2020年6月湘赣粤三省2020届高三毕业班大联考数学(文)试题及答案解析

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闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学(文)试题(word版含答案)

ln x 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2020 届“三省十二校”联考数学（文科）试题（考试时间：150 分钟总分：150 分）2020.2.19第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 A = {x ∈ R x 2- x - 2 < 0}， B = {-1,0,1}，则 A I B = （）A ．{-1, 0,1}B ．{-1, 0}C ．{0,1}D ．{0}2.已知 (3 - i )z = 4i (i 为虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. m = log 4 0.4, n = 40.4 , p = 0.4 0.5 ，则（）A. m < n < pB. m < p < nC. p < m < nD. n < p < m 4.工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号（）A.522B.324C.535D. 5785.函数 f ( x ) =的图象大致为（）xA ．B ．C ．D ．6.阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴，焦点在 y 轴上，且椭圆 C 的离心率为（）7 ，面积为12π ，则椭圆 C 的方程为4A. x + y= 1 B.x + y = 1 C. x + y = 1 D. x + y= 1 9 163 4 18 32 4 367.已知 cos(a - π) + sin a = 4 3 ，则 sin(a + 7π) 的值为（）6 5 61 4 1A. B.2C. - 5D. -2 8. 如图所示， ∆ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点， E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点， υυυρ则 AC = （）5 2π ⎫ ⎣ ⎦4 υυυρ υυυρ5 υυυρ υυυρ 4 υυυρ 1 υυυρ 5 υυυρ1 υυυρ A AD + BE B. 3 AD + BE C . 3 AD + 32 BE D. AD + BE3 2（8 题图）（9 题图）9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 P 在正视图上的对应点为 P ，点 A 、B 、C 在俯视图上的对应点为 A 、B 、C ，则 PA 与 BC 所成角的余弦值为（）A. B. 5 2C.D.2510.已知 A , B , C 是双曲线 x2 y 2 - = 1(a > 0,b > 0) 上的三个点， AB 经过原点 O ， AC 经过 a 2 b 2右焦点 F ，若 BF ⊥ AC 且2 AF 5= CF ，则该双曲线的离心率是（） 9D. A.B.33C.24⎛ π ⎫11．已知奇函数 f (x ) = sin (ωx + ϕ )- c os (ωx +ϕ ) ϕ ⎝ < ,ω > 0⎪ 对任意 x ∈ R 都有 2 ⎭ f (x )+ f ⎛x + ⎝ ⎪ = 0 ，现将 f (x )图象向右平移 π 2 ⎭ 3个单位长度得到 g (x )图象，则下列判断错误的是（）A ．函数 g (x ) 在区间 ⎡ π , π ⎤上单调递增 B ． g (x ) 图象关于直线 x = 7π 对称⎢12 2 ⎥ 12 C ．函数 g (x ) 在区间 ⎡- π , π ⎤ 上单调递减 D ． g (x ) 图象关于点 ⎛ π , 0 ⎫对称⎢ 6 3 ⎥ 3 ⎪ ⎣ ⎦ 12. 已知定义在 R 上的可导函数f (x ) 的导函数为 ⎝ ⎭ f '(x ) ，满足 f ' (x ) > f (x ) ，y = f (x +1)是偶函数， f (0) = 2e 2 ，则不等式 f (x ) < 2e x 的解集为（）A. (- ∞,2)B. (- ∞,0)C. (0,+∞)D. (2,+∞)第 II 卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置）5 10 17 1733( )()()。

湘赣粤2020届高三6月大联考数学(文)(含答案)

2020届湘赣粤⾼三（6⽉）⼤联考⽂科数学本试卷共4⻚。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。

如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。

回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上⽆效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合，．则A∪B=A．（－1，+∞）B．（－1，5）C．（－∞，1）∪（1，5）D．（5，+∞）2．已知i为虚数单位，复数z满⾜（2i+1）z=1－i，则在平⾯内对应的点位于A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3．已知，则A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞a＞c4．已知函数f（x）=e x－（x+1）2（e为⾃然对数的底），则f（x）的⼤致图象是5．平⾯直⻆坐标系中，点在单位O上，设，若，且，则的值为A．B．C．D．6．2011年国际数学协会正式宣布将每年的3⽉14⽇设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率．现⽤我国何承天发明“调⽇法”来得到的近似数，其原理是设实数x的不⾜近似值和过剩近似值为和，则是更为精确的不⾜近似值或过剩近似值．若令，则第⼀次⽤“调⽇法”后得，它是的更为精确的不⾜近似值，即．若每次都取得简分数，则第n次⽤调⽇法后的近似值为，则n的值为A．2B．3C．4D．57．已知⾮零向量，满⾜，且，，，则在⽅向上的投影为A．B．C．D．8．如图所示的程序框图输出的值为A．B．0C．－1D．9．已知函数，若x=2是函数f（x）的唯⼀极值点，则实数k的取值范围是A（－∞，]B．（－∞，]C．（0，2]D．[2，+∞）10．已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F．若△ABF的⾯积为，则双曲线的离⼼率为A．B．C．2D．11．已知点A，B，C，D在同⼀球⾯上且A，B，C，D四点不共⾯，AB=BC=，AC=2．若球的表⾯积为，则四⾯体ABCD体积的最⼤值为A．B．C．D．112．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A．（0，+∞）B．（0，1]C．[－1，0）D．（－∞，0）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共21分13．曲线在点（1，2）处的切线⽅程为．14．若x，y满⾜，则的最⼩值为．15．在△ABC中，内⻆A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则=，的最⼤值为．16．已知抛物线C：（p＞2）的焦点为F，准线为l，M是l上⼀点，N是线段MF与C的交点，若，O为坐标原点，且△OFN的⾯积S为，则P的值为．三、解答题：共70分，解答题应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．（⼀）必考题：共60分．17．（12分）数列满⾜=1，（n∈N*）．，（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求正整数n的最⼩值．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=，BC=AA1=2，O，M分别为BC，AA1的中点．（1）求证：OM∥平⾯CB1A1；（2）求点M到平⾯CB1A1的距离．19．