《11.1三角形的中线、高线、角平分线》同步测试(含答案解析)
专项11-1 三角形的边、高、中线与角平分线等相关计算(解析版)
2020—2021八年级上学期专项冲刺卷（人教版）专项11.1 三角形的边、高、中线与角平分线等相关计算姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知三角形中，某两条边的长分别为5和9，则另一条边的长可能是（）A．4 B．5 C．3 D．14【答案】B【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：9+5=14，9-5=4，所以第三边在4到14之间，只有B中的5满足．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和．2．三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三长是奇数，则其周长为（）A．15 B．13 C．11 D．15或13或11【答案】A【分析】本题可先求出第三边的取值范围，找出其中三边都不相等，且为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．【详解】解：设第三边长为x．根据三角形的三边关系，则有5−3＜x＜5＋3，即2＜x＜8，因为三边都不相等，第三边长是奇数，所以x ＝7，所以周长＝3＋5＋7＝15．故选：A ．【点睛】考查了三角形的三边关系，根据三角形三边长关系，得到第三边长的范围，是解题的关键． 3．如图，线段AD ，AE ，AF 分别是ABC 的高线，角平分线，中线，比较线段AC ，AD ，AE ，AF 的长短，其中最短的是（ ）A ．AFB ．AEC ．ACD ．AD【答案】D【分析】 根据垂线段最短即可得．【详解】解：由三角形的高线的定义得：AD BC ⊥，由垂线段最短得：线段AD 最短，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线、以及垂线段最短，掌握理解垂线段最短是解题关键． 4．如图AB AC ⊥，AD BC ⊥，其中4AC =，3AB =，5BC =，125AD =，165CD =，则B 到AD 距离为（ ）A ．3B ．5C ．165D ．95【答案】D【分析】根据三角形高的定义可知，AD 长度就是点A 到线段BC 的距离，根据此解答即可．【详解】解：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴BD 垂直于AD ，∴B 到AD 的距离等于BD 的长度=BC -CD =95，∴点B 到线段AD 的距离是95，故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的高的概念，结合图形找出△ABC 边BC 上的高是解题的关键．5．若线段AM 和线段AN 分别是ABC 边BC 上的中线和高，则下列判断正确的是（ ） A ．AM AN > B ．AM AN ≥ C ．AM AN < D ．AM AN ≤【答案】B【分析】根据三角形的高的概念得到AN ⊥BC ，根据垂线段最短判断．【详解】解：∵线段AN 是△ABC 边BC 上的高，∴AN ⊥BC ，由垂线段最短可知，AM ≥AN ，故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．6．如图，在ABC ∆中，,AD AE 分别是边BC 上的中线和高，2,3ABD AE S ∆==，则BC =（ ）A ．2B ．32C ．4D ．6【答案】D【分析】 先根据面积公式求出BD ，再根据中线的定义即可求解．【详解】解：∵AE 是ABC ∆边BC 上的高，2,3ABD AE S ∆==，∴BD =2×3÷2=3，∵AD 为ABC ∆边BC 上的中线，∴BC =2BD =6．故选：D【点睛】本题考查三角形的中线和高， 三角形的面积，熟练掌握中线的定义和三角形的面积公式是解题的关键．7．三角形的重心是（ ）A ．三角形三边的高所在直线的交点B ．三角形的三条中线的交点C ．三角形的三条内角平分线的交点D ．三角形三边中垂线的交点【答案】B【分析】根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，等知识点作出判断．【详解】解：三角形三条高的交点是垂心，A 选项不符合题意；三角形三条边中线的交点是三角形的重心，B 选项符合题意；三角形三条内角平分线的交点是三角形的内心，C选项不符合题意；三角形三边中垂线的交点三角形的外心，D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的重心、内心与外心等知识，是基础题，熟记概念是解题的关键．8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能【答案】C【分析】根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部(如图1)，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部(如图2)，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如图3).故选C.【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键. 9．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F．若△ABF的面积是4，则四边形DCEF的面积是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】利用F 点为△ABC 的重心得到AF =2DF ，BF =2EF ，根据三角形面积公式得到S △BDF =2，S △AEF =2，再利用E 点为AC 的中点得到S △BCE =S △ABE =6，然后利用四边形DCEF 的面积=S △BCE -S △BDF 进行计算．【详解】解：∵△ABC 的中线AD 、BE 相交于点F ，∴F 点为△ABC 的重心，∴AF =2DF ，BF =2EF ，∴S △BDF =12S △ABF =12×4=2，S △AEF =12S △ABF =12×4=2， ∵BE 为中线，∴S △BCE =S △ABE =4+2=6，∴四边形DCEF 的面积=S △BCE -S △BDF =6-2=4．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形面积公式．10．如图，AD 是ABC 的中线，BE 是ABD △的中线，EF BC ⊥于点F ．若12,3ABC SBD ==，则EF 长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】 解：∵AD 是△ABC 的中线，S △ABC =12，∴S △ABD =12S △ABC =6，同理，BE 是△ABD 的中线，S △BDE =12S △ABD ，∴S △BDE =14S △ABC ，∵S △BDE =12BD •EF ，∴12BD •EF =14S △ABC ，又∵△ABC 的面积为12，BD =3，∴EF =2，故选B ．【点睛】此题考查了三角形的面积，要理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解．11．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，点G 是重心，如果6AG =，那么线段DG 的长为（ ）A ．3B ．4C ．9D ．12【答案】A【分析】根据三角形重心的定义求解即可.【详解】∵AD 是BC 边上的中线，点G 是重心，∴AG ：DG=2：1,∵6AG =，∴DG=3.故选A.【点睛】本题考查了三角形重心的性质，熟记重心的性质，并能灵活运用是解题的关键.12．如图，D ，E 分别是ABC 的边AC ，BC 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．DE 是BCD △的中线B ．BD 是ABC 的中线C ．AD CD BE EC ==， D ．BD 是ABC 的角平分线【答案】D【分析】根据三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线判断即可得．【详解】点D，E分别是ABC的边AC，BC的中点，∴==，AD CD BE EC,△的边BC上的中线，BD∴是ABC的边AC上的中线，DE是BCD则选项A、B、C正确，∠，因为BD不一定平分ABC所以选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，照相机的底部用三脚架支撑着，请你说说这样做的依据是_____．【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】本题主要考察三角形稳定性的应用.如果已知三角形的三边长度确定,那么这个三角形的形状和大小就完全确定了,且它的形状和大小是固定不变的,这个性质叫做三角形的稳定性.本题即是根据上述知识解答的.【详解】解:根据三角形的特性可知照相机的底部的三脚架支撑利用的是三角形的稳定性由此可知本题的答案.故答案为：三角形的稳定性.【点睛】本题考察三角形稳定性的应用.14．如图，点O 在ABC 内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．【答案】125【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠BOC ．【详解】解：∵点O 到△ABC 三边的距离相等，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ） =180°-12（∠ABC +∠ACB ） =180°-12（180°-∠A ） =180°-12⨯（180°-70°）=125°，故答案为：125．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 15．如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，则CBE BCE ∠+∠=______°.【答案】90【分析】先根据平行线性质得出180ABC DCB ∠+∠=︒，再根据角平分线定义进行求解即可.【详解】∵AB CD ∥∴180ABC DCB ∠+∠=︒∵BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠∴,ABE CBE DCE BCE ∠=∠∠=∠ ∴11118090222CBE BCE ABC DCB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 故填：90.【点睛】 本题考查平行线性质和角平分线定义，熟练掌握性质是关键. 16．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，5CE =，则AD =_________．【答案】2.5【分析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】解：根据三角形面积公式可得，1122ABC SAB CE BC AD =⨯=⨯， ∵AB=3，BC=6，CE=5，∴1135622AD ⨯⨯=⨯⨯， 解得 2.5AD =．【点睛】本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．17．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE的长为_________．【答案】2或6【分析】利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．【详解】解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7， 1142∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7D ==AE ∵AD 为ABC 的中线，∴CD=BD=4，当AE 在ABC 内部时∵CE=2，∴DE=CD-CE=2，当AE 在ABC 外部时∵CE=2，∴DE=CD+CE=6，【点睛】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．18．如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝_____．【答案】6【分析】根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．【详解】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，∴2GD＝AG，∵S△ABG＝2，∴S△ABD＝3，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4 cm，BC=5 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长．(2)求△ABE的面积．【答案】（1）125cm ；（2）3cm 2 【分析】 （1）利用“面积法”来求线段AD 的长度；（2）△AEC 与△ABE 是等底同高的两个三角形，它们的面积相等【详解】解：∵∠BAC=90°，AD 是边BC 上的高，∴12AB•AC=12BC•AD ， ∴341255AB AC AD BC ⋅⨯===（cm ），即AD 的长度为125cm ； （2）如图，∵△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm ，AC=4cm ， ∴S △ABC =12AB•AC=12×3×4=6（cm 2）． 又∵AE 是边BC 的中线，∴BE=EC ，∴12BE•AD=12EC•AD ，即S △ABE =S △AEC ， ∴S △ABE=12S △ABC =3（cm 2）． ∴△ABE 的面积是3cm 2．【点睛】本题考查了中线的性质．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD ．20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒．（1）作出AB 边上的高CD ．（2）5AC =，12BC =，13AB =，求高CD 的长．【答案】（1）见解析 （2）1360=CD 【分析】（1）过C 点作CD ⊥AB 即可；（2）根据三角形的面积求解即可．【详解】解：（1）如图：（2）∵在ABC 中，5AC =，12BC =，13AB =，∠ACB =90°，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ， ∴125601313AC BC CD AB ⋅⨯=== 【点睛】本题考查了做三角形高线和利用三角形的面积求高，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．21．如图，在89⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，ABC 的顶点在网格的格点上（小正方形的顶点即为格点），借助网格完成以下任务．（1）在图中画出ABC 的高AD ，中线BE ；（2）先将ABC 向左平移1格，再向上平移2格：①在图中画出平移后的A B C '''，并分别标注出点A ，B ，C 的对应点A '，B '，C '；②图中与BAC ∠相等的角是________．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②∠B ′A ′C ′，∠AC ′A ′【分析】（1）根据三角形的高和中线的概念作图即可；（2）①将三个顶点分别向左平移1格，再向上平移2格得到其对应点，继而首尾顺次连接即可；②根据平移的性质可得答案．【详解】解：（1）如图所示，线段A D 、BE 即为所求；（2）①如图所示，△A ′B ′C ′即为所求；②由平移的性质知AC ∥A ′C ′，∠BAC =∠B ′A ′C ′，∴∠BAC =∠AC ′A ′，故答案为：∠B ′A ′C ′，∠AC ′A ′．【点睛】本题主要考查作图—平移变换和三角形的高和中线的概念，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．22．如图，12180,3B ∠+∠=︒∠=∠．（1）求证：//EF AB ；（2）求证：AED ACB ∠=∠；（3）若点D E F 、、分别是AB AC CD 、、边上的中点，16ABC S =，求ADFE S 四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【分析】（1）由∠1+∠2=180°和∠1+∠4=180°得到∠2=∠4，根据平行线的判定得AB ∥EF ；（2）根据AB ∥EF 得到∠ADE =∠3，再由∠3=∠B ，得到∠ADE =∠B ，从而判定DE ∥BC ，即可得到结论；（3）根据中点的定义，三角形面积公式，逐步求出S △ADE 和S △DEF 的面积，从而可得结果．【详解】解：（1）∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∴∠2=∠4，∴EF ∥AB ；（2）∵AB ∥EF ，∴∠ADE =∠3，∵∠3=∠B ，∴∠ADE =∠B ，∴DE ∥BC ，∴∠AED =∠ACB ；（3）∵D 为AB 的中点，∴S △ADC =12S △ABC =8， ∵E 为AC 的中点，∴S △ADE =S △CDE =12S △ADC =4， ∵F 为DC 的中点，∴S △DEF =S △CEF =12S △DEC =2， ∴S 四边形ADFE =S △ADE +S △DEF =4+2=6．【点睛】本题考查了行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．也考查了三角形面积公式．23．如图，AD 、BE 分别是△ABC 的高，AF 是角平分线．（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF 的度数；（2）若AC=4，BC=6．求AD 与BE 的比．【答案】（1）20︒；（2）2：3【分析】（1）根据题意易得180357570BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1352BAF BAC ∠=∠=︒，然后根据角的和差关系可求解；（2）根据等积法可得1122ABC S BC AD AC BE ∆=⨯=⨯，然后根据题意可进行求解． 【详解】解：（1）∵35ABC ∠=︒，75C ∠=︒，∴180357570BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AF 平分BAC ∠，∴1352BAF BAC ∠=∠=︒， ∴353570BFB ABC BAF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵AD 是ABC ∆的高，∴90ADF ︒∠=，∴907020DAF ∠=︒-︒=︒；（2）∵AD BE 、分别是ABC ∆的高， ∴1122ABC S BC AD AC BE ∆=⨯=⨯， ∵4,6AC BC ==，∴116422AD BE ⨯⨯=⨯⨯， 即:2:3AD BE =．【点睛】本题主要考查三角形的高线、中线及角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线及角平分线的定义是解题的关键．24．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ，BE 分别为△ABC 的角平分线，连结DE ． （1）求证：点E 到DA ，DC 的距离相等；（2）求∠DEB 的度数．【答案】（1）见解析；（2）30°．【详解】（1）过E 作EH ⊥AB 于H ，EF ⊥BC 于F ，EG ⊥AD 于G ，∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=60°，∵∠CAH=180°﹣120°=60°，∴AE平分∠HAD，∴EH=EG，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH=EF，∴EF=EG，∴点E到DA、DC的距离相等；（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠DEB+∠DBE，∴12CDA=∠DEB+12∠ABC，∴∠DEB=12（∠CDA﹣∠ABC）=12∠BAD=30°．【点睛】本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．。
11.1.2 三角形的高、中线、角平分线及稳定性同步练习(含答案)
