第九章 无穷级数
(微积分)9无穷级数
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定理2 (比较判别法) 设有两个正项级数 un 和 v n 如果存在正整数N,当n≥N时,有un≤vn,则有：
n 1
n 1
(1)若级数 v n收敛, 则级数 un也收敛； ( 2)若级数 un发散, 则级数 v n也发散.
n 1 n 1 n 1 n 1
1 1 1 s lim sn lim n n 3 n 3 3
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1 1 即 3 n 1 ( n 2)( n 3)
二、 数项级数的基本性质
性质1 在一个级数中增加或删去有限个项不改变级 数的敛散性,但一般会改变收敛级数的和． 证 设在
证
根据级数的性质,改变级数前面有限项并不改变
级数的敛散性,因此,不妨设对任意自然数n都有 un≤vn(n= 1,2,3,…)，
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设级数 un与 v n的部分和分别为 n与Bn，由 A 上面的不等式有
n 1 n 1
(1)若级数 v n收敛, 根据定理1的必要性, 数列Bn 有界,由不等式An Bn知, 数列An 也有上界, 于是 有 un收敛。
( 2) lim un 0
n
( 1) n1 un收敛,且其和s≤u1. 则级数
n 1
满足定理1的条件(1)和(2)的交错级数称为莱 布尼茨型级数．
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证
根据项数n是奇数或偶数分别考察sn． 设n为偶数,于是 sn=s2m=u1u2+u3…+u2m1u2m, 将其每两项括在一起 s2m=(u1u2)+(u3u4)+…+(u2m1u2m)． 每个括号内的值都是非负的.如果把每个括 号看成是一项,这就是一个正项级数的前m项部 分和.显然,它是随着m的增加而单调增加的． 如果把部分和s2m改写为 s2m=u1（u2u3)…(u2m2u2m1)u2m,
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
高等数学无穷级数
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
（2）比较法的应用 现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比 级数和p级数，便可以利用这些级数作为比较对象， 判断某些级数的敛散性了。
n1
v
n
收敛；
如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
（2）比较判别法的极限形式（定理9-3的推论9-2）
n1un 与
n1
vn
是正项级数，并设
n1
v
n从某一
项之后是严格正项的。设
lim un l n vn
（i） (0l) 两个级数有相同的敛散性。
（ii）(l 0)
如果
n1un 发散，则
n1
下面给出三个相对具体或可操作的判别法，除了判
别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。
3.积分判别法与p级数
n
1
1 np
（1）积分判别法（定理9-2）：
非负函数 f (x) 在
[1,)上单调递减，则
n1
f(n)
与反常积分 1f(x)dx有相同的敛散性。
【例9-5】证明p-级数 n 1n 1p121p n 1p
（2）改变（包括增加和减少）级数中有限项， 不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的 值（性质3）。 （3）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性 与级数和。 可称之为单向结合律，因为： 在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性； 由此可知，发散级数加括号也可能改变敛散性。 如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！
9.2.正项级数敛散性判别法
无穷级数
第九章．无穷级数无穷级数。
整个微积分的根本目的就是构造研究函数的方法。
我们已经知道如何利用极限，求导，微分这些基本的微积分方法，来直接研究一个函数，这里我们要讨论的是运用完全不同的一种思想方法，来研究函数的行为，这就是逼近的方法。
我们在进行函数的数值计算时，已经接触过逼近的思想方法，但纯粹数值逼近，得到的只是数值结果，对于我们要求了解函数的解析性质并没有直接的帮助，我们希望用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。
形式地看，无穷级数就是用自然数编号的无穷多项的和式，每一项都是一个确定的解析式，也就是说每一项所在的项数唯一地决定了它的表达式形式，当然也可以是一个确定的数值，这就是常数项级数。
一般我们能够用一个统一的表达式即所谓通项来表述无穷级数的每一项，只要给出项数，就能根据通项唯一地确定这一项的表达形式。
对于任意构造的无穷级数，我们肯定能够给出加法运算结果的，只能是有限的和式，这就是部分和，部分和总是我们在考察整个无穷级数之前用以探测级数性质的对象。
而我们考察一个无穷级数的另一个角度，就是考虑由一个无穷级数的所以部分和所组成的数列，或者是函数列。
最终，我们的目的是希望级数逼近某个确定的函数，或者说是以某个函数作为极限，因此，对于给出的无穷级数，最为关键的问题就是它是否收敛，然后就是收敛函数的性质，这就是我们研究无穷级数的中心课题。
无穷级数的收敛与发散性质。
首先我们只是考虑级数的敛散性的问题，也就是存在性问题，而不是如何求极限的问题。
关于无穷级数的敛散性，有如下的基本性质：1．任意改变一个级数的任意有限项的值，都不影响这个级数的敛散性。
原因很显然，只要对一个级数所作的改变是有限的，就不能使得这个级数，由趋向于无穷而变得趋向于有限，也不能使得这个级数由趋向于有限而变得趋向于无穷，或者是由根本不存在任何极限，而变得出现极限。
第九章 级数
