∴切点的坐标M（1，e），∴切线方程为y﹣e=e（x﹣1），即ex﹣y=0；又直线y=ex﹣1，即ex﹣y﹣1=0∴d==．则MN的最小值为．故答案为：．点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是切线的斜率．属于基础题．10．（4分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则ω=2，φ=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．解答：解：如图根据函数的最大值和最小值得|A|+B=4，|A|﹣B=0，、∵A＞0，∴A=2，B=2，函数的周期为（﹣）×4=π，又∵ω＞0，∴ω=2，当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+，∴φ=2kπ﹣，∵|φ|＜，∴φ=，故答案为：2，点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．11．（4分）函数y=e x﹣elnx的最小值为0．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意，y=e x﹣elnx的定义域为（0，+∞），求导从而确定y=e x﹣elnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而求最小值．解答：解：y=e x﹣elnx的定义域为（0，+∞），y′=e x﹣=，故当x＞1时，y′＞0，当0＜x＜1时，y′＜0，故y=e x﹣elnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故当x=1时，y=e x﹣elnx取得最小值，即最小值为e﹣e=0．故答案为：0．点评：本题考查了函数的最值的求法，同时考查了导数的综合应用，属于中档题12．（4分）已知点B是椭圆C：的短轴的一个端点，C的右准线与x轴交于点H，直线BH交C于点M，且，则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定B，H，M的坐标，利用，求出M的坐标，代入椭圆方程，即可求得离心率．解答：解：由题意，B（0，b），H（，0），设M（x，y），则∵∴（﹣x，b﹣y）+2×（﹣x，﹣y）=（0，0）∴代入椭圆方程可得∴=故答案为：点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查向量知识的运用，属于中档题．13．（4分）函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（4+x）=f（4﹣x），当x∈（0，4）时，f （x）=2x，则当x∈（﹣8，﹣4）时，f（x）=﹣2x+8．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知函数y=f（x）是奇函数，且满足f（4+x）=f（4﹣x），可知函数关于x=4对称且关于原点对称，进而可求出函数的周期，进而结合当x∈（0，4）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣8，﹣4）时，f（x）的解析式．解答：解：∵f（4+x）=f（4﹣x）∴f（8+x）=f（﹣x）又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数f（﹣x）=﹣f（x）∴f（8+x）=f（﹣x）=﹣f（x）∴f（16+x）=f（x）则T=16是函数y=f（x）的一个周期设x∈（﹣8，﹣4）则x+8∈（0，4），f（x+8）=2x+8=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+8故答案为：﹣2x+8点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的对称性，函数的同期性，其中根据直线x=a是函数图象的对称轴，（b，0）是函数图象的对称中心，找出函数所具备特点是解答本题的关系．14．（4分）已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=84，则实数b的取值范围是．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设a=b﹣d，c=b+d，代入已知等式化简可得3b2+2d2=84，由此求得b的最大值为2．再由a+b＞c 可得b＞2d，结合已知的等式得3b2+2＞84，解得b＞2，再把这两个b的范围取交集求得数b的取值范围．解答：解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=84化简可得3b2+2d2=84．故当d=0时，b有最大值为2．由于三角形任意两边之和大于第三边，故较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，可得b＞2d．∴3b2+2＞84，解得b＞2，故实数b的取值范围是，故答案为．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质的应用，解不等式，属于中档题．二.解答题：本大题共6小题，共90分．解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的取值集合．解答：解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题．16．（15分）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．考点：平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由D为等腰三角形底边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再利用已知面面垂直的性质即可证出．（2）证法一：连接A1C，交AC1于点O，再连接OD，利用三角形的中位线定理，即可证得A1B∥OD，进而再利用线面平行的判定定理证得．证法二：取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B，可得四边形BDC1D1及D1A1AD是平行四边形．进而可得平面A1BD1∥平面ADC1．再利用线面平行的判定定理即可证得结论．解答：（本小题满分14分）证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．…（5分）因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…（7分）（2）（证法一）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B．…（11分）因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（14分）（证法二）取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B．则D1C1BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D．因为C1D⊂平面ADC1，D1B⊄平面ADC1，所以D1B∥平面ADC1．同理可证A1D1∥平面ADC1．因为A1D1⊂平面A1BD1，D1B⊂平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，所以平面A1BD1∥平面ADC1．…（11分）因为A1B⊂平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1．…（14分）点评：本题考查了线面垂直和线面平行，充分理解其判定定理和性质定理是解决问题的关键．遇到中点添加辅助线常想到三角形的中位线或平行四边形．17．（15分）某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f（x）的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？考点：数列的应用；函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）由已知，确定写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列，从而可得函数表达式；（2）由（1），求出写字楼每平方米平均开发费用，利用基本不等式，即可求得每平方米平均开发最低费用．解答：解：（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4000×2000=8000000（元）=800（万元），从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2000=200000（元）=20（万元），写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列（2分）所以函数表达式为：；…（6分）（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为：…（10分）=（元）…（12分）当且仅当，即x=30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．…（14分）点评：本题考查等差数列模型的构建，考查基本不等式的运用，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．18．（15分）数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立．（1）若数列{a n}为等差数列，求证：3A﹣B+C=0；（2）若，设b n=a n+n，数列{nb n}的前n项和为T n，求T n；（3）若C=0，{a n}是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先根据条件都转化为首项和公差的形式，再根据等差数列的前n项和S n所满足的条件即可得到结论．（2）先根据前n项和S n以及通项之间的关系求出{a n}的通项，进而得到数列{nb n}的通项，再结合错位相减法即可求出T n；（3）先根据条件求出{a n}的通项；进而根据裂项求和法求出P的表达式，即可得到结论．解答：解：（1）因为{a n}为等差数列，设公差为d，由，得，即对任意正整数n都成立．所以所以3A﹣B+C=0．…（4分）（2）因为，所以，当n≥2时，，所以2a n﹣a n﹣1=﹣n﹣1，即2（a n+n）=a n﹣1+n﹣1，所以，而，所以数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，所以．…（7分）于是．所以①，，②由①﹣②，得．所以．…（10分）（3）因为{a n}是首项为1的等差数列，由（1）知，公差d=1，所以a n=n．而=，…（14分）所以，所以，不超过P的最大整数为2012．…（16分）点评：本题主要考察由数列的递推式求数列的和，其中涉及到数列求和的错位相减法以及裂项求和法，是对数列知识的综合考察，主要考察计算能力．19．（18分）已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE恒过一个定点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（），建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；（2）设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC面积的最大值；（3）设AB、AC的方程，代入椭圆方程可求B、C的坐标，从而可得直线BC的方程，整理并令y=0，即可证得直线BC恒过定点．解答：（1）解：∵椭圆的离心率为，且过点，∴，解得，所以椭圆C的方程为x2+2y2=1…4分（2）解：设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，…6分又|m|•|n|，所以|m|•|n|，当且仅当时取等号…8分从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为…9分（3）证明：因为A（﹣1，0），所以AD：y=k1（x+1），AE：y=k2（x+1），由，消去y，得，解得x=﹣1或x=，∴同理E（）∵k1k2=2，∴…12分∴直线DE的方程为，即y﹣，即y=…14分所以2k12y+4y﹣（3x+5）k1=0则由，得直线DE恒过定点…16分．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查直线恒过定点，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=x2+a|lnx﹣1|，g（x）=x|x﹣a|+2﹣2ln2，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间上的最大值；（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）对任意x1∈化简f（x），然后研究函数f（x）在的单调性，从而求出函数f（x）的最大值；（Ⅱ）讨论x与e的大小去掉绝对值，然后分类讨论讨论导数符号研究函数在时f（x）=x2﹣lnx+1，，所以f（x）在递增，所以f（x）max=f（e）=e2（4分）（Ⅱ）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx﹣a，f'（x）=2x+，a＞0，∴f（x）＞0恒成立，∴f（x）在上为增函数，故当x=时，y min=﹣ln，且此时f（）＜f（e）=e2（8分）（iii）当≥e，即a≥2e2时，f'（x）在x∈（1，e）时为负数，所以f（x）在区间上为减函数，故当x=e时，y min=f（e）=e2（9分）综上所述，函数y=f（x）的最小值为y min=（10分）所以当时，得0＜a≤2；当（2＜a＜2e2）时，无解；当（a≥2e2）时，得不成立．综上，所求a的取值范围是0＜a≤2（11分）（Ⅲ）①当0＜a≤2时，g（x）在[2，+∞）单调递增，由g（2）=6﹣2a﹣2ln2≤1+a，得（12分）②当时，g（x）在[2，+∞）先减后增，由，得，设，h'（t）=2+lnt＞0（1＜t＜2），所以h（t）单调递增且h（2）=0，所以h（t）＜0恒成立得2＜a＜4（14分）③当时，f（x）在递增，在递减，在[a，+∞）递增，所以由，得，设m（t）=t2﹣3t+tlnt+2﹣2ln2，则m'（t）=2t﹣2+lnt＞0（t∈（2，e2），所以m（t）递增，且m（2）=0，所以m（t）＞0恒成立，无解．④当a＞2e2时，g（x）在递增，在递减，在[a，+∞）递增，所以由＜e2得无解．综上，所求a的取值范围是点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及分类讨论的思想，解题的关键是对于恒成立的理解，是一道综合题．。

