【精品】2016学年江西省宜春市丰城中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)

2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．2．（5分）下列命题中真命题是（）A．B．∃x∈（﹣∞，0），2x＞1C．∀x∈R，x2≥x﹣1 D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx3．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BB1的中点，则D1E与CF的延长线交于一点，此点在直线（）A．AD上B．B1C1上C．A1D1上D．BC上4．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．5．（5分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．|a|≤1 C．|a|＜1 D．a≥16．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．p∧q7．（5分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的一个必要而不充分条件是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣2＜m＜0 C．﹣4＜m＜2 D．﹣2＜m＜18．（5分）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④9．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆x2+y2=1交于A、B两点，且向量、满足|+|=|﹣|，其中O为坐标原点，则实数a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．±110．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组，所表示的平面区域的面积是（）A．B．1 C．D．212．（5分）在正三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是命题（填“真”、“假”之一）．14．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣2ax﹣2by+a2﹣1=0，若a，b变化时，圆C2始终平分圆C1的周长，则圆C2的面积最小值时的方程为．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16．（5分）若f（x）=x2，∃t∈R，对于∀x∈[2，m]，都有f（x+t）≤2x成立，则m的最大值是．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，分别求满足下列条件的a，b值（1）l1⊥l2，且直线l1过点（﹣3，﹣1）；（2）l1∥l2，且直线l1在两坐标轴上的截距相等．18．（12分）已知P：||＜2，q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x ＞0}，且A∩B≠∅，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知圆M：x2+y2﹣4y+3=0，Q是x轴上动点，QA、QB分别切圆M 于A、B两点，（1）若|AB|=，求直线MQ的方程；（2）求四边形QAMB面积的最小值．20．（12分）已知f（x）=（x∈R），A=[﹣1，1]，设关于x的方程f（x）=的两根为x1，x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知三棱柱ABC﹣A′B′C′中，面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．（Ⅰ）求证：BB′⊥底面ABC；（Ⅱ）在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥面BEF，并给出证明．22．（12分）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．（1）若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=f（x）+2x|x﹣a|+ax﹣a﹣3，若不等式4≤h（x）≤16在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k=tan120°=tan（180°﹣60°）=﹣tan60°=﹣．故选：B．2．（5分）下列命题中真命题是（）A．B．∃x∈（﹣∞，0），2x＞1C．∀x∈R，x2≥x﹣1 D．∀x∈（0，π），sinx＞cosx【解答】解：∵sinxcosx=sin2x，若sinxcosx=，则sin2x=＞1，故A错误；∵当x∈（﹣∞，0），2x＜1恒成立，故B错误；∵方程x2﹣x+1=0的△=1﹣4=﹣3＜0，函数y=x2﹣x+1的图象为开口朝上的抛物线，故x2﹣x+1≥0恒成立，即∀x∈R，x2≥x﹣1，故C正确；∵当x=∈∈（0，π），sinx=cosx，故∀x∈（0，π），sinx＞cosx，故D错误；故选：C．3．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BB1的中点，则D1E与CF的延长线交于一点，此点在直线（）A．AD上B．B1C1上C．A1D1上D．BC上【解答】解：设D1E与CF的延长线交于点P，则P∈D1E，∵D1E⊂平面A1B1C1D1，∴P∈平面A1B1C1D1，同理可得：P∈平面BCC1B1，即P是平面A1B1C1D1和平面BCC1B1的公共点，∵平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1=B1C1，∴P∈B1C1．故选：B．4．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选：C．5．（5分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．|a|≤1 C．|a|＜1 D．a≥1【解答】解：当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故选：B．6．（5分）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q）C．