高中数学第二章概率本章整合课件北师大版选修23
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高中数学第二章概率2.2超几何分布课件北师大版选修2_3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2一个袋中装有3个白球和2个黑球,它们大小、形状、 质地都相同,采用无放回的方式从袋中任取3个球,取到黑球的数目 用ξ表示,求随机变量ξ的分布列. 解ξ可能取的值为0,1,2. 由题意知ξ服从超几何分布,
所以 P (ξ=0)= P (ξ=1)= P (ξ=2)=
§2.2 超几何分布
学 习 目 标 1. 通过实例, 理解超几何分布及其特点. 2. 通过对实例的分析, 掌握超几何分布的导出 过程. 3. 能用超几何分布解决简单的实际问题.
思 维 脉 络
超几何分布 一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N) 件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么
2 C0 4 C6
C2 10 C2 10 C2 3
= 3, = ,
1 , 15 2 , 15 2 5
1
P (X=10)= P (X=20)= P (X=50)=
1 C1 3 C6
C2 10 C2 10
=
1 C1 1 C6
=
探究一
探究二
探究三
思维辨析
P(X=60)=
X P 0
1 C1 1 C3
C2 10
P(X=k)=
C ������ ������ C
如果一个随机变量的分布列由上式确定,那么称X服从参数为 N,M,n的超几何分布.
������ -������ ������ -������ C ������ ������
(其中k为非负整数).
名师点拨1.超几何分布列给出了求解这类问题的方法,可以通过 公式直接运用求解,但不能机械地去记忆公式,要在理解的前提下 记忆. 2.在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式,求出X取不 同m值时的概率P(X=m),从而列出X的分布列. 3.当我们从某个有限集合中,按照不放回抽样的方法等可能地抽 取若干个元素时,某类特定的元素(如次品、黑球、正奇数等)被抽 到的个数便服从超几何分布,可利用这个结论来判断一个随机变量 是否服从超几何分布. 4.不服从超几何分布的不放回抽样的概率问题一般转化为古典 概型求解.并非所有的不放回抽样都可视作超几何分布.
高中数学第二章概率2.4二项分布课件北师大版选修2_3
(3)记“乙恰好射击 5 次后被中止射击”为事件 A3 , “乙第 i 次射击 未击中”为事件 Di (i=1,2,3,4,5), 则 P(Di )= . 由于各事件相互独立, 故 P(A3 )=P(D5 )· P(D4 )· P(������3 )· (1-P(D1 )P(D2 )) =4 × 4 × 4 × 1- 4 × 4 = 1 024 , 即乙恰好射击 5 次后, 被中止射击的概率为
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析(1)从对立事件的角度考虑比较容易解决;(2)甲射击4次击中 目标2次,乙射击4次击中目标3次,两者均为独立重复试验,而这两个 事件又为相互独立事件,故可用相互独立事件同时发生的概率公式 求解;(3)依题意后3次射击情形必为:击中、未击中、未击中的分布, 而前2次的射击不能为两次都未击中,而这些情形都是相互独立的, 故可用相互独立事件同时发生的概率公式求解.
分布.
【做一做】 某一批花生种子, 如果每 1 播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( A.
12 125
4 粒发芽的概率为5, 那么 96 125
) D.
2
B.
16 125
C.
48 125
2 4 解析:本题考查独立重复试验、 二项分布.P(X=2)=C3 5
× =
1 5
48 . 125
答案:C
k n-k P (X=k )=C������ p (1 -p ) (k=0,1,2,…, n).这里各个符号的意义要弄清. ������
4. 因为在 n 次独立重复试验中某个事件恰好发生 k 次的概率 k n-k P (X=k )=C������ ������ p q 恰好是二项展开式
0 p0 qn +C 1 p1 qn-1 +…+C ������ pkqn-k+…+C ������ pn q0 中的第 k+1 项( 这 (q+p)n =C������ ������ ������ ������ 里 k 可取 0,1,2, …, n 中的各个值), 所以称这样的随机变量 X 服从二项
高中数学第二章概率模块复习课课件北师大版选修2_3
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 条件概率和相互独立事件的概率 【例1】 一个盒子装有4个产品,其中有3个一等品、1个二等品, 从中取产品两次,每次任取一个,做不放回抽样,设事件A为“第一次 取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概 率P(B|A). 解将产品编号1,2,3号为一等品,4号为二等品,以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号、第j号产品,则试验的样本空间为: Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),…,(4,1),(4,2),(4,3)}, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}, AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},
第2章 概率
知识网络
要点梳理
①超几何分布;②二项分布;③均值;④方差;⑤正态分布;⑥3σ原则.
