浙教版-数学-九年级上册-求二次函数解析式的三种方法
专题一 求解二次函数表达式的常用方法课件2023-2024学年浙教版数学九年级上册
母题3
抛物线与x轴交于点(－3，0)和(1，0)，且与y轴交于点 (0，3)，求该抛物线对应的函数表达式． 解：由题意可设该抛物线对应的函数表达式为 y ＝ a(x ＋ 3)(x － 1) ， 将 点 (0 ， 3) 的 坐 标 代 入 ， 得 a×3×(－1)＝3，解得a＝－1. ∴y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3.
浙教版 九年级上
第一章 二次函数 专题一 求解二次函数表达式的常
用方法
母题1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(1，2)，(0，3)，
(－2，－1)三点，求该二次函数的表达式．
解：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过(1，2)，
(0，3)，(－2，－1)三点，
∴ac＝＋3b，＋c＝2，
(2)动点P(a，－6)能否在抛物线C2上？ 请说明理由． 解：点P不能在抛物线C2上． 理由：∵抛物线C2：y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3的开口向上， ∴函数有最小值，为－3.
∵－6＜－3，∴点P不能在抛物线C2上．
【方法解析】 二次函数图象的平移变化：抛物线y＝ax2＋bx＋c
向左(右)平移m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x±m)2＋ b(x±m)＋c；抛物线y＝a(x－h)2＋k向左(右)平移 m(m>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h±m)2＋k；抛物线 y＝ax2＋bx＋c向上(下)平移n(n>0)个单位，得到抛物线 y＝ax2＋bx＋c±n；抛物线y＝a(x－h)2＋k向上(下)平移 n(n>0)个单位，得到抛物线y＝a(x－h)2＋k±n.
变式4-1 已知抛物线y＝a(x－1)2＋k经过点(0，－3)和(3，0)． (1)求a和k的值；
中学初三数学二次函数解析式的求法
初三数学二次函数分析式的求法求二次函数表达式的基本方法是待定系数法，二次函数的表达式有三种形式，每种形式都有三个待定系数，于是只要有三个条件即可获取相应的方程，构成方程组，进而经过解方程（组）获取问题的答案.当已知条件是图象上三个点坐标时选择一般式方程：y=ax2+bx+c（a≠0）；当已知抛物线与x轴的两交点坐标时选择交点式方程：y=ax-x1）（x-x2）（a≠0）；当已知二次函数图象极点坐标或对称轴方程与最大值或最小值时选择极点式方程： y=a（x-h）2+k（a≠0）.依据代数条件求二次函数分析式【例1】已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且极点纵坐标为，求这个二次函数的分析式.【剖析】设一般式，将已知条件直接代入将获取一个三元一次方程组，计算较繁，进一步剖析，（1，0），（-5，0）是抛物线与x轴两交点，由此可知抛物线对称轴为直线x=-2，因此极点坐标为（－2，）.解：∵点（1，0），（-5，0）是抛物线与x的两交点,∴抛物线对称轴为直线x=-2，∴抛物线的极点坐标为（－2，），第1 页设抛物线的分析式为y＝ax2＋bx＋c，则有∴所求二次函数分析式为依据几何图形的性质求二次函数的分析式【例2】已知张口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A （x1，0），B（x2，0）（x1【剖析】我们可把已知点C（0，5）代入函数分析式，再由a+b+c=0和S△ABC=15这两个条件进行求解. 解法1：∵C（0，5），∴c=5，OC=5，a+b+c=0，a+b+5=0，∴b=-5-a.分析式为y=ax2+（-5-a）x+5，∵S△ABC=×AB·5=15.AB=6，即|x1-x2|=6.又x1两边平方得（x2-x1）2=36，∴（x1+x2）2-4x1x2=36，=36，7a2+2a-5=0.解得∵抛物线张口向下，∴舍，a2=-1，∴y=-x2-4x+5.解法2：由解法1可得AB=6，a+b+c=0，∴（1，0）在抛物线上.又抛物线张口向下且过（0，5），第2 页B（1，0），∴OB=1，则OA=AB-OB=5，A在x轴负半轴上，∴A（-5，0）.设y=a（x-1）（x+5），把（0，5）代入得-5a=5，∴a=-1.y=-x2-4x+5.【小结】比较以上两种解法，解法2简捷，假如题目中不给张口方向，那么就有两种答案，用解法1直接求得两个解，而解法2便可能丢解。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
初三数学成绩提高速成法(二)：求二次函数解析式的几种常见方法.doc
初三数学成绩提高速成法（二）：求二次函数解析式的几种常见方法
求二次函数解析式的题型分两大类，
第一类：题目已经有二次函数的解析式，但某项系数待定，那么解决方法就是找出抛物线经过的点的坐标，把横纵坐标分别代入解析式，列出方程组，求出未知的系数，再写出解析式即可。
例题展示如下：
第二类：题目并没有给出二次函数的解析式，那么解决办法就是学生根据情况假设二次函数解析式，再找点的坐标代入解析式，求出相应的系数，最终可以得到二次函数解析式。
接下来，我重点给大家介绍几种常见的假设二次函数解析式的方法。
常见方法一：设二次函数的一般式求解析式。
使用条件：已知二次函数图像上的三个点的坐标。
步骤和例题展示如下：常见方法二：设二次函数的顶点式求解析式。
