第十六章二次根式复习
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
16章二次根式单元复习
知识结构
三个概念
二次根式 同类二次根式
最简二次根式
1、 ab a b a 0, b 0 两个性质
二 次 根 式
a 2、 b
1、 a
a (a 0, b 0) b
a a 0
aa 0
两个公式
2
2
2、 a a 四种运算
2b a 2
）
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2 2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a 1 (a 2)
则a的取值范围是( A. a 2 C. 2 a 4
2
2 2 ( 2 a ) ( a 4 ) 3.若代数式 的值是常数2,
2
3 1 。 15 3。
2
2、化简： ( 15 3) ( 15 4) 3、若a、b分别是 6
13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=Rt∠， 已知∠B=450， AB= 2 6 CD= 3
求（1）四边形ABCD的周长；
（2）四边形ABCD的面积。 C
(1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或 因式.
典型例题
例7、化简
(1) 16 81
(2) 2000
例8、计算
1 (3) 4 15 ( 5) 2 1 (4) 10 x 10 xy
(1) 21 7
(2)3 5 2 15
典型例题
例9、计算
40 (1) 45
八年级数学下册知识点归纳非常全面
八年级下册知识点归纳第十六章 二次根式1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
②非负性考点：几个非负数相加为0，那么这几个数都为0.如：-+++=2310a b c 则：30,10,0a b c -=+==2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是小数就化成分数，带分数化成假分数，是多项式就先分解因式。
4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式就是同类二次根式。
5、二次根式有关公式 （1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式(0,0)a aa b b b=≥> （5）完全平方公式222()2a b a ab b ±=++ 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （6）01(0)a a =≠ 1-=nn aa6、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
①已知a ，b ，求c ，则c=22a b + ②已知a ，c ，求b,则b=22c a -③已知b ，c 求a ，则a=22c b - 没有指明直角边和斜边时要分类讨论2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
第十六章 二次根式考点整合及2022中考真题精炼(解析版)
第十六章二次根式考点整合及2022中考真题精炼（解析版）第一部分考点整合提升考点一二次根式有意义的条件1x的取值范围是 ．思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．解：由题意知6﹣4x≥0，解得x≤3 2．故答案为：x≤3 2．总结提升：本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．2．无论x m的取值范围为（ ）A．m≥9B．m＞36C．m≤9D．m≤6思路引领：将被开方数配方，再根据二次根式有意义，被开方数大于等于0进行判断即可．∵无论x∴m﹣9≥0，∴m≥9．故选：A．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．考点二二次根式的化简3．若a＜0，化简其结果是（ ）A．0B．2a C．﹣2a D．2a或﹣2a思路引领：根据二次根式的性质得出|a﹣（﹣a）|，绝对值的意义去绝对值符号即可求出答案．解：∵a＜0，∴原式＝|a﹣（﹣a）|＝|2a|＝﹣2a，故选：C．总结提升：本题主要考查对绝对值，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解此题的关键．4解=+=0．位同学的解答正确吗？若不正确，请指出错误原因，并加以改正．思路引领：根据题目中的步骤即可发现问题所在，分类讨论x 与y 的大小，然后根据分母有理化即可解答本题．解：该同学解答不正确，错误原因是不知道x 与y 哪个大，从而x ﹣y 是正值还是负值不清楚，故解答错误，并且第一步的式子就抄错了，改正：当x ＝y 时，x−y−当x ＞y 时，x−y−==当x ＜y 时，x−y−=+=总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．我们已经学过完全平方公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如22，32，72，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求3﹣解：3﹣=212=)2，∴3﹣1．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（1（2（3+++思路引领：（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；（2）结合（118分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；（3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．解：（1+1；（2）=4（3）原式=++=+==1+22+=1．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．6．观察下列等式：①1==；③1…请你利用规律化简：（1（2）1．思路引领：仿照给出二次根式的化简方法，化简即可：（1）分子分母同乘（2解：（1）1＝（2总结提升：此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．考点三二次根式的运算7．下列计算中，正确的是（ ）A．=21B．3+C÷3D×思路引领：根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．解：A．原式＝A选项不符合题意；B．3B选项不符合题意；C．原式C选项不符合题意；D．原式=D选项符合题意．故选：D．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．8．计算（1）（2）（3）（4−2−)0．思路引领：（1）直接化简二次根式进而求出答案；（2）直接化简二次根式进而利用除法运算法则求出答案；（3）直接利用平方差公式计算，进而化简二次根式求出答案；（4）直接化简二次根式进而求出答案．解：（1）＝+4×＝（2）＝（+÷=43（3）＝5﹣12+2+＝﹣5+（4)0＝1=+1．总结提升：此题主要考查了二次根式的化简以及二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．9．计算：（1）（2)0（3）−2)2−312；（4（5）++．思路引领：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘除法，平方差公式和零指数幂运算即可；（3）利用完全平方公式和有理数减法法则运算即可；（4）把二次根式化为最简二次根式运算即可；（5）先去绝对值符号，然后再合并即可．