第九章 无穷级数（数二不作要求）第一节 基本概念与内容提要一、级数的基本概念、基本性质、级数收敛的必要条件 （一）1()n nn a aR ∞=∈∑称为级数。
令1nn k k S a ==∑，称n S 为级数1n n a ∞=∑的部分和。
若lim ()n n S A A R →∞=∈称级数1nn a∞=∑收敛，否则称级数发散。
（二）1nn a∞=∑收敛的必要条件是lim 0n n a →∞=（三）若1nn a∞=∑，1nn b∞=∑均收敛，则1()nn n ab ∞=±∑也收敛（四）若1nn a∞=∑收敛，1nn b∞=∑发散，则1()nn n ab ∞=±∑也发散（五）收敛级数任意加括号后的新级数仍收敛，且其和不变。
（六）正项级数收敛的充要条件是其某一加括号后的新级数收敛 二、正项级数的审敛法 （一）1nn a∞=∑为正项级数，1nn a∞=∑收敛⇔{}n S 有界（二）比较判别法 若0n n a b ≤≤，则 （1）由1nn b∞=∑收敛⇒1nn a∞=∑收敛 （2）由1nn a∞=∑发散⇒1nn b∞=∑发散（三）比较判别法的极限形式 设0,0,limnn n n na ab b λ→∞≥>=，则（1）当0λ≤<+∞，1nn b∞=∑收敛时⇒1nn a∞=∑收敛（2）当0λ<≤+∞，1nn b∞=∑发散时⇒1nn a∞=∑发散（四）比值判别法 设10,limn n n na a a λ+→∞>=，则（1）当01λ≤<时，1nn a∞=∑收敛，（2）当1λ>时，1nn a∞=∑发散（五）根值判别法设n n a λ>=，则（1）当01λ≤<时，1nn a∞=∑收敛，（2）当1λ>时，1nn a∞=∑发散三、两个重要级数 （一）p-级数11pn n∞=∑，当1p ≤时，发散；当1p >收敛。
（二）几何级数n n q ∞=∑，当且仅当1q <时收敛，这时0n n q ∞=∑=11q- 四、任意项级数的绝对收敛、条件收敛、莱布尼兹法则 （一）1nn a∞=∑收敛时，1nn a∞=∑必收敛，这时称1nn a∞=∑为绝对收敛（二）1nn a∞=∑发散时，但1nn a∞=∑收敛，这时称1nn a∞=∑为条件收敛（三）莱布尼兹判别法 若交错级数1(1)nnn a ∞=-∑中，1n n a a +≥，且lim 0n n a →∞=，则1(1)n nn a ∞=-∑收敛。
第九章 无穷级数(1)
n1
ln
n 1已证 n
是发散的，但有lim ln n 1 ln1 0.
n
n
性质 5 的逆否命题可叙述为：若级数 un 的通项un 当
n1
n
时不趋于零，即
lim
n
un
0，则级数
n1
un
是发散的.
我们常用此结论证明级数发散.
例7
证明调和级数 1 是发散的. n1 n
例1 判断几何级数（等比级数）
a aq aq2 aqn1
的收敛性.
解 当公比 q 1 时，级数的部分和
sn
a
aq
aq2
aqn1
1 qn a
1 q
当 q 1时，lim qn 0,所以 n
lim
n
sn
a 1 q
当q
1时，lim qn ，所以 n
性质 5（级数收敛的必要条件）若级数un 收敛，则 n1
通项
un
必趋于零，即
lim
n
un
0.
注意
性质
5
中
lim
n
un
0 只是级数收敛的必要条件，
不是充分条件，即当
lim
n
un
0 可以判断级数
n1
un
发散，但
不能由lim n
un
0 去断言
un
n1
收敛.例如，级数
第一节 常数项级数的概念及基本性质
一、 基本概念
第九章 无穷级数
第九章 无穷级数练习题9.1判断下列级数的敛散性 1. 1111156789+++++ 发散2.2342342222233333n n++++++ 收敛3. 12312345++++ 发散4 0.002+ 发散5 223311111111()()()()23232323nn+++++++++练习题9.2 1．+⋅++⋅+⋅+⋅nn n 232332232133322发散2．∑∞=+1)]1[ln(1n nn 收敛3．∑∞=13sin2n nn π收敛4．∑∞=122n nn 收敛5. +++++++++++22211313121211nn 发散6.11(0)1nn a a∞=>+∑ 讨论1a > 收敛 01a <≤发散 713579246810+++++ 发散练习题9.3判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?1、∑∞=---1113)1(n n n n ； 绝对收敛2、+-+-5ln 14ln 13ln 12ln 1；条件收敛3、21sin (1)n na n ∞=+∑； 绝对收敛4、∑∞=++-11)!1()1(n n nnn 绝对收敛5. 1(1)21nn n n ∞=-+∑ 发散练习题9.4一．求级数的收敛区间: 1、222424(2)nx xxn ++++⋅⋅⋅⋅ ； (,)-∞+∞2、222222251nnx x x n +++++ ；11[,]22-3、∑∞=--122212n n nxn ； （）4、∑∞=+1)12(n nnx [1,0)-5．357111357x x x x -+-+ 11,arctan x x -≤≤ 6．21357122468n n nx x x x x ∞-==++++∑ 22211,(1)x x x -<<-7．1(1)n n n n x ∞=+∑ 3211,(1)x x x -<<-练习题9.5将下列函数展成x 的幂级数： 1、3)(x ex f -=； 2321(1)332!3!x nnnx xxen -=-+++-+⨯收敛区间为),(+∞-∞2．()xf x a = 0(ln ),!nn x a x n ∞=-∞<<∞∑3. 1()3f x x=- 1,333nn n x x ∞+=-<<∑4．()cos f x x = 242cos 1(1)2!4!(2)!nnxxxx n =-++-+ 收敛区间为),(+∞-∞复习题九一判断题：1.√2.×3.√4.×5.×6.√7.√8.×9.√二、填空题：1. 若 12pn n∞=∑收敛，则p 应满足（ ）；(1p >)2. 若级数 1n n u ∞=∑ 收敛，则级数 1100n n u ∞=+∑（ ）；(收敛)3. 幂级数 1nn xn ∞=∑的收敛半径是（ ）； (1) 4. 级数 14(1)!nn n ∞=+∑（是，否）（ ）收敛；（是）5. 级数 1cos32nn n n π∞=∑（是，否）（ ）收敛；（是）6. 级数 24813927-+-+收敛于（ ）；（35） 7. 当 1x < 时，级数 1nn x∞==∑（ ）；(1xx-)9、正项级数∑∞=1n n u 部分和数列{}n s 有界是∑∞=1n n u 收敛的必要条件。