（12分）某公司为了对某种商品进⾏合理定价，需了解该商品的⽉销售量y（单位：万件）与⽉销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个⽉的⽉销售量和⽉销售单价x i（i=1，2，3，…，6）数据进⾏了统计分析，得到⼀组检测数据如表所示：⽉销售单价x（元/件）456789⽉销售量y（万件）898382797467（1）若⽤线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、⼄、丙三位实习员⼯求得回归直线⽅程分别为：，，，其中有且仅有⼀位实习员⼯的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员⼯的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若⽤y=ax 2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归⽅程为，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请⽤R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的⽉销售额为z（单位：万元），利⽤（2）中的结果回答问题：当⽉销售单价为何值时，商品的⽉销售额预报值最⼤?（精确到0.01）参考数据：20．（12分）设点C（x，y）（y≥0）为平⾯直⻆坐标系xOy中的⼀个动点（其中O为坐标系原点），点C到定点F（0，1）的距离⽐到直线y=0的距离⼤1，动点C的轨迹⽅程为E．（1）求曲线E的⽅程；（2）若过点F的直线l与曲线E相交于A、B两点．（i）若，求直线l的直线⽅程；（ii）分别过点A，B作曲线E的切线且交于点D，是否存在以O为圆⼼，以OD为半轻的圆与经过点F且垂直于直线l的直线l1相交于M、N两点，求MN的取值范围．21．（12分）设函数（1）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当x＜0时f（x）＜a恒成⽴，求整数a的最⼩值．（⼆）选考题：共10分．请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答．如果多做，则按所做的第⼀题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数⽅程]（10分）已知曲线．直线：（t为参数），点P的坐标为（2，1）．（1）写出曲线C的参数⽅程，直线的普通⽅程；（2）若直线与曲线C相交于A、B两点，求的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知．（1）若不等式f（x）≤2的解集为．求m的值；（2）在（1）的条件下，若且，求证：．11。

2020年三省三校高三联考文科数学答案

2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ．2．由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +=，D ．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=，青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ．4．原不等式等价于|sin ||cos |x x ≥，即正弦线长度长于或等于余弦线长度，故选D ．5．设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ．6．由题意可知2cos sin ax x a x y x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．7．由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ．8．已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒g3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，故选D ．9．由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，；第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…，故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L0=，故选C ．10．因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2ba=，c e a ===，由OAF △的面积是221422b c b b a===g 得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ．11．当00x y ==，时，即220x y +≤符合题意，此时0m =，排除A ，D ，由题意可知，以(00)，为圆心的圆在不等式24x y x y ⎧+⎪⎨-⎪⎩≤≤所表示的区域内，半径最大的圆22x y m +=应与直线相切，圆心到240x y --=的距离为1d ==，圆心到x y +=的距离为22d ==，由于12d d <，∴符合题意的最大的圆为222165x y +==，故选B ． 12．设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与圆的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以211221sin()sin cos cos sin 444()x y x y x kx b αβαβαβ+=+=+=+ 2212121222188244()84()11k b kb k x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由()3a b a -=r r r ，得3a b a a -=r r r r g g ，即4a b =r r g ，故1cos 2||||a b a b a b 〈〉==r rr r g r r g ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3． 14．由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，．1522233⨯=． 16．依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g 212||||PF F F g 21sin PF F ∠=2()a c -，又12PF F S =△，解得24c =，所以2295a b ==，，故椭圆C 的方程为22195x y +=．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=，故0.075b =．……………………………………………………………………………（3分）法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++，0.125a =∴．……………………………………………………………………………（6分）法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴．………………………………………………（6分）（2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++2 3.567.12=⨯=，………………………………………………………………………（10分）估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm)．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）cos (2)cos 0b Cc a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B +=∴，…………………………………………………………（1分）由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，…………………………………（2分） sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， ……………………………………………………（3分）12cos 1cos 2B B ==∴，，………………………………………………………………（5分）（2）ABC ∵△为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A+=<<∴，，……………………………………………………………（7分）由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴ …………………………………………（8分） 1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +=+=++=+g ，ππ1cos 1cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴，……………………………………（11分）2b c <+，即b c +的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭． ……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，得PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ⊥AB ．