离散数学
离散数学 微积分 关系
离散数学微积分关系
离散数学和微积分是两种不同的数学领域，它们各自有不同的研究对象和应用。
离散数学是研究数学结构的一种数学分支，它的研究对象是数学结构中的离散元素，例如集合、图、逻辑等。
离散数学在计算机科学、工程学、物理学等领域有广泛应用，例如在计算机科学中，离散数学被用于设计和分析算法、数据结构、计算机系统等。
微积分是研究连续变化的数学分支，它的研究对象是函数、极限、连续性、可微性等概念。
微积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用，例如在物理学中，微积分被用于描述物体运动、能量守恒、电磁场等。
虽然离散数学和微积分是两种不同的数学领域，但它们之间也有一些联系。
例如，离散数学中的图论可以与微积分中的积分理论相联系，离散数学中的概率论可以与微积分中的随机过程相联系。
此外，微积分中的微分和积分概念也可以被用于研究离散数学中的离散对象。
总之，离散数学和微积分是两种不同的数学领域，它们各自有不同的研究对象和应用。
虽然它们之间有一些联系，但它们的基本概念和研究方法是不同的。
离散数学简介
数理逻辑
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑
证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
数理逻辑
现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑
命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何
欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力
简介
离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。
离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。
一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。
集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
集合的运算有并、交、补、差等。
集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。
在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。
逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。
逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。
命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。
图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。
图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。
图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。
四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。
组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。
排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。
二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。
组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。
五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。
离散数字知识点
离散数字知识点离散数字是离散数学的一个重要分支，它研究的是不连续的数字和离散的数值。
离散数字涉及了多个知识点，下面将逐步介绍这些知识点。
1. 集合在离散数字中，集合是一个基本概念。
集合是由一组不同元素组成的，元素之间没有顺序关系，每个元素只能在集合中出现一次。
集合可以通过列举元素、描述特性或者运算等方式来表示。
并且，集合运算包括交集、并集、补集等。
2. 函数函数是一个输入和输出之间的特定关系。
在离散数字中，函数可以用来描述离散数据之间的映射关系。
函数的定义域是输入值的集合，值域是输出值的集合。
函数可以进行组合、求逆等运算。
3. 图论图论是离散数字中的重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图由节点和边组成，节点代表实体，边代表实体之间的关系。
图论可以用来解决路径问题、最短路径问题、连通性问题等。
4. 组合数学组合数学是离散数字中的另一个重要方面，它研究的是集合的组合和排列。
组合数学包括排列、组合、二项式系数等概念。