p∧（￢q）D．p∧q【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得，当x＜0时，命题p成立，命题p为真命题，显然，命题q为真∴根据复合命题的真假判定，p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假7．（5分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的一个必要而不充分条件是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣2＜m＜0 C．﹣4＜m＜2 D．﹣2＜m＜1【解答】解：要使直线与圆有两个不同交点，需圆心（0，﹣1）到直线的距离小于半径，即＜，求得﹣3＜m＜1﹣3＜m＜1是直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的一个充要条件，故A不正确，当﹣2＜m＜0和﹣2＜m＜1时直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点，故其是充分条件，故B，D不正确；﹣4＜m＜2时特别是﹣4＜m＜﹣3时，直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0无交点，可知﹣4＜m＜2是直线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的不充分条件；同时线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点时﹣3＜m＜1，可知﹣4＜m＜2是线x﹣y+m=0与圆x2+y2+2y﹣1=0有两个不同交点的必要条件；故选：C．8．（5分）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④【解答】解：对于①，该正方体的对角面ADBC∥平面MNP，得出直线AB∥平面MNP；对于②，直线AB和平面MNP不平行，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，易知平面PMN∩平面AB=NB，且AB∩NB=B，∴AB与平面MNP相交；对于④，直线AB与平面MNP内的一条直线NP平行，且直线AB⊄平面MNP，∴直线AB∥平面MNP；综上，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是①④．故选：D．9．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆x2+y2=1交于A、B两点，且向量、满足|+|=|﹣|，其中O为坐标原点，则实数a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．±1【解答】解：∵|+|=|﹣|，两边平方，得•=0，即⊥．故圆心（0，0）到直线x﹣y+a=0的距离d=，求得a=±1．故选：D．10．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x 轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知A（0，0，0），M（，1），C（0，2，0），N（，，2），∴=（），，设直线AM与CN所成角的大小为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．故选：D．11．（5分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组，所表示的平面区域的面积是（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，∴直线y=kx+1与x+y=0垂直，∴k=1，又圆心（﹣，﹣）在直线x+y=0上∴﹣﹣=0∴m=﹣1∴原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域，△AOB为不等式所表示的平面区域，联立解得B（﹣，），A（﹣1，0），=×|﹣1|×|﹣|=．所以S△AOB故选：A．12．（5分）在正三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：EF⊥DE，EF∥AC∴AC⊥DE，又AC⊥BD∴AC⊥面ABD，AB=AC=AD=，可求体积：故选：B．二．填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是真命题（填“真”、“假”之一）．【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2≥4”∵a＞2∴a2＞4∴a2≥4∴否命题为真命题故答案为：真14．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣2ax﹣2by+a2﹣1=0，若a，b变化时，圆C2始终平分圆C1的周长，则圆C2的面积最小值时的方程为（x+1）2+（y+2）2=5．．【解答】解：把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为2（a+1）x+2（b+1）y﹣a2﹣1=0，由题意知直线l经过圆C1的圆心（﹣1，﹣1），因而a2+2a+2b+5=0．所以2b+4=﹣（a+1）2≤0，所以b≤﹣2，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1+b2，其半径为．因而，此时圆C2：（x+1）2+（y+2）2=5．故答案为：（x+1）2+（y+2）2=5．15．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为×2×2×2=4．消去的三棱锥的体积为××2×1×2=，∴几何体的体积V=4﹣=．故答案为：16．（5分）若f（x）=x2，∃t∈R，对于∀x∈[2，m]，都有f（x+t）≤2x成立，则m的最大值是8．【解答】解：设g（x）=f（x+t）﹣2x=x2+2（t﹣1）x+t2，由题值∀x∈[2，m]，f（x+t）≤2x恒成立，即∀x∈[2，m]，g（x）≤0恒成立，即g（2）≤0且g（m）≤0，即t2+4t≤0，m2+2（t﹣1）m+t2≤0，则t∈[﹣4，0]，当t=0时，得到m2﹣2m≤0，解得0≤m≤2；当t=﹣4时，得到m2﹣5m+4≤0，解得2≤m≤8综上得到：m∈[2，8]，∴m的最大值是8，故答案为：8．