2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷
上海市华二附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
华二附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数arcsin y x =（1[]2x ∈-）的值域是 2. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为n a =3. ()cos f x x x =+的值域是4. “1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的 条件 （填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则30S =6. △ABC 三条边的长度是a 、b 、c ，面积是2224a b c +-，则C = 7. 已知数列{}n a ，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 8. 等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，1720n n m a a a +++⋅⋅⋅+=（,n m *∈N ，n m <）， 则n m +=9. 在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+=++ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++，1,2,3n =⋅⋅⋅，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=二. 选择题11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A. B. C. D.12. 已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为413. 将函数sin(2)5y x π=+向右平移10π个单位长度，那么新函数（ ） A. 在53[,]42ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在35[,]44ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 14. 已知函数215cos()36k y x ππ+=-（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[,3]a a + 上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A. 2或3 B. 4或3 C. 5或6 D. 8或7三. 解答题15. 在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-. （1）求A ；（2）求AC 边上的高.16. 已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++⋅⋅⋅++（n *∈N ，,0a b >）.（1）当a b =时，求数列{}n u 的前n 项和n S （用a 和n 表示）；（2）求1lim n n n u u →∞-.17. 已知方程arctanarctan(2)2x x a +-=. （1）若4a π=，求arccos 2x 的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：3cos(3)4cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得cos()(cos )n nx f x =对所有实数 x 均成立，其中1111()2n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时， 0n a =，当n 为偶数时，2(1)n n a =-；（3）利用（2）的结论判断cos7m π（16m ≤≤，m *∈N ）是否为有理数？参考答案一. 填空题 1. [,]36ππ-- 2. 3122n n n =⎧⎨≥⎩ 3. [2,2]- 4. 必要非充分 5. 60 6. 4π 7. 1 8. 9 9. 2201710. lg3二. 选择题11. D 12. B 13. C 14. A三. 解答题15.（1）3A π=；（2）2.16.（1）12(1)12(1)01(1)1n n n n n a S a a naa a a a++⎧=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且；（2）1lim n n n aa b u ba b u →∞-≥⎧=⎨<⎩. 17.（1）0或23π；（2）33[arctan ]22+；（3）19.18.（1）证明略；（2）证明略；（3）不是有理数.。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷 (2)
2019-2020 学年上海市高一（上）期末数学试卷题号 得分一 二 三 总分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 下列选项中，表示的是同一函数的是( )A. B. D. ( ) = , ( ) = − 1)2( ) = 2, ( ) = ( 2 √2≥ 0C. = {, = | |( ) = √, ( ) = √ ( ) < 0√2. 设非零实数 ，则“ ≥ 2”是“ ≥ 3”成立的( )2A. C.B. D. 充分不必要条件 充要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件3. 函数的图象可能是( )B.D.C. 4. 若函数 的定义域是[−1,4]，则 = − 1)的定义域是( )B. C. D.[−3,7]A. 5]2[−1,4] [−5,5][0, 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数= √的定义域是________．6. 集合 = {1,2，3}， = ∈ ，则用列举法表示 为________． 2B 7. 若 ， ∈，且= 0，则的最小值为___________．x −8. 已知函数 =__________． = 2lg(的图象经过点(2,2 2)，则 = + > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 2)，则 +9. 若+),则log的值为__________√210. 若幂函数=________________．√11. 已知集合 = |围是__________． 1 = 0, ∈ ，若集合 是有限集，则实数 的取值范2A a 12. 函数=，< 2) 的反函数是______ ．2 13. 若奇函数______ ． 在(∞, 0)内是减函数，且= 0，则不等式 ⋅> 0的解集为√ √ ≥ 0< 014. 设函数 = {，若 = 2，则实数 =______． ++ > 0，若函数 = ≤ 0 15. 已知函数= { + 有且只有一个零点，则实2 2 +数 的取值范围是________． a 16. 若曲线 = |21|与直线 = 有两个公共点，则 的取值范围是____.b 三、解答题（本大题共 5 小题，共 38.0 分） 17. 已知集合 =1 ⩽ 2⩽ 32}，集合 = < 2 或 > 2}．2(1)求 ∩ ； (2)若 = { | ≤1}，且 ⊆ ，求实数 的取值范围．a 1+ 1， ≤ 0；(2)若 > 0，解关于 的不等式18. 已知 =+ 2(1)当 = 2时，解不等式≥ 0．x19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为x单位：万元)，当年产量小于80万件时，=1+；当年产量不小于231000−1450.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂80万件时，=+当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润万元)关于年产量万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数=是定义在上的奇函数，当>0时，=2−，其中∈R(1)求函数=(2)若函数=(3)当=0时，若的解析式；在区间(0,+∞)不单调，求出实数的取值范围；a∈(−1,1)，不等式−+−2>0成立，求实2数的取值范围．k21.若函数=log−有零点，求实数a的取值范围．32答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合条件分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，属于基础题．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：的定义域是R，的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；+1≥0−1>0≥−1 >1C.由{，得{，即>1，由⩾0得>1或≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.由已知有故选D．=，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．2.【答案】B【解析】只有当同号时，“2+2≥”才是“+≥3”成立的充要条件.而由+≥3可知同号，故+≥2．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的性质与函数图象的识别，属于中档题．根据函数值的符号即可选择出正确选项．【解答】解：当>0时，+1>1，+1|>0，故>0，即可排除A，B两项；当−2<<−1时，>0，即可排除D选项．4.【答案】A【解析】∵函数的定义域是[−1,4]，∴函数=−1)的定义域满足−1≤−1≤4，∴0≤≤5，2∴=−1)的定义域是[0,5]．25.【答案】(−∞,1)∪(1,4]【解析】【分析】本题主要考查定义域问题，分母和偶次下的取值问题．【解答】4−≥0解：由题意得{，−1≠0解得≤4且≠1．故答案为(−∞,1)∪(1,4]．6.【答案】{3,6，11}【解析】【分析】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【解答】解：={1,2，3}，=2+∈．∴={3,6,11}故答案为{3,6，11}.7.【答案】18【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．由题意，可得2+8=1，利用基本不等式即可求出+的最小值．∵ ， ∈ ，且 = 0，− ∴ =，8= 1， = (∴ 2 ∴) · (28) =10 ≥ 2√ · 10 = 18，= 当且仅当 所以，即 = = 12时等号成立，的最小值为 18，故答案为 18． 8.【答案】3【解析】 【分析】本题考查指数函数的性质，关键是掌握该种题型的求解方法，是基础题． 由题知 恒过定点(2,1)，∴= 2， = 1，= 3．【解答】解：由指数函数 = 的图象过定点(0,1)，所以，函数 即 = 2,1= > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2,1 = 3．，= 2，故故答案为：3． 9.【答案】4【解析】 【分析】 由= 2lg( −)，先求出 的值，然后再求的值．本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 【解答】 解：∵ = 2lg( − )，∴ = ( − )2， > 0, > 0, − > 0，∴ ( ) − 5( ) 4 = 0， 解得 = 1(舍去)或 = 4，∴ l og= log 4 = 4 ∴−= 0，2 2 2 ．√2√2故答案为4．10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．用待定系数法求出幂函数=的解析式，再计算的值．【解答】解：设幂函数==，∈，且图象过点(2,22)，√∴2=2√2，3解得=，23 2；∴∴=3．=9=272故答案为27．11.【答案】≥−1【解析】当=0时，=−1，满足；当≠0时，由=4+得，≥−1.综上，实数的取值范围是≥−1．12.【答案】=−√>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数=2，<−2)，则>4．可得=−，√所以函数的反函数为：=−√>4)．故答案为：=−√>4)．13.【答案】(−2,0) ∪ (0,2)【解析】解：奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则 且在(0, +∞)内是减函数． == 0，> 0> 0 =< 0< 0 =不等式 ⋅ > 0 > 0等价为 或 ，< 0，即有或 < 2 > −2 即有0 < < 2或−2 < < 0． 则解集为(−2,0) ∪ (0,2)． 故答案为：(−2,0) ∪ (0,2) 奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则在(0, +∞)内是减函数．且 == 0，> 0< 0不等式 ⋅> 0等价为 或 ，运用单调性去掉 ，f> 0 =< 0 =解出它们，再求并集即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论 的范围，属于中档题．x 14.【答案】±1【解析】解：由分段函数可知 ∴由= 2得= 2 − 1 = 1．若 < 0，则√ = 1，解得 = −1．= 1，+若 ≥ 0，则√ = 1，解得 = 1， ∴ = ±1， 故答案为：±1．根据分段函数的表达式，解方程即可． 本题主要考查分段函数的应用，注意 自变量的取值范围．【解析】【分析】本题考查了函数的性质，图象的运用，利用函数的交点问题解决函数零点问题，属于中档题．化简构造得出= +>0与=≤02有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．2+【解答】解+>0，若=≤0：∵函数=2+有且只有一个零点，2++>0与=≤0∴=2有且只有一个交点，2+根据图形得出：>1，∴<−1故答案为<−1．16.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出图像可得解．【解答】解：曲线=−1|与直线=如图所示．由图像可得，的取值范围是(0,1)．b故答案为(0,1)．17.【答案】解：(1)∵=∴∩=(2,5]；−1≤≤5}，=<−2或>2}，(2)∵⊆，且=≤−1}，∴−1≥5，解得≥6，∴实数的取值范围为[6,+∞)．a【解析】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．(1)可以求出=−1≤≤5}，然后进行交集的运算即可；(2)根据⊆即可得出−1≥5，解出的范围即可．a18.【答案】解：12= 2时，不等式化为− − 2) ≤ 0，∴ 1 ≤ ≤ 2，21 2≤≤ 2}；∴不等式的解集为 (2)由题意得 =−− )，1 11}；当0 << 1时， < ，不等式解集为≤ 或 ≥ 1 当 = 1时， = ，不等式解集为 ； R 1 1 }.≥ 或 ≤当 > 1时， > ，不等式解集为【解析】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．= 2时，不等式化为− 1− 2) ≤ 0，即可解不等式≤ 0，2(2)若 > 0，分类讨论解关于 的不等式≥ 0．x 19.【答案】【解答】解：(1)①当0 < < 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=− 1−− 250 = − 1+2− 250；2 33 ②当 ≥ 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=−− 10000 + 1450 − 250 = 1200 −+ 10000)．− 1 + − 250(0 < < 80)2 综合①②可得，= { 3 ； 1200 − + 10000≥ 80) − 250(0 < < 80) − 1 + 2 (2)由(1)可知，= { 3 , 1200 − + 10000≥ 80)①当0 < < 80时，= − 2 +1− 250 = − 13− 60)2 + 950，3∴当 = 60时， ②当 ≥ 80时，取得最大值 = 950万元； = 1200 −+ 10000) ≤ 1200 −⋅ 10000 = 1200 − 200 = 1000， = 1000万元．当且仅当 = 10000，即 = 100时， 综合①②，由于950 < 1000，取得最大值∴当产量为 100 万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．【解析】【试题解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+10000 −1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．。
2019-2020学年上海华二附中高一上学期数学期末试卷
华二附中高一期末数学试卷2020.01一. 填空题1. 若实数a b >，则下列说法正确的是（1）a c b c +>+ （2）ac bc < （3）11a b< （4）22a b > 2. 函数()(0)f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是3. 函数22711()(1)m m f x m m x ++=--是幂函数，则m =4. 若a 、b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值5. 不等式|1||2|13x x -++<的解集为6. “若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是7.已知函数()f x =[1,9]x ∈，2()()()g x f x f x =⋅的反函数是1()g x -，则 1()g x -的定义域为8. 函数243()6x x f x x ++=-的值域为 9. 已知a 、b 为非零实数，且3126a b ab ==，则a b +的值为10. 已知函数1321()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()ln(2)1x g x a x x =+++（a ∈R ），若对 任意的12,{|,2}x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是二. 选择题11. 幂函数()y f x =经过点，则()f x 是（ ）A. 偶函数，且在(0,)+∞上是增函数B. 偶函数，且在(0,)+∞上是减函数C. 奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D. 非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数12. 若函数6(3)37()7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9(,3)4 B. 9[,3)4 C. (2,3) D. (1,3)13. 定义在R 上的函数()f x 有反函数1()f x -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则11(2020)(2018)f x f x ---+-的值为（ ）A. 0B. 2C. 2-D. 不能确定14. 已知函数()f x 的定义域为{0,1,2}，值域为{0,1}，则满足条件的函数()f x 的个数为（ ）A. 1个B. 6个C. 8个D. 无数个三. 解答题15. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）求(0)f 及((1))f f 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数根，求实数m 的取值范围.16. 某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数0()()C x A f x C B x A x A <≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元， 当使用327m 时，缴费14元，当使用335m 时，缴费19元.（1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？17. 已知函数121()log ()1ax f x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求实数k 的取值范围.18. 已知函数2||()2x x P f x x x x M ∈⎧=⎨-+∈⎩，其中P 、M 是非空数集且P M =∅，设(){|(),}f P y y f x x P ==∈，(){|(),}f M y y f x x M ==∈.（1）若(,0)P ∈-∞，[0,4]M =，求()()f P f M ； （2）是否存在实数3a >-，使得[3,]P M a =-，且()()[3,23]f P f M a =--？ 若存在，求出所有满足条件的a ，若不存在，说明理由；（3）若PM =R 且0M ∈，1P ∈，()f x 单调递增，求集合P 、M .参考答案一. 填空题1.（1）2. 0b =3. 2或1-4. 945. (7,6)-6. 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠7.8. (,16[67,)-∞-+∞9. 2 10. 3(,]4-∞-二. 选择题11. D 12. B 13. A 14. B三. 解答题15.（1）(0)0f =，((1))1f f =-；（2）(1,0)-.16.（1）11A =，58B =，4C =；（2）1154元. 17.（1）1-；（2）[1,)-+∞；（3）[1,1]-.18.（1）[8,)-+∞；（2）3；（3）(0,)[1,)P t =+∞，(,0][,1)M t -∞，其中01t << 或(0,][1,)P t =+∞，(,0](,1)M t -∞，其中01t <<或[1,)P =+∞，(,1]M -∞或(0,)P =+∞，(,0]M -∞.。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b22．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．18．（14分）已知函数f（x）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a＞b，则下列说法正确的是（1）．（1）a+c＞b+c；（2）ac＜bc；（3）＜；（4）a2＞b2【分析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：由可加性知，（1）正确；当c≥0时，（2）显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，（3）显然无意义；取a＝1，b＝﹣2可知，（4）不正确．故答案为：（1）．【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．2．（4分）函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．【分析】函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，即可得出．【解答】解：函数f（x）＝kx+b（k≠0）⇔f（0）＝0，∴b＝0．∴函数f（x）＝kx+b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0．故答案为：b＝0．【点评】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，则m＝2或﹣1．【分析】函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，利用幂函数的定义得m2﹣m ﹣1＝1，由此能求出m的值．【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1．故答案为：2或﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值．【分析】先利用基本不等式可得，再将（a+1）（b+1）展开即可得到答案．【解答】解：∵a+b＝1，a＞0，b＞0，∴，即，当且仅当a＝b时取等号，∴，即（a+1）（b+1）的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．5．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|＜13的解集为（﹣7，6）．【分析】分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式即可．【解答】解：当x≤﹣2时，原不等式等价于1﹣x﹣x﹣2＜13，解得x＞﹣7，此时满足﹣7＜x≤﹣2；当﹣2＜x＜1时，原不等式等价于1﹣x+x+2＜13，即3＜13恒成立；当x≥1时，原不等式等价于x﹣1+x+2＜13，解得x＜6，此时满足1≤x＜6；综上，不等式的解集为（﹣7，6）．故答案为：（﹣7，6）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．6．（4分）“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题是若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【分析】本题根据“若p，则q”的逆否命题的形式是：“若￢q，则￢p”，可以解答．【解答】解：若p，则q的逆否命题的形式是：若￢q，则￢p．因此命题“若x+y＝1，则x＝1且y＝0”的逆否命题为“若x≠1或y≠0，则x+y≠1”．故答案为：若x≠1或y≠0，则x+y≠1．【点评】本题考查了逆否命题的概念，四种命题的关系．7．（4分）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为[2，2]．【分析】函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，根据单调性可得其值域．于是g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域．【解答】解：函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）＝•＝，由，解得1≤x≤3．∴g（x）∈[2，2]，则g﹣1（x）的定义域为原函数g（x）的值域，∴g﹣1（x）的定义域为∈[2，2]，故答案为：[2，2]，【点评】本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）函数f（x）＝的值域为．【分析】分离常数后，利用双勾函数的性质即可得解．【解答】解：，由双勾函数性质可知，．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求解，属于基础题．9．（4分）已知a，b为非零实数，且3a＝12b＝6ab，则a+b的值为2．【分析】设3a＝12b＝6ab＝k，把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解．