1.4.1正余弦函数的图像和性质(1)
专题1.4.1-2 正弦函数与余弦函数的图象与性质重难点题型(举一反三)(解析版)
1.4.1-2正、余弦函数的图象与性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 正弦函数、余弦函数图象的画法】1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。
2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象。
3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象。
（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到。
【知识点2 正弦曲线、余弦曲线】1.定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。
2.图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数。
【知识点3 函数图象的变换】图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。
sin sin()sin()y x y x y A x ϕωϕ=→=+→=+【知识点4 周期函数的定义】函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.【知识点5 正弦函数、余弦函数的图象和性质】【知识点6 正弦型函数和余弦型函数的性质】函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ； （2）值域：[],A A -；（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．【考点1 正、余弦函数的定义域】【例1】（2019春•南湖区校级月考）已知函数()f x 的定义域为 ．【分析】根据根式满足的条件，解三角不等式即可． 【答案】解：∵2sin （2x ﹣）﹣1≥0⇒sin （2x ﹣）≥，∴2k π+≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，∴k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ．故答案是{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解三角不等式．【变式1-1】（2019秋•黄冈期末）函数y的定义域是．【分析】由题意可得sin x≥0，cos x≥0，故2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，解出x的范围，即得所求．【答案】解：由题意可得sin x≥0，cos x≥0，∴2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，故函数的定义域为（2kπ，2kπ+），k∈z，故答案为：（2kπ，2kπ+），k∈z．【点睛】本题考查求函数的定义域，以及三角函数在各个象限中的符号，得到2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，是解题的关键，属于基础题．【变式1-2】函数1sin21sin2xyx+=-的定义域为．【分析】此为一分式函数，令分母不为0即可解出函数的定义域来．【答案】解：令﹣sin x≠0，即sin x≠，如图x≠2kπ+，x≠2kπ+＝（2k﹣1）π﹣，k∈z，故其形式可以统一为x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．所以函数的定义域为{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}应填{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}【点睛】考查定义域的求法与解三角方程，本题中把两种情况的答案合二为一是一个技巧，答题者应细心体会其中的规律．【变式1-3】（2019秋•安福县校级期中）函数(2cos 21)y lg x =+的定义域为 ．【分析】由题意可得 ，化简可得 ，由此求出x 的范围，即得函数的定义域． 【答案】解：∵函数，∴，即 ．化简可得 ，解得﹣＜x ＜．故函数的定义域为（﹣，），故答案为（﹣，）．【点睛】本题主要考查求余弦函数的定义域和值域，求对数函数的定义域，属于基础题． 【考点2 正、余弦函数的值域】【例2】（2018秋•启东市校级月考）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π上的值域为 ．【分析】由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f （x ）＝sin 在区间上的值域．【答案】解：在区间上，2x ﹣∈[﹣，]，sin （2x ﹣）∈[﹣，1]，故函数f （x ）＝sin 在区间上的值域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．【变式2-1】（2019秋•射阳县校级期中）函数2()2cos 3sin 2f x x x =++，[6x π∈，2]3π的值域 ． 【分析】根据同角公式化简函数解析式，得到关于sin x 的二次函数，根据二次函数的图象和性质，可得函数的值域．【答案】解：y ＝2cos 2x +3sin x +2＝2（1﹣sin 2x ）+3sin x +2＝﹣2（sin x ﹣）2+，x ∈[，]，∴sin x ∈[，1]，∴当sin x ＝时，函数f （x ）取最大值，当sin x ＝或sin x ＝1时，函数f （x ）取最小值5， 故函数f （x ）＝2cos 2x +3sin x +2，x ∈[，]的值域为[5，]，故答案为：[5，]【点睛】此题考查学生灵活运用同角公式化简求值，会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值域．做题时注意余弦函数的值域．【变式2-2】（2019春•淄博校级月考）函数3sin 3sin xy x-=+的值域为 ．【分析】先换元t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]，，利用凑分母分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域．【答案】解：令t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]， 所以：，∵﹣1≤t ≤1， ∴2≤t +3≤4， ∴， ∴， ∴， 函数的值域为． 故答案为：．【点睛】本题重点考查分式函数求值域问题，用到换元，利用凑分母分离常数．【变式2-3】（2019秋•西城区期末）已知函数()sin()6f x x π=+，其中[3x π∈-，]a ．当2a π=时，()f x 的值域是 ；若()f x 的值域是1[2-，1]，则a 的取值范围是 ．【分析】当a ＝时，由x ∈[﹣，]利用正弦函数的定义域和值域可得f （x ）的值域．若f （x ）的值域是[﹣，1]，则由正弦函数的图象可得≤a +≤，由此解得a 的取值范围． 【答案】解：当a ＝时，由x ∈[﹣，]可得﹣≤x +≤，∴﹣≤sin （x +）≤1，∴f （x ）的值域是[﹣，1]． 若f （x ）的值域是[﹣，1]，则≤a +≤，解得≤a +≤π，即a 的取值范围是[，π]，故答案为[﹣，1]、[，π]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 【考点3 正、余弦函数作图】【例3】（2019春•郑州期末）已知函数()sin()(04f x x πωω=->，)x R ∈的最小正周期为π．（Ⅰ）求3()4f π； （Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间[2π-，]2π上的图象．【分析】（1）根据T ＝，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可；（2）利用五点作图法作图即可． 【答案】解：（1）依题意得，T ＝＝π，解得ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x ﹣），所以 f （π）＝sin （2×﹣）＝sin （π+）＝﹣sin＝﹣，（2）画出函数在区间上的图象如图所示：【点睛】本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题．【变式3-1】画出下列函数的简图：π；（1）1sinx∈，2]=-，[0y xπ．（2）3cos1x∈，2]y x=+，[0【分析】根据五点做出函数的简图，即可得到结论．【答案】解：（1）列表如下：画出图形，如图：（2）列表为函数图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图以及图象之间的关系，属于基本知识的考查．【变式3-2】画出下列函数的图象．π（1）13cosy x=+，[0x∈，2]π．（2）2sin1x∈，2]=-，[0y x【分析】（1）用五点法作出函数y＝1+3cos x在一个周期上的简图．（2）用五点法作出函数y＝2sin x﹣1在一个周期上的简图．【答案】解：（1）列表：如图：（2）列表：如图：【点睛】本题主要考查用五点法作函数 y ＝A sin （ωx +φ）的图象、y ＝A cos （ωx +φ）的图象，属于基础题．【变式3-3】用多种方法在同一坐标系中画出下列函数． （1）sin y x =，[0x ∈，2]π （2）sin 1y x =+，[0x ∈，2]π （3）cos y x =，[2x π∈-，]2π （4）cos y x =-，[2x π∈-，3]2π． 【分析】利用五点作图法和图象的平移即可得到各个函数的图象． 【答案】解：同一坐标系中各个函数的图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考察作图能力，属于基础题． 【考点4 正、余弦函数的最小正周期】 【例4】求下列函数的最小正周期． （1）sin(3)2y x π=+；（2）|cos |y x =【分析】（1）由条件根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，可得结论． （2）由条件根据函数y ＝|A cos （ωx +φ）|的周期为•，可得结论． 【答案】解：（1）y ＝sin （x +3）的最小正周期为＝4，（2）y ＝|cos x |的最小正周期为•＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，函数y ＝|A cos（ωx +φ）|的周期为•，属于基础题．【变式4-1】求下列函数的最小正周期 （1）cos2y x =； （2）sin 2xy =；（3）1sin y x =+．【分析】利用三角函数的周期性及其求法即可得解． 【答案】解：（1）∵y ＝cos2x ，∴最小正周期T ＝＝π；（2）∵y ＝sin ，∴最小正周期T ＝＝4π；（3）∵y ＝1+sin x ，∴最小正周期T ＝＝2π；【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 【变式4-2】求下列函数的最小正周期（1）2sin()32xy π=-（2）1cos(2)36y x π=-（3）|sin |y x =【分析】分析：（1）利用了y ＝A sin （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（2）利用了y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（3）根据y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，得出结论．