11.1.2三角形的高、中线、角平分线及稳定性一、选择题1.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（）A B C D2．下列说法正确的是（）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线3.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是（）A．2 B．3 C ．6 D．不能确定（第3题）（第4题）（第6题）（第7题）4.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（）A．2条B．3条C．4条D．5条5．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．②③6.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根7.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定矩形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．矩形的对称性C ．矩形的四个角都是直角D ．三角形的稳定性8.三角形的高线是（ ）A ．直线B ．线段C ．射线D ．三种情况都可能二、填空题9.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AD ，垂足为点D ，有下列说法：①点A 与点B 的距离是线段AB 的长；②点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长； ③线段CD 是△ABC 边AB 上的高；④线段CD 是△BCD 边BD 上的高．上述说法中，正确的个数为_________个10.如图，△ABC 的角平分线AD 、中线BE 相交于点O ，则①AO 是△ABE 的角平分线；②BO是△ABD 的中线；③DE 是△ADC 的中线；④ED 是△EBC 的角平分线的结论中正确的有_________.11．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______________________．12.如图所示，CD 是△ABC 的中线，AC =9cm ，BC =3cm ，那么△ACD 和△BCD 的周长差是___________cm ．13.AD 是△ABC 的一条高，如果∠BAD =65°，∠CAD =30°，则∠BAC =______．14.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于点D ．则图中共有_____个直角三角形．（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）15.如图，在△ABC 中，BD 是角平分线，BE 是中线，若AC =24cm ，则AE =________cm ，若∠ABC =72°，则∠ABD =_____度．16.如图所示：（1）在△ABC 中，BC 边上的高是_____（2）在△AEC 中，AE 边上的高是_____．17.三角形一边上的中线把三角形分成的两个三角形的面积关系为_____.18.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥AC ，DC ∥EF ，则与∠ACD 相等角有_____个．三、解答题19．如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 作直线DF ∥BA ，交△ABC 的外角平分线AF 于点F ，DF 与AC 交于点E ．求证：DE =EF ．20.若等腰三角形一腰上的中线分周长为１２cm 和１５cm 两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长.21. 如图：（第19题） （第18题） （第16题） （第14题）（第15题）（1）画出△ABC的BC边上的高线AD；（2）画出△ABC的角平分线CE．第21题22.△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C－∠B是否相等？若相等，请说明理由．第22题23.已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．第23题参考答案一、选择题1.C2.B3.A4.B5.D6.B7.D8.B二、填空题9.4 10.2 11.利用三角形的稳定性使门板不变形． 12..6 13.95°或35° 14.3 15.12,36 16.AB ,CD 17.相等 18.4三、解答题19.证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，AF 平分△ABC 的外角，∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵DF ∥BA ，∴∠4=∠ADE ，∠1=∠F∴∠3=∠ADE ，∠ 2=∠F∴DE =EA EF =EA∴DE =EF20.在ＡＢＣ∆中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ是中线，设ＡＢ＝x ,BC =y .(1)当AB +AD =12时，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+15211221x y x x ， 解得,118⎩⎨⎧==y x ∴三角形三边的长为８，８，１１；（２）当AB +AD =1５时，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12211521x y x x ，解得,y x ⎩⎨⎧==710∴三角形三边的长为１０，１０，７； 经检验，两种情况均符合三角形的三边关系.∴三角形三边的长分别为８，８，１１或１０，１０，７.21. 解：（1）如图所示：AD 即为所求；（2）如图所示：CE 即为所求．22.解：（1）∵∠B =30°，∠C =70°∴∠BAC =180°－∠B －∠C =80°∵AE 是角平分线，∴∠EAC =21∠BAC =40° ∵AD 是高，∠C =70°∴∠DAC =90°－∠C =20°∴∠EAD =∠EAC －∠DAC =40°－20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD =∠EAC －∠DAC =21∠BAC －（90°－∠C ）① 把∠BAC =180°－∠B －∠C 代入①，整理得 ∠EAD =21∠C －21∠B ， ∴2∠EAD =∠C －∠B ．23.证明： ∵∠ACB =90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠4=90°，又∵BE 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE =∠CEF ．。
《11.1三角形的中线、高线、角平分线》同步测试（含答案解析）
三角形的中线、高线、角平分线时间：60分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列说法错误的是()A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段2.下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是()A. B.C. D.3.如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线()A. 4个B. 5个C. 6个D. 8个4.如图，AD⊥BE于D，以AD为高的三角形有()个．A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有()①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在()1 / 13A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三个角的角平分线的交点C. 三角形三条高的交点D. 三角形三条中线的交点7.如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB=3，AC=5，DE=2，那么点D到AB的距离是()A. 103B. 53C. 65D. 28.已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是()A. 2<x<5B. 4<x<10C. 3<x<7D. 无法确定9.如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60∘，∠C=80∘，则∠EOD的度数为()A. 20∘B. 30∘C. 10∘D. 15∘10.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在()A. 三角形内部B. 三角形的一边上C. 三角形外部D. 三角形的某个顶点上二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26∘，则∠BFE=______．12.平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．13.如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=50∘，则∠BOC=______ ．14.如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE=1，则S△ABC=______ ．15.如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=______cm．16.在画三角形的三条重要线段(角平分线、中线和高线)时，不一定画在三角形内部的是______ ．17.如图，已知△ABC中，∠B=65∘，∠C=45∘，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE=______ ．18.如图，在△ABC中，∠A=α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012=______ ．19.如图，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差=______ ．20.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD与BF相交于点H，∠BAC=50∘，∠C=70∘，则∠AHB=______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=40∘，∠C=60∘，求∠DAE的度数．3 / 1322.如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．23.如图所示：△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60∘，∠C=70∘，求∠CAD，∠BOA的度数是多少？24.如图△ABC中，∠A=20∘，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：(1)∵AE是△ABC的中线，∴BE=______ =1______ ；2(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=______ =1______ ；2(3)∵AF是△ABC的高，∴∠AFB=______ =90∘；(4)∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，又∵S△ABE=12______ ，S△AEC=12______ ，∴S△ABE=S△ACE=12______ ．26.已知，如图，AE是∠BAC的平分线，∠1=∠D．求证：∠1=∠2．5 / 13答案和解析【答案】1. A2. A3. C4. D5. B6. A7. A8. A9. A10. A11. 64∘12. 32或3413. 115∘14. 415. 1016. 高线17. 10∘18. α2201219. 320. 120∘21. 解：∵∠B=40∘，∠C=60∘，∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=80∘，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=40∘，∴∠AEC=∠B+∠BAE=80∘，∵AD⊥BC，∴∠ADE=90∘，∴∠DAE=180∘−∠ADE−∠AED=10∘．答：∠DAE的度数是10∘．22. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{AD=DE∠ADB=∠EDC BD=DC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90∘，由勾股定理得：CD=√DE2+CE2=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61．23. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90∘，∵∠C=70∘，∴∠CAD=180∘−90∘−70∘=20∘；∵∠BAC=60∘，∠C=70∘，∴∠BAO=30∘，∠ABC=50∘，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO=25∘，∴∠BOA=180∘−∠BAO−∠ABO=180∘−30∘−25∘=125∘．故∠CAD，∠BOA的度数分别是20∘，125∘．24. 解：∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=90∘，∵∠A=20∘，∴∠EDA=90∘−20∘=70∘，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=180∘−70∘×2=40∘，在Rt△CDE中，∠DCE=90∘−40∘=50∘，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50∘=100∘，在△ABC中，∠B=180∘−∠BCA−∠A=180∘−100∘−20∘=60∘．故答案为：60∘．25. CE；BC；∠CAD；∠BAC；∠AFC；S△ABC；S△ABC；S△ABC26. 证明：∵∠1=∠D，∴AE//DC(同位角相等，两直线平行)，∴∠EAC=∠2(两直线平行，内错角相等)，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠1=∠EAC，∴∠1=∠2．【解析】1. 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质，熟记概念与性质是解题的关键.根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A.三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项说法不正确；B.三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确；C.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项说法正确；D.三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项说法正确．故选A．2. 解：线段BD是△ABC的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为△ABC的高．故选A．根据三角形高的定义进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．3. 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，∴AD是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC的高．故选C．7 / 13根据三角形高的定义可知，三角形的高可以在三角形内部，可以是三角形的边，还可以在三角形外部，结合图形即可求解．本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．4. 解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．5. 解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键．6. 解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条(边垂直平分线)的交点．故选：A．用线段垂直平分线性质判断即可．此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．7. 解：∵AC=5，DE=2，×5×2=5，∴△ADC的面积为12∵AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积为5，∴点D到AB的距离是2×5÷3=10．3故选A．根据三角形的面积得出△ADC的面积为5，再利用中线的性质得出△ABD的面积为5，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积为5．8. 解：7−3<2x<7+3，即2<x<5．故选A．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.倍长中线，构造一个新的三角形.根据三角形的三边关系就可以求解．本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线．9. 解：∵∠BAC=60∘，∠C=80∘，∴∠B=40∘．又∵AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=30∘，∴∠BAD=12∴∠ADE=70∘，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=20∘．故选A．首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．10. 解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．故选A．根据三角形的高的性质即可判断．本题考查了三角形的高线，锐角三角形的三高线交于三角形内部一点，直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角的三条高所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．11. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解.由角平分线的定义可得，∠FAD=∠BAE=26∘，而∠AFD与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．【解答】解：∵AE是角平分线，∠BAE=26∘，∴∠FAD=∠BAE=26∘，∵DB是△ABC的高，∴∠AFD=90∘−∠FAD=90∘−26∘=64∘，∴∠BFE=∠AFD=64∘．故答案为64∘．12. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，(1)当AE=5时，AB=5，平行四边形ABCD的周长是2×(5+5+6)=32；(2)当AE=6时，AB=6，平行四边形ABCD的周长是2×(5+6+6)=34；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况(1)当AE=5时，求出AB的长；(2)当AE=6时，求出AB的长，进一步求9 / 13出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB.用的数学思想是分类讨论思想．13. 解；∵∠A=50∘，∴∠ABC+∠ACB=180∘−50∘=130∘，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12×(∠ABC+∠ACB)=12×130∘=65∘，∴∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=115∘，故答案为：115∘．求出∠ABC+∠ACB=130∘，根据角平分线定义得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=12×(∠ABC+∠ACB)=65∘，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数．14. 解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半，△ADE的面积等于△ACD的面积的一半，∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，又∵S△ADE=1，∴S△ABC=4．故答案为：4．先根据D是BC的中点，E是AC的中点，得出△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，再根据S△ADE=1，得到S△ABC=4．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．15. 解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE=BE，又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC−AB=2cm，即AC−8=2cm，∴AC=10cm，故答案为：10；依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．16. 解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故答案为：高线．根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．17. 解：在△ABC中，∵∠BAC=180∘−∠B−∠C=70∘，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=35∘．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90∘，∵在△ABD中∠BAD=90∘−∠B=25∘，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=10∘．由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70∘，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=35∘，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90∘，可求∠BAD=25∘，所以∠DAE=∠BAE−∠BAD=10∘．本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．18. 解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，∴∠A1+∠A1BC=∠A1+12∠ABC=12(∠A+∠ABC)，整理得，∠A1=12∠A=α2，同理可得，∠A2=12∠A1=12×α2=α22，…，∠A2012=α22012．故答案为：α22012．根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，然后整理即可得到∠A1与∠A的关系，同理得到∠A2与∠A1的关系并依次找出变化规律，从而得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．19. 解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=12BC，∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+BD+AD)−(AC+DC+AD)=AB−AC=13−10=3．则△ABD与△ACD的周长之差=3．故答案为3．11 / 13根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．20. 解：∵在△ABC中，∠BAC=50∘，∠C=70∘，∴∠ABC=60∘，∵在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平线，∴∠EAD=90∘−(25∘+60∘)=5∘，∴∠AGH=25∘+30∘=55∘，∴∠AHB=180∘−55∘−5∘=120∘．故答案为：120∘．根据三角形的内角和得出∠ABC=60∘，再利用角平分线的定义和高的定义解答即可．此题考查三角形的内角和问题，关键是根据三角形的内角和得出∠ABC=60∘．21. 根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据三角形的外角性质得到∠AEC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．22. 延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90∘，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好．23. 因为AD是高，所以∠ADC=90∘，又因为∠C=70∘，所以∠CAD度数可求；因为∠BAC=60∘，∠C=70∘，所以∠BAO=30∘，∠ABC=50∘，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=25∘，故∠BOA的度数可求．本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义.关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO，再运用三角形内角和定理求出∠AOB．24. 根据直角三角形两锐角互余求出∠EDA的度数，再根据平角的定义求出∠CDE的度数，再次利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE的度数，从而得到∠BCA的度数，最后利用三角形内角和等于180∘计算即可．本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的高以及三角形的内角和定理，稍微复杂，但仔细分析图形也不难解决．25. 解：(1)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE=12BC；(2)根据AD是△ABC的角平分线，可得∠BAD=∠CAD=12∠BAC；(3)根据AF是△ABC的高，可得∠AFB=∠AFC=90∘；(4)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE，所以S△ABE=12S△ABC，S△AEC=12S△ABC，即S△ABE=S△ACE=12S△ABC．故答案为：(1)CE，BC；(2)∠CAD，∠BAC；(3)∠AFC；(4)S△ABC，S△ABC，S△ABC．(1)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线；(2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；(3)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；(4)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．本题主要考查了三角形的中线、高线以及角平分线的概念的运用，解题时注意：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．26. 由∠1=∠D，根据同位角相等，两直线平行可证AE//DC，根据两直线平行，内错角相等可证∠EAC=∠2，再根据角平分线的性质即可求解．本题考查了平行线的判定与性质和三角形的角平分线的性质，有一定的综合性，但难度不大．13 / 13。
