浙江省杭州市杭二高2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题及答案解析版
解：函数的定义域为 ， ，
则函数 为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，
当 时， ，排除A，
当 时， ，排除C，
故选：D.
【点睛】
本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。
7．如图 中， ， ， 平分线交△ABC的外接圆于点 ，设 ， ，则向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
A．45°B．60°C．120°D．135°
【答案】A
【解析】试题分析：根据题意，由于向量 ，故可知 ，故可知向量 的夹角为45°，故选A.
【考点】向量的数量积
点评：主要是考查了向量的数量积的运用，属于基础题．
3．若 ，则 ( )
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】先转化条件得 ，再化简原式 即可得解.
（3）当 ， （ ），则 在区间 上单调递增，取 ，则 ，所以 在区间 上单调递增， ，当 时， 恒成立，故 为函数 在区间 上的一个“转折点”，满足题意。
（4）当 ，令 ，解得： ，且 ,则 在区间 上单调递减，在 上单调递增，取 ，故 在 上恒成立，则 在区间 上单调递增，当 时， ，则 当 ， ，则 ，所以 为函数 在区间 上的一个“转折点”，满足题意。
【详解】
由题可得 ，则在 点处的切线的斜率 ， ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为： ，
即切线 ，
令 ，
则 ，且
，且 ，
，
（1）当 时， ，则 在区间 上单调递增，所以当 ， ，当 ， ，则 在区间 上单调递减， ，在 上单调递增，
所以当 时， ，不满足题意，舍去，
（2）当 时， （ ），则 在区间 上单调递增，所以当 ， ，当 ， ，则 在区间 上单调递减， ，在 上单调递增， ，所以当 时， ，不满足题意，舍去，
2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题
绝密★启用前 2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题 试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若复数z 满足()1234i z i -=+，则z 的虚部为( ) A ．2i - B ．2i C ．2 D ．2- 2．若1a r =，b =r ，且()a a b ⊥-r r r ，则向量,a b r r 的夹角为 （ ） A ．45° B ．60° C ．120° D ．135° 3．若2tan πtan 5α=，则3πsin 10πcos 5αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．13- C ．13 D ．3- 4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2467220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且66b a =，则210b b 等于( ) A ．49 B ．32 C ．94 D ．23 5．若变量,x y 满足2{2390x y x y x +≤-≤≥，则222x x y ++的最大值是（ ） A ．4 B ．9 C ．16 D ．18 6．函数()()33lg x x f x x -=+⋅的图象大致为（ ）……订………………线…………○……线※※内※※答※※题……订………………线…………○……A．B．C．D．7．如图Rt ABC∆中，2ABCπ∠=，2AC AB=，BAC∠平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB a=u u u v v，AC b=u u u v v，则向量AD=u u u v（）A．a b+v vB．12a b+vvC．12a b+vvD．23a b+vv8．正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，动点P满足2OP=u u u v，若AP mAB nAD=+u u u v u u u v u u u v，其中,m n∈R，则2122mn++的最大值是( )A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数()f x的定义域为R，1122f⎛⎫=-⎪⎝⎭，对任意的x∈R满足()4f x x'<，当[]0,2πα∈时，不等式()cos cos2fαα>的解集为( )A．7π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭B．π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭C．π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭D．π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭10．已知函数()f x的图象在点()00,x y处的切线为():l y g x=，若函数()f x满足x I∀∈（其中I为函数()f x的定义域，当x x≠时，()()()00f xg x x x-->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称x为函数()f x的“转折点”，已知函数()2122xf x e ax x=--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a的取值范围是A．[]0,e B．[]1,e C．[]1,+∞D．(],e-∞第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 11．已知集合}2280P x x x =-->，{}Q x x a =≥，若P Q R =U ，则实数a 的取值范围是______，若P Q Q ⋂=，则实数a 的取值范围是______. 12．若()()1sin sin 3a βαβ+-=-，则22cos cos a β-=_____ 13．设函数()341f x x x =--+，则不等式()5f x >的解集为______，若存在实数x 满足()ax a f x +≥成立，则实数a 的取值范围是______. 14．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()ln x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________. 15．函数()()cos 0f x x ωω=>的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，…，n A ，…在点列{}n A 中存在三个不同的点k A ，t A ，p A ，使得k t p A A A △是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=______. 16．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，BD =，sin 23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______. 17．已知向量1a b a b ==+=r r r r ，向量c r 满足()24220c a b c -+⋅+=r r r r ，若对任意的t ∈R ，记c ta +r r 的最小值为M ，则M 的最大值为______. 三、解答题 18．设函数())1sin sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；○…………外………………○…………※※答※※题※※ ○…………内………………○…………（Ⅱ）在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若()1f B =，2b =，且()()2cos cos 1b A a B -=+，求ABC V 的面积. 19．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，BA AD ⊥，6DA DC =====，过点A 作平面α垂直于直线CD ，分别交CD ，CP 于点E ，F .(1)求BF 的长度；(2)求平面BCP 与平面ADP 所成的锐二面角的余弦值.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log na nb n =-+，求数列1{}nb 的前n 项和n T .21．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2，且点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，左右顶点为1A ，2A ，左右焦点为1F ，2F .过点1A 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C 的另一个交点为G ，直线1GF 与直线1A D 交于点H .(2)若12GF DF ⊥，求k 的值； (3)若1A H HP λ=u u u u v u u u v ，求实数λ的取值范围. 22．已知()1ln 2x f x x e -=-+，()212g x ax x a =-+，其中实数0a >. (1)求()f x 的最大值； (2)若()a g f x x≥对于任意实数()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】 先计算出345i +=，再整理得512z i=-即可得解. 【详解】Q 345i +==即()125i z -=， ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的概念、复数的四则运算以及复数模的概念，属于基础题.2．A【解析】试题分析：根据题意，由于向量()()21,?=0-?b 0?b 1a b a a b a a b a a a ==⊥-∴-⇔=∴=u u r u u r r r r r r r r r r r r 且，故可知·b cos ,b cos ,b 2|?b |a a a a =⇔=r r r r r r r r ，故可知向量,ab r r 的夹角为45°，故选A. 考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的运用，属于基础题．3．C【解析】【分析】 先转化条件得πtan tan 25α=，再化简原式tan tan 151tan tan 5παπα-=+即可得解. 【详解】 Q 2tan πtan 5α=，∴πtan tan 25α=， ∴原式sin cos sin sin cos cos 52555ππcos cos sin sin cos cos 5555πππππααααππαααα⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan121151231tan tan5παπα--===++. 故选：C.【点睛】 本题考查了三角函数的化简求值，考查了学生的计算能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据等差数列的性质转化条件得266320a a -=，再根据等比数列的性质可知22106b b b =即可得解.【详解】Q 2467220a a a -+=，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，∴()()26662220a d a a d --++=即266320a a -=， 又 {}n a 各项不为0， ∴632a =， ∴222106694b b b a ===. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，要求学生具有转化问题的能力，属于基础题. 5．C【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(0,3),(3,1)A B C --， 而222222(1)11x x y x y PM ++=++-=-，其中(1,0),M P - 为可行域内一点，因为PM CM ≤，所以222x x y ++的最大值是2116,CM -=选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6．D【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。
浙江省杭州二中高一数学上学期期中试题【会员独享】.doc
杭州二中第一学期高一年级期中考试数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分， 满分100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷．．相应空格中） 1. 满足{}1,1{1,0,1}A-=-的集合A 共有（ ）A.2个B. 4个C. 8个D. 16个2. 三个数20.520.5,log 0.5,2a b c ===之间的大小关系是 （ ） A ．a c b << B. b c a << C. b a c << D. a b c <<3. 下列函数中是偶函数的是 ( ) A .3y x=-B.]3,3(,22-∈+=x x yC.x y 2log =D.2-=x y 4. 已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．35. 已知函数()833-+=x x f x，用二分法求方程()33801,3x x x +-=∈在内近似解的过程中，取区间中点02x =，那么下一个有根区间为 ( ) A ．（1,2） B ．（2,3） C ．（1,2）或（2,3）都可以 D ．不能确定6. 函数y =）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞ C ．(,1]-∞ D ．2(,1]37. 已知()f x 为R 上奇函数，当0x ≥时,2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =( ).A.22x x - B. 22x x -+ C. 22x x + D. 22x x -- 8. 甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与2v （1v ＜2v ）.甲前一半的路程使用速度1v ，后一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间使用速度1v ，后一半时间使用速度2v .关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点），则其中可能正确的图示分析为 （ ）A .（1） B. （2） C.（3） D . （4） 9. 已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是 （ ）A ． [11,)73B ． 1(0,)3C ．11(,)73D ．[1,1)710. 定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -．已知函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，记区间[],a b 的最大长度为m , 最小长度为n ．则函数)2()(n x m x g x +-=的零点个数是 （ ）A ．1B ．2C ．0D ．3二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分 ．把答案填在答卷中相应横线上） 11.函数2y =的值域是 ▲ . 12. 已知集合{}{222,,M y y x x x R N x y ==-++∈==，那么集合MN为 ▲ .13. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，， ，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是 ▲ .14. 方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的范围是 ▲ .15. 已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是 ▲ .16. 定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为▲ . 17. 下列说法：①函数()212log 23y x x =--的单调增区间是(),1-∞；②若函数()y f x =定义域为R 且满足()()11f x f x -=+，则它的图象关于y 轴对称；③函数()()1||xf x x R x =∈+的值域为(1,1)-；④函数2|3|y x =-的图象和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值可能是0,2,3,4；⑤若函数2()25(1)f x x ax a =-+>在[]1,3x ∈上有零点，则实数a 的取值范围是,3].其中正确的序号是 ▲ .杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答题卷 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. . 12. . 13. . 14. .15. . 16. . 17. .三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 计算：2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值.19. （本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．20. （本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知幂函数(2)(1)(),k k f x xk Z -+=∈，且()f x 在()0,+∞上单调递增.（Ⅰ）求实数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；（II ）若()2()43F x f x x =-+在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围； （III ）试判断是否存在正数q ，使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-. 若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由.杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. [02]，. 12. []3,2- . 13. 14-. 14. 5[2,)2.15. 12{|}33x x <<. 16. 32. 17. ③ ④ ⑤.三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 2213log lg1481192lg1)2132710044-⎛⎫-++=--+=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值. 解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， ∴2212472453734x x x x --+--==+--19.（本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．解:（Ⅰ）若2=a ，22log (2)2x x --<，则2024x x <--<得21x -<<-或 23x <<所以{|2123}A x x x =-<<-<<或（Ⅱ）因为3A ∈，所以2log (332)2a --<，log 42a <，当1a >时，24a >，2a ∴>；当01a <<时，24a <，∴01a << 所以实数a 的取值范围是(0,1)(2,)+∞. 本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）由(4)3f =得： 1n =()(),00,-∞+∞∴函数()f x 在()(),00,-∞+∞上为奇函数。
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一上学期期中考试数学试题 PDF
一2020-2021学年浙江杭州高级中学高一上学期期中数学试卷二三四【答案】B【解析】{{}{}{}{}{},,33=131,3,.010,1,3,0,1,0.1,1,3,1,1,1,03A B A B A m m m A B A B A m m m m A B A B A m A B m m B ⋃=∴⊆∴===⋃======⋃====== 或若，则，满足若解得或，若则满足若则显然不成立综上或故选【答案】A【解析】故选A【答案】C【解析】一2020-2021学年浙江杭州高级中学高一上学期期中数学试卷【答案】B【解析】两个函数为同一函数的要求为定义域和对应法则均相同；选项A 、C 、D 均定义域不同导致函数不同，B 则定义域和对应法则均相同。
故选B【答案】D【解析】()()()()()()321,312,1125,212f x f x x f x f x xf x f x x D +-=-∴-+=--=-=- 联立方程得，得故选【答案】D【解析】故选D 【答案】ABD【解析】故选ABDN M N M N ＭNN M NM N MN M N M N M M 二【答案】CD【解析】24,416A M M ∈=∉对于选项，但，所以不满足24,416M M ∈=∉对于B选项，但，所以不满足()221,-1,111,C M M M ∈∈=-=∈对于选项，且故满足21,11D M M ∈=∈对于选项，且，故满足故选CD【答案】AC 【解析】【答案】AD【解析】故选AD 【答案】79【解析】B故B 错误C故C 错误D故D正确三()()()211,9991879x f x x x f f -=--∴=-== 代入，【答案】[]01，【解析】()[][][]()[]1,3211,3,0,1210,1f x x x f x x +∈∈+∈ 的定义域为解得即的定义域为【答案】3【解析】故答案为3【答案】311---222⎛⎫⎡⎫∞⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，【解析】()2223322,322311-0-00222=m 3322230223,233221312211,22y x x y x f x x y x x y x m y x x y x m =+-=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=+⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭=+-=+⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭在坐标系中作出的图像得到三个零点，，，，，因为函数为分段函数，以为界，且有两个零点①段有个零点，段有个零点此时②段有个零点，段有个零点此时311222m ⎛⎫⎡⎫∈-∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭综上所述，，-，四【答案】（1）min 64,416xy x y ===此时（2）min 18,212x y x y +===此时【解析】【答案】()7113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()12,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）（2）【答案】(1)(]2,3-(2)13a ≥【解析】()()()()()(]{}21112211022120230232022,3=23x x x x x x x x x x x x x A x x -≤+-⇒-≤+--+⇒≤+-⇒≤+⇒-+≤≠-⇒∈--<≤且所以集合()(){}()()()()()222110,2311110010110101,113,313ax a x B A x x x A x B B Aax a x ax x a B x B A a y ax x B A a B x a B A a a a +--≤=-<≤∈∈⇒+--=-+≤=≥-⇒<=-+⇒>-≤≤⇒∴≤≥≥ 不等式的解集为且是的必要条件，即①当时，解集为不满足，故不满足②当时，二次函数开口向下，小于等于的解集取两边不满足，故不满足③当时，解集为即综上所述，【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）【答案】4441555f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（），且是回旋点()()()()()()()22221,112,11,11111x a a x a a a f f x x a a x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩=-++回旋点为【解析】()()()12,0121,1221,1241242555542242555545x x a f x x x f f f f ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-<≤⎪⎩⎛⎫=⋅=≠ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时此时满足回旋点定义，故是回旋点由（1）。
浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
四、解答题
17．如果x， ，比较 与 的大小．
18．若 ，且满足 .
