2.3确定二次函数的表达式 2 交点式
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
确定二次函数表达式 北师大版数学九年级下册
点拨
选用两根式求解，方法灵 活巧妙，过程也较简捷
3、如图，抛物线经过 A（﹣ 2，0）， B（﹣ ， 0）， C（ 0，
2）三点． （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在直线 AC 下方的抛物线 上有一点 D，使得△ DCA 的面 积最大，求点 D 的坐标；
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
点拨
通过利用条件中的顶点 和过原点选用顶点式求 解，方法比较灵活 。
3.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最 大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在 坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解法三 解：设抛物线为y=ax(x-40 ）
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式求解。
当堂训练（15分钟）
1.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图 所示)，求抛物线的解析式．
解法一：
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，将 A（﹣
2，0），B（﹣ ，0），C（0，2）代入解析式，得
，解得
．
∴ 抛物线的解析式是 y=2x2+5x+2；
设 D 点的坐标为（t，2t2+5t+2），过 D 作 DE⊥x 轴 交 AC 于 E 点， ∴ E 点的坐标为（t，t+2）， DE=t+2﹣（2t2+5t+2）=﹣2t2﹣4t，用 h 表示点 C 到 线段 DE 所在直线的距离，
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种
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2 二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）
（，当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
2.3 确定二次函数的表达式 教案
一、情境导入一副眼镜镜片的下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称，如图．AB ∥x 轴，AB ＝4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1cm ，BD ＝2cm.你能确定右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法确定二次函数解析式 【类型一】 已知顶点坐标确定二次函数解析式已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，且经过点N (2，3)，求此二次函数的解析式．解析：因为抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式解答．解：已知抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，设此二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2－2，把点N (2，3)代入解析式，得a －2＝3，即a ＝5，∴此函数的解析式为y ＝5(x －1)2－2.方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第9题 【类型二】 已知三个点确定二次函数解析式已知：抛物线经过A (－1，8)、B (3，0)、C (0，3)三点． (1)求抛物线的表达式；(2)写出该抛物线的顶点坐标．解析：(1)设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，再把A 、B 、C 三点坐标代入得到关于a 、b 、c 的方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 即可；(2)把(1)中的解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝8，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)．方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型三】 已知两交点或一交点和对称轴确定二次函数解析式已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式． (1)抛物线经过两点A (1，0)，B (0，－3)，且对称轴是直线x ＝2；(2)抛物线与x 轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－92)．解析：(1)可设交点式y ＝a (x －1)(x －3)，然后把B 点坐标代入求出a 即可；(2)可设交点式y ＝a (x ＋2)(x －4)，然后把点(1，－92)代入求出a 即可．解：(1)∵对称轴是直线x ＝2，∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把B (0，－3)代入得a (－1)×(－3)＝－3，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3；(2)设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)，把(1，－92)代入得a (1＋2)×(1－4)＝－92，解得a ＝12，所以抛物线解析式为y ＝12(x ＋2)(x －4)＝12x 2－x －4.方法总结：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积．解析：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，根据对称轴是x ＝－3，求出b ＝6，即可得出答案；(2)根据CD ∥x 轴，得出点C 与点D 关于x ＝－3对称，根据点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C 的横坐标和纵坐标，再根据点B 的坐标为(0，5)，求出△BCD 中CD 边上的高，即可求出△BCD 的面积．解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，∴c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b2＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计确定二次函数的表达式1．运用顶点式确定二次函数解析式 2．运用三点式确定二次函数解析式 3．运用交点式确定二次函数解析式。
确定二次函数的表达式(经典)
01
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
02
设它的函数表达式为: y=ax² (a≠0)
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为： y=-x2-x+2
03
谈谈你的收获
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01
〔议一议〕 通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?
（待定系数法）
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。
二次函数交点式公式
y=a(x-x1)(x-x2) 的函数图象
我 们 来 画 二 次 函 数 y=2(x-1)(x-3) 、 y=3(x-2)(x+1) 、 y=-(x+4)(x+3)的图象，并研
究函数与x轴的交点坐标。y=Leabharlann (x-x1)(x-x2) 的函数图象
y
4
3
2 1
c
与X轴的交点坐标
x1
O x2
x (x1,0) (x2,0)
与Y轴的交点坐标及它关
（
b 2a
，4ac 4a
） b2
于对称轴的对称点
(0, c)
(
b a
,
c)
y=-2(x+1)2-8 y=3(x+1)(x-3)
y=x2-4x-5 y=-x2+5
y a x
b
2
4ac
b2
2a
4a
直线x b 2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
a 0,当x b , 2a
y最小 4ac b2 ) 4a
a>0，x≤-b/2a,y随x增大而减小 x≥b/2a,y随x增大而增大
y
对称轴直线x=
b 2a
(
b
a,
c)
顶点坐标（
b 2a
， ） 4ac b2 4a
（2，0）（-1，0） （-4，0）（-2，0）
y=a(x_-_x_1 )(x_-_x_2) （a交≠0点）式 (x1,0),( x2,0)
二次函数的交点式（两根式）：y＝a(x－x1)(x－x2)， 其中x1 ，x2 为两交点的横坐标.