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试(人教版含答案解析)
八年级上册11.1三角形的中线、高线、角平分线同步测试（人教版含答案解析）三角形的中线、高线、角平分线时间：60分钟总分： 100 题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列说法错误的是( )A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点 C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点 D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( ) A. B. C. D. 如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC 边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个如图，AD⊥BE于D，以AD为高的三角形有( )个． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有( ) ①AD是△ABE 的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( )A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三个角的角平分线的交点C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高线，AB=3，AC=5，DE=2，那么点D到AB的距离是( )A. 10/3B. 5/3C. 6/5D. 2 已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是( ) A. 2<x<5 B. 4<x<10 C.3<x<7 D. 无法确定如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，则∠EOD的度数为( )A. 〖20〗^∘B. 〖30〗^∘C. 〖10〗^∘D. 〖15〗^∘一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在( ) A.三角形内部 B. 三角形的一边上 C. 三角形外部 D. 三角形的某个顶点上二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，则∠BFE=______．平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=〖50〗^∘，则∠BOC= ______ ．如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若S_(△ADE)=1，则S_(△ABC)= ______ ．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=______cm．在画三角形的三条重要线段(角平分线、中线和高线)时，不一定画在三角形内部的是______ ．如图，已知△ABC中，∠B=〖65〗^∘，∠C=〖45〗^∘，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE= ______ ．如图，在△ABC中，∠A=α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，得∠A_1；∠A_1 BC与∠A_1 CD的平分线相交于点A_2，得∠A_2；…；∠A_2011 BC与∠A_2011 CD的平分线相交于点A_2012，得∠A_2012，则∠A_2012= ______ ．如图，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差= ______ ．如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD与BF相交于点H，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，则∠AHB= ______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，求∠DAE的度数．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．如图所示：△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，求∠CAD，∠BOA的度数是多少？如图△ABC中，∠A=〖20〗^∘，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE 是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：(1)∵AE是△ABC的中线，∴BE= ______ =1/2 ______ ；(2)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD= ______ =1/2 ______ ；(3)∵AF是△ABC的高，∴∠AFB= ______ =〖90〗^∘；(4)∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，又∵S_(△ABE)=1/2 ______ ，S_(△AEC)=1/2 ______ ，∴S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 ______ ．已知，如图，AE是∠BAC的平分线，∠1=∠D．求证：∠1=∠2．答案和解析【答案】 1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8.A 9. A 10. A 11. 〖64〗^∘ 12. 32或34 13. 〖115〗^∘ 14. 4 15.10 16. 高线 17. 〖10〗^∘ 18. α/2^2012 19. 3 20. 〖120〗^∘ 21. 解：∵∠B=〖40〗^∘，∠C=〖60〗^∘，∴∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖80〗^∘，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1/2∠BAC=〖40〗^∘，∴∠AEC=∠B+∠BAE=〖80〗^∘，∵AD⊥BC，∴∠ADE=〖90〗^∘，∴∠DAE=〖180〗^∘-∠ADE-∠AED=〖10〗^∘．答：∠DAE的度数是〖10〗^∘． 22. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{■(AD=DE@∠ADB=∠EDC@BD=DC)┤，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC^2=AE^2+CE^2，∴∠E=〖90〗^∘，由勾股定理得：CD=√(DE^2+CE^2 )=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61． 23. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=〖90〗^∘，∵∠C=〖70〗^∘，∴∠CAD=〖180〗^∘-〖90〗^∘-〖70〗^∘=〖20〗^∘；∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，∵BF 是∠ABC的角平分线，∴∠ABO=〖25〗^∘，∴∠BOA=〖180〗^∘-∠BAO-∠ABO=〖180〗^∘-〖30〗^∘-〖25〗^∘=〖125〗^∘．故∠CAD，∠BOA的度数分别是〖20〗^∘，〖125〗^∘． 24. 解：∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=〖90〗^∘，∵∠A=〖20〗^∘，∴∠EDA=〖90〗^∘-〖20〗^∘=〖70〗^∘，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=〖180〗^∘-〖70〗^∘×2=〖40〗^∘，在Rt△CDE中，∠DCE=〖90〗^∘-〖40〗^∘=〖50〗^∘，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×〖50〗^∘=〖100〗^∘，在△ABC中，∠B=〖180〗^∘-∠BCA-∠A=〖180〗^∘-〖100〗^∘-〖20〗^∘=〖60〗^∘．故答案为：〖60〗^∘． 25. CE；BC；∠CAD；∠BAC；∠AFC；S_(△ABC)；S_(△ABC)；S_(△ABC) 26. 证明：∵∠1=∠D，∴AE//DC(同位角相等，两直线平行)，∴∠EAC=∠2(两直线平行，内错角相等)，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠1=∠EAC，∴∠1=∠2．【解析】 1. 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质，熟记概念与性质是解题的关键.根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A.三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项说法不正确； B.三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确； C.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项说法正确；D.三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项说法正确．故选A． 2. 解：线段BD是△ABC的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为△ABC的高．故选A．根据三角形高的定义进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 3. 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，∴AD是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC的高．故选C．根据三角形高的定义可知，三角形的高可以在三角形内部，可以是三角形的边，还可以在三角形外部，结合图形即可求解．本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 4. 解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于AD⊥BC 于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 5. 解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键． 6. 解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条(边垂直平分线)的交点．故选：A．用线段垂直平分线性质判断即可．此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键． 7. 解：∵AC=5，DE=2，∴△ADC的面积为1/2×5×2=5，∵AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积为5，∴点D到AB的距离是2×5÷3=10/3．故选A．根据三角形的面积得出△ADC的面积为5，再利用中线的性质得出△ABD的面积为5，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出△ADC的面积为5． 8. 解：7-3<2x<7+3，即2<x<5．故选A．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.倍长中线，构造一个新的三角形.根据三角形的三边关系就可以求解．本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线． 9. 解：∵∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖80〗^∘，∴∠B=〖40〗^∘．又∵AD 是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1/2∠BAC=〖30〗^∘，∴∠ADE=〖70〗^∘，又∵OE⊥BC，∴∠EOD=〖20〗^∘．故选A．首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义． 10. 解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．故选A．根据三角形的高的性质即可判断．本题考查了三角形的高线，锐角三角形的三高线交于三角形内部一点，直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角的三条高所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部． 11. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解.由角平分线的定义可得，∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，而∠AFD 与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．【解答】解：∵AE是角平分线，∠BAE=〖26〗^∘，∴∠FAD=∠BAE=〖26〗^∘，∵DB是△ABC的高，∴∠AFD=〖90〗^∘-∠FAD=〖90〗^∘-〖26〗^∘=〖64〗^∘，∴∠BFE=∠AFD=〖64〗^∘．故答案为〖64〗^∘． 12. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE， (1)当AE=5时，AB=5，平行四边形ABCD的周长是2×(5+5+6)=32； (2)当AE=6时，AB=6，平行四边形ABCD的周长是2×(5+6+6)=34；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况(1)当AE=5时，求出AB的长；(2)当AE=6时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB.用的数学思想是分类讨论思想． 13. 解；∵∠A=〖50〗^∘，∴∠ABC+∠ACB=〖180〗^∘-〖50〗^∘=〖130〗^∘，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=1/2×〖130〗^∘=〖65〗^∘，∴∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)=〖115〗^∘，故答案为：〖115〗^∘．求出∠ABC+∠ACB=〖130〗^∘，根据角平分线定义得出∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB，求出∠OBC+∠OCB=1/2×(∠ABC+∠ACB)=〖65〗^∘，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=〖180〗^∘-(∠OBC+∠OCB)，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数． 14. 解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，∴△ADC的面积等于△ABC的面积的一半，△ADE的面积等于△ACD的面积的一半，∴△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，又∵S_(△ADE)=1，∴S_(△ABC)=4．故答案为：4．先根据D是BC的中点，E是AC的中点，得出△ADE的面积等于△ABC的面积的四分之一，再根据S_(△ADE)=1，得到S_(△ABC)=4．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 15. 解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，∴CE=BE，又∵AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，∴AC-AB=2cm，即AC-8=2cm，∴AC=10cm，故答案为：10；依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE=BE，再根据AE=AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 16. 解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故答案为：高线．根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 17. 解：在△ABC中，∵∠BAC=〖180〗^∘-∠B-∠C=〖70〗^∘，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=〖35〗^∘．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=〖90〗^∘，∵在△ABD中∠BAD=〖90〗^∘-∠B=〖25〗^∘，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．由三角形的内角和定理，可求∠BAC=〖70〗^∘，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=〖35〗^∘，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=〖90〗^∘，可求∠BAD=〖25〗^∘，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=〖10〗^∘．本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键． 18. 解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1，∴∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，∴∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1+1/2∠ABC=1/2(∠A+∠ABC)，整理得，∠A_1=1/2∠A=α/2，同理可得，∠A_2=1/2∠A_1=1/2×α/2=α/2^2 ，…，∠A_2012=α/2^2012 ．故答案为：α/2^2012 ．根据角平分线的定义可得∠A_1 BC=1/2∠ABC，∠A_1 CD=1/2∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A_1+∠A_1 BC=∠A_1 CD，然后整理即可得到∠A_1与∠A的关系，同理得到∠A_2与∠A_1的关系并依次找出变化规律，从而得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 19. 解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=1/2 BC，∴△ABD与△ACD的周长之差 =(AB+BD+AD)-(AC+DC+AD) =AB-AC =13-10=3．则△ABD与△ACD的周长之差=3．故答案为3．根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法． 20. 解：∵在△ABC中，∠BAC=〖50〗^∘，∠C=〖70〗^∘，∴∠ABC=〖60〗^∘，∵在△AB C中，AD是高，AE，BF是角平线，∴∠EAD=〖90〗^∘-(〖25〗^∘+〖60〗^∘)=5^∘，∴∠AGH=〖25〗^∘+〖30〗^∘=〖55〗^∘，∴∠AHB=〖180〗^∘-〖55〗^∘-5^∘=〖120〗^∘．故答案为：〖120〗^∘．根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘，再利用角平分线的定义和高的定义解答即可．此题考查三角形的内角和问题，关键是根据三角形的内角和得出∠ABC=〖60〗^∘． 21. 根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据三角形的外角性质得到∠AEC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 22. 延长AD到E 使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=〖90〗^∘，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好． 23. 因为AD是高，所以∠ADC=〖90〗^∘，又因为∠C=〖70〗^∘，所以∠CAD度数可求；因为∠BAC=〖60〗^∘，∠C=〖70〗^∘，所以∠BAO=〖30〗^∘，∠ABC=〖50〗^∘，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=〖25〗^∘，故∠BOA的度数可求．本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义.关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO，再运用三角形内角和定理求出∠AOB． 24. 根据直角三角形两锐角互余求出∠EDA的度数，再根据平角的定义求出∠CDE的度数，再次利用直角三角形两锐角互余求出∠DCE的度数，从而得到∠BCA的度数，最后利用三角形内角和等于〖180〗^∘计算即可．本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的高以及三角形的内角和定理，稍微复杂，但仔细分析图形也不难解决． 25. 解：(1)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE=1/2 BC； (2)根据AD是△ABC 的角平分线，可得∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC； (3)根据AF是△ABC的高，可得∠AFB=∠AFC=〖90〗^∘； (4)根据AE是△ABC的中线，可得BE=CE，所以S_(△ABE)=1/2 S_(△ABC)，S_(△AEC)=1/2 S_(△ABC)，即S_(△ABE)=S_(△ACE)=1/2 S_(△ABC)．故答案为：(1)CE，BC；(2)∠CAD，∠BAC；(3)∠AFC；(4)S_(△ABC)，S_(△ABC)，S_(△ABC)． (1)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线； (2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线； (3)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高； (4)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．本题主要考查了三角形的中线、高线以及角平分线的概念的运用，解题时注意：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 26. 由∠1=∠D，根据同位角相等，两直线平行可证AE//DC，根据两直线平行，内错角相等可证∠EAC=∠2，再根据角平分线的性质即可求解．本题考查了平行线的判定与性质和三角形的角平分线的性质，有一定的综合性，但难度不大．。