使用条件：已知抛物线的顶点坐标、另一个点的坐标。
步骤和例题展示如下：常见方法三：设二次函数的交点式求解析式。
使用条件：已知抛物线与x轴的两个交点坐标、另一个点的坐标。
步骤和例题展示如下：
注意：由于这种方法需要的也是三个点的坐标，因此也可以用第一种方法来解决。
常见方法四：巧用顶点式求解析式使用条件：已知抛物线的对称轴或最值、另外两个点的坐标。
步骤和例题展示如下：。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
浙教版数学九年级上册求二次函数解析式的六种思路
求二次函数解析式的六种思路二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。
它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。
求二次函数的解析式，应恰当地选用二次函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。
解题时，应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。
下面举例说明。
思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y 较方便。
例1、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
解：设此二次函数的解析式为c bx ax y ++=2，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-53939c b a c b a c b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=531c b a∴所求的二次函数的解析式为532-+-=x x y思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式n m x a y +-=2)(较方便。
例2、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。
解：设抛物线n m x a y +-=2)(，由题意得：2,1-=-=n m2)1(2-+=∴x a y∵抛物线过点（1，10）102)11(2=-+∴a3=∴a即解析式为1632++=x x y思路3、已知图象与x 轴两交点坐标，可用))((21x x x x a y --=的形式，其中1x 、2x 为抛物线与x 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根。
例3、已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。
解：设所求解析式为)2)(5(-+=x x a y∵图象经过（3，－4）∴4)23)(53(-=-+a ∴21-=a 即：)2)(5(21-+-=x x y 则所求解析式为523212+--=x x y 。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数解析式的几种求法
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法：
待定系数法、配方法、数形结合等.
2、求二次函数解析式的 常用思想：
转化思想
解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种解析式求解,最后结 果都化为一般式.
例1．已知二次函数的图象经过点A0,-1、 B1,0、C-1,2；求它的关系式．
例2．已知抛物线的顶点为1,-3,且与y轴交 于点0,1,求这个二次函数的解析式
解:因为抛物线的顶点为1,-3,所以设二此函数的关系
式为y＝ax－12－3,又由于抛物线与y轴交于点0,1,可
以得到
1＝a0－12－3
解得
a＝4
所以,所求二次函数的关系式是y＝4x－12－3．
即
y＝4x2－8x＋1
例3．已知抛物线的顶点为3,-2,且与x轴两 交点间的距离为4,求它的解析式．
分析:
方法1:因为已知抛物线上三个点,所以可设函数关系 式为一般式y＝ax2＋bx＋c,把三个点的坐标代入后 求出a、b、c,就可得抛物线的解析式. 方法2:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标,可设函数 关系式为 y＝ax＋3x－5,再根据抛物线与y轴的交点 可求出a的值；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂练习:
1．根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式． 1已知二次函数的图象经过点0,2、1,1、 3,5； 2已知抛物线的顶点为-1,2,且过点2,1； 3已知抛物线与x轴交于点-1,0、2,0,且经过点 1,2．
分析:根据二次函数的图象经过三个已知点, 可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c的形式
例1．已知二次函数的图象经过点A0,-1、 B1,0、C-1,2；求它的关系式．
二次函数解析式求解
二次函数解析式求解二次函数是一个重要的数学概念，在数学中被广泛应用。
本文将介绍二次函数的解析式求解方法。
首先，我们需要了解二次函数的基本形式。
一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
其中，ax^2为二次项，bx为一次项，c为常数项。
