第2讲线路1
1对3数学七年级寒假课程第2讲：因式分解(1)
精锐教育1对3辅导教案学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日时 间 A / B / C / D / E / F 段主 题因式分解教学内容1. 了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系；2. 掌握提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法这四种分解因式的基本方法和技巧；3. 会用这些方法进行多项式的因式分解。
采用师生互动和学生讨论的形式通过思维导图回顾因式分解的四种方法，介绍因式分解的一般方法和技巧。
注意：因式分解要分解到不能分解为止。
练习1． 用适当的方法将下列各式因式分解（1）2882ab c abc ac -+ （2）2144n n n aa a ++++ 22(21)acb - 2(2)n a a +（3）22222()4x y x y+- （4）22()4()()4()x y x y y x x y +-+-+-22()()x y x y -+ 2(3)x y -（5）42243613y y x x +- （6）8722--ab b a(2)(2)(3)(3)x y x y x y x y +-+- (1)(8)ab ab +-（7）2229ab a b --+ （8）y y x x ---2224(3)(3)a b a b +--+ (2)(21)x y x y +--（9）2244362a ab b a b -+-++ （10）222169186x a y a xy -+-++(21)(22)a b a b ---- (341)(341)x y a x y a ++-+-+通过进一步的练习大家讨论一下不同项数应采用哪些方法。
二项式的因式分解：基本上是通过平方差公式来完成，（3）类似于二项式。
三项式的因式分解：A 、首先要看是否有公因式可提，再看能否通过完成平方公式来完成，如（1）（2）题；B 、通过十字相乘来完成，如（5）（6）题。
高三一轮复习2021版 第三章 第2讲 第1课时 导数与函数的单调性
第2讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f (x)在(a，b)内是常数函数[提醒](1)利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；(2)对函数划分单调区间时，需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点；(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么单调区间之间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接；(4)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．() 答案：(1)×(2)√(3)√函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数解析：选D.因为f′(x)＝－sin x－1<0.所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)＞0时，－1＜x＜2；②f′(x)＜0时，x＜－1或x＞2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是()解析：选 C.根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.(教材习题改编)函数f(x)＝e x－x的单调递增区间是________．解析：因为f(x)＝e x－x，所以f′(x)＝e x－1，由f′(x)>0，得e x－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.答案：3利用导数判断或证明函数的单调性讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．【解】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋a－1x.①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝1－a2a，则当x∈(0,1－a2a)时，f′(x)<0；当x∈( 1－a2a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1－a2a)上单调递减，在(1－a2a，＋∞)上单调递增．(2019·温州模拟)设函数f (x )＝x ln(ax )(a ＞0)．设F (x )＝12f (1)x 2＋f ′(x )，讨论函数F (x )的单调性．解：f ′(x )＝ln(ax )＋1，所以F (x )＝12(ln a )x 2＋ln(ax )＋1，函数F (x )的定义域为(0，＋∞)，F ′(x )＝(ln a )x ＋1x ＝（ln a ）x 2＋1x.①当ln a ≥0，即a ≥1时，恒有F ′(x )＞0，函数F (x )在(0，＋∞)上是增函数； ②当ln a ＜0，即0＜a ＜1时，令F ′(x )＞0，得(ln a )x 2＋1＞0，解得0＜x ＜ －1ln a ； 令F ′(x )＜0，得(ln a )x 2＋1＜0，解得x ＞ －1ln a. 所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1ln a 上为增函数， 在⎝⎛⎭⎫－1ln a ，＋∞上为减函数．求函数的单调区间(1)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．【解】 (1)选B.y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝（x －1）（x ＋1）x (x >0)．令y ′<0，得0<x <1， 所以单调递减区间为(0，1)．(2)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，Δ＝4－4a ＝4(1－a )．①当1－a ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立， f (x )在R 上单调递增．②当1－a >0，即a <1时，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝－2－4（1－a ）2＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，令f ′(x )>0，解得x <－1－1－a 或x >－1＋1－a ；令f ′(x )<0，解得－1－1－a <x <－1＋1－a ， 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．综上所述：当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增； 当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．1．已知函数f (x )＝exx －m .则函数y ＝f (x )在x ∈(m ，＋∞)上的单调递减区间为________，单调递增区间为________．解析：f ′(x )＝e x （x －m ）－e x （x －m ）2＝e x （x －m －1）（x －m ）2，当x ∈(m ，m ＋1)时，f ′(x )＜0， 当x ∈(m ＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(m ，m ＋1)上单调递减，在(m ＋1，＋∞)上单调递增． 答案：(m ，m ＋1) (m ＋1，＋∞)2．设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，求函数f (x )的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx，当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． 当m ＞0时，f ′(x )＝（x ＋m ）（x －m ）x，当0＜x ＜m 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ＞m 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．综上：当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．利用导数研究函数单调性的应用(高频考点)利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现．主要命题角度有：(1)函数y ＝f (x )与y ＝f ′(x )图象的相互判定； (2)已知函数单调性求参数的取值范围； (3)比较大小或解不等式．角度一 函数y ＝f (x )与y ＝f ′(x )图象的相互判定 (1)(2017·高考浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )(2)设函数y ＝f (x )的图象如图，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )【解析】 (1)原函数先减再增，再减再增，且x ＝0位于增区间内，故选D. (2)由y ＝f (x )图象可知，当x ∈(－∞，x 1)时，y ＝f (x )单调递增，所以f ′(x )>0. 当x ∈(x 1，x 2)时，y ＝f (x )单调递减，所以f ′(x )<0. 当x ∈(x 2，＋∞)时，y ＝f (x )单调递增，所以f ′(x )>0. 所以y ＝f ′(x )的图象在四个选项中只有D 符合． 【答案】 (1)D (2)D角度二 已知函数单调性求参数的取值范围(1)(2019·浙江省高中学科基础测试)若函数f (x )＝2x ＋ax(a ∈R )在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0，4]C ．(－∞，2]D ．