高三数学寒假作业(一)(文科)
高三文科数学试卷电子版
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页…………外………………内……………○……在※※装※※订※※线………○……第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若(x2+a)(x+x)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为.14．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题,大意是:酒店把酒坛层层堆积,底层摆成长方形,以后每上一层,长和宽两边的坛子各少一个,堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术,设底层长和宽两边分别摆放a,b个坛子,一共堆了n层,则酒坛的总数S=ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-n+1)(b-n+1).现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形,向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛,顶层摆放1个酒坛,那么酒坛的总数为.15．定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是.16．设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点,则a2+b2的最小值为.三、解答题(共6题，共70分)17．已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,且4S n=a n2+2a n-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若T n=a1+1S1−a3+1S3+a5+1S5-…+(-1)n+1a2n-1+1S2n-1,比较T n与1的大小.18．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin(C+π6)=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,角A的平分线交边BC于点T,求AT的长.19．垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析,得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个镇的人口(单位:万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120x i=80,∑i=120y i=4 000,∑i=120(x i-x¯)2=80,∑i=120(y i-y¯)2=8 000,∑i=120(x i-x¯)(y i-y¯)=700.(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价100万元,乙款机器每台售价80万元,下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算?参考公式:相关系数r=∑i=1n(x i-x¯)(y i-y¯)√∑i=1(x i-x¯)2∑i=1(y i-y¯)2,对于一组具有线性相关关系的数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nx i y i−nx-y-∑i=1nx i2−nx-2，a^=y-−b^x-.20．如图,已知各棱长均为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1EC;(2)求点B1到平面A1EC的距离.21．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数f(x)=lnx,g(x)=-12x.(1)令F(x)=ax·f(x)-2x2·g(x),讨论F(x)的单调性;(2)设φ(x)=f(x)x-g(x),若在(√e,+∞)上存在x1,x2(x1≠x2)使不等式|φ(x1)-φ(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.第3页共4页◎第4页共4页参考答案1.D【解析】解法一 因为A ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},(题眼)(方法点拨:含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即|x |≤a 的解集是{x |-a ≤x ≤a },|x |≥a 的解集是{x |x ≤-a 或x ≥a })B ={x |x ≤2},所以A ∩B ={x |-3≤x ≤2},故选D.解法二 因为3∉B ,所以3∉(A ∩B ),故排除A,B;因为-3∈A 且-3∈B ,所以-3∈(A ∩B ),故排除C.故选D. 【备注】无 2.B【解析】解法一 z =4-3i 2-i=(4-3i)(2+i)(2-i)(2+i)=11-2i 5=115−25i,所以|z |=√(115)2+(-25)2=√5,(题眼)故选B.解法二 |z |=|4-3i2-i |=|4-3i||2-i|=√42+(-3)2√22+(-1)2=√5=√5,故选B.(方法总结:若z 1,z 2∈C ,则|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|(|z 2|≠0)) 【备注】无3.A【解析】解法一 由sin x =1,得x =2k π+π2(k ∈Z ),则cos (2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又由cosx =0,得x =k π+π2(k ∈Z ),而sin(k π+π2)=1或-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,(判断充分、必要条件应分三步:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论(充分性),从结论推条件(必要性);(3)确定条件和结论是什么关系)故选A.解法二 由sin x =1,得x =2k π+π2 (k ∈Z ),则cos(2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又cos 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,故选A. 【备注】无 4.A【解析】由题可知,数列{a n }是首项为29、公比为12的等比数列,所以S n =29[1-(12)n ]1-12=210-210-n,T n =29×28×…×210-n=29+8+…+(10-n )=2n(19-n)2,由T n >S n ,得2n(19-n)2>210-210-n,由n(19-n)2≥10,可得n 2-19n +20≤0,结合n ∈N *,可得2≤n ≤17,n ∈N *.当n =1时,S 1=T 1,不满足题意;当n ≥18时,n(19-n)2≤9,T n ≤29,S n =210-210-n>210-1>29,所以T n <S n ,不满足题意.综上,使得T n >S n 成立的n 的最大正整数值为17. 【备注】无 5.B【解析】依题意,1=a 2+b 2-2a ·b =1+1-2a ·b ,故a ·b =12,所以(a -b )·(b -c )=a ·b -b 2-(a -b )·c =(b -a )·c -12=|b -a ||c |·cos<b -a ,c >-12≤1-12=12,当且仅当b -a 与c 同向时取等号.所以(a -b )·(b -c )的最大值为12.故选B.【备注】无 6.D【解析】由已知可得∠xOP =∠P 0OP -∠P 0Ox =π2t -π3,所以由三角函数的定义可得y =3sin∠xOP =3sin(π2t -π3),故选D.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查古典概型、排列与组合等知识,考查的学科素养是理性思维、数学应用. “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有A 66=720(种)排法,其中“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类:①“数”排在第一节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 41A 22A 33=48(种)排法;②“数”排在第二节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 31A 22A 33=36(种)排法.(方法总结:解决排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置))故“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排法共有48+36=84(种),所以“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的概率P =84720=760,故选B. 【备注】无 8.C【解析】解法一 由已知可得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.在平面ACC 1A 1内,过点C 1作C 1H ⊥PC ,垂足为H ,如图.由CC 1⊥底面ABC ,可得CC 1⊥BC ,因为AC ⊥BC ,AC ∩CC 1=C ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1,所以BC ⊥C 1H ,又C 1H ⊥PC ,PC ∩BC =C ,所以C 1H ⊥平面PBC ,连接BH ,故∠C 1BH 就是直线BC 1与平面PBC 所成的角.在矩形ACC 1A 1中,CP =√CA 2+AP 2=√42+22=2√5,sin∠C 1CH =cos∠PCA =AC CP =2√5=√5=C 1H CC 1=C 1H 3,故C 1H =3×√5=√5.故在△BC 1H中,sin∠C 1BH =C 1HBC 1=√53√2=√105,所以直线BC 1与平面PBC 所成角的正弦值等于√105.故选C.解法二 由已知得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.如图,以C 为坐标原点,分别以CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C C_1的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,4,2),B (3,0,0),C 1(0,0,3),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),B ⃗ C_1=(-3,0,3).设平面BCP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CP⃗⃗⃗⃗ 可得{n·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x =0,n·CP ⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0,即{x =0,2y +z =0,得x =0,令y =1,得z =-2,所以n =(0,1,-2)为平面BCP 的一个法向量.设直线BC 1与平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,B ⃗ C_1>|=|n·B⃗⃗ C_1||n||B⃗⃗ C_1|=√(-3)2+32×√12+(-2)2=√105.故选C.【备注】求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角.(2)向量法,sin θ=|cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|(其中AB 为平面α的斜线,n 为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).9.B【解析】本题主要考查集合以及自定义问题的解题方法；G =N,⊕为整数的加法时，对任意a,b ∈N ，都有a ⊕b ∈N ，取c =0，对一切a ∈G ，都有a ⊕c =c ⊕a =a ，G 关于运算⊕为“融洽集”. 【备注】无 10.D【解析】对于A,甲街道的测评分数的极差为98-75=23,乙街道的测评分数的极差为99-73=26,所以A 错误;对于B,甲街道的测评分数的平均数为75+79+82+84+86+87+90+91+93+9810=86.5,乙街道的测评分数的平均数为73+81+81+83+87+88+95+96+97+9910=88,所以B 错误;对于C,由题中表可知乙街道测评分数的众数为81,所以C 错误;对于D,甲街道的测评分数的中位数为86+872=86.5,乙街道的测评分数的中位数为87+882=87.5,所以乙的中位数大,所以D 正确. 故选D. 【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的图象与性质,数形结合思想的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解法一 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,显然x ≠-3,当x ≠0且x ≠−3时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得a =|x|x 3+3x 2,设g (x )=|x|x 3+3x 2,则g (x )的图象与直线y =a 有3个不同的交点.当x >0时,g (x )=1x 2+3x ,易知g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (x )∈(0,+∞).当x <0且x ≠-3时,g (x )=-1x 2+3x,g'(x )=2x+3(x 2+3x)2,令g'(x )>0,得-32<x <0,令g'(x )<0,得−3<x <−32或x <−3,所以函数g (x )在(−∞,−3)和(−3,−32)上单调递减,在(−32,0)上单调递增,且当x 从左边趋近于0和从右边趋近于−3时,g (x )→+∞,当x 从左边趋近于-3时,g (x )→−∞,当x →−∞时,g (x )→0,可作出函数g (x )的大致图象,如图所示,由图可知,a >49.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).解法二 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,当x ≠0时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得1|x|=a (x +3),则该方程有3个不同的根.在同一坐标系内作出函数y =1|x|和y =a (x +3)的图象,如图所示.易知a >0,当y =a (x +3)与曲线y =1|x|的左支相切时,由-1x=a (x +3)得ax 2+3ax +1=0,Δ=(3a )2-4a =0,得a =49.由图可知,当a >49时,直线y =a (x +3)与曲线y =1|x|有3个不同的交点,即方程1|x|=a (x +3)有3个不同的根.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).【备注】【方法点拨】利用方程的根或函数零点求参数范围的方法及步骤:(1)常规思路:已知方程的根或函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图象一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.(2)常用方法:①直接法——直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围;②分离参数法——先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;③数形结合法——先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.(3)一般步骤:①转化——把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况;②列式——根据零点存在性定理或结合函数图象列式;③结论——求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围 12.B【解析】因为圆x 2+y 2=a 2与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,所以∠A 1MA 2=90°,tan∠MOA 2=ba,所以∠PMA 2=90°.因为△MPA 2是等腰三角形,所以∠MA 2P =45°.因为∠PA 2M 的平分线与y 轴平行,所以∠OA 2M =∠PA 2x ,又∠OA 2M +∠A 2MO +∠MOA 2=180°,∠OA 2M =∠A 2MO ,所以∠MOA 2=∠MA 2P =45°,(题眼)所以b a=tan∠MOA 2=1,所以C 的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√2.故选B.【备注】无 13.1【解析】二项式(x +1x )8的展开式中,含x 6的项为C 81x 7(1x )1=8x 6,含x 8的项为C 80x 8(1x )0=x 8,所以(x 2+a )(x +1x)8的展开式中,x 8的系数为8+a =9,解得a =1.【备注】无 14.220【解析】根据题目中已给模型类比和联想,得出第一层、第二层、第三层、…、第十层的酒坛数,然后即可求解.每一层酒坛按照正三角形排列,从上往下数,最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,第四层的酒坛数为1+2+3+4,…,由此规律,最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,所以酒坛的总数为1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220. 【备注】无 15.(34,32)【解析】由题意,知f '(x )=x 2-x 在[0,m ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<m ),满足f '(x 1)=f '(x 2)=f(m)-f(0)m=13m 2-12m ,所以方程x 2-x =13m 2-12m 在(0,m )上有两个不相等的解.令g (x )=x 2-x-13m 2+12m (0<x <m ),则{Δ=1+43m 2-2m >0,g(0)=-13m 2+12m >0,g(m)=23m 2-12m >0,解得34<m <32.【备注】无16.e 48 【解析】设x 0为函数f (x )在区间[1,3]上的零点,则e x 0x 0+a (x 0-1)+b =0,所以点(a ,b )在直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0上,(题眼)而a 2+b 2表示坐标原点到点(a ,b )的距离的平方,其值不小于坐标原点到直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0的距离的平方,(名师点拨:直线外一点到直线上的点的距离大于等于该点到直线的距离)即a 2+b 2≥e 2x 0x 02(x 0-1)2+12=e 2x 0x 04-2x 03+2x 02.令g (x )=e 2xx 4-2x 3+2x 2,x ∈[1,3],则g'(x )=2e 2x (x 4-2x 3+2x 2)-e 2x (4x 3-6x 2+4x)(x 4-2x 3+x 2)2=2x(x-1)2(x-2)e 2x (x 4-2x 3+x 2)2,则当1≤x <2时,g'(x )<0,当2<x ≤3时,g'(x )>0,所以函数g (x )在区间[1,2)上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g (x )min =g (2)=e 48,所以a 2+b 2≥e 48,所以a 2+b 2的最小值为e 48. 【备注】无17.解:(1)令n =1,则4a 1=a 12+2a 1-3,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.因为4S n =a n 2+2a n -3 ①,所以4S n +1=a n+12+2a n +1-3 ②,②-①,得4a n +1=a n+12+2a n +1-a n 2-2a n ,整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0, 因为a n >0,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1.(2)由(1)可得,S n =(n +2)n ,a 2n -1=4n -1,S 2n -1=(2n +1)(2n -1), 所以a 2n-1+1S 2n-1=4n (2n+1)(2n-1)=12n-1+12n+1.当n 为偶数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…-(12n-1+12n+1) =1-12n+1<1; 当n 为奇数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-1+12n+1)=1+12n+1>1.综上,当n 为偶数时,T n <1;当n 为奇数时,T n >1. 【解析】无 【备注】无 18.无【解析】(1)由已知及正弦定理,得2sin A sin(C +π6)=sin B +sin C ,所以sin A cos C +√3sin A sin C =sinB +sin C.(有两角和或差的正弦(余弦)形式,并且其中有一个角是特殊角时,常常将其展开) 因为A +B +C =π,所以sin B =sin(A +C ),所以sin A cos C +√3sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,则sin A cos C +√3sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C ,即√3sin A sin C =sin C cos A +sin C.因为sin C ≠0,所以√3sin A =cos A +1,即sin(A -π6)=12. 因为0<A <π,所以A =π3.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3可知cb cos 2π3=-3,因此bc =6. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos∠BAC =(b +c )2-2bc -bc =7,可得b +c =√7+3×6=5. 由S △ABC =S △ABT +S △ACT 得,12bc sin π3=12c ·AT ·sin π6+12b ·AT ·sin π6,(与角平分线相关的问题,常常利用三角形的面积来解决)因此AT =bcsinπ3(b+c)sinπ6=6×√325×12=6√35. 【备注】无19.解:(1)由题意知,相关系数r =∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=√80×8 000=78=0.875, 因为y 与x 的相关系数接近于1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系.(2)由题意可得,b ^=∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=120(x i-x ¯)2=70080=8.75,a ^=y -−b ^x -=4 00020-8.75×8020=200-8.75×4=165,所以y ^=8.75x +165.(将变量x ,y 的平均值代入线性回归方程,求得a ^)(3)以频率估计概率,购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X (单位:万元)的分布列为E (X )=-50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2=30(万元).购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y (单位:万元)的分布列为E (Y )=-30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1=25(万元).因为E (X )>E (Y ),所以该镇选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.(根据已知数据,分别计算随机变量X 和Y 的分布列、期望,期望越大,说明节约费用的平均值越大,也就越划算)【解析】本题主要考查变量相关性分析、线性回归方程的求解、概率的计算以及随机变量期望的意义和求法,考查的学科素养是理性思维、数学应用.第(1)问,由已知数据,代入相关系数公式,求得相关系数r 即可判断x 和y 的相关程度;第(2)问,根据最小二乘估计公式,求得b ^,a ＾的值,从而确定y 关于x 的线性回归方程;第(3)问,根据统计数据计算随机变量X 和Y 的分布列,并分别求期望,由期望的意义可知,数值越大表示节约的垃圾处理费用的平均值越大,从而确定购买哪一款垃圾处理机器. 【备注】无20.(1)如图,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OE ,则BC 1∥OE.(题眼)BC 1∥OEOE ⊂平面A 1EC BC 1⊄平面A 1EC }⇒BC 1∥平面A 1EC.(运用直线与平面平行的判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线)(2)如图,连接A 1B ,则V A 1-ACE =12V A 1-ABC =12×13V ABC-A 1B 1C 1=12×13×√34×22×2=√33.(题眼) 根据直三棱柱的性质,易得A 1A ⊥平面ABC ,因为CE ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥CE .