上海交大高等数学高数(上)期末试卷分析与解答
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 x=0 是 f\left( x \right) =\frac{x+b\ln\left( 1+x \right)}{ax-\sin x} 的可去间断点，则 a,b 的取值范围是（）解：2. 下列反常积分中，收敛的是（）解：3. 设函数 f(x) 在区间 [-a,a] 上二阶可导，且 f\left( x \right) >0,f'\left( x \right) >0,f''\left( x \right) <0 ，下列函数中，在区间 [-a,a] 上恒正、单调递减且为下凸函数的是（）解：4. 积分 \int_0^{\pi}{|\sin \left( 4x+1 \right)|\mathrm{d}x}= （）解：5. 设函数 f(x) 在 R 上连续， g\left( x \right)=\int_0^{x^2}{\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t} .对于两个命题：①若 f(x) 为偶函数，则 F\left( x \right)=\int_0^x{f\left( t \right) g\left( t \right)\mathrm{d}t} 为奇函数；②若 f(x) 为单调递增函数，则 G\left( x \right)=\int_0^x{\left( f\left( x \right) -f\left( t \right) \right) g\left( t \right) \mathrm{d}t} 存在极小值.下列选项正确的是（）解：二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设 f\left( x \right) =x\mathrm{e}^x, 则曲线 y=f(x) 的拐点是_____________.解：7. 直线 L_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1} 和 L_2:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1} 的夹角为_____________.解：8. 设函数 f\left( x \right) =\mathrm{arctan} x ，常数a>0 ，若 f\left( a \right) -f\left( 0 \right)=f'\left( \xi \right) a\,\,, 则 \underset{a\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\xi ^2}{a^2}= _____________.解：9. 极坐标曲线 r=2cos3\theta 上对应于\theta=\frac{5}{6}\pi 的点处的切线方程为_____________.解：10. 一阶常微分方程 y'\left( x \right) =\frac{y}{x+y^2} 的通解为_____________.解：视为关于 x 的一阶线性微分方程，然后利用公式直接求解即可：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}+y\Rightarr ow x=y^2+Cy三、（本大题共8分）11. 设 y=y(x) 是由方程 y^3-2x\int_0^y{\sin^2t\mathrm{d}t=x+\pi ^3} 所确定的可导函数，求\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mid_{x=0}^{} .解：。
(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_解答
1、解 22()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B.(,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥.答案：C2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π'''=⋅=-++⎰⎰u r r22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt πππ=++==⎰⎰答案：B3、解 22:1(1)S z x y =+≤，方向为下侧，[221]S S S I y y dv dxdy -++Ω∑+=+=--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò32251133πππ=-⋅-⋅=-答案：A4、解1|(1)|nn n n a ∞∞==-=∑∑――A 错11||n n n n n a a ∞∞∞+====≥∑∑∑，发散 ――B 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===-=-≥∑∑∑，发散 ――C 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===+=+=∑∑∑n n ∞∞===≈∑∑，收敛 ――D 对答案：D5、解 (0)(0)(3)()02S S S S ππππ-+-+===答案：D6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2.......Dxy dxdy =⎰⎰解2 ***22***Dxy dxdy dy xy dx +-==⎰⎰⎰⎰07、解()()()222222552323222cc c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=⋅=⎰⎰⎰蜒?5π8、2cos x P Qx e y y x∂∂=+=∂∂ 解1 2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++= ⇒ 2(2)(sin cos )0x x xydx x dy e ydx e ydy +++= ⇒ 2()(sin )0x d x y d e y += 通解为：2sin x x y e y C +=解2 (,)2(0,0)(2sin )(cos )x y x x u xy e y dx x e y dy =+++⎰220(cos )sin y x x x e y dy x y e y =+=+⎰通解为：2sin x x y e y C +=9、()()div rot F F =∇⋅∇⨯u r u r ()5(2)(3)23xy zx y z x y z x y z yzxz xy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂-==++=∂∂∂∂∂∂-010、解1(1)n n n a x ∞=+∑的收敛半径2R =111(1)(1)(1)n n n n n n na x n a x ∞∞-+==⇒+=++∑∑的收敛半径2R =，11(1)n n n n a x ∞+=⇒+∑的收敛半径R =211、32332x x u z e yz e yz x x∂∂=+∂∂ 323232()3x x zyze yz e yz e xy+=+--+ (0,1,1)u x -∂⇒∂121232()333e e--=--=--12、解 12112xy yI dy ye dx =⎰⎰1212()y e e dy =-⎰21(2)2e e =-13、解 1C : 0y =（:15x →），11CC C C +=-⎰⎰⎰Ñ51[(2Dy dxdy xdx =+⋅--⎰⎰⎰512Ddxdy xdx =-⎰⎰⎰12512222π-=⋅⋅-212π=-14、解1(1) xzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰(2) yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰ √yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰（yz D ：0z =,z y =和1y =所围成的三角形区域）100dy =⎰⎰10==⎰ 解2:(01)C y x =≤≤c c S zds yds ==⎰⎰0=⎰012==⎰z 11Oz15、合一投影法：{}{}{}(cos cos cos ),,cos ,cos ,cos ,,xyD Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSP Q R dS P Q R ndxdyαβγαβγ∑∑∑++=++=⋅=±⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v其中 {}(,),,,1x y z z x y n z z ==--v解1 合一投影法：原式{}{}2223,,22,2,1x y yx y z x y dxdy +≤=--⋅-⎰⎰2222(1)1(622)x y x y z dxdy +-≤=-+⎰⎰222(1)18x y x dxdy +-≤=⎰⎰22222221184()u v u v u dudv u v dudv +≤+≤==+⎰⎰⎰⎰14224ππ=⋅⋅= 解2 Gauss 公式设22:2()z y x y z ∑=+≤，取上侧，则原式SS +∑∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò()31232dV xdydz ydzdx zdxdy Ω∑=-----⎰⎰⎰⎰⎰22222442z x y yx z zdxdz ydxdy +≤+≤=-+⎰⎰⎰⎰ 22222(1)1()122(1)[4(1)4]2z x y x z dxdz y dxdy -+-≤+≤-=-++-+⎰⎰⎰⎰ 2222112(1)4[1]u v u v v dudv v dudv +≤+≤=-+++⎰⎰⎰⎰22122u v dudv π+≤==⎰⎰16、解 对级数10(1)321n n nn yn +∞=-+∑，1233321n n u n u n ++=⋅→+，13R =,13y =-时，100(1)313()21321n n n n n n n +∞∞==--=++∑∑发散， 13y =时，100(1)31(1)3()21321n n n nn n n n +∞∞==--=++∑∑收敛， 得10(1)321n n nn y n +∞=-+∑的收敛域为：11(,]33-，故原级数的收敛域为：22211,332x x -⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦， 即 (][)2,11,2x ∈--⋃.17、解()()()2111(1)11()1913nnn n n nn n n ∞∞==-+-=-++∑∑11111919nnn n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11911|101n x n x n ∞=-==--+∑()101111111()11x n n n n n n S x x x x dx n x n x ∞∞∞+======++∑∑∑⎰011()[ln(1)]1x x dx x x x x x==----⎰ ()()21113n n n nn ∞=-⇒+∑1111109109(ln )9ln 1091099109S ⎛⎫=---=-+-=- ⎪⎝⎭18、证 (1)22343232,22.2n n a a a a a a -==+<=<假设， 121122,3:2n n n n n n n a a a a n a --+-=+<<∀><则故.(2) 11211222n n n n n a x x x ----<=,故当12x <时，级数 11n n n a x ∞-=∑（绝对）收敛.111212231()n n n n n n S x a a x a xa a x a x ∞∞-++===++=++∑∑111111n n n n n n x a xa x ∞∞+++===+++∑∑211121n n n n n n x x a xx a x ∞∞--===+++∑∑21()[()1]x x S x x S x =+++-211x x=--。
上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
交大附中高一期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 函数1sin 22y x =的最小正周期T =__________； 【答案】π 【解析】【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可 详解：由三角函数的周期公式可知： 函数122y sin x =的最小正周期22T ππ== 故答案为π点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 2. 已知函数()22f x ax x =+是奇函数，则实数a =______．【答案】0 【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果． 【详解】∵函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即2222ax x ax x -=--， 整理得20ax =在R 上恒成立， ∴0a =． 故答案为0．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题． 3. 若集合{}2A x x =<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则A B =______．【答案】{}12x x -<<## ()1,2- 【解析】【分析】求解绝对值不等式解得集合A ，求解分式不等式求得集合B ，再求交集即可. 【详解】因为{}2A x x =<{|22}x x =-<<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}1x x =-，故可得A B ={|12}x x -<<.故答案：{}12x x -<<.4. 方程()lg 21lg 1x x ++=的解为______. 【答案】2. 【解析】 【分析】由对数的运算性质可转化条件为()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，即可得解.【详解】方程()lg 21lg 1x x ++=等价于()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，所以()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，解得2x =.故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f -=_____【答案】3 【解析】 【分析】欲求1(10)f-,根据原函数的反函数为1()f x -知,只要求满足于()10f x =的值即可,故只解方程()10f x =即得.【详解】解答：令()10f t =,则1(10)t f -=,当0t <有2105t t =⇒=不合,当0t ≥有21103t t +=⇒=±,3t =-（舍去） 那么1(10)3f-=故答案为3【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数()()y f x x A =∈的值域是C ,根据这个函数中,x y 的关系,用y 把x 表示出,得到()x f y =.6. 若集合{}3cos23,xA x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______．【答案】{}1 【解析】【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果. 【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉，所以{}1A B ⋂=， 故答案为：{}1.7. 幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点(1,0)(0,1)A B 、，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数12y x y x αα==、的图像三等分，即有BM MN NA ==．那么12αα=_______．【答案】1 【解析】【分析】求出,M N 的坐标，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为(1,0)A ，(0,1)B ，BM MN NA ==， 所以12(,)33M ，21(,)33N ，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，则12133⎛⎫= ⎪⎝⎭α，21233⎛⎫= ⎪⎝⎭α，则112212333⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1223⎛⎫= ⎪⎝⎭αα，所以121=αα． 故答案为：18. 已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________． 【答案】[2,)+∞. 【解析】 【分析】根据01a <<和1a >两种情况讨论，令()0f x ≥，得出不等式，即可求解.【详解】当01a <<时，令()0f x ≥，可得20a -≥，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当1a >时，令()0f x ≥，可得20a -≥，即2a ≥，即实数a 的取值范围[2,)+∞， 综上可得，实数a 的取值范围[2,)+∞. 故答案为：[2,)+∞.9. 已知函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，则实数a 的值为_________． 【答案】-2 【解析】【分析】根据函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，分()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解. 【详解】因为函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，所以当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增时，()f x 的最小值为(0)12f =≠-，不成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减时，()f x 的最小值为()22f a π==- ， 此时()()2sin cos 5,04f x x x x πϕϕ⎛⎫=-+=--<< ⎪⎝⎭， 因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则,22x ππϕ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，而sin y x =在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调时，()2()sin cos 1sin ϕ=+=++f x a x x a x ， 令212a -+=-，解得 3a =3a =当 3a =()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以 min ()1f x =，不成立；当3a = ()2sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 ,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，min ()3f x =-，不成立；故实数a 的值为-2， 故答案为：-210. 