高一数学第11课__三角函数与恒等变形
高一数学备课课件简单的三角恒等变换
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上 的积分值，表示了函数图像与x轴
围成的面积。
定积分的性质
定积分具有可加性、保号性、绝对 值不等式性质等，为积分计算和证 明提供了依据。
定积分的求解方法
通过牛顿-莱布尼兹公式、换元法、 分部积分等方法求解定积分。
三角恒等变换在积分计算中的应用举例
• 积化和差与和差化积公式：$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$，$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$， $\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha \beta)]$等。
拓展延伸相关知识点
三角函数的诱导公式
介绍了利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数的诱导公式，拓展了三角函数的应 用范围。
三角函数的和差化积与积化和差公式的推导
详细推导了和差化积与积化和差公式的来源，加深了学生对这些公式的理解和记忆。
三角函数的倍角与半角公式的应用
通过举例说明了倍角与半角公式在解三角形、求三角函数值等问题中的应用，提高了学 生的解题能力。
02
利用勾股定理
在直角三角形中，已知两条直角边，可以求出斜边。
03
利用特殊角的三角函数值
对于30°、45°、60°等特殊角，可以直接利用已知的三角函数值进行计
算。
高中数学三角函数恒等变形公式及应用
高中数学三角函数恒等变形公式及应用
恒等变形一直三角函数中的一个难点，但在高考中也并非重点，因为在高考中，三角恒等变换由于题型的原因变得相当简单。
但是三角恒等变换题型能够培养学生计算、分解、添加项等各方面的能力，所以在学习必修四中学生们应该大量练习，从练习中也能理解三角函数的真正意义。
下面给出了三角函数常见变形形式和几道典型例题。
】4．设函数f(x)＝(a为实常数)在区间上的最小值为－4，
那么a的值等于_______
三角形中恒等式锦囊：
11.求证：。
分析：这是一道三角恒等的证明问题，解决这类问题的一般策略是“切割化弦”、由繁到简。
其基本思路是根据题目的特点，结合有关三角公式，作适当的恒等变形。
证法1：左边
右边证法2：右边
证法3：右
边左边证法4：右边
左边证法5：右边
左边证法6：因为
，又
所以
从而，故原式成立。
反思：对三角公式做到不仅会用，而且能变形应用，这样才达到了灵活运用公式的目的，才能从中体会到公式变形的妙处及知识间的内在联系。
原题还可作如下变形，
同学们不妨试着证一下。
变形：；；
；；；；
；。
高一数学三角恒等变换知识点介绍
高一数学三角恒等变换知识点介绍在高一学生学习的知识点是比较的多，学生需要学好，否则高三的时候会很吃力，下面是店铺给大家带来的有关于高一数学关于三角恒等变化知识点的介绍，希望能够帮助到大家。
高一数学三角恒等变换知识点三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.1.求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等.(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α+β2=α-β2+β-α2，α2是α4的二倍角等.(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式.(4)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.高一数学期末综合复习题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。
三角恒等变换-高考数学一题多解
三角恒等变换-高考数学一题多解三角式的恒等变形是一种基本的数学技能，它的依据是三角变换公式和代数中代数式的恒等变换的一般方法，三角变换公式如：同角三角函数的基本关系式、两角和与差的公式、二倍角与半角公式、万能公式.积化和差与和差化积公式等，公式的数量较多，学习时要通过理解角的关系以及三角函数的关系揭示公式之间的内在联系、掌握公式的推导线索.要理解公式，注意公式的适用范围和符号的取舍，三角变换贵在灵活运用公式，掌握公式的逆用和各种变形的运用，以达到熟练、恰到好处地运用公式解决具体问题的目的.不同角的三角函数关系式使用起来与同角三角函数关系式最大的不同点是必须根据题目的题设条件与结论去确定所应用的公式，而选定公式的能力靠观察角度关系、熟悉公式特征来培养.已知条件和所要求的角之间不相同时，常看它们的和、差、倍的情况，定能找出角之间的关系.角的变换是三角变换技巧之一，转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换、角的变换、“1”的代换、和积变换、幂的升降变换等，变换时必须熟悉公式，分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件.“恒等”这个词始终是三角变换的重点.三角恒等变换中的方法与技巧是必须掌握的解题能力.在三角恒等变换中较为重要的变换技巧如下.（1）函数名称的差异变换：①切割化弦，弦化切割；②异名化同名.（2）角的差异变换：①异角化同角；②拆角、配角技巧.（3）运算结构的差异变换：①升次降次；②分式通分；③无理化有理；④和（差）积互化.（4）常数的处理：特别注意“1”的代换.（5）引入辅助角的变换、角的分析与三角式的配凑.在解题过程中，不论运用什么变换技巧，基本原则是：把握方向，活用公式，注意目标，贵在“恒等”.真可谓：三角变换贵在活，变角变式变函数，恒等始终是重点，公式繁多方法多.【典例】（2022·新高考Ⅱ卷T6）角,αβ满足sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A.tan()1αβ+=B.tan()1αβ+=-C.tan()1αβ-= D.tan()1αβ-=-（一）直接法——由条件推结果【答案】D【解析】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-，即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=，所以()tan 1αβ-=-，故选：D（二）整体构造法——观察角与角的关系找共同点【答案】D【解析】根据sin()cos()αβαβ+++以及4πα+，可以利用辅助角公式，将4πα+当做一个整体，再进行合并，于是有如下解法：sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin ==0444πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选D【点评】解题的关键当然是如何沟通条件和结论，一种思考是变形条件使之朝结论的目标靠拢，而条件的变形又是多种多样，但应始终抓住是恒等变形，条件式直接变形要始终抓住“恒等”，引进新元更要注意“恒等”.另一种思考是构造法，构造法也不是凭空而得，务必考虑与条件之间的等价关系.（三）特殊值排除法——做选择题的快速解法解法：设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A ，C ；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除B ；选D.【点评】排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论.也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论.具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，【针对训练】（2022·浙江卷T13）1．若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．（2022·全国）2．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．3．化简：44661cos sin 1cos sin αααα----.4．求证：cos 1sin 1sin cos αααα+=-．5．设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=6．22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒=_____________.7．已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值．8．在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________.9．cos15sin15cos15sin15︒-︒︒+︒的值是()A ．-B ．0C ．D ．310．在ABC 中，=4A π∠，边,,a b c 满足22212b a c -=，求tan C 的值.参考答案：1．