高中数学_3.2《立体几何中的向量方法(四)》课件_新人教B版选修2-1
合集下载
人教版高中数学选修(2-1)-3.2《立体几何中的向量方法(第4课时)》教学课件
解 如图，分别以AB、AD、AP所在直线 为x、y、z轴建系，则P(0，0，1)，B(3， 0，0)，D(0，4，0)，
∴P→B＝(3，0，－1)，B→D＝(－3，4，0)， ∴P→B|B· →DB→| D＝－59，
P 到 BD 的距离 d＝
|P→B|2－|PB―→·→BD―→|2
|BD| ＝ 10－（－59）2＝153. ∵P 到 BD 的距离为153.
(0， 3， 3)，
由nn⊥ ⊥BB→→MC，，得nn··BB→→MC＝＝00，，即x＋3y＋3y＝3z0＝，0，
令 x＝ 3，则平面 BMC 的一个法向量为 n＝( 3，－1，1) 10 分
又B→A＝(0，0，2 3)，则所求距离 d＝|B→A|n·| n|＝2 515.
d＝
|C→C1|2－|C→C1·A1C→―→|2＝
1－13＝
6 3.
|A1C|
规律方法 利用向量求点线距时，不用找到点在直线上的 垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点 可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也 可以任意取．
【变式2】 如图，P为矩形ABCD所在平面外 一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3， AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
名师点睛
点到平面距离的求法 如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA
中，|B→O|＝|B→A|·cos∠ABO＝ |B→A|·|B→O|B|→·Oc| os∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法 向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|n·| n|.
3.2立体几何中的向量方法（四）
∴P→B＝(3，0，－1)，B→D＝(－3，4，0)， ∴P→B|B· →DB→| D＝－59，
P 到 BD 的距离 d＝
|P→B|2－|PB―→·→BD―→|2
|BD| ＝ 10－（－59）2＝153. ∵P 到 BD 的距离为153.
(0， 3， 3)，
由nn⊥ ⊥BB→→MC，，得nn··BB→→MC＝＝00，，即x＋3y＋3y＝3z0＝，0，
令 x＝ 3，则平面 BMC 的一个法向量为 n＝( 3，－1，1) 10 分
又B→A＝(0，0，2 3)，则所求距离 d＝|B→A|n·| n|＝2 515.
d＝
|C→C1|2－|C→C1·A1C→―→|2＝
1－13＝
6 3.
|A1C|
规律方法 利用向量求点线距时，不用找到点在直线上的 垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点 可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也 可以任意取．
【变式2】 如图，P为矩形ABCD所在平面外 一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3， AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
名师点睛
点到平面距离的求法 如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度． 若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA
中，|B→O|＝|B→A|·cos∠ABO＝ |B→A|·|B→O|B|→·Oc| os∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法 向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|n·| n|.
3.2立体几何中的向量方法（四）
新人教A版(选修2-1)3.2《立体几何中的向量方法》(第1课时)ppt课件
→1， 1.如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 试判断向量AA →1，CC →1，DD → 1，A → → → → BB 1A，B1B，C1C，D1D与平面 ABCD 的位 置关系是什么？与平面 ABCD 满足此种关系的向量还有 吗？它们的共同特点是什么？
2.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中． (1)棱 AB，DC，D1C1，A1B1 之间的位置关系 是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？ (2)棱 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 与平面 ABCD 有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面 ABCD 的法向量之间 又有什么关系？ (3)平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 的位置关系是什么？它们的法 向量之间又有什么关系？
•
已知正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长 为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： • (1)FC1∥平面ADE； • (2)平面ADE∥平面B1C1F.
• • • •
由题目可获取以下主要信息： ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； ②E、F分别是BB1、DD1的中点． 解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平 面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关 系判定线面、面面平行．
1 2 －2 解析： ∵α∥β，∴ ＝ ＝ k .∴k＝4. －2 －4
• 答案： C
• 3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直 线l2的一个方向向量为 (x ，y,8)，且l1∥l2，则x ＝________，y＝________.
－7 3 4 解析： ∵l1∥l2，∴ ＝ ＝ ， x y 8 ∴x＝－14，y＝6.
