绵阳市2018届一诊数学(文)试卷含答案
2021届绵阳一诊 文数(含答案)
绵阳市高中2018级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DCDAA ADBBC CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-1 14．6 15．916 16．3(0]4，−三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．∵ 31232315S a a a a =++==，得25a =．又217a a a ⋅=，得222()5a d a a d −⋅=+， ………………………………………3分 即5(5)55d d −=+，解得d =2．∴ 2(2)22+1n a a n n =+−⨯=． ………………………………………………6分（2）由题意得2122(21)24(21)n a n n n n b a n n +=+=++=⨯++， ……………8分 12(321)2(444)2n n n n T ++=++++ 28(41)23n n n −=++． ………………………………………………………12分 18．解：（1）π()sin()6f x x x =⋅+1cos )2x x x =+23sin cos x x x =31cos2sin 222x x +=π)6x =+． ………………………………………………4分由πππ2π22π262k x k −++≤≤(k ∈Z )， 可得ππππ36k x k −+≤≤(k ∈Z )， 即当x ∈ππ[ππ]36，k k −+(k ∈Z )时，函数()f x 单调递增， 同理可得当x ∈π2π[ππ]63，k k ++(k ∈Z )时，函数()f x 单调递减， 又π[0]2，x ∈， ∴ 函数)(x f 在π[0]6，上单调递增，)(x f 在ππ[]62，上单调递减． ……………8分（2）由题意得πππ())])463g x x x −+=−． ∵ π02≤≤x ，∴ ππ2π2333≤≤x −−，∴ π)[1]3x −∈，∴ 3()[2g x ∈−． …………………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得πsin sin sin cos()6C A A C =−， ∵ 0πA << ∴sin 0A ≠，∴ π1sin cos()sin 62C C C C =−=+，即sin C C ，得tan C =∵0πC <<，∴ π3C =． ……………………………………………………………………6分（2）由题意得sin B ==． 在△ABC 中， 由正弦定理得sin 8sin AB B AC C⋅==． …………………………8分π1sin sin()sin 32A B B B =+=+=，∴ AB 边上的高sin h AC A =⋅=． ………………………………………12分20．解：（1）当x =0时，f (x )=0；当x >0时，f (x )=-f (-x )=22()11[1]1x x x x −++−+=−−； 综上，所述22110()00110，，，，，．x x x f x x x x x ⎧+−>⎪⎪⎪==⎨⎪+⎪+<⎪⎩…………………………………………5分（2）不等式f (x 2)+2af (x )≥-1恒成立， 等价于221112(1)1≥x a x x x +−++−−， 整理得211()22(1)0≥x a x x x +−++−，令 t =1x x+， 即222(1)0≥t a t −+−恒成立， …………………………………………………8分 ∵ x >0，于是t ≥2，∴ t -1≥0，于是2a ≥221(1)211t t t t −=−−+−−−， 令m =t -1≥1，1()2g m m m=−++， …………………………………………10分 显然()g m 在区间[1)，+∞上单调递减， ∴ max ()(1)2g m g ==．∴ 2a ≥2，即a ≥1． …………………………………………………………12分21．解：（1）)32(323)(2a x x ax x x f −=−='． 当0=a 时，2()30≥f x x '=，函数)(x f 在)(∞+−∞，上单调递增． …………2分 当0>a 时，由()0f x '>，得0<x 或32a x >． 由0)(<'x f ，得320a x <<． ∴函数)(x f 在(0)，−∞和2()3，a +∞上单调递增，在2(0)3，a 上单调递减． 当0<a 时，同理可得函数)(x f 在2()3，a −∞和(0)，+∞上单调递增， 在2(0)3，a 上单调递减． ………………………………………………………6分（2）由（1）可知，函数)(x f 的两个极值为a f 4)0(=和324()4327a f a a =−+， 由方程m x f =)(有三个不等实根等价于3044427，a a a m a >⎧⎪⎨−+<<⎪⎩或⎪⎩⎪⎨⎧+−<<<.4274403a a m a a ，…………………………………8分 令m a a a g −+−=4274)(3． 由方程m x f =)(有三个不相等实根时，)3()32()6(∞+−−∞∈，，， a ． 则在)6(−−∞，上0)(>a g ，且在)3()32(∞+，， 上0)(<a g 均恒成立，∴(6)80≥g m −=−，且(3)80≤g m =−，∴8=m ． ………………………………………………………………………10分 此时0]42)2()[2(84)(223=+−−+−=−+−=−a x a x x a ax x m x f ．因为方程m x f =)(有三个不相等实根，∴042)2(2=+−−+a x a x 有两个异于2的不等实根，∴22(2)4(24)022(2)240，，a a a a ⎧∆=−−−+>⎪⎨+−−+≠⎪⎩解得)3()32()6(∞+−−∞∈，，，a ． 综上，所述8=m ． ……………………………………………………………12分22．解：（1）设点()A ρθ，为圆上任一点，则OA ρ=，π6AOM θ∠=−， 在Rt △AOM中，π)6ρθ=−.∴ 圆C的极坐标方程为π)6ρθ=−，(π3−≤θ≤2π3).…………………5分 （2）圆C 左上半圆弧OM 的三等分点对应的极角分别1π3θ=，2π2θ=. 代入圆C 的极坐标方程中， ∴ 圆C 左上半圆弧OM 的三等分点分别为1π(6)3，P ，2π)2，P ．………10分23．解：（1）由已知条件可得，34213()4222142，≥，，，，≤．xf x x xx⎧⎪⎪⎪=−−<<⎨⎪⎪−−⎪⎩……………………3分作出函数图象如右图．……………………………5分（2）由（1）的图象可得，实数m满足532122m−<−<(或172122m−<+<)，解得35 44m−<<，∴实数m的取值范围为35()44，−．…………………………………………10分。
高三数学试题-四川省绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学文试题 最新
四川省绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学文试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合M ={x ∈Z|-2<x <1}，N ={-1，0，1}，则集合M 与N 的关系是A ．M ∈NB ．M ⊆NC ．M ⊇ND ．M =N2．)(x f '是函数f (x )=x 3-x +1的导数，则)1()1(f f '的值是 A ．0B ．1C ．2D ．33．下列函数中，与函数11-=x y 有相同定义域的是A ．1-=x yB ．11-=x y C ．()1ln -=x y D ．1-=x e y 4．数列{a n }中，a n =2n -12，S n 是其前n 项和，则当S n 取最小值时，n =A ．5或6B ．6或7C ．11或12D ．12或13 5．如果命题“p 且q ”与“非p ”都是假命题，则A ．命题p 不一定是真命题B ．命题q 不一定是假命题C ．命题q 一定是真命题D ．命题q 一定是假命题 6．函数f (x )=x 4-x 2+1在点x=1处的切线方程为A ．y =x +1B ．y =x -1C ．y =2x +1D ．y =2x -17．集合A ={-1，1}，集合B ={-2，2}，从A 到B 的映射f 满足f (1)+f (-1)=0，则此映射表示的函数是A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 8．函数y =lg|x -1|的图象大致为xyO 1 2 x yO 1 2 x yO 1 xyO -1 -2 2A ．B ．C ．D ．9．函数⎩⎨⎧<+≥=-，，，，)0()1()0(2)(1x x f x x f x 则)2(-f 的值为A ．21B ．1C ．2D ．0 10．已知{a n }是公比q >1的等比数列，a 1和a 7是方程2x 2-7x +4=0的两根，则log 2a 3-log 2a 4+log 2a 5=A ．2B ．2C ．21D ．011．已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是A ．(-∞，45)B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45，C ．(-1，45)D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-451，12．已知定义在R 上的偶函数f (x )的图象关于直线x =1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )=x 2，若直线y =x +a与曲线y =f (x )恰有三个交点，则a 的取值范围为 A ．)041(，- B ．)2412(k k ，-（k ∈Z ） C ．)021(，-D ．)21(k k ，-（k ∈Z ）第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，不能答在试题卷上． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．在等差数列{a n }中，如果a n =a n +2，那么公差d = ．14．为庆祝祖国母亲60华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5∶1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛，已知教师甲被抽到的概率为101，则报名的学生人数是 ． 15．写出“函数f (x )=x 2+2ax +1(a ∈R)在区间(1，+∞)上是增函数”成立的一个．．充分不必要条件：_________． 16．已知二次函数f (x )=x 2-mx +m （x ∈R ）同时满足：（1）不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n =f (n )，nn a mb -=1．我们把所有满足b i ·b i +1＜0的正整数i 的个数叫做数列{b n }的异号数．给出下列五个命题：① m =0； ② m =4；③ 数列{a n }的通项公式为a n =2n -5；④ 数列{b n }的异号数为2； ⑤ 数列{b n }的异号数为3．其中正确命题的序号为 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数()23log 1)(2-=x x f 的定义域为集合A ，不等式x-21≥1的解集为B ．（1）求(R A )∩B ；（2）记A ∪B =C ，若集合M ={x ∈R||x -a |<4}满足M ∩C =∅，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A ，B 两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5、8、9、9、9；B 班5名学生得分为：6，7，8，9，10． （1）请你估计A ，B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；（2）如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．19．（本题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=120，S 20=440．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）记数列{nS 1}的前n 项和为T n ，求T n ． 20．（本题满分12分）已知函数f (x )=a x +2-1（a >0，且a ≠1）的反函数为)(1x f -．（1）求)(1x f -；（2）若)(1x f -在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a 的值； （3）设函数1log )(-=x a x g a，求不等式g (x )≤)(1x f -对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2131，a 恒成立的x 的取值范围．21．（本题满分12分）已知x 1，x 2是函数x a x b x a x f 22323(-+=）（a >0）的两个极值点． （1）若a =1时，x 1=21，求此时f (x )的单调递增区间； （2）若x 1，x 2满足|x 1-x 2|=2，请将b 表示为a 的函数g (a )，并求实数b 的取值范围．22．（本题满分14分）已知数列{a n }共有2k 项（k ∈N*，k ≥2），首项a 1=2．设{a n }的前n 项的和为S n ，且a n +1=(a -1)S n +2（n =1，2，3，…，2k -1），其中常数a >1．（1）求证{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足)(log 1212n n a a a nb =（n =1，2，3，…，2k ），求{b n }的通项公式； （3）令a =1222-k ，对（2）中的{b n }满足不等式231-b +232-b +…+2312--k b +232-k b ≤4，求k 的值．绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCCAD DABAC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．0 14．500 15．a =-1（答案不唯一）16．②⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：由⎩⎨⎧≠->-123023x x ，解得32>x 且x ≠1，即A ={x |32>x 且x ≠1}，由x-21≥1解得1≤x <2，即B ={x |1≤x <2}． ………………………………4分 （1）于是R A ={x |x ≤32或x =1}，所以(R A )∩B ={1}． ……………………7分（2）∵ A ∪B ={x |32>x }，即C ={x |32>x }．由|x -a |<4得a -4<x <a +4，即M ={x |a -4<x <a +4}． ∵ M ∩C =∅，∴ a +4≤32，解得a ≤310-．…………………………………………………12分18．解：（1）∵ A 班的5名学生的平均得分为(5+9+9+9+9)÷5=8，方差4.2])89()89()89()88()58[(512222221=-+-+-+-+-=S ；B 班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8，方差2])108()98()88()78()68[(512222222=-+-+-+-+-=S ．∴ S 12>S 22，∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些．…………………………………8分（2）共有1025=C 种抽取样本的方法，其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件，故所求的概率为52104=．………………………………………………………12分 19．解：（1）设{a n }的公差为d ，由题设有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+.440219202012029101011d a d a ，解得a 1=3，d =2．……………………………………5分 a n =a 1+(n -1)d =3+(n -1)×2=2n +1，即{a n }的通项公式为a n =2n +1． ………………………………………………6分（2）由)2(2)123(+=++=n n n n S n ，得)2(11+=n n S n ， ……………………8分 ∴ T n )2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n )21151314121311(21+-++-+-+-=n n)2111211(21+-+-+=n n ， =)2(21)1(2143+-+-n n ． …………………………………………………12分20．解：（1）令y =f (x )=a x +2-1，于是y +1=a x +2，∴ x +2=log a (y +1)，即x =log a (y +1)-2，∴ )(1x f -=log a (x +1)-2(x >-1)．………………………………………………3分 （2）当0<a <1时，)(1x f -max =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2，∴ -2-(2log a -2)=2，解得22=a 或22-=a （舍）． 当a >1时，)(1x f -max =log a 2-2，)(1x f -min =-2，∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a （舍）．∴ 综上所述，22=a 或2=a ．……………………………………………7分 （3）由已知有log a 1-x a≤log a (x +1)-2，即1log -x a a ≤21log a x a +对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ ]2131[，∈a ，∴ 21ax +≤1-x a ．①由21ax +>0且1-x a >0知x +1>0且x -1>0，即x >1，于是①式可变形为x 2-1≤a 3，即等价于不等式x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ u =a 3+1在]2131[，∈a 上是增函数，∴ 2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤2728，解得9212-≤x ≤9212． 结合x >1得1<x ≤9212． ∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤⎝⎛92121，．…………………………………12分 21．解：（1）∵ a =1时，x x b x x f -+=23231(）， ∴ 1)(2-+='x b x x f ．由题知21是方程012=-+x b x 的根，代入解得23=b ， 于是123)(2-+='x x x f ．由0)(>'x f 即01232>-+x x ，可解得x <-2，或x >21，∴ f (x )的单调递增区间是(-∞，-2)，(21，+∞)．…………………………4分（2）∵ 22)(a x b ax x f -+='，∴ 由题知x 1，x 2是方程ax 2+b x -a 2=0的两个根． ∴ abx x -=+21，x 1x 2=-a ， ∴ |x 1-x 2|=244)(221221=+=-+a abx x x x ． 整理得b =4a 2-4a 3．……………………………………………………………8分 ∵ b ≥0， ∴ 0<a ≤1．则b 关于a 的函数g (a )=4a 2-4a 3(0<a ≤1)． 于是)32(4128)(2a a a a a g -=-='，∴ 当)320(，∈a 时，0)(>'a g ；当⎥⎦⎤⎝⎛∈132，a 时，.0)(<'a g∴ g(a )在)320(，上是增函数，在⎥⎦⎤⎝⎛132，上是减函数．∴ 2716)32()(max ==g a g ，0)1()(min ==g a g ， ∴ 0≤b ≤2716． ………………………………………………………………12分 22．解：（1）n =1时2)1(12+-=S a a 2)1(1+-=a a a 2=，∴a aa a ==2212（常数）． n ≥2时，由已知a n +1=(a -1)S n +2有a n =(a -1)S n -1+2， 两式相减得a n +1-a n =(a -1)a n ，整理得a n +1=a ·a n ，即a a ann =+1（常数）即对n =1，2，3，…，2k -1均有a a a nn =+1（常数） 故{a n }是以a 1=2，a 为公比的等比数列．∴ a n =2a n -1．……………………………………………………………………5分 （2）)]2()2()2[(log 1)(log 11102212-⋅⋅⋅==n n n a a a n a a a n b )2(log 112102-++++⋅=n n a n]2[log 12)1(2-⋅=n n n a na n 2log 211-+=．……………………………………………………9分（3）由已知1222-=k a ，得12112log 2111222--+=-+=-k n n b k n ， 由02112123121123>---=---+=-k n k n b n 知21+>k n ，∴ 当n =1，2，…，k 时n n b b -=-23|23|，当n =k +1，k +2，…，2k 时23|23|-=-n n b b ，∴ |23||23||23||23|21221-+-++-+--k k b b b b23232323232322121-++-+-+-++-+-=++k k k k b b b b b b =]122)12([]122)10([+-+++--++-k k k k k k k k k =122-k k ， ∴ 原不等式变为122-k k ≤4，解得324-≤k ≤324+，∵ k ∈N*，且k ≥2，∴ k =2，3，4，5，6，7．……………………………………………………14分绵阳市高中2018届高三第一次诊断性考试数学（第Ⅱ卷） 答题卷（文史类）题号 二 三 第Ⅱ卷总 分总分人总分 复查人 17 18 19 20 21 22 分数得 分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． ． 14． ． 15． ．16． ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 得 分 评卷人 17．（本题满分12分）得分评卷人18．（本题满分12分）得分评卷人19．（本题满分12分）得分评卷人20．（本题满分12分）得分评卷人21．（本题满分12分）得分评卷人22．（本题满分14分）。
四川省绵阳市2017-2018学年高三第一次诊断性考试文数试题 Word版含解析
