学业水平检测高一数学试题(A卷)
高中数学必修第一册第一章学业水平测试(A卷)
)．
A．{x∣x＞0}
B．{x∣0＜x≤1}
C．{x∣1≤x ＜3} D．{x∣0＜x＜1 或 x≥3}
第3题
4．命题“ x R，x2－2x＋2≤0”的否定是(
)．
A． x R，x2－2x＋2≥0
B． x R，x2－2x＋2＞0
C． x R，x2－2x＋2≤0
D． x R，x2－2x＋2＞0
5．设集合 A＝{x∣－1≤x＜3}，B＝{x∣0＜x≤2}，则“a A”是“a B”的( )．
1
______． 10．已知集合 A＝{x∣x＜4}，B＝{x∣x＜a}，若“x A”是“x B”的必要不充分条
件，则实数 a 的取值范围是______．
三、解答题(本题共 3 小题，第 11，12 小题每小题 13 分，第 14 小题 14 分，共 40 分．解 答应写出必要的文字说明或演算步骤)
UA，
2
参考答案
一、选择题 1．B． 2．A． 3．C． 4．D． 5．B． 6．C．
二、填空题 7． x R，x2≤0． 8．{1，4}． 9．{1，2，3，5}． 10．a＜4．
三、解答题
11．p：x＝－ 1 (a≠0)，q：x＝－2 或 x＝3．因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以当 a
条件．
13．
UA＝{x∣x＜－2
或
x＞3}．由题意可得
2a＜a＋3, 2a≥3,
或
2a＜a＋3,
a＋3≤－2.
解得
3 2
≤a＜3
或 a≤－5．所以实数 a 的取值集合为{a∣a≤－5 或 a≥ 3 }． 2
3
A．{1，4，7}
B．{1，4，5，7}
C．{1，2，3，4，7}
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题一、单选题1．cos14cos16cos76sin16︒︒-︒︒=（ ）A ．12B C ．12- D ．2．已知(1,2),5a a b =⋅=rr r ，若(2)b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π43．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+r ，(),q b a c a =--r.若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r5．函数1()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,2π)内的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知π1cos 63α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79- B ．79 C ．23-D ．237．在ABC V 中，若1cos21cos2cos cos C Bc B b C--=⋅⋅，则ABC V 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()0,2D ．[]0,2二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．O 为点A ，B ，C 所在直线外一点，且0.4OC xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则0.6x =B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==r r，且a r 与a b λ+r r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．已知向量(1,AB AC ==-u u u r u u u r ，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量的坐标为D ．若点G 为ABC V 中线的交点，则0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2,a AB AC =⋅=u u u r u u u r，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B．若b =ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b的取值范围是 D ．若D 为BC 边上的中点，则AD的最大值为2三、填空题12．已知πsin 2sin(π)2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为.14．ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是ABC V 所在平面内的动点，满足(0)||||λλ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r BC BA OP OB BC BA ．射线BP 与边AC 交于点D ．若sin sin sin sin a A c C b B a C +-=，2BD =，则角B 的值为 ，ABC V 面积的最小值为 ．四、解答题15．如图所示，在ABCD Y 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒. （1）求AC u u u v的模；（2）若13AE AB =u u u v u u u v ，12BF BC =u u u v u u u v ，求AF DE ⋅u u u v u u u v的值.16．已知向量2sin cos sin ,cos ,sin cos 222222x x x x x x m n ⎛⎫⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭r r ，且函数()f x m n =⋅r r ．(1)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2()3f x =，求sin x 的值；(2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移π4个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 单调增区间．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =. (1)求A ； (2)求2b ca+的最大值. 18．在直角梯形ABCD 中，已知AB DC P ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且B E B Cλ=u u u r u u ur ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r ，R λ∈．(1)当0AE BC ⋅=u u u r u u u r时，求λ的值； (2)当23λ=时，求DM MB 的值； (3)求12AF AE +u u u r u u u r 的取值范围．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n =u u u u r ，非零向量(),OM m n =u u u u r的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点．(1)若向量(OM =u u u u r的“伴随函数”为()f x ，求()f x 在[]0,πx ∈的值域；(2)若函数()()g x x α=+的“源向量”为OM u u u u r，且以O 为圆心，OM u u u u r 为半径的圆内切于正ABC V （顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 为定值；(3)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =u u u u r，且已知()38,5a h A ==，求AB AC AB AC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围．。
海南省2022-2023学年高一上学期期末学业水平诊断(一)数学试题(含答案)
考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的
【15 题答案】
【答案】
①. 1 ## 0.25 4
②. 2,0
【16 题答案】
【答案】 π 4
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【17 题答案】
【答案】（1）5；（2）12.
【18 题答案】
【答案】（1） cos 2 7 ， sin 2 4 2 ；
9
9
（2） 4 14 . 12
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20. 某地大力推广新能源汽车，购买传统汽车的人越来越少.已知今年该地传统汽车销量为 a a 0 万辆，
预计从明年开始，每年传统汽车的销量占上一年销量的比例均为 x 0 x 1 ，5 年后传统汽车年销量恰好
减少为 a 万辆. 2
（1）求 x 的值；
（2）已知今年该地新能源汽车销量为 a 万辆，从明年开始，每年新能源汽车销量比上一年增加 a 万辆，
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
1
17
（1）计算：
16 81
4
3 16
3
2 2log2 3 ；
（2）已知
a
log3
m，b
云南省高一上学期期末学业水平考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}2,3,4A ={}1,3,5B =A B = A ． B ．C ．D ．∅{}3{2,4}{1,2,3,4,5}【答案】B【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】∵集合，，∴. {}2,3,4A ={}1,3,5B ={}3A B ⋂=故选：B ．2．设，则“”是“”的（ ） x ∈R 1x >2x x >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式得的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件. 2x x >x 【详解】由，解得或，2x x >0x <1x >故由能够推出；由不能够推出， 1x >2x x >2x x >1x >故“”是“”的充分不必要条件， 1x >2x x >故选：A ．3．已知则（ ） ()()πcos ,2422,2x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()3f =A ．BCD ．【答案】C【分析】根据自变量应用分段函数,再由特殊角求解函数值即可. 【详解】 ()()π3212cos 24f f ====故选:C.4．设，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） a = 1.12b =2log 3c =A ． B ． b a c >>c b a >>C ． D ．b c a >>a b c >>【答案】A【分析】根据指数对数函数单调性计算，，，得到答案. 2a =2b >2c <【详解】，，，故.2a == 1.122b =>22log 3log 42c =<=b a c >>故选：A5．已知集合，集合，下列图象能建立从集合A 到集合B 的函数关{}04A x x =≤≤{}02B x x =≤≤系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】存在点使一个与两个对应，A 错误；当时，没有与之对应的，B 错误；x y 24x <≤y y 的范围超出了集合的范围，C 错误；选项D 满足函数关系的条件，正确，得到答案. B 【详解】对选项A ：存在点使一个与两个对应，不符合，排除； x y 对选项B ：当时，没有与之对应的，不符合，排除； 24x <≤y 对选项C ：的范围超出了集合的范围，不符合，排除； y B 对选项D ：满足函数关系的条件，正确. 故选：D6．在中，已知（ ）ABC A πsin 4A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 4A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B ． C ．D 【答案】A 【分析】由结合诱导公式求解即可. 2πππ=44A A ⎛⎫++- ⎪⎝⎭【详解】. ππππcos cos sin 4244A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.7．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单()y f x =e x y =y x =()243y f x x =-+调递增区间为（ ）A ．B ．C ．D ．(),1-∞(),2-∞()2,+∞()3,+∞【答案】D【分析】由题意，函数与互为反函数，求得，然后根据复合函数单调性的性质()y f x =e x y =()f x 得出答案.【详解】由题意，函数与互为反函数，则，()y f x =e x y =()ln f x x =所以，()()2243ln 43y f x x x x =-+=-+由，解得或，即函数的定义域为或， 2430x x -+>1x <3x >{|1x x <3}x >令，243u x x =-+当时，单调递减；当时，单调递增， 1x <u 3x >u 又在上单调递增，ln y u =(0,)+∞所以的单调递增区间为.()243y f x x =-+()3,+∞故选：D.8．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构､建筑物､国旗､绘画､优选法等美的共性与黄金分割相关，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约0.618，该值也可用三角函数2sin18m =︒（ ）=A ．2 B ．C ．D ．122-12-【答案】C【分析】根据同角三角函数关系和诱导公式,二倍角公式化简求值即可.sin2162sin182cos18==︒⨯︒︒. ()2sin216sin 12sin362sin362sin36380sin 636︒︒︒===︒+-︒︒=-︒故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若点在第三象限，则α是第二象限角()tan ,cos P ααB ．角θ的终边与圆心在原点､半径为r 的圆的交点为()cos ,sin r r θθC （其中r 为半径）2π3r D ．钟表时针走过2小时，则时针转过的角的弧度数为3π【答案】ABC【分析】由三角函数在各象限的符号可判断A ；由三角函数的定义可判断B ；由弧长公式可判断C ；由任意角的概念可判断D.【详解】若点在第三象限，则，则α是第二象限角，故A 正确； ()tan ,cos P ααtan 0,cos 0αα<<设角θ的终边与圆心在原点､半径为r 的圆的交点坐标为，由三角函数的定义可知，(),x y ，则，即交点坐标为，故B 正确； cos ,sin y xr rθθ==cos ,sin x r y r θθ==()cos ,sin r r θθ，则弧长为，故C 正确； 2π32π3r 钟表时针走过2小时，则时针转过的角的弧度数为，故D 错误.π3-故选：ABC.10．已知a ，，且，则下列不等式成立的是（ ） R b ∈0ab >A ．B ．C ．D ．2a b+≥222a b ab +≤2b aa b+≥22ab a ba b +≤+【答案】BC【分析】根据不等式的性质结合基本不等式判断各选项即可确定正误.【详解】对于A ，因为，故当时，不等式不成立，故A 不正确； 0ab >0,0a b <<2a b+≥对于B ，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B 正确；0ab >222a b ab +≤a b =对于C ，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故0ab >0,0a b b a >>2b a a b +≥=a b =C 正确；对于D ，因为，所以，当时满足，但，此时222a b ab +≥()24a b ab +≥0,0a b <<0ab >0a b +<，故D 不正确. 22a b aba b+≤+故选：BC.11．将函数的图象向左平移个单位长度，得函数的图())2sin sin 1f x xx x ωωω=+-π4ω()g x 象，若在区间内恰有两个最值（即最大值和最小值），则ω可能的取值为（ ）()g x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．1B ．C ．D ．7653136【答案】CD【分析】化简，然后根据图像变换得出，根据()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()π2sin 23x g x ω⎛⎫+ ⎪=⎝⎭得出，最后根据正弦函数性质得出，通过计算得π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ2,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭3ππ22π5π3ω<+≤出范围，判断即可. ω【详解】())2sin sin 12cos 2f xx x xx x ωωωωω-=+-=， 1π22cos 22sin 226x x x ωωω⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭向左平移个单位长度，得到函数， π4ω()πππ2sin 22sin 2463x x g x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝=⎭⎝⎭⎣⎦因为，所以，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ2,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭因为在内恰有两个最值，()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以，解得，故C 、D 满足. 3ππ22π5π3ω<+≤71366ω<≤故选：CD.12．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数有以下四个命题，其中()D x 真命题是（ ） A ．函数是奇函数 B ．， ()D x ,R ∃∈x y ()()()D xy D x D y =+C ．函数是偶函数 D ．，，()()D D x R x ∀∈Q a ∈()()D a x D a x +=-【答案】BCD【分析】选项A ：若是有理数，可得，可知不是奇函数；选项B ：当x ()()2D x D x +-=()D xC ：分两种情况讨论得，由偶函数的定义判x y ==R,(())1x D D x ∀∈=断；选项D ：分两种情况讨论，若是有理数，得；若是无理数，得x ()()1D a x D a x +=-=x .()()0D a x D a x +=-=【详解】若是有理数，则也是有理数，可得，则不是奇函数，故x x -()()112D x D x +-=+=()D x A 错误；当，，，此x y =()0D xy D D ===()0D x D ==()0D D y ==时，故B 正确；()()()D xy D x D y =+若是有理数，则；若是无理数，，则x ()1,(())(1)1D x D D x D ===x ()0,(())(0)1D x D D x D ===，又，则，因此，所以函数是R,(())1x D D x ∀∈=R x -∈(())1D D x -=(())(())D D x D D x -=()()D D x 偶函数，故C 正确；若是有理数，，则均是有理数，故；若是无理数，x Q a ∈,a x a x +-()()1D a x D a x +=-=x Q a ∈，则均是无理数，故，所以，，,a x a x +-()()0D a x D a x +=-=R x ∀∈Q a ∈()()D a x D a x +=-，故D 正确． 故选：BCD.三、填空题13．定义：角与都是任意角，若满足，则称α与β“广义互余”，已知，若αβπ2αβ+=1sin 2θ=-角与角 “广义互余”，则角___________.（写出满足条件的一个角的值即可） ϕθϕ=ϕ【答案】（答案不唯一） 2π3【分析】根据“广义互余”定义及特殊角三角函数值,求解即可. 【详解】因为,所以或， 1sin 2θ=-π2π6k θ=-+7π2π,Z 6k k θ=+∈根据“广义互余”定义, , π2θϕ+= 所以或， 2π2π3k ϕ=-()2π2πZ 3k k ϕ=--∈可取等,答案不唯一. 2π3ϕ=故答案为：. 2π314．已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________.()f x R 0x >()12f x x -=()4f -=【答案】##－0.512-【分析】根据奇函数的定义，结合已知函数解析式求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数， ()f x R 所以.()()1214442f f --=-=-=-故答案为：.12-15．小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次3410x x -+=二分后，可确定近似解所在的区间为___________. 0x 【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设，计算，，，，得到答案.()341f x x x =-+()10f <()30f >()20f >302f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】设，则，，()341f x x x =-+()114120f =-+=-<()333431160f =-⨯+=>，；，， 1322+=()288110f =-+=>12322+=32713610288f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭故近似解所在的区间为.0x 3,22⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：3,22⎛⎫⎪⎝⎭四、双空题 16．已知是定义在区间的函数，则函数的零点是___________；若方()1610f x x x=+-()0,∞+()f x 程有四个不相等的实数根，，，，则___________. ()()0f x m m =>1x 2x 3x 4x 1234x x x x +++=【答案】 2，8 20 【分析】解方程，即可求得函数的零点；将方程四16()100f x x x=+-=()y f x =()()0f x m m =>个不相等的实数根问题转化为利用二次方程根与系数的关系，可得结论； 【详解】由题意可知，令，即，解得或， 16()100f x x x=+-=210160x x -+=2x =8x =故函数在内的零点为和；()0,∞+28方程有四个不相等的实数根，， ()()0f x m m =>123,,x x x 4x 即为与的四个交点的横坐标， ()()0,,y f x x ∞=∈+y m =方程即，，即， ()()0f x m m =>|0|161x m x+-=()0,x ∈+∞2|1016|x x mx -+=当即时，方程可转化为即； ()0f x ≥210160x x -+≥21016x x mx -+=2(10)160x m x -++=当时，方程可转化为即； 210160x x -+<21016x x mx -+=-2(10)160x m x --+=故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根， 不妨设为的两根，则，14,x x 2(10)160x m x -++=1410x x m +=+则为的两根，则， 23,x x 2(10)160x m x --+=2310x x m +=-则； 1234101020x x x x m m +++=-++=故答案为: 2，8; 20.五、解答题17．从①，②，③，这三个条件中任选101x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭11222xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2log (1)1A x x =+<一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答．问题：已知集合___________，集合． {}221B x a x a =-≤≤+(1)当时，求，；12a =-A B ⋃()R A B ð(2)若，求实数a 的取值范围．