• 3．2 立体几何中的向量方法
• 第1课时 空间向量与平行关系
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件1新人教B版选修2_1
（回到图形问题）
各抒己见 百家争鸣
链接高考202X
强化作业： 在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向 量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
各抒己见 百家争鸣
链接高考202X
强化作业： 在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向 量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
选修2-1 3.2.1 立体几何中的向量方法 PPT
A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,1,0), D(1,0,0), z
P(0, 0,1) M (0, 1 ,0), N( 1 , 1 , 1)
2
222
P
N
D
C
MN ( 1 , 0, 1) PD (1, 0, 1)
22
A
DC (0,1, 0) MN PD ( 1
,
0,
1)
(1,
还可以具体表示出 内的任意一点,这种表示在
解决几何问题时有十分重要的作用．
2、平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所
在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作n ⊥ ，如果 n ⊥ ，那 么 向 量
n叫做平面 的法向量.
l
注意：
n
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
例1：已知A(0, 2,3), B(2, 0, -1),C(3,-4,0) 求平面ABC的法向量.
问题：如何求平面ABC的单位法向量呢？
求法向量的步骤：
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
v
u
例题讲解
例1.证明平面和平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行, 则这两个平面平行．
已知：直线l, m和平面, ，其中l, m ， l与m相交，l // , m // ．
求证： // ． 证明：在 内任取一条直线h，
设l, m, p的方向向量分
别为a,b, p， l, m ,且l, m相交,存在实数x, y，
《立体几何中的向量方法》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第3课时)
可列出方程组
、y .
aa21xx
b1 b2
y y
c1z c2 z
0 0
z n 第五步(取):取 为任意一个正数(取得越特殊越好), 便得到平面法向量 的坐标.
巩固训练
练习1：在空间直角坐标系中,已知
,
个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
求平面
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(2, 2,1) (4,5, 3)
0 0
即
2x 4 x
2 5
y y
z0 3z 0
∴
y z
2 x 2x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
解得：xy
7 z
z
.
方法总结
第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n (x, y, z);
第二步(找):找出（求出）平面内的两个不共线的向量坐标为 a (a1,b1, c1), b (a2,b2, c2 )
第三步(列):根据 n a 0且
z 第四步(解):把 看作常数,用
nb 0
z 表示 x
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
选修2-1课件3.2.5立体几何中的向量方法(四)综合题
分析 正方体是一个非常适合建立空间直
角坐标系的几何体，问题都可以用空间向 量的坐标计算解决.问题(1)，可利用方向向 量与平面法向量垂直来证明； (2)(3)(4) 中 都与平面C1BD的法向量有关，故先求平面 C1BD的法向量.
空间角和距离的向量方法
例1
单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， M 、 N 分别是 BC 、 C1D1 的中点.
= =
| DM n | |n| 1 | 1 0 | 2 3
=
3 ， 6
所以点M到平面C1BD的距离为
3 61C1D1中，M、N 分别是BC、C1D1的中点.
(4)求二面角A-BC1-D的平面角的余弦值.
4.平面C1BD的法向量为n=(1,-1,1).
所成的角的大小为60°.
(2)证明平面AMD⊥平面CDE
1 1 2. 证明:由 AM =( 2 ,1, 2 ), CE =（-1,0,1），
AD =（0，2，0），可得 CE · AM =0， AM =0.因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又 CE ·
空间角和距离的向量方法 例1
单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别 是BC、C1D1的中点. (1)求证：MN∥平面B1D1DB；
(2)求直线MN与平面C1BD所成角的余弦值;
(3)求点M到平面C1BD的距离；
(4)求二面角A-BC1-D的平面角的余弦值.
待解决的问题：(1)求证：MN∥平面B1D1DB； (2)求直线MN与平面C1BD所成角的余弦值; (3)求点M到平面C1BD的距离； (4)求二面角A-BC1-D的平面角的余弦值.
AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.
而CE平面 CDE,所以平面AMD⊥平面CDE.
(教师参考)高中数学 3.2.2 立体几何中的向量方法课件1 新人教A版选修2-1
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
（3）u v u v0
β
u
v
α
精选ppt
13
A E = 3 F G AE // FG 2
AE与FG不共线
A
AE//FG
X
D
精选ppt
几何法呢？
EG
F
B
C Y
5
例2、 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点， (1)求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
, 的法向量分别为 u, v ，则
(1) lma b ab0
l
a
b
m
精选ppt
11
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l① a//u au
l
② a ⊥ A B , a ⊥ A C
u
a
C
A
B
精选ppt
12
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
F
E
2DBDE2EA
3
3
N
A
D
2(D A D C )D E 2(D A D E ) B M
3
3
C
几何法呢？
2DC1DE 所 以 M N 、 D C 、 D E 共 面 33
但 M N 平 面 C D E 故 M N//平 面 C D E
精选ppt
10
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
DE
（3）u v u v0
β
u
v
α
精选ppt
13
A E = 3 F G AE // FG 2
AE与FG不共线
A
AE//FG
X
D
精选ppt
几何法呢？
EG
F
B
C Y
5
例2、 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点， (1)求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
, 的法向量分别为 u, v ，则
(1) lma b ab0
l
a
b
m
精选ppt
11
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l① a//u au
l
② a ⊥ A B , a ⊥ A C
u
a
C
A
B
精选ppt
12
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
F
E
2DBDE2EA
3
3
N
A
D
2(D A D C )D E 2(D A D E ) B M
3
3
C
几何法呢？
2DC1DE 所 以 M N 、 D C 、 D E 共 面 33
但 M N 平 面 C D E 故 M N//平 面 C D E
精选ppt
10
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
DE
3.2--立体几何中的向量方法(全)ppt课件
PB (1,1,1)
故PB DE 0 1
DE 1
(0,1 2
0
,1) 2
P
22 所以PB DE
F
E
由已知 EF PB,
且EF DE E,
所以PB 平面EFD A
X
D
C
Y
B
30
第30页，共70页。
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方
形, PD 底面ABCD, PD DC ,点E是PC的中点,
A
证1 立体几何法
M
B
D
N C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线， 故异面直线AB与CD的距离就是MN.