江苏省(中华中学、溧水高级中学)等六校2017届高三2月联考数学试题Word版含答案.doc

2017届高三第二学期期初六校联考数学试卷注意事项:1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效. 参考公式：圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1. 已知集合{2,0,1,7}A =，{|7,}B y y x x A ==∈，则A B = ▲ ．2. 已知复数z =(i 为虚数单位)，则z z ⋅= ▲ ．3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ▲ ．4. 阅读下列程序，输出的结果为 ▲ ．5. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．6. 已知函数π()2cos()3f x x =+，ππ[,]23x ∈-，则()f x 的值域是 ▲ ．7. 已知函数ln(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =>，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．8. 已知实数x 、y 满足2035000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．9. 在△ABC 中，若tan tan 1A B =，则sin()3C π+= ▲ ．10. 若直线y x =-与函数242()y x x x m =-+≥的图象恰有一个公共点，则实数m 的取值范围为 ▲ ．11. 已知函数3()f x x x =+，对于等差数列{}n a 满足：2(1)2f a -=，2016(3)2f a -=-，n S 是其前n 项和，则2017S = ▲ ．12. 在△ABC 中，已知8AB =，6AC =，点O 为三角形的外心，则BC OA ⋅= ▲ ． 13. 圆222:C x y r +=，点(3,0)A ，(0,4)B ，若点P 为线段AB 上的任意点，在圆C 上均存在两点M 、N ，使得PM MN =，则半径r 的取值范围 ▲ ． 14. 已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a+=++，则ab 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题,满分90分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边，作两个角α，β，它们终边分别经过点,P Q ，其中21(,cos )2P θ，2(sin ,1)Q θ-，R θ∈，且4sin 5α=.（1）求cos2θ的值；（2）求tan()αβ+的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形， AB ⊥BP ，M 为AC 的中点，N 为PD 上一点. （1）若MN ∥平面ABP ，求证：N 为PD 的中点；（2）若平面ABP ⊥平面APC ，求证：PC ⊥平面ABP .17. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的焦距为2，过右焦点F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，当l 与x 轴垂直时，AB （1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在一点P ，使得OP OA OB =+18. （本小题满分16分）某工厂要生产体积为定值V 的漏斗，现选择半径为R 制成漏斗．（1）若漏斗的半径为32R ，求圆形铁皮的半径R ；（第17题图）（2）这张圆形铁皮的半径R 至少是多少？19.（本小题满分16分）已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈。

江苏省南京市2018届高三上学期期初学情调研考试-数学

南京市2018届高三年级学情调研数学柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q ＝ ▲ ． 2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为 ▲ ．4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为12，则输入x 的值为 ▲ ．5．记函数f (x )＝4－3x －x 2 的定义域为D ．若在区间 [－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为 ▲ ． 6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则z =3x －2y 的最大值为 ▲ ．8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为 ▲ cm 2. 9．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)的部分图象如图所示，则f (－)的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m 的值为 ▲ ．11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是 ▲ ．Y（第4题）结束输入xx ≥0y ←2x输出yN开始y ←log 2(－x )xOy(第9题）4π212．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120︒，→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．若存在唯一的整数x ，使得f (x )－ax ＞0成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证：（1）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1；（2）A 1C //平面AB 1E ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；（2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）A 1B 1C 1ABCE(第15题）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2．（1）求f (x )的解析式，并写出其定义域；（2）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．(第18题）19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．（1）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；（2）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12ln x恒成立，求a的取值范围；（3）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．20．(本小题满分16分)已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2＋2S n，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若k，t∈N*，且S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，求k和t的值．南京市2018届高三年级学情调研卷数学附加题 2017.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ， DA ＝DC ．求证： CA ＝3CB ．B ．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1234．（1）求A －1；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C '：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，y ＝t（t 为参数），圆C的参数方程（第21A 题）为⎩⎨⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin（θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD＝1．（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为π3，求BC 的长；（2）求二面角B －PD －A 的余弦值．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望．CDPBA（第22题）南京市2018届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，2} 2．7 3．16 4．－ 2 5．126．3 7． 6 8．189．－1 10．611．(－∞，2] 12．13 13．－4314．[0，2]∪[3，8]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1平面ABC ．因为AE 平面ABC ，所以CC 1AE ． ……………2分因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE BC ．因为BC 平面B 1BCC 1，CC 1平面B 1BCC 1，且BC ∩CC 1＝C ，所以AE 平面B 1BCC 1． ………………5分因为AE 平面AB 1E ，所以平面AB 1E 平面B 1BCC 1. ……………………………7分（2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．A 1B 1C 1 ABCE(第15题） F在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形，所以F 为A 1B 的中点． ……………………………9分又因为E 是BC 的中点，所以EF ∥A 1C ． ……………………………11分因为EF 平面AB 1E ，A 1C 平面AB 1E ，所以A 1C ∥平面AB 1E . ……………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45． ………………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510． ……………………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝bc ，所以sin B sin C ＝3510． ……………………………6分解法2因为cos B ＝45，B ∈(0，)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ． ………………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510． ………………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725． …………………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425． …………………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin(3π4－2B )＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ………………………………12分＝22×725－(－22)×2425＝31250． …………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t 1＝9000x， ………………………2分t 2＝30003(100－x )＝1000100－x ， ………………………4分所以f (x )＝t 1＋t 2＝9000x ＋1000100－x ， ………………………5分定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}． ………………………6分（2）f (x )＝1000(9x ＋1100－x )＝10[x ＋(100－x )]( 9x ＋1100－x)＝10[10＋9(100－x )x ＋ x100－x ]． ………………………10分因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9(100－x )x ＞0，x100－x＞0，所以9(100－x )x ＋ x100－x≥29(100－x )x x100－x＝6， …………………12分当且仅当9(100－x )x ＝x100－x ，即当x ＝75时取等号． …………………13分答：当x ＝75时，f (x )取得最小值． ………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2． ………………………2分又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋34b 2＝1， ………………………3分解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………………5分（2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则x 024＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)，所以2－x 0＝m ． ………………………7分由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2) x 0＋2，即M (m ，y 0(m ＋2)x 0＋2)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0(m ＋2)x 0＋2 m －1＝－1， ………………………10分即y 02（m ＋2）(x 0－1)( x 0＋2)( m －1)＝－1．因为x 024＋y 02＝1．所以( x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1) ( m －1)＝1． ………………………12分因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0，解得m ＝5±133． ………………………15分因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P ＝4k 4k 2＋1，所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k4k 2＋1)． ………………………8分因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1．(*) ……………………10分因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))，因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112，所以k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB ＝k (m ＋2)m －1．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1．（**） ………………………12分将(*)代入（**），化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133． ………………………15分又因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g '(x )＝2(1－2ln x )x 3．令g '(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4．令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4．因为h ' (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0，所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1．因为h ' (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0．所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a ∈(53，2)时，h (a )＞h (53)＝827． ………………………14分③当a ≥2时，当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5，所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1．综上，h (a )的最小值为827． ………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由3T 1＝S 12＋2S 1，得3a 12＝a 12＋2a 1，即a 12－a 1＝0．因为a 1＞0，所以a 1＝1． ………………………2分（2）因为3T n ＝S n 2＋2S n ， ①所以3T n ＋1＝S n ＋12＋2S n ＋1，②②－①，得3a n ＋12＝S n ＋12－S n 2＋2a n ＋1．因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2， ③ ………………………5分所以3a n ＋2=S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝2． ………………………8分又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0．因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *． ………………………10分(3)由(2)可知S n ＝2n －1．因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k ， ………………………12分所以2t ＝(2k )2－32k ＋4，即2t －2＝(2k －1)2－32k －2＋1(*)．由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．当k ＝2时，2t ＝8，得t ＝3． ………………………14分当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－32k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－32k －2＝0，即2k ＝3，此时k 无正整数解．综上，k ＝2，t ＝3． ………………………16分南京市2018届高三年级学情调研数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO =∠C ．………………………2分在圆O 中，AO =DO ，所以∠DAO =∠ADO ，所以∠DOC =2∠DAO =2∠C ．………………………5分因为CD 为圆O 的切线，所以∠ODC =90°，从而DOC ＋C ＝90°，即2C ＋C ＝90°，故∠C ＝30°， ………………………7分所以OC ＝2OD ＝2OB ，所以CB ＝OB ，所以CA ＝3CB ． ………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2132－12． ………………………4分（2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P(x，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎨⎧x ＝x ＋2y ，y ＝3x ＋4y ．……………………8分因为(x ，y )在曲线C 上，所以6x 2－y 2＝1，代入6(x ＋2y )2－(3x ＋4y )2＝1，化简得8y 2－3x 2＝1，DB CO （第21A 题）所以曲线C 的方程为8y 2－3x 2＝1． ………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，y ＝t，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0．………………………2分由圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin ，得圆C 的普通方程为(x －a )2+(y －2a )2＝1．………………………4分因为直线l 与圆C 相切，所以∣a －2a ＋1∣2＝1， ………………………8分解得a ＝1±2．所以实数a 的值为1±2． ………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；……………………2分(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3； ……………………6分所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）以{→AB ，→AD ，→AP }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ．因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．设C (1，y ，0)，则→PB ＝(1，0，－1)，→CD ＝(－1，1－y ，0)．…………………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为π3，所以|cos ＜→PB ，→CD ＞|＝|→PB →CD ∣→PB ∣∣→CD ∣|＝12，即12×1＋(1－y )2＝12，解得y ＝2或y ＝0（舍），DPBA（第22题） x y z所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2． ………………………5分（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为→PB ＝(1，0，－1)，→PD ＝(0，1，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧→PB n 1＝0，→PD n 1＝0，即⎩⎨⎧x －z ＝0，y －z ＝0．令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． ………………………7分因为平面P AD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1n 2∣n 1∣|n 2∣＝33，所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为33． ………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有C 24⋅42＝96(种). ………………………3分（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝4C 2496＝14， ………………………5分 P (X ＝1)＝3C 14⋅C 1396＝38， P (X ＝2)＝2C 14⋅C 1396＝14， P (X ＝3)＝C 14⋅C 1396＝18．所以随机变量X 的概率分布列为：………………………8分所以E (X )＝014＋138＋214＋318＝54． ………………………10分X 0 1 2 3 P1438 1418。

