4-1不定积分的概念与性质 (1)
4-1 不定积分的概念与性质(高等数学)
第4章 不定积分§4.1 不定积分的概念与性质教学内容：一．原函数1.定义：设)(),(x f x F 是定义在区间I 上的函数，若对任意的I x ∈，都有)()(x f x F ='，或x x f x F d )()(d =，则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数．2.定理：（原函数存在定理）若函数()f x 在区间I 上连续，则在该区间上一定存在可导函数()F x ，使得对任意x I ∈都有()()F x f x '=，即区间上的连续函数一定有原函数．3.若)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，即)('x F =)(x f ，则C x F +)(也是)(x f 在区间I 上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.4.定理：设函数()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()f x 在区间I 上的任意一个原函数可以表示为()F x C +，其中C 是任意常数．二．不定积分的概念定义：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则()f x 在区间I 上带有任意常数的原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰，即()d f x x ⎰=C x F +)(，其中，⎰称为积分号，)(x f 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，任意常数C 称为积分常数．三．不定积分的几何意义对于确定的常数C ，()F x C +表示坐标平面上一条确定的曲线；当C 取不同的值时，C x F +)(表示一簇曲线．由()()f x dx F x C =+⎰可知，()f x 的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．四．不定积分的性质性质1. (1)[()d ]f x x ' ⎰=)(x f ， 或 d[()d ]f x x ⎰=()d f x x ；(2) ⎰+='C x F x x F )(d )(， 或⎰+=C x F x F )()(d .性质2.⎰⎰=x x f k x x kf d )(d )(（k 为非零常数）.性质3.⎰⎰⎰±=±x x fx x f x x f x f d )(d )(d )]()([2121.五．基本积分公式表1．d k x kx C =+⎰（k 为常数）； 2．11d 1x x x C μμμ+=++⎰（1μ≠-）；3．1d ln ||x x C x =+⎰； 4．d ln x xa a x C a =+⎰；5．e d e x x x C =+⎰； 6．sin d cos x x x C =-+⎰；7．cos d sin x x x C =+⎰； 8．2sec d tan x x x C =+⎰；9．2csc d cot x x x C =-+⎰； 10．sec tan d sec x x x x C =+⎰；11．csc cot d csc x x x x C =-+⎰； 12．21d arctan arccot 1x x C x C x =+=-++⎰；13．d arcsin arccos x x C x C =+=-+.六．例题讲解例1.求不定积分 (1)2d x x ⎰； （2）1d x x ⎰．例2.若池塘结冰的速度由d d yt=给出，其中y 是自结冰起到时刻t 冰的厚度，k 是正常数，求结冰厚度y 关于时间t 的函数．例3.已知某曲线经过点(0,1)，并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试求该曲线的方程．例4.距离地面0x 处，一质点以初速度0v 铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律．例5.求e 5d x xx -⎰． 例6.求x xx d 1⎰． 例7.求23)d x x - ．例8.求2(1)d x x x - ⎰． 例9.求221d (1)x x x x x ++ +⎰． 例10.求22d 1x x x +⎰．例11.求42d 1x x x +⎰. 例12.求2tan d x x ⎰． 例13.求2sin d 2x x ⎰． 例14.求22d sin cos x x x ⎰． 例15.求221d .sin cos22x x x ⎰例16.设()2||3f x x '=+，且(2)15f =，求()f x .。
高等数学(同济第6版习题课4-1)
（３） xd x ＝ d（ x２ ） ；
（４） xd x ＝ d（５ x２ ） ；
（５） xd x ＝ d（１ － x２ ） ；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４ － ２） ；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ） ；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数 畅
证 ［arcsin（２ x － １）］′ ＝
１
·２＝
１ － （２ x － １）２
１， x － x２
［arccos（１ － ２ x）］′ ＝ －
１
· （ － ２） ＝
１ － （１ － ２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１ １
x －
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝ ０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３） 求使 s ＝ ５０ 的 k 值 畅
不定积分一
(C C1 ln a)
a
不定积分
（3）倒数代换
x a 1 解 : 令x t
2
x
1
2
dx
原式
1 1 a dt arccos(at ) C arccos C 2 a a x 1 (at )
1
不定积分
二、分步积分法
函数乘积的微分形式 函数乘积的积分形式。
不定积分
4、许多情况，换元法和分步积分法同时使用， 选取顺序很重要。如果顺序不当，计算很麻烦 甚至算不出来。p80 例29 例：
x e dx x de x e e dx x e 2 xe dx xe dx xe e dx xe e C
不定积分
sin 2 x 解二： f ' (sin 2 x) 1 2 sin 2 x 2 1 sin x x2 ' 2 f ( x) 1 2 x 2 1 x 2 3 1 1 x f ( x ) x ln C 3 2 1 x
不定积分
2、第二类换元法 (凑微分法无法进行)设 x (u )将积分 f ( x ) dx 化成[ f ( (u )) ' (u ) du ]
不定积分
（2）三角代换 1 例： dx ___令x a sec u x 2 a 2 atgu 2 2
x a dx a sec utgudu 原式 sec udu ln sec u tgu C1 x ln a x2 a2 C1 ln x x 2 a 2 C a
a0 x a1 x an1 x an P( x ) m m 1 Q( x) b0 x b1 x bm1 x bm
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
不定积分的概念与性质及基本积分公式
不定积分的概念与性质及基本积分公式不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。
在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。
一、不定积分的概念：不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。
二、不定积分的性质：1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。
3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。
三、基本积分公式：1.幂函数积分公式：a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1b. ∫1/x dx = ln，x， + C。
c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。
d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。
e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。
2.指数函数与对数函数积分公式：a. ∫e^x dx = e^x + C。
b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。
3.三角函数积分公式：a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。
d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。
e. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C。
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
4.1 不定积分的概念与性质
11
නcsc cot d = − csc + ;
(12)
13
第一节 不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质
නe d = e + ;
+ ;
න d =
ln
(14)
නsinh d = cosh + ;
(15)
නcosh d = sinh + .