二、求解二次函数的解析式要求解二次函数的解析式，我们需要进行以下步骤：1. 判断二次函数的判别式二次函数的判别式Δ（大写希腊字母“delta”）可以通过下式计算得出：Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式Δ的值可以判断二次函数方程的解的情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ < 0时，方程无实根。
2. 求解二次函数的实根根据判别式Δ的值，我们可以使用以下公式来求解二次函数的实根：- 当Δ > 0时，方程的两个实根为：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)；- 当Δ = 0时，方程的两个相等的实根为：x = -b / (2a)；- 当Δ < 0时，方程无实根。
至此，我们完成了二次函数解析式的求解。
三、示例下面给出一个具体的示例来帮助理解二次函数解析式的求解过程。
例题：求解二次函数f(x) = 2x^2 + 3x - 2的解析式。
解答：1. 计算判别式Δ：Δ = b^2 - 4ac在本例中，a = 2，b = 3，c = -2Δ = (3)^2 - 4 * 2 * (-2)= 9 + 16= 252. 判断Δ的值由于Δ = 25 > 0，所以方程有两个不相等的实根。
3. 求解实根根据公式：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)x1 = (-3 + √25) / (2 * 2)= (-3 + 5) / 4= 2 / 4= 0.5x2 = (-3 - √25) / (2 * 2)= (-3 - 5) / 4= -8 / 4= -2因此，二次函数f(x) = 2x^2 + 3x - 2的解析式为：x = 0.5或x = -2。
二次函数解析式三种方法
二次函数解析式三种方法嘿，大家知道吗，求二次函数解析式有三种超棒的方法呢！先来说说一般式吧。
一般式是y=ax²+bx+c，当我们知道函数图像上的三个点时，就可以用这个方法啦。
步骤就是把这三个点的坐标代入一般式中，得到一个三元一次方程组，然后解这个方程组就能求出 a、b、c 的值啦。
哎呀呀，这多简单呀，不过可得仔细点，别把坐标代错了哟！这种方法的稳定性那可是杠杠的，只要我们认真计算，就很少会出错呢。
它适用于各种情况，尤其是那些能轻松找到三个点的题目，优势明显呀。
就好比说，我们要建一座房子，这一般式就是那坚固的地基，能让我们的函数稳稳地立起来。
再讲讲顶点式。
顶点式是 y=a(x-h)²+k，要是我们知道了顶点坐标和另外一个点，那就用这个方法最合适啦。
先把顶点坐标代进去确定 h 和 k，然后再把另一个点代进去求出 a 的值。
哇塞，是不是感觉很神奇呀！这个过程就像搭积木一样，一块一块稳稳地堆起来。
它的安全性很高哦，只要我们抓住了顶点这个关键，就不容易出错啦。
它常常在那些强调顶点重要性的题目中大展身手，就像一个武林高手，在关键时刻使出绝招。
还有交点式呢。
交点式是 y=a(x-x₁)(x-x₂)，当我们知道函数与 x 轴的交点坐标时，就选它啦。
把交点坐标代进去求出 a 的值就行啦。
这就像是找到了宝藏的钥匙，一下子就打开了函数的大门。
它的过程也很稳定呀，只要我们确定了交点，就像有了方向标。
在处理与 x 轴交点相关的问题时，那简直就是如鱼得水。
来看看实际案例吧。
比如有个二次函数图像经过点(1,2)、(3,4)、(5,6)，那我们就可以用一般式来求解呀，把这三个点代进去，认真计算，就能求出解析式啦。
再比如知道顶点坐标是(2,3)和另一个点(4,5)，那用顶点式就能快速搞定。
所以呀，这三种方法各有各的好，我们要根据具体情况灵活选择，那就能轻松求出二次函数解析式啦！它们就像我们的得力助手，帮助我们在数学的海洋中畅游无阻！。
(完整版)浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题,推荐文档
y a(x m)2 b(x m) c （或 y a(x m)2 b(x m) c ）
【例 1】、将抛物线 y x2 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是(
)
A． y (x 2)2 B． y x2 2 C． y (x 2)2 D． y x2 2
【例 2】、将抛物线 y=x2－2x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是_______.
随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即
当 x≥ b 时，y 随 x 的增大而减小，简 2a
记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当 x= b 时，y 有最 2a
小值，
y最小值
4ac b2 4a
大值，
y最大值
4ac b2 4a
2、二次函数 y ax 2 bx c(a,b, c是常数，a 0) 中， a、b、c 的含义：
a
a
对称轴在 y 轴右侧.口诀---左同，右异 （a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧）
（3） c 的大小决定抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴交点的位置.
当 x 0 时， y c ，∴抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）：
① c 0 ，抛物线经过原点; ② c 0 ,与 y 轴交于正半轴； ③ c 0 ,与 y 轴交于负半轴.
