第二届北方数学奥林匹克邀请赛

第五届北方数学奥林匹克邀请赛

第五届北方数学奥林匹克邀请赛第一天一、(25分)设数列{x n }满足x 1=1,x n =x 2n -1+x n -1+x n -1(n \2).求数列{xn }的通项公式.(张雷供题)图1二、(25分)如图1,在锐角v ABC 中,已知AB >AC ,cos B +cos C =1,E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点,且满足ABF =ACE =90b .(1)求证:BE +CF =EF ;(2)设EBC 的平分线与EF 交于点P ,求证:CP 平分BCF .(刘康宁吕建恒徐庆金供题)三、(25分)已知有26个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少有两个数,一个数整除另一个数.证明:一定存在六个数,其中一个数能被另外五个数整除.(张同君供题)四、(25分)船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配:水手1、水手2、水手3每人写下一个正整数分别为b 1、b 2、b 3,满足b 1\b 2\b 3,且b 1+b 2+b 3=2009;船长在不知道水手写的数的情况下,将2009枚金币分成3堆,各堆数量分别为a 1、a 2、a 3,且a 1\a 2\a 3.对于水手k (k =1,2,3),当b k <a k 时,可以从第k 堆拿走b k 枚金币,否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数,船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值,并证明你的结论.(张利民供题)第二天五、(25分)如图2,在给定的扇形AOB 图2中,圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ,在线段OC 上取一点P ,联结AP ,过点B 作直线BQ M AP 交射线OC 于点Q .证明:封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.(徐庆金供题)六、(25分)设x 、y 、z >0,且x 2+y 2+z 2=3.求证:x2009-2008(x -1)y +z \12(x +y +z ).(杨海滨贾应红供题)七、(25分)记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数,且对所有的正整数n ,都有[x [ny ]]=n -1成立.证明:xy =1,且y 是大于1的无理数.(刘康宁供题)八、(25分)求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.(张雷供题)参考答案第一天一、易证x n 是正数.注意到1x n=1x 2n -1+x n -1+x n -1=x 2n -1+x n -1-x n -1x n -1=1+1x n -1-1,即1x n+1=1+1x n -1=,=1+1x 112n -1=212n -1=221-n.故x n =122-1.二、(1)因为ABF=ACE=90b ,所以,E 、B、C 、F四点共圆.于是,CFE =ABC,BEF =ACB .故cos CFE +cos BEF =cos ABC +cos ACB =1,即 CF EF +BE EF =1.因此,BE +CF =EF .图3(2)如图3,在线段EF 上取一点Q ,使EQ =EB .由(1)的结论知FQ =FC.因FQC=12(180b -C FQ )=12EBC =PBC ,所以,B 、C 、P 、Q 四点共圆.故BCP =BQE =12(180b -BEQ )=12BCF .于是,CP 平分BCF .三、将26个数由小到大按升幂排列.把最小数编号为1,对后续数的编号原则为:如果它前面的数都不能整除它,就将这个数编号为1;如果它前面的数有的能整除它,设能够整除它的数中最大编号为k ,就将这个数编号为k +1.当将26个数全部编号后,可以证明这26个数中一定有编号为6的数.假设没有编号为6的数,即这26个数的编号只能是1,2,3,4,5.由抽屉原则知,一定有六个数编号相同,则这六个数必然不能相互整除,与已知矛盾.因此,这26个数中一定有编号为6的数.如果有一个数编号为6,这说明它有一个编号为5的因数.同理,这个数有一个编号为4的因数,,,这样,就得到由六个数组成的因数链,其中每一个数都能被下一个数整除.显然,这六个数中最大的一个能被其余五个数整除.问题得证.四、最大值是673.首先,船长可以确保得到不少于673枚金币.事实上,当船长把金币分成的3堆数目分别为671、670、668时,(1)若b 1\671,则船长可得到不少于671+2=673枚;(2)若b 1<671,则因b 1[670,b 1+b 2+b 3=2009,所以,只有b 1=b 2=670,b 3=669,船长得到的金币数不少于1+670+668>673枚.其次,船长无法确保得到多于673枚金币.事实上,(1)若a 1[671,则a 2[671,a 3\667.当b 1=a 1+2,b 2=a 2-1,b 3=a 3-1时,船长至多得到671+2=673枚;(2)若a 1>671,则因a 3[2009-a 12[13372=66815,故a 3[668.(i)当a 2-a 3\3时,若b 1=a 1-1,b 2=a 2-1,b 3=a 3+2,则船长至多可得a 3+2[668+2=670枚;(ii)当a 2-a 3[2时,若a 3=1,则a 2[3,a 1-a 2\2002,当b 1=a 1-2,b 2=a 2+1,b 3=a 3+1时,船长至多可得2+3+1=6枚;若a 3>1,则2a 2=(a 2+a 3)+(a 2-a 3)[2009-672+2=1339]a 2[669.所以,a 1-a 2\672-669=3,当b 1=a 1-1,b 2=a 2+2,b 3=a 3-1时,船长至多可得a 2+2[671枚.第二天五、联结AB 交OC 于点M .由于BQ M AP ,则四边形APBQ 是梯形.所以,S v AQ M =S v BPM .故S OAQPB =S OA M PB +S v AQM =S O AMPB +S v BMP =S v OAB为定值,即五边形OAQPB 的面积与点C 、P 的选取无关.六、因为x 2+y 2+z 2\(x +y +z )23,所以,x +y +z [3.故只要证x 2009-2008(x -1)y +z \32.而x2009+2008=x2009+1+1+,+12008个\2009x ,同理,y 2009+2008\2009y ,z2009+2008\2009z .所以,只要证x y +z \32Z x y +z +1\92Zx +y +z y +z \92.¹而式¹左边12(x +y )1x +y \923(x +y )1y +z =92.综上,原不等式成立.七、由x ny -1<xny [x ny ,ny ]x ny -1-1<n -1[nxy.故n xy -1<x ,n 1-xy [1.显然,无论xy >1,还是xy <1,以上不等式组对任意的正整数都不能恒成立.因此,xy =1.故nyy=n -1Z n -1[nyy <n Z ny -y [ny <ny.¹式¹右边不等式表明,ny 不是整数,从而,y 是无理数.对式¹左边不等式,当y >1时,显然成立;当0<y <1时,取n =11-y+1,则11-y <n [11-y +1.解得n -2n -1[y <n -1n,即n 2-2nn -1[ny <n -1.所以,ny [n -2[n -1y .于是,ny y<nyy[n -1,矛盾.综上,xy =1,且y 是大于1的无理数.八、最小数为2@1024+2@1023-1015-1.证明:由于209=11@19,209=9@23+2,故该数至少为24位,且被11和19整除.(1)如果该数为24位数,设从右向左数其第i 位的数字为a i (1[i [24),该数设为S .则S =24i =110i -1a i S24i =1(-1)i -1a iS 0(m od 11).设S 1=a 1+a 3+,+a 23,S 2=a 2+a 4+,+a 24.则S 1S S 2(m od 11).又S1+S2=209,由于S1、S2中的最大数不大于108,则最小数不小于101,其差的绝对值不大于7.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2 X0,即S1¢S2(m od11),矛盾.所以,满足条件的数至少为25位.(2)如果该数为25位数,类似上面的设法,令该数为S,S1=a1+a3+,+a25,S2=a2+a4+,+a24.1)如果a25=1,由于S1、S2中的最大数不大于109,则最小数不小于100,其差的绝对值不大于9.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2X 0,即S1¢S2(m od11).此时,不存在满足条件的数.2)如果a25=2,由于S1、S2中的最大数不大于110,则最小数不小于99,其差的绝对值不大于11.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2X0,只有S1=110,S2=99可能满足条件.此时, a1=a3=,=a23=9.(i)如果a24=0,则该数为S=2@1024+1023-1,除以19余5,不满足条件.(ii)如果a24=1,则该数为S=2@1024+2@1023-1-10x,其中,x为奇数.由于2@1024+2@1023-1S8(m od19),而10k模19的余数为10,5,12,6,3,11,15, 17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,1循环,于是, x=18t+15.故x=15.此时,满足条件的数为2@1024+2@1023-1015-1.综上,满足条件的最小数为2@1024+2@1023-1015-1.(张同君提供)课外训练数学奥林匹克初中训练题(122)第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是有理数.在上述假定下,有下面四个结论:¹x2是有理数;º(x-1)(x-3)是无理数;»(x+1)2是有理数;¼(x-1)2是无理数.其中,正确的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)32.已知关于x的方程5 2x-a=85x+142,当a为某些正整数时,方程的解为正整数.则正整数a的最小值是().(A)2(B)3(C)4(D)53.设a、b N+,且满足56[a+b[59,019<ab<0191.则b2-a2等于().(A)171(B)177(C)180(D)182图14.如图1,在v ABC中,已知AB>AC,点D、E分别在AB、AC上,且BD=CE.取BE、CD的中点M、N,直线MN分别交AB、AC于点P、Q.则().。