解：（1）原式＝（2）原式=5−4+1+1＝1（3）原式＝（5﹣4+45）﹣312＝145−312＝﹣1710；（4）原式＝（5）原式=1+＝1．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式，完全平方公式和零指数幂是解题关键．考点四 二次根式的条件求值101的整数部分为a ，小数部分为b a ）（b +1）的值．思路引领：由于34，则可得到a＝2，b=1﹣2=32）1﹣3），然后利用平方差公式进行计算即可．解：根据题意得a＝2，b=1﹣2=3，+2）+1﹣32﹣22＝11﹣4＝7．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想求值．也考查了无理数的估算．11．已知a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，求a、b的值．分析：“若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零”，当一个等式里含有几个未知数时，若能将该等式化为几个非负数的和的形式，便能利用上述性质来求解．例如，讲方程a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，化为（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，从而求得a＝3，b＝4．再如，将方程a+b+1＝0化为a﹣+1+（b﹣1）1＝0，1）2+1）2＝0，从而求得a＝1，b＝2．使用类似的方法解决下面的问题：（1）已知a+b＝a＞0，b＞0）（2）已知a+b+c＝+14．求a、b、c的值．思路引领：（1）首先把a+b＝a﹣b）2＝0，得出a＝b，进一步代换求得数值即可；（2）先移项，再利用配方法得到a+1﹣+1+b+1﹣+4+c﹣2﹣9＝0即有1）2+2）2+3）2＝0，1＝02＝03＝0解得a＝0，b＝3，c＝11．解：（1）∵a+b＝∴a2+2ab+b2＝4ab，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b，==1 2；（2）∵a+b+c＝++14，∴a+1﹣+1+b+1﹣+4+c﹣2﹣9＝0，1）2+2）2+3）2＝0，1＝02＝03＝0，∴a +1＝1，b +1＝4，c ﹣2＝9，∴a ＝0，b ＝3，c ＝11．总结提升：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．12．已知：m思路引领：先估算得到m =2，则1m ==2，即1m ＞m ，利用完全平方公式得到原式=|m −1m |，去绝对值得原式＝﹣m +1m ，然后把m 和1m 的值代入计算即可．解：∵m∴m =2，原式=|m −1m |∵m =2，∴1m 1+2，即1m ＞m ，∴原式＝﹣（m −1m）＝﹣m +1m2）+2＝4．总结提升：=|a |．也考查了无理数的估算以及完全平方公式．13．已知a ＝2+b ＝2，求b a−a b 的值．思路引领：先计算出a +b ，b ﹣a 以及ab 的值，再把所求代数式变形为(b a)(b−a)ab，然后代值计算即可．解：∵a ＝2b ＝2∴a +b ＝4，b ﹣a ＝﹣ab ＝4﹣3＝1，∴原式=b 2−a 2ab =(b a)(b−a)ab =−总结提升：本题二次根式的化简求值，通过先计算a +b ，b ﹣a 以及ab 的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便．考点五 二次根式的规律探索14．观察下列各式1+11−12=32；1+12−13=76；1+13−14=1312．（1 ；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式，并验证；（3思路引领：（1）根据题意给出的规律即可求出答案；（2）由题意的规律即可用n 表示该等式；（3）根据（2）中的结论即可求出答案．解：（11+14−15=2120；故答案为：2120；（2=n(n 1)1n(n 1)．验证：等式左边==n(n 1)1n(n 1)=等式右边．（3=5756．总结提升：本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律．2022中考真题精炼一．选择题（共6小题）1．（2022•x 应满足的条件为（ ）A ．x ≠﹣1B ．x ＞﹣1C ．x ＜﹣1D ．x ≤﹣1思路引领：直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．解：代数式1有意义时，x +1＞0，解得：x ＞﹣1．故选：B ．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．2．（2022•广州）下列运算正确的是（ ）A =2B ．a 1a −1a=a （a ≠0）C D ．a 2•a 3＝a 5思路引领：直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．解：A −2，故此选项不合题意；B ．a 1a −1a=1，故此选项不合题意；C D ．a 2•a 3＝a 5，故此选项符合题意；故选：D ．总结提升：此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（ ）A B ．=1C ÷2=D ×思路引领：利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．解：A A 不符合题意；B 、B 不符合题意；C 2=C 不符合题意；D =D 符合题意；故选：D ．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（2022•内蒙古）实数a +1+|a ﹣1|的化简结果是（ ）A．1B．2C．2a D．1﹣2a思路引领：根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0|a|和绝对值的性质化简即可．解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．总结提升：|a|是解题的关键．5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=a为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s思路引领：把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=解：v==8×102（m/s），故选：D．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（2022•x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）即可得出答案．解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2022•荆州）若3a，小数部分为b，则代数式（2+）•b的值是 ．思路引领：3a、b的值，代入所求式子计算即可．解：∵12，∴1＜32，∵若3a，小数部分为b，∴a＝1，b＝31＝2∴（2+）•b＝（2+（22，故答案为：2．总结提升：本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．8．（2022•随州）已知m为正整数，=m有最小值3×7＝21．设n1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．思路引领：n最小为31越小，300 n越小，则n=2时，即可求解．∴n最小为3，1的整数，越小，300n越小，则n越大，2时，300n=4，∴n＝75，故答案为：3；75．总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．9．（2022•+1）1）的结果等于 ．思路引领：根据平方差公式即可求出答案．