向量知识点归纳.
向量知识点及题型总结
向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。
- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。
- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。
- 零向量：模长为0的向量，表示为0。
二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。
- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。
2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。
- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。
- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。
- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。
- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。
- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。
- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。
2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。
- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。
- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。
- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。
四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。
高中数学向量知识点归纳
高中数学向量知识点归纳
1. 向量的定义和表示
- 向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
- 向量的表示方法有坐标表示法和向量符号表示法。
2. 向量的加法和减法
- 向量的加法：将两个向量的对应方向上的分量相加，得到新的向量。
- 向量的减法：将被减向量取反，然后进行加法操作。
3. 向量的数量积和向量积
- 向量的数量积（又称点积或内积）：用数值表示两个向量的乘积，结果是一个标量。
- 向量的数量积公式：a·b = |a| |b| cosθ。
- 向量的向量积（又称叉积或外积）：用一个新的向量表示两个向量的乘积，结果是一个向量。
- 向量的向量积公式：c = a×b，其中 c 的模长等于|a| |b| sinθ。
4. 直线和平面向量的应用
- 在平面上，可以根据向量的性质求解直线的方程、判断点与直线的位置关系等。
- 在空间中，可以根据向量的性质求解平面的方程、判断点与平面的位置关系等。
5. 向量的线性运算
- 向量的线性运算包括数乘和线性组合。
- 数乘：将向量的每个分量都乘以一个实数。
- 线性组合：将多个向量以一定比例加和。
6. 向量的模和单位向量
- 向量的模是指向量的长度，可以用勾股定理求解。
- 单位向量是指模为1的向量，可以通过向量除以模长求得。
以上是高中数学中向量知识点的归纳。
希望对你有所帮助！。
向量知识点总结
向量知识点总结一、向量的概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头或字母表示，例如AB或a。
向量的大小叫做模，通常用||a||表示。
2. 向量的表示(a1, a2, ..., an)可以表示一个n维的向量，其中a1, a2, ..., an分别表示向量在各个坐标轴方向上的分量。
3. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模相等，并且各个对应的分量相等。
二、向量的运算1. 向量的加法若A(x1, y1)和B(x2, y2)是平面上两个向量，那么A+B=(x1+x2, y1+y2)表示两个向量的和。
2. 向量的数量积设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则A·B=x1*x2+y1*y2称为向量A与向量B的数量积。
数量积的值等于A的长度与B在A方向上的投影的长度之积。
3. 向量的向量积设向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则A×B=(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)称为向量A与向量B的向量积。
向量积的模等于A与B所在的平行四边形的面积。
4. 向量的数量积和向量积的区别数量积是标量，向量积是向量；数量积是满足交换律的，向量积不满足交换律。
三、向量的线性运算1. 向量的线性组合若a1, a2, ..., an是n个向量，c1, c2, ..., cn是n个数，那么c1a1+c2a2+...+cna_n称为向量a1, a2, ..., an的线性组合。
2. 线性相关与线性无关如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0有非零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性相关；如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0只有零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性无关。