中国数学奥林匹克介绍

中国数学奥林匹克介绍中国数学奥林匹克，简称为IMO（国际数学奥林匹克），是国际上最具影响力的数学竞赛之一、自1985年起，中国每年都会派遣队伍参加这一盛会。

中国在IMO上取得了非常出色的成绩，多次获得团体奖牌，并培养了众多优秀的数学人才。

中国数学奥林匹克始于1983年，最初是由当时的中国科学院院士陈省身等人发起。

陈省身是中国数学界的重要人物，也是这一竞赛的领导者和推动者。

中国数学奥林匹克的目标是培养和选拔具有创造性思维和解决问题能力的数学人才，提高学生的数学素养，促进数学教育的发展。

中国数学奥林匹克的选拔过程是分层次进行的，包括地区选拔赛、省级选拔赛、国家集训队选拔等。

优秀的学生会经过多轮选拔，最终组成中国队参加国际比赛。

这种选拔制度确保了参赛队伍的质量，使得中国能够派出强大的代表队。

中国数学奥林匹克所包含的题目范围非常广泛，从初等数学到高等数学的内容都有涉及。

题目要求学生具备独立解决问题的能力，包括发现问题、分析问题、归纳总结等。

这对学生的数学素养和思维能力提出了很高的要求，也使得中国队员在解题过程中展现出了扎实的数学基础和创新的思维。

中国数学队在IMO上的成绩一直非常出色。

自1985年以来，中国队一直保持着稳定的优异表现，多次获得团体奖牌。

尤其是近年来，中国队凭借出色的成绩连续蝉联团体冠军。

这些成绩不仅得益于优秀的选手，也离不开中国数学教育的发展和中国数学界对于数学奥林匹克的重视。

中国数学奥林匹克的成功离不开中国政府、学校和家庭的大力支持。

中国政府高度重视数学奥林匹克的培养和选拔工作，为学生参加比赛提供了优秀的培训和支持条件。

许多学校也设立了数学奥林匹克班，为学生提供特殊的培养和训练。

同时，家庭对于学生参与数学奥林匹克的支持和鼓励也非常重要，为学生提供了良好的学习环境和培养机会。

综上所述，中国数学奥林匹克是一个重要的数学竞赛，并且在国际上享有很高的声誉。

通过竞赛的选拔和培养，中国数学奥林匹克不仅推动了数学教育的发展，也培养了一大批具有扎实数学基础和创造力的数学人才。

这八大赛事数竞党必须了解

常有学生问：学竞赛有没有什么秘诀？当然有，秘诀就4个字，勤思多练。

这可不是灌鸡汤，至少在CMO之前，还远没有到需要拼智商或天赋的程度，学好每一个知识点，打牢基础，多刷题，常总结，想不获奖都很难呐。

此外，学竞赛闭门造车是行不通的，多和大佬切磋交流，多见识不同题型，非常非常重要，所以，今天要给大家介绍八大不可错过的赛事，那里高手云集，任思想激扬碰撞，那里好题无数，亦是高联前练兵的好机会。

下面进入正题，首先隆重推出今天要聊的八大赛事：1、中国女子数学奥林匹克2、中国西部数学奥林匹克3、中国东南地区数学奥林匹克4、北方希望之星数学邀请赛5、中国数学奥林匹克协作体夏令营6、中国数学奥林匹克希望联盟数学夏令营7、陈省身杯全国高中数学奥林匹克夏令营8、爱尖子数学能力测评如果你对以上赛事如数家珍，欢迎跳到文末，有历届试题可以下载哦（超级福利）；如果你是萌新，请仔细往下阅读，下面将逐一详细介绍每项赛事的时间、参赛对象、考试形式、奖项等。

（点击可查看大图）中国女子数学奥林匹克简称女奥（CGMO），这是一项专门为女生而设的数学竞赛，参赛对象是高一、高二女生（也有人称之为“妹赛”）。

自首届女奥在珠海举办，迄今已成功举办了16届，比赛时间一般在每年8月中旬。

由全国各省市、港澳台及部分国外代表队各组织一个代表队参赛，另外会邀请近3年承办过女奥的学校各派一个代表队参赛。

每支代表队最多由4名高中女学生和1名领队教师组成。

竞赛分两天，每天4道题，共8道题，每题15分，满分120分，考试时间均为8：00～12：00，试题难度介于全国高中数学联赛和中国数学奥林匹克之间，最终根据成绩评出团体总分第1名和个人金、银、铜牌。