2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．总结提升：本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．10．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +1| 2 ．思路引领：根据数轴可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，然后即可得到a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，从而可以将所求式子化简．解：由数轴可得，﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，∴a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，∴|a +1|+＝a +1﹣（b ﹣1）+（b ﹣a ）＝a +1﹣b +1+b ﹣a＝2，故答案为：2．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足y+18，则的值是 ．思路引领：根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．解：∵y =18，∴x ﹣2≥0，2﹣x ≥0，∴x ＝2，y =18，则原式==12，故答案为：12总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022• ．思路引领：先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．0．故答案为0．总结提升：本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．三．解答题（共4小题）13．（2022•河池）计算：|﹣3﹣1（π﹣5）0．思路引领：先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．解：原式＝−13−1=23．总结提升：本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．14．（2022•思路引领：根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．解：原式==总结提升：=a ≥0，b ≥0）是解题的关键．15．（2022•思路引领：原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；解：原式＝＝＝=1x−2，总结提升：此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2022•济宁）已知a ＝2+b ＝2a 2b +ab 2的值．思路引领：利用因式分解，进行计算即可解答．解：∵a＝2b＝2∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+（2（2++2＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．。
人教版八年级下册数学第十六章_二次根式全章复习【课件】 (共20张ppt)
x＞ 0
x≥0且
（ 5 ） x x≥0
5
x （ 6） x 1
x≠1
复习回顾： 2、最简二次根式定义：
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数不含开的尽 方的因数或因式
巩固练习
3、化简
(1) 24,
2 6
(2) 72,
6 2
(3) 50
5 2
(4) 9a,
(5) 2a ,
2
(6) a b
2 3
巩固练习
5、下列各式中，哪些是同类二次根式？ 2 75 1 50 a 6b 2b 1 27 3
2 3 8ab 3
复习回顾： 4、分母有理化：
去掉分母中的二次根式 的变形叫分母有理化
巩固练习
6、化简（分母有理化） 1 2 1 27 y 6x 3x
复习回顾： 二次根式的三个性质:
1 、 a 0 , a 0 （ . 双 重 非 负 性 ）
3
8
( ×)
a (a 0)
(√ )
C） 2. 下列各式一定是二次根式的是（ A. 1 B. D. 2 C. 2 x 1 x1 x x
3、x取何值时，下列二次根式有意义？ （1） x +2 x≥-2 （2） -3-x x≤-3
1 X 取全体 2 （ 4） （3） x +1 3x 实数
练习
(2) =____；
2 2
( 23) =_____;
2
(m4) _____(m4)； 9x 6x1( 3x1) _______
2 2
巩固练习：
8 、 A B C 的 三 边 满 足 ab bc 0 , 请 你 判 断 这 个 三 角 形 的 形 状 。
人教版八年级下册第16章二次根式全章复习和巩固(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式(0)a a ≥13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：a 0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，a a 才有意义. 2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x===（0x≥）.（2）a的取值范围可以是任意实数，即不论a.（3a，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a必须取非负数；a，2=a（0a≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式.要点二、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥. 举一反三2x =-成立的条件是 .=成立的条件是 .【答案】① x ≤0；(22x x x ==-∴Q≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴Q ≥2≤3x <)2．当0≤x <11x +-的结果是__________. 【答案】 1.【解析】因为x ≥0x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，1x -=x +1-x =1.【总结升华】a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a < ）.A.-- D.【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（）.【答案】A.【解析】选项B=C：有分母；选项D= A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（）.A.=B.=C.=D.3=【答案】D.【解析】选项A：===故正确；选项B====故正确；选项C==选项D：=故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题.举一反三【变式】计算：+【答案】 5.化简20102011⋅.【答案与解析】2010201020101⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6已知1,x =.【答案与解析】1,0,11=x xxxx=∴->∴=-==Q原式当时，原式【总结升华】化简求值时要注意x的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.举一反三【变式】已知a b+=-3, ab=1,求abba+的值.【答案】∵a b+=-3,ab=1，∴<0a,<0b11+==-(+)=-=3--a bb a b a ab∴+原式.《二次根式》全章复习与巩固--巩固练习（基础）一.选择题1．