它在概率论、统计学、密码学等领域有广泛应用。
5. 逻辑逻辑是数学中的基本思维方式，它在离散数字中起着重要作用。
逻辑包括命题逻辑、谓词逻辑等，它可以用来分析和推理问题，判断命题的真假等。
6. 算法算法是离散数字的核心概念之一，它是解决问题的具体步骤和方法。
在离散数字中，算法可以用来解决图论问题、排列组合问题、逻辑问题等。
算法的设计和分析是离散数字中的重要内容。
7. 代数结构代数结构是离散数字中的一个重要概念，它研究的是集合上的运算和结构。
常见的代数结构包括群、环、域等。
代数结构在离散数字中有广泛的应用。
8. 数论数论是离散数字中研究整数性质的分支，它研究的是整数的性质、整数间的关系等。
数论在密码学、编码理论等领域有重要应用。
9. 概率论概率论是离散数字中研究随机事件和概率的分支，它研究的是事件发生的可能性。
概率论可以用来分析随机过程、计算机网络、排队论等问题。
以上是离散数字中的一些重要知识点，它们在离散数字的学习和应用中起着不可或缺的作用。
离散的数学定义
离散的数学定义
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构之间的关系，重点关注离散的整数值、集合和图论等。
以下是离散数学的一些主要概念和定义：
1. 集合论：
- 集合是离散数学中最基本的概念之一，表示一组独立对象的总体。
集合论研究集合之间的关系、运算和性质。
2. 逻辑：
- 逻辑是研究命题和推理的学科，离散数学中的逻辑主要包括命题逻辑和谓词逻辑，用于研究命题的真假和推理规则。
3. 图论：
- 图论是离散数学的一个重要分支，研究图（vertices 和edges组成的结构）之间的关系和性质，包括图的遍历、连通性、最短路径等问题。
4. 离散结构：
- 离散结构指的是离散对象之间的关系和结构，如排列组合、树、图等。
离散数学研究这些结构的性质和应用。
5. 组合数学：
- 组合数学是离散数学的一个重要分支，研究离散对象的排列组合方式，包括排列、组合、二项式定理等。
6. 概率论：
- 离散概率论研究离散随机变量的概率分布和性质，包
括概率空间、随机变量、概率分布等。
7. 离散数学的应用：
- 离散数学在计算机科学、信息技术、密码学、通信等领域有着广泛的应用，如算法设计、数据结构、网络设计等。
总的来说，离散数学是研究离散对象和结构的数学分支，涉及集合论、逻辑、图论、组合数学等内容，在计算机科学和信息技术等领域具有重要的理论和实际应用。
离散数学
13、假言易位
14、等值否定表达式
15、归谬论
( A B) ( A B) A
三、等价演算。 置换定理：如果 A B ，则 ( A) ( B)。 例2、验证下列等价式。
(1) p (q r ) ( p q) r (2)
(3)
p (q r) p (q r) q r q (p q) p 1
中介绍数理逻辑的内容。
第一章数理逻辑
第一节 命题符号化及联结词
内容：命题，逻辑联结词，命题符号化 (1)掌握命题概念 重点： (2)掌握联结词含义及真值表 (3)掌握命题符号化方法
一、命题的概念
命题：能判断真假的陈述句。
真 （记为T或1） 真值 假 （记为F或0）
例1、判断下列句子中哪些是命题。
A A 1 (排中律)，
A A 0 (矛盾律)
10、双重否定律
(A) A
二、重要等价式。（逻辑恒等式）
11、蕴涵表达式
12、等值表达式
A B A B
A B ( A B) ( B A)
A B B A
A B A B
(1) 北京是中国的首都。
(2) 雪是黑色的。
(3) 3 4 12 。
(4) 请把门关上！
(5) x 是有理数。
(6) 地球外的星球上也有人。
例1、判断下列句子中哪些是命题。
(7) 明天有课吗？
(8) 本语句是假的。
(9) 小明和小林都是三好生。
(10) 小明和小林是好朋友。 判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈 述句，再看其真值是否唯一。 命题常项，命题变项均用 p, q, r,, pi , qi , ri 表示。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(⌝Q)、(Q∧R) 、(Q∨R) 、(Q→R) 、(Q↔R) 、(Q⊕R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,A n是由S生成的公式，则FA1…A n 是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=⌝B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1∧ B2，或A=B1∨ B2，或A=B1→B2，或A=B1↔ B2，或A=B1⊕ B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{⌝，∧，∨，⊕，→，↔}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= ⌝Q1，则v(Q)= ⌝v(Q1)▪若Q=Q1 ∧ Q2，则v(Q)=v(Q1)∧ v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1→ Q2，则v(Q)=v(Q1)→ v(Q2)▪若Q=Q1 ↔ Q2，则v(Q)=v(Q1)↔ v(Q2)▪若Q=Q1⊕ Q2，则v(Q)=v(Q1)⊕ v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