1045【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=1010αα⎫-=⎪⎪⎭，令sin θ=cos 10θ=，()αθ-=22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45.2．（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，即444222222220a b c a c a b b c +++--=，即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=，即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC 为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin ,162A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，113sin ,6222A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.3．23.【分析】方法一：灵活利用平方关系及乘方公式化简即可.【详解】［方法一］：【最优解】“1”的代换化齐次式原式2224422366(cos sin )cos sin (cos sin )cos sin a ααααααα+--=+--2222222cos sin 23cos sin (cos sin )3αααααα⋅==+.［方法二］：公式降幂原式44661(cos sin )1(cos sin )a ααα-+=-+222222242241(cos sin )2cos sin 1(cos sin )(cos cos sin sin )αααααααααα⎡⎤-+-⋅⎣⎦=-+-⋅+2222222112cos sin 1(cos sin )3cos sin αααααα-+=⎡⎤-+-⋅⎣⎦22222cos sin 23cos sin 3a ααα⋅==⋅.［方法三］：降幂原式2242246(1cos )(1cos )sin (1cos )(1cos cos )sin ααααααα-+-=-++-2222244sin (1cos sin )sin (1cos cos sin )ααααααα+-=++-2222222cos 1cos (cos sin )(cos sin )αααααα=+++-22222cos 1cos cos sin a ααα=++-222cos 23cos 3αα==.【整体点评】方法一：根据22cos +sin =1αα化齐次式，简洁易算，是该题的最优解；方法二：根据22cos +sin =1αα以及平方和．立方和公式降幂，是化简求值的常用处理方法；方法三：根据平方差．立方差公式化简降幂，变形难度稍大．4．证明见解析【分析】方法一：式子左边分子分母同乘以cos α，再利用平方关系，变形分子即可得证.【详解】[方法一]：【最优解】左边＝2cos cos (1sin )ααα-＝21sin cos (1sin )ααα--＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝1sin cos a α+＝右边，等式成立.[方法二]：右边＝(1sin )(1sin )cos (1sin )αααα+--＝21sin cos (1sin )ααα--＝2cos cos (1sin )ααα-＝cos 1sin αα-＝左边，等式成立.[方法三]：左边＝2cos (1sin )cos ααα-，右边＝(1sin )(1sin )(1sin )cos αααα+--＝21sin (1sin )cos ααα--＝2cos (1sin )cos ααα-，∴左边＝右边，∴等式成立.[方法四]：∵cos 1sin αα-－1sin cos a α+＝2cos (1sin )(1sin )(1sin )cos ααααα-+--＝22cos cos (1sin )cos αααα--＝0.∴等式成立.[方法五]：左边＝cos 1sin αα-＝cos (1sin )(1sin )(1sin )αααα+-+＝2cos (1sin )1sin ααα+-＝1sin cos a α+＝右边.[方法六]：∵(1－sin α)(1＋sin α)＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 1sin αα-＝1sin cos aα+.[方法七]：若证cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立，只需证cos α·cos α＝(1－sin α)(1＋sin α)，即证cos 2α＝1－sin 2α，此式成立，∴原等式cos 1sin αα-＝1sin cos aα+成立.【整体点评】方法一：利用平方关系，从左边证到右边，是证明题的通性通法；方法二：利用平方关系，从右边证到左边；方法三：利用左边=中间，右边=中间证出；方法四：利用作差法证出；方法五：利用平方关系，从左边证到右边；方法六：根据平方关系变形证出；方法七：根据分析法证出.5．C【详解】[方法一]：sin 1sin ,sin cos cos cos sin cos cos αβαβααβαβ+=∴=+()sin sin 2παβα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,,0,2222ππππαβα⎛⎫⎛⎫-∈--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,222ππαβααβ∴-=-∴-=.故选：C.[方法二]：222cos sin cos sin 1sin 2222tan tan cos 24cos sin cos sin 2222ββββββπαβββββ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭- 又,,,22442242βπππβππααβ⎛⎫+∈∴=+∴-= ⎪⎝⎭.故选：C.[方法三]：由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，故选：C.考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式．6．34【分析】根据两角和的正弦余弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】[方法一]：因为40°＝30°＋10°，所以原式＝22sin 10cos (3010)sin10cos(3010)++++22211sin 10sin10)sin10cos10sin 102222=+-+⋅- 2233(sin 10cos 10)44=+= .[方法二]：原式＝1cos 201cos80sin10cos 4022-+++cos(5030)cos(5030)1sin10cos 402+--=++cos50cos30sin 50sin 30cos50cos30sin 50sin 301sin10cos 402---=++1sin 50sin 30sin10cos 40=-+ 1cos 40(sin 30sin10)=-- 1cos 40[sin(2010)sin(2010)]=-+-- 12cos 40cos 20sin10=-2cos 40cos 20sin10cos101cos10=-sin8013114cos1044=-=-= .[方法三]：换元法令10,40,sin a b cos a b ⎧=+⎨=-⎩得()()()()()11110401050302020,2221110401050302020,22a sin cos sin sin sin cos cos b sin cos sin sin cos sin sin ⎧=+=+==⎪⎪⎨⎪=-=-=-=⎪⎩则原式=222222333()()()()3cos 20sin 20444a b a b a b a b a b ++-++-=+=+=.[方法四]：设2222sin 10cos 40sin10cos 40,cos 10sin 40cos10sin 40x y =++=++ ，则1110401040250240,11180205040.222x y sin cos cos sin sin cos x y cos cos sin cos ⎧+=+++=+=+⎪⎨-=--=--=--⎪⎩所以322x =，故34x =.[方法五]：余弦定理由余弦定理，得2222cos a b ab C c +-=，又由正弦定理，得2sin sin sin a b cR A B C===，于是2222224sin 4sin 22sin 2sin cos 4sin R A R B R A R B C R C +-⋅⋅⋅=，得222sin sin 2sin sin cos sin A B A B C C +-=故22sin 10cos 40sin10cos 40++22sin 10sin 50sin10sin 50=++22sin 10sin 502sin10sin 50cos120=+-223sin 120)24=== .