江苏省南京市溧水区2018届高三数学上学期期初模拟考试试题2017090601126

江苏省南京市溧水区 2018届高三数学上学期期初模拟考试试题一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分．请把答案填写在卷纸相应位置上． 1．设集合 A2, 3, B1, 2,则 A B▲ ．2．已知复数， ( 为虚数单位)．在复平面内，对应的点在第 ▲z13i z3 i iz z1212象限．3．某学校共有师生 2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160的样本，已知从学生中抽取的人数为 150，那么该学校的教师人数是▲．4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是 ▲．5．已知点 F 为抛物线 y 2 4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5，则直线 AF 的斜率为▲．开始S =0,i =16．若|a |＝1，| b |＝2，a 与 b 的夹角为 60°，若(3 a ＋5 b )⊥(m a －b )，则实数 m 的值为▲．T =3i －1 S=S+T7．已知等比数列a 的公比 q 2,且 2a ,a ,48 成等差数列,n46i = i +1则a 的前 8项和为▲．ni>5? 否是输出 S8．按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为▲ ．结束9．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 a ＝1，A ＝60°，c ＝，则△ABC3的面积为 ▲．10．已知直线l 平面，直线 m 平面，给出下列命题：其中正确命题的序号是▲．- 1 -lnx + e x－3，x ≥111．已知函数f(x)={x2＋ax +2，x＜1 )有且仅有2个零点，则a的范围是▲．12．已知对满足x y42xy的任意正实数x,y，都有x22xy y2ax ay10，则实数a的取值范围为▲．PB13．P为圆C:( x－1)2+y2=5上任意一点，异于点A(2,3)的定点B满足为常数，则点B的坐PA标为▲．14．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，BA·BC＝12，当角A最大时，△ABC面积为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知(0,), , , .2(1) 求的值；(2) 求的值.如图，在三棱锥中，，，分别是，的中点．求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面．PEFCAB17．（本小题满分14分）如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B 两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘轮游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费元，游轮每千米耗费元．（其中是正常数）设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？18．(本小题满分16分)如图，椭圆过点，My其左、右焦点分别为，离心率，F1O F2xN（第18题）是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．19．（本小题满分16分）已知数列（1）计算（2）令是等比数列；（3）设、分别为数列、的前，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数．(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；(3)设为正实数，且，求证：．高三数学试卷答案2017.8一、填空题1 4 231．{1，2，3} 2．二3．150 4．5．6．7．2554 3 8178．40 9．10．①③11．a＝2 2或a＜－3 12．（－∞，]6 43 313．( ，).2 2解：设P(x,y), ( x－1)2+y2=5,x2+y2=4+2xPB2 (x－m)2 + (y－n)2 x2 + y2－2mx－2ny + m2 + n2 B(m,n), = = =PA2 (x－2)2 + (y－3)2 x2 + y2－4x－6y + 13(2－2m)x－2ny + m2 + n2 + 4=定值，－2x－6y + 172－2m －2n m2 + n2 + 4 3 3 3 3则= = ,解得m=2，n=3，或m= ，n= ，B异于点A，所以B( ，).－2 －6 17 2 2 2 214．3解：过A作AD⊥BC，垂足为D，则BA·BC＝|BA||BC|cos B＝BDBC＝3BD＝12，A 所以BD＝4，又BC＝3，所以CD＝1．设AD＝y(y＞0)，则tan∠BAC＝－＝≤3，31＋y＋ 4B C D且仅当y＝4，即y＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC也最大．y二、解答题15．解:(1)∵cos=………………………4分又∵∴cos= ………………………6分(2)由(Ⅰ)知：sin= …………………………8分由、得（）（）cos（）=- …………………………10分sin =sin(- )=sin( )cos -cos( )sin= ×- ×= …………………………14分16．证明：⑴在中，因为分别是的中点，所以∥………………………………3分又⊂平面，平面，所以∥平面；………………………………6分⑵因为，且点是的中点，所以⊥；………………………………9分又，∥，所以，………………………………12分因为⊂平面，⊂平面，，⊂平面，所以平面⊥平面. ………………………………14分π2π17．解：(1) 由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.3 3CD AD 由正弦定理知＝＝π2πsin sin( －α)10，…………………………2分sin α5 3即CD＝，AD＝sin α2π10sin( －α)3，…………………………4分sin α所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝(12CD－4AD＋80)a2π( －α)60 3－40sin3 3－cos α＝[ ]a＋80a ＝[20 3 ]a＋sin αsin α60a ………7分1－3cos α(2) S′＝20 3 ·a，sin2α令S′＝0得cos α＝1…………………………9分31 1当cos α> 时，S′<0；当cos α< 时，S′>0，3 31所以当cos α＝时，S取得最小3值，…………………………12分2 2 5 3cos α＋5sin α 5 6此时sin α＝，AD＝＝5＋，3 sin α 420＋5 6所以中转点C距A处km时，运输成本S最4小．…………………………14分18．解：（1），且过点，解得椭圆方程为- 11 -. …………………………4分（2）设点则，………6分，又，的最小值为．…………………………10分（3）圆心的坐标为，半径.圆的方程为，…………………………12分整理得：.，令，得，. 圆过定点. ……………16分19．解：（1）由题意，………2分同理 (3)分（2）因为所以…………… 5分………… 7分又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ……… 9分（3）由（2）得，又所以…………………… 13分由题意，记则…………………… 15分故当…………………… 16分20．解: （1）………… 2分由题意知，代入得，经检验，符合题意。

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江苏省溧水高级中学2018届高三上学期期初模拟考试数学Word版含答案