(－∞，4] (2)函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递减，则k 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得f ′(x )＝2－ax 2≥0在[1，＋∞)上恒成立，则a ≤(2x 2)min ＝2，所以a ≤2，故选C.(2)因为函数f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x ，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k －1x≤0在区间(1，＋∞)上恒成立，故k ≤1x 在区间(1，＋∞)上恒成立，因为在区间(1，＋∞)上0＜1x ＜1，故k ≤0.【答案】 (1)C (2)(－∞，0] 角度三 比较大小或解不等式(2019·宁波市效实中学月考)定义在R 上的函数f (x )的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫1e (e 为自然对数的底数)、b ＝f (2)、c ＝f (log 28)，则a 、b 、c 的大小关系为________(用“＜”连接)．【解析】 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，得f ′(x )＞0，所以函数在(－∞，1)上单调递增，又f (x )＝f (2－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )图象上的点距离直线x ＝1越近函数值越大，又log 28＝3，所以log 28＞2－1e ＞2＞1，得f (2)＞f ⎝⎛⎭⎫1e ＞f (log 28)，故c ＜a ＜b .【答案】 c ＜a ＜b(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立列出不等式．②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．(2)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．[提醒] (1)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(2)注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．解析：设g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，所以当x ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (2)＝f （2）2＝0，所以f (x )＞0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故填(－2，0)∪(2，＋∞)．答案：(－2，0)∪(2，＋∞)利用导数研究函数单调性的方法(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解，并注意函数f (x )的定义域．(2)含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．(3)已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．利用导数研究函数的单调性应注意4点 (1)求单调区间应遵循定义域优先的原则．(2)注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别．(3)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (4)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零．[基础达标]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞) 解析：选D.由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D. 2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：选A.在(0，2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0恒成立，所以f (x )在(0，2π)上单调递增． 3．(2019·台州市高三期末质量评估)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2＋x (a ∈R )，下列选项中不可能是函数f (x )图象的是( )解析：选D.因f ′(x )＝ax 2＋ax ＋1，故当a ＜0时，判别式Δ＝a 2－4a ＞0，其图象是答案C 中的那种情形；当a ＞0时，判别式Δ＝a 2－4a ＞0，其图象是答案B 中的那种情形；判别式Δ＝a 2－4a ≤0，其图象是答案A 中的那种情形；当a ＝0，即y ＝x 也是答案A 中的那种情形，应选答案D.4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 解析：选A.因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )．所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以此时函数是增函数．所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3.所以f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. 5．函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 解析：选B.由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2. 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B.6．(2019·温州七校联考)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －3)f ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (6)≤2f (3)B ．f (0)＋f (6)＜2f (3)C ．f (0)＋f (6)≥2f (3)D ．f (0)＋f (6)＞2f (3)解析：选A.由题意知，当x ≥3时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )在[3，＋∞)上单调递减或为常数函数；当x ＜3时，f ′(x )≥0，所以函数f (x )在(－∞，3)上单调递增或为常数函数，所以f (0)≤f (3)，f (6)≤f (3)，所以f (0)＋f (6)≤2f (3)，故选A.7．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________．解析：因为f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(x )＝e x (x －2)，令f ′(x )＞0，得x ＞2，所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)8．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，则当a ＜0时，f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝a ＋1x ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a x，所以当x ≥－1a时f ′(x )≤0，当0＜x ＜－1a 时f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－1a ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞ 9．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)10．(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f (x )＝x 2e x ，若f (x )在[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f ′(x )＝e x (x 2＋2x )，所以f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，又因为f (x )在[t ，t ＋1]上不单调，所以⎩⎪⎨⎪⎧t <－2t ＋1>－2或⎩⎨⎧t <0t ＋1>0，即实数t的取值范围是(－3，－2)∪(－1，0)．答案：(－3，－2)∪(－1，0)11．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)．12．(1)设函数f (x )＝x e 2－x ＋e x ，求f (x )的单调区间．(2)设f (x )＝e x (ln x －a )(e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)，若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)由题意可得f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x －a ≤0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立． 因为e x >0，所以只需ln x ＋1x －a ≤0，即a ≥ln x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x. 