A B B ⋃=【答案】(1)，.512A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭(){}R 01A B x x ⋂=<<ð(2) []0,1【分析】（1）若选①：先根据分式不等式的解法求解出集合，代入的值求解出集合，然后根A a B 据集合的运算求解；若选②：先根据指数函数的单调性求解出集合，代入的值求解出集合，A a B 然后根据集合的运算求解；若选③：先根据对数函数的单调性求解出集合，代入的值求解出集A a 合，然后根据集合的运算求解；B （2）根据得到，由此列出关于的不等式组，求解出的取值范围．A B B ⋃=A B ⊆a a 【详解】（1）若选①：因为， ()(){}{}10110111x A xx x x x x x ⎧⎫-=<=+-<=-<<⎨⎬+⎩⎭当时，，12a =-502B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭因为，所以，{}11A x x =-<<512A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭又因为或，所以.R {B x x =<ð52-0}x >(){}R 01A B x x ⋂=<<ð若选②：，{}11111121122222x x A x x x x -⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<<=<<=-<<⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭当时，，12a =-502B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭因为，所以，{}11A x x =-<<512A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭又因为或，所以.R {B x x =<ð52-0}x >(){}R 01A B x x ⋂=<<ð若选③：，{}{}{}{}222log (1)1log (1)log 201211A x x x x x x x x =+<=+<=<+<=-<<当时，，12a =-502B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭因为，所以，{}11A x x =-<<512A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭又因为或，所以.R {B x x =<ð52-0}x >(){}R 01A B x x ⋂=<<ð（2）由（1）可知，， {}11A x x =-<<因为，所以，故，A B B ⋃=A B ⊆B ≠∅所以，解得：，21211221a a a a -≤-⎧⎪+≥⎨⎪-≤+⎩01a ≤≤故实数的取值范围为．a []0,118．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：()11,A x y ()22,B x y ()1212,d A B xx y y =-+-()cos ,A B =()1cos ,A B -(1)若，，求A ，B 之间的曼哈顿距离和余弦距离；()1,2A -34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭(),d A B (2)已知，，，若，，()sin ,cos M αα()sin ,cos N ββ()sin ,cos Q ββ-()1cos ,5M N =()2cos ,5M Q =求的值tan tan αβ【答案】(1)，1451(2) 3-【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到，，计算得到答案.1sin sin cos cos 5αβαβ+=2sin sin cos cos 5αβαβ-=【详解】（1）， ()3414,12555d A B =--+-=，故余弦距离等于 ()34cos ,55A B ==()1cos ,1A B -=（2）()cos ,M N =；1sin sin cos cos 5αβαβ=+=()cos ,M Q =+2sin sin cos cos 5αβαβ=-=故，，则. 3sin sin 10αβ=1cos cos 10αβ=-sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==-19．给定函数，，.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()241g x x x =-++x ∈R (1)在同一直角坐标系中画出函数和的图象；()f x ()g x(2)，用表示，中的最大者，记为，试判断x ∀∈R ()M x ()f x ()g x ()()(){}max ,M x f x g x =()M x 在区间的单调性. (],a -∞【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据指数函数与一元二次函数的图像得出答案；（2）根据图像结合的定义得出其单调性，即可分类讨论的范围得出答案.()M x a 【详解】（1），图象如图所示，()f x ()g x（2）由（1）及的定义得，在单调递减，在单调递增，在单调递()M x ()M x (],0-∞[]0,2[)2,+∞减所以当时，在单调递减，0a ≤()M x (],a -∞当时，在单调递减，在单调递增，02a <≤()M x (],0-∞[]0,a 当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.2a >()M x (],0-∞[]0,2[]2,a 20．小美同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭表并填入了部分数据，如下表.x ωϕ+0 2π π 32π 2πx 3π56π ()sin A x ωϕ+0 3 -3 0(1)请将上表数据补充完整并求出函数的解析式；()f x (2)若，求函数的单调递增区间： ()16g x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()g x(3)若，求不等式成立的x 的取值集合. ()16g x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()52g x ≥【答案】(1)表格答案见解析， ()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)单调递增区间为， ,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z (3) 3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，【分析】（1）根据五点法列式求得解析式参数； （2）写出解析式，由整体法求单调区间；()g x （3）由整体法解不等式.【详解】（1）根据表中已知数据可得，由得，再由解得3A =12π5ππ263ω⨯=-2ω=ππ232ϕ⨯+=，所以. π6ϕ=-()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭表格数据补全如下：x ωϕ+0 2π π 32π 2πx 12π3π712π 56π 1312π ()sin A x ωϕ+0 3 0 -3 0（2）由题意， ()13sin 2166g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，，解得，，222262k x k πππππ-+≤+≤+k ∈Z 36k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间为，， ()g x ,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （3）由，即， ()53sin 2162g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥1sin 262x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所以，解得，， 5222666k x k πππππ+++≤≤3k x k πππ≤≤+k ∈Z 所以不等式成立的x 的取值集合为. 3x k x k k πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，21．2022年10月31日下午，长征五号B 运载火箭点火起飞，成功将中国空间站的第二个实验舱“梦天实验舱”送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．作为“空间站舱段运输专列”，长征五号B 运载火箭是我国目前近地轨道运载能力最大的火箭，具有强大的“爆发力”和“带货能力”．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：）可用公式进行计算，其中（单km/s 0ln M v v m=0v 位：）是喷流相对速度，m （单位；吨）是火箭（除推进剂外）的质量，M （单位；吨）是推km/s 进剂和火箭质量的总和，称为总质比．已知X 型火箭的喷流相对速度为2. M mkm/s (1)已知X 型火箭的质量约为115吨，推进剂的质量约为736吨，利用给出的参考数据求X 型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进，X 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的14，若要使火箭的最大速度至少增加1，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. km/s 参考数据：，，.ln 6.4 1.86≈ln 7.42≈0.51.64e 1.65<<【答案】(1)4km/s (2)27【分析】（1）将，，代入计算即可；02v =115m =115736851M =+=（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，X 型火箭的喷流相对速度为4，总质比为，km/s 4M m 要使火箭的最大速度至少增加1，则需，解不等式即可. km/s 4ln 2ln 14M M m m-≥【详解】（1）由题意，，，，02v =115m =115736851M =+=所以， 0851ln 2ln 2ln 7.44115M v v m ===≈所以X 型火箭的最大速度约为4.km/s （2）由题意，经过材料更新和技术改进后，X 型火箭的喷流相对速度为4，总质比为， km/s 4M m 要使火箭的最大速度至少增加1，则需， km/s 4ln 2ln 14M M m m -≥所以，整理得， 22ln ln 14M M m m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥2ln 116M m ≥所以，则， 0.5e 16M m ≥0.516e M m≥由参考数据知，，所以，0.51.64e 1.65<<0.526.2416e 26.4<<所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为27.22．设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是A ()y f x =0x A ∈()00f x x =0x 的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足()f x ()f x A ()21g x x =-，即的“不动点”是.设函数，.()00021g x x x =-=()g x 01x =()()12log 426x x f x a -=+⋅-[]1,2x ∈(1)若，求函数的不动点；2a =()f x (2)若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围.()f x []1,2a 【答案】(1)4log 6(2)()4,+∞【分析】（1）根据不动点的定义求解方程即可得函数的不动点；()f x （2）若函数在上不存在不动点，则转化为方程在上无解，整体换()f x []1,214262x x x a -+⋅-=[]1,2元再进行参变分离即可列不等式得实数的取值范围，再检验其是否满足对数函数的定义域即可.a 【详解】（1）根据题目给出的“不动点”的定义，可知：当时，，2a =()()12log 4226x x f x x -=+⋅-=得，所以，所以，4262x x x +-=46x =[]4log 61,2x =∈所以函数在上的不动点为.()f x []1,2x ∈4log 6（2）根据已知，得在区间上无解，()12log 426x x a x -+⋅-=[]1,2所以在上无解，14262x x x a -+⋅-=[]1,2令，，所以， 2x t =[]2,4t ∈262a t t t +-=即在区间上无解， 21602a t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭[]2,4所以在区间上无解， 612a t t-=-[]2,4设，所以在区间上单调递增， ()6g t t t=-()g t []2,4故 ()51,2g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以或，所以或， 5122a ->112a -<-3a <-4a >又因为在区间上恒成立，14260x x a -+⋅->[]1,2所以在区间上恒成立， 2226x x a -<-[]1,2所以，则12a-<-2a >综上，实数a 的取值范围是.()4,+∞。
2023-2024学年安徽省蚌埠市高一下学期7月期末学业水平监测数学试题(含解析)
2023-2024学年安徽省蚌埠市高一下学期7月期末学业水平监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.OA−OB +AC =( )A. OCB. BCC. CBD. CA2.sin (−7π6)=( )A. −32B. −12C. 12D.323.已知点P(m,−3)(m ≠0)在角α终边上，且cos α=24m ，则sin α=( )A. −64B. −104C.64D.1044.如图，△OAB 的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形O′A′B′，y′轴经过斜边A′B′的中点，则△OAB 中OA 边上的高为( )A. 22 B. 42 C. 2 D. 45.要得到函数f(x)=sin(x 2+π4)的图象，可将函数f(x)=sin x 的图象( )A. 先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍B. 先向左平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍C. 先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍D. 先向右平移π4个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍6.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A. 若m ⊂α，n ⊂β，m//n ，则α//β B. 若m ⊥α，m ⊥β，则α⊥βC. 若m ⊂α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若α⊥γ，β//γ，则α⊥β7.已知x ∈(π12,7π12)，sin (x−π12)=55，则sin (2x +π12)=( )A. −210B. 210C. 7 210D.7 3108.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B +cos C =2sin A sin B ，a =3b ，则C =( )A. π6B. π4C. π3D. π2二、多选题：本题共3小题，共15分。
临沂市高一数学(必修1_人教A版)学业水平测试
高一数学（必修1·人教A版）学业水平测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x||2x-1|>3},则集合A∩B=( )A. {x|2≤x≤3}B. {x|2≤x<3}C. {x|2<x≤3}D. {x|-1<x<3} 2．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图像的是（）3.若偶函数f(x)在(-∞,1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．f(2) <f(-32)<f(-1) B．f(-1) <f(-32)<f(2)C．f(2)<f(-1)< f(-32) D．f(-32)<f(-1)<f(2)4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260 f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解（精确到0.1）为（）A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.55. 下列命题中，正确的是（）A.当α=0时，函数y=αx的图像是一条直线；B.幂函数的图像都过点（0，0）和（1，1）；C.若幂函数y=x α为奇函数，则y=αx是定义域上的增函数；D.幂函数的图像不可能出现在第四象限.6. 某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品的月利润最高，应将该商品每件定价为( )A ．70元B ．65元C ．60元D ．55元 7.函数⎩⎨⎧≥<+-=)0()0(3)(x a x a x x f x(a>0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A. (0,1)B. [13 ,1 )C.(0, 13 ]D.(0, 23]8.已知奇函数f(x)对任意的正实数x 1,x 2(x 1≠x 2),恒有（x 1-x 2）(f(x 1)-f(x 2))>0,则一定正确的是（ ）A.f(4)>f(-6)B.f(-4)<f(-6)C.f(-4)>f(-6)D.f(4)<f(-6) 9.定义两种运算：a ⊕b=a 2-b 2 ,a ⊙b=(a-b)2,则f(x)=2⊕x 2-(x ⊙2) 是 （ ）A.奇函数B. 偶函数C. 既奇又偶函数D.非奇非偶函数 10.函数f(x)=-3x 2+bx+c 对任意的实数x 都有f(2+x)=f(2-x),则（ ）A.f(2)<f(0)<f(6)B. f(6)<f(0)<f(2)C. f(6)<f(2)<f(0)D. f(0)<f(2)<f(6) 11. 已知函数f(x)=|lgx|-(12)x有两个零点x 1,x 2,则有（ ）A.x 1x 2<0B. x 1x 2=1C.x 1x 2>1D. 0<x 1x 2<112.已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x +=；②对于任意的12,x x R ∈，且1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是 A ．(4.5)(7)(6.5)f f f << B ．(7)(4.5)(6.5)f f f << C ．(7)(6.5)(4.5)f f f << D ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<第Ⅱ卷(非选择题 90分)注意事项： 1.第Ⅱ卷用0.5mm 黑色签字笔直接答在试卷的答题卡上. 2.答卷前将密封线内项目填写清楚.二、填空题（每题4分，共16分.把答案填在答题纸的横线．．．．．．．．上）13．已知函数f(x)是R 上的奇函数，且x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),则函数 f(x)=14.已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ,那么f[f(14 )]= .15．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽 次.(参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771) 16． 给出下列四个命题：①函数||x y =与函数2)(x y =表示同一个函数； ②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； ③函数2)1(3-=x y 的图像可由23x y =的图像向右平移1个单位得到；④若函数)(x f 的定义域为]2,0[，则函数)2(x f 的定义域为]4,0[； ⑤设函数()x f 是在区间[]b a ,上图像连续的函数，且()()0<⋅b f a f ，则方程()0=x f 在区间[]b a ,上至少有一实根．其中正确命题的序号是三、解答题：（本题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17．（本题满分12分）设A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)若A ∪B ＝A ∩B ，求实数a 的值；(2)若A ∩B ≠∅，且A ∩C ＝∅，求实数a 的值； (3)若A ∩B ＝A ∩C ≠∅，求实数a 的值．18.（本题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．评卷人 得分评卷人 得分评卷人 得分19.(本题满分12分)已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-（1）当a=-1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数20. (本题满分12分)设21()12x xa f x ∙-=+是R 上的奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判定()f x 在R 上的单调性.21．(本题满分12分)设函数kx g x x x f =--=)(|,54|)(2（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像; （2）若函数)(x f 与)(x g 有3个交点，求k 的值； （3）试分析函数k x x x ---=|54|)(2ϕ的零点个数.22.(本题满分14分)某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )＝5x －x 22(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？评卷人得分评卷人 得分评卷人 得分评卷人 得分高一数学（必修1·人教A 版）学业水平测试题号 填空题计算题 总分13∽1617 18 19 20 2122分数二、（共16分，请将答案填在相应的横线上）13 14 15 16 三、（共76分，请将解答过程和结果写在相应的位置）评卷人得分17.（12分） 县区 学校 年级 班级 姓名 考号评卷人得分18.（12分）评卷人得分19.（12分）评卷人得分20.（12分）评卷人得分21.（12分）评卷人得分22.（14分）高一数学（必修1·人教A 版）学业水平测试参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CCACDABCABDA1.C 提示：据题意知A={x|2≤x ≤3},B={x|x>2或x<-1},结合数轴得：A ∩B={x|2<x ≤3}.2.C 提示：C 不符合函数的定义.3.A 提示：∵f(x)为偶函数，∴f(-2)=f(2),又因为f(x)在(-∞,1]上是增函数，所以f(2)=f(-2)<f(-32)<f(-1),故选A.4.C 提示：f(1.4375) f(1.40625)<0，且|1.4375-1.40625|<0.1.5. D 提示：当α=0时，函数y=αx 的图像是两条射线；y=αx (a<0)不过点（0，0）；y=x -1是奇函数，但在定义域上不是增函数.故选D.6.A 提示：设该商品每件单价提高x 元，销售该商品的月利润为y 元，则y ＝(10＋x)(500－10x)＝－10x 2＋400x ＋5 000＝－10(x －20)2＋9 000 ∴当x ＝20时，y max ＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元，故选A.7.B 提示：分段函数为减函数的条件为:⎩⎨⎧><<0310aa a ,解得13≤a<1. 8.C 提示：（x 1-x 2）(f(x 1)-f(x 2))>0恒成立可知，函数f(x)在（0，+∞）为增函数，又因为f(x)为奇函数，f(-4)=-f(4),f(-6)=-f(6),∵f(4)<f(6),∴f(-4)>f(-6). 9.A 提示：2⊕x=4-x 2,x ⊙2=(x-2)2,所以f(x)=4-x 22-(x-2)2错误！未定义书签。