3. 线性相关与线性无关性质如果n个向量线性相关，那么它的某一个部分线性相关；如果n个向量线性无关，那么它的任何部分都是线性无关的。
向量知识点总结大全
向量知识点总结大全1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量可以用来表示力、速度、位移、电场、磁场等物理量。
向量通常用坐标或分量来表示，也可以用一点表示。
向量的模长是其大小，方向是指向量所指方向。
2. 向量的表示(1) 点表示法：用起始点为O，终点为A的箭头表示向量，记作→OA。
(2) 分量表示法：以向量所在的坐标系中的原点O为出发点，A(x, y)为终点，表示向量为→OA = x→i + y→j。
其中，→i和→j是标准基向量，它们的方向分别是x轴和y轴的正方向，长度为1。
(3) 等价向量：长度和方向都相同的向量称为等价向量，用→AB = →CD 表示。
3. 向量的运算(1) 向量的加法：若有两个向量→a 和→b，它们的和记作→c，即→c = →a + →b。
向量的加法满足交换律和结合律，即→a + →b = →b + →a，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。
(2) 向量的数量积（点积）：若两个向量→a 和→b 的夹角为θ，则它们的数量积定义为→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ。
(3) 向量的矢量积（叉积）：对于三维向量→a = (a1, a2, a3) 和→b = (b1, b2, b3)，它们的矢量积定义为：→a × →b = (a2b3 - a3b2)→i - (a1b3 - a3b1)→j + (a1b2 - a2b1)→k，其中→i、→j、→k 分别是x、y、z轴的单位向量。
(4) 向量的数量积和矢量积的关系：→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ，其中θ为夹角；|→a × →b| = |→a|·|→b|·sinθ，即矢量积的模长等于两个向量模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值。
4. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的大小和方向都相等。
向量知识点
、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§ 2.1.2>向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量扇的大小，也就是向量扇的长度（或称模），记作|AB|；长度为零的向量叫做零向量;长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定:零向量与任意向量平行.、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法那么和平行四边形加法法那么.―► —►—► —►a +b a + b.2、§2. 2. 2、向量减法运算及其几何意义1、与。
长度相等方向相反的向量叫做。
的相反向量.2、三角形减法法那么和平行四边形减法法三角形遍法法那平行边形遍法法那§2. 2. 3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数人与向量。
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作:膈,它的长度和方向规定如下：（1）Aai = l/lLL⑵当；I >0时，的方向与。
的方向相同；当2<0时，人］的方向与。
的方向相反.2、平面向量共线定理:向量a［a 6）与片共线，当且仅当有唯一个实数人，使方= 4".§2. 3.1、平面向量根本定理1、平面向量根本定理:如果。
］,勺是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内(l)a-b = x }x 2 + y 2 ⑵ a =+ y} a Lb a^b = Q x x x 2 + ^^2 =。
―► —► —► —►任一向量。
，有且只有一对实数2] , 22 ,使"=人]弓+人2。
2 • § 2. 3. 2＞平面向量的正交分解及坐标表示 a = xi + yj = (x, y) •、平面向量的坐标运算 1、 1、设a = (x i ,y i \b = (x 2,y 2),那么:(& +万=(邑 +x 2^Ji +.2)，一&=3 一知、 一无)，(3)人1 =(入］,人乂)，^a//b<^>x x y 2 =x 2y r设 A （M , 乂）, 3（听，光），贝土 AB= （X 22、 1、设 A(%!, yj), B(X 2 , y 2 \ C(x 3, y 3),那么 ⑴线段AB 中点坐标为。
向量题型知识点总结归纳
向量题型知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
在直角坐标系中，向量通常表示为一个有序数对(a, b)，称为向量的坐标，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y 轴上的投影。
2. 向量的表示向量通常用字母加上箭头来表示，如→AB。
在数学中，向量常用字母加上上方的横线来表示，如a。
若向量a在平面直角坐标系中的终点坐标为(x, y)，则向量a可记作a = (x, y)。
3. 向量的模向量的模是表示向量大小的量，通常用两点间的距离来表示。
在直角坐标系中，向量a = (a1a1) 的模记作|a| = √(a1^2 + a1^2)。
4. 向量的方向向量的方向通常用夹角来表示，夹角是指向量与x轴正方向之间的角，通常用θ来表示。