因为g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，由g ′(x )＝0，得x ＝1. x ⎝⎛⎭⎫1e ，1 (1，e) g ′(x )－ ＋ g (x )g ⎝⎛⎭⎫1e ＝ln 1e ＋e ＝e －1，g (e)＝1＋1e ，因为e －1>1＋1e，所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1. 故a ≥e －1.[能力提升]1．(2019·丽水模拟)已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．则下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C.由条件可知当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＜0，函数递减．当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，函数递增，所以当x ＝1时，函数取得极小值．当x ＜－1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，函数递增，当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＜0，函数递减，所以当x ＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C 项．2．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知定义在R 上的偶函数f (x )，其导函数f ′(x )．当x ≥0时，恒有x 2f ′(x )＋f (－x )≤0，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )＜g (1－2x )的解集为( ) A ．(13，1) B ．(－∞，13)∪(1，＋∞)C ．(13，＋∞) D ．(－∞，13) 解析：选A.因为定义在R 上的偶函数f (x )，所以f (－x )＝f (x )因为x≥0时，恒有x2f′(x)＋f(－x)≤0，所以x2f′(x)＋2xf(x)≤0，因为g(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)≤0，所以g(x)在[0，＋∞)上为减函数，因为f(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上为增函数，因为g(x)＜g(1－2x)所以|x|＞|1－2x|，即(x－1)(3x－1)＜0＜x＜1，选A.解得133.已知定义在R上的函数f(x)满足f(－3)＝f(5)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜1的解集是________．解析：依题意得，当x>0时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数．又f(－3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)<1的解集是(－3，5)．答案：(－3，5)4．(2019·绍兴、诸暨高考模拟)已知函数f(x)＝x3－3x，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程是________；函数f(x)在区间[0，2]内的值域是________．解析：函数f(x)＝x3－3x，切点坐标(0，0)，导数为y′＝3x2－3，切线的斜率为－3，所以切线方程为y＝－3x；3x2－3＝0，可得x＝±1，x∈(－1，1)，y′＜0，函数是减函数，x∈(1，＋∞)，y′＞0函数是增函数，f (0)＝0，f (1)＝－2，f (2)＝8－6＝2，函数f (x )在区间[0，2]内的值域是[－2，2]．答案：y ＝－3x [－2，2]5．已知函数g (x )＝13x 3－12ax 2＋2x . (1)若g (x )在(－2，－1)内为减函数，求实数a 的取值范围；(2)若g (x )在区间(－2，－1)内不单调，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为g ′(x )＝x 2－ax ＋2，且g (x )在(－2，－1)内为减函数，所以g ′(x )≤0，即x 2－ax ＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′（－2）≤0，g ′（－1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋2≤0，1＋a ＋2≤0，解之得a ≤－3， 即实数a 的取值范围为(－∞，－3]．(2)因为g (x )在(－2，－1)内不单调，g ′(x )＝x 2－ax ＋2，所以g ′(－2)·g ′(－1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧－2<a 2<－1，Δ>0，g ′（－2）>0，g ′（－1）>0.由g ′(－2)·g ′(－1)<0，得(6＋2a )·(3＋a )<0，无解．由⎩⎪⎨⎪⎧－2<a 2<－1，Δ>0，g ′（－2）>0，g ′（－1）>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <－2，a 2－8>0，6＋2a >0，3＋a >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <－2，a >22或a <－22，a >－3，解之得－3<a <－22，即实数a 的取值范围为(－3，－22)．6．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 此时f ′(x )＝2（x ＋1）2， 可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2. 当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．①当a ＝－12时，Δ＝0， f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0， f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a <0时，Δ>0， 设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a， x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .由于x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a >0，所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－12<a <0时， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增．。
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算和应用一(学生版)
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算及应用一[玩前必备]1．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．特别地，当a ，b ，c 不共面时，可知x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0． 2．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e 1，e 2，e 3}中，e 1，e 2，e 3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则称有序实数组(x ，y ，z )为向量p 的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．其中x ，y ，z 都称为p 的坐标分量． 思考1：若a ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则a 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？【名师提醒】 不一定，当e 1，e 2，e 3是单位正交基底时，坐标是(x ，y ，z )，否则不是． 3．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a ，b 满足a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则有以下结论： (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)若u ，v 是两个实数，u a ＋v b ＝(ux 1＋vx 2，uy 1＋vy 2，uz 1＋vz 2)； (3)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2；(4)|a |＝a ·a(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22．4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a ∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．5.直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0【玩转典例】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ） A ．AB AC AD ，， B ．11AB AA AB ，， C ．11111 D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等2．（2020·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A ．{,,}a b b a a +- B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +- D ．{,,}a b c a b c +++考点二 基本定理的运用【例2】（2020·绵竹市南轩中学高二月考）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【玩转跟踪】1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60，M 是PC 的中点， 设,,AB a AD b AP c ===． （1）试用,,a b c 表示出向量BM ； （2）求BM 的长．2．（2020·陕西新城。