[方法六]：22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒()()22sin 10cos 1030sin10cos 1030=︒+︒+︒+︒︒+︒2211sin 10sin10sin10cos10sin102222⎛⎫⎛⎫=︒+︒-︒+︒⨯︒-︒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223113sin 10cos 10sin 10sin 104424=︒+︒+︒-︒=故答案为：34.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦余弦公式的应用，属于中档题.7．2875-【分析】方法一：利用倍角公式和和差公式可得2π2sin cos sin sin 22sin 4π1tan cos 4x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后利用条件可求出答案.【详解】［方法一］：根据已知角化简 22sin 22sin 2sin cos 2sin 1tan 1cos x x x x sin x x x x++=--2sin cos (cos sin )cos sin x x x x x x +=-π2sin cos sin()4πcos()4x x x x +=+π3cos()45x += ，177ππ124x <<，π4sin()45x ∴+=-，72sin cos 25x x ∴=．∴π2sin cos sin()284π75cos()4x x x x +=-+，∴2sin 22sin 281tan 75x x x +=--．［方法二］：直接展开求sin cos ,sin cos x x x x±()π3cos cos sin 425x x x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，得cos sin x x -=平方得2sin cos x x =725，()2732cos sin 12525x x +=+=， 177,124x ππ<<∴cos sin 0,cos sin x x x x +<+=，∴原式=cos sin 2sin cos cos sin x x x x x x +-＝－2875．［方法三］：【最优解】逆用两角和的正切公式和二倍角公式因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π4tan(43x +=-）原式＝cos sin 1tan 2sin cos sin 2cos sin 1tan x x x x x x x x x ++=--=πsin2tan 4x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，7sin2cos 212cos 2425x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式=2875-．［方法四］：整体法求cos x 因为π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，所以4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，又 177124x ππ<<，所以sin x =，tan x =7，∴原式＝－2875．【整体点评】方法一：将所求式化简成已知角的三角函数形式，整体代换求出；方法二：直接根据两角和的余弦公式展开以及平方关系求sin cos ,sin cos x x x x ±，化切为弦求出；方法三：逆用两角和的正切公式和二倍角公式求解最为简洁，是该题的最优解；方法四：利用整体思想以及同角三角函数基本关系求出sin ,cos ,tan x x x ，是该题的通性通法．8．等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】[方法一]：由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A b bc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=，∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.[方法二]：由cos cos A b B a =可知cos 0A >，cos 0B >，即0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理结合题意可得cos sin cos sin A B B A =，即11sin cos sin cos ,sin 2sin 222A AB B A B =∴=，据此有22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.9．D【详解】[方法一]：()()15453045304530122224154530453045301222cos cos cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin =-=++=+==-=-==则原式44=[方法二]：()1tan15tan45tan15tan4515tan301tan151tan45tan15--===-==++原式[方法三]：cos15sin150>>，令cos15sin15(0)cos15sin15t t-=>+，22222cos152sin15cos15sin151sin301cos152sin15cos15sin151sin3033t t-+-===∴=+++则.[方法四]：()()222cos15cos15sin15cos15sin15cos15sin152cos15cos15sin1512cos152sin15cos15cos301sin3022cos152sin15cos15cos301sin30--=++-+-===+++[方法五]：22222cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos15sin15cos30cos15sin152sin15cos151sin303-+-=++-===+++（）（）（）[方法六]：cos15sin15sin15cos15cos15sin15sin15cos151sin30sin302sin60sin602--=-=-++--==（）故选D.10．tan2C=.【分析】方法一：由余弦定理及已知可得3c=，再根据正弦定理的边角关系、三角形内角性质及差角正弦公式得3sin2cos2sinC C C=+，即可求tan C.【详解】［方法一］：【最优解】利用正、余弦定理边化角因为22212b a c-=，2222cosb c a bc A+-=，所以232c=，即3c=，所以33sin sin()2cos 2sin 4C B C C C π==-=+，即tan 2C =.［方法二］：和差化积公式的应用由22212b a c -=得，2221sin sin sin 2B AC -=，即212sincos 2cos sin sin 22222B A B A B A B AC +-+-⨯=，即()21sin sin sin 2C B A C -=，因为0sin 1C <≤，所以()()2sin sin sin B A C A B -==+，即sin cos 3sin cos B A A B =，所以tan 3tan 3B A ==．()tan tan 13tan tan 21tan tan 13A B C A B A B ++=-+=-=-=--．【整体点评】方法一：利用正、余弦定理边化角，再根据消元思想即可解出，是该题的最优解；方法二：利用和差化积公式转化求值，需要较强的运算能力．。
高中数学三角函数的恒等变形
知识框架三角 恒 等 变 换和差化积公式sin sin 2sin cos 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+= sin sin 2cos sin 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+=cos cos 2sin sin 22αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--=- 两角和与差的公式正弦公式：:sin()sin cos cos sin :sin()sin cos cos sin S S αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+⎧⎪⎨-=-⎪⎩余弦公式：()()+C :cos cos cos sin sin C :cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-⎧+=-⎪⎨-=+⎪⎩正切公式：tan tan tan tan :tan();:tan()1tan tan 1tan tan T T αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=-⋅+⋅221cos 1cos :sin;:cos2222S C αααααα-+=±=±21cos sin 1cos :tan21cos 1cos sin T αααααααα--=±==++ 半角公式二倍角公式2:sin 22sin cos S αααα=22222:cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-222tan :tan 21tan T αααα=-积化和差公式()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=++- ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=+-- ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=++- ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⎡⎤⎣⎦=-+--三角函数的恒等变形三角函数 的恒等变形要求层次重难点两角和与差的正弦、余弦、正切公式C 掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化简，求值等有关运算问题能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．