苏科版八年级上册数学 三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

苏科版八年级上册数学 三角形解答题（培优篇）（Word 版 含解析）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.
(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.
(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .
(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.
【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=.
【解析】
【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-
12
∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.
【详解】
(1)//AB CD ，
理由如下：如图1， 图1
∵1∠与2∠互补，
∴12180∠+∠=︒，
又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠，
∴180AEF CFE ∠+∠=︒，
∴//AB CD ；
(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，
图2
∴180BEF EFD ∠+∠=︒．
又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，
∴1(2
)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥．
∵GH EG ⊥，
∴//PF GH ；
(3)如图3，
∵PHK HPK ∠=∠，
2PKG HPK ∴∠=∠.
又∵GH EG ⊥，
∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠．
∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠．
∵PQ 平分EPK ∠，
∴1452
QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.
2．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：
(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；
(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；
(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.
【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝
∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1
2
x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得
∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；
(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,
则∠DGE=90°+1
2
x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=
1
2
（180°-x），所以
∠CDF+∠HDC=1
2
（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；
（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可
得：∠EDF＝∠EBF=1
2
（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出
∠BED=90°，完成证明.【详解】
解：（1）BE⊥DE，理由如下：
∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA
∴∠HDC＝∠AB H
设∠HDC＝∠AB H=x
∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E
∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1 2 x
又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；（2）
DF∥AB,理由如下：
∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA
∴∠HDC＝∠AB H
∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA
∴∠HDC＝∠AB H
∵BE平分∠ABH，
∴∠EB H＝∠AB E=1 2 x
∴∠DGE=90°+1 2 x
∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM
∴∠CDF=1
2
（180°-x）=90°-
1
2
x
∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-1
2
x+x=90°+
1
2
x
∴∠DGE=∠HDF
∴DF∥AB
（3）
BE⊥DE，证明如下：
设∠BFA＝∠CFD=x,
∵∠A＝∠C＝90°
∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，
∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E
∴∠EDF＝∠EBF=1
2
（90°+x）
又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x
∴∠BFD=360°-1
2
（90°+x）-
1
2
（90°+x）-（180°-x）=90°
即BE⊥DE
【点睛】
本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.
3．如图，在△ABC 中，记∠A=x 度，回答下列问题：
（1）图中共有三角形个．
（2）若 BD，CE 为△ABC 的角平分线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式
表示），并证明你的结论．
（3）若 BD，CE 为△ABC 的高线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式表示），并证明你的结论．
【答案】（1）图中共有三角形 8 个；（2）(90+1
2
x ) ；（3）(180－x).
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，分析题意观察图形，根据三角形内角和为180°可知
∠ABC=180-
2
x
，根据角平分线的性质可以求出∠BHC，根据高线的性质可知
∠CDB=∠BEC=90º，再次利用三角形内角和定理可以求答案【详解】
解：（1）图中共有三角形 8 个；
（2）∠BHC=(90+ 1
2
x )度．
∵BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，
∴∠BHC=180º－∠HBC－∠HCB=180º－1
2
(∠ABC+∠ACB)= (90+
1
2
x )度．
（3）∠BHC=(180－x)度，
∵BD，CE 为△ABC 的高线，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDB=∠BEC=90º，
∵∠BEC+∠ABC+∠BCH=180°
∠CDB+∠ACB+∠CBH=180°
∴∠BEC+∠ABC+∠BCH+∠CDB+∠ACB+∠CBH=360°∠ABC+∠BCH+∠ACB+∠CBH=180°
∵∠ABC+∠ACB=180°－∠A
∠BCH+∠CBH=180°－∠BHC
∴180°－∠A+180°－∠BHC=180°
∴∠BHC=(180－x)度
【点睛】
本题的关键是掌握三角形内角和定理
4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究
∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究
∠A，∠P，∠C的关系并证明．
【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.【解析】
【分析】
（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；
（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；
（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.