2024届高考地理第一轮复习第2单元 第2讲 课时1世界地理分区和主要国家
A．②
B．③
C．④
D．⑤
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第二单元 世界地理
【解析】 由图中信息可知：①国为缅甸，位于东南亚；②国为日本，位于 东亚；③国为伊朗，位于西亚；④国为印度，位于南亚；⑤国为越南，位于东南 亚。其中印度人口最多，超过 10 亿；缅甸、印度、越南与我国接壤。
【答案】 (1)C (2)D (3)C
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2．亚洲的面积与分区
第二单元 世界地理
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第二单元 世界地理
(1)面积：4 400 万平方千米，是世界第一大洲。 (2)地区划分：按地理方位，分为 A__东__亚____、B 东南亚、C___南__亚___、D 西 亚、E__中__亚____、F 北亚 6 个地区。
工具为狗拉雪橇
叶林分布广
住高脚屋
气候炎热多雨，潮湿
住帐篷、身着宽大袍子
气候炎热，大多过游牧生活
住房墙厚、窗小
热带沙漠气候，气候炎热，墙厚、 窗小可减少热风、热量进入室内
捕鱼为生，船为交通工具
降水丰沛，河网密布
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第二单元 世界地理
2．亚洲的人口增长对资源、环境的影响 亚洲人口众多，增长速度快，每年新增人口占世界人口的比重很大，对资源 和环境造成沉重的压力。以人口与粮食问题为例，分析如图所示：
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1．亚洲地形、气候、河流之间的关系
第二单元 世界地理
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第二单元 世界地理
【特别提醒】 (1)图解亚洲主要地形区(高原、山地)
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第一章-第2讲-实数的运算与大小比较上课讲义
考点即时练
3．（2013重庆）在3，0，6，－2这四个பைடு நூலகம்中，最大的数为（ ）
A．0
B．6
C．－2
D．3
答案： B
例3．（2013毕节）估计 11 的值在（ ）之间．
考点即时练
5. （2013雅安） 计算： 8 + 2 – 4sin45°－ ( 1 )－1．
3
【答案】原式＝2 2 +2－4 × 2 －3＝2 2 +2 －2 2 －3＝－1．
2
6. （2013•嘉兴）（1）计算：|﹣4|﹣ 9 +（﹣2）0；
【答案】原式=4﹣3+1=2；
考点3：规律探索
例5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形 数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任 何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式 中，符合这一规律的是( )
【答案】D
例2．下列各数比 -3小的数是（ ） A．0 B．1 C．-4 D．-1
思路分析:首先判断出1＞-3，0＞-3，求出每个数的绝对值，根据两负数比 较大小，其绝对值大的反而小，求出即可。
答案:根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于一 切负数， ∴1＞-3，0＞-3， ∵|-3|=3，|-1|=1，|-4|=4， ∴比-3小的数是负数，是-4． 故选C．
【答案】2
【考点精例】
考点1：实数大小比较．
例1．[2013菏泽]如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，其中
专题二 第2讲 第1课时 等差数列、等比数列
[A 组 小题提速练]1．(等差数列求和及性质)在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．36解析：∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30， 得a 5＋a 6＝305＝6，又a n >0， ∴a 5·a 6≤⎝⎛⎭⎪⎫a 5＋a 622＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9. 答案：C2．(等差数列求和及不等式)设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞0的最大的自然数n 是( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：∵{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，∴{a n }的通项为a n ＝7－2(n －2)＝－2n ＋11，∴{a n }是递减数列，且a 5＞0＞a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝9a 5＞0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝11a 6＜0，故选A. 答案：A3．(等差数列求和)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎨⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B. 答案：B4．(等差数列求和及最值)在等差数列{a n }中，a 6＋a 11＝0，且公差d ＞0，则数列{a n }的前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：由题意知a 6＜0，a 11＞0，且a 1＋5d ＋a 1＋10d ＝0，所以a 1＝－152d .又数列{a n }的前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d2[(n －8)2－64]，所以当n ＝8时，数列{a n }的前n 项和取得最小值．故选C. 答案：C5．(数学文化与等比数列求和)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还．其大意为：有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程都为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人每天走多少里路．则此人第五天走的路程为( ) A ．48里 B ．24里 C ．12里D ．6里解析：依题意知，此人每天走的路程数构成以12为公比的等比数列a 1，a 2，…，a 6，由S6＝a1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a1＝192，所以此人第五天走的路程为a5＝192×124＝12(里)．故选C.答案：C6．(等比数列性质及基本不等式)已知首项与公比相等的等比数列{a n}满足a m a2n＝a2 4(m，n∈N*)，则2m＋1n的最小值为( )A．1 B．3 2C．2 D.9 2解析：设该数列的首项及公比为a，则由题可得a m×a2n＝a4×2，即a m×a2n＝a m＋2n＝a4×2，得m＋2n＝8，所以2m＋1n＝18(m＋2n)·⎝⎛⎭⎪⎫2m＋1n＝182＋2＋4nm＋mn≥182＋2＋24nm×mn＝1，当且仅当4nm＝mn，即m＝4，n＝2时等号成立，故选A.答案：A7．(等比数列前n项和)在等比数列{a n}中，a1＋a n＝34，a2·a n－1＝64，且前n 项和S n＝62，则项数n等于( )A．4 B．5C．6 D．7解析：设等比数列{a n}的公比为q，由a2a n－1＝a1a n＝64，又a1＋a n＝34，解得a1＝2，a n＝32或a1＝32，a n＝2.当a1＝2，a n＝32时，S n＝a11－q n1－q＝a1－a n q1－q＝2－32q1－q＝62，解得q＝2.又a n＝a1q n－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理，当a1＝32，a n＝2时，由S n＝62，解得q＝12.由a n＝a1q n－1＝32×⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＝2，得⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＝116＝⎝⎛⎭⎪⎫124，即n－1＝4，n＝5.综上，项数n等于5，故选B.答案：B8．(等差数列前n 项和性质)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 016的值等于( ) A ．－2 015 B ．2 015 C ．2 016D ．0解析：设数列{a n }的公差为d ，S 12＝12a 1＋12×112d ，S 10＝10a 1＋10×92d ， 所以S 1212＝12a 1＋12×112d 12＝a 1＋112d .S 1010＝a 1＋92d ，所以S 1212－S 1010＝d ＝2， 所以S 2 016＝2 016×a 1＋2 015×2 0162d ＝0.答案：D9．(等比数列前n 项和性质)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则数列{na n }的前n 项和为( ) A ．－3＋(n ＋1)×2n B ．