山东省烟台市2023-2024学年高一下学期期中学业水平诊断数学试题(含答案)
烟台市2023-2024学年高一下学期期中学业水平诊断数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.下列说法正确的是（ ）A.若，则或 B.若，则C.若，则 D.若，则，夹角为锐角2.若复数满足，则（）A. B. C. D.3.在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（ ）A. B. C. D.4.在边长为2的正三角形中，点满足，则（ ）A.B. C. D.5.若，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）A. B. C. D.6.在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且，则的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形a b = a b = a b=- a c b c ⋅=⋅ a b = a b = a c b c⋅=⋅ 0a b ⋅> a b z ()i 23i z ⋅+=-z =33i --33i -+33i -33i+111ABC A B C -A B C '''△ABC △2O A O B ''''==O C ''=111ABC A B C -ABC M 2CM MA = $AC BM ⋅= 23-2343-431a = (b = a b 14b a b 6π4π3π23πABC △()cos 2cos a Bc b A c +-=ABC △7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（）8.在锐角三角形中，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省2020年1月普通高中学业水平考试数学试题及答案(A)
数学试题 A选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合{|13}M x x =≤<，{1,2}N =，则M N =A ．{1}B ．{1,2}C ．0D ．[1,2]1．答案：B2．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|12}x x -<< C ．1{|2x x >-或1}x ≤- D ．}{|21x x x ><-或2．答案：A 3．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-3．答案：B4．圆224210x y x y +--+=的圆心在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．答案：A5．双曲线方程为x 2−2y 2=1，则它的左焦点的坐标为A ．0)B ．0)C ．0)D ．0)5．答案：C6．已知向量,a b 满足||1=a ，||2=b ，||+=a b ⋅=a bA ．12B ．1C D ．26．答案：Agm7．若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则z =2x ＋y 的最大值是A ．2B ．3C ．4D ．57．答案：B8．若平面α和直线a ，b 满足a A α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是 A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．相交或异面8．答案：D9．过点(0,2)且与直线0x y -=垂直的直线方程为 A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．20x y ++= D ．20x y -+=9．答案：A10．函数32()log (||1)f x x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．答案：B11．设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．答案：B12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12πB ．64π3C ．32π3D ．16π12．答案：C13．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为 A ．6 B ．7C ．8D ．913．答案：C14．将函数π()cos(2)6f x x =-的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点π(,0)12对称 D ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称14．答案：B15．在三棱锥P ABC -中，,3,2PB BC PA AC PC ====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为A ．13B ．3C ．23D ．315．答案：D16．已知直线10x +=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若直线OM （O 为坐标原点）的倾斜角为150︒，则椭圆C 的离心率为A ．13B ．23C D 16．答案：D17．已知数列{}n a 满足11202122,1,1n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a =A ．17B ．37C ．57D ．6717．答案：D18．如图，在Rt ABC △中，6AB BC ==，动点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB上，四边形BDEF 为矩形，剪去矩形BDEF 后，将剩余部分绕AF 所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD =A ．2B ．3C ．4D ．3218．答案：B非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =________，1l 与2l 之间的距离为________. 19．答案：−1220．函数0()21(2)x f x x =--的定义域为________. 20．答案：[)()0,22,+∞21．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里． 21．答案：8422．已知函数22()23,()1f x x x ag x x =-+=-．若对任意1[03]x ∈，，总存在2[23]x ∈，，使得12|()|()f x g x ≤成立，则实数a 的值为________. 22．答案：13-三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若π3B =，且3(7( ))a b c a b c bc -++-=，（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）若5a =，求b . 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由3(7( ))a b c a b c bc -++-=，可得22222()327a b c a b c bc bc ----+=＝，即222117a b c bc =+-，即222117b c a bc +-=，（3分） 由余弦定理可得22211cos 214b c a A bc +-==.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函数的基本关系式，可得sin A ==7分）在ABC △中，由正弦定理可得sin sin b a B A =，所以5sin 275sin a B b A ===.（10分）24．（本小题满分10分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，满足124y y =-.（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点C 的坐标为(2,0)-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值.24．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）因为直线AB 过焦点(,0)2p F ，设直线AB 的方程为2p x my =+， 将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y mpy p --=，所以有2124y y p =-=-，0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程为24y x =.（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，则直线AB 的方程为1x my =+， 联立抛物线的方程得2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-， 则有1113m k y =+，2213m k y =+，（6分） 因此22222221212121211331111()()=26()9()m m m m k k y y y y y y +=+++++++ ()212122122212122269y y y y y y m m y y y y +-+=+⋅+⋅ ()222484926954162m mm m m +=+⋅+⋅=+-.（9分） 因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92.（10分） 25．（本小题满分11分）已知定义域为R 的函数2()21g x x x m -++=在[1,2]上有最大值1，设()()g x f x x=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若不等式33log 2log 0()x k f x -≥在[3,9]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若函数()|e 1|(|e 1|e 32)|1|x x x x f k k h -⋅--=-⋅+有三个不同的零点，求实数k 的取值范围（e 为自然对数的底数）． 25．（本小题满分11分）【解析】（Ⅰ）因为()()21g x x m =-+在[1,2]上是增函数， 所以()()()2max 2211g x g m ==-+=，解得0m =．（2分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得()12f x x x=+-， 所以不等式()33log 2log 0f x k x -≥在[3,9]x ∈上恒成立等价于()2331221log log k xx ≤-+在[3,9]x ∈上恒成立.（3分） 令31log t x =，因为[]3,9x ∈，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则有2221k t t ≤-+在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.（4分） 令()221s t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()min 10s t s ==，所以20k ≤，即0k ≤，所以实数k 的取值范围为(],0-∞．（6分） （Ⅲ）因为()()2e 1e 13221x x h x k k -+-+-⋅+=，令e 1xq =-，由题意可知[0,)q ∈+∞，令()()23221H q q k q k =-+++，[0,)q ∈+∞，（7分）则函数()()2e 1e 13221xx h x k k -+-+-⋅+=有三个不同的零点等价于()()23221H q q k q k =-+++在[0,)q ∈+∞上有两个不同的零点，（8分）当0q =时12k =-，此时方程()100,2H q q q =⇒==，此时关于x 的方程有三个零点，符合题意；当0q ≠时，记方程()0H q =的两根为1q ，2q ，且12q q <，101q <<，21q ≥，gm所以()()00100H H >⎧⎪≤⎨⎪∆>⎩，解得0k >.综上，实数k 的取值范围是(0,)+∞1{}2-．（11分）gm。
高中数学学业水平考试测试题(必修一)
1．已知集合 A = {1,2,4},B = {x}{x 2 ≤ x < 5},B ={x 3x - 7 ≥ 8 - 2x }则 (C A) ⋂ B 等于( ){x 2 ≤ x < 5}{x x < 2}{x x ≥ 5}6 ， 15. 函数 y = ( )2 x -x 2的值域为（）yyy）{ } { }AxBC D) 3 + (-3.7) 0 - 4log 2 3 = ()A. 1f ( x) = a x (0 <a 且a ≠ 1) 满足 f (2) = 81，则 f - ⎪ 的值为 ( 甲 时间 ooo3 4 6 时间乙 1 1 时间A ．±1B ．±3C ． 1{ } {}- 3高中数学学业水平考试测试题（必修一）一、选择题： x 是 8的约数 ,则 A 与 B 的关系是( )A. A = BB. A BC.A BD. A ∪B = φ2．集合 A = RA. φB.C.D. A. 3 3 B. 2 5 C. 4 5 D. -4 513. 三个数 0.7 6，0.7 log6 的大小关系为（ ） 0.7A. 0.7 6 < log 6 < 60.7B. 0.7 6 < 60.7 < log 0.70.763．已知 f ( x ) = x 3+ 2 x ,则 f (a) + f (-a) 的值是 ( )C ． log 0.76 < 60.7 < 0.7 6 D. log 0.76 < 0.7 6 < 6 0.7A. 0B. –1C. 1D. 24．下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是()11A. y = x 2B. y = x 4C. y = x -2D. y = x 35．函数 y = - x 2 + 2x + 3 的单调递减区间是( )A. (-∞,1)B. (1, +∞)C. [-1, 1]D. [1,3]6．使不等式 23x -1 - 2 > 0 成立的 x 的取值范围是()3211A. ( ,+∞)B.( ,+∞) C. ( ,+∞)D. (- , +∞) .23 337．下列图像表示的函数能用二分法求零点的是（ y14. 求函数 f ( x ) = 2 x 3 - 3x + 1 零点的个数为 （ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 41 31 1A. [3, +∞)B. (0,3]C. [ , +∞)D. (0, ]3 3二、填空题：(本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上)16．设集合 A = ( x , y) x + 3 y = 7 ,集合 B = ( x , y) x - y = -1 ,则 A ⋂ B =1ooxoxox17．在国内投寄平信,每封信不超过 20 克重付邮资 80 分,超过 20 克重而不超过 40 克重付邮资 160分,将每封信的应付邮资(分)表示为信重 x(0 < x ≤ 40) 克的函数,其表达式为： f(x)=18．函数 f(x)=x 2+2(a －1)x +2 在区间(-∞,4］上递减,则 a 的取值范围是8.计算 ( 8 -12719．若函数 y=f （x ）的定义域是[2，4]，则 y=f （ log x ）的定义域是1 22B. - 1 52 C. - 2 D. 其它20．一水池有 2 个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示，某天0 点到 6 点，该水池的蓄 水量如图丙所示9.方程 lg x + lg( x - 3) = 1 的解为（）A. -2 , 5B. -5 , 2C. 2D. 510．已知 f ( x ) 是奇函数,当 x > 0 时 f ( x ) = - x (1 + x) ,当 x < 0 时 f ( x ) 等于()进水量 出水量 蓄水量1 26 5A. - x(1 - x)B.x(1 - x) C. - x(1 + x)D.x(1 + x)⎛ 1 ⎫ 11. 函数 ⎝ 2 ⎭3D ．33 12. 已知 x + x -1 = 3 ，则 x 2+ x2 值为（）)丙给出以下 3 个论断（1）0 点到 3 点只进水不出水；（2）3 点到 4 点不进水只出水；（3）3 点到 6 点不进水不出水。
安徽省宿州市2010高一(上)期末学业水平检测(必修1+必修2)
安徽省宿州市2010—2011学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试题（A 卷）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}{}11|14M N x x x =-=-<<∈Z ，，，，则M N = A ．{}1-，0B . {}0C . {}1D . {}01，2.sin 480︒的值为A.12 B. C. 12- D. 3.如果a 、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是A.a b =B.1a b ⋅=C.-=D.a b =4.若(0,1)x ∈，则下列关系式正确的是A .2lg xx > B .2lg xx < C .122xx > D .12lg x x > 5.下列叙述正确的是A. 函数x y cos =在),0(π上是增加的B. 函数x y tan =在),0(π上是减少的C. 函数x y cos =在),0(π上是减少的D. 函数x y sin =在),0(π上是增加的6.已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥，则实数x 的值为A. 9-B. 9C. 1D. 1- 7.函数1()f x x x=-(0)x ≠的奇偶性是 A.偶函数 B.奇函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数 8.将函数sin 4y x =的图像向左平移12π个单位，得到函数sin(4)y x ϕ=+的图像，则ϕ的值为 A. 12π-B. 3π-C.3πD. 12π9. 若函数12)(2-+=ax x x f 在区间]23,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是A ．]23,(--∞B ．),23[+∞-C ．),23[+∞ D ．]23,(-∞ 10.函数()f x = A. ))(2,2(Z k k k ∈+-ππππ B. (,]()24k k k Z ππππ-+∈C. [,)()42k k k Z ππππ-+∈ D. [,)()42k k k Z ππππ++∈11. 函数)(x f y =的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式为A. 1)542sin(++=πx y B. 1)52sin(+-=πx yC. 1)542sin(2-+=πx y D. 1)52sin(2--=πx y12. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则A. P 在ABC ∆外部B. P 在AB 边上或其延长线上C. P 在ABC ∆内部D. P 在AC 边上安徽省宿州市2010—2011学年度第一学期期末学业水平检测高一数学答题卷（A 卷）命题、校对： 萧县中学 卓 杰 宿州二中 杜文伟一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共16分）13.已知扇形中心角为23弧度，半径为6cm ，则扇形的弧长为cm ．14.已知函数)(x f 是定义在R 上周期为6的奇函数，且1)1(=f ，则)5(f = ． 15.函数sin 2sin [0,2]y x x x π=+ ∈的图像与直线12y =的交点的个数为 个． 16.给出下列五个判断：①若非零向量a 、b 满足b a //，则向量a 、b 所在的直线互相平行或重合；②在ABC ∆中，0AB BC CA++=；③已知向量、为非零向量， 若a b a c ⋅=⋅，则b c =；④向量、=，则//；⑤已知向量、为非零向量，则有)()(⋅⋅=⋅⋅． 其中正确的是 ．（填入所有正确的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）已知函数()lg(2)f x x=-的定义域为A，函数12(),[0,9]g x x x=∈的值域为B.（1）求A B；（2）若{}21C x x m=|≥-且()A B C⊆，求实数m的取值范围.18. （本题满分12分）已知：)tan()2sin()cos()2cos()cos()sin()(απαπαπαπαπαα++--+-=f（1）化简)(αf；（2）若角α的终边在第二象限且53sin=α，求)(αf.19. （本题满分12分）已知：).1,2(),,4(),1,6(===CDkBCAB（1）若A C D、、三点共线，求k的值；（2）在（1）的条件下，求向量与CD的夹角的余弦值.20. （本题满分12分） 已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈. （1）求tan α的值； （2）求2αβ-的值.21. （本题满分13分）已知函数b x x x a x f ++=)cos sin (cos 2)(2. （1）当1=a 时，求)(x f 的周期及单调递增区间；（2）当0≠a ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，)(x f 的最大值为4，最小值为3，求b a ,的值.22. （本题满分13分）已知A 、B 、C 是ABC ∆的三内角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=⋅n m. （1）求角A ； （2）若3sin cos 2sin 122-=-+BB B，求C tan .安徽省宿州市2010—2011学年度第一学期期末学业水平检测高一数学试题（A 卷）参考答案一、选择题：二、填空题13.9 14. 1- 15. 4 16. ①②④ 三、解答题：17. （1）由题意知：(2,)A =+∞，[0,3]B =， ………4分∴{}3A B x x =|2< ≤ ； ………6分 （2）由题意：{}{}321x x x x m |2< ≤⊆|≥-，故212m -≤，………10分 解得32m ≤， 所以实数m 的取值集合为32m m ⎧⎫|≤⎨⎬⎩⎭. ………12分 18．（1）ααcos )(-=f ； ………6分（2）由题意：54sin 1cos 2-=--=αα,54cos )(=-=∴ααf . ………12分 19. （1）1)(10,+=+=k ，由题意A C D 、、三点共线A //C ,101(2)(1)0C D k ∴∴⨯+-+=，即4=k ； ………6分（2）,)1,2(= 故向量与的夹角的余弦为：1010352412==. ………12分 20. （1）tan()tan tan tan[()]1tan()tan αββααββαββ-+=-+==--1112713114-=+； ………5分 （2）tan()tan tan(2)tan[()]11tan()tan αβααβαβααβα-+-=-+==-- ………7分∵1tan 07β=-<，∴2πβπ<< 又∵1tan 03α=>， ∴02πα<< ，∴0παβ-<-<， 而1tan()02αβ-=>∴2ππαβ-<-<-∴2(,0)αβπ-∈-∴324παβ-=-. ………12分 21. (1) b x x b x x x x f +++=++=2sin 12cos cos sin 2cos 2)(2b x +++=1)42sin(2π………3分故周期为T π=； ………4分 ∵)(x f 递增，故有)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ，即：3[,]()88x k k k Z ππππ∈-+∈ ； ………6分 （2）b a x a b x x a b x x x a x f +++=+++=++=)42sin(2)2sin 12(cos )cos sin 2cos 2()(2π⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，]1,22[)42sin(]45,4[42-∈+∴∈+∴ππππx x ………9分 故当0>a 时，⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=++-=++312342b a b a a b a a ； ………11分当0<a 时，⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=++-=++421432b a b a a b a a . ………13分 22.（1）∵1=⋅n∴1)sin ,(cos )3,1(=⋅-A A ，即1cos sin 3=-A A ………3分1)6sin(2=-πA , 21)6sin(=-∴πA ∵π<<A 0,6566πππ<-<-∴A ，∴66ππ=-A ，即3π=A . ………6分（2）由题知：3sin cos 2sin 122-=-+BB B ，即：0cos 2cos sin sin 22=--B B B B , ∵0cos ≠B ，∴02tan tan 2=--B B ，∴2tan =B 或1tan -=B ； ………10分而1tan -=B 使0sin cos 22=-B B ，故1tan -=B 应舍去，∴2tan =B ，∴)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=π=tan tan 1tan tan A B A B +-==- ………13分。