在直角坐标系中，向量的方向可由tan θ = y/x来表示。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在直角坐标系中，向量的加法通常是分别将两个向量的对应坐标相加，例如a + a = (a1 + a2，a1 + a2)。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在直角坐标系中，向量的减法可以表示为a - a = (a1 - a2, a1 - a2)。
3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为a·a（读作a点b），定义为a·a = |a| |a| cos a = aaaa + aaaa，其中a是a和b之间的夹角。
4. 向量的矢量积向量的矢量积又称为叉积，表示为a×a（读作a叉b），定义为a×a = |a| |a| sin a n，其中n是一个垂直于a和b的单位向量。
三、向量的应用1. 向量在物理中的应用向量在物理学中有广泛的应用，例如速度、加速度、力等物理量都可以用向量来表示。
通过向量的运算，可以方便地计算物理问题中涉及到的各种力和速度等物理量。
向量的知识点归纳总结
向量的知识点归纳总结一、向量的定义和表示向量是由大小和方向组成的量，可以用箭头表示。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(x,y)，也可以用矢量形式表示为a=<x,y>。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组(x,y,z)，或者用矢量形式表示为a=<x,y,z>。
二、向量的基本运算1. 向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量和第二个向量相同。
2. 向量减法：两个向量相减得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之差，方向与第一个向量和第二个向量相反。
3. 数乘：将一个数乘以一个向量得到一个新的向量，其大小为原来的大小乘以这个数，方向不变。
4. 点积：两个同维度的向量进行点积运算得到一个标量（数量），公式为a·b=|a||b|cosθ。
5. 叉积：只有三维空间中才有叉积运算。
两个同维度的向量进行叉积运算得到一个新的垂直于这两个原始向 0 0 向的向 0 0 量，公式为a×b=|a||b|sinθn。
三、向量的线性相关和线性无关若存在一组不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，则向量组{a1,a2,...,an}线性相关；否则，向量组{a1,a2,...,an}线性无关。
其中，n表示向量的个数。
四、向量的投影和正交分解1. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是这个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量方向相同的新向 0 0 向。
公式为projba=(a·b/|b|^2)b。
2. 正交分解：将一个向量分解成与另一个向量正交和平行于另一个向量两部分之和。
公式为a=a∥+a⊥，其中a∥=projba，a⊥=a−projba。
五、平面几何中的应用1. 向量共线：若两个非零向量共线，则它们可以表示成相等或相反方向的倍数。
2. 向量垂直：若两个非零向量垂直，则它们点积等于零。
向量的知识点归纳总结
向量的知识点总结1. 概述向量是数学中一种重要的概念，用于表示具有大小和方向的量。
在物理、几何、线性代数等领域有广泛的应用。
本文将对向量的定义、性质、运算、线性相关性、内积、向量空间等知识点进行总结。
2. 定义向量可以看作一个有序的数字列表或坐标。
一般表示为一个小写的字母带上一个箭头，如a⃗。
向量有大小和方向两个重要属性。
3. 向量的表示向量可以用不同的方式进行表示： - 笛卡尔坐标：用 n 个实数表示一个 n 维向量。
- 列向量：将向量的分量按列排列成一个列向量。
- 行向量：将向量的分量按行排列成一个行向量。
4. 向量的性质向量有以下基本性质： - 零向量：大小为 0 的向量，表示为0⃗⃗。
- 单位向量：大小为 1 的向量，长度为 1。
- 相等性：两个向量相等当且仅当它们对应的分量相等。
- 加法交换律：a⃗+b⃗⃗=b⃗⃗+a⃗。
- 加法结合律：(a⃗+b⃗⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗⃗+c⃗)。
5. 向量的运算向量的运算包括加法、减法和数乘： - 向量加法：将两个向量对应的分量相加得到的新向量。
- 向量减法：将两个向量对应的分量相减得到的新向量。
- 数乘：将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到的新向量。
6. 线性相关性向量的线性相关性描述了向量之间是否存在线性关系： - 线性相关：存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。
- 线性无关：不存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。
线性相关性可以通过计算行列式或者高斯消元法进行判断。
7. 内积向量的内积（点积）是两个向量相乘得到的标量值。
内积有以下性质： - 结合律：(a ⃗⋅b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅(b ⃗⃗⋅c ⃗) - 分配律：(a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗⋅c ⃗ - 交换律：a ⃗⋅b ⃗⃗=b ⃗⃗⋅a ⃗内积的计算公式为：a ⃗⋅b⃗⃗=a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n 8. 向量的模长向量的模长（长度）是指向量的大小。