其奖项对高校自主招生及清北学科营有一定参考意义，个人总分前12名的同学可直接进入中国数学奥林匹克（CMO）。

此外，和其他数学竞赛相比，女奥还别具一格地设有健美操团体比赛。

中国西部数学奥林匹克中国西部数学奥林匹克（CWMO），是由中国数学会奥林匹克委员会创办，主要面向中国中西部地区及亚洲地区高一、高二年级学生的数学探究活动。

历届北方数学奥林匹克试题

历届北方数学奥林匹克试题目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(?∞,?1)∪(1,+∞)，都有f?1x?+f?1y?=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(?1,0)时，都有f(x)>0.求证：f?119?+f?129?+?+ f?1n2+7n+11?>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,?,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式14.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n ?(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2?4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,?,64分别填入8×8的64个方格，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1?12008<a2006<1.< p="">1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007?n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1??tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)?12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2?214n?1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=?√n?（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥?tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张雷供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ? 97 98 99 100 3 5 7 ? 195 197 199 8 12 ? 392 396 20 ? 788 ? ? ? ? ? M图2其中，第一行各数依次是1,2,?,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax?2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =?x n?12+x n?1+x n?1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张雷供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1）求证：AD +CF =DF ；（2）设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁吕建恒徐庆金供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张利供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009?2008(x?1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨贾应红供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n ?1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n?1+2n2n(n=2,3,?).求通项a n(n=1,2,?). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：?a2+b22+2?b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M 是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x?x|≤12，|x?y|≤12，|y?x|≤12.试求W=x+x+y?xx?xy?yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,?,A n是集合A={1,2,?,29}的一个分划，且A i(i=1,2,?,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,?,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=?(i≠j)，A1∪A2∪?∪A n=A，则称A1,A2,?,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足1?|2??|(n ?1)?|n ?x ||?|?=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,?,x n(n∈?+)，满足x12+x22+?+x n2=111，求S=x1+x2+?+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈?}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m?n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n?1?2,n∈?+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n?1+1b n?1,n∈?+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明1+13??1+131+13?<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)?a+1,a p+1a+1?=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.</a2006<1.<>。