（1）求 的最小值及相应x，y的值；
（2）求 的最小值及相应x，y的值.
19．求下列两个函数的值域：
（1） ；
（2） .
20．不等式： 的解集为A.
（1）当 时，求 的值并判断 是否为回旋点；
（2）当 时，求函数 的解析式，并求出 回旋点.
参考答案
1．B
【详解】
解： ．
或 ，解得 或 或 （与集合中元素的互异性矛盾，舍去）．
综上所述， 或 ．
故选：B．
2．A
【分析】
由已知 的范围，利用不等式的性质可得 的范围，再结合 的范围，利用不等式的可加性得答案．
【详解】
（1） ， ，且 ，
，
，
， 即 时等号成立
即 的最小值为64；
（2）因为 ，
所以 ，
则
当且仅当 ，即
又 ， ，
故当 ， 时， 取最小值 .
【点睛】
本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力，注意基本不等式成立的条件，属于中档题．
19．（1） ；（2）
【分析】
（1）将函数化为关于 的方程， 是参数，使得方程有解的 的取值范围即为值域；
8．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（）
A．15人B．16人C．17人D．18人
9．已知关于x的不等式 ，下列结论正确的是（）
浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <<B ．{}21x x -<<-C ．{}10x x -<<D ．{}20x x -<<3．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。
浙江省杭州市第二中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
2020学年杭二高一上期中一、选择题：每小题4分，共40分.1. 已知集合{,},{1,3}(,)A a b B a a b R ==+∈，若{}2A B ⋂=，则A B =（ ）A. {2}B. {3}C. {1，2，3}D. {0，1，2}【答案】C2. 与函数()f x =）A. ()2x g x x=B. ()2g x =C. ()g x x =D. ()g x x =【答案】D3. 已知幂函数()f x x α=的图象过点()93，，若()2f t =，则实数t 的值为（ ） A.B. C. 4± D. 4【答案】D4. 己知函数()y f x =，x ∈R ，且(0)3f =，(2)4(0)f f =，(4)4(2)f f =，(6)4(2)f f =，…，(2)4(22)f n f n =-，*n N ∈，则函数()y f x =的解析式可以是（ ）A. ()32xf x =⨯B. ()34xf x =⨯C. ()38xf x =⨯D. ()4xf x =【答案】A 5. 设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则(())2f f a =，则a =（ ） A. 0 B.13C.23D. 1【答案】C6. 若2233x y x y ---<-，则（ ） A. 22y x >B. 1x y<C. lg()0y x ->D. 122yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D7. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A. 0a b ab +<< B. 0ab a b <+< C. 0a b ab +<< D. 0ab a b <<+【答案】B8. 若对任意使得关于x 的方程20ax bx c ++=()0ac ≠有实数解的a ，b ，c 均有222()()()a b b c c a -+-+-2rc ≥，则实数r 的最大值是（ ）A. 1B.98C.916D. 2【答案】B9. 命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. 8a ≥ B. 9a ≥C. 10a ≥D. 11a ≥【答案】CD10. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a =,BC b =,O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ,连结OD ,AD ,BD ,过点C 作OD 的垂线,垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A.2a bab +≥(0a >,0b >) B. 222a b ab +≥(0a >,0b >)C.211ab a b≥+(0a >,0b >) D. 2222a b a b++≥(0a ≥,0b >) 【答案】AC11. 华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b =+，2112222c a b a b =+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b ∈R 有：()()()()121111b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12f ab y y =+，则（ ）A. ()00=fB. ()11f -=C. ()f x 是偶函数D. ()f x 是奇函数【答案】AD12. 定义域和值域均为[-a ，a ](常数a >0）的函数()y f x =和()y g x =的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）A. 方程(())0f f x =可能存在五个解B. 方程(())0g g x =有且仅有一个解C. 方程(())0f f x =有两负数解和一正数解D. 方程(())0g g x =最多只有三个解【答案】ABC二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13. 函数21()1f x x =+的值域是__________. 【答案】（0，1]14. 的数2()ln(2)f x x x =-的单调递增区间是__________. 【答案】（2，+∞）15. 已知函数()()()221f x x x ax b =-++，若对于任意的x ∈R ，都有()()4f x f x =-，则()f x 的最小值是_____. 【答案】16-16. 已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b+++++的最小值是_________. 【答案】4748.三、解答题：5小题，共74分.17. 计算：（1）)2411323230.002105283---⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()21lg5lg8lg10003lg 2lglg 0.066⋅++++ 【答案】（1）20-；（2）1. 18. 设常数a R ∈，集合101x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =≤-.（1）若2a =，求A B ，()RAB ；（2）若AB R =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|1AB x x =<-或1}x =，(){}R 1A B x x ⋂=>；（2）2a ≥.19. 2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]14,40t ∈时，曲线是函数()83log 5a y t =+-，（0a >且1a ≠）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．（1）试求()p f t =的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案】（1）()(]()(]21311282,0,144log 583,14,40t t p t t ⎧--+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．20. 已知函数1()xxf x a a =-(a >0，a ≠1). （1）若a >l ，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实致b 的取值范围； （2）若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1，+∞)上的最小值为2-，求m 的值. 【答案】（1）35b -<<；（2）2.21. 已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m << 22. 设函数2()f x ax x a b =+-+，a ，b ∈R .（1）若函数()f x 在[]0,2上单调递增，在()2,+∞单调递减，求实数a 的值；（2）若对任意的实数[]0,1b ∈及任意的[]3,3x ∈-，不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）14-；（2）12a =-.。
2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题
(2)若 GF1 DF2 ，求 k 的值；
(3)若 A1H HP ，求实数 的取值范围.
22．已知 f x ln x e x1 2 ， g x ax2 2x 1 ，其中实数 a 0 .
a
(1)求 f x 的最大值；
原式
sin
5
2
cos
π 5
cos
5
cos
π 5
sin sin cos cos 5
cos cos sin sin 5
5 5
tan tan 1 5
1 tan tan
x2 2x y2 (x 1)2 y2 1 PM 2 1 ，其中 M (1, 0), P 为可行域内一点，因为
PM CM ，所以 x2 2x y2 的最大值是 CM 2 1 16, 选 C.
成立，则称
x0
为函数
f
x
的“转折点”，已知函数
f
x
ex
1 2
ax2
2x
在区间
0,1 上存在一个“转折点”，则 a 的取值范围是
A． 0, e
B．1, e
C．1,
D． ,e
试卷第 2页，总 5页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
2023-2024学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．63．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞)B ．(−235，1)C ．（1，+∞）D ．(−∞，−235)7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√210．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．212．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x 2，x ∈[12，4]的最大值为 ．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12；（2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围．21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义； （2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4tx|，其中常数t ＞0．（1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}解：A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{﹣1，0}． 故选：B ．2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6解：因为f （2x +1）＝x 2+1， 令t =2x +1，x =t−12，f(t)=(t−12)2+1， 即f(x)=(x−12)2+1，所以f （3）＝2． 故选：B ．3．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若x 2+y 2＝0，则x ＝0，y ＝0，所以可得xy ＝0， 即由“x 2+y 2＝0”可以推出“xy ＝0”，若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，得不到x 2+y 2＝0，例如x ＝0，y ＝2， 即由“xy ＝0”推不出“x 2+y 2＝0”，所以“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)解：函数f （x ）的定义域为（0，1），令0＜2x ﹣1＜1，解得12＜x ＜1． 故选：D ．5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）解：根据题意，函数f （x ）为R 上的偶函数，则f （﹣3）＝f （3）， 又由函数在[0，+∞）上是增函数，f （0）＜f （1）＜f （3）， 则有f （﹣3）＞f （1）＞f （0）． 故选：B ．6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞) B ．(−235，1) C ．（1，+∞） D ．(−∞，−235) 解：令函数f （x ）＝x 2+ax ﹣2，若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上无解， 则{f(1)≤0f(5)≤0，即{a −1≤052+5a −2≤0，解得a ≤−235．所以使得关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解的a 的范围是（−235，+∞）． 故选：A ．7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e解：构造函数f （x ）＝x +e x ，g （x ）＝x +5x ，f （m ）＝m +e m ＝e ，g （n ）＝n +5n ＝e ， 易知函数f （x ），g （x ）为增函数．函数f （x ），g （x ）与函数y ＝e 的图象，如下图所示： 由图可知，0＜n ＜m ．又f （1）＝1+e ＞f （m ），g （1）＝1+5＞g （n ）， 所以m ＜1，n ＜1． 综上，0＜n ＜m ＜1． 故选：B ．8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4解：函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ＝{x |ax 2﹣2ax ≥0}＝{x |0≤x ≤2}， 因为对于任意m ，n ∈D ，所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域， 所以正方形的边长为2， 又因为f （0）＝f （2）＝0， 所以函数f （x ）的最大值为2， 即ax （x ﹣2）的最大值为4，所以x ＝1时，f （1）=√a ⋅(−1)=2，解得a ＝﹣4． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√2解：因为x ，y 是正数，且2x +y ＝1， 所以2xy ≤(2x+y 2)2=14，当且仅当2x ＝y =12时取等号，A 正确； 4x 2+y 2＝（2x +y ）2﹣4xy ＝1﹣4xy ≥1−12=12，当且仅当2x ＝y =12时取等号，此时4x 2+y 2取得最小值12，B 正确； x （x +y ）≤(x+x+y 2)2=14，当且仅当x ＝x +y ，即y ＝0时取等号，根据题意显然y ＝0不成立，即等号不能取得，x （x +y ）没有最大值，C 错误；1x+1y=2x+y x+2x+y y =3+yx+2xy ≥3+2√2，当且仅当y x =2x y且2x +y ＝1，即x ＝1−√22，y =√2−1时取等号，此时1x+1y取得最小值3+2√2，D 正确．故选：ABD ．10．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝x a 在（0，+∞）上单调递增，函数y ＝a x 在（0，+∞）上单调递减， 因此函数f （x ）＝x a ﹣a x 在（0，+∞）上单调递增，而f （0）＝﹣1，f （a ）＝0，函数图象为曲线，A 可能；当a ＝1时，函数f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上的图象是不含端点（0，﹣1）的射线，B 可能； 当a ＞1时，取a ＝2，有f （2）＝f （4）＝0，即函数f （x ）＝x 2﹣2x ，x ＞0图象与x 轴有两个公共点， 又x ∈（0，+∞），随着x 的无限增大，函数y ＝a x 呈爆炸式增长，其增长速度比y ＝x a 的大，因此存在正数x 0，当x ＞x 0时，x 02＜a x 0恒成立，即f （x ）＜0，C 可能，D 不可能．故选：ABC ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2解：因为0＜10x ，则110x+1＞1，所以函数f(x)=10x10x +1=11+110x的值域是（0，1），则f(x)−12的范围是(−12，12)，于是y =[f(x)−12]的函数值可能是﹣1或0． 故选：AB ．12．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解解：f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|=|√(x +1)2+22−√(x −3)2+22|． 此函数即为x 轴上的点P （x ，0）到A （﹣1，2）与B （3，2）两点距离之差的绝对值， 故其图象关于x ＝1轴对称，A 正确；当x ＝1时，函数最小值为0，当x 趋近于无限大时，函数值无限接近4，其值域为[0，4），故B 错误； 由f （x ）＝||P A |﹣|PB ||，可得当x ∈（1，+∞）时，|P A |﹣|PB |随x 的增大而增大，故当f （x ）在（1，+∞）上为增函数， 由A 可得f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，故C 正确；令t ＝f （x ），当t ＝0或2时，f(t)=√13−√5，当f （x ）＝0时，x ＝1； 当f （x ）＝2时，由图象可知，f （x ）有两个实根，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ﹣1或2 ． 解：要使函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数， 则 m 2﹣m ﹣1＝1 解得：m ＝﹣1或2． 故答案为：﹣1或2．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 [13，23） ．解：根据题意，已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则有{3a −2＜00＜a ＜1(3a −2)+3a ≥0，解可得13≤a ＜23，即a 的取值范围为[13，23）．故答案为：[13，23）．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x2，x ∈[12，4]的最大值为 98．解：当12≤x ≤4时，f （x ）＝log 24x •lo g 14x 2=（2+log 2x ）（−12log 2x +12），令t ＝log 2x ，﹣1≤t ≤2，则原函数可化为g （t ）=−12（2+t ）（t ﹣1）=−12（t 2+t ﹣2）， 根据二次函数的性质可知，当t =−12时，函数取得最大值98．故答案为：98．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 [﹣4，0] ． 解：因为A ＝B ≠∅，所以m 2﹣4n ≥0， 设x 2+mx +n ＝0的两个根为x 1，x 2（设x 1≤x 2），x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝n ，A ＝{x |f （x ）≤0}＝{x |x 1≤x ≤x 2}，由f （f （x ）+2）≤0，得x 1≤f （x ）+2≤x 2，即x 1﹣2≤f （x ）≤x 2﹣2， 由于A ＝B ，则x 2﹣2＝0，且x 1−2≤4n−m 24（二次函数最小值）， x 2﹣2＝0⇒x 2＝2，因此有x 1+2＝﹣m ，2x 1＝n ，所以n ＝﹣2m ﹣4， 代入m 2﹣4n ≥0，得m 2+8m +16≥0，此式恒成立，代入x 1−2≤4n−m 24，得−m −4≤−8m−16−m 24，解得﹣4≤m ≤0， 所以m 的取值范围为[﹣4，0]． 