………………………………………………………（1分）又PD AD D =I ，∴AB ⊥平面P AD ，∴P A ⊥AB ，∴PA =PB =………………………………………………………………………………………（2分）∴PAB S =△2PAD S =△，…………………………………………………………（3分）同理PCB S =△2PCD S =△，4ABCD S =，∴8S =四棱锥表面积，…………………………………………………………………（4分）1833P ABCD ABCD V S PD -==g ．………………………………………………………………（6分）（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面P AB ，平面P AD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ，由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，可得11111113333333ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r =++++=g g g g g g g △△△△正方形四棱锥表面积，………………………………………………………………………………………（8分）∴2ABCD S PD r S ==g 正方形四棱锥表面积………………………………………………………（10分）∴24π(24πS r ==-内切球表面积．……………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，，令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=，………………………………………………………………………………………（2分）故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ………………………………………………………………………………………（3分） ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，．………………………………………………………………………………………（4分）（2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，．……………………………………（5分）令2()ln [12]g x x x x =-∈，，， 211()21102x g x x x⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭g ，……………………………………………………（6分）故()g x 在[12]，上单调递减，故2()(1)ln 210lng x g k k=-<⇒<≤，…………………………………………………（7分）故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫''∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，；，，，从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，………………………………………………………………………………………（8分）故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， ………………………………………………………………………………………（9分）由于2()(0)(1)e [(1)e 1]k k f k f k k k k k k k -=--+=--+，令()(1)e 1[12]x h x x x x =--+∈，，，……………………………………………………（10分） ()e 10x h x x '=->，对于[12]x ∀∈，恒成立，从而()(1)0h x h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立，…………………………………………………（11分）故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--．……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，…………………………………（1分）设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，………………………………（2分）所以，121214x x k x x +==-，．…………………………………………………………（3分）又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =.同理，直线2l 的斜率222k x =，…………………………………………………………（4分）所以，121241k k x x ==-，………………………………………………………………（5分）所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．…………………………………………………（6分）（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆，设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB =u u u r u u u rg ，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，………………………………………………………………………………………（7分）又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………（8分）联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………………………………………………（9分）若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ，则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾， ……………………………………………………………………………………（10分）所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根，所以，圆Γ与抛物线E有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⎪⇔><⎨->⎪⎩，22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．……………………………………………………………………（3分）（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=，化简得22sin 80t t θ--=．……………………………………………………………………………………（5分）设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-，………………………………………………………………………………（6分）故12||||AB t t =-=…………………………………………………………………………………（8分）得sin θ=，…………………………………………………………………………（9分）得1k =±．………………………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=+++++=+ ⎪⎝⎭≥所以1346a b c+++≥5分）（2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，所以2222c a b a b c++≥．………………………………………………………………（10分）。

2020届湘赣粤高三(6月)大联考数学(文)试题(解析版)