人教版八年级数学上册《11-1-2 三角形的高、中线与角平分线》作业同步练习题及参考答案
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线1.关于三角形的高、中线与角平分线,下列说法正确的是( ).A.都是直线B.都是射线C.都是线段D.可以是射线,也可以是线段2.如图,已知BD 是△ABC 的中线,AB=5,BC=3,则△ABD 和△BCD 的周长的差是( ).A.2B.3C.6D.不能确定3.如图,AD 是△ABC 的角平分线,AE 是△ABD 的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD 的度数是( ).A.20°B.30°C.45°D.60°4.如图,AM 是△ABC 的中线,△ABC 的面积为4 cm2,则△ABM 的面积为( ).A.8 cm2B.4 cm2C.2 cm2D.以上答案都不对5.如果一个三角形的三条高的交点在三角形的内部,那么该三角形是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)6.如图,线段AD,CE 分别是△ABC 中边BC,AB 上的高.若AD=10,CE=9,AB=12,则BC= .7.如图,在△ABC 中,AB=AC,线段AD 是△ABC 的中线,△ABC 的周长为34 cm,△ABD 的周长为30 cm,求AD 的长.8.如图,已知AD,AE 分别是△ABC 的高和中线,AB=6 cm,AC=8 cm,BC=10 cm,∠CAB=90°.试求:(1)AD 的长;(2)△ABE 的面积;(3)△ACE 和△ABE 的周长的差.9.如图,D 是△ABC 的边AC 上一点,过点D 作DE∥AB 交BC 于点E.若∠DBE=∠BDE,试说明线段BD 是△ABC 的角平分线.10.有一块三角形优良品种试验基地如图所示,由于引进四个品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案以供选择,并画图说明.★11.如图,线段AD 是△ABC 的角平分线,DE∥AC 交AB 于点E,EF∥AD 交BC 于点F,试问线段EF 是△BED 的角平分线吗?为什么?答案与解析夯基达标1.C2.A 因为BD 是△ABC 的中线,所以AD=CD.所以△ABD 与△BCD 的周长的差是(AB+BD+AD)-(BC+CD+BD)=AB+BD+AD-BC-CD-BD=AB+AD-BC-CD=5-3=2.3.A4.C 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.5.锐角6.10.8 SABC =1·BC ·AD=1·AB ·CE ,△ 2 2则 BC=A ·C = 12×9=10.8.A 107.解 ∵点 D 是线段 BC 的中点,∴BC=2BD.∵AB=AC ,△ABC 的周长为 34 cm,∴2AB+2BD=34 cm,即 AB+BD=17 cm .①∵△ABD 的周长为 30 cm,即 AB+BD+AD=30 cm,②∴由②-①,得 AD=13 cm .培优促能8.解 (1)S ABC =1AB ·AC=1×6×8=24(cm 2),△ 2 2所以 S ABC =1AD ·BC=24,即 AD=4.8 cm .△ 2(2)S ABE =1BE ·AD=1 1 �� ·AD=1BC ·AD=12 cm 2.△ 2 2 2 4(3)将△ACE 和△ABE 的周长分别记为 C △ACE 和 C △ABE ,则 C △ACE -C △ABE =AC+CE+AE-(AB+BE+AE )=AC-AB=8-6=2(cm).9. 解 ∵DE ∥AB ,∴∠BDE=∠ABD.又∠BDE=∠DBE ,∴∠ABD=∠DBE,即线段BD 是△ABC 的角平分线.10.解答案不唯一,如方案一:如图①,在BC 上取点D,E,F,使BD=DE=EF=CF,连接AD,AE,AF. 方案二:如图②,分别取AB,BC 的中点D,E,连接AE,DE,再取AE 的中点F,连接FC.方案三:如图③,分别取BC 的中点D,CD 的中点E,AB 的中点F,连接AD,AE,DF.方案四:如图④,分别取BC 的中点D,AB 的中点E,AC 的中点F,连接AD,DE,DF.①②③④创新应用11.解线段EF 是△BED 的角平分线.理由如下:如图,∵线段AD 是△ABC 的角平分线,∴∠1=∠2.∵EF∥AD,∴∠1=∠3,∠4=∠ADE. ∵DE∥AC,∴∠2=∠ADE,∴∠2=∠4,∴∠3=∠4.故线段EF 是△BED 的角平分线.。
人教版八年级上数学第十一章 11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步练习
11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步练习(时间120分钟,满分150分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分． 1.三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A.线段B.射线C.直线D.以上都有可能 2. 下列说法正确的是（ ）A ．三角形三条高都在三角形内B ．三角形三条中线相交于一点C ．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D ．三角形的角平分线是射线 3.至少有两条高在三角形内部的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D.都有可能 4.不一定在三角形内部的线段是（ ）（A ）三角形的角平分线 （B ）三角形的中线 （C ）三角形的高 （D ）三角形的中位线 5.可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（ ）A ．三角形的高B ．三角形的角平分线C ．三角形的中线D ．无法确定 7．在三角形中，交点一定在三角形内部的有（ ）①三角形的三条高线 ②三角形的三条中线 ③三角形的三条角平分线 ④三角形的外角平分线．A ．①②③④B ．①②③C ．①④D ．②③8.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 9．画△ABC 中AB 边上的高，下列画法中正确的是（ ）A B C D10. 如图,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法不正确的是( )A.DE 是△BCD 的中线B.BD 是△ABC 的中线C.AD=DC,BD=ECD.∠C 的对边是DE11.如图3所示,在△ABC 中,已知点D, E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于( )A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2 D.14cm 212.在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD:CD=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于（ ）A. 30B. 36C. 72D.24二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13. 照相机的支架是三条腿，这是利用了三角形的_________． 14.如图，在△ABC 中，BC 边上的高是 ，在△AEC 中，AE 边上的高是 ，EC 边上的高是 . 15.如图所示，CD 是△ABC 的中线，AC =9cm ，BC =3cm ，那么△ACD 和△BCD 的周长差是___________cm ． 16.在ABC ∆中,2,3AC cm BC cm ==,则ABC ∆的高AD 与BE 的比是FE（第11题） D CBA（第10题）17.如图所示：（1）在△ABC 中，BC 边上的高是_____（2）在△AEC 中，AE 边上的高是_____． 18．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，BC=12，AC=8，AD=6，则BE的长 ．三、解答题：本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 19.如图,在⊿ABC 中画出高线AD 、中线BE 、角平分线CF .20.在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm,△ABD 的周长为30cm, 求AD 的长.四、解答题：本大题共4个小题，每小题10分，共40分21.如图，已知：在三角形ABC 中，∠C=90º,CD 是斜边AB 上的高，AB=5,BC=4,AC=3,求高CD 的长度.22.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．ABC（第17题） （第15题） E FDCBA（第14题） （第18题）23.（1）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．（2）如图，S△ABC=1,且D是BC的中点，AE:EB=1:2,求△ADE的面积.EDCBA24.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：（1）△ABC的面积；（2）CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。
人教版八年级数学上11.1.2三角形的高、中线、角平分线同步练习题(解析版)
人教版八年级数学上11.1.2三角形的高、中线、角平分线同步练习题一．选择题1、下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A. B.C. D.答案：D分析：本题考查了三角形的高线．解答：△ABC中AC边上的高是过点B且垂直于AC边（或AC边延长线）的线段，只有D 选项正确．选D．2、下列说法正确的是（）A. 三角形三条高都在三角形内B. 三角形三条中线相交于一点C. 三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D. 三角形的角平分线是射线答案：B分析：本题考查了三角形的高线、中线、角平分线．解答：∵钝角三角形的三条高有2条在三角形的外部，∴A错误；∵三角形三条中线相交于一点，∴B正确；∵三角形的三条角平分线都在在三角形内，∴C错误；∵三角形的角平分线、高、中线都是线段，∴D错误；选：B．3、如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是（）A. DE是△BCD的中线B. BD是△ABC的中线C. AD=DC，BE=ECD. AD=EC，DC=BE答案：D分析：本题考查了三角形的中线．解答：∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，∴DE是△BCD的中线，BD是△ABC的中线，AD=DC，BE=EC．但不能得到AD=EC和DC=BE．选D．4、三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（）A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形答案：B分析：本题考查了三角形的中线．解答：三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的三角形．选B．5、如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC=80°，则∠EAD 的度数是（）A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°答案：A分析：本题考查了三角形的角平分线．解答：∵AD△ABC的角平分线，∠BAC=80°，∴∠BAD=12∠BAC=40°．又∵AE是△ABD的角平分线，∴∠EAD=12∠BAD=20°．选A．6、在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；①∠ABE=∠CBE；①BD=DC；①AE=EC. 正确的是（）A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③答案：D分析：本题考查了三角形的中线、角平分线．解答：如下图，∵AD是△ABC的中线，BE是△ABC的角平分线，∴BD=CD，∠ABE=∠CBE，∴上述结论中正确的是①①．选D.7、三角形的高线是（）A. 直线B. 线段C. 射线D. 三种情况都可能答案：B分析：本题考查了三角形的高线．解答：由三角形高的定义：“过三角形的一个顶点向对边或对边所在的直线引垂线，顶点到垂足之间的线段叫三角形的高线”可知：三角形的高线是线段．选B．8、如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；①BO 是△ABD的中线；①DE是△ADC的中线；①ED是△EBC的角平分线．4个结论中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：B分析：本题考查了三角形的高线、中线、角平分线．解答：（1）∵AD是△ABC的角平分线，可得∠BAO=∠CAO，∴①“AO是△ABE的角平分线”这种说法是正确的；（2）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，但不能确定AO=DO，∴①“BO是△ABD的中线”这种说法是错误的；（3）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，∴①“DE是△ADC的中线”这种说法是正确的；（4）∵由题中条件不能得到∠ADE=∠CDE，∴①“ED是△EBC的角平分线”这种说法是错误的；即上述说法中正确的个数为：2．二、填空题9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；①点A到直线CD的距离是线段AD的长；①线段CD是△ABC边AB上的高；①线段CD是△BCD边BD上的高．上述说法中，正确的个数为______个答案：4分析：本题考查了三角形的高线、点到直线的距离．解答：（1）根据“连接两点的线段的长度叫做两点间的距离”可知：①中的说法是正确的；（2）根据“直线为一点到直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离”可知：①中的说法正确；（3）根据三角形高的定义：“过三角形的一个顶点向对边或对边所在的直线引垂线，顶点到垂足之间的线段叫三角形的高线”可知：①中的说法正确；（4）根据三角形高的定义：“过三角形的一个顶点向对边或对边所在的直线引垂线，顶点到垂足之间的线段叫三角形的高线”可知：①中的说法正确；即上述说法中正确的个数为4．10、如图所示，CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长差是______cm．答案：6分析：由三角形一边上的中线把三角形分成的两个新三角形的周长差等于原三角形中另外两边的差．解答：∵CD是△ABC的中线，∴AD=BD．∵C△ACD=AC+AD+CD，C△BCD=BC+BD+CD，∴C△ACD-C△BCD=（AC+AD+CD-（BC+BD+CD）=AC+AD+CD-BC-BD-CD=AC-BC=9-3=6（cm）．11、已知，AD是△ABC的一条高，如果∠BAD＝65°，∠CAD＝30°，则∠BAC＝______．答案：95°或35°．分析：本题考查了三角形的高线．解答：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形的外部，要分两种情况讨论：①当AD 在三角形的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=65°+30°=95°； 当AD在三角形的外部时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=65°-30°=35°．12、如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有______个直角三角形．答案：3分析：本题考查了直角三角形的判定．解答：∵在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，∴△ABC、△ADC、△BDC都是直角三角形．即图中共有3个直角三角形．13、如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC=24cm，则AE=______cm，若∠ABC=72°，则∠ABD=______度．答案：12 36分析：本题考查了三角形的角平分线、中线．解答：∵在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，∴AE=12AC=12（cm），∠ABD=12∠ABC=36°．14、如图所示．在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=8cm2，则S阴影等于______cm2．答案：1分析：根据三角形的面积公式，知△BCE的面积是△ABC的面积的一半，进一步求得阴影部分的面积是△BEC的面积的一半．解答：解：∵点E是AD的中点，∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．∵点F是CE的中点，∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．三、解答题15、如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA=∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．答案：见解答．分析：由DE∥AC交AB于点E可得∠CAD=∠EDA，结合∠EDA=∠EAD，可得∠CAD=∠EAD，即可得到结论．解答：∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD．∵∠EDA=∠EAD，∴∠CAD=∠EAD．∴AD是△ABC的角平分线．16、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC=12，AC=8，AD=6，BE的长为多少？答案：9分析：由已知易得：S△ABC=12AC⋅BE=12BC⋅AD，代入BC=12，AC=8，AD=6即可解得BE的长．解答：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC=12，AC=8，AD=6，∴S△ABC=12BC⋅AD=11262⨯⨯=36，又∵S△ABC=12 AC·BE，∴12×8×BE=36，解得：BE=9．17、如图，在3×2的正方形网格中，小正方形的边长为1，以图中A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形中，面积为1的三角形有哪些?答案：△ABC，△ADE，△BCE，△ACD．分析：根据不在同一直线上的三个点可构成一个三角形分析可知，以A、B、C、D、E中的三点为顶点的三角形共有9个，再根据题目中的已知条件计算每个三角形的面积可得答案．解答：以A、B、C、D、E中的三点为顶点的三角形有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，共9个；再根据小正方形的边长为1，计算可得其中面积为1的三角形有：△ABC，△ADE，△BCE，△ACD．18、如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝5cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2cm，求AC的长．答案：3cm分析：由AD是△ABC的中线可得CD=BD，从而可得C△ABD-C△ACD=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC=2，由AB=5，可解得AC=3（cm）．解答：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD．∵△ACD的周长比△ABD的周长少2cm，∴（AB+BD+AD）-（AC+AD+CD）=AB-AC=2cm，∴AC=AB-2=5-2=3（cm）．19、张大爷的四个儿子都长大成人了，也该分家了，于是张大爷准备把如图所示的一块三角形的田地平均分给四个儿子，四个儿子要求田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．答案：见解答．分析：此题答案不唯一，（1）可根据等底、等高的三角形面积相等，把其中一边均分成4份，连接分点和对角的顶点即可；（2）根据三角形一边的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，作一边上的中线，再作由这条中线分成的两个三角形的中线即可．解答：答案不唯一，第一种方案：如图1，四等分一条边构成的四个三角形；第二种方案：如图2，作△ABC的一条中线，再作由中线分出的两个三角形的中线就可分成四个面积相等的三角形．20、如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．答案：是，理由见解答分析：由DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDA=∠DAF，∠FDA=∠EAD，再结合∠EAD=∠F AD，就可得∠EDA=∠FDA，从而得到DO平分∠EDF．解答：DO是∠EDF的角平分线，理由如下：∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠EAD=∠F AD．∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA=∠F AD，∠FDA=∠EAD．∴∠EDA=∠FDA，∴DO是∠EDF的角平分线．。
八年级数学上册同步试卷：11.1与三角形有关的线段(解析版)