故答案为：[﹣4，0]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值．解：（1）由题可得B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}＝{2，3}，由A ∩B ＝A ∪B ，得A ＝B ． 从而2，3是方程x 2﹣ax +a 2﹣19＝0的两个根，即{2+3=a 2×3=a 2−19，解得a ＝5．（2）因为B ＝{2，3}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}＝{﹣1，3}． 因为∅⫋（A ∩B ），所以A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，所以2∈A ， 即4﹣2a +a 2﹣19＝0，a 2﹣2a ﹣15＝0，解得a ＝5或a ＝﹣3． 当a ＝5时，A ＝{2，3}，则A ∩C ≠∅，不符合题意；当a ＝﹣3时，A ＝{﹣5，2}，则∅⫋A ∩B ＝{2}且A ∩C ＝∅，故a ＝﹣3符合题意， 综上，实数a 的值为﹣3． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12； （2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 解：（1）原式=412×432a 32b −3210⋅a 32⋅b −32=2×810×1=85；（2）原式=log 31232+lg 5+lg 2﹣log 23×3log 32+3+lne 12=4+1﹣3+3+12=112．19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 证明：（1）设任意两个实数x 1，x 2满足x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1−2x 2+12x 2=(2x 1−2x 2)(1+12x 1⋅2x 2)， ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，1+12x 1⋅2x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在R 上为单调递增；解：（2）原不等式化为f （3x 2+1）⩾﹣f （k ﹣x 2）， ∵f （﹣x ）＝2﹣x ﹣2x ＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数，∴不等式化为f （3x 2+1）⩾f （x 2﹣k ）， 又f （x ）是增函数，所以3x 2+1⩾x 2﹣k ， ∴问题转化为∀x ∈[﹣1，1]，2x 2+1⩾﹣k 恒成立， ∴k ⩾﹣1，则实数k 的取值范围为[﹣1，+∞）．20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围． 解：（1）由函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． 可知f （x ）＝f （﹣x ）∴log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx （（2分）即log 44x+14−x +1=−2kx∴log 44x ＝﹣2kx （4分）∴x ＝﹣2kx 对x ∈R 恒成立．（6分）∴k =−12．（7分）（2）由m =f(x)=log 4(4x +1)−12x ，∴m =log 44x +12x =log 4(2x +12x )．（9分）∵2x +12x ≥2（11分） ∴m ≥12（13分）故要使方程f （x ）﹣m ＝0有解，m 的取值范围：m ≥12．（14分）21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t −10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．解：（1）p （5）＝60﹣（5﹣10）2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）∵y =6p(t)+24t−10， ∴当5≤t ＜10时，y =360−6(t−10)2+24t −10=110−(6t +216t)， 任取5≤t 1＜t 2≤6，则y 1−y 2=[110−(6t 1+216t 1)]−[110− (6t 2+216t 2)]=6(t 2−t 1)+216t 2−216t 1=6(t 2−t 1)+ 216(t 1−t 2)t 1t 2=6(t 2−t 1)(t 1t 2−36)t 1t 2，∵5≤t 1＜t 2≤6，∴t 2﹣t 1＞0，25＜t 1t 2＜36，∴y 1﹣y 2＜0，∴函数y =110−(6t +216t )在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10）上单调递减， ∴当t ＝6时，y 取得最大值38；当10≤t ≤20时，y =6×60+24t −10=384t −10， 该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4，综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4t x|，其中常数t ＞0． （1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，由f(x)=|tx 2−5x+4t x |，得f(x)=|t(x +4x)−5|， 设ℎ(x)=t(x +4x )，由于t ＞0，则h （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调且h （x ）≥4t ，要使函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，只需4t ﹣5≥0，解可得t ≥54；所以t 的取值范围为[54，+∞）； （2）根据题意，当t ＝1时，f （x ）＝|x 2−5x+4x |＝|x +4x−5|， 其草图如图：易得f （x ）在（0，1）、（1，2）、（2，4）、（4，+∞）均为单调函数．分4种情况处理：①当[a ，b ]⊆（0，1]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0． ∵a ，b ∈（0，1]，∴上式不成立，即a ，b 无解，m ∈∅；②当[a ，b ]⊆（1，2]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递增，则{f(a)=ma f(b)=mb ，即m =−4a 2+5a −1，在a ∈（1，2]有两个不等实根， 令1a =t ∈[12，1)，则−4a 2+5a −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ（t ）在[12，1)的图像可知，12≤m ＜916；③当[a ，b ]⊆（2，4]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0， ∴a +b =5∴b =5−a ＞a ∴2＜a ＜52，由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a 5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254， 则m 关于a 的函数是单调的，而m =5−a−4a 5−a应有两个不同的解，∴此种情况无解； ④当[a ，b ]⊆[4，+∞）时，同（I ）可以解得m ∈∅，综上，m 的取值范围为[12，916)．。
2020-2021杭州市高一数学上期中试卷附答案
2020-2021杭州市高一数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1274．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-8．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>11．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______.15．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.16．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.17．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．18．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___． 19．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 20．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 22．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围. 23．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.24．国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元． （1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； （2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？25．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若AB B =，求实数a 的范围.26．已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。
2020-2021学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{a，b}，B＝{a+1，3}（a，b∈R），若A∩B＝{2}，则A∪B＝（）A．{2}B．{3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}2．与函数f（x）＝表示同一函数提（）A．g（x）＝B．g（x）＝（）2C．g（x）＝x D．g（x）＝|x|3．已知幂函数f（x）＝x a的图象过点（9，3），若f（t）＝2，则实数t的值为（）A．B．C．±4D．44．己知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝3，，，，…，，n∈N*，则函数y＝f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝3×2x B．f（x）＝3×4x C．f（x）＝3×8x D．f（x）＝4x5．设函数，则f（f（a））＝2，则a＝（）A．0B．C．D．16．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．y2＞x2B．C．lg（y﹣x）＞0D．7．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 8．若对任意使得关于x的方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有实数解的a，b，c均有（a﹣b）2+（b﹣a）2+（c﹣a）2≥rc2，则实数r的最大值是（）A．1B．C．D．29．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥8B．a≥9C．a≥10D．a≥1110．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．（a＞0，b＞0）B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）C．（a＞0，b＞0）D．（a≥0，b＞0）11．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中c1＝a1b11+a2b21，c2＝a1b12+a2b22．已知定义在R上不恒为0的函数f（x），对任意a，b∈R有：且满足f（ab）＝y1+y2，则（）A．f（0）＝0B．f（﹣1）＝1C．f（x）是偶函数D．f（x）是奇函数12．定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（）A．方程f（f（x））＝0可能存在五个解B．方程g（g（x））＝0有且仅有一个解C．方程f（f（x））＝0有两负数解和一正数解D．方程g（g（x））＝0最多只有三个解二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13．函数f（x）＝的值域是．14．函数f（x）＝ln（x2﹣2x）的单调递增区间是．15．若函数f（x）＝（x2﹣1）（x2+ax+b）对于任意x∈R都满足f（x）＝f（x﹣4），则f（x）的最小值是．16．已知a、b、c为正实数，则代数式的最小值是．三、解答题：5小题，共74分.17．计算：（1）；（2）lg5•（lg8+lg1000）+3lg22+lg+lg0.06．18．设常数a∈R，集合，B＝{x|x≤a﹣1}．（1）若a＝2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B＝R，求a的取值范围．19．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝log a（t﹣5）+83（a＞0，且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p＝f（t）的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．20．已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若a＞1，不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围；（2）若且在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．21．已知函数为奇函数．（1）求实数k的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．22．设函数f（x）＝ax2+|x﹣a|+b，a，b∈R．（1）若函数f（x）在[0，2]上单调递增，在（2，+∞）单调递减，求实数a的值；（2）若对任意的实数b∈[0，1]及任意的x∈[﹣3，3]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分.1．已知集合A＝{a，b}，B＝{a+1，3}（a，b∈R），若A∩B＝{2}，则A∪B＝（）A．{2}B．{3}C．{1，2，3}D．{0，1，2}解：∵A∩B＝{2}，∴2∈B，2∈A，∴，解a＝1，b＝2，∴A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．故选：C．2．与函数f（x）＝表示同一函数提（）A．g（x）＝B．g（x）＝（）2C．g（x）＝x D．g（x）＝|x|解：对于A，g（x）＝＝x的定义域是{x|x≠0}，f（x）＝＝|x|的定义域是R，定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于B，g（x）＝＝x的定义域是{x|x≥0}，f（x）＝＝|x|的定义域是R，定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于C，g（x）＝x的定义域是R，f（x）＝＝|x|的定义域是R，对应关系不同，不是同一函数；对于D，g（x）＝|x|的定义域是R，f（x）＝＝|x|的定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．已知幂函数f（x）＝x a的图象过点（9，3），若f（t）＝2，则实数t的值为（）A．B．C．±4D．4解：幂函数f（x）＝x a的图象过点（9，3），所以9a＝3，解得a＝，所以f（x）＝；当f（t）＝2时，即＝2，解得t＝4．故选：D．4．己知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝3，，，，…，，n∈N*，则函数y＝f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝3×2x B．f（x）＝3×4x C．f（x）＝3×8x D．f（x）＝4x解：由题可知，＝4n，因为f（0）＝3，所以f（2n）＝3×4n，令x＝2n，则n＝，所以f（x）＝3×＝3×2x，故选：A．5．设函数，则f（f（a））＝2，则a＝（）A．0B．C．D．1解：∵函数，f（f（a））＝2，∴当a＜1时，f（a）＝3a﹣1，当f（a）＝3a﹣1＜1时，f（f（a））＝3（3a﹣1）﹣1＝2，解得a＝；当f（a）＝3a﹣1≥1时，f（f（a））＝23a﹣1＝2，则3a﹣1＝1，解得a＝；当a≥1时，f（a）＝2a，当f（a）＝2a＜1时，f（f（a））＝3×2a﹣1＝2，解得a＝0，不合题意；当f（a）＝2a≥1时，f（f（a））＝＝2，解a＝0，不合题意．综上，a＝．故选：C．6．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．y2＞x2B．C．lg（y﹣x）＞0D．解：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，设f（t）＝2t﹣3﹣t，则f（t）在R上是单调增函数；所以x＜y．对于A，由x＜y，不能得出y2＞x2，所以A错误；对于B，由x＜y，也不能得出，所以B错误；对于C，由x＜y，得出y﹣x＞0，不能得出lg（y﹣x）＞0，所以C错误；对于D，x＜y时，＞，即，选项D正确．故选：D．7．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 解：∵a＝log0.20.3＝，b＝log20.3＝，∴＝，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．8．若对任意使得关于x的方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有实数解的a，b，c均有（a﹣b）2+（b﹣a）2+（c﹣a）2≥rc2，则实数r的最大值是（）A．1B．C．D．2解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有实数解，△＝b2﹣4ac≥0，即，令，，故x2﹣4y≥0，即，∵（a﹣b）2+（b﹣a）2+（c﹣a）2≥rc2，∴，而＝2x2﹣2x+2+2y2﹣2y﹣2xy＝2y2﹣2（x+1）y+2x2﹣2x+2，当，即，当时，函数f（y）＝2y2﹣2（x+1）y+2x2﹣2x+2有最小值，，，，∴在其定义域上是增函数，又∵，∴当时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0，∴g（x）在上是减函数，在上是增函数，∴，当，即或时，当时，函数f（y）＝2y2﹣2（x+1）y+2x2﹣2x+2有最小值，，∵或，∴，综上，的最小值为，故实数实数r的最大值是．故选：B．9．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥8B．a≥9C．a≥10D．a≥11解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a．a≥10；a≥11是命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选：CD．10．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A．（a＞0，b＞0）B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）C．（a＞0，b＞0）D．（a≥0，b＞0）解：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD，所以：（a＞0，b＞0）．