2020届湘赣粤高三（6月）大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}23A x x =-<，21log A x y x ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭.则A B =（）A ．(1,)-+∞B ．(1,5)-C ．(,1)(1,5)-∞⋃D ．(5,)+∞【答案】A【解析】解绝对值不等式求出集合A ，根据对数函数真数大于0且分母不为0，即可求出集合B ，然后进行并集的运算即可．【详解】解：∵{}23{15}A x x x x =-<=-<<∣， {0B x x =>且}1x ≠，∴{1}A B xx ⋃=>-∣. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集的运算，以及绝对值不等式的解和对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()121i z i +=-，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】113125i iz i ---==+，所以在第三象限，故选C 。

3．已知log a =2019log b =120202019c =，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】C【解析】结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可比较函数值的大小．【详解】解：1201920191c =>，12a log =，2019112020,122b log ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，c b a ∴>>故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题． 4．已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.718 28…)，则f (x )的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用特殊值代入()10f ->，可排除A 、D,根据导数判断函数的单调性可排除B ，即可得出结果. 【详解】函数()2(1)x f x e x ＝－+，当1x =-时，()1=110f ee -->＝，故排除A 、D ，又()22()20ln 2x xf x e x f x e x '''=--=-=⇒=，，，当0ln 2x <<时，()(0())00f f f x x ''<''<∴<，，所以()f x 在()0,ln 2为减函数，故排除B,故选：C. 【点睛】本题考查函数的图象、利用导数研究函数的单调性，识别函数图象问题，往往可根据特殊值或特殊自变量所在区间利用排除法解答，属于中档题.5．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为A ．343- B 343+ C 433- D 433-- 【答案】A【解析】由题意根据三角函数定义可知0x cos α=，先根据角α的取值范围求出6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围继而求出4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再通过凑角求cos α. 【详解】5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则26ππαπ<+<,则由3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，则0x cos α=. 又cos αcos 66ππα⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos sin 6666cos sin ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4315252=-⨯+⨯310-=.故0x =.选A. 【点睛】本题考查三角函数定义及三角恒等变换的简单应用.解题中注意所求角的取值范围.由配凑法根据已知角构造所求角进行求解是三角恒等变换中常用的解题技巧.6．2011年国际数学协会正式宣布将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率.现用我国何承天发明“调日法”来得到π的近似数，其原理是设实数x 的不足近似值和过剩近似值为b a 和dc *(,,,)a b c d N ∈，则b d a c ++是更为精确的不足近似值或过剩近似值.若令31631020π<<，则第一次用“调日法”后得4715，它是π的更为精确的不足近似值，即47631520π<<.若每次都取得简分数，则第n 次用调日法后π的近似值为11336，则n 的值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】按照“调日法”的基本原理进行运算、推导即可得到结果. 【详解】第一次“调日法”后：47631520π<<；第二次“调日法”后：2471572π<<；第三次“调日法”后：6922227π<<；第四次“调日法”后：9122297π<<；第五“调日法”后：11322367π<<，此时π的近似值为11336. 故选：D . 【点睛】本题考查数学史和新定义运算的问题，本质是考查根据程序框图循环结构计算循环体执行次数，属于基础题.7．已知非零向量a →，b →满足a b a b →→→→-=+，且1a →=，b →=，2c a b →→→=-，则a→在c →方向上的投影为（） A．BC．3-D ．13【答案】A【解析】由a b a b →→→→-=+可得0a b →→⋅=，利用向量的模的求法求出||c →=，最后利用平面向量的数量积公式，即可求出a →在c →方向上的投影. 【详解】解：∵a b a b →→→→-=+，∴22a b a b →→→→-=+，∴0a b →→⋅=，又1a →=，b →=，2c a b →→→=-，||c →∴===设a →和c →的夹角为α，∴a →在c →方向上的投影为||cos ||a c a c α→→→→⋅=，即2 22||6||cos6||||a a ba c aac ccα→→→→→→→→→→⎛⎫⋅-⎪⋅⎝⎭=====.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积的几何意义，以及向量的模的求法，考查运算能力. 8．如图所示的程序框图输出的值为（）A．12B．0 C．1-D．32-【答案】D【解析】按照程序框图运行得S的取值的周期为6，利用周期即得解..【详解】由程序框图分析可知，循环如下：1n=，12S=；2n=，0S=；3n=，1S=-；4n=，32S=-；5n=，1S=-；6n=，0S=；7n=，12S=；由周期性及202033664=⨯+可知当2020n=时，32S=-.故选：D.【点睛】本题主要考查程序框图，考查程序框图的输出结果的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知函数()2lnxzef x k x kxx=+-，若2x=是函数f x（）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A．2,4e⎛⎤-∞⎥⎝⎦B．,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．(]0,2D．[)2,+∞【答案】A【解析】由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】解：∵函数f x （）的定义域是0（，）+∞ ∴()()()233222'x x e kx x e x k f x k x x x---=+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点∴2x =是导函数'0f x =（）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）+∞无变号零点，即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2xe g x x=，因为()32'x e x g x x（）-=，所以g x （）在02（，）上单调递减，在2x ＞上单调递增所以g x （）的最小值为224e g =（），所以必须24e k ≤，故选：A ．【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．10．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为A B C ．