函数的基本概念

函数的基本概念刘康宁党效文(西安铁一中,陕西　710054) (西安高新一中,陕西　710075)函数是高中数学的基础和主体内容,也是高中数学竞赛的重要内容.有关函数基本概念的题目,涉及的知识面广,蕴涵的数学思想方法丰富.本文将结合近年来的数学竞赛试题,介绍一些处理函数的基本概念的方法.函数的定义域、值域、对应关系是函数概念的三要素,也是竞赛命题的着眼点.例1　(2001年全国高中数学联赛题)函数y=x+x2-3x+2的值域为.讲解　∵y=x+12(2x-3)2-1,由函数的定义域可得|2x-3|≥1Ζx≥2或x≤1,当x≥2时,2x-3≥1,设2x-3=t≥1,则y=t+32+12t2-1=12(t+t2-1)+32.由函数单调性可得,t≥1时此函数单调递增,即y≥y|t=1=2.当x≤1时,2x-3≤-1,设3-2x=u≥1,则3-2y=u-u2-1=1u+u2-1∈(0,1],即1≤y<32.综上所知,函数的值域为[1,32)∪[2,+∞).说明　由于研究函数值域问题的方法灵活多样,因而函数值域是竞赛中的难点内容,此题的求解通过换元手段,分类转化为函数的单调性求解.例2　(2002年全国高中数学联赛题)已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意x∈R,都有f(x+5)≥f(x)+5(1)f(x+1)≤f(x)+1(2)若函数g(x)=f(x)+1-x,则g(2002) =.讲解　由(1)得f(x+5)=g(x+5)+(x+5) -1≥f(x)+5=g(x)+x-1+5]g(x+5)≥g(x).由(2)得f(x+1)=g(x+1)+(x+1)-1≤f(x)+1=g(x)+x]g(x+1)≤g(x).由递推方法结合以上二式得g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x +2)≤g(x+1)≤g(x).所以g(x+5)=g(x+4)=g(x+3)=g(x+ 2)=g(x+1)=g(x).即函数g(x)是以1为周期的周期函数.又f(1)=1,∴g(1)=f(1)+1-1=1,故g(2002)=1.说明　此题利用题中条件对函数变形,重点考察了函数的对应法则.例3　(1998年全国高中数学联赛题)设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数a,有一个最大的函数l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|≤5都成立.问:a为何值时,l(a)最大?求出这个最大值的l(a),证明你的结论.讲解　先求出f(x)在定义域上的最大值,然后根据最大值与5的大小关系进行讨论.∵f(x)=a(x+4a)2+3-16a,∴f(x)max=3-16a.分两种情况讨论.(1)3-16a>5,即-8<a<0时,l(a)>0,l(a) <-4a,所以l(a)是方程ax2+8x+3=5的较小根.l(a)=-8+64+8a2a=216+2a+4<24.(2)3-16a≤5,即a≤-8时,l(a)>-4a,所以l(a)是方程ax2+8x+3=-5的较大根.l(a)=-8-64-32a2a=44-2a-2≤420-2=5+12.当且仅当a=-8时,l(a)取得最大值5+12(5+12>12).说明　f(x)是含有参数的二次函数,研究其最值,需从对称轴和约束区间[0,l(a)]的关系讨论.64数学通讯 2007年第20期例4　设正实数x ,y 满足x y =1,求函数f (x ,y )=x +y[x ]・[y ]+[x ]+[y ]+1的值域(这里[x ]表示不超过x 的最大整数).讲解　不先一般性,设x ≥y ,则(1)当x =y =1时,f (x ,y )=12.(2)当x >1时,0<y <1,设x =m +λ,其中m =[x ],λ=x -[x ],则[y ]=0,f (x ,y )=m +λ+1m +λ1+m.∵函数g (x )=x +1x在[1,+∞)上递增,且0≤λ<1.∴m +1m≤m +λ+1m +λ<m +1+1m +1]m +1m1+m≤f (x ,y )<m +1+1m +11+m.令a m =m +1mm +1=m 2+1m 2+m,b m =m +1+1m +11+m=1+1(m +1)2,而a m+1-a m =m -2m (m +1)(m +2),所以,当m ≥1时有a 1>a 2=a 3<a 4<a 5<…,b 1>b 2>b 3>…,故x >1时,f (x ,y )的值域为[a 2,b 1),即[56,54).说明　此题的本质是一个一元函数,求解时有两个难点,一是高斯函数的处理,采用了整数、小数分离的方法;二是函数单调性的应用.例5　(2006年全国高中数学联赛题)设f (x )=x 2+a ,记f 1(x )=f (x ),f n (x )=f f (n-1)(x )),n =2,3,…,M ={a ∈R |对所有的正整数n ,|f n (0)|≤2}.证明:M =[-2,14].讲解　(1)如果a <-2,|f 1(0)|=|a |>2,a |M.(2)如果-2≤a ≤14,依题意f 1(0)=a ,f n (0)=fn-1(0))2+a ,n =1,2,3,…,则①当0≤a ≤14时,|f n (0)|≤12对n ≥1恒成立.事实上,当n =1时,|f 1(0)|=|a |≤12.设n =k -1时结论成立(k ≥2),则对n =k ,|f n (0)|=|f n-1(0)|2+a ≤(12)2+14=12.②当-2≤a ≤0时,|f n (0)|≤12对n ≥1恒成立.事实上,当n =1时,|f 1(0)|≤|a |,设n =k -1时结论成立(k ≥2),则对n =k ,有-|a |=a ≤f k (0)=[f k-1(0)]2+a ≤a +a.而-2≤a <0时,a 2≤-2a ,a 2+a ≤-a =|a |,从而有|f k (0)|≤|a |.由数学归纳法知[-2,14]ΑM.(3)当a >14时,记a n =f n (0),则对于n ≥1,a n >a >14且a n+1=f n+1(0)=f [f n (0)]=f (a n )=a 2n +a ,从而a n+1-a n =a 2n -a n +a =(a n -12)2+a -14≥a -14,∴a n+1-a =a n+1-a 1≥n (a -14),当n >2-a a -14时,a n+1≥n (a -14)+a >2-a +a =2,即fn+1(0)>2,因此a |M.综合(1)、(2)、(3),有M =-2,14.说明　此题的结论是与正整数n 有关的命题,利用数学归纳法进行证明是很自然的.同时此题的分类有一定难度.习　题1.若函数y =log a (x 2+3ax +1)没有最小值,则a 的所有取值构成的集合为.2.函数f (x )=|2x 2-a |在区间[-1,1]内的最大值M (a )的最小值为.3.(2006年上海市高中数学竞赛题)设f (x )=x 2+ax +b cos x ,{x |f (x )=0,x ∈R }={x |f (f (x ))=0,x ∈R }≠ ,则满足条件的所有实数a ,b 的值分别为.4.已知函数f :R +ϖR 满足:对任意x ,y ∈R +,都有f (x )・f (y )=f (xy )+2008(1x+1y +2007),则所有满足条件的函数f 为.5.求函数f (x )=x -3+12-3x 的值域.6.(第二届北方数学奥林匹克邀请赛)设函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ∈R ),若存在实数m ,使得|f (m )|≤14且|f (m +1)|≤14,求Δ=a 2-4b的最大值和最小值.7.给定一个实数k ,确定所有的函数f :R ϖR ,使得对于任何x ,y ∈R ,都有f (x 2+2xy +y 2)=(x +y )[f (x )+f (y )]及|f (x )-kx |≤|x 2-x |.742007年第20期数学通讯答案・提示1.a>1或0<a<1.　a>1Δ=9a2-4≥0或0<a<1Ζa>1或0<a<1.2.1.①当a≤0时,f(x)=2x2-a(-1≤x≤1),则M(a)=f(±1)=2- a.②当a>0时,若0<a≤1,则2-a≥a,M(a)=2- a.若a>1,则|2-a|<a,M(a)= a.∴M(a)=a　(a>1),2-a　(a≤1),即M(a)min=M(1)=1.3.0≤a<4,b=0.设x0∈{x|f(x)=0,x∈R},则b=f(0)=f[f(x0)]=0,于是f(x)=x(x+a),f[f(x)]=x(x+a)(x2+ax+a).显然a=0满足题意.若a≠0,由于x2+ax+a=0的根不可能为0或-a,所以x2+ax+a=0没有实根,则Δ=a2-4a<0Ζ0<a<4.故满足条件的a,b分别为0≤a<4,b=0.4.f(x)=1x+2008.令y=1,得f(x)f(1)=f(x)+2008(1x+2008)①再令x=1,得f2(1)=f(1)+2008・2009]f(1)=-2008或f(1)=2009.若f(1)=-2008,则由①得f(x)=-20082009(1x+2008).若f(1)=2009,则由①设f(x)=1x+2008.经检验,f(x)=1x+2008满足题设条件.5.f(x)的定义域为3≤x≤4,设x-3=sin2φ(φ∈[0,π2]).则f(x)=sinφ+3(1-sin2φ)=sinφ+3cosφ=2sinφ+π3∈[1,2].6.∵1=|(m+1-x0)-(m-x0)|≤|m+1-x0|+|m-x0|,∴|m+1-x0|与|m-x0|必有一个不小于12.若Δ=a2-4b<0,则f(m)=m+a22-Δ4,f(m+1)=m+1+a22-Δ4必有一个大于14,这与题没矛盾,所以Δ≥0.当a=-1,b=14时,|f(0)|=|f(1)|=14,Δ=0,即Δmin=0.又|f(x)|≤14,即|x2+ax+b|≤14(不妨设Δ>1).-a-Δ+12≤x≤-a-Δ-12,或-a+Δ-12≤x≤-a+Δ+12.若|f(m)|≤14,且|f(m+1)|≤14,则必有-a+Δ-12--a-Δ-12≤1,或-a-Δ-12--a-Δ+12≥1,或-a+Δ+12--a+Δ-12≥1,即Δ-1≤1或Δ+1-Δ-1≥1,解得Δ≤2.当a=1,b=-14时,|f(0)|=|f(-1)|=14,Δ=2,即Δmax=2.7.依题意得 f((x+y)2)=(x+y)[f(x)+f(y)]　①及|f(x)-kx|≤|x(x-1)|　②在①中令x=y=0得f(0)=0.在①中令y=0得f(x2)=xf(x)　③由③得-xf(-x)=f[(-x)2]=xf(x)]f(-x)=-f(x)(x≠0)　④由④得f(x)是奇函数,故只考虑x>0的情况.由③得f(x2)x2=f(x)x,从而f(x)x=f(x12)x12=f(x14)x14=…=f(x12n)x12n　⑤由②得f(x)x-k≤|x-1|　⑥在⑥中令x为x12n,结合⑤得f(x)x-k≤x12n-1⑦在⑦中让x固定,nϖ+∞,x12nϖ1,f(x)x-k≤|1-1|=0.从而f(x)x-k=0,故f(x)=kx(k>0).再由④f(0)=0得f(x)=kx(k∈R).84数学通讯 2007年第20期。

中国数学奥林匹克介绍

中国数学奥林匹克◇考试介绍中国数学奥林匹克又称全国中学生数学冬令营，是在全国高中数学联赛的基础上进行的一次较高层次的数学竞赛。

1985年，由北京大学、南开大学、复旦大学和中国科技大学四所大学倡议，中国数学会决定，自1986年起每年一月份举行全国中学生数学冬令营，后又名中国数学奥林匹克（ChineseMathematicalOlympiad,简称CMO）。

冬令营邀请各省、市、自治区在全国高中数学联赛中的优胜者参加，人数100多人，分配原则是每省市区至少一人，然后设立分数线择优选取。

冬令营为期5天，第一天为开幕式，第二、第三天考试，第四天学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。

中国数学奥林匹克考试完全模拟国际数学奥林匹克进行，每天3道题，限四个半小时完成。

每题21分（为IMO试题的3倍），6个题满分为126分。

题目难度接近IMO，颁奖也与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的前20至30名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（InternationalMathematicalOlympiad，简称IMO）的中国国家集训队。