给出四个命题：①存在实数α，使sin cos 1αα=；②存在实数α，使3sin cos 2αα+=；③5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程；⑤若αβ、是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>． 其中所有正确命题的序号是_____________． 【答案】③④ 【解析】【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 22,24πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝，因为()cos 2cos2x x -=， 所以函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确；对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但2sin sin 2==αβ，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④.11. 某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在()1,+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞- 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出41ln x x e x a x---≤，利用已知条件求出函数41ln x x e x y x ---=在()1,+∞上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】1x >，ln 0x ∴>，由4ln 1x x e a x x --≥+可得44ln 11ln ln x x x x e x e x a x x------≤=， 由于不等式1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且存在01x >，使得()0004ln 0g x x x =-=，所以，()4ln 4ln 1114ln ln x x x x x e x x x--+----≥=-，当且仅当0x x =时，等号成立，4a ∴≤-.因此，实数a取值范围是(],4-∞-.故答案为：(],4-∞-.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12. 设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212mn m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度 A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求l ，r ，然后结合扇形圆心角公式可求.【详解】设扇形半径r ，弧长l ，则24 112l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1r =，2l =， 所以圆心角为 2lr=， 故选：A.14. 对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6 B. 3和1C. 2和4D. 1和2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：求出f （1）和f （﹣1），求出它们的和；由于c和Z ，判断出f （1）+f （﹣1）为偶数．解：f （1）=asin1+b+c 和 f （﹣1）=﹣asin1﹣b+c 和 和+和得：f （1）+f （﹣1）=2c 和c和Z和f （1）+f （﹣1）是偶数 故选D考点：函数的值．15. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A. 当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 16. 设函数3()22,||1xxf x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（ ）A. 12p p ､中仅1p 是q 的充分条件B. 12p p ､中仅2p 是q 的充分条件C. 12p p ､都不是q 的充分条件D. 12p p ､都是q 的充分条件 【答案】D 【解析】【分析】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0，根据这些信息即可判断.【详解】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0.()()0()()f a f b f a f b +≥⇒≥-，即g (a )＋h (a )≥－g (b )－h (b )， 即g (a )＋h (a )≥g (－b )＋[－h (b )]，①当a ＋b ≥0时，a ≥－b ，故g (a )≥g (－b )，又h (x )＞0，故h (a )＞－h (b )，∴此时()()0f a f b +，即1p 是q 的充分条件；②当220a b a b ≥-⇒≥时，a ≥0，a b a ≤≤a b a -≤-≤(i)当a ≥1时，a a b ≤a ，故g (a )≥g (－b )；此时，h (a )＞0，－h (b )＜0，∴h (a )＞－h (b )，∴()()0f a f b +成立； (ii)当a ＝0时，b ＝0，f (0)＋f (0)＝6≥0成立，即()()0f a f b +成立； (iii)∵g (x )在R 上单调递增，h (x )在(－∞，0)单调递增， ∴()()()f x g x h x =+在(－∞，0)单调递增， ∵f (－1)＝0，∴f (x )＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x ≥0时，g (x )≥0，h (x )＞0，∴f (x )＞0在[0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a ＜1时，a a ＜1，11a b a -<≤≤，∴f (a )＞0，f (b )＞0， ∴()()0f a f b +成立.综上所述，20a b -时，均有()()0f a f b +成立，∴2p 是q 的充分条件. 故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f (x )拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. 和1）求实数a取值范围；和2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 【答案】和1和[1,0]- ;和2和见解析. 【解析】【详解】试题分析和和1和由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析和和1）令101xx+>-，解得11x -<<和所以()1,1A =-和 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤和即实数a 的取值范围是[]1,0-和2和函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭和11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.18. 如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．和1和①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ表达式，并写出θ的范围：②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 表达式，并写出x 的范围： 和2和怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 【答案】（1）①400s ()in 2g θθ=()2cm，π02θ<<；②24()200x g x θ=-()2cm ，020x <<.（2）当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm 【解析】【分析】（1）①用BOC θ∠=和半径表达出边,AB BC ，进而表达出面积并写出θ的取值范围，②用(cm)BC x =表达出222400AB OB x ==-x 的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.【小问1详解】①连接OC ，则20OC =cm ，sin 20sin BC OC θθ=⋅=cm ，cos 20cos OB OC θθ=⋅=cm ，则40cos AB θ=cm ，则800sin cos 400)2(sin g AB BC θθθθ⋅===()2cm ，π02θ<<.②连接OC ，则20OC =cm ，由勾股定理得：2400OB x =- cm ，222400AB OB x ==-cm ，则20()240AB BC x x g θ⋅==-()2cm ，020x <<，【小问2详解】由（1）知：400s ()in 2g θθ=，π02θ<<，所以()20,πθ∈，当π22θ=，即π4θ=时，400s ()in 2g θθ=取得最大值，最大值为4002cm ，此时π40cos202cm 4AB ==，π20sin1024BC ==cm ，所以当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得的矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：()e e cosh 2x xx -+=．（e 是自然对数的底数，e 2.71828=）．和1和解方程：()cosh 2x =；和2和类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：()sinh x y +=________，并证明；和3和若对任意[]0,ln 2t ∈，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(ln 23x =+或(ln 23x =；（2）()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+，证明见解析；（3）74a ≥. 【解析】【分析】（1）由已知可得出2e 4e 10x x -+=，求出e x 的值，即可求得x 的值；（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）分析可知e e 12t t a --≥+恒成立，利用函数的单调性可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由()e e cosh 22x xx -+==，可得2e 4e 10x x -+=，可得e 23x =±(ln 23x =或(ln 23x =.【小问2详解】解：()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+， 右边()()()()()()()()e e e e e +e e e sinh cosh cosh sinh 4xx y y x x y y x y x y ----=-++-+=()e e e e e e e e e e sinh 42x y x y y x x y x y x y y x x y x y x yx y +----+----+--+--+-+--===+.【小问3详解】解：[]0,ln 2t ∈，则1e 2t≤≤，则()()e e e e sinh cosh 22t t x xa t x ---+=+=+， 所以，e e e e e e 122t t x xx x a ----+-=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，则e e 12t ta --≥+恒成立，因为函数e ty =、e ty -=-均为[]0,ln 2上增函数，故函数()e e 12t tg t --=+在[]0,ln 2上为增函数，所以，()()max 7ln 24a g t g ≥==. 20. 对闭区间I ，用I M 表示函数()y f x =在I 上的最大值． 和1和对于4()f x x x=+，求[1,4]M 的值：和2和已知()sin cos 32f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()y f x =偶函数，[,]3a b M =b a -的最大值：和3和已知()sin f x x =，若有且仅有一个正数a 使得[0,][,2]a a a M kM =成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）5 （2）43π（3）112k << 【解析】【分析】小问1：判断()y f x =的单调性即可求解；小问2：由偶函数求得2a =，根据()y f x =的最大值判断,a b 范围，即可求解； 小问3：讨论01k <<与1k ≤，当[0,][,2]a a a M kM =时，判断正数a 的取值个数，即可求解．【小问1详解】对任意[]12,1,2x x ∈，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意[]12,2,4∈x x ，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4()f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增； 又44(1)15(4)4514f f =+=+＝，＝ 所以[1,4]5M = 【小问2详解】由于()y f x =偶函数，所以()()66f f ππ-= 则sin cos sin cos 63626362a a ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得2a =则()2sin cos 332f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[,]3a b M =522,33k a b k k Z ππππ+≤<≤+∈ 故b a -的最大值为43π. 【小问3详解】①当01k <<时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M <，所以02a π<<，若04a π<<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin 22sin cos a a a a a M ==所以sin 2sin cos a k a a =，得1cos 2a k=； 若102k <≤时，有[)1cos 1,2a k=∈+∞，此时a 无解； 若122k <<时，有12cos ,122a k ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，此时a 有一解； 21k ≤<时，有112cos 22a k ⎛=∈ ⎝⎦，此时a 无解； 若42a ππ≤<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin12a a M π==所以sin a k =，因为2sin a ⎫∈⎪⎪⎣⎭若102k <≤时，此时a 无解，若1222k <<时，此时a 无解； 若212k ≤<时，此时a 有一解； ②当1k ≤时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M ≥，所以2a π≤，有[0,]sin12a M π==，则[,2]1a a kM =若1k =，则[,2]1a a M =得π2a 或54a π=等，若1k <，[,2]1a a k M =，则1sin a k =或1sin 2a k =，在5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a必有两解．综上所述：112k << 21. 定义域为R 的函数()y f x =，对于给定的非空集合A ，A ⊆R ，若对于A 中的任意元素a ，都有()()f x a f x +≥成立，则称函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”. （1）给定集合{}1,1A =-，函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”，求证：函数()y f x =是周期函数；（2）给定集合{}1A =，()2g x ax bx c =++，若函数()y g x =是“集合A 上的Z -函数”，求实数a 、b 、c 所满足的条件；（3）给定集合[]0,1A =，函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，求证：“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”． 【答案】（1）证明见解析； （2）0a =，0b ≥，R c ∈； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）推导出()()1f x f x ≥+且()()1f x f x +≥，可得出()()1f x f x =+，由此可证得结论成立；（2）由已知可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，由此可得出a 、b 、c 所满足的条件；（3）利用Z -函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.【小问1详解】证明：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1f x f x -≥，可得()()1f x f x ≥+， 对任意的R x ∈，()()1f x f x +≥，所以，()()1f x f x =+， 因此，函数()y f x =为周期函数. 【小问2详解】解：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1g x g x +≥，即()()2211a x b x c ax bx c ++++≥++，可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，所以，200a a b =⎧⎨+≥⎩，即0a =，0b ≥，R c ∈.【小问3详解】证明：若函数()y h x =是周期函数，设其周期为()0T T >， 因为函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，则存在()10,1a ∈、N k *∈，使得()111ka T k a ≤≤+， 所以，1101T ka a ≤-≤<，()1011k a T a ≤+-≤<， 对任意的0R x ∈，()()()()()()0010101100h x h x a h x ka h x ka T ka h x T h x ≤+≤≤+≤++-=+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()001010h x h x a h x ka h x T =+==+=+，所以，对任意的[]00,x x x T ∈+，()()0h x h x =， 对任意的Z n ∈，()()00h x h x nT =+， 并且[][][]000000R 2,,,x T x T x T x x x T =---+，所以，对任意的R x ∈，()()0h x h x C ==为常数， 即“()y h x =是周期函数”⇒“()y h x =是常值函数”；若函数()y h x =是常值函数，对任意的R x ∈、a A ∈，()()h x a h x +≥成立， 且()12h x h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，函数()y h x =是周期函数. 即“()y h x =是周期函数”⇐“()y h x =是常值函数”.综上所述，“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“Z -函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.。