2D 【答案】D【解析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB 为圆的直径 90AFB ∴∠=根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴== 又2224tan 45FBF b S b a ∆'===，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=本题正确选项：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.11．点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，2AB BC ==2AC =，若球的表面积为254π，则四面体ABCD 体积的最大值为 A ．12B ．34C ．23D ．1【答案】C【解析】先求球的半径，再根据勾股定理得三角形ABC 为直角三角形，根据勾股定理可得球心到平面ABC 距离，最后可得四面体ABCD 体积的最大值. 【详解】因为球的表面积为254π，所以225π54π44R R =∴=, 因为222224AB BC AC +=+==，所以三角形ABC 为直角三角形，从而球心到平面ABC 222531()144R -=-=, 因此四面体ABCD 体积的最大值为13512()(22)34423⨯+⨯=，选C. 【点睛】本题考查四面体体积以及外接球，考查综合分析求解能力，属中档题.12．若函数()32ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,∞+ B ．(]0,1 C ．[)1,0- D ．(),0-∞【答案】D【解析】利用参数分离法，然后构造函数()h x ，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【详解】由题意，函数的定义域为{}0x x >，又由()32ln 0f x x x x x ax =-+-=，得2ln a x x x =-+，则等价为方程2ln a x x x =-+，在()0,∞+上有两个不同的根，设()2ln h x x x x =-+，()212121x x h x x x x-++'=-+=，由()0h x '>得2210x x -++>得2210x x --<，得112x -<<，此时01x <<，函数()h x 为增函数，()0h x '<得2210x x -++<得2210x x -->，得21x <-或1x >，此时1x >，函数()h x 为减函数，即当1x =时，函数()h x 取得极大值，极大值为()1ln1110h =-+=，要使2ln a x x x =-+，有两个根，则0a <即可，故实数a 的取值范围是(),0-∞，故选D ．【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用参数分离法，构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用数形结合是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题．二、填空题13．曲线2(2ln )y x x x =-在点(1,2)处的切线方程为________. 【答案】530x y --=【解析】根据题意，根据导数的运算法则求出函数的导数，进而可求出1x =时的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，最后利用直线的点斜式即可求出切线方程．【详解】解：∵2(2ln )y x x x =-，定义域为()0,∞+，262ln y x x x x '∴=--，∴当1x =时，5y '=，则切线斜率为5，又切点为(1,2)，∴切线方程为：()251y x -=-，即曲线2(2ln )y x x x =-在点(1,2)处的切线方程为：530x y --=. 故答案为：530x y --=. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求函数在某点处的切线方程，以及导数的运算法则的应用，属于基础题．14．若,x y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则2z y x =-的最小值为____________.【答案】8-【解析】数形结合，作出可行域，利用目标函数的等值线2y x =在可行域中平移，根据z 或含z 式子的含义，找到目标函数取最小值的最优解，简单计算，可得结果. 【详解】如图令0z =，可得目标函数2z y x =-的一条等值线2y x = 则将2y x =移至点()4,0A 处，目标函数取最小值所以最优解为点()4,0A 则min 0248z =-⨯=- 故答案为：8- 【点睛】本题考查线性规划，基本思路：（1）作出可行域；（2）理解z 或含z 式子的意义，然后使用目标函数的一条等值线在可行域中平移找到最优解，最后计算，可得结果. 15．已知抛物线C :22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，N 是线段MF 与C 的交点，若2MN NF =，O 为坐标原点，且OFN ∆的面积S 3p 的值为______. 【答案】3【解析】由~MPF NQF ∆∆，又2MN NF =，得16x p =①，又由1||||32OFN S OF NQ ∆==得324x p =②，结合①②，即可得到本题答案. 【详解】假设点M 在准线的上半部分，准线与x 轴交点为P ，作NQ 垂直x 轴，垂足为Q ，设点(,)N x y .易得，~MPF NQF ∆∆，又2MN NF =，所以1133QF PF p ==，则16x p =①；又11||||3222OFN p S OF NQ y ∆==⋅⋅=43y p=，代入抛物线方程22y px =(0)p >，得324x p =②，联立①②得，23p =故答案为：23【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用问题，其中涉及到相似三角形的应用,体现了数形结合思想的考查.三、双空题16．在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2sin sin cos sin A B C C =，则222a b c +=________，sin C 的最大值为_________. 【答案】35【解析】利用正余弦定理把角化边即可求得222a b c+的值,利用222222,cos 2a b c a b ab C ab+-+≥=求出cos C 的最小值,此时所对的sin C 即为所求的最大值. 【详解】因为2sin sin cos sin A B C C =，由正余弦定理可得,22222222a b b a c c R R ab R +-⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭,整理可得, 2223b a c +=，即222a b c+=3；因为222222,cos 2a b c a b ab C ab+-+≥=, 所以2222222232cos 33a b c c c C a b c +--≥==+，由题意可得，02C <<π,所以当2cos 3C =时,C 角有最大值,sin C 有最大值,所以sin C =即sin 3C ==.故答案为:3;3【点睛】本题主要考查正余弦定理,利用基本不等式求三角函数最值;其中基本不等式与余弦定理的结合应用是求解本题的关键;属于中档题.四、解答题17．数列{}n a 满足11a =，()112n n n a a a +=+（*n N ∈）．（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若122311633n n a a a a a a ++++>，求正整数n 的最小值．【答案】（1）详见解析（2）17n =【解析】(1)由题意整理所给的递推关系式，利用后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列；(2)结合(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后裂项求和可得12231n n a a a a a a ++++的值，最后求解关于n 的不等式即可确定正整数n 的最小值．【详解】（1）由已知可得：112n n n n a a a a ++-=，故：1112n na a +=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项111a ，公差2d =.