数学向量知识点大全
数学向量知识点大全数学向量是高中数学的重要内容之一、它是表示大小和方向的物理量，常用箭头或有向线段表示。
下面是数学向量的一些重要知识点：1.向量的定义：向量是有大小和方向的量。
2.零向量：大小为零的向量，表示为0或。
3.等于向量：若向量和向量的对应分量相等，则称这两个向量相等。
4.向量的加法：若向量和向量都有相同的起点，则它们的和向量从共同起点出发，终点位于连接两个向量终点的直线上。
5. 向量的数量乘法：若向量a和实数k，积ka的大小为，k，乘以a的大小，方向和a相同（若k>0）或相反（若k<0）。
6.两个向量的数量乘积：向量的数量乘积是一个向量，大小等于这两个向量大小的乘积，方向和这两个向量夹角的余弦相同。
7.向量的平行条件：若向量和向量大小相等或其大小为零，则称这两个向量平行。
8.向量的线性组合：若给定向量，实数称为向量的系数，则向量的线性组合是形如的向量。
9.向量的加法交换律：对于任意两个向量a和b，有a+b=b+a。
10.向量的加法结合律：对于任意三个向量a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
11.零向量的加法逆元：对于任意向量a，有a+(-a)=0。
12.向量长度的计算：向量的长度（或模）由勾股定理求得，即，a，=√(a₁²+a₂²)。
13.单位向量：长度为1的向量，可以通过将向量除以其长度得到。
14. 单位向量的夹角余弦：若a和b是非零向量，则向量a与向量b 的夹角余弦由公式cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)求得。
15.向量的点乘积：向量的点乘积是一个标量，等于两个向量大小的乘积，方向是两个向量夹角的余弦。
表示为a·b。
16.向量的点乘积的性质：对于任意向量a、b和c，以及实数k，有以下性质：-a·b=b·a（交换律）-a·(b+c)=a·b+a·c（分配律）- (ka)·b = k(a·b)17.向量的叉乘积（向量积）：向量的叉乘积是一个向量，大小等于两个向量大小的乘积与夹角的正弦乘积，方向垂直于这两个向量所确定的平面。
向量组相关知识点总结
向量组相关知识点总结一、向量的定义和性质:1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，可以表示平移、位移、速度、加速度等物理量。
2. 向量的模：向量的大小称为模，通常用|AB|或||A||表示，表示点A到点B的距离。
3. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，通常用e表示，如i,j,k。
4. 向量的相等：向量的模和方向都相等时，称为相等向量。
5. 向量的相反：模相等，但方向相反的向量称为相反向量。
6. 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。
7. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，用平行四边形法则或三角法则进行计算，例如A+B=B+A, A+(B+C)=(A+B)+C。
8. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法，即A-B = A+(-B)。
9. 数乘：一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量，模的变化为原来的模与实数的绝对值的乘积，方向不变或相反。
二、向量组的线性相关性和线性无关性:1. 定义：给定向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为0的实数k1,k2,...,kn,使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，则称向量组V线性相关。
否则称为线性无关。
2. 性质：a. 向量组中包含一个零向量，则向量组一定线性相关。
b. 向量组中向量个数大于向量的维数，则向量组一定线性相关。
c. 向量组中一个向量是另一个向量的线性组合，则向量组一定线性相关。
3. 判定方法：通过求解线性方程组，若方程组有非零解，则向量组线性相关；若方程组只有零解，则向量组线性无关。
4. 线性相关向量组的性质：如果一个向量组A的子集B线性相关，则向量组A一定线性相关。
5. 极大线性无关组：对于向量组V中的线性无关的向量组，如果再加入一个该向量组中的向量会使其变成线性相关，则称该向量组为极大线性无关组。
6. 基础向量组和坐标：对于线性无关的向量组V，可以通过线性组合得到空间内的所有向量，称为向量组V的基础向量组。
(完整版)向量知识点总结
坐标表示坐标运算←→−− 3. 向量的加法、减法与数乘（1）向量的加法——三角形法则或平行四边形法则如图：向量加法的多边形法则如图，求a b c→+→+→（2）向量的减法：a b a b a b →-→=→+-→→→()，即向量加上的相反向量。
（的箭头指向被减向量）a b →-→ （3）实数与向量的乘积λλλλλλλλa a a a a a a a →→=→>→<→=→=→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪→→⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪长度·方向：时与同向时与反向时，∥||||||0000※∥（）存在唯一实数，使b a a b a→→→≠→⇔→=→0λλ 4. 向量的运算法则（加、减、数乘）设向量，，及实数，，则：a b c →→→λμ ①a b b a→+→=→+→②()()a b c a b c →+→+→=→+→+→③()λμλμ+→=→+→a a a④λλλ()a b a b →+→=→+→ ⑤·||||||λλa a →=→⑥||||||||||a b a b a b →-→≤→±→≤→+→ （此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。