【答案】解：（1）∵y ＝2sin （﹣）＝﹣2sin （），∴T ＝＝4π；（2）∵y ＝cos （2x ﹣），∴T ＝＝π；（3）根据y ＝|sin x |的周期等于y ＝sin x 的周期的一半，故y ＝|sin x |的周期为×2π＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y ＝A sin （ωx +φ ）、y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，属于基础题．【变式4-3】求下列函数的最小正周期． （1）1cos(2)33y x π=-；（2）cos ||y x =．【分析】（1）由条件利用y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．（2）根据y ＝cos|x |＝cos x ，而且y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．【答案】解：（1）y ＝cos （2x ﹣）的最小正周期为＝π，（2）y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期为＝2π．【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性，利用了y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，属于基础题．【考点5 正、余弦函数的奇偶性】 【例5】判断下列函数的奇偶性： （1）cos2y x =，x R ∈； （2）cos(2)2y x π=-；（3）2sin()3y x π=+；（4）cos()4y x π=-．【分析】分别化简函数后根据正弦函数、余弦函数的图象和性质逐一判断即可． 【答案】解：（1）由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos2x ，x ∈R 为偶函数； （2）∵y ＝cos （2x ﹣）＝sin2x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝sin2x ，为奇函数；（3）∵y ＝sin （x +π）＝﹣sin x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝﹣sin x ，为奇函数； （4）∵y ＝cos （x ﹣），且f （﹣x ）＝cos （﹣x ﹣）＝cos （x +），∴由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos （x ﹣），为非奇函数，非偶函数．【点睛】本题主要考察了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 【变式5-1】判断下列函数的奇偶性 （1）()sin()f x x x π=+； （2）1cos ()sin xf x x-=． 【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论． （2）利用半角公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论． 【答案】解：（1）∵f （x ）＝x sin （π+x ）＝﹣x sin x ，它的定义域为R ， 且满足f （﹣x ）＝﹣x •sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），故该函数为偶函数． （2）对于函数 f （x ）＝＝tan ，它的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝tan （﹣）＝﹣tan ＝﹣f （x ）， 故该函数为奇函数．【点睛】本题主要考查三角公式，三角函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【变式5-2】判断下列函数的奇偶性：（1）()2f x x ； （2）33()sin()42x f x π=+；（3）()f x =．【分析】求出定义域，判断是否关于原点对称，注意运用诱导公式，定义域化简函数式，再计算f （﹣x ），与f （x ）比较即可判断其偶性．【答案】解：（1）定义域为R ，f （﹣x ）＝sin （﹣2x ）＝﹣sin2x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数； （2）f （x ）＝sin （+）＝﹣cos，定义域为R ，f （﹣x ）＝﹣cos （﹣）＝﹣cos＝f （x ）， 则f （x ）为偶函数；（3）由1﹣cos x ≥0且cos x ﹣1≥0，则cos x ＝1， 解得，x ＝2k π，k ∈Z ，则定义域关于原点对称，由于f （x ）＝0，则f （﹣x ）＝f （x ），且f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则f （x ）既是奇函数，也是偶函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题． 【变式5-3】判断下列函数的奇偶性． （1）1sin cos ()1sin cos x xf x x x--=++；（2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+．【分析】（1）容易判断f （x ）的定义域包含x ＝，不包含，即定义域不关于原点对称，从而得出f （x ）为非奇非偶函数；（2）容易得出f （﹣x ）＝f （x ），从而得出f （x ）为偶函数． 【答案】解：（1）∵；∴时，f （x ）有意义，时，f （x ）没意义；∴f （x ）的定义域关于原点不对称； ∴f （x ）为非奇非偶函数；（2）f （﹣x ）＝sin 4（﹣x ）﹣cos 4（﹣x ）+cos （﹣2x ）＝sin 4x ﹣cos 4x +cos2x ＝f （x ）； 即f （﹣x ）＝f （x ）； ∴f （x ）为偶函数．【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数、偶函数定义域的特点． 【考点6 正、余弦函数的对称轴及对称中心】【例6】（2019春•资阳区校级月考）求函数12sin()26y x π=-的对称轴和对称中心．【分析】由条件根据正弦函数的对称性，求得函数y ＝2sin （x ﹣）的对称轴和对称中心． 【答案】解：对于函数y ＝2sin （x ﹣），令x ﹣＝k π+，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称轴方程为 x ＝2k π+，k ∈z ．令x ﹣＝k π，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称中心为 （2k π+，0）k ∈z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性，属于基础题． 【变式6-1】求2cos(2)6y x π=-单调性对称轴对称中心．【分析】对于函数y ＝2cos （2x ﹣），令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得x 的范围，可得函数的增区间；令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得x 的范围，可得函数的减区间．令2x ﹣＝k π，求得x 的值，可得函数的图象的对称中心． 【答案】解：对于y ＝2cos （﹣2x ）＝2cos （2x ﹣）， 令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈z ． 令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得k π+≤x ≤k π+， 可得函数的减区间为[k π+，k π+]，k ∈z ． 令2x ﹣＝k π，求得x ＝+， 可得函数的图象的对称中心为（+，0）．【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称中心，属于基础题．【变式6-2】变式训练1：求函数的对称轴，对称中心（1）1())4f x x π=+；（2）1()2cos()123f x x π=-+．【分析】直接根据正余弦函数的图象及性质求解即可． 【答案】解：（1）f （x ）＝sin （2x +π）；令2x +π＝，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z 令2x +π＝k π，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称中心（，0）．k ∈Z（2）f （x ）＝2cos （x ﹣）+1．令x ﹣＝，k ∈Z可得：x ＝2k π ∴对称中心（2k π，1）．k ∈Z令x ＝k π，k ∈Z可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z【点睛】本题考查了正余弦函数的图象及性质的应用．属于基础题． 【变式6-3】求下列函数图象的对称轴、对称中心． （1）sin()24x y π=-；（2）2sin(2)3y x π=++．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【答案】解：对于（1）y ＝sin （﹣），令﹣＝k π+，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝2k π+，k ∈Z ．令﹣＝k π，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称中心为（2k π+，0），k ∈Z ．（2）对于y ＝2+sin （+2x ），令2x +＝k π+，求得x ＝k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝k π+，k ∈Z ．令2x +＝k π，求得x ＝k π﹣，可得函数的图象的对称中心为（k π﹣，0），k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 【考点7 正、余弦函数的单调性】【例7】（2019•上城区校级模拟）设函数()3sin()(0)4f x x πωω=+>，且以23π为最小正周期．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴方程及单调递增区间．【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．【答案】解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴＝，∴ω＝3， f （x ）＝3sin （3x +）．（2）令3x +＝k π+，求得x ＝+，故函数的图象的对称轴方程为 x ＝+，k ∈Z ．令 2k π﹣≤3x +≤2k π+，求得﹣≤x ≤+，可得函数的增区间为[﹣，+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题． 