从1990年开始，全国中学生数学冬令营设立了陈省身杯团体赛。

从1991年起，全国中学生数学冬令营被正式命名为中国数学奥林匹克，它成为中国中学生最高级别、最具规模、最有影响的数学竞赛。

附：中国数学奥林匹克相关制度条例1．《全国中学生数学竞赛条例（试行）》2．《中国数学奥林匹克实施细则（试行）》◇报名条件根据《中国数学奥林匹克实施细则（试行）》规定，参加中国数学奥林匹克的选手必须是本年度全国高中数学联赛一等奖获得者或上一年度国家集训队中尚未高中毕业的队员。

◇报名时间中国数学会奥林匹克委员会确定参赛选手总人数；中国数学会普及工作委员会根据当年全国高中数学联赛成绩确定各省、自治区、直辖市代表队队员名单；各省、自治区、直辖市数学会确定各代表队领队（壹人）名单；以上两名单于11月15日前报数学奥林匹克委员会。

高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总,尖子生请收好

高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总，尖子生请收好！首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件：•高考数学可以轻松应对；•对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛；•具备自主学习能力；•高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。

数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。

当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。

为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。

与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。

当然，对于大部分学生来说，高校的吸引力是最大的。

而2016年新发布的高校自主招生政策中，其中的变化值得深思：•取消“校荐”，考生需自己报名；•“年级排名”不再是报名条件；•门槛抬高，审核更为严格；•报考专业一定要与特长匹配；•试点高校自主招生考核统一安排在高考结束之后、高考成绩公布前进行。

我们最需要关注的点有三个：① 由于校荐被取消，年级排名也被废除，原本校内成绩突出的学生很难走自招，而自招的报名人数会上升，竞争更加激烈；② 据了解，985高校自招的初审底线是竞赛拿到省二以上，而北清更是要求拿到省一，门槛的提高导致了28万申请自招的学生只有4万余人通过初审，8千余人获得资格，初审和复审的通过率均低于20%；③ 现在的自招考试要求不超过两科，考试的科目和专业是相匹配的，而绝大多数专业的考试科目都有数学，因此数学竞赛的比重是很高的。

总的来说，新的政策直接导致的是各高中年级排名较高的学生更难上清北（难以进入博雅领军，难以获得自招资格，裸考进清北的人更少），而间接导致的是更多的学生走上了竞赛这条道路。

因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。

砥砺奋进谋发展激情超越赋新篇

砥砺奋进谋发展激情超越赋新篇衡水市第二中学岁末十大亮点回眸神猴辞岁，已见繁花结硕果；金凤迎春，更立壮志谱新篇。

回首2016，衡水二中全体教职工内强筋骨、苦练硬功，凭借夙兴夜寐、激情创业的埋头实干和改革发展，完成了学校巅峰之上再跨越的新里程，教学育人共丰收。

让我们一起回顾过去，总结盘点；展望未来，再谋发展！■全国首个在高中学校建立的综合研究平台在衡水二中成立2016年2月26日，全国首个在高中建立的综合研究平台——高中教育发展研究中心在衡水二中正式揭牌。

中心由北京大学中国教育与人力资源研究中心和衡水二中共同成立，联合北京大学、北京师范大学、首都师范大学、中国教育学会以及我省多家研究机构共同组建，旨在对衡水二中进行专项课题研究，深入挖掘二中办学特色与经验，给全国高中发展提供参考与借鉴。

教育部高校学生司原司长王炽昌教授和中国教育学会原常务副会长、教育部原副总督学郭振有教授莅临座谈会指导工作，充分肯定了二中的办学特色和发展成就。

《中国教育报》、《德育报》、《衡水日报》等20余家媒体予以报道。

■作为全省唯一高中当选中国教育发展战略学会高中专业委员会副理事长单位2016年6月18日至19日，中国教育发展战略学会“高中教育专业委员会”成立大会和“高中教育的现状、挑战与未来”高层论坛在北京大学隆重举行。

中国教育发展战略学会是由民政部登记管理、教育部为业务主管的从事教育发展全局性、战略性研究的国家一级学会。

高中教育专业委员会是为满足高中教育改革发展的需求，推进高等教育研究向下延伸，促进高等教育和中等教育有效衔接而设立的二级学会，是中国教育发展战略学会的分支机构，其秘书处设在北京大学教育学院。

衡水二中作为河北省优质高中代表受邀参会，该校“原生态教育”理念、“低进优出”办学品牌、“励志教育”和“养成教育”双优德育模式受到众多专家学者的充分肯定，当选高中专业委员会副理事长单位，成为我省唯一获此殊荣的高中学校，衡水二中校长秦海地当选为专业委员会第一届理事会副理事长。