26
第26页，共70页。
例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2 向量法
A
ＭＮ＝MA AD DN
M
1 AB AD 1 DC
⑴设平面的法向量为 n ( x, y,
r 习惯上取n
z);
(
x,
y,1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
6
第6页，共70页。
z
作EF PB交PB于点F . 2 求证 : PB 平面EFD.
证2：立体几何法
P
PD 面ABCD
BC
面ABCD
PD PC
BC BC,
E
PD PC P
选修2-1课件3.2.2_立体几何中的向量方法(全面)
化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
空间“距离”问题(1)
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）
P
n
A
O
这个结论说明,平面外一点到平面的距离为：连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量与该平面的法向量数量积的 绝对值与该法向量模长的商.
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
z
G
C
1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
空间“距离”问题(2)
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
空间“距离”问题(1)
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）
P
n
A
O
这个结论说明,平面外一点到平面的距离为：连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量与该平面的法向量数量积的 绝对值与该法向量模长的商.
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
z
G
C
1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
空间“距离”问题(2)
高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.2《立体几何中的向量方法(一)》课件
引入
知识要点
方向向量、 法向量的运 用思考 本课小结
练习
1
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
P
P
O A
B
3
P
此方程称为直线的向量参数方程
B A
P O
4
P
O
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
5
平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在
6
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量 为法向量的平面是 完全确定的.
A 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向 量 是与平面平行或在平面 内，则有
平行
垂直
夹角
7
8
9
11
12
13
14
15
16
17
知识要点
方向向量、 法向量的运 用思考 本课小结
练习
1
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
P
P
O A
B
3
P
此方程称为直线的向量参数方程
B A
P O
4
P
O
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
5
平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在
6
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量 为法向量的平面是 完全确定的.
A 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向 量 是与平面平行或在平面 内，则有
平行
垂直
夹角
7
8
9
11
12
13
14
15
16
17
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
值是
.
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是
BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.
世纪金榜导
学号
【解题探究】1.典例1中如何用向量表示直线l∥平面
ABC?
提示:a=
uuur xAB
uuur yAC.
2.典例2中要利用向量证明FC1∥平面ADE,第一步应做 什么? 提示:要利用向量证明FC1∥平面ADE1第一步是建立空间 直线坐标系.
4.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的
角:设两条直线所成的角为θ,ν1和ν2分别是l1和l2的 方向向量,则l1⊥l2⇔ν__1_⊥__ν_2_,cos θ=|_c_o_s_<_ν__1_,_ν__2_>_|_.
【思考】 判断: (1)直线l的方向向量是唯一的. ( ) (2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或 相反.( ) (3)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直 线l的一个方向向量. ( )
线线平行 线面平行
设 l1∥直l2线或ll11和与ll22的重方合向⇔向_v_1量_∥_分_v_2别为v1,v2,则
不共线向量v1,v2与平面α共面,v是一条 直线l的一个方向向量,则l∥α或l在α内 ⇔_存__在__两__个__实__数__x_,_y_使__v_=_x_v_1+_y_v_2_
面面平行 不 或α共与线β向重量v合1,⇔v2_v与_1∥_平_β_面_且_α_v_共2_∥_面_β_,_则α∥β
(0,0, 2),
3
故在线段DD1上存在一点G,使CG∥EF,点G是DD1上靠近
点D1的三等分点.
【延伸探究】 若将典例1中v2改为v2=(1,0,1),则直线l1和l2的位置关 系是什么?