= ln | | +
第一节
第一节 不定积分的概念与性质
不定积分的概念与性质
第四章
第四章 不定积分
不定积分
(4)
(5)
1
න
d = arctan + ;
2
1+
1
න
d = arcsin + ;
1 − 2
(6)
නcos d = sin + ;
(7)
නsin d = − cos + ;
第一节 不定积分的概念与性质
′ = 2的积分曲线族
第四章 不定积分
例4 质点在距地面0 处以初速0 铅直上抛, 不计阻力, 求其运动规律.
解
取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上,
质点抛出时刻为 = 0, 此时质点位置为0 , 初速为0 .
设时刻质点所在位置为 = (), 则
不定积分.
′ () = ()
න()d = () +
积 被
分 积
号 函
数
第一节 不定积分的概念与性质
被
积
表
达
式
积
分
变
量
第四章___不定积分
第四章第1页第四章不定积分讲授内容§4-1不定积分的概念与性质教学目的与要求1、理解不定积分的概念理解不定积分与微分之间的关系. 2、掌握不定积分的性质会用常见不定积分公式和不定积分性质求一些不定积分. 3、熟练掌握常用积分公式. 教学重难点重点——理解的概念与性质熟练掌握常用积分公式. 难点——不定积分的公式熟练掌握. 教学方法讲授法教学建议1、加深对原函数、不定积分的理解. 2、对15个积分公式要进行大量练习. 3、求不定积分一定注意不能漏C . 学时2学时教学过程第二章我们研究了如何求一个函数的导函数问题本章将讨论它的反问题即要寻求一个可导函数使它的导函数等于已知函数.这是积分学的基本问题之一. 一原函数与不定积分的概念1. 定义如果在区间I上函数Fx和fx使得F′xfx 或dFxfxdxx∈I. 称Fx为fx或fxdx在区间I上的原函数. 如sincosxx则cosx是sinx 的一个原函数. 第四章第2页1lnxx1x是lnx的一个原函数问ln2x是否是1x的原函数.2. 定理原函数的存在定理连续函数必有原函数.即: 如果fx在I上连续则在I上必有Fx 使得: F′xfx. x∈I. 注①初等函数在定义区间上必有原函数但原函数并非都是初等函数. ②函数在区间上连续只是在区间上有原函数的充分条件不连续的函数也可能有原函数.3. 两个原函数的关系如果Fx为fx在区间I上的一个原函数则FxC为fx的原函数. 因为FxC′fx 如果Fx和Gx为fx的两个原函数则有FxGxC. 因为Fx-Gx′0 FxGxC. 4. 定义在区间I上函数fx的带有任意常数项的原函数称为fx 或fxdx在I上的不定积分记为xxfd. 即∫ fxdxFxC. 其中∫为积分符号fx为被积函数fxdx为被积表达式x为积分变量. 注①不定积分∫fxdx可以表示fx的任意一个原函数. ②C 不能去掉5. 函数fx的原函数Fx的图形称为fx的积分曲线. 6. 微分与积分的关系: 1 dxfxxf 或xxfxxfddd. 2 CxFxxFd或dFxFxC. 例1 求2xdx 第四章第3页解Cxdxxxx333223 例2 求dxx1 解当xgt0时由于lnx′1/x ∫1/xdxlnxC. 当xlt0时由于ln-x′1/x ∫1/xdxln-xC. 因此∫fxdxlnxC x≠0 例3 设曲线通过点12且其上任意一点处的切线的斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线方程. 解设所求曲线方程为yyx由题义有y′x2x y12. y′x2xyx2C. 代y12 得C1. 所以yx21 二、基本积分表见书本P186 注①11d1xxxC 其中1 ②1dlnxxCx 例4 求下列积分1 ∫x-3dx 解∫x-3dx1313xC-221xC 2 ∫x2xdx 第四章第4页解∫x2xdx∫25xdx125125xC2772xC 注用分式或根式表示的幂函数应化为x的形式然后用公式三、不定积分的性质性质1. dxxgxxfxxgxfdd 性质2. dxxfkdxxkf k≠0k 为常数注性质说明不定积分具有线性性可以推广到所有的积分例5 求下列不定积分1∫xx2-5dx∫21255xxdx732221073xxc 2∫ax-3cosxdx∫axdx-3∫cosxdxaaxln-3sinxc. 3∫2xexdx∫2exdx2ln2eexc2ln12xec 4 ∫tan2xdx∫sec2x-1dxtanx-xc 5∫221xxdx∫2121xxdxx-2lnx-x1c 6 ∫1122xxxxdx∫ x1211xdxlnxarctanxc 7∫241xxdx∫24111xxdx∫2221111xxxdx ∫x2-1211xdx33x-xarctanxc 第四章第5页8∫2sin2xdx∫211-cosxdx21x-sinxc 9 ∫2cos2sin122xxdx∫22sin1xdx24cscdxx-4cotxc 例6 设f′lnxx1求fx 解设tlnx 则f′tet1 从而ft∫et1dtettC fxex xc 例7 设xxfxd arctanxC求xxfd 解将darctanxxxCfx两边求导可得211xxfx 所以12xxxf 从而Cxxdxxf4242. 故有dfxxFxC 作业高等数学练习册C类习题十九教学后记第四章第6页参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题证明xxeshxechx都是的xechxshx原函数. 第四章第7页讲授内容: §4-2换元积分法1 教学目的与要求1、理解第一换元积分法. 2、熟练掌握各种形式的“凑微分”. 教学方法讲授法重难点重点——各种形式的“凑微分”的方法. 难点——灵活的使用“凑微分”法. . 教学建议常用的凑微分的公式和方法要求学生牢记. 学时2学时教学过程将复合函数的微分法用于求不定积分利用中间变量的代换得到求复合函数的不定积分的方法称为换元积分法一、第一类换元法定理1设函数fu具有原函数Fuuφx可导则有换元公式∫fφxφ′xdx∫fuduFuCFφxC 证明由复合函数的微分法有FφxC ′ F′φxφ′x fφxφ′x 注关键是找uφx 例1. 求下列积分: 1∫2cos2xdx∫cos2xd2x sin2xC. u2x 第四章第8页2 ∫x231dx21∫xxd232321ln32xC. u32x 3 cxxddxxx31.3231313113121 u1-3x 注1. 形如faxb总可作uaxb把它化为fu 2. 