）5. 平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a 12→→→，是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量，存在唯一实数对，，使得。
λλλλ121122a e e →=→+→（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的和。
叫做向量，的线性组合，，叫做表这一平面内所λλ11221212e e e e e e →+→→→→→有向量的一组基底。
①基底不唯一，关键是不共线②基底给定，分解形式唯一⎛⎝ ⎫⎭⎪应用：设，不共线，点在直线上（即、、三点共线）OA OB P AB A B P →→⇔→=→+→+=∈OP OA OB R λμλμλμ且（，）1（二）向量的坐标运算()()（），，31111λλλλa x y x y →==（三）平面向量的数量积1. 数量积的概念设向量，，∠叫做向量与的夹角。
向量知识点归纳
向量知识点归纳向量，在数学和物理学中起着重要的作用。
它是平面几何和立体几何研究的基础，也是物理学中描述力和速度等物理量的必备工具。
本文将就向量的概念、运算法则以及在几何和物理中的应用等方面进行归纳总结。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
向量记作A→或A→，其中A表示向量起点，A表示向量本身。
向量可以用坐标表示，例如坐标为(A, A)的向量记作(A, A)→。
向量有负数，零向量和单位向量等特殊情况。
二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法仍然是向量。
向量A→和A→的和记作A→+A→，求和的方法是将两个向量的起点连接起来，然后连接向量的终点，所得线段的方向与第一个向量相同，长度等于两个向量长度之和。
2. 向量的减法：向量的减法实际上就是加上一个相反数。
向量A→和A→的差记作A→−A→，即A→+（−A→）。
求差的方法是将向量A→取负号后，按照向量的加法规则进行运算。
3. 数量乘法：向量与实数之间的乘法。
若A→为一个向量，A为实数，则数量乘法的结果为AA→，即将向量的长度乘以实数，并沿原来的方向延长或缩短。
4. 数量积（点积）：又称内积或数量积。
向量A→和A→的数量积记作A→·A→或(A, A)。
数量积的结果是一个实数，其计算公式为A→·A→=AAAA+AAAA。
5. 向量积（叉积）：又称外积或向量积。
向量A→和A→的向量积记作A→×A→或[A, A]。
向量积的结果是一个向量，其方向垂直于向量A→和A→所在的平面，并遵循右手法则。
向量积的计算公式为：A→×A→ = (AAAA− AAAA)A→ + (AAAA− AAAA)A→ + (AAAA− AAAA)A→三、向量在几何中的应用1. 向量与平面几何：向量在平面几何中可以表示线段、直线和平面等。
两点间的向量可以用来求距离和中点，平行向量可以用来判定直线的平行和共线性，两向量的数量积可以用来判断两直线是否垂直。
向量知识点总结及讲解
向量知识点总结及讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
在几何学中，向量通常表示为有向线段。
在向量中，大小通常表示为向量的长度，方向表示为向量的箭头指向。
2. 向量的表示向量可以用坐标、分量或者表示向量的起点和终点等方式来表示。
在二维空间中，可以使用(x, y)来表示向量，在三维空间中，可以使用(x, y, z)来表示。
3. 向量的相等当两个向量的大小和方向都相同时，这两个向量称之为相等向量，可以表示为AB=CD。
4. 零向量零向量是指大小为0，方向任意的向量，可以表示为0。
5. 单位向量单位向量是指大小为1的向量，可以将任意非零向量除以其大小得到单位向量。
6. 平行向量两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量称之为平行向量，可以表示为AB∥CD。
7. 垂直向量当两个向量的夹角为90°时，这两个向量称之为垂直向量，可以表示为AB⊥CD。
8. 自由向量自由向量是指一个向量沿着平行的方向平移以后仍然保持原有性质的向量。
9. 定位向量定位向量是指起点固定在坐标原点上的向量，可以用终点的坐标表示。
二、向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
2. 向量减法向量减法是指将被减向量取反后与减向量进行向量加法，得到一个新的向量。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或者内积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加得到一个数，可以表示为a·b。
4. 向量的数量积性质（1）交换律：a·b = b·a（2）结合律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c5. 向量的数量积应用向量的数量积有很多应用，例如计算向量的模、判定向量的垂直性、计算夹角等。
6. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或者外积，是指将两个向量的对应分量相乘后得到一个新的向量。
向量知识点全总结
向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。
