江苏省淮安市2018届高三数学3月模拟测试试题(一)

江苏省淮安市淮海中学2018届高三数学3月模拟测试试题（一）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．集合{}1,0,2-=A ，{}12>=x x B ，则AB = ▲ .2．复数11z i=+在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限.3．有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为____▲____．4.根据如下图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ .5.某同学欲从数学、物理、化学和生物4个学科中随机选择2个，则数学被选中的概率为 ▲ .6.若实数x ，y 满足1,3,10,x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩则2x y -的最大值为 ▲ .7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐进线的距离为 ▲ . 8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8646a a a =+，则3a 的值为 ▲ .9．若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为65π的扇形，则该圆锥的体积为 ▲ .10.在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ(02πϕ<<）个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则ϕ的值为 ▲ .11.若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为 ▲ . 12.如图，已知矩形ABCD 的边长2AB =，1AD =.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且45PAQ ∠=︒，则AP AQ 的最小值为 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为 ▲ .14.已知函数221,()ln(),x ax a f x x ⎧--+=⎨-⎩0,0,x x ≥<2()12g x x a =+-，若函数(())y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题 ：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，AB PC ⊥，CA CB =，M 是 AB 的中点，点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点.求证：（1）MD ∥平面PAC ；（2）平面ABN ⊥平面PMC .16. (本题满分14分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222a b c bc =+-，a =. （1）求sin B 的值； （2）求cos()12C π+的值.17. (本题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，两条准线之间的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直 线AM 与椭圆相交于另一点B ，且A O B ∆的面积是AOM ∆面积的2倍，求直线AB 的方程.18. (本题满分16分)如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是长边为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：I 、III 、V 为绿化区域（图中阴影部分），II 、IV 、VI 为休闲区域、其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离； （2）设POD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.○1试用θ表示EF 的长度； ○2当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大.19. (本题满分16分)已知函数32()g x x ax bx =++（,R a b ∈）有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明：7()3M a <-.20. (本题满分16分)若数列{}n a 同时满足：○1对于任意的正整数n ，1n n a a +≥恒成立；○2对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数n （n k >）恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”. （1）已知21,2,n n a n -⎧=⎨⎩n n 为奇数，为偶数，判断数列{}n a 是否为“(2)R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“(3)R 数列”，且存在整数p （1p >），使得33p b -，31p b -，31p b +，33p b +成等差数列，证明：{}n b 是等差数列.数学II （附加题）21. (本题满分10分)B.[选修4-2：矩阵与变换]已知R x ∈，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵10A ⎡=⎢⎣ 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与1A -.C. (本题满分16分) [选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线21,1x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20份.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本题满分16分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BCAD ，且4AP AB AD ===，2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PHPC的值.23. (本题满分16分)（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，1sin 12cos cos 2cos3cos 22sin 2n xx x x nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭++++=-（R x ∈，且2x k π≠，k Z ∈）； （2）求2342018sin 2sin3sin 4sin 2018sin66666πππππ+++++的值.