不要忘记变量还原熟练后中间变量可不用设出4 ∫2x2xedx∫2xedx22xeC. u2x 5∫x21xdx-21∫21xd1-x2 -311-x23/2C. u1-x2 注11dnnnnnfaxbxxfaxbdaxba 10na 6∫tanxdx∫xxcossindx -∫xxdcoscos-lncosxC ucosx 7 ∫221xadx∫12axaaxda1arctanaxC uax 8 ∫221xadxa21∫xa1ax1dxa21∫xa1dx∫ax1dx a21∫ax1dxa-∫xa1da-xln21axaxaC agt0 注对21dxaxbxc 若240bac则用法8 若240bac则用法7 第四章第9页如①221d11darctan232122xxxCxxx ②2dd1dd11ln231341343xxxxxCxxxxxxx 9∫chaxdxa∫chaxdax ashaxC uax 10 ∫22xadx∫21axaxdarcsinaxC 11∫ln21xxdx∫xxdln21ln21∫xxdln21ln2121ln12lnxC 12 ∫xex3dx2∫xdex332∫xdex3332xe3C 13 ∫10121xxdx∫1012111xxdx∫101111xxx10111xdx∫100121xx10111xdx∫9911x10012x10111xdx -981981x991992x10011001xc 另一解法另1tx则原式2981001011011d2dttttttt 14 ∫sin3xdx-∫1-cos2xdcosx-cosx31cos3xC 15∫sin2xcos5xdx∫sin2x1-sin2x2dsinx∫sin2x-2sin4xsinx6dsinx 第四章第10页31sin3x-52sin5x71sin7xC 16 ∫cos2xdx∫1cos2x/2dxx/2sin2x/4C 17∫cos4xdx∫22cos1x2dx41∫12cos2xcos22xdx 41∫12cos2x 24cos1xdx41∫232cos2x 24cosxdx 83x41sin2x321sin4xC 18 ∫cscxdx∫xdxsin∫2cos2sin2xxdx∫2cos2tan22xxxd∫2tan2tanxxdln2tanxClncscx-cotxC 注2tanxxxsin2sin22xxsincos1cscx-cotx 19∫secxdx∫xdxcos∫2sin2xxdlncsc2x-cot2xC lnsecxtanxC 20∫sec6xdx∫1tan2x2dtanx∫12tan2xtan4xdtanx tanx32tan3x51tan5xC 21 ∫tan5xsec3xdx∫tan4xsec2xdsecx∫sec2x-12sec2xdsecx 第四章第11页71sec7x-52sec5x31sec3xC 注被积函数中含三角函数2secx经常将它化为正切22cxxxdxxxdxxdxtan2arctan22tan21tantansecsecsin122222 23∫cos3xcos2xdx21∫cosxcos5xdx21sinx101sin5xC. 2411dddd111xxxxxxeee xxxxeee1d1ln11xxxxexeCe 25665666114111dddd444444xxxxxxxxxxxxx 611lnln4424xxC 26322222221111dd1d122111xxxxxxxxx 3122222221111d111231xxxxcx 注1 将代数式进行恒等变形、分子分母同乘一个阶印⒗ 萌范ㄊ 泻愕裙叵怠⑷ 枪 蕉际谴瘴⒎值某Ｓ梅椒? 2 常用的公式adxdaxb nndxdxnx1 1lnxdxdxlnx xxxtanddsec2 第四章第12页arcsindd122axxxa 作业高等数学练习册C类习题二十1、2 1-14 教学后记参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题计算dxxxx2211tan 第四章第13页讲授内容§4-2换元积分法2 教学目的与要求1、理解第二类换元积分法的原理. 2、熟练掌握第二类换元积分法中的几种常用的换元方法及第二类换元积分法所适用的类型. 教学方法讲授法重难点重点——第二类换元积分法中的几种常用的换元法. 难点——如何熟练应用第二类换元法. 教学建议熟悉常用变量代换. 学时2学时教学过程定理设xψt单调可导且ψ′t≠0. 又设fψtψ′t有原函数Ft则有∫fxdx∫fψtψ′tdtFtCFψ--1xC. 证明由复合函数和反函数的求导法则有Fψ-1xC′F′t??txfψtψ′t??1/ψ′tfψtfx. 1三角代换例1 求下列积分1∫22xadxtaxsina2∫cos2tdt22at22asintcostC 22aarcsinax21x22xaC agt02∫22xadxtaxtan∫sectdtlnsecttantC 第四章第14页lnx22axC agt0 3∫22axdx 当xgta时设xasect 0lttltπ/2 则22dxxa∫sectdt lnsecttantC lnx22axC 当xlt-a时令x-u那么ugta则22dxxa22duua -lnu22auC - ln-x-22axC 所以x≠a 有∫22axdx lnx22axC421dxxxtxsincossincostttdt 21cossincossin dtsincossincostttttttt 21tlnsintcostC21arcsinxlnx21xC. 5 22211dxxx tanxt 2222secsinarctansin1sin2tan11tantdtdttcttt2arctan1xcx 第四章第15页注22dfaxx一般令sinxat 22dfaxx一般令tanxat 22dfxax一般令secxat 2倒数代换例2 求下列积分14422 1/ d11dxtxttxxt2211d1ttt-t3/3t-arctantC-231xx1-arctanx1C. 2222211arcsin11dxtdtctxxxtt 0x结果一样3∫4211xxdx21∫4222111xxxxdx 21∫42211xxxdx-21∫42211xxxdx21∫1111222xxxdx-21∫1111222xxxdx 21∫3112xxxxd-21∫1112xxxxd321arctan31xx-41ln1111xxxxC 第四章第16页4∫4211xxxdx∫41xxdx∫411xxdx21∫2221xdx∫43111xxdx 21lnx241x-21∫222111xxd 21lnx241x-21ln21x4111xC 3万能代换例3 求积分xdxcos3 解设2tanxt xdxcos3cxdtt2tan21arctan2122 4整体代换例4 求积分exdx1 解设1ln1xetxt dttdx11 1xdxe11ln111xxdtedtctttte 5根式代换第四章第17页例5 求下列积分xdx21 解设xt2 xdx21cxxcttdttt21ln21ln1 注关于第二类换元法非常灵活除上面几种常用代换外经常二类换元同时应用作业高等数学练习册C类习题二十2 15-28 教学后记参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题计算33411xdxx 第四章第18页讲授内容§4-3分部积分法教学目的与要求1、熟练掌握分部积分法公式. 