【解答】解：设3a＝12b＝6ab＝k，∴a＝log3k，b＝log12k，ab＝log6k，∴＝2log k6，又∵，∴，∴，∴a+b＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，是中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝，g（x）＝aln（x+2）+（a∈R），若对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．【分析】可求得，，根据题意f（x）max≤g （x）min（x＞﹣2），由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．【解答】解：对函数f（x），当x≤1时，；当x＞1时，，∴f（x）在（﹣2，+∞）上的最大值；对函数g（x），函数g（x）若有最小值，则a＝0，即，当x∈（﹣2，0）∪（0，+∞）时，，易知函数；又对任意的x1，x2∈{x|x∈R，x＞﹣2}，均有f（x1）≤g（x2），∴f（x）max≤g（x）min（x＞﹣2），即，∴，∴，即实数k的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数y＝f（x）经过点（3，），则f（x）是（）A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数，且在（0，+∞）是减函数D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数【分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．【解答】解：设幂函数的解析式为：y＝xα，将（3，）代入解析式得：3α＝，解得α＝，∴y＝，故选：D．【点评】本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．12．（4分）若函数f（x）＝单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，3）B．[，3）C．（1，3）D．（2，3）【分析】利用函数的单调性，判断指数函数的对称轴，以及一次函数的单调性列出不等式求解即可【解答】解：∵函数f（x）＝单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3﹣a＞0且a＞1．但应当注意两段函数在衔接点x＝7处的函数值大小的比较，即（3﹣a）×7﹣3≤a，可以解得a≥，综上，实数a的取值范围是[，3）．故选：B．【点评】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（4分）定义在R上的函数f（x）有反函数f﹣1（x），若有f（x）+f（﹣x）＝2恒成立，则f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值为（）A．0B．2C．﹣2D．不能确定【分析】分析：由f（x）+f（﹣x）＝2，得f（t）+f（﹣t）＝2，注意（2020﹣x）与（x ﹣2018）的和等于2，若（x﹣2018）与（2020﹣x）一个是t，则另一个是﹣t，再应用反函数的定义解出t和﹣t即得．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）＝2，∴f（t）+f（﹣t）＝2，令2020﹣x＝m，x﹣2018＝n，∴m+n＝2，∴可令f（t）＝m，f（﹣t）＝n，由反函数的定义知，∴t＝f﹣1（m），﹣t＝f﹣1（n）∴f1（m）+f1（n）＝0，即：f﹣1（2020﹣x）+f﹣1（x﹣2018）的值是0，故选：A．【点评】本题考查反函数，体现换元的数学思想，属于中档题．14．（4分）已知函数f（x）的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数f（x）的个数为（）A．1个B．6个C．8个D．无数个【分析】由函数定义直接写出即可得解．【解答】解：当0对应0时，可以有①（1，0），（2，1）；②（1，1），（2，0）；③（1，1），（2，1）；共三种对应方式；当0对应1时，可以有①（1，0），（2，0）；②（1，1），（2，0）；③（1，0），（2，1）；共三种对应方式；故满足条件的函数f（x）共有6个．故选：B．【点评】本题考查函数定义的理解，属于基础题．三、解答题15．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f（f（1））的值；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，作出函数f（x）的图象，由数形结合法分析即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，而y＝f（x）的图象如图：分析可得﹣1＜m＜0；故m的取值范围是（﹣1，0）．【点评】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x与水费f（x）之间满足函数f（x）＝当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14元；当使用35m3时，缴费19元．（1）求实数A、B、C的值；（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？【分析】（1）由题意知C的值，再把（27，14），（35，19）代入f（x）中求出B和A的值；（2）写出f（x）的解析式，计算f（29）的值即可．【解答】解：（1）由题意得：C＝4，将（27，14），（35，19）代入f（x）＝4+B（x﹣A），得：，解得A＝11，B＝；所以A＝11，B＝，C＝4．（2）由（1）知，f（x）＝；当x＝29时，f（29）＝4+×（29﹣11）＝＝15.25；所以该居民使用29m3水时，应该缴水费15.25元．【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17．（12分）已知函数f（x）＝的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）＝（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．【分析】（1）函数f（x）＝的图象关于原点对称，可得f（x）+f（﹣x）＝0，整理得+＝0恒成立，即可得出答案（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m恒成立，求出x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）的最大值，即可解出m的取值范围（3）由于f（x）＝在[2，3]上是增函数，g（x）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案【解答】解：（1）函数f（x ）＝的图象关于原点对称，∴f（x）+f（﹣x）＝0，即+＝0，∴（）＝0，∴＝1恒成立，即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，又a＝1时，f（x ）＝无意义，故a＝﹣1；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）+（x﹣1）＜m 恒成立，即+（x﹣1）＜m，∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，由于y ＝（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是m≥﹣1；（3）f（x ）＝在[2，3]上是增函数，g（x ）＝（x+k）在[2，3]上是减函数，∴只需要即可保证关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x ）＝（x+k）在[2，3]上有解．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题第11页（共13页）18．（14分）已知函数f（x ）＝其中P，M是非空数集，且P∩M＝∅，设f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（I）若P＝（﹣∞，0），M＝[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M＝[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）＝[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M＝R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．【分析】（I）利用y＝|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住线索﹣3∈P∪M，逐层深入，先判断﹣3∈P，得a 的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（﹣∞，0）⊆M，（1，+∞）⊆P，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P，M【解答】解：（I）∵P＝（﹣∞，0），∴f（P）＝{y|y＝|x|，x∈（﹣∞，0）}＝（0，+∞），∵M＝[0，4]，∴f（M）＝{y|y＝﹣x2+2x，x∈[0，4]}＝[﹣8，1]．∴f（P）∪f（M）＝[﹣8，+∞）（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）＝﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求∴﹣3∈P，从而f（﹣3）＝3∵f（﹣3）＝3∈[﹣3，2a﹣3]∴2a﹣3≥3，得a≥3若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x∵P∩M＝∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0＝2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾∴a＝3此时可取P＝[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M＝[﹣1，0），满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）＝0，∴x∈M∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）＝﹣+2x0＞x0，于是[x0，﹣+2x0]⊆M记x1＝﹣+2x0∈（0，1），x2＝﹣+2x1，…第12页（共13页）∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…由x n+1＝﹣+2x n，得1﹣x n+1＝1+﹣2x n＝（1﹣x n）2；∴1﹣x n＝（1﹣x n﹣1）2＝（1﹣x n﹣2）22＝…＝（1﹣x0）2n对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数n x，则x∈[xn x，xn x+1]⊆M∴[x0，1）⊆M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P＝（0，t）∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P＝（0，t]∪[1，+∞），M＝（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1或者P＝[1，+∞），M＝（﹣∞，1]或者P＝（0，+∞），M＝（﹣∞，0]【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题解决问题的能力第13页（共13页）。
华师大二附中高一期末(2019.01)好题详解(1)(1)
华二附中高一期末数学试卷好题2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为二.选择题12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（）A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数三.解答题17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷好题详解2019.01一.填空题8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ；【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5xx x x x t t y k k k t k ky t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点，法一：由图，知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ；法二：)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =无最小正周期；②错误；如()(0)f x C x ==为偶函数，但是其有反函数；③正确；④正确，不连续就行；如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分），则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、，个数为2个，且交点不在y x =上，如图；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x <时，2()()()f x f x x x x =--=-=-，()f x x x =⇒函数单调递增；22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒；二.选择题12.函数x xxxe e y e e --+=-的图像大致为（）A.B. C. D.【答案】B ；【解析】由计算器Table 数表，得当0>x 时，2)(>x f ，且单调递减，故选B ；13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）【答案】D ；A【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种：（1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了，则{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选D ；14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三.解答题17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）[]2,6；（2）228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）不存在m n 、满足题意.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减；得6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x的单调递增区间是⎤⎦；（3）0n ≥，2710t -≤.【解析】（1）1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x的单调递增区间是⎤⎦.（3）由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=，]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩，()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ，12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦，∴0n ≥，2710t -≤.华二附中高一期末数学试卷2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -= 3.已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α=4.2020是第象限角5.已知函数()y f x =与1()y f x -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =6.若关于x 的方程|1|2xa a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是7.屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为元（保留整数）8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为11.“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点12.函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为（）A. B. C. D.13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数15.已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.16.判断并证明函数2121()log 121x x xf x x++=+--的奇偶性.17.已知函数()9233x xf x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.华二附中高一期末数学试卷答案2019.01一.填空题1.函数lg(1)x y x+=的定义域是【答案】(1,0)(0,)-+∞ ；【解析】10(1,0)(0,)0x x x +>⎧⇒∈-+∞⎨≠⎩；2.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2)f -=【答案】0；【解析】令0x =代入(2)()f x f x +=-，得(2)(0)0f f -=-=； 3.已知5cos 5α=，02πα-<<，则tan α=【答案】2-；【解析】同角三角关系，注意tan 0α<即可；4.2020是第象限角【答案】三；【解析】20203212 1.31ππ⨯+ ，位于第三象限；5.已知函数()y f x =与1()y fx -=互为反函数，若函数1()x af x x a--=+（x a ≠-，x ∈R ）的图像过点(2,3)，则(4)f =【答案】53；【解析】12(2)312a f a a --==⇒=-+，11()1x f x x -+=-，利用原函数与反函数关系得(4)f 的值为方程1()4f x -=的解，解得53x =；6.若关于x 的方程|1|2x a a -=（0a >，1a ≠）有两个不相等实数根，则实数a 的取值范围是【答案】102a <<；【解析】|1|2x a a -=，等价于|1|2x y a y a =-=，两函数有两个交点，分01,1a a <<>两种情况讨论，分别画图，都得12(0,1)(0,)2a a ∈⇒∈；7.屠老师从2013年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2018年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为元（保留整数）【答案】53877；【解析】12510000(1 2.5%)(1 2.5%)(1 2.5%)53877⎡⎤⨯++++++⎣⎦ ；8.已知函数1()424(5)x x f x k k k +=⋅-⋅-+在区间[0,2]上存在零点，则实数k 的取值范围是【答案】(,4][5,)-∞-+∞ ；【解析】[]121,4222020424(5)04224[1,4]24(1)5x x x x x t t y k k k t k k y t t t +=∈⎧=⎪⋅-⋅-+=⇒-⋅-=−−−→∈⎨⎪=--=--⎩令有交点，法一：由图，知20111[5,4][,0)(0,](,4][5,)45k k k ∈-⇒∈-⇒∈-∞-+∞ ；法二：)(x f 在]2,0[上单调递增⇒≤⇒0)2()0(f f (,4][5,)k ∈-∞-+∞ 9.下列命题正确的序号为①周期函数都有最小正周期；②偶函数一定不存在反函数；③“()f x 是单调函数”是“()f x 存在反函数”的充分不必要条件；④若原函数与反函数的图像有偶数个交点，则可能都不在直线y x =上；【答案】③④；【解析】①错误；如：()f x C =无最小正周期；②错误；如()(0)f x C x ==为偶函数，但是其有反函数；③正确；④正确，不连续就行；如3[0,1]()2[2,3]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩（图像为黑色部分），则13[2,3]()2[0,1]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈⎩⇒交点为)21,25()25,21(、，个数为2个，且交点不在y x =上，如图；10.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为【答案】a 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x <时，2()()()f x f x x x x =--=-=-，()f x x x =⇒函数单调递增；22max ()2()2))(1)(1)f x a f x x f x a a x a x ⎡⎤+===⇒+⇒⇔⎣⎦≥≥≥≥max1)a x ⎡⎤⇒⎣⎦≥1)(2)1)2a a =+=+a ⇒；二.选择题11.“我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉.睡醒我又拿起刀，我再横刀向天笑…”这首由一位不知名的诗人创作的打油诗中，蕴含着我们平时生活中经常出现的一些周而复始、循环往复的现象，它与我们本学期所学的哪个数学知识最为有关（）A.函数的奇偶性B.函数的单调性C.函数的周期性D.二分法求函数零点【答案】C ；12.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（）A.B. C. D.【答案】B ；【解析】由计算器Table 数表，得当0>x 时，2)(>x f ，且单调递减，故选B ；13.已知()|1||2||2018||1||2||2018|f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且集合2{|(2)(1)}M a f a a f a =--=+，则集合{()|}N f a a M =∈的元素个数有（）A.无数个B.3个C.4个D.2个【变式】则a 的值有（）【答案】D ；A【解析】()f x 为偶函数，且[1,1]x ∈-时()f x 为常值函数；那么情况有三种：（1）221a a a --=+31a ⇒=-或；（2）22(1)11a a a a --=-+⇒=-或；（3）2121111a a a ⎧---⎨-+⎩≤≤≤≤，不用解了，则{(1),(3)}N f f =，一共2个元素，故答案选D ；14.下列命题中正确的命题是（）A.若存在12,[,]x x a b ∈，当12x x <时，有12()()f x f x <，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数B.若存在[,]i x a b ∈（1i n ≤≤，2n ≥，*,i n ∈N ），当123n x x x x <<<< 时，有123()()()()n f x f x f x f x <<<< ，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数C.函数()y f x =的定义域为[0,)+∞，若对任意的0x >，都有()(0)f x f <，则函数()y f x =在[0,)+∞上一定是减函数D.若对任意12,[,]x x a b ∈，当12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则说函数()y f x =在区间[,]a b 上是增函数【答案】D ；【解析】A 错，选项描述为存在性，而单调性定义要求任意性；B 选项同A 错误；C 选项与单调性无关，错；D 选项正确；三.解答题15.已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】15,2()2r rad α==【解析】230l r +=≥90022582rl =≤，当且仅当2l r =时等号成立，得152()2lr rad rα=⇒==.16.判断并证明函数2121()log 121x xxf x x++=+--的奇偶性.【答案】见解析.【解析】定义域满足：10(1,0)(0,1)1120x x x x +⎧>⎪⇒∈--⎨⎪-≠⎩，定义域关于原点对称；222121211211()log log log ()121211121x x x x x x x x xf x f x x x x--+-+++--=+=+=-----+---+故()f x 为奇函数.17.已知函数()9233x x f x a =-⋅+.（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）[]2,6；（2）228219331()3331263a a h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪=⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）不存在m n 、满足题意.【解析】（1）1a =，()9233x x f x =-⋅+，令3[1,3]x t =∈，则22()()23(1)2,[1,3]f x g t t t t t ==-+=-+∈，则：[]()2,6g t ∈；（2）[1,1]x ∈-，令13[,3]3x t =∈，则2221()()23()3,[,3]3f xg t t a t t a a t ==-⋅+=-+-∈，讨论对称轴t a =与定义域位置关系，得2min28219331()()3331263a a f x h a a a aa ⎧-⎪⎪⎪==⎨-<<⎪⎪-⎪⎩≤≥；（3）()126,3h a a a =-≥，函数单调递减，那么[,]a m n ∈时，22221266()126m n n m n m n m ⎧-=⎪−−−−→-=-⎨-=⎪⎩两式相减；得6m n +=，而3n m >>，则6m n +>，故矛盾，则不存在m n 、满足题意.18.（本题选自2011年奉贤一模23题理）设()mh x x x=+，1[,5]4x ∈，其中m 是不等于零的常数.（1）写出(4)h x 的定义域；（2）求()h x 的单调递增区间；（3）已知函数()f x （[,]x a b ∈），定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），2()max{()|}f x f t a t x =≤≤（[,]x a b ∈），其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值.例如：()f x x =，[0,1]x ∈，则1()0f x =，[0,1]x ∈，2()f x x =，[0,1]x ∈，当1m =时，设()(4)|()(4)|()22h x h x h x h x M x +-=+，不等式12()()t M x M x n -≤≤恒成立，求t 、n 的取值范围.【答案】（1）15,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦；（3）0n ≥，2710t -≤.【解析】（1）1154,5,4164x x ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ ；（2）①0m <时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②1016m <≤时，()h x 的单调递增区间是1,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③12516m <≤时，()h x 的单调递增区间是,5m ⎤⎦.（3）由题知()()()2314113443444x h x h x x x x x x x x --=+--=-+=，]45,41[]45,161[]5,41[=∈ x ∴()()4h x h x >，11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()()4h x h x =，12x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；()()4h x h x <，15,24x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()()()()()()(),44,4h x h x h x M x h x h x h x ⎧⎪⇒=⎨<⎪⎩≥111,,421154,,424x x x x x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎪⎣⎦⎩，()1111,,42515,,224x x x M x x ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⇒=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，()2171,,144154,1,44⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩x M x x x x ，12117711[,0],,444271,425127754[,],1,241044x x x M M x x x x ⎧⎡⎤+-∈-∈⎪⎢⎣⎦⎪⎪⎡⎤⇒-=-∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤--∈--∈⎪⎢⎣⎦⎩()()1227,010M x M x ⎡⎤⇒-∈-⎢⎥⎣⎦，∴0n ≥，2710t -≤.。