上海交通大学《高等数学》2006-2007学年期末试卷
1上海交通大学《高等数学》2006-2007 学年期末考试及答案一、 单项选择题 （每小题3分， 共 15分） 1. 设 xoy 平面上区域D ={(x , y )| x 2+y2≤1, y ≥ x }， D 1 是D 在第一象限的部分， 则∫∫(xy 3 +sin 2 x sin y )dxdy 等于 （ ）D（A ） 2 ∫∫ sin 2 x sin ydxdy ； D （C ） 4 ∫∫ (xy 3 + sin 2 x sin y )dxdy ；D 解 ∫∫(xy 3 + sin 2 x sin y )dxdyD= ∫∫ xy 3dxdy + ∫∫ sin 2x s in y dxdyD D= 2 ∫∫ sin 2x sin ydxdyD 答案： A（B ） 2 ∫∫ xy 3dxdy ；D （D ） 0 .2. 设 Ω ={(x , y , z ) | x 2+ y 2+ z2≤ 1}， 则三重积分∫∫∫e xdv = （ ）Ω（A ） ； （B ） π； （C ）； （D ） 2π .解 1 e xdv >dv = π， 排除答案 A 、 B ； 猜： C 或 De |x | : 1 → 2.718， 3π/ 4π = 1.125， 2π/ 4π= 1.52 3 3答案： D解 2 ∫∫∫ e xdv = ∫1 dx ∫∫ e xdydzΩ y 2 +z 2 ≤1−x 2= ∫1πe x (1 − x 2 )dx = 2π∫01e x (1 − x 2 )dx= −2π+4π∫01xe x dx= −2π+4πe − 4π(e − 1) = 2π答案： D解 3 ∫∫∫e xdv = ∫∫∫e zdv = ∫02πd θ∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρΩ Ω= 2π∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρD 1111π= 2π∫1d ρ[∫02 e ρcos ϕρ2 sin ϕd ϕ+∫ππππππππe −ρcos ϕρ2sin ϕd ϕ] 2= 2π∫01d ρ[ −ρe ρcos ϕ02 +ρe −ρcos ϕ|ϕϕ=ππππππππ] 2= 4π∫01ρ(e ρ − 1)d ρ= 2π答案： D3. 设 F = y i + zj + x k ,则 rot F = （ ）（A ）i + j + k ； （B ）−( i + j + k )； （C ）i − j + k ； （D ）−i + j − k .解 rot F = ∂ ∂ ∂( −1, −1, −1)答案： B4. 幂级数x n 在收敛域[ −1,1) 上的和函数s (x ) = （ ）（A ）ln(1 − x )； （B ）− ln(1 − x )； （C ）− ； （D ）−x ln(1 − x ) .解x n = xx n −1 = x ∫0x(x n −2 )dx= x ∫0x()dx = −x ln(1 − x )答案： D1,π 0 ≤ x <2≤ x ≤π展开成正弦级数， 其和函数s (x ) =b n sin nx ， 则s (−) =（A ） −1； （B ） −2；（C ） 1；（ ）（D ） 2 .解 s (− 9π) = s (−π) = −s (π) = − 1 + 3= −22 2 2 2 答案： B二、 填空题 （每小题3分， 共 15分） 6. 设 u = z +,则div (grad u ) = .∂x ∂y ∂zϕ=π5. 设函数f (x ) = 45 − x , π解 div (grad u ) = div (x , y,1)x 2 + y 2 x 2 + y 2x 2 + y 2 − x ⋅ x x 2 + y 2 − y ⋅y= ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) + 0y 2 + x 2 1= =7. 设 f (x ) 是连续函数，F (t ) = ∫∫∫ f (x 2 + y 2 + z 2 )dv ，F ′(t ) = .x 2 +y 2 +z 2 ≤t 2解 F (t ) = 2π⋅ 2 ⋅ ∫0tf (ρ2 )ρ2d ρ， F ′(t ) = 4πt 2 f (t 2)8. 设 C 为曲线x = e t cos t , y = e t sin t , z = e t 上对应于t 从0 变到2 的这段弧， 则曲线积分ds = .解 该积分 = ∫02dt= ∫02dt =(1 − e −2)9. 全微分方程(x +y − 1)dx +(e y +x )dy = 0 的通解为 .解 1 (x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0⇒ (x − 1)dx +(ydx +xdy )+e y dy = 0⇒ d () +d (xy )+d (e y ) = 0⇒ 通解：+xy +e y = C解 2 u = ∫(x + y − 1)dx + (e y + x )dy= ∫0x(x − 1)dx + ∫0y(e y+x )dy=+ xy +e y − 1⇒ 通解：+xy +e y − 1 = Cx 2 + y 2 x 2 + y 2(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 x 2 + y 210. 级数 的敛散性为 .解 un +1 == n + 1 = 1， 收敛u n n ! (2n + 1)(2n + 2) 2(2n )!三、计算下列各题 （第 1小题6分， 第2 小题8分, 共 14分） 11. 设 z 是方程x +y − z = e z所确定的x , y 的隐函数， 求∂2z解 ∂z = − 1 = 1 ∂z = − 1 =1 ∂x −1 − e z 1 + e z，∂y −1 − e z 1 +e z= () y = −= − = −12. 计算曲面z = y 2 − x 2 夹在圆柱面x 2 +y 2 = 1 和x 2 +y 2 = 9 之间部分 的面积.解 1 +2+ 2=， 则所求面积I = ∫∫dxdy1≤x 2 +y 2 ≤9 = ∫02πd θ∫13rdr= 2π⋅ (1 + 4r 2 ) |13 = (37 − 5)四、计算下列各题 （每小题 10分， 共30分）13. 计算曲线积分(x +e sin y )dy − (y − )dx ， 其中C 是位于第一象限中的直线x +y = 1 与位于第二象限中的圆弧x 2 +y 2 = 1 构成的曲线， 方向从A (1, 0) 经过B (0,1)， 再到C (−1, 0) .解 L ： y = 0， 方向从(−1, 0) 到(1, 0)， 并记C + L 所围区域为D ， 则所求曲线积分I = −∫C +L L= 2dxdy − ∫−1 2dx∂x ∂y .1 1π π2 214. 试求参数λ， 使当曲线C 落在区域D ={(x , y )| y > 0}时， 曲线积分(x 2 +y 2 )λdx −(x 2 +y 2 )λdy 与路径无关， 并求u (x , y ) = ∫(x 2 + y 2 )λdx −(x 2 + y 2 )λdy .解 记P =(x 2 + y 2)λ， Q = −(x 2 + y 2)λ， 则∂P2λxy 2 (x 2 + y 2)λ−1− x (x 2 + y 2)λ=∂Q 2x (x 2 + y2)λ+ 2λx 3 (x 2 + y 2)λ−1= −= ⇒ 2λxy 2 + x (x 2 + y 2 ) + 2λx 3 = 0⇒λ= −解 1 = ⇒ u =+ϕ(y )= −及 u (0,1) = 0 ⇒ u =− 1解 2 u (x , y ) = ∫dx −dy= ∫1y0dy + ∫0xdxx 2 + y 2y15. 求 ∫∫2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy ， 其中Σ 为Σz = 与 z = 所围立体表面的外侧.解 记Σ 所围立体为Ω， 则∫∫ 2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy = ∫∫∫ zdxdydzΣ Ω∂x y 2∂P ∂Q∂y ∂x ∂y y 2= − 1= + 1 − 1 == zdz dxdy +∫ 22 2zdz dxdyx 2 +y 2 ≤z 2 x 2 +y 2 ≤8 −z 2= ∫02z ⋅πz 2dz + 2z ⋅π(8 − z 2 )dz = 8π 五、（本题 10 分） 16. 将函数f (x ) =展开为x − 1 的幂级数.解 f (x ) =4x − 3 = 2 +12 1 1= ⋅ −3 1 +1 − (x − 1)= −n(x − 1)n −(x − 1)n=( −1)nn +1− 1 (x − 1)n， 0 < x < 2六、（本题8 分） 17. 设 f (x ) =(x − 1)n ， 求f (n ) (1) .解 f (x ) = (x − 1)nf (k ) (1) =， (k = 0,1, 2, )f (n ) (1) == e −1七、（本题8 分）18. 设 f (x ) 在(−1,1) 内具有三阶连续导数， 且f ′′′(0) ≠ 0， 证明： 级数∞ 1 1绝对收敛.(2x +1)(x − 2) 2x +1 x − 22 1 2(x − 1) +3 (x − 1) − 1 = + 证明 lim x →∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n( )( ) = lim = > 0→ lim n f n 1 − f − n 1− 2f ' 0= f ''' 0 > 0f (x ) − f ( −x ) − 2xf '(0) f ′(x ) + f ′( −x ) − 2f '(0) f ′′(x ) − f ′′( −x ) ( ) ( )x →0 6 3( ) n →∞ 1 32故由级数收敛， 可知级数∞ 1 1n lim 3 x →0 xlim 2 ∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n绝对收敛.x →0 3x limx →0 6x ===f ′′′ x + f ′′′ −x f ''' 0。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
高数(大一上)期末试题及答案
第一学期期末考试试卷（1）课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。
上海市2018-2019学年交大附中高三上期末数学期末试卷(详细答案)
交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷2019.1一、填空题1.已知集合{}02A x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则A B =U ______.答案：{}20<<x x2. 若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =_____. 答案：25解析：25;24722=+=z i z3. 函数()()4,43,4x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦______. 答案：1；解析：1)5()2()1(===-f f f4. 已知1sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______.答案：31-； 解析：31)4(sin ))4(2sin()4cos(-=-=+-=+αππαππα 5. 已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n n n N =+∈，数列{}n a 的通项公式为n a =______. 答案：12+n解析：12)1(2)1(2221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n6、已知实数x 、y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为______.答案：]6,1[ 解析：最大值在()2,0A 上取，最小值在()0,1B )1,0(上取得6. 已知函数()()sin 2cos2,,0f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图像关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______. 答案：π32 解析：)2sin()(22ϕ++=x b a x f ， ππϕπk +=+⨯262， ππϕk +=6，,33tan ==a b ϕ则20ax by ++=的倾斜角32,3tan παα=-=-=b a . 7. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的椎卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒样卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）______.答案：41π414414Sππ=⨯=.9、已知()()()()()2320121111n nnx x x x a a x a x a x n N*++++++++=++++∈L L且012126na a a a++++=L，那么n展开式中的常数项为_____答案：20-；解析：126)12(221)21(2222232=-=--=++++nnnΛ6=n，则常数为20)1()(3336-=-xxC10、已知正实数x y、满足2342xy x y++=，那么54xy x y++的最小值为____答案：55解析一：yxyxyxxyyxxy++=++++=++34233245)14(3342)2(yyyx-=-=+，2)14(3+-=yyx139221442)162(92)14(93≥-+++=+++--=++-=+yyyyyyyyyx5545≥++∴yxxy解析二：()()23423248xy x y x y++=⇒++=，()()245452x yx y+++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭11、已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式PA PB λ⋅=u u u r u u u r的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____答案：]0,41(-解析：设)3,0(),0,1(),0,1(B C A -，)11)(0,(≤≤-x x Pλ=+=⋅x x PB PA )1(02=-+λx x 在]1,1[-上有两个根，则]0,41(-∈λ12、过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为A B 、，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为_________答案：]2,22(解析：第一种方法：作l OC ⊥，θ=∠POC ，)2,0[πθ∈.θcos 2=PO ，θθθθcos 2cos 2cos 21cos 212222-=-=-==PO PO PO PA PQ点Q 到直线l 的距离为)2,22[2cos 22∈-θ 第二种方法：设),(00y x P ，则AB 方程为100=+y y x x ，OP 方程为x x y y 0=， ⎪⎩⎪⎨⎧==+x x y y y y x x 00001，则Q 坐标为),(02000200y x y y x x ++， A→ →PQABCOQ 到l的距离为22212224422222202002020202000-+-=-+-+=-++x x x x x y x y x 取值范围即为)2,22[二、选择题13.已知定义域为R 的函数()()(]23121,22,2,21,055x k x k k k N f x x x *⎧---∈-∈⎡⎤⎣⎦⎪=⎨⎪-≤⎩，则此函数图像上关于原点对称的点有（ ）A 、7对B 、8对C 、9对D 、以上都不对 答案：B解析：作出)(x f 的图像，右边是一个周期函数，为了找对称点，就是求5152+=x y 与)(x f 的右边的 图像的交点。
2020-2021学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（共6小题）.1．设集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，则实数m的取值范围是．2．设a，b，c为正实数，则的最小值为．3．若函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝，则f[f（x）]＝．4．（8分）若函数y＝f（x）的解析式为，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝．5．（8分）所有0到1之间且分母不大于10的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为．6．（8分）已知a，b为正实数，则的取值范围是．二、选择题（共2小题）.7．（8分）已知h＞0，则“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h”且|b﹣1|＜h的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件8．（8分）已知f（x）＝3x2﹣x+4，g（x）为多项式，若f（g（x））＝3x4+18x3+50x2+69x+48，那么g（x）的各项系数和可能为（）A．8B．9C．10D．11三、解答题（共3题，共42分）9．（16分）已知a为一个给定的实数，函数．（1）若a＝1，t为正实数，利用单调性的定义证明：“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，求实数a的取值范围．10．（10分）求证：二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．11．（16分）若数列{a n}对任意连续三项a i，a i+1，a i+2，均有，则称该数列为“跳跃数列”．（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1，2，3，4，5，…；②等比数列：；（2）跳跃数列{a n}满足对任意正整数n均有，求首项a1的取值范围．参考答案一、填空题（共6小题）.1．设集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，则实数m的取值范围是．解：因为集合M＝{x|x2﹣mx+6＝0，x∈R}，且M∩{2，3}＝M，所以2∈M，或3∈M或M＝∅，当2∈M时，4﹣2m+6＝0，解得m＝5；当3∈M时，9﹣3m+6＝0，解得m＝5；当M＝∅时，△＝（﹣m）2﹣24＜0，解得，所以实数m的取值范围为．故答案为：．2．设a，b，c为正实数，则的最小值为．解：设a+b＝u，b+c＝v，c+a＝t，则u＞0，v＞0，t＞0，则a+b+c＝（u+v+t），a＝（u﹣v+t），b＝（u+v﹣t），c＝（﹣u+v+t），＝++，＝（+++++﹣3）＝[（+）+（+）+（+）﹣3]≥（2+2+2﹣3）＝，当且仅当u＝v＝t，即a＝b＝c时取得等号，则≥．所以的最小值为：．故答案为：．3．若函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝，则f[f（x）]＝1．