四川省绵阳市2017-2018学年高三第一次诊断性考试文数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}3,2{ C ．}3,2,1{ D ．}4,3,2{ 【答案】A考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R x B ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x 【答案】D 【解析】试题分析：p ⌝为01,0200≤+-∈∃x x R x ，选D.考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】B考点：等差数列4.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 【答案】C 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中11(0,0),(1,0),(,)22A B C ，所以直线y x z +=2过点B 时取最大值2，选C.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.设命题p ：22<x ，命题q ：12<x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：命题p ：221x x <⇒<，命题q ：2111x x <⇒-<<，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B. 考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．6.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位【答案】A考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z). 7.三次函数1223)(23++-=x x ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行，则)(x f 在区间)3,1(上的最小值是（ ） A ．38 B ．611 C ．311 D ．35【答案】D 【解析】试题分析：2()332f x ax x '=-+，所以1(1)3103k f a a '==-=⇒=，所以2()32012f x x x x x '=-+=⇒==或，因此，)(x f 在区间(1,2)上单调减，)(x f 在区间(2,3)上单调增，所以最小值是135(2)84221=323f =⨯-⨯+⨯+，选D. 考点：利用导数求函数最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．8.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免标价的30元； 优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元 【答案】B考点：不等式应用9.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ） A ．αβcos 2cos = B ．αβ22cos 2cos = C ．αβ2cos 22cos = D ．02cos 22cos =+αβ 【答案】C 【解析】试题分析：2sin cos 2sin 1sin 24sin θθαθα+=⇒+=，所以2212sin 4sin ,11cos22(1cos2),cos22cos2βαβαβα+=+-=-=，选C.考点：三角恒等变换【思路点睛】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等10.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=4a （ ）A ．2B ．1C ．161D ．321【答案】A考点：函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系11.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理得222142242188BC =+-⨯⨯⨯=，再由角平分线定理得422BD DC DC ==，最后根据余弦定理得2AD ==,选C.考点：余弦定理12.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞- 【答案】A 【解析】试题分析：4324410x x ax x ++-+>恒成立，当0x =时，a R ∈，当0x ≠时，432222244141(4)(t 42)(2)2x x x a x x t t x x x +-+>-=-+-+=-++=-++ ，其中1t x R x=-∈，因为2(2)22t -++≤，从而2a >，因此实数a 的取值范围是)(2,+∞，选A.考点：不等式恒成立【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=，)1,2(=，)1,(x =满足条件-3与垂直，则=x . 【答案】1考点：向量垂直【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .【答案】13 【解析】试题分析：22242911111(3)()(8)3,03a a a a d a d a d d a d d d a =⇒+=++⇒=≠⇒=，而1318228a a a d +=⇒+=，所以151,3,14313.a d a ===+⨯=考点：等差数列 15.函数41)(2+-+=b x a x x f (b a ,是正实数)只有一个零点，则ab 的最大值为 . 【答案】161考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t = 【解析】试题分析：由题意得0x <时，3()()f x f x x =-=-，即3()||f x x =，因此33(3)8()|3|8|||3|2||f x t f x x t x x t x -≥⇒-≥⇒-≥，当0t =时，x R ∈,满足条件；当0t >时，5t x t x ≥≤-或,要满足条件，需2123150t t t t t t ⎧-≥+≤-⎪⇒≥⎨⎪>⎩或；当0t <时，5tx x t ≥-≤或,要满足条件，需2123350t t t tt t ⎧-≥-+≤⎪⇒≤-⎨⎪<⎩或；综上实数t 的取值范围是3-≤t 或1≥t 或0t =考点：不等式恒成立【思路点睛】求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 在区间]21,21[-上的最大值与最小值.【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）最大值是2，最小值是3-．试题解析：(1)由图得：2=A ． 由213165424=-==ωπT ，解得πω=．………………3分 由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，解得62ππϕ+=k ，又2πϕ<，可得6πϕ=，∴)6sin(2)(ππ+=x x f ．………………………………6分(2) ∵]2121[，-∈x ，∴]323[6ππππ，-∈+x ，∴3-≤)6sin(2ππ+x ≤2，即)(x f 的最大值是2，最小值是3-．………12分考点：求三角函数解析式，三角函数性质【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=， （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若12log +=n n a b ，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12-=n n a （2）1n n +试题解析：(1)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分 由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ，化简得12-=n n a a （n ≥2）， ∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分 (2) n a b n n n ===+2log log 212， ∴111)1(111+-=+=+n n n n b b n n ， ∴1111)111()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-=n nn n n T n ．……12分考点：由和项求通项，裂项相消求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n ≥2)或1n （n ＋2）.19.已知ABC ∆的面积为S ，且S AC AB =⋅. （1）求A 2tan 的值； （2）若53cos =C ，且2||=-AB AC ，求ABC ∆的面积S . 【答案】（1）43-（2）85【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积及三角形面积公式得1cos sin 2bc A bc A =，即tanA=2,再根据二倍角正切公式得22tan 4tan 21tan 3A A A ==--（2）由向量减法得2AC AB BC a -===，这样结合（1）就已知两角一边，利用正弦定理可求另一边，最后根据面积公式求三角形面积 试题解析：(1) 由已知AB AC S ⋅=有1cos sin 2bc A bc A =，可得tanA=2, …………2分 ∴22tan 4tan 21tan 3A A A ==--．……………………………………………………4分考点：向量数量积及三角形面积公式，二倍角公式【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）若k x f >)(对任意的),0(π∈x 恒成立，求实数k 的取值范围；（2）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论.（参考数据：4.12≈，4.26≈）【答案】（1）1-<k （2）有且只有1个零点（2）判定函数零点个数从两个方面，一是函数单调性，二是函数零点存在定理，先求函数导数()cos f x x x '=，确定函数在(2，3)上是减函数，即函数在(2，3)上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，得函数在(2，3)上至少一个零点，综上可得函数在(2，3)上有且仅有一个零点试题解析：(1)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='， ∴0)()20(>'∈x f x ，，π，0)()2(<'∈x f x ，，ππ，即)(x f 在)20(π，递增，在)2(ππ，递减，故{})()0(min )(min πf f x f ，=．又1cos )(1)0(-===ππf f ，，(2)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴)32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ， ∴函数)(x f 在(2，3)上是减函数．………8分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，……10分∵75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos ≈+-=--=-=<ππππ，∴03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上有且只有1个零点．…………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式恒成立【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21.已知函数1ln )(2-+=x x x f ，e e x g x -=)(. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）增函数（2）3m e≥试题解析：(1) 因为函数)(x f 的定义域为)0(∞+，，又xx x x x f 1221)(2+=+='， ∵x>0，2x2+1>0，∴0)(>'x f ，)(x f 在定义域)0(∞+，上是增函数． ………………………3分 (2)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ， 令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m=e 3．①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x xme x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴)(x h <h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，．显然x me x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <．于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0， 当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围 【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.【答案】（1）24y x =（2）试题解析：(1)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分 (2)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+，整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分 ∵01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间，∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分 考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. （1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<< 【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集得原不等式解集（2）将方程转化为对应函数11+--+=x x x a ，再根据绝对值定义将其转化为分段函数21111121x x a x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩，，，，，，最后结合分段函数图像确定实数a 的取值范围.试题解析：(1)∵1=a 时，111)(+--+=x x x f ， ∴当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．当-1<x<1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x<1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立．∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试数学文试题
绵阳市高中2015级第一次诊断性考试数学（文史类） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合()(){}410A x x x =∈-+<Z ，{}2,3,4B =，则A B =I （ ） A ．()2,4 B ．{}2,4 C ．{}3 D ．{}2,3 2．若x y >，且2x y +=，则下列不等式成立的是（ ） A ．22x y < B ．11x y< C ．1x > D ．0y < 3．．已知向量()1,2a x =-r ，(),1b x =r ，若a b ∥r r，则x 的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 4．若tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ） A ．3- B ．3 C ．34-D ．345．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米. A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 6．已知命题0:p x ∃∈R ，使得00x e≤；命题:,q a b ∈R ，若12a b -=-，则1a b -=-.下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．q ⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当11x -≤≤时，()f x x =.若函数()y f x =的图象与函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．()4,5 B ．()4,6 C ．{}5 D ．{}68．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若将()y f x =的图象向右平移16个单位得到()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一条对称轴方程是（ ） A ．56x =B ．13x =C ．12x = D ．0x = 9．在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知01a b <<<，给出以下结论：①1123a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②1132a b >；③1123log log a b >. 则其中正确的结论个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个11．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．2- C．2-．1-12．已知,,a b c ∈R ，且满足221b c +=，如果存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,2- B．⎡⎣ C．⎡⎣ D．⎡-⎣第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量,x y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是 ．14．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()21f =，若()211f x +<，则x 的取值范围是 ．15．在ABC ∆中，2AB =，4AC =，3A π∠=，且,M N 是边BC 的两个三等分点，则AM AN ⋅=u u u r u u u r．16．已知数列{}n a 的首项1a m =，且121n n a a n ++=+，如果{}n a 是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）设0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin 2α的值. 18.设公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知315S =，且1413,,a a a 成等比数列，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .（1）求n T ；（2）若对于任意的*n ∈N ，11n n tT a <+恒成立，求实数t 的取值范围. 19．在ABC ∆中，23B π∠=，D 是边BC上一点，且AD =2BD =. （1）求ADC ∠的大小；（2）若AC =ABC ∆的面积. 20．已知函数()()32f x x x x a a =+-+∈R .（1）求()f x 在区间[]1,2-上的最值；（2）若过点()1,4P 可作曲线()y f x =的3条切线，求实数a 的取值范围. 21．函数()()()21ln 122f x x ax a x a =-++--∈R .（1）求()f x 的单调区间； （2）若0a >，求证：()32f x a≥-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos ,45sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设1:6l πθ=，2:3l πθ=，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB ∆的面积.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2123f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≥；（2）记()f x 的最小值是m ，正实数,a b 满足22ab a b m ++=，求2a b +的最小值.绵阳市高2015级第一次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCADC BCBAB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．)21()23(∞+--∞，，15．32016．(21，23)三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解 ：（Ⅰ）由图得，2=A ． …………………………………………………1分43125343πππ=+=T ，解得π=T ， 于是由T =πωπ=2，得2=ω．…………………………………………………3分 ∵ 2)32sin(2)3(=+=ϕππf ，即1)32sin(=+ϕπ， ∴2232ππϕπ+=+k ，k ∈Z ，即62ππϕ-=k ，k ∈Z ， 又)22(ππϕ，-∈，所以6πϕ-=，即)62sin(2)(π-=x x f ． …………………6分(Ⅱ) 由已知56)62sin(2=-πα，即53)62sin(=-πα， 因为)30(πα，∈，所以)26(62πππα，-∈-，∴ 54)62(sin 1)62cos(2=--=-παπα． …………………………………8分 ∴]6)62sin[(2sin ππαα+-=6sin )62cos(6cos )62sin(ππαππα-+-= =21542353⨯+⨯ 10334+=． ………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d (d >0)，由S 3=15有3a 1+d 223⨯=15，化简得a 1+d =5，① ………………………2分 又∵ a 1，a 4，a 13成等比数列，∴ a 42=a 1a 13，即(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，化简3d =2a 1，② ………………4分 联立①②解得a 1=3，d =2，∴ a n =3+2(n -1)=2n +1． ……………………………………………………5分∴)321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ， ∴ )32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+-=+-+++-+-=n n n n n T n ．……………………………………………………7分(Ⅱ) ∵ n n a tT <+11，即122)32(3+<+n n tn，∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++<nn n n n n n n t ，………………9分又nn 9+≥6 ，当且仅当n =3时，等号成立， ∴ 90)9(12++nn ≥162， ……………………………………………………11分 ∴ 162<t ．