高等数学-九-无穷级数
第九章无穷级数无穷级数是函数逼近与近似计算的重要工具。
本章主要讨论⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧---和函数展开收敛性傅立叶级数和函数展开收敛性幂级数函数项级数条件收敛绝对收敛任意项级数莱布尼兹审敛法交错级数根值法比值法比较法正项级数常数项级数级数,,,,,,,基本概念基本性质收敛域和函数§1、数项级数的基本概念与性质一、基本概念定义1（级数）设有无穷数列，称形式和{}∞1n u++++n u u u 21为无穷级数，简称级数，记为，即∑∞=1n n u ,211++++=∑∞=n n nu u u u其中每个数均称为级数的项，数称为级数的一般项或通项，级数的前n 项和n unnk k n u u u u s +++==∑= 211称为级数的部分和数列。
研究级数的基本问题：1、判定级数是否收敛——无穷个数相加是否等于一个有限数（级数的和）；2、当级数收敛时，如何求其和。
判定级数收敛或发散的方法统称为审敛法。
熟练掌握针对各种级数的审敛法是学习的主要内容。
定义2（敛散性）设有级数，其部分和为，则n s ∑∞=1n nu∑∞=1n nu1、级数收敛此时，称s 为级数的和，并记,lim s s n n =⇔∞→∃;1s un n=∑∞=2、级数发散不存在。
∑∞=1n nun n s ∞→⇔lim 显然，收敛级数才有和，发散级数无和；任何级数要不收敛，要不发散，两者不可兼得。
利用敛散性定义可以判定一些级数的敛散性，并求出收敛级数的和。
【例1】判定级数的敛散性。
∑∞=+1)1(1n n n 〖解〗由分项分式),2,1(111)1(1 =+-=+k k k k k 得级数部分和为)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅=n n s n )111()4131()3121()211(+-++-+-+-=n n111+-=n s n 故n n s ∞→lim )111(lim +-=∞→n n 1=于是，原级数收敛，且和为1，即.1)1(11=+∑∞=n n n □练习：判定下列级数∑∞=-+1)1(n n n 的敛散性。
高等数学习题详解-第9章 无穷级数
习题9-11. 判定下列级数的收敛性：(1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞=+∑; (3)1ln 1n n n ∞=+∑; (4) 1(1)2nn ∞=-∑;(5) 11n n n ∞=+∑; (6) 0(1)21n n nn ∞=-⋅+∑． 解：（1）11n n k S ===∑，则lim lim(11)nnnS n ，级数发散。
（2）由于14113n n nn，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。
（3）11ln[ln ln(1)]ln1ln(1)ln(1)1nnnk k n S n n n n n ，则lim lim[ln(1)]nnnS n ，级数发散。
（4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2nn k S k nk因而lim n nS 不存在，级数发散。
（5）级数通项为1nn u n ，由于1lim10nn n，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。
（6）级数通项为(1)21n nnu n ，而lim n n S 不存在，级数发散。
2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 11123n nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑; (3) 1πsin 2n n n ∞=⋅∑; (4)πcos 2n n ∞=∑．解：（1）因为111111111131111(1).23232232223nn n nk kkk n n n nk k k S 所以该级数的和为31113lim lim(),22232nn nnnSS 即1113.232nnk（2）由于1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n nn n n n，则111111111[][](1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)nnnk kS k k kk kk kn n所以该级数的和为 1111limlim [],22(1)(2)4nnn SS n n即111.(1)(2)4n n n n（3）级数的通项为sin2nu n n，由于sin2lim sinlim()02222nnnn nn，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。
第九章 级数
142第九章 级 数无穷级数包括常数项级数与函数项级数两部分，可以利用它求出某些函数、积分和微分方程的近似值，还可以利用它来表示很多重要的非初等函数。
基本内容：基本概念：常数项级数、正项级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数；基本运算：判断级数的敛散性；求幂级数的收敛半径与收敛区间；求泰勒级数与幂级数展开式； 基本理论：极限的理论；本章重点：无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值判别法；级数的绝对收敛和收敛的关系；幂级数的收敛半径与收敛区间；泰勒级数；函数的幂级数展开式；傅立叶级数。