因为E 为AB 的中点,△ABC 为正三角形,所以CE ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以CE ⊥平面ABB 1A 1, 因为A 1E ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1E ⊥CE .在Rt△A 1CE 中,A 1E ⊥CE ,A 1C =2√2,A 1E =√5,EC =√3,所以S △A 1CE =12×√5×√3=√152. 设点A 到平面A 1EC 的距离为h ,则点B 1到平面A 1EC 的距离为2h .因为V A 1-ACE =V A-A 1CE =13×S △A 1CE ×h ,(点到平面的距离可转化为几何体的体积问题,借助等体积法来解决.等体积法:轮换三棱锥的顶点,体积不变;利用此特性,把三棱锥的顶点转换到易于求出底面积和高的位置是常用方法) 所以h =2√55,即点A 到平面A 1EC 的距离为2√55, 因此点B 1到平面A 1EC的距离为4√55.【解析】无【备注】高考文科数学对立体几何解答题的考查主要设置两小问:第(1)问通常考查空间直线、平面间的位置关系的证明;第(2)问通常考查几何体体积的计算,或利用等体积法求点到平面的距离.21.解:(1)由椭圆的定义可得2a =2√2,则a =√2, ∵椭圆C 的离心率e =ca =√22,∴c =1,则b =√a 2-c 2=1,∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),(由于存在直线l 与x 轴重合的情形,故需进行分类讨论) 由{x =my-13y 22+x 2=1消去x 并整理,得(18m 2+9)y 2-12my -16=0,Δ=144m 2+64(18m 2+9)=144(9m 2+4)>0恒成立,则y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3,y 1y 2=-1618m 2+9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ,则TA ⊥TB ,TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13,y 1),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2-t -13,y 2), 则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13)(my 2-t -13)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-m (t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2=-16(m 2+1)-m(t+13)×12m18m 2+9+(t +13)2=(t +13)2-(12t+20)m 2+1618m 2+9=0,∵点T 为定点,∴t 为定值,∴12t+2018=169,(分析式子结构,要使此式子的取值与m 无关,必须要将含有m 的相关代数式约去,通常采用分子与分母的对应项成比例即可解决) 解得t =1,此时TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43)2-169=0,符合题意. 当直线l 与x 轴重合时,AB 为椭圆C 的短轴,易知以AB 为直径的圆过点(1,0).综上所述,存在定点T (1,0),使得无论直线l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T .【解析】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.(1)首先由椭圆的定义求得a 的值,然后根据离心率的公式求得c 的值,从而求得b 的值,进而得到椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),与椭圆方程联立,得到y 1+y 2,y 1y 2,由题意得出TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,然后根据平面向量数量积的坐标运算及T 为定点求得t 的值,当直线l 与x 轴重合时,验证即可,最后可得出结论. 【备注】无22.(1)∵F (x )=ax ·f (x )-2x 2·g (x ),∴F (x )=x +ax ·ln x , ∴F'(x )=1+a +a ln x .①当a =0时,F (x )=x ,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a >0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递增,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )<0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )>0,所以当a >0时,F (x )在(0,e -1-1a )上单调递减,在(e-1-1a,+∞)上单调递增;③当a <0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递减,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )>0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )<0,∴F (x )在(0,e -1-1a )上单调递增,在(e -1-1a ,+∞)上单调递减. (2)由题意知,φ(x )=lnx x+12x,∴φ'(x )=1-lnx x 2−12x 2=1-2lnx 2x 2,令φ'(x )=0,得x =√e ,∴x >√e时,φ'(x )<0,∴φ(x )在(√e ,+∞)上单调递减.不妨设x 2>x 1>√e ,则φ(x 1)>φ(x 2),则不等式|φ(x 1)-φ(x 2)|≥k |ln x 1-ln x 2|等价于φ(x 1)-φ(x 2)≥k (ln x 2-ln x 1),即φ(x 1)+k ln x 1≥φ(x 2)+k ln x 2.令m (x )=φ(x )+k ln x ,则m (x )在(√e ,+∞)上存在单调递减区间, 即m'(x )=φ'(x )+kx=-2lnx+2kx+12x 2<0在(√e ,+∞)上有解,即-2ln x +2kx +1<0在(√e ,+∞)上有解,即在(√e ,+∞)上,k <(2lnx-12x)max .令n (x )=2lnx-12x(x >√e ),则n'(x )=3-2lnx 2x 2(x >√e ),由 n'(x )=0得x =e 32, ∴函数n (x )=2lnx-12x在(√e ,e 32)上单调递增,在(e 32,+∞)上单调递减.∴n (x )max =n (e 32)=2ln e 32-12e 32=e -32,∴k <e -32.故k 的取值范围为(-∞,e -32).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论思想、化归与转化思想的灵活应用,考查考生的运算求解能力以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)通过对函数求导,对参数进行分类讨论,来讨论函数的单调性;(2)依据函数的单调性将不等式转化为函数存在单调递减区间,最后转化为函数的最值问题来解决.【备注】【素养落地】本题将函数、不等式等知识融合起来,借助导数研究函数的性质,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【技巧点拨】解决本题第(2)问的关键是化归与转化思想的应用,先利用函数的单调性将不等式转化为φ(x1)+k ln x1≥φ(x2)+k ln x2,然后根据式子的结构特征构造函数m(x)=φ(x)+k ln x,将m(x)在(√e,+∞))max.上存在单调递减区间转化为m'(x)<0在(√e,+∞)上有解,进而转化为k<(2lnx-12x。
高三数学附加卷作业寒假作业参考答案
高三数学附加卷作业寒假作业参考答案暑假马上就要到了，同窗们不要忘了在抓紧的时分还有暑假作业在等着我们去完成，下面是2021高三数学附加卷作业暑假作业参考答案，供先生参考。
一、 A.(选修41：几何证明选讲)自圆O外一点引切线与圆切于点，为中点，过引割线交圆于 , 两点.求证: .
证明：∵ 与圆相切于，，
∵ 为中点，，
B. 解由题知，四边形ABCD是直角梯形，其的面积为S1=3。
hellip,高中语文;3分
A，B，C，D四点经矩阵M对应的变换后依次为
7分
由于A1D1与B1C1平行且距离为2，且四边形A1B1C1D1也是直角梯形，所以四边形A1B1C1D1的面积为综上所述，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积相等。
10分
C.解：两圆的普通方程为：所以的最大值为： .
D..证：由柯西不等式得，
记为的面积，那么ks5u ，
故不等式成立.
22. 解：(1)不能被4整除的数分为两类：
①4个数均为奇数，概率为;②有3个为奇数，1个为2，其概率为所以不能被4整除的概率为 .
(2)
X01234
P(X)
由于，所以 23. 解：(1)设点的坐标为，
由，得点是线段的中点，那么，，
又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由，得，???????????①
由，得t=y ????②
由①②消去，得即为所求点的轨迹的方程
(2)证明：设直线的斜率依次为，并记，，
那么设直线方程为，得，
，
成等差数列
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2015.2高中三年级文科数学寒假作业
2015年2月高三文数寒假作业一三角函数1、【2014高考辽宁卷文第11题】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增2、【2014高考全国1卷文第7题】在函数①，②，③,④中，最小正周期为的所有函数为（）A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③3、【2014高考全国1卷文第2题】若，则（）A. B. C. D.4、【2014高考四川卷文第8题】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（）A．B．C．D．5、【2014高考大纲卷文第2题】已知角的终边经过点（-4,3），则cos=（）A. B. C. － D. －6、【2014高考安徽卷文第7题】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是（）A. B. C. D.7、【2014高考广东卷文第7题】在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8、【2014高考江西卷文第5题】在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若，则的值为（）9、【2014高考山东卷文第12题】函数的最小正周期为 .10、【2014高考陕西卷文第13题】设，向量，若，则______.11、【2014高考江苏卷第5题】已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 .12、【2014高考江苏卷第14题】若的内角满足，则的最小值是 .13、【2014高考福建卷文第18题】已知函数.（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.14、【2014高考广东卷文第16题】已知函数，，且. （1）求的值；（2）若，，求.15、【2014高考辽宁文第18题】在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.16、【2014高考山东文第17题】△中，角所对的边分别为，已知=3，=,,（1）求得值；（2）求△的面积.17、【2014高考陕西文第16题】的内角所对的边分别为.（1）若成等差数列，证明：；（2）若成等比数列，且，求的值.18、【2014高考浙江文第18题】在中，内角，，所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）已知，的面积为6，求边长的值.19、【2014高考重庆文第18题】在中，内角所对的边分别为，且（Ⅰ）若，求的值;（Ⅱ）若，且的面积，求和的值20、【2014高考上海文第21题】如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？寒假作业二 数列1 ．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模））已知数列{}n a 满足1112,n n n a a a a +-==,n S 是其前n 项和,则2013S =（ ）A ．20112B ．20132C ．20152D ．201722．（2013年红河州高中毕业生复习统一检测）在等差数列{}n a 中,若1a 、0161022013=+-x x a 为方程的两根,则a 2+a 1007+a 2012=（ ）A ．10B ．15C ．20D ．40 3 ．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考）已知数列{n a }满足)(log log 1133++∈=+N n a a n n ,且 2469a a a ++=,则15793log ()a a a ++的值是[来源:学,科,网]（ ）A ．15B ．15-C ．5D ．5-[来源:学科网]4．（河南省开封市2013届高三第四次模拟）已知数列{n a }满足n n n n a a a S b a a a n a a a +++===≥-=-+Λ2121111,,),2(设,则下列结论正确的是（ ）A ．a S b a a 50,100100=-=B ．)(50,100100b a S b a a -=-=C ．a S b a 50,100100=-=D ．a b S a a -==100100,[来源:5．（山西省太原市第五中学2013届高三4月月考）数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且*1()n n n b a a n N +=-∈, 若3102,12b b =-=,则8a =（ ）A ．0B ．3C ．8D ．116 ．（山西省山大附中2013届高三4月月考）已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数,数列{}n a 是等差数列,01007>a ,则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++Λ的值（ ）A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负7．（山西省太原市第五中学2013届高三4月月考）在等比数列{}n a 中,若t s r ,,是互不相等的正整数,则 有等式1=⋅⋅---r t s t s r s r t a a a 成立.类比上述性质,相应地,在等差数列{}n b 中,若t s r ,,是互不相等的正整数,则有等式________成立.8．（河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试）已知数列{n a )满足1111,(2)2(1)n n n n a a a a a n n n --=-=≥-,则该数列的通项公式n a =______ 9．（2013年红河州高中毕业生复习统一检测）若数列}{n a 的前n 项和为n S ,31=a ,点()1,+n n S S 在直线x y 3=上(+∈N n ),则n a =__________10. (吉林省长春市2014届高三毕业班第二次调研)已知数列{}n a 中,11=a ,2n n a n a =-,112+=+n n a a ,则+++321a a a ……100a += .11.（黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟）已知函数()f x 是定义在R 上不恒为0的函数,且对于任意的实数,a b 满足(2)2f =,()()()f ab af b bf a =+,)(2)2(*N n f a n n n ∈=,)()2(*N n nf b n n ∈=,给出下列命题:①(0)(1)f f =;②()f x 为奇函数;③数列{}n a 为等差数列;④数列{}n b 为等比数列.其中正确的命题是___________.(写出所有正确命题的序号) 12. (2014年长春市高中毕业班第一次调研】已知数列，圆，圆，若圆C 2平分圆C 1的周长，则的所有项的和为 .13. (2014年长春市高中毕业班第一次调研)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 且1523,27a S S =-=,(1).求数列{}n a 的通项公式；(2).若12,22(1),n n n S a S +++成等比数列,求正整数n 的值 .14．（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word 版 ）已知等比数列{}n a 是递增数列,,3252=a a 1243=+a a ,数列{}n b 满足11=b ,且n n n a b b 221+=+(+∈N n )(1)证明:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是等差数列; (2)若对任意+∈N n ,不等式n n b b n λ≥++1)2(总成立,求实数λ的最大值.15．（山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）已知数列{}n a 的前n 项和n S ,满足*2(1)()n n n S a n N =+-∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的前三项123,,a a a ; (Ⅱ)求证:数列2(1)3n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭为等比数列,并求出{}n a 的通项公式.16．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 ）设等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知对任意的+∈N n ,点 (,)n n S ,均在函数2x y r =+的图像上.(Ⅰ)求r 的值; (Ⅱ)记n n a a a b 2log 2log 2log 22212+++=Λ求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T .17．（河南省六市2013届高三第二次联考数学）在公差不为0的等差数列{}n a 中,148,,a a a 成等比数列.(1)已知数列{}n a 的前10项和为45,求数列{}n a 的通项公式;(2)若11n n n b a a +=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ,若1199nT n =-+,求数列{}n a 的公差.18.（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.(1) 证明:2145a a =+;(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<L .19．（河南省开封市2013届高三第四次模拟）已知公差不为0的等差数列{na }的首项42111,1,1,2a a a a 且=成等比数列. (I)求数列{na }的通项公式;(Ⅱ)若数列}{n b 满足n n n a b b b b =++++-13221222Λ,求数列{n nb }的前行项和n T .20．（2013年高考湖南（文））设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a •=-11,∈n N *(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.寒假作业三 立体几何专题填空题：1.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3:2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= .2.给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，所有真命题的序号为__________．3.已知直线λ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒λ⊥m ；②α⊥β⇒λ∥m ；③λ∥m ⇒α⊥β；④λ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题序号是 ．4. 设l ，m 表示直线，α表示平面，m 是α内任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个） 5 .一个正三棱柱的三视图如右图所示，其俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积是（ ）cm 3．6.如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的外接球的体积为_______.7．一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（ ）A ．23π B ．2π C ．2πD ．6π8. 四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ． m 简答题：1.（2014广东）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF.（1） 证明：CF ⊥平面MDF （2） 求三棱锥M-CDE 的体积2.（2014湖北）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ， 1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN .3. 已知在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====， ,E F 分别是,AD PC 的中点． (1) 求证AD PBE ⊥平面； (2) 求证//PA BEF 平面；第20题图(3) 若PB AD =，求二面角F BE C --的大小．4.如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,122AD CD AB ===, 点E 为AC 中点.将ADC ∆沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （I ）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ;（II ）求点C 到平面ABD 的距离.5. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB BC AD ⊥，∥，AC 与BD交于点O ，3=PA ，6,32,2===BC AB AD ． （Ⅰ）证明：⊥BD 平面PAC ；（Ⅱ）求直线PO 与平面PAB 所成的角的正弦值ABCD图2EBACD图1EABCDPO(第5题图)6. 如图，在三棱锥P ABC -中，点,E F 分别是棱,PC AC 的中点． (1)求证：PA //平面BEF ；(2)若平面PAB ⊥平面ABC ，PB BC ⊥，求证：BC PA ⊥．7.如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD . (1)求证：;1AA BD ⊥(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .8.CD 是正△ABC 的边AB 上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ，如图所示.（Ⅰ）试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若AC=2,求棱锥E-DFC 的体积；（Ⅲ）在线段AC 上是否存在一点P ，使BP ⊥DF ？如果存在，求出ACAP的值；如果不存在，请说明理由．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA PDC ⊥平面. （1）求证90PDC ∠=︒，并指出异面直线PA 与CD 所成角的大小；（2）在棱PD 上是否存在一点E ，使得//PB EAC 平面？如果存在，求出此时三棱锥E PBC -与四棱锥P ABCD -的体积比；如果不存在，请说明理由.10. 如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，222AD AB AP ===，2PE DE =． （I ）若F 为PE 的中点，求证BF P 平面ACE ； （II ）求三棱锥P ACE -的体积．寒假作业四 极坐标与参数方程1、在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=和cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.2、在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程212222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于AB 两点，求线段AB 的长.3、.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+|PD|2的取值范围。
2012高三数学寒假作业(1)
高三数学寒假作业（1）命题人： 李云鹏 复核人： 庄炳灵一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。