（2）由（1）可得111(1)21n n d n a a =+-=-， ∴121n a n =-， ∵11111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴122311111111213352121n n a a a a a a n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， ∴162133n n >+，解得16n >，∴17n =，即正整数n 的最小值为17. 【点睛】本题主要考查等差数列的证明，等差数列的通项公式，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，12BC AA ==，O ，M分别为BC ，1AA 的中点.（1）求证：//OM 平面11CB A ；（2）求点M 到平面11CB A 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）连接1BC 交1B C 于N ，连接1A N ，ON ，则N 为1B C 的中点，可得11////ON BB MA ，结合1ON MA =，得到四边形1ONA M 为平行四边形，则1//OM A N ，再由线面平行的判定定理，可得//OM 平面11CB A ；（2）由//OM 平面11CB A ，点M 到平面11CB A 的距离等于点O 到平面11CB A 的距离，利用线面垂直的判定和性质求得111A B AC ⊥，从而可求出11A CB S 和1BBC S △，利用等积法得111B CAB A BB C V V --=，化简计算可求得点B 到平面11CB A 的距离，从而得出点O 到平面11CB A 的距离，即可得出结果．【详解】解：（1）如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ，则N 为1CB 的中点，又∵O 为BC 的中点， ∴1//ON BB ，且112ON BB =. 又∵M 为1AA 的中点， ∴11//MA BB ，且1112MA BB =， ∴1//ON MA 且1ON MA =， ∴四边形1ONA M 为平行四边形， ∴1//OM NA ，又∵1NA ⊂平面11CB A ，OM ⊄平面11CB A ， ∴//OM 平面11CB A .（2）解：∵//OM 平面11CB A ，∴点M 到平面11CB A 的距离等于点O 到平面11CB A 的距离， ∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，则1AA ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，1AA AB ∴⊥，又2AB AC ==，12BC AA ==，则222AB AC BC +=，AC AB ∴⊥，且1AA AC A =，∴AB ⊥平面11AAC C ，即11A B ⊥平面11AACC ， ∵1AC ⊂平面11AAC C ，∴111A B AC ⊥，∵16AC =，112A B =，∴1116232A CB S=⨯⨯=，112222BB CS =⨯⨯=，连接1A B 和AO ，则()22211AO =-=，∵111B CAB A BB C V V --=，而1A 到底面的距离等于A 到底面的距离为1AO =，设B 到平面11CB A 的距离为h ，而O 为BC 的中点，则O 到平面11CB A 的距离为12h ， ∴1132133h ⨯=⨯⨯，∴23h =， ∴点O 到平面11CB A 的距离为132h =，即点M 到平面11CB A 的距离为132h =.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，以及线面垂直的判定和性质，考查棱锥的体积和利用等体积法求点到面的距离，考查空间想象能力和计算能力．19．某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价i x (1,2,3,,6)i =数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：ˆ4105yx =-+，ˆ453y x =+和1ˆ304y x =-+，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用2y ax bx c =++模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为20.3750.87590.25ˆyx x =-++，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为0.9702和0.9524，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）80.91≈.【答案】（1）甲；（2）20.3750.87590.25ˆy x x =-++；（3）9.77【解析】（1）根据数据知,x y 负相关，排除乙，计算中心点验证排除丙得到答案. （2）2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524.9702>，得到答案.（3）32ˆ0.3750.87590.25z xyx x x ==-++，求导得到单调区间，得到答案. 【详解】（1）根据数据知,x y 负相关，排除乙.456789 6.56x +++++==，898382797467796y +++++==.代入验证知，丙不满足，故甲计算正确.（2）2R 越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524.9702>，故选用20.3750.87590.25ˆyx x =-++更好. （3）根据题意：32ˆ0.3750.87590.25z xyx x x ==-++，故297361844z x x '=-++.令'0z =，则x =x =.故当70,9x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，函数单调递增，当7,9x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，函数单调递减.故当79.779x =≈时，商品的月销售额预报值最大. 【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.20．设点(,)(0)C x y y ≥为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为坐标系原点），点C 到定点(0,1)F 的距离比到直线0y =的距离大1，动点C 的轨迹方程为E . （1）求曲线E 的方程；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点. ①若2AF FB =，求直线l 的直线方程；②分别过点A ，B 作曲线E 的切线且交于点D ，是否存在以O 为圆心，以OD 为半径的圆与经过点F 且垂直于直线l 的直线1l 相交于M 、N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2440y -+=440y +-=；②[2,)+∞ 【解析】（1）根据已知条件得出动点C 满足的等量关系，然后坐标表示等量关系，化简即可得到曲线E 的方程；（2）①设出直线l 的方程，联立直线l 方程与抛物线方程，利用韦达定理和2AF FB =求解即可；②由过,A B 的切线方程联立得D 点坐标，再根据O 点到D 点的距离及1l 的距离表示出||MN ，然后利用导数求出其范围. 【详解】解：（1）设点C 到直线0y =的距离为||y . 由题意知||||1CF y -=，∵0y ≥，1y =，化简得24x y =为所求方程.（2）①由题意知，直线l 的斜率必存在，因为直线l 过点F ，所以设直线l 的方程为1y kx =+联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y∴124x x k +=，124x x ⋅=-，又∵2AF FB =，∴122x x -=，∴1x =2x =1x =-2x =∴k =或k =∴直线l440y -+=440y +-=.②22,114,42x y y x y x =∴='= 过点A 的切线方程为()1111122x xy x x y x y =-+=-，① 过点B 的切线方程为()2222222x xy x x y x y =-+=-，② 联立①②得12121212122()()2(),2y y x x x x x y y x x x -+-=-∴==-，124x x y =∴1212,24x x x x D +⋅⎛⎫⎪⎝⎭，即(2,1)D k -，∴||OD =，又∵点O 到直线1l的距离为d =∴()2222221||01kOD d k +-=>+，∴k ∈R .