解：若x为有理数，则f（x）＝1，所以f（f（x））＝f（1）＝1，若x是无理数，则f（x）＝0，则f（f（x））＝f（0）＝1，故答案为：1．4．（8分）若函数y＝f（x）的解析式为，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝4044．解：因为＝，所以f（﹣x）+f（x）＝+＝2，则f（﹣2021）+f（﹣2020）+…+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）＝2021×2+2＝4044．故答案为：40445．（8分）所有0到1之间且分母不大于10的最简分数按照从小到大的次序组成一个数列，则的后一项为．解：结合题意，把[0，1]分成10份，则＝＝0.6，＝0.7，故所求的数在（0.6，0.7）之间，＝，＝≈0.667＞＝0.625故所求的数在（0.6，0.625）之间，而＜，不合题意，故分母小于7时均不合题意，故的后一项是，故答案为：．6．（8分）已知a，b为正实数，则的取值范围是[，1）．解：＝，令＝x＞0，f（x）＝，则f′（x）＝＝，令5x﹣2﹣1＞0，化为：17x2﹣10x﹣7＞0，解得x＞1．∴0＜x＜1时，函数f（x）单调递减，x＞1时，函数f（x）单调递增．又f（0）＝，f（1）＝，x→+∞时，f（x）→1．∴f（x）∈[，1）．∴的取值范围是[，1）．二、选择题（每小题8分，共16分）7．（8分）已知h＞0，则“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h”且|b﹣1|＜h的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h得|a﹣b|＝|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h”的必要条件；不妨令h＝1，a＝0.5，b＝﹣0.3，|a﹣1|＝0.5＜1，而|b﹣1|＝1.3＞1，因而“|a﹣b|＜2h”是“|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h”的充分条件．故选：B．8．（8分）已知f（x）＝3x2﹣x+4，g（x）为多项式，若f（g（x））＝3x4+18x3+50x2+69x+48，那么g（x）的各项系数和可能为（）A．8B．9C．10D．11解：由题意得g（x）的表达式是二次式，设g（x）＝ax2+bx+c，∴f（g（x））＝3（ax2+bx+c）2﹣（ax2+bx+c）+4＝3a2x4+6abx3+（3b2+6ac﹣a2）x2+（6bc﹣b）x+3c2﹣c+4＝3x4+18x3+50x2+69x+48，∴，解得，∴a+b+c＝8．故选：A．三、解答题（共3题，共42分）9．（16分）已知a为一个给定的实数，函数．（1）若a＝1，t为正实数，利用单调性的定义证明：“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，求实数a的取值范围．【解答】证明：（1）a＝1时，y＝f（x）＝x+，（充分性）：若0＜t≤1，设0＜x1＜x2≤t≤1，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）•＞0，所以f（x1）＞f（x2），故函数在区间（0，t]上是严格减函数，（必要性）：若函数在区间（0，t]上是严格减函数，设0＜x1＜x2≤t，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）•＞0，因为x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以x1x2﹣1＜0，所以0＜t≤1，故“0＜t≤1”是“函数在区间（0，t]上是严格减函数”的充要条件；（2）若函数，x∈（0，+∞）无最小值，当a＞0时，根据对勾函数的性质知，函数在x＝时取得最小值，不符合题意；当a≤0时，f（x）＝x+在∈（0，+∞）上单调递增，没有最小值，符合题意．故a≤0．10．（10分）求证：二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．【解答】证明：∵g（x）＝x3+x2+x+是在R上严格增的多项式函数，且k（x）＝x3+x+也是在R上严格增的多项式函数，显然，二次函数y＝x2＝g（x）﹣k（x），∴二次函数y＝x2可以表示为两个在R上严格增的多项式函数的差．11．（16分）若数列{a n}对任意连续三项a i，a i+1，a i+2，均有，则称该数列为“跳跃数列”．（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1，2，3，4，5，…；②等比数列：；（2）跳跃数列{a n}满足对任意正整数n均有，求首项a1的取值范围．解：（1）根据“跳跃数列”的定义，得：①等差数列：1，2，3，4，5，…不是跳跃数列；②等比数列：1，﹣，，﹣，，…是跳跃数列．（2）a n+1﹣a n＝（19﹣﹣5a n），a n+2﹣a n+1＝（﹣5a n﹣19）（19﹣﹣5a n），a n+2﹣a n＝（a n﹣2）（a n﹣3）（19﹣﹣5a n），①若a n+1＞a n，则a n+1＞a n+2＞a n，此时a n∈（，2）；②若a n+1＜a n，则a n+1＜a n+2＜a n，此时a n∈（3，）；若a n∈（，2），则a n+1＝∈（3，），∴a n∈（﹣2，2），若a n∈（3，），则a n+1＝∈（﹣2，2），∴a n∈（3，），∴a1∈（﹣2，2）∪（3，），此时对任何正整数n，均有a1∈（﹣2，2）∪（3，）．。
2019-2020学年上海交大附中高一上学期期末考数学试卷含详解
2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题1．弧度数为2的角的终边落在第象限．2．若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝．3．已知＝2，则tanα的值为．4．＝．5．已知lg2＝a，10b＝3，则log125＝．（用a、b表示）6．若tanα＝；则cos（2α+）＝．7．已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是．8．已知θ∈（0，），2sin2θ＝1+cos2θ，则tanθ＝．9．已知α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝﹣，则sinα﹣cosα＝10．已知锐角α，β满足sin（2α+β）＝3sinβ，则tan（α+β）cotα＝．11．已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，2α﹣β的值为．12．已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]＝，则f（log2sin）＝．二、选择题13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．A为三角形ABC的一个内角，若sin A+cos A＝，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形15．已知函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，3）D．（1，3]16．设x1，x2分别是f（x）＝x﹣a﹣x与g（x）＝x log a x﹣1（a＞1）的零点，则x1+9x2的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（10，+∞）C．[6，+∞）D．（8，+∞）三、解答题17．已知α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．18．已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为θ，θ∈（0，2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值．20．已知函数y＝f（x）的定义域为（1，+∞），对于定义域内的任意实数x，有f（2x）＝2f（x）成立，且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x．（1）当x∈（1，23]时，求函数y＝f（x）的最大值；（2）当x∈（1，23.7]时，求函数y＝f（x）的最大值；（3）已知f（1200）＝f（b）（实数b＞1），求实数b的最小值．21．已知函数f（x）＝log a（x+）．x∈（1，+∞），a＞0且a≠1．（1）若a为整数，且f（）＝2，试确定一个满足条件的a的值；（2）设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（n）＜（n∈N*），试确定a的取值范围；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），令g（x）＝，若对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，试确定实数k的取值范围．2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：根据题意，＜2＜π，则弧度数为2的角的终边落在第二象限，故答案为：二2．【解答】解：幂函数f（x）＝xα图象过点，则2α＝，解得α＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1；∴f（3）＝3﹣1＝．故答案为：．3．【解答】解：∵＝＝2，∴tanα＝5．故答案为：5．4．【解答】解：＝cos＝﹣cos＝﹣，故答案为：．5．【解答】解：∵10b＝3，∴lg3＝b，又lg2＝a，∴log125＝．故答案为：．6．【解答】解：∵tanα＝，∴cos（2α+）＝﹣sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．7．【解答】解：当x≥1时，f（x）＝2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）＝的值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须取到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．8．【解答】解：∵θ∈（0，），∴cosθ＞0，∵2sin2θ＝1+cos2θ，∴4sinθcosθ＝2cos2θ，可得tanθ＝．故答案为：．9．【解答】解：∵α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝sin2α＝﹣，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sinα﹣cosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．10．【解答】解：sin（2α+β）＝3sinβ，sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝3[sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα]，2sin（α+β）cosα＝4cos（α+β）sinα，又α、β为锐角，所以sinα≠0，cos（α+β）≠0，所以tan（α+β）cotα＝＝2．故答案为：2．11．【解答】解：由tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，∴tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝，由此可得tan（2α﹣β）＝tan[（α﹣β）+α]＝＝＝．又α∈（0，π），且tanα＝＜1，∴0＜α＜，又β∈（0，π），tanβ＝﹣＜0，∴＜β＜π，因此2α﹣β∈（﹣π，0），可得﹣π＜2α﹣β＜0，所以2α﹣β＝﹣．故答案为：﹣．12．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x都有f[f（x）+]＝，则f（x）+为常数，设f（x）+＝t，则f（x）＝﹣+t，又由f[f（x）+]＝，即f（t）＝﹣+t＝，解可得t＝1，则f（x）＝﹣+1，∵sin＝，则f（log2）＝f（﹣1）＝﹣+1＝﹣；故答案为：﹣．二、选择题13．【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．【解答】解：∵sin A+cos A＝，∴两边平方得（sin A+cos A）2＝，即sin2A+2sin A cos A+cos2A＝，∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sin A cos A＝，解得sin A cos A＝（﹣1）＝﹣＜0，∵A∈（0，π）且sin A cos A＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B．15．【解答】解：若函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则解得：a∈（1，2]．故选：B．16．【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程a x＝的解；x2是方程＝log a x的解；则x1，x2分别为函数y＝的图象与函数y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及y＝的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以x1＝，有x1x2＝1，而x1≠x2则x1+9x2＝x1+x2+8x2≥2+8x2＞2+8＝10，即x1+9x2∈（10，+∞）故选：B．三、解答题17．【解答】解：（1）∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝＝﹣．（2）∵α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝（﹣）×+×＝．18．【解答】解：（1）由f（0）＝7，即1﹣a＝7，可得a＝﹣6，那么3x+6•3﹣x＝5，∴（3x）2﹣5•3x+6＝（3x﹣2）（3x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝log32．（2）由f（﹣x）＝﹣a•3x+3﹣x，当a＝﹣1时，可得f（﹣x）＝f（x）此时f（x）是偶函数，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x）此时f（x）是奇函数，当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．19．【解答】解：（1）由题意知，扇形的周长为2r+θr＝400，所以θ＝；又θ∈（0，2π），所以＜r＜200；所以扇形的面积为S＝θr2＝•＝﹣r2+200r，其中r的取值范围是（，200）；（2）S（r）＝﹣r2+200r＝﹣（r﹣100）2+10000，当r＝100时，S（r）取得最大值为10000，即半径为r＝100m时，绿化区域的面积S最大，最大值10000m2．20．【解答】解：（1）对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）＝2f（x）成立，所以f（x）＝2f（）；且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x∈（0，1]；所以当x∈（2，4]时，∈（1，2]，f（x）＝2f（）＝2log2∈（0，2]；当x∈（4，8]时，∈（2，4]，f（x）＝2f（）＝4log2∈（0，4]；当x∈（8，16]时，∈（4，8]，f（x）＝2f（）＝8log2∈（0，8]；…；当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（2n﹣2，2n﹣1]，f（x）＝2f（）＝2n﹣1log2∈（0，2n﹣1]；所以x∈（2n﹣1，2n]时，f（x）的最大值是2n﹣1；所以x∈（1，23]时，f（x）＝，的最大值为f（23）＝4log2＝4；（2）当x∈（1，23.7]时，23≤23.7≤24，所以f（x）的最大值为f（23.7）＝23×log2＝8×（3.7﹣3）＝5.6；（3）由f（1200）＝f（b）（实数b＞1），且1200＝210×，210＜210×＜211，所以f（1200）＝210×log2＝210×log2，f（b）＝f（2×）＝2f（）＝22f（）＝…＝2n﹣1f（）；当∈（1，2]时，∴f（b）＝2n﹣1log2；∵f（1200）＝f（b），则210×log2＝2n﹣1log2；b＝2n﹣1•，1＜n＜11当n＝10时，＝（）2∈（1，2]；b＝29×（）2；当n＝9时，＝（）4∈（1，2]；b＝28×（）4；当n＝8时，＝（）8∉（1，2]；…29×（）2＞28×（）4；∴实数b的最小值为28×（）4＝256×（）4．21．【解答】解：（1）由f（x）＝log a（x+），x＞1，a＞0且a≠1，可得f（）＝log a（+）＝log a（+）＝log a2a＝2，即a2＝2a，可得整数a＝2或4；（2）由y＝f（x）＝log a（x+），x＞1，可得a y＝x+，即a y﹣x＝，平方可得a2y﹣2xa y+1＝0，即有x＝，可得f﹣1（x）＝（若a＞1，x＞0；若0＜a＜1，x＜0），f﹣1（n）＜（n∈N*），即为＜，若0＜a＜1，则a n+a﹣n单调递减，可得＜a＜1；可得a的取值范围为（，1）∪（1，4）；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x）＝（x＞0），g（x）＝＝＝1+，当k＝1时，g（x）＝1，符合题意；当k＞1时，g（x）在x＞0递减，可得g（x）∈（1，1+），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得1+1≥1+，解得1＜k≤4；当k＜1时，g（x）在x＞0递增，可得g（x）∈（1+，1），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得2（1+）≥1，解得﹣≤k＜1．综上可得k的范围是[﹣，4]．。
2023-2024学年上海市宝山区上海交大附中高三上学期期末考试数学试卷含详解