） 1．若集合M=｛y| y=x-3｝，P=｛y| y=33-x ｝， 则M∩P=（ ）A ．｛y| y>1｝B ．｛y| y≥1｝C ．｛y| y>0｝D ．｛y| y≥0｝2.将直线l ：x ＋2y －1=0向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到直线l ´，则直线l 与l ´之间的距离为（ ）A ．557 B ．55C ．51D ．573．设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.若抛物线2pxy2=的焦点与椭圆12y6x22=+的右焦点重合，则p 的值为（ ）A.-2B.2C.-4D.4 6.已知直线m 与平面α相交一点P ，则在平面α内（ ）A ．存在直线与直线m 平行，也存在直线与直线m 垂直B ．存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直C ．不存在直线与直线m 平行，但必存在直线与直线m 垂直D ．不一定存在直线与直线m 平行，也不一定存在直线与直线m 垂直7、在平行四边形A B C D 中，A C 与B D 交于点O E ，是线段O D 的中点，A E 的延长线与C D 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF = （ ）A ．1142+ a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b8.已知等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++=( )A.－56B.54C.1316D. 569.在△ABC 中，已知tanA +tanB =3tanA ·tanB -3,且sinBcosB =43，则△ABC 是（ ）A.正三角形B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形共线且，若项和为的前、若等差数列C B A OC a OA a OB S n a n n ,,,}{102001+=（不过原点），则=200S （ ）100、A 101、B 200、C 201、D11.在Ｒ上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则( )（Ａ）11<<-a（Ｂ）20<<a（Ｃ）2321<<-a（Ｄ）2123<<-a12、过双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12A B B C=，则双曲线的离心率是 ( )A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x ，则y x 2-的最大值是__________14． 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为_______ 15.圆锥底面半径为1，其母线与底面所成的角为60°，则它的侧面积为_________________． 16、已知函数bax x x f +-=2)(2（R x ∈），给出下列命题,其中正确命题的序号是_____。
高三数学寒假作业(完整答案)
高三数学寒假作业—数列答案一、选择题：1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝()A ．5B ．8C ．10D ．14解析 解法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.解法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64解析 在等比数列{a n }中，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列，故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，则(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63. 答案 C3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析 设等差数列的公差为d ，由等差数列的性质可得2d ＝a 3－a 1＝4，得d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.S k ＋2－S k ＝a k ＋2＋a k ＋1＝2(k ＋2)－1＋2(k ＋1)－1＝4k ＋4＝36，解得k ＝8.4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)，a 1a 2a 3＝27，则a 6＝( )A ．27B ．81C ．243D ．729 解析 设数列{a n }的公比为q ，∵S 2n ＝4×a 1－q 2n1－q2＝a 1－q 2n1－q，∴q ＝3，又a 1a 2a 3＝27，∴a 32＝27，∴a 2＝3，∴a 6＝a 2q 4＝35＝243，故选C. 答案 C5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1·a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 013的值等于( ) A ．3 B ．1 C.13 D ．32 013解析 由已知得a n ＋1＝a n a n －1，a n ＋3＝a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n ×1a n ＋1＝1a n ，故a n ＋6＝1a n ＋3＝a n ， 于是，该数列是周期为6的数列，a 2 013＝a 3＝a 2a 1＝3. 答案 A6．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( )A ．201B ．210C ．211D ．212解析 由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211. 答案 C7．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析 在等比数列中，a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1－qn1－q＝a 1－qa n 1－q ＝2－32q 1－q＝62，解得q ＝2，又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n＝32，解得n ＝5.同理当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62解得q ＝12，由a n＝a 1qn －1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，即n －1＝4，n ＝5，综上项数n 等于5，选B.答案 B8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12. 答案 C9．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0 D ．S m <0，且S m ＋1<0解析 由题意，得：－a m <a 1<－a m ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.显然，易得S m ＝a 1＋a m2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.答案 A10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 2 014＝－1，S 2 014＝2 B ．a 2 014＝－3，S 2 014＝5 C ．a 2 014＝－3，S 2 014＝2D ．a 2 014＝－1，S 2 014＝5解析 由已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝a n ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以当k ∈N时，a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋3＋a k ＋4＋a k ＋5＋a k ＋6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.答案 D10（理）已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)满足g(x)≠0,f'(x)·g(x)<f(x)·g'(x),f(x)=a x ·g(x),+=.令a n =,则使数列{a n }的前n 项和S n 超过的最小自然数n 的值为二、填空题：13．(2014·江西卷)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围________．解析 当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0，a 9<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0.∴－1<d <－78.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78 12．已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.解析 因为函数f (x )＝x ＋sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而(1)(1)f g (-1)(-1)f g 52()()f n g n 1516等差数列{a n }有19项，a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则必有f (a 10)＝0，所以k ＝10. 答案 1011．(2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则：(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1(n ≥2)，∴a n ＝(－1)na n －(－1)n －1a n －1＋12n (n ≥2)．当n 为偶数时，a n －1＝－12n (n ≥2)，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n (n ≥2)，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.根据以上{a n }的关系式及递推式可求．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，…， a 2＝12，a 4＝12，a 6＝12，a 8＝12，….∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.答案 (1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－114．已知对于任意的自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴相交于A n ，B n 两点，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝________.解析 令(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n ，由题意得|A n B n |＝|x 2－x 1|，所以|A n B n |＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1n 2＋n 2－4·1n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，因此|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案2 0142 01515．(文) 设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.解析 由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n c 1＋c n2，前2n 项和为S 2n ＝2nc 1＋c 2n2，所以S 2nS n ＝2nc 1＋c 2n2n c 1＋c n2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－d nd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n为非零常数，所以d ＝4. 答案 415．(理)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3，则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析 设正项等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q >0)，则由a 5＝12得a 6＋a 7＝a 5q ＋a 5q 2＝12(q ＋q 2)＝3，即q ＋q 2＝6，解得q ＝2，代入a 5＝a 1q 4＝a 124＝12⇒a 1＝125，式子a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 变为a 1－qn1－q>答案 12三、解答题：．16．(2014·北京卷)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20且{b n －a n }是等比数列． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ， 由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1，从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n－1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n－1.17．(2014·安徽卷)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2，从而b n ＝n ·3nS n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ①3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1②①－②得：－2S n ＝31＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝－3n1－3－n ·3n ＋1＝－2nn ＋1－32所以S n ＝n －n ＋1＋3418．已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝a n log 12 a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小的正整数n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＋a 4＝28，a 3＋＝a 2＋a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 2＋a 4＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32q ＝12(舍去)∴a n ＝a 1qn －1＝2n.(2)b n ＝2nlog 122n＝－n ·2n ， 设T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，① 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②①－②得－T n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ×2n ＋1＝－(n －1)·2n ＋1－2，∴S n ＝－T n ＝－(n －1)×2n ＋1－2.由S n ＋n ·2n ＋1>50，得－(n －1)·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1>50，则2n>26，故满足不等式的最小的正整数n ＝5.19．(2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n－14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)20．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ≥2且n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25(a >0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，若S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.解 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ∈N *)，① 所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1，② 由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n＝2(n ≥2)． 当n ＝2时，a 1－a 2＝－1， 因为a 1＝1，所以a 2＝2，a 2a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n －1，所以d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，所以{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列，所以S 2nS n＝2n ＋2log a ＋2n n －2×2log a 2n＋2log a＋nn －2×2log a 2＝2＋n ＋a21＋n ＋a 2＝λ ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0， 因为S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－a2＝0，λ－＋log a＝0，解得λ＝4，a ＝12.21．（文）数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)由题意，可得2a n ＋1＋S n －2＝0.① 当n ≥2时，2a n ＋S n －1－2＝0.② ①－②，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2)． 因为a 1＝1,2a 2＋a 1＝2，所以a 2＝12.所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，S n ＝1－12n1－12＝2－12.若⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列，则S 1＋λ＋λ2，S 2＋2λ＋λ22，S 3＋3λ＋λ23成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋9λ4＝S 1＋3λ2＋S 3＋25λ8，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋9λ4＝1＋3λ2＋74＋25λ8，解得λ＝2.又λ＝2时，S n ＋2n ＋22n ＝2n ＋2，显然{2n ＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2， 使得数列{S n ＋λn ＋λ2n }成等差数列．21．(理)（2014·江苏卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．解 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n＝a m .所以{a n }是“H 数列”． (2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d . 因为{a n }是“H 数列”， 所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ， 即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n－n 2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n－n2，使得S n ＝2－m ＝a m ， 所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1. (3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)． 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)， 则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)． 下证{b n }是“H 数列”． 设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n n ＋2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n n ＋2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”． 同理可证{c n }也是“H 数列”． 所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{ b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．。
2013届高三文科综合寒假作业(1)
2013届高三文科综合寒假作业（1）一、选择题：（44分）1. “生物乙醇”是一种清洁能源，传统生产主要以甘蔗、玉米、薯类为原料制取，目前已研发出由木质纤维素（如秸秆）炼制乙醇。
对比传统生产，新制取方式的意义不含A ．减少温室气体的排放B ．综合利用资源C ．缓解“与人争粮”的矛盾D ．降低原料成本 读“我国6省区天然草地面积与理论载畜量散点图”，回答2-3题。
2．比较6个省区，可知A ．内蒙古和四川的天然草地面积最广阔B ．西藏和黑龙江的理论载畜量较大C ．单位面积天然草地理论载畜量最大的是黑龙江D ．天然草地面积广的省区理论载畜量高 3. 若对某省区天然草地面积进行监测，最适用的地理信息技术是 A ．RS B ．GPS C ．GPRS D ．GIS4. 该数据反映我国A ．人口增长加快B ．出生率低于死亡率C ．已进入老龄化社会D ．劳动力仍较充足 5. 甲省区最可能是A ．广西B ．广东C ．河南D ．江西6．广东常说的“回南天”是一种天气返潮现象，对该现象发生时间及原因分析，正确的是A ．春季—冷空气北撤，暖湿空气迅速反攻，遇到较冷物体而水汽凝结B ．夏季—气温高，空气对流上升而水汽凝结C ．夏秋季—台风过境，湿润气流辐合上升而水汽凝结D ．冬季—冷空气南侵，暖湿气流被迫抬升而水汽凝结 读“我国东南沿海侵蚀海岸分布图”，回答7—8题。
7. 台湾岛东岸受海水侵蚀较西岸严重，主要原因是东岸A. 海平面上升B. 风浪大C. 降水量大D. 河流输沙量大8. 图中所示的沿岸寒流受盛行风影响，其最强盛的时段是天然草地面积(万公顷) 理论载畜量（万羊只∕年）0° 10°E 30° 30° 0.010%20%%30% 40% 50% 60%70%80%1960197019801990200020102020203020402050-0.5% 0.0 0.5% 1.0% 1.5% 平均城市化速度 城市化率 时间（年）(注：2010~2050年数据为预测值)B. 6—8月C. 9—11月D. 12—2月 读右图，回答第9—10题。
高三文科数学试卷（含答案）经典题
高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =A ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是反函数图像上的点是A ．(2)aa ， B ．1(2)2-，C ．(2)a a ，D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为A ．64+163B ． 16+334C ．163D ． 16 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 5. 将函数)32sin(p+=x y 的图像向右平移12p=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6p=x B. 4p=x C. 3p=x D. 2p=x6． 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92D ．3677．下列有关命题的说法正确的是．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件”的充分不必要条件 B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．”的必要不充分条件． C ．命题“x R $Î，使得210x x ++<”的否定是：“x R "Î， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．”的逆否命题为真命题．P T O ，ｍ）三点共线， 则ｍ的值为 ．．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ． a b b a a b 2的值为 ．p所得的弦长为所得的弦长为． pp ．开始开始 a =1 a =3a +1 a >100? 结束结束是否a =a +1 输出a33]3型号型号 甲样式甲样式 乙样式乙样式 丙样式丙样式 500ml2000 z 3000 700ml3000 4500 5000 A B C 2a0AF F F 13OF QN MQ a b a 21n +722p)ppp3122p]1 333222,0),(2,0),2a a --22,a 2)2a a a -22a -22a -222123a a -- QN MQ )33x x-1a£ïíïx=>上恒成立，0x >\只要24aa ì£ïí解：（1）由121n n na a a +=+得：1112n na a +-=且111a=，所以知：数列1n a ìüíýîþ是以1为首项，以2为公差的等差数列，为公差的等差数列， …………2分所以所以1112(1)21,21n nn n a a n =+-=-=-得：； ------------4分（2）由211n n b a =+得：212112,n n n n b b n=-+=\= ， 从而：11(1)n n b b n n +=+ ------------6分则 122311111223(1)n n n T b b b b b b n n +=+++=+++´´+=11111111()()()()1223341n n -+-+-++-+ 1111nn n =-=++ ------------9分（3）已知)1()1)(1)(1(12531-++++=n nb b b b P 246213521n n =····- 22212(4)(4)1,221n nn n n n +<-\<- 设：nn T n 2124523+´´´= ，则n n T P >从而：nn n n T P P n n n 2121223423122+´-´´´´=> 21n =+故：故： 21n T n >+ ------------14分。