课标导航1．理解常数项级数收敛、发散及级数求和；2．掌握收敛级数的基本条件，了解正项级数收敛的充分必要条件； 3．掌握-p 级数、几何级数、条件级数收敛与发散的条件； 4．熟练掌握正项级数的比较、比值和根式敛散法；了解交错级数的敛散法以及绝对收敛和条件敛散的概念；5．了解函数项级数及其收敛域、掌握幂级数的收敛半径和收敛域的求法，并会求较简单的幂级数的和函数；6．了解函数在某点处的泰勒级数以及函数展开成幂级数的概念，会用间接法将函数展开成幂级数； 一、知识梳理与链接 （一）.基本概念 1．数项级数【定义】如果给定一个数列 ,,,,21n u u u 则由这些数列构成的表达式∑+∞==++++121n n n u u u u 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数。
其中：级数的第n 项n u 叫做级数的通项或一般项，级数的前n 项和叫做级数的部分和，记为n s .即n n u u u s +++= 21；如果级数部分和数列n s 极限存在，则称该级数收敛，其极限值叫做级数的和，记为s ，否则称该级数发散；级数和与部分和的差称为该级数的余项，记为n r .2．正项级数、交错级数级数中的各项均由正数或零组成，则称该级数为正项级数；级数中的各项是由正负交错组成，则称该级数为交错级数。
3．绝对收敛与条件收敛如果级数∑+∞=1n n u 各项的绝对值所构成的正项级数∑+∞=1n n u 收敛，则称级数∑+∞=1n n u 绝对收敛；如果级数∑+∞=1n n u 收敛，而级数∑+∞=1n n u 发散，则称级数∑+∞=1n n u 条件收敛。
无穷级数PPT课件
234
n1
| un | 1 , 所以 un 0 , 级数发散；
2. 级数的一般项趋于零,不能保证级数一定收敛。
如 ln(1 1 ) : ln(1 1 ) 0 (n ) , 但级数发散。
n1
n
n
11
例4 判别级数 un的敛散性，其中 n1
1 un
1 n2 1
1 n2 2
1； n2 n
3
1. 级数的定义
数列 u1，u2，u3，，un，
一般项
无穷级数 u1 u2 u3 un
无 穷 项 求 和 叫 做 （ 常 数项 ） 无 穷 级 数 ，
简称（常数项）级数，记为 un .
一般项 部分和
n1
无穷级数表达式中的第n项un . n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
例如，若级数 un 收敛， 则级数
n1
(u2n1 u2n ) 、 (u3n2 u3n1 u3n ) 均收敛，
n1
n1
且和不变.
18
注意
1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后所 成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
2.如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
n1 n1
n1
14
注:
(1) 不能由 (un vn) 收敛推出 un 、 vn 收敛；
n1
n1
n1
(2) 若 un 收敛,而 vn 发散,则 (un vn) 必发散.
n1
n1
n1
证 假设 (un vn) 收敛,由 vn (un vn ) un ,
第九章 无穷级数
14
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故原级数发散. 综上所述有如下结论: 几何级数
n 1 2 aq a aq aq n 1 敛于 1 q
当 q 1 时, 发散.
15
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1 1 1 例3 证明调和级数 1 2 3 n 1 n
k 1
v1 u1 u2
un1
v2 un1 1 un1 2
vk unk 1 1 unk 1 2
un2
unk
则 vk的部分和是Sk * v1 v2
n 1
vk Snk
23
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而由nk k知, 若k , 必有nk , 即 lim Sn S
5
结束
2. 级数的定义
定义1 将数列 u1 , u2 , 来的表达式
u1 u2 un
, un ,
的各项依次用加号连接起
称为(常数项)无穷级数, 简称(常数项) 级数. 记为
u
n 1
n
, 即
u
n 1
n
u1 u2
un
其中第 n 项 un 叫做级数的一般项或通项.
(un vn )
(u1 u2
un ) (v1 v2
机动
vn )
17
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Sn Tn
所以 故
limWn lim( Sn Tn ) a b
n n
(u
n 1
n
vn ) un vn
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9.1 常数项级数
例1 判断级数
1 1 1 1 ... ... 1 2 2 3 3 4 n (n 1)
是否收敛？若收敛，求它的和.
解 级数的部分和
1 1 1 1 sn ... ... 1 2 2 3 3 4 n (n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 1 , 2 2 3 3 4 n n 1 n 1
1 lim s n lim(1 ) 1 n n n 1
所以级数收敛，其和等于1.
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9.1 常数项级数
1 1 证 当 p 1时,因为 p (n 1, 2,3, ), n n 1 1 而级数 发散, 所以级数 p 发散. n 1 n n 1 n
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9.2 常数项级数的审敛法
y
当 p 1, n 2时, 从图知, 小矩形的面积比 同底的曲边梯形的面积小, 所以有
n 1
n 1
s1 s 2 s3 s n
如果 s n 数列有界，则根据单调有界的数列必有极限的准
则知，级数 u n必收敛，反之亦然.
n 1
定理1 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列 sn有界.