……………………………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）△ABD 中，由正弦定理BADBDB AD ∠=∠sin sin ，得21sin sin =∠⨯=∠AD B BD BAD ， …………………………………………4分∴ 66326πππππ=--=∠=∠ADB BAD ，， ∴ 656πππ=-=∠ADC ． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD =∠BDA =6π，故AB =BD =2．在△ACD 中，由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即)23(32212522-⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分 整理得CD 2+6CD -40=0，解得CD =-10（舍去），CD =4，………………10分 ∴ BC =BD +CD =4+2=6． ∴ S △ABC =33236221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB ． ……………………12分 20．解：（Ⅰ）)1)(13(123)(2+-=-+='x x x x x f ， ……………………………1分由0)(>'x f 解得31>x 或1-<x ；由0)(<'x f 解得311<<-x ，又]21[，-∈x ，于是)(x f 在]311[，-上单调递减，在]231[，上单调递增． …………………………………………………………………3分∵ a f a f a f +-=+=+=-275)31(10)2(1)1(，，，∴ )(x f 最大值是10+a ，最小值是a +-275．………………………………5分 (Ⅱ) 设切点)41()(23，，，P a x x x x Q +-+， 则14123)(232--+-+=-+='=x a x x x x x x f k PQ， 整理得0522223=-+--a x x x ， ……………………………………………7分 由题知此方程应有3个解． 令a x x x x -+--=5222)(23μ， ∴ )1)(13(2246)(2-+=--='x x x x x μ，由0)(>'x μ解得1>x 或31-<x ，由0)(<'x μ解得131<<-x ，即函数)(x μ在)31(--∞，，)1(∞+，上单调递增，在)131(，-上单调递减． ……………………………………………………………………10分要使得0)(=x μ有3个根，则0)31(>-μ，且0)1(<μ，解得271453<<a ， 即a 的取值范围为)271453(，． ………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）xx ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='． …1分 ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减；………………3分 ② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>，由0)(<'x f 解得ax 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a ，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a ． ……………………5分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增， 则121ln )1()(min --==aa a f x f ． …………………………………………6分 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11-a≥0，即证a ln ≥a11-．………………………………………………………………8分 构造函数11ln )(-+=aa a μ，则22111)(a a a a a -=-='μ，由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ， 即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 01111ln )1()(min =-+==μμa ，即11ln -+aa ≥0成立． 从而)(x f ≥a23-成立．………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25，即x 2+y 2-6x -8y =0． ……………………………………………………………2分 ∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分 （Ⅱ）把6πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，∴ )6334(π，+A ． ……………………………………………………………6分把3πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3432+=ρ，∴ )3343(π，+B ． ……………………………………………………………8分∴ S △AOB AOB ∠=sin 2121ρρ )63sin()343)(334(21ππ-++= 432512+=． ……………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤23-时，f (x )=-2-4x ， 由f (x )≥6解得x ≤-2，综合得x ≤-2，………………………………………2分当2123<<-x 时，f (x )=4，显然f (x )≥6不成立，……………………………3分当x ≥21时，f (x )=4x +2，由f (x )≥6解得x ≥1，综合得x ≥1，……………4分所以f (x )≥6的解集是)1[]2(∞+--∞，，．…………………………………5分 （Ⅱ）)(x f =|2x -1|+|2x +3|≥4)32()12(=+--x x ，即)(x f 的最小值m =4． ………………………………………………………7分 ∵ b a 2⋅≤2)22(b a +， …………………………………………………………8分 由224ab a b ++=可得)2(4b a +-≤2)22(b a +， 解得b a 2+≥252-，∴ b a 2+的最小值为252-．………………………………………………10分。
(晨鸟)2018年四川省绵阳市中考数学一模试卷
2018 年四川省绵阳市中考数学一模试卷一、选择题；（每小题3 分，共计36 分）1．（ 3 分） |﹣ 3|的倒数是（）A ．3B ．C．﹣ 3D．﹣2．（ 3 分）下列计算正确的是（）A ．B ．C．D．3．（ 3 分）有三张正面分别标有数字﹣2， 3， 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（）A ．B ．C．D．4．（ 3 分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15 分钟，现已知小林家距学校8 千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（）A ．B．C．D．5．（ 3 分）已知一元二次方程x 2﹣ 8x+15＝ 0 的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ ABC 的周长为（）A ．13B ．11 或 13C． 11D． 126．（ 3 分）如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、CA 上，且 DE∥CA ，DF ∥ BA．下列四种说法：①四边形 AEDF 是平行四边形；②如果∠ BAC＝ 90°，那么四边形AEDF 是矩形；③如果 AD 平分∠ BAC，那么四边形AEDF 是菱形；④如果 AD⊥ BC 且 AB＝ AC，那么四边形AEDF 是菱形．其中，正确的有（）个．A ．1B ．2C． 3D． 47．（ 3 分）如图，菱形中，对角线AC、 BD 交于点 O， E 为 AD 边中点，菱形ABCD 的周长为 28，则 OE 的长等于（）A ．3.5B ．4C． 7D． 148．（ 3 分）若函数y＝ kx﹣ b 的图象如图所示，则关于x 的不等式k（ x﹣ 3）﹣ b＞ 0 的解集为（）A ．x＜ 2B ．x＞ 2C． x＜ 5D． x＞ 59．（ 3 分）据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200 余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC 为 13m，河面宽AB 为 24m，则桥高CD 为（）A ．15mB ．17m C． 18m D． 20m10．（ 3 分）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A ．90°B ．120°C． 150°D． 180°11．（3 分）如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，AC 是⊙O 的直径，∠ C＝50°，∠ ABC 的平分线 BD 交⊙ O 于点 D ，则∠ BAD 的度数是（）A ．45°B ．85°C． 90°D． 95°2（）12．（ 3 分）若抛物线 y＝ x ﹣（m﹣ 3）x﹣ m 能与 x 轴交，则两交点间的距离最值是A ．最大值 2B ．最小值 2C．最大值 2D．最小值 2二、填空题（每题 4 分，共计 24 分）13．（ 4 分）不等式组的解集是．14．（ 4分）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．15．（ 4分）已知关于 x 的一元二次方程x 2﹣ 2 x﹣ k＝ 0 有两个相等的实数根，则k 值为．16．（ 4分）如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， CD 与⊙O 相切于点 D，若∠ C＝ 20°，则∠ CDA＝°．17．（ 4 分）已知：如图，AB 为⊙ O 的直径，点C、 D 在⊙ O 上，且 BC＝ 6cm， AC＝ 8cm，∠ ABD＝ 45°．则图中阴影部分的面积是．18．（ 4 分）如图，在矩形ABCD 中， AB＝ 4，AD ＝ 2，以点 A 为圆心， AB 长为半径画圆弧交边 DC 于点 E，则的长度为．三、解答题（ 19 题 10 分， 20 题 10 分，其余各题均12分，共计 80 分）19．（ 10 分）（ 1）计算：（﹣ 1）2016﹣ |﹣ 2|+（）×+（）﹣1（ 2）先化简，再求值：（﹣），其中 x 是不等式3x+7＞ 1 的负整数解．20．（ 10 分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和﹣ 2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、0 和 2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为 y，设点 P 的坐标为（ x，y）．（ 1）请用表格或树状图列出点P 所有可能的坐标；（ 2）求点 P 在一次函数 y＝ x+1 图象上的概率．21．（ 12 分）如图，在△ ABC 中，∠ CAB＝ 90°，∠ CBA＝ 50°，以 AB 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，点 E 在边 AC 上，且满足 ED ＝ EA．（1）求∠ DOA 的度数；（2）求证：直线 ED 与⊙O 相切．22．（ 12 分）如图，把△EFP 按图示方式放置在菱形线段 AB、 AD、 AC 上，已知 EP ＝FP ＝4， EF＝ 4 （ 1）求∠ EPF 的大小；ABCD 中，使得顶点E、 F、 P 分别在，∠ BAD ＝60°，且 AB＞ 4．（ 2）若 AP ＝6，求 AE+AF 的值．23．（ 12 分）如图所示，一幢楼房 AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高 0.2 米，且 AC ＝ 17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当 α＝ 60°时，测得楼房在地面上的影长AE ＝10 米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳． （取 1.73）（ 1）求楼房的高度约为多少米？（ 2）过了一会儿，当 α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．24．（ 12 分）如图， 平面直角坐标系中，将含 30°的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限． 其斜边两端点 A 、 B 分别落在 x 轴、 y 轴上，且 AB ＝ 12cm（ 1）若 OB ＝ 6cm ．① 求点 C 的坐标；② 若点 A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（ 2）点 C 与点 O 的距离的最大值＝cm ．25．（12 分）一次函数y ＝ x 的图象如图所示， 它与二次函数y ＝ax 2﹣ 4ax+c 的图象交于A 、B 两点（其中点 A 在点 B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．（ 1）求点 C 的坐标；（ 2）设二次函数图象的顶点为D ．① 若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，且△ACD 的面积等于 3，求此二次函数的关系式；②若 CD＝AC ，且△ ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．2018 年四川省绵阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题；（每小题3 分，共计36 分）1．（ 3 分） |﹣ 3|的倒数是（）A ．3B ．C．﹣ 3D．﹣【分析】首先运用绝对值的定义去掉绝对值的符号，然后根据倒数的定义求解．【解答】解：∵ |﹣ 3|＝ 3， 3的倒数是，∴ |﹣ 3|的倒数是．故选： B．【点评】本题主要考查了绝对值和倒数的定义．绝对值的定义：如果用字母 a 表示有理数，则数 a 的绝对值要由字母 a 本身的取值来确定：①当 a 是正有理数时， a 的绝对值是它本身a；② 当 a 是负有理数时， a 的绝对值是它的相反数﹣ a；③当 a 是零时， a 的绝对值是零．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（ 3 分）下列计算正确的是（）A ．B ．C．D．【分析】根据同类二次根式才能合并可对 A 进行判断；根据二次根式的乘法对 B 进行判断；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对 C 进行判断；根据二次根式的除法对 D 进行判断．【解答】解： A、与不能合并，所以 A 选项不正确；B、×＝，所以 B 选项不正确；C、﹣＝ 2＝，所以 C 选项正确；D 、÷＝ 2÷＝ 2，所以 D 选项不正确．故选： C．【点评】本题考查了二次根式的加减运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的乘除法．3．（ 3 分）有三张正面分别标有数字﹣2， 3， 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（）A ．B ．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有 6 种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有 2 种情况，∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：＝．故选： C．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．4．（ 3 分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15 分钟，现已知小林家距学校8 千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（）A ．B．C．D．【分析】根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15 分钟，利用时间得出等式方程即可．【解答】解：设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为：＝+，故选： D ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．5．（ 3 分）已知一元二次方程x 2﹣ 8x+15＝ 0 的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ ABC 的周长为（ ）A ．13B ．11 或 13C ． 11D ． 12【分析】由一元二次方程 x 2﹣ 8x+15＝ 0 的两个解恰好分别是等腰△ ABC 的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC 的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为 3 和 5 时与当底边长和腰长分别为5 和 3 时去分析，即可求得答案．【解答】 解：∵ x 2﹣ 8x+15 ＝0，∴（ x ﹣3）（ x ﹣ 5）＝ 0，∴ x ﹣ 3＝ 0 或 x ﹣ 5＝ 0，即 x 1＝ 3， x 2＝ 5，∵一元二次方程 x 2﹣ 8x+15 ＝0 的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，∴当底边长和腰长分别为3 和 5 时， 3+3 ＞ 5，∴△ ABC 的周长为： 3+3+5＝ 11； ∴当底边长和腰长分别为5 和 3 时， 3+5 ＞ 5，∴△ ABC 的周长为： 3+5+5＝ 13 ； ∴△ ABC 的周长为： 11 或 13． 故选： B ．【点评】 此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．6．（ 3 分）如图，在△ABC 中，点 D 、E 、F 分别在边 AB 、BC 、CA 上，且 DE ∥CA ，DF ∥BA ．下列四种说法：① 四边形 AEDF 是平行四边形；② 如果∠ BAC ＝ 90°，那么四边形 AEDF 是矩形；③ 如果 AD 平分∠ BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；④ 如果 AD ⊥ BC 且 AB ＝ AC ，那么四边形AEDF 是菱形．其中，正确的有（） 个．A ．1B ．2C． 3D． 4【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥ CA，DF ∥ BA，得出AEDF 为平行四边形，得出① 正确；当∠ BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF ，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD 平分∠ BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD ＝∠ EDA ，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③ 正确；由 AB＝ AC， AD ⊥BC ，根据等腰三角形的三线合一可得AD 平分∠ BAC ，同理可得四边形AEDF 是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．【解答】解：∵ DE∥ CA， DF ∥ BA，∴四边形 AEDF 是平行四边形，选项①正确；若∠ BAC＝ 90°，∴平行四边形 AEDF 为矩形，选项②正确；若AD 平分∠ BAC ，∴∠ EAD＝∠ FAD ，又DE ∥CA，∴∠EDA ＝∠FAD，∴∠ EAD＝∠ EDA，∴ AE＝ DE ，∴平行四边形 AEDF 为菱形，选项③正确；若AB＝ AC， AD ⊥BC ，∴ AD 平分∠ BAC，同理可得平行四边形 AEDF 为菱形，选项④正确，则其中正确的个数有 4 个．故选： D ．【点评】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．7．（ 3 分）如图，菱形中，对角线AC、 BD 交于点 O， E 为 AD 边中点，菱形ABCD 的周长为 28，则 OE 的长等于（）A ．3.5B ．4C． 7D． 14【分析】根据菱形的四条边都相等求出 AB，再根据菱形的对角线互相平分可得 OB＝ OD ，然后判断出 OE 是△ ABD 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．【解答】解：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AB＝ 28÷4＝ 7， OB＝OD ，∵ E 为 AD 边中点，∴OE 是△ ABD 的中位线，∴OE＝ AB＝× 7＝ 3.5．故选： A．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．8．（ 3 分）若函数y＝ kx﹣ b 的图象如图所示，则关于x 的不等式k（ x﹣ 3）﹣ b＞ 0 的解集为（）A ．x＜ 2B ．x＞ 2C． x＜ 5D． x＞ 5【分析】根据函数图象知：一次函数过点（ 2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出 k、 b 的关系式；然后将 k、 b 的关系式代入 k（ x﹣ 3）﹣ b＞ 0 中进行求解即可．【解答】解：∵一次函数 y＝ kx﹣ b 经过点（ 2，0），∴ 2k﹣b＝ 0， b＝2k．函数值 y 随 x 的增大而减小，则k＜ 0；解关于 k（ x﹣ 3）﹣ b＞ 0，移项得： kx＞ 3k+b，即 kx＞ 5k；两边同时除以k，因为 k＜ 0，因而解集是x＜ 5．故选： C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．9．（ 3 分）据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200 余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC 为 13m，河面宽AB 为 24m，则桥高CD 为（）A ．15mB ．17m C． 18m D． 20m【分析】由于 CD 为拱桥的桥顶到水面的距离，即CD ⊥ AB，则根据垂径定理得到AD ＝AB＝ 12，在 Rt△ OAD 中，利用勾股定理计算出OD＝ 5，于是得到 CD＝ OC+CD＝ 18m．【解答】解：连结OA，如图，∵CD ⊥ AB，∴AD＝ BD＝ AB＝× 24＝ 12，在 Rt△OAD 中， OA＝ 5， OD＝＝5，∴CD ＝ OC+CD ＝ 13+5＝18（ m）．故选： C．【点评】题考查了径定理的应用：（ 1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10．（ 3 分）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A ．90°B ．120°C． 150°D． 180°【分析】设正圆锥的底面半径是r ，则母线长是2r ，底面周长是2πr，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解．【解答】解：设正圆锥的底面半径是r ，则母线长是2r，底面周长是2πr，设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则＝2πr，解得： n＝ 180°．故选： D ．