知识网络
要点梳理
1.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
������(������������) P(B|A)= ������(������) 2 = . 3
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题三
专题四
【例 2】 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件, 甲机 床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为4, 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概 率为12 , 甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9.
高中数学第二章概率本章知识体系课件北师大版选修23
专题五 正态分布的应用 [例 6] 某厂生产的产品，质量要求服从正态分布 N(100,4)， 现 从 产 品 中 抽 取 了 10 件 ， 测 得 质 量 分 别 为 102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，试问该生产线是否要停产检 修，为什么？ [思路探究] 由题意可知，产品质量满足正态分布：X～ N(100,22) ， 又 质 量 在 (100 － 2,100 ＋ 2) 即 (98,102) 上 的 概 率 为 68.3%，在(96,104)上的概率为 95.4%，在(94,106)上的概率为 99.7%，据此可以判断．
[解] 设事件 A 表示“该地的 1 位车主购买甲种保险”，事 件 B 表示“该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”， 事件 C 表示“该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种”，事件 D 表示“该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买”．
(1)由题意知 P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B， 则 P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝ C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 由题意知，X～B(100,0.2)． 所以均值 EX＝100×0.2＝20，方差 DX＝100×0.2×(1－0.2) ＝16.
[解] 由题意知，产品质量 X 服从正态分布 N(100,22)，产品 质量在(100－3×2,100＋3×2)即(94,106)上的概率为 99.7%，而 在这个区间外的概率仅是 0.3%，在抽测的 10 件产品中有两件(分 别是 92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生，说明该生 产线有问题，故应停产检修．
[解] (1)X 可能的取值为 0,1,2,3,4，且
P(X＝0)＝C184＝710， P(X＝1)＝CC41C84 34＝385， P(X＝2)＝CC42C84 24＝1385， P(X＝3)＝CC43C84 14＝385， P(X＝4)＝C184＝710.
高中数学第二章概率2.6正态分布课件北师大版选修23
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
反思感悟 1.在实际应用题中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变
量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称为3σ原则.
2.正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间以外取值的概率
只有0.003,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,这是统计
2.6 正态分布
第一页，共28页。
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.了解正态曲线和正态分布的概念.
2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意
义.
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某
一区间范围内的概率.
第二页，共28页。
-(-)2
22
1
e
,x∈(-∞,+∞)的图像称为正态分布密度
2π
曲线,简称正态曲线.正态分布完全由参数μ和σ确定,常记作N(μ,σ2).如果随机变
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.4%.
∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.7%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%-47.7%=2.3%.即有
50×2.3%≈1(人),即成绩在90分以上的同学仅有1人.
第十四页，共28页。
思维辨析
正态分布的概率
【例2】在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知
该班同学中成绩在80~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有
多少人.
分析本题主要考查正态分布及其应用,解题关键是要记住正态总体取值
探究(tànjiū)
三
思维辨析
反思感悟 1.在实际应用题中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变
量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称为3σ原则.
2.正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间以外取值的概率
只有0.003,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,这是统计
2.6 正态分布
第一页，共28页。
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.了解正态曲线和正态分布的概念.
2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意
义.
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某
一区间范围内的概率.
第二页，共28页。
-(-)2
22
1
e
,x∈(-∞,+∞)的图像称为正态分布密度
2π
曲线,简称正态曲线.正态分布完全由参数μ和σ确定,常记作N(μ,σ2).如果随机变
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.4%.
∴成绩在(80,90]内的同学占全班同学的47.7%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%-47.7%=2.3%.即有
50×2.3%≈1(人),即成绩在90分以上的同学仅有1人.
第十四页，共28页。
思维辨析
正态分布的概率
【例2】在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知
该班同学中成绩在80~85分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有
多少人.