3＋(n ＋1)×2n C ．1＋(n ＋1)×2nD ．1＋(n －1)×2n解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵S 3＝7，S 6＝63，∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝7，a 11－q 61－q ＝63，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，∴a n ＝2n －1，∴na n ＝n ·2n －1，设数列{na n }的前n 项和为T n ，∴T n ＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1,2T n ＝2＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，∴－T n ＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴T n ＝1＋(n －1)×2n ，故选D. 答案：D10．(递推关系、通项及性质)已知数列{a n }满足a 1＝2,2a n a n ＋1＝a 2n ＋1，设b n ＝a n －1a n ＋1，则数列{b n }是( ) A ．常数列 B ．摆动数列 C ．递增数列D ．递减数列解析：由2a n a n ＋1＝a 2n ＋1可得a n ＋1＝a 2n ＋12a n ，b n ＋1＝a n ＋1－1a n ＋1＋1＝a 2n ＋12a n －1a 2n ＋12a n＋1＝a 2n －2a n ＋1a 2n ＋2a n ＋1＝a n －12a n ＋12＝b 2n ，由b n ＞0且b n ≠1，对b n ＋1＝b 2n 两边取以10为底的对数，可得lgb n ＋1＝2lg b n ，所以数列{lg b n }是以lg b 1＝lg 2－12＋1＝lg 13为首项，2为公比的等比数列，所以lg b n ＝2n －1lg 13，b n ＝(13)2n －1，故数列{b n }是递减数列，故选D. 答案：D11．(等比数列、等差数列混合及性质)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1B ．22C ．－22D ．－ 3解析：{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3， ∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan2×7π31－32＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3.答案：D12．(等差数列性质，等比数列通项)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.解析：由3S 1,2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案：3n －113．(S n 与a n 关系及等差数列通项)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ，n ∈N *，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3a 1＝3. 当n ≥2时，∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，即a n ＋1＝4a n ，当n ≥2时，{a n }是以3为首项，4为公比的等比数列，得a n ＝3×4n －2.综上，a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.答案：⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.14．(等差数列通项)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )恒成立．若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f－2－a n(n ∈N *)，则a 2 016的值为________．解析：根据题意，不妨设f (x )＝(12)x，则a 1＝f (0)＝1，∵f (a n ＋1)＝1f－2－a n，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是以1为首项、2为公差的等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 2 016＝4 031. 答案：4 03115．(等差数列及性质、不等式)已知数列{a n }满足a 2＝2a 1＝2，na n ＋2是(2n ＋4)a n ，λ(2n 2＋4n )的等差中项，若{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围为________．解析：因为na n ＋2是(2n ＋4)a n ，λ(2n 2＋4n )的等差中项，所以2na n ＋2＝(2n ＋4)a n ＋λ(2n 2＋4n )，即na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，所以a n ＋2n ＋2－a nn ＝λ.设b n ＝a nn，则b n ＋2－b n ＝λ，因为a 1＝1，a 2＝2，所以b 1＝b 2＝1. 所以当n 为奇数时，b n ＝1＋n －12λ；当n 为偶数时，b n ＝1＋n －22λ.所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋n n －1λ2，n 为奇数，n ＋n n －2λ2，n 为偶数.由数列{a n }为单调递增数列，得a n ＜a n ＋1. ①当n 为奇数且n ＞1时，n ＋n n －1λ2＜n ＋1＋n ＋1n ＋1－2λ2，所以λ＞21－n， 又－1≤21－n＜0，所以λ≥0； ②当n 为偶数时，2n ＋nn －2λ2＜2n ＋1＋n ＋1n ＋1－1λ2，所以λ＞－23n ，又－13≤－23n＜0，所以λ≥0. 综上，实数λ的取值范围为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)[B 组 大题规范练]1．(S n 与a n 的关系，等比数列的证明)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋3，证明数列{b n }为等比数列，并求a n . 解析：(1)因为数列{a n }的前n 项和为S n ， 且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)．所以n ＝1时，由a 1＝S 1＝2a 1－3×1，解得a 1＝3，n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，得a 2＝9， n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)证明：因为S n ＝2a n －3×n ，所以S n ＋1＝2a n ＋1－3×(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3，*把b n ＝a n ＋3及b n ＋1＝a n ＋1＋3，代入*式， 得b n ＋1＝2b n (n ∈N *)，且b 1＝6，所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以b n ＝6×2n －1， 所以a n ＝b n －3＝6×2n －1－3＝3(2n－1)．2．(等差数列定义、等比数列通项及求和)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝3，数列{b n }满足b n ＝3a n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解析：(1)因为a 1＝1，a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列， 所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 故b n ＝3a n ＝33n －2.(2)由(1)知b n ＋1b n ＝33n ＋133n －2＝27，所以数列{b n }是以3为首项，27为公比的等比数列，则数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝a 1＋b 1＋a 2＋b 2＋…＋a n ＋b n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝[1＋4＋…＋(3n －2)]＋(3＋34＋…＋33n －2) ＝32n 2－12n ＋326·27n －326. 3．(a n 与S n 关系、等比数列证明及不等式最值)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＋S n ＝2n .(1)证明：数列{a n －2}为等比数列，并求出a n ； (2)设b n ＝(2－n )(a n －2)，求{b n }的最大项． 解析：(1)证明：由a 1＋S 1＝2a 1＝2，得a 1＝1.由a n ＋S n ＝2n 可得a n ＋1＋S n ＋1＝2(n ＋1)，两式相减得，2a n ＋1－a n ＝2， ∴a n ＋1－2＝12(a n －2)，∴{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为12的等比数列，a n －2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，故a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知b n ＝(2－n )×(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，由b n ＋1－b n ＝n －12n－n －22n －1＝n －1－2n ＋42n＝3－n 2n≥0，得n ≤3，由b n ＋1－b n <0得n >3，∴b 1<b 2<b 3＝b 4>b 5>…>b n >…，故{b n }的最大项为b 3＝b 4＝14.4．