高三数学假期作业-文科模拟测试题2
阳历2010年 月 日 星期当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。
学习会使你永远立于不败之地。
寒假作业基础自测1. 复数21i+的虚部是A . 1B . i -C . iD . -12. 若全集U R =，集合M ={x |-2≤x ≤2}，N ={x |23x x -≤0}，则M ∩(U C N )＝A . [-2，0]B . [-2,0)C . [0，2]D .（0，2］ 3. 下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A . 3y x x =+ (x ∈R ) B . 3x y = (x ∈R ) C . 2log y x =- (x ＞0, x ∈R ) D . 1y x=-(x ∈R ,x ≠0) 4. 设0,0a b >>,则以下不等式中不一定成立的是A .a bb a+≥2 B . ln(1)ab +≥0 C . 222a b ++≥22a b + D . 33a b +≥22ab 5. 已知一空间几何体的三视图如右图所示，它的表面积是A . 4+B . 2C . 3D . 3 6. 若3sin 5α=, (,)22ππα∈-,则5cos()4πα+=A . 10-B . 10-C . 10D . 10第5题图能力提升1.已知点A (2,1),B (0,2),C (-2,1), O (0,0).给出下面的结论：① OC ∥BA；② OA ⊥AB；③ OA OC + = OB ；④ 2AC OB OA =- .其中正确结论的个数是A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个 2. 函数||xx y a x=⋅ (1a >)的图象的基本形状是3. 设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是 A . a ⊥α，b ∥β，α⊥β B . a ⊥α，b ⊥β，α∥β C . a ∥α，b ⊥β，α∥β D . a ∥α，b ∥β，α⊥β4. 抛物线24y x =上一点A 的横坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 .5. 等差数列{n a }中，若1479a a a ++=，3693a a a ++=，则{n a }的前9项的和9S = .拓展演练1.过椭圆22221x y a b += (0a b >>)的焦点垂直于x 轴的弦长为2a ，则双曲线22221x y a b-=的离心率e 的值是A B C D . 542. 观察图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是n a ，按此规律推断出所有圆点总和n S 与n 的关系式为 A .222n S n n =- B .22n S n = C .243n S n n =- D .222n S n n =+3. 图1是某市参加2008年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…，A 10[如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155)内的人数]。
高中英语复习提升-高三数学(文科)寒假作业1
丰城九中校本资料丰城九中校本资料丰城九中寒假作业数学试题1.命题人:周丽群 审题人：杨国群一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每题只有一项是符合题目要求，共60分．）1.若()121ai i bi +=-，其中 a b R ∈，，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i + B 5 C 5 D ．542.已知{}2M y R y x =∈=，{}222N x R x y =∈+=，则MN =（ ）A ．()(){}1 1 1 1-，，， B ．{}1 C ．[]0 1， D ．0 2⎡⎣，3.下列说法中正确的是（ ）A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若p ：0x R ∃∈，2010x x -->，则p ⌝：x R ∀∈，210x x --< C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”4.若0 2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且23cos cos 2210παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．12 B ．13 C.14 D ．155. 执行如图的程序框图，如果输入的N 是4，那么输出的p 是（ ）A ．24B ．120C ．720D ．14406.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．32B 626++C.12D 326++7.已知变量 x y ，满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则32x y x +++的取值范围是（ ） A ．52 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．55 42⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.45 52⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．5 24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8.在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若23ABC S =△，6a b +=，cos cos 2cos a B b AC c+=，则c =（ ）A ．7．23 C.4 D ．339.已知函数())220162016log 120162x x f x x x -=++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ）A ．1 4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，B ．1 4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， C.()0 +∞，D ．() 0-∞， 10.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，且n a ，1n a +是函数()22n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24 B ．32 C.48 D ．6411.如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ） A ．6π B ．3π6 D 312.设函数()2x f x e x =+-，()2ln 3g x x x =+-，若实数a ，b 满足()0f a =，()0g b =，则（ ）A ．()()0g a f b <<B ．()()0g a f b << C.()()0f b g a << D ．()()0f b g a <<二、填空题:（本大题共有4小题，每小题5分共20分．把答案填在题中横线上）13.已知函数()()()()22log 20026x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪+⎩，()2f a =，则a = ．14.如果满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的三角形ABC 有且只有一个，那么k 的取值范围是 ．丰城九中校本资料丰城九中校本资料15.设α为锐角，向量()cos sin a αα=，，()1 1b =-，，且223a b ⋅=，则5sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．16.如图，已知2F ，1F 是双曲线()222210 0y xa b a b-=>>，的上、下焦点， 过点2F 作以1F 为圆心，1OF 为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足2632n nn S a a =++，且2a 是1a 和6a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[]2log 31=，[]2log 52=，记25log 3nn a b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}22n n b ⋅的前n 项和n T .18. 如图，在四棱锥A BCDE －中，底面BCDE 为直角梯形，且BE CD ∥，CD BC ⊥，侧面ABC ⊥底面BCDE ，F 为AC 的中点，42BC BE CD ===，AB AC =.（1）求证：FD CE ⊥；（2）若规定正视方向与平面ABC 垂直，且四棱锥A BCDE -的侧（左）视图的面积为3，求点B 到平面ACE 的距离.19. 某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图1）和女生身高情况的频率分布直方图（图2）.已知图1中身高在170175cm -的男生人数有16人.（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？（2）根据频率分布直方图，完成下列的22⨯列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？ 参考公式：. ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++170cm ≥ 170cm < 总计男生身高 10 女生身高 36 总计344680（3）在上述80名学生中，从身高在170175cm ～之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率.()20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.0010k5.0246.6357.879 10.828丰城九中校本资料丰城九中校本资料20. 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且122F F =，点31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，在该椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AF B △1222F 为圆心且与直线相切圆的方程.21. 已知函数()22ln f x x x a x =-+.（1）当2a =时，求函数()f x 在()()1 1f ，处的切线方程； （2）若函数()f x 存在两个极值点()1212 x x x x <，，①求实数a 的范围；②证明：()123ln 22f x x >--.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0ϕπ≤≤），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求半圆C 的极坐标方程（2）直线的极坐标方()sin 3cos 53ρθθ=射线:3OM πθ=与半圆C 的交点为O ，P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长.23. 已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()124f x f x +++<；（2）已知2a >，求证：x R ∀∈，()()2f ax af x +>恒成立.丰城九中校本资料丰城九中校本资料丰城九中寒假作业数学试题1.命题人:周丽群 审题人：杨国群一、选择题题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 CDDBBBBBADAB9.提示:判断函数f(x)-2的单调性和奇偶性11.提示:截面圆的半径r,球的半径R ，h 为o 到平面AD 1C 的距离，则r 2=R 2-h 2 12.提示：利用函数的单调性二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.2± 14.83k =或012k <≤ 15.215+ 16.2 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）由2632n nn S a a =++，①当1n =时，2111632a a a =++，∴11a =或12a =，∵{}n a 是正项数列，∴10n n a a -+>，13n n a a --=， ∴{}n a 是公差为3的等差数列，当12a =时，25a =，617a =，不满足2a 是6a 的等比中项， 当11a =时，24a =，616a =，满足2a 是1a 和6a 的等比中项， ∴()11332n a n n =+-⨯=-.…………………………6分 （2）由32n a n =-，得()22325log log 13n n b n -+⎡⎤==+⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦， ∴()22log 21n nb ⎡⎤=+⎣⎦.由符号[]x 的定义知，[]22log 31b ==，[]42log 52b ==，…，∴()22log 21n nb n ⎡⎤=+=⎣⎦，∴1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯…① 234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯…②① －②得()()12311121222222212212n n n n n n T n n n +-+--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…，② ()1122n n T n +=-⨯-…12分18.（1）过F 作FH BC ⊥于H ，连接DH ，将直角梯形BCDE 补成正方形BCGE ，……2分 连接BG ，∵侧面ABC ⊥底面BCDE ，又∵平面ABC平面BCDE BC =，∴FH ⊥平面BCDE ，∴FH EC ⊥，∵F 为AC 的中点，∴H 为BC 的四等分点，14CD CG =，∴DH BG ∥，∴DH EC ⊥.……4分又∵FHDH H =，∴EC ⊥平面FHD ，∴FD CE ⊥……6分(2)由题意可知ABC △的高为3h =2AB AC ==，11123332A BCE BCE V S h BE BC h -=⋅=⋅⋅⋅=△.…8分 在AEC △中，22AE EC ==2AC =，7AEC S =△，123'3B AEC AEC V S h -=⋅=△，∴221'h =∴点到平面ACE 221分 19.（1）直方图中，因为身高在170175cm -的男生的频率为0.0850.4⨯=，设男生数为1n ，则1160.4n =，得140n =，由男生的人数为40，得女生的人数为804040-＝.……………………4分（2）男生身高≥170cm 的人数()0.080.040.020.0154030=+++⨯⨯=，女生身高170cm ≥的人数0.025404⨯⨯=，所以可得到下列列联表：170cm ≥170cm <总计 男生身高 30 10 40 女生身高 4 36 40 总计344680丰城九中校本资料丰城九中校本资料()2280303610434.5810.82840403446K ⨯⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈，所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关.…8分（3）在170175cm ～之间的男生有16人，女生人数有4人，按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人，设男生为1234 A A A A ，，，，女生为B .从5人任选3名有：()123 A A A ，，，()124 A A A ，，，()12 A A B ，，，()134 A A A ，，，()13 A A B ，，，()14 A A B ，，，()234 A A A ，，，()23 A A B ，，，()24 A A B ，，，()34 A A B ，，，共10种可能.……10分 3人中恰好有一名女生有：()12 A A B ，，，()13 A A B ，，，()14 A A B ，，，()23 A A B ，，，()24 A A B ，，，()34 A A B ，，，共6种可能.故所求概率为63105=.…………………………12分 20.（1）因为122F F =，所以1c =.又点31 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，在该椭圆上，所以()22321102a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()22311042⎛⎫-+- ⎪⎝⎭所以2a =，23b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=.…4分（2）①当直线x ⊥轴时，可得31 2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，31 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，2AF B △的面积为3，不符合题意.…6分 ②当直线与x 轴不垂直时，设直线的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程得()22223484120k x k x k +++-=,显然0∆>成立，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -⋅=+，可得()2212134k AB k +=+…9 又圆2F 的半径221kr k =+2AF B △的面积212111222k k AB r +===，化简得4217180k k +-=，得1k =±，∴2r ()2212x y -+=.…………………………12分 21.（1）当2a =时，()222ln f x x x x =-+，()2'22f x x x=-+， 则()11f =-，()'12f =，所以切线方程为23y x =-.……4分（2）()()222'20a x x af x x x x x x -+=-+=>，令()'0f x =，得2220x x a -+=，①函数()f x 有两个极值点等价于方程2220x x a -+=有两个不同的正根，设()222u x x x a =-+，()00480u a a ⎧=>⎪⎨∆=->⎪⎩，所以102a <<，所以函数()f x 有两个极值点12 x x ，，则102a <<.②由()'0f x =，得2220x x a -+=，则121x x +=，1112a x --=2112ax +-=， 121012x x <<<<.()()()221111111111121111121ln 2ln 112ln 111f x x x x x x x a x x x x x x x x --+--+===-++---， ()112ln 1h t t t t t =-++-，()()()()()2221'121ln 2ln 011t t h t t t t t -=--++=+<--， ()h t 在区间10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，()13ln 222h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭，所以()123ln 22f x x >--.…12分 22.（1）半圆C 的普通方程为()()221101x y y -+=≤≤，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以半圆C 的极坐标方程是=2cos ρθ，0 2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.…………………………5分（2）设()11 ρθ，为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()22 ρθ，为点Q 的极坐标， 则有()2222sin 3533ρθθπθ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得2253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以124PQ ρρ=-=，所以PQ 的长为4…10 23.（1）()()124f x f x +++<，即14x x -+<，①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-，∴302x -<≤是不等式的解；②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立，∴01x <≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <，∴512x <<是不等式的解.综上所述，不等式的解集为35 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，.…5分（2）∵2a >，∴()()22f ax af x ax a x +=-+-22ax ax a =-+- 22ax a ax =-+-22222ax a ax a ≥-+-=->.∴x R ∀∈，()()2f ax af x +>恒成立.…10分。
2023年高三数学寒假作业01(Word含答案解析)