什么叫离散数学
什么叫离散数学
什么叫“离散”？离散，就是和连续相反的。
随便拿⼀堆东西，如⼤到宇宙，⼩到粒⼦团，若其整体中的元素是独⽴的，分开的，则叫“离散”。
计算机是不能处理连续信息的，这是由计算机的本质：0和1，决定的。
正因为这样，如果要借助计算机来处理连续的东西，其中有⼀个必须的步骤：离散化。
“离散数学”是什么？它是⼀门研究离散物质的规律的学科，是数学的⼀个分⽀。
近代数学，尤其是计算数学，在解决实际问题的时候，对于连续问题往往只能推论出“是否有解”，进⼀步可能会求出“解的形式”。
⽽实际的需求，却⾮要得到⼀个结果不可。
因此，在数学建模时，我们通常会⽤⼀个离散的模型去逼近这个连续的问题，最终⽤计算机进⾏⼤量运算来得到⼀个近似值。
不要以为我上⾯说的距离我们很远，⽐如我们常⽤的求根号（你敢说实际中不需要求根号？），就是通过迭代法取近似值。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是数学中的一个分支，研究离散对象及其关系的数学理论。
它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续对象和其性质。
离散数学在计算机科学、信息科学、电子工程等领域具有重要的应用价值。
下面将对离散数学的主要知识点进行总结。
1.命题逻辑：命题逻辑研究由命题符号组成的复合命题及其逻辑关系。
其中命题是一个陈述性的语句，可以是真或假。
命题逻辑包括命题的逻辑运算、真值表、命题的等价、充分必要条件等。
2.谓词逻辑：谓词逻辑是对命题逻辑的扩充，引入了量词、谓词和项。
它的研究对象是命题函数，可以表示个体之间的关系。
谓词逻辑包括谓词的运算、量词的运算、公理化和推理规则等。
3.集合论：集合论是研究集合及其操作的数学分支。
集合是一种由确定的对象组成的整体。
集合论包括集合的基本运算（交、并、差、补）、集合的关系（包含、相等、子集、真子集）以及集合的运算律和推导定理等。
5.组合数学：组合数学是研究物体的组合与排列问题的数学分支。
它包括排列、组合、分配、生成函数等内容，经常应用于计数和概率问题中。
6.图论：图论是用来描述物体间其中一种关系的图形结构的数学理论。
它研究的对象是由顶点和边构成的图，包括无向图、有向图、带权图等。
图论研究的内容包括图的性质、连通性、路径、回路、树、图的着色等。
7.代数系统：代数系统是一种由一组元素及其相应的运算规则构成的数学结构。
常见的代数系统有群、环、域、格等，它们分别研究了集合上的不同运算规律和结构。
8.布尔代数：布尔代数是一种应用于逻辑和计算机的代数系统。
它以真和假为基础，通过逻辑运算（与、或、非）构成了布尔代数。
布尔代数在计算机硬件设计和逻辑推理中广泛应用。
9.图的同构与图的着色：图的同构是指两个图在结构上相同，也就是说，它们具有相同的顶点和边的连接关系。
图的同构判断是一个NP难问题，需要借助于图的着色等方法来判断。
图的着色是给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点的颜色不同。
数学中的离散数学
数学中的离散数学数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中离散数学作为数学的一个重要分支，在现代科技发展中起着重要的作用。
本文将介绍离散数学的概念、应用以及与其他数学领域的关系。
一、离散数学的概念及特点离散数学是研究离散结构的一门数学学科，主要研究离散对象以及离散对象之间的关系。
与连续数学不同，离散数学研究的是不可无限细分的对象，如离散点、离散函数等。
离散数学的主要特点有以下几点：1. 离散性：离散数学研究的对象是离散的，即以个别分离的元素为基础，而非连续统一的整体。
2. 非连续性：离散数学中的对象之间没有连续的无限细分，而是被分割成一系列离散的元素。
3. 可数性：离散数学中的对象是可数的，即可通过自然数对其进行编号和计数。
离散数学作为一门基础学科，广泛应用于计算机科学、信息技术、电子通信等领域，为这些领域的发展提供了理论基础和方法论。
二、离散数学的应用领域1. 图论：图论是离散数学中的一个重要分支，研究以节点和边为基础的离散结构。
图论广泛应用于计算机网络、社交网络、物流运输等领域，用于解决网络布局、路径规划、数据传输等问题。
2. 概率论：离散概率论是研究离散事件的发生概率及其规律的数学学科，广泛应用于统计分析、风险评估、游戏策略等领域。
3. 组合数学：组合数学研究的是离散对象的排列组合和性质，广泛应用于密码学、编码理论、排课问题等领域。
4. 数论：数论是研究整数性质及其相关性质的学科，也属于离散数学的范畴。
数论在加密算法、密码学、计算机安全等领域有着重要的应用。
5. 离散优化：离散优化是研究在给定约束下如何寻找最优解的一门学科。
离散优化广泛应用于物流规划、任务调度、资源分配等实际问题中。
三、离散数学与其他数学领域的关系离散数学与其他数学领域有着密切的联系和相互补充的关系。
离散数学通过对离散对象的研究和分析，为其他数学领域提供了理论支持和方法论。