【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．11．（3 分）如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，AC 是⊙O 的直径，∠ C＝50°，∠ ABC 的平分线 BD 交⊙ O 于点 D ，则∠ BAD 的度数是（）A ．45°B ．85°C． 90°D． 95°【分析】根据圆周角定理以及推论和角平分线的定义可分别求出∠BAC 和∠ CAD 的度数，进而求出∠ BAD 的度数．【解答】解：∵ AC 是⊙ O 的直径，∴∠ ABC＝ 90°，∵∠ C＝ 50°，∴∠ BAC＝ 40°，∵∠ ABC 的平分线 BD 交⊙ O 于点 D ，∴∠ ABD＝∠ DBC＝ 45°，∴∠ CAD＝∠ DBC＝ 45°，∴∠ BAD ＝∠ BAC+∠ CAD ＝40° +45 °＝ 85°，故选： B ．【点评】本题考查的是圆周角定理， 即在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．12．（ 3 分）若抛物线 2）y ＝ x ﹣（m ﹣ 3）x ﹣ m 能与 x 轴交， 则两交点间的距离最值是 （A ．最大值 2B ．最小值 2C ．最大值 2D ．最小值 2【分析】 根据根与系数的关系，可得 A 、 B 间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】 解：设 x 1， x 2 是方程 x 2﹣（ m ﹣ 3）x ﹣ m ＝ 0 的两根，抛物线 y ＝ x 2﹣（ m ﹣ 3）x﹣ m 与 x 轴的交点为 A 、 B ， ∴ x 1+x 2＝ m ﹣ 3，x 1?x 2＝﹣ m ． ∵两交点间的距离 AB ＝ |x 1﹣ x 2|， ∴ AB 2＝（ x 1﹣x 2） 2＝（ x 1+x 2） 2﹣ 4x 1x 2 ＝（ m ﹣ 3）2﹣ 4（﹣ m ）2＝（ m ﹣ 1） +8，∴当 m ＝ 1 时， AB 2有最小值 8，∴ AB 有最小值，即 AB ＝ ＝ 2，故选： D ．【点评】 本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质二、填空题（每题 4 分，共计 24 分）13．（ 4 分）不等式组的解集是 x ＜﹣ 1 ．【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】 解：解不等式 x ﹣2＜ 3，得： x ＜ 5，解不等式 x+3＜ 2，得： x ＜﹣ 1，则不等式组的解集为x ＜﹣ 1，故答案为： x ＜﹣ 1．【点评】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大； 同小取小； 大小小大中间找；大大小小找不到” 的原则是解答此题的关键．14．（ 4 分）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 9 ．【分析】 首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．【解答】 解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是： 180°﹣ 140°＝ 40°，360°÷ 40°＝ 9．故答案为： 9．【点评】 此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．15．（ 4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x 2﹣2x ﹣ k ＝0 有两个相等的实数根， 则 k 值为 ﹣3 ．【分析】 因为方程有两个相等的实数根，则△＝（﹣ 2 ）2+4k ＝ 0，解关于 k 的方程即可．【解答】 解：∵关于 x 的一元二次方程 x 2﹣ 2x ﹣ k ＝ 0 有两个相等的实数根，∴△＝ 0，即（﹣ 2） 2﹣4×（﹣ k ）＝ 12+4k ＝ 0，解得 k ＝﹣ 3．故答案为：﹣ 3．【点评】 本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．16．（ 4 分）如图， AB 是 ⊙ O 的直径，点C 在 AB 的延长线上， CD 与 ⊙O 相切于点D ，若∠ C ＝ 20°，则∠ CDA ＝ 125 °．【分析】 连接 OD ，构造直角三角形，利用OA ＝ OD ，可求得∠ ODA ＝ 35°，从而根据∠ CDA ＝∠ CDO+∠ ODA 计算求解．【解答】 解：连接 OD ，则∠ ODC ＝ 90°，∠ COD ＝ 70°；∵ OA ＝ OD ，∴∠ ODA＝∠ A＝∠ COD＝35°，∴∠ CDA＝∠ CDO+∠ ODA＝ 90° +35°＝ 125°，故答案为： 125．【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．17．（ 4 分）已知：如图，AB 为⊙ O 的直径，点C、 D 在⊙ O 上，且 BC＝ 6cm， AC＝ 8cm，∠ ABD＝ 45°．则图中阴影部分的面积是（﹣）（cm）2．【分析】根据 S 阴影＝ S 扇形﹣ S△OBD即可得到结论．【解答】解：∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ACB＝ 90°，∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴ AB＝ 10cm．∴ OB＝ 5cm．∵OD ＝OB，∴∠ ODB＝∠ ABD ＝ 45°．∴∠ BOD＝ 90°．S 阴影＝ S 扇形﹣ S△OBD＝π?52﹣× 5× 5＝cm2．故答案为：（﹣）（cm）2【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接 OD 构造直角三角形是解题的关键．交边 DC 于点 E，则的长度为．【分析】连接 AE，根据直角三角形的性质求出∠DEA 的度数，根据平行线的性质求出∠EAB 的度数，根据弧长公式求出的长度．【解答】解：连接AE，在Rt 三角形 ADE 中， AE＝ 4， AD ＝2，∴∠ DEA＝ 30°，∵ AB∥ CD ，∴∠ EAB＝∠ DEA ＝ 30°，∴的长度为：＝，故答案为：．【点评】本题考查的是弧长的计算和直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和弧长公式是解题的关键．三、解答题（ 19 题 10 分， 20 题 10分，其余各题均12 分，共计80 分）19．（ 10 分）（ 1）计算：（﹣ 1）20160﹣1﹣ |﹣ 2|+（）×+（）（ 2）先化简，再求值：（﹣），其中 x 是不等式3x+7＞ 1 的负整数解．【分析】（ 1）根据零指数幂以及负整数指数幂的意义即可求出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（ 1）原式＝ 1﹣ 2+1 × 2+4＝ 5（ 2）原式＝×＝当3x+7 ＞1，即 x＞﹣ 2 时的负整数时，当x＝﹣ 1 时原式＝ 3【点评】本题考查学生的运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．20．（ 10 分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和﹣ 2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、0 和 2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点 P 的坐标为（ x，y）．（ 1）请用表格或树状图列出点P 所有可能的坐标；（ 2）求点 P 在一次函数y＝ x+1 图象上的概率．【分析】（ 1）画出树状图，根据图形求出点P 所有可能的坐标即可；（ 2）只有（ 1，2），（﹣ 2，﹣ 1）这两点在一次函数 y＝ x+1 图象上，于是得到P（点P在一次函数 y＝x+1 的图象上）＝＝．【解答】解：（ 1）画树状图如图所示：∴点 P 所有可能的坐标为：（ 1，﹣ 1），（ 1，0），（ 1，2），（﹣ 2，﹣ 1），（﹣ 2，0），（﹣ 2，2）；（ 2）∵只有（ 1， 2），（﹣ 2，﹣ 1）这两点在一次函数y＝ x+1 图象上，∴ P（点P在一次函数y＝x+1的图象上）＝＝．【点评】本题考查了列表法和树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确的画出树状图是解题的关键．21．（ 12 分）如图，在△ ABC 中，∠ CAB＝ 90°，∠ CBA＝ 50°，以 AB 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，点 E 在边 AC 上，且满足 ED ＝ EA．（1）求∠ DOA 的度数；（2）求证：直线 ED 与⊙O 相切．【分析】（ 1）根据圆周角定理即可得到结论；（2）连接 OE，通过△ EAO ≌△ EDO ，即可得到∠ EDO＝ 90°，于是得到结论．【解答】（ 1）解；∵∠ DBA＝ 50°，∴∠ DOA＝ 2∠DBA ＝ 100°，（2）证明：连接 OE．在△ EAO 与△ EDO 中，，∴△ EAO≌△ EDO，∴∠ EDO＝∠ EAO，∵∠ BAC＝ 90°，∴∠ EDO＝ 90°，∴ DE 与⊙O 相切．【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，连接OE 构造全等三角形是解题的关键．22．（ 12 分）如图，把△EFP 按图示方式放置在菱形线段 AB、 AD、 AC 上，已知 EP ＝FP ＝4， EF＝ 4 （ 1）求∠ EPF 的大小；ABCD 中，使得顶点E、 F、 P 分别在，∠ BAD ＝60°，且 AB＞ 4．（2）若 AP ＝6，求 AE+AF 的值．【分析】（ 1）过点 P 作 PG⊥ EF 于 G，解直角三角形即可得到结论；（2）过点 P 作 PM⊥ AB 于 M ，PN⊥AD 于 N，证明△ ABC≌△ ADC ，Rt△ PME ≌Rt△ PNF ，问题即可得证．【解答】解：（ 1）如图 1，过点 P 作 PG⊥ EF 于 G，∵ PE＝ PF ，∴ FG＝ EG＝EF ＝ 2，∠ FPG＝∠ EPG＝∠ EPF，在△ FPG 中， sin∠ FPG ＝＝＝，∴∠ FPG＝ 60°，∴∠ EPF ＝2∠ FPG ＝120°；（2）如图 2，过点 P 作 PM ⊥ AB 于 M，PN⊥ AD 于 N，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AD＝ AB， DC＝ BC，∴∠ DAC＝∠ BAC，∴ PM ＝PN，在 Rt△PME 与 Rt△ PNF 中，，∴Rt△PME ≌ Rt△ PNF ，∴FN＝ EM，在 Rt△PMA 中，∠ PMA＝ 90°，∠ PAM＝∠ DAB＝30°，∴ AM ＝AP?cos30°＝ 3，同理AN＝3，∴ AE+AF＝（ AM﹣EM ） +（AN +NF ）＝ 6．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．（ 12 分）如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 米，且 AC＝ 17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝ 60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．（取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．【分析】（ 1）在 Rt△ ABE 中，由tan60°＝＝，即可求出AB＝ 10?tan60°＝ 17.3米；（ 2）假设没有台阶，当α＝ 45°时，从点 B 射下的光线与地面 AD 的交点为点 F，与 MC 的交点为点 H．由∠ BFA＝ 45°，可得 AF ＝ AB＝ 17.3 米，那么 CF＝ AF ﹣ AC＝ 0.1 米，CH＝ CF＝ 0.1 米，所以大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳．【解答】解：（ 1）当α＝ 60°时，在Rt△ ABE 中，∵ tan60°＝＝，∴ AB＝ 10?tan60°＝ 10≈ 10× 1.73＝17.3米．即楼房的高度约为17.3 米；（ 2）当α＝ 45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α＝ 45°时，从点 B 射下的光线与地面 AD 的交点为点 F，与 MC 的交点为点 H ．∵∠ BFA＝45°，∴tan45°＝＝1，此时的影长AF＝ AB＝ 17.3 米，∴CF＝ AF﹣ AC＝ 17.3﹣ 17.2＝0.1 米，∴CH ＝ CF＝ 0.1 米，∴大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，∴小猫仍可以晒到太阳．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．24．（ 12 分）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点 A、 B 分别落在 x 轴、 y 轴上，且 AB＝ 12cm（1）若 OB＝ 6cm．①求点 C 的坐标；②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（ 2）点 C 与点 O 的距离的最大值＝12cm．第 22 页（共 27 页）【分析】（ 1）① 过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为D，利用含 30°角的直角三角形的性质解答即可；②设点 A 向右滑动的距离为x，得点 B 向上滑动的距离也为x，利用三角函数和勾股定理进行解答；（ 2）过 C 作 CE⊥ x 轴， CD ⊥ y 轴，垂足分别为E，D ，证明△ ACE 与△ BCD 相似，再利用相似三角形的性质解答．【解答】解：（ 1）①过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D ，如图 1：在Rt△AOB 中， AB＝ 12， OB＝ 6，则 BC＝ 6，∴∠ BAO＝ 30°，∠ ABO＝60°，又∵∠ CBA＝ 60°，∴∠ CBD＝ 60°，∠ BCD＝ 30°，∴ BD＝ 3，CD ＝ 3 ，所以点 C 的坐标为（﹣ 3，9）；②设点 A 向右滑动的距离为x，根据题意得点 B 向上滑动的距离也为x，如图 2：AO＝ 12×cos∠ BAO ＝ 12× cos30°＝ 6．∴A'O＝6 ﹣ x，B'O＝ 6+x， A'B'＝ AB＝ 12在△ A'O B'中，由勾股定理得，（ 6222﹣ x） +（6+x）＝ 12，解得： x＝ 6（﹣ 1），∴滑动的距离为6（﹣1）；（ 2）设点 C 的坐标为（ x，y），过 C 作 CE⊥ x 轴， CD⊥ y 轴，垂足分别为E， D，如图3：则OE＝﹣ x， OD＝ y，∵∠ ACE+∠ BCE＝ 90°，∠ DCB +∠ BCE＝ 90°，∴∠ ACE＝∠ DCB，又∵∠ AEC＝∠ BDC＝ 90°，∴△ ACE∽△ BCD，∴，即，∴ y＝﹣x，222222OC＝ x+y＝x +（﹣x）＝ 4x，∴取 AB 中点 D ，连接 CD ，OD，则 CD 与 OD 之和大于或等于CO，当且仅当 C，D，O 三点共线时取等号，此时CO＝ CD +OD＝ 6+6 ＝ 12，故答案为： 12．第二问方法二：因角 C 与角 O 和为 180 度，所以角 CAO 与角 CBO 和为 180 度，故 A，O，B， C 四点共圆，且AB 为圆的直径，故弦 CO 的最大值为 12．【点评】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和勾股定理以及三角函数进行分析解答．25．（12 分）一次函数y ＝ x 的图象如图所示， 它与二次函数y ＝ax 2﹣ 4ax+c 的图象交于A 、B 两点（其中点 A 在点 B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．（ 1）求点 C 的坐标；（ 2）设二次函数图象的顶点为D ．① 若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，且△ACD 的面积等于 3，求此二次函数的关系式；② 若 CD ＝AC ，且△ ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．【分析】（ 1）先求出对称轴为 x ＝2，然后求出与一次函数 y ＝ x 的交点，即点 C 的坐标；（ 2）① 先求出点 D 的坐标，设 A 坐标为（ m ， m ），然后根据面积为 3，求出 m 的值，得出点 A 的坐标，最后根据待定系数法求出a 、 c 的值，即可求出解析式；② 过点 A 作 AE ⊥ CD 于 E ，设 A 坐标为（ m ，△ACD ＝ 10，求出 m 的值，然后m ），由 S求出点 A 坐标以及 CD 的长度，然后分两种情况：当 a ＞ 0，当 a ＜0 时，分别求出点 D的坐标，代入求出二次函数的解析式．【解答】 解：（ 1）∵ y ＝ ax 2﹣ 4ax+c ＝ a （x ﹣ 2） 2﹣ 4a+c ，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝2，当 x ＝ 2 时， y ＝ x ＝ ，故点 C （ 2， ）；（ 2）① ∵点 D 与点 C 关于 x 轴对称， ∴ D （ 2，﹣ ），∴ CD ＝ 3，设 A （ m ， m ）（ m ＜ 2），由 S △ACD ＝ 3 得： × 3×（ 2﹣ m ）＝ 3，解得 m ＝ 0，∴ A （ 0， 0）．由 A （ 0， 0）、D （2，﹣ ）得：，解得： a ＝，c ＝ 0．∴ y ＝ x 2﹣ x ；② 设 A （ m ，m ）（ m ＜ 2），过点 A 作 AE ⊥ CD 于 E ，则 AE ＝ 2﹣ m ，CE ＝﹣ m ，AC ＝＝ ＝（2﹣ m ），∵ CD ＝ AC ，∴ CD ＝（ 2﹣ m ），由 S △ACD ＝ 10 得 ×（ 2﹣ m ） 2＝ 10，解得： m ＝﹣ 2 或 m ＝ 6（舍去），∴ m ＝﹣ 2，∴ A （﹣ 2，﹣ ）， CD ＝5，当 a ＞0 时，则点 D 在点 C 下方，∴ D （ 2，﹣ ），由 A （﹣ 2，﹣ ）、 D （ 2，﹣ ）得：，解得：，∴ y ＝ x 2﹣ x ﹣3；当 a ＜0 时，则点 D 在点 C 上方， ∴ D （ 2， ），由 A （﹣ 2，﹣）、 D （ 2， ）得： ，解得，∴ y ＝﹣ x 2+2x+ ．【点评】 本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式，以及待定系数法求函数解析式等知识点，综合性较强，难度较大．。
2018年四川省绵阳市游仙区中考数学一诊试卷(解析版)
2018年绵阳市游仙区中考数学一诊试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．【分析】利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+4＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x﹣3＝0或x+4＝0，所以x1＝3，x2＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°﹣60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣95°﹣50°＝35°故选：D．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．5．【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD＝DC＝5，∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE＝＝．故选：D．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．6．【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．7．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝AB tan∠OAB可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：D．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．8．【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径进行判断．【解答】解：A、不是圆周角，故本选项不能判断；B、根据90°的圆周角所对的弦是直径，本选项符合；C、不是圆周角，故本选项不能判断；D、不是圆周角，故本选项不能判断．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理的推论，即检验半圆的方法，90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆．9．【分析】先由a＞0，得出函数有最小值，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1（a＞0），∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵点A、B、C到对称轴的距离分别为3、1、2，∴y1＞y3＞y2．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．【分析】连接OB，OA，得出△AOB是等边三角形，求出S△AOB 和S扇形AOB，那么阴影面积＝（S扇形AOB﹣S△AOB）×6，代入计算即可．【解答】解：如图，连接OB，OA，作OM⊥AB于点M，则OM＝．∵∠AOB＝＝60°，AO＝OB，∴BO＝AB＝AO，AM＝AB＝AO，OM＝，∴，∴AO＝1，∴BO＝AB＝AO＝1，∴S△AOB＝AB×OM＝×1×＝，∵S扇形AOB＝＝，∴阴影部分面积是：（﹣）×6＝π﹣．故选：A．【点评】此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积＝（S扇形AOB ﹣S△AOB）×6是解题关键．11．【分析】利用弧长公式，分别计算出L1，L2，L3，…的长，寻找其中的规律，确定L2011的长．【解答】解：L1＝＝L2＝＝L3＝＝L4＝＝按照这种规律可以得到：L n＝∴L2011＝．故选：B．【点评】本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出L2011的长．12．【分析】根据图象的位置即可判断①，根据图象得出当x＜﹣1时，M＝﹣x2+1，当﹣1＜x＜0时，M ＝x+1，即可判断②，求出M＝﹣2时，对应的x的值，即可判断③，根据二次函数的最值即可判断④．【解答】解：∵从图象可知：当x＞0时，y1＜y2，∴①错误；∵当x＜0时，x值越大，M值越大；，∴②正确；∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）（1，0），由图可知，x＜﹣1或x＞1时，M＝y1＝﹣x2+1，当M＝﹣2时，﹣x2+1＝﹣2，解得x＝，故③正确；∵由图可知，x＝0时，M有最大值为1，故④正确，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案直接写在横线上．13．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，∴m2﹣1＝0，即（m﹣1）（m+1）＝0且m﹣1≠0，∴m+1＝0，解得，m＝﹣1；故答案是：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．14．【分析】证明∠DCE＝∠A即可解决问题．