分析本题主要考查正态分布及其应用,解题关键是要记住正态总体取值
高中数学第二章概率2.2超几何分布课件北师大版选修2_3
=
C22C113 C135
=
315.
所以 ξ 的分布列如下表:
ξ
0
1
2
P
22
12
1
35
35
35
故至少取得一件次品的概率为
P(ξ=1)+P(ξ=2)=
12 35
+
1 35
=
1335.
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
反思解决此类问题的关键是先判断出所给问题是否属于超几何分 布问题,建立超几何分布列的关键是求得P(ξ=k)的组合关系式,利用 超几何分布的概率公式进行验证,然后利用公式求出取其他值的概 率,从而建立ξ的分布列.
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型二 超几何分布的综合应用
【例2】 生产方提供一批产品共50箱,其中有2箱不合格产品,采 购方接收该批产品的原则是:从该批产品中任取5箱产品进行检验, 若至多有1箱不合格产品,便接收该批产品,问该批产品被接收的概 率是多少?
分析:用X表示“5箱中的不合格产品的箱数”,则X服从参数 N=50,M=2,n=5的超几何分布,再利用超几何分布的概率公式求解.
正解:P(A)=
C31C73 C140
=
12.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
123456
1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是 ( ) A.将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数为X B.从7名男生,3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,选 出女生的人数为X C.某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1球且不放回,X是首次 摸出黑球时的总次数 答案:B
高中数学第二章概率2.3条件概率与独立事件课件北师大版选修2_3
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解设第 1 次抽到理科题为事件 A, 第 2 次抽到理科题为事件 B, 则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事件 AB. (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道的事件数为 n(Ω)=A2 5 =20.
1 根据分步乘法计数原理, n(A)=A1 3 × A4 =12.
4 5 5 8
一
二
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)条件概率一定不等于它的非条件概率. ( ) (2)相互独立事件就是互斥事件. ( ) (3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. ( ) (4)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表 示事件A,B同时发生的概率. ( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)√
一
二
【做一做 1】 已知 P(AB)= , P(A)= , 则 P(B|A)等于( A. 50
9
3 10
3 5
)
B. 2
1
C. 10
9
D. 4
������(������������) ������(������)
1
解析:本题直接考查条件概率公式,P(B|A)=
答案:B
=
3 10 3 5
= .
1 2
一
二
名师点拨互斥与独立的区别与联系 (1)事件间的“互斥”与“独立”是两个不同的概念. 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两事件相互独立是指 一个事件的发生与否对另一事件的发生与否没有影响.学习时要注 意区别开来. “独立性”是指两个试验中,一个事件的发生不影响另一个事件的 发生;“互斥性”是指两个事件之间有很强的排斥关系:在一次随机 试验中,一个事件发生,另一个就不发生.此外,两事件互斥则它们一 定不独立,两事件独立则它们一定不互斥. (2)一般地,可以证明,事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生 的概率可按下面的加法公式计算:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 特别地,当事件A与B互斥时,P(AB)=0,于是上式变为 P(A+B)=P(A)+P(B).
高中数学 第2章 概率章末高效整合课件 北师大版选修23
2．离散型随机变量 X 的分布列
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
其中 pi＞0，p1＋p2＋…＝1.
3．求分布列的关键是求随机变量取每个值的相应概率． 4．离散型随机变量的分布列的考查常与期望、方差融合 在一起．
二、条件概率与独立事件
1．A 发生时 B 发生的条件概率为
P(B|A)＝
PAB PA
①甲打完 3 局取胜，相当于进行 3 次独立重复试验，且每 局比赛甲均取胜，
∴甲打完 3 局取胜的概率为 P(A)＝C33123＝18.
②甲打完 4 局才能取胜，相当于进行 4 次独立重复试验， 且甲第 4 局比赛取胜，前 3 局为 2 胜 1 负，
∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P(B)＝C23×122×12×12＝136. ③甲打完 5 局才能取胜，相当于进行 5 次独立重复试验， 且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负， ∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C)＝C24×122×122×12＝136.
2442＝
4 7.
