2016理科高考压轴大题突破练(三)

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高考压轴大题突破练
(三)函数与导数(1)
1．已知函数f (x )＝12
x 2＋2a ln x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调区间；
(2)若函数g (x )＝2x
＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．
2．已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1
(a ∈R )． (1)当a ＝92
时，如果函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，求实数k 的取值范围； (2)当a ＝2时，试比较f (x )与1的大小．
3．(2015·广东)设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)e x－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；
(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是
坐标原点)，证明：m≤3
a－
2
e－1.
4．已知函数f (x )＝a ln x －8x －1x ＋1
. (1)求函数在点(1，－72
)处的切线方程； (2)当a ＝2时，求函数的单调区间与函数在[1,3]上的最值；
(3)设h (x )＝x 2－2bx ＋4，a ＝－2，若对于任意的x 1∈[1,2]，存在x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥h (x 2)成立，试确定b 的取值范围．
答案精析
高考压轴大题突破练
(三)函数与导数(1)
1．解 (1)因为f (x )＝12
x 2＋2a ln x (a ∈R )， 所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝x ＋2a x ＝x 2＋2a x
. ①当a ≥0时，f ′(x )>0，
故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a <0时，令f ′(x )＝0⇒x 2＋2a ＝0⇒x 2＝－2a ，解得x ＝－2a 或x ＝－－2a (舍去)． 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：
由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是[－2a ，＋∞)．综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a <0时，f (x )的单调递减区间是(0，－2a ]，单调递增区间是(－2a ，＋∞)．
(2)因为g (x )＝2x ＋f (x )＝2x ＋12x 2＋2a ln x ，所以g ′(x )＝－2x 2＋x ＋2a x ＝x 3＋2ax －2x 2
， 因为g (x )＝2x
＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数， 所以g ′(x )≥0，
即x 3＋2ax －2≥0在区间[1,4]上恒成立，
即2a ≥2x
－x 2在区间[1,4]上恒成立． 设h (x )＝2x
－x 2(x ∈[1,4])， 则h ′(x )＝－2x 2－2x ＝－(2x
2＋2x )<0， 所以h (x )在[1,4]上单调递减，则h (x )∈[－312
，1]．
所以2a ≥1，即a ≥12
. 故实数a 的取值范围为[12
，＋∞)． 2．解 (1)当a ＝92时，f (x )＝ln x ＋92(x ＋1)
，定义域是(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －92(x ＋1)2＝(2x －1)(x －2)2x (x ＋1)2
， 令f ′(x )＝0，得x ＝12
或x ＝2. 因为当0<x <12
或x >2时，f ′(x )>0， 当12
<x <2时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在(0，12)，(2，＋∞)上单调递增，在(12
，2)上单调递减． 所以f (x )的极大值是f (12)＝3－ln2，极小值是f (2)＝32
＋ln2. 因为当x →0时，f (x )→－∞，
当x →＋∞时，f (x )→＋∞，
所以当g (x )仅有一个零点时，
k >3－ln2或k <32
＋ln2. 故实数k 的取值范围为(－∞，32
＋ln2)∪(3－ln2，＋∞)． (2)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1
，定义域为(0，＋∞)． 令h (x )＝f (x )－1＝ln x ＋2x ＋1
－1， 因为h ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2
>0， 所以h (x )在(0，＋∞)上是增函数．
①当x >1时，h (x )>h (1)＝0，即f (x )>1；
②当0<x <1时，h (x )<h (1)＝0，即f (x )<1；
③当x ＝1时，h (x )＝h (1)＝0，即f (x )＝1.
3．(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x
＝(x ＋1)2e x ，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立．
∴f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．
(2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )
＝(1＋a 2)e a －a ，
∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0，
∴f (0)·f (a )<0，
∴f (x )在(0，a )上有一零点，
又∵f (x )在(－∞，＋∞)上递增，
∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点，
∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
(3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，
设P (x 0，y 0)，
则f ′(x 0)＝e 0x (x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1，
把x 0＝－1，代入y ＝f (x )得y 0＝2e
－a ， ∴k OP ＝a －2e
. f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e
， 令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.
令g ′(x )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上递增．
令g ′(x )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上递减．
∴g (m )min ＝g (0)＝0.
∴e m －(m ＋1)≥0，
即e m ≥m ＋1.
∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，
即a －2e
≥(m ＋1)3. ∴m ＋1≤3a －2e ，即m ≤3a －2e
－1. 4．解 (1)因为f (1)＝－72
， 所以(1，－72
)在函数的图象上， 又f (x )＝a ln x －8x －1x ＋1
，
所以f ′(x )＝a x －9(x ＋1)2
， f ′(1)＝a －94
， 所以所求切线的方程为
y ＋72＝(a －94
)(x －1)， 即y ＝(a －94)x －a －54
. (2)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －8x －1x ＋1，f ′(x )＝2x －9(x ＋1)2＝2(x ＋1)2－9x x (x ＋1)2＝2x 2－5x ＋2x (x ＋1)2
＝(2x －1)(x －2)x (x ＋1)2
， 令f ′(x )>0，则x >2或0<x <12
， 令f ′(x )<0，则12
<x <2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，12)和(2，＋∞)，单调递减区间为(12
，2)． 当x ∈[1,3]时，可知函数f (x )在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
所以最小值为f (2)＝2ln2－5.
又f (1)＝－72，f (3)＝2ln3－234
， 且f (3)－f (1)＝2ln3－94
<0， 所以f (1)>f (3)．
所以函数f (x )在[1,3]上的最小值为2ln2－5，最大值为－72
. (3)若对于任意的x 1∈[1,2]，存在x 2∈[2,3]，使f (x 1)≥h (x 2)，
则f (x 1)min ≥h (x 2)min ，
又a ＝－2，则f (x )＝－2ln x －
8x －1x ＋1
， f ′(x )＝－2x －9(x ＋1)2
<0， 所以f (x )在[1,2]上单调递减，
f (x 1)min ＝f (2)＝－2ln2－5.
所以x 2－2bx ＋4≤－2ln2－5⇒2b ≥x 2＋9＋2ln2x ， 设函数g (x )＝x 2＋9＋2ln2x
，
则g (x )在[2,3]上单调递减， 所以2b ≥g (x )min ＝g (3)＝
9＋9＋2ln23， 即b ≥9＋ln23
. 所以b 的取值范围为[9＋ln23，＋∞)．。