2、会灵活应用分部积分法求一些函数的积分. 教学方法讲授法重难点重点——恰当选取u和v. 难点——恰当选取u和v. 教学建议1、选取原则1v易求2vdu 要比udv简单. 2、用分部积分法有时会出现复原的情况学时2学时教学过程一、分部积分法设ux和vx具有连续导数则uv′u′vuv′ 于是有分部积分法公式∫udvuv-∫vdu. 二、分部积分法常见的几种用法1降幂降低被积函数中幂函数的次幂例1求下列积分 1 ∫xcosxdx∫xdsinxxsinx-∫sinxdxxsinxcosxC 2∫x2exdx∫x2dexx2ex-2∫xexdxx2ex-2xex2exexx2-2x2C 注当被积函数为幂函数、三角函数、指数函数时一般将幂函数视为u将三角函数、指数函数凑微分. 2化难为易降低被积函数中幂函数的次幂利用分部积分法将被积函数中的难积函数如对称函数、反三角函数消第四章第19页除掉. 例2 求下列积分1∫xlnxdx21∫lnxdx221x2lnx-∫xdx21x2lnx-41x2C 2arctanxdx xarctanx-∫21xxdx xarctanx-21ln1x2C 3∫xarcsinxdx∫arcsinxdx2x2arcsinx-∫221xxdx x2arcsinx∫22111xxdx x2arcsinx∫21x-211xdx x2-1arcsinx21arcsinx-21x21xC x2-21arcsinx-21x21xC 注当被积函数为幂函数与反三角函数、对称函数乘积时一般将反三角函数、对称函数视为u 将幂函数凑微3循环积分用分部积分公式后原来积分又重新出现例31∫exsinxdx∫sinxdexexsinx-∫excosxdx exsinx-∫cosxdexexsinx-excosx-∫exsinx21exsinx-cosxC 2sec3xdx∫secxdtanxsecxtanx-∫tan2xsecxdx secxtanx-∫sec3xdx∫secxdx21secxtanxlnsecxtanxC 注当被积函数为指数函数与三角函数乘积时将其中之一视为u用两次分部积分法会出现循环. 第四章第20页4递推例4 求积分sindnxx 导出递推公式解111sindsind-coscossin-cosdsinnnnnnIxxxxxxxx 12cossincos1sincosdnnxxxnxxx 122cossin1sin1sindnnxxnxxx 12cossin11nnnxxnInI12cossin1nnnnIxxnI 所以1211cossinnnnnIxxInn 三、两种积分法的同时运用例5 求下列积分1∫xedx tx 2∫ettdt2ett-1C2xex-1C2∫xsinxcosxdx21∫sin2xdx-41∫xdcos2x-41xcos2x41∫cos2xdx-41xcos2x81∫dsin2x-41xcos2x81sin2xC.3∫23lnxxdx∫ln3xd-x1xx3ln3∫22lnxxdx-xx3ln3∫ln2xd-x1-xx3ln-xx2ln36∫2lnxxdx-xx3ln-xx2ln36∫lnxdx1-xx3ln-xx2ln3-xxln66∫21xdxx1ln3x3ln2x6lnx6C. 或∫23lnxxdxtx/1∫ln3tdttln3t-3∫ln2tdttln3t-3tln2t6∫lntdt 第四章第21页tln3t-3tln2t6tlnt-6tCtln3t-3ln2t6lnt-6C x1 ln3x1-3ln2x16lnx1-6C-x1 ln3x3ln2x6lnx6C4∫coslnxdxxcoslnx∫xsinlnx·x1dxxcoslnxxsinlnx∫xcoslnx·x1dxxcoslnxxsinlnx∫coslnxdx21xsinlnxcoslnxC5∫exsin2xdx∫ex22cos1xdx21ex21∫excos2xdx 121ex21∫exdsin2x2xe41exsin2x∫exsin2xdx 2xe4xesin2x81∫exdcos2x2xe4xesin2x8xecos2x81∫excos2xdx 2 ∫excos2xdx58??4xesin2x21cos2xC1 原式2xe5xesin2x21cos2xCex21101cos2x51sin2xC. 6x2cos22xdx∫x22cos1x21∫x2x2cosxdx2131x3∫x2dsinx61x321x2sinx21∫2xsinxdx63x22xsinx∫xdcosx 63x22xsinxxcosxsinxC. 第四章第22页例6 求In∫naxdx22其中n为正整数. 解当ngt1时有: In-1∫122naxdx122naxx2n-1∫naxx222dx 122naxx2n-1 ∫1221nax-naxa222dx 122naxx2n-1In-1-a2In. 于是In1212na122naxx2n-3In-1. 其中I1a1arctanaxC. 作业高等数学练习册C类习题二十一教学后记参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题计算dxxcosln 第四章第23页讲授内容§4-4 有理函数的不定积分教学目的与要求熟练掌握几种特殊类型函数公式.重难点重点——有理函数的积分三角函数有理式的积分. 难点——无理函数的积分. 教学方法讲授法教学建议1、有理函数必可积但不一定是最简单. 2、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分通常是运用变量代换学时2学时教学过程一、有理函数的积分称xQxPmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxa11101110为有理函数.1 其中m和n为非负整数a0 a1??an b0 b1??bm 为实数a0≠0 b0≠0 . 以下总假设Px和Qx没有公因子. 当nltm时称1为真分式当n≥m时称1为假分式. 对假分式总可以利用多项式的除法将其变为一个多项式与一个真分式的和.真分式划为部分分式的和: 设1为一个真分式且Qx在实数范围内可分解为一次因式和二次因式的乘积Qxb0x-aα??x-bβx2pxqλ??x2rxsμ. 其中p2-4qlt0??r2-4slt0. 则第四章第24页xQxP1axA12axA??axA 1bxB12bxB??bxB 211qpxxNxM1222qpxxNxM??qpxxNxM2 211srxxSxR1222srxxSxR??srxxSxR2 其中A1??Aα B1??Bβ M1??Mλ N1??Nλ R1??Rμ S1??Sμ为待定常数. 有理分式函数的积分只有三种形式多项式函数分式函数naxA 和nqpxxNMx2 但前两个函数的积分较简单主要是第三个积分. 