(2)因为 n(AB)＝A24＝12，
所以 P(AB)＝
nAB＝ nΩ
1422＝
2 7.
(3)方法一：由(1)(2)可得，在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，
第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P(B|A)＝ PPAAB＝
2
74＝
1 2.
7
方法二：因为 n(AB)＝12，n(A)＝24，
(1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值．
(2)求 X 取每个值时的概率．
(3)写出分布列．
(4)由定义求出 EX、DX.
北师大版高中数学选修2-3课件第二章 概率 课件
等于( )
(A) 91
216
(C) 5
18
(B) 1
2
(D) 60
91
【解析】选D.
P
B
1
53 63
；P
AB
3 A52 63
PA | B
P AB PB
3A52 63 53
60 . 91
3.一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数字0，两个 面上标以数字1，一个面上标以数字2.将这个小正方体抛掷2 次，则向上的数之积的数学期望是________.
【例3】某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种 或几种技能培训，另外3名员工没有参加过任何技能培训， 现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训. (1)求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率； (2)这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工 人数X是一个随机变量，求X的分布列和数学期望.
【审题指导】(1)恰有一名曾经参加过培训等价于从另外3名 员工中任取2名，从5名培训过的员工中任取1名. (2)明确X的取值，求出对应的概率进而求分布列、数学期望.
【规范解答】(1)恰好选到1名已参加过技能培训的员工的概
率 P C15C32 15 .
C83 56
(2)随机变量X可能取的值是：0，1，2，3.
离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列的解决策略.
离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何 分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛， 故在高考中，对该知识点的融合性考查相对较灵活，考查相 对频繁.
(1)对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相 关概率的求法，计算时可能会用到等可能性事件、互斥事件、 相互独立事件的概率公式等. (2)对于离散型随机变量分布列的考查常与期望、方差融合 在一起，对知识进行横向联系，纵向加深考查.
高中数学第二章概率24二项分布课件北师大版选修23
规律方法 要判断 n 次试验中 A 发生的次数 X 是否服从二项 分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点 为：
(1)每次试验是在相同的条件下进行的； (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是 相互独立的； (3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变； (4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．
2．n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率和某指 定的 k 次发生的区别
在 n 次试验的总结果中，有些试验结果是 A，有些试验结果 是－A ，所以总结果是几个 A 同几个－A 的一种搭配，要求总结果 中事件 A 恰好发生 k 次，就是 k 个 A 同(n－k)个－A 的一种搭配， 搭配种数为 Cnk.其次，每一种搭配发生的概率都是 pk(1－p)n－k， 所以有 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，而后者的概率为 P＝pk(1－p)n－k.
∴X 的分布列为
X0
1
2
3
4
P 0.001 6 0.025 6 0.153 6 0.409 6 0.409 6
规律方法 (1)独立重复试验问题，随机变量 X 的分布服从二 项分布，即 X～B(n，p)，这里 n 是独立重复试验的次数，p 是每 次试验中某事件发生的概率．
(2)满足二项分布常见的实例有：①反复抛掷一枚均匀硬币； ②已知次品率的抽样；③有放回的抽样；④射手射击目标命中率 已知的若干次射击．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
方法二：至少 3 人同时上网的概率为 P＝1－P(A0＋A1＋A2)＝1－614(C06＋C16＋C26)＝1－614(1＋6＋ 15)＝2312.
高中数学第二章概率26正态分布课件北师大版选修23
(2) 成 绩 在
80 ～ 90
之
间
的
学
生
的
比
为
1 2
[P(50<X<90)
－
P(60<X<80)]＝12×(0.954－0.683)＝0.135 5，
即成绩在 80～90 之间的学生占 13.55%.
题型三 正态分布的实际应用 [ 例 3] 设 在 一 次 数 学 考 试 中 ， 某 班 学 生 的 分 数 X ～ N(110,202)，且知满分是 150 分，这个班的学生共 54 人．求这个 班在这次数学考试中及格(不小于 90 分)的人数和 130 分以上的 人数． [思路探究] 要求及格的人数，需求出 P(90≤X≤150)，而 求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式，然后利 用对称性求解．
知识点二 正态分布密度函数的性质 [填一填]
(1)函数图像关于直线 x＝μ 对称； (2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的 “胖”“瘦” ； (3)P(μ － σ<X<μ ＋ σ) ＝ 68.3% ， P(μ － 2σ<X<μ ＋ 2σ) ＝ 95.4% ，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝ 99.7% .