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海市高一（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=1−x2D. y=x23.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=ln(3−2x)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x2，(x<−2)的反函数是______ ．7.设实数a满足log2a=4.则log a2=______ ．8.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m=______ ．9.函数y=log2[(x−2)2+1]的单调递增区间是________10.方程：log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)的解为______ ．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12. 已知a >0且a ≠1，设函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1，则实数a 的取值范围为____________．13. 设f(x)的反函数为f −1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f −1(2x +1)=1，则x =__________．14. 已知函数f(x)=2|x |+x 2在区间[−2,m]上的值域是[1,8]，则实数m 的取值范围是__________．15. 若关于x 的方程ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)有实根，实数m 的取值范围是______ ．16. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f (x )=4x 2+4x， (1)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(2)化简f (t )+f (1−t )，并求值：f (110)+f (210)+f (310)+⋯+f (910)；(3)若关于x 的方程k ⋅f (x )=2x 在(−1,0]上有解，求k 的取值范围．18. 设集合A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}，B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}，求A ∩B ．19.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．20.求下列函数的定义域(1)．f(x)=log3(x−5)(2)f(x)=√x+2+11−x21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b,(a≠0,b>1)在区间[2,3]上的最大值为4，最．小值为1，设函数f(x)=g(x)x(1)求a,b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)−2x−k≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，基础题．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2<1解得−1<x<1⇒x<1，但x<1不能推出−1<x<1，所以“x2<1”是“x<1”成立的充分不必要条件．故选A．2.【答案】D是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)【解析】解：y=1x上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+1)的值域包含(−∞,0]，4)，显然成立；当m=0时，g(x)=lg(−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14的最大值大于等于1，则mx2−x+14∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x= (x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A=B．【解答】解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．5.【答案】(−∞,32)【解析】解：由3−2x>0，得x<32．∴原函数的定义域为(−∞,32).故答案为：(−∞,32).直接由对数式的真数大于0求解x的取值范围得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】y=−√x,(x>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f(x)=x2，(x<−2)，则y>4．可得x=−√y，所以函数的反函数为：y=−√x,(x>4)．故答案为：y=−√x,(x>4)．7.【答案】14【解析】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴log a2=log162=lg2lg16=lg24lg2=14．故答案为：14．利用对数性质、运算法则、换底公式求解．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．8.【答案】−1【解析】解：知m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性．本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．9.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性.设t=(x−2)2+1，则y=log2t，分别找出函数t和y 的单调区间，利用同增异减即可求出结果．【解答】解：∵函数y=log2[(x−2)2+1]，∴函数的定义域为R，设t=(x−2)2+1，则y=log2t，∵t在x∈(−∞,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，又∵y=log2t在定义域上单调递增，∴函数y=log2[(x−2)2+1]的单调增区间为[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．10.【答案】{log23}【解析】解：由22x+1−6>0，得2×4x>6，即4x>3，则方程等价为log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)=log22x+log2(2x+1)=log22x(2x+1)，即22x+1−6=2x (2x +1)，即2(2x )2−6=(2x )2+2x ，即(2x )2−2x −6=0，则(2x +2)(2x −3)=0，则2x −3=0即2x =3，满足4x >3，则x =log 23，即方程的解为x =log 23，故答案为：{log 23}根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．11.【答案】(−∞,−43)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1， 则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.【答案】[13,1)【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的最值，以及对数函数的性质，属于中档题.直接求解即可．【解答】解：∵函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1， ∴函数f(x)存在最大值，则由对数函数的性质可知0< a <1，且， 即，即a ≥13， 所以13≤a <1，故答案为[13,1)． 13.【答案】12【解析】由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f −1(2x +1)=1，故2x +1=2，解得x =12． 14.【答案】[0,2]【解析】【分析】本题考查根据函数值域求参数范围，属于基础题．判断f(x)的奇偶性，再根据单调性求解即可．【解答】解：函数f(x)=2|x |+x 2是R 上的偶函数，当−2≤x ≤0时，函数递减，所以f(−2)=8,f(0)=1，所以可得0≤m ≤2．故答案为[0,2]．15.【答案】(2,6]【解析】解：由题意，{x −2>05−x >0， 解得，2<x <5；ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)可化为(x −2)(5−x)=m −x ；故m =−x 2+8x −10=−(x −4)2+6；∵2<x <5，∴2<−(x −4)2+6≤6；故答案为：(2,6]．由题意得{x −2>05−x >0，从而解得2<x <5；从而化ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)为(x −2)(5−x)=m −x ；从而求解．本题考查了方程的根与函数图象的关系应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,√142]【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值 【解答】由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1；当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142； 当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．17.【答案】(1)证明：设任意x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)， ∵x 1<x 2，∴4x 1<4x 2,∴4x 1−4x 2<0，又2+4x 1>0，2+4x 2>0．∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在R 上是增函数； (2)对任意t ，f(t)+f(1−t)=4t 2+4t +41−t 2+41−t =4t 2+4t +42⋅4t +4=2+4t 2+4t =1，∴对于任意t ，f(1)+f(1−t)=1，(110)+f(910)=1，f(210)+f(810)=1，∴f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)=4+f(510)=92，(3)根据题意可得4x 2+4x·k =2x ，∴k =2+4x 2x，令t =2x ∈(12,1]，则k =t +2t ，且在(12,1]单调递减， ∴ k ∈[3,92)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力． (1)根据函数单调性定义进行证明；(2)根据指数幂的运算法则进行化简可得f(1)+f(1−t)=1，即可求出f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)的值， 方程k ⋅f(x)=2x 可化为：4x 2+4x ·k =2x ，令t =2x ∈(12,1]，则可分离出参数k ，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域．18.【答案】解：A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}={x|x 2−5x +6=2}={1,4}， B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}={x|a x−2<a 7−2x }={x|x −2<7−2x}={x|x <3}，∴A ∩B ={1}．【解析】解对数方程求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A ∩B ．本题主要考查对数方程、指数不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．19.【答案】解：(1)由函数图象可知：当5⩽x ⩽8时，Q =−52x +25；当8<x ⩽12时，Q =−x +13；所以得到分段函数Q ={−52x +25,5⩽x ⩽8−x +13,8<x ⩽12; 设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )=Q (x −5)−10， 即f (x )={(−52x +25)(x −5)−10,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12={−52(x −152)2+458,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12，所以当5⩽x ⩽8时，在x =125，f (x )的取值最大，f (125)=458；当8<x ⩽12时，在x =9，f (x )取值最大，f (9)=6． 所以，当x =9时，f (x )取最大值为6．综上：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，函数的最值，二次函数的性质，属于中档题． (1)看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数．(2)根据题意得到利润函数式为f (x )=Q (x −5)−10，然后把函数Q (x )展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润．20.【答案】(1)解：根据题意得，x −5>0，解得x >5，即定义域为{x|x >5}(2)解：根据题意可得，{x +2≥01−x ≠0，解得x ≥−2且x ≠1，即定义域为{x|x ≥−2且x ≠1}.故答案为{x|x ≥−2且x ≠1}.【解析】(1)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．(2)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．21.【答案】解：(1)由于二次函数g(x)=ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x =1，由题意得：当a >0,{g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0(舍去)当a <0,{g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1∴a =−1,b =3 故g(x)=−x 2+2x +4,f(x)=−x +4x +2 (2)法一：不等式f(2x )−2x −k ≥0，即−2x +42x +2−2x ≥k ，∴k ≤−2⋅2x +42x +2设g(x)=−2⋅2x+42x+2，在相同定义域内减函数加减函数为减函数所以g(x)在[−1,1]内是减，故g(x)min=g(1)=0．∴k≤0，即实数k的取值范围为(−∞,0]．法二：不等式f(2x)−2x−k≥0，即−2x+42x+2−2x−k≥0，∴−2x⋅(2x)2+(2−k)⋅2x+4≥0，令t=2x∈[12,2]，∴化为g(t)=−2⋅t2+(2−k)⋅t+4≥0恒成立，因为g(t)图像开口向下．故只需{g(12)≥0 g(2)≥0。
[精选]2019-2020年上海市浦东新区高一上册期末数学试卷(有答案)
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上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：．3．（3分）若集合A={|≤1}，B={|≥a}满足A∩B={1}，则实数a=．4．（3分）不等式2|﹣1|﹣1＜0的解集是．5．（3分）若f（+1）=2﹣1，则f（1）=．6．（3分）不等式的解集为．7．（3分）设函数f（）=（+1）（+a）为偶函数，则a=．8．（3分）已知函数f（）=，g（）=，则f（）•g（）=．9．（3分）设α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围．10．（3分）函数的值域是．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为．12．（3分）已知函数f（）=是R上的增函数，则a的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3分）函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．14．（3分）已知f（）是R上的奇函数，且当＞0时，f（）=﹣1，则＜0时f（）=（）A．﹣﹣1 B．+1 C．﹣+1 D．﹣115．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．616．（3分）给定实数，定义为不大于的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．﹣≥0B．﹣＜1C．令f（）=﹣，对任意实数，f（+1）=f（）恒成立D．令f（）=﹣，对任意实数，f（﹣）=f（）恒成立三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）已知，求实数m的取值范围．18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．（10分）设a是实数，函数f（）=a﹣（∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（）=2﹣2a+1．（1）若对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，求实数a的值；（2）若f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数f（）的最大值．21．（12分）在区间D上，如果函数f（）为减函数，而f（）为增函数，则称f（）为D上的弱减函数．若f（）=（1）判断f（）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（）=f（）+||﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1）．【解答】解：∵a0=1，a＞0且a≠1，∴函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1），故答案为：（0，1）．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：便宜没好货．【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，即“便宜没好货”，故答案为：便宜没好货3．（3分）若集合A={|≤1}，B={|≥a}满足A∩B={1}，则实数a=1．【解答】解：∵A={|≤1}，B={|≥a}，且A∩B={1}，∴a=1，故答案为：14．（3分）不等式2|﹣1|﹣1＜0的解集是．【解答】解：①若≥1，∴2（﹣1）﹣1＜0，∴＜；②若＜1，∴2（1﹣）﹣1＜0，∴＞；综上＜＜．故答案为：＜＜．5．（3分）若f（+1）=2﹣1，则f（1）=﹣1．【解答】解：∵f（+1）=2﹣1，∴f（1）=f（0+1）=2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．6．（3分）不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）．【解答】解：原不等式等价于（﹣3）（﹣2）≥0且﹣2≠0，所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）7．（3分）设函数f（）=（+1）（+a）为偶函数，则a=﹣1．【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）得：2（1+a）=0∴a=﹣1．故答案为：﹣1．8．（3分）已知函数f（）=，g（）=，则f（）•g（）=，∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：∵函数f（）=，g（）=，∴f（）•g（）=，∈（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：，∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．9．（3分）设α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围m≤﹣3或m≥2．【解答】解：α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，则2m﹣3≥1或2m+1≤﹣5，故m≥2或m≤﹣3，故答案为：m≥2或m≤﹣3．10．（3分）函数的值域是（0，4] ．【解答】解：设t=2﹣2≥﹣2，∵y=（）t为减函数，∴0＜（）t≤（）﹣2=4，故函数的值域是（0，4]，故答案为：（0，4]．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为9．【解答】解：∵ab＞0，且a+4b=1，∴=（）（a+4b）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号，∴的最小值为9，故答案为：9．12．（3分）已知函数f（）=是R上的增函数，则a的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：由于函数f（）=是R上的增函数，∴，求得﹣1≤a＜0，故答案为：[﹣1，0）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．（3分）函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：y=f（﹣）===f（），∴函数y=为偶函数，∴图象关于y轴对称，故排除C，D，∵＞1，∴当＞0时，y=的变化是越越快，故排除B故选：A14．（3分）已知f（）是R上的奇函数，且当＞0时，f（）=﹣1，则＜0时f（）=（）A．﹣﹣1 B．+1 C．﹣+1 D．﹣1【解答】解：设＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=﹣1，∴当＜0时，f（﹣）=﹣﹣1，又∵f（）是R上的奇函数，∴f（）=﹣f（﹣），∴当＜0时，f（）=﹣f（﹣）=+1，故选B．15．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，设至少需要个涨停，才能不亏损，则0.6564a（1+10%）≥a，整理得：1.1≥1.5235，∵1.15=1.6105，1.14=1.4641．∴至少需要5个涨停，才能不亏损．故选：C．16．（3分）给定实数，定义为不大于的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．﹣≥0B．﹣＜1C．令f（）=﹣，对任意实数，f（+1）=f（）恒成立D．令f（）=﹣，对任意实数，f（﹣）=f（）恒成立【解答】解：在A中，∵为不大于的最大整数，∴﹣≥0，故A正确；在B中，∵为不大于的最大整数，∴﹣＜1，故B正确；在C中，∵为不大于的最大整数，f（）=﹣，∴对任意实数，f（+1）=f（）恒成立，故C正确；在D中，∵为不大于的最大整数，f（）=﹣，∴f（﹣3.2）=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8，f（3.2）=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2，∴对任意实数，f（+1）=f（）不成立，故D错误．故选：D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（8分）已知，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数…（2分）得，m2+m≤﹣m+3…（2分）即，m2+2m﹣3≤0…（2分）得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…（2分）18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．【解答】解：由题意…．（2分）S AMPN=（+2）（y+3）=y+3+2y+6=12+3+2y…．（5分）…．