届高三学情调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在卷纸相应位置．．．．．．上． 1．设集合{}{}2,3,1,2,A B ==则AB = ▲ ．2．已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．3．某学校共有师生2 400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ▲ ． 4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负，则一次游戏中甲胜出的概率是 ▲ ．5．已知点F 为抛物线24y x =的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为 ▲ ．6．若|a |＝1，| b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3 a ＋5 b )⊥(m a －b )，则实数m 的值为 ▲ ．7．已知等比数列{}n a 的公比2=q ,且462,,48a a 成等差数列, 则 {}n a 的前8项和为 ▲ ．8．按右面的程序框图运行后,输出的S 应为 ▲ ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为 ▲ ．10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ①若//αβ，则l m ⊥； ②若αβ⊥，则//l m ； ③若//l m ，则αβ⊥； ④若l m ⊥，则//αβ. 其中正确命题的序号是 ▲ ． i>5? 否开始S =0,i =1T =3i －1 S=S+T i = i +1 是输出S 结束11．已知函数f (x )=⎩⎨⎧lnx+ e x －3，x ≥1x 2＋ax +2，x ＜1有且仅有2个零点，则a 的范围是 ▲ ．12．已知对满足42x y xy ++=的任意正实数,x y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．P 为圆C:( x －1)2+y 2=5上任意一点，异于点A (2,3)的定点B 满足PBPA 为常数，则点B 的坐标为 ▲ ．14．以C 为钝角的△ABC 中，BC ＝3，→BA ·→BC ＝12，当角A 最大时，△ABC 面积为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知(0,)2πα∈,(,)2πβπ∈,7cos 29β=-,7sin()9αβ+=. (1) 求cos β的值；(2) 求sin α的值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB PB =，,E F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAB ．ECPFO MF 2F 1yx17．（本小题满分14分）如图，在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l 上设立了A ，B 两个报名点，满足A ，B ，C 中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A ，B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处(点D 异于A ，B 两点)，然后乘同一艘轮游轮前往C 岛．据统计，每批游客A 处需发车2辆，B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a 元，游轮每千米耗费12a 元．（其中a 是正常数）设∠CDA ＝α，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本为S 元．(1) 写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； (2) 问：中转点D 距离A 处多远时，S 最小？18． (本小题满分16分)如图，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．（1）求椭圆的方程；（2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19．（本小题满分16分）已知数列,))(2,(,21,}{*11上在直线点中x y N n a a n a a n n n =∈-=+ （1）计算;,,432的值a a a（2）令}{:,11n n n n b a a b 数列求证--=+是等比数列；（3）设n S 、n T 分别为数列}{n a 、}{n b 的前λ是否存在实数项和,n ，使得数列}{nT S nn λ+为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数(1)()ln 1a x f x x a R x -=-∈+，． (1)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (3)设,m n 为正实数，且m n >，求证：2ln ln nm n m n m +<--．高三数学试卷答案一、填空题1．{1，2，3} 2．二 3．150 4．14 5．43 6．238 7． 2558．40 9．36 10．①③ 11．a ＝22或a ＜－3 12．（－∞，174] 13．(32，32).解：设P (x,y ), ( x －1)2+y 2=5,x 2+y 2=4+2xB (m,n ), PB 2PA 2=(x －m )2+(y －n )2 (x －2)2+(y －3)2=x 2+y 2－2mx －2ny +m 2+n 2 x 2+y 2－4x －6y +13=(2－2m )x －2ny +m 2+n 2+4－2x －6y +17=定值，则2－2m －2=－2n －6=m 2+n 2+4 17,解得m =2，n =3，或m =32，n =32，B 异于点A ，所以B (32，32).14． 3解：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则→BA ·→BC ＝|→BA ||→BC |cos B ＝BDBC ＝3BD ＝12，所以BD ＝4，又BC ＝3，所以CD ＝1．设AD ＝y (y ＞0)，则tan ∠BAC ＝4y －1y 1＋4y 2＝3y ＋4y≤34，且仅当y ＝4y，即y ＝2时取“＝”，由正切函数的单调性知此时∠BAC 也最大．二、解答题 15．解:(1)∵cos22cos 12ββ+==AB C D912)97(1=-+ ………………………4分又∵(,)2πβπ∈∴cos β=31- ………………………6分 (2)由(Ⅰ)知：sin β=322)31(1cos 122=--=-β …………………………8分由(0,)2πα∈、(,)2πβπ∈得（βα+）∈（23,2ππ）cos （βα+）=-924)97(1)(sin 122-=--=+-βα …………………………10分sin α=sin(βα+-β)=sin(βα+)cos β-cos(βα+)sin β=97×-()31-)924(-×322 =31…………………………14分 16．证明：⑴在APC ∆中，因为,E F 分别是,PA AC 的中点，所以EF ∥PC ………………………………3分又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PBC ； ………………………………6分⑵ 因为AB PB =，且点E 是PA 的中点，所以PA ⊥BE ； ………………………………9分又PA PC⊥，EF ∥PC ，所以PA EF ⊥， ………………………………12分因为BE ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，BE EF E ⋂=，PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面BEF . ………………………………14分17．解：(1) 由题知在△ACD 中，∠CAD ＝π3，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝2π3－α.由正弦定理知CDsin π3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝10sin α， …………………………2分即CD＝53sin α，AD＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin α， …………………………4分所以S ＝4aAD ＋8aBD ＋12aCD ＝ (12CD －4AD ＋80)a＝[603－40sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin α]a ＋80a ＝[2033－cos αsin α]a ＋60a 233ππα⎛⎫<<⎪⎝⎭………7分 (2) S ′＝20 3 1－3cos αsin 2α·a ，令S ′＝得cosα＝13…………………………9分当cos α>13时，S ′<0；当cos α<13时，S ′>0，所以当cosα＝13时，S取得最小值， …………………………12分此时sin α＝223，AD ＝53cos α＋5sin αsin α＝5＋564，所以中转点C距A处20＋564km 时，运输成本S最小． …………………………14分 18．解：（1）12c e a ==，且过点3(1,)2P ， 22222191,42,,a b a c a b c ⎧+=⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,3,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22143x y +=. …………………………4 分（2）设点12(4,),(4,)M y N y 则1122(5,),(3,),F M y F N y ==1212150F M F N y y ⋅=+=， ………6分1215y y ∴=-，又211111151515MN y y y y y y =-=-=－+≥2 MN ∴的最小值为215 …………………………10分（3）圆心C 的坐标为12(4,)2y y +，半径212y y r -=.圆C的方程为2221221()(4)()24y y y y x y +--+-=，…… ……………………12分整理得：2212128()160x y x y y y y y +--+++=.1215y y =-，22128()10x y x y y y ∴+--++=令0y =，得2810x x -+=，415x ∴=±. ∴圆C 过定点(415,0)±. ……………16分19．解：（1）由题意，.43,12,21,221211==-==-+a a a a n a a n n ………2分同理,1635,81143==a a …………………………………3分（2）因为,21n a a n n =-+所以,211211111121--=--++=--=++++++n n n n n n a n a n a a a b …………… 5分21,211)2(1111111==--=---=--=++++++n n n n n n n n n b b b a n n a a a a b ………… 7分又431121-=--=a a b ，所以数列{}n b 是以43-为首项，21为公比的等比数列. ……… 9分（3）由（2）得，.23)21(3211)211(43,)21(3)21(43111-⨯=--⨯-=⨯-=⨯-=++-n n n n n n T b 又,)21(32,)21(31111n n n n n n a n b n a ⨯+-=⨯+-=--=++所以所以.23323211)211(21322)1(2n n n n n n n n S -+-=--⨯⨯+-+= …………………… 13分由题意，记.,}{.1为常数只要为等差数列要使数列n n n nn n c c c n T S c -+=+λ .211)233(23]23)21(3[)23323(12nn n n n n T S c nn n n n n -⨯-+-=-⨯+-+-=+=+λλλ ,1211)233(2411--⨯-+-=--n n c n n λ 则).1211211()233(2111----⨯-+=---n n c c n n n n λ …………………… 15分故当.}{,21,21为等差数列即数列为常数时nT S c c nn n n λλ+=-=- …………………… 16分20．解: （1）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+2222(1)2(22)1.(1)(1)x ax x a x x x x x +-+-+==++………… 2分由题意知'(2)0f =，代入得94a =，经检验，符合题意。