山东省青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题(含答案)
青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题2024.07本试卷4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足，则的虚部为（ ）A. B. 1 C. D. i2. 在空间直角坐标系中，点关于y 轴对称点的坐标为（ ）A. B. C. D. 3. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（ ）A B. C. D. 4. 若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P 处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）.的21i1z =-+z 1-i -O xyz -()1,1,2A ()1,1,2-()1,1,2-()1,1,2--()1,1,2-,αβ,m n m n ⊥,,m n αβαβ⊥⊥∥,,m n αβαβ⊂⊥∥,,m n αβαβ⊥⊥∥,,m n αβαβ⊥⊂∥{},,a b c ,,b c b b c +- ,,a a b a b +-,,a b a b c +- ,,a b a b c c+++A. B. 3 C. D. 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，则它的侧面积为（ ）A6 B. C. 24 D. 447. 若△ABC 为斜三角形，，则的值为（ ）A. B. C. 0 D. 18. 已知平面，平面，，BD 与平面所成的角为30°，，，则点C 与点D 之间的距离为（ ）A B. C.D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 正方体中，点E ，F 分别为，的中点，则（ ）A. 与为异面直线B. 平面C. 过点A ，E ，F 的平面截正方体的截面为三角形D. 平面10. 已知向量在向量上的投影向量为，向量，则向量可以为（ ）A. B. C. D. 11. 已知四面体的所有棱长都等于6，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，点是棱的中点，则（ ）A. 该四面体的高为B. 该四面体的体积为..sin cos A B =tan tantan A B C +2-1-AB ⊂αAC ⊥αBD AB ⊥α1BD AC ==2AB =1111ABCD A B C D -1AD AB AC EF //EF 11BDD B EF ⊥1AB Ca b 32⎫⎪⎪⎭(b = a ()0,2()2,0()VABC P VBC AP VBC Q VBC. 点的运动轨迹长度为D. 过的平面截该四面体内最大球的截面面积为三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg ，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为______N ．（重力加速度g 取）13. 已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为______．14. 在四面体中，面与面所成的二面角为，顶点在面上的射影是，的重心是，若，，则______．四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 如图，圆台上下底面半径分别为1，2，，为其两条母线，且母线长为2．（1）证明：四边形为等腰梯形；（2）若在圆台内部挖去一个以O 为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积．16. 如图，在三棱柱中，，，，平面底面，分别是的中点，P 是与的交点．P ACQ 3π2210m s 111ABC A B C -20π1AB AC AA ==2π3BAC ∠=ABCD ABC BCD 30︒A BCD H ABC V G AD BC ⊥4AB AC BC ===GH =1OO 1AA 1BB 11AA B B 1OO 1O 111ABC A B C -12AB AA ==1AC =160BAC A AB ∠=∠=︒11A ABB ⊥ABC ,M N 11,AC A C 1BC 1B C（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且．（1）求B ；（2）若B 的角平分线交AC 于点D ，，点E 在线段AC 上，，求的面积．18. 如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W ，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P ，Q 分别在圆弧，上，直线平面.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面，求P 到平面的距离；（3）若平面与平面夹角的余弦值，求．19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面.得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB 是底面圆O 的直径，，椭圆面过点B 且垂直于平面ABC ，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB 同一侧．1//PB N 1BA M PAB 1A CM 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-BD =2EC EA =BDE △ABED 1AB AD ==2DE =AD DE ⊥BC DE ⊥BC ABED 180 GF HE GF HE //PF BHQ BHQ ⊥PGH GQ PGH BHQ BHQ BEQ 13HQ 2AB =()1,2,3,,i E i n = i F i F（1）当时，求的长度；（2）当时，若下图中，点，，，…，将半圆平均分成7等分，求；（3）证明：．1π3AOF ∠=11E F 6n =1F 2F 3F F 6()()()()()()112233445566111111E F E F E F E F E F E F ------¼¼11112221πn n n n AF E F F F E F F F E F -⋅+⋅++⋅<n青岛市西海岸2023-2024学年高一下学期期末学业水平检测数学试题答案一、【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】5【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）证明略（2【16题答案】【答案】（1）证明略（2）【17题答案】【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1）证明略（2（3）【19题答案】【答案】（1）； （2）； （3）证明略.152π3B =HQ =1123E F =164-。
高一数学上学期第一次质检试卷(a卷)(含解析)-人教版高一全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市龙河中学高一（上）第一次质检数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A．∅∈A B． C． D．⊈A2．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（∁U M）∩N=（）A． {2，3，4} B． {3} C． {2} D． {0，1，2，3，4}3．50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（）A． 35 B． 25 C． 28 D． 154．如图所示的韦恩图中A，B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合，则 A*B （）A．∁U（A∪B） B． A∪（∁U B） C．（∁U A）∪（∁U B） D．（A∪B）∩∁U（A∩B）5．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A． y=3﹣x B． y=x2+1 C． D． y=﹣|x|6．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A． B． 2 C． 4 D． 67．已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（x﹣1）的定义域是（）A． [0，5] B． [﹣1，4] C． [﹣3，2] D． [﹣2，3]8．若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣1，则当x＜0时，有（）A． f（x）＞0 B． f（x）＜0 C． f（x）f（﹣x）≤0 D． f（x）﹣f（﹣x）＞0 9．函数f（x）的定义域为R+，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，则f（2）=（） A． B． C． D．10．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．①②④ B．④②③ C．①②③ D．④①②11．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值X围是（）A． a≤2 B． a≥﹣2 C．﹣2≤a≤2 D． a≤﹣2或a≥212．已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f（1）的X围是（） A． f（1）≥25 B． f（1）=25 C． f（1）≤25 D． f（1）＞25二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y=+的定义域是．14．设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为．15．已知A有限集合，x∉A，B=A∪{x}，若A，B的子集个数分别为a，b，且b=ka，则k=．16．函数f（x）=2x2﹣3|x|的单调减区间是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣8≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）．18．设集合A={a，a2，b+1}，B={0，|a|，b}且A=B．（1）求a，b的值；（2）判断函数在[1，+∞）的单调性，并用定义加以证明．19．已知f（x）=x2013+ax3﹣﹣8，f（﹣2）=10，求f（2）．20．已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当a=时，判断并证明f（x）的单调性；（2）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值．21．定义在实数R上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣4x2+8x﹣3．（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．22．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（﹣1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域．2014-2015学年某某省某某市龙河中学高一（上）第一次质检数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A．∅∈A B． C． D．⊈A考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：先从已知的集合中看出集合中元素的本质属性，再结合元素与集合关系及集合与集合关系对选项进行判断即可．解答：解：∵集合A={x∈Q|x＞﹣1}，∴集合A中的元素是大于﹣1的有理数，对于A，符号：“∈”只用于元素与集合间的关系，故错；对于B、C、D，因不是有理数，故B对，C、D不对；故选B．点评：本小题主要考查元素与集合关系的判断、常用数集的表示等基础知识，考查符号的运算求解能力．属于基础题．2．已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（∁U M）∩N=（）A． {2，3，4} B． {3} C． {2} D． {0，1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用全集求出M的补集，然后求出与N的交集．解答：解：全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则C U M={3，4}，所以（C U M）∩N={3}．故选B．点评：本题考查交、并、补集的混合运算，常考题型，基础题．3．50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（）A． 35 B． 25 C． 28 D． 15考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：设两项测验成绩都及格的人数为x人，我们可以求出仅跳远及格的人数；仅铅球及格的人数；既2项测验成绩均不及格的人数；结合全班有50名同学参加跳远和铅球测验，构造方程，可得答案．解答：解：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x人；由跳远及格40人，可得仅跳远及格的人数为40﹣x人；由铅球及格31人，可得仅铅球及格的人数为31﹣x人；2项测验成绩均不及格的有4人∴40﹣x+31﹣x+x+4=50，∴x=25故选B点评：本题考查的知识点是集合中元素个数的最值，其中根据已知对参加测试的学生分为四类，是解答本题的关键．4．如图所示的韦恩图中A，B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合，则 A*B （）A．∁U（A∪B） B． A∪（∁U B） C．（∁U A）∪（∁U B） D．（A∪B）∩∁U（A∩B）考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：规律型．分析：先判断阴影部分表示元素的性质，再根据交集、并集与补集的意义判定即可．解答：解：∵图中阴影部分表示属于集合A或集合B，且不同时属于A又属于B的元素组成的集合，即表示属于集合（A∪B），且不属于集合（A∩B）的元素组成的集合，故选D．点评：本题考查Venn图表示集合的关系及运算．5．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A． y=3﹣x B． y=x2+1 C． D． y=﹣|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：根据增函数的定义对A、B、C、D四个选项进行一一判断；解答：解：A、y=3﹣x=﹣x+3，是减函数，故A错误；B、∵y=x2+1，y为偶函数，图象开口向上，关于y轴对称，当x＞0，y为增函数，故B正确；C、∵y=，当x＞0，为减函数，故C错误；D、当x＞0，y=﹣|x|=﹣x，为减函数，故D错误；故选B．点评：此题主要考查函数的单调性的判断与证明，此题考查的函数都比较简单，是一道基础题．6．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A． B． 2 C． 4 D． 6考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．解答：解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．又函数f（x）的定义域为（3﹣2a， a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．故选B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．7．已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（x﹣1）的定义域是（）A． [0，5] B． [﹣1，4] C． [﹣3，2] D． [﹣2，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：先由函数y=f（x+1）定义域求出函数f（x）的定义域，然后由x﹣1在f（x）的定义域内求函数y=f（x﹣1）的定义域．解答：解：因为y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，即x∈[﹣2，3]，所以x+1∈[﹣1，4]，所以函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，由﹣1≤x﹣1≤4，得：0≤x≤5，所以函数y=f（x﹣1）的定义域是[0，5]．故选A．点评：本题考查了函数定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g （x）]的定义域，让a≤g（x）≤b求解x的X围即可，此题是基础题．8．若函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x﹣1，则当x＜0时，有（）A． f（x）＞0 B． f（x）＜0 C． f（x）f（﹣x）≤0 D． f（x）﹣f（﹣x）＞0考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：借助于函数为奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣1，求解当x＜0时，函数解析式，然后，代入各个选项，从而得到正确答案．解答：解：∵函数为奇函数，令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=x+1，∴当x＜0时，f（x）=x+1，此时，f（x）=x+1的函数值符合不定，因此排除选项A、B，∵f（x）f（﹣x）=﹣（x+1）2≤0成立，∴选项C符合题意，故选：C．点评：本题重点考查函数为奇函数的性质，注意函数的性质的灵活运用，属于中档题．9．函数f（x）的定义域为R+，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，则f（2）=（） A． B． C． D．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题．分析：函数f（x）的定义域为R+，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，令x=y=4，x=y=2，即可求得f（2）的值．解答：解：∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，∴令x=y=4，则f（8）=2f（4）=3，∴f（4）=，令x=y=2，f（4）=2f（2）=，∴f（2）=．故选B．点评：考查抽象函数及其应用，求抽象函数的有关命题，常采用赋值法求解，属基础题．10．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．①②④ B．④②③ C．①②③ D．④①②考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：根据回家后，离家的距离又变为0，可判断（1）的图象开始后不久又回归为0；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快．解答：解：离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象④；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象①；最后加速向学校，其距离与时间的关系为二次函数，故应选图象②．故选D．点评：本题考查的知识点是函数的图象，我们分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对四个图象进行分析，即可得到答案．11．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值X围是（）A． a≤2 B． a≥﹣2 C．﹣2≤a≤2 D． a≤﹣2或a≥2考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：由已知中函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合f（x）上在（﹣∞，0]为单调增函数，易判断f（x）在]（0，+∞）上的单调性，根据单调性的定义即可求得．解答：解：由题意，f（x）在（0，+∞）上为单调减函数，从而有或，解得a≤﹣2或a≥2，故选D．点评：本题考查的知识点是函数单调性的应用，其中利用偶函数在对称区间上单调性相反，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性是解答本题的关键．12．已知函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则f（1）的X围是（） A． f（1）≥25 B． f（1）=25 C． f（1）≤25 D． f（1）＞25考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由二次函数图象的特征得出函数f（x）=4x2﹣mx+5在定义域上的单调区间，由函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，可以得出[﹣2，+∞）一定在对称轴的右侧，故可以得出参数m的取值X围，把f（1）表示成参数m的函数，求其值域即可．解答：解：由y=f（x）的对称轴是x=，可知f（x）在[，+∞）上递增，由题设只需≤﹣2⇒m≤﹣16，∴f（1）=9﹣m≥25．应选A．点评：本小题的考点是考查二次函数的图象与二次函数的单调性，由此得出m的取值X围再，再求以m为自变量的函数的值域．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2} ．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据使函数y=+的解析式有意义的原则，构造不等式组，解不等式组可得函数的定义域．解答：解：要使函数y=+的解析式有意义自变量x须满足：解得x≥﹣1，且x≠2故函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2}故答案为：{x|x≥﹣1，且x≠2}点评：本题考查的知识点是函数的定义或及其求法，其中根据使函数y=+的解析式有意义的原则，构造不等式组，是解答的关键．14．设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为 4 ．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数f（x）=，知f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，所以f[f（﹣1）]=f （2），由此能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=22+2﹣2=4，故答案为：4．点评：本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．15．已知A有限集合，x∉A，B=A∪{x}，若A，B的子集个数分别为a，b，且b=ka，则k= 2 ．