又∵||2MN =∴||MN ==.令21,[1,)k t t +=∈+∞，1()44f t t t=+-，∴21()40f t t'=->， ∴()f t 在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)1f t f ≥=， ∴||2MN ≥，∴||MN 的取值范围为[2,)+∞. 【点睛】本题考查抛物线方程、直线方程及导数法求范围，属于压轴题.21．设函数2()e 4xx f x x =--.（1）证明：函数()f x 在(0,)+∞单调递增；（2）当0x <时，()f x a <恒成立，求整数a 的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1）. 先确定导函数的定义域，再求导，从而来分析函数的单调性；(2)解决函数不等式恒成立问题，先求的函数f(x)在x>0上的最大值，在分析a 取得最小值【详解】（1）因为()e 12x x f x '=--，记()()h x f x '=，所以1()e 2x h x '=-，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>恒成立，所以，()h x 在(0,)+∞单调递增，所以，()(0)0h x h >=，所以当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，所以，函数()f x 在(0,)+∞单调递增（2）由（1）知，1()e 2xh x '=-，令()0h x '=解得ln2x =-，当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0h x '<，即()h x 单调递减；当(ln 2,0)x ∈-时，()0h x '>，即()h x 单调递增；又(1)0h -<，(2)0h ->，所以在(2,1)--上存在唯一0x ，满足()00h x =，即0()0f x '=.当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增；当()0,0x x ∈时，()0f x '<，即()f x 单调递减；所以，当0x <时，()020max00()e 4x x f x f x x ==--，因为，()00f x '=可得00e 12xx =+ 所以，200max()142x xf x =--+，由0(2,1)x ∈--，可得max 5()1,4f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为()f x a <恒成立，且a ∈Z ，所以整数a 的最小值为2 【点睛】本题考核利用导数求函数的单调性，根据函数不等式恒诚问题，求参数的值或范围问题22．已知曲线22:14yC x +=.直线22:12x l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为(2,1). （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA PB +的值. 【答案】（1）cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；:10l x y --=；（2【解析】（1）由椭圆的参数方程的求法及椭圆的方程可得C 的参数方程，消去参数t 即可得直线l 的普通方程；（2）法一：将直线l 的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理求出12t t +和12t t ，由120t t >可得1t ，2t 的符合相同，进而得出1212||||||||PA PB t t t t +=+=+，即可求出||||PA PB +结果；法二：将直线l 的普通方程与椭圆的普通方程联立求出交点的坐标，进而利用两点间的距离公式求出PA 和PB ，进而求得||||PA PB +的值．【详解】解：（1）曲线22:14y C x +=，其参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.直线22:12x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得：10x y --=，故直线l 的普通方程为：10x y --=.（2）法一：将直线l 的标准的参数方程代入椭圆中，得：224(2)(1)40++-=，整理得：25130t ++=，125t t +=-，121305t t =>，可得1t ，2t 同号，所以1212||||||||5PA PB t t t t +=+=+=．法二：联立直线l 与椭圆的方程：22114y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得224(1)4x x +-=，即25230x x --=，解得：135x =-，21x =，代入直线l 的方程可得185y =-，20y =， ∴不妨设38,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)B ，||||PA PB ∴+==. 【点睛】本题考查将椭圆的普通方程转化为参数方程，以及利用消去参数法将直线的参数方程转化为普通方程，考查直线参数方程中参数t 的几何意义和韦达定理的应用，考查运算能力．23．已知()2()f x x m m m R =-+∈.（1）若不等式()2f x ≤的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.求m 的值；（2）在（1）的条件下，若,,a b c ∈R 且345a b c m ++=，求证：491681345a b c ++≥. 【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，得出22x m m -+≤，转化为22m x m --≤，解绝对值不等式，再结合()2f x ≤的解集，即可求出m 的值；（2）由（1）可知3451a b c ++=，利用柯西不等式即可证明出491681345a b c++≥．【详解】解：（1）由题可知，()2()f x x m m m R =-+∈，()2f x ≤，即22x m m -+≤，∴2||2x m m -≤-，即22m x m --≤， ∴32222m m x -+≤≤且2m ≤，又∵()2f x ≤的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴321222322m m -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴1m =. （2）由（1）可知3451a b c ++=，∴24916(345)345a b c a b c ⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭ 21(2348)++==，即14916(345)3485a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭， ∴491681345a b c++≥，当且仅当227a =，112b =，445c =时等号成立. 【点睛】本题考查由绝对值不等式的解集求参数值，以及利用柯西不等式求最值从而证明不等式，考查化简运算能力，属于中档题．。

2020届高三联考试卷及答案(数学文科)

2020届高三第二次联考试卷文科数学本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分. 考试用时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上； 2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上. 答在第Ⅰ卷上不得分；3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回. 参考公式: 锥体的体积公式13V Sh =, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则下图中阴影部分表示的集合为 ( )A. {}0x x >B. {}30x x -<<C. {}31x x -<<-D. {}1x x <-2. 已知正方形ABCD 的边长为1, 则AB BC AC ++u u u r u u u r u u u r=（）A. 0B. 2C.2 D. 223. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km , 灯塔A 在观察站C 的北偏东20o, 灯塔B 在观察站C 的南偏东40o，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )km A. a B.a 2 C. a 2 D. a 34. 曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为（）A. 22+=x yB. 22-=x yC. 1-=x yD. 1+=x y5. 