下列式子一定是二次根式的是( ).A．B．C．D．2.若1,=-则a应是（）.aA. 负数B. 正数C. 非零实数D. 有理数）.4．下列说法正确的是( ).A．若，则a＜0 B．C ．D ．5的平方根是5．50,x x y -+=-若则的值是( ). A ．-7 B ．-5 C ．3 D ．7 6．下列各式中，最简二次根式是（ ）.7．0a -≥ ）.=≥>><>=8．把()a b a b -<化成最简二次根式，正确结果是（ ）.二. 填空题9. 计算--=___________. 10. 若的整数部分是a ，小数部分是b ，则___________.11．比较大小：.12. 已知最简二次根式是同类二次根式，则a b +的值为___________.13．已知0,_______a b a b <<-=.14 ___________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：22()a a c c b b +--=__________. 16．在实数范围内因式分解： (1)44a a + =___________________.(2)=___________________.三. 综合题 17． 计算：(1) (2)23232327264b ab a a a18.已知：，求的值.19．先化简代数式(11a ÷-，然后当4a =时，求代数式的值.20. 若x，y是实数，且，求的值.【答案与解析】一.选择题1．【答案】C.【解析】满足二次根式必须被开方数大于等于0，因为x没有取值范围，所以只有中无论x 取何值22x +≥0，即选C.2．【答案】 A.【解析】 a =Q ，所以1a a a==-，即a a =-，又因为a 0≠，所以a 是负数.3．【答案】C .【解析】判断是否是同类二次根式，一定要先化为最简二次根式，再判断.因为=====，所以选C. 4．【答案】C . 5．【答案】D .【解析】50,x -+=若则50,20x y -=+=，即5,2x y ==-. 6．【答案】C .【解析】只有选项C 满足被开方数是整数或是整式；且被开方数中不含能开方的因式或因数. 7．【答案】A .【解析】因为0a ≥，,a a a ===-，=≥8.【答案】D.【解析】((a b a b -=-=a b <，所以原式== 二.填空题9. 10.【答案】1. 【解析】)1,111a b b∴==-== Q1，小数部分. 11．【答案】<.12．【答案】2.124326ba b a b+=⎧⎨+=-+⎩, 解方程组得11ab=⎧⎨=⎩.13．【答案】b-.a b a a b-=--，又因为0a b<<，所以原式=()a b a a b a b---=--+=-.14．【答案】0.【解析】因为2a-≥0，即2a≤0，即0a=，所以原式=0.15．【答案】0.【解析】由图像知：0,0,0,0,0a cb ac c b<<>+<-<,所以原式=a a c c b b-++--=a a c c b b-++-+-=0.16．【答案】(1)22);(2)三、解答题17.【解析】 (1) 原式=(2) 原式18.【解析】∴原式.19.【解析】原式11a ÷==-. 20.【解析】∵x-1≥0， 1-x ≥0，∴x=1，∴y ＜.∴= .。
人教版八年级下数学第16章二次根式整章复习
第16章二次根式整章复习知识点1平方根与算术平方根1．计算：16＝.2.－52的平方根是.3．9的平方根是,9的算术平方根是.．计算：－22－|－1|＝.4知识点2二次根式存心义1．要使二次根式x－2存心义，x一定知足() A．x≤2B．x≥2C．x＞2D．x＜22．以下的式子必定是二次根式的是()A.－x－2B．x2＋2D．x2－2．若代数式x存心义，则实数x的取值范围是3x－1.4．若20n是整数，则正整数n的最小值为.知识点3二次根式的性质1．以下计算正确的选项是()A.12＝23B．3＝322 C.－x3＝x－x D．x2＝x．若x －32＝3－x，则x的取值范围是.23．在数轴上表示实数a的点如图，化简－52＋|a－2|的结果a为.．计算：2－1－22＝.＋4知识点4二次根式的化简与计算．计算：1＋27×3.132．计算：212×3÷52. 43．计算：5 3+27－48.4．计算：(－2)×6＋|3－2|－1－1. 25．计算：222115. 3÷－5×5a2＋2a＋1a6．先化简，再求值：a 2－1－a－1，此中a＝3＋1.知识点5二次根式的应用1．一个正方形的面积与一个长方形的面积相等，长方形的长为502cm，宽为402cm，求正方形的边长．2．一个直角三角形向来角边长为3cm，斜边长30cm，求这个三角形的面积．3．如图，已知矩形ABCD的面积为106，求图中暗影部分的面积．4．如图，在一个边长为( 3＋5)cm的正方形内部挖去一个边长为(5－3)cm的正方形，求节余部分的面积．第十六章二次根式◆知识点1平方根与算术平方根1.42.±√53.±33◆知识点2二次根式存心义◆知识点3二次根式的性质54.2◆知识点4二次根式的化简与计算1.解:原式=√1×√3+√27×√3=1+9=10.3√3√23√22.解:原式=4√3×4÷5√2=3×10=10.3.解:原式=5√3+3√3-4√3=4√3.4.解:原式=-√12+2-√3-2=-2√3-√3=-3√3.5.解:原式=-2√2×√51√15 32×51252=-2×5×√3×2×15=-5×5=-2.6.解:原式=(??+1)2-??=??+1-??=1,(??+1)(??-1)??-1??-1??-1??-1 13当a=√3+1时,原式=√3=√3.◆知识点5二次根式的应用1.解:长方形的面积=50√2×40√2=4000cm2,故正方形的边长=√4000=20√10cm.2.解:设该直角三角形的另一条直角边长为xcm.∵直角三角形向来角边长为√3,斜边长√30,∴由勾股定理得x2=(√30)2-(√3)2=30-3,∴x=3√3,∴这个三角形的面积=12×3√3×√3=4.5(cm2).3.解:BC=10√6÷√6=10,暗影部分的面积=√6×[10-(√6-√2)]+(√6-√2)(√6-√2)=10√6-6+2√3+8-4√3=10√6-2√3+2.4.解:节余部分的面积为(√3+√5)2-(√5-√3)2 =(√3+√5+√5-√3)(√3+√5-√5+√3)=2√5×2√3=4√15(cm2).。
二次根式知识点及例题
第十六章 二次根式知识点一、二次根式1.定义0)a ≥二次根号下的a 叫做被开方数．注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号．(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0． (3)根指数是2，这里的2可以省略不写．(4)形如0)a ≥的式子也是二次根式，它表示b例题：!1.下列各式中，一定是二次根式的是 ．12x ⎫<⎪⎭练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是 ．0,0)x y ≥≥知识点二、二次根式有意义的条件1.0a ≥0a <2.从具体的情况总结，如下：(1)0A ≥；(2)⋅⋅⋅有意义的条件：000A B N ≥⎧⎪≥⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩；?(3)0A >；(4)二次根式作为分式的分子如B A有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩．例题：1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义．11x +练习：知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质10)a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根，具体描述为：0；a 是非负数． 注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0．