南京市2017届高三期初模拟考试数学卷

南京市2017届高三期初模拟考试一、填空题：本大题共14个小题,每题5分,共70分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{0,1,2}A =，2{|0}B x x x =-≤，则AB = .z 满足()34z i i i +=-+〔i 为虚数单位〕，则z 的模为 . 3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如下图，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有辆.()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 .5.下列图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 .(1,4)a =-，(1,)b x =-，3c a b =+，假设//a c ，则实数x 的值是 .7. 某单位要在四名职工〔含甲乙两人〕中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则实数a 的值是 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，假设直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数a 的值是 .10. 已知圆柱M 的底面半径为2，高为2，圆锥N 的底面直径和母线长相等，假设圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 .11. 各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，假设2578a a -=-，313S =，则数列{}n a 的通项公式n a = .12. 已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 .ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB =，假设3DB DC •=，则AC 的长是 .(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1()()()2x f x g x +=，假设存在01[,1]2x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题〔本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕15. 〔本小题总分值14分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，假设点A 的横坐标是310，点B 的纵坐标是25.〔1〕求cos()αβ-的值；〔2〕求αβ+的值.16. 〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别为线段11,A B AC 的中点. 〔1〕求证：//MN 平面11BB C C ；〔2〕假设D 在边BC 上，1AD DC ⊥，求证：MN AD ⊥.17. 〔本小题总分值14分〕如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形〔以O 为圆心，AB 为直径〕绿化区域，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，使80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Sm ，设AOC xrad ∠=.〔1〕写出S 关于x 的函数关系式()S x ，并指出x 的取值范围；〔2〕试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 最大.18. 〔本小题总分值12分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点〔在x 轴上方〕，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=. 〔1〕假设点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF ∆的周长为8，求椭圆C 的方程；〔2〕假设2PF 垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率12[,22e ∈，求实数λ的取值范围.19. 〔本小题总分值12分〕已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a =，416S =. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m n b b b 成等差数列？假设存在，求出,m n 的值；假设不存在，请说明理由. 20. 〔本小题总分值16分〕已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.〔1〕当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；〔2〕当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；〔3〕当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x 〔12x x <〕，求证：123()()ln 24f x f x ->-.南京市2017届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，计70分.〕1．{0，1} 2．3．80 4．125．5 6．47．568．1 9.－1 10．6 11．3n－112．[－2，8]1314．二、解答题〔本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内〕15．〔本小题总分值14分〕从而sinα＝＝……………………2分因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B所以sinβ＝，从而cosβ＝－＝－5． …………………… 4分〔1〕cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×＝－． …………………… 8分〔2〕sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝10×(－5)＋10×5＝2． …………………… 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π)，所以α＋β＝34π． …………………… 14分16．〔本小题总分值14分〕证明：〔1〕如图，连结A 1C ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分〔2〕在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD． (8)分因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C． (10)分又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC． (12)分又由〔1〕知，MN∥BC，所以MN⊥AD． (14)分17．〔本小题总分值14分〕解：〔1〕因为扇形AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝22x OA•＝800x，0＜x＜π．……………………2分在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，所以△COD 的面积S△COD＝12·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sin x．……………………4分从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sin x＋800x，0＜x＜π． (6)分〔2〕由〔1〕知，S(x)＝1600sin x＋800x，0＜x＜π．S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)． …………………… 8分由 S ′(x )＝0，解得x ＝23π．从而当0＜x ＜23π时，S ′(x )＞0；当23π＜x ＜π时， S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，23π)上单调递增；在区间(23π，π)上单调递减． ……………………11分所以当x ＝23π，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为23π时，改建后的绿化区域面积S 最大． ……………………14分18．〔本小题总分值16分〕解：〔1〕因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a ＝8，解得a ＝2． …………………… 2分因为点P 的坐标为 (1，32)，所以221914a b+=，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………… 5分〔2〕方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以1PF ＝(－2c ，－2b a)，1FQ ＝(x 1＋c ，y 1)．由1PF ＝λ1FQ ，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－2b a＝λy 1，解得x 1＝－2λλ+c ，y 1＝－2b aλ，所以Q (－2λλ+c ，－2b aλ)． …………………… 11分因为点Q 在椭圆上，所以(2λλ+)2e 2＋222b aλ＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． (14)分因为e ∈[12，2]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以22c a ＋202y b ＝1，解得y 0＝2b a，即P (c ，2b a)． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝22b ac(x ＋c )．由22222()21b y x c ac x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，2b a)．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－22224b c c b +，即－c －x 1＝22224b cc b +． …………………… 11分因为1PF ＝λ1FQ ，所以λ＝12cc x --＝2224c b b +＝22223c a a c +-＝22311e e +-＝2431e --． …………………… 14分因为e ∈[12，2]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分19．〔本小题总分值16分〕解：〔1〕设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩〔舍去〕所以a n ＝2n －1． …………………… 4分〔2〕①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝11n n a a +，所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝11n n a a +＝1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+， …………………… 6分即 b 2－b 1＝11(1)23-， b 3－b 2＝111()235-，……b n －b n －1＝111()22321n n ---，〔n ≥2〕累加得：b n－b 1＝111(1)22121n n n --=--， …………………… 9分所以b n ＝b 1＋121n n --＝1＋121n n --＝3221n n --．b 1＝1也符合上式．故b n ＝3221n n --，n ∈N*． …………………… 11分②假设存在正整数m 、n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m ．又b 2＝43，b n ＝3221n n --＝32－142n -，b m ＝32－142m -，所以43＋(32－142n -)＝2(32－142m -)，即121m -＝16＋142n -，化简得：2m ＝721n n -+＝7－91n +． ……………………14分当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，〔舍去〕；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列． …………………… 16分20．〔本小题总分值16分〕解：〔1〕因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x －1＋1x．因为f (1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x－y－2＝0． …………………… 3分〔2〕因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，从而 f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x ＝22(21)1ax a x x-++＝(21)(1)ax x x --，x ＞0． ………… 5分当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a ，所以f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0〔当且仅当x ＝1时取等号〕，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．……………………10分〔3〕方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． …………………… 12分f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln 12x x ＝－(2212x x -)＋ln 12x x ．因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －2214x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)． ………………14分令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝122t t-－ln t ．因为φ′(t )＝22(1)2t t-≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． …………………… 16分方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． …………………… 12分所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－2b ＋ln 12)－(1－b )＝－34＋2b－ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋2b －ln2＞34－ln2． …………………… 16分南京市2017届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为点A 、D 、E 、B 在圆O 上，即四边形ADEB 是圆内接四边形，所以∠B＝∠EDC ． ……………………… 3分因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ． ……………………… 5分所以∠C ＝∠EDC ，从而ED ＝EC ． ……………………… 7分又因为EF ⊥DC 于点F ，所以F 为线段DC 中点． ……………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：〔1〕M ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0 0 －1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 2 1 3 ． (5)分〔2〕矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2 －1 λ－3 ＝(λ－2)(λ－3)－2令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M 的特征值为1或4． ……………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x＋3y －2m ＝0． ……………………… 6分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ……………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲解：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x或⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x或⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．……………………… 6分解⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈∅；解⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得 13≤x ≤1；解⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．得x ＞1．所以原不等式的解集为 [13，＋∞)． ……………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)．因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)．所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． (4)分〔2〕由〔1〕可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，即⎩⎨⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ……………………… 6分设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． ………………………… 8分因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为63，即 |cos<m ，n >|＝63，所以 |m ·n || m |·| n |＝63，|4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝63，化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12． ………………………… 10分23．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3． P (A 1)＝25；P (A 2)＝35×13×25＝225； P (A 3)＝(35)2×(13)2×25＝2125．所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125．答：甲获胜的概率为62125． ……………………… 4分〔2〕X 所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45； P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425； P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为……………………… 8分所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ……………………… 10分。

江苏省溧水高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

江苏省溧水高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增，则(2)f a +与(3)f 的大小关系是（） A ．(2)(3)f a f +> B ．(2)(3)f a f +< C. (2)(3)f a f += D ．不能确定 2．已知，则tan2α=（）A．B．C．D．3．下列判断正确的是（）A ．①不是棱柱B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱台4．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．5．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（） A ．1 B ．12 C. 34 D ．586．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.7．已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （） A ．1- B ． C ．1-或 D ．1-或2- 8．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（）A ．22n- B ．122n +- C ．21n - D ．121n +-9．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A ．y= B ．y=﹣x+ C ．y=﹣x|x| D ．y=10．若关于的不等式2043x ax x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（） A ． B ．12 C ．12- D ．2-11．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力． 12．从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（） A.110 B.15 C.310 D.25二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为．14．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 15．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.16．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________．【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.三、解答题（本大共6小题，共70分。

南京市溧水区2017年中考一模数学试题(含答案)