立体几何中的向量方法ppt4 人教课标版
P F
D A
E
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依 题 意 得 A (1 ,0,0), P(0,0,1 ), 1 1 E(0, , ) 2 2
Z
P F
D
G
因为底面ABCD是正方形， 所以点G是此正方形的中心， 1 1 故点G的坐标为( , ， 0) 2 2
(3)求二面角C-PB-D的大小。
Z
P F
D A X B
E
C
Y
（ 3 ）解：已知 PB EF , 由（ 2 ）可知 PB DF , 故 EFD 是二面角 C PB D 的平面角。
设点 F 的坐标为 ( x , y , z ), 则 PF ( x , y , z 1 ) 因为 PF kPB
1 3 1 cos 60 ( x , y , z ) ( , , 0)① 2 2 2 ∴ cos 60 1 ( x , y , z ) (0,1 , 0) ② 2
由于 F1 与 AB , AC 的夹角均为 60 ，
又∵ x 2 y 2 z 2 1 ③
B
（ 2 ）证明：依题意得 B ( 1 , 1 ,0 ),PB ( 1 , 1 , 1 )
1 1 1 1 又 DE ( 0 , , ), 故 PB DE 0 0 2 2 2 2
所以 PB DE
由已知 EF PB , 且 EF DE E ,
所以 PB 平面 EFD
500 6
1 2 ,0 , ) 3 3 1 2 , 0 , ) 200(0,0, 6) 3 3
，
F2
【人教.高中.数学】选修2-1：3.2立体几何中的向量方法(4)【PPT课件】
z
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习3：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,
∠ACB=900,AA1= 2 ,
求B1到平面A1BC的距离。C1 z
A1
B1
C
A
B
x
y
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
(
x, y, uuur uAu1uEr A1B
z)为面A1BE的法向量，
0, 0,
x y z
1 2
y 0,
0,
即zy
A1
2x,
2x,
D
x 取
x＝1，
得
平
面
A1
B
E的
一
个
法向量 uuuur
n
(1,
2,
2A)
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,z
)是与 0,
0, x
A1E , D1B都 x 1 y 0,
2
y z 0,
垂直的向量
即
y z
2x, 3x,
，
A1
取x＝1，得其中一个 n (1, 2, 3)
D1
D
D1 F
C1
A1
E B1
D A
x
C y
B
练习3：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,
∠ACB=900,AA1= 2 ,
求B1到平面A1BC的距离。C1 z
A1
B1
C
A
B
x
y
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
(
x, y, uuur uAu1uEr A1B
z)为面A1BE的法向量，
0, 0,
x y z
1 2
y 0,
0,
即zy
A1
2x,
2x,
D
x 取
x＝1，
得
平
面
A1
B
E的
一
个
法向量 uuuur
n
(1,
2,
2A)
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,z
)是与 0,
0, x
A1E , D1B都 x 1 y 0,
2
y z 0,
垂直的向量
即
y z
2x, 3x,
，
A1
取x＝1，得其中一个 n (1, 2, 3)
D1
D
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
y x 2 任取n2 (1,2,1) z y 2 n1 n2 6 6 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3
设平面SCD的法向量n2 ( x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：
| cos CD, AB |
题型二：线面角 题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2 A n
B
O
结论：
sin cos AB,n
AB n AB n
题型二：线面角
练习： 正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 的棱长为1.
y x 0 2 yz0 2
小结：
1.异面直线所成角： cos |cos CD, AB |
C
D
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
n
B
n2
3.二面角： , n | cos | cos n 1 2 cos | cos n1, n2 |
关键：观察二面角的范围
题型三：二面角
例三 如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900 , 1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD 2 与面SBA所成二面角的余弦值.
S
B
A D
C
例三 如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 90 , 1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD 2 z 与面SBA所成二面角的余弦值.
关键：观察二面角的范围源自 n1向量的应用二
解决空间角问题
利津二中高三数学组 路正玉
：
1 理解直线的方向向量和平面的法向量
2 理解直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的概念 能用向量的方法解决线线角，线面角，面面角问题
3
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 C D
A
B
D1
结论： cos
0
S
解： 建立空直角坐系A - xyz如所示,
1 A( 0, 0, 0) , C( - 1, 1, 0) , D (0, , 0), S (0, 0,1) 2
A
B
D
C
x 1 易知面SBA的法向量n1 AD (0, , 0) 2
1 1 CD (1, , 0), SD (0, , 1) 2 2
求B1C1与面AB1C所成的角.
A1 B1
A B
D1
C1
D
C
题型三：二面角
二面角的范围： n2 A n1 B O
[0, ]
n2
n1
cos
| cos n1, n2 |
cos
| cos n1, n2 |