2023年高三寒假作业一(时间:45分钟分值:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确选项填在答题卡的相应位置)1.已知集合Q={x|x2-2x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件的集合P的个数为()A.8B.9C.15D.162.已知复数z=i2020+m i2021(i为虚数单位),m∈R,若|z|=√2,则m=()A.1B.-1C.±1D.03.已知a=20.1,b=log0.20.3,c=ln 0.9,则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a4.已知{a n}是等差数列,且a2+1是a1和a4的等差中项,则{a n}的公差为()A.1B.2C.-2D.-15.某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时,获得该产品的售价x(单位:元)和销售量y(单位:百个)之间的四组数据如下表:售价x 4 a5.5 6销售量y12 11 10 9用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程为y=-1.4x+17.5,则表中实数a的值为()A.4B.4.5C.4.6D.4.7(b2+c2),则△ABC的三个6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积S=14内角的大小为()A.A=B=C=60°B.A=90°,B=C=45°C.A=120°,B=C=30°D.A=90°,B=30°,C=60°7.函数f(x)=x的部分图像大致是()cosx-1A B C D图X2-18.秤漏是南北朝时期发明的一种特殊类型的漏刻,它通过漏水的重量和体积来计算时间,即“漏水一斤,秤重一斤,时经一刻”(一斤水对应一“古刻”,相当于14.4分钟),计时的精度还可以随着秤的精度的提高而提高.如图X2-2所示的程序框图为该秤漏的一个计时过程,若输出的t 的值为43.2,则判断框中可填入 ( )图X2-2A .i ≤7?B .i ≥7?C .i ≥9?D .i ≤9?9.已知抛物线y=14x 2上的动点P 到直线l :y=-3的距离为d ,A 点坐标为(2,0),则|PA|+d 的最小值为 ( ) A .4B .2+√5C .2√5D .3+√510.如图X2-3,网格纸上小正方形的边长为1,粗线是某几何体的三视图,则该几何体的各个面中最大面积为 ( )图X2-3A .6B .√22C .3√2D .√1311.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R,用[x ]表示不超过x 的最大整数,则y=[x ]称为高斯函数,也称取整函数.如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知f (x )=3x -21+3x+1,则函数y=[f (x )]的值域为 ( )A .{0,-3}B .{0,-1}C .{0,-1,-2}D .{1,0,-1,-2}12.已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C 的右支上一点Q 满足|OQ|=|OF 1|(O 为坐标原点),直线F 1Q 与该双曲线的左支交于P 点,且P 恰好为线段F 1Q 上靠近F 1的三等分点,则双曲线C 的渐近线方程为( )A .y=±12xB .y=±2xC .y=±√2xD .y=±√22x二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数f (x )=2cos x+sin x 的最大值为 .14.已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=(λ,-1).若(a-c )⊥(a-b ),则λ= .15.如图X2-4,在矩形ABCD 中,AB=√3BC ,分别以点A ,B 为圆心,以BC 的长度为半径在该矩形内作四分之一圆.若在矩形ABCD 中随机取一点M ,则点M 与A ,B 间的距离均小于BC 的长度的概率为 .图X2-4 图X2-516.如图X2-5,在棱长为2的正方体中,点M ,N 分别在棱AB ,BC 上,且AM=BN=1,P 在棱AA 1上,平面α为过M ,N ,P 三点的平面,则下列说法正确的是 .(填序号)①存在无数个点P ,使平面α截正方体所得的截面为五边形; ②当A 1P=1时,平面α截正方体所得截面的面积为3√3; ③只有一个点P ,使平面α截正方体所得的截面为四边形; ④当平面α与CC 1相交于点H 时,PM ,HN ,BB 1三条直线交于一点.答案1.A [解析] 由不等式x 2-2x ≤0,解得0≤x ≤2,即Q={x|0≤x ≤2,x ∈N}={0,1,2},由P ⊆Q 可得满足条件的集合P 的个数为23=8.故选A .2.C [解析] 由z=(i 2)1010+m i (i 2)1010=1+m i,得|z|=√m 2+1=√2,则m=±1,故选C .3.A [解析] ∵a=20.1>20=1,0=log 0.21<b=log 0.20.3<log 0.20.2=1,c=ln 0.9<ln 1=0,∴a>b>c ,故选A .4.B [解析] 设等差数列{a n }的公差为d.由已知条件,得a 1+a 4=2(a 2+1),即a 1+(a 1+3d )=2(a 1+d+1),解得d=2.故选B .5.B [解析] 由表中数据可知,x =14×(4+a+5.5+6)=a+15.54,y =14×(12+11+10+9)=10.5.∵回归直线y =-1.4x+17.5恒过样本点的中心(x ,y ),∴10.5=-1.4×a+15.54+17.5,解得a=4.5. 故选B .6.B [解析] 因为b 2+c 2≥2bc ,所以S=14(b 2+c 2)≥12bc (当且仅当b=c 时取等号).又△ABC 的面积S=12bc sin A ,所以12bc sin A ≥12bc ,即sin A ≥1,所以sin A=1,因为A 为三角形内角,所以A=90°.又b=c ,所以A=90°,B=C=45°.故选B .7.D [解析] 由cos x ≠1得x ≠2k π,k ∈Z,则x ≠0,排除C;f (-x )=-xcosx -1=-f (x ),则函数f (x )是奇函数,其图像关于原点对称,排除B;当0<x<π2时,cos x-1<0,则f (x )<0,排除A .故选D .8.B [解析] 初始值L=0,t=0,i=1,进入循环,L=1,t=14.4,i=3;L=2,t=28.8,i=5;L=3,t=43.2,i=7.若要输出t=43.2,则需满足判断条件,从而跳出循环,对照各选项可知,可填入i ≥7?. 故选B . 9.B [解析] 由题可得抛物线的焦点为F (0,1),准线方程为y=-1,过点P 作准线的垂线,垂足为E ,连接PF ,可得动点P 到直线l :y=-3的距离d=|PE|+2=|PF|+2,又|PF|+|PA|≥|FA|=√5,所以|PA|+d=|PA|+|PF|+2≥√5+2,即|PA|+d 的最小值为2+√5.故选B . 10.B [解析] 该几何体的直观图为三棱锥A-BCD ,如图所示.故S △ACD =12×3×√22+22=3√2,S △BCD =12×2×3=3,S △ABC =12×2×√22+32=√13,S △ABD =12×2√2×√(√13)2-(√2)2=√22,故选B .11.C [解析] f (x )=3x -21+3x+1=3x +13-733x+1+1=13-73(3x+1+1),显然3x+1+1>1,则73(3x+1+1)∈0,73,所以f (x )的值域是-2,13.当-2<f (x )<-1时,[f (x )]=-2,当-1≤f (x )<0时,[f (x )]=-1,当0≤f (x )<13时,[f (x )]=0,所以所求值域为{-2,-1,0}.故选C .12.B [解析] 连接QF 2,PF 2,依题意可得|OQ|=|OF 1|=|OF 2|=c ,所以∠OF 1Q=∠OQF 1,∠OF 2Q=∠OQF 2,因为∠OF 1Q+∠OQF 1+∠OF 2Q+∠OQF 2=π,所以2(∠OQF 1+∠OQF 2)=π,所以∠OQF 1+∠OQF 2=π2,即∠F 1QF 2=π2,所以QF 1⊥QF 2.设|PF 1|=t ,则|PQ|=2t ,|QF 1|=3t ,由|QF 1|-|QF 2|=2a 得|QF 2|=3t-2a ,由|PF 2|-|PF 1|=2a 得|PF 2|=t+2a ,在Rt △PQF 2中,由|PQ|2+|QF 2|2=|PF 2|2得4t 2+(3t-2a )2=(t+2a )2,可得t=43a ,在Rt △F 1QF 2中,由|QF 1|2+|QF 2|2=|F 1F 2|2得9t 2+(3t-2a )2=4c 2,将t=43a 代入,得16a 2+4a 2=4c 2,即c 2=5a 2,又c 2=a 2+b 2,所以a 2+b 2=5a 2,即b 2=4a 2,所以ba =2,所以双曲线C 的渐近线方程为y=±2x. 13.√5 [解析] 因为f (x )=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f (x )max =√5.14.-12 [解析] 由题知a-c=(1-λ,3),a-b=(4,-2),∴(a-c )·(a-b )=(1-λ)×4+3×(-2)=-4λ-2=0,解得λ=-12. 15.√3π18-14 [解析] 当点M 与A ,B 间的距离均小于BC 的长度时,点M 在如图所示的阴影区域内部(不含边界).设两圆弧的交点为E ,过E 作EF ⊥AB ,连接AE.假设BC=2,则AB=√3BC=2√3,在Rt △AEF 中,∵AF=√3,AE=2,EF=1,∴∠EAF=π6,∴S 阴影=2×12×π6×22-12×√3×1=2π3-√3,∴所求概率P=2π3-√32×2√3=√3π18-14.16.①②④[解析] 由题设可得M,N分别为棱AB,BC的中点.当0<AP<2时,如图(1),直线MN3分别交DA,DC的延长线于T,S,连接TP并延长交DD1于G,连接GS交CC1于H,则平面α截正方体所得的截面为五边形,故①正确;当A1P=1时,如图(2),此时平面α截正方体所得的截面为正六边形,其边长为√2,故截面的面积×(√2)2=3√3,故②正确;为6×√34当点P与A重合或点P与A1重合时,如图(3),平面α截正方体所得的截面均为四边形,故③错误;如图(4),在平面α内,设PM∩HN=S,则S∈PM,而PM⊂平面A1B1BA,故S∈平面A1B1BA,同理S ∈平面C1B1BC,又平面A1B1BA∩平面C1B1BC=BB1,所以S∈BB1,即PM,HN,BB1三条直线交于一点,故④正确.。
上海市新川中学高三数学 寒假作业1 新人教版
1 / 4上海市新川中学数学寒假作业1一．填空题(本大题满分56分) 每题4分 1．函数在，，且点的反函数是)12()(1)(1x f y a x xa x f -=---=)(1x f y -=的图像上则实数=a ．2．)02()12(，与，，非零向量、已知-=++=∈βαb a a R b a 平行，则a 、b 满足的条件是 ．3．不等式1|11|≥-+x x 的解集是 ．4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P )31(，-是角α终边上一点，则α2cos = ．5．方程1sin 3cos =+x x 的解集是 ． 6．方程1)49(log 3+=-x x的解=x ．7．=∈++++=∞→*22)]([)(lim )(321)(n f n f N n n n f n ，则若 ．8．项是的二项展开式中的常数153)1(xx - ． 9．下面是用行列式解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的程序框图，请在(1)、(2)、(3)处分别填上合适的指令．10、抛物线22x y =上两点()11,y x A 、()22,y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则实数m 的值是 ．11．如图1所示，点A 、B 是单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)上两点，OA 、OB 与x 轴正半轴所成的角分别为．和βα-，，记)sin (cos αα=OA ，，))sin()(cos(ββ--=OB 用两种方法计算OB OA ⋅后，利用等量代换可以得到的等式是 ．12．在cm AB cm BC cm AC ABC 543===∆，，中，，现以BC 边所在的直线为轴把ABC ∆(及其内部)旋转一周后，所得几何体的全面积是 2cm ．13．掷一枚质地均匀的硬币可能出现图案向上，也可能出现文字向上．现将一枚质地均匀的硬币连续掷3次，记A 表示 “3次中出现2次图案向上” 的事件)(A P ，则= ． 14．给出下列4个命题，其中正确命题的序号是 ．(1)在大量的试验中，事件A 出现的频率可作为事件A 出现的概率的估计值；(2)样本标准差)2(1)()()(22221≥--++-+-=n n x x x x x x S n 可作为总体标准差的点估计值；(3)随机抽样就是使得总体中每一个个体都有同样的可能性被选入样本的一种抽样方法； (4)分层抽样就是把总体分成若分，然后在每个部分指定某些个体作为样本的一种抽样方法． 二．选择题(本大题满分16分)每题4分15．已知{}”成立的”是“，，则“，且、a x a a x a R x a =-∈≠∈||0………………………( ) A ．充要条件． B ．充分非必要条件．C ．必要非充分条件． D ．非充分非必要条件．16．定义两种运算xx x f b a b a b a b a ⊕-⊗=-=⊗-=⊕222)(||22，则函数，的解析式是…( )A ．)22(4)(2，，-∈-=x xx x f ． B ．)22(4)(2，，-∈--=x x x x f ． C ．)2()2(4)(2∞+⋃--∞∈-=，，，x x xx f ．D ．)2()2(4)(2∞+⋃--∞∈--=，，，x x xx f ．17．在空间中，下列4个命题(其中c b a 、、表示直线，β表示平面)，正确命题的序号是 …………( )(1)三个点确定一个平面； (2)若；，则，b a c b c a ||||||(3)在空间中，若角21θθ与角的两边分别平行，则21θθ=；(4)若ββ⊥⊂⊥⊥≠a cbc a b a ，则、，，．A ．(1)、(2)、(4)．B ．(2)．C ．(2)、(3)．D ．(2)、(3)、(4)．18．已知函数0)()()1(1)1(|1|1)(2=++⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=c x bf x f x x x x x f 的方程，若关于 有且仅有3个实数根=++232221321x x x x x x ，则、、…………………………………………………………………………( )A ．5．B ．2222b b +．C ．3．D ．2222c c +．三．解答题(本大题满分78分)19．(本题满分14分)第1小题满分7分，第2小题满分7分． 如图3所示，的正方体是棱长为a D C B A ABCD 1111-，M 是棱11B A 的中点，N 是棱11D A 的中点．(1)求异面直线BM AN 与所成角的正弦值； (2)求1DBB M -三棱锥的体积．20．(本题满分14分)的值．、，求，，，且中，在c a c a b C A C B A ABC 5644222=-==>>∆2 / 421．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知a 、b 是正整数，函数)(2)(b x bx ax x f -≠++=的图像经过点)31(，． (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在]01(，-上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．某生产旅游纪念品的工厂，拟在度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t +1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂生产纪念品的固定为3万元，每生产1万件纪念品另外需要32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润=收入－生产成本－促销费用)(1)求出x 与t 所满足的关系式；(2)请把该工厂的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； (3)试问：当的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？23．(本题满分18分)第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．{}B An a n S a a S n a n n n n +=+-==)1(23121， ，，且项和为的前已知数列(其中A 、B 是常数，*∈N n )．(1)求A 、B 的值；(2)求证{}n n n a a n n a 的通项公式是等差数列，并求数列数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1； (3)已知k 是正整数，不等式都成立，对*+∈<-N n k a a n n 218求k 的最小值．3 / 4寒假作业1答案参考答案和评分标准 一、填空题1、318、)5005(615或C2、)(21R a a a b ∈-≠-=且 9、(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D y D D x y x 2分、(2)方程组无解1分、(3)方程组有无穷多解1分3、)1()10[∞+⋃，， 10、3144、54- 11、βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+5、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x k x x ，或3222|πππ 12、π24 6、)4log (2log 233或=x 13、837、214、(1)、(2)、(3)二、选择题： 15、C 16、B 17、B 18、A 三、解答题19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解 (1)GN GM BG G C B 、、，联结的中点为记棱11，GM 与11D B 的交点为H ，联结BH ，如图所示．……………………………………………………1分∵1111D C B A ABCD -是正方体，G 、N 是中点，∴AB B A GN ||||11，即ABGN 为平行四边形．∴BG||AN ，BM AN MBG 与是异面直线∠所成的角． ……………………………………………………3分又正方体的棱长为a ，可得a BG BM25==， a MG 22=．∴5425252)22()25()25(cos 222=⋅-+=∠a a a a a MBG ． ……………6分 ∴53sin =∠MBG ．…………………………………………………………………7分 (2)∵的顶角平分线，是等腰三角形G MB H B 11∴)(底边上的中线是等腰三角形的中点，且是MBG BH MH BH GM H ⊥．………9分 ∵111111111D C B A MH D C B A BB 平面，平面≠⊂⊥，∴MH BB ⊥1． ∴111DBB M MH D DBB MH -⊥为三棱锥，即平面的高．…………………………12分∴MH BB DB V DBB M ⋅⋅⋅⋅=-121311＝a a a 42261⋅⋅⋅＝)(1213体积单位a ． …………………………………………………14分 20．(本题满分14分)解 ，，，5644222=-==c a b C A caC C c C C a C c A a ===∴cos 2sin cos sin 2sin sin ，，．……… ………………3分 ab c b a C 2cos 222-+=又，c a 5362=∴，5645362=-c c ，解得4516==c c 或．…… …………………8分 由．舍去，于是，，知)4(516==>>>>c c c b a C B A ……………………………10分 ∴56422+=c a ，524=a ． ……………… ………………………………………13分516524==c a 、所以． ……………………… ……………………………………14分21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 解 (1) 由函数)31()(2)(，的图像过点b x b x ax x f -≠++=，知2)1)(3(123=+-++=b a ba ，．……………………………………………2分 又均为正整数、b a ，故2103≥+>-b a ，．于是，必有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=-122113b a b a ，即 ．………………7分 所以122)(++=x x x f )1(-≠x ．………………………………………………8分 (2) 结论：]01()1(122)(，在--≠++=x x x x f 上是减函数．……………………9分证明 设2121]01(x x x x <-实数，且内的任意两个不相等的，是、．………………10分 则)122(122)()(221121++-++=-x x x x x f x f ………………………………11分 =)1)(1()(2)(2211221++-+-x x x x x x=)1)(1()1()(22121221++++⋅-x x x x x x x ．………………………………13分又0)1(01001012122212121<++>+<-<≤<-≤<-x x x x x x x x x x ，，，故，，．14分 于是，)1)(1()1()(22121221++++⋅-x x x x x x x 0>,即)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-，．……16分所以，函数]01()1(122)(，在--≠++=x x x x f 上是减函数．22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．解 (1) 设比例系数为k )0(≠k ．由题知，有13+=-t kx ．………………………2分又．时，10==x t21013=+=-∴k k，．……………………………………………………………4分)0(123≥+-=∴t t x t x 的关系是与．…………………… ………………………5分(2) 依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为)323(x +万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(x t x x 2%150323+⋅+)元／件．…………………………8分 于是，t x x t x x x y -+-+⋅+⋅=)323()2%150323(，进一步化简，得)0(2132299≥-+-=t t t y ．……………………………………………… ……………11分因此，工厂的年利润)0(2132299≥-+-=t t t y 万元．(3) 由(2)知，)0(2132299≥-+-=t t t y )713221(4221132250)21132(50时，等号成立，即当=+=+=+⋅+-≤+++-=t t t t t t t ……………15分所以，当的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…………………………………………………………………………… ……………16分23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解 (1))()1(23121*∈+=+-==N n B An a n S a a n n ， ， ，分别取n=1和n =2，得⎩⎨⎧+=-+=-B A a S BA a S 232222211，……………………………………3分即⎩⎨⎧-=+=+120B A B A ，解得⎩⎨⎧=-=11B A ．…………………………………………………6分证明 (2)由(1)知，)(1)1(2*∈+-=+-N n n a n S n n ， ∴n a n S n n -=+-++11)2(2．两式相差，得1)1()2(211-=+++-++n n n a n a n a ，即1)1(1=+-+n n a n na ．………………………8分两边同除以)1(+n n ，可化为4 / 4⇒+=-++)1(111n n n a n a n n 0)1()111(1=+-++++nn a n n a n n ．………………………………10分∴21)111(11=++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a n n a n n 差数列，于是为首项，公差为零的等是以数列．…11分∴{})(12*∈-=N n n a a n n 的通项公式为数列．………………………………………12分 (3) 由(2)知，)(12*∈-=N n n a n ．又k a a n n <-+218，即k n n <--+2)12()12(8，进一步可化为32)25(42+-->n k ．………………………………………………………………14分当3132)25(4322的最大值为时，或+--=n n ,…………………………………… ……16分因此，只要31>k 即满足要求.又k 是正整数，故所求k 的最小值为32.…… ……18分。
2020年高三数学寒假作业1(1)
河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则复数A. 1B.C. iD.2.已知集合，，若，则实数a的取值范围为A. B. C. D.3.如图是根据我国古代数学专著九章算术中更相减损术设计的程序框图，若输入的，，则输出的A. 2B. 3C. 6D. 84.已知，，且，则向量与的夹角为A. B. C. D.5.已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.6.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体各棱中最长棱的长度为A.B.C.D.7.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药10 45 55没服用药20 30 50总计30 75 105由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是附：；能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效A. 1B. 2C. 3D. 48.已知，，且，则下列结论正确的是A. B. C. D.9.已知在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为A. B. C. D.10.已知点P是直线上的动点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为A. 5B.C.D.11.已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是A. B. C. D.12.已知实数x，y满足，若当且仅当时，取最小值其中，，则的最大值为A. 4B. 3C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将6名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆3名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率为______．14.在平面直角坐标系内，由曲线，和x轴正半轴所围成的封闭图形的面积为________．15.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，则周长的最小值为______．16.已知函数的图象与的图象有四个不同交点，其横坐标从小到大依次为，，，，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的前n项和满足，且．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，记数列的前n项和为，证明：．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，是正三角形，，E是PA的中点．Ⅰ证明：；Ⅱ求直线BP与平面BDE所成角的正弦值．19.已知某保险公司的某险种的基本保费为单位：元，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表：上年度出险次0 1 2 3数保费元a4a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到下表：出险次数0 1 2 3频数140 40 12 6 2 该保险公司这种保险的赔付规定如表：出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上赔付金额元a0将所抽样本的频率视为概率．记随机变量为一续保人在下一年度的续保费用，为其在该年度所获的赔付金额，求和的分布列；若下一年度有100万投保人进行续保，该公司此险种的纯收益不少于900万元，求a的最小值纯收益总入保额总赔付额．20.已知直线l与抛物线C：相交于A，B两个不同点，点M是抛物线C在点A，B处的切线的交点．Ⅰ若直线l经过抛物线C的焦点F，求证：；Ⅱ若点M的坐标为，且，求抛物线C的方程．21.已知，是函数的两个极值点．Ⅰ求a的取值范围；Ⅱ证明：．22.已知在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中为参数，点M在曲线上运动，动点P满足，其轨迹为曲线以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线的普通方程；Ⅱ若点A，B分别是射线与曲线，的公共点，求的最大值．