对∫nqpxxNMx2dx 可以用配方法x2pxqx2p2q-22p设tx2p a2q-22p bN-2Mp 则有∫nqpxxNMx2dx∫natMtdt22∫natbdt22 例1. 将真分式6532xxx分解为部分分式. 解设6532xxx323xxx32xBxA 第四章第25页方法一两边去分母:x3Ax-3Bx-2 2 比较同次幂的系数有:AB1-3A-2B3解得A-5B6. 方法二在2中代特殊值:令x2得A-5令x3得B6. 例2. 将真分式1122xxx分解为部分分式. 解设1122xxxxA121xB21xDCx 去分母得xA1x1x2B1x2CxD1x23 即xABDAC2DxAB2CDx2ACx3 于是002020CADCBADCADBA解得A0 B-21C0 D21. 即有1122xxx21211x-211x. 例3. 求下列积分: 1∫6532xxxdx∫36x-25xdx6lnx-3-5lnx-2C 2 ∫1122xxxdx21∫211x-211xdx21 arctanxx11C 3 ∫3222xxxdx21∫326222xxxdx 21∫323222xxxxddx-3∫22211x xd 21lnx22x3-23 arctan21xC 第四章第26页 4 ∫xxxx3458dx∫x2x11182xxxxxdx 31x321x2x∫14138xxxdx31x321x2x8lnx-3lnx-1-4lnx1C. 5 ∫411xdx21∫422111xxxdx21∫222111xxxdx-∫222111xxxdx 21∫22211xxxxd-∫22211xxxxd2121xxarctan21xx-221ln2121xxxxC 42arctanxx212-82ln121222xx.。
不定积分的概念与基本性质
不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。
在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。
3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。
这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。
换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。
不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。
《高等数学》不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢篇一：高等数学第四章不定积分习题第四章不定积分4 – 1不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。
2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为d(arcsinx)?1?x2dx,所以arcsinx是______的一个原函数。
4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。
二．是非判断题1．若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．3??f?x?dx???f??x?dx. [ ]?4．若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题1．c为任意常数，且F’(x)=f(x),下式成立的有。
（A）?F’(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x) +c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。
（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c; (D) F(x)?G(x)=c. 3．下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。
(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=??cosx,x?0,cosx?2,x?0;(D) y=??cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0.c1、c2任意常数。
4-1不定积分的概念和性质
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三、 不定积分的性质
(1)
是常数， ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx . （k 是常数，k ≠ 0)
d (2) dx
[∫ f ( x )dx ] = f ( x ), d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx,
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
为任意常数） ∴ F ( x ) − G ( x ) = C（C 为任意常数）
大学数学教研室 2010年12月26日1时28分
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不定积分的概念和性质
前面我们已经研究了一元函数微分学。 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 一元函数微分学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题： 与此相反的问题 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一 个可导的函数，使其导数等于一个已知函数，从而 个可导的函数，使其导数等于一个已知函数， 产生了一元函数积分学 一元函数积分学。 产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定 积分两部分。 积分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。
e x dx = e x + C ; ∫ ax x (13) ∫ a dx = + C; ln a (12)
大学数学教研室 2010年12月26日1时28分
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2 例4 求积分 ∫ x xdx .