（2分）当且仅当3=2y，即=2，y=3时取得等号．…．（7分）面积的最小值为24平方米．…．（8分）19．（10分）设a是实数，函数f（）=a﹣（∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（）在R上为增函数．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意1，2∈R，1＜2，则f（1）﹣f（2）===，由于指数函数y=2在R上是增函数，且1＜2，所以即，又由2＞0，得，，∴f（1）﹣f（2）＜0即f（1）＜f（2），所以，对于任意a，f（）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（）=2﹣2a+1．（1）若对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，求实数a的值；（2）若f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数f（）的最大值．【解答】解：（1）由对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，知函数f（）=2﹣2a+1的对称轴为=a，即a=1；（2）函数f（）=2﹣2a+1的图象的对称轴为直线=a，由f（）在[a，+∞）上为单调递增函数，y=f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；（3）函数图象开口向上，对称轴=a，可得最大值只能在端点处取得．当a＜0时，=1时，函数取得最大值为：2﹣2a；当a＞0时，=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a；当a=0时，=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．21．（12分）在区间D上，如果函数f（）为减函数，而f（）为增函数，则称f（）为D上的弱减函数．若f（）=（1）判断f（）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（）=f（）+||﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减，而在[0，+∞）上单调递增，所以是[0，+∞）上的弱减函数．（2）不等式化为在∈[1，3]上恒成立，则，而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当=0时，上式恒成立；②当∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．幂函数()y f x =的图象经过点(3，则()f x 是（ ）A ．偶函数，且在()0，+∞上是增函数 B ．偶函数，且在()0，+∞上是减函数 C ．奇函数，且在()0，+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在()0，+∞上是增函数 【答案】D【解析】设()af x x =，代入已知点坐标，求出解析式，再确定奇偶性和单调性．【详解】设()af x x =，∴3a=，12a =，即12()f x x =，它既不是奇函数也不是偶函数，但在定义域[0,)+∞上是增函数． 故选：D ． 【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 2．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 3．定义在R 上的函数()f x 有反函数()1fx -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则()()1120202018f x f x ---+-的值为（ ）A ．0B ．2C ．-2D ．不能确定【答案】A【解析】由已知可得()f x 图像关于(0,1)，可得()1f x -关于(1,0)对称，根据对称性，即可求解. 【详解】定义在R 上的函数()f x 有()()2f x f x +-=恒成立， ()f x 图像关于(0,1)对称，()1f x -关于(1,0)对称，()()()()11202020182,202020180x x f x f x ---+-=-+-=.故选:A, 【点睛】本题考查互为反函数图像间的关系，利用对称性求函数值，解题的关键要掌握对称性的代数式表示，属于中档题.4．已知函数()f x 的定义域为{}0,1,2，值域为{}0,1，则满足条件的函数()f x 的个数为（ ） A ．1个 B ．6个C ．8个D ．无数个【答案】B【解析】根据已知条件定义域{}0,1,2中有两个元素和{0,1}的一个元素对应，第三个元素与{0,1}另一个元素对应，即可求解. 【详解】满足条件的函数()f x 有：(0)0,(1)1,(2)1f f f ===；(0)1,(1)0,(2)0f f f ===；(1)0,(0)1,(2)1f f f ===；(1)1,(0)0,(2)0f f f ===；(2)0,(0)1,(1)1f f f ===；(2)1,(0)0,(1)0f f f ===，满足条件的函数有6个.故选:B. 【点睛】本题考查函数定义，属于基础题.二、填空题5．若实数a b >，则下列说法正确的是__________． （1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b<；（4）22a b > 【答案】（1）【解析】根据不等式的性质逐个判断，即可得到结论. 【详解】根据不等式的性质（1）正确； （2）中如果0c ≥时不成立，故错误； （3）若1,1a b ==-时，11a b<不成立，故错误； （4）若1,1a b ==-，22a b >不成立，故错误. 故答案为:（1） 【点睛】本题考查不等式的性质，对于常用的不等式成立的条件要熟记，属于基础题. 6．函数()()0f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是__________． 【答案】0b =【解析】根据奇函数的定义，即可求解. 【详解】()()0f x kx b k =+≠为奇函数，则()(),0f x kx b f x kx b b -=-+=-=--=. 故答案为:0b =. 【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，注意奇偶性的定义应用，属于基础题. 7．函数()()227111m m f x m m x++=--是幂函数，则m =__________．【答案】2或-1【解析】根据幂函数的定义，即可求解. 【详解】()()227111mm f x m m x ++=--是幂函数，2211,20m m m m ∴--=--=，解得2m =，或1m =-.故答案为: 2或-1.8．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________. 【答案】94【解析】根据基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭结合所求代入公式，即可求解.【详解】由题意,,1a b R a b +∈+=，则2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当11a b +=+，即12a b ==时等号成立， 即(1)(1)a b ++的最大值为94. 故答案为94【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.9．不等式1213x x -++<的解集为__________． 【答案】()7,6-【解析】对x 分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】1213x x -++<化为12113x x ≥⎧⎨+<⎩或21313x -≤<⎧⎨<⎩或22113x x <-⎧⎨--<⎩， 解得16x ≤<或21x -?或72x -<<-，所以76x -<<.故答案为:()7,6-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解，考查分类讨论思想，属于基础题. 10．“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是__________． 【答案】若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠. 【解析】根据逆否命题的形式，即可得出结论. 【详解】“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是” “若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠.” 故答案为: 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠. 【点睛】本题考查命题的形式，要注意连接词的变化，属于基础题.11．已知函数()f x =]9[1x ∈，，()()()2g x f x f x =⋅的反函数是()1g x -，则()1gx -的定义域为__________．【答案】2,⎡⎣【解析】根据互为反函数的关系，即求()g x 的值域 【详解】()()[1,9],[1,3]f x x g x x =∈=∈,()g x 在[1,3]为增函数，()g x ∴的值域为2,⎡⎣，即为()1gx -的定义域.故答案为:2,⎡⎣.【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.12．函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【答案】(),1616⎡-∞-++∞⎣U【解析】设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域. 【详解】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++，当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立； 同理当0t <时，()16g t ≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立；所以函数的值域为(),1616⎡-∞-++∞⎣U . 故答案为:(),1616⎡-∞-++∞⎣U .【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题.13．已知a ，b 为非零实数，且3126a b ab ==，则+a b 的值为__________． 【答案】2【解析】根据指对数的关系，将已知等式转化为对数形式，即可求解. 【详解】336313126,log 6log 6,0,log 3log 6a b ab ab a ab a b ====≠∴==， 同理66log 12,log 362a a b =+==. 故答案为:2. 【点睛】本题考查指对数之间的关系，考查简单的对数运算，以及换底公式的应用，属于基础题.14．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21xg x a x x =+++， 设21xy x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， maxmin ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.三、解答题15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1ff 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()00f =，()()11ff =-；（2）()1,0- 【解析】（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解； （2）由已知只需0x >时，()f x m =有两个解的即可. 【详解】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数， 且当0x ≥时，()22f x x x =-，()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解， 只需0x >时，()f x m =有两个解， 当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--，所以10m -<< 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.16．某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数()()0C x Af x C B x A x A<≤⎧=⎨+->⎩，当使用34m 时，缴费4元，当使用327m 时，缴费14元；当使用335m '时，缴费19元. （1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？【答案】（1）11A =，58B =，4C =；（2）1154元【解析】（1）由已知判断A 的范围，用待定系数法求出,A B ； （2）根据解析式，即可求解. 【详解】 （1）依题意得(27)(4)(35)(27),4272743527f f f f A --≠∴≤<--，(27)4(27)144,(35)4(35)19f B A C f B A =+-=⎧∴=⎨=+-=⎩，解得5,118B A ==，511,,48A B C ∴===.（2）5(29)4(2911)11.258f =+⨯-=（元），答：某居民若使用329m 水，应该缴水费11.25元. 【点睛】本题考查求函数解析式的应用问题，以及求函数值，属于基础题. 17．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值； （2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2,3]上有解，求k的取值范围.【答案】(1) 1a =- (2) 1m ≥- (3) [1,1]k ?【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性，求出a 的值即可；（2）求出f （x ）+12log （x ﹣1）=12log （1+x ），根据函数的单调性求出m 的范围即可；（3）问题转化为k=21x -﹣x+1在[2，3]上有解，即g （x ）=21x -﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g （x ）的值域，从而求出k 的范围即可． 解析：（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----，解得1a =-或1a =（舍）.（2）()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x ++-=+-=+- 当1x >时，()12log 11x +<-，∵当()1,x ∈+∞时，()()12log 1f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-.（3）由（1）知，()()12log f x x k =+，即()()11221log log 1x f x x k x +==+-，即11x x k x +=+-即211k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减()g x 的值域为[]1,1-，∴[]1,1k ∈-点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分） 1.已知函数ℎ(x)=f(x)−x 2是奇函数，且f(1)=−2，函数g(x)=f(x)+1x ，则g(−1)=( )A. 3B. 2C. 1D. −22.函数y =2x −12x +1⋅sinx 的图象大致为( )A.B.C.D.3. 若集合A ={1,2,3,4}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2,3}4.已知函数f(x)={lnx, 1≤x ≤4−2lnx, 14≤x ≤1，若函数F(x)=f(x)−kx 在区间[14,4]上恰好有一个零点，则k 的取值范围为( )A. (1e ,16ln2]∪{0} B. (1e ,+∞)∪{0} C. [ln22,16ln2)∪{0} D. (ln22,16ln2]∪{0}二、单空题（本大题共10小题，共40.0分） 5.设曲线y =x n+1(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2015x 1+log 2015x 2+⋯+log 2015x 2014的值为______ ． 6. 函数y =2−sinθ1−cosθ的最小值为______ ． 7. 不等式4x −5⋅2x +4<0的解集为______ ．8.半径为100mm 的圆上，有一段弧长为300mm ，此弧所对的圆心角的弧度数为______ ．9.若幂函数f(x)=x a 经过点(3,9)，则α=______．10. 设常数a >0且a ≠1，函数f(x)=log a x ，若f(x)的反函数图象经过点(1,2)，则a =______． 11. 已知下列四下命题：①函数f(x)=2x 满足：对任意x 1,x 2∈R,有f(x 1+x 22)≥12[f(x 1)+f(x 2)]；②函数f(x)=log 2(x +√1+x 2),g(x)=1+22x −1均是奇函数； ③函数f(x)=e −2−e x 切线斜率的最大值是−2； ④函数f(x)=x 12−(14)x 的在区间(14,13)上有零点．其中正确命题的序号是______ ． 12. 定义在上的函数，若关于的方程有5个不同的实根，则=___________13. 已知x >1，函数y =x 2x−1的最小值为______ ．14. 设f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若 f(1)>1，f(2015)=2a−3a+1，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)=log 4(4x +1)+kx(k ∈R)与g(x)=log 4(a ⋅2x −43a)，其中f(x)是偶函数． (1)求实数k 的值及f(x)的值域； (2)求函数g(x)的定义域；(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．16. 二次函数y =ax 2+x +1,(a >0)的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为x 1,x 2． (1)证明：(x 1+1)(x 2+1)=1； (2)证明：x 1<−1,x 2<−1；(3)若x 1,x 2满足不等式|lg x1x 2|≤1，试求a 的取值范围．17. 张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x(x ≥10)万元之间满足：y =f(x)=ax 2+10150x −bln x，a，b为常数．当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元．(参考10数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润=旅游增加值−投入)18.已知函数f(x)=lnx−ax−3(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的零点个数；(2)若∀x∈[1,2]，函数g(x)=x3+x2[m−2f′(x)]在区间(a,3)有最值，求实数m的取值范围．2参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值，题目有一定的难度． 由已知ℎ(−1)=−ℎ(1)是解题的关键．解：因为函数 ℎ(x)=f(x)−x 2 是奇函数，且 f(1)=−2 ，函数 g(x)=f(x)+1x , 所以g(−1)=f(−1)−1，且ℎ(−1)=f(−1)−1， 又因为ℎ(−1)=−ℎ(1)， 所以f(−1)−1=−[f(1)−1]， 得到f(−1)−1=−(−2−1)， 解得f(−1)=4，g(−1)=4−1=3． 故选A ．2.答案：D解析：解：根据题意，设y =f(x)=2x −12x +1⋅sinx ，当x =0时，有f(0)=20−120+1sin0=0，排除B 、C ；当x =π时，sinπ=0，有f(π)=0，排除A ； 故选：D ．根据题意，用排除法分析：令x =0和x =π，求出函数的值，由排除法分析选项即可得答案． 本题考查函数的图象分析，注意特殊值法的运用，属于基础题．3.答案：D解析：解：由B 中不等式变形得：(x +2)(x −3)≤0， 解得：−2≤x ≤3，即B =[−2,3]， ∵A ={1,2,3,4}， ∴A ∩B ={1,2,3}， 故选：D求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4.答案：A解析：解：由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=kx在区间[14,4]上恰好有一个交点，如图所示：显然，当k=0时，满足条件．当y=kx和y=lnx相切时，设切点为A(x0,lnx0)，由导数的几何意义可得1x0=lnx0−0x0−0，解得x0=e，故切线的斜率为1e．当y=kx经过点B(14,4ln2)时，k=4ln214=16ln2．故k的范围为(1e,16ln2]∪{0}，故选：A．由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=kx在区间[14,4]上恰好有一个交点，数形结合求得k的范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于基础题．5.答案：−1解析：解：对y=x n+1(n∈N∗)求导，得y′=(n+1)x n，令x=1得在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1，在点(1,1)处的切线方程为y−1=k(x n−1)=(n+1)(x n−1)，不妨设y=0，x n=nn+1，则x1⋅x2⋅x3…⋅x n=12×23×34×…×nn+1=1n+1，从而log2015x1+log2015x2+⋯+log2015x2014=log2015(x1⋅x2…x2014)=log201512015=−1．故答案为：−1．要求log2015x1+log2015x2+⋯+log2015x2014，需求x1⋅x2⋅…⋅x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．6.答案：34解析：解：y=2−sinθ1−cosθ=2sin2θ2+2cos2θ2−2sinθ2cosθ21−(1−2cos2θ2)=tan2θ2+1−tanθ2tan2θ2=cot2θ2−cotθ2+1=(cotθ2−12)2+34，故当cotθ2=12时，函数y取得最小值为34，故答案为：34．由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，把函数的解析式化为y=2sin2θ2+2cos2θ2−2sinθ2cosθ21−(1−2cos2θ2)=(cotθ2−12)2+34，再利用二次函数的性质求得它的最小值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，二次函数的性质的应用，属于中档题．7.答案：{x|0<x<2}解析：解：设t=2x，原不等式可转化为：t2−5t+4<0，即(t−1)(t−4)<0，∴1<t<4，∴1<2x<4，∴0<x<2∴原不等式的解集为{x|0<x<2}．故答案为{x|0<x<2}．本题先进行换元，将原不等式转化为一元二次不等式，解出一元二次不等式后，再解相应的指数不等式，得到本题结论．本题考查的是解不等式，解题的方法是换元法，利用换元可以化难为易，本题难度不大，属于基础题．8.答案：3解析：解：半径为100mm的圆上，有一段弧长为300mm，则由弧长公式可得：α=lr =300100=3，故答案为：3．由已知利用弧长公式即可计算得解．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．9.答案：2解析：解：设幂函数为y =x α， 幂函数y =f(x)的图象经过点(3,9)， 所以9=3α，α=2， 故答案为：2．设出f(x)的解析式，把(3,9)点代入求出α即可．考查求幂函数的解析式，指数与对数简单运算，基础题．10.答案：2解析：解：∵常数a >0且a ≠1，函数f(x)=log a x ，f(x)的反函数的图象经过点(1,2)， ∴函数f(x)=log a x 的图象经过点(2,1)， ∴log a 2=1， 解得a =2． 故答案为：2．由反函数的性质得函数f(x)=log a x 的图象经过点(2,1)，由此能求出a ．本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.答案：②解析：解：对于①，函数f(x)=2x ，令x 1=0，x 2=2，则x 1+x 22=1，显然f(x 1+x 22)=f(1)=2；12[f(x 1)+f(x 2)]=12[f(0)+f(2)]=52，f(x 1+x 22)<12[f(x 1)+f(x 2)]，故①错误；对于②，函数f(x)=log 2(x +√1+x 2)的定义域为R ，且f(−x)+f(x)=log 2(−x +√1+(−x)2)+log 2(x +√1+x 2)=log 21=0，所以，f(−x)=−f(x)，即f(x)=log 2(x +√1+x 2)为奇函数； 同理可得，g(−x)+g(x)=0，即g(x)=1+22x −1是奇函数，故②正确； 对于③，函数f(x)=e −2−e x 的导函数f′(x)=−e x <0， 函数f(x)=e −2−e x 切线斜率无最大值，故③错误对于④，函数f(x)=x 12−(14)x ，f′(x)=2√x −(14)x ln 14=2√x +(14)x ln4>0，所以，f(x)=x 12−(14)x 为R 上的增函数，又f(14)=(14)12−(14)14<0，f(13)=(13)12−(14)13=(127)16−(116)12<0，所以，f(x)=x 12−(14)x 在区间(14,13)上无零点，故④错误．故答案为：②．①，函数f(x)=2x 中，足：令x 1=0，x 2=2，可得f(x 1+x 22)=f(1)=2；12[f(x 1)+f(x 2)]=12[f(0)+f(2)]=52，可判断①；②，利用奇偶函的概念可判断函数f(x)=log 2(x +√1+x 2),g(x)=1+22x −1均是奇函数从而可判断②；③，利用导数的几何意义可求得函数f(x)=e −2−e x 切线斜率，从而可判断③；④，利用零点存在定理可判断函数f(x)=x 12−(14)x 在区间(14,13)上无零点．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性，考查导数的几何意义、函数的零点等，考查分析与运算求解能力，属于中档题．12.答案：解析：试题分析：因为有5个不同的根，必有对应有三个不同的根，还有一个对应有两个不同的根．对应的根分别是4，14，−6，不妨设为．对应有两个不同的跟关于对称，所以，故，=考点：方程的零点分布13.答案：4解析：解：∵x >1，∴x −1>0． 函数y =x 2x−1=x 2−1+1x−1=x +1+1x−1=x −1+1x−1+2≥2√(x −1)⋅1x−1+2=4，当且仅当x =2时取等号． ∴函数y =x 2x−1的最小值为4．