南京市溧水区2017年中考一模数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．计算－1＋2的值是（ ▲ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．32．不等式组⎩⎨⎧ 2 x ＞－1，x －1≤0的解集是（ ▲ ）A ．x ＞－12B ．x ＜－12C ．x ≤1D ．－12＜x ≤13. 计算32)(a 的结果是（ ▲ ）A. 23a B. 32a C. 5a D. 6a4．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天(以24小时计)转动通过的路程约是（ ▲ ）A ．0.264×10 7千米B ．2.64×10 6千米C ．26.4×10 5千米D ．264×10 4千米 5．如图所示的平面图形能折叠成的长方体可能是（ ▲ ）6．把函数y ＝2x 2的图象先沿x 轴向右平移3个单位长度，再沿y 轴向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的关系式是（ ▲ ）A ．y ＝2(x ＋3)2－2B ．y ＝2(x －3)2－2C ．y ＝2(x ＋3)2＋2D ．y ＝2(x －3)2＋2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题卡相应位置．．．．．．上） 7．计算：20 +112-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ ▲ .8．分解因式：269x x -+= ▲ .9．计算：82+= ▲ ．10．甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：则射击成绩最稳定的选手是 ▲（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）．（第5题）A ．B ．C ．D ．DCBA（第13题）11．如果反比例函数y ＝kx的图象经过点（1，3），那么它一定经过点（－1， ▲ ）．12．圆锥形烟囱帽的底面直径为80 cm ，母线长为50 cm ，该烟囱帽的侧面积等于 ▲ cm 2（结果保留π）．13．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ＝BC ．若∠C ＝n °，则∠ABC ＝ ▲ 度．（用含n 的代数式表示） 14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，内切圆O 与边AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，则∠DEF 的度数为 ▲ °．15．已知正比例函数y =2x 的图象过点),(11y x 、),(22y x ．若112=-x x ，则21y y -= ▲ ． 16．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P 是△AOB 外接圆⊙C 上的一点，且∠AOP ＝45°，则点P 的坐标为 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17． (7分)计算: (a 2a －b ＋b 2b －a )÷a ＋b ab ．18. (7分) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x － 13 y ＝53．19. (7分)某校学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，随机抽取其中32名学生两次考试考分等级制成统计图（如图），试回答下列问题：（1）这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 ▲ 下降到 ▲ ；（2）估计该校640名学生，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有多少名．（第14题）20. (8分) 如图，某同学在大楼AD 的观光电梯中的E 点测得大楼BC 楼底C 点的俯角为45°，此时该同学距地面高度AE 为20米，电梯再上升5米到达D 点，此时测得大楼BC 楼顶B 点的仰角为37º，求大楼的高度BC ．（参考数据：sin37 º≈0.60, cos37 º≈0.80, tan37 º≈0.75）21．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE ∥BC , DE ∥AB . 求证：（1）AE =DC ；（2）四边形ADCE 为矩形．22．（8分）小亮与小明做投骰子（质地均匀的正方体）的实验与游戏．（1）在实验中他们共做了50次试验，试验结果如下：（第20题）ABCDE（第21题图）① 填空：此次实验中，“1点朝上”的频率是 ▲ ；② 小亮说：“根据实验，出现1点朝上的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？（2）在游戏时两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜．则小亮与小明谁获胜的可能性大？试说明理由．23．（8分）建造一个池底为正方形、深度为2m 的长方体无盖水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米200元，总造价为6400元．求该水池池底的边长．24．（8分）甲、乙两车从A 地将一批物品匀速运往B 地，已知甲出发0.5h 后乙开始出发，如图，线段OP 、MN 分别表示甲、乙两车离A 地的距离S （km ）与时间t （h ）的关系，请结合图中的信息解决如下问题：（1）计算甲、乙两车的速度及a 的值；（2）乙车到达B 地后以原速立即返回．①在图中画出乙车在返回过程中离A 地的距离S （km ）与时间t （h ）的函数图象；（请标出必要的相关数据）②请问甲车在离B 地多远处与返程中的乙车相遇?25．（8分）如图，CD 为⊙O 的直径，弦（1）求证：AE 为⊙O 的切线；（2）延长AE 与CD 的延长线交于点P ，过D 作DE ⊥AP ，垂足为E ，已知P A ＝2，PD ＝1，求⊙O 的半径和DE 的长．C26．（9分）已知：二次函数y =ax 2 +bx 的图像经过点M （1，n ）、N （3，n ）．（1）求b 与a 之间的关系式；（2）若二次函数y =ax 2 +bx 的图像与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，△ABC 为直角三角形，求该二次函数的关系式．27．（10分）重温我们知道：同弧或等弧所对的圆周角相等．也就是，如图（1），⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB=∠ADB=∠AEB ．应用（1）已知：如图（2），矩形ABCD ． ①若AB <12BC ，在边AD 上求作点P ，使∠BPC ＝90°．（保留作图痕迹，写出作法．）②小明经研究发现，当AB 、BC 的大小关系发生变化时，①中点P 的个数也会发生变化，请你就点P(第27题图（1）)C(第27题图（2）)ADB的个数，探讨AB 与BC 之间的数量关系．（直接写出结论）创新（2）小明经进一步研究发现：命题“若四边形的一组对边相等和一组对角相等，则这个四边形是平行四边形．”是一个假命题，并在平行四边形的基础上利用“同弧或等弧所对的圆周角相等．”作出了一个反例图形．请你利用下面如图（3）所给的□ABCD 作出该反例图形．（不写作法，保留作图痕迹）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．3 8．（x-3）2 9．10．乙 11．-3 12．2000π 13．180-1.5n 14．75 15．2 16．(3，3) 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．(7分)解:原式＝(a 2a －b －b 2a －b)÷a ＋b ab ………2分ABCD(第27题图（3）)＝a 2－b 2a －b ÷a ＋b ab ……………4分＝()()a b a b a b+--×aba ＋b……6分＝ab ……………………………7分18. (7分) 对某一方程进行有效变形且正确 ………………………………………1分得用代入或加减消去一个未知数得一元一次方程正确………………3分解得一个未知数的值正确………………………………………………4分代入求得另一个未知数的值正确………………………………………6分正确写出方程组的解1,1.x y =⎧⎨=⎩ …………………………………………7分．19．(7分)（1）75﹪，25﹪…………………………………………………………………4分（2）据题意得：培训后32名学生中“合格”与“优秀”的学生共有24名 ………5分考分等级为“合格”与“优秀”的学生人数约占2432＝34…………………………6分所以，培训后全校考分等级为“合格”与“优秀”的学生人数约有： 640×34＝480名分 20. (8分)解：过点E 、D 分别作BC 的垂线，交BC 于点F 、G ．在Rt △EFC 中，因为FC ＝AE ＝20，∠FEC ＝45° 所以EF ＝20………………………………………3分在Rt △DBG 中，DG ＝EF ＝20，∠BDG ＝37°因为tan ∠BDG ＝BGDG ≈0.75 ………………………………5分所以BG ≈DG ×0.75＝20×0.75＝15………………………6分而GF ＝DE ＝5所以BC ＝BG ＋GF ＋FC ＝15＋5＋20＝40答：大楼BC 的高度是40米．………………………………8分 21.（8分）证明：（1）在△ABC 中，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ……………………………………………………2分 ∵AE ∥BC , DE ∥AB ，∴四边形ABDE 为平行四边形 ………………………………4分 ∴BD=AE ， …………………………………………………5分 ∵BD=DC∴AE = DC ．……………………………………………………6分（2） ∵AE ∥BC ，AE = DC ，∴四边形ADCE 为平行四边形．………………………………7分又∵AD ⊥BC ，C)∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE 为矩形．………………………………………8分22.(8分)（1）① 0.2 …………………………………………………………1分② 不正确 ……………………………………………………2分因为在一次实验中频率并不一定等于概率，只有当实验中试验次数很大时，频率才趋近于概率．………………………………………………………3分（2）列表如下：………5分所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同．所以P （点数之和超过6）＝2136 ，P （点数之和不超过6）＝1536 ………7分因为2136 ＞1536，所以小亮获胜的可能性大．………………………………8分23.（8分）设池底的边长为x m ． ……………………………………1分 200x 2+800x =6400 …………………………………………4分解得x 1=4，x 2=-8（舍） …………………………………7分答：池底的边长为4m ． ……………………………………8分24．（本题8分）解：（1）由题意可知M (0.5，0)，线段OP 、MN 都经过（1.5，60）甲车的速度60÷1.5＝40 km/小时，……………………………………………1分乙车的速度60÷（1.5－0.5）＝60 km/小时， ………………………………2分 a ＝40×4.5＝180 km ； …………………………………………………………3分（2）①乙车在返回过程中离A 地的距离S （km ）与时间t （h ）的函数图象（其它方法参照给分）25.（8分）连结OA∵AB ⊥CD ，∴∠AHD ＝90°．∴∠HAD +∠ODA =90°………………………1分 ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA …………2分又∵∠EAD =∠HAD∴∠EAD +∠OAD ＝90°， …………………3分 ∴OA ⊥AE ，又∵点A 在圆上，∵AE 为⊙O 的切线．………4分（2）设⊙O 的半径为x ,在Rt △AOP 中，OA 2＋AP 2＝OP 2x 2＋22＝(x ＋1)2 …………………5分解得x ＝1.5 ………………………6分 ∴⊙O 的半径为1.5∵OA ∥DE ，所以△PED ∽△P AO ， ∴DP PO ＝DE AO ，12.5 ＝DE1.5，…………………7分解得DE ＝35…………………………………8分26．（本题9分）解：（1）∵图像经过M (1，n )、N （3，n ）∴图像的对称轴为直线x =2. …………………………………2分 ∴22ba-=，所以b = -4a ．…………………………………4分（2）y =ax 2 -4ax 的图像与x 轴交于点A （0，0）、B （4，0）．………5分∵△ABC 为直角三角形，∴顶点C 坐标为(2，2)或（2，-2）．…………………………7分代入得4a -8a =2或4a -8a =-2．∴a =-12 或12 ．……………………………………………………8分∴y = - 12 x 2 +2x 或y =12x 2 -2x ．…………………………………9分27．（10分）（1）①作图正确………………………………………………………………2分．作法：以BC 为直径作⊙O ，交AD 于P 1、P 2P 1、P 2 为所求作的点P ．………………………………………………4分 ②AB ＜12BC 时，点P 有两个；………………………………………………5分 AB=12BC 时，点P 有且只有1个； ………………………………………6分 AB ＞12BC 时，点P 有0个； ………………………………………………7分（2）PCABO D EH……………………………………………10分连接AC，作△ADC的外接圆⊙O，再以C为圆心，CD的长为半径画弧，与⊙O相交于点E，则四边形ABCE即为所求反例图形．（画法不计分）。