上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期高三数学期末测试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.抛物线24y x =的焦点坐标是______.2.设集合{}02A x x =≤≤，集合{}2430B x x x =-+≥，则A B = __________.3.方程()()233log 45log 1x x x --=+的解是x =________．4.设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．5.函数tan 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x πω的最小正周期为4，则ω=____________．6.已知随机变量X 的分布为2130.160.440.40-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25E X +=__________.7.已知空间向量()()()1,2,4,5,1,3,,,1PA PB PC m n ==-=-.若,,,P A B C四点共面，则1017m n +=__________.8.已知直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，直线l 上的动点P 满足：点P 到直线=1x -的距离d PF≥恒成立，则动点P 所对应轨迹的长度为__________.9.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()12345i x i =，，，，，平均数为x ，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1234i y i =，，，，平均数为y ，下面说法正确的是__________.（写出所有正确选项）①新数据的极差可能等于原数据的极差.②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.③若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差.④若x y =，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.10.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()210n n n S S n ++-=（n 为正整数）.记()1()||nn i i f x a x i ==⋅-∑，若函数()2024y f x kx=+的值域为R ，则实数k 的取值范围是__________.11.函数()e xf x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.12.若对于任意自然数n ，函数πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n -+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.二､选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件14.如图，三棱柱111 ABC A B C -中，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（）A.直线1CC 与直线1B E 是异面直线B.直线1CC 与直线AE 是共面直线C.直线AE 与直线11B C 是异面直线D.直线AE 与直线1BB 是共面直线15.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A 、2A 、3A 表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）A.()25P B =B.()1511P B A =C.事件B 与事件1A 不相互独立D.1A 、2A 、3A 两两互斥16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆222:1(1)x C y a a+=>上，且其中恰有两个顶点为椭圆C 的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（）A.命题①正确；命题②错误.B.命题①错误；命题②正确.C.命题①，②均正确.D.命题①，②均错误.三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，2a 是15,a a 的等比中项，525S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n n n b b S ++=，求220b b -.18.有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），其中OEMF 是以O 为圆心，120EOF ∠= 的扇形，且弧 EF GH，分别与边BC AD ，相切于点M N ，.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？19.已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>，右焦点为F ，动直线l 与圆222:O x y b +=相切于点Q ，与椭圆交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，其中点Q 在y 轴右侧.（1）若直线:20l x y --=过点F ，求椭圆方程；（2）求证：AF AQ +为定值.20.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，点M 是棱1CC 上一个动点（点M 与C ，1C 均不重合）.（1）当点M 是棱1CC 的中点时，求证：直线AM ⊥平面11B MD ；（2）当11D M AB ⊥时，求点1D 到平面1AMB 的距离；（3）当平面1AB M 将正四棱柱1111ABCD A B C D -分割成体积之比为1:2的两个部分时，求线段MC 的长度.21.已知数列{}n a 满足111,()n n a a f a +==.（1）若π()sin()2f x x A x =+，求最小正数A 的值，使数列{}n a 为等差数列；（2）若()ln 2f x x x =++，求证：21nn a ≤-；（3）对于（2）中的数列{}n a ，求证：22223444[1][1][1]e (1)(1)(1)n a a a +⋅+⋅⋅+<+++上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期高三数学期末测试卷一､填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.抛物线24y x =的焦点坐标是______.【答案】()1,0【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可.【详解】因为抛物线标准方程为24y x =，所以焦点坐标为()1,0，故答案为：()1,0.2.设集合{}02A x x =≤≤，集合{}2430B x x x =-+≥，则A B = __________.【答案】{}01x x ≤≤【分析】先求出集合B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{24303B x x x x x =-+≥=≥或}1x ≤，所以{}01A B x x ⋂=≤≤.故答案为：{}01x x ≤≤.3.方程()()233log 45log 1x x x --=+的解是x =________．【答案】6【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.【详解】由()()233log 45log 1x x x --=+得：2245010451x x x x x x ⎧-->⎪+>⎨⎪--=+⎩，即()()()()2150156160x x x x x x x ⎧+->⎪>-⎨⎪--=+-=⎩，解得：6x =.故答案为：6.4.设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．【答案】2【分析】根据复数的乘法运算即可得复数z ，即可得z 的虚部.【详解】解：复数()22i 1i 2i 2i 22i z =-=-=+，所以复数z 的虚部为2.故答案为：2.5.函数tan 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x πω的最小正周期为4，则ω=____________．【答案】4π±【分析】直接根据三角函数周期公式计算得到答案.【详解】tan 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x πω，故4T πω==，故4πω=±.故答案为：4π±.【点睛】本题考查了正切函数周期，属于简单题.6.已知随机变量X 的分布为2130.160.440.40-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()25E X +=__________.【答案】7.64【分析】根据期望的计算公式以及性质即可求解.【详解】由题意可得()20.160.4430.4 1.32E X =-⨯++⨯=,所以()()25257.64E X E X +=+=,故答案为：7.647.已知空间向量()()()1,2,4,5,1,3,,,1PA PB PC m n ==-=-.若,,,P A B C 四点共面，则1017m n +=__________.【答案】11-【分析】根基空间向量共面定理结合空间向量坐标表示的线性运算即可得解.【详解】因为,,,P A B C 四点共面，所以,,PA PB PC共面，所以存在唯一实数对(),x y ，使得PC xPA yPB =+，即52143m x yn x y x y=+⎧⎪=-⎨⎪-=+⎩，所以1251417n y m y +=-⎧⎨+=⎩，所以()()17125140n m +++=，所以101711m n +=-.故答案为：11-.8.已知直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，直线l 上的动点P 满足：点P 到直线=1x -的距离d PF ≥恒成立，则动点P 所对应轨迹的长度为__________.【答案】8【分析】设(),1P x x -，根据d PF ≥，求出x 的范围，再根据两点间的距离公式即可得解.【详解】因为直线:1l y x =-与x 轴的交点为F ，所以()1,0F 由题意，设(),1P x x -，由d PF ≥，得1x +≥，即2610x x -+≤，解得33x -≤≤+，所以动点P 所对应轨迹为1,3y x x ⎡=-∈-+⎣，8=.故答案为：8.9.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()12345i x i =，，，，，平均数为x ，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1234i y i =，，，，平均数为y ，下面说法正确的是__________.（写出所有正确选项）①新数据的极差可能等于原数据的极差.②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.③若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差.④若x y =，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.【答案】①②③【分析】根据极差、中位数、平均数和方差的概念，以及百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于①，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以①正确；对于②，不妨假设12345x x x x x <<<<，当()24312x x x +=时，若随机删去的成绩是3x ，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以②正确；对于③，若x y =，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，所以方差会变大，所以③正确；对于④，若x y =，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中，因为540%2⨯=，此时原数据的40%分位数为第二数和第三个数的平均数；删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得440% 1.6⨯=，此时新数据的40%分位数为第二个数，显然新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数，所以④错误.故答案为：①②③.10.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足()210nn n S S n ++-=（n 为正整数）.记()1()||nn ii f x a x i ==⋅-∑，若函数()2024y f x kx =+的值域为R ，则实数k 的取值范围是__________.【答案】20242024,,20252025⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】利用1n n n a S S -=-求出数列的通项公式111n a n n =-+，由裂项相消求和法计算可得2024120242025i i a ==∑.设函数()()202420241()i i g x f x kx a x i kx ==+=⋅-+∑，将函数()g x 写出分段函数，根据函数的值域为R 和极限的思想可得当0k >时202410i i k a =±>∑、当0k<时202410i i k a =±<∑，解不等式即可求解.【详解】因为()210n n n S S n ++-=，所以()()1+10n n n S n S ⎡⎤+-=⎣⎦，又因为{}n a 是正项数列，所以()10n n S n +-=，即1n nS n =+，当1n =得1111112a S ==+=，当2n ≥得1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++，经检验1n =符合上式，所以111(1)1n a n n n n ==-++.所以202411111120241223202420252025i i a ==-+-++-=∑ .设函数()()202420241()ii g x f x kx a x i kx ==+=⋅-+∑，当(,1]x ∈-∞时，1232024()1232024g x a x a x a x a x kx=-+-+-++-+ 20242024123202412202411(232024)()()()ii i ia a a a a a a k x k a x ia ===++++-+++-=-+∑∑ ；同理可得，当(1,2]x ∈时，1()1g x k x =+，当(2,3]x ∈时，2()2g x k x =+，当(2023,2024]x ∈时，2023()2023g x k x =+，当(2024,)x ∈+∞时，2024202411()()()i i i i g x k a x ia ===+-∑∑，即20242024111220232024202411()(),(,1]1,(1,2]2,(2,3]()2023,(2023,2024]()(),(2024,)i i i i i i i i k a x ia x k x x k x x g x k x x k a x ia x ∞∞====⎧-+∈-⎪⎪⎪+∈⎪+∈⎪=⎨⎪⎪+∈⎪⎪+-∈+⎪⎩∑∑∑∑ ，其中()1,2,,2023j k j ∈=R ，由函数()g x 的值域为R 知，当0k >时，lim (),lim ()x x g x g x →-∞→+∞=-∞=+∞，所以202410i i k a =±>∑，即020242025k ±>，解得20242025k >；当0k <时，lim (),lim ()x x g x g x →-∞→+∞=+∞=-∞，所以202410i i k a =±<∑，即020242025k ±<，解得20242025k <-，综上，实数k 的取值范围为20242024(,)(,)20252025-∞-+∞ .故答案为：20242024(,)()20252025-∞-+∞ 【点睛】关键点睛：本题的难点是将函数()()202420241()ii g x f x kx a x i kx ==+=⋅-+∑转化为分段函数，利用函数的值域确定关于k 的不等式即可求解，其中涉及到极限思想以及数列的求通项公式和求和知识点，平时练习都要熟练应用.11.函数()e x f x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.【答案】2e 2##21e2【分析】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，转化为点(),a b 在直线()1e 0tt x y -++=上，根据22a b +的几何意义，可得()2222e 11ta b t +≥-+有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案．【详解】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，所以e 0t ta b ++=，即点(),a b 在直线e 0t tx y ++=，又22a b +表示点(),a b 到原点距离的平方，≥2222e1ta bt+≥+有解，令()22e1tg tt=+，可得()()()()()2222222222e12e2e111t t tt t t tg tt t+-=-+'==++，因为2e0t>，210t t-+>，所以()0g t'>恒成立，可得()g t在[]1,3上为单调递增函数，所以当1t=时，()()2mine12g t g==，所以222e2a b+≥，即22a b+的最小值为2e2．故答案为：2e2.12.若对于任意自然数n，函数πcos3y xω⎛⎫=+⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n-+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.【答案】5π6【分析】根据整体法可得零点满足()16π,Z6kx kω+=∈，即可利用0n=时，[][]21,211,1n n-+=-，求解符合条件的,ω结合周期性验证所求,ω满足其他区间即可.【详解】令πππ,Z32x k kω+=+∈,则ππ,Z6x k kω=+∈，函数的零点()16π,Z6kx kω+=∈ω>，当0n=时，[][]21,211,1n n-+=-，此时符合条件的两个零点为故5ππ,66x xωω=-=，故5π16ω-≥-，解得5π6ω≤，当5π6ω=时，5ππcos63y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的零点为()16,Z5kx k+=∈，因此零点为11171319,,1,,,,,5,55555--，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间[][][]1,1,1,3,3,5,- 上恰好有两个零点。
上海交大附属中学2025届高三数学第一学期期末调研试题含解析
上海交大附属中学2025届高三数学第一学期期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．162．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A ．12ω= B ．8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α4．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i > 5．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2 6．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 7． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋ (k ∈Z)8．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．23B ．2 C 3 D ．19．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n n n n na ab b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n ac b =，当34c c +最小时，5c 的值为( ) A ．2 B ．145 C ．3 D ．410．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ） A ．150︒ B ．135︒ C ．120︒ D ．90︒11．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1512．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ）A ．2019πB ．22019πC ．42019πD ．4038π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市交大嘉定2024年高三数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