故答案为：4．变形利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14.答案：(−1,23)解析：解：由f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数， 则f(x +3)=f(x)，f(−x)=−f(x)，∴f(2015)=f(3×671+2)=f(2)=f(2−3)=f(−1) =−f(1)，又f(1)>1，∴f(2015)<−1， 即2a−3a+1<−1，即为3a−2a+1<0，即有(3a −2)(a +1)<0，解得，−1<a <23． 故答案为：(−1,23).先根据周期性和奇函数，将f(2015)化成f(−1)=−f(1)，然后根据已知条件建立关系式，解分式不等式即可求出实数a 的取值范围．本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，周期性和奇偶性都是函数的整体性质，同时考查了分式不等式的求解，属于中档题．15.答案：解：(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(−x)，∴log 4(4x +1)+kx =log 4(4−x +1)−kx ， ∴log 44x +14−x +1=−2kx ，即x =−2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k =−12．f(x)=log 4(4x +1)−12x =log 4(2−x +1)≥log 41=0∴f(x)的值域是[0,+∞)--------------------------------------------------------------(4分) (2)当a ⋅2x −43a >0时，函数解析式有意义 当a >0时，2x >43，得x >log 243；当a <0时，2x <43，得x <log 243.----------------------------------------(5分) 综上，当a >0时，定义域为{x|x >log 243}；当a <0时，定义域为{x|x <log 243}；---------------------------------(6分) (3)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x +1)−12x =log 4(a ⋅2x −43a)有且只有一个实根，即方程2x+12x =a⋅2x−43a，有且只有一个实根，------------------------------------(7分)令t=2x>0，则方程(a−1)t2−43a−1=0有且只有一个正根，①当a=1时，t=−34，不合题意；②当a≠1时，由△=0得a=34或−3，若a=34，则t=−2不合题意；若a=−3，则t=12满足要求；----------------------------------------(8分)若△>0，则此时方程应有一个正根与一个负根，∴−1a−1<0，∴a>1，又△>0得a<−3或a>34，∴a>1.-----------------------(9分)综上，实数a的取值范围是{−3}∪(1,+∞).----------------------------------------(10分)解析：(1)根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值，化简函数，即可求出f(x)的值域；(2)当a⋅2x−43a>0时，函数解析式有意义，分类讨论，即可求函数g(x)的定义域；(3)根据函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．16.答案：(1)证明：由题意得：x1+x2=−1a ，x1⋅x2=1a，∴(1+x1)(1+x2)=x1x2+(x1+x2)+1=1；(2)证明：由△=1−4a>0，解得：a<14，∵(1+x1)(1+x2)=1>0，而(1+x1)(1+x2)=x1+x2+2=−1a+2<−4+2<0，∴1+x1<0，1+x2<0，故x1<−1，x2<−1；(3)解：x2=−x11+x1，|lg x1x2|≤1，∵110≤x1x2≤10，∴110≤−(1+x1)≤10，∴−11≤x1≤−1110，a=1x1x2=−(1x12+1x1)=−(1x1+12)2+14，当1x1=−12时，a的最大值是14，当1x1=−111时，a的最小值是10121，故a的范围是[10121,1 4 ].解析：本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．(1)根据韦达定理求出x1+x2，x1⋅x2的值，证明即可；(2)由△>0，求出a的范围，从而证出结论；(3)求出x2=−x11+x1，由110≤x1x2≤10，得到110≤−(1+x1)≤10，求出a的范围即可．17.答案：解：(1)由条件{a×202+10150×20−bln2=35.7a×102+10150×10−bln1=19.2(2分)解得a=−1100,b=1(4分)则f(x)=−x2100+10150x−ln x10(x≥10).(6分)(2)由T(x)=f(x)−x=−x2100+5150x−ln x10(x≥10)则T′(x)=−x50+5150−1x=−(x−1)(x−50)50x(10分)令T′(x)=0，则x=1(舍)或x=50当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50,+∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50,+∞)上是减函数，∴x=50为T(x)的极大值点(12分)即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为T(50)=24.4万元．(13分)解析：(1)由条件：“当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求f(x)的解析式；(2)先写出函数T(x)的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题．本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)引进数学符号，建立数学模型；(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．18.答案：解：(1)∵x >0，∴f′(x)=1x −a ，若a <0，∴f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(e 3)=−ae 3>0，x →0时，f(x)→−∞，此时，f(x)存在唯一零点；若a >0，f′(x)=1−ax x =0，x =1a ， 所以x ∈(0,1a )，f(x)单调递增，x ∈(1a ,+∞)，f(x)单调递减，∴f(x)max =f(1a )=−lna −4，当−lna −4<0，即a >e −4时，f(x)无零点；当−lna −4=0，即a =e −4时，f(x)有一个零点；当−lna −4>0，即0<a <e −4时，f(x)有两个零点；综上：a <0或a =e −4时，f(x)有一个零点；0<a <e −4时，f(x)有两个零点；a >e −4时，f(x)无零点．(2)g(x)=x 3+x 22[m −2f′(x)]，g′(x)=3x 2+(m +2a)x −1．∵g(x)在(a,3)上有最值，∴g(x)在(a,3)上不单调，而g′(0)=−1<0，∴{g′(3)>0g′(a)<0恒成立． 又a ∈[1,2]，由g′(a)<0，即m <1a −5a ，所以m <−192，又g′(3)>0，所以3m +26+6a >0，解得m >−323，故−323<m <−192． 解析：(1)求出f(x)的导数，分类讨论a 的取值得到函数f(x)的零点个数；(2)根据条件判断出g(x)在(a,3)上有最值，则{g′(3)>0g′(a)<0恒成立．结合a 的取值范围可得m 取值范围． 本题考查利用函数导数求函数零点个数，利用分类讨论思想是关键，属于中档题．。
2019-2020学年上海市师大附中高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市师大附中高一上学期期末数学试题一、单选题1．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【答案】D【详解】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.2．已知x，y为正实数，则（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy【答案】D【详解】因为a s+t=a s•a t，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．3．定义一种运算：()()a a ba bb a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()2(3)xf x x=⊗-，那么(1)y f x=+的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：∵()()a ab a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩∴f （x ）=2x ⊗（3-x ）3,12,1xx x x -<⎧=⎨≥⎩ , 这个函数图象的最低点是（1，2），∵函数y=f （x+1）的图象是把函数y=f （x ）的图象向左平移一个单位得到的， 故函数y=f （x+1）图象的最低点是（0，2）， 结合已知一次函数和指数函数的图象， 得到正确选项为B ． 故选B ．4．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：①任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-；③()4y f x =+是偶函数；若()()()6,11,2025a f b f c f ===，则a b c 、、的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】C【分析】由条件①确实单调性，条件②确定周期性，条件③确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间[4,8]上，再由单调性得大小关系、 【详解】因为任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[4,8]上是增函数，因为()()4f x f x +=-，所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，周期是8； 由()4y f x =+是偶函数，得()f x 的图象关于直线4x =对称，(11)(3)f f =(5)f =，(2025)(1)(7)f f f ==，又(5)(6)(7)f f f <<，所以b a c <<． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性．解题方法一般是利用周期性把自变量化小，再由周期性（或对称性）化自变量到同一个单调区间上，然后由单调性得函数值大小． 二、填空题5．已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A ∪B)＝________.【答案】{5}【详解】易得A ∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A ∪B)＝{5}．6．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2)，则()f x =_____________． 【答案】12x （填x 亦可）【分析】设出幂函数解析式，根据点()2,2求得幂函数的解析式.【详解】由于()f x 为幂函数，设()f x x α=，将()2,2代入得122,2αα==，所以()12f x x=. 故答案为12x （填x 亦可）【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题. 7．函数()()1lg 21f x x =+的定义域为________.【答案】()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】由分母不为0，真数大于0可得．【详解】lg(21)0x +≠，211210x x +≠⎧⎨+>⎩，解得12x >-且0x ≠，定义域为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故答案为：()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．8．已知函数2()34f x x x =-++的定义域为[2,2]-，则()f x 的值域为_____________．【答案】25[6,]4- 【详解】试题分析：函数的对称轴为，所以在区间上，函数的最大值为，函数的最小值为，所以函数的值域为25[6,]4-． 【解析】二次函数的性质． 9．已知函数()()()20,1xf x a aa a =->≠，若对任意()1212,x x R x x ∈≠均有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是_________.【答案】()()0,12,⋃+∞【分析】先判断出()f x 为增函数，列不等式组即可解得. 【详解】根据题意，对任意()1212,x x R x x ∈≠均有()()12120f x f x x x ->-，则()f x 为增函数，只需201a a ->⎧⎨>⎩或2001a a -<⎧⎨<<⎩解得：2a >或01a <<，故实数a 的取值范围是()()0,12,⋃+∞. 故答案为：()()0,12,⋃+∞ 【点睛】函数单调性的等价结论： （1）复合函数单调性满足同增异减； （2）()f x 为增函数()()12120f x f x x x -⇔>-或()()()()12120f x f x x x -->，()f x 为减函数()()12120f x f x x x -⇔<-或()()()()12120--<f x f x x x .10．设22a b m ==，且112a b+=，则m =_________. 【答案】2【分析】先利用22a b m ==判断出a=b ，并进行指对数互化，由112a b+=求出a=1，即可求出m .【详解】∵22a b m == ∴2log a b m == 又112a b+=， ∴2log 1a b m === ∴m =2 故答案为：2【点睛】指、对数运算技巧：(1)应用常用对数值； (2)灵活应用对数的运算性质； (3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构． 11．已知)1fx =+，则()f x =________．【答案】21x -，()1x ≥【分析】先利用换元法求得函数的解析式2()1f x x =-，注意定义域. 【详解】令1t =，则1t ≥，且2(1)x t =-，可得22()(1)2(1)1f t t t t =-+-=-， 所以2()1f x x =-(1≥x ). 故答案为：21x -，()1x ≥．【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解及应用，其中解答中合理利用换元法求得函数的解析式是解答的关键，属于基础题目.12．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．【答案】[)1,0-【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，作出函数()111,122,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m =-的图象如下图所示，由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<. 因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()(122a f f ->-，则a 的取值范围是_________.【答案】13,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据偶函数定义化自变量为负数，然后由单调性求解． 【详解】因为()f x 是偶函数，所以不等式()(122a f f ->-化为()(122a f f -->-，又()f x 在区间(],0-∞上单调递增，所以122a -->-11222a -<，112a -<，11122a -<-<，所以1322a <<． 故答案为：13,22⎛⎫⎪⎝⎭．14．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】14【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224a b-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．若对任意,x y R ∈，有()()()f x y f x f y +=+，则函数()()2231xg x f x x =+++在[]2019,2019-上的最大值M 与最小值m 的和M m +=_________. 【答案】6【分析】用赋值法确定()f x 为奇函数，然后构造一个奇函数求()g x 的最大值和最小值，从而可得结论．【详解】在()()()f x y f x f y +=+中，令0x y ==得(0)2(0)f f =，即(0)0f =， 令y x =-得()()(0)0f x f x f +-==，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数， 令22()()1x h x f x x =++，则2222()()()()11x xh x f x f x h x x x --=+-=--=-++，()h x 是奇函数，所以在对称区间上max min ()()0h x h x +=，当[2019,2019]x ∈-时，max max ()()3g x M h x ==+，min min ()()3g x m h x ==+， 所以max min ()()66M m h x h x +=++=． 故答案为：6．【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性及其应用，解题关键是构造奇函数．所用结论是：()f x 是[,]a a -（或(,)a a -，0a >）上的奇函数，则max min ()()0f x f x +=． 16．自然对数的底数e 是一个无限不循环小数，其值为2.71828…，已知函数()[)[)220191,0,2log ,,e x x e f x x x e e ⎧⎛⎫--+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+∞⎪⎩，若存在三个不同的实数a b c 、、，使得()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为_________. 【答案】[)2,2020e e【分析】首先画出函数的图象，根据条件可知+=a b e ，再根据图象求c 的取值范围，再求a b c ++的取值范围.【详解】如图，画出函数的图象，设a b c <<，由图象的对称性可知+=a b e ，2019log 0x e =时，x e =，2019log 1xe=时，2019x e =，所以[),2019c e e ∈，即a b c ++的取值范围是[)2,2020e e . 故答案为：[)2,2020e e【点睛】思路点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍. 三、解答题17．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 【答案】(1) a ＝6，b ＝9，c ＝－8;(2) {－2，－1,0,1}【分析】（1）因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0即得c ＝－8. 因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，从而求出a,b 的值.(2)先求出P ＝－≤x ≤1}，再求集合P ∩Z.【详解】(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0， 所以－≤x ≤1， 所以P ＝－≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝－≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1,0,1}．【点睛】（1）本题主要考查集合的运算关系，考查二次方程的根，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是根据A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}分析得到A ＝{3}.18．根据市场调查，某商品在最近40天内价格P 与时间t 的关系用图1中的一条折线ABC (实线)表示，销量Q 与时间t 的关系用图2中的线段EF (实线)表示(*t N ∈).（1）分别写出图1表示的价格与时间的函数关系()P f t =与图2表示的销售量与时间的函数关系()Q g t =(不要求计算过程)；（2）这种商品的销售额为S ，S 为销售量与价格之积，求S 的最大值及此时的时间t .【答案】（1）()[)[]**11,1,20,241,20,40,t t t NP f t t t t N ⎧+∈∈⎪==⎨⎪-+∈∈⎩，()[]*43,1,40,33t Q g t t t N ==-+∈∈；（2）max 176S =，此时10t =或11.【分析】（1）通过图1表示的价格与时间的函数关系分段可得()P f t =的解析式；通过图2表示的销售量与时间的函数关系可得()Q g t =的解析式，注明函数的定义域； （2）利用函数的解析式，通过配方，分别求出函数的最值比较可得答案.【详解】（1）当[)1,20,t t N *∈∈时，设函数为11y k t b =+，因为经过点()8,15和()20,21，所以11118152021k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得111211k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，此时112t y =+，当[]20,40,t t N *∈∈时，设函数为22y k t b =+，因为经过点()40,1和()20,21，所以22224012021k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得22141k b =-⎧⎨=⎩，此时41y t =-+，所以()[)[]11,1,20,241,20,40,t t t NP f t t t t N **⎧+∈∈⎪==⎨⎪-+∈∈⎩，设()33g t k t b =+，因为图象经过点()10,11和()40,1，所以33331011401k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3313433k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()[]43,1,40,33t Q g t t t N *==-+∈∈.（2）当[)1,20,t t N *∈∈时，431214225112336224t t S t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=--+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为t N *∈，所以10t =或11t =时，max 176S =，当[]20,40,t t N *∈∈时，()()2431141423333t S t t ⎛⎫=-+-+=-- ⎪⎝⎭，当[]20,40t ∈时， S 为减函数， 所以()max 20161S S ==，而161176<， 所以10t =或11t =时，max 176S =，故当10t =或11t=时这种商品的销售额S 最大，为176.【点睛】本题考查函数的实际应用、二次函数求最值，解题的关键点是根据图象求出解析式，考查销售分析问题、解决问题的能力.19．已知()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞.（1）当12a =时，用定义证明函数()y f x =的单调性，并求函数()y f x =的最小值；（2）如对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析，()f x 最小值为72；（2）()3,-+∞. 【分析】（1）用定义法证明函数的单调性，并直接求出最小值；（2）把 “对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，”转化为：220x x a ++>恒成立， 用分离参数法求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当12a =时，()[)2122,1,x x f x x x++=∈+∞ 任取211x x >≥，则有：()()212121112222f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎝⎭⎝-⎪⎭()21121122x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()2112112x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∵211x x >≥，∴211211002x x x x -->>，，∴()21121102x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即()()21f x f x >，∴()y f x =在[)1,+∞上单调递增. ∴()()min 7=1=2f x f ，即()f x 最小值为72. （2）∵任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，可化为：220x x a ++>恒成立， 即()()221a x xx >-+≥恒成立，只需()2max2a x x >-+记()()221y x xx =-+≥则()22y x x =-+在1≥x 上单调递减 ∴max =3y - ∴3a >-即实数a 的取值范围为()3,-+∞. 【点睛】方法点睛：（1）证明函数的单调性用定义法； （2）求参数的取值范围用分离参数法.20．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--.(0a >且1a ≠). （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式()2f x <的解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （3）设()f x 的反函数为()1fx -，若()1113f -=，解关于x 的不等式()()1f x m m R -<∈.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）a =（3）当m 1≥时，解集为x ∈R ；当1m <时，解集为21|log 1m x x m +⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭. 