二倍角的正弦、余弦、正切公式 C 简单的恒等变形B（一）知识内容1.两角和与差的三角函数公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=2.倍角公式 sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=-3.半角公式1cos sin22αα-=±1cos cos 22αα+=± 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 4.万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-5.积化和差公式例题精讲高考要求1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--；1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--6.和差化积公式 sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=-【说明】这里的三倍角公式、万能公式、积化和差公式、和差化积公式都属于了解内容，不要求必须掌握.不建议大家去记这些公式，首先sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+这个公式比较容易记，而且如果大家不记其他公式不记其他公式的话，应该很容易了．下面给出其他公式通过这个公式的推导过程： 2.公式的推导：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-sin cos cos sin αβαβ=- cos()sin[()]sin[()()]22ππαβαβαβ+=-+=-+-sin()cos()cos()sin()cos cos sin sin()22ππαβαβαβαβ=--+--=+- cos cos sin sin αβαβ=-cos()sin[()]sin[()]22ππαβαβαβ-=--=-+ sin()cos cos()sin cos cos sin sin 22ππαβαβαβαβ=-+-=+ sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-两边同时除以cos cos αβ可得tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-tan tan()tan tan tan()tan[()]1tan tan()1tan tan a αβαβαββαβαβ+---=+-==--+然后把上面各式中的β代换为α，则可得到二倍角公式sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=-再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos 2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin2cossinsin 222tan21cos cos 2cos cos 222ααααααααα===+【说明】这里没有考虑cos sin 022αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．建议大家刚学的时候自己每次推导一下要用的公式，这样比较容易记忆，加深对公式的理解，让自己能够更熟练的使用公式．同时告诉大家数学没有需要记忆的东西，大家在学习数学时不要有任何记忆的想法，要去理解它，才能掌握它，把它变成自己的东西，每学一个东西就像知道一个常识一样的去对待．如果靠记忆来学习数学的话，你学的仍然是别人的东西，而且用起来必然不够熟练.（二）主要方法1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用(1)并项功能：2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± (2)升次功能2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(3)降次功能221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== (4)一个重要的构造22sin cos cos )ba b a b αααα+=++令sin β=，则cos β=cos cos sin )αβαβ+（sin β=）可知：sin cos a b αα+2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：⑴角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑵函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； ⑶常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值， 例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2sin 2464αααα=+=-====； ⑷幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法，常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如：221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；⑸公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； ⑹辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式 ()22 sin cos sin y a b a b αααϕ=+=++的应用，其中tan baϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．(三)典例分析：【例1】 运用两角和与差的三角函数公式推导倍角公式：sin 2,cos 2,tan 2ααα．【例2】 若04παβ<<<,sin cos a αα+=,sin cos b ββ+=,判断,a b 的大小关系及求ab 的范围.板块一：三角函数中角的变换【变式】 已知sin cos αα+=,则求tan cot αα+的值.【点评】解题时有时根据已知条件很难找到和要求问题的关系,这时候可以从要求的问题出发,进行推导,化简可能就会得到已知条件能够得到的简单形式.这是数学解题常用的一种方法.【变式】 若04παβ<<<,sin cos ,sin cos a b ααββ+=+=,求,a b 的大小关系及ab 的范围.【例3】 若三角形的两个内角,αβ满足cos cos sin sin αβαβ⋅>⋅,试判断此三角形的形状.【变式】 若三角形的两个内角,αβ满足tan tan 1αβ>,试判断这个三角形的形状.【变式】 在三角形ABC 中,如果22sin sin sin()A B A B +=+,且,A B 都是锐角,求A B +的值.【变式】 关于x 的方程22cos cos cos02Cx x A B --=有一根为1,判断ABC ∆的形状.【例4】 已知α为锐角，且π5cos 613α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos α的值.【变式】 已知π2π63α<<，πcos (0)3m m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭≠，求2πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【例5】 ⑴α、β均为锐角，且sin cosαβ==，则αβ+=＿＿＿＿．⑵已知2π1tan(),tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭＿＿＿＿．