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9.2 常数项级数的审敛法
定理2 (比较审敛法)设两个正项级数 un和 vn，
9.1 常数项级数
性质2 若级数 则级数
u
n 1
n
无穷级数
第九章 无穷级数 §9.2 正项级数的审敛法一般情况下，利用定义或级数的性质来判别级数的敛散性是很困难的，可否有更简单易行的判别方法呢？由于级数的敛散性可较好地归结为正项级数的敛散性问题，因而正项级数的敛散性判定就显得十分地重要。
定义1 若级数∑∞=1n nu中的每一项都是非负的( 即 ,2,1,0=≥n u n )，则称级数∑∞=1n nu为正项级数.由正项级数的特性很容易得到下面的结论.定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充分必要条件是：它的前n 项部分和数列{}n s 有界.证 （1）级数∑∞=1n nu的前n 项部分和数列{}n s 满足：),3,2,1(1 =+=-n u s s n n n显然{}n s 是单调增加的，且{}n s 有界；则由数列的单调有界准则得数列{}n s 是收敛的，即级数∑∞=1n nu收敛.（2）若正项级数∑∞=1n nu是一个收敛的级数，设其收敛于s ，又其前n 项部分和数列{}n s 是单调增加的，则可得M s s n ≤≤≤0，其中M 是一正常数，即数列{}n s 有界.借助于正项级数收敛的充分必要条件，我们可建立一系列具有较强实用性的正项级数审敛法.定理2 （比较审敛法）设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，且),2,1( =≤n v u n n （1）则：(1) 如∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu亦收敛；(2) 如∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv亦发散.证 (1) 设∑∞=1n nv收敛于σ，且n n v u ≤，则∑∞=1n nu的部分和n s 满足σ≤+++≤+++=n n n v v v u u u s 2121即单调增加的部分和数列{}n s 有上界.由定理1可得∑∞=1n nu收敛.(2) 设∑∞=1n nu发散，则它的前n 项部分和)(21∞→+∞→+++=n u u u s n n因n n v u ≤，则级数∑∞=1n nv的前n 项部分和n n n n s u u u v v v =+++≥+++= 2121σ所以当∞→n 时+∞→n σ，即∑∞=1n nv发散.由于级数的每一项同乘以一个非零常数，以及去掉级数的有限项不改变级数的敛散性，因而比较审敛法又可表述如下：推论1 设C 为正数，N 为正整数，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，且),1,( +=≤N N n Cv u n n （2）则：(1) 如∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu亦收敛；(2) 如∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv亦发散.例1 讨论 -p 级数+++++=∑∞=p p p n p n n 13121111的敛散性，其中0>p .解 （1）若10≤<p ，则n n p≤，可得n n p 11≥；又因调和级数∑∞=11n n发散，由定理2知∑∞=11n p n 发散. （2）若1>p ，对于满足 n x n ≤≤-1的x （其中2≥n ），则有p p p n x n ≤≤-)1(继而可得p pnx 11≥ 又)1)1(1(11111111111---------=-=≤=⎰⎰p p nn pnn p nn p p nn p x p x dx n dx n 考虑级数 ∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2111)1(111n p p n n p ，它的部分和 ∑+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=12111)1(111n k p p n k k p s)(11)1(11111∞→-→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-n p n p p故 ∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2111)1(111n p p n n p 收敛，由比较审敛法可得∑∞=21n pn收敛，再由级数的性质可得∑∞=11n p n 亦收敛. 综上讨论，当10≤<p 时，-p 级数∑∞=11n p n 是发散的；当1>p 时，-p 级数∑∞=11n p n是收敛的.-p 级数是一个很重要的级数，在解题中往往会充当比较审敛法的比较对象，其它的比较对象主要有几何级数、调和级数等.推论2*（比较审敛法的极限形式）设∑∞=1n nu、∑∞=1n nv为两个正项级数，如果两级数的通项n n v u ,满足)0(lim+∞<<=∞→l l v u nnn （3）则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv同时收敛或同时发散.证 由极限的定义，取2l=ε，存在着自然数N ，当N n >时，有不等式 2l l v u n n <- 成立，可得232lv u l n n <<，即n n n v l u v l ⋅<<⋅232；再由推论1即得结论.例2 判别级数（1）∑∞=-122n n n （2）)11ln(12∑∞=+n n 的敛散性.解 （1）因n n n n n 1222=>-，且∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=-122n n n发散；（2）因221)11ln(n n <+，且∑∞=121n n 收敛，故级数)11ln(12∑∞=+n n 收敛.例3 讨论级数)0(111>+∑∞=a an n的敛散性. 解 （1）当1>a 时，级数∑∞=+111n n a 的通项n n a a 111<+，而∑∞=11n na 是一个公比为a 1的等比级数，且a 1<1，则∑∞=11n n a 收敛，故级数∑∞=+111n na收敛； （2）当1=a 时，级数∑∞=+111n n a 的通项2111=+n a ，且∑∞=121n 发散，故级数∑∞=+111n na发散.（3）当1<a 时，级数∑∞=+111n n a 的通项2111>+n a ，而∑∞=121n 发散，故级数∑∞=+111n na发散.例4 设),2,1( =≤≤n c b a n n n ，且级数∑∞=1n na及∑∞=1n nb都收敛，证明级数∑∞=1n nc收敛.证 因n n n c b a ≤≤， ,2,1=n ，可得n n n n a b a c -≤-≤0；而级数∑∞=1n na及∑∞=1n nb都收敛，由级数收敛的性质知∑∞=-1)(n n na b收敛，再由比较审敛法得∑∞=-1)(n n n a c 收敛.