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2017-2018学年江苏省南京市溧水中学高三（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知=3+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=．2．某学校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O型的学生中应抽取人．3．设集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，则“A∪B=R”是“a=1”的条件．（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）4．按如图所示的流程图运算，若输入x=8，则输出的k=．5．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个：（1）若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；（2）若l⊥α，l∥m，则m⊥α；（3）若l∥α，m⊂α，则l∥m；（4）若l∥α，m∥α，则l∥m则其中正确的是．（填序号）6．将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P（m，n）在直线y=x下方的概率为．7．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=．8．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是．9．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1与抛物线y2=﹣12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为．11．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，若AB=2，则实数m的值为．12．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．13．设函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，当0＜a＜2时，有f（x）在x∈[1，4]上的最小值为﹣，则f（x）在该区间上的最大值是．14．在平面内，定点A，B，C，D满足||=||=||，•=•=•=﹣2，动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计70分．15．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，函数f（x）=sin2x•（1+cos2C）﹣cos2x•sin2C+的图象过点（，）．（1）求sinC的值；（2）当a=2，2sinA=sinC时，求b、c边的长．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．17．如图，某隧道的截面图由矩形ABCD和抛物线型拱顶DEC组成（E为拱顶DEC的最高点），以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，已知拱顶DEC的方程为y=﹣x2+6（﹣4≤x≤4）．（1）求tan∠AEB的值；（2）现欲在拱顶上某点P处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P 对隧道底AB的张角∠APB最大，求此时点P到AB的距离．18．已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），点C在x轴上方．（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．19．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．20．设等比数列{a n}的前n项的和为S n，公比为q（q≠1）．（1）若S4，S12，S8成等差数列，求证：a10，a18，a14成等差数列；（2）若S m，S k，S t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{a n}中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；（3）若q为大于1的正整数．试问{a n}中是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．第Ⅱ卷（附加题共40分）[选修4-2：矩阵与变换]21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到直线x+y﹣b=0（a，b∈R），求a+b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C 交于A，B，求线段AB的长．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．24．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．2016-2017学年江苏省南京市溧水中学高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知=3+i（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=6．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵=3+i，∴a+bi=（2﹣i）（3+i）=7﹣i，∴a=7，b=﹣1．∴a+b=6．故答案为：6．2．某学校高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人，为了研究血型与色弱之间的关系，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则在血型为O型的学生中应抽取16人．【考点】分层抽样方法．【分析】由题意知从500名学生中抽取一个容量为40的样本，采用分层抽样，可以知道每个个体被抽到的概率，用O型血型的人数乘以概率得到这种血型所要抽取的人数，得到结果．【解答】解：根据题意知用分层抽样方法抽样．∵=，故O型血抽：200×=16人，故答案为：16．3．设集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，则“A∪B=R”是“a=1”的必要不充分条件．（从如下四个中选一个正确的填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件）【考点】集合关系中的参数取值问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】做出两个集合的并集是全体实数时，看出a与1之间的关系，得到a的取值范围，比较两个条件对应的范围，看出两个范围的大小，得到前者不能推出后者，后者能推出前者．【解答】解：∵集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，当A∪B=R时，a≤1，∵a≤1不一定得到a=1当a=1时一定可以得到a≤1∴“A∪B=R”是“a=1”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件4．按如图所示的流程图运算，若输入x=8，则输出的k=3．【考点】流程图的概念；选择结构．【分析】这是一道直到型循环结构题，直到满足条件跳出循环体，不满足条件就进入循环体．每次执行完循环体后，把每个变量的值都标清楚，这样就很容易得到结果．【解答】解：当输入x=8时，第一次循环结束后x=88，k=1，不满足x＞2010，继续进入循环体；第二次循环结束后x=888，k=2，不满足x＞2010，继续进入循环体；第三次循环结束后x=8888，k=3，满足x＞2010，跳出循环体；此时输出的k值为3故答案为：35．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个：（1）若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；（2）若l⊥α，l∥m，则m⊥α；（3）若l∥α，m⊂α，则l∥m；（4）若l∥α，m∥α，则l∥m则其中正确的是．（填序号）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析四个结论，由线面垂直的判定定理，我们可得①不满足定理，故①错误；③中若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行也可能垂直，故③错误；④中若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故④错误；分析后即可得到结论．【解答】解：∵l⊥α，m⊂a，∴l⊥m，故（1）正确；若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故（2）正确；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行也可能垂直，故（3）错误；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故（4）错误；故答案为：（1），（2）．6．将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P（m，n）在直线y=x下方的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据古典概型的概率公式分别求出基本事件以及满足y=x的事件的个数即可得到结论．【解答】解：一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则共有6×6=36种结果，满足点P（m，n）在直线y=x下方的有：（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（5，2），（6，2）共有6种，则由古典概型的概率公式可得y=x下方的概率为P==，故答案为：7．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=3．【考点】正弦函数的图象．【分析】由正弦函数图象及性质可知=，求得周期T，由ω==即可求得ω的值．【解答】解：由题意可知：x=，为函数f（x）=sinωx的最大值点，∴=，T=，由ω===3，故答案为：3．8．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是10．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，﹣1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（﹣1）2=10，故答案为：10．9．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为3+2．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，然后把所求的式子利用等比数列的通项公式化简后，将q的值代入即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数，∴q＞0，q=1+，∴==q2=3+2．故答案为：3+210．在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1与抛物线y2=﹣12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即双曲线中c=3，根据双曲线中a，b，c的关系求出a的值即可得到结论．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（﹣3，0），则c=3，即a2+1=c2=9，即a2=9﹣1=8，则a==2，即双曲线的渐近线为y=±x=x=±x，故答案为：11．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，若AB=2，则实数m的值为﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用弦长公式，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求出实数m的值．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣．故答案为：﹣．12．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．13．设函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，当0＜a＜2时，有f（x）在x∈[1，4]上的最小值为﹣，则f（x）在该区间上的最大值是．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2+2a+，当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上先增后减，由f（x）在x∈[1，4]上的最小值为，知f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}=min{2a﹣，8a﹣}=8a﹣=﹣，故a=1．由此能求出f（x）在该区间上的最大值．【解答】解：f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2+2a+，当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上先增后减∵f（x）在x∈[1，4]上的最小值为，∴f（x）在[1，4]上的最小值=min{f（1），f（4）}=min{2a﹣，8a﹣}=8a﹣=﹣，∴a=1∴f（x）在该区间上的最大值=f（2）=．故答案为：．14．