在应用方面，离散数学与连续数学相互配合，共同应用于科学工程领域的建模和问题求解。
数学离散数学常见题型解析
数学离散数学常见题型解析数学离散数学是一门研究数学中离散性、不连续性的分支学科，它与连续性数学形成鲜明对比。
离散数学的研究对象包括离散结构和离散现象，如集合、关系、逻辑、图论等。
在离散数学中，常见的题型有集合论题、逻辑题、图论题等。
本文将对这些常见题型的解题方法进行详细的解析。
一、集合论题解析集合是离散数学的基础概念之一，集合论题主要考察集合的性质和运算。
其中常见的题型包括求交集、并集、补集等。
1.求交集求交集即求两个或多个集合中共有的元素。
解题时需要列出各个集合的元素，然后找出它们的公共元素，即为交集。
例如，已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A和B的交集。
解答如下：交集A∩B={2,3}。
2.求并集求并集即求两个或多个集合中所有的元素的集合。
解题时需要列出各个集合的元素，然后将它们的元素合并起来即可。
例如，已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A和B的并集。
解答如下：并集A∪B={1,2,3,4}。
3.求补集求补集即求一个集合中不包含在另一个集合中的元素。
解题时需要明确补集的参照集合。
例如，已知参照集合U={1,2,3,4,5}，集合A={2,3,4}，求A相对于U的补集。
解答如下：补集A'={1,5}。
二、逻辑题解析逻辑题主要考察命题逻辑和谓词逻辑的推理和判断。
常见的题型包括命题的合取、析取、蕴含关系等。
1.命题合取命题合取即多个命题同时成立，才能得出最终结论为真。
解题时需要逐个判断每个命题的真假，并根据合取关系得出最终结论。
例如，已知命题p：明天下雨，命题q：今天是周二。
判断命题p 合取q的真假。
解答如下：根据实际情况判断，如果p和q都为真，则p合取q为真；反之则为假。
2.命题析取命题析取即多个命题中至少有一个成立，就能得出最终结论为真。
解题时需要逐个判断每个命题的真假，并根据析取关系得出最终结论。
例如，已知命题p：明天下雨，命题q：今天是周二。
判断命题p析取q的真假。
离散数学 算法
离散数学算法
离散数学与算法是计算机科学中非常重要的两个领域。
离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它包括了离散集合、离散函数、离散逻辑等内容。
在算法设计和分析中，离散数学提供了一种抽象和形式化的工具，用于解决实际问题。
算法是指解决特定问题或执行特定任务的一系列步骤或规则。
在计算机科学中，算法是实现计算功能的基本方法。
算法设计和分析是计算机科学的核心内容之一。
离散数学与算法有密切的关系。
离散数学提供了算法设计和分析所需要的数学工具和技术。
离散数学中的图论、集合论、逻辑等概念和方法被广泛应用于算法设计和分析中。
算法的正确性和效率分析也离不开离散数学的理论支持。
离散数学与算法在计算机科学和信息技术的各个领域都有广泛的应用。
在数据结构、算法设计、人工智能、网络安全等方面，离散数学与算法的知识和技术都是必不可少的。
掌握离散数学和算法的基本原理和方法，对于计算机科学和软件工程等领域的学习和研究都具有重要的意义。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。
- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。
- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。
2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。
- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。
- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。
3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。
- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。
- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。
4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。
- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。
- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。
5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。
- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。
- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。
6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。
- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。
- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。
7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。
- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。
- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。
- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。
- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。
- 空间复杂度：算法空间需求的分析。
- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。
离散数学(全)
第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。
教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5．熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1．命题的概念及判断2．联结词，命题的翻译3．主析（合）取范式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析（合）取范式的求法2．逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。
（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）↔（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）↔（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学的概念
的或离散化了的数量关系，
基本理论和基本方法。这些
因此，无论计算机科学本身， 概念、理论以及方法大量地
还是与计算机科学及其应用
应用在数字电路、编译原理、
密切相关的现代科学研究领
数据结构、操作系统、数据
域，都面临着如何对离散结
库系统、算法的分析与设计、
构建立相应的数学模型；又
人工智能、计算机网络等专
如何将已用连续数量关系建
1
康
康先
1 2…n n+1 n+1 n
序集，为第一个元素，是的后继。良 序 集 。 举 个 例 子 ： 自 然 数 集 合 ， ， 就 是 一 个 良对 于 每 个 元 素 ， 都 存 在 一 个 确 定 的 后 继 ， 这 样 的 集 合 称 为元素按确定的顺序排列，存在该集合的第一个元素，而且年，康托尔提出良序集和序数的概念：一个集合，他的
1845
Cantor
人 ， 离 散 数 学介 绍 康 托 尔 （ 的 奠 基 者 。） 这 个
伟 大 的 数 学 家 ， 集 合 论 的 创 始
第 三 次 数
学 危
机
• 1877
•
这它德在事 种。金 实 自”表 上 信当示年， 与然：推他 质，“出自 疑他我“己 ，还看一也 缠是到一困 绕相了对于 了信这应自 这自个”己 个己事理的 天严实论推 才格，时理 的证但，世 一明连他界 生出我曾中 。的自郁不
其他的势。这个假设是否成立，至今无）：在自然数的势与实数集年，康托尔提出了连续统假设（代号 人证真或证伪！的势之间不存在，
n CH continuum
维空间上的点）一一对应年，康托尔证明了一条直 线 上 的 点 与 平 面 上 的 点 （ 乃 至
第三章 离散数学
数学归纳法还有另一种形式，为了证明一个命题对于所有的自 然数n都是真的，我们只要证明： ⑴ (归纳基础)当n＝n0时，p(n0)真(可用任意方法证明） ⑵若n0≤n＜k时，p(n)真，则n=k时，这个命题也真， 即p(k)真。
例2. 证明每一整数n≥2可以写成素数的乘积。 证明： ⑴ (归纳基础) n=2时，因为2是素数，所以 结论成立。 ⑵ (归纳步骤) 对于任意的n∈N且n＞2 设n＜k时，结论成立(即n＝2，3，...，k－1时， n能写成素数的乘积) n=k时：①若k是素数，结论成立。 ②若k不是素数，那么n＝k＝i·j，(2≤i，j＜k) 于是根据归纳假设，i，j均能写成素数的乘积。 即i=q1q2...qt，j=p1p2...pr，其中qm,pS均为素(m=1,2,...t;s=1,2,...r) ∴n=q1q2....qtp1p2....pr，即n也能写成素数的乘积。 因此，对任意的n∈N，n≥2，结论成立。
(二)不可数集
不是所有的无限集都是可数的 定理3-23：集合R1＝{x |0＜x＜1}是不可数集。 定义3-12：如果有从R1(0,1)到集合A的双射函数，那么＃A＝ §1。 例4：[0，1]的基数为§1。 解：定义A＝{1/2,1/3,1/4,....,1/n,....} 做f:(0,1) f(1/2)=0 [0,1] f(1/3)=1 f(1/n)=1/(n-2)