【变式7-1】（2018秋•嘉兴期末）已知函数()2sin(2)()6f x x m m R π=-+∈的最小值为1． （Ⅰ）求m 的值及取此最小值时的x 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦函数的最值，求出m 的值及取此最小值时的x 值．（Ⅱ）利用正弦函数的周期性以及单调性，求得函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间． 【答案】解：（Ⅰ）函数 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+m （m ∈R ）的最小值为﹣2+m ＝1，∴m ＝3． 取取此最小值时，2sin （2x ﹣）＝﹣1，2x ﹣＝2k π﹣，求得x ＝k π﹣，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+3，它的最小正周期为＝π，令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，周期性以及单调性，属于中档档题． 【变式7-2】（2019春•靖远县期末）已知函数1()2cos()212f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求不等式()1f x >的解集．【分析】（1）根据余弦函数的单调增区间可得，然后解出x 的范围即可；（2）由f （x ）＞1可得，则，k ∈Z ，解出x 的范围即可． 【答案】解：（1）， 由， ∴，∴f （x ）的单调递增区间为；（2）∵f （x ）＞1，∴，∴，∴，k ∈Z ， ∴，k ∈Z ，∴不等式的解集为，k ∈Z ．【点睛】本题考查了余弦函数的单调性和解三角不等式，考查了运算能力，属基础题．【变式7-3】（2019秋•福建月考）已知函数())4f x x π=-，[,]82x ππ∈-（1）求函数()f x 的单调区间．（2）求函数()f x 在区间[,]82ππ-上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．【分析】（1）x ∈[﹣，]⇒2x ﹣∈[﹣，]，利用余弦函数的单调性即可求得f （x ）＝cos （2x ﹣）的单调区间；（2）利用（1）f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，即可求得其最小值和最大值及取得最值时x 的值． 【答案】解：（1）∵f （x ）＝cos （2x ﹣），x ∈[﹣，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，由﹣≤2x ﹣≤0得：﹣≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调递增区间为[﹣，]；由0≤2x ﹣≤得，≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调减区间为[，]；（2）∵f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f ＝0， f ＝， f＝cos＝﹣cos ＝﹣1，∴函数f （x ）在区间[﹣，]上的最大值为，此时x ＝，最小值为﹣1，此时x ＝．【点睛】本题考查余弦函数的单调性，考查余弦函数的定义域和值域，考查运算能力，属于中档题． 【考点8 正、余弦函数的综合应用】【例8】（2019春•延吉市校级期中）已知函数()12sin(2)3f x x π=+-．（1）求对称轴，对称中心（2）求()f x 在[,]42x ππ∈的最大值和最小值；（3）若不等式|()|2f x m -<在[,]42x ππ∈上恒成立，求实数m 的取值范围【分析】（1）令2x ﹣＝可得对称轴，令2x ﹣＝k π可得对称中心；（2）由x ∈[]，可求，结合正弦函数的图象及性质可求；（3）由|f （x ）﹣m |＜2可得m ﹣2＜f （x ）＜m +2恒成立，从而有m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2可求．【答案】解：（1）令2x ﹣＝可得对称轴x ＝，k ∈z ， 令2x ﹣＝k π可得，x ＝，k ∈z 可得对称中心为（，1），k ∈z ，（2）∵f （x ）＝1+2sin （2x ﹣），∵x ∈[]，∴，∴，∴f （x ）在x ∈[]的最大值3，最小值2，（3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[]上恒成立，∴m ﹣2＜f （x ）＜m +2，∴m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2， ∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，解题 的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用．【变式8-1】已知函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++的定义域为[0，]2π，值域为[5-，1]．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()4sin()3g x a bx π=--的最小值并求出对应x 的集合．【分析】（1）由x 的取值范围，求出2x +的取值范围，从而求出2sin （2x +）的取值范围；讨论a＞0、a ＜0时，函数f （x ）的最值问题，从而求出a 和b 的值．（2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，根据正弦函数的性质即可求出． 【答案】解：（1）∵0≤x ≤，∴≤2x +≤， ∴≤sin （2x +）≤1， ∴﹣1≤2sin （2x +）≤2，当a ＞0时，解得a ＝2，b ＝﹣7， 当a ＜0时，，解得a ＝﹣2，b ＝1，（2）当a ＝2，b ＝﹣7时，g （x ）＝﹣8sin （﹣7x ﹣）＝8sin （7x +），其最小值为﹣8，7x +＝﹣+2k π，k ∈Z ，即x ＝﹣+，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝﹣+，k ∈Z }，当a ＝﹣2，b ＝1时，g （x ）＝﹣8sin （x ﹣）＝﹣8sin （x ﹣），其最小值为﹣8，x ﹣＝+2k π，k ∈Z ，即x ＝π+2k π，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝π+2k π，k ∈Z }．【点睛】本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a 和b 的值． 【变式8-2】已知函数23()sin cos 2f x x a x =+-，a R ∈． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）对于区间[0，)2π上的任意x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）把a ＝1代入函数解析式，利用平方关系化正弦为余弦，平方后求最值； （2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x 换元，则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，分离参数a ，由对勾函数的单调性求得g （t ）＝t +在t ∈（0，1]上的最小值，则答案可求．【答案】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝sin 2x +cos x ﹣ ＝＝．当cos x ＝时，f （x ）取最大值为；（2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x ，∵x ∈[0，），∴t ＝cos x ∈（0，1]．则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，即，也就是a ≤t +在t ∈（0，1]上成立，令g （t ）＝t +，由对勾函数的单调性可得在t ∈（0，1]上g （t ）的最小值为g （1）＝．∴a．即实数a 的取值范围是（﹣∞，]．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用分离参数法求解恒成立问题，考查利用对勾函数的单调性求最值，是中档题．【变式8-3】（2019春•鹤壁期末）已知函数()sin(2)3f x x π=-．（Ⅰ）当1(2x π∈-，)3π-，2(0,)6x π∈时12()()0f x f x +=，求12x x -的值； （Ⅱ）令()()3F x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++…0≤m 恒成立，求m 的最大值． 【分析】（Ⅰ）运用正弦函数的诱导公式，解方程即可得到所求值；（Ⅱ）令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，转化为二次不等式恒成立问题解法，结合图象可得m 的最大值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x 1）+f （x 2）＝0， 即为sin （2x 1﹣）+sin （2x 2﹣）＝0， 即有sin （2x 1﹣）＝﹣sin （2x 2﹣）＝sin （﹣2x 2），可得2x 1﹣＝2k π+﹣2x 2，或2x 1﹣＝2k π+π﹣+2x 2，k ∈Z ，即有x 1+x 2＝k π+或x 1﹣x 2＝k π﹣，k ∈Z ， 由x 1∈（﹣，﹣），x 2∈（0，），可得x 1﹣x 2∈（﹣，﹣），可得x 1﹣x 2＝﹣； （Ⅱ）F （x ）＝f （x ）﹣3即F （x ）＝sin （2x ﹣）﹣3，令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，对任意x都有F2（x）﹣（2+m）F（x）+2+m≤0恒成立，即为t2﹣（2+m）t+2+m≤0，则16+4（2+m）+2+m≤0，4+2（2+m）+2+m≤0，即m≤﹣．且m≤﹣，．解得m≤﹣，即m的最大值为﹣．【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查换元法和二次函数的性质，以及化简运算能力，属于中档题．。
§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
