数学：沪教版高二上册 82向量的数量积(课件)

即：向量数量积运算不满足结合律
（ 2 ）数乘结合律： (a) b (a b) a (b)
若 0， 则显然成立 若
0，
(a)与 b； a 与 b； a 与 (b) 的夹角分别是什么
若
0,
( a) 与 b； a 与 b； a 与 ( b) 的夹角又是什么
（ 2 ）结合律： ( ab ) ca ( bc ) （ 3 ）分配律： ( a b ) c ac bc
向量的数量积
类比猜想
（ 1 ）交换律： a bb a （ 2 ）结合律： ( a b ) c a ( b c )
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
（ 4 ）数乘结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b )
是 否 都 成 立 ？
验证向量数量积的运算律
（ 1 ）交换律： a bb a
a b a b cos b a cos b a
思考：
(ab)c a(bc) 能否对任意向量 a,b,c 都成立？
a b 与 a 垂直 解： 2 （ a b ） a 0 即 a b a0
a ba a 1
2 2
cos
a b a b
a 与 b 的夹角为 θ 0 ，π 4 4


1 2 2 2
1 、 已 知 ： a b 1 ,a 与 b 夹 角 为 1 2 0 ，
C
A
B
3、向量的数量积的重要性质
（ 1 ）当 a 与 b 同向时 ,a b| a | | b |
已知 a ,b 均为非零向量，且 a 与 b 的夹角为 θ
当 a 与 b 反向时 ,ab | a || b|
// b a b | a || b | 即 a (2) a b a b 0
2 2 r r 0 | || |
ab a b
2 2 2

2
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
五、小结
1、向量的夹角
2、向量数量积的定义
3、向量数量积的性质 4、向量数量积的运算律
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
如何验证？
可借助向量数量积的几何意义验证； 或通过向量数量积的坐标表示验证。
5、向量的数量积的几何意义
如图，作出│b │cosθ，并说出它的几何 意义；││cosθ的几何意义又是什么？ a B B
┐
B
b
O θ
b
a
(1)
B1 A
B
对于两个非零向量 a 、 b ，如果以 O 为起点
b

O a A
（ 1 ）若 0 ，则向量 a 与 b 方向相同；
O
b
a B b a A
（ 2 ）若 ，则向量 a 与 b 方向相反；
B O A
即当 0 或 时，向量 a 与 b 互相平行。 B （ 3 ）若 ，则向量 a 与 b 垂直，
b a+b M N c
例3、证明
( 1 )( a b ) a 2 a b b
2 2 2
( 2 )( a b ) ( a b ) a b
向量的数量积的常用公式
2
2
例4、已知 a 6, b 4,
a
与 b 的夹角为60°，
b 在 求：（1） （2）a 在
a 方向上的投影； b 方向上的投影；
a a a
2
例 1 、 已知| a | 5, | b | 4, (1)当a 与b的夹角是 120 时，求 a b；
0
(2) 当a b 时，求 a b； (3) 当a // b 时，求 a b.
如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求
（1）AB与 AC 的数量积； （2）AB与BC 的数量积；
(1 )0 a 0
(×)
(2)0 a 0 ( × )
( 3 ) 若 a b | a || b |, 则 a // b (√)
( 4 ) a a a |a |
2
2
(√)
(5 )若 ab0 ,则 a 与 b 中至少有一个为 0 .
(×)
2 、在 ABC 中， AB BC 0 ，则 ABC 的形状
（ 3） a b a 2b 与 k a b 互相垂直？ （4） 为何值时，
（ a2 b ） （ a3 b ） （ 5）
（ 6） （a （ 7）
k
b ）
2
ab
（ 8 ） 2a 3b
例 5 、 已 知， a 1 b 2 ， 且 aba 与 垂 直 ， 求 ab 与 的 夹 角
5、向量的数量积的几何意义
b O
B
A
θ |b|cosθ B1 a
两个向量 a 、 b 的数量积是其中的一个 向量 a 的模 a 与
另一个向量 b在向量 a方向上的投影 bcos 的乘积
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： (a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
2
b
记作 ab

O
a A
规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。
如图,等边三角形ABC中,求 求（1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 ' C
平移向量至 始点重合
C
120
A

60

B
120 0
D
2、向量的数量积的定义
一般地，如果两个非零向量 a 的夹角 、b a || b | cos θ （ 0 ）， 为 那么我们把 | 叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 a b ， 即
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
直角三角形
不能确定
（ D ）
王新敞
奎屯
新疆
3 、在 ABC 中， AB BC 0 ，则 ABC 的形状
C
（
C）
A
B
4、向量的数量积的运算律
问题:
（1）实数乘法有哪些运算律？
（2）这些运算律是否能适用于
向量的数量积的运算？
1 ）交换律： ab ba 实数乘法（
W | F || s | cos θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 将公式中的力与位移推广到一般向量 结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。
出现了向量的一种新的运算
1、向量的夹角
作 OA a ， OB b ,那么射线 OA 、 OB 的夹角 叫做向量 a 与向量 b 的夹角，其中 0 .
┐ θ B1 O
a
A
b θ ┓ O(B ) 1
a
A
(2)
（3）
5、向量的数量积的几何意义
B B
┐
B
b
O
b
θ
a
(1)
B1 A
┐ θ B1 O
a
A
b θ ┓ O(B ) 1
a
A
0 2 bc o s O B 1
b c o s O B 1
2
(2)

（3）
问题1:
我们学习了向量的哪些运算？
这些运算的结果是什么？
平面向量的加法、减法和数乘三种运算；
运算的结果仍是向量
问题2:

F
一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做的功为多少？
s
其中力 和位移 s 是向量， F 与s 的夹角，而功 W是数量. 是F
W | F || s | cos θ
两个重要的充要条件
3、向量的数量积的重要性质
|ab| |a||b|成立吗 ?
（ 3 ） |ab| |a||b|
(4) cos θ
a b a b
2
0 a (5)a a a a cos
即 a a
2
2
例2、填空
(1) 若 |a | 12 ， |b | 9 ， a b 542 ,
1350 则 a 与 b的夹角 θ_______
(2) 已知 ABC ， AB a ,AC b ,
直角 三角形。 当 a b0 时， ABC 为 _______
2
2 2 (3) 已知向量 a 满足 a 8 ，则 |a | ____
1、已知 a , b , c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
ab| a || b |cos θ
B b O
a
A
|| b |cos θ 向量的数量积的说明 ab|a
1、 a
b
不能写成
“ ” 不能省略。 a b， 且
2、向量的数量积是一个数量,不是向量。 当 a , b 为非零向量时，数量积的正负 由夹角余弦值决定。
3、规定 0 a 0 4、特别记
b co s 0
2
│ b │cosθ叫做向量 b 在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
(1)投影是一个数量，不是向量。
( 2)当 为 锐 角 时 投 影 为 正 值 O B 1 当 为 钝 角 时 投 影 为 负 值 - O B1 当为直角时投影为0 当 为 0时 投 影 为 b 当为时投影为- b
0