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，分别求满足下列条件的a，b值（1）l1⊥l2，且直线l1过点（﹣3，﹣1）；（2）l1∥l2，且直线l1在两坐标轴上的截距相等．【解答】解：（1）∵两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0且l1⊥l2，∴a（a﹣1）+（﹣b）×1=0，即a2﹣a﹣b=0，又∵直线l1过点（﹣3，﹣1），∴﹣3a+b+4=0，联立解得a=2，b=2；（2）由l1∥l2可得a×1﹣（﹣b）（a﹣1）=0，即a+ab﹣b=0，在方程ax﹣by+4=0中令x=0可得y=，令y=0可得x=﹣，∴=﹣，即b=﹣a，联立解得a=2，b=﹣2．18．（12分）已知P：||＜2，q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x ＞0}，且A∩B≠∅，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：易知：命题p：﹣5＜a＜7；…（2分）命题q由A∩B≠∅，得：x2+（a+2）x+1=0在（0，+∞）有解即：﹣（a+2）=x+≥2，当且仅当x=1时取等号，﹣（a+2）≥2，即a≤﹣4；…（5分）由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，知：命题p与命题q一真一假（i）当p真q假时，即得：﹣4＜a＜7 …（8分）（ii）当q真p假时，即得：a≤﹣5 …（11分）综述：实数a的取值范围（﹣∞，﹣5]∪（﹣4，7）…（12分）19．（12分）已知圆M：x2+y2﹣4y+3=0，Q是x轴上动点，QA、QB分别切圆M 于A、B两点，（1）若|AB|=，求直线MQ的方程；（2）求四边形QAMB面积的最小值．【解答】解：（1）圆M：x2+y2﹣4y+3=0，即x2+（y﹣2）2=1，圆心M（0，2），半径r=1．由+MN2=r2=1，求得：MN=．由BM2=MN•MQ，求得MQ=3．设Q（x0，0），则=3，即x0=±．所以直线MQ的方程为2x+y﹣2=0 或2x﹣y+2=0．（2）易知，当MQ取得最短时，四边形QAMB面积的最小值，即Q与O重合，此时，QA=，即四边形QAMB面积的最小值为1×=．20．（12分）已知f（x）=（x∈R），A=[﹣1，1]，设关于x的方程f（x）=的两根为x1，x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：由=得x2﹣ax﹣2=0．这时△=a2+8＞0．由于x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两实根，所以从而|x1﹣x2|==因为﹣1≤a≤1，所以|x1﹣x2|=≤3不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立．当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[﹣1，1]恒成立．即m2+tm﹣2≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立．设g（t）=m2+tm﹣2=tm+m2﹣2，则g（t）≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立，故，即，解得m≥2或m≤﹣2．所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤﹣2}．21．（12分）已知三棱柱ABC﹣A′B′C′中，面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，E，F分别在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．（Ⅰ）求证：BB′⊥底面ABC；（Ⅱ）在棱A′B′上找一点M，使得C′M∥面BEF，并给出证明．【解答】（Ⅰ）证明：取BC中点O，因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，又因为面BCC'B'⊥底面ABC，AO⊂面ABC，面BCC'B'∩面ABC=BC，所以AO⊥面BCC'B'，又BB'⊂面BCC'B'，所以AO⊥BB'．又BB'⊥AC，AO∩AC=A，AO⊂面ABC，AC⊂面ABC，所以BB'⊥底面ABC．（Ⅱ）显然M不是A'，B'，当M为A'B'的中点，使得C'M∥面BEF．证明：过M作MN∥AA'交BE于N，则N为中点，则MN=（A'E+B'B）=2，则MN=C'F，MN∥C'F，所以四边形C'MNF为平行四边形，所以C'M∥FN，C'M⊄平面BEF，NF⊂平面BEF，所以C'M∥面BEF．22．（12分）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．（1）若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=f（x）+2x|x﹣a|+ax﹣a﹣3，若不等式4≤h（x）≤16在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）①若x≤a，则g（x）≤0，此时若不存在x0∈（﹣∞，a]，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，需f（x）≥0在（﹣∞，a]上恒成立，即x2﹣ax+a+3≥0在（﹣∞，a]上恒成立，需或，即或解得：﹣3≤a≤6②若x＞a，则g（x）＞0恒成立，显然不存在x0∈（a，+∞），使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，此时a∈R综上所述，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，实数a的取值范围是[﹣3，6]．（2）∵f（x）=x2﹣ax+a+3，∴h（x）=f（x）+2x|x﹣a|+ax﹣a﹣3=x2+2x|x﹣a|=，当a≥0时，h（x）在（﹣∞，a）和（a，+∞）上均递增；当a＜0时（如图），h（x）在（﹣∞，a）和上递增，在在上递减，由题意知，只需h min（x）≥4，h max（x）≤16，首先，由（Ⅰ）可知，h（x）在x∈[1，2]上恒递增，则h min（x）=f（1）=1+2|1﹣a|≥4，解得或；其次，当时，f（x）在R上递增，故h max（x）=h（2）=4a﹣4≤16，解得；当时，h（x）在[1，2]上递增，故h max（x）=h（2）=12﹣4a≤16，解得．综上：或．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。