、例题：@练习：则2015)(yx 的值为________．3.已知a ,b 4b +，求a ，b 的值．·2210b b -+=，求221a b a +-的值．性质2：2(0)a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．注意：不能忽略0a≥这一限制条件，导致类似24=-的错误．性质3(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，(0)a a=≥；(0)a a-<．&注意：不要认为a2-的错误．2的区别与联系：例题：1.计算：(1) 2(2)2(3) 2(-(4)22.计算：'(1)23()5(2)23()5- (3)2(6)- (4)2(3.14)π-3.当m <3时，2(3)m -=_______．4.设三角形的三边长为a ，b ，c ，试化简：2222()()()()a b c a b c b a c c b a +++--+-----．、练习： 1.计算：(1) 2( 3.4) (2) 2( 3.4)- (3)2(3)π- (4) 2(4)π-2.若23a <<，则22(2)(3)a a ---等于（ ）~A . 52a -B . 12a -C . 25a -D . 21a - 3.已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，化简：222+()a b a b +-．4.已知a 2224a a a +--的值．$知识点四、二次根式的乘除1.二次根式的乘法法则0,0)a b ab a b =≥≥．提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2),a b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的． 推广a b cd abcd =()0,0,0,0a b c d ≥≥≥≥．2.ab ab =a b （0,0a b ≥≥）．#例题： 1.计算：(1)62⨯ (2) )32(276-⨯ (3))196()121(-⨯-(4))33)(31(+- (5) 38xy y 8y y！2.化简：(1)1259⨯ (2) 24323.(1)比较的大小__________， (2)比较3655与的大小__________． 练习： 1.计算： (1) )196()121(-⨯- (2) )33)(31(+- (3) 329y (4) 9y xy@2.化简：(1)12116⨯ (2) 96323.比较6456与的大小__________，(2)比较8338与的大小__________． 3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
八年级数学下册第十六章二次根式必考知识点归纳(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式必考知识点归纳单选题1、下列各式是二次根式的是（ ）A ．√3B ．√−1C ．√53D ．√π−4答案：A分析：根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．解：A 、符合二次根式有意义条件，符合题意；B 、-1＜0，所以√−1无意义，故B 选项不符合题意；C 、是三次根式，所以C 选项不符合题意；D 、π-4＜0，所以√π−4无意义，故D 选项不符合题意．故选：A ．小提示：本题考查二次根式的定义及有意义的条件：√a 是二次根式，必须有a≥0．2、估计(2√30−√24)⋅√16的值应在（ ） A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间答案：B分析：先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围. (2√30−√24)⋅√16=2√30×√16−√24×√16，=2√5−2，而2√5=√4×5=√20，4<√20<5，所以2<2√5−2<3，所以估计(2√30−√24)⋅√16的值应在2和3之间，故选B.小提示：本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.3、下列等式正确的是（）A．（√3）2=3B．√(−3)2=﹣3C．√33=3D．（﹣√3）2=﹣3答案：A分析：根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．解：（√3）2=3，A正确,符合题意；√(−3)2=3，B错误，不符合题意；√33=√27=3√3，C错误，不符合题意；（-√3）2=3，D错误，不符合题意；故选A．小提示：本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：√a2=|a|是解题的关键．4、下列计算正确的是（）A．√5+√2=√7B．√a2−b2=a−bC．a√x−b√x=(a−b)√x D．√6+√10=√3+√52答案：C分析：根据二次根式的加减法法则、二次根式的化简逐项判断即可得．解：A、√5与√2不是同类二次根式，不能合并，则此项错误，不符合题意；B、√a2−b2=√(a+b)(a−b)≠a−b，则此项错误，不符合题意；C、a√x−b√x=(a−b)√x，则此项正确，符合题意；≠√3+√5，则此项错误，不符合题意；D、因为2√3+2√5=√12+√20，所以√6+√102故选：C．小提示：本题考查了二次根式的加减法、二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．5、计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−12答案：B分析：先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．解：(√5+12−1)⋅√5+12=√5−12⋅√5+12=5−14=1．故选：B．小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．6、已知a=√2022−√2021，b=√2021−√2020，c=√2020−√2019，那么a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a答案：A分析：先把a,b,c化为√2022+√2021,√2021+√2020,√2020+√2019,√2022+√2021>√2021+√2020>√2020+√2019,从而可得答案．解：∵a=√2022−√2021=√2022+√2021,，b=√2021−√2020=√2021+√2020,c=√2020−√2019=√2020+√2019,，而√2022+√2021>√2021+√2020>√2020+√2019,∴a<b<c.故选A．小提示：本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．7、估计(2√3+3√2)×√13的值应在 （ ） A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间答案：A分析：根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小. (2√3+3√2)×√13=2√3×√13+3√2×√13 =2+√6，∵4<6<9，∵2<√6<3，∴4<2+√6<5，故选：A.小提示：此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.8、已知(4+√3)⋅a =b ，若b 是整数，则a 的值可能是（ ）A ．√3B ．4+√3C ．4−√3D ．2−√3答案：C分析：找出括号中式子的有理化因式即可．解：(4+√3)×(4−√3)=16-3=13，则a 的值可能是4−√3，故选C ．小提示：此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9、下列计算正确的是（ ）A ．