【例 2】、如图，抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴的一个交点 A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），
顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc （2）a 的取值范围是
0 （＞或＜或=）
【例 3】、下列二次函数中，图象以直线 x = 2 为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )
浙教版数学九年级上册二次函数一题多解方法.docx
二次函数一题多解方法确定二次函数解析式是中考的热点之一.亲爱的同学，为帮你掌握确定二次函数解析式的方法，现以一道中考题为例介绍确定二次函数解析式的方法，供你参考. 例 已知抛物线经过点A (5，0)、B (6，-6)和原点.求此抛物线的函数解析式.为了求出这个二次函数的解析式，我们先来回顾二次函数解析式的常见形式：1.一般式：c bx ax y ++=2(a ，b ，c 为常数，且0≠a )，其特点是：等式右边是二次三项式的一般形式.2.顶点式：k h x a y +-=2)((a ，h ，k 为常数，且0≠a )，其特点是：(h ，k )是图象的顶点坐标.3.交点式：))((21x x x x a y --=(a ，1x ，2x 为常数，且0≠a )，其特点是：等式右边的常数1x ，2x 是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，即两个交点坐标是(1x ，0)和(2x ，0)（教材没有特别要求，同学们可参考）.分析一：因为抛物线经过三点A (5，0)、B (6，-6)、O (0，0)，故可选用一般式来求其函数解析式.解法一：设函数解析式是c bx ax y ++=2，则由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=.6636,0525,0c b a c b a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=.0,5,1c b a故此抛物线的函数解析式是x x y 52+-=.点评：若已知图象上的三点坐标或三对x ，y 的对应值，则通常可选用一般式来求其函数解析式.这种方法是求二次函数解析式最基本、最常用的方法，务必熟练掌握.分析二：由抛物线过原点可知c =0，故可直接设其函数解析式为bx ax y +=2，然后代入A 、B 两点坐标进行求解.解法二：设其表达式为bx ax y +=2，由题意，得⎩⎨⎧-=+=+.6636,0525b a b a 解得⎩⎨⎧=-=.5,1b a故此抛物线的函数解析式是x x y 52+-=.点评：在求函数解析式时，若能根据点的坐标的特殊性而设出较为简便的函数解析式，则可简化解题过程，提高解题速度.分析三：因为抛物线经过点A (5，0)和O (0，0)，故由此可知其对称轴是直线205+=x = 25，即抛物线顶点的横坐标是25，故可选用顶点式来求解.设其函数解析式为k x a y +-=2)25(；将点B (6，-6)和O (0，0)代入，从而求得a 、k 得值，进而求得解析式为x x y 52+-=.点评：当图象的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式k h x a y +-=2)(来求其函数解析式，此时只需根据另外的条件求出a ，k ，然后回代，并把它化为一般式即可.分析四：因为抛物线经过点A (5，0)和O (0，0)，即图象与x 轴的两个交点坐标是(5，0)和(0，0)，故可选用交点式来求解.可设其函数解析式为)5)(0(--=x x a y ，即)5(-=x ax y ，又因为它过点B (6，-6)，故有-6=6a (6-5)，解得a =-1，故)5(--=x x y ，即函数解析式是x x y 52+-=.点评：当已知抛物线与x 轴的两个交点或交点的横坐标时，可选用交点式来求其函数解析式，此时只需代入第三个条件即可求出a 的值，再回代，最后化为一般式即可.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
求二次函数解析式的几种方法
求二次函数解析式的几种方法二次函数是数学中重要的函数之一，其一般形式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a，b，c为常数，a≠0。
求二次函数解析式的方法有很多，下面将详细介绍其中几种常用的方法。
1.直接法：直接利用已知的函数图像上的点进行求解。
设过点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)的二次函数解析式为f(x)，将点坐标代入方程，即得到3个方程组成的线性方程组，解得a，b，c的值，进而得到二次函数解析式。
2.配方法：如果二次函数的系数a不为1，可利用配方法将其化为标准形式f(x)=a(x-h)^2+k。
配方法的步骤如下：1) 将二次函数右侧展开，得到f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k；2) 合并同类项，得到f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k；3) 将二次项与一次项拆开，得到f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k；4) 将二次项与一次项的平方项合并，得到f(x) = a(x - h)^2 +(ah^2 + k)；5) 由于平方项的系数为a，根据二次函数的性质，可以确定顶点坐标为(h, ah^2 + k)；6)最后，根据顶点坐标和a的值，可以求得二次函数解析式。
3.试探法：当二次函数的系数a为1时，可以利用试探法求解。
试探法的步骤如下：1)根据二次函数的特性，确定顶点坐标为(h,k)，其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为抛物线的顶点纵坐标；2)将顶点坐标代入二次函数的解析式，得到f(x)=(x-h)^2+k；3)根据顶点坐标求得的解析式，绘制函数图像，判断是否与已知的函数图像相同。
4.求导法：对于给定二次函数的函数表达式，可以通过求导的方法来求解。
求导法的步骤如下：1) 对二次函数f(x)求导，得到f'(x) = 2ax + b；2)由于二次函数的导数为一次函数，即直线，因此可以根据已知的函数的导数与原函数的关系来确定函数的解析式；3)通过观察导数的图像，可以得到解析式的系数a和b的值。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种方法二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的函数，其中$a \neq 0$。
它是数学中的基本函数之一，广泛应用于物理学、经济学、工程学等学科中。
解析式是指能够明确表达函数关系的数学表达式。
下面将介绍三种常用的方法来确定二次函数的解析式。
第一种方法是使用差值法。
差值法是通过给定的点来确定二次函数的解析式。
假设已知二次函数过三个不同的点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，那么可以将这三个点带入二次函数的解析式中，得到如下的方程组：$$\begin{cases}ax_1^2+bx_1+c=y_1 \\ax_2^2+bx_2+c=y_2 \\ax_3^2+bx_3+c=y_3 \\\end{cases}$$解这个方程组可以得到$a$，$b$，$c$的值，从而确定二次函数的解析式。
第二种方法是使用顶点法。
顶点法是通过二次函数的顶点坐标来确定解析式。
二次函数的顶点坐标可以通过公式$x=-\frac{b}{2a}$来求得。
将这个顶点坐标代入二次函数的解析式中，可以得到一个等于顶点对应的函数值的方程。
结合另外一个给定点的坐标，可以得到一个方程组。
解这个方程组可以得到$a$，$b$，$c$的值，从而确定二次函数的解析式。
第三种方法是使用因式分解法。
因式分解法是将二次函数的解析式进行因式分解，从而得到函数的解析式。
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以将其写成$y=a(x-p)(x-q)$的形式，其中$p$和$q$是实数。