【解答】解：∵∠A+∠BCD＝80°，∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠A，∵∠A＝70°，∴∠DCE＝70°，故答案为70°．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．【分析】根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，边AD∥x轴，OA＝4，∠ABC＝120°，∴∠AOD＝90°，∠ADO＝60°，∴∠OAD＝30°，∴点A的坐标为（﹣2，2），∴点C的坐标是（2，﹣2），故答案为：（2，﹣2），【点评】本题考查了菱形的性质．含30°的直角三角形的性质，熟记各种特殊几何图形的判断方法和性质是解题的关键．16．【分析】成绩就是当高度y＝0时x的值，所以解方程可求解．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．【点评】此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．17．【分析】连接OC，作直角△ABO斜边中线OE，连接ED，当DE、AE共线时AD取最大值．【解答】解：由题意知OB＝10连接OC，作直角△ABO斜边中线OE，连接ED，则DE＝OC＝2，AE＝OB＝5．因为AD＜DE+AE，所以当DE、AE共线时AD＝AE+DE最大为7cm．故答案为：7．【点评】本题考查最值问题．将AD转化为AE和DE的数量关系是解答关键．18．【分析】把已知条件转化为抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，如图，利用函数图象得到当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0；当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0；当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0；然后分别解不等式，最后确定它们的公共部分即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，∴抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，如图，当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0，解得k＜2；当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0，解得k＞；当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0，解得k＜；∴k的范围为＜k＜2．故答案为＜k＜2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．三、解答题：本大题共7个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．【分析】（1）根据绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂、二次根式的混合运算法则计算；（2）利用配方法求解即可．【解答】解：（1）原式＝1﹣（2﹣）+2﹣＝1﹣2++2﹣＝3﹣；（2）整理得：x2﹣4x＝7，则x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+、x2＝2﹣．【点评】本题考查了配方法解方程和实数的混合运算．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．20．【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC扫过的面积＝﹣，由此计算即可；【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；（3）BC扫过的面积＝﹣＝﹣＝2π．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，再利用x1＝4x2，可先求出x2＝1，则可得到x1＝4，然后根据x1x2＝6﹣p2求p的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣5x+6﹣p2＝0，∵△＝（﹣5）2﹣4×（6﹣p2）＝4p2+1＞0，∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，∵x1＝4x2，∴4x2+x2＝5，解得x2＝1，∴x1＝4，∴6﹣p2＝4×1，∴p＝±．【点评】此题考查根与系数的关系和一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．22．【分析】（1）解析式中令y＝0求出x的值，确定出A与B坐标，化为顶点形式确定出顶点坐标即可；（2）连接AD，CD，与x轴交于点E，分别作DG⊥x轴，CF⊥x轴，如图所示，把x＝4代入抛物线解析式确定出C 纵坐标，三角形ACD 面积等于三角形AED 面积加上三角形AEC 面积，求出即可．【解答】解：（1）令y ＝0，得到x 2﹣4x +3＝0，解得：x ＝1或x ＝3，即A （1，0），B （3，0），抛物线y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，顶点D （2，﹣1）；（2）连接AD ，CD ，与x 轴交于点E ，分别作DG ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，如图所示，将x ＝4代入抛物线解析式得：y ＝3，即C （4，3），∴CF ＝3，设直线CD 解析式为y ＝kx +b ，把C （4，3），D （2，﹣1）代入得：，解得：，即直线CD 解析式为y ＝2x ﹣5， 令y ＝0，得到x ＝2.5，即E （2.5，0），AE ＝1.5，则S △ACD ＝S △AED +S △AEC ＝AE •DG +AE •CF ＝×1.5×1+×1.5×3＝3．【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．23．【分析】（1）分别根据当0＜x ≤20时，y ＝800，当20＜x ≤40时，设BC 满足的函数关系式为y ＝kx +b ，分别求出即可；（2）利用当0＜x ≤20时，老王获得的利润为：w ＝（800﹣280）x ，当20＜x ≤40时，老王获得的利润为w ＝（﹣20x +12 00﹣280）x 分别求出即可．【解答】解：（1）当0＜x ≤20时，y ＝800；当20＜x ≤40时，设BC 满足的函数关系式为y ＝kx +b ，解得：，∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣20x +1200；（2）当0＜x≤20时，老王获得的利润为：w＝（800﹣280）x＝520x≤10400，此时老王获得的最大利润为10400元．当20＜x≤40时，老王获得的利润为w＝（﹣20x+12 00﹣280）x＝﹣20（x2﹣46x）＝﹣20（x﹣23）2+10580．∴当x＝23时，利润w取得最大值，最大值为10580元．∵10580＞10400，∴当小王租赁的商铺数量为23时，开发商在这次租赁中每个月所获的利润W最大，最大利润是10580元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，根据数形结合以及分类讨论得出是解题关键．24．【分析】（1）结论：△ADC是等边三角形．想办法证明DA＝DC，∠ADC＝60°即可解决问题．（2）如图1﹣1中，在BA上截取BE，使得BE＝BA．证明△ABE是等边三角形，△BAC≌△DAE（SAS）即可解决问题．（3）结论：BC﹣AB＝BE．如图2中，连接EA，EC，作EF⊥BE交BC于点F．想办法证明△BEF，△AEC都是等腰直角三角形，△BEA≌△FEC（SAS）即可解决问题．【解答】（1）解：结论：△ADC是等边三角形．理由：如图1中，连接OA，OC，作OH⊥AC于H．∵OH⊥AC，∴AH＝CH＝AC＝，在Rt△AOH中，∵OA＝2，AH＝，∴sin∠AOH＝，∴∠AOH＝60°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠AOC＝2∠AOH＝120°，∴∠ADC＝∠AOC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD，∴△ADC是等边三角形．（2）证明：如图1﹣1中，在BA上截取BE，使得BE＝BA．∵△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠ABE＝∠ACD＝60°，∵BA＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC＝DE，∴BD＝BE+DE＝BA+BC．（3）解：结论：BC﹣AB＝BE．理由：如图2中，连接EA，EC，作EF⊥BE交BC于点F．∵AC是直径，∴∠ABC＝∠CBN＝∠AEC＝90°，∵BE平分∠CBN，∴∠EBC＝∠CBN＝45°，∴∠EAC＝∠EBC＝45°，△BEF，△AEC都是等腰直角三角形，∴EB＝EF，EA＝EC，∠BEF＝∠AEC，∴∠BEA＝∠FEC，∴△BEA≌△FEC（SAS），∴AB＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+AB，∴BC﹣AB＝BE．【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25．【分析】（1）由点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）分∠PAC＝90°或∠PCA＝90°两种情况考虑：①当∠PAC＝90°时，设PA交y轴于点D，由点A，C的坐标可得出∠CAO＝45°，结合∠PAC＝90°可得出∠DAO＝45°，进而可得出点D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，联立直线AD与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；②当∠PCA＝90°时，同理，直线PC的解析式，联立直线PC与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．此问得解；（3）由⊙P与x轴相切且与抛物线的对称轴相交，可得出点P的纵坐标为﹣2，利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，过点P作PE⊥MN，垂足为点E，通过解直角三角形可求出ME的长度，再利用等腰三角形的三线合一可得出MN的长度．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）分∠PAC＝90°或∠PCA＝90°两种情况考虑，如图1所示．①当∠PAC＝90°时，设PA交y轴于点D．∵OA＝OC，∴∠CAO＝45°，又∵∠PAC＝90°，∴∠DAO＝45°，∴OD＝OA＝3，∴点D的坐标为（0，3）．设直线AD的解析式为y＝kx+d（k≠0），将A（3，0），D（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3．联立直线AD与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，（舍去），∴点P的坐标为（﹣2，5）；②当∠PCA＝90°时，同理，直线PC的解析式为y＝﹣x﹣3．联立直线PC与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，（舍去），∴点P的坐标为（1，﹣4）．综上所述：点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．（3）存在，由题意可知：点P的纵坐标为﹣2．当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣3＝﹣2，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴点P的坐标为（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2）．过点P作PE⊥MN，垂足为点E，如图2所示．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴PE＝1+﹣1＝或PE＝1﹣（1﹣）＝．在Rt△PEM中，PE＝，PM＝2，∴ME＝＝．∵PM＝PN，∴ME＝NE，∴MN＝2ME＝2．∴点P的坐标为（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为2．。
绵阳市2018年高三一诊模拟考试文科数学试题含答案
绵阳市2018年高三一诊模拟考试数学（文史类）命题人：陈山 审题人：王振、李小兰、李雪本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页.考生作答时,须在答题卡上作答,在本试卷、草稿纸上作答无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1．设集合 ， ，则 等于（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知命题 ： ， ，则 ：（ ） A ． ， B ． ， C ． ， D ． ，3．已知平面向量 , , 且 , 则 ( ) A ． ． ． ．4．已知函数 ，那么 的值（ ）．A ．B ．C ．D ．5．已知 =, )4tan(πβ-=,那么为（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列函数中周期为π且为偶函数的是（ ） A.)22sin(π-=x y B.)22cos(π-=x yC.)2sin(π+=x y D.)2cos(π+=x y7．已知 ， 为非零实数，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ．C ．D ．8．设 ,则“2-x ≥0”是“ ≤1”的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 9．将函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移3π个单位后，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 图像的一条对称轴方程可以是（ ） A ． 4x π=-B ． 2x π=C ． 6x π=-D ． 3x π=10．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 11．函数 的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.312．设函数 ，其中 ，若存在唯一负整数 ，使得 ，则实数 的取值范围( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13．若实数y x ,满足不等式组，则y x +的最小值等于____________．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第4节的容积为_____升．15．如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅=__________。
四川省绵阳市示范初中2018届九年级下学期第一次质量调研数学试题(附答案)
二○一八年春九年级水平测试数 学 试 卷本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共4页。
满分140分。
考试时间120分钟 。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并认真核对姓名、考号。
2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后，将试题卷和答题卡收回。
第Ⅰ卷 选择题（共36分)一、 选择题；（每小题3分，共计36分）1．｜－3｜的倒数是（ ） A ． 3B ．31C ．3D ． －31 2．下列计算正确的是A ．3＋2 ＝5B ．3×2＝6C ．12－3＝3D ．8 ÷2＝43. 有三张正面分别标有数字－2 错误！未找到引用源。
，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ）A.94错误！未找到引用源。
B. 121错误！未找到引用源。
C. 31D. 61错误！未找到引用源。
4. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（ ）A.x 8＋15＝x 5.28错误！未找到引用源。
B. x 8＝x5.28＋15错误！未找到引用源。
AFCDBE C.x 8＋41错误！未找到引用源。
＝x 5.28 D. x 8＝x 5.28＋41错误！未找到引用源。
5.已知一元二次方程错误！未找到引用源。
2－ 8x ＋15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ）A ．13B. 11或13C. 11D. 126. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、CA 上， 且DE ∥CA ，DF ∥BA ．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是矩形； ③如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形； ④如果AD ⊥BC 且AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是菱形, 正确的有几个（ ）A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．4个 7.如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28， 则OE 的长等于（ ）A. 3.5B. 4C. 7D. 14 8.若函数y=kx ﹣b 的图象如图所示，则关于x 的 不等式k （x ﹣3）﹣b ＞0的解集为（ ） A. x ＜2 B. x ＞2 C. x ＜5 D. x ＞5 9.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史。
2018年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)附答案解析
2018年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A．（2，4） B．{2，4}C．{3}D．{2，3}2．（5分）若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（）A．x2＜y2B．C．x2＞1 D．y2＜13．（5分）已知向量，，若，则x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C．D．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米．A．13 B．14 C．15 D．166．（5分）已知命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b ﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（）A．p B．¬q C．p∨q D．p∧q7．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当﹣1≤x≤1时，f（x）=|x|．若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为（）A．（4，5） B．（4，6） C．{5}D．{6}8．（5分）已知函数f（x）=sinϖx+cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=0 B．C．D．9．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：①；②；③．则其中正确的结论个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个11．（5分）已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（）A．2﹣2B．1﹣2C．﹣2 D．﹣112．（5分）已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+c的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是．14．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是．15．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=4，，且M，N是边BC的两个三等分点，则=．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1=m，且a n+1+a n=2n+1，如果{a n}是单调递增数列，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，且，求sin2α的值．18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求T n；（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tT n＜a n+11恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）在△ABC中，，D是边BC上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面积．20．（12分）已知函数f（x）=x3+x2﹣x+a（a∈R）．（1）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P（1，4）可作曲线y=f（x）的3条切线，求实数a的取值范围．21．（12分）函数f（x）=﹣lnx+2+（a﹣1）x﹣2（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＞0，求证：f（x）≥﹣．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设，，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B 两点，求△AOB的面积．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．2018年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A．（2，4） B．{2，4}C．{3}D．{2，3}【解答】解：集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}={x∈Z|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B={2，3}，故选：D2．（5分）若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（）A．x2＜y2B．C．x2＞1 D．y2＜1【解答】解：∵x＞y，且x+y=2，∴x＞2﹣x，∴x＞1，故x2＞1正确，故选：C3．（5分）已知向量，，若，则x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：根据题意，向量，，若，则有2x=（x﹣1），解可得x=﹣1，故选：A．