2016年人教新版八年级数学上册同步试卷：11.1与三角形有关的线段一、选择题（共22小题）1．下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm2．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，43．下列线段能构成三角形的是（）A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，64．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（）A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜35．如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（）A．2 B．3 C．5 D．86．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．87．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，48．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．9．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．10．下列图形中具有稳定性的是（）A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形11．下列图形具有稳定性的是（）A．正方形B．矩形 C．平行四边形D．直角三角形12．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．113．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，，3 C．3，4，8 D．4，5，614．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，1115．已知三角形两边长分别为3和9，则此三角形的第三边的长可能是（）A．4 B．5 C．11 D．1516．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．1217．有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．418．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远19．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种20．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．12 D．1621．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）22．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（）A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD二、填空题（共4小题）23．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．24．各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．25．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）26．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．2016年人教新版八年级数学上册同步试卷：11.1与三角形有关的线段参考答案与试题解析一、选择题（共22小题）1．下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm【考点】三角形三边关系．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知A、2+3＞4，能组成三角形，故A正确；B、2+3=5，不能组成三角形，故B错误；C、2+5＜10，不能够组成三角形，故C错误；D、4+4=8，不能组成三角形，故D错误；故选A．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．2．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．3．下列线段能构成三角形的是（）A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，6【考点】三角形三边关系．【专题】常规题型．【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项的数据进行判断即可．【解答】解：A、2+2=4，不能构成三角形，故A选项错误；B、3、4、5，能构成三角形，故B选项正确；C、1+2=3，不能构成三角形，故C选项错误；D、2+3＜6，不能构成三角形，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．4．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（）A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3【考点】三角形三边关系．【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【解答】解：根据题意得：2﹣1＜x＜2+1，即1＜x＜3．故选D．【点评】考查了三角形三边关系，本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．5．如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（）A．2 B．3 C．5 D．8【考点】三角形三边关系．【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选：C．【点评】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．6．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为2和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．故选B．【点评】本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．7．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．【解答】解：A、1+1=2，不能组成三角形，故A选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故B选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故C选项错误；D、1+2＜4，不能组成三角形，故D选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．8．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．9．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．10．下列图形中具有稳定性的是（）A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形【考点】三角形的稳定性．【分析】直接根据三角形具有稳定性进行解答即可．【解答】解：∵三角形具有稳定性，∴A正确，B、C、D错误．故选A．【点评】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性是解答此题的关键．11．下列图形具有稳定性的是（）A．正方形B．矩形 C．平行四边形D．直角三角形【考点】三角形的稳定性；多边形．【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．【解答】解：直角三角形具有稳定性．故选：D．【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．12．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1【考点】三角形三边关系．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．13．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，，3 C．3，4，8 D．4，5，6【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边满足任意两边之和大于第三边来进行判断．【解答】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故本选项错误；B、1+＜3，不能组成三角形，故本选项错误；C、3+4＜8，不能组成三角形，故本选项错误；D、4+5＞6，能组成三角形，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，简便方法是：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．14．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11【考点】三角形三边关系．【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．【解答】解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；C、因为4+6＞8，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；故选C．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．15．已知三角形两边长分别为3和9，则此三角形的第三边的长可能是（）A．4 B．5 C．11 D．15【考点】三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为3和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，把各项代入不等式符合的即为答案．只有11符合不等式，故答案为11．故选C．【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．16．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【考点】三角形三边关系．【专题】常规题型．【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于：8﹣3=5，而小于：3+8=11．则此三角形的第三边可能是：10．故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．17．有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角形三边关系．【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．【解答】解：四条木棒的所有组合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9；只有3，6，8和6，8，9；3，8，9能组成三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．18．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远【考点】三角形三边关系．【分析】根据钝角三角形中钝角所对的边最长可得AB＞AC，取BC的中点E，求出AB+BE＞AC+CE，再根据三角形的任意两边之和大于第三边得到AB＜AD，从而判定AD的中点M在BE上．【解答】解：∵∠C=100°，∴AB＞AC，如图，取BC的中点E，则BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE，由三角形三边关系，AC+BC＞AB，∴AB＜AD，∴AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，作辅助线把△ABC的周长分成两个部分是解题的关键，本题需要注意判断AB的长度小于AD的一半，这也是容易忽视而导致求解不完整的地方．19．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【考点】三角形三边关系．【专题】常规题型．【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．20．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．12 D．16【考点】三角形三边关系．【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和10，∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．故选C．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．21．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．22．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（）A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD【考点】三角形三边关系．【分析】由∠C＜∠B利用大角对大边得到AB＜AC，进一步得到BE+ED＜ED+CD，从而得到BE＜CD．【解答】解：∵∠C＜∠B，∴AB＜AC，∵AB=BD AC=EC∴BE+ED＜ED+CD，∴BE＜CD．故选：D．【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角．二、填空题（共4小题）23．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是1＜c ＜5．【考点】三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．【解答】解：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．24．各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．【考点】三角形三边关系．【分析】利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可．【解答】解：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有20个．故答案为：20．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．25．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为4（只需填一个整数）【考点】三角形三边关系．【专题】开放型．【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，所以x可取整数4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．26．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为8．【考点】三角形三边关系．【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．【解答】解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8，故答案为：8．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．。
人教版八年级上册数学11.1.2三角形的高、中线与角平分线 同步练习
人教版八年级上册数学11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步练习一、单选题1．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点2．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．在下列图形中，正确画出△ABC的AC边上的高的图形是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且△ABC的面积为4cm2，则△BEF的面积等于（）A．2cm2B．1cm2C．0．5 cm2D．0．25 cm25．如图，∠ACB＞90°＞AD＞BC＞BE＞AC＞CF＞AB，垂足分别为点D、点E、点F＞＞ABC中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD6．如图，把ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，将得到的点A，，B，，C，顺次连接成△A，B，C，，若△ABC的面积是3，则△A，B，C，的面积是（）1/ 8A ．15B ．18C ．21D ．247．如图，在△ABC 中，已知点E＞F 分别是AD＞CE 边上的中点，且S △BEF =4cm 2，则S △ABC 的值为（ ）A ．1cm 2B ．2cm 2C ．8cm 2D ．16cm 28．如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，则下列结论不一定正确的是（ ）A ．12BD BC =B ．BD CD =C ．12AD BC = D ．12CD BC = 9．如图，CD ，CE ，CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）A ．AB ＝2BFB ．∠ACE ＝12∠ACBC ．AE ＝BED ．CD ⊥BE 10．如图，已知正方形网格中每个小方格的边长均为1＞A＞B 两点在小方格的顶点上，点C 也在小方格的顶点上，且以A＞B＞C 为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点C 的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．611．如图所示，在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点P ，过点P 作MN BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ，那么下列结论：①BP CP =；②MN BM CN =+；③BMP 和CNP 都是等腰三角形；④AMN的周长等于AB与AC的和，其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题12．如图,已知AE是△ABC的边BC上的中线,若AB=8cm,△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,则AC=_____.13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm214．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=3cm2，则S△ABC=_____cm2．15．已知：如图，△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ACD周长为16cm，则AC的长为__________cm．16．如图，△ABC中BC边上的高为___________3/ 8三、解答题17．如图：(1)在＞ABC 中，BC 边上的高是______＞(2)在＞AEC 中，AE 边上的高是______＞(3)若AB＞CD＞2cm＞AE＞3cm ，求＞AEC 的面积及CE 的长．18．如图，D 是ABC △的边BC 上的一点，DE AC 交AB 于点E ，DF AB 交AC 于点F ，且ADE ADF ∠=∠，AD 是ABC △的角平分线吗？说明理由.19．如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，BC a =，AC b =，CD 是△ABC 的角平分线，DE AC ⊥于点E ，DE x =．（1）用两种方法计算△ABC 的面积；（2）探究a ，b ，x 的关系，并用含有a ，b 的式子表示x ． 20．阅读下列材料，并完成相应的任务.基本性质：三角形中线等分三角形的面积.如图，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，5 / 8则12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆== 理由：过点A 作AH BC ⊥于点H ∵AD 是ABC ∆的边BC 上的中线. ∴BD CD =又∵12ABD S BD AH ∆=⋅，12ACD S CD AH ∆=⋅ ∴12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆== ∴三角形中线等分三角形的面积. 任务：（1）如图，延长ABC ∆的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA ，则ABC S ∆和ADC S ∆的数量关系为_________.（2）如图，点D 是ABC ∆的边BC 上任意一点，点,E F 分别是线段AD ，CE 的中点，且ABC ∆的面积为236cm ，请同学们借助上述结论求BEF ∆的面积.1 / 8 答案1．A 2．B 3．C 4．B5．B6．C 7．D 8．C 9．C 10．D11．B 12．10cm 13．1 14．12cm 2． 15．7 16．AE17．解：(1)AB (2)CD(3)∵AE ＝3cm ，CD ＝2cm ， ∴S △AEC ＝12AE ·CD ＝12×3×2＝3(cm 2)． ∵S △AEC ＝12CE ·AB ＝3cm 2，AB ＝2cm ， ∴CE ＝3cm.18．解：AD 是ABC △的角平分线. 理由：∵DE AC ，DF AB ， ∴ADE DAF ∠=∠，ADF EAD ∠=∠， 又∵ADE ADF ∠=∠，∴DAF EAD ∠=∠，∴AD 是BAC ∠的平分线.19．解：（1）作DF BC ⊥于点F . CD 平分ACB DE AC ∠⊥，于点E, ∴DE=DF,∴S △ABC =12ab ，()111222ABC ACD CDB S S S bx ax a b x ∆∆∆=+=+=+；（2）由（1），()11,22ab ab x a b x a b=+∴=+20．【详解】（1）CD BC =AC ∴是ABD ∆的边BD 上的中线 ABC ADC S S ∆∆∴=故答案为：ABC ADC S S ∆∆=；（2）点E 是线段AD 的中点 BE ∴是ABD ∆的边AD 上的中线，CE 是ACD ∆的边AD 上的中线 ,BDE ABE CDE ACE S S S S ∆∆∆∆∴== 11,22BDE ABD CDE ACD S S S S ∆∆∆∆∴== 1122BCE BDE CDE ABD ACD S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=+ 1()2ABD ACD S S ∆∆=+ 2113618()22ABC S cm ∆==⨯= 点F 是线段CE 的中点 BF ∴是BCE ∆的边CE 上的中线 BEF BCF S S ∆∆∴=211189()22BEF BCE S S cm ∆∆∴==⨯= 故BEF ∆的面积为29cm ．。
三角形的高、中线与角平分线(分层作业)(解析版)docx