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：设A中元素有m个，根据A有限集合，x∉A，B=A∪{x}，得到B中元素有（m+1）个，分别表示出子集的个数，即可确定出k的值．解答：解：设集合A中元素为m个，∵A有限集合，x∉A，B=A∪{x}，∴B中元素有（m+1）个，∴a=2m，b=2m+1，即b=2a，则k=2．故答案为：2点评：此题考查了并集及其运算，以及子集，弄清题意是解本题的关键．16．函数f（x）=2x2﹣3|x|的单调减区间是（﹣∞，﹣]和[0，] ．考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用．分析：首先根据题中的已知条件把自变量进行分类，得出分段函数的解析式，进一步画出函数的图象，然后得出单调区间．解答：解：函数f（x）=2x2﹣3|x|=图象如下图所示f（x）减区间为（﹣∞，﹣]和[0，]．故答案为：（﹣∞，﹣]和[0，]．点评：本题考查的知识点：分段函数的解析式，二次函数的图象以及单调区间的确定，三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣8≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（1）求解一次不等式化简集合B，然后直接进行并集运算；（2）首先进行交集运算，然后进行补集运算．解答：解：（1）由A={x|3≤x＜10}，B={x|2x﹣8≥0}={x|x≥4}．∴A∪B={x|3≤x＜10}∪{x|x≥4}={x|x≥3}．（2）A∩B={x|3≤x＜10}∩{x|x≥4}={x|4≤x＜10}．∴∁R（A∩B）={x|x＜4或x≥10}．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型．18．设集合A={a，a2，b+1}，B={0，|a|，b}且A=B．（1）求a，b的值；（2）判断函数在[1，+∞）的单调性，并用定义加以证明．考点：函数单调性的判断与证明；集合的相等．专题：计算题．分析：（1）求，b的值，由于两集合相等，观察发现其对应特征，建立方程求出a，b的值（2）将a，b的值代入，先判断单调性，再用定义法证明即可．解答：解：（1）两集合相等，观察发现a不能为O，故只有b+1=0，得b=﹣1，故b与a对应，所以a=﹣1，故a=﹣1，b=﹣1（2）由（1）得，在[1，+∞）是增函数任取x1，x2∈[1，+∞）令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣=（x1﹣x2）（1﹣）∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，又x1x2＞1，故1﹣＞0∴f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）＜0∴f（x1）＜f（x2）故，在[1，+∞）是增函数点评：本题考查集合相等的概念以及函数单调性的证明方法﹣﹣定义法，解答第二小问时要注意步骤，先判断再证明，注意格式．19．已知f（x）=x2013+ax3﹣﹣8，f（﹣2）=10，求f（2）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用g（x）=x2013+ax3﹣为奇函数即可得出．解答：解：已知g（x）=x2013+ax3﹣为奇函数，即对g（x）=x2013+ax3﹣有g（﹣x）=﹣g（x），也即g（﹣2）=﹣g（2），f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=﹣g（2）﹣8=10，得g（2）=﹣18，∴f（2）=g（2）﹣8=﹣26．点评：本题考查了奇函数的性质，属于基础题．20．已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当a=时，判断并证明f（x）的单调性；（2）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值．考点：函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=时，f（x）==x+2+=x++2．任取x1，x2是[1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，利用做差法，可判断函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（2）当a=﹣1时，f（x）=x﹣+2．由函数y1=x和y2=﹣在[1，+∞）上都是增函数，可得f（x）=x﹣+2在[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）取得最小值．解答：解：（1）当a=时，f（x）==x+2+=x++2．设x1，x2是[1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．因为1≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1•x2＞0，x1x2﹣＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（2）当a=﹣1时，f（x）=x﹣+2．因为函数y1=x和y2=﹣在[1，+∞）上都是增函数，所以f（x）=x﹣+2在[1，+∞）上是增函数．当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1﹣+2=2，即函数f（x）的最小值为2．点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数的最值及其几何意义，函数的单调性的证明，是函数单调性与最值的综合应用，难度中档．21．定义在实数R上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣4x2+8x﹣3．（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．考点：函数奇偶性的性质；二次函数的性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先根据函数的奇偶性以及x≥0的解析式求出x＜0的解析式，因为函数定义在R上，所以函数是分段函数，写出各段的解析式，用大括号连接即可．（Ⅱ）先根据（Ⅰ）中所求函数解析式，求出函数在每段上的最大值，其中最大的就是函数f（x）的最大值，再由函数两段上的图象都是开口向下的抛物线，结合对称轴就可求出函数的单调区间．解答：解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣4（﹣x）2﹣8x﹣3=﹣4x2﹣8x﹣3．又∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=﹣4x2﹣8x﹣3．∴f（x）=（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=﹣4x2+8x﹣3，图象为对称轴是x=1，开口向下的抛物线，当x=1时f（x）有最大值为1当x＜0时，f（x）=﹣4x2﹣8x﹣3，图象为对称轴是x=﹣1，开口向下的抛物线，当x=﹣1时f（x）有最大值为1∴f（x）的最大值是1．函数单调增区间为（﹣∞，﹣1]，和[0，1]，单调减区间为[﹣1，0]，和[1，+∞）点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，以及分段函数的最值，单调区间的求法．22．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（﹣1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域．考点：抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先利用特殊值法，求证f（0）=0，令y=﹣x即可求证；（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），利用定义法进行证明；（3）由函数为减函数，求出f（﹣2）和f（4）继而求出函数的值域，解答：解：（1）证明：∵f（x）的定义域为R，令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）=2f （0），∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即f（0）=f（x）+f（﹣x）=0．∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数．（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）．又∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2）．故f（x）是R上的减函数．（3）∵f（﹣1）=2，∴f（﹣2）=f（﹣1）+f（﹣1）=4．又f（x）为奇函数，∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣4，∴f（4）=f（2）+f（2）=﹣8．由（2）知f（x）是R上的减函数，所以当x=﹣2时，f（x）取得最大值，最大值为f（﹣2）=4；当x=4时，f（x）取得最小值，最小值为f（4）=﹣8．所以函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域为[﹣8，4]．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．。
一元二次函数、方程和不等式(学业水平质量检测)高一数学(新教材人教A版必修第一册)(解析版)
《第二章 一元二次函数、方程和不等式》学业水平质量检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间60分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x ) D ．随x 值变化而变化【答案】A【解析】因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )． 2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜n D ．m ＜－n ＜n ＜－m 【答案】D【解析】法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列四个命题中： ①若a >b ，c ≠0，则ac >bc ； ②若a >b ，则ac 2>bc 2； ③若ac 2>bc 2，则a >b ； ④若a >b >0，c >d ，则ac >bd . 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】若a >b ，c <0时，ac <bc ，①错；②中，若c ＝0，则有ac 2＝bc 2，②错；③正确；④中，只有c >d >0时，ac >bd ，④错，故选A.4．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 22＝4＋2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x y y x ≥4＋4x y ·yx＝8. 当且仅当x y ＝yx，即x ＝y ＝4时取等号．5．已知不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集为( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧><21-1x x x 或 C ．{x |－2＜x ＜1} D ．{x |x ＜－2或x ＞1}【答案】A【解析】由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由根与系数的关系得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，(－1)×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2＋x －1＜0. 解得－1＜x ＜12.6．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处 D ．2 km 处【答案】A【解析】设车站到仓库距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∵x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，∴k 1＝20，k 2＝45，∴费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ×45x ＝7，当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．8．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( )A ．T >0B ．T <0C ．T ＝0D ．T ≥0【答案】B【解析】法一：取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二：由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负， 不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc ＝ab －c 2abc .∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0.8．已知x >0，y >0.若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2【答案】D【解析】∵x >0，y >0，∴2y x ＋8xy ≥8⎝⎛⎭⎫当且仅当2y x ＝8x y 时取“＝”. 若2y x ＋8xy>m 2＋2m 恒成立，则m 2＋2m <8，解之得－4<m <2. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的)9．（2019-2020学年•济宁高一月考）若110a b<<，则下列不等式中正确的是( ) A ．a b ab +< B ．2b aa b+> C ．2ab b > D ．22a b <【答案】：ABD ． 【解析】：由110a b<<可得，0b a <<， 0a b ab ∴+<<，故A 正确；由0b a <<可得0a b b a ≠>，由基本不等式可知2b aa b+>，故B 正确； 因为0b a <<，所以2ab b <，故C 错误； 因为0b a <<，所以22b a >，故D 正确．10．（2019-2020学年•淄博高一期中）下列表达式的最小值为2的有( ) A ．当1ab =时，a b + B ．当1ab =时，b aa b +C ．223a a -+D【故选】：BC ．【解析】：对选项A ，当a ，b 均为负值时，0a b +<，故最小值不为2； 对选项B ，因为1ab =，所以a ，b 同号，所以0,0b a a b >>，所以22b a b a a b a b +=，当且仅b aa b=，即1a b ==±时取等号，故最小值为2；对选项C ，2223(1)2a a a -+=-+，当1a =时，取最小值2；对选项2212222a a +=+，=，即221a +=时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2．11．（2019-2020学年•清江浦区校级期末）若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中正确的说法是( )A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m >-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．当0m >时，1223x x <<<【答案】：ABD ．【解析】：A 中，0m =时，方程为(2)(3)0x x --=，解为：12x =，23x =，所以A 正确；B 中，方程整理可得：2560x x m -+-=，由不同两根的条件为：△254(6)0m =-->，可得14m >-，所以B 正确．当0m >时，如图可得1223x x <<<； 当104m -<<时，如图，1223x x <<<所以C 不正确，D 正确，12．（2019-2020学年•南通期末）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(1)0a x a x -+>的解集可能为( )A ．∅B ．(1,)a -C ．(,1)a -D ．(-∞，1)(a -，)+∞【答案】：ABCD ．【解析】：对于()(1)0a x a x -+>，当0a >时，()(1)y a x a x =-+开口向上，与x 轴的交点为a ，1-， 故不等式的解集为(x ∈-∞，1-，)(a ⋃，)+∞； 当0a <时，()(1)y a x a x =-+开口向下， 若1a =-，不等式解集为∅；若10a -<<，不等式的解集为(1,)a -， 若1a <-，不等式的解集为(,1)a -， 综上，ABCD 都成立，第Ⅱ卷 (非选择题，共40分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019-2020学年·江苏七市高一第三次调研)已知不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式bx 2－ax －1>0的解集为________． 【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121x x 【解析】方程x 2－ax －b ＝0的根为2,3.根据根与系数的关系得：a ＝5，b ＝－6.所以不等式为6x 2＋5x ＋1<0，解得解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121x x 14．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________． 【答案】20【解析】由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x min ＝20.15.a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．【答案】a ＜0＜b【解析】若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b .所以a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b .16．(2019-2020学年·浙江省诺丁汉大学附中高一上学期期中)已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2ax +a +2，其中a ∈R ． （1）当a ＝1时，f （﹣1）＝_________；（2）若f （x ）的值域是R ，则a 的取值范围为_________． 【答案】﹣2，（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解析】（1）a ＝1时，x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x +3， 而函数f （x ）是定义域上的奇函数， 故f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2；（2）∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （0）＝0，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2ax +a +2， 故对称轴是x ＝a ， 若f （x ）的值域是R ， 则⎩⎨⎧≥+-=∆>0)2(4402a a a 或⎩⎨⎧≤+≤020a a ，解得：a ≥2或a ≤﹣2，则a 的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）， 故答案为：﹣2，（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)（2019-2020学年•四川南充高一期末）已知a R ∈且1a ≠，试比较11a-与1a +的大小． 【解析】：21(1)11a a a a-+=--．可得 ①当0a =时，111a a=+-； ②当1a >时，201a a <-，∴111a a<+-；③当1a <且0a ≠时，201a a >-，∴111a a>+-．综上可知：当0a =时，111a a=+-； 当1a >时，111a a<+-； 当1a <且0a ≠时，111a a>+-． 18．(本小题满分12分(2019-2020学年·郑州高一模拟)若x ，y 为正实数，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值． 【答案】18【解析】由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ， ∴2y ＋8x ＝1.∵x 、y 为正实数， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 28＝10＋8y x ＋2xy ＝10＋2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x x y4≥10＋2×2×4y x ·xy＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时，取等号．又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6. ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取得最小值18.19．(本小题满分12分)（2019-2020学年•桥西区校级高一月考）已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b > （Ⅰ）求a 、b ；（Ⅱ）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc +++<．【解析】：（Ⅰ）由题意知0a >且1，b 是方程2320ax x -+=的根，1a ∴= 又21b a⨯=，2b ∴=； （Ⅱ）不等式可化为2(2)20x c x c +++>，即()(2)0x c x ++>； 当2c >时，不等式的解集为{|2}x c x -<<- 当2c =时，不等式的解集为∅当2c <时，不等式的解集为{|2}x x c -<<-20．(本小题满分12分)已知ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0. 【答案】见解析【解析】(1)因为ax 2＋2ax ＋1≥0，恒成立． ①当a ＝0时，1≥0恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0， 解得0<a ≤1.综上，a 的取值范围为0≤a ≤1.(2)由x 2－x －a 2＋a <0得，(x －a )[x －(1－a )]<0. 因为0≤a ≤1， 所以①当1－a >a ， 即0≤a <12时，a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x <0，不等式无解；③当1－a <a ，即12<a ≤1时，1－a <x <a .综上所述，当0≤a <12时，解集为{x |a ＜x ＜1－a }；当a ＝12时，解集为∅；当12<a ≤1时，解集为{x |1－a ＜x ＜a }． 21.(本小题满分12分)（2019-2020学年•贺州高一期末）解关于x 的不等式2(1)10(0)ax a x a -++>． 【解析】：当0a =时，不等式化为10x -+>， 1x ∴<；当0a >时，原不等式化为1(1)()0x x a-->，①当1a >时，不等式的解为1x a<或1x >； ②当1a =时，不等式的解为1x ≠； ③当01a <<时，不等式的解为1x <或1x a>； 综上所述，得原不等式的解集为：当0a =时，解集为{|1}x x <；当01a <<时，解集为{|1x <或1}x a>；当1a =时，解集为{|1}x x ≠；当1a >时，解集为1{|x x a<或1}x >． 22.(本小题满分12分)已知函数y ＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式x 2＋3x －a<x ；(2)设x >a 时，y ＝x 2＋3x －a 有最小值为6，求a 的值．【答案】见解析【解析】(1)∵y ＝x 2＋3y －a ，x 2＋3x －a <x ，整理得(ax ＋3)(x －a )<0. 当a >0时，⎪⎭⎫⎝⎛+a x 3(x －a )<0， ∴解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x a x 3； 当a <0时，⎪⎭⎫⎝⎛+a x 3(x －a )>0， 解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->a x a x x 或3. (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)， ∴y ＝t 2＋2at ＋a 2＋3t＝t ＋a 2＋3t ＋2a ≥2t ·a 2＋3t＋2a ＝2a 2＋3＋2a .当且仅当t ＝a 2＋3t ，即t ＝a 2＋3时，等号成立，即y有最小值2a2＋3＋2a. 依题意有2a2＋3＋2a＝6，解得a＝1.。