√3+√3=√6B ．2−√2=√2C ．√3×√3=√6D ．2÷√2=√2答案：D分析：利用二次根式的运算法则计算．A ．应是合并同类二次根式，计算错误；B ．这两个数不是同类二次根式不能加减；C ．√3×√3=(√3)2计算错误；D ．先把分母有理化再计算．解：A 、合并同类二次根式应是√3+√3=2√3，故选项错误，不符合题意；；B 、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；；C 、要注意根式与根式相乘，应等于3，故选项错误，不符合题意；；D 、2÷√2=√2√2×√2=2√22=√2，故选项正确，符合题意；； 故选：D ．小提示：本题考查了二次根式的运算：解题的关键是先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，再合并即可．10、下列哪一个选项中的等式不成立？（ ）A ．√38=34B ．√(−5)6=(−5)6C ．√34×510=32×55D ．√(−3)4×(−5)8=(−3)2×(−5)4答案：B分析：根据二次根式化简的方法计算，即可．A ．√38=√(34)2=34，正确，不符合题意；B ．√(−5)6=√56=√(53)2=53，故此选项错误，符合题意；C ．√34×510=√(32×55)2=32×55，正确，不符合题意；D ．√(−3)4×(−5)8=(−3)2×(−5)4，正确，不符合题意．故答案选：B ． 小提示：本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的概念以及化简方法，是解决本题的关键． 填空题11、已知最简二次根式√2a +1a−b−1和√a +3是同类二次根式，则a b =______．答案：12分析：根据同类二次根式定义：两个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根，列出方程组{a −b −1=22a +1=a +3求解，得出a 、b 值，再代入计算即可． 银，根据题意，得{a −b −1=22a +1=a +3，解得：{a =2b =−1， ∴ab =2-1=12， 所以答案是：12．小提示：本题考查同类二次根式概念，代数式求值，负整理指数幂的运算，解二元一次方程组，熟练掌握同类二次根式概念是解题的关键．12、计算：√3×√5＝_____．答案：√15分析：根据二次根式乘法运算法则进行运算即可得出答案．解： √3×√5=√3×5=√15，所以答案是：√15．小提示：本次考查二次根式乘法运算，熟练二次根式乘法运算法则即可．13、若式子x ＋√x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______．答案：x ≥－1分析：由题意根据二次根式的被开方数是非负数，进行分析计算可得答案．解：由题意得x +1≥0，解得x ≥-1.所以答案是：x ≥-1．小提示：本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握并利用被开方数是非负数得出不等式是解题的关键．14、若|x-2y|+√y +2=0,则xy 的值为_______.答案：8试题解析:根据题意可得：{x −2y =0y +2=0, 解得：{x =−4y =−2.∴xy =8.故答案为8.15、若式子√1−x |x|−2有意义，则实数x 的取值范围是 _____．答案：x ≤1且x ≠-2分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，1−x ≥0且|x |-2≠0，解得x ≤1且x ≠-2．所以答案是：x ≤1且x ≠-2．小提示：本题考查了代数式有意义：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是明确什么情况下代数式有意义．解答题16、计算：（13）﹣1﹣√18×（﹣√3）﹣|√6﹣3|．答案：4√6分析：根据负整数幂运算公式，二次根式的运算，绝对值的运算进行化简运算即可.(13)−1﹣√18×（﹣√3）﹣|√6﹣3|＝3+3√6+√6﹣3＝4√6．小提示：本题主要考查了负整数指数幂、实数的运算，熟练掌握运算公式和法则是解题的关键.17、已知a =2+√5，b =2−√5，求代数式a 2b +ab 2的值．答案：－4分析：先将代数式因式分解，再代入求值．a 2b +ab 2=ab(a +b)=(2+√5)(2−√5)(2+√5+2−√5)=−1×4=−4.故代数式的值为−4．小提示：本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．18、先化简再求值：a2−b2a2+ab ÷(a−2ab−b2a)，其中a=1+√2，b=1−√2．答案：√24分析：先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．解：a2−b2a2+ab ÷(a−2ab−b2a)=(a+b)(a−b)a(a+b)÷a2−2ab+b2a=(a+b)(a−b)a(a+b)⋅a(a−b)2=1a−b，当a=1+√2，b=1−√2时，原式=1+√2−1+√2=2√2=√24．小提示：本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．。
人教版八年级下册第十六章 二次根式复习归纳总结(提高题参考答案详解)
第十六章 二次根式复习总结（一）知识归纳（1）二次根式定义：形如式子叫做二次根式。
二次根式的形式定义：①从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”。
②被开方数a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但a 必须是非负数,否则a 无意义。
③“”的根指数为2,即“ 2”，一般省略根指数2，写作“”.需要注意的是:(1)建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．(2)提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．(3)形如a b （a ≥o ）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是假分数时不能写成带分数。
二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；(1)注意：)0(≥a a 的最小值是0.(2)拓展：具有非负性的式子有：)0(0;0;02≥≥≥≥a a a a 若02=++c b a ，则a=b=c=0)0(≥a a（2）二次根式的性质：1、 是一个非负数；2、3、 (a )2＝ a (a ≥0) ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)，(a ＝0)，(a <0).化简二次根式时注意: ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)a b ＝ab (a ≥0，b >0)2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．总结：求使代数式有意义的字母取值范围的类型：二次根式型：被开方数大于或等于0； 分式型：分母不等于0；复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分。
第16章二次根式单元复习汇编
知识点4.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
（2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
变式练习： 1、比较 7 5与 5 3
的大小。
2、已知 x 3 2 ,
3 2
y 3 2, 3 2
求 x2 y xy2 的值。
能力提升
1.若最简二次根式a1 2a 4与 2b a是同类二次根式 求a2 b的值.