而])[(11n n n n n na a c c+-=∑∑∞=∞=故可得级数∑∞=1n nc收敛.定理3 （比值审敛法，又称达朗贝尔审敛法） 若正项级数∑∞=1n nu满足ρ=+∞→nn n u u 1lim（4）则：（1）当1<ρ时，级数∑∞=1n nu收敛；（2）当1>ρ(或+∞=ρ)时，级数∑∞=1n nu发散；（3）当1=ρ时，级数∑∞=1n nu的敛散性用此法无法判定.证 （1） 当1<ρ时，则可取一足够小的正数ε，使得 1<=+r ερ；又因ρ=+∞→nn n u u 1lim ，据极限的定义，对正数ε，存在自然数N ，当N n >时，使得ερ<-+nn u u 1成立，即ρερε+<<+-+nn u u 1则有r u u nn =+<+ερ1，可得 ),2,1(1 ++=⋅<+N N n u r u n n即有N N u r u ⋅<+1N N N u r u r u ⋅<⋅<++212N N N N u r u r u r u ⋅<<⋅<+++31223…则相加有++++++321N N N u u u +⋅+⋅+⋅<N N N u r u r u r 32因10<<r ，得级数∑∞+=1N n nu收敛，再由级数得性质得∑∞=1n nu收敛.（2） 当1>ρ时，存在充分小的正数ε，使得1>-ερ，同上由极限定义，当N n >时，有11>->+ερnn u u 即n n u u >+1，因此当N n >时，级数∑∞+=1N n nu的一般项是逐渐增大的，故它不趋向于零，由级数收敛的必要条件知∑∞=1n nu发散.（3）当1=ρ时，级数可能收敛，也可能发散. 如对于-p 级数∑∞=11n p n ，不论p 取何值，总有 11lim 1)1(1lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→+∞→pn p pn n n n n n n n u u 但是，该级数却在1>p 时收敛， 1≤p 时发散.例5 判定下列级数的敛散性 （1）!11n n ∑∞= （2）∑∞=1!n n n n （3）∑∞=⋅-12)12(1n nn解 （1）因 !1n u n =，故 1011lim !1)!1(1limlim 1<=+=+==∞→∞→+∞→n n n u un n nn n ρ 由比值审敛法知级数!11n n ∑∞=是收敛的. （2）因 !n n u nn =，故1)11(lim )!1(!)1(lim lim 11>=+=+⋅⋅+==∞→+∞→+∞→e n n n n n u u n n n n n nn n ρ由比值审敛法知级数∑∞=1!n nn n 是发散的.（3）因 nn u n 2)12(1⋅-=，故1)12(22)12(lim lim1=+⋅⋅-==∞→+∞→n n nn u u n nn n ρ用比值法无法确定该级数的敛散性；注意到n n n ≥->122，可得22)12(n n n >⋅-，即212)12(1n n n <⋅-；而级数∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=⋅-12)12(1n nn 收敛.定理4*（根值审敛法或柯西审敛法） 若正项级数∑∞=1n nu满足ρ=∞→n n n u lim （5）则：（1）当1<ρ时，级数∑∞=1n nu收敛；（2）当1>ρ(或+∞=ρ)时，级数∑∞=1n nu发散；（3）当1=ρ时，级数∑∞=1n nu的敛散性用此法无法判定.证 （1）当1<ρ时，可取一足够小的正数ε，使得 1<=+r ερ；据极限的定义，存在自然数N ，当N n >时有r u nn =+<ερ即nn r u <；而等比级数∑∞+=1N n nr(10<<r )是收敛的，由比较判别法知∑∞+=1N n nu收敛；再由级数的性质得级数∑∞=1n nu收敛.（2）当1>ρ时，同理存在充分小的正数ε，使得1>-ερ，据极限定义，当N n >时有1>->ερnn u即1>n u ，因此级数的一般项不趋向于零,由级数收敛的必要条件知∑∞=1n nu发散.（3）当1=ρ时，级数可能收敛，也可能发散.如级数∑∞=121n n 是收敛，而级数∑∞=11n n是发散的，但1)1(lim 1lim lim 22===∞→∞→∞→n n nn n n n n n u 11lim 1lim lim ===∞→∞→∞→n n nn n n n nn u 例6 判别级数∑∞=+12)12(n n nn 的敛散性.解 因nn nn u )12(2+=，则121)12(lim lim 2<=+==∞→∞→n nn nn n nn u ρ故级数∑∞=+12)12(n n nn 收敛.注：对于利用比值审敛法与根值审敛法失效的情形(即1=ρ时)，其级数的敛散性应另寻它法加以判定，通常可用构造更精细的比较级数来判别.§9.3 交错级数及其审敛法定义2 级数中的各项是正、负交错的，即具有如下形式n n n u 11)1(-∞=-∑或n n n u )1(1-∑∞= （6）的级数称为交错级数.其中 ,3,2,1,0=≥n u n .因两者的表示只差一个负号，它们的敛散性完全相同，故下面一般只讨论nn n u 11)1(-∞=-∑这一形式.定理5 （交错级数审敛法又称莱布尼兹定理) 如果交错级数n n n u 11)1(-∞=-∑满足条件：（1） ,2,1,1=≥+n u u n n（2） 0lim =∞→n n u则交错级数n n n u 11)1(-∞=-∑收敛，且收敛和1u s ≤，其余项n r 的绝对值1+≤n n u r .证 （1）先证n n s 2lim ∞→存在. 级数n n n u 11)1(-∞=-∑的前n 2项的部分和n s 2可表示为以下两种形式：)()()(21243212n n n u u u u u u s -++-+-=- （7） n n n n u u u u u u u u s 21222543212)()()(--------=-- （8） 由条件(1) 1+≥n n u u ，即01≥-+n n u u ， ,2,1=n ；则（7）式表明：数列n s 2是非负的且单调增加的；而（8）式表明：12u s n <,即数列n s 2有上界.由单调有界准则，当n 无限增大时，n s 2必有极限，不妨设为s ，显然1u s ≤，即12lim u s s n n ≤=∞→（2）再证s s n n =+∞→12lim .因 12212+++=n n n u s s ，由由条件(2) 0lim 12=+∞→n n u 可知s s u s s n n n n n n =+=+=+∞→∞→+∞→0lim lim lim 12212因级数前n 项部分和数列n s 的两个子数列满足：前n 2项的部分和数列n s 2与前12+n 项的部分和12+n s 都趋向于同一极限s ，故的前n 项部分和数列n s 在当∞→n 时的极限存在且仍为s ，且1u s ≤.（3）最后证明1+≤n n u r . 级数n n n u 11)1(-∞=-∑的余项可以写成 )(21 +-±=++n n n u u r ，其绝对值为+-=++21n n n u u r此式表明，其右端也是一个交错级数，且也满足此定理的两个条件，故n r 应小于它的首项，即 1+≤n n u r .