11.1.2三角形的高、中线与角平分线夯实基础篇一、单选题：（每题3分，共18分）1．在△AB C中，画边BC上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【详解】解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；B．此图形中CE不是BC边上的高，不符合题意；C．此图形中BE是AC边上的高，不符合题意；D．此图形中BG是△BCG中BC边上的高，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查三角形高的画法，解题关键在理解底与高的对应关系，作钝角三角形的高是易错点． 中，BC边上的高为（）2．如图，在ABCA．BD B．CF C．AE D．BF【解析】【分析】根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．【详解】根据三角形的高的定义，在△AB C中，BC边上的高应是过点A垂直于BC的线段，从图中可以看出，过点A垂直于BC的线段是AE，所以AE是BC边上的高．故选：C．【点睛】本题考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形的高概念，仔细观察图形中符合定义的线段即可．3．下列叙述中错误的一项是（）．A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．【答案】C【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断．【详解】A：三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；B：锐角三角形三条高在三角形内部，直角三角形一条高在三角形内部，钝角三角形一条高在三角形内部，正确；C：只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误；D：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确【点睛】本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关键．4．已知，AE、BD是ABC的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（）A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm【答案】D【解析】【分析】根据等面积法即可求解．【详解】解：∵AE、BD是ABC的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，∴1122AC BD AE BC，即68489.655AE BCACBDcm．故选D．【点睛】本题考查了三角形高线的相关计算，理解三角形的高线的意义是解题的关键．5．如图，在△AB C中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】【分析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，相减即可得到周长差．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2；故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键．的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）6．如图，AD，AE，AF分别是ABCA ．2BC CDB ．12BAE BAC C ．90AFBD ．AE CE 【答案】D【解析】【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；【详解】解：A ．∵AD 是ABC 的中线∴2BC CD ，故选项正确，不符合题意；B ．∵AE 是ABC 的角平分线∴12BAE BAC 故选项正确，不符合题意；C ．∵AF 分别是ABC 的高，∴90AFB故选项正确，不符合题意；D ．AE CE 不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．二、填空题：（每题3分，共15分）7．如图，90CBD E F ，则线段______是ABC 中BC 边上的高．【答案】AE【解析】【分析】根据三角形高线的定义判断即可；【详解】∵AE BC ，∴ABC 中BC 边上的高是AE ．故答案是AE ．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，准确分析判断是解题的关键．8．如图，△AB C 中，AD 是BC 上的中线，BE 是△AB D 中AD 边的中线，若△ABC 的面积是24，AE ＝3，则点B 到直线AD 的距离为________．【答案】4【解析】【分析】由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE 的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．【详解】∵AD 是△ABC 的BC 边上的中线，24ABC S ，∴1122ABD ABC S S ．∵BE 是△AB D 中AD 边上的中线，∴162ABE ABD S S ．设点B 到直线AD 的距离为h ，则162ABE S AE h，即1362h ，∴h =4．即点B 到直线AD 的距离为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一9．如图，在△AB C 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．【答案】5【解析】【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD 的长，再由中线的定义可得CD =BD ，从而得解．【详解】解：∵S △ABD =15，AE 是BC 边上的高，∴12BD •AE =15，则12×6BD =15，解得：BD =5，∵AD 是BC 边上的中线，∴CD =BD =5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD 的长．10．如图，在三角形ABC 中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，3AB ，4AC ，5BC ，则AD ______．【答案】2.4【解析】【分析】根据面积相等可列式1122AB AC BC AD ，代入相关数据求解即可．【详解】解：∵AB AC ，AD BC ，∴1122AB AC BC AD ∵3AB ，4AC ，5BC ，∴12 2.45AB AC AD BC 故答案諀：2.4【点睛】此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．11．已知ABC 中，30cm AC ，中线AD 把ABC 分成两个三角形，这两个三角形的周长差是12cm ，则AB 的长是__________．【答案】42cm 或18cm【解析】【分析】先根据三角形中线的定义可得BD =CD ，再求出AD 把△ABC 周长分为的两部分的差等于|AB -AC |，然后分AB ＞AC ，AB ＜AC 两种情况分别列式计算即可得解．【详解】∵AD 是△AB C 中线，∴BD =C D ．∵AD 是两个三角形的公共边，两个三角形的周长差是12cm ，∴如果AB ＞AC ，那么AB -AC =12cm ，即AB -30=12cm∴AB =42cm ；如果AB ＜AC ，那么AC -AB =12cm ，即30-AB =12cmAB =18cm ．综上所述：AB 的长为42cm 或18cm ．故答案为：42cm 或18cm ．【点睛】考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．三、解答题：（每题8分，共40分）12．如图，BD 和CE 是△ABC 的中线，AE =3cm ，CD =2cm ，若△ABC 周长为15cm ，求BC 边的长．【答案】5cm【解析】【分析】根据中线定义可得AB ，AC ，根据△ABC 周长公式即可求解．【详解】∵BD 和CE 是△ABC 的中线，∴2236AB AE cm ，2224AC CD cm ，∵△ABC 周长为15cm ，即15AB AC BC cm ，∴1515645BC AB AC cm ．【点睛】本题考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出AB 和AC 的长．13．如图，△ABC 的周长是21cm ，AB ＝AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，求AB ，B C ．【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．【解析】【分析】由BD是中线，可得AD=CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，继而求得答案．【详解】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝12AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【点睛】本题考查了三角形周长与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．14．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)△ABC的面积是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【解析】【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）找出线段AC的中点E，然后连接B E，再过点C向AB所在的直线作垂线，垂足为D 即可；（3）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．(1)如图所示，三角形A′B′C′就是所要求做的图形；(2)如图所示，三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)S △ABC ＝1144822AB CD ．故△ABC 的面积是8．【点睛】本题考查作图－平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15．如图，已知AD ，AE 分别是ABC 的高和中线，9cm AB ，12cm AC ，15cm BC ，90BAC ．(1)求AD 的长度；(2)求ABE △的面积．【答案】(1)36cm 5(2)227cm 【解析】【分析】（1）利用等面积法，根据1122ABC S AB AC BC AD ，代值求解即可；（2）根据已知条件和（1）中求出的AD 长，利用三角形面积公式得出12ABE S BE AD ，代值求解即可．(1)解：在ABC 中，90BAC ，AD 是边BC 上的高，∵9cm AB ，12cm AC ，15cm BC ，根据1122ABC S AB AC BC AD 可得91236155cm AB AC AD BC ；(2)解：在ABC 中，BE 是边BC 上的中线，且15cm BC ，1152m 2c BE BC ，在ABE 中，AD 是边BE 上的高，且由（1）知5cm 36AD ，2111536272225cm ABE S BE AD ．【点睛】本题考查三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线与高线是解决问题的关键．16．请补全证明过程及推理依据．已知：如图，BC //ED ，BD 平分∠ABC ，EF 平分∠AE D ．求证：BD ∥EF ．证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴12∠AED=12∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（角平分线的定义）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴12∠AED=12∠ABC∴∠1=∠2∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．能力提升篇一、单选题：（每题3分，共9分）1．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．10C．7或11D．7或10【答案】C【解析】【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①152122yxyy＝＝或②122152yxyy＝＝解方程组①得118xy＝＝，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得710 xy＝＝，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．2．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．13B．710C．35D．1320【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=43x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面积是4x+2y∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=43x．又∵△ABC的面积为3∴4x+x=3 2，x=3 10．则四边形PDCE的面积为x+y=7 10．故选B．【点睛】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比3．如图，△ABC的面积是24，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG 的面积是（）A．9B．10C．11D．12【答案】A【解析】【分析】首先根据点E 是AD 的中点，可知ABE BDE S S ，ACE CDE S S V ，再根据点D 是BC 的中点，可得BDE CDE S S V ，即可得164ABE BDE ACE CDE ABCS S S S S V V V V ，然后根据点F ，G 是BE ，CE 的中点，得132AEF ABE S S V V ，132AEG ACE S S V V ，可知FG 是△CBE 的中位线，可得134EFG BCE S SV V ，即可得出答案．【详解】∵点E 是AD 的中点，∴ABE BDE S S ，ACE CDE S S V ．∵点D 是BC 的中点，∴BDE CDE S S V ，∴164ABE BDE ACE CDE ABCS S S S SV V V V ．∵点F ，G 是BE ，CE 的中点，∴132AEF ABE S S V V ，13AEG ACE S S V V ，∴FG 是△CBE 的中位线，∴134EFG BCES S V V ，∴+=9AFG AEF AEG EFG S S S S V V V V ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积和中线的关系，三角形中位线的定义和性质等，将一个三角形的面积转化为求三个小三角形的面积是解题的关键．二、填空题：（每题3分，共9分）4．如图，在ABC 中，2AB AC ，P 是BC 边上的任意一点，PE AB 于点E ，PF AC于点F .若2ABC S ，则PE PF ______．【答案】2【解析】【分析】根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF，结合已知条件，即可求得PE PF 的值．【详解】解：如图，连接AP ∵PE AB 于点E ，PF AC 于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF 2AB AC ∵，2ABC S 1122AB PE AC PF 2PE PF 2【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．5．如图，在 AB C 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且 ABC 的面积等于24cm 2，则阴影部分图形面积等于_____cm 2【答案】6【解析】【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．【详解】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12EC，而高相等，∴S△BEF=12S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE=12S△ABD，S△CDE=12S△ACD，∴S△EBC=12S△ABC，∴S△BEF=14S△ABC，且S△ABC=24cm2，∴S△BEF=6cm2，即阴影部分的面积为6cm2．故答案为6．【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）之比．6．在ABC 中，90B ，8AB cm ，6BC cm ，点D 是AB 的中点，点P 从A 点出发，沿线段AD 以每秒2cm 的速度运动到B ．当点P 的运动时间t ____________秒时，PCD 的面积为26cm ．【答案】1或3【解析】【分析】分为两种情况讨论：当点P 在AD 上时，当点P 在DB 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】∵8AB cm ，点D 是AB 的中点，∴AD =BD =4cm ，当点P 在AD 上时，AP =2t ，∴PD =4-2t∵PCD 的面积为26cm ，∴12PD ×BC =6，即 142662t 解得t =1s ，当点P 在BD 上时，AP =2t ，∴DP =2t -4，∵PCD 的面积为26cm ，∴12DP ×BC =6，即 124662t ，解得t =3s ，综上，当点P 运动时间t 1或3秒时，PCD 的面积为26cm ．故答案为：1或3．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．三、解答题：（9分）7．如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ．(1)若70,40 ，求DCE 的度数；(2)试用 、 的代数式表示DCE 的度数_________．【答案】(1)15DCE (2)2【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB 的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE ．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1)解：∵70BAC ，40B180()180704070ACB BAC B ，∵CE 是ACB 的平分线， 1352ACE ACB ．∵CD 是高线，90ADC ，9020ACD BAC ，352015DCE ACE ACD ．(2)解：∵BAC ，B180()180ACB BAC B ，∵CE 是ACB 的平分线， 1118090222ACE ACB ．∵CD 是高线，90ADC ，9090ACD BAC ， 909022DCE ACE ACD．【点睛】思维拓展篇1.阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC 中AB AC ，BD 是ABC 的高，P 是BC 边上一点，PM 、PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M 、N ．求证：BD PM PN ．阳阳发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ，即111222AC BD AB PM AC PN ．由AB AC ，可得BD PM PN ．他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD 、PM 、PN 之间的数量关系是：BD PN PM ．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接AP ．ABC APC S S ∵________，1122AC BD AC ________12AB ________．AB AC ∵，BD PN PM ．（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC 中，AB AC BC ，BD 是ABC 的高．P 是ABC 所在平面上一点，PM 、PN 、PQ 分别与直线AB 、AC 、BC 垂直，垂足分别为点M 、N 、Q ．①如图3，若点P 在ABC 的内部，猜想BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系并写出推理过程．②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）【答案】（1）S △APB ；PN ；PM ；（2）①BD ＝PM ＋PN ＋PQ ，证明见解析②BD ＝PM ＋PQ −PN ．【解析】【分析】（1）根据图形，结合阅读材料填写即可；（2）①连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APC ＋S △APB ＋S △BPC 得出12AC •BD ＝12AC •PN ＋12AB •PM ＋12BC •PQ ，由AB ＝AC ＝BC ，即可得出BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；②连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APB ＋S △BPC −S △APC ，得出12AC •BD ＝12AB •PM ＋1 2BC•PQ−12AC•PN，由于AB＝AC＝BC，即可证得BD＝PM＋PQ−PN．【详解】解：（1）证明：连接AP．∵S△ABC＝S△APC−S△APB，∴12AC•BD＝12AC•PN−12AB•PM．∵AB＝AC，∴BD＝PN−PM．故答案为：S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；如图3，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC∴12AC•BD＝12AC•PN＋12AB•PM＋12BC•PQ，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；②BD＝PM＋PQ−PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC−S△AP C．∴12AC•BD＝12AB•PM＋12BC•PQ−12AC•PN，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ−PN．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键．。
八年级数学上册 《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》同步练习题(含答案)