23.已知函数．当时，求不等式的解集；若，，使得成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，；；；；实数a的取值范围为．故选：A．可求出，，根据即可得出，从而得出．考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集、子集的定义．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断语句计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案．【解答】解：输入，，第一次执行判断语句后，，不满足退出的条件；第二次执行判断语句后，，不满足退出的条件；第三次执行判断语句后，，不满足退出的条件；第四次执行判断语句后，，满足退出的条件；故输出a值为6，故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．根据，对两边平方，进行数量积的运算即可求出夹角．【解答】解：；；；；又；与的夹角为．故选：D．5.【答案】B【解析】解：双曲线的离心率为，又，双曲线经过点，验算得双曲线的焦点在y轴上，设双曲线标准方程为，点，在双曲线上，，解得，，故所求双曲线方程：．故选：B．由双曲线的离心率，得到a与b的关系，设出双曲线方程，代入点的坐标求解．本题考查了双曲线的标准方程，注意给出渐近线方程的双曲线方程的设法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．6.【答案】C【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：是长方体的一部分，三棱锥，正方形的边长为4，长方体的高为3，由题意可得：，，，故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解最长的棱长即可．本题考查三视图求解几何体的几何量，判断几何体的形状是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．根据列联表计算，对照临界值即可得出结论．【解答】解：根据列联表，计算，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效，正确；能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效，错误；不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效，错误；不能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效，正确．综上，正确的命题序号是．故选：B．8.【答案】A【解析】解：，．将A，B，C，D中的结论代入方程中，只有A能使方程成立．故选：A．由条件得，然后将选项代入检验即可得到正确结果．本题考查了两角差的余弦公式和诱导公式，属基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由题意求得三棱锥的外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式得答案．【解答】解：如图，，在底面ABC上的射影D为底面三角形的外心，又，为AB的中点，又，外接圆的半径即为三棱锥外接球的半径，等于．该三棱锥外接球的体积为．故选：A．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义、曲线的曲线、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设直线与曲线相切于点利用导数，解得切点为Q坐标．利用点到直线的距离公式可得Q到直线上的距离d，即为所求．【解答】解：设直线平行的直线与曲线相切于点．，解得，，切点为．Q到直线的距离．、Q两点间距离的最小值为．故选：B．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆、双曲线的离心率的范围，考查勾股定理和定义法的运用，考查基本不等式的运用，运算能力，属于中档题．设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点坐标为，由椭圆与双曲线的定义和余弦定理，可得，再由求的取值范围．【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦点坐标为，不妨设P为第一象限的点，由椭圆与双曲线的定义得：，，，，由余弦定理得：，联立得：，由，，得，，，，则，，，又，故选：D．12.【答案】B【解析】解：实数x，y满足的可行域如图：当且仅当时，取最小值其中，，可知在可行域中点两条红色线之间，两条红线分别与所给直线垂直．即，a，b满足的可行域如图，当结果可行域的A时，取得最大值：3．故选：B．画出约束条件的可行域，推出a，b满足的不等式组，然后再通过线性规划求解的最大值．本题考查线性规划的应用，两次线性规划解决问题，是线性规划中点难题．13.【答案】【解析】解：依题意，所有的基本事件的个数为个，甲和乙被分到同一场馆包含个，所以志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率．故答案为：．计算所以基本事件的个数和事件“志愿者甲和乙被分到同一场馆”包含的基本事件个数，代入古典概型的概率公式即可．本题考查了古典概型的概率计算，计数原理．本题属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查定积分的应用，属于基础题．将黑色区域看作两个部分的面积之查，进而用定积分进行计算即可．【解答】解：根据题意画图，其中黑色区域即为所求的封闭图形．和的交点为，．故答案为：．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合范围，可求A，利用三角形的面积公式可求，由余弦定理，基本不等式可得，根据余弦定理可求得，即可求得周长的最小值．【解答】解：，，由正弦定理可得：，，可得，，．，可得，又由余弦定理可得：，可得，当且仅当时等号成立，，可得，当且仅当时等号成立，周长的最小值为故答案为：16.【答案】1【解析】解：因为，所以，所以函数为偶函数，又函数为偶函数，令，又，所以，又，，，为从小到大的4个解，由偶函数的对称性可知：，，，即故答案为：1．由函数知，所以为偶函数，又函数为偶函数，且两函数的图象交点横坐标从小到大依次为，，，，所以，．考查偶函数的定义，以及对偶函数图象的理解，函数图象交点的理解．17.【答案】解：当时，，，，当时，，，，，，是以为首项，为公差的等差数列，；Ⅱ由得，，，，是递增数列，．【解析】Ⅰ通过已知条件求出首项，利用，求解数列的通项公式；Ⅱ化简，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力．18.【答案】证明：设F是PD的中点，连接EF、CF，是PA的中点，，，，，，，是平行四边形，，，，，，，，由余弦定理得，，，，平面PCD，，；Ⅱ由得平面PCD，，平面平面PCD，过点P作，垂足为O，平面ABCD，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，设是平面BDE的一个法向量，则，，令，则，，，直线BP与平面BDE所成角的正弦值为．【解析】设F是PD的中点，连接EF、CF，证明，推出，结合，得到平面PCD，推出；Ⅱ以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，求出平面BDE的一个法向量，通过空间向量的数量积求解直线BP与平面BDE所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：由题意得的所有取值为，a，，，4a，其分布列为：a4ap的所有取值为0，，4a，5a，，其分布列为：0 4a5ap由可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值为：，该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值为：，该公司此险种的总收益为，，，基本保费为a的最小值为100元．【解析】由题意得的所有取值为，a，，，4a，的所有取值为0，，4a，5a，，由此能求出和的分布列．由可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值，再求出该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值，从而得到该公司此险种的总收益，由此能求出基本保费为a的最小值．本题考查概率的求法，考查平均值、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：由题意可得，当时，设直线，点A，B的坐标分别为，，由，得，，过点A为的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由得，，，；当时，则直线，，；Ⅱ当时，设直线l：，点A，B的坐标分别为，，由得，，过点A的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由，得，，，或，抛物线C的方程为或【解析】分两种情况讨论，时，联立方程组求出M的坐标，利用斜率之积为即可；时，验证即可；通过联立方程组，根据根与系数关系建立线段的方程求出p的值即可．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目．21.【答案】解：解：函数由题意得：，，令，，则，令，，则，在上单调递增，且，当时，，单调递减；当时， 0'/>，单调递增，，当时，g(0)=2-a\geqslant0'/>，在单调递增，此时无极值；当时，，，已知，是函数的两个极值点．，，当时， 0'/>，单调递增；当时，，单调递减，是的极大值；，，，，当时，，单调递减；当时， 0'/>，单调递增，是的极小值；综上所述，；Ⅱ证明：法一：由得，，且，，，，，，，．即：．法二：由得，在区间递减，所以：．因为：，所以：，所以：即：．即：【解析】Ⅰ求函数的导数，令新函数求导即原函数的二阶三阶导数进行判断，讨论a的取值范围可求得a；Ⅱ由得，且，表达由不等式性质证明即可．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，分类讨论思想，属于难题．22.【答案】解：Ⅰ设，，，，点M在曲线上，，曲线的普通方程为，则曲线的普通方程为；Ⅱ由，，得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，由，得，或，或；由，得，或，或，的最大值为．【解析】Ⅰ设，，由已知向量等式可得，得到，消参数可得曲线的普通方程为，进一步得到曲线的普通方程为；Ⅱ由，，得曲线与曲线的极坐标方程，分别与射线联立求得A，B的极坐标，可得的最大值．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了平面向量的坐标运算及其应用，是中档题．23.【答案】解：函数．Ⅰ当时，不等式化为或或解得或或；所以不等式的解集为或；Ⅱ由，当且仅当时取“”，所以对，，使得成立，即；由，时，是单调减函数，最小值为；时，是单调减函数，且；时，是单调增函数，最小值为；令，解得；又，所以实数a的取值范围是．【解析】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．Ⅰ当时利用分段讨论法去掉绝对值，求对应不等式的解集；Ⅱ求出的最小值M，再求的最小值N，由此列不等式求出a的取值范围．。
福建省罗源第一中学高三数学(文科)寒假作业(2)
福建省罗源第一中学2018届高三文科寒假作业(2)班级 座号 姓名一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．已知集合{}101，，-=A ，{}02=-=x x B ，则=⋂B A ( )A. {}0B. {}1 C. )10(，D. {}10，2. 设复数i z +=21,i 12a z +=，若R z z ∈⋅21，则实数=a （ ）A. -2B. 21-C.21 D. 23. 若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．94. 袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1、2、3；蓝色球2个，标号分别为1、2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（ ）A.103 B.52 C.53 D.107 5. 已知命题42log 4log ,1:2>+>∀x x x p ，则p ⌝为（ ） A. 42log 4log ,1:2≤+≤∀⌝x x x p B. 42log 4log ,1:2≤+≤∃⌝x x x p C. 42log 4log ,1:2=+>∃⌝x x x pD.42log 4log ,1:2≤+>∃⌝x x x p6. 把曲线1C ：)6sin(2π-=x y 上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的21，得到曲线2C ，则2C （ ） A. 关于直线4π=x 对称 B. 关于直线125π=x 对称 C. 关于点），（012π对称 D. 关于点），（0π对称 7. 当5,2m n ==时，执行图2所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．20B ．42C ．60D ．1808. 已知tan 2θ=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．25C ．15D ．1109 .已知函数22+20()-20x x x f x x x x ⎧≥=⎨<⎩（）（），则下列函数为奇函数的是（ ）A ．)(sin x fB ．)(cos x fC ．)(sin x xfD ．)(cos x xf10. 如图2，在正方体1111D C B A ABCD -中 ,E,F 分别为1111,D C C B 的重点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且AP //平面EFDB ,则1tan APA ∠的最大值是（ ）B. 1D. 11. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，以右顶点A为圆心的圆与直线l ：03=+-c y x 相切于点N ．设l 与C 的交点为,P Q ，若点N 恰为线段PQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A.C. 2D. 12.设函数32()32f x x x x =-+，若1212,()x x x x <是()()g x f x x λ=-函数的两个极值点，现给出如下结论：①若10λ-<<，则12()()f x f x <； ②若02λ<<，则12()()f x f x <； ③若2λ>，则12()()f x f x <； 其中正确的结论的个数为（ ）A. 0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13. 设(1,2),(1,1),a b c a b λ==-=+，若a c ⊥，则实数λ的值等于 ． 14. 设曲线x x y ln =在点（1,0）处的切线与曲线在点P 处的切线垂直，则点P 的横坐标为 ．15.ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S = ．16. 平面四边形ABCD 中，2==AD AB ，10==CD CB ，4=AC ，沿直表面积线AC 将ACD ∆翻折成'ACD ∆，当三棱锥ABC D -'的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球表面积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足123,6,b b =-=-)(*1N n n b a n n ∈=++.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和为n S ．18．(本题满分12分)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布： 人员结构 选择意愿40岁以上（含40岁）男性 40岁以上（含40岁）女性 40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司 110 120 140 80 选择乙公司15090200110（Ⅰ）请分别计算40岁以上（含40岁）与40岁以下群体中选择甲公司的频率（保留两位小数），根据计算结果，你能初步得到什么结论？（Ⅱ）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的2K 的观测值为1 5.5513k ≈，则得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是多少？并用统计学知识分析：选择意愿与年龄变量和性别变量中哪一个关联性更大？()2P K k ≥ 0.0500.025 0.010 0.005附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(本题满分12分)如图3，已知四棱锥ABCD P -中，CD AB //，AD AB ⊥，3==AD AB ,4=CD ,PD PC =,︒=∠=∠60PAD PAB .（Ⅰ）证明：顶点P 在底面ABCD 的射影为边CD 的中点； （Ⅱ）点Q 在PB 上，且PB ⊥DQ ,求三棱锥BCD Q -的体积.20．(本题满分12分)已知椭圆1C ：22221x y a b +=()00a b >>，的右顶点与抛物线2C ：22(0)y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线2C所得的弦长为（Ⅰ）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；k 3.841 5.024 6.6357.879（Ⅱ）过点A (-2，0)的直线l 与2C 交于M , N ，点M 关于x 轴的对称点'M ，证明：直线M’N 恒过一定点.21．(本题满分12分)已知函数2221ln )()(x x ax x x f +-=（其中R a ∈）. （Ⅰ）若0>a ，讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若0<a ，求证函数)(x f 有唯一零点.22．(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 2cos t y t x （t 为参数，πα<≤0），曲线C的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；OM 的最大值.（Ⅱ）设C与l交于M，N两点（异于原点），求ON福建省罗源第一中学2018届高三文科寒假作业(2)参考答案。
2019-2020寒假高三数学寒假作业一(文).doc
1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a …………………………………高三数学寒假作业一一、选择题：1． 已知点A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α），O （0，0），若),0(,13||πα∈=+OC OA ，则与的夹角为（ ） A ．2π B ．4π C ．3πD ．6π2．要得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数cos 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移12π个单位3．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为 A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 4．函数()2xf x =与()2xg x -=-的图像关于A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y=x 对称5．如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为A ．1B ．0C ．2-D ． 3-6. 给出如下四个命题：①对于任意一条直线a ，平面α内必有无数条直线与a 垂直；②若αβ、是两个不重合的平面，l m 、是两条不重合的直线，则//αβ的一个充分而不必要条件是,l m αβ⊥⊥，且//l m ；③已知a b c d 、、、是四条不重合的直线，如果,,,a c a d b c b d ⊥⊥⊥⊥，则////a b c d “”与“”不可能都不成立；④已知命题P ：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.则命题P 的逆否命题是假命题上命题中，正确命题的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 7． 已知函数32()39f x x x x a =-+++（a 为常数），在区间[2,2]-上有最大值20，那么此函数在区间[2,2]-上的最小值为（ ） A ． 37- B ． 7- C ． 5- D ． 11- 8．若直线)0,0(022>>=-+b a by ax ，始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则12a b+的最小值为（ ）A ．1B ．5C ．24D ．223+9．已知数列{}n a 是正项等比数列，{}n b 是等差数列，且76b a =，则一定有A ．10493b b a a +≤+B ．10493b b a a +≥+C ．39410a a b b +>+D ．39410a a b b +<+ 10．已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂③ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交；④若,//,m n m n n αβαβ⋂=⊄⊄，且，////.n n αβ则且其中正确的命题是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④11.已知定义在R 上的函数)()(x 、g x f 满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，25)1()1()1()1(=--+g f g f . 则有穷数列{)()(n g n f }( 1,2,3,,10n =L ）的前n 项和大于1615的概率是 A ．51 B ．52 C ．53 D ． 5412.已知抛物线1)0(222222=->=by a x p px y 与双曲线有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为A ．2122+ B ．215+C ．13+D ．12+13.若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号）．①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n ．(其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和．)14．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长1，顶点A 、B 、C 、D 在半球的底面内，顶点A 1、B 1、C 1、D 1在半球球面上，则此半．球的体积是 .15．已知n a n =，把数列{}n a 的各项排列成如右侧的三角形状： 记(,)A m n 表示第m 行的第n 个数，则(10,2)A = . 16．在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几何图形的4个顶点，这些几何图形是 ．（写出所有正确结论的编号．．）． ①梯形；②矩形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是等腰直角三角形的四面体.17．已知).2,0(,2)4tan(παπ∈=+a （I ）求αtan 的值； （II ）求.)32sin(的值πα-18111{},44n a a q ==是首项为公比的等比数列，设*)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列13{}n n n n c c b b +=⋅满足.（Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 的前n 项和 为n T ，求n T .A BD D 1 C 1 B 1A 1 19． 某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？20．直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（Ⅱ）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．21． 已知函数ln ()xf x x=.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间及其极值;（Ⅱ）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有2(1)ln x xx x e x e-+>成立.22．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1，F 2，椭圆上一点M )33,362(满足.021=⋅MF MF（1）求椭圆的方程； （2）若直线L ：y=2+kx 与椭圆恒有不同交点A 、B ，且1>⋅（O 为坐标原点），求k 的范围。
乐陵一中(文科数学)高三寒假作业(一)-