展开右边的乘积，可以得到如下的方程：$$ax^2+bx+c=a(x^2-(p+q)x+pq)$$通过比较系数，可以得到以下等式：$$\begin{cases}p+q=-\frac{b}{a} \\pq=\frac{c}{a}\end{cases}$$解这个方程组可以得到$p$和$q$的值，从而确定二次函数的解析式。
以上就是三种常用的方法来确定二次函数解析式的介绍。
二次函数 浙教版
一、 二次函数的解析式1．一般式：已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式． 2．顶点式：已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式． 3．两点式：已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． 4．对称式：已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意：（1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； （2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化． 二、二次函数的几何变换1．二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x 轴对称关于x 轴对称后，得到的解析式是． 2()y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =---． （2）关于轴对称关于y 轴对称后，得到的解析式是． 2()y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =++． （3）关于原点对称2(0)y ax bx c a =++≠11()x y ，22()x y ，33()x y ，2()(0)y a x h k a =-+≠12()()(0)y a x x x x a =--≠x 12()()(0)y a x x x x k a =--+≠1(,)x k 2(,)x k x 240b ac -≥2y ax bx c =++2y ax bx c =---y 2y ax bx c =++2y ax bx c =-+关于原点对称后，得到的解析式是． 2()y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是2()y a x h k =-+-． （4）关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是2()y a x h k =--+ （5）关于点(,)m n 对称2()y a x h k =-+关于点(,)m n 对称后，得到的解析式是2(2)2y a x h m n k =-+-+- 3．二次函数图象的翻折函数的图象可以由函数通过关于x 轴的翻折变换得到．具体规则为函数图象在x 轴上方的部分不变，在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方 4、. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.三、 二次函数的面积最值1．铅垂法：12S =⨯⨯水平宽铅垂高．分三步走：（1）过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点； （2）设出点坐标，表示线段长；（3）利用二次函数配方求最值． 2．切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使0△=．例2、（1）若二次函数222y ax bx a =++-（a ，b 为常数）图象如图2-1，则a 值_____2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-|()|y f x =()y f x =()y f x =x 20ax bx c ++=2y ax bx c =++0y =x 240b ac ∆=->x ()()1200A x B x ，，，12()x x ≠12x x ，()200ax bx c a ++=≠21AB x x =-（2）如图2-2，抛物线①②③④对应的解析式为21y a x =，22y a x =，23y a x =，24y a x =，将1a 、2a 、3a 、4a 从小到大排列为______．图2-1图2-2巩固2、（1）已知抛物线经过点(2,7)A -，(6,7)B ，(3,8)C -，()8D m -，，则m =________． （2）已知抛物线221y x x =++经过点(,)A m n ，(6,)B m n +，则n =__________． （3）已知点1(,5)A x ，2(,5)B x 是函数23y x mx =-+上两点，则当12x x x =+和x =________时的函数值相等．巩固5、（2）已知函数2||12y x x =--的图象与x 轴交于相异两点A 、B ，另一抛物线过A 、B ，顶点为P ，且是等腰直角三角形，求a 、b 、c ．例8、（1）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图2-1所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③20a b +>；④930a b c ++<；⑤80a c +>．正确的是________（2）如图2-2，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于1(,0)A x 、(2,0)B ，交y 轴正半轴于C ，且OA OC =．下列结论：①0a b c ->；②1ac b =-；③12a =-；④22bc +=，其中结论正确的是________．图2-1 图2-22y ax bx c =++APB △例9、（1）已知二次函数y ax bx c 2=+++2的图象如图4-1所示，顶点为(,)-10，下列结论：①abc <0；②b ac 2-4=0；③a >2；④a b c 4-2+>0．其中正确结论的个数是________ （2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图4-2所示，给出下列结论：①20a b +>；②若11m n -<<<，则bm n a+<-；③3||||2||a c b +<；④b a c >>，其中正确的结论有_________图4-1 图4-2例题1 例10、（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数by ax c=-的图象不经过第________象限．（2）如图1-2，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-和(1,0)，给出五个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >；⑤9640a b c ++>．其中结论正确的是________． （3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，小丹观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，其中结论正确的是________．图1-1 图1-2 图1-3巩固1： 巩固6、（1）如图2-1，二次函数的图象经过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________．（填序号）（2）如图2-2，已知二次函数的图象经过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________．（填序号）Oyx2y ax bx c =++(1,2)-420a b c -+<20a b -<2b <-22()a c b +<2y ax bx c =++(1,2)20a b +<0abc <1a c +<-284b a ac +<（3）（成外半期）二次函数的图象如图2-3所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数），其中正确的结论的有________.