广东省2023年1月普通高中学业水平合格性考试数学试题及答案
机密★启用前试卷类型：A 2023年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学本试卷共4页，共22小题，满分150分。
考试用时90分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
─、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合M={0，1，2}，N={－1，0，1}，则M∪N=A．{0，1} B．{0，1，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}2．下列函数中，在定义域内上是增函数的是A．f(x)=－x B．f(x)=x2C．f(x)=3x D．f(x)=1x3．已知x>0，y>0，且xy=36，则x+y的最小值是A．10 B．12C．13 D．154．不等式(x－5)(x+2)>0的解集是A．{x|x<－2或x>5} B．{x|x<－5或x>2}C．{x|－2<x<5} D．{x|－5<x<2}5．已知向量a =(2，0)，b =(－1，2)，则a +b =A ．(1，2)B ．(3，－2)C ．(2，1)D ．(－3，2)6．下列是函数图像中，是对数函数的是A ．B ．C ．D ．7．已知角α的顶点与坐标点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过P(1，√3)，则tanα的值为A ．√32 B ．12 C ．√33D ．√38．某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是A ．至多中一次B ．两次都投中C ．只投中一次D ．两次都没投中9．要使函数f(x)=sin (x+16)是正弦函数，则正弦图像A ．向左平移16个单位 B ．向右平移16个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位10．α，β已是两个不同平面，A ：α//β，B ：α与β没有公共点，则A 是B 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数f(x)={lgx，x>02x，x⩽0,若a=f(110)，则f(a)的值为A．－2 B．－1C．110D．1212．若a2+b2=c2，则a、b和c三个数称之为勾股数，3，4，12，13任取两个，能和5组成勾股数的概率是A．16B．13C．14D．12二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
人教版a高中数学学业水平试题及答案
人教版a高中数学学业水平试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=2x^2-3x+1的图像关于：A. y轴对称B. x轴对称C. 原点对称D. 直线x=1对称2. 若集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B为：A. {1,2}B. {3}C. {4,5}D. 空集3. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-n+1，那么该数列的第5项为：A. 9B. 10C. 11D. 124. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ > 0B. cosθ < 0C. cosθ = 0D. 无法确定6. 函数f(x)=ln(x)的导数为：A. 1/xB. xC. -1/xD. ln(x)7. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，该圆的半径为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 抛物线y^2=4x的焦点坐标为：A. (1,0)B. (2,0)C. (0,1)D. (0,2)9. 已知等差数列{an}的前n项和为S_n，且S_5=50，S_10=100，则S_15为：A. 150B. 100C. 50D. 20010. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数是：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，那么b3=______。
2. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为______。
3. 已知直线l的方程为y=2x+1，点P(-1,2)到直线l的距离为______。
4. 圆心在原点，半径为5的圆的方程为______。
5. 函数y=1/x的图像在第一象限的切线斜率为______。
三、解答题（每题10分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数f(x)的单调区间。
2023-2024学年江苏省常州市高一上学期期末学业水平监测数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高一上册期末学业水平监测数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}2|650,3A x x x B x x =++<=<-，则() U A B ð为（）．A ．()3,1--B ．[)3,5-C ．[)3,1--D ．∅【正确答案】C【分析】根据一元二次不等式求集合A ，再根据集合间的运算求解.【详解】由题意可得：{}{}{}2|65051,|3U A x x x x x B x x =++<=-<<-=≥-ð，则()[) 3,1U A B =--I ð.故选：C.2．若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（）A ．125B ．125-C ．512D ．512-【正确答案】D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于12cos 13α=，且α为第四象限角，所以5sin 13α==-，sin 5tan cos 12ααα==-.故选：D3．下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【正确答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D4．已知扇形的圆心角为2rad ，面积为4，则扇形的周长为（）．A．B．C ．6D ．8【正确答案】D【分析】由弧度制下，扇形面积公式可得扇形半径，后可得扇形周长.【详解】设扇形半径为r ，因扇形面积为4，则212422r r ⨯⋅=⇒=.则扇形周长为228r r +=.故选：D5．设函数()123,0log ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()3f a >，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．()1,18⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭C ．11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据题意分类讨论，结合指、对数函数单调性解不等式即可.【详解】当0a ≤时，则()33af a -=>，即1a ->，解得1a <-；当0a >时，则()11221log 3log 8f a a =>=，解得108a <<；综上所述：实数a 的取值范围是()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：A.6．函数()1xf x x =-的图象大致形状是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断.【详解】函数()1x f x x =-的定义域为1x ≠±，(),0111,011xx x x x f x xx x x x ⎧>≠⎪⎪-==⎨-⎪<≠-⎪--⎩且且(2)20f =>，排除BC 选项，(2)20f -=-<，排除D 选项.故选：A7．某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（）．A ．36平方米B ．48平方米C ．64平方米D ．72平方米【正确答案】C【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()160060064000x y xy ++≤，利用基本不等式可得答案.【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()640001600600600x y xy xy ≥++≥+.0t =>，则26003200640000t t +-≤()()2003408008t t t ⇒+-≤⇒<≤，即64xy ≤，当且仅当8x y ==时取等号.故选：C8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式可以是（）．A ．()2cos3x g x =B ．()π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()5π2sin 612x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】先根据图象求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数图象变换求()g x .【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象可得：311ππ3π2,41264A T ==-=，可得2ππT ω==，解得2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+∵函数()f x 图象过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ππ2sin 2266f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，由ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得ππ5π,366ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故ππ32ϕ+=，解得π6ϕ=，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到1π2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位长度，得到()1ππ1π2sin 2sin 32633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.方法点睛：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定（1）A 由最值确定，max min2y y A -=；（2）ω由周期确定；（3）φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．二、多选题9．下列函数中，以3为最小值的函数有（）．A ．63cos y x =-B ．2427x x y +=-+C ．229sin 4sin y x x=+D ．e 94ex xy =+【正确答案】ABD【分析】对A ：根据余弦函数的有界性分析运算；对B ：换元结合二次函数分析运算；对C ：换元结合对勾函数分析运算；对D ：利用基本不等式分析运算.【详解】对A ：∵[]cos 1,1x ∈-，则[]63cos 3,9y x =-∈，故63cos y x =-的最小值为3，当且仅当cos 1x =时取到最小值，A 正确；对B ：令20x t =>，则()22242747233x x y t t t +=-+=-+=-+≥，故2427x x y +=-+的最小值为3，当且仅当2t =，即1x =时取到最小值，B 正确；对C ：令(]2sin 0,1t x =∈，且94y t t=+在(]0,1上单调递减，故113|4t y y =≥=，故229sin 4sin y x x =+的最小值为134，C 错误；对D ：e 934e x x y =+≥=，当且仅当e 94e x x =，即ln 6x =时等号成立，故e 94ex x y =+的最小值为3，D 正确.故选：ABD.10．下列不等式中，正确的有（）．A ．1113332.12 1.8<<B ．0.90.8.80.80.8 1.20<<C ．420.5log 9log 5log 0.1<<D ．π2π4πsinsin sin 777<<【正确答案】BCD【分析】对A ：根据幂函数单调性分析判断；对B ：根据幂函数和指数函数单调性分析判断；对C ：根据对数运算结合对数函数单调性分析判断；对D ：根据正弦函数的对称性和单调性分析判断.【详解】对A ：13y x =在()0,∞+上单调递增，则1113332.12 1.8>>，A 错误；对B ：0.8y x =在()0,∞+上单调递增，则0.8.80.8 1.20<，0.8x y =在R 上单调递减，则0.90.80.80.8<，故0.90.8.80.80.8 1.20<<，B 正确；对C ：2121420.5222log 9log 3log 3,log 0.1log 10log 10--====，2log y x =在()0,∞+上单调递增，则222log 3log 5log 10<<，故420.5log 9log 5log 0.1<<，C 正确；对D ：sin y x =关于直线π2x =对称，则4π4π3πsin sin πsin 777⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π2π3ππ,0,7772⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π3πsin sin sin 777<<，故π2π4πsinsin sin 777<<，D 正确.故选：BCD.11．关于函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的说法正确的有（）．A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z D ．关于x 的方程()1f x =的解集为π2π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【正确答案】AC【分析】根据题意结合正弦函数的性质与图象分析运算.【详解】由题意可得：()ππ2sin 22sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对A ：()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 正确；对B ：令()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z ，解得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，故()f x 的单调增区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，B 错误；对C ：令()ππ2π32x k k -=-∈Z ，解得()ππ212k x k =-∈Z ，故()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z ，C 正确；对D ：令()π2sin 213f x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则π1sin 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()ππ22π36x k k -=-∈Z 或()π7π22π36x k k -=+∈Z ，解得()ππ12x k k =+∈Z 或()3ππ4x k k =+∈Z ，可得关于x 的方程()1f x =的解集为ππ12x x k ⎧=+⎨⎩或3ππ,4x k k ⎫=+∈⎬⎭Z ，D 错误.故选：AC.12．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，若函数()()log a g x f x x =-（其中1a >）恰有3个不同的零点，则实数a 可能的取值有（）．A ．5B ．6C ．7D ．9【正确答案】BC【分析】根据题意分析函数()f x 的性质，将零点问题转化为()y f x =与log a y x =的交点问题，数形结合，列式运算即可.【详解】∵()()11f x f x +=-，则函数()f x 关于直线1x =对称，又∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，又∵()()()222f x f x f x +=---=--+，即()()220f x f x ++-+=，故函数()f x 关于点()2,0对称，令()()log 0a g x f x x =-=，则()log a f x x =，原题等价于()y f x =与log a y x =有3个交点，且()log 1a y x a =>的定义域为()0,∞+，如图所示，则可得log 51log 911a a a <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得59a <<，故B 、C 正确，A 、D 错误.故选：BC.方法点睛：利用数形结合求方程解应注意两点：（1）讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．（2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．三、填空题13．给定3个条件：①定义域为R ，值域为[]22-,；②最小正周期为2；③是奇函数．写出一个同时满足这3个条件的函数的解析式：__________．【正确答案】()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）【分析】根据题意写出函数解析式即可，并根据函数性质分析判断.【详解】对于函数()2sin πf x x =的定义域为R ，()[]2sin π2,2f x x =∈-，即()f x 的值域为[]22-,，符合①；函数()2sin πf x x =的最小正周期2π2πT ==，符合②；()()()2sin π2sin πf x x x f x -=-=-=-，即()f x 是奇函数，符合③；综上所述：()2sin πf x x =符合题意.故答案为.()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）14．已知函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，则实数a 的值为__________．【分析】根据偶函数的定义即可求解.【详解】因为函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，所以()2212121x x x xx x xa a a f x ---⋅-===+++，则有22x x a =，所以a =故答案为15．设函数()()2ln 1f x x x =++，使()()211f a f a +<-成立的充要条件是a I ∈（其中I 为某区间），则区间I =__________．【正确答案】()2,0-【分析】根据题意判断()f x 的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可.【详解】∵()()()()()22ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，故函数()f x 在定义域内为偶函数，当0x ≥时，则()()2ln 1f x x x =++在[)0,∞+上单调递增，故()f x 在(],0-∞上单调递减，若()()211f a f a +<-，等价于211a a +<-，等价于()()22211a a +<-，整理得220a a +<，解得20a -<<，则使()()211f a f a +<-成立的充要条件是()2,0a ∈-，即()2,0I =-.故答案为.()2,0-16．某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）【正确答案】9【分析】根据题意列不等式20.030.0013n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，运算求解即可.【详解】由题意可得：经过n 次过滤后该溶液的杂质含量为12130.03,33％nnn *⎛⎫⎛⎫-⨯=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，则20.030.10.0013％n⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22331lg 30lg 3lg10lg 31log log 308.392230lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3n ++≥=-=--=≈--，∵n *∈N ，则n 的最小值为9，故至少经过9次过滤才能达到市场要求.故9.方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．四、解答题17．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【正确答案】(1)4(2)7【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的运算求解.【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log22log 212log 2927ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.18．已知二次函数()21f x ax bx =++，且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22x xf m ≥⋅对[]1,1x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2,3a b ==-(2)(,3⎤-∞⎦【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；（2）换元12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，根据恒成立问题利用参变分离可得123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，再结合基本不等式运算求解.【详解】（1）由题意可得：方程210ax bx ++=的两根为1,12，且0a >则032112a b a a ⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，故2,3a b ==-.（2）由（1）可得()2231f x x x =-+，令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2231t t mt -+≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，故123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，∵123323t t +-≥=，当且仅当12t t =，即1,222t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时成立，∴3m ≤，即实数m的取值范围为(,3⎤-∞⎦.19．已知角θ是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点4,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求sin θ，cos θ，tan θ的值；(2)求()()πsin tan sin π2cos θθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⎝⎭-的值．