向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。
1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。
（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。
（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。
1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。
也可以用物理量的大小和方向表示。
1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。
（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。
（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。
1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。
（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。
1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。
对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。
可以用夹角来表示向量的方向。
1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。
1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。
向量的相关知识点总结
向量的相关知识点总结1.向量的定义在二维空间中，向量可以用有序数对(a, b)表示，而在三维空间中，向量可以用有序数组(a, b, c)来表示。
一般情况下，我们用小写字母(a, b, c)来表示向量，而用粗体字母（a, b, c）来表示向量。
向量的大小通常通过其模长来表示，模长用 ||a|| 表示，在二维空间中，则有||a|| = sqrt(a^2 + b^2)，而在三维空间中，则有 ||a|| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)。
2.向量的性质（1）向量的相等：两个向量相等当且仅当它们的方向和大小都相等。
（2）零向量：大小为0的向量称为零向量，用0表示。
（3）平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们被称为平行向量。
（4）共线向量：如果两个向量共线并且同向或者反向，那么它们被称为共线向量。
（5）向量的方向余弦：向量a的方向余弦分别为cosα = a1/||a||, cosβ = a2/||a||, cosγ =a3/||a||。
3.向量的运算（1）向量的加法：设有向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，那么a + b = (a1 + b1, a2 +b2)。
（2）向量的数乘：设有向量a = (a1, a2)，实数k，那么ka = (ka1, ka2)。
（3）向量的点积：设有向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，那么a·b = a1b1 + a2b2。
（4）向量的叉积：设有向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，那么a × b = a1b2 - a2b1。
4.向量的应用（1）几何意义：向量可以用来表示位移、速度、加速度等物理量，从而广泛应用于力学、天文学等领域。
（2）工程应用：向量可以用来描述电磁场、热传导等现象，从而应用于电子工程、材料工程等领域。
（3）计算机图形学：向量被广泛应用于计算机图形学中，用来表示点、线、面等几何图形，从而用于游戏开发、动画制作等领域。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结一、基础概念向量是由大小和方向两个方面表示的量，可以用有向线段表示。
向量的模(长度)是一个标量，用||a||表示，其中a为向量。
模为0的向量称为零向量。
向量的方向由其符号决定，同方向向量与相反方向向量称为“对向向量”。
二、向量的加法向量加法：向量加上另一个向量就是在另一个向量的末端从起点开始画一个同样大小的向量。
可加性：若a、b、c为向量，那么a+b=c，即a+b=c-b。
交换律：一个向量加上另一个向量等于另一个向量加上第一个向量。
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)三、向量的减法向量减法：一个向量减上另一个向量等于另一个向量的相反数加上第一个向量。
四、向量的数量积向量的数量积：向量 a 与标量 k 的积乘积表示为ka 。
向量 a 与向量 b 的数量积表示为a·b 。
夹角公式：a·b=|a||b|cosθ。
五、向量的叉积向量的叉积可以得到一个新的向量，叉积符号为叉乘号-×。
向量的叉积表示为a×b，结果垂直于a和b所在的平面，方向通过右手定则判断。
六、平面向量平面向量：一个平面向量的模表示这个向量所代表的有向线段的长度，而朝向的方向则由向量的起点指向终点。
标准单位向量i、j 满足|i|=|j|=1，同时是相互垂直的。
平面向量加减的公式与三维向量相同。
七、空间向量空间向量：空间向量是三维向量，定义为一个向量的起点和终点可以在三维空间中的任意两个点之间往返移动。
空间向量加减的公式与平面向量相同。
空间向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ。