例7 判别交错级数∑∞=--111)1(n n n 的敛散性. 证 因级数∑∞=--111)1(n n n 的通项n u 满足： 1111+=+<=n n u n n u 且01lim lim ==∞→∞→nu n n n 满足定理5的条件，故此交错级数收敛，并且其和1<s .例8 判别交错级数∑∞=--11ln )1(n n nn的敛散性. 证 因级数∑∞=--111)1(n n n 的通项n u n n ln =，令3,ln )(>=x x x x f ；则 0ln 1)(2<-='x xx f ，3>x 即当3>n 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ln 是递减数列；又利用洛必达法则知 01lim ln lim ln lim ===+∞→+∞→∞→xx x n n x x n满足定理5的条件，故此交错级数收敛.9.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义3 如级数∑∞=1n nu中的每一项),2,1( =n u n 为任意实数，称该级数为任意项级数.对于该级数，我们可以构造一个正项级数∑∞=1n n u ，通过级数∑∞=1n n u 的敛散性来推断级数∑∞=1n nu的敛散性.定义4 （1）如果级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛；（2）如果级数∑∞=1n n u 发散，而级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛.定理6 如果级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 亦收敛.证 设级数∑∞=1n nu收敛，令),2,1()(21=+=n u u v n n n 显然0≥nv ，且n n u v ≤；由比较审敛法知正项级数∑∞=1n n v 收敛，从而∑∞=12n n v 亦收敛.另一方面，n n n u v u -=2，则由级数性质知级数)2(11n n n n nu v u-=∑∑∞=∞=收敛.例9 讨论级数∑∞=--111)1(n n n的收敛性.解 因级数∑∞=11n n 是21=p 的-p 级数，故而发散，；而交错级数∑∞=--111)1(n n n 可由交错级数审敛法得其是收敛的，故级数∑∞=--111)1(n n n不是绝对收敛，而是条件收敛的.例10 判定任意项级数∑∞=12)sin(n n n α，),(+∞-∞∈α的收敛性。
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第九章 无穷级数第三十三讲 §9.1 常数项级数的概念与性质教学目的：理解常数项级数收敛、发散及其收敛级数和的概念；掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
教学重点与难点：根据定义判定级数的敛散性；收敛的必要条件。
教学过程：无穷级数是深入研究函数所不可缺少的一个重要工具，这一章先讨论常数项级数，然后讨论函数项级数，着重讨论如何将函数展开成幂级数的问题。
一 常数项级数的概念定义 数列12,,,n u u u 构成的和式12n u u u ++++ 称为常数项无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，n u 称为一般项或通项；由级数1nn u∞=∑得：12n n s u u u =+++ ，称n s 为级数1nn u∞=∑的前n 次部分和；无穷数列12,,,n s s s 称为级数1nn u∞=∑的部分和数列，记为{}n s ；若lim n n s s →∞=，则称级数1n n u ∞=∑收敛，和为s ，记为1n n u s ∞==∑；若lim n n s →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散。
例1 判定几何级数2(0,na aq aq aq a q +++++≠ 为公比）的收敛性。
解 1(1)(1)1n n n a q s a aq aqq q--=+++=≠-||1q <时，lim 1n n a s q→∞=- ||1q >时，lim n n s →∞=∞1q =时，n s na =→∞1q =-时，级数为 ,lim n n a a a a s →∞-+-+ 不存在故：||1q ≥时，几何级数发散；||1q <时，几何级数收敛，和1as q=-。
例2 判断级数 ++++⋅+⋅)1(1321211n n 的敛散性。
解：s n =(1-21)+(21-31)+…+(n 1-11+n )=1-11+n ，n n s ∞→lim =1，则级数收敛于1。
例3判断级数+++++=+∑∞=nn n n n 1ln 23ln 12ln 1ln1的敛散性。
解：),2,1(ln )1ln(1ln=-+=+=n n n n n u n nn s n 1ln23ln 12ln ++++= )1ln()ln )1(ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln +=-+++-+-=n n n ， ∞=+=∞→)1ln(lim n s n n ，则级数发散。
二 无穷级数的性质 性质1 若1nn u∞=∑收敛于s ，则1(0)nn kuk ∞=≠∑收敛于ks ，即11n n n n ku k u ∞∞===∑∑性质 2 若1nn u∞=∑，1nn v∞=∑分别收敛于,s σ，则1()nn n uv ∞=±∑收敛于s σ±，即111()nnnn n n n u v uv ∞∞∞===±=±∑∑∑性质3 级数去掉、加上、改变有限项收敛性不变。
性质4 级数收敛的必要条件：若1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=例4 证明：调和级数111123n+++++ 发散 证明 111123n s n=++++0ln(1)111111ln(1),ln(1),,ln(1)2233x x x n n >>+∴>+>+>+ 时， 111ln(1)ln(1)ln(1)23n s n>++++++即ln(1)lim n n n s n s →∞>+⇒=+∞故调和级数发散。
（可以结论的形式告诉学生，不用证明）例5 由性质判定下列级数的收敛性 （1）1(1)3nn nn ∞=-+∑ （2）11ln 4n n n u n+=- （3）114n n∞=+∑ 解 （1）lim(1)03nn nn →∞-≠+，故级数发散； （2）1111,ln 4n n n n n ∞∞==+∑∑均收敛，故原级数收敛；（3）该级数是调和级数11n n∞=∑去掉前三项所得，故发散； 作业：199P 1（1）（2）（3）第三十四讲 §9.2正项级数及其敛散性的判别教学目的：会用正项级数的比较审敛法、根值审敛法、比值审敛法。