4．（5分）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C．D．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米．A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x立方米，∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，∵该职工这个月缴水费55元，∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x﹣10）×5，∴由题意可列出一元一次方程式：30+（x﹣10）×5=55，解得：x=15，故选：C．6．（5分）已知命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b ﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（）A．p B．¬q C．p∨q D．p∧q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得：命题p：∃x0∈R，使得e x0≤0为假命题，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣1=b﹣2或a﹣1=﹣b+2即a﹣b=﹣1，或a+b=3，故命题q为假命题，故¬q为真命题；p∨q，p∧q为假命题，故选：B7．（5分）函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当﹣1≤x≤1时，f（x）=|x|．若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为（）A．（4，5） B．（4，6） C．{5}D．{6}【解答】解：因为f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期为2，在x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|．画出函数f（x）与g（x）=log a x的图象如下图所示；若函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则函数g（x）=log a x的图象过（5，1）点，即a=5，故选：C8．（5分）已知函数f（x）=sinϖx+cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=0 B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=sinϖx+cosϖx=2sin（ωx+）（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，∴设函数f（x）的周期为T，则（）2+[2﹣（﹣2）]2=（）2，解得：T=2，∴T=2=，解得：ω=π，∴f（x）=2sin（πx+），∴y=g（x）=f（x﹣）=2sin[π（x﹣）+]=2sin（πx+），∵令πx+=kπ+，k∈Z，解得：x=k+，k∈Z，∴当k=0时，函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是：x=．故选：C．9．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“C=”⇔“A+B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，∴A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，故选：A．10．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：①；②；③．则其中正确的结论个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：∵0＜a＜b＜1，故y=为减函数，y=x a在（0，+∞）上为增函数，故，即①正确；y=b x为减函数，y=在（0，+∞）上为增函数，，即②错误；y=log a x与在（0，+∞）上均为减函数，故，．即③正确；故选：B11．（5分）已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x2﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（）A．2﹣2B．1﹣2C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵f′（x）=1﹣=，∴当﹣2＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（﹣1）=0，∴f（x）只有唯一一个零点x=﹣1，即x1=﹣1，∵|x1﹣x2|≤1，∴﹣2≤x2≤0，∴g（x）在[﹣2，0]上有零点，（1）若△=4a2﹣4（4a+4）=0，即a=2±2，此时g（x）的零点为x=a，显然当a=2﹣2符合题意；（2）若△=4a2﹣4（4a+4）＞0，即a＜2﹣2或a＞2+2，①若g（x）在[﹣2，0]上只有一个零点，则g（﹣2）g（0）≤0，∴a=﹣1，②若g（x）在[﹣2，0]上有两个零点，则，解得﹣1≤a＜2﹣2．综上，a的最小值为﹣1．故选：D．12．（5分）已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+c的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ax+bcosx+csinx，b2+c2=1，∴f′（x）=a+ccosx﹣bsinx=a﹣sin（x﹣φ），其中tanφ=，则f′（x）∈[a﹣1，a+1]，若存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则存在k1，k2∈[a﹣1，a+1]，使k1k2=﹣1，由（a﹣1）（a+1）=a2﹣1≥﹣1得：a=0，则a+c=c=sin（φ+θ），其中tanθ=，故a+c∈[﹣，]，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是3．【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得A（1，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+1=3．即目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．14．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是（﹣，）．【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，则（2x+1）=f（|2x+1|），又由f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，则f（2x+1）＜1⇒f（|2x+1|）＜f（2）⇒|2x+1|＜2，解可得﹣＜x＜；则x的取值范围是（﹣，）；故答案为：（﹣，）．15．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=4，，且M，N是边BC的两个三等分点，则=．【解答】解：根据题意，如图△ABC中，AB=2，AC=4，，且M，N是边BC的两个三等分点，有=+=+=+（﹣）=+，=+=+=+（﹣）=+，则=（+）•（+）=2+2+•=；即=；故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1=m，且a n+1+a n=2n+1，如果{a n}是单调递增数列，则实数m的取值范围是（，）．【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a n+1+a n=2n+1，对其变形可得[a n+1﹣（n+1）]+（a n﹣n）=0，即a n+1﹣（n+1）=﹣（a n﹣n），又由a1=m，则a1﹣1=m﹣1，当m=1时，a n﹣n=0，则a n=n，符合题意，当m≠1时，数列{a n﹣n}是以m﹣1为首项，公比为﹣1的等比数列，则a n﹣n=（m﹣1）×（﹣1）n，即a n=（m﹣1）×（﹣1）n+n，则a n﹣1=（m﹣1）×（﹣1）n﹣1+n﹣1，当n为偶数时，a n﹣a n﹣1=2（m﹣1）+1，①当n为奇数时，a n﹣a n﹣1=﹣2（m﹣1）+1，②如果{a n}是单调递增数列，则有，解可得＜m＜，即m的取值范围是（，）∪（1，）；故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，且，求sin2α的值．【解答】解：（1）由图得，A=2．…（1分），解得T=π，于是由T=，得ω=2．…（3分）∵，即，∴，k∈Z，即，k∈Z，又，所以，即．…（6分）（2）由已知，即，因为，所以，∴．…（8分）∴===．…（12分）18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求T n；（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tT n＜a n+11恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d（d＞0），由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①…（2分）又∵a1，a4，a13成等比数列，∴a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化简得3d=2a1，②…（4分）联立①②解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．…（5分）∴，∴．…（7分）（Ⅱ）∵tT n＜a n+11，即，∴，…（9分）又≥6，当且仅当n=3时，等号成立，∴≥162，…（11分）∴t＜162．…（12分）19．（12分）在△ABC中，，D是边BC上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABD中，由正弦定理，得，∴，∴．（2）由（1）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD中，由余弦定理：AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC，即，整理得CD2+6CD﹣40=0，解得CD=﹣10（舍去），CD=4，∴BC=BD+CD=4+2=6．=．∴S△ABC20．（12分）已知函数f（x）=x3+x2﹣x+a（a∈R）．（1）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P（1，4）可作曲线y=f（x）的3条切线，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），…（1分）由f'（x）＞0解得或x＜﹣1；由f'（x）＜0解得，又x∈[﹣1，2]，于是f（x）在上单调递减，在上单调递增．…（3分）∵，∴f（x）最大值是10+a，最小值是．…（5分）（2）设切点Q（x，x3+x2﹣x+a），P（1，4），则，整理得2x3﹣2x2﹣2x+5﹣a=0，…（7分）由题知此方程应有3个解．令μ（x）=2x3﹣2x2﹣2x+5﹣a，∴μ'（x）=6x2﹣4x﹣2=2（3x+1）（x﹣1），由μ'（x）＞0解得x＞1或，由μ'（x）＜0解得，即函数μ（x）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．…（10分）要使得μ（x）=0有3个根，则，且μ（1）＜0，解得，即a的取值范围为．…（12分）21．（12分）函数f（x）=﹣lnx+2+（a﹣1）x﹣2（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＞0，求证：f（x）≥﹣．【解答】解：（1）．…（1分）①当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；…（3分）②当a＞0时，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得．即f（x）在上单调递减；f（x）在上单调递增；综上，a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；a＞0时，f（x）的单调递减区间是，f（x）的单调递增区间是．…（5分）（2）由（1）知f（x）在上单调递减；f（x）在上单调递增，则．…（6分）要证f（x）≥，即证≥，即lna+≥0，即证lna≥．…（8分）构造函数，则，由μ'（a）＞0解得a＞1，由μ'（a）＜0解得0＜a＜1，即μ（a）在（0，1）上单调递减；μ（a）在（1，+∞）上单调递增；∴，即≥0成立．从而f（x）≥成立．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设，，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B 两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程是（α为参数），∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，即x2+y2﹣6x﹣8y=0．…（2分）∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ．…（4分）（2）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴．…（6分）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴．…（8分）∴S△===．…AOB（10分）.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值．【解答】解：（1）当x≤时，f（x）=﹣2﹣4x，由f（x）≥6解得x≤﹣2，综合得x≤﹣2，…（2分）当时，f（x）=4，显然f（x）≥6不成立，…（3分）当x≥时，f（x）=4x+2，由f（x）≥6，解得x≥1，综合得x≥1，…（4分）所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（5分）（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4．…（7分）∵a•2b≤，…（8分）由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤，解得a+2b≥，∴a+2b的最小值为．…（10分）。
2018年四川省绵阳市江油市中考一模数学试卷(解析版)
2018年四川省绵阳市江油市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元2．（3分）如图是由5个相同的小正方体构成的几何体，其俯视图是（）A ．B．C ．D ．3．（3分）据统计，春节七天假期，绵阳市共接待游客428.49万人，请你把428.49万人用科学记数法表示为（）A．4.2849×105人B．4.2849×106人C．4.2849×104人D．4.2849×103人4．（3分）下列计算结果正确的是（）A．a8÷a4＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a6D．（﹣2a2）3＝8a65．（3分）我市某中学九年级（1）班开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育器材，全班50名同学筹款情况如下表：则该班同学筹款金额的众数和中位数分别是（）A．11，20B．25，11C．20，25D．25，20 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB'C'，若AB＝4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A．πB．πC．2πD．4π7．（3分）下列命题：①若a＜1，则（a﹣1）＝﹣；②圆是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是4；④如果方程ax2+2x+1＝0有实数根，则实数a≤1．其中正确的命题个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）9．（3分）如图，OA，OB分别为⊙O的半径，若CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠P＝70°，则∠DCE的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°10．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（2，0），B（6，2），C（6，6），反比例函数y1＝（x＞0）的图象过点D，点P是一次函数y2＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象与该反比例函数的一个公共点，对于下面四个结论：①反比例函数的解析式是y1＝；②一次函数y2＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定经过（6，6）点；③若一次函数y 2＝kx+3﹣3k的图象经过点C，当x＞2时，y1＜y2；④对于一次函数y2＝kx+3﹣3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，点P横坐标a的取值范围是0＜a＜3．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④11．（3分）为了得到函数y＝3x2的图象，可以将函数y＝﹣3x2﹣6x﹣1的图象（）A．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位B．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位C．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位D．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位12．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③∠EAG＝45°；④AG∥CF；⑤S△ECG：S△AEG＝2：5，其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：a3﹣9a＝．14．（3分）如图，直线m∥n，∠A＝50°，∠2＝30°，则∠1等于．15．（3分）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的而数字为掷得的结果，那么所得结果之积为12的概率是．16．（3分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为米．17．（3分）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则满足条件的整数a的值是．18．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共计86分，解答应写出，则线段文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）|1﹣|﹣12tan30°++（π﹣3.14）0+（﹣1）2018+（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝．20．（11分）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等说个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：根据统计图表的信息，解答下列问题：（1）求本次抽样调查的学生总人数及a、b的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数．21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A 作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝4，cos∠ACH＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使三角形P AC是等腰三角形？若存在，请求出P 点坐标；不存在，请说明理由．22．（11分）如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．（1）求证：＝；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．23．（11分）丽君花卉基地出售两种盆栽花卉：太阳花6元/盆，绣球花10元/盆．若一次购买的绣球花超过20盆时，超过20盆部分的绣球花价格打8折．（1）分别写出两种花卉的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式；（2）为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花数量不超过绣球花数量的一半．两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元？24．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，以△ABC的边AB为直径的⊙O角边BC于点E，过点E作DE⊥AC交AC于D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2﹣，求⊙O的半径和EF的长．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．2018年四川省绵阳市江油市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元【解答】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．2．（3分）如图是由5个相同的小正方体构成的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：俯视图是，故选：B．3．（3分）据统计，春节七天假期，绵阳市共接待游客428.49万人，请你把428.49万人用科学记数法表示为（）A．4.2849×105人B．4.2849×106人C．4.2849×104人D．4.2849×103人【解答】解：将428.49万用科学记数法表示为：4.2849×106人．故选：B．4．（3分）下列计算结果正确的是（）A．a8÷a4＝a2B．a2•a3＝a6C ．（a 3）2＝a 6D ．（﹣2a 2）3＝8a 6【解答】解：A 、a 8÷a 4＝a 4，故A 错误；B 、a 2•a 3＝a 5，故B 错误；C 、（a 3）2＝a 6，故C 正确；D 、（﹣2a 2）3＝﹣8a 6，故D 错误．故选：C ．5．（3分）我市某中学九年级（1）班开展“阳光体育运动”，决定自筹资金为班级购买体育器材，全班50名同学筹款情况如下表：则该班同学筹款金额的众数和中位数分别是（ ）A ．11，20B ．25，11C ．20，25D ．25，20【解答】解：在这一组数据中25元是出现次数最多的，故众数是25元；将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是20、20，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是20；故选：D ．