2.通过仿照化简下列各式：
32 2
2
2
3 2 2 1 2 2 2 12 2 2 2 1 2
a a (a 0,b 0) bb
知识点5.最简二次根式的定义.
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或
因式.
判断下列各式中哪些是最简二次根 式，哪些不是？为什么？
(1) 3a2b (3) x2 y2
(2) 1.5ab (4) a b
y x2 4 4 x2 1 x2
求3x+4y的值。
知识点2．二次根式的性质
（1）． a 0 （ａ 0）
（2）．( a )2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
知识点3.代数式的定义
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
2、把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12 (4) 3 3
八年级下册数学16章二次根式 复习
课后作业
作业：教科书第19～20页复习题16．
八年级
下册
第16章 小结与复习
学习目标： 1．了解二次根式及代数式的概念，理解其基本性 质，并能熟练地化简二次根式； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运 算． 学习重点： 二次根式相关知识关系的整理和二次根式的运算．
知识点一：二次根式的定义 知识点二：二次根式有意义的条件
知识点三：双重非负性 知识点四：最简二次根式 知识点五：同类二次根式
45
； （ 2）
5
18 + 3
6
．
3
6
2
知识点五：同类二次根式
1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ B ）
A、
C、
3
与
2
8
B、
ab
2
3
与
1 3
a b
与
D、
ba
a 1
与
a 1
2.若最简二次根式
3b 与
2b a 2
是同类项二
b a 2 3b 2 b a 2
0 ，b=_______. 2 次根式，则a=_____
2 2 2
2 2
，
试求 a b c
的值。
a=1,b=2,c=3 答案14 ， 则x+y的值。
2.若
y
x5
5 x 2009
x=5,y=2009 答案2014
知识点四：最简二次根式
1.下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）． A． 8 B． 7 0 C．
x 5
99
D．
1 x
2.在根式①
④
27 abc
第十六章 二次根式章节复习知识点
5、
5、二次根式相关运算的结果必须化成最简形式。
6、二次根式的化简求值常把二次根式的运算与分式运算联系起来，一般先将分式进行化简，
再代入所给字母的值，最后进行二次根式的运算。
7、两个二次根式比较大小：将根号外的系数进行平方在与被开方数相乘，例如： 与
逆运算： = （a≥0，b＞0），商的算术平方根等于被除数的“算”除以除数的“算”。
7、分母有理化：把分母中的根号化去的过程。两种方法，如下所示：
① = （a≥0，b＞0）；② = = （平方差公式）
8、最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不能含开方开得尽的因数或因式。
二次根式运算中，最后结果为最简二次根式。利用二次根式乘除法法则逆运算进行化简。
在运算过程中，每个根式可以看做一个单项式。分母中含有根式的，要先进行分母有理化。
类型题总结：1、判断二次根式；二次根式有意义的条件；二次根式性质的两种用法：已知
取值再化简、给你化简过程，判断未知数的取值范围。2、几个非负数之和为0，则每个非
负数都得0（平方、绝对值、二次根式）。3、判断最简二次根式必须满足两个基本条件。
来的式子叫做代数式。例如：3；x；x+y； （x≥0）；-ab；x 都是代数式。
5、二次根式乘法法则： · = （a≥0，b≥0），把被开方数相乘，根指数不变。
逆运算： = · （a≥0，b≥0），积的算术平方根等于积中各因式的算数平方根的积。
6、二次根式除法法则： = （a≥0，b＞0），把被开方数相除，根指数不变。带先化假。
被开方数：是带分数要化成假分数、是小数要化成分数、是多项式要先进行因式分解。
9、二次根式加减：将几个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
第十六章 二次根式 章末复习课件 数学人教版八年级下册
19．（2023重庆A卷）估计 2 （ 8 ＋ 10 ）的值应在（ B ）
A．7和8之间
B．8和9之间
C．9和10之间
D．10和11之间
20．（2023 河北）若 a＝ 2 ，b＝ 7 ，则
A．2 C． 7
B．4 D． 2
14a2 b2
＝（
A
）
21．（2023自贡）请写出一个比 23 小的整数：___4_（__答__案__不__ _唯__一_）___.