(等差、等比数列通项及和的最值)设S n ，T n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知对于任意n ∈N *，都有3a n ＝2S n ＋3，数列{b n }是等差数列，且T 5＝25，b 10＝19.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb nn n ＋1，求数列{c n }的前n 项和R n ，并求R n 的最小值．解析：(1)由3a n ＝2S n ＋3，得 当n ＝1时，有a 1＝3； 当n ≥2时，3a n －1＝2S n －1＋3， 从而3a n －3a n －1＝2a n ，即a n ＝3a n －1， 所以a n ≠0，a na n －1＝3， 所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n . 设数列{b n }的公差为d ，由T 5＝25，b 10＝19， 得⎩⎨⎧5b 1＋10d ＝25，b 1＋9d ＝19，解得b 1＝1，d ＝2， 因此b n ＝2n －1.(2)由(1)可得c n ＝2n －13nn n ＋1＝[3n －n ＋1]3n n n ＋1＝3n ＋1n ＋1－3nn，R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋333＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3nn ＋3n ＋1n ＋1＝3n ＋1n ＋1－3，因为c n ＝2n －13nn n ＋1>0，所以数列{R n }单调递增．所以n ＝1时，R n 取最小值，故最小值为32.。
第2讲-1 铁路和道路交通事故
4/29/2017
1、铁路交通事故定义
铁路机车车辆在运行过程中发生冲突、脱轨、火 灾、爆炸等影响铁路正常行车的事故，包括影响 铁路正常行车的相关作业过程中发生的事故； 或者铁路机车车辆在运行过程中与行人、机动车 、非机动车、牲畜及其他障碍物相撞的事故，均 为铁路交通事故。
凡在行车工作中，因违反规章制度、违反劳动纪律、或 技术设备不良及其它原因，造成人员伤亡、设备损坏， 影响行车及危及行车安全的，均构成行车事故。
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行车中断
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术语说明－线路等级
繁忙干线
京哈（含京秦）、京沪、京广、京九（含广深）、陇 海、浙赣（含沪杭）线。 沈大、京包、丰沙、京通、京承、京原、大秦、石太、 成渝、川黔、贵昆、成昆等。
干线
其他线路
系指繁忙干线、干线以外的线路。
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3.特别重大事故构成条件
（1）车辆条件：包括机动车和非机动车。这是交通事故的前 提条件，即当事方中，至少有一方使用车辆。没有车辆参 与的道路事故，不算交通事故。 （2）道路条件：是指交通事故是在规定的道路上发生的，是 指事故发生的空间。 根据《道路交通管理条例》对“道路”的定义为：即指公 路、城市街道和胡同（里巷），以及公共广场、公共停车 场等供车辆、行人通行的地方。其中供车通行的地方为车 行道，供人通行的地方为人行道。在非道路上行车发生的 事故不属于交通事故。 判断是否在道路上应以事故发生时车辆所在的位臵，而不 是事故发生后的最后停止位臵。
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根据交通事故的责任分类
机动车事故：是指在事故当事方中机动车负主要以上 责任的事故。但在机动车与非机动车或行人发生的事 故中，机动车负同等责任的，也应视为机动车事故， 因为在道路上行驶，机动车相对为强者。 非机动车事故：是指畜力车、三轮车、自行车等非机 动车性能车辆负主要以上责任的事故。在非机动车与 行人发生的事故中，非机动车负同等责任的应视为非 机动车事故，因为在道路上行驶，两者比较非机动车 为强者。 行人事故：是指行人一方负主要以上责任的事故。
轨道基本知识讲座 第2讲 线路平纵断面
纵列式折返站
1) 布置特点：折返线一般设于车站列车到达方向的前端，与站台纵列布 置。
下行
下行
下行
横列式折返站
• 1)布置特点：折返线与站台平行并列布置。
下行
下行
纵横列折返站
• 1)布置特点：兼具纵列式与横列式特点。 • 2)优点：往往同时具有站前和站后两种折返方式，通
过合理增设配线，形成接车、转线、发车的平行进路 ，使两列（或以上）列车在站内能平行完成折返作业 ，缩短列车折返时间，提高折返能力； • 3)缺点：工程量较大。
1）曲线中心角
和曲线交角相等，符号α
切线长
交角 外矢距
中心角
半径
2）曲线半径
符号R ，它决定了轨道转向的程度。
3）切线长
交点至切点的长度称为切线长，记为T。
4）曲线长度
角度制： C=лRα/180 弧度制： 曲线长度=弧度*半径 正矢、弦长、半径之间的关系
f=d²/8R
5）曲线正矢
曲线正矢是量度曲线是否圆顺的重要要素。 曲线轨向的园顺通过正矢值进行检测。
车站用
下行
站房台 3
5
7
Ⅰ
上行
Ⅱ 站台 4
6
6. 地铁车站的线路布局
6.1 侧式站台车站
下行线
下行站台
上行线
上行站台
6.2 岛式站台车站
下行线 上行线
岛式站台
7.折返线布局
始
折
点
返
站
站
折
折
终
返
返
点
站
站
站
（a）沿线车站线路设置示意图 具备折返功能的不一定全部设为折返站
7.1 长交路
第二讲 线路阶段式保护
（2）零序分量的特点
1) 零序电压 : 故障点U0最高,离故障点越远, U0越低；变压器中性点接 地处U0=0 2) 零序电流 分布: 与中性点接地变压器的位置有关 大小: 与线路及中性点接地变压器的零序阻抗及接地数目有关 3) 零序功率 短路点最大(与U0相同). 方向:与正序相反,从线路→母线
A
A Z 1
L1
B Z 2 zd d
L2
C
L3
ZAB+Zd
t1I
I Z zd 1
t 1II
II Z zd 1
I Z zd 2
I t2
t1III
II t2
III t2
L(Z)
III tact II tact
A
M
I tact 0
PD1
N
P
距离保护装置由起动元件、测量元件与逻辑回路三部分 组成。
起动元件
(d)零序电流、零序电压的向量图
（3）零序电流保护
三段式或四段式 1）Ⅰ段:速动段保护 2 ）Ⅱ段 (Ⅱ、Ⅲ段 ) 应能有选择性切除本线路范围的接地故障，其动作时间 应尽量缩短。 3）最末一段：后备 三段式零序电流保护原理与三段式电流保护是相似的。但与三相星形接线 相间短路电流保护 （也可反映d（1））作比较，则有 优点：1） 零序电流保护更灵敏，Ⅰ、Ⅱ受运行方式影响较小，Ⅰ段保护范 围长且稳定，Ⅱ段灵敏性易于满足， Ⅲ段躲不平衡电流，定值低更灵敏且时间较短。
3）二相三接线
对于Y／△-11接线变压器，当在Y/ △变压器的△侧发生两相短路时，滞后相 电流是其它两相电流的两倍并与它们反相位。当在Y/变压器的Y侧发生两相短路 时，超前相电流是其它两相电流的两倍，并与它们反相位。为提高电流保护对Y/ △变压器后两相短路的灵敏度，采取的措施：在两相星行接线的中线上再接入一 个LJ，此种接线方式称为两相三继电器接线方式。
运筹学课件——第2讲 线性规划模型(1)
本章要求： 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 题 2.掌握线性规划的图解法 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容 5.理解有关灵敏度分析内容
+ = x 1 x 3 4 x 12 2x 2 + 4 = s.t. + 3x 1 + 2 x 2 x 5 = 18 x j ≥ 0( j = 1,2,3,4,5)
max Z = 70 x1 + 120 x 2 9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 4 x + 5 x ≤ 200 1 2 s.t . 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
例4：饮料配制计划
大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料，管 大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料， 理层决定下月总产量至少达到350 350升 理层决定下月总产量至少达到350升。甲饮料每 升的制造成本为2 制造时间需2小时， 升的制造成本为2元，制造时间需2小时，乙饮 料每升的制造成本为3 制造时间需1小时， 料每升的制造成本为3元，制造时间需1小时， 下月总生产时间为600小时。此外， 600小时 下月总生产时间为600小时。此外，下月有一位 客户已预定甲饮料125升。试为管理层制定满足 客户已预定甲饮料125升 125 客户要求且制作成本最小的生产计划。 客户要求且制作成本最小的生产计划。 线性规划模型？ 线性规划模型？
显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 最优化问题（ 最优化问题（Constrained Optimization）。 ） 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 常用的方法，其涉及的主要概念包括： 常用的方法，其涉及的主要概念包括： ◆目标（Objective）:所要达到的最优结果（最 所要达到的最优结果（ 目标（ ） 所要达到的最优结果 大或最小）； 大或最小）； ◆约束条件（Constraints）:对所能产生结果的 约束条件（ ） 对所能产生结果的 限制。 限制。
上海奥数精讲 第2讲 计数问题(一) (教师)
内容概1、计算一类对象所含个体的数目叫做计数问题。
2、解决计数问题的一般方法是：先分类，然后逐类分步；综合运用加法原理和乘法原理来求解。
分步时，要注意各步之间的衔接。
4、注意做到不重复、不遗漏。
教具准备1、课件:1）PPT；2）“引入”部分、和“例4”falsh 动画。
教学难点熟练的运用好加法、乘法两大原理，综合分析，正确作出分类和分步.教学重点掌握解决计数问题的一般方法和步骤。