《中等数学》2020年总目次

2020年第12期49《中等数学》2020年总目次I M O快讯(10.封底）数学活动课程讲座.初中.初中数学竞赛中的组合最值问题解法举例(钟志强6-2)完全平方数的性质及其应用(李昌勇刘应成6-7)•高中•一些关于无穷多个素因子的问题（吴宇培丨*2) “线性化”在多元不等式证明与最值求解中的应用(唐智逸茹双林2-2)数学竞赛中两种不等式基本思想的应用(缠祥瑞3*2)数学竞赛中的复数问题（唐立华 4.27-2)数学竞赛中组合几何问题的常见解法(程振峰李宝毅5-2)递归计数的六种方式（冯跃峰8-2)圆锥曲线几个结论的证明与应用（金荣生9-2)数学竞赛中数列不等式的常见解法举例(王逸凡王彬瑶10-2)数论中的升幂引理及其应用（王永喜丨卜2)对应思想在组合问题中的应用（缠祥瑞12-2)命题与解题数学命题中的“抱残守缺”（陶平生I*7)例谈不等式题的命制方法（张端阳卜1丨）两道赛题的创作思路、答题情况及启示(林天齐何忆捷熊斌2-8)开世定理的推广与应用（李庆圣2，12)老题新芽别样趣味（肖恩利陈博文3-6) 2019年全国高中数学联赛加试第三题的改进(晏兵川赵凌燕3*13)一道罗马尼亚竞赛题的分析与推广(朱华伟邱际春4‘7)一道高中数学竞赛题的探讨(邱慎海沈家书4’11)一道集训队选拔考试题的推广（李伟健4*14)一道不等式赛题的演变与推广(邱际春朱华伟郑焕5-9)利用抽屉原理证明三道竞赛题（隋婷婷5*11)一道数学竞赛题的推广（林根 5 •13)一道中国北方数学奥林匹克试题的引申(赵凌燕隋世友6‘11)判别式在不定方程中的应用（雷勇7-9)三道国外竞赛题的简解（姚先伟于娟7 •12)两道数学竞赛题的分析与推广(邱际春朱华伟8‘12)与三角形的内切圆有关的一个性质及相关性质和命题（李庆圣一道印度赛题的解题思考（李明谈谈数学竞赛中的数学期望（吴宇培关于一道数论题的思考（李彬解题小品—投石问路（陶平生利用复数证明竞赛题（刘东华华洁一道东南赛题与2020年高中联赛数论题的渊源（陶平生一道高中联赛题的推广与变形（王若飞9.9)9.16)10.11)10-13)11.7)11-11)12.7)12.9)赛题另解(1-154-155-157-1310-15)2020年全年高中数学联赛加试题另解(李庆圣杨续亮刘晓理等12-13)专题写作一类麦比乌斯反演问题及其应用（刘志乐2•15)多项式根的倒数和问题求解（梅述恩 3 •17)一个与多项式相关的不等式（刘亮赵斌5*18)高斯整数在数学竞赛中的应用（古德麟 7_15)一道北方希望之星数学夏令营试题的拓展第29届南美洲数学奥林匹克(8.36) (贾秀平段敏敏11-14)2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛(9-20)学生习作2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛(9-25)2018中国香港代表队选拔考试(9-28)论局部调整法的妙用(阮书镐4-17)2018中美洲及加勒比地区数学奥林匹克(9-32)构造表格探究一类数的分布(徐博润6-18)第61届I M O试题(10-16)一种证明三元齐次不等式的方法(王一鹏8.16)2020年全国高中数学联合竞赛(10-17)两道罗马尼亚大师杯赛题的另解(严彬玮9-18)第17届中国东南地区数学奥林匹克(10-25)竞赛之窗第61届I M O试题解答(11-18)第16届中国东南地区数学奥林匹克2019中国数学奥林匹克希望联盟夏令营(1.29 2.30第30届亚太地区数学奥林匹克第35届中国数学奥林匹克2019年全国高中数学联赛四川赛区预赛第三届中国北方希望之星数学夏令营2019青少年数学国际城市邀请赛2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛2019美国数学竞赛（八年级）2019年北京市中学生数学竞赛复赛（高一）2019年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第六届伊朗几何奥林匹克2019年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛第12届罗马尼亚大师杯数学邀请赛2020美国数学竞赛（十、十二年级）2018爱沙尼亚国家队选拔考试（初中）2018荷兰数学奥林匹克（初中）2019马其顿数学奥林匹克（初中）2019巴尔干地区数学奥林匹克（初中）2〇19希腊数学奥林匹克（初中）2019希腊国家队选拔考试（初中）2019年全国高中数学联赛贵州赛区预赛2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛第83届莫斯科数学奥林匹克（7,29 2020欧洲女子数学奥林匹克2019年全国高中数学联赛广西赛区预赛2019美国国家队选拔考试第60届I M O预选题(11-2212-20) 0-17)2019亚太地区数学奥林匹克(11-32) 3-33)第19届中国女子数学奥林匹克(11-36)首届百年老校数学竞赛(12-30) (1*35)(2.18)2019瑞士数学奥林匹克（初赛）(12-37) (2.25)再品佳题(2-36)(3.20)第二届国际大都市竞赛（数学）(1-38) (3-27)第32届北欧数学竞赛(2-39) (4.21)2018瑞士数学奥林匹克（预赛）(3-39)(4.26)课外训练(4-29)(4.34).初中.(5.20)(186罗家亮 6.34187 李铁汉汪波 6 •(5.27)39 188 谢文晓9.34189 陈迁赵手志(5-32)王祥10.38)(6.20).高中■(6.23)(247 巢中俊 1.41 248王永中2•41 249 (6.28)于现峰 3.41250王永喜4■41251 刘(6-30)小杰宛昭勋5‘42252杨运新6•42 253 (6.31)李潜7 41254徐节槟龙崎钢8-40(6.33)255何忆捷9.39256李培臣谭祖春郝(7.20)泽来10.42 257 胡满11.42258褚小光(7-26)田开斌12.39)8.29)(7.36)(8.20)(8.24)数学奥林匹克问题(1-48 2-47 3.474-475-48 6.477.488.469-4610-48 11-48 12-46)。

2004-2012历届北方数学奥林匹克试题PDF(无答案)

目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张雷供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张雷供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1）求证：AD +CF =DF ；（2）设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁吕建恒徐庆金供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张利供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨贾应红供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。

数学奥林匹克竞赛方案及总结

数学奥林匹克竞赛方案及总结1. 引言数学奥林匹克竞赛是一项旨在提高学生数学素养、激发学生兴趣、选拔优秀数学人才的竞赛活动。

为了更好地组织本次竞赛，确保竞赛的公平、公正和高效，特制定本方案。

本文档将详细阐述竞赛的组织架构、参赛资格、竞赛内容、评分标准、奖励措施等方面的内容，并对往届竞赛进行总结，以供参考。

2. 组织架构本次数学奥林匹克竞赛由以下几个部分组成：- 竞赛组委会：负责竞赛的整体策划、组织、协调和管理工作。

- 评审团：负责评审参赛作品的准确性、创新性和表达能力。

- 志愿者团队：负责协助竞赛组委会完成各项筹备工作。

- 参赛者：参加竞赛的学生。

3. 参赛资格本次竞赛面向全国在校中小学生，分为以下几个组别：- 小学组- 初中组- 高中组参赛者需具备一定的数学基础和兴趣，自愿参加竞赛。

4. 竞赛内容竞赛内容涵盖数学基础知识、逻辑思维能力、数学应用能力和创新思维能力等方面。

题目难度将根据不同组别进行设置，以确保竞赛的公平性。

5. 评分标准评分标准如下：- 准确性：答案的正确性，占比60%。

- 创新性：解题方法的独创性，占比20%。

- 表达能力：解题过程的清晰度和文字表述的准确性，占比20%。

每个题目满分100分，总分最高为1000分。

6. 奖励措施奖励措施如下：- 各组别设有一、二、三等奖，分别占比10%、20%、30%。

- 获奖者将获得证书、奖品及荣誉证书。

- 优秀组织奖：对积极参与竞赛的学校、老师给予表彰。

- 优秀志愿者：对在竞赛筹备过程中作出突出贡献的志愿者给予表彰。

7. 竞赛流程竞赛流程如下：- 报名及分组：参赛者根据年龄和学历选择相应组别进行报名。

- 发布竞赛题目：竞赛组委会在指定时间内发布竞赛题目。

- 参赛者解答：参赛者在规定时间内完成题目解答。

- 提交作品：参赛者将解答作品提交至竞赛组委会。

- 评审：评审团对参赛作品进行评审，公布评审结果。

- 颁奖仪式：举办颁奖仪式，对获奖者进行表彰。

国际数学奥林匹克比赛及中国参赛的成绩

英才苑高中奥林匹克数学网
第一讲
国际数学奥林匹克竞赛及中国参加国际数学奥林匹克的成绩
一、国际数学奥林匹克的由来与现状
数学离不开解题，进行解题比赛的活动几百年前就已经有了，古希腊有解几何难题比
赛的记载；16 世纪，在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争；17 世纪，
不少数学家喜欢提出一些问题，向其他数学家挑战，法国的费马是其中的佼佼者，他提出
时间（年）
1949
1950
1951
1956
1958
1961
1962
1963
1964
地点
保加利亚
波兰
捷克斯洛伐克
中国
印度
德意志民主共和国，瑞典
越南，南斯拉夫，荷兰，古巴，意大利
蒙古，卢森堡
西班牙
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