（填序号）图2-1 图2-2 图2-3巩固2： 巩固7、（1）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图3-1所示，它与x 轴两个交点分别为(1,0)-，30（，）．对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③102a b c --+<；④80a c +>．其中正确的有________．（填序号）（2）如图3-2，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是1x =-，且过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240a b c -+=；③251040a b c -+=；④320b c +>．其中正确的结论有________．（填序号）（3）如图3-3，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(10A -，），对称轴为直线1x =，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间（包括这两点），下列结论：①当3x >时，0y <；②30a b +<；③213a -≤≤-；④248acb a ->；其中正确的结论是_________．（填序号）图3-1 图3-2 图3-32(0)y ax bx c a =++≠0abc <b a c <+420a b c ++>240b ac ->()a b m am b +>+1m≠yAO xx =1例11、（3）如果将抛物线228y x =-+向右平移a 个单位后，恰好过点(3,6)，那么a 值为_______．例12、已知二次函数221y x x =--，求：（1）与此二次函数关于x 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （2）与此二次函数关于y 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_____________________． 例13、已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C ． （1）求1C 关于点(1,0)R 中心对称的图象2C 的解析式；（2）设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为A ，B ，当||18AB =时，求a 的值．巩固8、（1）如图6-1所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-，则抛物线0C 的顶点坐标____________；将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线1C 、2C 、3C 、…、n C （n 为正整数），则抛物线n C 的解析式为___________． （2）如图6-2，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(6,0)A -和原点(0,0)O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为________．图6-1 图6-2巩固9、已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数． （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；xyO…C nC 1C 0（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1()2y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．例14、分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值： （1）x 取任意实数；（2）当20x -≤≤时；（3）当13x ≤≤时；（4）当12x -≤≤时．巩固11、试求(1)(2)(3)(4)5y x x x x =+++++在33x -≤≤的最值．例15、已知函数222y x x =-+在1t x t +≤≤范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式．例16、已知函数22962y x ax a a =---+在区间1133x -≤≤有最大值3-，求实数a 的值．巩固13、设23y x ax a =++-，当22x -≤≤时，y 的最小值不小于0，求实数a 范围．巩固16、某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数图象如图．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W （万元），试求出利润W （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？123yO 2x（3）该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程．若除去捐款后，所获利润不低于450万元，请你确定此时销售单价的范围．例19、（1）抛物线225y x x a =++与一次函数21y ax a =+-有交点，则a 的范围_______．（2）已知函数232y mx x =-+（m 是常数），若一次函数1y x =+的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，则交点坐标为________________．例20、（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则关于x 的方程230ax bx c +++=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根B ．无实数根C ．有两个同号不相等实数根D ．有两个异号实数根（2）若方程243x x m -+=｜｜有两个相异的实数解，则m 范围是________．巩固17、（1）二次函数21y x kx k =++-的图像与x 轴的交点个数________．（2）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题： ①直线0y =是抛物线214y x =的切线； ②直线2x =-与抛物线214y x =相切于点(2,1)-； ③直线y x b =+与抛物线214y x =相切，则相切于点(2,1)； ④直线2y kx =-与抛物线214y x =相切，则2k =±. 其中正确的命题是_____________．（3）若方程2|5|x x a -=有四个不相等实根，则a 的取值范围是________例21、已知二次函数2y x x c =-+．（1）若点(1,)A n -、(2,21)B n -在二次函数2y x x c =-+的图象上，求此二次函数的最小值； （2）若1(2,)D y 、2(,2)E x 关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE 与抛物线238y x x c =-++的交点个数，并说明理由．巩固18、已知二次函数2123y x x =--及一次函数2y x m =+． （1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（2）将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线2y x m =+有三个不同公共点时m 的值．2m +与x 轴两交点间距离的最大值为________． （2）设二次函数2y ax bx c =++经过点2(0,)A 、(1,1)B -，且其图象在x 轴上所截得的线段长为巩固20、已知：y 关于x 的函数2(1)22y k x kx k =--++的图象与x 轴有交点． （1）求k 的取值范围；（2）若1x 、2x 是函数图象与x 轴两个交点的横坐标12()x x ≠，且满21212(1)224k x kx k x x -+++=．