初中数学·人教版·八年级上册——第11章三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性同步练习题测试时间:30分钟一、选择题1.一定在三角形内部的线段是( )A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C.任意三角形的一条中线、两条角平分线、三条高D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线答案 A A项,锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在三角形内部,故本选项正确;B项,钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部,故本选项错误;C项,任意三角形的一条中线、两条角平分线都在三角形内部,但三条高不一定都在三角形内部,故本选项错误;D项,直角三角形的三条高有两条是直角边,不在三角形内部,故本选项错误.故选A.2.如图,△ABC中,点E是BC上的一点,EC=2BE,BD是边AC上的中线,若S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF=( )A.1B.2C.3D.4答案 B ∵S△ABC=12,EC=2BE,点D是AC的中点,∴S△ABE=S△ABC=4,S△ABD=S△ABC=6,∴S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2.故选B.二、填空题3.空调外机安装在墙壁上时,一般都会按如图所示的方法固定在墙壁上,这种方法应用的数学知识是三角形的.答案稳定性解析题中方法应用的数学知识是三角形的稳定性.4.如图所示,∠BAD=45°,AE=4 cm.(1)如果AD是△ABC的角平分线,那么∠DAC=;(2)如果AE=CE,那么线段BE是△ABC的,AC的长为;(3)如果AF是△ABC的高,那么图中以AF为高的三角形有个.答案(1)45°(2)中线;8 cm (3)6解析(1)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAC=∠BAD=45°.(2)∵AE=CE,∴线段BE是△ABC的中线,AC=2AE=2×4=8(cm).(3)以AF为高的三角形有△ABD、△ABF、△ABC、△ADF、△ADC、△AFC,共6个.5.如图,在△ABC中,AD是△ABC边BC上的中线,CE是△ACD边AD上的中线,F是EC的中点.若S△BFC=1,则S△ABC= .答案 4解析如图,连接BE.∵点D、E分别为BC、AD的中点,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC,S△BDE=S△ABD=S△ABC,S△CDE=S△ACD=S△ABC,∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABC+S△ABC=S△ABC,∵点F是CE的中点,∴S△BEF=S△BFC=S△BCE=×S△ABC=S△ABC,∵S△BFC=1,∴S△ABC=4.三、解答题6.如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=9 cm,AC=12 cm,BC=15 cm,∠BAC=90°.试求:(1)△ABE的面积;(2)AD的长度;(3)△ACE与△ABE的周长的差.解析(1)∵△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=9 cm,AC=12 cm,∴S△ABC=AB·AC=×9×12=54(cm2).∵AE是边BC上的中线,∴BE=EC,∴BE·AD=EC·AD,即S△ABE=S△AEC,∴S△ABE=S△ABC=27 cm2.∴△ABE的面积是27 cm2.(2)∵∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∴AB·AC=BC·AD,∴AD=·==(cm),即AD的长度为 cm.(3)∵AE为BC边上的中线,∴BE=CE,∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),即△ACE与△ABE的周长的差是3 cm.7.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24和18两部分,求三角形的三边长.解析如图,设AB=AC=a,BC=b,则有,或,,解得,或,,这时三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18,它们都能构成三角形.所以三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18.。
三角形的高、中线与角平分线专题(含答案)
11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、选择题1.以下说法正确的有() ①三角形的中线、角平分线都是射线; ②三角形的三条高所在直线相交于一点; ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点; ④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分; ⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．A.5个B.4个C.3个D.2个2.如图所示，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是()A.BA=2BFB.∠ACE=12∠ACBC.AE=BED.CD⊥AB3.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是()A. B. C. D.4.如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则图中可以作为三角形“高”的线段有()A.1条B.2条C.3条D.5条5.若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是()A.AB=BCB.BD=DCC.AD平分BCD.BC=2DC6.如图，△ABC中AB边上的高线是()A.线段DAB.线段CAC.线段CDD.线段BD7.如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列各式中错误的是()A.AE=CEB.∠ADC=90∘C.∠CAD=∠CBED.∠ACB=2∠ACF8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4cm2，则S△BEF等于()A.2cm2B.1cm2C.12cm2D.14cm29.如果AD是△ABC的中线，那么下列结论： ①BD=12CB; ②AB=AC; ③S△ABD=S△ACD.其中一定成立的有()A.3个B.2个C.1个D.0个10.如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为()A.10B.8C.6D.511.填空：(1)如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2，BD=，AE=12．(2)如图(2)，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=∠，∠3=12，∠ACB=2．12.如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD交于点E.已知AE=5，DE=2，CD=95，则AB的长为．13.若AD是△ABC的高，∠BAD=70∘，∠CAD=20∘，则∠BAC的度数为．14.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE//BC，交AC于点E.若∠AED=50°，则∠D的度数为______．15.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G．(1)分别写出△ABC各条边上的高；(2)CF是哪几个三角形的高？16.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE//AC交AB于点E，若∠EDA=∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．17.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4.△ABC的高AD与CE的比是多少？(提示：利用三角形的面积公式．)18.如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90∘.试求：(1)AD的长;(2)△ABE的面积;(3)△ACE与△ABE的周长的差．19.如图，AD是△ABC的角平分线．DE // AC，DE交AB于点E，DF // AB，DF交AC于点F.图中∠1与∠2有什么关系？为什么？20.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．(1)画出△ABC中BC边上的高AD;(2)画出△ABC中AC边上的中线BE;(3)直接写出△ABE的面积为．11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】AF或BFCDAC∠2∠ABC∠4或∠ACF12.【答案】9213.【答案】90∘或50∘14.【答案】25°15.【答案】解：(1)由题意，可得△ABC中，AB边上的高是CF，BC边上的高是AD，AC边上的高是BG；(2)∵CF⊥AB，垂足为点F，∴CF是△BCF，△BCE，△BCA，△FCE，△FCA，△ECA的高．16.【答案】解：∵DE//AC，∴∠ADE=∠CAD，∵∠EDA=∠EAD，∴∠CAD=∠EAD，∴AD是△ABC的角平分线．17.【答案】解：∵AD和CE分别是△ABC边BC和边AB上的高，∴S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，即2AD=CE，．18.【答案】解：(1)∵∠BAC=90∘，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅AC BC=6×810=4.8(cm)，即AD的长为4.8cm．(2)∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90∘，AB=6cm，AC=8cm，∴S△ABC=12AB⋅AC=12×6×8=24(cm2).又∵AE是△ABC的中线，∴BE=EC，∴12BE⋅AD=12EC⋅AD，即S△ABE=S△AEC，∴S△ABE=12S△ABC=12(cm2)，∴△ABE的面积是12cm2．(3)∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=AC+AE+CE−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE与△ABE的周长的差是2cm．19.【答案】解：∠1=∠2．理由如下：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC.因为DE//AC，所以∠DAC=∠1.因为DF//AB，所以∠DAB=∠2．所以∠1=∠2．20.【答案】解：(1)如图所示，线段AD即为所求．(2)如图所示，线段BE即为所求．(3)4．。
部编版人教数学八上《11.1.2三角形的高中线与角平分线 同步训练习题(含答案)》最新精品
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11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
[学生用书P5]
1．下列说法不正确的是( )
A．三角形的中线在三角形的内部
B．三角形的角平分线在三角形的内部
C．三角形的高在三角形的内部
D．三角形必有一高线在三角形的内部
2．三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是( ) A．中线 B．角平分线
C．高 D．以上答案均正确
3．如图11-1-13，在△ABC中，BD为角平分线，BE为中线．如果AC＝12 cm，则AE＝__ __；如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝__ _．
图11-1-13
4．[2016·丹阳期中]如图11-1-14，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有__ _个．
图11-1-14
5．如图11-1-15，已知△ABC，过点A画△ABC的角平分线AD，中线AE和高线AF.
图11-1-15
6．如图11-1-16，已知在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．
图11-1-16
7．如图11-1-17所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
(1)作出△ABD的边BD上的高；
(2)若△ABC的面积为10，求△ADC的面积；
(3)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．。
《三角形的高、中线与角平分线》同步试题
《三角形的高、中线与角平分线》同步试题一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在括号内）1．三角形的三条高在（）．A．三角形的内部 B．三角形的外部C．三角形的边上 D．三角形的内部，外部或边上考查目的：本题考查钝角三角形高的位置，分类讨论、综合思考三角形高的状况能加深对三角形的高的理解．答案：D．解析：根据高线的作法，可知锐角三角形的高线都在三角形内部，直角三角形两条直角边就是高线，而钝角三角形有两条高线在三角形外部一条在三角形内部，故选D．2．下列说法正确的是（）．①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线，角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线，高和角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③ C．②③ D．①④考查目的：考查三角形的高线、中线和角平分线的本质．答案：B．解析：根据高线、中线、三角形角的平分线的定义，可知应选B．3．如图，．A． 2 B． 3 C． 4 D． 6考查目的：本题考查中线的定义．答案：C．解析：由中线的定义知BE＝EC＝6，而DE＝2，则BD＝BE－DE＝4，故 C．4．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B 落在点B′的位置，则线段AC具有性质（）．A．是边BB′上的中线 B．是边BB′上的高C．是的∠B′AB角平分线D．以上三种性质都有点评：本题初步考查等腰三角形的三线合一的性质．答案：D．解析：由翻折可知BC＝B′C，所以而AC是边BB′上的中线; 又由翻折原理可知∠BAC＝∠B′AC ，所以AC是∠B′AB的平分线;同样由翻折可知∠ACB＝∠AC B′而∠ACB+∠AC B′＝180O，∠ACB＝∠AC B′＝90 O所以AC是边BB′上的高，故选D．第4题第5题5．如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是（）．A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线C．AD=DC，BD=EC D．∠C的对边是DE考查目的：本题主要考查中线的理解及其在计算中的应用．答案：C．解析：根据中线的定义，可知AD=DC，BE=EC ，但BD与CE是不一定相等，应选C．二、细心填一填（把正确答案直接填在题中横线上）6．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点，且S △ABC=4cm2，则S阴影等于________．考查目的：本题主要考查中线的定义及其在面积计算中的灵活运用．答案：1 cm2解析：根据中线的定义和面积计算公式，可知△ABD的面积=△ACD的面积=2 cm2，又有△ABE的面积=△BED的面积=△ACE的面积=△CED的面积=1 cm2，所以△CEB的面积=2 cm2，△BEF的面积=1 cm2，应填1 cm2．7．在△ABC，∠A=90°，△ABC的角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为________．考查目的：本题考查画图和作辅助线．答案：AD>AE>AH ．解析：根据题意画图可知，AD＞AE＞AH，应填AD>AE>AH．8．在△ABC中，D是BC上的点，且BD：DC=2：1，△ACD的面积=12，那么△ABC的面积等于_ _．考查目的：本题考查等底共高面积相等．答案：36．解析：根据题意画图，作BD的中点E，连接AE，显然有BE=ED=DC，△ABE的面积=△ADE的面积=△ACD的面积=12，则△ABC的面积=36．三、专心解一解（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）9．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边长．考查目的：等腰三角形的一腰上的中线分割周长是一种典型的分类讨论进行计算的题型，对于目前的学生来说有一定的难度，但本节内有多次分类讨论状况出现，对于这样一个检测题，能加深学生对分类讨论的思想的认知，还对学生分类讨论意识的形成有一定的好处．本题除了培养学生分类讨论的思想外，还要求学生考虑应用三角形的三边关系对结果进行检验．答案：(1)当三角形是锐角三角形时，因为D是AC的中点，所以AD＝AC＝AB，所以AB＋AD＝AB＋AB＝15，解得AB＝10(cm)．所以AC＝10 cm，所以底边BC＝15＋12－10×2＝7(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm．(2)当三角形是钝角三角形时，AB＋AD＝AB＋AB＝12，解得AB＝8(cm)，所以AC＝8 cm，所以BC＝15＋12－8×2＝11(cm)．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm．综上知，底边的长为7 cm或11 cm．解析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图所示，这时AB＋AD＝15 cm，BC＋CD＝12 cm；另一种是钝角三角形，如图(2) 所示，这时AB＋AD＝12 cm，BC＋CD＝15 cm．图(1) 图(2)。
三角形的高中线与角平分线同步练习(含答案)
7.1.2三角形的高、中线与角平分线班级姓名座号月日主要内容：了解三角形的高、中线与角平分线概念及画法 一、课堂练习：1•如图,在GABC 中画出高线 AD 、中线BE 、角平分线 CF.3填空:(1) 如图(1), AD 、BE 、CF 是 ABC 的三条中线 则AB =2BD = ____ , AE =⑵如图(2), AD 、BE 、CF 是 ABC 的三条角平分线,则.1 =,■ 3 二*, ACB =2 =2.C2•如图，(1)(2)和⑶中的三个三角形有什么不同？画出这三个ABC 三边上的高 AD 、BE 、,CF 并指出三条高线在各自三角形的什么位置?⑵⑶、课后作业：4.如上图ABC 中，.ACB =90；,AB =6,CD 为中线，CE 平分.ACB，则DB =,也ACE = ______________ :.5•对于下列每个三角形，过顶点A画出中线AD、角平分线AE和高AF .6•如图,ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高，填空:(2) NBAD = ________(3) /AFB = _________ =90：'；(4) S ABC - ____________________________ 7•如图，在ABC中，AC = 2cm, BC =3cm「ABC的高AD与BE的比是多少（友情提示：利用三角形的面积公式）8•如图，AD是ABC的角平分线,DE // AC,DE交AB于E,DF // AB,DF交AC于F,图中/ 1与/2有什么关系？为什么？三、新课预习：9•如图⑴用钉子把三根木条钉成一个三角形木架 ，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图⑵用钉子把四根木条钉成一个四边形木架呢？如图(3)在四边形的木架上再钉一根木条 ，将它的对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗?答:图(1)(2)(3)中的三角形分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；当ABC 是锐角三角形时，三边上的高都在三角形内；当 ABC 是直角三角形时，三边上的高有两条是它的直角边 ，有一条在三角形内；当 ABC 是钝角三角形时，三边上的高有两条在三角形外，有一条在三角形内、课堂练习：参考答案1•如图，在. ABC 中画出高线 AD 、中线BE 、角平分线 CF. 解:如图，AD 为高线，BE 为中线， CF 为角平分线•2•如图，(1)(2)和⑶中的三个三角形有什么不同？画出这三个■ ABC 三边上的高 AD 、BE 、,CF 并指出三条高线在各自三角形的什么位置?(1)(2) (3)A FEA3填空:⑴如图（1）, AD、BE、CF是ABC的三条中线贝U AB =2 AF =2 BFBD 二CD , AE 二CE AC⑵如图（2）, AD 、BE、CF是ABC的三条角平分线,则.1二/ 2£3 詁 / ABC, NACB = 2 / 44•如上图，厶ABC 中，/ACB =90；, AB =6,CD 为中线,CE 平分.ACB，则DB = 3 WACE = 45 5•对于下列每个三角形，过顶点A画出中线AD、角平分线AE和高AF .⑵、课后作业：6•如图,ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高，填空:⑴ BE = CE =1 BC ；⑵ BAD = /CAD =2BAC⑶ AFB= /AFC =90'；⑷S ABC 1B C AF 7•如图，在ABC中，AC = 2cm, BC =3cm门ABC的高AD与BE的比是多少（友情提示:利用三角形的面积公式）解:T S A BC弓AC BE =2BC AD/• AC BE = BC AD•/ AC =2,BC =3/• 2 BE =3 AD二AD:BE =2 :38•如图，AD是ABC的角平分线,DE // AC,DE交AB于E,DF // AB,DF交AC于F,图中/ 1与/2有什么关系？为什么？解：乙1 Z2理由：T DE // AC •/ AD是/ BAC的角平分线C •••1- 3 •••3-4•/ DF // AB • . 1 二/2二2=4三、新课预习：9•如图⑴用钉子把三根木条钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？如图⑵用钉子把四根木条钉成一个四边形木架呢？如图(3)在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？答:图(1)(3)形状不会改变;图(2)形状会改变•。
人教版八年级上册数学三角形的高、中线与角平分线同步练习(含答案)
