苏科版八年级上册数学 三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

苏科版八年级上册数学 三角形解答题（培优篇）（Word 版 含解析）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.

(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.

(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .

(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.

【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=.

【解析】

【分析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-

12

∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.

【详解】

(1)//AB CD ，

理由如下：如图1， 图1

∵1∠与2∠互补，

∴12180∠+∠=︒，

又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠，

∴180AEF CFE ∠+∠=︒，

∴//AB CD ；

(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，

图2

∴180BEF EFD ∠+∠=︒．

又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，

∴1(2

)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥．

∵GH EG ⊥，

∴//PF GH ；

(3)如图3，

∵PHK HPK ∠=∠，

2PKG HPK ∴∠=∠.

又∵GH EG ⊥，

∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠．

∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠．

∵PQ 平分EPK ∠，

∴1452

QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.

2．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：

(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；

(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；

(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.

【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝

∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1

2

x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得

∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,

则∠DGE=90°+1

2

x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=

1

2

（180°-x），所以

∠CDF+∠HDC=1

2

（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；

（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可

得：∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出

∠BED=90°，完成证明.【详解】

解：（1）BE⊥DE，理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

设∠HDC＝∠AB H=x

∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E

∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1 2 x

又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；（2）

DF∥AB,理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵BE平分∠ABH，

∴∠EB H＝∠AB E=1 2 x

∴∠DGE=90°+1 2 x

∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM

∴∠CDF=1

2

（180°-x）=90°-

1

2

x

∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-1

2

x+x=90°+

1

2

x

∴∠DGE=∠HDF

∴DF∥AB

（3）

BE⊥DE，证明如下：

设∠BFA＝∠CFD=x,

∵∠A＝∠C＝90°

∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，

∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E

∴∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）

又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x

∴∠BFD=360°-1

2

（90°+x）-

1

2

（90°+x）-（180°-x）=90°

即BE⊥DE

【点睛】

本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.

3．如图，在△ABC 中，记∠A=x 度，回答下列问题：