上海市交大嘉定2024年高三数学第一学期期末复习检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321B ．322C ．251D ．2522．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．255-B ．55-C ．55D ．25-3．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ）A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π4．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．2D ．－25．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A B ．32C ．53D 7．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭8．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．149．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=（ ）A ．0B ．1C ．673D ．67410．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A ．2B ．12C ．34D 11．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A．23B ．43C．2D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海交通大学高数期末考试试卷及答案
2013-2014学年《高等数学》第一学期期末考试解答(A 类)一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 已知直线1l ：21123x y z -+==--、2l ：3112x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩及平面 π：27430x y z ++-=，则 ( )(A)1//l π；(B)1l π⊥；(C)2//l π；(D)12l l ⊥。
【解】1(1,2,3)s =-- ，2(3,1,2)s = ，(2,7,4)n = ， 1(1,2,3)(2,7,4)214120s n ⋅=--⋅=-+-= ， 答案：A 。
2. 当x →+∞大时，11e xx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是无穷小1x 的 ( ) (A)高阶无穷小； (B)低阶无穷小；(C)等价无穷小； (D)同阶但非等价无穷小。
【解】11ln(1)ln(1)111(1)x x x x x e e e e e x ++-⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭ 1[ln(1)1]e x x +- 221111[(()(())1]2e x o x x x=-+- 1111[()]22e e o x x x=-⋅+-⋅ ， 答案：D 。
()1ln 10111e e lim lim 1xt t x t t e x x t x++→+∞→⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭= ()()2001ln 11ln 1lim lim t t t t t t e e t t++→→+-+-== 0111lim 22t e t e t +→-+==-， 答案：D 。
3. 曲线e x y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成的平面图形的面积为 ( ) (A)10(ln ln )d y y y y -⎰； (B)10(e e )d x x x -⎰；(C)e 1(ln ln )d y y y y -⎰； (D)e0(e e )d x x x -⎰。
【分析】面积：0()a x A e dx =-⎰切线，答案在B ，D 中，(B)(D)：k e =，切点：1x =，(B) OK, 答案：B 。
上海交大附中0910高一数学上学期期末试卷沪教版 新课标【会员独享】
上海交大附中09-10高一上学期期终试卷 高一数学（满分100分，90分钟完成。
答案一律写在答题纸上） 一．填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）1、设p ：|x-1|<1，q ：0122<--x x ，则p 是q 的_________条件(充分必要性)。
2、若一个数集中任何一个元素的倒数仍在该集合中，则称该集合是“可倒”的数集，请你写出一个“可倒”的数集_____________。
3、在与角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是__________。
4、 若方程x 2-5x+m=0与x 2-nx+15=0的解集分别为A 、B ，且A ⋂B={3}，则m+n=_________。
5、设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--0012x xx x ，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是___________。
6、若函数y=f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)=x+lg|x|，则f(10)=___________。
7、函数y=ln(4+3x-x 2)的单调减区间为____________。
8、已知函数f(x)=12+++bx x a x 在[-1，c]上为奇函数，则f(21)•c 的值为_________。
9、不等式26x x --0的解集为___________。
10、已知函数f(x)=1---a x xa 的反函数f -1(x)的图像的对称中心是(b ，3)，则实数a+b 为____。
11、定义：区间[x 1，x 2]( x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y= |log 0.5x| 的定义域为[a ，b]，值域为[0，2]，则区间[a ，b]的长度的最大值为_________。
12、设函数f(x)的定义域为D ，若对于任意的x 1∈D ，存在唯一x 2∈D 的使2)()(21x f x f +=C(C 为常数)，则称函数f(x)在D 上的均值为C 。
2023届上海市交大附中数学高一上期末统考试题含解析
当 时， 在区间 上单调递增，此时 ， ，所以 ，解得： 或0（舍去）.
综上： 或
17、（1）1；（2）见解析；（3）[-1，3）.
【解析】(1)根据 解得 ，再利用奇偶性的定义验证，即可求得实数 的值；(2)先对 分离常数 后，判断出 为递减函数，再利用单调性的定义作差证明即可；(3)先用函数的奇函数性质，再用减函数性质变形，然后分离参数 可得， 在 内有解，令 ，只要 .
【详解】（1）依题意得， ，故 ，此时 ，
对任意 均有 ，
所以 是奇函数，所以 .
（2） 在 上 减函数，证明如下：任取 ，则
所以该函数在定义域 上是减函数
（3）由函数 为奇函数知，
，
又函数 单调递减函数，从而 ，
即方程 在 内有解，
令 ，只要 ，
， 且 ，∴
∴当 时，原方程在 内有解
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数值域的应用，属于难题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
A. B.
C. D.
4．函数 的最小正周期是
A. B.
C. D.
5．sin1830°等于（）
A. B.
C. D.
6．已知 ， ，且 ，则 的最小值为（）
A.4B.9
C.10D.20.3，c=0.30.3，则a，b，c三者的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
8．若 ， ，则下列结论正确的是（）
由条件（2） .可知函数 可能为指数型函数.
2021-2022学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷
2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数 $y=\frac{1}{2}sin2x$ 的最小正周期T=___ ．2.（填空题，4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=___ ．3.（填空题，4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}，则A∩B=___ ．4.（填空题，4分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为 ___ ．5.（填空题，4分）设函数 $f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{{x^2}+1(x≥0)}\\{2x(x＜0)}\end{array}\right.}\right.$ ，那么f-1（10）=___ ．6.（填空题，4分）若集合A={x|3cos2πx=3x，x∈R}，B={y|y2=1，y∈R}，则A∩B=___ ．7.（填空题，5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么αβ=___ ．8.（填空题，5分）已知函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为___ ．9.（填空题，5分）已知函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，则实数a的值为 ___ ．10.（填空题，5分）给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是___① 存在实数α，使sinαcosα=1；② 存在实数α，使$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ；③ $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ 是偶函数；④ $x=\frac{π}{8}$是函数 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的一条对称轴方程；⑤ 若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．11.（填空题，5分）某同学向王老师请教一题：若不等式x-4e x-alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且g（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是___ ．12.（填空题，5分）设二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围为 ___ ．13.（单选题，5分）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A.2B.3C.4D.514.（单选题，5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c 的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和215.（单选题，5分）设函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f （x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞016.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ $\frac{3}{|x|+1}$ ，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件17.（问答题，15分）已知函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．18.（问答题，15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：① 设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．② 设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．19.（问答题，15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： $sinh(x)=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{2}$ ，双曲余弦函数： $cosh(x)=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{2}$ ．（e是自然对数的底数，e=2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）=2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）=___ ，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）=a有解，求实数a的取值范围．20.（问答题，15分）对闭区间I，用M I表示函数y=f（x）在I上的最大值．（1）对于 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ，求M[1，4]的值；（2）已知 $f(x)=asin({x+\frac{π}{3}})+cos({x+\frac{π}{2}})$，且y=f（x）偶函数，${M_{[a，b]}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b-a的最大值；（3）已知f（x）=sinx，若有且仅有一个正数a使得M[0，a]=kM[a，2a]成立，求实数k的取值范围．21.（问答题，16分）定义域为R的函数y=f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A 中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”．（1）给定集合A={-1，1}，函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：函数y=f（x）是周期函数；（2）给定集合A={1}，g（x）=ax2+bx+c，若函数y=g（x）是“集合A上的Z-函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A=[0，1]，函数y=h（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数 $y=\frac{1}{2}sin2x$ 的最小正周期T=___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】：解：由三角函数的周期公式可知，函数y= $\frac{1}{2}$ sin2x的最小正周期为T= $\frac{2π}{2}$=π故答案为：π．【点评】：本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f（x）=Asin （ωx+φ）的最小正周期为；T= $\frac{2π}{|ω|}$．2.（填空题，4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．【解答】：解：由奇函数定义有f（-x）=-f（x），则f（-1）=a-2=-f（1）=-（a+2），解得a=0．【点评】：本题考查奇函数定义．3.（填空题，4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|-1＜x＜2}【解析】：利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】：解：∵集合A={x||x|＜2}=（-2，2）B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}=（-1，+∞）∴A∩B=（-1，2）={x|-1＜x＜2}故答案为：{x|-1＜x＜2}【点评】：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．4.（填空题，4分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]{2}【解析】：在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】：解：∵lg（2x+1）+lgx=1，∴lg（x（2x+1））=lg10，∴ $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x+1＞0}\\{x(2x+1)=10}\end{array}\right.$ ，解得：x=2．故答案为：{2}．【点评】：本题考查了对数的运算性质，关键是注意对数式本身有意义，是基础题．5.（填空题，4分）设函数 $f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{{x^2}+1(x≥0)}\\{2x(x＜0)}\end{array}\right.}\right.$ ，那么f-1（10）=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：欲求f-1（10），根据原函数的反函数为f-1（x）知，只要求满足于f（x）=10的x 的值即可，故只要解方程f（x）=10即得．【解答】：解：令f（t）=10，则t=f-1（10），当t＜0有2t=10⇒t=5，不合，当t≥0有t2+1=10⇒t=-3（舍去）或t=3，那么f-1（10）=3故答案为：3．【点评】：本题主要考查了反函数，一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=f（y）．若对于y在C中的任何一个值，通过x=f（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=f（y）就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x=f（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f-1（x）．6.（填空题，4分）若集合A={x|3cos2πx=3x，x∈R}，B={y|y2=1，y∈R}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1}【解析】：利用余弦函数和指数函数的图象化简集合A，求解二次方程化简集合B，然后直接取交集运算．【解答】：解：函数y=3cos2πx与y=3x的图象如图，所以A={x|3cos2πx=3x，x∈R}={x1，x2，1}，B={y|y2=1，y∈R}={-1，1}，所以A∩B={x1，x2，1}∩{-1，1}={1}．故答案为{1}．【点评】：本题考查了交集及其运算，考查了余弦函数和指数函数的图象，解答的关键是由余弦函数和指数函数的图象化简集合A．