八、向量的应用平移变换：平移是向量应用最广泛的变换之一，在2D空间或3D空间中使用相同的基础技巧。
投影：当我们需要在三维空间中绘制3D图像时，我们经常需要计算平行于某个坐标轴的投影。
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向量知识点的归纳一、知识梳理：（1）本章要点梳理：1、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，特别注意：)(21→→+AC AB 表示△ABC 的边BC 的中线向量。
向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||表示A 、B 两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、-（或-）。
————————————————————————————————————————2、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。
与非零向量同向的单位向量0a =，叫做的单位向量。
而0a ±都与共线（与反向的单位向量为-||0a a =）。
——————————————————————————————————————3、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角；两向量数量积><=⋅b a b a b a ,cos ||||；其中><→→→b a b ,cos ||可视为向量在向量上的投影。
4、向量运算中特别注意22||a a =的应用。
研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算。
另外，有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，有些题目就可以由作图得解。
5、向量的坐标运算是高考中的热点内容，向量的坐标形式实质上是其分解形式j y i x ⋅+⋅的“简记”。
其中j i ,分别表示与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量。
6、利用向量求角时，要注意范围。
两向量所成角的范围是],0[π。
特别注意：0>⋅不能等同于b a ,所成角是锐角，因为当b a ,同向时也满足0>⋅b a ；同样的道理，0<⋅b a 不能等同于b a ,所成角是钝角，因为当b a ,反向时也满足0<⋅b a 。
［例］l 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△ABO 是（ ）A 、锐角三角形； B 、直角三角形； C 、钝角三角形； D 、不确定与P 值有关.分析：由直线l 过焦点)0,2(p F ，设其方程为2p my x +=，联立得：⎪⎩⎪⎨⎧+==222p my x px y ，即：0222=--p pmy y ，则221p y y -=⋅，又p y p y x x 22222121⋅=⋅=42p .则04322121<-=+=⋅p y y x x OB OA ，则AOB ∠一定是钝角.选C. 7.直线l 的向量参数方程式：A 、P 、B 三点共线 则t )t (+-=18.关注向量运算与三角函数综合是高考中的常见题型. ［例］已知向量R x x x x ∈==},2sin 3,{cos },1,cos 2{.设x f ⋅=)(.（1）若31)(-=x f 且]3,3[ππ-∈x ，求x 的值；（2）若函数x y 2sin 2=的图像按向量)2|}(|,{π<=m n m c 平移后得到函数)(x f y =的图像，求实数n m ,的值.解析：（1）1)62sin(22sin 312cos 2sin 3cos 2)(2++=++=+=πx x x x x x f ， 易得4π-=x .（2）函数1)62sin(2++=πx y 是由函数x y 2sin 2=的图像向左平移12π，再把所得图像向上平移1个单位而得，所以1,12=-=n m π.二、易错、易混、易忘点梳理： 【易错点1】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用，易产生概念性错误。
例1.下列命题：①422||)()(a a a =⋅②b c a c b a ⋅⋅=⋅⋅)()(③ |a ·b |=|a |·|b |④若a ∥b b ,∥,c 则a ∥c ⑤a ∥b ，则存在唯一实数λ，使a b λ=⑥若c b c a ⋅=⋅，且c ≠o ，则b a =⑦设21,e e 是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a ，都存在唯一一组实数x 、y ，使21e y e x a +=成立。
⑧若|a +b |=|a －b |则a ·b =0。
⑨a ·b =0，则a =0或b =0。
其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3个以上 解析：①正确。
根据向量模的计算2a a a •=r r r 判断。
②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义()a c b ⋅⋅r r r 表示和向量b r 共线的向量，同理()a b c ⋅⋅r r r 表示和向量c r 共线的向量，显然向量b r 和向量c r 不一定是共线向量，故()()a b c a c b ⋅⋅≠⋅⋅r r r r r r 不一定成立。
③错误。
应为a b a b •≤r r r r ④错误。
注意零向量和任意向量平行,非零向量的平行性才具有传递性。
⑤错误。
应加条件“非零向量a r ”。
⑥错误。
向量不满足消去律。
根据数量的几何意义，只需向量b r 和向量b r 在向量c r 方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。