由于CD2＝AC•CB＝ab，所以所以由于CD≥DE，整理得：（a＞0，b＞0）．故选：AC．11．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中c1＝a1b11+a2b21，c2＝a1b12+a2b22．已知定义在R上不恒为0的函数f（x），对任意a，b∈R有：且满足f（ab）＝y1+y2，则（）A．f（0）＝0B．f（﹣1）＝1C．f（x）是偶函数D．f（x）是奇函数解：根据定义可得：y1＝f（a）（﹣1）+f（b）（a﹣1）；且y2＝f（a）（b+1）+f（b）×1；∴f（ab）＝y1+y2＝﹣f（a）+f（b）（a﹣1）+f（a）（b+1）+f（b）；令a＝b＝0可得：f（0）＝﹣f（0）+f（0）（0﹣1）+f（0）（0+1）+f（0）⇒f（0）＝0，A成立；令a＝b＝1可得：f（1）＝﹣f（1）+f（1）（1﹣1）+f（1）（1+1）+f（1）⇒f（1）＝0，令a＝b＝﹣1可得：f（1）＝﹣f（﹣1）+f（﹣1）（﹣1﹣1）+f（﹣1）（﹣1+1）+f（﹣1）⇒f（﹣1）＝0，B不成立，令a＝﹣1可得：f（﹣b）＝﹣f（﹣1）+f（b）（﹣1﹣1）+f（﹣1）（b+1）+f（b）⇒f （﹣b）＝﹣f（b），C不成立，D成立，故选：AD．12．定义域和值域均为[﹣a，a]（常数a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（）A．方程f（f（x））＝0可能存在五个解B．方程g（g（x））＝0有且仅有一个解C．方程f（f（x））＝0有两负数解和一正数解D．方程g（g（x））＝0最多只有三个解解：对于A选项，设f（x）＝0的三个解分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜0＜x3，设y＝f（x）的极大值为m，极小值为n，当x1＜n时，f（x）＝x1有一个解；当n＜x2＜m时，f（x）＝x2有三个解；当x3＞m时，f（x）＝x3有一个解，所以方程f（f（x））＝0可能存在五个解，即A正确；对于C选项，当x1＜n时，f（x）＝x1有一个负数解；当x2＝n时，f（x）＝x2有一个负数解；当x3＞m时，f（x）＝x3有一个正数解，即C正确；对于B选项，设g（x）＝0的解为x4，且0＜x4＜a，由于g（x）在[﹣a，a]上单调递减，所以g（x）＝x4有唯一解，所以方程g（g（x））＝0有且仅有一个解，即B正确，D错误．故选：ABC．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13．函数f（x）＝的值域是（0，1]．解：对于y＝1+x2≥1，故f（x）≤1，当x→∞时，y＝1+x2→+∞，故f（x）→0，故f（x）的值域是（0，1]，故答案为：（0，1]．14．函数f（x）＝ln（x2﹣2x）的单调递增区间是（2，+∞）．解：∵f（x）的定义域为：（2，+∞）∪（﹣∞，0）令z＝x2﹣2x，则原函数可以写为y＝lnz，∵y＝lnz为增函数∴原函数的增区间即是函数z＝x2﹣2x的单调增区间即（2，+∞）．∴x∈（2，+∞）故答案为：（2，+∞）．15．若函数f（x）＝（x2﹣1）（x2+ax+b）对于任意x∈R都满足f（x）＝f（x﹣4），则f（x）的最小值是﹣16．解：由题意可知，f（1）＝f（﹣1）＝0，又f（x）＝f（x﹣4），所以f（3）＝f（5）＝0，即，解得a＝﹣8，b＝15所以f（x）＝（x2﹣1）（x2﹣8x+15）＝（x2﹣1）（x﹣3）（x﹣5）＝（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），令t＝x2﹣4x+4，t≥0，则函数f（x）可转化为g（t）＝（t﹣1）（t﹣9）＝（t﹣5）2﹣16，所以f（x）的最小值是﹣16．16．已知a、b、c为正实数，则代数式的最小值是．解：令b+3c＝x，8c+4a＝y，3a+2b＝z，则a＝，b＝，c＝，所以代数式＝．当且仅当x：y：z＝1：2：3，即a：b：c＝10：21：1时，等号成立．故答案为：．三、解答题：5小题，共74分.17．计算：（1）；（2）lg5•（lg8+lg1000）+3lg22+lg+lg0.06．解：（1）＝＝（2）＝＝3（lg5+lg2）•lg2+3lg5﹣2＝1．18．设常数a∈R，集合，B＝{x|x≤a﹣1}．（1）若a＝2，求A∩B，A∩（∁R B）；（2）若A∪B＝R，求a的取值范围．解：（1）∵A＝{x|x＜﹣1或x≥1}，a＝2时，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|x＜﹣1或x＝1}，∁R B＝{x|x＞1}，A∩（∁R B）＝{x|x＞1}；（2）∵A∪B＝R∴a﹣1≥1，解得a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．19．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝log a（t﹣5）+83（a＞0，且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．（1）试求p＝f（t）的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．解：（1）当t∈（0，14]时，设p＝f（t）＝c（t﹣12）2+82（c＜0），将点（14，81）代入得c＝﹣，∴当t∈（0，14]时，p＝f（t）＝﹣（t﹣12）2+82；当t∈（14，40]时，将点（14，81）代入y＝log a（t﹣5）+83，得a＝，所以p＝f（t）＝；（2）当t∈（0，14]时，﹣（t﹣12）2+82≥80，解得12﹣2≤t≤12+2，所以t∈[12﹣2，14]，当t∈（14，40]时，log（t﹣5）+83≥80，解得5＜t≤32，所以t∈（14，32]，综上t∈[12﹣2，32]时学生听课效果最佳，此时，所以，教师能够合理安排时间讲完题目．20．已知函数（a＞0，a≠1）．（1）若a＞1，不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围；（2）若且在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．解：（1）∀x∈R，f（﹣x）＝a﹣x﹣＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），即f（x）是R上的奇函数．且a＞l时，g（x）＝a x单调递增，（x＞0）也单调递增，由复合函数单调性可知f（x）＝h[g（x）]在R上单调递增．原不等式f（x2+bx）+f（4﹣x）＞0⇔f（x2+bx）＞﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4）⇔x2+bx＞x﹣4，因此x2+（b﹣1）x+4＞0对x∈R恒成立，故△＝（b﹣1）2﹣16＝（b﹣5）（b+3）＜0，即﹣3＜b＜5．（2）∵，且a＞0，∴a＝2（a＝﹣＜0舍去）．因此，，当x∈[1，+∞）时，，令，其中x∈[1，+∞），并令φ（t）＝h（x）＝t2﹣2mt+2，其中，二次函数对称轴，①若，则，解得，矛盾，故无解；②若，则，解得m＝2（m＝﹣2＜舍去），满足题意．综上所述，m＝2．21．已知函数为奇函数．（1）求实数k的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为，求实数m的取值范围．解：（1）因为函数为奇函数，所以f（x）+f（﹣x）＝0，即对定义域内任意x恒成立，所以k2＝1，即k＝±1，显然k≠﹣1，又当k＝1时，的定义域关于原点对称．所以k＝1为满足题意的值．（2）结论：f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）上均为增函数．证明：由（1）知，其定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，则，因为7（x1﹣1）（x2+1）﹣（x1+1）（x2﹣1）＝2（x1﹣x2）＜0，所以，所以，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．同理，f（x）在（﹣∞，1）上为增函数．（3）由（2）知f（x）在（1，+∞）上为增函数，又因为函数f（x）在[α，β]上的值域为，所以m＞0，且，所以，即α，β是方程的两实根，问题等价于方程在（1，+∞）上有两个不等实根，令，对称轴则，即，解得．故m的范围（0，）．22．设函数f（x）＝ax2+|x﹣a|+b，a，b∈R．（1）若函数f（x）在[0，2]上单调递增，在（2，+∞）单调递减，求实数a的值；（2）若对任意的实数b∈[0，1]及任意的x∈[﹣3，3]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）＝，显然a＜0，则，解得，经检验，符合题意，∴a的值为﹣；（2）不等式|f（x）|≤2恒成立，即﹣2≤f（x）≤2，令g（x）＝ax2+|x﹣a|，则﹣2﹣b≤g（x）≤2﹣b恒成立，由任意的实数b∈[0，1]恒成立，则﹣2≤g（x）≤1恒成立．则由，解得，﹣2≤g（x）≤1可化为﹣ax2﹣2≤|x﹣a|≤﹣ax2+1恒成立，先考虑|x﹣a|≤﹣ax2+1恒成立，即ax2﹣1≤|x﹣a|≤﹣ax2+1，由x﹣a≤﹣ax2+1恒成立知，（x﹣1）（ax+a+1）≤0恒成立，则a+a+1＝0，即．只需证明：，因为，当时，，当时，，证毕．故实数a的取值范围为{﹣}．。
2020-2021学年杭州高级中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年杭州高级中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x≤a}，B={x|1≤x<2且A⊆∁R B，则实数a的取值范围是()A. (∞,1]B. (−∞,1)C. [2,+∞)D. (2,+∞)2.已知a，b∈R，则“a>b>1”是“log2a>log2b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知数列的前项和，第项满足，则k=()A. 9B. 8C. 7D. 64.已知函数f(x)=|mx|−|x−l|(m>0)，若关于x的不等式f(x)≥0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为()A. (0,1]B. [23,34) C. [43,32) D. [23,2)5.用max{a,b}表示a，b两个数中的较大值，设f(x)=max{2x−1,1x}(x>0)，则f(x)的最小值为()A. −1B. 1C. 0D. 不存在6.某农户计划种植黄瓜和冬瓜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜与冬瓜的产量、成本和售价如表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元冬瓜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入−总种植成本)最大，那么黄瓜与冬瓜的种植面积(单位：亩)分别为()A. 50，0B. 30，20C. 20，30D. 0，507. 已知函数f(x)=cos2x⋅cosφ−sin(2x+π)⋅sinφ在x=π3处取得最小值，则函数f(x)的一个单减区间为()A. (π3,4π3) B. (−2π3,π3) C. (π3,5π6) D. (−π6,π3)8. 已知正整数n ≥4，p ∈(0,1)，随机变量X 的分布列是( )X 1 pp 2 ⋯ p n−2 p n−1 Ppp 2p 3⋯p n−1p n则当n 在[4,100]内增大时，( )A. E(X)<1B. E(X)=1C. E(X)>1D. E(X)与1没有确定的大小关系9. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A. B. C. D.10. 数列的前项n 和则( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 某停车场有6个停车位，现停进了4辆不同的轿车，考虑到进出方便，要求任何三辆车不能连续停放在一起，共有______种停法．(用数字作答)．12. 在边长为2的正三角形ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,x >0,y >0,x +y =1，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______．13. 函数f(x)=x 2−2x +2在区间[0,m]上的最大值为2，最小值为1，则m 的取值范围是______ ． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 若(1−2x)4(1+ax)3展开式中各项系数和为8，则a = (1) ，展开式中x 2项的系数为 (2) ． 15. 若将函数f(x)=sin2x 的图象向左平移π6个单位，则得到的图象对应的解析式为g(x)= ，g(x)的单调递增区间是 ．16. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形则此三棱锥的体积为： (1) cm 3，此三棱锥的外接球表面积为： (2) cm 2．17. 在平面直角坐标系中，动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线为W ． (Ⅰ)给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是 (1) ；(Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为 (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=2√3sin 2x −sin(2x −π3) (Ⅰ) 求函数f(x)的最小正周期及单调增区间； (Ⅱ) 设α∈(0,π)，f(α2)=12+√3，求sinα的值； (Ⅲ)若x ∈[−π2,0]，函数f(x)的最大值．19. 如图，在三棱锥A −BCD 中，底面BCD 是边长为2的等边三角形，侧棱AB =AD =√2，AC =2，O 、E 、F 分别是BD 、BC 、AC 的中点． (1)求证：EF//平面ABD ； (2)求证：AO ⊥平面BCD ；(3)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．20. 设不等式组{x <0y <0y ≥−nx −3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(n ∈N ∗). (1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式；(2)记数列{f(n)}的前n 项和为S n ，若S n >λn 对任意正整数n 恒成立，求λ的取值范围．21. 已知一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F(2,0)的距离减去它到y轴的距离的差都是2(1)求曲线C的方程；(2)一直线l与曲线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=8，求证：AB的垂直平分线恒过定点．22. 已知函数g(x)=(2−a)lnx，ℎ(x)=lnx+ax2(a∈R)，令f(x)=g(x)+ℎ′(x)．(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；(Ⅱ)当a<0时，求f(x)的单调区间；(Ⅲ)当−3<a<−2时，若存在λ1，λ2∈[1,3]，使得|f(λ1)−f(λ2)|<(m+ln3)a−2ln3成立，求m 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：因为B={x|1≤x<2}，所以∁B={x|x<1或x≥2}，R由A={x|x≤a}，且A⊆∁R B，得a<1，故选：B．由B={x|1≤x<2}，得∁B={x|x<1或x≥2}，由A⊆∁R B，得a<1，得解．R本题考查了集合的包含关系及其运算，补集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：由log2a>log2b解得：a>b>0，∴“a>b>1”是“log2a>log2b”的充分不必要条件，故选：A．由log2a>log2b”解出a>b>0，再结合充分必要条件的定义从而得到答案．本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．3.答案：B解析：解析：试题分析：因为，，所以，；当=2n−10，所以，。
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）已知集合M＝{x|y＝ln（3+2x﹣x2）}，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）2．（4分）复数（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣a﹣6）i为纯虚数的一个必要不充分条件是（）A．a＝﹣1B．a＝3C．a＝﹣2或a＝3D．a＝﹣1或a＝﹣2 3．（4分）已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1＝1，2（a n a n+1+1）＝tn（1+a n），t为常数，则a n＝（）A．2n﹣1B．4n﹣3C．5n﹣4D．n4．（4分）下列不可能是函数f（x）＝x a（e x﹣e﹣x）（a∈Z）的图象的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知x，y，z∈R+，且，则（x+y）（y+z）的最小值为（）A．4B．3C．2D．16．（4分）已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4]B．[4，6]C．[5，8]D．[6，7]7．（4分）已知函数f（x）＝sin x+a cos x，x∈[0，]的最小值为a，则实数a的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，2]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，3] 8．（4分）将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（ξ＝3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则E（ξ），E（2ξ+1）分别等于（）A．B．C．，3D．，49．（4分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）10．（4分）记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M＝{，a i∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，则第2021个数是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）在（2x﹣y）5的展开式中，所有项系数的绝对值的和为，x2y3的系数是．12．（6分）已知函数f（x）＝2|sin x|﹣|cos x|，则f（x）的最小正周期，f（x）的值域．13．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（﹣1，2），且＝，动点P 与M，N连线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为，△PMN面积的取值范围是．15．（4分）如图，给三棱柱ABC﹣DEF的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有．16．（4分）已知△ABC的外心为O，＝3+4，则cos B的取值范围是．17．（4分）定义a⊗b＝，若x，y＞0，则⊗的最小值．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2020-2021学年杭州高中高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年杭州高中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合{a,b，c}的所有子集的个数有()A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个2.