§1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(难点).2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线(重点).3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系(难点)．知识点正弦函数、余弦函数的图象函数y＝sin x y＝cos x 图象图象画法“五点法”“五点法”关键五点(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展．( )(2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同．( )(3)函数y＝cos x的图象关于(0,0)对称．( )提示(1)×，正弦函数y＝sin x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间．(2)×，二者图象不同，而是关于x轴对称．(3)×，函数y＝cos x的图象关于y轴对称．题型一“五点法”作图的应用【例1】利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．解(1)取值列表：X0π2π3π22πsin x010－101－sin x10121(2)描点连线，如图所示：规律方法用“五点法”画函数y＝A sin x＋b(A≠0)或y＝A cos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤(1)列表：x0π2π3π22πsin x(或cos x)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，y2，(π，y3)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，y4，(2π，y5)，这里的y i(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．【训练1】利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图．解(1)取值列表如下：x0π2π3π22πcos x10－101－1－cos x－2－10－1－2(2)描点连线，如图所示．题型二利用正弦、余弦函数图象解不等式【例2】利用正弦曲线，求满足12<sin x≤32的x的集合．解首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3． 观察图象可知，在[0,2π]上，当π6<x ≤π3，或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立．所以12<sin x ≤32的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x |π6＋2k π<x ≤π3＋2k π，⎭⎪⎬⎪⎫或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z ．规律方法 用三角函数图象解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式一写出不等式的解集．【训练2】 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域．解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎨⎧cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎨⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32π，5.互动探究题型三 正弦、余弦曲线与其他曲线的交点问题【探究1】 当x ∈[0,4π]时，解不等式sin x ≥0．解 由函数y ＝sin x ，x ∈[0,4π]的图象可知，不等式sin x ≥0的解集为[0，π]∪[2π，3π]．【探究2】 作出函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,4π]的图象．解 易知f (x )＝⎩⎨⎧3sin x ，x ∈[0，π]∪[2π，3π]，－sin x ，x ∈π，2π∪3π，4π，则f (x )的图象如图所示：【探究3】 求方程sin x ＋2|sin x |－|log 2x |＝0解的个数．解 在同一坐标系内作出f (x )＝sin x ＋2|sin x |和g (x )＝|log 2x |的图象如图所示，易知f (x )与g (x )的图象有四个交点，故所给方程有四个根．规律方法 判断方程解的个数的关注点(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．(2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定．【训练3】 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________． 解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．答案 2课堂达标1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析 函数y ＝－sin x 与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D ． 答案 D2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．答案 B3．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为________．解析 由函数y ＝cos x 的图象可知，不等式cos x <0[0,2π]的解集为(π2，3π2)．答案 (π2，3π2)4．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．解析 作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象及直线y ＝－12(图略)，知两函数图象有两个交点．答案 两5．利用“五点法”作出下列函数的图象：(1)y ＝2－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)． 解 利用“五点法”作图 (1)列表：sin x010－102－sin x21232描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示．(2)列表：X0π2π3π22π－2cos x－2020－2－2cos x＋313531描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：课堂小结1．对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．2．作函数y ＝a sin x ＋b 的图象的步骤基础过关1．用“五点法”作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析 由“五点法”可知选A ． 答案 A2．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根． 答案 A3．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )解析 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2<x <32π.显然只有D 合适． 答案 D4．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析 ∵sin x ∈[－1,1]，∴－1≤2m ＋1≤1，故－1≤m ≤0． 答案 [－1,0]5．不等式sin x <－12，x ∈[0,2π]的解集为________．解析 如图所示，不等式sin x <－12的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，11π6．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，11π66．用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝sin(x ＋π3)，x ∈[－π3，5π3]．解 (1)列表：x 0 π2 π 32π 2π2sin x0 20 －2描点、连线、绘图，如图所示．(2)①列表：x ＋π30 π2 π 32π 2πx－π3 π623π 76π 53π sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π30 1 0 －1 0②描点连线如图．7．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为{x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}． 能力提升8．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )解析 当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|t an x |＝sin x ；当π2<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ； 当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C ．答案 C9．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析 作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π，∴S 阴影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π． 答案 D10．函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x <0，则不等式f (x )>12的解集是________________．解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12图象，由图象易得：－32<x <0或π6＋2k π<x <56π＋2k π，k ∈N ． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－32<x <0或π6＋2k π<x <56π＋2k π，k ∈N11．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________.解析 由⎩⎨⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4，得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2．∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，412．用“五点法”作出函数y ＝1－13cos x 的简图．解 (1)列表x 0 π2 π 3π2 2πcos x 1 0－1 01 1－13cos x231 43123(2)描点，连线可得函数在[0,2π]上的图象，将函数图象向左，向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y ＝1－13cos x 的图象，如图所示．13．(选做题)若方程sin x ＝1－a 2在x ∈[π3，π]上有两个实数根，求a 的取值范围．解 在同一直角坐标系中作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象，y ＝1－a 2的图象，由图象可知，当32≤1－a 2<1，即－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个实根．。
1.4.1正弦函数,余弦函数的图像与性质
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
注意：
1周期函数x定义域M，则必有x+TM,且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)f(x0)）
二，例题讲解
例1求下列函数的周期：
(1)y＝3cosx，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R；(2)y＝2sin( x－ )(x∈R)