九年级数学下册第二章二次函数2.3确定二次函数的表达式课件北师大版
例5 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)，求这条抛物线的表达式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a=
1 ， ∴这条抛物线的表达
4
式为：y= 1 (x-4)2-1.
4
总结
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通 常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)
等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.
总结
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个 单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平
移 后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
总结
此题主要考查了二次函数的图象的平移，顶点坐标 及交点式求二次函数的表达式，根据平移性质得出平移 后抛物线对应的函数表达式是解题关键．第(2)小题是一 个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、 纵坐标互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求 其表达式时，一般采用二次函数的交点式．
三个
总结
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有 几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条 件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫 待定系数法．
1．用待定系数法求二次函数的表达式： (1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
确定二次函数的关系式.3确定二次函数的表达式
因此，所求的二次函数表达式是y=-3x2+4x+2
例2 已知三个点的坐标 P(1，-5)，Q（-1,3），M(2，-9) 是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
解 ： 设有二次函数y=ax²+bx+c，它的图象经过P,Q,M
三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
a b c 5, a b c 3, 4a 2b c 9.
归纳：若已知二次函数图象的顶点坐标和图象 上的另外任意一点的坐标，可用顶点式求二次 函数的表达式。
现学现用：
2、已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过 B(3,0), 求二次函数解析式.
解：∵抛物线顶点为A(1,-4), ∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4, 把点B（3，0）代入得0=4a-4, ∴a=1, ∴y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3
a 0 解得 b 4
c 1
因此，一次函数 y=- 4x-1 的图象经过P,Q,M三点.这说明没 有一个这样的二次函数，它的图象经过P,Q,M三点.
归纳：
1、若已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可用 一般式求二次函数的表达式
2、 例2表明：若给定共线三点的坐标，不能确定二次 函数，而给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标 两两不等，则可以确定一个二次函数。
∴二次函数解析式为y=-x2+x+2
思考：除了上述方法外，你还能用其他的方法来 求解吗？
课外拓展：二次函数的第3种表达式 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0),其中（x1 ,0）（ x2 ，0）
是二次函数图象与x轴的两个交点。 当已知抛物线与x轴的两个交点或交点的横坐标时，通
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
确定二次函数的表达式(经典)讲解
y=-x2-x+2
例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。
解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为
(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为：
y= -7(x-3)2+4
例3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
确定二次函数表达式(已知三个条件)
上时，ON=t，MN= 3t，所以S= 3 t2（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
2
值不变为 2 3，所以S= 3t（2≤t≤4），故选C.
你学到哪些二次函数表达式的求法？ （1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值， 通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
a
1 3
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，
a=2,
由条件得： a+b+c=4， 解方程组得： b=-3,
4a+2b+c=7，
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
3 确定二次函数的表达式
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
二次函数的六种表达式
二次函数的六种表达式一、标准式二次函数的标准式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为常数，a不为0。
其中a决定了二次函数的开口方向和开口程度，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点位置。
在应用中，可以通过标准式方程确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过标准式方程求解二次方程，解决实际问题。
二、顶点式二次函数的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为常数，a不为0。
其中(h,k)为二次函数的顶点坐标。
通过顶点式可以方便地确定二次函数的顶点坐标，进而画出函数图像。
同时，可以通过顶点式进行函数的变形，例如平移、压缩、拉伸等操作。
三、描点式二次函数的描点式为y-y₁=a(x-x₁)²，其中(x₁,y₁)为已知点，a为常数且不为0。
通过描点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过描点式求解二次方程，解决实际问题。
四、导数式二次函数的导数式为y'=2ax+b，其中a、b均为常数，a不为0。
通过导数式可以方便地确定二次函数的斜率，进而画出函数图像。
同时，可以通过导数式求解二次方程的极值，解决实际问题。
五、交点式二次函数的交点式为y=k(x-x₁)(x-x₂)，其中k、x₁、x₂均为常数，k 不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。
通过交点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过交点式求解二次方程，解决实际问题。
六、因式分解式二次函数的因式分解式为y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中a、x₁、x₂均为常数，a不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。