人教版八年级上册数学11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步练习一、单选题1．下列各图形中，分别画出了ABC 中BC 边上的高AD ，其中正确的是（ ） A ． B ．C ．D ． 2．如图，线段AD 把ABC 分成面积相等的两部分，则线段AD 是（ ）A ．ABC 的中线B ．ABC 的高 C ．ABC 的角平分线D ．以上都不对 3．如图，在ABC 中，20AB =，18AC =，AD 为中线．则ABD △与ACD △的周长之差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．如图，在ABC 中，点D 、E 分别是BC 、AB 上的中点，连接AD 、DE ，若3DEA S =△，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125．如图，△ABC中，CE＝2BE，点D为AC中点，连接DE、AE，取DE的中点F，连接AF，若△AEF的面积是1，则△ABC的面积是（）A．2B．4C．6D．86．在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（）A．角平分线B．高C．中线D．不能确定7．如图，在ABC中，点D在边BC上，且2，点E是AC的中点，AD，BD DC△的面积是8，AGE的面积是3，则ABC的BE交于一点G，连接CG，已知BGD面积是（）A．25B．30C．35D．408．如图，△ABC中BC边上的高和△AEC中AE边上的高分别是（）A．EF和CD B．BC和CD C．AB和CD D．AB和EF二、填空题9．如图，A，B，C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是28，那么△ABC的面积是______．10．如图，在ABC 中，D E F 、、分别为BC AD CE 、、的中点，且224cm ABC S =，则阴影部分AEF 的面积为________2cm ．11．已知△ABC 的面积为10，D 为AC 中点，则△ABD 的面积为 _____． 12．如图，BE 是△ABC 的中线，点D 是BC 边上一点，BD ＝2CD ，BE 、AD 交于点F ，若△ABC 的面积为24，则S △BDF ﹣S △AEF 等于_____．13．如图，CD 是ABC 的中线，延长CD 至点E ，使54CE CD =．连接AE 并延长，交CB 的延长线于点F ，已知四边形BDEF 的面积为2，则AFC △的面积是______．14．如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和高，AE ＝6，S △ABD ＝15，则CD ＝_____．15．如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，若△ABC 的面积为24 cm 2，则△ABE 的面积为________cm 216．如图，已知10ABC S =△，D 为BE 的中点，则ADC S △=___三、解答题17．已知：如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上.将△ABC 向左平移2格，再向上平移4格.(1)在图中画出平移后的三角形A′B′C′.(2)画出图中三角形A′B′C′的三条高.18．如图，ABC 中，AD 是角平分线，AF 是高线，36,74B C ∠=︒∠=︒，求DAF ∠的度数．19．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多3cm ，AB 与AC 的长度和为11cm ，求AC 的长．20．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒2cm.设运动的时间为t 秒．(1)当t =______时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2)当t =______时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3)当t 为何值时，BCP 的面积为12？参考答案：1．A2．A3．B4．C5．C6．B7．B8．C9．410．311．512．413．80 1314．515．616．518．19°19．AC的长度是7cm．20．(1)6(2)6.5(3)当t为2或6.5时，BCP的面积为212 cm答案第1页，共1页。
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》同步测试题及答案
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》同步测试题及答案班级：姓名：一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（）A．AD是∠BAC的平分线B．AD=BDC．AD=2CD D．2S△ABD =3S△ACD2．如图是一块不规则的四边形地皮ABCO，各顶点坐标分别为A(−2,6)，B(−5,4)，C(−7,0)，O(0,0)（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（）m2．A．25 B．250 C．2500 D．22003．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC面积相等的是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°， CD 是AB边上的高，若 AC=3， AB=5则CD=( )A．2 B．2.4 C．3 D．√155．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于△ABC的面积与△BCD 的面积的大小说法正确的是（）A．S△ABC>S△BCD B．S△ABC=S△BCDC．S△ABC<S△BCD D．无法比较6．如图，在四边形ABCD中∠A=90°，AD=2，BC=4，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，已知∠ACB=90°，BC=8，AC=6，AB=10，点D在线段AB上运动，线段CD的最短距离是（）A．4.8 B．4 C．5.8 D．5 8．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为()A．14B．√3−14C．18D．2√3−189．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等10．下列说法中，正确的个数为（）①三角形的高、中线、角平分线都是线段②三角形的外角大于任意一个内角③△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形④若a、b、c均大于0，且满足a+b＞c，则长为a、b、c的三条线段一定能组成三角形A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2，AC=4则△ADC 的面积为．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,−1)，B(1,3)，C(2,−3)，则三角形ABC的面积为．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足3S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA＋PB的最小值为.14．已知一次函数y=32x+m和y=−12x+n的图象都经过点A(−2,0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积为．15．已知a b=35，则b+2ab−2a=．16．如图△ABC中AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°求∠DAC，∠AOB．17．三角形ABC在直角坐标系中，且A(0,4)，B(−2,0)，C(3,−5)，将三角形ABC向下平移2个单位，再向左平移4个单位得到三角形A1B1C1，求三角形A1B1C1的面积．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.（1）则∠BAE＝；（2）求∠DAE的度数.参考答案1．答案D2．答案C3．答案A4．答案B5．答案B6．答案B7．答案A8．答案B9．答案C10．答案A11．答案412．答案1413．答案√4114．答案415．答案−1116．答案∠DAC=20°17．答案1518．答案（1）40°（2）解：∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠DAC＝90°-∠C＝60°∴∠DAE＝∠DAC-∠EAC＝20°.。
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》测试题及答案
人教版八年级数学上册《11.1.2三角形的高、中线与角平分线》测试题及答案班级：姓名：一、选择题1．下列说法：①三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；②三角形中最小的锐角不能大于60°；③三角形任意两个内角的和大于第三个内角；④三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边；⑤直角三角形只有一条高．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．BEAC=√5−12D．S△AECS△BEC=√5+123．如图，△ABC中∠ACB=75°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转一定角度得到△EDC．若点D恰好落在AB边上，且AD=CD，则∠E的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°4．在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，取AB边上的中点E，连接DE，则∠ADE=（）°．A．18 B．36 C．54 D．725．下列命题中，真命题的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三角形的三个顶点距离相等C．同旁内角互补D．若a1，a2，a3都是正数，且a1+a2+a3=1，那么这三个数中至少有一个大于或等于136．如图，把等腰直角三角形ABC的直角顶点和另外一个顶点分别放在矩形纸片的两条对边上，已知∠1=20°，则∠2的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．75°7．如图，直线a∥b，若∠1=24°，∠A=42°，则∠2等于（）A．66°B．70°C．42°D．30°8．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+12∠C；②当∠C=60°时AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b则S△ABC=2ab．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①②③D．①③9．如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线DE∥BC，交AB于E,∠A=60°,∠BDC=95°，则∠BED的度数是（）A．95°B．100°C．105°D．110°10．等腰三角形一个外角为100°，则它的顶角为（）A．40°B．80°C．100°D．80°或20°二、填空题11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=72°则∠E 的度数为.12．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，F在射线AD上，FE⊥BC于E，∠C=80°，∠B=36°则∠F=度．13．如图，在△ABC中，BAC=108°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点D恰好落在BC边上，且DC=DA，则∠E的度数为°．14．如图把三角形ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处∠1=24°，∠2=80°，则∠B′=度．15．如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B 的度数是．16．如图，在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BC=CD=AD，则∠A=．三、解答题17．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼合得到的：（1）如图1，请你计算出的∠ABC的度数．（2）如图2，若AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．18．如图，D是△ABC的BC边上一点∠B=∠BAD，∠ADC=70∘，∠BAC=80∘．求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．19．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；（2）如图2，∠B<∠C由(1)的计算结果，你能发现△DAE与∠C−∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明；（3）如图3，∠B=30°，∠C=70°延长AB到点G，∠BAD和∠CBG的角平分线交于点F、请直接写出∠F的度数______．20．如图，△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点．（1）若∠A=35°，求∠BPC的度数（2）若AB=5cm，BC=3cm，求△PBC的周长？21．陕西省的地势南北高、中间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形．某工程队现需穿过某座大山修一条隧道AB，如图，为了测量隧道AB的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点C，在隧道BA的延长线上取了点D，测量得知∠CAD−∠C=90°，AC=500米，BC=140米，请你求出隧道AB的长．22．如图，在△ABC中∠1=∠B,∠2=∠C,∠DAC=40°，求∠B的度数．参考答案1．答案A2．答案C3．答案D4．答案C5．答案D6．答案C7．答案A8．答案A9．答案D10．答案D11．答案34°12．答案2213．答案2714．答案2815．答案30°16．答案36°17．答案（1）∠ABC＝75°（2）∠AFD＝75°18．答案（1）35°（2）65°19．答案（1）∠DAE=10°（2）∠DAE=12(∠C−∠B)（3）55°20．答案（1）∠BPC=70°（2）周长为8cm21．答案隧道AB的长为480米22．答案35°。
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三角形的中线、高线、角平分线时间：60分钟总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列说法错误的是A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段2.下面四个图形中，线段BD是的高的是A. B.C. D.3.如图，在中，若，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线A. 4个B. 5个C. 6个D. 8个4.如图，于D，以AD为高的三角形有个．A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，在中，，G为AD的中点，延长BG交AC于为AB上一点，于H，下面判断正确的有是的角平分线；是边AD上的中线；是边AD上的高；是的角平分线和高．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三个角的角平分线的交点C. 三角形三条高的交点D. 三角形三条中线的交点7.如图，AD是的中线，DE是的高线，，，，那么点D到AB的距离是A. B. C. D. 28.已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是A. B. C. D. 无法确定9.如图，AD是的角平分线，点O在AD上，且于点E，，，则的度数为A. B. C. D.10.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在A. 三角形内部B. 三角形的一边上C. 三角形外部D. 三角形的某个顶点上二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，DB是的高，AE是角平分线，，则______．12.平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．13.如图，在中，和的平分线交于点O，若，则 ______ ．14.如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若，则______ ．15.如图，已知AE是的边BC上的中线，若，的周长比的周长多2cm，则______cm．16.在画三角形的三条重要线段角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是______ ．17.如图，已知中，，，AD是的高线，AE是的平分线，则 ______ ．18.如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则______ ．19.如图，在中，，，AD为中线，则与的周长之差______ ．20.如图，在中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD与BF相交于点H，，，则 ______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，中，，AE平分，，，求的度数．22.如图所示，在中，，，BC边上的中线，求BC的长．23.如图所示：中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，，，求，的度数是多少？24.如图中，，CD是的平分线，中，DE是CA边上的高，又有，求的大小．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，在中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：是的中线，______ ______ ；是的角平分线，______ ______ ；是的高，______ ；是的中线，，又 ______ ， ______ ，______ ．26.已知，如图，AE是的平分线，．求证：．答案和解析【答案】1. A2. A3. C4. D5. B6. A7. A8. A9. A10. A11.12. 32或3413.14. 415. 1016. 高线17.18.19. 320.21. 解：，，，平分，，，，，．答：的度数是．22. 解：延长AD到E使，连接CE，在和中，≌，，，，在中，，，，，，由勾股定理得：，，答：BC的长是．23. 解：，，，；，，，，是的角平分线，，．故，的度数分别是，．24. 解：是CA边上的高，，，，，，在中，，是的平分线，，在中，．故答案为：．25. CE；BC；；；；；；26. 证明：，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，是的平分线，，．【解析】1. 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质，熟记概念与性质是解题的关键根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项说法不正确；B.三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确；C.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项说法正确；D.三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项说法正确．故选A．2. 解：线段BD是的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为的高．故选A．根据三角形高的定义进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．3. 解：在中，，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，是，，，，，的高．故选C．根据三角形高的定义可知，三角形的高可以在三角形内部，可以是三角形的边，还可以在三角形外部，结合图形即可求解．本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．4. 解：于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．5. 解：根据三角形的角平分线的概念，知AG是的角平分线，故此说法错误；根据三角形的中线的概念，知BG是的边AD上的中线，故此说法错误；根据三角形的高的概念，知CH为的边AD上的高，故此说法正确；根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段透彻理解定义是解题的关键．6. 解：猎狗到三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在的三条边垂直平分线的交点．故选：A．用线段垂直平分线性质判断即可．此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．7. 解：，，的面积为，是的中线，的面积为5，点D到AB的距离是．故选A．根据三角形的面积得出的面积为5，再利用中线的性质得出的面积为5，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出的面积为5．8. 解：，即．故选A．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边倍长中线，构造一个新的三角形根据三角形的三边关系就可以求解．本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线．9. 解：，，．又是的角平分线，，，又，．故选A．首先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．10. 解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．故选A．根据三角形的高的性质即可判断．本题考查了三角形的高线，锐角三角形的三高线交于三角形内部一点，直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角的三条高所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．11. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解由角平分线的定义可得，，而与互余，与是对顶角，故可求得的度数．【解答】解：是角平分线，，，是的高，，．故答案为．12. 解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，平分，，，，当时，，平行四边形ABCD的周长是；当时，，平行四边形ABCD的周长是；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出，由已知得到，推出，分两种情况当时，求出AB的长；当时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出用的数学思想是分类讨论思想．13. 解；，，和的平分线交于点O，，，，，故答案为：．求出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点，关键是求出的度数．14. 解：是BC的中点，E是AC的中点，的面积等于的面积的一半，的面积等于的面积的一半，的面积等于的面积的四分之一，又，．故答案为：4．先根据D是BC的中点，E是AC的中点，得出的面积等于的面积的四分之一，再根据，得到．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．15. 解：是的边BC上的中线，，又，的周长比的周长多2cm，，即，，故答案为：10；依据AE是的边BC上的中线，可得，再根据，的周长比的周长多2cm，即可得到AC的长．。