归类解析与[x]”有关的数学竞赛题

归类解析与“[x]”有关的数学竞赛题
“[x]”是一种特殊的数学符号，它在各类数学竞赛中屡见不鲜，本文结合全国各省市的数学竞赛题，归纳出与“[x]”有关的三类常见题型，供同学们学习时参考．
一、有关的运算
例1 设a是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[－1] ＝－1，[0]＝0，[－1.2]＝－2，则在以下四个结论中，正确的是( )
(A)[a]＋[－a]＝0
(B)[a]＋[－a]＝0或1
(C)[a]＋[－a]≠0
(D)[a]＋[－a]＝0或－1
(2006年希望杯数学竞赛初二第1试试题)
解依题意，令a＝1.7，则
[a]＋[－a]＝[1.7]＋[－1.7]
＝1－2＝－1；
令a＝－1，则
[a]＋[－a]＝－1＋l＝0．
∴[a]＋[－a]＝0或－1．
即选D．
例2 设[x]表示不大于x的最大整数，如[3.4]＝3，[2]＝2，[－3.4]＝－4，则下列结论中，不成立的有( )个
①[x]≤x<[x]＋1；
②x－1<[x]≤x；
③[－x]＝－[x]；
④[2x]＝2[x]；
⑤[x]＋[1－x]＝1
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
(2004年五羊杯数学竞赛初三试题)
解依题意，令x＝1
2
，则
[x]＝0，[2x]＝1，
[－x]＝－1，[1－x]＝0．
∴③④⑤均不成立，即选B．
二、求代数式的值
例3 规定[a]表示不超过a的最大整数．当x＝－1时，代数式2m x3－3n x＋6的值为
16，则[2
3
m－n]＝( )
(A)－4 (B)－3 (C)3 (D)4
(2004年希望杯数学竞赛初二第2试试题)
将x ＝－1代入2m x 3
－3n x ＋6＝16得3n －2m ＝10，
故选Ａ．
例4 [x ]表示不大于x 的最大整数，如[3.15]＝3，[－2.7]＝－3，[4]＝4，则 []1223200320041002⎡⎤⨯+⨯+
+⨯⎣⎦=( )
(A)1001
(B) 2003
(C) 2004 (D)1002
(2004年希望杯数学竞赛初二第1试试题)
故选B ．
例5 设[x ]表示不大于x 的最大整数，如[3.4]＝[3.7]＝[3]＝3，
若222211112
341523415S ++++=，则[S]＝_______(2006年五羊杯数学竞赛初三试题)
例6 对于实数a ，令[a ]表示不超过a 的最大整数，例如[3.1]＝3，[－1.5]＝－2，[0.7]＝0，
令f(x )＝11
x x +-，那么[f(2)]＋[f(3)]＋…＋[f(100)]＝_______． (2004年希望杯数学竞赛初一第1试试题)
三、解方程问题
例7 对于数x ，符号[x ]表示不大于x 的 最大整数，如[3.14]＝3，[－7.59]＝－8，则 满足关系式[377
x +]＝4的x 的整数值有 ( ) (A)6个 (B)5个 (C)4个 (D)3个
(2006年希望杯数学竞赛初一第1试试题)
故选D ．
例8 已知0<a <l ，且满足[a ＋130]＋[a ＋230]＋…＋[a ＋2930
]＝18([x ]表示不超过x 的最大整数)，则[10a ]的值等于_______．
从而有0<a ＋1130<1，1≤a ＋1230
<2， 化简整理得18≤30a <19．
于是6≤10a <193
， 帮[10a]＝6．
例9 用[x ]表示不大于x 的最大整数，如[1.7]＝l ，[0.25]＝0，[－3.4]＝－4，则满足[3.8x ]＝[3.8]x ＋l 的自然数x 有( )个
(A)4 (B)3 (C)2 (D)I
(2007年五羊杯数学竞赛初二试题)
解得1. 25≤x <2.5． 故满足题设方程的自然数x 只有x ＝2，故选D ．
例10 已知x ，y ，z 满足x ＋[y ]＋[z]＝－0.9①，[x ]＋{y }＋z ＝0.2②，{x }＋y ＋[z]＝
1.3③，对于数a ，[a ]表示不大于a 的最大整数，{a }＝a －[a ]，求x ，y ，z 的值．
(2004年第9届“华罗庚杯”少年数学邀请赛初一组第1试试题)
的定义，活用其性质，有关问题便能迎刃而解．。