【例6】 已知π02α<<,4sin 5α=. ⑴求tan α的值；⑵求πcos2sin 2αα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.【例7】 （2008山东卷）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是( )A ．BC ．45-D ．45【例8】 求tan 20tan 30tan 30tan 40tan 40tan 20︒⋅︒+︒⋅︒+︒⋅︒的值.【例9】 ()2cos 40sin101⎤︒+︒︒⎦的值．【例10】 已知π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3π22α≤≤，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．【解析】 已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<．⑴求tan 2α的值. ⑵求β.【例11】 已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，,(0,π)αβ∈，求2αβ-的值．【点评】此题的角的范围容易产生以下错解．∵tan[2()]tan[()()]αβαβαβ-=-+-22tan()41tan ()3αβαβ-==--，∴tan(2)tan[2()]αβαββ-=-+tan[2()]tan 1tan[2()]tan αββαββ-+=--⋅41()371411()37+-==-⨯-． ∵,(0,π)αβ∈，∴022πα<<，π0β-<-<，∴π22παβ-<-<，∴2αβ-的值为3π4-或π4或5π4．【变式】 已知π,0,4αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3sin sin(2)βαβ=+，24tan 1tan 22αα=-，求αβ+的值.【变式】 若,αβ为锐角,且满足43cos ,cos()55ααβ=+=,则求sin β的值.【变式】 已知sin sin sin 0αβγ++=,cos cos cos 0αβγ++=,则求cos()αβ-的值.【变式】 把x x x x 4cos 3cos 2cos cos +++化成积的形式.【例12】 已知53)4πcos(=-α，1312)45πsin(-=+β，且)4π0(，∈β，)43π4π(，∈α 求)sin(βα+．【变式】 已知π432π<<<αβ，1312)cos(=-βα，53)sin(-=+βα，求α2sin ．.【变式】 求︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin 的值．【变式】 已知βα，为锐角，54cos =α，31)tan(-=-βα，求βcos 的值．【变式】 已知αtan 与βtan 是一元二次方程02532=-+x x 的2个根，且︒<<︒900α，︒<<︒18090β．（1）求βα+的值；（2）求)cot(βα-的值．【变式】 求+︒+︒40tan 220tan ︒-︒70tan 10tan 4的值．【例13】ππππtan 2tan tan 2tan tan()tan 6363θθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________.【变式】 已知π4αβ+=，求(1tan )(1tan )αβ++的值；【变式】 求(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒的值．【变式】 已知2tan()t x y t--=，tan tan 1x y t ⋅=-，2tan ()4x y +=，求实数t 的值.【变式】 已知tan()tan()k αβαβ-=⋅+，求证：sin 21.sin 21k kαβ+=-(一) 知识内容本板块主要是对三角函数的求值与化简以及辅助角公式的应用，并讲解一类特殊问题，即同时含有sin cos αα+及sin cos αα这类题目的处理办法．1.三角函数求值问题一般有三种基本类型：(1)给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；(2)给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；(3)给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．2.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．3.三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.（二）主要方法1.寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2.正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3.一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．4.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．5.三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．板块二：三角函数的化简与求值化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．(三)典例分析【例14】 已知函数()sin cos f x a x b x =-（a ,b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在π3x =处取得最小值2-，则函数π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______________．【解析】 (1)化简6161π()cos π2cos π22(,)333k k f x x x x x k +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++∈∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R Z ， (2)求函数()f x 的值域和最小正周期．【解析】若cos 2sin αα+tan α=( )A ．12B ．2C ．12- D ．2-【例15】 函数2()sin cos f x x x x =在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A ．1 BC ．32D．1 【变式】 已知sin sin cos )x y y x +-，π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则______x y -=．【例16】 已知π02x -<<，1sin cos 5x x +=． ⑴求sin cos x x -的值； ⑵求223sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x -++的值.【变式】 已知1sin cos 5x x +=，π3π,62x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．求tan x 的值．【例17】 已知π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数sin cos 2sin cos 1y x x x x =+++的最大值和最小值，并求出此时x 的值．【变式】 已知02a ≤≤,求函数(sin )(cos )y x a x a =++的最值．【变式】 求函数()sin cos 3sin cos f x x x x x =-+⋅的值域．【例18】 设函数2πππ()sin 2cos 1468x x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ⑴求()f x 的最小正周期．w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m⑵若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当403x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时()y g x =的最大值．【变式】 设θ是锐角，求θ2sin )31(+=y θ2cos )31(-+的最大值及此时θ的值．【变式】 将1块圆心角为︒120，半径为20 cm 的扇形铁片截成1块矩形，如图1-13有2种裁法：让矩形1边在扇形的1条半径OA 上，或让矩形1边与弦AB 平行．请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．【变式】 化简ββαβα2sin )cos()cos(+-+．【变式】 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322．【变式】 求证tan(60)tan(60)tan tan(60)tan tan(60)3A A A A A A +︒-︒++︒+-︒=-【变式】 已知：a A A A =++5sin 3sin sin ，b A A A =++5cos 3cos cos ．求证：（1）当0≠b 时，ba A =3tan ；（2）222)2cos 21(b a A +=+．【变式】 已知222tan -=θ，π22π<<θ，求)2πsin(21sin 2cos 22+--θθθ的值．【例19】 求函数()()()43sin 43cos f x x x =--的值域。