乐陵一中（文科数学）高三寒假作业注意：距离高考还有100多天，请同学们在假期查漏补缺，黑笔答题红笔修改，祝同学们度过一个快乐而用充实的unique holiday! smile一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数f(x)=x2+log2|x|，则不等式f(x+1)−f(2)<0的解集( )A. (−∞，−1)∪(3，+∞)B. (−∞，−3)∪(1，+∞)C. (−3，−1)∪(−1，1) D. (−1，1)∪(1，3)2.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是( )A. 4+√36B. 56C. 9+√32D. 53.若方程|lnx|−(12)x+a=0有两个不等的实数根，则a的取值范围是( )A. (12，+∞) B. (1，+∞) C. (−∞，12) D. (−∞，1)4. 圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A. 120∘B. 150∘C. 180∘D. 240∘5. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AA 1=2√3，AD =3，则长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的直径为( ) A. 2B. 3C. 4D. 56. 函数y =x(x 2−1)的大致图象是( )A. B. C. D.7. 方程的e x =1x 的根所在的区间是( )A. (0，12)B. (12，1)C. (1，32)D. (32，2)8. 在△OAB 中，P 为AB 边上一点，且BP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =23，y =13B. x =23，y =23C. x =14，y =34D. x =34，y =149. 设a =log 213，b =21.1，c =0.82.3，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. a <c <bD. c <b <a10. 在下列给出的函数中，以π为周期且在区间(0，π2)内是减函数的是( )A. y =sin x2B. y =cos2xC. y =tan(x −π4)D. y =sin(2x +π4)11. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙两人的速度相同D. 甲先到达终点12.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A. 若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB. 若l⊥α，α//β，则l⊥βC. 若l//α，α//β，则l⊂βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2lg2+lg5=______．lg√1014.已知不等式x2+px−6<0的解集为{x|−3<x<2}，则p=______．15.设向量a⃗=(−1，3)，b⃗ =(1，−2)，则|a⃗+2b⃗ |=______．16.如图，若集合A={1，2，3，4，5}，B={2，4，6，8，10}，则图中阴影部分表示的集合为______．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)，且满足f(−1)=f(1)．(1)求k的值；x+a没有交点，求a的取值范围；(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=12(3)若函数ℎ(x)=4f(x)+12x+m⋅2x−1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得ℎ(x)最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．18. 已知函数f(x)={(12)x −2，(x ≤0)log 2(x +1)−1，(x >0)(1)求f(x)的零点； (2)求不等式f(x)>0的解集．19. 全集U =R ，函数f(x)=√x+2+lg(3−x)的定义域为集合A ，集合B ={x|x 2−a <0}．(1)求∁U A ；(2)若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．20.海安县城有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x)；(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？21.设e⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为两个不共线的向量，若a⃗=e1⃗⃗⃗ +λe2⃗⃗⃗ ，b⃗ =2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗1(1)若a⃗与b⃗ 共线，求实数λ的值；(2)若e⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为互相垂直的单位向量，且a⃗⊥b⃗ ，求实数λ的值．1答案和解析【答案】1. C2. C3. C4. C5. D6. A7. B8. D9. C10. B11. D12. B13. 214. 115. √216. {6，8，10}17. 解：(1)∵f(−1)=f(1)，即log4(4−1+1)−k=log4(4+1)+k∴2k=log454−log45=log414=−1∴k=−12…5分(2)由题意知方程log4(4x+1)−12x=12x+a即方程a=log4(4x+1)−x无解，令g(x)=log4(4x+1)−x，则函数y=g(x)的图象与直线y=a无交点∵g(x)=log4(4x+1)−x=log44x+14x=log4(1+14x)任取x1、x2∈R，且x1<x2，则0<4x1<4x2，∴14x1>14x2.∴g(x1)−g(x2)=log4(1+14x1)−log4(1+14x2)>0，∴g(x)在(−∞，+∞)上是单调减函数．∵1+14x >1，∴g(x)=log4(1+14x)>0．∴a的取值范围是(−∞，0].…9分注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分.…9分(3)由题意ℎ(x)=4x+m×2x，x∈[0，log23]，令t =2x ∈[1，3]，φ(t)=t 2+mt ，t ∈[1，3]， ∵开口向上，对称轴t =−m2． 当−m 2≤1，即m ≥−2，φ(t)min =φ(1)=1+m =0，m =−1当1<−m 2<3，即−6<m <−2，φ(t)min =φ(−m2)=−m 24=0，m =0(舍去)当−m2≥3，即m <−6，φ(t)min =φ(3)=9+3m =0，m =−3(舍去) ∴存在m =−1得ℎ(x)最小值为0…12分18. 解：(1)根据题意，函数f(x)={(12)x −2，(x ≤0)log 2(x +1)−1，(x >0)当x ≤0时，f(x)=(12)x −2=0，解可得x =−1， 当x >0时，f(x)=log 2(x +1)−1=0，解可得x =1， 则f(x)的零点为−1，1；(2)若函数f(x)={(12)x −2，(x ≤0)log 2(x +1)−1，(x >0)当x ≤0时，f(x)=(12)x −2，若f(x)>0，有(12)x −2>0，解可得x <−1， 当x >0时，f(x)=log 2(x +1)，若f(x)>0，有log 2(x +1)−1>0，解可得x >1， 故不等式f(x)>0的解集为{x|x <−1或x >1}． 19. 解：(1)∵x +2>0，且3−x >0， ∴−2<x <3， ∴A =(−2，3)，∴∁U A =(−∞，−2]∪[3，+∞)； (2)当a ≤0时，B =⌀满足A ∪B =A ； 当a >0时，B =(−√a ，√a)， ∵A ∪B =A ， ∴B ⊆A ， ∴{−√a ≥−2√a ≤3， ∴0<a ≤4，综上所述：实数a 的范围是a ≤4． 20. 解：(1)f(x)=5x(15≤x ≤40)， g(x)={90,(15≤x ≤30)2x +30,(30<x ≤40)．(2)由f(x)=g(x)，得{15≤x ≤305x =90或{30<x ≤402x +30=5x ， 即x =18或x =10 (舍)，当15≤x <18时，f(x)−g(x)=5x −90<0， ∴f(x)<g(x)，选甲家；当x =18时，f(x)=g(x)，甲、乙两家都可以选； 当18<x ≤30时，f(x)−g(x)=5x −90>0， ∴f(x)>g(x)，选乙家；当30<x ≤40时，f(x)−g(x)=5x −(2x +30)=3x −30>0，∴f(x)>g(x)，选乙家．综上所述，当15≤x<18时，选甲家；当x=18时，甲、乙两家都可以选；当18<x≤40时，选乙家．21. 解：(1)根据题意，e⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为两个不共线的向量，且a⃗=e1⃗⃗⃗ +λe2⃗⃗⃗ ，b⃗ =2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ ；1若a⃗与b⃗ 共线，则存在实数k，使得a⃗=k b⃗ ，则有(e1⃗⃗⃗ +λe2⃗⃗⃗ )=k(2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )=2k e1⃗⃗⃗ −k e2⃗⃗⃗ ，则有1=2k且λ=−k，；解可得λ=−12(2)e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为互相垂直的单位向量，若a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =(e1⃗⃗⃗ +λe2⃗⃗⃗ )⋅(2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )=0，变形可得：2|e1⃗⃗⃗ |=λ|e2⃗⃗⃗ |，即λ=2；故λ=2．【解析】1. 解：不等式f(x+1)−f(2)<0等价为f(x+1)<f(2)，∵f(x)=x2+log2|x|，∴f(−x)=(−x)2+log2|−x|=x2+log2|x|=f(x)，则函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)=x2+log2x为增函数，则不等式f(x+1)<f(2)等价为f(|x+1|)<f(2)，即|x+1|<2且x+1≠0，即−2<x+1<2且x≠−1，即−3<x<1且x≠−1，即不等式的解集为(−3，−1)∪(−1，1)，故选：C根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．2. 解：由三视图知几何体是边长为2的正方体削去一个三棱锥，其直观图如图：截面三角形为等边三角形，边长为√2，∴截面的面积为√34×2=√32，∴几何体的表面积S=3×1×1+√32+32=9+√32．故选：C．根据三视图判断几何体是正方体削去一个三棱锥，截面三角形为等边三角形，根据正方体的边长计算截面三角形的边长，求出截面的面积，再求几何体的其他各面的面积，然后相加本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量3. 解：分别画出y=|lnx|和y=(12)x−a的图象，由题意可得方程|lnx|−(12)x+a=0有两个不等的实数根，即为y=|lnx|和y=(12)x−a的图象有两个不同的交点，可得x=1，y=0时，a=12，通过图象平移可得a 的取值范围是(−∞，12). 故选C ．分别画出y =|lnx|和y =(12)x −a 的图象，由题意可得y =|lnx|和y =(12)x −a 的图象有两个不同的交点，求得图象过Z(1，0)时a 的值，平移图象即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化思想以及图象平移，考查数形结合思想方法，属于中档题．4. 解：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的圆心角为θ，根据条件得：πrl +πr 2=3πr 2，即l =2r ，根据扇形面积公式得：θπl 2360∘=πrl ，即θ=γ⋅360∘l =r⋅360∘2r =180∘．故选：C ．设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的圆心角为θ，根据条件得πrl +πr 2=3πr 2，从而l =2r ，再由扇形面积公式能求出该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角．本题考查圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的求法，考查圆锥的表面积，侧面展开图，扇形面积即平面几何知识，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．5. 解：∵长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AA 1=2√3，AD =3，∴长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的直径为：2R =√AB 2+AA 12+AD 2=√4+12+9=5．故选：D．长方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的直径为：2R=√AB2+AA2+AD2．1本题考查长方体的外接球的直径的求法，考查长方体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．6. 解：∵函数y=x(x2−1)，令f(x)=x(x2−1)，则f(−x)=−x(x2−1)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，又当0<x<1时，f(x)<0，综上所述，函数y=x(x2−1)的大致图象是选项A．故选：A．通过对函数的奇偶性进行研究，发现函数为奇函数，再考虑一些特殊值的取值，比如当0<x<1时，f(x)<0，即可判断得到答案．本题考查了函数的图象.研究函数图象一般从定义域、值域、单调性、对称性、恒过的定点、渐近线等方面进行研究.属于基础题．，x∈(0，+∞)7. 解：构建函数f(x)=e x−1x，当x∈(0，+∞)∴f′(x)=e x+1x2∴f′(x)>0∴函数为单调增函数)=√e−2<0，∵f(1)=e−1>0，f(12)<0．f(1)f(12∴方程的e x =1x 的根所在的区间是(12，1) 故选：B ．构建函数f(x)=e x −1x ，函数的定义域为(0，+∞)，判断函数是单调增函数，再利用零点存在定理，可求方程e x =1x 的根所在区间．本题考查方程的根，考查函数的单调性，解题的关键是构建函数，确定其单调性．8. 解：∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，⇒4OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x =34，y =14． 故选：D ．根据向量的基本运算以及平面向量的基本定理进行表示即可得到结论．本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键.属于中档题．9. 解：a =log 213<0，b =21.1>1，c =0.82.3∈(0，1)， ∴a <c <b ．故选：C ．利用函数的单调性即可得出．本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 解：对于A ，y =sin x 2的周期为T =2π12=4π，不合题意；对于B ，x ∈(0，π2)时，2x ∈(0，π)， ∴y =cos2x 在(0，π2)上是减函数，又函数的周期为T=π，满足题意；对于C，x∈(0，π2)时，x−π4∈(−π4，π4)，∴y=tan(x−π4)在(0，π2)内是增函数，不合题意；对于D，x∈(0，π2)时，2x+π4∈(π4，5π4)，∴y=sin(2x+π4)在(0，π2)内不是单调递减函数，不合题意．故选：B．根据题意，分别判断选项中函数的周期性与单调性即可．本题考查了三角函数的周期性与单调性问题，是基础题．11. 解：从图中直线的看出：甲，乙的出发时间相同；甲乙两人所走的路程相同，即S甲=S乙；故可排除AB；从图中图象的横坐标可看出：甲用的时间小于乙用的时间，故甲先到达终点，而两人的路程相同，所以甲的速度大于乙的速度，故D正确，C错误，故选：D．根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．本题考查函数的表示方法，图象法.注意：要从图象中看出题目的信息是解题的关键．12. 解：由设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若l⊥α，α⊥β，则l//β或l⊂β，故A错误；在B中，若l⊥α，α//β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若l//α，α//β，则l//β或l⊂β，故C错误；在D中，若l//α，α⊥β，则l与β相交∖平行或l⊂β，故D错误．故选：B．在A 中，l//β或l ⊂β；在B 中，由线面垂直的判定定理得l ⊥β；在C 中，l//β或l ⊂β；在D 中，l 与β相交∖平行或l ⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．13. 解：原式=2lg2+lg512lg10=2(lg2+lg5)=2lg10=2 故答案为2先利用幂的对数的运算法则再利用积的对数的运算法则求出值．本题考查对数的四则运算法则：积、商、幂的运算法则．14. 解：因为不等式x 2+px −6<0的解集为{x|−3<x <2}，所以−3，2是方程x 2+px −6=0的两个根所以−3+2=−p所以p =1故答案为1先利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系得到一元二次方程的两个根，利用韦达定理得到不等式，求出p 的值．一元二次不等式的解集的端点是相应方程的两个根；一元二次方程的根与系数的关系．15. 解：根据题意，向量a ⃗ =(−1，3)，b ⃗ =(1，−2)，则a ⃗ +2b ⃗ =(1，−1)，则|a ⃗ +2b ⃗ |=√12+(−1)2=√2；故答案为：√2．根据题意，由向量坐标计算公式可得向量a⃗+2b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量模的坐标计算，关键是求出向量a⃗+2b⃗ 的坐标．16. 解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩(∁U A)．则B∩(∁A)={6，8，10}，U故答案为：{6，8，10}．根据Venn图和集合之间的关系进行判断．本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．17. (1)根据f(−1)=f(1)，求出k的值即可；(2)令g(x)=log4(4x+1)−x，问题转化为函数y=g(x)的图象与直线y=a无交点，根据函数的单调性求出a 的范围即可；(3)根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可．本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题．18. (1)由函数的解析式分2种情况分析：当x≤0时，f(x)=(1)x−2=0，当x>0时，f(x)=log2(x+1)−1=20，分别求出x的值，综合即可得答案；(2)根据题意，对不等式f(x)>0分2种情况讨论：分别求出x的取值范围，综合即可得答案．本题考查分段函数的性质，涉及函数零点的判定以及指数、对数不等式的解法，一般对于分段函数，要分段分析．19. (1)由题意可得x+2>0，且3−x>0，解不等式可得集合A，由补集的定义可得所求集合；(2)A∪B=A，可得B⊆A，讨论a的符号，以及B是否为空集，解不等式即可得到所求集合．本题考查集合的补集和并集的性质，考查函数的定义域的求法，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．20. (1)利用已知条件直接列出函数的解析式即可．(2)由f(x)=g(x)，得{15≤x ≤305x =90或{30<x ≤402x +30=5x ，求出x =18，然后讨论经济实惠的乒乓球俱乐部． 本题考查函数的实际应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想以及计算能力．21. (1)根据题意，由向量平行的判定公式，分析可得若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则存在实数k ，使得a ⃗ =k b ⃗ ，进而可得(e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ )=k(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )=2k e 1⃗⃗⃗ −k e 2⃗⃗⃗ ，分析可得k 的值，即可得答案；(2)由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得a ⃗ ⋅b ⃗ =(e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ )⋅(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )=0，变形可得：2|e 1⃗⃗⃗ |=λ|e 2⃗⃗⃗ |，即可得答案．本题考查向量数量积的计算与向量平行的判定方法，关键是掌握向量数量积的计算公式．。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战23389
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，则下列能正确表示集合M ＝{0，1，2}和N ＝{x|x2＋2x ＝0}关系的韦恩（Venn ）图是A ．B ．C ．D ．2．设复数z ＝2＋i ，则25z z+= A ．－5＋3iB ．－5－3iC ．5＋3iD ．5－3i3．如图1为某省1～4月快递业务量统计图，图2是该省1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A ．1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C ．从两图来看，1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1～4月来看，该省在快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x ，y 满足约束条件60330x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则1y z x =+的取值范围是 A ．（－∞，－9]∪[0，＋∞）B ．（－∞，－11]∪[－2，＋∞）C ．[－9，0]D ．[－11，－2]5．函数211()ln ||22f x x x =+-的图象大致为 A ．B ．C ．D ．6．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A ．4643π- B ．64－4πC ．64－6πD ．64－8π7．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A ．i ＜6B ．i ＜7C ．i ＜8D ．i ＜98．袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A ．19B ．318C ．29D ．5189．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22()sin a c b C +=+，则B ＝A ．6π B ．4π C ．23π D ．3π 10．在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为A B ．12C ．13D ．1411．已知奇函数f （x ）在R 上的导数为f′（x ），且当x ∈（－∞，0]时，f′（x ）＞1，则不等式f （2x －1）－f （x ＋2）≥x －3的解集为A ．（3，＋∞）B ．[3，＋∞）C ．（－∞，3]D ．（－∞，3）12．已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x1使f （x1）＝3，则ω的最大值为 A ．574B ．1114C ．1054D ．1174第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上．13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则（2a ＋b ）·（a －3b ）＝________．14．253sin 50________43cos 20-︒=-︒． 15．已知正三棱柱ABC —A1B1C1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB1的中点，则四棱锥C —A1ABD 的表面积是________．16．已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），圆M ：222()4b x a y -+=．若双曲线C 的一条渐近线与圆M 相切，则当22147ln 2b a a +-取得最小值时，C 的实轴长为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．设数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝3，且Sn ＝nan ＋1－n2－n ．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足22121(1)n n n b n a ++=-，求{bn}的前n 项和Tn ． 18．8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（ⅰ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．19．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，点E 在棱CS 上，且CE ＝λCS ．（1）若23λ=，证明：BE ⊥CD ； （2）若13λ=，求点E 到平面SBD 的距离．20．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M （与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数()2ln af x x ax=-+-．（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递减函数，求a的取值范围；（2）当－2＜a＜0时，证明：对任意x∈（0，＋∞），22e(1)ax aax-<-．