6．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°．把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°后得到△AB 'C '，若AB ＝4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）A ．πB ．πC ．2πD ．4π 【解答】解：扇形BAB ′的面积是：＝， 在直角△ABC 中，BC ＝AB •sin60°＝4×＝2，AC ＝AB ＝2，S△ABC＝S△AB′C′＝AC•BC＝×2×2＝2．扇形CAC′的面积是：＝，则阴影部分的面积是：扇形BAB′的面积+S△AB′C′﹣S△ABC﹣扇形CAC′的面积＝﹣＝2π．故选：C．7．（3分）下列命题：①若a＜1，则（a﹣1）＝﹣；②圆是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是4；④如果方程ax2+2x+1＝0有实数根，则实数a≤1．其中正确的命题个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①若a＜1，则（a﹣1）＝﹣，正确；②圆是中心对称图形又是轴对称图形，正确；③＝4的算术平方根是2，故此选项错误；④如果方程ax2+2x+1＝0有实数根，则4﹣4a≥0，解得：a≤1，故此选项正确．故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣9，1）或（9，﹣1）D．（﹣3，﹣1）或（3，1）【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点B（﹣9，3）的对应点B′的坐标是（﹣3，﹣1）或（3，1）．故选：D．9．（3分）如图，OA，OB分别为⊙O的半径，若CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠P＝70°，则∠DCE的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°【解答】解：∵∠P＝70°，∴∠AOB＝140°．∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．故选：D．10．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（2，0），B（6，2），C（6，6），反比例函数y1＝（x＞0）的图象过点D，点P是一次函数y2＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象与该反比例函数的一个公共点，对于下面四个结论：①反比例函数的解析式是y1＝；②一次函数y2＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象一定经过（6，6）点；③若一次函数y 2＝kx+3﹣3k的图象经过点C，当x＞2时，y1＜y2；④对于一次函数y2＝kx+3﹣3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，点P横坐标a的取值范围是0＜a＜3．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵B（6，2），C（6，6），∴BC⊥x轴，AD＝BC＝4，而A点坐标为（2，0），∴点D的坐标为（2，4），∵反比例函数y1＝（x＞0）的函数图象经过点D（2，4），∴4＝，∴m＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，①不正确；②当x＝6时，y＝kx+3﹣3k＝6k+3﹣3k＝3k+3≠6，∴一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）的图象不一定过点C，②不正确；③∵一次函数y2＝kx+3﹣3k的图象经过点C，∴6＝6k+3﹣3k，解得：k＝1．∴y2＝x．联立，解得：或（舍去）．结合函数图象即可得出：当x＞2时，y1＜y2，③成立；④∵一次函数y2＝kx+3﹣3k（k≠0），y随x的增大而增大，∴k＞0，∴交点P在第一象限，∴点P横坐标a的取值范围是＜a．将x＝3带入到反比例函数y＝中，得：y＝．又∵一次函数y2＝kx+3﹣3k（k≠0）恒过点（3，3），点（3，）在（3，3）的下方，即点P应该在点（3，）的左方，∴点P横坐标a的取值范围是a＜3．即④正确．综上可知：③④正确，故选：D．11．（3分）为了得到函数y＝3x2的图象，可以将函数y＝﹣3x2﹣6x﹣1的图象（）A．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位B．先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位C．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移2个单位D．先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移2个单位【解答】解：函数y＝﹣3x2﹣6x﹣1＝﹣3（x+1）2+2，顶点的坐标为（﹣1，2），函数y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），∴点（﹣1，2）先关于x轴对称，向右平移1个单位，再向上平移2单位可得（0，0），故选：A．12．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③∠EAG＝45°；④AG∥CF；⑤S△ECG：S△AEG＝2：5，其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：①正确．理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝CG；③正确．理由：∵∠BAG＝∠F AG，∠DAE＝∠F AE，又∵∠BAD＝90°，∴∠EAG＝45°；④正确．理由：∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF ＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；⑤正确．理由：∵S △ECG ＝GC •CE ＝×3×4＝6， ∵S △AEG ＝AF •EG ＝×6×5＝15， ∴S △ECG ：S △AEG ＝2：5． 故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）分解因式：a 3﹣9a ＝ a （a +3）（a ﹣3） ． 【解答】解：a 3﹣9a ＝a （a 2﹣32）＝a （a +3）（a ﹣3）．14．（3分）如图，直线m ∥n ，∠A ＝50°，∠2＝30°，则∠1等于 80° ．【解答】解：如图，∵∠3＝∠2+∠A ，∠2＝30°，∠A ＝50°， ∴∠3＝80°， ∵直线m ∥n ， ∴∠1＝∠3， ∵∠3＝80°， ∴∠1＝80°，故答案为：80°15．（3分）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的而数字为掷得的结果，那么所得结果之积为12的概率是 ．【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中两数之积为12的结果数为4，所以所得结果之积为12的概率＝＝．故答案为．16．（3分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为6+29米．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1：，∴BH：CH＝1：，设BH＝x米，则CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得：x2+（x）2＝122，解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米，∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝6+20（米），∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝6+20（米），∴AB＝AG+BG＝6+20+9＝（6+29）m．故答案为：6+29．17．（3分）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+＝2有非负数解，则满足条件的整数a的值是﹣2．【解答】解：解不等式组，可得，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，∴﹣4＜a≤﹣2，解分式方程+＝2，可得y＝（a+2），又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即（a+2）≥0，（a+2）≠2，解得a≥﹣2且a≠2，∴﹣2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a的值为﹣2，故答案为：﹣2．18．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE2﹣2．【解答】解：连结AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．三、解答题（本大题共7小题，共计86分，解答应写出，则线段文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）|1﹣|﹣12tan30°++（π﹣3.14）0+（﹣1）2018+（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣12×+2+1+1+﹣1＝0（2）原式＝÷[﹣]＝×＝（a﹣2）2当a＝时，原式＝（﹣2）2＝6﹣420．（11分）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等说个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：根据统计图表的信息，解答下列问题：（1）求本次抽样调查的学生总人数及a、b的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数．【解答】解：（1）本次抽样调查的学生总人数是：20÷10%＝200，a＝×100%＝30%，b＝×100%＝35%；（2）国际象棋的人数是：200×20%＝40，条形统计图补充如下：（3）1200×35%＝420（人），答：全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数大约有420人．21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A 作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝4，cos∠ACH＝．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使三角形P AC是等腰三角形？若存在，请求出P 点坐标；不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵AC＝4，cos∠ACH＝，∴＝，解得，CH＝4，由勾股定理得，AH＝＝8，∵点O是线段CH的中点，∴点A的坐标为（﹣2，8），点C的坐标为（2，0），∴反比例函数的解析式为：y2＝﹣，，解得，，∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；（2）设P点坐标为（m，0），当点A为等腰三角形的顶点时，PH＝CH＝4，则OP＝6，∴P点坐标为（﹣6，0）；当点C为等腰三角形的顶点时，PC＝CA＝4，则OP＝4+2或4﹣2，∴P点坐标为（2﹣4，0）或（4+2，0）；当点P为AC垂直平分线与x轴的交点时，P A＝PC，则（2﹣m）2＝（﹣2﹣m）2+82，解得，m＝﹣8，∴P点坐标为（﹣8，0）．22．（11分）如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．（1）求证：＝；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．【解答】（1）证明：∵，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，∴△BCE∽△DCP，∴＝；（2）AC∥BD，理由：∵∠PCE+∠ECD＝∠BCD+∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，∵＝，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD．23．（11分）丽君花卉基地出售两种盆栽花卉：太阳花6元/盆，绣球花10元/盆．若一次购买的绣球花超过20盆时，超过20盆部分的绣球花价格打8折．（1）分别写出两种花卉的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式；（2）为了美化环境，花园小区计划到该基地购买这两种花卉共90盆，其中太阳花数量不超过绣球花数量的一半．两种花卉各买多少盆时，总费用最少，最少费用是多少元？【解答】解：（1）太阳花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝6x；①一次购买的绣球花不超过20盆时，付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝10x（x≤20）；②一次购买的绣球花超过20盆时，付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝10×20+10×0.8×（x﹣20）＝200+8x﹣160＝8x+40综上，可得绣球花的付款金额y（元）关于购买量x（盆）的函数解析式是：y＝（2）根据题意，可得太阳花数量不超过：90×，所以绣球花的数量不少于：90﹣30＝60（盆），设太阳花的数量是x盆，则绣球花的数量是90﹣x盆，购买两种花的总费用是y 元，则x≤30，则y＝6x+[8（90﹣x）+40]＝6x+[760﹣8x]＝760﹣2x因为x≤30，所以当x＝30时，y min＝760﹣2×30＝700（元），即太阳花30盆，绣球花60盆时，总费用最少，最少费用是700元．答：太阳花30盆，绣球花60盆时，总费用最少，最少费用是700元．24．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，以△ABC的边AB为直径的⊙O角边BC于点E，过点E作DE⊥AC交AC于D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2﹣，求⊙O的半径和EF的长．【解答】证明：（1）如图1，连接OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，AB＝AC，∴BE＝CE，∵AO＝OB，∴OE∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OE，∴DE是⊙O的切线；（2）如图2，过点O作OM⊥AC，∵∠C＝75°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝75°，∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，设OM＝x，则OA＝OB＝OE＝2x，AM＝x，OD⊥DE，DE⊥AC，∴四边形OEDM是矩形，∴DM＝OE＝2x，OE＝，可得：4x＝x+2x+2﹣，x＝1，∴OE＝OB＝2，即半径为2，在直角△OEF中，∠EOF＝∠A＝30°，∴，EF＝．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9＝5，∴a＝﹣1，y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，（2）当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y＝mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m＝﹣1，n＝5，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD＝﹣x2+4x+5+x﹣5＝﹣x2+5x，∵AC＝4，＝×AC×PD＝2（﹣x2+5x）＝﹣2x2+10x，∴S四边形APCD∴当x＝﹣＝时，＝，∴即：点P（，）时，S四边形APCD最大（3）方法1、如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN＝AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM＝OE＝1，∴M点的横坐标为x＝3或x＝1，当x＝1时，M点纵坐标为8，当x＝3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y＝5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y＝5x+b，∵点N在抛物线对称轴x＝2上，∴N（2，10+b），∵AE2＝OA2+OE2＝26∵MN＝AE∴MN2＝AE2，∴MN2＝（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2＝1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x＝2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N＝M2N，∴1+（b+2）2＝26，∴b＝3，或b＝﹣7，∴10+b＝13或10+b＝3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．方法2，如图1，∴E（﹣1，0），A（0，5），∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴点N的横坐标为2，即：N'（2，0）①当以点A，E，M，N组成的平行四边形为四边形AENM时，∵E（﹣1，0），点N的横坐标为2，（N'（2，0）∴点E到点N向右平移2﹣（﹣1）＝3个单位，∵四边形AENM是平行四边形，∴点A向右也平移3个单位，∵A（0，5），∴M点的横坐标为3，即：M'（3，5），∵点M在抛物线上，∴点M的纵坐标为﹣（3﹣2）2+9＝8，∴M（3，8），即：点A再向上平移（8﹣5＝3）个单位，∴点N'再向上平移3个单位，得到点N（2，3），即：当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．②当以点A，E，M，N组成的平行四边形为四边形AEMN时，同①的方法得出，当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）．。
2018年四川省绵阳市游仙区中考数学一诊试卷(解析版)
2018年四川省绵阳市游仙区中考数学一诊试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程（x﹣3）（x+4）＝0的根是（）A．3和4B．3和﹣4C．﹣3和4D．﹣3和﹣43．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣34．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°5．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为（）A．5B．C．7D．6．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570B．32x+2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．32x+2×20x﹣2x2＝5707．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）A．3B．C．6D．8．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）A．B．C．D．9．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的图象经过三个点A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y110．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距为，分别以B、D、F为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．11．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．当AB＝1时，l2011等于（）A．B．C．D．12．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中较小值记为M，若y1＝y2，记M＝y1＝y2；例如：当x＝1时，y1＝0，y2＝2，y1＜y2，此时M＝0，下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M的值越大；③使得M＝﹣2的x值是±；④使得M大于1的x值不存在；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案直接写在横线上．13．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝．14．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠A＝70°，那么∠DCE＝．15．如图，已知菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，边AD∥x轴，OA＝4，∠ABC＝120°，则点C 的坐标是．16．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+．则他将铅球推出的距离是m．17．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝8cm，AB＝6cm，以O为圆心，4cm为半径作⊙O，点C 为⊙O上一个动点，连接BC，D是BC的中点，连接AD，则线段AD的最大值是cm．18．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，且满足0＜x1＜1，1＜x2＜2，则k的取值范围是．三、解答题：本大题共7个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（16分）计算（1）计算：（2）解方程：x（x﹣1）＝3x+720．（11分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．21．（11分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0（1）求证：无论P取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两实数根为x1，x2，且满足x1＝4x2，试求出方程的两个实数根及P的值．22．（11分）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3交x轴于A、B两点（点A在B左侧），顶点为D点，点C 为抛物线上一点，且横坐标是4；（1）求A、B、D三点的坐标；（2）求△ACD的面积；23．