教学重点与难点：敛散性的判别 教学过程：定义 若0(1,2,......)n u n ≥=则称1nn u∞=∑为正项级数定理1（比较审敛法）11,n nn n u v∞∞==∑∑均为正项级，且(1,2,)n n u v n ≤=若1nn v∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散，则1nn v∞=∑发散。
例1 讨论p -级数111123p p pn +++++ 的收敛性，其中常数0.p > 解 设1p ≤，则11p n n≥，调和级数发散，故由比较法知，当1p ≤时，p -级数发散；设1p >，可证部分和11,(2,3,)1n s n p <+=-故当1p >时，p -级数收敛。
例2证明级数311n nn ∞=+∑收敛 证明 3332112n n n u n n n n =≤=++，又211n n∞=∑收敛，故原级数收敛 例3证明级数1n ∞=发散证明1n u n =>=，又11n n∞=∑发散，故原级数发散定理2 （比较法的极限形式）11,n n n n u v ∞∞==∑∑均为正项级，limnn nu l v →∞=（1）若l 为正数，则11,n nn n u v∞∞==∑∑的收敛性相同；（2）若0l =，则当1nn v∞=∑收敛时，必有1nn u∞=∑收敛；（3）若l =+∞，则当1nn v∞=∑发散时，必有1nn u∞=∑发散。
例3 由比较法的极限形式，判定下列级数的收敛性（1）311n n n ∞=+∑ （2）n ∞= （3）∑∞=11sin n n （1）33321lim lim 111n n nn n n n→∞→∞+==+ 又211n n∞=∑收敛，故原级数收敛（2）1n n n→∞== 又11n n∞=∑发散，故原级数发散（3）111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n 发散, 级数∑∞=11sin n n 发散.定理3 （比值法）1nn u∞=∑为正项级数，1limn n nu u ρ+→∞=（1）若1ρ<，则1nn u∞=∑收敛；（2）若1ρ>+∞或为，则1nn u∞=∑发散；（3）若1ρ=，则1nn u∞=∑可能收敛可能发散。
例4 由比值法判定下列级数的收敛性（1）12nn n ∞=∑ （2）11sin 3n n n ∞=∑ (3)11123 (1)n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅-∑解 （1）112lim lim 2112n n nn n nu nu n ++→∞→∞=⋅=>+，故级数发散（2）11111(1)sin133limlimlim 13sin 33n n n n n n nnnn u u n +++→∞→∞→∞+===<，故级数收敛(3) 因为101lim 321)1( 321lim lim1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n n n n , 级数收敛.例5判别级数10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性.解 因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n n n n n n n , 级数发散. 定理4(根值法)1nn u∞=∑为正项级数，n ρ=（1）若1ρ<，则1nn u∞=∑收敛；（2）若1ρ>+∞或为，则1nn u∞=∑发散；（3）若1ρ=，则1nn u∞=∑可能收敛可能发散。
例7 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn 是收敛的. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n , 所以级数收敛.作业：199P 1 （4）（7）（8） 第三十五讲 §9.3交错级数教学目的：会用莱布尼茨定理判定交错级数的敛散性 教学重点与难点：绝对收敛与条件收敛的概念 教学过程： 一、交错级数定义：0(1,2,...)n u n >=，称级数1234u u u u -+-+ 或1234u u u u -+-+为交错级数，记为11(1)n n n u ∞-=-∑或1(1)n n n u ∞=-∑定理1：（莱布尼茨定理）若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足1(1,2,)n n u u n +≥= 且lim 0n n u →∞=则该级数收敛例1判定级数 1)1(11∑∞=--n n n的收敛性解 此级数满足 1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), 01lim lim ==∞→∞→nu n nn ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n定理2 若正项级数1||nn u∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑必收敛，称之为绝对收敛；若1||n n u ∞=∑发散，而1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑条件收敛。
定理3 若任意项级数1n n u ∞=∑满足：1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或1n ρ=>，则1n n u ∞=∑发散。
例 2 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性. 解 因为|1|sin n n na ≤, 而级数211nn ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n nna 绝对收敛. 例3 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性.解: 由2)11(21||n nn n u +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n nn ,可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.作业：200P 2第三十六讲 §9.4幂级数教学目的：掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法；会求幂级数的和函数。
教学重点与难点：幂级数的收敛半径、收敛域的求法 教学过程：定义1：12(),(),,()n u x u x u x 是定义在区间I 上的函数列，称和式12()()()n u x u x u x ++++ 为定义在区间I 上的（函数项）级数，记为1()n n u x ∞=∑0x I ∈，常数项级数0()n u x 收敛，则称0x 为函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点；若0x I ∈，常数项级数0()n u x 发散，则称0x 为函数项级数1()nn u x ∞=∑的发散点；1()nn u x ∞=∑的收敛点（发散点）的全体称为1()n n u x ∞=∑的收敛域（发散域）。