参考答案1.{-2}2.四3.314.105.12 6.5 7.6512π 10.6π11.2e - 12.4 13.()1,⎫+∞⎪⎪⎝⎭15. （1）在ABN ∆中，M 是AB 的中点，D 是BN 的中点，所有MD AN .又因为AN ⊂平面PAC ，MD ⊄平面PAC ， 所有MD 平面PAC .（2）在ABC ∆中，CA CB =，M 是AB 的中点， 所以AB MC ⊥，又因为AB PC ⊥，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC MC C =，所有AB ⊥平面PMC . 又因为AB ⊂平面ABN ， 所有平面ABN ⊥平面PMC .16.（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-，2221cos 22b c a A bc +-==. 又因为(0,)A π∈，所有3A π=.在ABC ∆中，由余弦定理sin sin a b A B =得，sin sin b B A a ===（2）因为2a b =>，所有A B >，及得03B π<<，又sin 5B =，所有cos 5B == 在ABC ∆中，A B C π++=， 所有cos()cos()1212C A B πππ+=--+cos()4B π=-+(cos cossin sin )44B B ππ=--(525210=--=-. 17.（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，2c a =，22a c =， 解得2a =，c =b =所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点，因为椭圆的方程为22142x y +=， 所有(2,0)A -.设00(,)M x y ，则00(22,2)B x y +.所有22089x y += ○1，2200(22)(2)142x y ++= ○2，由○1○2得200918160x x --=，解得023x =-，083x =（舍去）. 把023x =-代入○1，得023y =±，所有12AB k =±，因此，直线AB 的方程为1(2)2y x =±+即220x y ++=，220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点， 设直线AB 的方程为(2)y k x =+.由221,42(+2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=， 所有22(2)[(12)4-2]=0x k x k +++，解得222412B k x k -=+.所有22(2)4212B M x k x k +--==+，22(2)12M M k y k x k =+=+， 代入2289x y +=得22222428()()12129k k k k -+=++，化简得422820k k +-=， 即22(72)(41)0k k +-=，解得12k =±， 所以，直线AB 的方程为1(2)2y x =±+即220x y ++=，220x y -+=.18.以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =， 半圆O 的方程为22240x y +=（0y ≥）,由2222,40(0),y x x y y =⎧⎨+=≥⎩得y =所有，点P 到AD 的距离为. (2)○1由题意，得(40cos ,40sin )P θθ.直线PB 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8080cos 40sin 40sin 2sin 2E x θθθθθ+-=-=++.直线PC 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ++=--， 令0y =，得80cos 8080cos 40sin 40sin 2sin 2F x θθθθθ-+=+=++.所有，EF 的长度为80sin ()sin 2F E f x x θθθ=-=+，(0,)2πθ∈.○2区域IV 、VI 的面积之和为 1180sin 6400(80)802sin 2sin 2S θθθ=⨯-⨯=++，区域II 的面积为221180sin 1600sin 40sin ()40sin 22sin 2sin 2S EF θθθθθθ=⨯⨯=⨯⨯=++，所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+（02πθ<<）.设sin 2t θ+=，则23t <<，2121600(2)6400t S S t-++=81600(4)4)1)t t=+-≥=，当且仅当t =，即sin 2θ=时“=”成立.所有，休闲区域II 、IV 、VI 的面积12S S +的最小值为21)m .答：当sin 2θ=时，绿化区域I 、III 、V 的面积之和最大.19.（1）因为'()()(1)x x x f x e x a e x a e =++=++，令'()0f x =，解得1x a =--. 列表如下.所以1x a =--时，()f x 取得极小值. 因为2'()32g x x ax b =++，由题意可知'(1)0g a --=，且24120a b ∆=->所以23(1)2(1)0a a a b --+--+=，化简得243b a a =---. 由22412412(1)(3)0a b a a a ∆=-=+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---，3()2a ≠-.（2）因为32()()()()()x F x f x g x x a e x ax bx =-=+-++， 所以2'()'()'()(1)[32(1)(3)]xF x f x g x x a e x ax a a =-=++-+-++(1)(1)(33)x x a e x a x a =++-++--(1)(33)x x a e x a =++-++记()33xh x e x a =-++，则'()3xh x e =-，令'()0h x =，解得ln 3x =， 列表如下.所有ln 3x =时，()h x 取得极小值，也是最小值， 此时，ln3(ln3)3ln3363ln3h e a a =-++=-+23(2ln 3)3(ln )03e a a a =-+=+>>.令'()0F x =，解得1x a =--.列表如下.所以1x a =--时，()F x 取得极小值，也是最小值.