在平面内，定点A，B，C，D满足||=||=||，•=•=•=﹣2，动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由||=||=||，•=•=•=﹣2，可设：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣）．由动点P，M满足||=1，=，可设：P（2+cosθ，sinθ）．M．再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵||=||=||，•=•=•=﹣2，∴可设：D（0，0），A（2，0），B（﹣1，），C（﹣1，﹣），动点P，M满足||=1，=，可设：P（2+cosθ，sinθ）．M．∴=．则||2=+=≤，当且仅当=1时取等号．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计70分．15．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，函数f（x）=sin2x•（1+cos2C）﹣cos2x•sin2C+的图象过点（，）．（1）求sinC的值；（2）当a=2，2sinA=sinC时，求b、c边的长．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理．【分析】（1）把点代入f（x）的解析式，解方程求得sinC 的值．（2）由，2sinA=sinC，可得c=4，根据sinC的值求得cosC的值，三角形ABC中，由余弦定理可得16=4+b2﹣4bcosC，解方程求出b值．【解答】解：（1）把点代入f（x）的解析式可得，∴sinC=±．再由∠C 是△ABC的一个内角可得sinC=．（2）由，2sinA=sinC，可得，c=2a=4．∵，∴cosC=±．三角形ABC 中，由余弦定理可得 16=4+b 2﹣4bcosC ①，当cosC= 时，代入 ①解得 b=2，或 b=﹣2（舍去）．当cosC=﹣时，代入 ①解得 b=，或 b=﹣2（舍去）．综上，c=4，b=2，或 b=．16．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AA 1=AB ，D 是AB 的中点（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）若点P 在线段BB 1上，且BP=BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD ．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC 1，设与CA 1 交于O 点，连接OD ，由O 为AC 1 的中点，D 是AB 的中点，可得OD ∥BC 1，即可证明BC 1∥平面A 1CD ．（2）由题意，取A 1B 1 的中点O ，连接OC 1，OD ，分别以OC 1，OA 1，OD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设OA 1=a ，OC 1=b ，由题意可得各点坐标，可求=（b ，﹣a ，2），=（0．﹣a ，2），=（0，﹣2a ，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP ⊥平面A 1CD ．【解答】证明：（1）如图，连接AC 1，设与CA 1 交于O 点，连接OD ， ∴直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，O 为AC 1 的中点， ∵D 是AB 的中点，∴△ABC 1中，OD ∥BC 1，又∵OD ⊂平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD ．（2）由题意，取A 1B 1 的中点O ，连接OC 1，OD ，分别以OC 1，OA 1，OD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设OA 1=a ，OC 1=b ，则：由题意可得各点坐标为：A 1（0，a ，0），C （b ，0，2a ），D （0，0，2），P （0，﹣a ，），A （0，a ，2），可得：=（b ，﹣a ，2），=（0．﹣a ，2），=（0，﹣2a ，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1 D=A1，所以：AP⊥平面A1CD．17．如图，某隧道的截面图由矩形ABCD和抛物线型拱顶DEC组成（E为拱顶DEC的最高点），以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，已知拱顶DEC的方程为y=﹣x2+6（﹣4≤x≤4）．（1）求tan∠AEB的值；（2）现欲在拱顶上某点P处安装一个交通信息采集装置，为了获得最佳采集效果，需要点P 对隧道底AB的张角∠APB最大，求此时点P到AB的距离．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）利用二倍角正切公式求tan∠AEB的值；（2）利用向量的数量积公式，求出cos∠APB，利用面积公式求出sin∠APB，可得tan∠APB，利用基本不等式可得结论．【解答】解：（1）由题意：E（0，6），B（4，0），∴，∴，…（2）设P（x0，y0），2≤y0≤6，∴，∴，∴…∵，∴∴…∵2≤y0≤6，∴当且仅当时tan∠APB最大，即∠APB最大．答：位置P对隧道底AB的张角最大时P到AB的距离为米．…18．已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），点C在x轴上方．（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的定义和AC，BC求得椭圆的长轴，进而根据c求得b，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）先用正弦定理可知=2R，进而求得R，设出圆心坐标，根据勾股定理求的s，则外接圆的方程可得．（Ⅲ）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标，进而根据PM=PQ，求得关于x的方程，进而列出方程组，消去m，得到关于n的一元二次方程，分别讨论当判别式大于0或小于等于0时的情况．【解答】解：（Ⅰ）因为AC=5，BC=3，所以椭圆的长轴长2a=AC+BC=8，又c=2，所以b=2，故所求椭圆的方程为（Ⅱ）因为=2R，所以2R=4，即R=2又圆心在AB的垂直平分线上，故可设圆心为（0，s）（s＞0），则由4+S2=8，所以△ABC的外接圆的方程为x2+（y﹣2）2=8（Ⅲ）假设存在这样的点M（m，n），设点P的坐标为（x，x+t），因为恒有PM=PQ，所以（x ﹣m）2+（x+t﹣n）2=x2+（x+t﹣2）2﹣8，即（2m+2n﹣4）x﹣（m2+n2﹣2nt+4t+4）=0，对x∈R，恒成立，从而，消去m，得n2﹣（t+2）n+（2t+4）=0因为方程判别式△=t2﹣4t﹣12，所以①当﹣2＜t＜6，时，因为方程无实数解，所以不存在这样的点M②当t≥6或t≤﹣2时，因为方程有实数解，且此时直线y=x+t与圆相离或相切，故此时这样的点M存在．19．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证，令h（x）=，则h′（x）=，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，∵t（1）=0，∴有t′（x）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，令φ（x）=，则φ′（x）=2a=，当x≥2时，φ′（x）＞0，令h（x）=，h′（x）=，函数在[1，2）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=﹣1．又2a≥1，e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，∴a≥．20．设等比数列{a n}的前n项的和为S n，公比为q（q≠1）．（1）若S4，S12，S8成等差数列，求证：a10，a18，a14成等差数列；（2）若S m，S k，S t（m，k，t为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{a n}中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由；（3）若q为大于1的正整数．试问{a n}中是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）根据S 4，S 12，S 8成等差数列，q ≠1，可得2S 12=S 4+S 8，化简可得2q 8=1+q 4，进而可以证明a 10，a 18，a 14成等差数列；（2）根据S m ，S k ，S t （m ，k ，t 为互不相等的正整数）成等差数列，可得2S k =S m +S t ，化简可得，从而可得a m +1，a k +1，a t +1成等差数列，即可得出结论；（3）假设存在一项a k ，使得a k 恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设a k =a n +a n +1，可得k ＞n ，q k ﹣n =1+q ，从而可得结论．【解答】解：（1）若S 4，S 12，S 8成等差数列，q ≠1，则2S 12=S 4+S 8，∴=+∴2q 8=1+q 4∴a 10+a 14====2a 18，∴a 10，a 18，a 14成等差数列；（2）若S m ，S k ，S t （m ，k ，t 为互不相等的正整数）成等差数列，则2S k =S m +S t ，∴=+∴2q k =q m +q t∴∴a m +1，a k +1，a t +1成等差数列， ∴a m +2，a k +2，a t +2成等差数列；（3）假设存在一项a k ，使得a k 恰好可以表示为该数列中连续两项的和，设a k =a n +a n +1，则∵a 1≠0，q ＞1 ∴q k ﹣1=q n ﹣1+q n ∴q k =q n +q n +1 ∵q n +1＞1∴q k ＞q n∴k ＞n ，q k ﹣n =1+q当q 为偶数时，q k ﹣n 为偶数，而1+q 为奇数，假设不成立；当q 为奇数时，q k ﹣n 为奇数，而1+q 为偶数，假设也不成立，综上，{a n }中不存在a k ，使得a k 恰好可以表示为该数列中连续两项的和．第Ⅱ卷（附加题共40分）[选修4-2：矩阵与变换]21．在平面直角坐标系xOy 中，直线x +y ﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到直线x +y ﹣b=0（a ，b ∈R ），求a +b 的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】根据矩阵的坐标变换，=，整理得，列方程求得a和b的值，求得a+b的值．【解答】解：设P（x，y）是直线x+﹣2=0上一点，由=，得：x+ay+（x+2y）﹣b=0，即，由条件得，解得：，∴a+b=4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B，求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由曲线C的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得曲线C的普通方程．由直线l的极坐标方程为，可得直线l的直角坐标方程．∴圆心到直线的距离为，利用弦长公式即可得出．【解答】解：由曲线C的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得曲线C的普通方程为，表示以为圆心，2为半径的圆．由直线l的极坐标方程为，可得直线l的直角坐标方程为，∴圆心到直线的距离为，∴线段AB的长为．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）根据三线合一得出AO⊥AD，利用面面垂直的性质即可得出AO⊥平面ABCD；（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBE和平面ABE的法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值为二面角的余弦值；（III）假设存在符合条件的点M（1，x，0），求出平面PAD的法向量，则|cos＜，＞|=，解方程得出x，根据x的范围判断．【解答】解：（Ⅰ）∵△PAD是等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）取BC的中点F，∵底面ABCD是正方形，∴OF⊥AD，∴PO，OF，AD两两垂直．以O为原点，以OA、OF、OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则O（0，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），E（﹣1，1，0），∴=（1，﹣1，），=（2，1，0），=（0，0，）．显然平面EBA的法向量为=（0，0，）．设平面PBE的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1，得=（1，﹣2，﹣）．∴=﹣3，||=2，||=，∴cos＜＞=﹣．∵二面角P﹣EB﹣A为锐角，∴二面角P﹣EB﹣A的余弦值为．（Ⅲ）设在线段AB上存在点M（1，x，0）（0＜x≤2）使线段PM与平面PAD所在平面成30°角，∵平面PAD的法向量为=（0，2，0），=（1，x，﹣），∴cos＜，＞==．∴sin30°==，解得，符合题意．∴在线段AB上存在点M，当线段时，PM与平面PAD所在平面成30°角．24．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率．（2）由题意，得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则．…（2）由题意，得X=0，1，2，3，，，，，…X0 1 2 32016年10月20日。

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