解：(1)∵y＝cosx的周期是2π
∴只有x增到x＋2π时，函数值才重复出现
∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π
(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝sinZ，Z∈R的周期是2π
即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)．
只有当x至少增加到x＋π，函数值才能重复出现
∴y＝sin2x的周期是π
(3)令Z＝ x－ ，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝2sinZ，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝( x－ )＋2π＝ (x＋4π)－ ，所以只有自变量x至少要增加到x＋4π，函数值才能重复取得，即T＝4π是能使等式2sin［ (x＋T)－ ］＝2sin( x－ )成立的最小正数
｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝ ＋ห้องสมุดไป่ตู้kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向________平移π2个单位长度即可．知识点归纳：1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．一、选择题1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π2]的简图是( )4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．12．分别作出下列函数的图象．(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.能力提升13．求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．14．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．§1.4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象答案知识梳理2．(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫32π，－1，(2π，0) (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1) 3．左 作业设计1．D 2.B 3.D 4．A [∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，34π.] 5．D [作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积，又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.]6．C [用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点⎝⎛⎭⎫110，－1，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]7．y ＝－cos x解析 y ＝sin x 2π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 8.⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 9．2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．10.⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈[π4，54π]．11．解 利用“五点法”作图 (1)列表：X 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121描点作图，如图所示．(2)列表：X0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．12．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π) (k ∈Z )．其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (x ≥0)－sin x (x <0)，其图象如图所示，13．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >016－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．14．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．。
三角函数的图象与性质
-
;
-1
y=cosx
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
y
si-n6x的对称-5轴：x
k -4
2-,3对 称点-：2(k
,0);
-
y cosx的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习
回顾 三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2 | |
三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称； y cosx为偶函数图像关于y轴对称。
-6 -5
-4 -3
复习回顾 y y=sinx
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案【摘要】本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特点。
文章首先介绍了正弦函数和余弦函数在数学中的重要性，然后概述了本教案的主要内容和目的。
接着分别讨论了正弦函数和余弦函数的图像特点，包括周期、振幅、相位等。
通过具体的案例分析，帮助学生更好地理解函数图像的绘制方法和规律。
在结尾部分，对本教案进行了总结，并提出了相应的教学建议，同时展望了学生在学习正弦函数和余弦函数图像时可能取得的进展和突破。
通过本教案的学习，学生将能够掌握正弦函数和余弦函数的图像特点，提高数学学习的效率和兴趣。
【关键词】正弦函数、余弦函数、图像、教案、概述、特点、案例分析、总结、教学建议、展望。
1. 引言1.1 1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案正弦函数和余弦函数是高中数学中重要的函数之一，它们在数学中有着广泛的应用。
本教案将重点讲解正弦函数和余弦函数的图像特点，帮助学生更好地理解和掌握这两个函数的性质。
在学习正弦函数的图像特点时，我们将介绍正弦函数的周期、幅值、对称轴等基本概念，并通过实例演示如何绘制正弦函数的图像。
我们也会讲解正弦函数的性质，如奇偶性、单调性等，以便学生更好地应用正弦函数解决实际问题。
通过本教案的学习，学生将能够准确绘制正弦函数和余弦函数的图像，并理解它们的基本特点。
学生还将学会如何利用正弦函数和余弦函数解决实际问题，提高数学应用能力。
希望本教案能够对学生的数学学习起到一定的帮助，让他们更加喜爱数学这门学科。
2. 正文2.1 引言在本节课程中，我们将学习正弦函数和余弦函数的图像特点。
正弦函数和余弦函数是我们在数学中经常接触到的函数，它们在几何学、物理学等领域也有广泛的应用。
通过学习它们的图像特点，我们可以更好地理解它们的性质和规律。
正弦函数是一种周期函数，它的图像呈现出波浪形状。
正弦函数的周期为2π，在每个周期内有一个最大值和一个最小值，这些点称为正弦函数的极值点。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
π 3π A．0、2、π、 2 、2π C．0、π、2π、3π、4π
第一章
1.4
1.4.1
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2．用五点法作函数 y＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五 点横坐标可以是( ) π π 3π B．0、4、2、 4 、π π π π 2π D．0、6、3、2、 3
1.4
1.4.1
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π [小结]将 y＝sinx， x∈R 的图象向左平移2个单位得 y＝cosx， x∈R 的图象，因此 y＝sinx，x∈R 与 y＝cosx，x∈R 的图象形 状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
第一章
1.4
1.4.1
个单位．如图(1)所示． (2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将 x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．
第一章
1.4
1.4.1
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[规律总结]
函数的图象变换除了平移变换外，还有对称
变换．如本例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴 对称；－f(x) 的图象与f(x)的图象关于x 轴对称；－f( －x)的图象
第一章
1.4
1.4.1
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2．正弦曲线、余弦曲线
(1) 定义：正弦函数 y ＝ sinx ， x∈R 和余弦函数 y ＝ cosx ， 正弦 曲线和_______ 余弦 曲线． x∈R的图象分别叫做______ (2)图象：如图所示．
1.4.1-1.4.2 正弦函数、余弦函数的图像与性质
例 1 求下列函数的周期． (1)y＝sin2x＋π3 (x∈R)； (2)y＝|sin 2x| (x∈R)． (2)作出 y＝|sin 2x|的图象．
由图象可知，y＝|sin 2x|的周期为π2. 小结 对于形如函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0 时的周期求法常直 接利用 T＝|2ωπ|来求解，对于 y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象 法来求解．
1.4.1正弦函数的图象 与性质
第二课时
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期． 3．掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简
单三角函数的奇偶性．
定义 图
象
sin
cos
tan
单位圆中
y
P(x,y) 。
α
O
A(1,0) x
y
x
y x
温故知新
一般地
解 ∵f(x)的最小正周期是 π， ∴f53π＝f53π－2π＝f－π3. ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴f－π3＝fπ3＝sin π3＝ 23.∴f53π＝ 23.