【分析】（1）用定义法判断奇偶性；（2）由()2f x <的解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭转化为12x =±为方程()()1log =21ax x +-的根，解得a ； （3）先求出反函数()11=1x x a fx a --+，解得a =2，然后解不等式2121x x m -<+即可.【详解】解：()()()log 1log 1a a f x x x =+--的定义域为()1,1- （1）()y f x =为奇函数.∵()()()()log 1log 1=a a f x x x f x -=--+-， ∴()y f x =为奇函数.（2）∵()()()()()1log 1log 1=log 1a a ax f x x x x +=+---，∴()2f x <的解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭即为()()12log 21ax x +-<<-的解集为11|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∴12x =±为方程()()1log =21ax x +-的根，即111122log =2log =2111122a a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，解得：3a =. （3）∵()()()log 1log 1a a f x x x =+--， ∴()11=1x x a f x a --+.∵()111113a f a --==+，解得：a =2 ∴()()1fx m m R -<∈即为2121x x m -<+∴2121x m >-+ 当m 1≥时，10m -≤，而2021x>+，∴x ∈R 当1m <时，2121x m >-+解得：21log 1mx m+<- 综上：当m 1≥时，解集为x ∈R ；当1m <时，解集为21|log 1m x x m +⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭. 【点睛】（1）证明函数的奇偶性用定义法；（2）不等式对应的解集是用不等式对应方程的根表示； 21．已知函数()f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()y g x =为偶函数，且()()2g x g x +=，当01x ≤≤时，有()()g x f x =，若0a <，且3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数； （3）若在[]0,2上存在n 个不同的值()1,2,,,3i x i n n =≥，12n x x x <<<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2x <；（2）2a =-，3y =-[]0,3x ∈；（3）(][),26,-∞-+∞.【分析】（1）去绝对值，利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．（2）首先判断函数的周期，利用函数的周期和偶函数的性质，得到函数关系式，当12x ≤≤时，()()()()()224g x g x g x x x =-=-=--，求出函数的反函数．（3）当0a ≤和4a ≥时，函数()f x 单调递增，利用函数的单调性去绝对值，列不等关系求实数a 的取值范围，当04a <<时，()()()()()()()1223m 1ax 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤，利用分类讨论思想的应用求出结果．【详解】（1）解不等式12x x -< 当1≥x 时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <， 综上，该不等式的解集为(),2-∞ （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-，因为()()2g x g x +=，所以()g x 是以2为周期的偶函数， 所以3111122222g g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由3524g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且0a <，得2a =-， 所以当01x ≤≤时，()()2g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈，所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-；②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥； ③当24a ≤<时，则122a ≤<，所以()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，于是()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-222(0)2242a a a f f ⎛⎫⎛⎫≤-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令282a ≥，解得4a ≤-或4a ≥，不符合题意；④当02a <<时，()f x 分别在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[],2a 上单调递增，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()()()2(0)22a f f f f a ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222222224242a a a f f a a ⎛⎫=+=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭令22482a a -+≥，解得2a ≤-2a ≥+.综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，本题第三问的关键是去绝对值后，转化为最值问题．。
2020_2021学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试卷(答案版)
2020~2021学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.【答案】【解析】【踩分点】计算： ．原式．故答案为：．2.【答案】【解析】【踩分点】已知，，则等于 ．∵，∴，∴．故答案为：．3.【答案】【解析】不等式的解集为 ．∵，∴，【踩分点】∴，∴，∴或，解得：或，故不等式的解集是．故答案为：．4.【答案】【解析】【踩分点】已知扇形的圆心角为，弧长是，则扇形的面积是 ．因为扇形的圆心角为，弧长是，所以扇形的半径为：，所以扇形的面积为：．故答案为：．5.【答案】【解析】【踩分点】已知幂函数的图象过点 ，则 ．设幂函数，由函数图象过点，所以，解得，所以，所以．故答案为：．6.已知函数，是其反函数，则 ．【答案】【解析】【踩分点】令，∴．故答案为：．7.【答案】【解析】【踩分点】方程的解为 ．由方程，可得 .∴，即，即．解得 或，又且，故，故答案为：．8.【答案】【解析】若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ．令，则关于的方程有解，即有正实数解．故，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故，故，即．【踩分点】故答案为：．9.【答案】【解析】【踩分点】已知，且．式子的最小值是 ．令，，则，且，∴，∴，当且仅当且，即，，时等号成立．故答案为：．10.【答案】【解析】已知，，若函数为奇函数，则的最小值为 ．由已知可得：，所以，所以．又函数为奇函数，则，所以，则，，所以，．令【踩分点】，由二次函数的单调性可知：．故答案为：．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知函数是上的偶函数，若、，则“”是“”的（ ）．A 已知函数是上的偶函数，则，若、，，则，所以．若、，，因为函数是上的偶函数，所以，当且仅当在上单调，且时，才有，即．综上，若、，则“”是“”的充分不必要条件．故选．12.函数的图象大致为（ ）．A.yOxB.yO xC.yOxD.yO x【答案】【解析】A ，∴为奇函数，其图象关于原点对称，令，解得，函数只有一个零点，只有选项符合．故选．13.A.B. C. D.【答案】【解析】设集合，集合．若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ）B 由，得：或．由，得：，所以，或，，因为所以，则且小于．由中恰含有一个整数，所以．即，也就是．解①得：，解②得：①②所以，满足中恰含有一个整数的实数的取值范围是．故选．14.A.B.C.D.【答案】【解析】已知函数，则方程的解的个数是（ ）．C 方程的解的个数，等价于函数与的图象交点的个数．在同一平面直角坐标系中作出与的图象，由图象可知，两函数图象的交点个数为．故选．三、解答题（本大题共4小题，共44分）15.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数为奇函数．求实数的值并证明是增函数．若实数满足不等式，求的取值范围．，证明见解析．．因为为奇函数，所以，所以，，，此时为奇函数，故．16.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数．若函数的值域为，求实数的取值范围．若函数在区间上严格递增，求实数的取值范围．．．当时，满足题意；当时，要使得的值域为，只需要满足，解得．综上，．，．当时，外层函数为严格增函数，所以只需满足；当时，外层函数为严格减函数，所以只需满足，此时不存在满足条件的，舍去．（2）【踩分点】设，则，所以，所以是增函数．由（）得为定义域上的奇函数且单调递增，由可得，所以，即，所以，解得．【踩分点】综上，．17.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司提供（万元）的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率，公司生产万件防护服需投入成本（万元）．将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（利润总收入一成本，政府补贴万元计入公司收入中）．在复工率为时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？对任意的，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？（精确到），．政府补贴为万元才能使公司的防护服利润达到最大．．∵，∴，即，．当时，，当且仅当，即时等号成立，所以政府补贴万元才能使公司的防护服利润达到最大．若对任意的，公司都不亏损，则在上恒成立，【踩分点】∴，令，∴，在上单调递增，∴，∴．18.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】已知函数，．当时，求函数的值域．若关于的方程有两个不等根，，求的值．已知存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，，求出实数的取值范围．．．．因为，所以函数在区间上严格递减，而，，故函数的值域为．因为在上单调递减，在上单调递增，又，，所以，则有，即，故，所以．令，由（）知，令，因为在上单调递减，在上单调递增，且，，，则当时，方程有两个不等根，由（）知，两根之积为；当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为．令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，，且有两个不等根，只有一个根，则必有，结合二次函数的性质，则有，解得，所以实数的取值范围为．【踩分点】。
2019-2020学年上海市浦东新区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市浦东新区高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．()()21,11x f x g x x x -==+- B ．()()0,1f x x g x ==C ．()(),f x x g x =D ．()()0,0x x f x x g x x x >⎧==⎨-<⎩【答案】C 【解析】根据函数的两要素，定义域与对应法则，判断两个函数是否为同一函数，即可.【详解】选项A ，()f x 的定义为{}1x x ≠，()g x 的定义为R 不相同，不是同一函数. 选项B ，()f x 的定义为{}0x x ≠，()g x 的定义为R 不相同，不是同一函数.选项C ，()f x 的定义为R ，()g x 的定义为R 相同，()()f x g x x ==，是同一函数. 选项D ，()f x 的定义为R ，()g x 的定义为{}0x x ≠不相同，不是同一函数. 故选：C【点睛】本题考查函数的两要素，属于较易题.2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =I ( ) A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】B【解析】解不等式102x x +<-，得12x -<<，即{}12B x x =-<<，与集合A ，求交集，即可.【详解】 {}10122x B x x x x ⎧⎫+=<=-<<⎨⎬-⎩⎭Q ，{}2,1,0,1,2A =-- {}0,1A B ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.3．设命题甲为“0＜x ＜3”，命题乙为“|x -1|＜2“，那么甲是乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】化简命题乙，再利用充分必要条件判断出命题甲和乙的关系．【详解】命题乙为“|x -1|＜2，解得-1＜x ＜3．又命题甲为“0＜x ＜3”，因为{|03}x x << n {|13}x x -<<那么甲是乙的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．下列函数中，值域是()0,∞+的是( )A ．13y x =B ．y =C ．||31x y =-D ．2y x -= 【答案】D【解析】先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可.【详解】 因为函数13y x =的定义域为R ，值域为R ，不是()0,∞+所以选项A 不符合题意.因为函数y =={1x x ≤-或}3x ≥所以值域为[)0,+∞，不是()0,∞+，选项B 不符合题意.因为函数31x y =-的定义域为R 关于原点对称，3131x xy --==- 所以函数31x y =-为偶函数.当0x ≥时3131xx y =-=-，单调递增当0x <时3131x x y -=-=-，单调递减所以0min 310y =-= 即函数31xy =-值域为[)0,+∞，不是()0,∞+，所以选项C 不符合题意. 因为函数2y x -=的定义域为{}0x x ≠关于原点对称， ()22x x ---=所以函数2y x -=为偶函数. 当0x >时2210y x x -==>，单调递减 当0x <时2210y x x -==>，单调递减 即函数2y x -=值域为()0,∞+，所以选项D 符合题意. 故选：D【点睛】本题考查求函数的值域，属于中档题.二、填空题5．已知集合{}2|20A x x x =--=，用列举法可表示为A =_________.【答案】{}1,2-【解析】解方程220x x --=得1x =-或2x =，用列举法表示，即可.【详解】 Q 方程220x x --=的解为：1x =-或2x =∴{}{}2|201,2A x x x =--==-故答案为：{}1,2-【点睛】本题考查集合的表示方法，属于容易题.6．函数()lg(2)f x x =-的定义域是____________.【答案】(2,+∞)【解析】【详解】∵20x ->，∴2x >．7．命题“若1x >，则0x >”的逆否命题是________.【答案】若0x ≤，则1x ≤【解析】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，写出即可.【详解】命题“若1x >，则0x >”的逆否命题是“若0x ≤，则1x ≤”故答案为：若0x ≤，则1x ≤【点睛】本题考查命题的四种形式，属于容易题.8．若函数()()11()31x f x x x >=-+≤⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦________. 【答案】3 【解析】先求解()14f -=，再求()4f ，即可.【详解】当1x ≤时()3f x x =-+，则()()1134f -=--+=.当1x >时()1f x =，则()()1413f f f -===⎡⎤⎣⎦. 故答案为：3【点睛】本题考查分段函数求值，属于较易题.9．已知集合{}{}2,1,2,1,A B a =-=，且B A ⊆，则实数a 的值为_________.【答案】2±【解析】根据题意可知，a A ∈，根据元素的互异性可知1a ≠，求解即可.【详解】若使得B A ⊆成立，则需1a A a ∈⎧⎨≠⎩，即2a =-或2a = 故答案为：2±【点睛】本题考查集合之间的关系，属于容易题.10．已知集合{}2|60A x x px =-+=，若3A ∈，则方程15x p -=的解为__________.【答案】2x =【解析】由题意可知，3是方程260x px -+=的根，解得5p =.方程15x p -=等价变形为155x -=，解得，即可.【详解】3A ∈Q∴3是方程260x px -+=的根，即23360p -+=，解得5p =.又Q 方程155x p -==11x ∴-=，解得2x =.故答案为：2x =【点睛】本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题.11．函数()2log f x x x =+零点个数为_________.【答案】1【解析】函数()2log f x x x =+的零点个数，等价于方程()0f x =根的个数，等价于函数2log y x =与y x =-交点的个数，在同一坐标系下，画出函数图象，确定交点个数即可.【详解】由题意可知，在同一坐标系下，画出2log y x =与y x =-的函数图象，如图所示由图可知，函数2log y x =与y x =-有一个交点，则函数()2log f x x x =+有一个零点.故答案为：1【点睛】本题考查函数的零点个数，属于较易题.12．设函数()11f x x =-的反函数为()1f x -，则()11f -=_________. 【答案】2【解析】根据原函数与反函数的关系，解方程111x =-，即可. 【详解】 令()111f x x ==-解得2x = Q 函数()11f x x =-的反函数为()1f x -. ∴()112f -=故答案为：2【点睛】本题考查反函数，属于较易题.13．若函数()2f x ax bx c =++是定义域为()23,1a -的偶函数，则a b +=_________. 【答案】1【解析】根据函数()f x 为偶函数，则定义域关于原点的对称，且0b =，列方程组得23100a b -+=⎧⎨=⎩，解方程组即可. 【详解】Q 函数()2f x ax bx c =++是定义域为()23,1a -的偶函数∴23100a b -+=⎧⎨=⎩，解得1a =，0b = 即1a b +=故答案为：1【点睛】本题考查函数的奇偶性，定义域关于原点对称是解决本题的关键，属于较易题. 14．方程2lg 3lg 20x x -+=的解为_________.【答案】10或100【解析】令lg t x =，则方程2lg 3lg 20x x -+=变形为2320t t -+=，解得1t =或2t =，即lg 1x =或lg 2x =，解方程即可.【详解】令lg t x =，则方程2lg 3lg 20x x -+=变形为2320t t -+=.解得1t =或2t =，即lg 1x =或lg 2x =，解得10x =或100x =故答案为：10或100【点睛】本题考查解对数方程，属于较易题.15．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______. 【答案】1-或2.【解析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解.【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+， 对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即210,a a a --==（舍去），或a ； 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =.故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.16．已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】0a ≤【解析】根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即11a x≤-，令11y x =-，根据函数11y x =-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可.【详解】Q ()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-，即11a x ≤-. 令11y x =-，则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min 111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：0a ≤【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.三、解答题17．已知函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2，求实数a 的值. 【答案】2【解析】由题意可知，函数()f x 在[]1,2单调递增，则()()212f f -=，解方程，即可.【详解】Q 函数()(),1x f x a a =>∴函数()f x 在[]1,2单调递增即()()2max 2f x f a ==，()()min 1f x f a == 又Q 函数()(),1x f x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2.∴()()2212f f a a -=-=，解得2a =或1a =-（舍去）综上所述：2a =【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于较易题.18．已知函数()f x x=. 求：(1)函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明.【答案】(1)[)(]1,00,1-U ；(2)偶函数，证明见解析.【解析】(1)根据分式分母不为0，开偶次方的根式，被开方式大于或者等于0，列不等式组，求解即可.(2)根据函数奇偶性的定义，证明即可.【详解】(1)若使得函数()f x =有意义 则需2010x x ≠⎧⎨-≥⎩解得10x -≤<或01x <≤. 所以函数()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U .(2)由(1)可知，函数()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U 关于原点对称Q ()()f x f x -=== ∴函数()f x 为偶函数.【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于较易题.19．甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速[]70,120v ∈（千米/时）.已知汽车每小时．．．的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为20.02v ，固定部分为220元.(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？（结果保留整数）【答案】(1)()[]20.0270,120166220,y v v v =+∈；(2)当105v =时，最小运输成本为696元.【解析】(1)由题意可知，汽车的行驶时间为166v（小时），汽车每小时．．．的运输成本为20020.20v +，从而确定全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数关系，即可.(2)由(1)可知，()216684110000.0222025y v v v v ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，根据对号函数，求解即可. 【详解】 (1)因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速[]70,120v ∈（千米/时）. 所以汽车的行驶时间为166v（小时） 又汽车每小时．．．的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为20.02v ，固定部分为220元所以汽车每小时．．．的运输成本为20022.20v +（元） 则全程运输成本()[]20.0270,120166220,y v v v =+∈ (2) 由(1)可知，()216684110000.0222025y v v v v ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当70,10110v ⎡⎤∈⎣⎦时，函数841100025y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减 当10110,120v ⎡⎤∈⎣⎦时，函数841100025y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增 所以，当10110105v =≈时，全程运输成本取得最小值即最小运输成本为()2min 1660.02105220696105y =⨯+≈元. 【点睛】本题考查函数的实际应用，属于中档题.20．已知m 是整数，幂函数()22m m f x x -++=在[)0,+∞上是单调递增函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)作出函数()()1g x f x =-的大致图象；(3)写出()g x 的单调区间，并用定义法证明()g x 在区间[)1,+∞上的单调性.【答案】(1)()2f x x =；(2)图象见解析；(3)减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞，证明见解析.【解析】(1)根据幂函数()22m m f x x -++=在[)0,+∞上是单调递增函数，可知220m m -++>，解不等式即可.(2)由(1)可知()2f x x =，则()21g x x =-，先画出21y x =-的图象，再将该图象x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即可.