①求k 的值；②当2k x k ≤≤+时，求y 的最大值与最小值．巩固21、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(2,2)，且当0x =时，y 取得最小值1．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点(1,3)C ，试探索是否存在满足下列条件的直线l ；①直线l 过点(1,3)C ；②直线l 交抛物线于E 、F 两点且C 点恰好是线段EF 的中点.若存在，请求出直线l 的函数解析式：若不存在，请说明理由．巩固22、已知：抛物线与x 轴交于(2,0)A -、(4,0)B ，与y 轴交于(0,4)C ． （1）求抛物线顶点D 的坐标；（2）设直线CD 交x 轴于点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？例22、已知二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为(1,0)-，与y 轴的交点坐标为(0,3)-．（1）求二次函数的解析式；并求图象与x 轴的另一个交点的坐标； （2）根据图象回答：当x 取何值时，30y -<<．例23、（1）已知关于x 的方程2(5)20x m x m +-+-=有实根，且方程的两根都大于0，则实数m 的取值范围是________．（2）已知方程2(2)90ax a x a +++=的两个实根1x 和2x ，且121x x <<，求实数a 取值范围．巩固23、（1）方程211(30)0x x a -++=有两实根，两根都大于5，则实数a 范围______ （3）方程227(13)20x p x p p -++--=的两根α、β满足012αβ<<<<，求实数p 范围巩固24、（1）已知关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6，则实数a 的取值范围是______________．（2）若关于x 的方程2420x mx n -+=的解都位于01x <<的范围中，求正整数m ，n 的值．例24、已知抛物线21y ax bx =++经过点(1,3)A 和点(2,1)B ． （1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值．例25、如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？例26、已知抛物线21y ax bx =++经过点(1,3)A 和点B （1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）例27、如图，已知抛物线24y ax x c =-+经过点(0,6)A -和(3,9)B -. （1）求出抛物线的解析式；（2）点(,)P m m 与点Q 均在抛物线上（其中0m >），且这两点关于抛物线对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标；（3）在满足（2）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M ，使得QMA △的周长最小．巩固25、如图，已知二次函数21(0)2y x bx c c =-++<的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且2OC OA OB =⋅． （1）求c 的值；（2）若ABC △的面积为3，求该二次函数的解析式；（3）设D 是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点P 使PBD △的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．巩固3： 如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB △的顶点坐标分别为(2,0)A -，(0,0)O ，(0,4)B ，把AOB △绕点O 按顺时针方向旋转90︒，得到COD △． （1）求C 、D 两点的坐标；（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E 、F （点E 在点F 的上方)，且1EF =，使四边形ACEF 的周长最小，求出E 、F 两点的坐标．巩固27、如图，抛物线的顶点A 的坐标(0,2)，对称轴为y 轴，且经过点(4,4)-． （1）求抛物线的表达式．（2）若点B 的坐标为(0,4)，P 为抛物线上一点（如图），过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连接PB ．求证：PQ PB =．（3）若点(2,4)C -，利用（2）的结论.判断抛物线上是否存在一点K ，使KBC △的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K 的坐标；若不存在，请说明理由．巩固28、如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，2OA AB ==，3OC =，过点B 作BD BC ⊥，交OA 于点D ．将DBC ∠绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且1PQ =，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．B CPAOQxyDK E yxQOAPCB yxODCBAFE A 2A 1yxODCBA例28、如图，已知抛物线经过点(1,0)A -、(30)B ，、(0,3)C 三点． （1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN//y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使BNC △的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．例29、已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于C 点，已知抛物线的对称轴为1x =，点(3,0)B ，点03C -（，），D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式．（2）在x 轴下方且在抛物线上有一动点F ，求四边形OBFC 的面积最大值．巩固29、如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，6OB =，1tan 3ABO ∠=，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC △，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，是否存在一点P ，使PCD △得面积最大？若存在，求出PCD △的面积的最大值；若不存在，请说明理由．巩固30、如图，抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧．点B 的坐标为(1,0)，3OC BO =． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0).2、顶点式：y=a(x －h)2+k(a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h.3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标. 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式.2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式.3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式. 例1、已知二次函数的图象经过点(-1,-5)、(0,-4)和(1,1)．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0).