解
x 2 xdx = ∫ x dx ∫
5 2
§4-1不定积分
第四章 不定积分§4－1 不定积分的概念与性质一、原函数问题1 已知真空中的自由落体的瞬时速度v (t )=gt ．其中常量g 是重力加速度，又知t =0时路程s =0，求自由落体的运动规律s =s (t )．解 s '(t )=v (t )=gt ， (1) 容易验证s (t )=21gt 2+C ，(C 为任意常数)满足(1)； 又因为t =0时s =0，代入上式得C =0． 所以所求的运动规律为s =21gt 2． 问题2 设曲线y =f (x )经过原点，曲线上任一点处存在切线，且切线斜率都等于切点处横坐标的两倍，求该曲线方程．解 y '=2x . (2) 容易验证y =x 2+C ， (C 为任意常数)满足(2)；又因为原点在曲线上，故 x =0时y =0，代入上式得C =0．因此所求曲线的方程为y =x 2．两个问题本质：已知某函数的导数F '(x )=f (x )，求函数F (x )．定义1 设在某区间I 上，F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ，则I 上的函数F (x )称为f (x )的一个原函数．例如：因为(sin x )'=cos x 或d (sin x )=cos xdx ，所以sin x 是cos x 的一个原函数；因为(21gt 2)'=gt ，所以21gt 2是gt 的一个原函数； 因为(x 2)'=2x ，所以x 2是2x 的一个原函数．二、不定积分例如：对任意常数C ，21gt 2+C 都满足(1)，x 2+C 都满(2)，所以21gt 2+C 都是gt 的原函数；x 2+C 都是2x 的原函数．又如：对任意常数C ，都有(sin x +C )'=cos x ，所以sin x +C 也都是cos x 的原函数． 由此可见，一个函数的原函数并不唯一，而是有无限个．如果F (x )是f (x )的一个原函数，即F '(x )=f (x )，那么与F (x )相差一个常数的函数G (x )=F (x )+C ，仍有G '(x )=f (x )，所以G (x )也是f (x )的原函数．反过来，设G (x )是f (x )的任意一个原函数，那么F '(x )=G '(x )=f (x )，F '(x )-G '(x )≡0，F (x )-G (x )=C ，(C 为常数)，即G (x )=F (x )+C ． 即G (x )与F (x )不过差一个常数．总结正反两个方面可得两个结论：(1)若f (x )存在原函数，则有无限个原函数；(2)若F (x )是f (x )的一个原函数，则f (x )的全部原函数构成的集合为{F (x )+C |C 为常数}.1. 不定积分的定义定义2 设F (x )是函数f (x )的一个原函数，则f (x )的全部原函数称为f (x )的不定积分，记作⎰dx x f )(，即 ⎰dx x f )(={F (x )+C |C 为常数}．习惯写法：省却等号右边的花括号，直接简写成F (x )+C ，即⎰dx x f )(=F (x )+C ．其中f (x )称为被积函数，f (x )dx 称为积分表达式，x 称为积分变量，符号“ ⎰ ”称为积分号，C 为积分常数．注意 积分号“ ⎰ ”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全部原函数．所以在不定积分的结果中不能漏写C ．例1 由导数的基本公式，写出下列函数的不定积分：(1)⎰xdx cos ； (2)dx e x ⎰．解 (1)因为(sin x )'=cos x ，所以sin x 是cos x 的一个原函数，所以⎰xdx cos =sin x +C ．(2)因为(e x )'=e x ，所以e x 是e x 的一个原函数，所以 dx e x ⎰=e x +C ．例2 根据不定积分的定义验证：dx x x ⎰+212=ln(1+x 2)+C ．解 由于[ln(1+x 2)]'=212x x +，所以dx x x ⎰+212=ln(1+x 2)+C ． 不定积分简称积分，求不定积分的方法和运算简称积分法和积分运算．由于积分和求导互为逆运算，所以它们有如下关系：(1)[⎰dx x f )(]'=[F (x )+C ]'=f (x ) 或 d [⎰dx x f )(]=d [F (x )+C ]=f (x )dx ；(2)dx x F ⎰')(=⎰dx x f )(=F (x )+C 或 ⎰)(x dF =⎰dx x f )(=F (x )+C ．例3 写出下列各式的结果：(1)[⎰dx x e x )sin(ln ]'；(2)⎰'-dx e x][2；(3)d [⎰dx x 2)(arctan ]．解 (1) [⎰dx x e x )sin(ln ]'=e x ⋅sin(ln x )；(2) ⎰'-dx e x][22=22xe -+C ；(3) d [⎰dx x 2)(arctan ]=(arctan x )2dx ．2.不定积分的几何意义在直角坐标系中，f (x )的任意一个原函数F (x )的图形是一条曲线y =F (x )，这条曲线上任意点(x ，F (x ))处的切线的斜率F '(x )恰为函数值f (x )，称这条曲线为f (x )的一条积分曲线．f (x )的不定积分F (x )+C 则是一个曲线族， 称为积分曲线族．平行与y 轴的直线与族中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于f (x )，因此积分曲线族可以由一条积分曲线通过平移得到．三、不定积分的基本公式(1)⎰dx =x +C ； (2)11+=⎰ααdx x x α+1+C ，(α≠-1)； (3)⎰dx x1=ln |x |+C ； (4)⎰dx e x =e x +C ； (5)⎰=aa dx a xx ln +C ； (6)⎰xdx cos =sin x +C ； (7)⎰xdx sin =－cos x +C ； (8)⎰⎰=xdx dx x 22csc sin 1=－cot x +C ； (9)⎰⎰=xdx dx x22sec cos 1=tan x +C ； (10)⎰⋅xdx x tan sec =sec x +C ； (11)⎰⋅xdx x cot csc =－csc x +C ； (12)⎰+dx x 211=arctan x +C ； (13)⎰-dx x 211=arcsin x +C ．