小结 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性， 把自变量 x 的值转化到可求值区间内．
练习 若 f(x)是以π2为周期的奇函数，且 f π3＝1， 求 f －56π 的值．
练习 1. 求下列函数的周期． (1)y＝cos 32π－23x； (2)y＝sin－12x＋π3.
解 (1)y＝－sin 23x，T＝22π＝3π. 3
(2)y＝sin12x－3π，T＝21π×12＝2π. 2
例 2 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的 最小正周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求 f53π的值．
1.4.1-正弦函数、余弦函数的图像课件
课后作业
X
1.课本习题1.4A组第1题、B组第一题
2.预习三角函数的性质
提高题：当x∈[0，2π]时，求不等式
cos x 1 的解集.
y2
1 y1 2
O
π
5 2π x
-பைடு நூலகம் 3 2
23
0
，
3
U
5
3
，2
变式 当x∈[0，2π]时，求不等式
sin x 1 的解集.
y2
1
3pπ
π
2
2π
回顾（一）
分别指出 sin a , cos a , tan a 的三角函
数线? y PT
正弦线MP
A(1,0) 余弦线OM
-1
OM
xx
正切线AT
回顾：（二）
• 作函数图象的基本步骤？
作正弦函数 y=sinx (x∈R) 的图象
（一）先作出函数 y sin x, x 0,2 的图象
1、描点法
1)
三.用五点法作y=sinx , x∈[ π ,π ]的简
图 x
-π
π 2
0
π
2π
sin x 0 -1 0 1 0
y1
.
-π
π
2.
.
O -1
.
.
π πx
2
y
三、正弦函数y=sinx, x∈R的图象
1-
6
4
2
o
2
4
6
x
-1-
正弦曲线
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
2
2
-
1
3
1.4.1_正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数：y sin x
xR
正弦曲线
y
1
-1
x
余弦函数：y cos x
(2 ,1)
( , 1)
2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点： (
第一章 三角函数
题型探究
五点作图法
•
例1
用“五点法”作出下列函数的简图． y＝sinx+1，x∈[0，2π]．
x
sinx 1+sinx
y 2 1
0
0 1
π 2 1 2
π
0 1
3π 2 -1 0
2π
0 1
y=1+sinx，x[0, 2]
第一章 三角函数
函数图象的应用
例4 (本题满分 10 分)根据正弦函数的图象， 1 求满足 sinx≥ 的 x 的范围． 2
1 【解】 在同一坐标系内画出 y＝sinx 和 y＝ 2 的图象，如图所示： 3分
第一章 三角函数
由图看到在 x∈[0，2π]内， 1 π 5π 满足 sinx≥ 的 x 为 ≤x≤ . 2 6 6 7分
描点作图法的步骤： （1）列表（2）描点（3）连线
沙漏试验
探究一:函数y sin x, x 0, 2 图象的作法
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线; y
第一章 三角函数
(3) 平移; (4) 连线.
1P 1
/ p1
o1
6
M1
-1A
1.4.1正余弦函数图像及性质
2.作函数 y 2 sin x 1, x 0,2 的简图。
返回
课时小结：
1.正弦曲线： 1
4 3 2
_
y
o
_
2
3
4
x
-1
2.余弦曲线：
y
1
_
4 3
2
o
_
2
3
4
x
-1
3.“五点作图法”:
y
y sin x, x 0,2
)可以看出： 2
2
), x R
是同一个函数。余弦函数的图象可通过将正弦曲线向左
2
个单位长度而得到。
y
1
_
4 3
2
o
_
2
3
4
x
-1
余弦曲线
1.正弦曲线： 1
4 3 2
_
y
o
_
2
3
4
x
-1
2.余弦曲线：
y
1
_
4 3
2
图象的最低点( 3, 2
y sin x, x 0,2
图象与x轴的交点(0,0) ( ,0) (2 ,0)
1)
3 2
图象与x轴的交点( 2 ,0)( y cos x, x 0,2 图象的最低点( ,1)
图象的最高点 0,1) (2 ,1) (
y
1
4 3 2
_
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数
o
_
2
3
【高中数学必修四】1.4.1正余弦函数的图象
正弦曲线（在一个圆周内）
x
y
0
0
2 5 7 4 3 5 11 6 3 3 6 2 2 6 3 2 3 6 1 3 1 0 - 1 - 3 1 3 1 0 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2
y
(2) 描点
10
1
-
2
3 2
-
-
-
2
-
x
1. 用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
y
1
o
1
2 5 6 3 2 3 6
7 4 3 5 11 6 3 2 3 6 2
x
与 x 轴的交点 (0,0), ( ,0), (2 ,0) 图像的最高点 ( ,1) 2
正弦曲线（在一个圆周内）
y
1
o
1
2 5 6 3 2 3 6
7 4 3 5 11 6 3 2 3 6 2
o
2
2 5 3 6
7 4 3 5 11 6 3 2 3 6
2
x
-
-
-
-
-1
-
y
1
6
4
2
1
o
2
4
6
x
因为终边相同的角的三 角函数值相同， 所以 y sin x的图象在， [4， 2 ]， [2， 0]， [0， 2 ]， [2， 4 ]， 与y sin x , x [0， 2 ]的图象相同 .