通过因式分解式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过因式分解式求解二次方程，解决实际问题。
二次函数有六种常见的表达式，每种表达式都有其特点和应用。
二次函数交点式公式
二次函数交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线][仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。
将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。
X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。
考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限：X>0，Y>0点P(x,y)在第二象限：X<0，Y>0点P(x,y)在第三象限：X<0，Y<0点P(x,y)在第四象限：X>0，Y<02、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数，y=0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数，x=0点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
二次函数顶点式与交点式推导
二次函数顶点式与交点式推导二次函数可以用顶点式和交点式两种形式来表示。
首先我们来看顶点式的推导。
顶点式是指二次函数的标准形式为y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的坐标，a表示抛物线的开口方向和开口大小。
我们可以通过完全平方公式将一般式的二次函数转换为顶点式。
首先，我们将一般式的二次函数表示为y = ax^2 + bx + c。
然后，利用配方法将x^2项与常数项相结合，得到y = a(x^2 + (b/a)x) + c。
接下来，我们需要加上一个适当的常数使得括号内成为一个完全平方的形式。
这个常数是(b/2a)^2，所以我们加上并减去(b/2a)^2，得到y = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 (b/2a)^2) + c。
然后，我们将完全平方的三项式进行因式分解，得到y = a((x + b/2a)^2(b/2a)^2) + c。
最后，化简得到y = a(x + b/2a)^2 a(b/2a)^2 + c，化简得到y = a(x + b/2a)^2 (b^2-4ac)/4a。
这样我们就得到了二次函数的顶点式表示形式。
接下来我们来看交点式的推导。
二次函数的交点式表示为y = a(x-p)(x-q)，其中p和q分别是函数与x轴交点的横坐标。
我们可以通过将顶点式展开来得到交点式。
首先，将顶点式y = a(x-h)^2 + k展开得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k。
然后，将这个式子进行展开得到y = ax^2 2ahx +ah^2 + k。
接下来，我们可以将这个式子进行因式分解，得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k，再进行因式分解得到y = a(x-h)^2 + (k-ah^2)。
这样，我们就得到了二次函数的交点式表示形式。
总结来说，通过完全平方公式和因式分解，我们可以推导出二次函数的顶点式和交点式表示形式。
这两种形式可以相互转换，方便我们在不同的情况下使用。
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其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为
y=ax +bx+c
2
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴
a+b+c=4
a-b+c=0 9a+3b+c=0
①
② ③
解得： a= -1
b=2 c=3 ∴ 函数的解析式为：y=
-x2+2x+3
巩固练习
1、已知二次函数图像与x轴交点的横坐标为-2和1， 且经过点（0,3），求这个二次函数的表达式。
3、交点式
已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。
y=ax2 (a≠0)
y=ax2+k (a≠0)
y=a(x-h)2 (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0) y=ax 2+bx+c (a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
顶点式
一般式
交点式
条件：若抛物线 y ax 2 bx c
2、已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
课堂小结
一、 求二次函数的解析式的一般步骤：
一设、二列、三解、四还原.
二、二次函数常用的几种解析式的确定 1、一般式
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。
2、顶点式
已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。
2.3确定二次函数表达式（2）
用待定系数法求二次函数的解析式
知识回顾
一、 求二次函数的解析式的一般步骤：
一设、二列、三解、四还原.
二、二次函数常用的几种解析式的确定 1、一般式
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。
2、顶点式
已知抛物线上顶点坐标、对称轴或最值，通常选择顶点式。
新知探究
三、交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）
当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数 y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与 x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为 y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得a， 求出抛物线的解析式。
二次函数关系:
与X轴交于两点（ x1 ,0)( x 2 ,0)
Байду номын сангаас后练习
选择最优解法，求下列二次函数解析式：
1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2)，设抛 物线解析式为__________. 2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，且经过点(1,4) ,设抛物 线解析式为____________. 3、已知二次函数有最大值6，且经过点(2, 3)，(-4,5)，设抛 物线解析式为_________. 4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点(1,3)，(5,6)， 设抛物线解析式为________. 5、已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(1，0)，且经过点 (2,-3),设抛物线解析式为_______.
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
例2、已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0) 三点，求二次函数的表达式。 解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和x2分别是抛物线与x轴 的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的 x1 x 2 对称轴对称，则直线x 就是抛物线的对 2 称轴.
交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）
例1、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0） ,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。