【详解】
（1）如图1,延长AD交BC于E，
在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，
在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；
（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：
如图2，
∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3
∴∠A+∠1=∠P+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠A+∠2=∠P+∠4
由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C
∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C
∴∠A－∠C=2∠P
（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:
如图3,
同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2
∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠A+∠C=2∠P
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ（其中∠X=90°）放置在△ABC上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY，XZ分别经过B，C两点，且直角顶点X在△ABC内部．
①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；
②试判断∠A与∠XBA+∠XCA之间存在怎样数量关系？并写出证明过程．
（2）如图2，如果直角顶点X在△ABC外部，试判断∠A、∠XBA、∠XCA之间又存在怎样的数量关系？（只写出答案，无需证明）．
【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°，证明见解析；（2）
∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°
【解析】
试题分析：（1）①根据三角形内角和定理可得
∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠XBC+∠XCB=180°﹣∠XBC=90°，进而可求出∠ABX+∠ACX 的度数；
②根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，则可得出结论．
（2）由②的解题思路可得：∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°．
（1）①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= 140 °；
∠XBC+∠XCB= 90 °；
②∠A+∠XBA+∠XCA=90°（或等式的变形也可以）
证明：∵∠X=90°
∴∠XBC+∠XCB=180°－∠X=90°
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+（∠XBA+∠XCA）+（∠XBC+∠XCB）=180°，
∴∠A+（∠XBA+∠XCA）=180°－90°=90°，
∴∠A=90°－（∠XBA+∠XCA）
（2）∠A+（∠XBA－∠XCA） =90°．
点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°以及沟通外角和内角的关系．
6．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）∠E= °；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若
∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．
【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=1
2
∠DAC，∠ACE=
1
2
∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，
根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案；（2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；
②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=1
2
y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及
∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+45
2
y
+
=∠F+
1
2
y，由此即可求得答案；
（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出
∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+2
3
∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=
22.5
3
α+
，再根据
∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案.【详解】
（1）如图1，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠CAF=1
2
∠DAC，∠ACE=
1
2
∠ACB，
设∠CAF=x，∠ACE=y，
∵∠B=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°，
∴2y+180﹣2x=90，
x﹣y=45，
∵∠CAF=∠E+∠ACE，
∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；
（2）①如图2所示，
②如图2，∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=1
2 y，
∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF=∠F+1
2
y ①，
同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，
∴∠EAF=45
2
y
+
②，
把②代入①得：45°+45
2
y
+
=∠F+
1
2
y，
∴∠F=67.5°，
即∠AFC=67.5°；
（3）如图3，设∠FAH=α，
∵AF平分∠EAB，∴∠FAH=∠EAF=α，
∵∠AFM=1
3
∠AFC=
1
3
×67.5°=22.5°，
∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，
∴∠FCH=α﹣22.5①，
∵∠AHN=1
3
∠AHC=
1
3
（∠B+∠BCH）=1
3
（90+2∠FCH）=30+2
3
∠FCH，
∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，
∴α+22.5=30+2
3
∠FCH+∠FPH，②
把①代入②得：∠FPH=
22.5
3
α+
，
∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，
α﹣22.5=mα+n
22.5·
3
α+
，
解得：m=2，n=﹣3．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.
7．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，
∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：
(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:_____________________；
(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；
(3)如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).
【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C ；
（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P ，∠2+∠P=∠4+∠B ，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．
（3）参照（2）的解题思路.
【详解】
解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C ；
（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P ，∠2+∠P=∠4+∠B ，
∴∠1-∠3=∠P-∠D ，∠2-∠4=∠B-∠P ，
又∵AP 、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD ，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P ，
即2∠P=∠B+∠D ，
∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．
（3）由（2）的解题步骤可知，∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D ．
【点睛】
考查三角形内角和定理, 角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
8．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：
如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12
ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12
ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S +=，∴AB PE AC PF AB CH ⋅+⋅=⋅
∵AB AC =，∴PE PF CH +=．
如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】PE PF CH -=
【解析】
【分析】
参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABP ACP ABC S
S S +=，同样，P 为BC 延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABP ACP ABC S
S S =-，即可得出结论． 【详解】
∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12
ACP S AC PF =⋅，12
ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S =-，∴AB PE AC PF AB CH ⋅-⋅=⋅
∵AB AC =，∴PE PF CH -=．
故答案为：PE PF CH -=．
【点睛】
本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．
9．已知，如图甲，在△ABC 中，AE 平分∠BAC（∠C＞∠B），F 为AE 上一点，且FD⊥BC 于D ．
（1）试说明：∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（2）当F 在AE 的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）成立，证明见详解.
【解析】
【分析】
(1) 根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到
∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B ﹣∠C ）=90°﹣12
（∠B+∠C ），然后根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE ，求得∠FEC ，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求得结论；
(2)根据(1)可以得到∠AEC=90°+
12
（∠B ﹣∠C ），根据对顶角相等即可求得∠DEF ，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解.
【详解】
解：（1）∵AE 平分∠BAC ，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=
1
2
（180°﹣∠B﹣∠C）
=90°﹣1
2
（∠B+∠C），
∵∠FEC=∠B+∠BAE，
则∠FEC=∠B+90°﹣1
2
（∠B+∠C）
=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°﹣∠FEC，
则∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B﹣∠C）]
=1
2
（∠C﹣∠B）；
（2）成立．
证明：同（1）可证：∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+1
2
（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=90°﹣[90°+1
2
（∠B﹣∠C）]
=1
2
（∠C﹣∠B）．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
(1)若∠B＝72°，∠C＝30°，①求∠BAE的度数；②求∠DAE的度数；
(2)探究：如果只知道∠B＝∠C＋42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°.
【解析】
【分析】
()1①先根据三角形内角和定理计算出BAC78
∠=，然后根据角平分线定义得到
1BAE BAC 392
∠∠==；
②根据垂直定义得到ADB 90∠=，则利用互余可计算出BAD 90B 18∠∠=-=，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可； ()2由B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+可消去C ∠得到
BAC 2222B ∠∠=-，则根据角平分线定义得到BAE 111B ∠∠=-，接着在ABD 中利用互余得BAD 90B ∠∠=-，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可得到DAE 21∠=．
【详解】
解：()1B C BAC 180∠∠∠++=①，
BAC 180723078∠∴=--=， AE 平分BAC ∠，
1BAE BAC 392
∠∠∴==； AD BC ⊥②，
ADB 90∠∴=，
BAD 90B 18∠∠∴=-=，
DAE BAE BAD 391821∠∠∠∴=-=-=；
()2能．
B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+，
C B 42∠∠∴=-，
2B BAC 222∠∠∴+=，
BAC 2222B ∠∠∴=-， AE 平分BAC ∠，
BAE 111B ∠∠∴=-，
在ABD 中，BAD 90B ∠∠=-，
()()
DAE BAE BAD 111B 90B 21∠∠∠∠∠∴=-=---=．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180.掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．。