(3)根据(2)的图象写出单调区间，再根据定义法证明函数单调性，即可.【详解】(1)由题意可知，220m m -++>，即12m -<<因为m 是整数，所以0m =或1m =当0m =时，()2f x x = 当1m =时，()2f x x = 综上所述，幂函数()f x 的解析式为()2f x x =. (2) 由(1)可知()2f x x =，则()21g x x =- 函数()g x 的图象，如图所示：(3)由(2)可知，减区间为(][],1,0,1-∞-；增区间为[][)1,0,1,-+∞当[)1,x ∈+∞时，()2211g x x x =-=-设任意的1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->则()()()()()()2222121212121211g x g x x x x x x x x x -=---=-=-+ 又Q 1x ，[)21x ∈+∞,且120x x ->∴()()120g x g x ->即()g x 在区间[)1,+∞上单调递增.【点睛】本题考查求幂函数的解析式以及画函数图象，单调性的定义法证明.属于中档题. 21．已知函数()()()4log 1,0,1a f x x a a =+->≠的反函数()1f x -的图象经过点()5,1P -，函数()2(),21x g x b b R =-∈+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()()22xF x g x =+-的零点； (3)设()g x 的反函数为()1g x -，若关于x 的不等式()()1g k x f x -+<在区间()1,0-上恒成立，求正实数k 的取值范围.【答案】(1)()()24log 1f x x =+-；(2)4log 3x =；(3)(]0,4.【解析】(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数()f x 过点()1,5-，代入求解a 值，即可.(2)由题意可知()00g =，解得1b =，从而确定()22121x x F x =-+-+，令()0F x =，即()()21212x x -+=，即43x =，解方程，即可. (3)由题意可知，()()121log ,1,11x g x x x-+=∈--，则不等式()()1g k x f x -+<变形为()2214log 1x k x -<++，令()1,0,1t x t =+∈，则244log 4k t t ⎛⎫<++- ⎪⎝⎭，令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据函数的单调性，可知244log 44y t t ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，从而求解正实数k 的取值范围.【详解】(1)由题意，()f x 过点(1,5)-，即()14log 25a f -=+=，解得2a =所以()()24log 1f x x =+-.(2)Q ()g x 为R 上的奇函数∴()0201021g b b =-=-=+，解得1b =，即()2121x g x =-+ 则()()22x F x g x =+-令()0F x =，即221021x x -+-=+ 则()()()2212121412x x x x -+=-=-=即43x =，解得4log 3x =.(3)由(2)可知()2121x g x =-+ ∴()()121log ,1,11x g x x x-+=∈-- 即()()()12214log 1log 1xk f x g x x x -+<-=+---()()()2222114144log 4log 11x x x x x-+-++=+=+++ 令()1,0,1t x t =+∈，则2224444log 4log 4t t k t t t -+⎛⎫<+=++- ⎪⎝⎭令244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()0,1t ∈ Q 244log 4y t t ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭在()0,1t ∈单调递减 ∴22444log 44lo 41g 14y t t ⎛⎫⎛⎫=++->++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若关于x 的不等式()()1gk x f x -+<在区间()1,0-上恒成立,则4k ≤又Q k 为正实数∴(0,4]k ∈.【点睛】 本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.。
2019-2020年上海市浦东新区高一上册期末数学试卷(有答案)【推荐】
上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：．3．（3分）若集合A={|≤1}，B={|≥a}满足A∩B={1}，则实数a=．4．（3分）不等式2|﹣1|﹣1＜0的解集是．5．（3分）若f（+1）=2﹣1，则f（1）=．6．（3分）不等式的解集为．7．（3分）设函数f（）=（+1）（+a）为偶函数，则a=．8．（3分）已知函数f（）=，g（）=，则f（）•g（）=．9．（3分）设α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围．10．（3分）函数的值域是．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为．12．（3分）已知函数f（）=是R上的增函数，则a的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分. 13．（3分）函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．14．（3分）已知f（）是R上的奇函数，且当＞0时，f（）=﹣1，则＜0时f（）=（）A．﹣﹣1 B．+1 C．﹣+1 D．﹣115．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．616．（3分）给定实数，定义为不大于的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．﹣≥0B．﹣＜1C．令f（）=﹣，对任意实数，f（+1）=f（）恒成立D．令f（）=﹣，对任意实数，f（﹣）=f（）恒成立三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）已知，求实数m的取值范围．18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．（10分）设a是实数，函数f（）=a﹣（∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（）=2﹣2a+1．（1）若对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，求实数a的值；（2）若f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数f（）的最大值．21．（12分）在区间D上，如果函数f（）为减函数，而f（）为增函数，则称f（）为D上的弱减函数．若f（）=（1）判断f（）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（）=f（）+||﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1）．【解答】解：∵a0=1，a＞0且a≠1，∴函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1），故答案为：（0，1）．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：便宜没好货．【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，即“便宜没好货”，故答案为：便宜没好货3．（3分）若集合A={|≤1}，B={|≥a}满足A∩B={1}，则实数a=1．【解答】解：∵A={|≤1}，B={|≥a}，且A∩B={1}，∴a=1，故答案为：14．（3分）不等式2|﹣1|﹣1＜0的解集是．【解答】解：①若≥1，∴2（﹣1）﹣1＜0，∴＜；②若＜1，∴2（1﹣）﹣1＜0，∴＞；综上＜＜．故答案为：＜＜．5．（3分）若f（+1）=2﹣1，则f（1）=﹣1．【解答】解：∵f（+1）=2﹣1，∴f（1）=f（0+1）=2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．6．（3分）不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）．【解答】解：原不等式等价于（﹣3）（﹣2）≥0且﹣2≠0，所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）7．（3分）设函数f（）=（+1）（+a）为偶函数，则a=﹣1．【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）得：2（1+a）=0∴a=﹣1．故答案为：﹣1．8．（3分）已知函数f（）=，g（）=，则f（）•g（）=，∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：∵函数f（）=，g（）=，∴f（）•g（）=，∈（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：，∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．9．（3分）设α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围m≤﹣3或m≥2．【解答】解：α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，则2m﹣3≥1或2m+1≤﹣5，故m≥2或m≤﹣3，故答案为：m≥2或m≤﹣3．10．（3分）函数的值域是（0，4] ．【解答】解：设t=2﹣2≥﹣2，∵y=（）t为减函数，∴0＜（）t≤（）﹣2=4，故函数的值域是（0，4]，故答案为：（0，4]．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为9．【解答】解：∵ab＞0，且a+4b=1，∴=（）（a+4b）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号，∴的最小值为9，故答案为：9．12．（3分）已知函数f（）=是R上的增函数，则a的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：由于函数f（）=是R上的增函数，∴，求得﹣1≤a＜0，故答案为：[﹣1，0）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分. 13．（3分）函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：y=f（﹣）===f（），∴函数y=为偶函数，∴图象关于y轴对称，故排除C，D，∵＞1，∴当＞0时，y=的变化是越越快，故排除B故选：A14．（3分）已知f（）是R上的奇函数，且当＞0时，f（）=﹣1，则＜0时f（）=（）A．﹣﹣1 B．+1 C．﹣+1 D．﹣1【解答】解：设＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=﹣1，∴当＜0时，f（﹣）=﹣﹣1，又∵f（）是R上的奇函数，∴f（）=﹣f（﹣），∴当＜0时，f（）=﹣f（﹣）=+1，故选B．15．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，设至少需要个涨停，才能不亏损，则0.6564a（1+10%）≥a，整理得：1.1≥1.5235，∵1.15=1.6105，1.14=1.4641．∴至少需要5个涨停，才能不亏损．故选：C．16．（3分）给定实数，定义为不大于的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．﹣≥0B．﹣＜1C．令f（）=﹣，对任意实数，f（+1）=f（）恒成立D．令f（）=﹣，对任意实数，f（﹣）=f（）恒成立【解答】解：在A中，∵为不大于的最大整数，∴﹣≥0，故A正确；在B中，∵为不大于的最大整数，∴﹣＜1，故B正确；在C中，∵为不大于的最大整数，f（）=﹣，∴对任意实数，f（+1）=f（）恒成立，故C正确；在D中，∵为不大于的最大整数，f（）=﹣，∴f（﹣3.2）=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8，f（3.2）=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2，∴对任意实数，f（+1）=f（）不成立，故D错误．故选：D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）已知，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数…（2分）得，m2+m≤﹣m+3…（2分）即，m2+2m﹣3≤0…（2分）得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…（2分）18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．【解答】解：由题意…．（2分）S AMPN=（+2）（y+3）=y+3+2y+6=12+3+2y…．（5分）…．（2分）当且仅当3=2y，即=2，y=3时取得等号．…．（7分）面积的最小值为24平方米．…．（8分）19．（10分）设a是实数，函数f（）=a﹣（∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（）在R上为增函数．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意1，2∈R，1＜2，则f（1）﹣f（2）===，由于指数函数y=2在R上是增函数，且1＜2，所以即，又由2＞0，得，，∴f（1）﹣f（2）＜0即f（1）＜f（2），所以，对于任意a，f（）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（）=2﹣2a+1．（1）若对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，求实数a的值；（2）若f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数f（）的最大值．【解答】解：（1）由对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，知函数f（）=2﹣2a+1的对称轴为=a，即a=1；（2）函数f（）=2﹣2a+1的图象的对称轴为直线=a，由f（）在[a，+∞）上为单调递增函数，y=f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；（3）函数图象开口向上，对称轴=a，可得最大值只能在端点处取得．当a＜0时，=1时，函数取得最大值为：2﹣2a；当a＞0时，=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a；当a=0时，=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．21．（12分）在区间D上，如果函数f（）为减函数，而f（）为增函数，则称f（）为D上的弱减函数．若f（）=（1）判断f（）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（）=f（）+||﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减，而在[0，+∞）上单调递增，所以是[0，+∞）上的弱减函数．（2）不等式化为在∈[1，3]上恒成立，则，而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当=0时，上式恒成立；②当∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．。
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分）1. 已知函数f(x)是R 上的偶函数，若x 1、x 2∈R ，则“x 1+x 2=0”是“f(x 1)=f(x 2)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 函数y =axx 2+1(a >0)的图象大致为( )A.B.C.D.3. 设集合A ={x|x 2+2x −3>0}，集合B ={x|x 2−2ax −1≤0,a >0}.若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,34)B. [34,43)C. [34,+∞)D. (1,+∞)4. 已知函数f(x)={1−12|1−x|,x ≤212f(x −2),2<x ≤6，则方程xf(x)−1=0的解得个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 8二、单空题（本大题共10小题，共40.0分）5. 计算：(12)−2+823+log 375−2log 35=______．6. 已知cosα=13，α∈(−π2,0)，则tanα等于______． 7. 不等式x 2−x−4x−1≥1的解集为______ ．8. 已知扇形的圆心角为π3，弧长是πcm ，则扇形的面积是______ cm 2．9. 已知幂函数f(x)的图象过点(2,√22)，则f(3)=______．10. 已知函数f(x)=log 2(2x −1),y =f −1(x)是其反函数，则f −1(1)= ______ ． 11. 方程lg(x +2)−lg(2x 2+x −6)+1=0的解为______ ．12. 若关于x 的方程9x +(4+a)⋅3x +4=0有解，则实数a 的取值范围是______． 13. 已知a >0，b >0且a +b =3.式子2021a+2019+2021b+2020的最小值是______ ．14.已知f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+⋯…+x+2020x+2021，F(x)=f(x+m)−n，若函数y=F(x)为奇函数，则|x2+m|+|x−n|的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知函数f(x)=2x−a2x+1为奇函数．(Ⅰ)求实数a的值并证明f(x)是增函数；(Ⅱ)若实数t满足不等式f(1t−2)+f(−1)>0，求t的取值范围．16.已知函数f(x)=ax2−4x+6．(1)若函数y=log2f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数y=log a f(x)在区间(1,3]上严格增，求实数a的取值范围．17.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将墙加到t=k⋅(6−12x+4)(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1])，A公司生产t万件防护服需投入成本(20+8x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(利润=总收入一成本，政府补贴x万元计入公司收入中)；(2)在复工率为k=0.7时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？(3)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工案k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确0.01)18.已知函数f(x)=3⋅2x−72x−3，g(x)=|log2x|．(1)当x∈[0,1]时，求函数f(x)的值域；(2)若关于x的方程g(x)=t有两个不等根α，β(α<β)，求αβ的值；(3)已知存在实数a，使得对任意m∈[0,1]，关于x的方程4g2(x)−4ag(x)+3a−1−f(m)=0在区,4]上总有3个不等根x1，x2，x3，求出实数a的取值范围．间[18答案和解析1.【答案】A【解析】 【解答】解：已知函数f(x)是R 上的偶函数，则f(x)=f(−x)， 若x 1、x 2∈R ，“x 1+x 2=0”，则x 1=−x 2， 所以f(x 1)=f(−x 2)=f(x 2)， 若x 1、x 2∈R ，f(x 1)=f(x 2)， 因为函数f(x)是R 上的偶函数， 所以f(x 1)=f(x 2)=f(−x 2)，所以x 1=−x 2，或x 1=−x 2+T ，T 是函数的周期，所以x 1+x 2=0，或x 1+x 2=T ， 故x 1、x 2∈R ，则“x 1+x 2=0”是“f(x 1)=f(x 2)”的充分不必要条件， 故选：A ． 【分析】根据函数奇偶性、充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题考查了函数的性质、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2.【答案】A【解析】解：f(−x)=−axx 2+1=−f(x)， ∴y =f(x)为奇函数，其图象关于原点对称， 令axx 2+1=0，解得x =0，函数只有一个零点，只有选项A 符合， 故选：A ．根据函数的奇偶性和函数的零点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数的零点是关键，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：由x 2+2x −3>0，得：x <−3或x >1． 由x 2−2ax −1≤0，得：a −√a 2+1≤x ≤a +√a 2+1． 所以，A ={x|x 2+2x −3>0}={x|x <−3或x >1}，B ={x|x 2−2ax −1≤0,a >0}={x|a −√a 2+1≤x ≤a +√a 2+1}.因为a >0，所以a +1>√a 2+1，则a −√a 2+1>−1且小于0． 由A ∩B 中恰含有一个整数，所以2≤a +√a 2+1<3． 即{a +√a 2+1≥2a +√a 2+1<3，也就是{√a 2+1≥2−a①√a 2+1<3−a②．解①得：a ≥34，解②得：a <43．所以，满足A ∩B 中恰含有一个整数的实数a 的取值范围是[34,43)．故选：B ．先求解一元二次不等式化简集合A ，B ，然后分析集合B 的左端点的大致位置，结合A ∩B 中恰含有一个整数得集合B 的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解．本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想，训练了无理不等式的解法，求解无理不等式是该题的一个难点．此题属中档题．4.【答案】C的图象交点的个数，【解析】解：方程xf(x)−1=0的解得个数，等价于函数y=f(x)与y=1x在同一坐标系作出y=f(x)与y=1的图象，x由图象可知，函数得零点个数为7．故选：C．图象的交点个数，利用分段函数的解析式，作出分段函数的图象，将问题转化为两个函数y=f(x)与y=1x即可得到答案．本题考查了函数的零点与方程根的关系，解题的关键是正确画出分段函数的图象．5.【答案】9【解析】解：原式=4+23×23+log(3×25)−2log35=4+4+1+2log35−2log35=9，3故答案为：9．利用对数的运算性质求解．本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．6.【答案】−2√2【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】,0)，解：∵α∈(−π2∴sinα=−√1−cos2α=−2√2，3=−2√2．∴tanα=sinαcosα故答案为：−2√2．7.【答案】[−1,1)∪[3，+∞)【解析】解：∵x 2−x−4x−1≥1，∴x 2−x−4−x+1x−1≥0，∴x 2−2x−3x−1≥0， ∴(x−3)(x+1)x−1≥0，∴{x −1>0x −3≥0或{x −1<0x +1≥0，解得：−1≤x <1或x ≥3，故不等式的解集是[−1,1)∪[3，+∞)， 故答案为：[−1,1)∪[3，+∞)．移项，通分，分解因式，通过讨论x −1的符号，问题转化为x 的不等式组，解出即可． 本题考查了分式不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道基础题．8.【答案】3π2【解析】解：因为扇形的圆心角为π3，弧长是πcm ， 所以：圆的半径为：ππ3=3，所以：扇形的面积为：12×π×3=3π2cm 2．故答案为：3π2．由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．9.【答案】√33【解析】解：设幂函数y =f(x)=x α，由函数图象过点(2,√22)，所以2α=√22，解得α=−12；所以f(x)=x −12， 所以f(3)=3−12=√33． 故答案为：√33．利用待定系数法求出幂函数y =f(x)的解析式，再计算f(3)的值．本题考查了利用待定系数法求幂函数的解析式以及函数值计算问题，是基础题．10.【答案】32【解析】解：令f−1(1)=t⇒f(t)=log2(2t−1)=1⇒t=32，∴f−1(1)=32．故答案为：32．根据反函数图象过点(1,t)，则原函数图象过点(t,1)，将点(t,1)代入解析式解之即可．本题主要考查了反函数的应用，解题的关键是利用反函数图象过点(m,n)则原函数图象过点(n,m)，属于基础题．11.【答案】132【解析】解：由方程lg(x+2)−lg(2x2+x−6)+1=0，可得lg10(x+2)2x2+x−6=0，∴10(x+2)2x2+x−6=1，即2x2+x−6=10(x+2)，即(2x−13)(x+2)=0．解得x=132，或x=−2，又x+2>0且2x2+x−6>0，故x=132，(−2舍)，故答案为：132．由题意可得lg10(x+2)2x2+x−6=0，即10(x+2)2x2+x−6=1，结合真数大于0，由此求得x的值．本题主要考查对数方程的解法，体现了等价转化的数学思想，注意真数大于0的限制，属于中档题．12.【答案】{a|a≤−8}【解析】解：令3x=t>0，则关于x的方程9x+(4+a)⋅3x+4=0即t2+(4+a)t+4=0有正实数解．故a=t2+4t+4−t =−4−(t+4t)，由基本不等式可得t+4t ≥4，当且仅当t=4t时，等号成立，故−(t+4t)≤−4，故−4−(t+4t)≤−8，即a≤−8，故答案为{a|a≤−8}．令3x=t>0由条件可得a=t2+4t+4−t =−4−(t+4t)，利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围．本题考查方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：令a+2019=x，b+2020=y，则x>2019，y>2020且x+y=4042，∴14042(x+y)=1，∴2021a+2019+2021b+2020=2021(1x +1y )=2021(1x +1y )⋅14042(x +y)， =1+12(yx+xy)≥1+12⋅2√yx⋅xy=2，当且仅当y x =xy 且x +y =4042，即x =y =2021，a =2，b =1时成立．