设复数满足(为虚数单位)，则的实部是A. 1B. 2C. 3D. 43.已知函数f(x)是(−∞,+∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x+2)=−f(x)，且当x∈[0,2)，f(x)=log2(x+1)，则f(−2011)+f(2012)=()A. 1+log23B. −1+log23C. −1D. 14.将函数y=cosx的图象经过怎样的平移，可以得到函数y=sin(x+π6)的图象()A. 向左平移π6个单位 B. 向左平移π3个单位C. 向右平移π3个单位 D. 向右平移π6个单位5.若sinθ+cosθsinθ−cosθ=2，则sinθ·cosθ=()A. −310B. 310C. ±310D. 346.下列函数中，周期为π，且在(0,)上单调递增的是()A. y=tan|x|B. y=−|tanx|C. y=|sinx|D. y=|cosx|7.“a=1”是“函数f(x)=x3+ax2+ax+1没有极值”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为()A. 10B. 20C. 32D. 259.已知θ是第三象限角，|cosθ|=m，且sinθ2+cosθ2>0，则cosθ2等于()A. √1+m2B. −√1+m2C. √1−m2D. −√1−m210.如图可能是下列哪个函数的图象()A. y =xx+1 B. y =xlnx C. y =(x 2−2x)e xD. y =x 2−2|x|二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 曲线y =2x −3x 3在点(−1,1)处切线的斜率为______．12. 若满足B =45°，AC =5，BC =k 的△ABC 恰有一个，则实数k 的取值范围是______ ． 13. 若函数在区间(−∞,4]上是减函数，则实数a 的取值范围是三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 袋子里有7个大小相同的小球，其中2个红球，5个白球，从中随机取出2个小球，则取出的都是红球的概率为 (1) ；若ξ表示取出的红球的个数，则E(ξ)= (2)15. 设函数f(x)={2−x ,x <1log 2x,x ≥1那么f[f(−12)]= (1) ；若函数y =f(x)−k 有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是 (2) ．16. 若(x +y)(2x −y)5=a 1x 6+a 2x 5y +a 3x 4y 2+a 4x 3y 3+a 5x 2y 4+a 6xy 5+a 7y 6，则a 4= (1) ，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7= (2) ．17. 已知x ∈R ，定义：A(x)表示不小于x 的最小整数．如A(√3)=2，A(−1.2)=−1.若A(2x +1)=3，则x 的取值范围是 (1) ；若x >0且A(2x ⋅A(x))=5，则x 的取值范围是 (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ． (1)若c =2，C =60°，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长； (2)若sinC +sin(B −A)=sin2A ，试判断△ABC 的形状．19. (本题满分14分)已知四边形满足//，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点．(Ⅰ)求四棱锥的体积；(Ⅱ)证明：//面；(Ⅲ)求面与面所成二面角的余弦值．20.已知数列{a n}满足a1=3，a n⋅a n−1=2a n−1−1(1)求a2，a3，a4；}是等差数列，并求出{a n}的通项公式．(2)求证：数列{1a n−121.已知椭圆C：x2+y2=1.过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点．2(1)线段AB的垂直平分线交AB于点M，交y轴于点Q，求证：线段QM的中点在定直线上；(2)求PA的取值范围．AB22.已知函数f(x)=sinx−ax−bxcosx(a∈R,b∈R)．(1)若b=0，讨论函数f(x)在区间(0,π)上的单调性；(2)若a=2b且对任意的x≥0，都有f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查子集的概念，注意空集是任何集合的子集。
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|y=ln(3+2x−x2)}，N={x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. (−∞,−1]D. (−∞,−1)2.复数(a2−2a−3)+(a2−a−6)i为纯虚数的一个必要不充分条件是()A. a=−1B. a=3C. a=−2或a=3D. a=−1或a=−23.已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1=1，2(a n a n+1+1)=tn(1+a n)，t为常数，则a n=()A. 2n−1B. 4n−3C. 5n−4D. n4.下列不可能是函数f(x)=x a(e x−e−x)(a∈Z)的图象的是()A. B.C. D.5.已知x，y，z∈R+，且x+y+z=1xyz，则(x+y)(y+z)的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 16.已知x，y满足不等式{x≥0y≥0x+2y≤t2x+y≤4，且目标函数z=9x+6y最大值的变化范围[20,22]，则t的取值范围()A. [2,4]B. [4,6]C. [5,8]D. [6,7]7.已知函数f(x)=√3sinx+acosx，x∈[0,π3]的最小值为a，则实数a的取值范围是()A. [0,2]B. [−2,2]C. (−∞,1]D. (−∞,3]8. 将3个球(形状相同，编号不同)随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码(ξ=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球)，则E(ξ)，E(2ξ+1)分别等于( )A. 2516,258B. 2516,338C. 32，3D. 32，49. 已知四棱锥P −ABCD ，底面是边长为2的正方形，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥平面PAD ，点E 是线段PD 上的动点(不含端点)，若线段AB 上存在点F(不含端点)，使得异面直线PA 与EF 成30°的角，则线段PE 长的取值范围是( )A. (0,√22)B. (0,√63) C. (√22,√2)D. (√63,√2)10. 记集合T ={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M ={a 110+a 2102+a 3103+a4104,a i ∈T,i =1,2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2021个数是( )A. 710+9102+7103+8104 B. 710+9102+7103+9104 C. 510+5102+7103+3104D. 510+5102+7103+2104二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 如图，给三棱柱ABC −DEF 的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有______．12. 已知△ABC 的外心为O ，AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos B 的取值范围是______．13. 定义a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b，若x ，y >0，则μ=(4xy+y 2x 2)⊗(x 2+16xy 16y 2)的最小值______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 在(2x −y)5的展开式中，所有项系数的绝对值的和为 ，x 2y 3的系数是 ． 15. 已知函数f(x)=2|sinx|−|cosx|，则f(x)的最小正周期 ，f(x)的值域 ． 16. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．17. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(−1,2)，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，动点P 与M ，N 连线的斜率之积为−12，则动点P 的轨迹方程为 ，△PMN 面积的取值范围是 ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=cos(x3−π2)sin(π2+x3)+√3cos 2x3．(Ⅰ)若x ∈[−π2,π]，求f(x)的递增区间和值域；(Ⅱ)若f(x 0)=45+√32，求sin(23x 0).19. 已知三棱锥A −BCD ，△ABD 和△BCD 是边长为2的等边三角形，平面ABD ⊥平面BCD ． (Ⅰ)求证：AC ⊥BD ；(Ⅱ)设G 为BD 中点，H 为△ACD 内的动点(含边界)，且GH//平面ABC ，求直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围．20. 数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n =2n −1，n ∈N ∗且a 1=a(a 为常数)．(Ⅰ)(ⅰ)当n 为偶数时，求a n+4−a n 的值， (ⅰ)求{a n }的通项公式(Ⅱ)设S n 是数列{a n }的和，求证：1S 4+1S 8+⋯1S4n<1421. 已知抛物线C ：y 2=2x ，M(2a 2,0)，N(−2a 2,0)(a >0)，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于B ，C ，点D ，E 满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)． (Ⅰ)求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；(Ⅱ)设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记△BCQ 与△DEN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的值．22.已知函数f(x)=alnx+(x+1)2(a≠0,x>0)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)对于任意x∈[1,+∞)均有f(x)−x2≤0恒成立，求a的取值范围．a答案和解析1.【答案】D【解析】解：令3+2x −x 2>0， 则 (x −3)(x +1)<0，解得−1<x <3，则M ={x|y =ln(3+2x −x 2)}={x|−1<x <3}， ∵M ⊆N ，∴a ≤−1． 故选：D ．由对数函数的性质化简集合M ，利用M ⊆N 解得实数a 的取值范围．本题考查对数函数定义域，一元二次不等式的解法，集合之间的关系，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：若(a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 是纯虚数，则{a 2−2a −3=0a 2−a −6≠0， 即{a =−1或a =3a ≠−2且a ≠3， 解得a =−1，则对于A ，“a =−1”是“复数((a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 是纯虚数”的充要条件， 对于B ，“a =3”是“复数((a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 是纯虚数”的既不充分也不必要条件，对于C ，“a =−2或a =3”是“复数((a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 是纯虚数”的既不充分也不必要条件，对于D ，“a =−1或a =−2”是“复数(a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 为纯虚数”的一个必要不充分条件； 故选：D ．根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数是纯虚数的概念是解决本题的关键，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵a1=1，2(a n a n+1+1)=tn(1+a n)，令n=1，则2(a1a2+1)=t(1+a1)，解得a2=t−1，令n=2，则2(a2a3+1)=2t(1+a2)，即(t−1)a3=t2−1，若t=1，则a2=0，d=−1，与已知矛盾，故解得a3=t+1，∵{a n}等差数列，则公差d=a3−a2=t+1−(t−1)=2，所以a n=a1+(n−1)d=2n−1故选：A．由递推公式分别求出数列的前三项，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．本考考查等差数列通项的求法，分类利用赋值法求出a2，a3是解决本题的关键，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f(x)=x a(e x−e−x)(a∈Z)，当a=0时，f(x)=e x−e−x其中定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且f(−x)=e−x−e x=e x−e−x=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，且单调递增，此时C选项符合题意；当a为正整数时，f(x)=x a(e x−e−x)，其定义域为R，图象经过原点，没有选项符合；当a为负整数时，f(x)=x a(e x−e−x)，其定义域为{x|x≠0}，可得f′(x)=ax a−1(e x−e−x)+x a(e x−e−x)，当x>0时，f′(x)=x a−1[a(e x+e−x)+x(e x−e−x)]=x a−1[(a+x)e x+(a−x)e−x]，可得f′(x)先负后正，故函数f(x)不经过原点且在第一象限先减后增，其中a为负偶数时，函数f(x)为奇函数，此时D符合题意；a为负奇数时，函数f(x)为偶函数，此时B符合题意；故选：A．根据题意，分a=0，a为正整数和a为负整数三种情况讨论，分析函数f(x)的定义域、奇偶性以及单调性，结合选项，即可求解．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与函数值符号的分析，一般用间接法分析，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =1xyz ， 可得xyz(x +y +z)=1， 即为y(x +y +z)=1xz ，则(x +y)(y +z)=xy +xz +y 2+yz=xz +y(x +y +z)=xz +1xz ≥2√xz ⋅1xz =2， 当且仅当xz =1取得等号， 则(x +y)(y +z)的最小值为2， 故选：C ．由题意可得xyz(x +y +z)=1，即为y(x +y +z)=1xz ，则(x +y)(y +z)=xz +y(x +y +z)=xz +1xz ，由基本不等式即可得到所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：画出不等式组{x ≥0y ≥02x +y =4所表示的可行域如图△AOB当t ≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z =9x +6y 在A(2,0)取得最大值Z =18不符合题意t >2时可知目标函数Z =9x +6y 在{x +2y =t 2x +y =4的交点(8−t 3,2t−43)处取得最大值，此时Z =t +16由题意可得，20≤t +16≤22解可得4≤t ≤6 故选B ．由目标函数z =9x +6y 的最大值的范围，我们可以画出不等式组{x ≥0y ≥02x +y =4所表示的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数t 的方程组，消参后即可得到t 的取值，然后求出此目标函数的最大值即可． 如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程(组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．7.【答案】A【解析】解：f(x)=√3sinx +acosx 的最小值是a ，并且观察当x =0时，f(0)=a ， 所以当x ∈[0,π3]时，√3sinx +acosx ≥a 恒成立， 即a(1−cosx)≤√3sinx ，当x =0时，a ∈R ， 当x ∈(0,π3]时，a ≤√3sinx1−cosx=2√3sin x 2cosx22sin 2x 2=√3tanx 2恒成立， 即a ≤(√3tan x 2)min ，∵x ∈(0,π3]时，tan x2的最大值是√33，所以√3tan x 2的最小值是3，所以a ≤3．故选：A ．通过参变分离转化为a ≤√3sinx1−cosx=2√3sin x 2cosx 22sin 2x2=√3tanx 2，即a ≤(√3tan x 2)min，然后求出a 的取值范围．本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围．8.【答案】B【解析】解：由E(2ξ+1)=2E(ξ)+1，又P(ξ=1)=43−3343=3764；P(ξ=2)=33−2343=1964；P(ξ=3)=23−1343=764；P(ξ=4)=164；∴E(ξ)=1×3764+2×1964+3×764+4×164=2516；∴E(2ξ+1)=338．故选：B．由E(2ξ+1)=2E(ξ)+1，可排除A，C选项，求出ξ=1，2，3，4，对应的概率，求出E(ξ)，即可．本题考查了统计与概率，数学期望，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，取AD中点O，BC中点G，连接PO，OG，∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，∴PO⊥AD，∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD，则OG⊥AD，又AB⊥平面PAD，∴OG⊥平面PAD，得OA，OG，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OA，OG，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．得O(0,0，0)，A(1,0，0)，D(−1,0，0)， P(0,0，1)，E(s,0，t)，F(1,m ，0)， (−1<s <0,0<t <1,0<m <2)，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−s,m,−t)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−s,0,1−t)，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−s +t ，|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(1−s)2+m 2+t 2，|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2． 由题意可得，√(1−s)2+m 2+t 2⋅√2cos30°=1−s +t ，即√62√(1−s)2+m 2+t 2=1−s +t ，整理得3m 2=4t(1−s)−(1−s)2−t 2>0，结合t −s =1，可得4(1−s 2)>2+2s 2，解得|s|<√3． 