是基础题．7.（填空题，5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么αβ=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．【解答】：解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M $(\frac{1}{3}，\frac{2}{3})$N $(\frac{2}{3}，\frac{1}{3})$ ，分别代入y=xα，y=xβ$α={log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}，\;\;\;β={log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$$αβ={log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}\bullet {log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}=1$故答案为：1【点评】：本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题．8.（填空题，5分）已知函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][2，+∞）【解析】：根据指数函数的图象与性质，求出f（x）恒过定点，结合题意列不等式求出a的取值范围．【解答】：解：函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）中，令x+1=0，得x=-1，所以f（-1）=1-2=-1，即f（x）的图象过定点（-1，-1）；由f（x）的图象不经过第四象限，则f（0）=a-2≥0，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】：本题主要考查了指数型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.（填空题，5分）已知函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，则实数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，可分a≥0与a＜0两类讨论，结合题意求得实数a的值．【解答】：解：∵函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，① 若a≥0，则y=asinx≥0，y=cosx≥0，f（x）≥0，与题意不符；② 若a＜0，则y=asinx与y=cosx均在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减，∴f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减，∴f（x）min=f（ $\frac{π}{2}$）=a=-2，符合题意，故答案为：-2．【点评】：本题考查三角函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与逻辑思维能力及运算求解能力，属于中档题．10.（填空题，5分）给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是___① 存在实数α，使sinαcosα=1；② 存在实数α，使$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ；③ $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ 是偶函数；④ $x=\frac{π}{8}$是函数 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的一条对称轴方程；⑤ 若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：根据二倍角公式得到sinαcosα= $\frac{1}{2}$ sin2α，结合正弦函数的值域可判断① 正误；根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosα= $\sqrt{2}$ sin（α+ $\frac{π}{4}$）结合正弦函数的可判断② 正误；根据诱导公式得到 $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ =sin（ $\frac{π}{2}$ -2x）=cos2x，再由余弦函数的奇偶性可判断③ 正误；将 $x=\frac{π}{8}$代入到 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$得到sin（2× $\frac{π}{8}$ +$\frac{5π}{4}$）=sin $\frac{3π}{2}$ =-1，根据正弦函数的对称性可判断④ 正误．利用反例判断⑤ 的正误，即可．【解答】：解：对于① ，由sinα•cosα=1，得sin2α=2，矛盾；① 错误．对于② ，由$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ，得 $\sqrt{2}$ sin（α+ $\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{2}$ ，矛盾；② 错误．对于③ ， $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ =sin（ $\frac{π}{2}$ -2x）=cos2x，是偶函数；③ 正确．对于④ ，将 $x=\frac{π}{8}$代入到 $y=sin(2x+\f rac{5π}{4})$得到sin（2× $\frac{π}{8}$ + $\frac{5π}{4}$）=sin $\frac{3π}{2}$ =-1， $x=\frac{π}{8}$是函数$y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的图象的一条对称轴方程．④ 正确．对于⑤ ，不妨取β=60°，α=390°，α＞β但是sinα＜sinβ．∴ ⑤ 不正确．故③ ④ 正确故答案为：③ ④ ．【点评】：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性．考查三角函数公式的综合应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，平时要注意积累．是基础题．11.（填空题，5分）某同学向王老师请教一题：若不等式x-4e x-alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且g（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-4]【解析】：根据函数h（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点，设为x0，得到x0=4lnx0，e x0=x04，根据函数h（x）的单调性求出x0的范围，根据f（x0）=-（a+4）lnx0≥0，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】：解：x-4e x-alnx≥x+1，即 $\frac{{e}^{x}}{{x}^{4}}$ -alnx≥x+1，令f（x）= $\frac{{e}^{x}}{{x}^{4}}$ -alnx-x-1，（x＞1），函数h（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点，设为x0，则h（x0）=x0-4lnx0=0，则x0=4lnx0，则e x0= ${{x}_{0}}^{4}$ ，h′（x）=1- $\frac{4}{x}$ = $\frac{x-4}{x}$ ，令h′（x）＞0，解得：x＞4，令h′（x）＜0，解得：1＜x＜4，故h（x）在（1，4）递减，在（4，+∞）递增，而h（1）=1，h（4）=4-4ln4＜0，故1＜x0＜4，故f（x0）= $\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}^{4}}$ -alnx0-x0-1=$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{{{x}_{0}}^{4}}$ -alnx0-4lnx0-1=-（a+4）lnx0≥0，∵lnx0＞0，∴a+4≤0，故a≤-4，故a的取值范围是（-∞，-4]，故答案为：（-∞，-4]．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．12.（填空题，5分）设二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][1，13]【解析】：根据二次函数的性质以及基本不等式的性质求出代数式的取值范围即可．【解答】：解：二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），则Δ=4-4mn=0，解得：mn=1，且m＞0，又f（1）=m-2+n≤2，n= $\frac{1}{m}$ ，则m+ $\frac{1}{m}$ ≤4，∴ $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$= $\frac{{m}^{2}}{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$ + $\frac{\frac{1}{{m}^{2}}}{1{+m}^{2}}$= $\frac{{m}^{6}+1}{{m}^{2}(1{+m}^{2})}$= $\frac{{m}^{4}{-m}^{2}+1}{{m}^{2}}$=m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ -1，而由m+ $\frac{1}{m}$ ≤4，m＞0，得2≤m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ ≤14，故m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ -1的取值范围是[1，13]，即 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围是[1，13]，故答案为：[1，13]．【点评】：本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是中档题．13.（单选题，5分）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A.2B.3C.4D.5【正确答案】：A【解析】：结合扇形面积公式及弧长公式可求l，r，然后结合扇形圆心角公式可求．【解答】：解：设扇形半径r，弧长l，则$\left\{\begin{array}{l}{l+2r=4}\\{\frac{1}{2}lr=2}\end{array}\right.$ ，解得r=1，l=2，所以圆心角为 $\frac{l}{r}$ =2．故选：A．【点评】：本题主要考查了扇形面积公式及弧长公式，属于基础题．14.（单选题，5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c 的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6C.2和4D.1和2【正确答案】：D【解析】：求出f（1）和f（-1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（-1）为偶数．【解答】：解：f（1）=asin1+b+c ①f（-1）=-asin1-b+c ②① + ② 得：f（1）+f（-1）=2c∵c∈Z∴f（1）+f（-1）是偶数故选：D．【点评】：本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点．15.（单选题，5分）设函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f （x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0【正确答案】：B【解析】：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．【解答】：解：当a＜0时，作出两个函数的图象，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）= $\frac{1}{x}$ 是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞-x1＞0，即x1+x2＞0，-y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0【点评】：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．16.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ $\frac{3}{|x|+1}$ ，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件【正确答案】：D【解析】：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= $\frac{3}{|x|+1}，x∈R$，g （x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，根据这些信息即可判断．【解答】：解：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= $\frac{3}{|x|+1}，x∈R$，g（x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，f（a）+f（b）≥0⇒f（a）≥-f（b），即g（a）+h（a）≥-g（b）-h（b），即g（a）+h（a）≥g（-b）+[-h（b）]，① 当a+b≥0时，a≥-b，故g（a）≥g（-b），又h（x）＞0，故h（a）＞-h（b），∴此时f（a）+f（b）≥0，可得p1是q的充分条件；② 当a-b2≥0时，则有：a≥0， $-\sqrt{a}≤b≤\sqrt{a}$ ， $-\sqrt{a}≤-b≤\sqrt{a}$ ，（i）当a≥1时，a≥ $\sqrt{a}$ ，则-b≤a，故g（a）≥g（-b）；此时，h（a）＞0，-h（b）＜0，∴h（a）＞-h（b），∴f（a）+f（b）≥0成立；（ii）当a=0时，b=0，f（0）+f（0）=6≥0成立，即f（a）+f（b）≥0成立；（iii）∵g（x）在R上单调递增，h（x）在（-∞，0）单调递增，∴f（x）=g（x）+h（x）在（-∞，0）单调递增，∵f（-1）=0，∴f（x）＞0在（-1，0）上恒成立；又∵x≥0时，g（x）≥0，h（x）＞0，∴f（x）＞0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）＞0在（-1，+∞）恒成立，故当0＜a＜1时，a＜ $\sqrt{a}$ ＜1，-1＜- $\sqrt{a}≤b≤\sqrt{a}＜1$ ，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴f（a）+f（b）≥0成立．综上所述，a-b2≥0时，均有f（a）+f（b）≥0成立，∴p2是q的充分条件．故选：D．【点评】：本题的关键是将函数f（x）拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练运用．17.（问答题，15分）已知函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．【正确答案】：【解析】：（1）由 $\frac{1+x}{1-x}$ ＞0可求得f（x）的定义域A，由B=（a，a+1），且B⊆A，列式计算可求得答案；（2）可证得f（x）+f（-x）=0，从而可得结论成立．【解答】：解：（1）由 $\frac{1+x}{1-x}$ ＞0得-1＜x＜1，∴函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域A=（-1，1）；又B=（a，a+1），且B⊆A，∴ $\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$ ，解得-1≤a≤0，即a∈[-1，0]；（2）证明：∵f（x）+f（-x）=lg $\frac{1+x}{1-x}$ +lg $\frac{1-x}{1+x}$ =lg（ $\frac{1+x}{1-x}$ • $\frac{1-x}{1+x}$ ）=lg1=0，∴f（-x）=-f（x），f（-x）≠f（x），∴函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题．18.（问答题，15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：① 设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．② 设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．【正确答案】：【解析】：（1）① 连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．② 连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x $\sqrt{400-{x}^{2}}$ =2 $\sqrt{{x}^{2}(400-{x}^{2})}$ ，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．【解答】：解：如图所示，（1）① 连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cosθ（其中0＜θ＜ $\frac{π}{2}$）；∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ= $\frac{π}{4}$时，S取最大值为400，此时BC=10 $\sqrt{2}$ ；所以，取BC=10 $\sqrt{2}$ 时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．② 连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 $\sqrt{400-{x}^{2}}$ （其中0＜x＜20），∴S=2x $\sqrt{400-{x}^{2}}$ =2 $\sqrt{{x}^{2}(400-{x}^{2})}$ ≤x2+（400-x2）=400，当且仅当x2=400-x2，即x=10 $\sqrt{2}$ 时，S取最大值400；所以，取BC=10 $\sqrt{2}$ cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC= $\frac{π}{4}$时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．【点评】：本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．19.（问答题，15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： $sinh(x)=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{2}$ ，双曲余弦函数： $cosh(x)=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{2}$ ．