【正确答案】(1)343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-(2)32-【分析】（1）利用三角函数的定义求出cos θ，再根据同角三角关系求sin θ，tan θ；（2）利用诱导公式化简函数的解析式，结合第一问即可得到结果．【详解】（1）由题意可得：4cos 5θ=-，且角θ是第二象限角，则3sin 3sin ,tan 5cos 4θθθθ====-，故343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-.（2）由（1）可得：3tan 4θ=-，则()()πsin tan sin πcos tan sin 2sin 322tan cos cos cos 2θθθθθθθθθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⋅+⎝⎭====--.20．某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，π2ϕ<）在某一个周期内的图象时，列表并已经正确地填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx5π1211π12()sin A x ωϕ+0505-0(1)请将上表数据补充完整，并求函数()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．【正确答案】(1)()π5sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表格见详解；(2)π12【分析】（1）利用三角函数的性质可得，进而可补充表格并求出函数的解析式；（2）利用三角函数的平移变换原则可得π()5sin(22)3g x x θ=+-，根据整体代入法可得π22πZ,3x k k θ+-=∈，解方程即可求解.【详解】（1）根据表中的数据，得5A =，11π5ππ,212122T =-=2ππ,2T Tω∴=∴==，又5πππ2,1223ϕϕ⨯+=∴=-，函数的解析式为()5sin(2).3f x x π=-分别令π20,23π,x π-=，依次解得6π2,63π7,x π=数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ65π122π311π127π6sin()A x ωϕ+0505-0所以函数的解析式为()5sin(23f x x π=-；（2）由（1）知π()5sin(2)3f x x =-得π()5sin(223g x x θ=+-，因为函数sin y x =图像的对称中心为Z ,0()k k π∈，令π22πZ,3x k k θ+-=∈，解得ππ,Z 26k x k θ=+-∈.因为函数()y g x =图像的一个对称中心为7π(,0)12，所以ππ7π,Z 2612k k θ+-=∈，解得π5π,Z 212k k θ=-∈.由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值为π12.21．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，定义域均为R ，且()()1233x xf xg x +-+=-．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)判断()g x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)解关于x 的不等式()28029g x x +<．【正确答案】(1)()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.(2)函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明见详解.(3)(11---+【分析】(1)根据函数的奇偶性，利用解方程组法即可求解；(2)利用指数函数的单调性判断函数为R 上的增函数，然后利用定义即可证明；(3)结合（2）的结论，利用函数的单调性列出不等式解之即可求解.【详解】（1）由()()1233x xf xg x +-+=-①可得：()()1233x x f x g x -+-+-=-，又因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()1233x xf xg x -+--=②，①+②可得：()33x xf x -=+，则()33x xg x -=-，所以()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.（2）函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明如下：设任意的12,R x x ∈，且12x x <，则2111221212121212331()()3333(33)(33)(1)33x x x x x x x x x x x x x x g x g x --++--=--+=--=-+，因为12x x <，所以12121330,103x xx x +-<+>，则12()()0g x g x -<，所以12()()<g x g x ，故函数()33x x g x -=-在R 上单调递增.（3）因为()33x x g x -=-，所以180(2)999g =-=，则不等式()28029g x x +<可化为()22(2)g x x g +<，由（2）可知：函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，所以222x x +<，解得：11x -<<-，所以不等式()28029g x x +<为(11---+.22．已知函数()()2log 1f x x =+，()g x 是定义在R 上的奇函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，且对任意x ∈R ，都有()()20g x g x ++=．(1)求使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合；(2)求证：()g x 为周期为4的周期函数，并直接写出．．．．()g x 在区间[]22-,上的解析式；(3)若不等式()()2sin sin 4e e y yg x x a --++<+对任意,x y ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z (2)证明见详解，()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩(3)211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；（2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数()g x 的性质求解析式；（3）先利用换元令[]sin 1,1t x =∈-，结合二次函数求得2172sin sin 44x x ≤-++≤，再根据()g x 的性质求()2sin sin 4g x x -++的最大值，再利用基本不等式求得e e 2y y -+≥，结合恒成立问题分类讨论分析求解.【详解】（1）由题意可得：()()()()()2222log ta ta n 13t n log 3tan log an 13tan 0x f x f x x x -+=+=<-，则2tan 03tan 03tan 1x x x >⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得0tan 3x <<，则()πππ6k x k k <<+∈Z ，故使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .（2）∵()()20g x g x ++=，即()()2g x g x +=-，则()()()()42g x g g g x x x =--=⎡⎤⎣-⎦+=+，∴()g x 为周期为4的周期函数，又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2g x g x g x +=-=-，即()()2g x g x =-，当(]1,2x ∈时，则[)20,1x -∈，故()()()()222log 21log 3g g x x x x -=-+=-+=；又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则有：当[)1,0x ∈-时，则(]0,1x -∈，故()()()2log 1g x g x x -=---+=；当[)2,1x ∈--时，则(]1,2x -∈，故()()()2log 3g x g x x -=--+=；综上所述：当[]2,2x ∈-时，则()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩.（3）对于2sin sin 4m x x =-++，令[]sin 1,1t x =∈-，则22117424m t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭的对称轴为12t =，故当12t =时，24m t t =-++取到最大值174，故当1t =-时，24m t t =-++取到最小值2，故2172sin sin 44x x ≤-++≤，由（2）可知：()g x 在[)2,1--上单调递减，在11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()221512,20,log 2log 5044g g g ⎛⎫-=--===-+> ⎪⎝⎭，故当12,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，又∵()g x 为周期为4的周期函数，则当172,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，∴()2sin sin 4g x x -++的最大值为22log 5-+，则()22log 5e e y ya --+<+对任意y ∈R 恒成立，又∵e e 2y y -+≥=，当且仅当e e y y -=，即0y =时等号成立，则有：当0a ≤时，则()22log 5e e y ya --+>+，不合题意，舍去；当0a >时，则22log 52a -+<，解得211log 52a >-+，综上所述：实数a 的取值范围为211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭.结论点睛：（1）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∀∈≥，则()()min max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∃∈≥，则()()min min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∀∈≥，则()()max max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∃∈≥，则()()max min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.。
2023-2024学年福建省厦门市高一上册学业水平测试数学试题(含解析)
2023-2024学年福建省厦门市高一上册学业水平测试数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}|1B x x =≤≤，则A B = （）A ．{}2,1,0,1--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}2,1,0,1,2--【正确答案】B【分析】根据集合,A B ，按照交集的定义直接运算即可.【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，{}|1B x x =≤≤，所以{}1,0,1A B =- .故选：B.2．已知命题2:0,0p x x ∀<>，则p 的否定是（）A ．20,0x x ∀<<B ．20,0x x ∀<≤C ．20,0x x ∃<<D ．20,0x x ∃<≤【正确答案】D【分析】根据含有量词的命题否定方法来求解.【详解】因为命题2:0,0p x x ∀<>，所以p 的否定是20,0x x ∃<≤.故选：D.3．已知lg 2,lg 3a b ==,则2log 12＝（）A ．a +bB ．2a -bC ．2a b a+D ．2a b a+【正确答案】C【分析】根据换底公式将2log 12写为lg12lg 2,再用对数运算法则展开,将lg 2,lg 3a b ==代入即可.【详解】解:因为lg 2,lg 3a b ==,而2lg12lg 4lg 32lg 2lg 32log 12lg 2lg 2lg 2a ba+++====.故选:C4．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πtan(π)cos 2αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＝（）A ．3215B ．1115C ．815-D ．2915-【正确答案】A【分析】通过三角函数定义得出角α的三角函数值，利用诱导公式化简表达式后求出数值.【详解】角α终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3cos 5α=-，4sin 5α=，4tan 3α=-.πtan(π)cos 2αα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭4432tan sin 3515αα=-+=+=.故选：A.5．已知函数2()21x f x a =-+为奇函数，则不等式3()5f x <的解集为（）A ．(2,)-+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞【正确答案】D【分析】根据()f x 是奇函数求出参数a 的值，求解不等式.【详解】函数()f x 定义域为R ，又()f x 为奇函数，所以(0)10f a =-=，故1a =，经检验符合题意；不等式3()5f x <，即231215x-<+，22215x >+，215x +<，24x <，所以2x <.故选：D.6．已知函数()e x f x x =+，()ln g x x x =+，3()h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b<<【正确答案】B【分析】结合函数单调性，根据零点的定义列方程，确定各函数零点的正负情况，即可比较,,a b c 的大小.【详解】显然：函数()e x f x x =+，()ln g x x x =+，3()h x x x =+在定义域内都是增函数，又()e 0e 00a a f a a a a =+=⇒=->⇒<，而()ln 0g b b b =+=中的0b >，令()32()100h c c c c c c =+=+=⇒=，a ∴，b ，c 的大小顺序为：a c b <<，故选：B ．7．若不等式2221x mx m -+-<<的解集为(),2n 则m n -=（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【正确答案】C【分析】由题可得22y x mx m =+-对称轴在(),2n 之间,最小值大于-2,且221x mx m +-=的两个根为,2n ,列出相应不等式,找到关于,n m 的范围,再根据韦达定理解出,m n 的值,计算m n -即可.【详解】解:因为不等式2221x mx m -+-<<的解集为(),2n ,而22y x mx m =+-开口向上,所以有22m n ≤-≤,且最小值大于-2,即2254m ->-,解得:285m <,且221x mx m +-=的两个根为,2n ,所以2+221n m n m =-⎧⎨=--⎩,解得:35m n =⎧⎨=-⎩,11m n =-⎧⎨=-⎩,当35m n =⎧⎨=-⎩时,不符合285m <,故舍,所以11m n =-⎧⎨=-⎩,所以0-=m n .故选:C8．已知函数()2223,0log 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，则方程()()f f x k ＝的实数解的个数至多是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】B【分析】根据复合方程问题，换元()t f x =，作函数图象分别看内外层分别讨论方程()()f f x k ＝根的个数情况，即可得答案.【详解】设()t f x =，则()()f f x k ＝化为()f t k ＝，又()2223,0log 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，所以()()10322f f f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，()1144f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，如图为函数()f x 的大致图象：由图可得，当3k >-时，()f t k ＝有两个根1212,2t t -，即()2t f x =<-或()12t f x =>，此时方程()()f f x k ＝最多有5个根；当43k -<≤-时，()f t k ＝有三个根1231121,10,42t t t -<<--<<<<，即()21f x -<<-或()10f x -<<或()1142f x <<，此时方程()()f f x k ＝最多有6个根；当4k =-时，()f t k ＝有两个根1211,4t t =-=，即()1f x =-或()14f x =，此时方程()()f f x k ＝有4个根；当4k <-时，()f t k ＝有一个根104t <<，即()104f x <<，此时方程()()f f x k ＝有2个根；综上，方程()()f f x k ＝的实数解的个数至多是6个.故选：B.二、多选题9．已知集合{}{}0,A x x B x x a =>=≥,若x A ∈是x B ∈的充分条件,则a 可以是（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【正确答案】AB【分析】根据充分条件的概念,得出集合之间的包含关系,即可得出a 的范围,选出选项.【详解】解:因为x A ∈是x B ∈的充分条件,所以A B ⊆,所以有0a ≤.故选:AB10．若0a >且0a b +<，则（）A ．1ab<-B ．22a b <C ．2b aa b+<-D ．33b a b+<【正确答案】BCD【分析】由0a >且0a b +<，得出0b <，结合作差比较法和基本不等式可得答案.【详解】对于A ，因为0a >且0a b +<，所以0b <，所以10a a bb b ++=>，即1a b>-，A 不正确；对于B ，由选项A 可知0a b ->，所以()()220a b a b a b -=-+<，即22a b <，B 正确；对于C ，由于,a b 异号，所以0,0a b b a <<，所以2b a a b ⎛⎫⎛⎫-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于等号只能在a b =时取到，所以2b a a b ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2b a a b +<-，C 正确；对于D ，因为b a b <+，所以33b a b +<，D 正确.故选：BCD.11．已知sin α=7cos 225β=，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（）A ．αβ<B ．2a b>C ．π6β>D ．π3αβ+<【正确答案】AC【分析】根据平方公式、二倍角公式、和差角公式，结合正弦函数与余弦函数的单调性，逐项判断即可.【详解】因为27cos 212sin 25ββ=-=，所以29sin 25β=，又π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5β=，所以1sin sin 2αβ<<，即πsin sin sin 6αβ<<，又函数sin y x =，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π6αβ<<，故A 正确，C 正确；因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7cos cos 225αβ>=，又函数cos y x =，在()0,π上单调递减，所以2a b <，故B 不正确；因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5β=，所以4cos 5β==，所以()43π1cos cos cos sin sin cos 5532αβαβαβ+=-==<=，又()0,παβ+∈，所以π3αβ+>，故D 不正确.故选：AC.12．已知定义在R 上的函数()f x 不恒等于零，()0f π=，且对任意的,x y ∈R ，有(2)(2)()()f x f y f x y f x y +=+-，则（）A ．(0)2f =B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于点(π,0)中心对称D ．2π是()f x 的一个周期【正确答案】ABC【分析】分别给,x y 取适当值代入条件，通过代数表达式判断函数性质.【详解】对于A ，令y x =得(2)(2)(2)(0)f x f x f x f +=，又函数()f x 不恒等于零，所以(0)2f =，选项A 正确；对于B ，令y x =-得(2)(2)(0)(2)2(2)f x f x f f x f x +-==，所以(2)(2)f x f x -=，故函数()f x 是偶函数，选项B 正确；对于C,D ，令π2t x +=，π2t y -=得(π)(π)()(π)0f t f t f t f ++-==，即(π)(π)f t f t +=--，()()()4π2πf t f t f t +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，且周期为4π，选项D 错误；又()f x 是偶函数，即(π)(π)f t f t -=-，所以(π)(π)(π)(π)0f t f t f t f t ++-=++-=，即(π)(π)f t f t +=--，所以()f x 的图象关于点(π,0)对称，选项C 正确.故选：ABC.三、填空题13．已知()123f x x +=-，则()4f =______________.【正确答案】3【分析】根据函数解析式凑项法得()f x 的解析式，从而可求()4f 的值.【详解】因为()()123215f x x x +=-=+-，所以()25f x x =-，则()42453f =⨯-=.故答案为.314．已知扇形的圆心角为π4,弧长为2π3,则该扇形的面积为__________.【正确答案】8π9##8π9【分析】根据圆心角和弧长求得半径,根据弧长和半径利用扇形面积公式即可求得结果.【详解】解:记扇形的半径为r ,因为圆心角π4α=,弧长2π3l =,所以l r α=,即2ππ34r =,解得83r =,所以扇形的面积112π88π22339S lr ==⨯⨯=.故答案为:8π915．若关于x 的方程141k x xx x+=+有解，则k 的取值范围为_____________.【正确答案】[)9,+∞【分析】根据方程，讨论0x >，0x <时，可将方程141kx xx x+=+化为22145k x x=++有解，结合基本不等式及函数特点，即可求得k 的取值范围.【详解】方程141kx xx x +=+转化为114k x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，当0x >时，方程为22111445k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当0x <，22111445k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即方程22145k x x =++有解，又20x >，2214559x x ++≥+=，当且仅当2214x x=，即212x =时，取到最小值9，所以函数[)221459,y x x ∞=++∈+，所以k 的取值范围为[)9,+∞.故答案为.[)9,+∞16．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin πy A t ω=.某技术人员获取了某种声波，其数学模型记为()y H t =，部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足()()9sin 2πsin π0810H t t t ωω=+<<，其中50.8663H ⎛⎫≈- ⎪⎝⎭，则ω＝_________.