解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c(a ≠0),则依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4 .例2、已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为(4,-1)，与y 轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式.分析：此题给出抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为(4,-1)，最好抛开题目给出的y=ax 2+bx+c ，重新设顶点式y=a(x －h)2+k(a ≠0)，其中点(h,k)为顶点.解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1(a ≠0),则∵抛物线与y 轴交于点(0,3) ∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3 . 例3、已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于两点A(－8，0），（2，0），与y 轴交于点C(0,4),求这条抛物线的解析式.分析：A 、B 两点是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标.解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x －2),则∵抛物线与y 轴交于点C(0,4)∴a(0+8)(0－2)=4 ∴a=41-∴这个二次函数的解析式为y=41-(x+8)(x －2)，即y=41-x 2－23x+4 .练习:1. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求该函数解析式．2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3 .求这个抛物线的解析式．3. 在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这名男同学出手处A点的坐标为(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5).⑴求这个二次函数的解析式；)⑵该同学把铅球推出多远？(精确到0.01 3.8734. 如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．5. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式.6. 已知抛物线y=x2－2x+m与x轴有两个不同的交点A、B，其坐标为A(x1,0),B(x2,0)，其中x1<x2,且x12+x22=4 .⑴求这条抛物线的解析式；⑵设所求抛物线顶点为C，P是此抛物线上的一点，且∠PAC=90°，求P点的坐标.7. 如图所示，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直线y＝x ＋m 与x 轴交于点E ．(1) 求点E 的坐标；(2) 求过A 、O 、E 三点的抛物线的解析式．8.如图所示，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．(1) 求点B 的坐标；(2) 求过点A ，O ，B 的抛物线的表达式．9. 如图所示，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点，顶点为D ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式．10. 如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 已知点D (m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标．。
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求二次函数解析式的三种方法
一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0)y ax bx c a =++≠.
方法：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值，即可得到二次函数的解析式.
例1、（2010 天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y
的部分对应值如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
分析：表格给出了自变量x 和函数值y 的六组对应数值，也就知道了二次函数的图像经过的六个点的坐标，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式.
解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由图像可知，抛物线经过点（-1，
-2）
、（0，-2）、C （1，0）三点，所以220a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得1
12a b c =⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，所以该二次函数的解析式为22y x x =+-.
二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)y a x h k a =-+≠ 方法：先将顶点坐标（h ，k ）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式.
例2、如图（1）所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A ．22y x =-
B ．22y x =
C ．212y x =-
D ．2
1
2y x =
分析：由图可知二次函数的顶点坐标为（0、0），所以二次函数的解析式可以设为
2y ax =进行求解.
解：设二次函数为2y ax =，把点（2，-2）代入解析式，得222a -=⨯，解得
12a =-，所以二次函数的解析式为21
2
y x =-，故选C.
三、已知与x 轴两交点坐标求解析式用交点式，即12()()(0)y a x x x x a =--≠ 方法：将抛物线与x 轴两个交点的横坐标1x 、2x 代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式.
例3、已知二次函数的图象经过原点及点（1
2
-，14
-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 . 分析：二次函数的图象经过原点，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，所以另一个交点的坐标为（-1，0）或（1，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式.
解：因为二次函数的图象经过原点，并且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，所以另一个交点的坐标为（-1，0）或（1，0），当另一个交点的坐标为（-1，0）时，设所求的二次函数的解析式为(1)y ax x =+.因为二次函数的图像经
过点（12-，1
4-），所以111()(1)422a -=⨯--+，解得1a =，所以二次函数的解析
式为2y x x =+，当另一个交点的坐标为（1，0）时，设所求的二次函数的解析式
为(1)y ax x =-.因为二次函数的图像经过点（12-
，1
4
-），所以111()(1)422a -=⨯---，解得13
a =-，所以二次函数的解析式为211
33y x =-+，综
上所述，该二次函数的解析式为2y x x =+或211
33
y x =-+.
图（1） 图（2）。