高一数学 三角函数的恒等变形
高一数学 三角函数的恒等变形【基本公式】1、三角函数的诱导公式：（一） sin （k ·360°+α）=sin α cos （k ·360°+α）=cos α tan （k ·360°+α）=tan α（二） sin （180°+α）= -sin α cos （180°+α）=-cos α tan （180°+α）=tan α（三） sin （-α）=-sin α cos （-α）=cos α tan （-α）=-tan α（四） sin （180°-α）=sin α cos （180°-α）=-cos α tan （180°-α）=-tan α(五) sin （90 °－α）＝cos α cos （90 °－α）＝sin α tan （90 °－α）＝cot α（六） sin （90 °＋α）＝cos α cos （90 °＋α）＝－sin α tan （90 °＋α）＝－cot α（七） sin （270 °－α）＝－cos α cos （270 °－α）＝－sin α tan （270 °－α）＝cot α（八） sin （270 °＋α）＝－cos α cos （270 °＋α）＝sin α tan （270 °＋α）＝－cot α 记忆规律：“奇变偶不变,符号看象限”：90⋅=k β°α±的三角函数值，若k 是奇数则α是β的余名三角函数，若k 是偶数则α是β的同名三角函数；假设α为锐角，符号由β对应三角函数所在象限决定。
使用原则：“负化正，大化小，化到锐角就行了” 2、同角三角函数的基本关系式：倒数关系: 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 1cot tan =⋅αα商数关系: αααcos sin tan = αααsin cos cot = 平方关系: 1cos sin 22=+αα αα22sec tan 1=+ αα22csc cot 1=+3、和角公式、差角公式：sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+ tan （α－β）＝βαβαtan tan 1tan tan +-4、倍角公式、半角公式： （1）二倍角公式：αααcos sin 22sin =ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -= （2）三倍角公式：)60tan()60tan(tan tan 31tan tan 33tan )60cos()60cos(cos 4cos 3cos 43cos )60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 2333ααααααααααααααααααα-+=--=-+=-=-+=-= （3）升幂公式、降幂公式：22cos 1sin sin 22cos 122αααα-=⇔=- 22cos 1cos cos 22cos 122αααα+=⇔=+（4）万能公式：（5）半角公式：5、积化和差、和差化积公式： （1）积化和差公式：（2）和差化积公式：6、重要结论： （1）,tan ),sin(cos sin 22abb a b a =++=+ϕϕααα）所在象限决定所在象限由（b a ,ϕ （2）2)2cos2(sin sin 1ααα+=+ 2)2cos2(sinsin 1ααα+=-（3）ααα2sin 2cot tan =+ ααα2cot 2cot tan -=-（4）αααπαπtan 1tan 1)4cot()4tan(+-=+=- αααπαπt a n 1t a n 1)4c o t ()4t a n (-+=-=+（5）βαβαβα22sin sin sin(sin(-=-+）） βαβαβα22s i n c o s c o s (c o s (-=-+））（6）βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=±（7）43cos cos cos cos ,43sin sin sin sin ,1202222=++=-+︒=+βαβαβαβαβα则若 43cos cos cos cos ,43sin sin sin sin ,602222=-+=++︒=+βαβαβαβαβα则若（8）γβαγβαππγπγβαtan tan tan tan tan tan ,2,=+++≠=++则若k k（9）)cos(sin cos )sin(cos tan sin ααααααα<<⇒<<是第一象限角，则若【方法技巧】 1、 角的范围：（1）根据已知角的范围确定未知角的范围：21x x x 〈〈 2211y x y x y x +〈+〈+21y y y 〈〈 1221y x y x y x -〈-〈-（2）根据已知三角函数值确定未知角的范围：①由某个角的三角函数值的符号确定该角所在象限，从而确定和角（或差角）的范围： 如：已知)23,2(,ππβα∈，0tan 〉α，0tan 〈β，则23παπ〈〈，πβαπβπ〈-〈⇒〈〈02②由两角的三角函数值的大小关系，根据三角函数的单调性确定和角（或差角）的范围： 如：已知)2,0(,πβα∈，βαsin sin < ，则βα<02〈-〈-⇒βαπ③由某个角的三角函数值与特殊角的三角函数值的大小关系，确定该角的范围，从而确定和角（或差角）的范围：如：已知53cos =A ，135sin =B ，则312ππ<-<B A④由三角函数的值域，确定未知角的范围。
高一数学必修课件第三章三角恒等变形
同样可以通过数学归纳法或代入法等方法进行证明。证明过程需要运用三角函数的性质和 相关定理。
典型例题解析
01
例题1
已知sinα = 3/5，求cos2α的 值。
02
解析
根据倍角公式cos2α = 1 2sin²α，将已知的sinα值代入
公式进行计算，即可求得 cos2α的值。
03
例题2
已知cosβ = -√3/2，且β为第 二象限角，求sinβ/2的值。
要证明上述等式成立，我们可以先将 其转化为(1 + sinα + cosα) × 2 = (1 + tanα) × (1 + sinα - cosα)的形式 。然后利用辅助角公式和三角恒等式 进行化简和证明。
05
三角恒等式证明方法
直接法证明三角恒等式
01
公式法
利用已知的三角恒等式进行推 导，通过代入、变换等手段得
三角恒等变形定义
通过三角函数的基本关系式和诱导公式，将复杂的三角函数表达式化简为简单 的形式，或者将不同形式的三角函数表达式转化为等价的形式。
三角恒等变形的意义
在解决三角函数问题时，通过恒等变形可以简化计算过程，提高解题效率。同 时，掌握三角恒等变形的方法也有助于培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
三角函数周期性
利用三角函数的周期性，可以简化一些复 杂的三角函数表达式，或者将不同形式的 三角函数表达式转化为等价的形式。
诱导公式及其应用
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函 数值的公式。常见的诱导公式有和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
诱导公式的应用
利用诱导公式可以简化一些复杂的三角函数计算问题，如求任意角的三角函数值 、证明三角恒等式等。同时，诱导公式也是解决一些实际问题的重要工具，如测 量、物理中的振动和波动问题等。
高一数学《三角函数 三角恒等变换知识点总结》
三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
三角函数的证明与推导三角函数的恒等式与变形证明
三角函数的证明与推导三角函数的恒等式与变形证明三角函数是数学中重要的一类函数，它们在各个科学领域中都广泛应用。
本文将从三角函数的定义开始，逐步推导并证明一些三角函数的恒等式和变形。
一、正弦函数的定义与恒等式正弦函数可以定义为一个直角三角形的斜边与斜边所对的角度的比值。
在一个直角三角形ABC中，角A为直角，BC为斜边，AD为高，AD与BC的比值定义为正弦函数。
根据三角函数的定义，我们可以得到正弦函数的恒等式：恒等式1：sin^2x + cos^2x = 1我们可以通过几何方法来证明这个恒等式。
假设在单位圆上有一个角度为x的弧所对应的点为P(x,y)，根据三角函数的定义，我们可以得到：x = cosxy = sinx那么根据单位圆的定义，我们有：x^2 + y^2 = 1将x和y代入上述方程，即可得到恒等式1。
二、余弦函数的定义与恒等式余弦函数可以定义为一个直角三角形的邻边与斜边的比值。
与正弦函数类似，我们可以得到余弦函数的恒等式：恒等式2：1 + tan^2x = sec^2x我们可以通过几何方法来证明这个恒等式。