[思路探究]
正态分布
―→
确定μ，σ 的值
―→
正态分布在三个特 殊区间上的概率
―→
求 解
[解] ∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝ 100＝10. (1)P(70<X<110)＝P(90－2×10<X<90＋2×10)＝0.954， 即成绩 X 位于区间(70,110)内的概率为 0.954. (2)P(80<X<100)＝P(90－10<X<90＋10)＝0.683， ∴2 000×0.683＝1 366(人)． 即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有 1 366 人．
高中数学第二章概率本章整合课件选修23高二选修23数学课件
= -2
=4
12/9/2021
第十七页，共三十九页。
×
1
+
10
3 2
32
×
3
+
20
综合应用
专题
(zhuānt
í)1
专题
(zhuān
tí)2
专题五
专题
(zhuān
tí)3
专题4
专题5
正态分布的应用
正态分布是实际生活中应用十分广泛的一种概率分布,因此,我们要熟练掌
握这种概率模型,并能灵活地运用它分析解决实际问题,其中正态分布密度曲线
解:(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A,
则 P(A)=
1
1- 2
×
2
1- 3
×
2
1- 3
=
1
.
18
(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5.
7
,
24
1 4
P(ξ=0)= 1- 2 ×
1
1
P(ξ=1)=C4 × 2 ×
1 2
2
P(ξ=2)=C4 ×
2
2
1
1- 3 = 48,
1 3
×
×
2
13
+ C42
×
1 3
2
× 1-
3
4
×
1 2
2
×
1 2
12
= ,
P(ξ=4)=
P(ξ=5)=
1 4
2
1 4
2
×
×
2
1- + C43
3
2
1
= 24.
3
=4
12/9/2021
第十七页，共三十九页。
×
1
+
10
3 2
32
×
3
+
20
综合应用
专题
(zhuānt
í)1
专题
(zhuān
tí)2
专题五
专题
(zhuān
tí)3
专题4
专题5
正态分布的应用
正态分布是实际生活中应用十分广泛的一种概率分布,因此,我们要熟练掌
握这种概率模型,并能灵活地运用它分析解决实际问题,其中正态分布密度曲线
解:(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A,
则 P(A)=
1
1- 2
×
2
1- 3
×
2
1- 3
=
1
.
18
(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5.
7
,
24
1 4
P(ξ=0)= 1- 2 ×
1
1
P(ξ=1)=C4 × 2 ×
1 2
2
P(ξ=2)=C4 ×
2
2
1
1- 3 = 48,
1 3
×
×
2
13
+ C42
×
1 3
2
× 1-
3
4
×
1 2
2
×
1 2
12
= ,
P(ξ=4)=
P(ξ=5)=
1 4
2
1 4
2
×
×
2
1- + C43
3
2
1
= 24.
3
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2
=3×
2 3
×
1 3
2
= 29.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题二 相互独立事件及其应用
事件的独立性是对两个事件而言的,如果事件 A 与事件 B 满足 P(AB)=P(A)·P(B),则称 A 与 B 相互独立,且 A 与������, ������与 B,������与������也相互 独立.另外,若有 A1,A2,…,An 相互独立,则有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
4
×
2 3
=
214.
故随机变量 ξ 的分布列为
ξ0
12
34
5
1
1
7
1
3
1
P
48 8 24 3 16
24
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题三 条件概率及其应用 公式 P(B|A)=���������(���(���������������)���) 是求条件概率的公式.在计算条件概率时,必 须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率,从 而选择合适的条件概率公式,分别求出相应事件的概率进行计算.
(1)记事件 A 为“打完 3 局甲队获胜”,记事件 B 为“打完 4 局甲队
获胜”,记事件 C 为“打完 5 局甲队获胜”.
①打完 3 局甲队获胜,相当于进行 3 次相互独立的重复试验,且
每局比赛甲队均获胜,
所以打完 3 局甲队获胜的概率为 P(A)=C33 ×
1 2
3 = 18.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用1实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜
制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛,且各局比赛之间互不
影响).