x
与 x 轴的交点 (0,0), ( ,0), (2 ,0) 图像的最高点
正弦曲线（在一个圆周内）
y
1
o
1
2 5 6 3 2 3 6
1.4.1正弦、余弦函数的图象(1)
2 y=sinx，x[0, 2]
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
0
2
3
2
2
1
0
-1 0
1
-1 0
10
-1
y
y=cosx，x[0, 2]
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y =sinx,x[0, 2] 和 y= cosx，x[ ,3 ]的简图：
22
0 2
20
10
01
2
3
2
232
-01
0-1
10
向左y平移 个单位长度 22
1
o
2
-1
3
2
2
y=
cosx，x[
2
,
3 ]
2
y=sinx，x[0, 2]
2
x
课堂小结
1. 正弦曲线、余弦曲线
几何画法 五点法
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3 2
f (x 2k ) f (x) 利用图象平移
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2] y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
1.4.1正弦、余弦函数的图象(1)
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案【摘要】本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特征。
通过系统的内容安排，学生将了解到正弦函数和余弦函数的数学定义、性质以及图像特点，并明确教学重点。
教学方法包括理论讲解、示例演练和实际应用，帮助学生更好地掌握知识。
教学效果评价将从学生的表现和理解程度入手，评估教学效果。
通过学习本教案，学生将对正弦函数和余弦函数有更深刻的认识，提高数学素养和图像思维能力。
【关键词】《正弦函数余弦函数的图像》、教案、制作目的、内容安排、教学重点、教学方法、教学效果评价、引言、结论1. 引言1.1 引言在数学教学中，正弦函数和余弦函数是非常重要的函数之一，它们在图像和性质上有很多有趣的特点。
通过学习正弦函数和余弦函数的图像，可以帮助学生更深入地理解这两个函数的规律和变化。
在本节课中，我们将围绕正弦函数和余弦函数的图像展开教学，通过直观的图像展示和实际计算，让学生更加直观地理解正弦函数和余弦函数的性质。
正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的图像呈现出明显的周期性和对称性。
通过分析正弦函数和余弦函数在不同参数下的图像变化，可以帮助学生建立起对这两个函数的直观认识，并且深入理解它们的数学性质。
在本节课中，我们将通过实际的例题和练习来帮助学生掌握正弦函数和余弦函数的图像特点，培养他们的数学思维和分析能力。
希望通过本节课的学习，学生能够更加深入地理解正弦函数和余弦函数的图像，为以后的学习打下良好的基础。
2. 正文2.1 1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案的制作目的本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特征，以及它们在数学中的应用。
通过学习本教案，学生将能够掌握正弦函数和余弦函数的周期、振幅、相位和对称性等重要概念，并能够准确绘制它们的图像。
本教案还旨在培养学生的数学思维能力和图形绘制能力，提高他们对数学的兴趣和自信心。
通过实际练习和应用案例的引导，学生将能够更好地理解正弦函数和余弦函数在现实生活中的应用，进而提高他们的数学解决问题的能力和应用能力。
(优秀经典)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件新人教A版必修4
3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫 做_正__弦_____曲线和余__弦______曲线． (2)图象：如图所示．
[解析] (1)列表
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
sinx－1
－1
0
－1
－2
－1
描点，连线，如图
(2)列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
2＋cosx
3
2
1
2
3
描点连线，如图
『规律总结』 用“五点法”画函数 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)
[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝ cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分 对称到x轴的上方．如图(2)所示．
『规律总结』 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本 例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的 图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于 y轴对称．
三角函数的图象与性质
1．4三角函数的图象与性质1．4.1正弦函数、余弦函数的图象【课标要求】1．了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．【核心扫描】1．利用“五点法”画正、余弦函数的图象．(重点)2．正、余弦函数图象的简单运用．(难点)3．正、余弦函数图象的区别与联系(易混点)新知导学互动探究探究点1 可以用哪几种方法作正弦函数的图象？探究点2 如何由y＝sin x，x∈R的图象得到y＝cos x，x∈R的图象？方法唯一吗？类型一用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象【例1】用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．【活学活用1】(1)作出函数y＝－sin x，x∈[0,2π]的简图；(2)作出函数y＝1－cos2x的图象．类型二正、余弦函数图象的应用【例2】(1)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．(2)方程sin x＝lg x的解的个数是________．【活学活用2】 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．类型三 利用三角函数图象求定义域【例3】 求函数y【活学活用3】 求函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22＋cos x 的定义域．【示例】 画出y ＝sin x 的简图，并根据图象写出y ³12时x 的集合．课堂达标1． 画出函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图。
2．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限伸展； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是________．4．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________．5．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．6.根据正弦函数、余弦函数的图像，写出使下列不等式成立的的取值范围。
1.4.1正弦函数余弦函数的图像 精品课件(人教A版必修4)
问题提出
t
p
1 2
5730
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
么？二者有何相互联系？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
t
2.
世
界
上
有
许
多事 p
1 2
5730
物
都
呈
现
“
周
而
复
始
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
. sin(x 2k ) sin x (k Z )
0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
O
pπ
2 2π
x
-1
2
例2 当x∈[0，2π]时，求不等式 cos x ³ 1 的解集.
2y
1
O
π
2π
-1
2
2
[0, p ] U [ 5p , 2p]
3
3
y
=
1 2
x
小结作业
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位 重复出现，因此，只要记住它们在[0， 2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲 线和余弦曲线.
1.4.1正弦函数余弦函数的图像4
(2)描点作图
Y
y=2sinx
2
y=sinx
1
0
2 X
（2）y=sin2x , x∈[0,π]
解: （1）列表 (2)描点作图
2x
x
3 0 24 2 24 2
yy==ssinin2xx 0 1 0 -1 0
Y
y=sin2x
1
0
X
2
正弦、余弦函数的图象
几何画法
小 1. 正弦曲线、余弦曲线 五点法 结
1.4.1 正弦函数，余 弦函数的图像
正弦、余弦函数的图象
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
-1
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有
向线段！
在直角坐标系中如何作点（
，sin
）?