故答案为：2．令a +2019=x ，b +2020=y ，则x >2019，y >2020且x +y =4042，然后利用乘1法，结合基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，换元法的应用是求解问题的关键．14.【答案】2021−√1011【解析】解：由已知可得：f(x)=1−1x+1+1−1x+2+⋯+1−1x+2021=2021−(1x +1+1x +2+⋯+1x +2021) 所以f(−2022−x)=2021−(1−2021−x +1−2020−x +⋯+1−x−1)， 所以f(x)+f(−2022−x)=4042，又函数F(x)为奇函数，则F(−x)=−F(x)，所以f(x)+f(2m −x)=2n ，则2m =−2022，2n =4042， 所以m =−1011，n =2021，令g(x)=|x 2+m|+|x −n|=|x 2−1011|+|x −2021|={ x 2−x +1010,x <−√1011−x 2−x +3033,−√1011≤x ≤√1011x 2−x +1010,√1011<x <2021x 2+x −3033,2021≤x，由二次函数的单调性可知；min{g(−√1011,g(√1011)}=g(√1011)=2021−√1011， 故答案为：2021−√1011．先化简函数f(x)，再把−2022−x 代入f(x)解析式中，两式相加可得f(x)+f(−2022−x)=4042，再利用F(x)是奇函数，建立关系式，进而可得m ，n 的值， 再把m ，n 的值代入所求的关系式中，可求出最小值．本题考查了函数的奇偶性以及最值问题，涉及到分离常数法，属于中档题．15.【答案】解：(I)因为f(x)=2x −a2x +1为奇函数，所以f(0)=1−a 2=0，所以a =1，f(x)=2x −12x +1=1−22x +1， 设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=21+2x 2−21+2x 1=2(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)<0， 所以f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)是增函数；(II)由(I)得y =f(x)为定义域R 上的奇函数且单调递增， 由f(1t−2)+f(−1)>0可得f(1t−2)>−f(1)=f(−1)，所以1t−2>1， 即1t−2−1=3−tt−2>0，所以(t −2)(t −3)<0， 解2<t <3．【解析】(I)由已知结合奇函数的性质可知f(0)=0，代入可求； (II)由已知结合函数的单调性及奇偶性即可直接求解．本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题． 16.【答案】解：(1)当a =0时，y =log 2(−4x +6)满足题意； 当a ≠0时，要使得y =log 2f(x)的值域为R ，只需要满足{a >0△=16−24a ≥0，解得0<a ≤23，综上a ∈[0,23]．(2)y =log a t,t =ax 2−4x +6，当a >1时，外层函数为严格增，所以只需满足{2a≤1a −4+6≥0⇒a ≥2； 当0<a <1时，外层函数为严格减，所以只需满足{2a ≥39a −12+6>0⇒{a ≤23a >23，此时不存在，舍去；综上a ∈[2,+∞)．【解析】(1)当a =0时，圆柱说法满足题意，当a ≠0时，要使得y =log 2f(x)的值域为R ，转化列出不等式组求解即可．(2)当a >1时，当0<a <1时，利用复合函数的单调性，列出不等式组求解即可． 本题考查函数的单调性的应用，复数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：(1)∵t =k ⋅(6−12x+4)，∴y =80t −(20+8x +50t)=30t −20−8x =30k(6−12x+4)−20−8x ， 即y =180k −360k x+4−8x −20,x ∈[0,10]；(2)y =180k −360k x+4−8x −20=180k +12−8[(x +4)+45kx+4]，∵x ∈[0,10]，∴4≤x +4≤14， ∴(x +4)+45k x+4≥2√(x +4)×45k x+4=6√5k ，当且仅当x +4=45kx+4，即x =3√5k −4时，等号成立． ∴y =180k +12−8[(x +4)+45kx+4]≤180k +12−48√5k ，故政府补贴为3√5k −4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为180k +12−48√5k 万元； (3)若对任意的x ∈[0,10]，公司都不产生亏损， 则180k −360k x+4−8x −20≥0在x ∈[0,10]恒成立，即k ≥145⋅(x+4)(2x+5)x+2，记t =x +2，则t ∈[2,12]，此时(x+4)(2x+5)x+2=(t+2)(2t+1)t =2t +2t +5，由于函数f(t)=2t +2t +5在t ∈[2,12]单调递增， ∴当t ∈[2,12]时，f(t)max =f(12)=29+16≈29.167， ∴k ≥145×29.167≈0.648，即当工厂工人的复工率到0.65时，对任意的x ∈[0,10]，公司都不产生亏损．【解析】(1)直接由利润=总收入−成本可得利润y 关于x 的函数解析式； (2)把(1)中的函数解析式变形，再由基本不等式求最值； (3)若对任意的x ∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k −360k x+4−8x −20≥0在x ∈[0,10]恒成立，分离参数k ，结合函数的单调性求最值，即可求得复工率的最大值．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)因为f(x)=3(2x −3)+22x −3=3+22x −3，所以函数f(x)在区间[0,1]上严格递减， 而f(0)=2，f(1)=1， 故函数f(x)的值域为[1,2]．(2)因为g(x)=|log 2x|在x ∈[0,1]单调递减，在[1,+∞)单调递增， 又t =|g(α)|=|g(β)|， 所以0<α<1<β，则有|log 2α|=|log 2β|，即−log 2α=log 2β 故0=log 2α+log 2β=log 2αβ， 所以aβ=1； (3)令p =f(m)，由(1)知p =f(m)∈[1,2]， 令t =g(x)，因为g(x)=|log 2x|在x ∈[18,1]单调递减，在[1,4]单调递增，且g(18)=3，g(1)=0，g(4)=2 则当t ∈(0,2]时，方程t =g(x)有两个不等根， 由(2)知，且两根之积为1；当t ∈(2,3]∪{0}时，方程t =g(x)有且只有一个根且此根在区间[18,14)内或者为1． 令ℎ(t)=4t 2−4at +3a −1，由二次函数ℎ(t)与g(x)的图象特征， 原题目等价于：对任意p ∈[1,2]，关于t 的方程ℎ(t)=p 在区间[0,3]上总有2个不等根t 1，t 2(t 1<t 2)， 且t 1=g(x)有两个不等根，t 2=g(x)只有一个根，则必有0<t 1≤2<t 2≤3， 结合二次函数ℎ(t)的性质，则有{ℎ(0)=3a −1>2ℎ(2)=15−5a <1ℎ(3)=35−9a ≥2，解得145<a ≤113，所以实数a的取值范围为(145,113]．【解析】(1)将已知函数f(x)的解析式利用分离常数法将函数解析式变形，再利用复合函数的单调性即可判断函数f(x)的单调性，求解最值即可得到答案；(2)利用g(x)的单调性以及t=|g(α)|=|g(β)|，得到0<α<1<β，再利用解析式即可得到a和β的关系式(3)令t=g(x)，分析g(x)的单调性，然后对t分情况进行分析，得到当t∈(0,2]时，方程t=g(x)有两个不等根，t∈(2,3]∪{0}时，方程t=g(x)有且只有一个根且此根在区间[18,14)内或者为1，进一步令ℎ(t)=4t2−4at+3a−1，将问题转化为对任意p∈[1,2]，关于t的方程ℎ(t)=p在区间[0,3]上总有2个不等根t1，t2(t1< t2)，且t1=g(x)有两个不等根，t2=g(x)只有一个根，则必有0<t1≤2<t2≤3，分析求解，列出关于a的不等式组，求解即可．本题考查了函数的综合应用，涉及了函数的零点与方程根的关系，解题的关键是将问题转化为关于t的方程ℎ(t)=p在区间[0,3]上总有2个不等根t1，t2(t1<t2)，且t1=g(x)有两个不等根，t2=g(x)只有一个根．第11页，共11页。
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2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a b >，则下列说法正确的是 ． （1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b<；（4）22a b > 2．（4分）函数()(0)f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是 ． 3．（4分）函数22711()(1)mm f x m m x ++=--是幂函数，则m = ．4．（4分）若a ，b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值 ． 5．（4分）不等式|1||2|13x x -++<的解集为 ．6．（4分）“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是 ．7．（4分）已知函数()f x =[1x ∈，9]，2()()()g x f x f x =的反函数是1()g x -，则1()g x -的定义域为 ．8．（4分）函数243()6x x f x x ++=-的值域为 ．9．（4分）已知a ，b 为非零实数，且3126a b ab ==，则a b +的值为 ．10．（4分）已知函数213,1()1,12x x k x f x log x x ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩，2()(2)()1x g x aln x a R x =++∈+，若对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x ，则实数k 的取值范围是 ． 二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数()y f x =经过点，则()f x 是( ) A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数12．（4分）若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．9(4，3)B ．9[4，3)C ．(1,3)D ．(2,3)13．（4分）定义在R 上的函数()f x 有反函数1()f x -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则11(2020)(2018)f x f x ---+-的值为( ) A ．0B ．2C ．2-D ．不能确定14．（4分）已知函数()f x 的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数()f x 的个数为( ) A ．1个 B ．6个 C ．8个 D ．无数个三、解答题15．（8分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x 时，2()2f x x x =-． （Ⅰ）求(0)f 及(f f （1）)的值； （Ⅱ）求函数()f x 的解析式；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围， 16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数,0()(),C x A f x C B x A x A<⎧=⎨+->⎩当使用34m 时，缴费4元，当使用327m 时，缴费14元；当使用335m 时，缴费19元．（1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？ 17．（12分）已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2，3]上有解，求k 的取值范围．18．（14分）已知函数2||,()2,x x pf x x x x M ∈⎧=⎨-+∈⎩其中P ，M 是非空数集，且PM =∅，设(){|()f P y y f x ==，}x P ∈，(){|()f M y y f x ==，}x M ∈． ()I 若(,0)P =-∞，[0M =，4]，求()()f P f M ；()II 是否存在实数3a >-，使得[3PM =-，]a ，且()()[3f P f M =-，23]a -？若存在，请求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由；()III 若PM R =，且0M ∈，I P ∈，()f x 是单调递增函数，求集合P ，M ．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共40分）1．（4分）若实数a b >，则下列说法正确的是 （1） ． （1）a c b c +>+；（2）ac bc <；（3）11a b<；（4）22a b > 【解答】解：由可加性知，（1）正确； 当0c 时，（2）显然不正确；当a ，b 满足其中一个为0时，（3）显然无意义； 取1a =，2b =-可知，（4）不正确． 故答案为：（1）．2．（4分）函数()(0)f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是 0b = ． 【解答】解：函数()(0)(0)0f x kx b k f =+≠⇔=，0b ∴=． ∴函数()(0)f x kx b k =+≠是奇函数的充要条件是0b =．故答案为：0b =．3．（4分）函数22711()(1)mm f x m m x ++=--是幂函数，则m = 2或1- ．【解答】解：函数22711()(1)mm f x m m x ++=--是幂函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-． 故答案为：2或1-．4．（4分）若a ，b 都是正数，且1a b +=，则(1)(1)a b ++的最大值 94． 【解答】解：1a b +=，0a >，0b >， ∴12a b ab =+，即14ab ，当且仅当a b =时取等号， ∴19(1)(1)11244a b ab ++=+++=，即(1)(1)a b ++的最大值为94． 故答案为：94． 5．（4分）不等式|1||2|13x x -++<的解集为 (7,6)- ．【解答】解：当2x -时，原不等式等价于1213x x ---<，解得7x >-，此时满足72x -<-；当21x -<<时，原不等式等价于1213x x -++<，即313<恒成立； 当1x 时，原不等式等价于1213x x -++<，解得6x <，此时满足16x <； 综上，不等式的解集为(7,6)-． 故答案为：(7,6)-．6．（4分）“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题是 若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠ ． 【解答】解：若p ，则q 的逆否命题的形式是：若q ⌝，则p ⌝．因此命题“若1x y +=，则1x =且0y =”的逆否命题为“若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠”． 故答案为：若1x ≠或0y ≠，则1x y +≠．7．（4分）已知函数()f x =[1x ∈，9]，2()()()g x f x f x =的反函数是1()g x -，则1()g x -的定义域为 [2， ．【解答】解：函数()f x =，[1x ∈，9]，223()()()11[2g x f x f x x x x ==++=+，，则1()g x -的定义域为原函数()g x 的值域，1()g x -∴的定义域为[2∈，，故答案为：[2，，8．（4分）函数243()6x x f x x ++=-的值域为 (,16[1667,)-∞-++∞ ．【解答】解：2243(6)16(6)6363()(6)16666x x x x f x x x x x ++-+-+===-++---，由双勾函数性质可知，63616(,16][26316,)6x x -++∈-∞-++∞-．故答案为：(,16[1667,)-∞-++∞．9．（4分）已知a ，b 为非零实数，且3126a b ab ==，则a b +的值为 2 ． 【解答】解：设3126a b ab k ===， 3log a k ∴=，12log b k =，6log ab k =， ∴11312362log 6k k k k log log log a b +=+==，又16k log ab=， ∴112a b ab +=， ∴2a b ab ab+=， 2a b ∴+=，10．（4分）已知函数213,1()1,12x x k x f x log x x ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩，2()(2)()1x g x aln x a R x =++∈+，若对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x ，则实数k 的取值范围是 3(,]4-∞- ．【解答】解：对函数()f x ，当1x 时，11()()24max f x f k ==+；当1x >时，1()(1)2max f x f ==-，()f x ∴在(2,)-+∞上的最大值11(){,}42max f x max k =+-；对函数()g x ，函数()g x 若有最小值，则0a =，即2()1xg x x =+， 当(2x ∈-，0)(0⋃，)+∞时，1()1g x x x=+，易知函数1()2min g x =-； 又对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x ， ()()(2)max min f x g x x ∴>-，即111{,}422max k +--，∴1142k +-， ∴34k -，即实数k 的取值范围为3(,]4-∞-．故答案为：3(,]4-∞-．二、选择题（每题4分，共16分）11．（4分）幂函数()y f x =经过点，则()f x 是( ) A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 【解答】解：设幂函数的解析式为：y x α=，将代入解析式得： 3α=12α=， 12y x ∴=，12．（4分）若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．9(4，3)B ．9[4，3)C ．(1,3)D ．(2,3)【解答】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得30a ->且1a >． 但应当注意两段函数在衔接点7x =处的函数值大小的比较， 即(3)73a a -⨯-，可以解得94a， 综上，实数a 的取值范围是9[4，3)．故选：B ．13．（4分）定义在R 上的函数()f x 有反函数1()f x -，若有()()2f x f x +-=恒成立，则11(2020)(2018)f x f x ---+-的值为( ) A ．0 B ．2C ．2-D ．不能确定【解答】解：()()2f x f x +-=，()()2f t f t ∴+-=，令2020x m -=，2018x n -=，2m n ∴+=， ∴可令()f t m =，()f t n -=，由反函数的定义知，1()t f m -∴=，1()t f n --= 11()()0f m f n ∴+=，即：11(2020)(2018)f x f x ---+-的值是0， 故选：A ．14．（4分）已知函数()f x 的定义域为{0，1，2}，值域为{0，1}，则满足条件的函数()f x 的个数为( ) A ．1个B ．6个C ．8个D ．无数个【解答】解：当0对应0时，可以有①(1,0)，(2,1)；②(1,1)，(2,0)；③(1,1)，(2,1)；共三种对应方式；当0对应1时，可以有①(1,0)，(2,0)；②(1,1)，(2,0)；③(1,0)，(2,1)；共三种对应方式；故满足条件的函数()f x 共有6个． 故选：B ． 三、解答题15．（8分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x 时，2()2f x x x =-． （Ⅰ）求(0)f 及(f f （1）)的值； （Ⅱ）求函数()f x 的解析式；（Ⅲ）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围， 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当0x 时，2()2f x x x =-； 则(0)0f =，f （1）121=-=-，又由函数()f x 为偶函数，则f （1）(1)1f =-=-， 则(f f （1）)(1)1f =-=-； （Ⅱ）设0x <，则0x ->， 则有22()()2()2f x x x x x -=---=+， 又由函数()f x 为偶函数， 则2()()2f x f x x x =-=+， 则当0x <时，2()2f x x x =+，（Ⅲ）若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 而()y f x =的图象如图：分析可得10m -<<；故m 的取值范围是(1,0)-．16．（10分）某城市居民每月自来水使用量x 与水费()f x 之间满足函数,0()(),C x A f x C B x A x A<⎧=⎨+->⎩当使用34m 时，缴费4元，当使用327m 时，缴费14元；当使用335m 时，缴费19元．（1）求实数A 、B 、C 的值；（2）若某居民使用329m 水，应该缴水费多少元？ 【解答】解：（1）由题意得：4C =，将(27,14)，(35,19)代入()4()f x B x A =+-，得： 4(27)144(35)19B A B A +-=⎧⎨+-=⎩， 解得11A =，58B =； 所以11A =，58B =，4C =． （2）由（1）知，4,011()54(11),118x f x x x <⎧⎪=⎨+->⎪⎩； 当29x =时，561(29)4(2911)15.2584f =+⨯-==；所以该居民使用329m 水时，应该缴水费15.25元． 17．（12分）已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值；（2）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2，3]上有解，求k 的取值范围．【解答】解：（1）函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称， ()()0f x f x ∴+-=，即112211log log 011ax ax x x -++=---，∴1211()011ax axlog x x -+⨯=---，∴11111ax ax x x -+⨯=---恒成立，即22211a x x -=-，即22(1)0a x -=恒成立，所以210a -=，解得1a =±， 又1a =时，121()log 1axf x x -=-无意义，故1a =-；（2）(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，即11221log log (1)1xx m x ++-<-， ∴12log (1)x m +<在(1,)+∞恒成立，由于12log (1)y x =+是减函数，故当1x =，函数取到最大值1-，1m ∴-，即实数m 的取值范围是1m -；（3）121()log 1xf x x +=-在[2，3]上是增函数，12()log ()g x x k =+在[2，3]上是减函数， ∴只需要(2)(2)(3)(3)f g f g ⎧⎨⎩即可保证关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2，3]上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得112211223(2)2(3)log log k log log k +⎧⎪⎨+⎪⎩，解得11k -，即当11k -时关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[2，3]上有解．18．（14分）已知函数2||,()2,x x pf x x x x M ∈⎧=⎨-+∈⎩其中P ，M 是非空数集，且PM =∅，设(){|()f P y y f x ==，}x P ∈，(){|()f M y y f x ==，}x M ∈． ()I 若(,0)P =-∞，[0M =，4]，求()()f P f M ；()II 是否存在实数3a >-，使得[3PM =-，]a ，且()()[3f P f M =-，23]a -？若存在，请求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由；()III 若P M R =，且0M ∈，I P ∈，()f x 是单调递增函数，求集合P ，M ．【解答】解：()(I P =-∞，0)，(){|||f P y y x ∴==，(x ∈-∞，0)}(0=，)+∞，[0M =，4]，2(){|2f M y y x x ∴==-+，[0x ∈，4]}[8=-，1]．()()[8f P f M ∴=-，)+∞()II 若3M -∈，则(3)15[3f -=-∉-，23]a -，不符合要求3P ∴-∈，从而(3)3f -=(3)3[3f -=∈-，23]a -233a ∴-，得3a第11页（共11页）若3a >，则22233(1)12a x x x ->>--+=-+ P M =∅，23a ∴-的原象0x P ∈且03x a < 023x a a ∴=-，得3a ，与前提矛盾3a ∴=此时可取[3P =-，1)[0-，3]，[1M =-，0)，满足题意 ()()III f x 是单调递增函数，∴对任意0x <，有()(0)0f x f <=，x M ∴∈ (,0)M ∴-∞⊆，同理可证：(1,)P +∞⊆ 若存在001x <<，使得0x M ∈，则200001()2f x x x x >=-+>， 于是0[x ，2002]x x M -+⊆记21002(0,1)x x x =-+∈，22112x x x =-+，⋯ 0[x ∴，1]x M ∈，同理可知1[x ，2]x M ∈，⋯由212n n n x x x +=-+，得221112(1)n n n n x x x x +-=+-=-； 221201(1)(1)2(1)2n n n n x x x x --∴-=-=-=⋯=- 对于任意0[x x ∈，1]，取2(10[log log )(1)1x x ---，2(10log log )(1)]x x --中的自然数x n ，则 [x x xn ∈，1]x xn M +⊆0[x ∴，1)M ⊆综上所述，满足要求的P ，M 必有如下表示： (0,)[1P t =，)+∞，(M =-∞，0][t ，1)，其中01t <<或者(0P =，][1t ，)+∞，(M =-∞，0](,1)t ，其中01t << 或者[1P =，)+∞，(M =-∞，1]或者(0,)P =+∞，(M =-∞，0]。