则|EP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−s)2+(1−t)2=√s 2+s 2=√2|s|<√63． ∴线段PE 长的取值范围是(0,√63).故选：B ．取AD 中点O ，以O 为坐标原点，距离空间直角坐标系，设E(s,0，t)，F(1,m ，0)，(−1<s <0,0<t <1,0<m <2)，由异面直线所成角可得3m 2=4t(1−s)−(1−s)2−t 2>0，结合t −s =1，得关于s 的不等式，求解s 的范围，再求|EP⃗⃗⃗⃗⃗ |模的范围得答案． 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：因为a 110+a 2102+a 3103+a 4104=1104(a 1×103+a 2×102+a 3×104+a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9999，从大到小排列，第2021个数为9999−2021+1=7979， 所以a 1=7，a 2=9，a 3=7，a 4=9，则第2021个数是710+9102+7103+9104． 故选：B ．根据a 1×103+a 2×102+a 3×104+a 4表示10进制数，从大到小排列，第一个数为9999，再找到第2021个数即可得解．本题考查对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数(即第一个数)，再找出第n 个数对应的十进制数即可，属于难题．11.【答案】264【解析】解：首先先给顶点A ，B ，C 染色，有A 43=24种方法，再给顶点D 染色， ①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则D ，E ，F 的染色方法一共有2+2×1=4种方法；②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法； 若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法； 点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有2×2=4种方法， 所以点D 和点B 染不同，颜色共有1+2+4=7种方法；所以点D ，E ，F 的染色方法一共有4+7=11种，所以共有24×11=264种方法． 故答案为：264．首先先给A ，B ，C 染色，再按分类和分步，给D ，E ，F 染色，计算染色方法． 本题重点考查涂色问题，涂色问题的一个关键点是分步里面有分类，所以分类清楚是关键，属于中档题．12.【答案】[√23,1)【解析】解：作出图示如下图所示，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ，因为△ABC 的外心为O ，则OD ⊥BC ， 因为AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12(b 2−c 2)，所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−c 2)， 同理可得BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a 2−c 2),CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−a 2)， 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化为12(b 2−c 2)=3×12(a 2−c 2)+4×12(b 2−a 2)，即a 2+2c 2=3b 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−13(a 2+2c 2)2ac=13×2a 2+c 22ac，又2a 2+c 22ac≥2√2ac 2ac=√2，当且仅当√2a =c 时，取等号，又0<B <π，所以√23≤cosB <1，故答案为：[√23,1)．作出图示，取BC 的中点D ，则有OD ⊥BC ，再由向量的线性表示和向量数量积的运算得出AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−c 2),BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a 2−c 2),CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−a 2)，代入已知得a 2+2c 2=3b 2，由余弦定理表示cos B ，再由基本不等式可求得范围．本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角形的外心的定义和向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边的关系，属于较难题．13.【答案】94【解析】解：令t =yx ，则4xy+y2x 2=4t +t 2在(0,+∞)为增函数，x 2+16xy 16y 2=116t 2+1t在(0,+∞)为减函数， 当两者相等时μ取得最小值，此时 μ=12(4t +t 2+116t2+1t)≥12(2√4t ⋅1t+2√t 2⋅116t2)=94， 当且仅当t =12时取等号． 故答案为：94．先换元判定单调性，然后利用基本不等式求解．本题考查换元法的应用，考查了基本不等式的应用，理解题目中的新定义是解题的关键，属于难题．14.【答案】243−40【解析】解：在(2x−y)5的展开式中，所有项系数的绝对值的和，即(2x+y)5的展开式中，所有项的系数和，再令x=y=1，可得(2x+y)5的展开式中，所有项的系数和为35=243．在(2x−y)5的展开式中，含x2y3的项是C53⋅(2x)2⋅(−y)3=−40x2y3，故x2y3的系数为−40，故答案为：243；−40．(2x−y)5的展开式中，所有项系数的绝对值的和，即(2x+y)5的展开式中，所有项的系数和，x=y=1可得结果．利用二项展开式的通项公式，求得x2y3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】π[−1,2]【解析】解：∵f(x+π)=2|sin(x+π)|−|coc(x+π)|=2|sinx|−|cosx|=f(x)，∴f(x)的最小正周期为π．∵|sinx|∈[0,1]，|cosx|∈[0,1]，且|sinx|2+|cosx|2=1，∴设|sinx|=sint，|cosx|=cost，t∈[0,π2]，∴f(x)=g(t)=2sint−cost=√5sin(t−φ)，其中sinφ=√55，cosφ=2√55，∴φ∈(0,π2)，又∵0<t<π2，∴−φ<t−φ<π2−φ，即(t−φ)∈[−φ,π2−φ]⊆(−π2,π2)，∵y=six在(−π2,π2)上单调递增，∴sin(t−φ)的最小值是sin(−φ)=−sinφ=−√55，最大值是sin(π2−φ)=cosφ=2√55， ∴−1≤f(x)≤2， 故答案为：π；[−1,2]．利用周期的定义判断f(x)周期，利用换元法求值域．本题考查了三角函数的最小正周期，以及三角换元法技巧的应用，难度适中．16.【答案】1139+4√2+√32【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1 截去两个角C −DEF 与C 1−FGH ． 其中，直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2． 则该几何体的体积V =12×2×2×2−2×13×12×1×1×1=113；表面积为S =2×2×2+2×2√2+2×12×2×2−6×12×1×1 +2×√34×12=9+4√2+√32． 故答案为：113；9+4√2+√32．由三视图还原原几何体，可知该几何体是由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1 截去两个角C −DEF 与C 1−FGH ，再由多面体的体积公式及表面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．17.【答案】x 29+2y 29=1(x ≠±1) (0,9√22]【解析】解：因为M 的坐标为(−1,2)，且OM −+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得N(1,−2)， 设P(x,y)，所以K MP =y−2x+1,K NP =y+2x−1(x ≠±1)， 由题意得：y−2x+1⋅y+2x−1=−12， 整理可得动点P 的轨迹方程为：x 29+2y 29=1(x ≠±1)；直线MN 的斜率k =2−(−2)−1−1=−2，设平行于MN 的椭圆切线方程为y =−2x +b ，与椭圆联立可得{y =−2x +bx 29+2y 29=1(x ≠±1),即9x 2−8bx +2b 2−9=0， △=(−8b)2−4×9×(2b 2−9)=0，解得|b|=9√22，所以该切线与直线MN 的距离d =|9√22|√22+12=9√1010,|MN|=2√5，所以△PMN 面积的最大值S =12×|MN|×d =12×2√5×9√1010=9√22，所以随着P 在椭圆上运动，△PMN 的面积取值范围为(0,9√22]．故答案为：x 29+2y 29=1(x ≠±1)；(0,9√22]．求得N 点坐标，根据题意K NP ⋅K MP =−12，列出方程，即可求得动点P 的轨迹方程；根据P 在曲线上运动，设平行与MN 的椭圆切线方程为y =−2x +b ，与粗圆联立，根据相切，求得|b|，代入面积公式，即可求得面积最大值，即可得答案．解题的关键是根据斜率乘积为−12列出表达式，进行求解，易错点为斜率必定存在，故x ≠±1，在求面积取值范围时，可联立直线与曲线方程，先求得最大值，再得范围，属中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=cos(x3−π2)sin(π2+x3)+√3cos 2x3=sin x 3cos x 3+√3cos 2x 3=12sin 2x3+√3×1+cos 2x32=sin(2x3+π3)+√32， 令2kπ−π2≤2x 3+π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得3kπ−5π4≤x ≤3kπ+π4，k ∈Z ，又x∈[−π2,π]②，当k=0时，由①可得x∈[−5π4,π4]，与②取交集可得x∈[−π2,π4]，所以f(x)的递增区间为[−π2,π4 ]，若x∈[−π2,π]，则2x3+π3∈[0,π]，所以sin(2x3+π3)∈[0,1]，可得f(x)=sin(2x3+π3)+√32∈[√32,1+√32].即f(x)的值域为[√32,1+√32].(Ⅱ)若f(x0)=sin(2x03+π3)+√32=45+√32，可得sin(2x03+π3)=45，cos(2x03+π3)=±35，所以sin(23x0)=sin[(2x03+π3)−π3]=sin(2x03+π3)cosπ3−cos(2x03+π3)sinπ3=45×12−(±35×√32)=25+−3√310．【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x3+π3)+√32，利用正弦函数的性质即可求解f(x)的递增区间和值域；(Ⅱ)由题意可求sin(2x03+π3)=45，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2x03+π3)=±35，进而根据两角差的正弦函数公式即可求解sin(23x0)的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BD中点G，连接AG，CG，∵△ABD和△BCD是边长为2的等边三角形，∴AG⊥BD，CG⊥BD，∵AG∩CG=G，∴BD⊥平面ACG，∵AC⊂平面ACG，∴AC⊥BD．(Ⅱ)解：分别取CD、AD的中点E，F，连接GE，EF，DF，由题意知GF//AB，GE//BC，∵GE∩GF=G，BC∩AB=B，∴平面ABC//平面GEF，∵GH//平面ABC，∴H一定在平面GEF中，∵H在平面ACD内，∴H的轨迹是线段EF，∵平面ABD⊥平面BCD，又AG⊥BD，∴AG⊥平面BCD，∴AG⊥GC，由题意知AC=√6，由中位线关系得EF=√62，GF=1，GE=1，在△GEF中，由几何知识得：√104≤GH≤1，设，G到平面ACD的距离为d，由V G−ACD=V A−CDG，得13×S△ACD×d=13×S△CDG×AG即d=S△CDG×AGS△ACD=12×1×√3×√312×4−(√62)=√155，设直线GH与平面ACD所成角为α，则sinα=dGH ∈[√155,2√65]，∴直线GH与平面ACD所成角的正弦值的取值范围是[√155,2√6 5].【解析】(Ⅰ)取BD中点G，连接AG，CG推导出AG⊥BD，CG⊥BD，从而BD⊥平面ACG，由此能求出AC⊥BD．(Ⅱ)分别取CD、AD的中点E，F，连接GE，EF，DF，GF//AB，GE//BC，从而平面ABC//平面GEF，推导出H的轨迹是线段EF，AG⊥GC，√104≤GH≤1，由等体积法得到G到平面ACD的距离d=√155，设直线GH与平面ACD所成角为α，由此能求出直线GH与平面ACD所成角的正弦值的取值范围．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)(i)当n为偶数时，a n+1+a n=2n−1①故：a n+2+a n+1=2n+1②，①−②得：a n+2−a n=2n．则a n+4−a n+2=2(n+2)=2n+4，两式相减得：a n+4−a n=4．(ii)a2−a1=1，解得a2=1+a，a2+a3=3，解得a3=2−a，a4−a3=5，解得a4=7−a，由于a n+4−a n =4， 当n =4k +2时，a n =a 2+n−24×8=a +2n −3，当n =4k 时，a n =a 4+n−44×8=−a +2n −1，所以当n =4k 时，a n+1=(2n −1)−(−a +2n −1)=a ， 当n =4k +1时，a n =a ，同理：由于a n+1+(−1)n a n =2n −1，所以当n =4k +2时，a n+1=2n −1−(a +2n −3)=2−a ， 综上所述：a n ={a(n =4k +1)a +2n −3(n =4k +2)2−a(n =4k +3)−a +2n −1(n =4k)．证明：(Ⅱ)由数列{a n }的通项公式可知：S 4，S 8−S 4，S 12−S 8，…成公差为16的等差数列．所以S 4n −S 4(n−1)=S 4+16(n −1)=16n −6， S 8−S 4=16×2−16， …，S 4n −S 4(n−1)=16n −6． 所以S 4n −S 4=16×(n+2)(n−1)2−6(n −1)=(8n +10)(n −1)，所以S 4n =8n 2+2n ． 故1S4n=12n(4n+1)<12n(2n+2)，所以1S 4+1S 8+⋯+1S 4n<14[1−1n+1]<14．【解析】(Ⅰ)(i)直接利用叠加法的应用求出结果； (ii)利用关系式的分类思想的应用求出数列的通项公式； (Ⅱ)利用关系式的变换和裂项相消法和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，赋值法，裂项相消法，放缩法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：因为过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于B ，C ，令x =2a 2，代入y 2=2x 中，解得y =±2a ， 所以B(2a 2,2a)，C(2a 2,−2a)，设D(x,y)，由ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(x +2a 2,y)=λ(4a 2,2a)， 故有D((4λ−2)a 2,2λa)，同理E((2−4λ)a 2,2a(λ−1)) 于是直线DE 的方程是y −2aλ=1(4λ−2)a (x −(4λ−2)a 2)， 即x =(4λ−2)ay +(8λ−8λ2−2)a 2①与拋物线方程联立， 得到(y −2a(2λ−1))2=0，此方程有两个相等的根：y =2a(2λ−1)代入 ①，得x =2a 2(2λ−1)2， 故直线DE 与拋物线有且仅有一个公共点Q(2a 2(2λ−1)2,2a(2λ−1))， (2)S 1=S △BCQ =12|BC|⋅ℎ=124a ⋅(2a 2−x Q )=16a 3(λ−λ2)，设直线DE 与x 轴交于G(8a 2(λ−λ2),0)，于是S 2=S △DEN =12|NG|⋅|y D −y E |=12⋅8a 2(λ−λ2)⋅2a =8a 3(λ−λ2)，故有S1S 2=2．【解析】(1)由已知先求出B ，C ，设D(x,y)，结合题干得ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,NE −=λNC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量关系求得D ，E 点坐标，利用点斜式得l DE 方程，联立l DE 与拋物线即可求证； (2)结合三角形面积公式得S 1=S △BCQ =12|BC|⋅ℎ,S 2=S △DEN =12|NG|⋅|y D −y E |，由(1)的结论可得h ，由直线l DE 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ，从而得到|NG|，S 1，S 2作比即可求解．本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：(1)涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于x(y)的一元二次方程，即证△=0；(2)对于三角形面积问题，较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法．22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=alnx +(x +1)2(x >0，a ≠0)，所以f′(x)=2x 2+2x+ax(x >0,a ≠0)，若a ≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增， 若a <0时，令f′(x)=0，得x =−1+√1−2a2或−1−√1−2a2(舍去)，所以此时f(x)在(0,−1+√1−2a2)单调递减，第21页，共21页 在(−1+√1−2a 2,+∞)上单调递增，所以当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a <0时，f(x)在(0,−1+√1−2a 2)单调递减， 在(−1+√1−2a 2,+∞)上单调递增．(Ⅱ)取x =1代入不等式f(x)−x 2a ≤0，得0<a ≤14． 下证当0<a ≤14时，不等式f(x)−x 2a ≤0恒成立， 即当0<a ≤14时，不等式alnx +(x +1)2−x 2a ≤0恒成立， 设ℎ(a)=alnx +(x +1)2−x 2a (0<a ≤14)，则ℎ′(a)=lnx +x 2a 2>0， 所以ℎ(a)≤ℎ(14)=14lnx +(x +1)2−4x 2，设g(x)=14lnx +(x +1)2−4x 2(x ≥1)所以g′(x)=−24x 2+8x+14x <0，所以g(x)≤g(1)=0，故0<a ≤14时，不等式alnx +(x +1)2−x 2a ≤0恒成立．【解析】(Ⅰ)对f(x)求导，得f′(x)，然后分两种情况，讨论f′(x)的正负，得到f(x)的单调区间．(Ⅱ)取x =1代入不等式成立，推出0<a ≤14，再证当0<a ≤14时，不等式f(x)−x 2a ≤0恒成立，即可．本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．。
浙江省杭州地区(含周边)2020-2021学年高一上学期期中数学试题
4．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点（）
A．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
5．设函数 为定义在 上的奇函数，当 时， （ 为常数），则当 时， （）
浙江省杭州地区（含周边）【最新】高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则它的值域为（）
A． B． C． D．
3．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合 中的元素共有（）
12．
【分析】
先判断阴影部分表示的集合为 ，再计算得到答案.