历届北方数学奥林匹克试题

目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张雷供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张雷供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1）求证：AD +CF =DF ；（2）设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁吕建恒徐庆金供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张利供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨贾应红供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。

2006年第二届北方数学奥林匹克数学邀请赛试题

２００6年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题
（山西太原）
第一天
一、
如图，AB 是圆O 的直径，非直径弦CD ⊥AB ，E 是OC 中点，连结AE 并延长交
圆O 于P ，连结DP 交BC 于F ，求证：F 是BC 的中点.
二、p 是大于2的质数，数列{}
n a 满足4
1(1)()2
n n p na n a +=+- .
求证：当15a =时，16整除81a .
三、已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且BC+AD=AB+AC ，求∠A 的取值范围.
四、设函数2
(),,f x x ax b a b R =++∈，若存在实数m ，使得1()4
f m ≤
且1(1)4
f m +≤
，求2
4a b ∆=-的最大值和最小值.
第二天
五、已知正数,,
a b c满足3
a b c
++=，
求证
222
222222
999
5
2()2()2()
a b c
a b c b c a c b a
+++
++≤
++++++
六、组委会说明，该题有错误。

七、是否可以将正整数1，2，3，…64分别填入8×8的64个方格内，使得凡具备
5整除？
八、已知数列{}n a满足2
10
11
,,
20062
n n n
a a a n N a
+
=+∈=.
求证：
2006
1
11
2008
a
-<<.
参考答案。

第二届奥林匹克数学竞赛获奖名单

第二届奥林匹克数学竞赛获奖名单“第二届奥林匹克数学竞赛”于2020年9月在中国南京隆重举行，来自世界各地的200多名参赛者参加了本届比赛，参赛者不仅针对数学的知识结构进行竞赛，还要面对无数的挑战。

经过三天的竞赛，最终展现出来的名单令人振奋：首先，我们为中国参赛者的优异表现而骄傲！来自中国上海的张若冰以最高积分获得本届比赛冠军，李德毅以次高积分荣获亚军，范曾以第三高积分荣获季军，刘同华以第四高积分获得优胜奖，曹凯以第五高积分获得优胜奖。

此外，中国四位参赛者分别被评为本届比赛优秀选手，他们是王珞珊、谢珊珊、竺传和王小龙。

其次，国际参赛者的出色表现也令人瞩目！来自美国的Taylor Smith以最高积分获得国际冠军，来自英国的Christopher White以次高积分获得国际亚军，来自俄罗斯的Natalia Ivanova以第三高积分荣获国际季军，来自加拿大的Connor Bloom以第四高积分获得优胜奖，来自日本的Junichi Takata以第五高积分获得优胜奖。

此外，另外五位国际参赛者分别被评为本届比赛优秀选手，他们是来自澳大利亚的Pierce Stanford，来自德国的Ludwig Klein，来自韩国的Park Ji-yong，来自新加坡的Yong Xiang Quan和来自泰国的Sutthipon Suksawas。

毫无疑问，参加此次比赛的参赛者是真正的优秀者，他们的获胜无疑带来了家乡的荣耀和骄傲。

他们的比赛成绩表明，参赛者不仅具备超凡的数学知识和技能，而且有较强的适应能力、包容性和团队合作精神。

这是激励参赛者学习和运用数学知识的最好证明，也是肯定帮助他们在学习和职业生涯中取得成功的最佳信号。

经过无数次的挑战，本届“第二届奥林匹克数学竞赛”最终收获了优秀的比赛成绩，它也彰显了参赛者出色的表现。

让我们一起为参赛者们献上祝福：“致以最美好的祝福，愿参赛者们继续在学习和社会中取得成功，树立更高的门槛！。

数学竞赛与高中数学学习的关系

㈢数学竞赛学习与数学学习的关系
• ㈢数学竞赛学习与数学学习的关系 • 高中的数学联赛一等奖是可以保送上大学的，自然受到了很多人的关心，南开大学李成章教授曾说，数学联赛每年全国一千多一等奖，不可能都去学数学；正因为这样，通过数学竞赛培养出的能力才能播撒到各行各业。数学竞赛的知识被分为代数、几何、数论、组合四个方面。按照常理，每一个题目都应该有相应的数学背景。以前一直认为出竞赛题的都是做基础数学的，后来才发现很多题目的数学背景是应用、甚至计算数学的。下面我通过09高中数学联赛试题，来说明数学竞赛学习与数学学习的关系｛展示试题，讲解1.题6题
决赛内容：决赛由全国高中数学竞赛组委会统一命题。决赛分联赛和加试两次进行,联赛命题以高中数学教学大纲为准,加试赛命题以高中数学竞赛大纲为准。联赛试卷包括8道填空题（每题7分），3 道解答题（分别为14分，15分，15分），全卷满分100分；加试包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面（每题 50分），全卷200分。 3．参赛对象：在校高中生在预赛的基础上按省竞赛委员会分配的名额选拔预赛优胜者参加决赛；。例如2009年山东省高中数学暑期夏令营获奖学生可直接参加决赛．参赛与报名：各市严格按照预赛5%的参赛人数以1：2：4的比例，设立一、二、三等3个奖级；济宁市每年预赛名额100名，今年济宁一中有两名同学获得二等奖，枣庄八中、滕州一中分别有二名同学获得一等奖、一等奖共49名同学、全国1000名现在．我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛；次年一月的CMO(冬令营)；次年三月开始的国家集训队的训练与选拔
(2).合理的比例——小学参赛人数的四分之一为优胜，进入第二试；进入第二试的选手将有不少于五分之一的人获得一、二、三等奖，分别被授予金、银、铜奖牌；中学参赛人数的五分之一为优胜，进入第二试；进入第二试的选手将有不少于八分之一的人获得一、二、三等奖，分别被授予金、银、铜奖牌。 (3).对教师和组织者的奖励——对组织工作做得出色的地区或学校颁发“‘希望杯’全国数学邀请赛组织工作奖”，对具体工作负责人及一、二等奖获奖学生的指导教师授予“数学教育优秀园丁”称号及证书，对三等奖获得者的指导教师授予“数学竞赛优秀辅导员”称号及证书。竞赛结果于每年6月中旬公布，并在《数理天地》杂志、“希望杯”全国数学邀请赛组委会网站、中国青年报.中青在线、《数理天地》网站及“‘希望杯’数学竞赛系列丛书”中刊登，同时下发奖