1．（2023泰州）计算 （－2）2 等于（ B ）
A．±2 C．4
B．2 D． 2
2．若代数式 x1＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ B ）
A．x≠－1
B．x＞－1
C．x＜－1
D．x≤－1
3．（2023大连）下列计算正确的是（ D ）
A．（ 2 ）0＝ 2 C． 8 ＝4 2
B．2 3 ＋3 3 ＝5 6 D． 3 （2 3 －2）＝6－2 3
3.计算：
（1） 62 ＝____6____；
（2）（－ 6 ）2＝____6____；
（3）
－132
1
＝____3____；
（4）（3 2 ）2＝____1_8___．
4.下列根式是最简二次根式的是（ C ）
A． 8 C． 10
B． 9
D．
1 3
5.计算：
（1） 3 × 2 ＝____6____；
A．6
B．2 10
C．12
D．9 10
7．（2023益阳）计算： 20 × 5 ＝____1_0___．
8．计算（ 2 ＋ 3 ）（ 2 － 3 ） 的结果为___－__1___．
9．（2023哈尔滨）计算 63 －7
第16章 二次根式 复习课件
知识结构
三个概念
最简二次根式 同类二次根式 有理化因式
二 次 根 式
ab a b a 0, b 0
两个性质
两个公式
a
2
a a (a 0, b 0) b b
2
a a 0
a a
运算
aa 0 aa 0
二次根式的概念
2
2
a , a a ,a 0 0 a , a 0 a ,a0
题型:二次根式非负性的应用.
3.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的平方根.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
4.已知x,y为实数,且
(1) 2 x 3 ( 2) ( x 5)
2 (4) 1 x
2
3 (3) 2x 1
0
(5) x 5 ( x 6)
(6) x 2 2 x
二次根式的性质
（1）． （2）． ( （3）．
a 0 （ａ 0） aa （ａ 0） )0 a
2
a a a { { a
x2 成立的条件是 x3
.
ab
2
=
.
x 3 14.化简 x = 2 x
.
15.已知a满足 1992-a a 1993 a, 那么a-1992 的值是（ C ）
2
A.1991
B.1992
C.1993
D.1994
1 16.若把根号外的因式移到根号内则a 等于（ A ） a
A．-
2 2 2 2
第十六章二次根式的复习
第十六章二次根式——构建知识体系高阳县庞家佐中学付晓琴教学目标1.知识与技能：（1）了解二次根式的有关概念。
（2）理解二次根式的性质。
（3）了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
2.过程与方法：（1）在二次根式的运算过程中，感受运算中的法则意识，培养学生严密的计算能力；（2）在自主构建，合作提升的复习过程中构建知识体系，提高类比、归纳的能力，增强数学的系统意识；3.情感、态度与价值观：通过本章的复习学会类比、归纳的数学思想方法，培养学生积极参与的意识和团队合作精神。
学情分析学生已经系统地学习了本章的基本内容,具有了一定的基础知识、基本技能和情感，因此本节课除了让学生进一步熟悉本章知识，提高他们分析问题、解决问题的能力之外,重在自主构建类比归纳，合作提升形成体系。
从认知状况来说，二次根式的加减法与整式的加减法类似，乘法与整式的乘法类似，除法与分式的运算类似，从系统状况来说，二次根式、整式、分式等都是代数式概念与运算的分支。
本章的归纳提升有助于把代数式的相关知识梳理形成知识体系.教学重点难点重点: 构建二次根式知识体系，全面复习二次根式有关概念、性质及运算难点:构建二次根式的知识体系，在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好运算习惯。
教学过程：一、做中感悟（一）二次根____________________________________________________________________________________.判断的依据是：__________________________________.，√12，√20，2+2，√27，1、在二次根式√0.2，√27√（−6）2，√3中，最简二次根式有______________你判断的依据是:__________________________________3、将下面的二次根式化成最简二次根式或整式，并写出你进行变形的依据。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做 二次根式
注意：使二次根式有意义的条件是 被开方数大于等于零
1．使式子 x 2 有意义的x的取值范围是 x 2
1
2．使式子 2x 3 有意义的x的取值范围是
x 3 2
3．使式子 1 有意义的x的取值范围是 x3
x3
4．使式子 3 x
（3）．二次根式的除法法则
[来源:Z。xx。]
（4）．商的算术平方根的性质
a a (a 0,b 0) bb a a (a 0,b 0) bb
四．最简二次根式应满足两个条件
①被开方数不含 分母
．ห้องสมุดไป่ตู้
②被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式
．
练习：下列二次根式是最简二次根式的是（ C ）
x2
有意义的x的取值范围是 x 3 且x 2
二．二次根式的性质
( a )2 __a____ (a≥0)
三. 二次根式的乘除
a2
a
{a,a0 a,a0
（1）．二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
（2）．积的算术平方根的性质 ab a b (a 0, b 0)
A． 20
B． 9
C． 7
D． 1 3
五.二次根式加减法则
二次根式加减时，可以先将二次根式化 为 最简二次根式 ，再把 被开方数相同 的二次根式 进行合并.
作业：
完成试卷上的作业