教学目标1、综合运用乘法原理和加法原理解决计数问题；2、培养学生灵活性和严谨性，提高分析能力，掌握解决计数问题的一般方法和步骤。
3、提高学生数学学习的兴趣。
引入教学目标：激发学生对计数问题产生浓厚的学习兴趣。
1、 师生共同审题；理解题意。
幻方，亦称纵横图。
将自然数1,2,3,……n*n 排列成一个n*n 方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之各都等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
n 是它的阶数，n/2*(n*n+1)为幻方的幻和。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
环节一：引入环节二：教学目标：熟悉加乘原理的区别，并能灵活运用。
例1例2环节三：教学目标：熟悉数论中的加乘原理应用，加强学生分析问题和运用加乘原理解决问题的能力。
例31、学生自己读题，分析题目。
2、分组讨论，找出分类方法。
例41、师生共同读题，了解题目内容。
环节四：教学目标：了解加乘原理应用，锻炼知识掌握的灵活性。
例5例6环节五：例71、师生共同读题，理解题意。
例81、师生共同读题，了解题意。
教学目标：使学生进一步加深对计数问题中加乘原理的理解。
、全课你学到了什么？环节六：趣味性体现之处板书设计巩固目标：熟练加乘原理应用【练习1】如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？方法总结体现之处课1、较为成功之处：1）2）3）2）这是因为，在游戏中，你的身心得到充分放松，学习将变得非常有效率。
第一部分专题一第2讲
考向二 等压线的判读与应用 2．(2011·江苏地理)下图是某区域某时地面天气简图。读图
回答(1)～(2)题。
(1)图中 M 地的风向是
A．东北
B．东南
C．西北
D．西南
(2)产生图示区域降水的天气系统是
A．气旋
B．反气旋
C．暖锋
D．冷锋
() ()
解 析 第 (1) 题 ， 从 图 中 所 示 经 纬 度 可 以 看 出 ， 图 中 (50°N,100°E)附近的高压中心位于亚欧大陆。M 点位于北 半球高压中心的东部，根据水平气压梯度力由高压指向低 压，加上摩擦力、地转偏向力(向右偏)的影响，风向为西 北风。第(2)题，在高纬度吹来的西北风的影响下，形成冷 锋，产生了图示区域的降水。 答案 (1)C (2)D
波罗的海
低值区 成低压中心
由 高 压 指 从沿海向内 从 近 岸 向 远
向北递
向 低 压 陆地区，一 洋、从赤道向
减为北
数值变
处 ， 垂 直 般降水逐渐 副热带海区、
半球，
化趋势
于 等 压 减少；赤道 从高纬度海区
向南递
及应用
线 ， 产 生 地区和温带 向 副 热 带 海
减为南
水 平 气 压 地区降水较 区，盐度均变
月份相反 半球冬季，南半球夏季
预测演练 3．读下图，回答(1)～(2)题。
(1)假设该图为等高线地形图，L 为河流，则图中箭头正确表示
河流集水方向的是
()
A．①
B．②
C．③
D．④
(2)假设图中曲线为等高线，L 为河流，且图中等高距为 200 m，
则图中 a 和 b 的数值可能是
地理一轮复习教师用书：1 第1章 第2讲 地图 含解析
［最新考纲]1。
海拔(绝对高度)和相对高度。
2。
等高线地形图的判读、应用及相关计算。
［思维导图］3.地形剖面图的绘制、判读及应用。
［考纲解读］1.掌握等高线地形图、地形剖面图的分析与判读,能绘制地形剖面图.2.掌握等值线图的基本特征及判读方法。
考点一等高线地形图的判读与计算1．绝对高度和相对高度（1）海拔（绝对高度）：某地高出海平面的垂直距离，如图中甲点海拔为1_500米，乙点海拔为500米.(2）相对高度：一个地点高出另一个地点的垂直距离,如图中甲点和乙点的相对高度是1_000米。
2．读等高线地形图（单位：米),填写下列内容.（1）写出下列字母代表的地形部位名称和等高线特征。
A．山顶，等高线闭合,中间高，四周低。
B．山谷，等高线向高处弯曲。
C．山脊，等高线向低处弯曲。
D．陡崖，海拔不同的等高线重合.E．鞍部，两侧均为闭合等高线,山谷的最高处,山脊的最低处。
F．盆地（洼地），等高线闭合，四周高，中间低。
（2)比较甲、乙两处坡度大小，并说明理由.答案甲处坡度小，原因是等高线稀疏;乙处坡度大，原因是等高线密集.(3）图示区域地形以山地为主，地势大致北高南低。
（4）A点海拔H是900＜H＜1_000米,A、B的相对高度Δh为500＜Δh＜700米。
(5)D 处陡崖顶部的海拔H为500≤H＜600米，陡崖的相对高度Δh 为200≤Δh＜400米。
提示等高线的特征：同线等高；同图等距；密陡疏缓；凸低为脊；凸高为谷；重叠为崖。
(一)等高线地形图的判读1．闭合等高线的判读当闭合曲线位于两条等高线之间时，若闭合曲线数值与其中的高值相等，则曲线内的数值高于这个高值且不超过一个等高距；若闭合曲线数值与其中的低值相等，则曲线内的数值低于这个低值且不超过一个等高距；即“大于大值，小于小值"。
例如，下图中(数值单位：米)200〈A〈300、100〈B<200.2．坡度大小的判断(1)同一等高线图上坡度的大小在同一等高线图上，等高线分布越密集，坡度越陡；等高线分布越稀疏,坡度越缓。
2020版地理新导学大一轮讲义：① 第一章 地球与地图 第2讲
第2讲等高线地形图［考纲呈现]1。
海拔（绝对高度）和相对高度。
2.等高线地形图的判读、应用及相关计算.[思维导图] 3。
地形剖面图的绘制、判读及应用.［考纲解读］1。
掌握等高线地形图、地形剖面图的分析与判读，能绘制地形剖面图.（重点）2.掌握等值线图的基本特征及判读方法.考点一等高线地形图的判读与计算1．海拔（绝对高度）和相对高度(1）海拔（绝对高度）:某地高出海平面的垂直距离,如图中甲点海拔为1 500米，乙点海拔为500米.（2）相对高度:一个地点高出另一个地点的垂直距离，如图中甲点和乙点的相对高度是1 000米。
2．等高线的特征：同线等高；同图等距；密陡疏缓；凸低为脊；凸高为谷；重叠为崖。
3．不同地形类型的等高线特征类型主要特征平原海拔一般在200米以下,等高线稀疏，地势平坦山地海拔一般在500米以上，相对高度大；等高线密集，地势起伏大。
山脉处等高线多呈带状延伸丘陵海拔一般在500米以下,相对高度较小，地势起伏和缓高原海拔多在500米以上，顶部等高线稀疏,地势起伏小;边缘等高线密集，地势陡峭盆地周高中低,内部地势起伏较小，边缘地势陡峭峡谷两侧高，中部低，等高线密集，地势陡峭；峡谷两侧等高线呈对称分布4．读“等高线地形图”（单位：米）,写出下列字母代表的地形部位名称和等高线特征。
A．山顶，等高线闭合,中间高,四周低.B．山谷，等高线向高处弯曲。
C．山脊，等高线向低处弯曲。
D．陡崖，不同的等高线重合。
E．鞍部，两侧均为闭合等高线，山谷的最高处,山脊的最低处。
F．洼地,等高线闭合，四周高,中间低。
地理实践力比较甲、乙两处坡度大小，并说明理由。
答案甲处坡度小，原因是等高线较稀疏；乙处坡度大，原因是等高线较密集.5．坡的类型(1)均匀坡错误!(2)凸坡：等高线上疏下密,如甲、乙图所示。
（3)凹坡：等高线上密下疏,如丙、丁图所示。
6．等高线地形图中的相关计算（1）两点间的相对高度ΔH＝H－H低高(n－1）d＜ΔH＜(n＋1）d注：n为两点间等高线的条数，d为等高距。
2017年---数学-第一部分-第一章-第2讲-第1课时-整式[配套课件]
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几何点数
名称及图形
三角形数 正方形数 五边形数 六边形数
第一层几何点数
1
1
1
1
第二层几何点数
2
3
4
5
第三层几何点数
3
5
7
9
…
…
…
…
…
第六层几何点数
…
…
…
…
…
…
…
…
…
第 n 层几何点数
第14页，共25页。
解：∵前三层三角形的几何点数分别是 1,2,3，
∴第六层的几何点数是 6，第 n 层的几何点数是 n； ∵前三层正方形的几何点数分别是 1＝2×1－1,3＝2×2－ 1,5＝2×3－1， ∴第六层的几何点数是 2×6－1＝11，第 n 层的几何点数 是 2n－1； ∵前三层五边形的几何点数分别是 1＝3×1－2,4＝3×2－ 2,7＝3×3－2， ∴第六层的几何点数是 3×6－2＝16，第 n 层的几何点数 是 3n－2；
A.21 答案：B
B.24
图 1-2-2 C.27
第17页，共25页。
D.30
11.(2016 年黑龙江)观察下表：
序号
1
2
3
…
x x xx
x xx
yy y
xx
yy
x x xx
图形
y
x xx
yy y
…
xx
yy
x x xx
x xx
yy y
x x xx
第18页，共25页。
我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”.
除法
单项式÷单项式
(1)系数相除；(2)同底数幂相除；(3)只在被除式里出 现的字母照抄
第2讲 2-1、2、3自由度、几何组成分析规则
Structural Mechanics Mechanics
E
B C
C
3．规则III：在刚片上 ．规则 ： 增加或减少一个二元体 仍为几何不变体系。 仍为几何不变体系。 4．应用： 可以用来组成更为一般的体系，分析几何 ．应用： 可以用来组成更为一般的体系， 组成规则时可以先将二元体拆除。 组成规则时可以先将二元体拆除。
Structural Structural Mechanics
§2-1 几何组成分析基本概念
二、体系的分类： 体系的分类：
静定结构： 无多余约束的几何不变体系 满足组成 几何 静定结构： 规则， 不变 规则，能 超静定结构： 有多余约束的几何不变体系 作为结构 1、 体系 超静定结构： 、 体 常变体系： 常变体系： 机构 系 不满足组成规 可变体系 则，不能维持 瞬变体系：在某瞬时可以产生 瞬变体系： 平衡， 平衡，或内力 微小运动的体系 无穷大， 无穷大，不能 作为结构
E
Structural Structural Mechanics
D C A B
W = 2 j −b
得：W=2×解 ： 此体系属于铰结体 系，j=8，b=16。 代入 ， 。
W = 2 j −b
得：W=2×8-16=0 ×
§2-2 平面杆件的计算自由度
A B D F G
§2-3 几何组成组成规则