（11分）绵阳经开区“万达广场”开业在即，开发商准备对一楼的40个商铺出租，小王和开发商约定：小王租赁的每个商铺每个月的租金y（元/个）与租赁的商铺的数量x（个）之间函数关系如图中折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）（1）求y与x的函数关系式；（2）已知开发商每个月对每个商铺的投入成本为280元，小王租赁的商铺数量为多少时，开发商在这次租赁中每个月所获的利润W最大？最大利润是多少？24．（12分）如图所示，已知⊙O的半径为2cm，A、B、C为⊙O上的动点，连接AB，BC，BD平分∠ABC交⊙O于点D（1）若AC＝2cm，判断△ACD的形状并说明理由；（2）在（1）的条件下，求证：AB+BC＝BD；（3）如图2所示，当AC为⊙O最长的弦，且BE平分∠ABC的外角，交⊙O于点E，请你直接写出AB、BE、BC之间的关系25．（14分）已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，﹣3），P这抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说明理由．2018年四川省绵阳市游仙区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．【分析】利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+4＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x﹣3＝0或x+4＝0，所以x1＝3，x2＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°﹣60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣95°﹣50°＝35°故选：D．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．5．【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD＝DC＝5，∵DE＝2，∴Rt△ADE中，AE＝＝．故选：D．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．6．【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．7．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝AB tan∠OAB可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：D．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．8．【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径进行判断．【解答】解：A、不是圆周角，故本选项不能判断；B、根据90°的圆周角所对的弦是直径，本选项符合；C、不是圆周角，故本选项不能判断；D、不是圆周角，故本选项不能判断．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理的推论，即检验半圆的方法，90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆．9．【分析】先由a＞0，得出函数有最小值，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1（a＞0），∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵点A、B、C到对称轴的距离分别为3、1、2，∴y1＞y3＞y2．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．【分析】连接OB，OA，得出△AOB是等边三角形，求出S△AOB 和S扇形AOB，那么阴影面积＝（S扇形AOB ﹣S△AOB）×6，代入计算即可．【解答】解：如图，连接OB，OA，作OM⊥AB于点M，则OM＝．∵∠AOB＝＝60°，AO＝OB，∴BO＝AB＝AO，AM＝AB＝AO，OM＝，∴，∴AO＝1，∴BO＝AB＝AO＝1，∴S△AOB＝AB×OM＝×1×＝，∵S扇形AOB＝＝，∴阴影部分面积是：（﹣）×6＝π﹣．故选：A．【点评】此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积＝（S扇形AOB ﹣S△AOB）×6是解题关键．11．【分析】利用弧长公式，分别计算出L1，L2，L3，…的长，寻找其中的规律，确定L2011的长．【解答】解：L1＝＝L2＝＝L3＝＝L4＝＝按照这种规律可以得到：L n＝∴L2011＝．故选：B．【点评】本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，求出L2011的长．12．【分析】根据图象的位置即可判断①，根据图象得出当x＜﹣1时，M＝﹣x2+1，当﹣1＜x＜0时，M＝x+1，即可判断②，求出M＝﹣2时，对应的x的值，即可判断③，根据二次函数的最值即可判断④．【解答】解：∵从图象可知：当x＞0时，y1＜y2，∴①错误；∵当x＜0时，x值越大，M值越大；，∴②正确；∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）（1，0），由图可知，x＜﹣1或x＞1时，M＝y1＝﹣x2+1，当M＝﹣2时，﹣x2+1＝﹣2，解得x＝，故③正确；∵由图可知，x＝0时，M有最大值为1，故④正确，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案直接写在横线上．13．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m 的方程即可求得m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，∴x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，∴m2﹣1＝0，即（m﹣1）（m+1）＝0且m﹣1≠0，∴m+1＝0，解得，m＝﹣1；故答案是：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．14．【分析】证明∠DCE＝∠A即可解决问题．【解答】解：∵∠A+∠BCD＝80°，∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠A，∵∠A＝70°，∴∠DCE＝70°，故答案为70°．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．【分析】根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，边AD∥x轴，OA＝4，∠ABC＝120°，∴∠AOD＝90°，∠ADO＝60°，∴∠OAD＝30°，∴点A的坐标为（﹣2，2），∴点C的坐标是（2，﹣2），故答案为：（2，﹣2），【点评】本题考查了菱形的性质．含30°的直角三角形的性质，熟记各种特殊几何图形的判断方法和性质是解题的关键．16．【分析】成绩就是当高度y＝0时x的值，所以解方程可求解．【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．【点评】此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．17．【分析】连接OC，作直角△ABO斜边中线OE，连接ED，当DE、AE共线时AD取最大值．【解答】解：由题意知OB＝10连接OC，作直角△ABO斜边中线OE，连接ED，则DE＝OC＝2，AE＝OB＝5．因为AD＜DE+AE，所以当DE、AE共线时AD＝AE+DE最大为7cm．故答案为：7．【点评】本题考查最值问题．将AD转化为AE和DE的数量关系是解答关键．18．【分析】把已知条件转化为抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，如图，利用函数图象得到当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0；当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0；当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0；然后分别解不等式，最后确定它们的公共部分即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，∴抛物线y＝2x2﹣（k+1）x﹣k+2＝0与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，如图，当x＝0时，y＞0，即﹣k+2＞0，解得k＜2；当x＝1时，y＜0，即2﹣k﹣1﹣k+2＜0，解得k＞；当x＝2时，y＞0，即8﹣2k﹣2﹣k+2＞0，解得k＜；∴k的范围为＜k＜2．故答案为＜k＜2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．三、解答题：本大题共7个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．【分析】（1）根据绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂、二次根式的混合运算法则计算；（2）利用配方法求解即可．【解答】解：（1）原式＝1﹣（2﹣）+2﹣＝1﹣2++2﹣＝3﹣；（2）整理得：x2﹣4x＝7，则x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+、x2＝2﹣．【点评】本题考查了配方法解方程和实数的混合运算．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．20．【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC扫过的面积＝﹣，由此计算即可；【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；（3）BC扫过的面积＝﹣＝﹣＝2π．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，再利用x1＝4x2，可先求出x2＝1，则可得到x1＝4，然后根据x1x2＝6﹣p2求p的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣5x+6﹣p2＝0，∵△＝（﹣5）2﹣4×（6﹣p2）＝4p2+1＞0，∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，∵x1＝4x2，∴4x2+x2＝5，解得x2＝1，∴x1＝4，∴6﹣p2＝4×1，∴p＝±．【点评】此题考查根与系数的关系和一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．22．【分析】（1）解析式中令y＝0求出x的值，确定出A与B坐标，化为顶点形式确定出顶点坐标即可；（2）连接AD，CD，与x轴交于点E，分别作DG⊥x轴，CF⊥x轴，如图所示，把x＝4代入抛物线解析式确定出C纵坐标，三角形ACD面积等于三角形AED面积加上三角形AEC面积，求出即可．【解答】解：（1）令y ＝0，得到x 2﹣4x +3＝0，解得：x ＝1或x ＝3，即A （1，0），B （3，0），抛物线y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，顶点D （2，﹣1）；（2）连接AD ，CD ，与x 轴交于点E ，分别作DG ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，如图所示，将x ＝4代入抛物线解析式得：y ＝3，即C （4，3），∴CF ＝3，设直线CD 解析式为y ＝kx +b ，把C （4，3），D （2，﹣1）代入得：， 解得：，即直线CD 解析式为y ＝2x ﹣5， 令y ＝0，得到x ＝2.5，即E （2.5，0），AE ＝1.5，则S △ACD ＝S △AED +S △AEC ＝AE •DG +AE •CF ＝×1.5×1+×1.5×3＝3．【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．23．【分析】（1）分别根据当0＜x ≤20时，y ＝800，当20＜x ≤40时，设BC 满足的函数关系式为y ＝kx +b ，分别求出即可；（2）利用当0＜x ≤20时，老王获得的利润为：w ＝（800﹣280）x ，当20＜x ≤40时，老王获得的利润为w ＝（﹣20x +12 00﹣280）x 分别求出即可．【解答】解：（1）当0＜x ≤20时，y ＝800；当20＜x ≤40时，设BC 满足的函数关系式为y ＝kx +b ，解得：，∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣20x +1200；（2）当0＜x≤20时，老王获得的利润为：w＝（800﹣280）x＝520x≤10400，此时老王获得的最大利润为10400元．当20＜x≤40时，老王获得的利润为w＝（﹣20x+12 00﹣280）x＝﹣20（x2﹣46x）＝﹣20（x﹣23）2+10580．∴当x＝23时，利润w取得最大值，最大值为10580元．∵10580＞10400，∴当小王租赁的商铺数量为23时，开发商在这次租赁中每个月所获的利润W最大，最大利润是10580元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，根据数形结合以及分类讨论得出是解题关键．24．【分析】（1）结论：△ADC是等边三角形．想办法证明DA＝DC，∠ADC＝60°即可解决问题．（2）如图1﹣1中，在BA上截取BE，使得BE＝BA．证明△ABE是等边三角形，△BAC≌△DAE （SAS）即可解决问题．（3）结论：BC﹣AB＝BE．如图2中，连接EA，EC，作EF⊥BE交BC于点F．想办法证明△BEF，△AEC都是等腰直角三角形，△BEA≌△FEC（SAS）即可解决问题．【解答】（1）解：结论：△ADC是等边三角形．理由：如图1中，连接OA，OC，作OH⊥AC于H．∵OH⊥AC，∴AH＝CH＝AC＝，在Rt△AOH中，∵OA＝2，AH＝，∴sin∠AOH＝，∴∠AOH＝60°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠AOC＝2∠AOH＝120°，∴∠ADC＝∠AOC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD，∴△ADC是等边三角形．（2）证明：如图1﹣1中，在BA上截取BE，使得BE＝BA．∵△ADC是等边三角形，∴∠ACD＝∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠ABE＝∠ACD＝60°，∵BA＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC＝DE，∴BD＝BE+DE＝BA+BC．（3）解：结论：BC﹣AB＝BE．理由：如图2中，连接EA，EC，作EF⊥BE交BC于点F．∵AC是直径，∴∠ABC＝∠CBN＝∠AEC＝90°，∵BE平分∠CBN，∴∠EBC＝∠CBN＝45°，∴∠EAC＝∠EBC＝45°，△BEF，△AEC都是等腰直角三角形，∴EB＝EF，EA＝EC，∠BEF＝∠AEC，∴∠BEA＝∠FEC，∴△BEA≌△FEC（SAS），∴AB＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+AB，∴BC﹣AB＝BE．【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25．【分析】（1）由点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）分∠PAC＝90°或∠PCA＝90°两种情况考虑：①当∠PAC＝90°时，设PA交y轴于点D，由点A，C的坐标可得出∠CAO＝45°，结合∠PAC＝90°可得出∠DAO＝45°，进而可得出点D 的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，联立直线AD与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；②当∠PCA＝90°时，同理，直线PC的解析式，联立直线PC与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．此问得解；（3）由⊙P与x轴相切且与抛物线的对称轴相交，可得出点P的纵坐标为﹣2，利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，过点P作PE⊥MN，垂足为点E，通过解直角三角形可求出ME的长度，再利用等腰三角形的三线合一可得出MN的长度．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），将A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）分∠PAC＝90°或∠PCA＝90°两种情况考虑，如图1所示．①当∠PAC＝90°时，设PA交y轴于点D．∵OA＝OC，∴∠CAO＝45°，又∵∠PAC＝90°，∴∠DAO＝45°，∴OD＝OA＝3，∴点D的坐标为（0，3）．设直线AD的解析式为y＝kx+d（k≠0），将A（3，0），D（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3．联立直线AD与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，（舍去），∴点P的坐标为（﹣2，5）；②当∠PCA＝90°时，同理，直线PC的解析式为y＝﹣x﹣3．联立直线PC与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，（舍去），∴点P的坐标为（1，﹣4）．综上所述：点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．（3）存在，由题意可知：点P的纵坐标为﹣2．当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣3＝﹣2，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∴点P的坐标为（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2）．过点P作PE⊥MN，垂足为点E，如图2所示．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴PE＝1+﹣1＝或PE＝1﹣（1﹣）＝．在Rt△PEM中，PE＝，PM＝2，∴ME＝＝．∵PM＝PN，∴ME＝NE，∴MN＝2ME＝2．∴点P的坐标为（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、切线的性质、解直角三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）分∠PAC＝90°或∠PCA＝90°两种情况，求出点P的坐标；（3）利用解直角三角形及等腰三角形的三线合一，求出MN的长度．。
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(2)当 时， ，得 ，
由 得 ．
显然， ，
当 时， ，函数 的单调递增，
当 时， ，函数 的单调递减，
所以函数 的单调递增区间是(0， )，单调递减区间是( ，+∞)．………………………………………………………………9分
综上所述：
当a=0，b≤0时，函数 的单调递增区间是 ；
(Ⅱ)由题知 ．………………………………………………6分
若使 为单调递增数列，
则
= 对一切n∈N*恒成立，
即： 对一切n∈N*恒成立，…………………………………10分
又 是单调递减的,
∴当 时， =-3，
∴ ．…………………………………………………………………12分
20．(Ⅰ)证明：由 ，得 ．…………………………1分
18．解：(Ⅰ) ， ，
又 ，所以 ，
∴ ．………………6分
(Ⅱ)以 为邻边作如图所示的平行四边形 ，如图，
则 ，BE=2BD=7，CE=AB=5，
在△BCE中，由余弦定理： ．
即 ，
解得： ．………………………………………………………………10分
19．解：(Ⅰ)由 ，
得： 解得： ．
∴ ， ．…………………………………5分
令 ，则 ．
令 ，得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减．
因此对任意 ， ≤ ，又 ，
故 ，即 ，即 ，
∴ ．……………………………………………………………14分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知， 在 取得最小值 ，
由题意得 ≥0，即 ≥0，……………………………………8分
令 ，则 ，
由 可得0<a<1，由 可得a>1．
∴ 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即 ，
∴当0<a<1或a>1时，h(a)<0，
∴要使得 ≥0对任意x∈R恒成立，
∴ 的取值集合为 ……………………………13分
21．解：(Ⅰ) 时， ， ，
∴ ， ，…………………………………………………2分
故 点( )处的切线方程是 ．……………………3分
(Ⅱ)由 ，得 ．
(1)当 时， ．
①若b≤0，
由 知 恒成立，即函数 的单调递增区间是 ．
………………………………………………5分
②若 ，
当 时， ；当 时， ．
即函数 的单调递增区间是(0， )，单调递减区间是( ，+∞)．
(Ⅱ)g(x)=x2+2mx-m2= ，此二次函数对称轴为 ．……4分
若 ≥2，即m≤-2时，g(x)在 上单调递减，不存在最小值；
若 ，即 时，g(x)在 上单调递减， 上递增，此时 ，此时 值不存在；
≤1即m≥-1时，g(x)在 上单调递增，
此时 ，解得m=1．…………………………11分
综上： ．…………………………………………………………………12分
= ．……………………………6分
由题意知： ，即 ，解得 ．…………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，
∵ ≤x≤ ，得 ≤ ≤ ，
又函数y=sinx在[ ， ]上是减函数，
∴ ……………………………………10分
= ．…………………………………………………………12分
17．解：(Ⅰ)由题知 解得 ，即 ．……………………3分
由 >0，即 >0，解得x>lna，同理由 <0解得x<lna，
∴ 在(-∞，lna)上是减函数，在(lna，+∞)上是增函数，
于是 在 取得最小值．
又∵函数 恰有一个零点，则 ，…………………4分
即 ．…………………………………………………………5分
化简得： ，
∴ ．…………………………………………………………………6分
绵阳市高2012级第一次诊共10小题，每小题5分，共50分．
BBDDC BACCA
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12．-113．-214．1515．(0，2)
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：(Ⅰ) 2m·n-1
当a=0，b>0时，函数 的单调递增区间是(0， )，单调递减区间是( ，+∞)；
当 时，函数 的单调递增区间是(0， )，单调递减区间是( ，+∞)．……………………………………………………………10分
(Ⅲ)由题意知函数 在 处取得最大值．
由( )知， 是 的唯一的极大值点，
故 =2，整理得 ．
于是