(参考数据：1.732≈)【正确答案】3【分析】将53t =代入()H t ，结合题干数据可得05πsin 3ω⎛⎫⎪⎭=⎝，又()10H =，可得3ω=或6ω=，又1不是()H x 的周期，从而可求出满足题意的ω的值.【详解】由()()9sin 2πsin π0810H t t t ωω=+<<，且50.8663H ⎛⎫≈- ⎪⎝⎭，得5595sin 2πsin π33103H ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.86610π95π395πsinsin 31032103ωω⎛⎫⎛⎫=+=-≈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3 1.732≈3 1.7320.86622≈=，所以05πsin 3ω⎛⎫ ⎪⎭=⎝.由图可知()991sin 2πsin πsin π01010H ωω=+==，故ππ,k k ω=∈Z ，即,k k ω=∈Z .因为08ω<<，且05πsin 3ω⎛⎫⎪⎭=⎝，所以3ω=或6ω=.由图可知，1不是()H x 的周期，当6ω=时，()9sin 2πsin 6π10H t t t =+，此时()()()()991sin 2π1sin 6π1sin 2πsin 6π1010H t t t t t H t +=+++=+=，周期为1，不符合题意.当3ω=时，()9sin 2πsin 3π10H t t t =+，易知()()1H t H t +≠，满足题意.综上，3ω=.故答案为:3.四、解答题17．已知函数()122xxf x =-.(1)若()32f x =，求x 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性并证明.【正确答案】(1)1x =；(2)()f x 为奇函数，证明见解析.【分析】（1）由()32f x =可得13222xx -=，解指数方程即可求解；（2）求出()f x -，结合奇函数的定义即可判断.【详解】（1）由()32f x =，可得13222x x -=,即()2223220x x -⋅-=，解得122=-x（舍）或22x =，解得1x =.（2）()f x 的定义域为R ，且()()112222xx x x f x f x ---=-=-=-，故函数()f x 为奇函数.18．已知函数()21xf x x =+(1)根据定义证明函数()f x 在()1,+∞单调递减；(2)若不等式()f x b <对一切实数x 都成立，求b 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数单调性步骤取值、作差、变形、定号、下结论证明即可；（2）判断函数的奇偶性，结合单调性求解函数的最值，即可得b 的取值范围.【详解】（1）证明：任取121x x >>，则()()()()()()()()22122112121212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++，因为121x x >>，所以()()22121221110,10,0x x x x x x ++>->-<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故函数()f x 在()1,+∞单调递减；（2）因为函数()21xf x x =+的定义域为R，所以()()21x f x f x x --==-+，故()f x 为奇函数，由（1）知函数()f x 在()1,+∞单调递减，任取120x x ≤<，则()()()()()()()()22122112121212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-==++++++，因为120x x ≤<，所以()()22121221110,10,0x x x x x x ++>--，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故函数()f x 在[)0,1单调递增；所以此时()()max 112f x f ==，又()00f =且0x =是方程()0f x =唯一的根，所以[)0,x ∈+∞时，()10,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()f x 为奇函数，所以()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不等式()f x b <对一切实数x 都成立，则()max 12b f x >=即b 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.19．某同学用“五点法”画函数()()πsin ,0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ37π12()f x 0202-0(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数()y f x =在一个周期内的图像；(2)将()y f x =的图形向右平移()0θθ>个单位长度，得到()y g x =的图像，若()y g x =的图像关于y 轴对称，求θ的最小值.【正确答案】(1)答案见解析(2)2π3【分析】）（1）根据表格，分别求得,,A ωϕ，即可得到函数()f x 的解析式，从而得到其函数图像；（2）根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得θ的最小值.【详解】（1）x ωϕ+0π2π3π22πx π12π37π125π613π12()f x 0202-0由表中数据可得，2A =，7ππ4123T =-，所以πT =，则2π2πω==，当π3x =时，π2x ωϕ+=，则π6ϕ=-，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由题意可得，()()ππ2sin 22sin 2266g x x x θθ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()y g x =的图像关于y 轴对称，则ππ2π62k θ--=+，k ∈Z ，解得ππ3k θ=--，k ∈Z且0θ>，所以当1k =-时，min 2π3θ=20．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F 遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十五号航天员乘组与神舟十四号航天员乘组太空在轨轮换.已知火箭起飞质量x （单位：kg ）是箭体质量M （单位：kg ）和燃料质量m （单位：kg ）之和.在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：km/s ）和x 的函数关系是ln ln v a x b M =+，其中,a b 为常数，且当燃料质量为0kg 时，火箭的最大速度为0km/s .已知某火箭的箭体质量为kg M ，当燃料质量为()2e 1kg M -时，该火箭最大速度为4km/s .(1)求该火箭的最大速度v 与起飞质量x 之间的函数关系式；(2)当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到8km/s ？【正确答案】(1)2ln 2ln v x M=-(2)燃料质量至少是箭体质量的()4e 1-倍时，该火箭最大速度可达到8km/s【分析】（1）有题意可得()20ln ln 4ln e ln a M b M a M b M =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求得,a b 的值，即可得该火箭的最大速度v 与起飞质量x 之间的函数关系式；（2）设m kM =且0k >，根据（1）中关系式，代入即可解得k 的值，从而得答案.【详解】（1）因为火箭的最大速度v （单位：km/s ）和x 的函数关系是ln ln v a x b M =+，又0m =时，x m M M =+=，0v =；()2e 1m M =-时，2e x m M M =+=，4v =，所以()20ln ln 4ln e ln a M b M a M b M =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得2,2a b ==-，所以2ln 2ln v x M =-；（2）设m kM =且0k >，则()1x m M k M =+=+，又2ln 2ln v x M=-所以8v =时可得()82ln 12ln k M M =+-，即()()14ln ln 1k Mk M +==+，解得4e 1k =-故燃料质量至少是箭体质量的()4e 1-倍时，该火箭最大速度可达到8km/s .21．已知函数()2cos sin f x x x x m =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，对于给定的实数a ，若方程()f x a =有解，则记该方程所有解的和为a S ，求a S 的所有可能取值.【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)a S 的所有可能取值为ππππ,,0,,3663--.【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，利用正弦型函数的性质求得最大值，即可得m 的值，从而得函数()f x 的解析式；（2）根据,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定函数()f x 的单调性及取值情况，作出函数()y f x =的图象，根据方程的根与函数对称性分类讨论得所有a S 取值即可.【详解】（1）()211π1cos sin sin 2cos 2sin 22262f x x x x m x x m x m ⎛⎫=-+++-=++- ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()max 13122f x m =+-=，则1m =，则()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π5π7π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，又π5π1π7π1ππ1sin 0,sin 0,sin 0262262662f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ11ππ13sin ,sin 32226222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则可得函数()y f x =的图象如下：对于给定的实数a ，若方程()f x a =有解，则当32a =时，方程的根为π6x =，此时π6a S =；当13,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程的两根关于直线π6x =对称，此时π3a S =；当12a =时，方程的根有三个1π3x =-，23,x x 关于直线π6x =对称，此时ππ033a S =-+=；当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程有四个根，12,x x 关于直线π3x =-对称，34,x x 关于直线π6x =对称，此时2πππ333a S =-+=-；当0a =时，方程的根有三个123πππ,,262x x x =-=-=，此时ππππ2626a S =--+=-；综上，a S 的所有可能取值为ππππ,,0,,3663--.22．已知函数()ln(2)ln f x x x a =+++，()e ln(2)x g x a x =-+.(1)当1a =时，解不等式()1f x x <+；(2)证明：当1a ≥时，函数()f x 有唯一的零点x 0，且0()0g x >恒成立.【正确答案】(1)(2,e 2)--；(2)证明见解析.【分析】（1）由对数型函数的单调性直接求解即可；（2）由()f x 在(2,)-+∞上单调递增，利用零点存在性定理可知存在唯一的01(2,0)x a∈-，由00ln ln(2)x a x +=-+化简后可得0001()ln 2g x x a x =+++，利用均值不等式及等号成立条件即可得证.【详解】（1）当1a =时，()ln(2)f x x x =++，由()1f x x <+可得ln(2)1x +<，解得02e x <+<，即2e 2x -<<-，故不等式的解为(2,e 2)--.（2）因为y x =与ln(2)y x =+均为增函数，所以()f x 在(2,)-+∞上单调递增，当1a ≥时，(0)ln 2ln 0f a =+>，1111(2)2ln ln 21210f a a a a a-=-++=-≤-=-<，所以存在唯一的01(2,0)x a∈-，使得0()0f x =，即函数()f x 有唯一零点0x ，所以00ln(2)ln 0x x a +++=，即00ln ln(2)x a x +=-+，所以00ln ln(2)e e x a x +-+=，即001e 2x a x =+，所以000000011()e ln(2)ln 22ln 22x g x x x a x a x x α=-+=++=++-+++，因为012x a >-，所以0120x a+>>，所以0()2ln ln 0g x a a ≥=-+≥，当且仅当01x =-与1a =时等号成立.当01x =-时，由00ln ln(2)x a x +=-+知ln 1a =，即e a =，所以等号不成立，所以0()0g x >.。
期中学业水平质量检测(A卷)-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义
期中学业水平质量检测（A 卷）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，集合，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. B. C. D.2. 已知命题p ：10,2x x x∀>+ ，那么p ⌝是( ) A. 00010,2x x x ∃+< B. 10,2x x x ∀>+< C. 00010,2x x x ∃>+< D. 10,2x x x∀<+< 3. 下列图像中不能作为函数图像的是( )A. B.C. D.4. “4x >”是“2230x x -->”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是( )A. ||y x =B. 1y x =-C. 1y x =D. 24y x =-+ 6. 函数3x y =与3x y -=的图象关于下列那种图形对称( )A. x 轴B. y 轴C. 直线y x =D. 原点中心对称7. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：①对任意的，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立；②(2)0.f -=则不等式()0f x x>的解集为( ) A. (2,0)(2,)-⋃+∞B. (,2)(0,2)-∞-⋃C. (2,0)(0,2)-⋃D. (,2)(2,)-∞-⋃+∞8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数()[]f x x x =-，则下列选项中，正确的是( )A. ()f x 的最大值为1，没有最小值B. ()f x 的最小值为0，没有最大值C. ()f x 没有最大值，没有最小值D. ()f x 的最大值为1，最小值为0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
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安徽省宿州市2010—2011学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试题（A 卷）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}11|14M N x x x =-=-<<∈Z ，，，，则M N =A ．{}1-，0B . {}0C . {}1D . {}01，2.sin 480︒的值为A.12 B. C. 12- D. -3.如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 A.a b = B.1a b ⋅= C.-=D.a b =4.若(0,1)x ∈，则下列关系式正确的是A .2lg xx > B .2lg xx < C .122xx > D .12lg x x > 5.下列叙述正确的是A. 函数x y cos =在),0(π上是增加的B. 函数x y tan =在),0(π上是减少的C. 函数x y cos =在),0(π上是减少的D. 函数x y sin =在),0(π上是增加的 6.已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则实数x 的值为 A. 9- B. 9 C. 1 D. 1- 7.函数1()f x x x=-(0)x ≠的奇偶性是 A.偶函数 B.奇函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数 8.将函数sin 4y x =的图像向左平移12π个单位，得到函数sin(4)y x ϕ=+的图像，则ϕ的值为 A. 12π-B. 3π-C.3π D. 12π9. 若函数12)(2-+=ax x x f 在区间]23,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 A ．]23,(--∞ B ．),23[+∞- C ．),23[+∞ D ．]23,(-∞ 10.函数()f x = A. ))(2,2(Z k k k ∈+-ππππ B. (,]()24k k k Z ππππ-+∈ C. [,)()42k k k Z ππππ-+∈ D. [,)()42k k k Z ππππ++∈11. 函数)(x f y =的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式为A. 1)542sin(++=πx y B. 1)52sin(+-=πx yC. 1)542sin(2-+=πx y D. 1)52sin(2--=πx y12. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则 A. P 在ABC ∆外部 B. P 在AB 边上或其延长线上 C. P 在ABC ∆内部 D. P 在AC 边上安徽省宿州市2010—2011学年度第一学期期末学业水平检测高一数学答题卷（A 卷）命题、校对： 萧县中学 卓 杰 宿州二中 杜文伟一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共16分）13.已知扇形中心角为23弧度，半径为6cm ，则扇形的弧长为 cm ． 14.已知函数)(x f 是定义在R 上周期为6的奇函数，且1)1(=f ，则)5(f = ． 15.函数sin 2sin [0,2]y x x x π=+ ∈的图像与直线12y =的交点的个数为 个． 16.给出下列五个判断：①若非零向量、满足//，则向量、所在的直线互相平行或重合； ②在ABC ∆中，0AB BC CA ++=；③已知向量、为非零向量， 若a b a c ⋅=⋅，则b c =； ④向量、=，则//；⑤已知向量、为非零向量，则有)()(⋅⋅=⋅⋅． 其中正确的是 ．（填入所有正确的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）已知函数()lg(2)f x x =-的定义域为A ，函数12(),[0,9]g x x x =∈的值域为B . （1）求AB ；（2）若{}21C x x m =|≥-且()AB C ⊆，求实数m 的取值范围.18. （本题满分12分）已知：)tan()2sin()cos()2cos()cos()sin()(απαπαπαπαπαα++--+-=f（1）化简)(αf ；（2）若角α的终边在第二象限且53sin =α，求)(αf .19. （本题满分12分）已知：).1,2(),,4(),1,6(===k （1）若A C D 、、三点共线，求k 的值；（2）在（1）的条件下，求向量BC 与CD 的夹角的余弦值.20. （本题满分12分） 已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈. （1）求tan α的值； （2）求2αβ-的值.21. （本题满分13分）已知函数b x x x a x f ++=)cos sin (cos 2)(2. （1）当1=a 时，求)(x f 的周期及单调递增区间；（2）当0≠a ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，)(x f 的最大值为4，最小值为3，求b a ,的值.22. （本题满分13分）已知A 、B 、C 是ABC ∆的三内角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=⋅n m. （1）求角A ； （2）若3sin cos 2sin 122-=-+BB B，求C tan .安徽省宿州市2010—2011学年度第一学期期末学业水平检测高一数学试题（A 卷）参考答案一、选择题：二、填空题13.9 14. 1- 15. 4 16. ①②④ 三、解答题：17. （1）由题意知：(2,)A =+∞，[0,3]B =， ………4分 ∴{}3AB x x =|2< ≤； ………6分（2）由题意：{}{}321x x x x m |2< ≤⊆|≥-，故212m -≤，………10分 解得32m ≤， 所以实数m 的取值集合为32m m ⎧⎫|≤⎨⎬⎩⎭. ………12分 18．（1）ααcos )(-=f ； ………6分 （2）由题意：54sin 1cos 2-=--=αα,54cos )(=-=∴ααf . ………12分 19. （1）1)(10,AC +=+=k BC AB ，由题意A C D 、、三点共线A //C ,101(2)(1)0C D k ∴∴⨯+-+=，即4=k ； ………6分（2）,)1,2(= 故向量与的夹角的余弦为：1010352412==. ………12分 20. （1）tan()tan tan tan[()]1tan()tan αββααββαββ-+=-+==--1112713114-=+； ………5分 （2）tan()tan tan(2)tan[()]11tan()tan αβααβαβααβα-+-=-+==-- ………7分∵1tan 07β=-<，∴2πβπ<<又∵1tan 03α=>， ∴02πα<< ，∴0παβ-<-<， 而1tan()02αβ-=>∴2ππαβ-<-<-∴2(,0)αβπ-∈-∴324παβ-=-. ………12分21. (1) b x x b x x x x f +++=++=2sin 12cos cos sin 2cos 2)(2b x +++=1)42sin(2π………3分故周期为T π=； ………4分 ∵)(x f 递增，故有)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ，即：3[,]()88x k k k Z ππππ∈-+∈ ； ………6分 （2）b a x a b x x a b x x x a x f +++=+++=++=)42sin(2)2sin 12(cos )cos sin 2cos 2()(2π⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，]1,22[)42sin(]45,4[42-∈+∴∈+∴ππππx x ………9分 故当0>a 时，⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=++-=++312342b a b a a b a a ； ………11分 当0<a 时，⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=++-=++421432b a b a a b a a . ………13分22.（1）∵1=⋅n∴1)sin ,(cos )3,1(=⋅-A A ，即1cos sin 3=-A A ………3分1)6sin(2=-πA , 21)6sin(=-∴πA ∵π<<A 0,6566πππ<-<-∴A ，∴66ππ=-A ，即3π=A . ………6分 （2）由题知：3sin cos 2sin 122-=-+BB B，即：0cos 2cos sin sin 22=--B B B B , ∵0cos ≠B ，∴02tan tan 2=--B B ，∴2tan =B 或1tan -=B ； ………10分而1tan -=B 使0sin cos 22=-B B ，故1tan -=B 应舍去，∴2tan =B ，∴)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=π=tan tan 1tan tan A B A B +-==- ………13分。