33
y
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x[0, 2]
和
y=
cosx，x[
2
,
3 2
]的简图：
x
0 2
20
csionsx
10
01
3
3
2
2
2 2
-0 1
0-1
与x轴的交点
-1
o
6
-
1.4.1正余弦函数的图像和性质(1)
备课教师：闫国峰 备课组长： 杨万军 班级 组别 姓名 2014年__4_月___日1.4.1正弦函数、余弦函数的图象和性质（1）学习目标1．理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．3．理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法． 重点难点：重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象． 难点：公式的变式及灵活运用。
一、学习过程 复习回顾：[来源:学科网ZXXK]1．你记得单位圆中的三角函数线吗？s i n α= ；co s α= ；t a n α= ． 二、讲解新课：1．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线和余弦线．第二步：描点．把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．第三步：连线得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．修改、补充 2.利用诱导公式平移正弦函数y=sinx 得到余弦函数y=cosx ，的图象3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：（1）正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（2）余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：任何改革必须具备坚持、坚持再坚持，落实、落实再落实的精神才能成功！——王永恒磴 口 一 中 “十 六 字 ”高 效 教 学 法 学 案 （电子版）x三、讲解范例：例1作下列函数的简图(1) y = -- sinx，x ∈[ 0 ，2π]，(2) y = -- cosx，x∈ [ 0 ， 2π](3) y = 1 + sinx，x∈[0，2π]，(4) y = cosx + 1 ，x∈[0，2π]，三、总结提升※学习小结：这节课你学到了什么？学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：教学反思：教师不替学生说学生自己能说的话，不替学生做学生自己能做的事，学生能讲明白的知识尽可能让学生讲。
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所以余弦函数
y
cos
x,
x
2
R与函数
y
sin(x
2
),
x
R
2
是同一个函数； 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
2
个单位长度而得到。
请单击：返回
-
-
-
-
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-
P1
p1/
y
o1
M-1 1A
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 x
-1-
余弦函数 y cos x, x 0,2 的图象
正弦函数、余弦函数的图象
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
(1) 列表 y sin x, x 0,2
(2) 描点 y
1-
0
1 -
2
(3) 连线
-
3 2 x
2
正弦函数、余弦函数的图象
1.函数y sin x, x0,2 图象的几. 何.作.法.
利用三角函数线 作三角函数图象
描几点何法法:作查图三的角关函键数是表如得何三利角用函单数位值圆,描中点角(xx的,s正in 弦x),线连，线巧. 妙地
如移:动x 到 直3 角查坐表标y系内s，in从3 而 确0.定86对60应的点 (x,sinx).
y
描点
(
3
,0.8660)
1-
y
P
0
1- 2
3
O M 1x
-
3
2 x
2
几何法：作三角函数线得三角函数值，描点 (x,sin x),连线
如:
x
3
作
3
的正弦线
MP,
平移定点 (x, MP)
正弦函数、余弦函数的图象
函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
P1
6
o1
M-11A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1-
-
-
寻觅名家大师年过八旬的王蒙，曾写过《青春万岁》《组织部来了个年轻人》等多部优秀的作品，他从19岁开始写作，在人生相当长的时间里，把大部分精力投入到写书、译书，也访问过世界上72个 国家和地区，这样的HR在企业常规的流程任务之外更需要将目光投向组织之外的客户、投资者和社区,从他们的视角来定义和创新HR的工作，基于以上种种，双方在此次合作的在线外教服务项目中，将 延续此前在教材方面的合作，以培生旗舰教材B E作为双方首个配套在线外教服务的课程，将其打造成更适合线上、线下结合的课程方案，，如果以研究生学历报考该岗位，本科专业为英语， 研究生专业为新闻学;或本科专业为汉语言文学，研究生专业为日语语言文学均符合报考条件，在国家政策的调控下，在社会各界的努力下，乡村教育有了更好的发展，蕴含的中华民族优秀传统文化， 思想观念，人文精神，继承时代创新
-
1-
图象的最高点
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-1
o
6
-
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5 23
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点 ( ,1)
-1-
正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π] （2）y=－cosx , x∈[0,2π]
y cos x, x[0,2 ]
正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1）y
x
正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1 用“五点法”画出下列函数的简图： (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
(五点作图法)
图象的最高点 ( ,1)
1-
2
与x轴的交点
(0,0) பைடு நூலகம் ,0) (2 ,0)
-
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
图象的最低点
(
3 2
,1)
-1-
简图作法
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) (3)
连描y 线点((用定光出滑五的个曲关线键顺 点次) 连结五个点)
-
-
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2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基 本要求，用“五点法”作图是常用的方法.
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的 基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种 数形结合的数学思想.
正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
-
-
y-
1
6
4
2
o-
-1
2
4
6
由于 y cos x cos(x) sin[ (x)] sin(x )
解: （1）列表
x
sin x
0
2
0
1
3 2
2
0
1
0
sin x 1
1
2
1
0
1
（2）
x
0
2
3 2
2
cos x
1
0 -1 0
1
cos x -1
0
1 0 -1
描点作图
yy
2-
11 --
y 1ysincxo,sxx, x[0,[20,2] ]
oo
11--
2
2
2 323
2
2
xx
y sin x, x [0,2 ]
y
1-
o1
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1-
正弦函数.余弦函数的图象和性质
作法：(1) 等分
y
(2) 作余弦线
1-
(3) 竖立、平移
P1
p1/
y
-
-
(4) 连线
o1
M-1 1A
o
6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 x
-y1-
-
-
Q1
Q2
y
1-
-
o1 M2 M1-1
x
0 π/2 π 3π/2 2π
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
2 2π
O
pπ
x
-1
2
例2 当x∈[0,2π]时，求不等式 cosx>1/2 的解集。
y
1
Oπ -1 2
y= 1 2
2π x
2
课堂小结
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因 此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以 画出正弦曲线和余弦曲线.
-
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 x
x
-
-
-1-
l
正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1-
6
4
2
o
-1 -
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在
4,2 , 2,0, 0,2 , 2 ,4 , 与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同