【详解】
集 ， ，
阴影部分表示的集合为：
故答案为
【点睛】
本题考查了韦恩图的识别，将图像转化为集合的运算是解题的关键.
13．
【分析】
利用复合函数的单调性得到答案.
【详解】
分解为 两个函数.
在 上单调递减， 在 上单调递减，
故 在 上单调递增.
15．2或-1
【分析】
先计算得到 ，讨论 1和 两种情况，计算得到答案.
20．已知函数 .
（1）当 时，求方程 的根；
（2）若方程 有两个不等的实数根，求 的值.
21．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间、值域；
数学-高一-浙江省杭州二中2020至2021高一上学期期中数学试题
浙江省杭州二中2020-2021学年高一上学期期中数学试题时间 100分钟注意：本试卷不得使用计算器．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集}4,3,2,1{=U ,集合}1{=A ,{}=23B ，,则)(B A C U ⋃ A. }1{ B. }3,2,1{ C. }2,1{ D. }4{2．如图所示，集合M,P,S 是全集V 的三个子集，则图中阴影部分所表示的集合是 A ．()M P S ⋂⋂ B ．()M P S ⋂⋃C ．()()V M S C P ⋂⋂D ．()()V M P C S ⋂⋃3. 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 4. 函数)32(log 2122++-+--=x x x x y 的定义域为 A ．}31|{<≤x x B ．}21|{<<x x C ．}3221|{<<<≤x x x 或 D ．}21|{<≤x x 5．函数||x ey -=（e 是自然底数）的大致图象是6.若函数⎩⎨⎧>≤≤-+-=,2,,2 0 ,23)2()(x a x a x a x f x是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围A ．),3[]2,1(+∞⋃B ．]2,1(C ．),3[]2,0(+∞⋃D ．),3[+∞ 7. 函数1221)(--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调递增区间为A.)21,(-∞B. ),21(+∞C. ]251,(--∞ D . ),251[+∞+ 8.函数1|log |25.0-=x y x的图象与x 轴的交点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 函数)1|(|)(-=x x x f 在],[n m 上的最小值为41-，最大值为2，则m n -的最大值为 A.25 B. 2225+ C.23D.210.设函数a x x f -=)( (a R ∈).若方程x x f f =))((有解,则a 的取值范围为A.]41,(-∞B. ]81,0(C.]81,(-∞ D.),1[+∞ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.已知集合}1621|{<≤=xx A ，},30|{N x x x B ∈<≤=，则=⋂B A .12.计算,122281064.05.5log 0312-+-⎪⎭⎫⎝⎛-+-结果是 .13.用“二分法”求方程013=--x x 在区间]2,1[内有实根，取区间中点为5.10=x ，那么下一个有根的闭区间是 .14.在同一坐标系中，y =2x 与2log y x =的图象与一次函数b x y +-=的图象的两个交点的横坐标之和为6，则b = .15.已知函数()f x 满足)1()1(x f x f +=-，且()f x 在),1[+∞是增函数，如果不等式)()1(m f m f <-成立，则实数m 的取值范围是 .16. 已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,)(2x x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|恒成立，则a 的取值范围是 .杭州二中2013学年第一学期高一年级期中考试数学答题卷一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分8分）设集合}21,2|{≤≤==x y y A x， }1ln 0|{<<=x x B ，},21|{R t t x t x C ∈<<+=.（1）求B A ⋂；（2）若C C A =⋂，求t 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知ax f x x -+=+1212)(是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断并证明)(x f 在),0(+∞上的单调性；（3）若关于x 的方程xx f k 2)(=⋅在]1,0(上有解，求k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数12)(2-+-=a ax x x f (a 为实常数)． （1）若0=a ，求函数|)(|x f y =的单调递增区间； （2）设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式；（3）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．20.（本小题满足14分）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2+-=ax x x f ，R a ∈.（1）若5lg )1(=f ，求)(x f 的解析式；（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f xx恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若)(x f 的值域为R ，求a 的取值范围.杭州二中2013学年第一学期高一年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11． }2,1,0{ 12．13． [1,1.5] 14． 615. 21<m 16. 01≤≤-a 三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）}42|{≤≤=y y A ，}1|{e y x B <<= ……………………………..2分 所以}2|{e t t B A <≤=⋂……………………………………………………………….2分 （2）因为C C A =⋂，所以A C ⊆，若C 是空集，则12+≤t t ，得到1≤t ;…………………………………………………2分若C 非空，则⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≥+t t t t 214221，得21≤<t ；综上所述，2≤t .…………………………2分18.解：（1）因为ax f x x -+=+1212)(是奇函数，故对定义域内的x ，都有)()(x f x f --=即0)()(=-+x f x f ，即0)22)(2()122)(2(21221212111=⋅--++-=-++-++++--+xx x x x x x x a a a a a ，于是2=a .…………………3分 （2）)(x f 在),0(+∞上的单调递减. .……………………………………………………2分 对任意的210x x <<0)22)(22(2222122212)()(11112121212211>---=-+--+=-++++x x x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >即)(x f 在),0(+∞上的单调递减. . .……………………………………………………3分 （3）解法一：方程xx f k 2)(=⋅可化为：02)2()2(22=-⋅+-k k x x ，令]2,1(2∈=t x于是0)2(22=-+-k t k t 在]2,1(上有解………………………………………..2分 设k t k t t g -+-=)2(2)(2（1）)(t g 在]2,1(上有两个零点（可重合），令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥>≥∆≤+<0)2(0)1(02421g g k 无解.（2）)(t g 在]2,1(上有1个零点，令⎩⎨⎧≠≤0)1(0)2()1(g g g ，得340≤<k综上得340≤<k ……………………………………………………………………2分 解法二：方程xx f k 2)(=⋅可化为：02)2()2(22=-⋅+-k k x x ，令]2,1(2∈=t x于是0)2(22=-+-k t k t ，………………………………………..2分则614)1(21222-+++=+-=t t t t t k 614)1(2-+++t t 的值域为]34,0(，故340≤<k .…………………………2分 19. 解：（1）当0=a 时，1)(2-=x x f ，则|)(|x f y =在),1(),0,1(+∞-上单调递增；……………………………………….3分 （2）当12≤a时，即2≤a ，a f a g ==)1()(；当221<<a时，即42<<a ，124)2()(2-+-==a a a f a g ； 当22≥a时，即4≥a ，3)2()(==f a g ； 综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-+-≤=.2,3,42,124,2,)(2a a a aa a a g ……………………………………….4分（3）a xa x x x f x h --+==12)()( 当012≤-a ，即21≤a ，)(x h 是单调递增的，符合题意；………………………..2分当012>-a ，即21>a 时，)(x h 在]12,0(-a 单调递减，在),12(+∞-a 单调递增，令112≤-a ，得121≤<a .综上所述：1≤a ..………………………………………………………………….3分20.解：（1）因为5lg )1(=f ，则5lg )11lg()(=-=a x f ，所以6=a ，此时 当0<x 时，)106lg()()(2++-=--=x x x f x f ，又0)0(=f ，故⎪⎩⎪⎨⎧<++-=>+-=.0),106lg(,0,0,0),106lg()(22x x x x x x x x f ………………………………………….4分（2）解法一：若0=a ，则)(x f 在R 上单调递增，故0)14()2(>+++⋅k f k f xx等价于0142>+++⋅k k x x ，令)0(2>=t t x ，于是012>+++k kt t 在),0(+∞恒成立，…………………2分即2]12)1[(12)1(2)1(1122-+++-=+++-+-=++->t t t t t t t k 因为2]12)1[(-+++-t t 的最大值为222+-，所以222+->k .…………………3分 解法二：若0=a ，则)(x f 在R 上单调递增，故0)14()2(>+++⋅k f k f xx等价于0142>+++⋅k k x x ，令)0(2>=t t x ，于是012>+++k kt t 在),0(+∞恒成立，…………………2分 设1)(2+++=k kt t t g（1）0<∆，解得：222222+<<+-k ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧><-0)0(02g k，解的0>k .综上，222+->k .…………………3分（3）首先需满足0102>+-ax x 在),0(+∞上恒成立， 于是xx a 10+<，即102<a ；…………………2分 其次需要102+-ax x 在),0(+∞上的值域为),1(+∞，即1102=+-ax x 在),0(+∞上有解 于是69≥+=xx a ； 综上1026<≤a .…………………3分。
2020-2021杭州市高一数学上期中模拟试题(及答案)
2020-2021杭州市高一数学上期中模拟试题(及答案)一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅4．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭5．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-8．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,39．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<10．设a＝25 3 5⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a11．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（）A．B．C．D．12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x=⋅++的图象关于y轴对称，则实数a的值为（）A．2B．2±C．4D．4±二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．14．已知()32,,x x af xx x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a 的取值范围是________．15．已知()f x是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x>，()f x的图象如图所示，那么()f x的值域是______．16．已知函数(12)(1)()4(1)xa xf x axx⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R∈，12x x≠时，都有()()1212f x f xx x->-，则a的取值范围是________17．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 18．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 . 19．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩ 00x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．23．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）24．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．25．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围. 26．计算下列各式的值：（1）()1110232710223π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-++++⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.4．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．9．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.10．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.11．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到221414ax x x ax++=+-.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()222sin ln 14sin ln14sin ln14x ax x x x ax x x ax⋅++=-⋅+=⋅+-221414ax x x ax∴++=+-恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．15．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x Q 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．16．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.17．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤ 【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x≥0）的函数关系是：，，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确； 当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确． 故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．18．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则；因为0x ≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；19．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。
2020-2021杭州市高一数学上期中模拟试题带答案
2020-2021杭州市高一数学上期中模拟试题带答案一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件3．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)24．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ）A ．5B ．5-C ．0D ．20198．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -=B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<10．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．011．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>12．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．16．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________． 17．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）22．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．23．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()x f f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<. 24．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 25．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域； （2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.26．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.3．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.4．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．8．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.9．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.10．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.11．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．12．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-16．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．17．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意解析：(1,4)； 【解析】 【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围． 【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数， 当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间， ∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意， 综上可得a 取值范围为(1,4)， 故答案为：(1,4)． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】 【分析】 先由()()43ff x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】 由题意，得()()()()()243ff x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3.【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米 【解析】 【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=34x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米， 所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝02227+24-4b 3+4＝9，解得b ＝24或b ＝32(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，则半圆的圆心为H (r ，h )，半径为r . 方法一 设太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝0， 223r+4h-4b 3+4r ，解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －r2(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－34x ＋h ＋2r ， 令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452， 由EG ≤52，得h ≤25－2r . 