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,22x my⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．～度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（文科）1．A2．C3．D4．A5．C6．B7．B8．C9．D10．C11．B12．C13．72-14．215．36++16．417．解：（1）由条件知Sn ＝nan ＋1－n2－n ，①当n ＝1时，a2－a1＝2；当n≥2时，Sn －1＝（n －1）an －（n －1）2－（n －1），②①－②得an ＝nan ＋1－（n －1）an －2n ，整理得an ＋1－an ＝2．综上可知，数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列，从而得an ＝2n ＋1．（2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++， 所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++．18．解（1）平均数150.15250.2350.3450.15550.1(6575)0.0537x =⨯+⨯++⨯+⨯+⨯++⨯=．前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x ，则（x －30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x ＝35，即中位数为35．（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a ，b ，c ，d ，年龄在[60，70）的有2人，设为x ，y ．则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，x ），（a ，y ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，d ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）．至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a ，x ），（a ，y ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）．记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A ， 故所求概率93()155P A ==． （ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1．因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ．又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°，所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA ＝A ，所以CD ⊥平面SAD ，所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF∩EF ＝F ，所以CD ⊥平面BEF ．又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：由题设得，111()2332S BCD BCD V S SA CD AD SA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 又因为225SB SA AB =+=，225BD AB AD =+=，2222SD SA AD =+=，所以2211()622SBD S SD SB SD =⋅⋅-=△， 设点C 到平面SBD 的距离为h ，则由VS —BCD ＝VC —SBD 得6h =， 因为13CE CS =，所以点E 到平面SBD 的距离为2263h =． 20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y2＝1外切，所以22(2)1x y r -+=+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，②由①②消去r 得y2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x0，y0），A （x1，y1），B （x2，y2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =，1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y x x ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y1＋y2＝8t ，y1y2＝16，且y1≠y2，代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4）， 即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意．21．（1）解：由题意得22()0a f x x x'=--≤， 即a≥－2x 在[1，＋∞）上恒成立，所以a≥－2．（2）证明：由（1）可知2222()a x a f x x x x+'=--=-， 所以f （x ）在（0，2a -）上单调递增，在（2a -，＋∞）上单调递减． 因为－2＜a ＜0， 所以112a a x-<<-， 所以(1)(1)0a f f x -<=，即2ln(1)01a a a a x x --+-<-， 即222ln(1)ln(1)a a a x a x x<-=--， 所以22e (1)a x a a x-<-． 22．解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48， 得x2＋3y2＝48，即2214816x y +=，因为c2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x2＋3y2＝48，化简得t2－4t －8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sinθ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x≤－5； 当－2＜x ＜1时，由3x≥2x ＋1，解得x ∈∅； 当x≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1． 综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4，即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x-<<在x ∈（0，2）上恒成立，又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x>，所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1，3]．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣14.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣15.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.14.（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数棱数（E）（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.（几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直.线l的方程23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：B.【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可.【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e.故选：C.【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.故选：C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π.故选：D.【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.故选：C.【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.【解答】解：A.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；C.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f （x）在R上是单调减函数，故C错.D.f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选：D.【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题.8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题.故选：B.【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论.【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4.方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4.故选：A.【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式.【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：A选项，导数为，令其为0，解得x=±5，故A正确；B选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故B错误；C选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故C错误；D选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故D错误.故选：A.【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用.二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=.故答案为：.【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为 x2+（y﹣1）2=1 .【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程.【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1.【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出.【解答】解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0.∴2tanθ=1，∴tanθ=.故答案为：.【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题. 14.（5分）观察分析下表中的数据：棱数（E）多面体面数（F）顶点数（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 F+V﹣E=2 .【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案.【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2.根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立.因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2故答案为：F+V﹣E=2【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决.【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题. （几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 .【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论.【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3.故答案为：3.【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 .【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出.【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P.直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0.∴点P到直线的距离d==1.故答案为：1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为.【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.【分析】（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.【解答】（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD⊥底面BDC.如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，∴AD∥EF.∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，∴AD∥GH.由平行公理可得EF∥GH.∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，∴BC∥FG.∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，∴BC∥EH.由平行公理可得FG∥EH.∴四边形EFGH为平行四边形.又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，则EF⊥EH.∴四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）解：解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，∵△MEH是等腰直角三角形，∴MN=，又MF=AB=，∴sin∠AFN==，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是.解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB=DC=2，DA=1.又E为AB中点，∴F，G分别为DB，DC中点.∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）.则.设平面EFGH的一个法向量为.由，得，取y=1，得x=1.∴.则sinθ=|cos＜＞|===.【点评】本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.【分析】（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m +n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值.【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m +n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，1.故m﹣n的最大值为21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.【分析】（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论.【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P （）P （）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P （）P（B）+P（A）P （）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.2（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P （C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896.【点评】本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力.23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式.【解答】解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明.①当n=1时，，结论成立.②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立.由①②可知，结论对n∈N+成立.（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立.设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立.∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1].（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证.【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线。
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高三数学寒假作业（一）（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合{}-1012A =，，，，集合{}
23,B y y x x A ==-∈⋂，则A B 等于
A ．{}101-，，
B ．{}11-，
C ．{}112-，，
D ．{}012，， 2.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A.45 B.35 C.25 D.15
3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，6483,a a a =+则
A ．有最小值6
B ．有最大值6
C ．有最大值9
D ．有最小值3
4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据：
根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，那么表中m 的值为
A ．27．9
B ．25．5
C ．26．9
D ．26
5. 已知函数x
x x f ln 11)(--=，则()y f x =的图象大致为
6．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭的图像向右平移6
π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是
A ．()g x 的周期为π
B ．62g π⎛⎫=
⎪⎝⎭C ．()3x g x π=是的一条对称轴 D ．()g x 为奇函数 7．已知F 是抛物线2x y =的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB
的中点到x 轴的距离为 ( ) A ．
74 B ．54 C ．1 D ．34
8．给出下列结论：
①命题“若000x y xy ===或，则”的否命题为“若00x y ≠≠或，则xy ≠0”； ②“2a =”是“直线41030ax y ax y ++=--=与直线垂直”的充要条件；
③命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；
④函数()x
f x e x =+的零点在区间()1,0-内. 其中正确结论的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
9．已知m ，n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列命题正确的是
A ．//,//,//m n m n αα若则
B ．,//αγβγαβ⊥⊥若，则
C ．//,//,//m m αβαβ若则
D ．,,//m n m n αα⊥⊥若则
10．如图，平面四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，
2BC CD ==，点E 在对角线AC 上，AC=4，AE=1，
则EB ED ⋅的值为 ( ) A ．17 B ．13 C ．5 D ．1
11．已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为 A
B
C
． D
12．设函数()()()()()()[],20,1f x x R f x f x f x f x x ∈-==-∈满足，且当时，()3f x x =，又函数()4log g x x =，则函数()()()h x g x f x =-零点的个数为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．设函数()()()()2211log 2,16log 112,1
x x x f x f f x -⎧+-<⎪=-+=⎨≥⎪⎩，则 ． 14．设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则目标函数24z x y =+的最小值是 ．
15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
16.对任意数列123:,,,,,n A a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，定义A ∆为数列
2132431,,,,,n n a a a a a a a a +---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，如果数列A
使得数列()A ∆∆的所有项都是1，且122220a a a ===，则 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为()222,,24a b c a b c =-，且．
(I)求角B 的大小；
(Ⅱ)若1b c =-的取值范围．
18．如图，三棱柱1111ABC A B C A -，点在平面ABC 内的射影D 在AC 上，
E 是B 1C 1的中点∠BAC=1160CAA AB AC AA ∠===，且．
(I)求证：11//DE AA B B 平面；
(Ⅱ)求证：11B C A B ⊥．
19．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。
某学校数学学科共有30位教师，其中60％的人经常进行体育锻炼。
经体检调查，这30位教师的健康指数(百分制)的数据如下：
经常锻炼的：65，76，80，75，92，84，76，86，87，95，68，82，72，94，71，89，83，77缺少锻炼的：63，58，85，93，65，72，59，91，63，67，56，64
(I) 根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断
有多大把握认为“身体状况好与体育锻炼有关系”?
(Ⅱ)从该学科教师健康指数高于90的5人中随机
选取2人介绍养生之道，求这2人中经常进行体育锻炼的人数的分布列和数学期望． 附：()()()()()()
2
2a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++．
20．已知椭圆(22
2:13x y C a a +=>的右焦点为F ，左顶点为A ，右顶点为B ，e 为椭圆的离心率，且119e OF OA FA
+=，其中O 为原点．(I)求椭圆的方程； (Ⅱ)设过点F 的直线l (直线l 与x 轴不重合)与椭圆C 交于M ，N 两点，直线AM 与BN 交于点T.证明：T 点的横坐标为定值．
21．已知函数()()ln 0a f x x a x
=+>． (I)若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)证明：当()2x a f x e e -≥
>时，.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程．
已知直线l
的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为222x y x +=，且直线l
与圆C 交于A 、B 两点．
(I)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l 与圆C 的极坐标方程； (Ⅱ)求OAB ∆的面积(O 为坐标原点)．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数()()23f x x m x m R =++-∈．(I)当3m =-时，解不等式()9f x <； (Ⅱ)若存在[]2,4x ∈，使得()3f x ≤成立，求m 的取值范围．
高三数学寒假作业（一）（文科）答案。