⑦错误。
注意平面向量的基本定理的前提有向量21,e e 是不共线的向量即一组基底。
⑧正确。
条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。
故a ·b =0。
⑨错误。
只需两向量垂直即可。
答案：B【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。
一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ (交换律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ） (数乘结合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с (分配律)说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ，(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２【练习】设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a|－|b|<|a －b| ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直④（3a+2b ）（3a －2b ）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ）A.①②B.②③C.③④D.②④ 答案： D【易错点2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。
例2.四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。
解：四边形ABCD 是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）2即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等∴四边形ABCD 是平行四边形.另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC 。
综上所述，四边形ABCD 是矩形.【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。
例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜2（2）向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)等有用的结论。
【练习】（1）点O 是ABC ∆所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（）（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点（2）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =答案： （1）D （2）m=1【易错点3】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。
例3.已知ABC ∆中,5,8,7a b c ===,求BC CA •u u u r u u u r . (答案:-20)【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是)0,180︒︒⎡⎣，两向量的夹角的范围是0,180︒︒⎡⎤⎣⎦，注意向量的夹角是否为三角形内角。
【易错点4】向量数积性质的应用。
例4.已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角。
解析：本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。
答案： 60︒。
【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂ⇔ａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜２或｜ａ｜＝2a a a =⋅④ｃｏｓθ＝ba b a ⋅⋅ ⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜【练习】（1）已知向量,54,2(),2,1(=--==c 若5(),2a b c +⋅=r r r 则a r 与c r 的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120° D ．150°答案：C （注意2-=）（2已知向量a r ≠e r ，|e r |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a r －t e r |≥|a r －e r |，则（ ） (A) a r ⊥e r (B) a r ⊥(a r －e r ) (C) e r ⊥(a r －e r ) (D) (a r ＋e r )⊥(a r －e r ) 答案：C【易错点5】向量与三角函数求值、运算的交汇例5、)2,(),,0(),0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(ππβπαββαα∈∈=-=+=c b a ρρρ，a ρ与c ρ的夹角为θ1， b ρ与c ρ的夹角为θ2，且2sin ,321βαπθθ-=-求的值. 【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。