四、不定积分的性质因为 [⎰dx x kf )(]'=[k ⎰dx x f )(]'=kf (x )，所以性质1 被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号之外，即⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(， (k ≠0)．又因为{dx x f x f ⎰±)]()([21}'=[⎰⎰±dx x f dx x f )()(21]'=[dx x f ⎰)(1]'±[⎰dx x f )(2]'=f 1(x )±f 2(x )，所以性质2 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数的不定积分的代数和，即 []⎰⎰⎰±=±dx x f dx x f dx x f x f )()()()(2121性质2可推广至有限个函数的和差．例4 求⎰-dx x e x )cos 32(．解 原式=⎰⎰⎰⎰-=-xdx dx e xdx dx e x x cos 32cos 32=2e x -3sin x +C ．注意 得到的e x 和cos x 的两个不定积分，各含有任意常数．因为任意常数的和仍然是任意常数，故可以合成最后结果中的一个C ．今后再有同样情况不再重复说明了．例5 求dx xx ⎰-23)1(． 解 dx x x x dx xx x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰ =⎰xdx -dx ⎰3+dx x ⎰3-⎰dx x21=21x 2-3x +3ln|x |+x 1+C ． 直接利用基本积分和性质来求积分的方法称为直接积分法．例6 求不定积分⎰-+dx e e x x )3(．解 原式=⎰⎰⎰+=+dx dx e dx e x x 3)13(=3e x +x +C ．例7 求不定积分dx xx ⎰+241． 解 原式=⎰⎰++-=++-dx xx dx x x )111(11)1(2224 =311122=++-⎰⎰⎰dx x dx dx x x 3-x +arctan x +C ． 例8 求不定积分dx x x x ⎰++)1(12222．解 原式=xdx x dx x dx x x dx x x x x 1111)111()1()1(22222222-=++=++=+++⎰⎰⎰⎰+arctan x +C . 例9 求dx x ⎰2tan ．解 原式=⎰⎰⎰-=-dx xdx dx x 22sec )1(sec =tan x -x +C ． 例10 求不定积分dx xx ⎰22cos sin 1． 解 原式=dx xx dx x x x x )sin 1cos 1(cos sin cos sin 222222+=+⎰⎰=tan x -cot x +C ． 例11 求不定积分dx x ⎰2sin 2． 解 原式=21)cos (21)cos 1(212cos 1=-=-=-⎰⎰⎰⎰xdx dx dx x dx x (x -sin x )+C ． *例12 某工厂生产一种产品，已知其边际成本MC =1601-x ，其中的x (件)为该产品产量．若当产量x =512时，成本C (512)=17240元，求成本函数C (x )．解 据边际成本的含义，有C '(x )= 16031-x ．所以C (x )=323131240)(1116016011x C x dx x =+-+⨯=+--⎰+C ． 已知C (512)=17240，代入后得 C =17240-240⨯(32512)=1880．所以这种产品的成本函数为C (x )=24032x +1880．练习4-11．什么叫f (x )的原函数？什么叫f (x )的不定积分？f (x )的不定积分的几何意义是什么？并举例说明之．2．判断下列函数F (x )是否是f (x )的原函数，为什么？(1)F (x )=-x 1，f (x )=21x， ( )； (2)F (x )=2x ，f (x )=x 2 ， ( )；(3)F (x )=21e 2x +π，f (x )=e 2x ， ( )； (4)F (x )=sin5x ，f (x )=cos5x ， ( )．3．⎰xdx x cos sin 2问=sin 2x +C ⎰xdx x cos sin 2与=-cos 2x +C 是否矛盾，为什么？ 4．写出下列各式结果．(1))2sin 21(x d ⎰； (2))sin 1(dx xd ⎰； (3)⎰'+dx x a )(22； (4)[⎰+dx x xe x )cos (sin ]'．。
高等数学：4-1不定积分(1)
1 dx arctan x C
1 x2
csc2 xdx cot x C secx tan xdx secx C
1 dx arcsin x C 1 x2
sin xdx cos x C
csc x cot xdx csc x C
e xdx e x C
a xdx a x C
ln a
5
7.不定积分的性质
1 f x g xdx f xdx g xdx
2 kf xdx k f xdx
例4 求 x( x2 5)dx.
解 x( x2 5)dx
5
1
( x 2 5x 2 )dx
5
1
x 2dx 5x 2dx
2
7
x2
5
2
3
x2
C
7
3
例5
y x2
O
x
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x)的积分曲线。
3
3. 不定积分的几何意义: f x 的不定积分在几何上表示无穷多条曲线,且在横坐标相
同的点处,其切线互相平行. 4. 检验不定积分结果是否正确的唯一方法:
对其结果求导数,看是否等于被积函数
5. 不定积分与导数或微分的关系：
第4章 一元函数积分学及其应用
第1节 不定积分
一.原函数与不定积分的概念 1.原函数的定义 设 f x在 上有定义,若存在可导函数F x 使
x I有，F x f x（ 或dF x f xdx），则F x
就称为f x或f xdx在I上的原函数.
例 (sinx) cos x, (sinx 1) cos x, (sinx C) cos x
例11
求 sin2
xdx 2
4-1不定积分的概念与性质
问题： (1) 原函数的存在性。 (2) 原函数是否唯一？不唯一它们之间有什么关系？ (3) 如何求原函数。 原函数存在定理： 如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，那么 在 区 间 I 内 存 在 可 导 函 数 F ( x) ， 使 ∀x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) 简言之：连续函数一定有原函数.