（e是自然对数的底数，e=2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）=2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）=___ ，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）=a有解，求实数a的取值范围．【正确答案】：sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）【解析】：（1）cosh（x）=2，即e x+e-x=4，化简得（e x）2-4e x+1=0，即可求解，（2）sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），将双曲正弦与双曲余弦函数分别代入左右两边验证，即可证明，（3）分析可知a≥ $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1有解，利用函数的单调性可求得实数a的取值范围．【解答】：解：（1）cosh（x）=2，即：e x+e-x=4，整理得（e x）2-4e x+1=0，解得：x=ln（2± $\sqrt{3}$ ）．（2）sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），理由：左边=sinh（x+y）= $\frac{{e}^{x+y}-{e}^{-x-y}}{2}$ ，右边=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）= $\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$ ×$\frac{{e}^{y}+{e}^{-y}}{2}$ + $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ × $\frac{{e}^{y}-{e}^{-y}}{2}$ = $\frac{{e}^{x+y}+{e}^{x-y}-{e}^{y-x}-{e}^{-x-y}}{2}$ × $\frac{1}{2}$ +$\frac{{e}^{x+y}+{e}^{y-x}-{e}^{x-y}-{e}^{-x-y}}{4}$ = $\frac{{e}^{x+y}-{e}^{-x-y}}{2}$ ，左边等于右边，于是sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）成立．（3）因为t∈[0，ln2]，则1≤e t≤2，则a=sinh（t）+cosh（x）= $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ + $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ ，所以a- $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ = $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ ≥ $\sqrt{{e}^{x}\bullet {e}^{-x}}$ =1，当且仅当x=0时取等号，则a≥ $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1有解，因为函数y=e t，y=-e-t均为[0，ln2]上的增函数，故函数g（t）= $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1在[0，ln2]上为增函数，所以a≥g（t）min=g（0）=1，故实数a的取值范围为[1，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：函数的性质，函数的单调性，基本不等式，构造函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.（问答题，15分）对闭区间I，用M I表示函数y=f（x）在I上的最大值．（1）对于 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ，求M[1，4]的值；（2）已知 $f(x)=asin({x+\frac{π}{3}})+cos({x+\frac{π}{2}})$，且y=f（x）偶函数，${M_{[a，b]}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b-a的最大值；（3）已知f（x）=sinx，若有且仅有一个正数a使得M[0，a]=kM[a，2a]成立，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）判断y=f（x）的单调性即可求解；（2）由偶函数求得a=2，根据y=f（x）的最大值判断a，b范围，即可求解；（3）讨论0＜k＜1与1≤k，当M[0，a]=kM[a，2a]时，判断正数a的取值个数，即可求解．【解答】：解：（1）对任意x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2时，由 $f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+\frac{4}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{4}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1-\frac{4}{x_{1}x_{2}})＞0$ ，对任意x1，x2∈[2，4]，且 x1＜x2时，由 $f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+\frac{4}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{4}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1-\frac{4}{x_{1}x_{2}})＜0$ ，所以 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增；又 $f(1)=1+\frac{4}{1}=5，f(4)=4+\frac{4}{4}=5$ ，所以M[1，4]=5；（2）由于y=f（x）是偶函数，所以 $f(-\frac{π}{6})=f(\frac{π}{6})$，则 $asin(-\frac{π}{6}+\frac{π}{3})+cos(-\frac{π}{6}+\frac{π}{2})=asin(\frac{π}{6}+\frac{π}{3})+cos(\frac{π}{6}+\frac{π}{2})$，解得a=2；则 $f(x)=2sin(x+\frac{π}{3})+cos(x+\frac{π}{2})=\sqrt{3}cosx$ ，因为 ${M}_{[a，b]}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，所以 $\f rac{π}{3}+2kπ≤a＜b≤\frac{5π}{3}+2kπ，k∈Z$，故b-a的最大值为 $\frac{4π}{3}$．（3）① 当0＜k＜1时，由于M[0，a]=kM[a，2a]，则M[0，a]＜M[a，2a]，所以 $0＜a＜\frac{π}{2}$，若 $0＜a＜\frac{π}{4}$时，有M[0，a]=sina，M[a，2a]=sin2a=2sinacosa，所以sina=2ksinacosa，得 $cosa=\frac{1}{2k}$ ；若 $0＜k≤\frac{1}{2}$ 时，有 $cosa=\frac{1}{2k}∈[1，+∞)$，此时a无解；若 $\frac{1}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，有 $cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{\sqrt{2}}{2}，1)$ ，此时a有一解；若 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤k＜1\;\\;时，\\;\\;有cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$ 时有 $cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，此时 a 无解；若$\frac{π}{4}≤a＜\frac{π}{2}$时，有$M_{[0，a]}=sina，M_{[a，2a]}=sin\frac{π}{2}=1$，所以sina=k，因为$sina∈[\frac{\sqrt{2}}{2}，1)$ ，若 $0＜k≤\frac{1}{2}$ 时，此时a无解；若 $\frac{1}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，此时a无解；若 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤k＜1$ 时，此时a有一解；② 当k≥1时，由于M[0，a]=kM[a，2a]，则M[0，a]≥M[a，2a]，所以 $\frac{π}{2}≤a$，有 $M_{[0，a]}=sin\frac{π}{2}=1$，则 $M_{[a，2a]}=\frac{1}{k}$ ，若k=1，则M[a，2a]=1 得 $a=\frac{π}{2}$或 $a=\frac{5π}{4}$等，若 $1＜k，M_{[a，2a]}=\frac{1}{k}$ ，则 $sina=\frac{1}{k}$ 或 $sin2a=\frac{1}{k}$ ，在$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$上，a 必有两解．综上所述： $\frac{1}{2}＜k＜1$ ，即k的取值范围是（ $\frac{1}{2}$ ，1）．【点评】：本题考查了三角函数的最值问题，用到分类讨论的思想，属于难题．21.（问答题，16分）定义域为R的函数y=f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A 中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”．（1）给定集合A={-1，1}，函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：函数y=f（x）是周期函数；（2）给定集合A={1}，g（x）=ax2+bx+c，若函数y=g（x）是“集合A上的Z-函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A=[0，1]，函数y=h（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．【正确答案】：【解析】：（1）推导出f（x）≥f（x+1）且f（x+1）≥f（x），可得出f（x）=f（x+1），由此能证明结论成立；（2）由已知可得2ax+a+b≥0对任意x∈R恒成立，由此能求出实数a、b、c所满足的条件；（3）利用Z-函数的定义、函数的周期性的定义，结合充分条件、必要条件的定义，能证明结论成立．【解答】：解：（1）证明：由题意得对任意x∈R，f（x-1）≥f（x），可得f（x）≥f（x+1），对任意的x∈R，f（x+1）≥f（x），∴f（x）=f（x+1），∴函数y=f（x）是周期函数．（2）由题意可知，对任意的x∈R，g（x+1）≥g（x），即a（x+1）2+b（x+1）+c≥ax2+bx+c，∴2ax+a+b≥0对任意的x∈R恒成立，∴ $\left\{\begin{array}{l}{2a=0}\\{a+b≥0}\end{array}\right.$ ，∴a=0，b≥0，c∈R．（3）证明：若函数y=h（x）是周期函数，设其周期为T（T＞0），∵函数y=h（x）是集合Ah的Z-函数，则存在a1∈（0，1），k∈N*，使得ka1≤T≤（k+1）a1，∴0≤T-ka1≤a1≤1，0≤（k+1）a1-T≤a＜1，对任意的x0∈R，h（x0）≤h（x0+a1）≤•••≤h（x0+ka1）≤h[（x0+ka1）+T-ka1]=h（x0+T）=h（x0），∴h（x0）=h（x0+a1）=•••=h（x0+ka1）=h（x0+T），∴对任意的x∈[x0，x0+T]，h（x）=h（x0），对任意的n∈Z，h（x0）=h（x0+nT），且R=•••∪[x0-2T，x0-T]∪[x0-T，x0]∪[x0，x0+T]∪•••，∴对任意的x∈R，h（x）=h（x0）=C为常数，即”y=h（x）是周期函数“⇒”y=h（x）是常值函数“，若函数y=h（x）是常值函数，对任意的x∈R，a∈A，h（x+a）≥h（x）成立，且h（x+ $\frac{1}{2}$ ）=h（x），∴函数y=h（x）是周期函数，即”y=h（x）是常值函数“⇒”y=h（x）是周期函数“，综上，“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．【点评】：本题考查周期函数、充要条件的证明，考查满足条件的实数的求法，考查函数的周期性、函数值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
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(C) f ( x) 在点 x0 取极大值；
(D) f ( x) 在点 x0 某邻域单调增加。
【分析】典型题型 表面上条件稍复杂，但容易先推出二阶导数的
情况，从而得到结论
【解】由 f ′′′( x0 ) = 0 , f (4)( x0 ) > 0 导出 f ′′( x) 在 x0 取得最小值，在
x0 的邻域 f ′′( x) ≥ 0 ⇒ f ′( x) 单调增加，在 x0 左负右正，从而 f ( x) 在 x0 取极小值，故选 A。
【解】对变上限积分求导前，需要把积分号内的 x 移到积分号外
或者变换到积分限
f (x) = xli→m0 α xβ
xl= i→m0 x∫ 0sinαx sxinβ(t 2 )dt
lim
x→0
∫
sin x sin(t 2
0
α xβ −1
)dt
sin(sin2 x)cos x
x2
= xli→m= 0 α (β − 1)xβ −2 xl= i→m0 α (β − 1)xβ −2 1
(B) I1 < I3 < I2 ；
(C) I2 < I1 < I3 ；
(D) I3 < I1 < I2 。
【分析】基本题型 虽然几个积分形式似乎不是很简单，当利用
对称性后就十分容易比较了
π
π
【解】= I1 = 0 ， I2 ∫−2π cos4 x dx > 0 ， I3 = −∫−2π cos4 xdx < 0 ，
【分析】基本题型 利用乘法求导法则，注意其中的多项式是含有 因子 x，解此题的方法很多 【解】改= 写 f ( x) x[e2012x ( x + 1)( x + 2) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012)] ，于是 = f ′(0) [e2012x ( x + 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012) + x[= **]′ |x=0 2012!
次为 (6, 0, 0) 、(0, 4, 0) 、(0, 0, −= 2) ⇒ CA (= 6, 0, 2), CB (0, 4, 2) ，
2
2
⇒ I3 < I1 < I2 ，故选 D。
5.设 y = f ( x) 在点 x0 的某邻域内具有连续的四阶导数，且
= f ′( x0 ) f= ′′( x0 ) f= ′′′( x0 ) 0 ， f (4)( x0 ) > 0 ，则
()
(A) f ( x) 在点 x0 取极小值；
(B) 点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y = f ( x) 的拐点；
(D) π 。 6
【分析】基本题型 直线间夹角是它们方向向量的锐夹角，先求 出 l2 的方向向量再求夹角
x + y + 3z =2
【解】
l2
:
y
+
z
=3
⇒ 其方向 (1,1, 3) × (0,1,1) =(−2, −1,1) ，
s1
=
(1, 2,1) ，
s2
=(−2, −1,1) ，
⇒ α = 1 ， β = 4 ，故选 B。 3
π
4.设 I1
⌠2
=
⌡−
π
sin x 1+ x2
cos4
x= dx ， I2
2
π
∫−2π (sin3 x + cos4 x)dx ， 2
π
= I3 ∫−2π ( x2 sin3 x − cos4 x)dx ，则有 2
()
(A) I2 < I3 < I1 ；
【解】
f
′( x)
=
2x sin
1 x2
−
2
1 sin x
1 x2
Hale Waihona Puke ,0,x ≠ 0, x = 0,
由这函数 x ≠ 0 时
的第二项可以看出 x → 0 时， f ′( x) 的极限不存在，故选 C。
3.设
f
(x)
=
∫ sin x 0
x sin(t 2 )dt
，且当
x
→
0 时，
f
(x) 与α xβ
是等价
无穷小，则
()
(A)α = 1 ， β = 3 ； 3
(B) α = 1 ， β = 4 ； 3
(C) α = 1 ， β = 3 ； 4
(D) α = 1 ， β = 4 . 4
【分析】典型题型 对无穷小的分析，一般方法是与标准形式的 无穷小( xm )通过求极限作比较，这过程中会用到等价无穷小替换、 洛必达法则或 Taylor 公式
7.设平面 2x + 3 y − 6z = 12 与三个坐标轴的交点为 A 、B 和 C ，则 ∆ABC 的面积为:______________。
【分析】典型题型 利用向量运算的几何意义求解，可用多种方法
【解】法 1 求出 ∆ABC 两边所代表的向量
π : 2x + 3 y − 6z = 12 ⇒ π : x + y + z =1 ，于是 A 、B 、C 依 6 4 −2
l1 与 l2 的夹角为： arccos | |s= 1s1| ⋅⋅ |s1s1| |
a= rccos 3 6
π ，故选 B。
3
2.设函数
f
(x)
=
x
2
sin
1 x2
,
x ≠ 0,
x ∈[−1,1] ，则
(
)
0,
x = 0,
(A) f ( x) 在[−1,1]上可导，且 f ′( x) 在[−1,1]上连续
2012 级第一学期《高等数学》期末试卷分析与解答(A 类)
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1.设有直线
l1
:
x= − 1 1
的夹角为
y= + 5 2
z
+ 1
2
与
l2
:
x y
+ +
y z
+ 3z =3
=2 ，则
l1
与
l2
()
(A) π ； 2
(B) π ； 3
(C) π ； 4
(B) f ( x) 在[−1,1]上可导,但 f ′( x) 在[−1,1]上有一个第一类间断点
(C) f ( x) 在[−1,1]上可导,但 f ′( x) 在[−1,1]上有一个第二类间断点
(D) f ( x) 在[−1,1]上有一个不可导点。
【分析】典型题型 显然这类题的讨论的重点在 x = 0 ，因为这点 是个补充定义的特殊点，需求出 f ′( x) ，注意在 x = 0 要用定义求
【注】这类选择题经常可采用特例法，即取满足条件的一个函数 来尝试获得结论，本题中取 y = x4 （ x0 = 0 ），可知答案为 A。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6.= 若 f ( x) e2012x x( x + 1)( x + 2) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012) ，则 f ′(0) = ___。