所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r (25－2r )＋32×r 2 ＝－52r 2＋50r ＝－52(r －10)2＋250≤250. 当且仅当r ＝10时取等号． 所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大， 则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－52＝－34(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直线l1与半圆H相切，得r＝3r+4h-1005.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，即r＝－3r+4h-1005，从而h＝25－2r.又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．22．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a＜6或a＞15 2}【解析】【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a-5≤16，解不等式可得a的取值范围；（2）由A⊆（A∩B）得A⊆B，分类讨论，A＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围【详解】（1）若A＝∅，则A∩B＝∅成立．此时2a＋1＞3a－5，即a＜6．若A≠∅，则2135{2113516a aaa+≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．（2）因为A⊆（A∩B），且（A∩B）⊆A，所以A∩B＝A，即A⊆B．显然A＝∅满足条件，此时a＜6．若A≠∅，则2135{351a aa+≤--<-或2135{2116a aa+≤-+>由2135{351a aa+≤--<-解得a∈∅；由2135{2116a aa+≤-+>解得a＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用 23．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x <<【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法．24．（1）{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-. 【解析】 【分析】（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a ca f abc ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩求解即可；（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a ba ca ⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为2210x x -->，再解此不等式即可；（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4(1)()21x x⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解. 【详解】（1）由题意可得()432421b ac af a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()243f x x x ∴=-+，解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）由题意可知012a b aca⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a ++<，即2210x x -++<，得2210x x -->，解得21x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞.（ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=231x x +=-2(1)2(1)41x x x -+-+=-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ , 因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x-+≥-，当且仅当411x x -=-时即1x =-时取等号 , 所以4(1)()41x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦ 所以当1x =-时，()max 2g x =- . 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题. 25．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.26．（1）函数模型：①22212y x x =-+；函数模型②：128x y +=+（2）函数模型②更合适；从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000 【解析】 【分析】（1）由题意利用待定系数法求函数的解析式；（2）将4x =，5x =代入（1）中的两个函数解析式中，结合数据判断两个模型中那个更合适。
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2020学年杭二高一上期中一、选择题：每小题4分，共40分.1.已知集合A={a ，b }，B={a +1，3}(a ，b ∈R)，若A ∩B={2}，则A ∪B= A.{2} B.{3} C.{1，2，3} D.{0，1，2}2.与函数()f x =A.2()x g x x= B.2()g x =C.()g x x =D.()g x x =3.已知幂函数()af x x =的图像过点(9，3)，若f (t)=2，则实数t 的值为B. C.4± D.44.己知函数()y f x =，x ∈R ，且(0)3f =，(2)4(0)f f =，(4)4(2)f f =，(6)4(2)f f =，…，(2)4(22)f n f n =-，n ∈N*，则函数()y f x =的解析式可以是A.()32x f x =⨯B.()34x f x =⨯C.()38x f x =⨯D.()4xf x =5.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则(())2f f a =，则a =A.0B.13 C.23D.1 6.若2233x yxy ---<-，则A.22y x > B.1x y < C.lg()0y x -> D.122yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭7.已知0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A.0a b ab +<<B.0ab a b <+<C.0a b ab +<<D.0ab a b <<+8.若对任意使得关于x 的方程20ax bx c ++=(ac ≠0)有实数解的a ，b ，c 均有222()()()a b b a c a -+-+-2rc ≥，则实数r 的最大值是A.1B.98C.916D.2 9.【多选题】命题“13x ∀≤≤，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是 A.8a ≥ B.9a ≥ c.10a ≥ D.11a ≥10.【多选题】《几何原木》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，BC=b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，则该图形可以完成的所有的无字证明为A.2a bab +≥(a >0，b >0) B.222a b ab +≥(a >0，b >0) C.211ab a b≥+(a >0，b >0) D.2222a b a b++≥(a >0，b >0) 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.11.华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b =+，2112222c a b a b =+，已知定义在R 上不恒为О的函数()f x ，对任意a ，b ∈R 有：()()1211()()11b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭，且满足12()f ab y y =+，则A.(0)0f =B.(1)1f -=C.()f x 是偶函数D.()f x 是奇函数12.定义域和值域均为[-a ，a ](常数a >0）的函数()y f x =和()y g x =的大致图象如图所示，则下列说法正确的有A.方程(())0f f x =可能存在五个解B.方程(())0g g x =有且仅有一个解C.方程(())0f f x =有两负数解和一正数解D.方程(())0g g x =最多只有三个解13.函数21()1f x x =+的值域是__________. 14.的数2()ln(2)f x x x =-的单调递增区间是__________.l5，若函数22()(1)()f x x x ax b =-++对于任意x ∈R 都满足()(4)f x f x =-，则()f x 的最小值是__________.16.已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b+++++的最小值是_________. 三、解答题：5小题，共74分. 17.计算：(1)()2411323230.002105283---⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()21lg5lg8lg10003lg 2lglg 0.066⋅++++ 18.设常数a ∈R ，集合101x A xx -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =≤-.(1)若a =2，求A∩B ，A∩(∁R B)；(2)若A ∪B=R ，求a 的取值范围.19.2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活，为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线，当t ∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈(14，40]时，曲线是函数83log (5)a y t =+-，a >0且a ≠l 图象的一部分，根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳. (1)试求p=f (t)的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完?请说明理由.20.已知函数1()xxf x a a =+(a >0，a ≠1). (1)若a >l ，不等式2()(4)f x bx f x ++-在x ∈R 上恒成立，求实致b 的取值范围；(2)若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1，+∞)上的最小值为-2，求m 的值. 21.已知函数1()ln 1kx f x x -=+为奇函数. (1)求实数上的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性；(3)若在α，β∈(1，+oo)，使得函数()f x 在区间[α，β]上的值域ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围.22．设函数2()f x ax x a b =+-+，a ，b∈R.f x在[0，2]上单调递增，在(2，+∞)单调递减，求实数a的值；(1)若函数()f x 恒成立，求实数a的取值范围.(2)若对任意的实数b∈[0，1]及任意的x∈[-3，3]，不等式()22020学年杭二高一上期中一、选择题：每小题4分，共40分.1.已知集合A={a ，b }，B={a +1，3}(a ，b ∈R)，若A ∩B={2}，则A ∪B= A.{2} B.{3} C.{1，2，3} D.{0，1，2} 选：C.2.与函数()f x =A.2()x g x x= B.2()g x =C.()g x x =D.()g x x =选：D.3.已知幂函数()af x x =的图像过点(9，3)，若f (t)=2，则实数t 的值为B. C.4± D.4 选：D.4.己知函数()y f x =，x ∈R ，且(0)3f =，(2)4(0)f f =，(4)4(2)f f =，(6)4(2)f f =，…，(2)4(22)f n f n =-，n ∈N*，则函数()y f x =的解析式可以是A.()32x f x =⨯B.()34x f x =⨯C.()38x f x =⨯D.()4xf x = 选：A.5.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则(())2f f a =，则a =A.0B.13C.23D.1 选：C. 6.若2233xyxy ---<-，则A.22y x > B.1x y < C.lg()0y x -> D.122yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭选：D.7.已知0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A.0a b ab +<<B.0ab a b <+<C.0a b ab +<<D.0ab a b <<+ 选：B.8.若对任意使得关于x 的方程20ax bx c ++=(ac ≠0)有实数解的a ，b ，c 均有222()()()a b b a c a -+-+-2rc ≥，则实数r 的最大值是A.1B.98C.916D.2 选：B.9.【多选题】命题“13x ∀≤≤，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是 A.8a ≥ B.9a ≥ c.10a ≥ D.11a ≥ 选：CD.10.【多选题】《几何原木》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，BC=b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ，则该图形可以完成的所有的无字证明为A.2a bab +≥(a >0，b >0) B.222a b ab +≥(a >0，b >0)C.211 aba b≥+(a>0，b>0) D.2222a b a b++≥(a>0，b>0)选：A C.二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.11.华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b bc c a ab b⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b=+，2112222c a b a b=+，已知定义在R上不恒为О的函数()f x，对任意a，b∈R有：()()1211()()11by y f a f ba-+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭，且满足12()f ab y y=+，则A.(0)0f= B.(1)1f-= C.()f x是偶函数 D.()f x是奇函数选：AC.12.定义域和值域均为[-a，a](常数a>0）的函数()y f x=和()y g x=的大致图象如图所示，则下列说法正确的有A.方程(())0f f x=可能存在五个解 B.方程(())0g g x=有且仅有一个解C.方程(())0f f x=有两负数解和一正数解 D.方程(())0g g x=最多只有三个解选：ABC.13.函数21()1f xx=+的值域是__________.【答案】值域(0，1]14.的数2()ln(2)f x x x =-的单调递增区间是__________. 【答案】(2，+∞)l5，若函数22()(1)()f x x x ax b =-++对于任意x ∈R 都满足()(4)f x f x =-，则()f x 的最小值是__________. 【答案】9.16.已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b+++++的最小值是_________. 【答案】4748. 三、解答题：5小题，共74分. 17.计算：(1))21132330.0021028---⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭(2)()21lg5lg8lg10003lg 2lglg 0.066⋅++++解：(1)原式=)21232271210285003--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)22221022033⎛⎫⎛⎫=----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)原式=213lg5lg 23lg53lg 2lg lg 626⋅++++- =3(lg5lg 2)lg 23lg521+⋅+-=18.设常数a ∈R ，集合101x A xx -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =≤-.(1)若a =2，求A∩B ，A∩(∁R B)； (2)若A ∪B=R ，求a 的取值范围. 解：(1)∵a =2，∴{}12A x x x =≥<-或，{}1B x x =≤，{}1R C B x x =>， ∴{}21AB x x x =<-=或，{}()1R AC B x x =>(2)1′当-a <1即a >-1时，{}1A x x x a =≥<-或，∴11a a a>-⎧⎨-≥-⎩∴2a ≥2′当-a >l 即a <-l 时，{}1A x x a x =>-≤或，∴11a a a <-⎧⎨-≥-⎩，无解3′当-a =1即a =—1时，{}1A x x =≠∴11a a a<-⎧⎨-≥-⎩，无解综上所述，a 的取值范围为2a ≥.19.2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活，为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线，当t ∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈(14，40]时，曲线是函数83log (5)a y t =+-，a >0且a ≠l 图象的一部分，根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳. (1)试求p=f (t)的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完?请说明理由.解：(1)当t ∈(0，14]时，设2(12)82y m t =-+，代入(14，81)得14m =-， ∴21(12)824y t =--+ 当t ∈(14，40]时，代入(14，81)得13a =， ∴1383log (5)y t =+-∴2131(12)82,0144()83log (5),1440t t f t t t ⎧--+≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩(2)令()80f t ≥，当t ∈(0，14]时，21(12)82804t --+≥，得122214t -≤≤ 当t ∈(14，40]时，1383log (5)80t +-≥，得14<t≤32，∴()80p t ≥的解集为{t|12-22≤t≤32}，∴听课效果最佳时间段为32-(12-22)=20+22>22， ∴师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完 20.已知函数1()xxf x a a =+(a >0，a ≠1). (1)若a >l ，不等式2()(4)f x bx f x ++-在x ∈R 上恒成立，求实致b 的取值范围；(2)若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1，+∞)上的最小值为-2，求m 的值. 解：(1)x R ∀∈，1()()xx f x a f x a---=+=-，即()f x 是x∈R 上的奇函数. 且a >l 时，()0xg x a =>且单调递增，1()h x x x=-(x >0)也单调递增， 由复合函数单调性可知()[()]f x h g x =在x ∈R 上单调递增.原不等式222()(4)0()(4)(4)4f x bx f x f x bx f x f x x bx x ++->⇔+>--=-⇔+>-，因此，2(1)40x b x +-+>对x ∈R 恒成立，故2(1)16(5)(3)0b b b ∆=--=-+<，即35b -<<.(2)∈13(1)2f a a =-=，且a >0， ∴a =2(a =-12<0舍去）. 因此，2221111()22222222222xx x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当x∈[1，+∞)时，132(1)22xx f -≥=，令122xxt =-，，其中x ∈[1，+∞)， 并令2()()22t h x t mt ϕ==-+，其中32t ≥，二次函数对称轴22mt m -=-= ∈若32m ≤，则min 317()3224t m ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>，矛盾，故无解；∈若32m >，则()2max ()22t m m ϕϕ==-=-，解得m=-2(m=-2<32舍去)，满足题意. 综上所述，本题所求m=2. 21.已知函数1()ln 1kx f x x -=+为奇函数. (1)求实数上的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性；(3)若在α，β∈(1，+oo)，使得函数()f x 在区间[α，β]上的值域ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围.解：(1)由题222111()()ln ln 0111kx kx k x f x f x x x x ----⎛⎫=-=⋅== ⎪+-+-⎝⎭，所以222111k x x -=- 即1k =±，当k=-1时，1()lnln(1)1x f x x --==-+，舍。