1998年辽宁奥林匹克数学竞赛成绩

1998年辽宁奥林匹克数学竞赛成绩概述1. 1998年，辽宁省举办了一场历史上具有重要意义的奥林匹克数学竞赛。

这场竞赛不仅成为数学领域的盛会，更成为了一场展示青少年数学才华的舞台。

竞赛结束后，各参赛选手的成绩也备受关注。

本文将对1998年辽宁奥林匹克数学竞赛的成绩进行详细的分析和解读。

竞赛概况2. 1998年的辽宁奥林匹克数学竞赛是一场具有代表性的数学竞赛，共有各地的数学优秀选手参与其中。

比赛设置了多个竞赛项目，涵盖了数学的各个领域，如代数、几何、数论等。

参赛选手在竞赛中展现了出色的数学解题能力，也为数学界的未来培养了更多的人才。

成绩排名3. 这场数学竞赛公布了所有参赛选手的成绩。

经过严格的评分和排名，最终确定了各个项目和总成绩的排名。

在代数项目中，获得前十名的选手展现了在代数领域的深厚功底；在几何项目中，展现出色的几何解题能力的选手也收获了优异的成绩；数论项目的前十名选手更是通过精妙的数论分析和推理取得了优异的成绩。

总成绩排名也反映了各个选手的综合数学能力和解题水平，在竞赛中脱颖而出。

成绩分析4. 1998年辽宁奥林匹克数学竞赛的成绩反映了当时辽宁省青少年数学教育的成果。

排名靠前的选手不仅展现出扎实的数学基础知识，还表现出了解题的灵活性和创造性。

他们在竞赛中展现的优异成绩也为学习数学的其他同学树立了榜样。

成绩也指导了数学教育的深入开展和提高，促进了数学教育的改革和创新。

未来展望5. 1998年辽宁奥林匹克数学竞赛成绩的出炉，不仅是对参赛选手的肯定，也是对青少年数学教育的一次检验。

在今后的竞赛中，希望能够更多培养出优秀的数学人才，促进数学教育的深入发展。

也期待每一位参赛选手都能够在数学的世界中找到自己的兴趣和激情，不断提升自己的数学水平。

相信通过每一次的竞赛，都能够为数学的未来培养更多的人才，推动数学教育的蓬勃发展。

结语6. 1998年辽宁奥林匹克数学竞赛成绩的发布，引发了社会各界的广泛关注。

这不仅是对数学竞赛的一次盛事，更是对辽宁省青少年数学教育的一次检验。

初二数学奥林匹克竞赛题

初二数学奥林匹克竞赛题（最新版）目录1.初二数学奥林匹克竞赛题的背景和意义2.竞赛题的类型和难度3.如何准备初二数学奥林匹克竞赛4.竞赛对学生成长的影响正文【初二数学奥林匹克竞赛题的背景和意义】初二数学奥林匹克竞赛题，顾名思义，是一场针对初二学生的数学竞赛。

它是我国教育部门为了激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力和创新能力，提高学生的数学素养而设立的一项重要赛事。

数学奥林匹克竞赛起源于苏联，后来逐渐传播到世界各地。

在我国，数学奥林匹克竞赛已经成为一种独特的教育方式，深受学生和家长的欢迎。

初二数学奥林匹克竞赛题，作为数学奥林匹克竞赛的一部分，对于学生的意义重大。

【竞赛题的类型和难度】初二数学奥林匹克竞赛题的类型繁多，主要包括几何题、代数题、组合题、数论题等。

这些题目的难度相对于平时的学校考试要难一些，需要学生具备较强的数学思维能力和解题技巧。

竞赛题的难度主要体现在以下几个方面：一是题目的复杂程度较高，需要学生对知识点有较深入的理解；二是题目的灵活性较大，需要学生具备较强的逻辑思维能力和创新能力；三是题目的时间限制较紧，需要学生具备快速解题的能力。

【如何准备初二数学奥林匹克竞赛】要想在初二数学奥林匹克竞赛中取得好成绩，学生需要提前做好充分的准备。

具体来说，可以从以下几个方面入手：1.扎实掌握基础知识。

数学奥林匹克竞赛虽然难度较大，但基础题型还是占多数。

因此，学生首先要扎实掌握基础知识，为解题奠定基础。

2.提高解题技巧。

数学奥林匹克竞赛题的解题技巧有很多，学生可以通过做题、总结、反思等方式不断提高自己的解题技巧。

3.多做模拟题。

做模拟题可以帮助学生熟悉竞赛的题型和难度，提高自己的应试能力。

4.注重团队合作。

数学奥林匹克竞赛是一个团队赛，学生需要注重团队合作，学会与他人合作解决问题。

【竞赛对学生成长的影响】初二数学奥林匹克竞赛对学生的成长具有重要的影响。

首先，参加竞赛可以激发学生学习数学的兴趣，培养学生的学习热情。

2021年吉林数学奥林匹克竞赛名单

2021年吉林数学奥林匹克竞赛名单
摘要：
1.2021 年吉林数学奥林匹克竞赛名单公布
2.名单中的学生来自哪些地区和学校
3.竞赛的意义和目的
4.对参赛学生的祝福和期待
正文：
【1】2021 年吉林数学奥林匹克竞赛名单公布
近日，2021 年吉林数学奥林匹克竞赛名单已经公布。

此次竞赛吸引了众多中学生参加，他们在比赛中展示了自己的数学才能和解题能力。

经过激烈的角逐，一批优秀的学生脱颖而出，成功入选竞赛名单。

【2】名单中的学生来自哪些地区和学校
本次竞赛名单中的学生来自吉林各地，涵盖了多个地区和学校。

这些学生都是在各地区选拔赛中表现优异，获得了参加全省竞赛的资格。

他们在比赛中不仅展示了自己的数学才能，还体现了良好的团队合作精神。

【3】竞赛的意义和目的
吉林数学奥林匹克竞赛旨在选拔和培养优秀的数学人才，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养。

通过参加竞赛，学生可以锻炼自己的逻辑思维和解题能力，提升自己的学术水平。

同时，竞赛也有助于选拔和培养具有创新精神和实践能力的数学人才，为我国的数学事业发展做出贡献。

【4】对参赛学生的祝福和期待
对于入选名单的学生，我们表示衷心的祝贺。

在接下来的比赛中，希望他
们能够再接再厉，发挥出自己最佳水平，取得优异的成绩。

对一道“北方数学奥林匹克竞赛试题”的探究

对一道“北方数学奥林匹克竞赛试题”的探究
沈毅
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2007(000)011
【摘要】问题是数学的心脏，而解题则是推动数学发展的不竭动力．但是题海无涯，单纯依靠大量的解题训练来提高自身的解题能力，显然是不够的．笔者认为，在解决问题的过程中，更为重要的是对问题的深入探索和发展，这样不但可以加深对数学本质的认识，开阔自身的思维，而且可以有效地避免题海战术，达到以少胜多的目的．本文借助对一道优秀的平面几何问题的探索，抛砖引玉，揭示数学问题研究的一般性思维过程．
【总页数】4页(P45-48)
【作者】沈毅
【作者单位】重庆市合川太和中学,401555
【正文语种】中文
【中图分类】G633.41
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