5．三刚片规则的本质： （三角形规则） ．三刚片规则的本质： 三角形规则） 三根杆件用三个铰连接而成的铰接三角形是几何 不变体系。 这种三角形往往是以“ 的形式出现， 不变体系 。 这种三角形往往是以 “ 虚 ” 的形式出现 ， 因为有虚铰。 因为有虚铰。 A 例1：试用三条组成规 ： 则，说明三条组成规则 C B 是相通的。 是相通的。
【典题精讲】第2讲 位置和方向(二)(思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练) 讲义 六年级上册
第2讲位置和方向（二）（思维导图+学问梳理+典型精讲+易错专练）一、思维导图二、学问点梳理学问点一：用方向和距离确定物体的位置1、确定物体的位置时，要先找观测点，再用方向和距离两个要素来确定，两个要素缺一不行。
2、先确定（中心或观测点），然后确定（方向），再以图例选定的单位长度为基准来确定（距离）；最终在具体位置标出（名称）。
学问点二：描述路线图1、描述路线时的要素：起点在哪，终点在哪，沿着什么方向，移动多少距离。
2、描述路线时，除起点和终点外的点，既是上一段的终点，又是下一段的起点。
三、典型精讲考点一：确定物体的位置【典型一】以学校为观测点，乐乐家在北偏西30°方向，笑笑家在南偏东30°方向，乐乐家、学校、笑笑家的位置在同一条直线上。
√（推断对错）【分析】依据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，分别画出乐乐家和笑笑家的大体位置，推断即可。
【解答】解：如图：以学校为观测点，乐乐家在北偏西30°方向，笑笑家在南偏东30°方向，乐乐家、学校、笑笑家的位置在同一条直线上。
原题说法正确。
故答案为：√。
【典型二】如图是第一学校四周区域的平面图．先量一量，再填一填．（1）图书馆在第一学校偏°方向米处．（2）电影院在第一学校偏°方向米处．【分析】（1）依据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以第一学校的位置为观测点即即可确定图书馆的大致方向，再用量角器量出所偏的度数；用刻度尺量出两地的图上距离，再依据图中所标注的线段比例尺即可求出两地的实际距离．（2）同理，以第一学校的位置为观测点即即可确定电影院的大致方向，再用量角器量出所偏的度数；用刻度尺量出两地的图上距离，再依据图中所标注的线段比例尺即可求出两地的实际距离．【解答】（1）量得图书馆在第一学校东偏北45°方向，两地的图上距离是2.5厘米2.5×500＝1250（米）答：图书馆在第一学校东偏北45°方向1250米处．（2）量得电影院在第一学校西偏南30°方向，两地的图上距离是4厘米500×4＝2000（米）答：电影院在第一学校西偏南30°方向2000米处．故答案为：东，北，45，1250；西，南，30，2000．考点二：描述路线图【典型一】小企鹅迷路了，你能告知它回家的路吗？它应当向偏的方向走，再向走，就可以到家了．【分析】依据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以小企鹅现在的位置为观测点，向西偏北的方向走30米，再向正西方向走50米即可以吃到萝卜．【解答】它应当向东偏北10°的方向走500m，再向正北走80m，就可以到家了．故答案为：东，北10°，500m，正北，80m．【典型二】依据路线图信息，请写出小兔去小熊家所走的路线。
铁道概论--第二讲 铁路线 路
三、路基和桥隧建筑物 2、桥隧建筑物——桥梁
桥面:桥跨上铺设轨道的部分；
桥跨结构:桥梁承受荷载、跨越障碍的部分；
墩台:支撑桥梁结构的部分，包括桥墩和桥台；
基础:墩台底部为基础。
两个相邻墩台之间的空间叫桥孔。每个桥孔在 设计水位处的距离叫做孔径。从桥跨结构底部 到设计水位的高度以及相邻两墩台之间的界限 空间，叫做桥下净空。每一桥两端支座间的距 离，叫跨度
我国跨度最大的公铁两用桥——芜湖长江桥
芜湖长江大桥位于长江下游安徽省芜湖市，全 长10616米，是目前中国最长的公铁两用桥。 跨江主桥长2193米，公路在上层，铁路在下 层。 大桥主跨312米，是我国迄今为止公铁两用桥 中跨度最大的桥梁
三、路基和桥隧建筑物 2、桥隧建筑物——涵洞
涵洞设在路堤下部填土中，是用以通过水流的 建筑物
三、路基和桥隧建筑物 1.路基
路基是铺设轨道的基础，直接承受轨道和列车 的荷载，并将荷载传递给地基。
路基是由路基本体、排水设备、防护加固设备 组成。
三、路基和桥隧建筑物 1.路基
路基常见的两种基本 形式：路堤和路堑
路堤：铺设轨道的路 基面高于天然地面时， 路基以填筑方式构成
路堑：铺设轨道的路 基面低于天然地面时， 路基以开挖方式构成
二、铁路线路的平面及纵断面 7.线路标志——曲线标
设在线路某条曲线的中点处，标明该曲线的长 度、半径大小、缓和曲线长度、超高、加宽等 数据
二、铁路线路的平面及纵断面 7.线路标志——圆曲线和缓和曲线始终点标
设在直线进入缓和曲线、缓和曲线进入圆曲线、 圆曲线进入缓和曲线、缓和曲线进入直线的连 接之处。标明所向方向或为直线、或为缓和曲 线、或为圆曲线。
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2019/9/10
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陕铁院铁道工程系 2
高速铁路技术
二、最小曲线半径
重要性： 1、限制列车最高速度的重要因素之一。 2、影响工程费和运营费。 3、影响运输模式、速度目标值、乘坐舒适度和列车平稳度。 实例:京沪高速铁路 运营模式：本线和跨线列车共线的客运专线模式。 最小曲线半径： 1、设计最高速度Vmax，实设超高和欠超高之和的允许值
3、速度目标值：
设计速度350Km/h，初期运营速度300Km/h，跨线列车速度 200KM/h
最小曲线半径各个(350,300,200)速度的要求
4、实设超高、欠超高、过超高的允许值
• 实设超高允许值h：取决于列车在曲线上停车的安全、稳定
和乘坐舒适度。
当h=200mm,站立不稳、行走困难、头晕。
所以，一般各国除了个别地段外，h=180
欠超高允许值hq：取决于旅客乘坐舒适度，同时考虑可能带来 的较大的线路养护维修工作量。
Hq=40mm,舒适度良好Hq=80mm舒适度一般 Hq=110mm舒适
度较差
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陕铁院铁道工程系 7
高速铁路技术
实例:京沪高速铁路
5、共线的过超高允许值hg:国内没有实测资料。 根据国外的资料，过超高和欠超高对乘坐舒适度的影响是同等的。
所以，在京沪高铁中，跨线和本线的过超高和欠超高设计为 相等
6、列车共线运行时，过超高和欠超高的允许值[hq+hg]
h
11.8 v2G R
hq
11.8 v2G R
[hq ]
h
11.8 v2K R
hq
11.8
v
2 K
R
[hq ]
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陕铁院铁道工程系 8
高速铁路技术
10
陕铁院铁道工程系 10
高速铁路技术
h 和本线和跨线列车对数、质量、速度有关，结合京沪高速 各区段客运量、对数等资料计算 h
30mm h 50mm
实例1：德国客货混运高速铁路 Vmax=250km/h V货=120km/h 曲线半径为7000m的欠超高和过超高之和为89mm。 曲线半径为5100m的欠超高和过超高之和为121mm。 实例2:日本新干线 线路中间部分的欠超高和过超高之和为110-130mm。 实例3:京沪高速铁路 一般情况下：欠超高和过超高之和=110mm 困难情况下：欠超高和过超高之和=140mm
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陕铁院铁道工程系 11
高速铁路技术
7、单一高速列车运行时，实设欠超高和过超高之和的允许值[hq+hg] 存在如下关系：
[h hq ] [h] [hq ] h
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陕铁院铁道工程系 12
h+hq 2、最高运行速度Vg,跨线列车正常运行速度Vk,欠超高和过
超高之和的允许值hq+hg
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陕铁院铁道工程系 3
高速铁路技术
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陕铁院铁道工程系 4
高速铁路技术
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陕铁院铁道工程系 5
高速铁路技术
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陕铁院铁道工程系 6
高速铁路技术 实例:京沪高速铁路
减距离加长，振动叠加的可能性增大，乘坐舒适性易 受到影响。所以基础标准相应要提高，包括：最小曲 线半径、缓和曲线、外轨超高等线路平面标准，坡度 值、竖曲线等纵断面标准；以及列车风对线路的特定 要求等。 在其线路的平断面、纵断面设计中要重视线路的平顺性、 采用较大的平面曲线半径，足够长度的缓和曲线，较 长的纵断面坡段长度和较大的竖曲线半径，以提高乘 坐的舒适性。
高速铁路技术
复习上一讲内容
重点：高速铁路的基本概况，高速铁路的基本概念。 难点：高速铁路主要技术经济优势。
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陕铁院铁道工程系 1
高速铁路技术
第二讲：高速铁路线路 一、影响高铁安全舒适性的因素
1、基础设施：线路 2、机车 3、运营方式 在高速情况下，列车的横向加速度增大，各种振动的衰
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陕铁院铁道工程系 9
高速铁路技术
从图中可见，满足上两公式的点A所对应的曲线半径Rjx、hjx是惟一的。
而现场的实设超高是由通过曲线的各次列车速度及其质量所决定的，和 hjx往往大相径庭。存在着下列差值：
h
hjx
v2jh vK2
([hq ][hg ])
式中：hjx理论计算的曲线超高，hjh现场设置的曲线超高
vjx理论计算的曲线均衡速度，vjh曲线上实际运行的均方根速度
所以在实际列车运行时，有可能欠超高或过超高超出允许值，所以在确
定Rmin时，对于欠、过超高的允许值应留有余量 h
[hq hg] [hq] [hg] h
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