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
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(2)不定积分的几何意义
函数 f ( x ) 的任一原函数的图形称为 f ( x ) 的一条积分曲线。全体原函数的图形称为 f ( x ) 积分曲线族。
积分曲线族的切线互相平行。这是因为
[∫ f ( x )dx ] ′= [F ( x ) + C ] ′= F ′( x ) = f ( x )
dF ( x ) = f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数。 ′ 例 (sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数. ′ 1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ )内的原函数. x
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1 dx . 例6 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
解
1 1 1 ∫ x 2 (1 + x 2 )dx = ∫ ( x 2 − 1 + x 2 )dx 1 = − − arctan x + C x
tan 2 xdx 例7 求积分 ∫
解
sin 2 x 1 − cos 2 x ∫ tan xdx = ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x dx 1 = ∫ ( 2 − 1)dx = tan x − x + C cos x
4.1 不定积分的概念和性质
x
csc2
x
d
x
cot
xLeabharlann C(10) sec x tan xd x sec x C
(11) csc xcot xd x csc x C
(12) ex d x ex C (13) ax d x ax C
ln a
(7) sin xd x cos x C
●曲线族中不同曲线不相交；
任意x对应的不同曲线的纵坐
标之差为常数C；
●过x轴上一点 x0 作l y轴 O
x0
x
与曲线族中每条积分曲线均相交，
过交点的切线互相平行。
例题讲解:
换元积分法
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
y
解:
(1, 2)
换元积分法
第四章 不定积分
微分法: F '(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) ' f (x)
换元积分法
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章 不定积分
换元积分法
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力F Asint 的作用
例7. 求
解: 原式 = (sec2 x 1)dx
sec2 xdx dx tan x x C
例8. 求
解: 原式 =
质点抛出时刻为
此时质点位置为
设时刻 t 质点所在位置为
则
d x v(t) dt
41不定积分的概念与性质
是ex 的原函数 , 则
f
(ln x
x)
d
x
提示: 由 f (x) ex
有 f (x) ex C0
f
(ln
x)
1 x
C0
f
(ln x
x)
1 x2
C0 x
2019/8/15
19
3. 若 的导函数为
则
的一个原函数
是( B ).
(A) 1 sin x; (B) 1 sin x;
二、 基本积分表
利用逆向思维
(1) kdx kx C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
x
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9
Байду номын сангаас
(4)
1
dx x
2
arctan
x
2019/8/15
21
5. 求不定积分
解：
(e2x ex 1)
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22
6. 已知
x2 dx A x 1 x2 B dx
1 x2
1 x2
求A,B.
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 A 1 x2 Ax2 B
1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2Ax2 1 x2
sin
x 2
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性质2：设f ( x)的原函数存在, 常数k 0.
则 kf ( x)dx k f ( x )dx.
1. x ( x 5)dx.
2
( x 1) 2. dx 2 x
3
x4 6. dx 2 1 x
7. tan 2 xdx
3. (e x 3cos x)dx
4. 2 x e x dx
2
1 3 x dx x C. 3
2
1 1 2.求 dx. 解：当x 0时, (ln x) ' . x x 1 x (0, ), dx ln x C. x
1 x (, 0), dx ln( x) C. x 1 故 dx ln x C. x
y
的平行曲线族.
o
x0
机动
x
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导数与不定积分的关系：互逆的
d f ( x)dx dx ________ .
f ( x)
f ( x)dx . d f ( x)dx ________
反之，有
f ( x) C f '( x)dx ________ f ( x) C df ( x ) ________
def 2 : f ( x)的带有任意常数项的原函数 称为f ( x)的不定积分.
记为： f ( x)dx.
即
f ( x)dx F ( x) C.
----积分号；
f ( x) 被积函数； f ( x)dx 被积表达式；
x 积分变量.
1 3 2 解： ( x ) ' x . 1.求 x dx. 3
二、基本积分表
1 x x dx 1 C
5 2
( 1)
2 x C 5 1. x xdx __________
dx 2 x C 2. __________ x
三、不定积分的性质
性质1 ：设f ( x), g ( x)的原函数存在.
则 f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x) dx.
1 1 当x 0时,[ln( x)]' (1) . x x
3.设曲线通过点(1, 2)，且其上任一点处的切线斜率等于 这点横坐标的两倍求此曲线方程 . .
曲线方程为：y x2 1.
不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为
的积分曲线 . 的所有积分曲线组成
f ( x) dxHale Waihona Puke 的图形第四章不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
§4-1
不定积分的概念与性质
一、原函数、不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质
一、原函数及不定积分的概念
def 1: 对x I , 若 F '( x) f ( x), 或dF ( x) f ( x)dx.
利用三角公式 , 代数公式 ,
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1.设 f ( x)dx x 2e x C.求f ( x).
2 sin( x 1) C 2 2. sin( x 1) ' dx _____________ .
作业：
第190页： 1.(4)(8)(12)(14)(15)(17)(20)(23)(24)(25); 2.
x 8. sin dx 2
2
1 x x2 5. dx 2 x(1 x )
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186) 2. 直接积分法:
利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分
常用恒等变形方法 加项减项
称F ( x)是f ( x)在区间I 上的原函数.
Th : 连续函数一定有原函数.
注： (1)若F ( x)是f ( x)的原函数， 则F ( x) C都是f ( x)的原函数(C是任意常数)；
(2) f ( x)的任意两个原函数之间只相差一个常数.
故, f ( x)的全体原函数为F ( x) C C R.