在单位圆上取一个与x 轴夹角为x的弧所对应的点P(x,y)，根据三角函数的定义，我们有：x = cosxy = sinx那么根据单位圆的定义，我们可以得到：1 + tan^2x = 1 + (y/x)^2 = 1 + (sin^2x / cos^2x) = cos^2x / cos^2x + sin^2x / cos^2x = (cos^2x + sin^2x) / cos^2x = 1 / cos^2x = sec^2x将x和y代回到恒等式2中，即可证明这个恒等式。
三、正切函数的定义与恒等式正切函数可以定义为一个直角三角形的斜边与邻边的比值。
我们可以得到正切函数的恒等式：恒等式3：1 + cot^2x = csc^2x类似于前面两个恒等式的证明，我们可以通过几何方法来证明这个恒等式。
在单位圆上取一个与x轴夹角为x的弧所对应的点P(x,y)，根据三角函数的定义，我们有：x = cosxy = sinx那么根据单位圆的定义，我们可以得到：1 + cot^2x = 1 + (x/y)^2 = 1 + (cos^2x / sin^2x) = sin^2x / sin^2x + cos^2x / sin^2x = (sin^2x + cos^2x) / sin^2x = 1 / sin^2x = csc^2x将x和y代回到恒等式3中，即可证明这个恒等式。
高中数学三角函数恒等变形公式
高中数学三角函数恒等变形公式高中数学中，三角函数是一个重要的概念和工具，通过恒等变形公式，可以将三角函数的式子进行等价的变换，使得计算更加简化。
本文将介绍一些常用的三角函数恒等变形公式。
首先，我们来介绍几个基本的三角函数公式：1.正余弦函数的平方和恒等式：$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$这个公式是最常见的三角函数公式之一，它表示：对于任意一个角度$x$，它的正弦值的平方和余弦值的平方等于12.余弦函数的和差公式：$$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$$这个公式可以表示两个角度的和或差的余弦值与各个角度的余弦值和正弦值的乘积之间的关系。
3.正弦函数的和差公式：$$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$$这个公式可以表示两个角度的和或差的正弦值与各个角度的正弦值和余弦值的乘积之间的关系。
4.正弦函数的二倍角公式：$$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$这个公式表示角度$2x$的正弦值等于角度$x$的正弦值和余弦值的乘积的两倍。
5.余弦函数的二倍角公式：$$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$这个公式表示角度$2x$的余弦值等于角度$x$的余弦值的平方减去正弦值的平方。
以上是一些基础的三角函数公式，下面我们来介绍一些与这些公式相关的恒等变形。
首先是与正弦函数和余弦函数相关的变形公式：1.正弦函数的倒数公式：$$\frac{1}{\sin x} = \csc x$$这个公式表示正弦函数的倒数可以用余割函数来表示。
2.余弦函数的倒数公式：$$\frac{1}{\cos x} = \sec x$$这个公式表示余弦函数的倒数可以用正割函数来表示。
3.余弦函数的平方公式：$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$这个公式表示余弦函数的平方可以用正弦函数的平方的补给来表示。
高考数学知识点：简单的三角恒等变换
高考数学知识点：简单的三角恒等变换一、半角公式(不要求记忆)
典型例题1：
二、三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
1、三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
2、三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
3、三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典型例题2：
三、三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1、一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
2、二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
3、三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
典型例题3：
四、三角函数求值有三类
1、“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
2、“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
3、“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
典型例题4：
三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．典型例题5：
【作者：吴国平】。
高一数学人教A版必修第一册三角恒等变换课件
（2）含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，
再利用两角差的余弦公式求解．
（3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊
角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
跟踪训练 1 求值： （1）cos 15°＝________； （2）cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝________.
跟踪训练 3 已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝255，sin β＝ 1100，
则 α－β＝________.
解析：因为 α，β 均为锐角，所以 cos α＝ 55，cos β＝31010.
所以 cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β
＝
55×3 1010＋2 5 5×
题型一 给角求值[教材 P219 例 4]
例 1 利用和(差)角公式计算下列各式的值：
（1）sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
（2）cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；
（3）11＋－ttaann
15° 15°.
【解析】 （1）由公式 S(α－β)，得
1155°°＝1t－ant4an5°4＋5°ttaann1155°°＝tan(45°＋15°)＝tan
60°＝
3.
和、差角公式把 α±β 的三角函数式转化成了 α，β 的三 角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述 三角函数式化简．
教材反思
解决给角求值问题的方法 （1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形， 否则进行各局部的变形． （2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化 为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时 要逆用或变用公式．
高一数学人教A版必修课件三角恒等变换.pptx
)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
[答案] B
第2页/共43页
[解析] sinAsinB＝cos2C2 ＝cosC2＋1＝1－cos2A＋B，展开 整理可得cos(A－B)＝1，因为－π<A－B<π，故A＝B.则△ABC 是等腰三角形．
1－
3 3 ＝－
1＋
3 3
2－
3
＝－12
8－4
3＝－12
6－
22＝
2－ 2
6 .
第24页/共43页
解法二：(用tanα2＝1－sincoαsα来处理)
∵α为第四象限的角，∴sinα<0.
∴sinα＝－ 1－cos2α＝－
1－13＝－
6 3.
∴tanα2＝1－sicnoαsα＝1－－
3 3＝ 6 3
思路方法技巧 命题方向1 半角公式的应用
已知cosα＝ 33，α为第四象限角，求tanα2值．第23页/共43页
[解析] 解法一：(用tanα2＝± 11－ ＋ccoossαα来处理) ∵α为第四象限角； ∴α2是第二或第四象限角．∴tanα2<0.
∴tanα2＝－ 11－＋ccoossαα＝－
第34页/共43页
求证：sinx＋cosx2－si1nxcsoinsxx－cosx＋1＝1＋sicnoxsx.
第35页/共43页
[证明] 原式＝ 2sinxcosx
2sin2xcos2x－2sin22x2sin2xcos2x＋2sin22x ＝4sin22x2scionsx2c2xo－sxsin22x ＝2ssiinnx22x＝csoins2x2x＝2s2inco2xsc2o2xs2x＝1＋sincoxsx＝右边． ∴原等式成立.