有g·f(a')=g(f(a'))=g(b ')=a '=IA(a ') 所以g·f=IA，即g是f的左逆函数。
⑵设f是满函数，要证f有右逆函数，即构造一个g:B 使f·g=IB，则g为f的右逆函数。
证明：因为f是A
A
B的满射，所以对∀ b∈B， ∃a∈A使得f(a)=b。
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3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
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离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
• 设：[0， ] [0， 1]，() = sin()， ∈[0, ]。则是 满射，但不是单射。
• 设：N E，N 是自然数集合，E是自 然数中的所有偶数的集合，(n)= 2n，n ∈ N。 则是 单射且是满射，所以是双射。
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离散数学
2
下列关系是否构成映射？
a b c
A
e f g R1
B
a b c
A
e
f g
R2
B
a b c
A
e f g R3
B
嗨！R1可不 是映射喔。 有人偷懒了。
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嗨！R2也不是 映射喔。有人 一箭双雕。
离散数学
啊哈！R3才是 一个映射呢。
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满射、单射、双射
• 定义3.1.2：若是A到B的映射，且对b∈B, a∈A, 使得 (a)=b，则称是A到B上的映射， 简称满射。此时每个b∈B 必是A 中至少一个 元素a 的映象，且 (A)=B。 糟糕！全被射中了。 • 定义3.1.3：设是A到B的映射，若对a,b∈A, a≠b,均有 (a)≠ (b)，则称为A到B的单射或入 射。此时| (A)|=|A|， B中每个元素最多是A中 一个元素的映象。 还好，只中了一箭。 • 定义3.1.4：设是A到B的映射，若既是满射 又是单射，则为A到B的双射或1––1映射。 哼！你能射我，我也能射你。
2019/3/2 离散数学 1
几个概念
• 映象：若<a,b>∈ ，则称b为a的映象。 (被射 中的人) • 象源：若<a,b>∈ ,则a为b的象源,记为 (a)=b。 (射箭的人) • 映象集： (A)={b∈B|存在a∈A,使 (a)=b} 称 为A的映象集。(全体被射中的人的集合。) 显 然， (A) B 。 • 变换：A到A的映射称为变换。(窝里斗)
2019/3/2 离散数学 5
判断下列映 N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。 （是变换） 解： 取b=2n+1，b∈N，由的定义知： (n) ≠b，n,b∈N。∴ 不是满射。 任取i，j∈N，且i≠j。若(i)= (j)，即 2i=2j，则i=j，此与i≠j矛盾。∴ (i)≠(j)。 故是单射。综上所述： 是单射但不是 满射。
2019/3/2 离散数学 8
等势有限集合间的单射即满射
• 定理3.1.1 设A，B是两个有限集，且|A|=|B| .于 是， : AB是单射当且仅当是满射。 • 证明：(必要性)设是单射，则 |A|= |(A)| , 因 为|A|=|B| ,所以 |(A)|= |B| ,又因(A) B且B有 限，所以(A) = B，从而是满射。 (充分性)设是满射，则(A) = B，于是， |A|=|B|=|(A)| , 即|A|=| (A)| 。又因A有限，所 以是单射。
2019/3/2 离散数学 6
2、：R×R R×R，R为实数集。 (x,y)=<x+y,x-y>
解：⑴(单射性) 任取(x,y),(u,v), 假设(x,y)≠(u,v),若 (x,y)= (u,v),即<x+y,x-y>= <u+v,u-v> 则: x+y=u+v 得: x=u x-y=u-v y=v 从而(x，y)=(u，v),与假设矛盾.故是单射. ⑵(满射性) 对任意<u,v>∈R×R,令: (x,y)=<x+y,x-y>= <u,v>,即: x+y=u 解得: x=(u+v)/2 x-y=v y=(u-v)/2 显然((u+v)/2, (u-v)/2)∈R×R,且满足 ((u+v)/2, (u-v)/2)= <u,v>,故是满射.总之, 是双射.
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离散数学
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双射才有逆映射
• 定理3.2.1 设是A到B的映射，于是， 存在 逆映射当且仅当是双射。
• 证明：必要性：设-1存在， -1：BA。若不是满 射，则y∈B ,使得y不是A中任何元素的映象，即y没 有象源。若不是单射，则 x1, x2∈A , x1≠x2且 (x1)= (x2)=y，则y的象源不唯一。不论哪种情况，都 说明的逆关系不是B到A的映射，此与假设矛盾。故 是双射。