所以132()(1)(1)((1)(1)(1))a M a F a a e a a a b a --=--=-----+--+--12(1)(2)a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记232()(1)t t m t e t t e t t =---=-+-，1t <-，则2'()32t m t e t t =-+-，1t <-. 因为0tt ee --<-<，2325t t ->，所以'()0m t >，所有()m t 单调递增.所以17()2233tm t e -<--<--=-，所以7()3M a <-. 20.（1）当n 为奇数时，12(1)(21)30n n a a n n +-=+--=>，所以1n n a a +≥.222(2)12(2)12(21)2n n n a a n n n a -++=--++-=-=.当n 为偶数时，12(1)210n n a a n n +-=+-=>，所以1n n a a +≥.222(2)2(2)42n n n a a n n n a -++=-++==.所以，数列{}n a 是“(2)R 数列”. （2）由题意可得：332n n n b b b -++=，则数列1b ，4b ，7b ,…是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ，5b ，8b ,…是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ，6b ，9b ,…是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以312234n n n b b b +++≤≤， 所以112211(1)b nd b nd b n d +≤+≤++，所以2112()n d d b b -≥- ①，21121()n d d b b d -≥-+ ②. 若210d d -<，则1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得：13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设313331313331p p p p p p b b b b b b λ--+-++-=-=-=， 则31323131()((1))n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得：331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-， 所以{}n b 是等差数列.数学附加题答案21.B ．由已知得1c ⎡⎢⎣ 2x ⎤⎥⎦00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2,0.x λ=⎧⎨=⎩所以10A ⎡=⎢⎣ 02⎤⎥⎦.设1a A c -⎡=⎢⎣b d ⎤⎥⎦，则110AA -⎡=⎢⎣ 02a c ⎤⎡⎥⎢⎦⎣ b d ⎤⎥⎦10⎡=⎢⎣01⎤⎥⎦即2a c ⎡⎢⎣ 120b d ⎤⎡=⎥⎢⎦⎣ 01⎤⎥⎦.所以1a =，0b c ==，12d =.所以2λ=，110A -⎡⎢=⎢⎢⎣ 012⎤⎥⎥⎦.C ．曲线21,1x t y t =-⎧⎨=-⎩的普通方程为22y x x =+. 联立2,2,y x y x x =⎧⎨=+⎩解得0,0x y =⎧⎨=⎩或1,1,x y =-⎧⎨=-⎩所以(0,0)A ，(1,1)B --，所以AB ==22.以{,,}AB AD AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P （1）由题意可知，(0,4,4)DP =-，(4,2,0)DC =-. 设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =，则110,0,n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即430,420.y z x y -+=⎧⎨-=⎩令1x =， 则2y =，2z =. 所以1(1,2,2)n =.平面ACD 的法向量为2(0,0,1)n =， 所以121212||2|cos ,|||||3n n n n n n <>==，由题意可知，(4,2,4)PC =-，(4,2,0)DC =-， 设(4,2,4)PH PC λλλλ==-，则(4,24,44)DH DP PH λλλ=+=--，因为DC DH ==化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=.又因为点H 异于点C ，所以13λ=. 23.（1）①当1n =时，等式右边111sin(1)sin(1)sin(1)12221122sin 2sin 22x x xx x ++--=-= 1111(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )222212sin 2x x x x x x x x x+--=cos x ==等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即1sin(+)12cos cos 2cos3cos 122sin 2k xx x x kx x ++++=-. 那么，当1n k =+时，有cos cos 2cos3cos cos(1)x x x kx k x ++++++1sin(+)12cos(1)122sin 2k x k x x =-++11sin[(1)]2sin cos(1)122122sin 2k x x x k xx +-++=-111sin(1)cos cos(1)sin 2sin cos(1)1222122sin 2k x x k x x x k xx +-+++=-11sin(1)cos cos(1)sin 122122sin 2k x x k x xx +-+=- 1sin(1)12122sin 2k xx ++=- 这就是说，当1n k =+时等式也成立. 根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知，1sin(2018+)12cos cos 2cos3cos 201822sin 2xx x x x x ++++=-，同时求导，得sin 2sin 23sin 32018sin 2018x x x x -----2111111(2018)cos(2018)sin sin(2018)cos 22222212sin 2x x x xx++-+=， 所以232018sin 2sin 3sin 2018sin 6666ππππ-----21111(2018)cos(2018)sin sin(2018)cos2015226122261222sin 12πππππ++-+==所以23420182015sin 2sin 3sin 4sin 2018sin 666662πππππ+++++=.。