高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理
《三角函数恒等变换》知识归纳与整理一、基本公式1、必须掌握的基本公式 （1） 两角和与差的三角函数S S C C C βαβαβα =±)( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα±=±)( 异名乘积的和与差 T T T T T βαβαβα 1)(±=±（2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22=S C S C C 222222112ααααα-=-=-= 差点等于1 T T T 2212ααα-=（3） 半角的三角函数 212C S αα-±=212C C αα+±=C C T ααα+-±=112θθθθθsin cos 1cos 1sin 2-=+=T2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差][21)()(C C C C βαβαβα-++= =S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-=（2） 和差化积][222C S S S βαβαβα-+=+][222C S S S βαβαβα+-=-][222C C C C βαβαβα-+=+][222S S C C βαβαβα-+-=-（3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式） T T S 22212ααα+=T T C 222211ααα+-=T T T 22212ααα-=（4） 辅助角公式 )sin(cos sin 22ϕ++=+x x b x a b a其中：ab =ϕtan常见的几种特殊辅助角公式：① )4sin(2cos sin π+=+x x x② )3sin(2cos 3sin π+=+x x x③ )6sin(2cos sin 3π+=+x x x④ )4sin(2cos sin π-=-x x x⑤ )3sin(2cos 3sin π-=-x x x⑥ )6sin(2cos sin 3π-=-x x x二、理解证明1、两个基本公式的证明①S S C C C βαβαβα-=+)(的证明方法：在单位圆内利用两点间的距离公式证明。
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第11讲 三角函数与恒等变形
一、选择题
1．【2008年广东文】 5．已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
2．【2008年宁夏理】 1．已知函数2sin()(0)y x ωφω=+ >)
在区间[]0,2π的图像如下：那么ω=
（A ）1 （B ）2
（C ）
21 （D ） 3
1 3．【2008年宁夏理】 7．2
3sin 702cos 10-︒
=-︒
（A ）12 （B
）2
（C ）2 （D
）2
4．【2008年宁夏文】 11．函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为
A. -3，1
B. -2，2
C. -3，32
D. -2，3
2
5．【2008年山东理】 3．（文科3）函数ln cos ()22
y x x π
π
=-
<<的图象是 6．【2008年山东理】5．（文科10）
已知cos()sin 6
π
αα-
+=
7sin()6
π
α+的值是 A
． B
C ．45-
D ．45
7．【2007广东理】3．若函数2
1()sin ()2
f x x x R =-∈，则()f x 是
A.最小正周期为2
π
的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为π2的偶函数
D.最小正周期为π的偶函数
8．【2007广东文】9．已知简谐运动()2sin()(||)32
f x x ππ
ϕϕ=+<的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的
最小正周期T 和初相ϕ分别为
A ．6,6T πϕ==
B ．6,3T πϕ==
C ．6,6T ππϕ==
D ．6,3
T π
πϕ==
9．【2007年海南、宁夏理】9．（文科9）
若cos 2π2sin 4αα=-
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭cos sin αα+的值为
Ａ． Ｂ．12- Ｃ．12
10．【2007年海南、宁夏理】 3．（文科3）函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，的简图是
11．【2007年山东理】 （5）函数sin(2)cos(2)63
y x x π
π=+++的最小正周期和最大值分别为
（A ）,1π （B ）
π （C ）2,1π （D ）
2π12．【2007年山东文】 4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫
=-
⎪3⎝
⎭
的图象 A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π
3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π
6
个单位
二、填空题
1．【2008年北京理】13．（文科13）已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上的任意12x x ，，有如下
条件：
①12x x >； ②22
12
x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．
2．【2008年北京文】9．若角α的终边经过点(1
2)P -，，则tan 2α的值为 ． 3．【2008湖南单招】12．不等式11(sin 2)011x x x ⎛⎫
+⋅-<
⎪++⎝⎭
的解集为 ． 4．【2008年辽宁理】 16．已知()sin()(0),()()363
f x x f f πππ
ωω=+>=，且()f x 在区间(,)63ππ有最
小值，无最大值，则ω=__________．
5．【2008年辽宁文】16．设02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．
6．【2008年上海理】6
．函数()sin()2
f x x x π
=++的最大值是 ．
7．【2008上海春招】4．方程2cos 14x π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 ．
8．【2008上海春招】6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫
+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
x
Ａ．
Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
9．【2008年四川延考理】 （15）已知函数()sin()6
f x x π
ω=-
(0)ω>在4(0,
)3π单调增加，在4(,2)3
π
π单调减少，则ω= ．
10．【2008年四川延考文】 14．函数2()cos f x x x =-的最大值是____________．
11．【2008年浙江文】（12）若3
sin(
)25
π
θ+=，则cos 2θ=_________． 12．【2008年广东理】 12．已知函数()(s i n c o s )s i n ,f x x x x x =-∈R 则()f x 的最小正周期
是 ．
13．【2008年江苏】1．若函数cos()(0)6
y x π
ωω=-
>最小正周期为
5
π
，则ω= ． 三、计算题 1．【2008年广东理】 已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，．（1）求()f x 的解析式； （2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，，且3()5f α=
，12()13
f β=，求()f αβ-的值．
2．【2008年江苏】如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角αβ，，它们的终边分别
交单位圆交于A B ，两点．已知A B ，两点的横坐标分别是10
、5．
（1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值．
3．【2008年山东理】 已知())cos()(0,0)
f x x x ωϕωϕϕπω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2
π
．
（I ）求()8f π的值；（II ）将函数()y f x =的图象向右平移6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横
坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．
4．【2008年山东文】已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π
2
． （Ⅰ）求π8f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π
6
个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．
5．【2008年安徽理】 已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域．
6．【2008年北京理】已知函数2
π()sin sin 2
f x x x x ωωω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
7．【2008年湖北理】已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,]12
f t
g x x f x x f x x π
π=
=⋅+⋅∈． （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域．。