(1)试分别求甲队打完3局、4局、5局才能获胜的概率;
(2)求按比赛规则甲队获胜的概率.
解:甲、乙两队实力相当,所以每局比赛甲队获胜的概率为12,乙队 获胜的概率为12.
������
,这是一个二项分布问题.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用1有6只电器元件,其中有2只次品和4只正品,每次抽取1只测 试后不放回,求测试3次恰有2只次品的概率.
分析:测试3次,恰有2只次品的基本情况如下表:
第一次 正 次 次
第二次 次 正 次
这是一个超几何分布问题. 解:所求的概率为C22C×63C41 = 15.
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用2某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决 定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同 时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣 的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可 以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达到预先设定的人数 时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各天的满 座的概率如下表:
本章整合
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
专题一 概率中的两类抽样问题
1.不放回抽样 若某批产品中有 a 件次品,b 件正品,采用不放回抽样方法从中
抽取 n 件产品(n≤a+b),求其中正好有 k 件次品的概率.
对于该问题,我们可以把从 a+b 件产品中取出 n 件产品的所有 可能组合作为基本事件总体,总数为C������������+������,取出的 n 件产品恰好有 k 件次品的事件数为C������������ ·C������������-������ ,由等可能性事件的定义可知概率为 CC������������·������������C+������������������-������.这是一个超几何分布问题.
则 P(A)=
1-
1 2
×
1-
2 3
×
1-
2 3
= 118.
(2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5.
P(ξ=0)=
1-
1 2
4
×
1-
2 3
= 418,
P(ξ=1)=C41
×
1 2
×
1-
1 2
3
×
1-
2 3
+
1-
1 2
4
×
2 3
=
18,
P(ξ=2)=C42 ×
1 2
2
×
1-
1 2
2
×
1-
2 3
第三次 次 次 正
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
应用2有6只电器元件,其中有2只次品和4只正品,每次抽取1只测
试后放回,假设测试过程中电器元件不被损坏,求测试3次恰有2只
次品的概率.
解:由题知,测试一次恰是正品的概率为23,恰是次品的概率为13, 则所求的概率为
P=C32 ×
2 3
1
×
1 3
②打完 4 局甲队获胜,相当于进行 4 次相互独立的重复试验,且
甲队第 4 局比赛获胜,前 3 局为 2 胜 1 负,
所以打完 4 局甲队获胜的概率为
P(B)=C32 ×
1 2
2
×
1 2
×
1 2
=
136.
③打完 5 局甲队获胜,相当于进行 5 次相互独立的重复试验,且
甲队第 5 局比赛获胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负,
2.有放回抽样
若某批产品中有 a 件次品,b 件正品,采用有放回的抽样方法从
中抽取 n 件产品,求其中正好有 k 件次品的概率.
类似地,有放回抽样时,该试验相当于 n 次相互独立的试验,故所
求概率为C������������
·
������ ������+������
������ -������
·
������ ������+������
所以打完 5 局甲队获胜的概率为
P(C)=C42 ×
1 2
2
×
1 2
2
×
1 2
=
136.
(2)记事件 D 为“按比赛规则甲队获胜”,则 D=A+B+C,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因为事件 A,B,C 彼此互斥,
所以
P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=18
+
3 16
+
3 16
=
12,
即按比赛规则甲队获胜的概率为12.
周一 周三 周五
信息技术 1 4 1 2 1 3
生物 1 4 1 2 1 3
化学 1 4 1 2 1 3
物理 1 4 1 2 1 3
数学 1 2 2 3 2 3
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
根据上表: (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ,求随机变量ξ的分布列. 解:(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A,
+
C41
×
1 2
×
1-
1 2
3
×
2 3
=
274,
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
P(ξ=3)=C43 ×
1 2
3
×
1-
1 2
×
1-
2 3
+ C42 ×
1 2
2
×
1-
1 2
2
×
2 3
=
13,
P(ξ=4)=
1 2
4
×
1-
2 3
+ C43 ×
1 2
3
×
1-
1 2
×
2 3
=
136,
P(ξ=5)=
1 2