设函数22(,2]()log (2,)x x f x x x ⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足()4f x =的x 的值是 ( )A. 2B. 16C. 2或16D. 2-或166. 设向量311(sin ,),(,cos ),432a xb x ==r r 且//a b r r , 则锐角x 为（） A. 6π B. 4π C. 3πD. π125 7. 已知等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根, 则7891011a a a a a ++++等于（）A. 18B. 18-C. 15D. 128. 已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值是４, 最小值是0, 最小正周期是2π, 直线3x π=是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是（）A. 4sin(4)6y x π=+ B. 2sin(2)23y x π=++ C. 2sin(4)23y x π=++ D. 2sin(4)26y x π=++ 9. 若函数)(x f y =的图象如右下图所示, 则函数)1(x f y -=的图象大致为 ( )10. 已知0a >且21,()x a f x x a ≠=- , 当(1,1)x ∈- 时均有1()2f x <　, 则实数a 的取值范围是( )A. [)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0YB. (]4,11,41 Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡C. (]2 11,21， Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D. [)∞+⎥⎦⎤⎝⎛， 441,0Y 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数5||4)(--=x x x f 的定义域为_____ ________.12. 若()f n 为21n +的各位数字之和()n *∈N , 如: 因为2141197,19717+=++=, 所以(14)17f =. 记1()()f n f n =,21()(())f n f f n =, …,1()(())k k f n f f n += (k *∈N ), 则2008(8)f = .13. 如下图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图, 则此几何体共由____ _____块木块堆成.14. 对于函数x x x f cos sin )(+=, 给出下列四个命题:① 存在)2,0(πα∈, 使34)(=αf ; 俯视图侧视图正视图D.C.A. B.② 存在)2,0(πα∈, 使)3()(αα+=+x f x f 恒成立;③ 存在R ϕ∈, 使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称; ④ 函数f (x )的图象关于点)0,43(π对称;⑤ 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()f x ∈. 其中正确命题的序号是 .2020年文科数学答题卷二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. 12.13. 14.第Ⅱ卷(解答题共80分)三、解答题（共6小题，满分80分） 15. (本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )=r a αα, (cos ,sin )=rb ββ, -=r r a b .(Ⅰ) 求cos()αβ-的值; (Ⅱ) 若0πα<<, 0πβ-<<, 且5sin β=-, 求sin α.班姓学号考16. (本小题满分12分)已知函数32()(4)3(6)f x x m x mx n =+--+-在定义域内是奇函数. (1) 求m , n 的值;(2) 求()f x 在区间[3,2]-上的极值和最值.17. (本小题满分14分)已知点集{}(,)L x y y ==⋅u u r r m n , 其中(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n 为向量, 点列(,)n n n P a b 在点集L 中, 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 已知数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, *N n ∈.(1) 求数列{}n a , {}n b 的通项公式;(2) 求1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r 的最小值;(3) 设1(2)n n n n c n n a P P +=≥⋅u u u u u u r , 求234n c c c c ++++L 的值.18. (本小题满分14分)(1) 如图1, 在三棱锥A BCD -中, ,M N 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心, 求证://MN BD .(2) 如图2, 在三棱锥S ABC -的侧棱,,SA SB SC 上分别取,,A B C '''三点, 使12SA SA '=, 13SB SB '=, 14SC SC '=, 过,,A B C '''三点作截面将棱锥分成上、下两部分, 求这两部分的体积比. 学号考室19. (本小题满分12分)某西部山区的某种特产由于运输的原因, 长期只能在当地销售. 当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持, 已知每投入x 万元, 可获得纯利润100)40(16012+--=x P 万元 (已扣除投资, 下同). 当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售, 其规划方案为: 在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资, 其中在前5年中, 每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路. 公路5年建成, 通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的5年中, 该特产既在本地销售, 也在外地销售, 在外地销售的投资收益为: 每投入x 万元, 可获纯利润)60(2119)60(1601592x x Q -+--=万元. 问仅从这10年的累积利润看, 该规划方案是否可行?20.（本小题满分14分）已知函数()22xx af x =-, 将()y f x =的图象向右平移两个单位, 得到()yg x =的图象.(1) 求函数()y g x =的解析式;(2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式;(3) 设1()()(),F x f x h x a=+ 设()F x 的最小值为m . 是否存在实数a , 使2m >若存在, 求出a 的取值范围, 若不存在, 说明理由.室2020年联考文科数学答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） CDDCC BCDAC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. {x |45x x ≥≠且} 12. 11 13. 5 14. ①③④⑤ 三、解答题（共6小题，满分80分）15. 解:（Ⅰ）(cos ,sin )=r Q a αα, (cos ,sin )=rb ββ, ()cos cos ,sin sin ∴-=--r rαβαβa b . ………………………………………………… (2)5-=r r Q a b ,5=, …………………… (4) 即 ()422cos 5αβ--=, ()3cos 5αβ∴-=. (7)（Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<Q , (8)()3cos 5αβ-=Q ,()4sin .5αβ∴-= (9)5sin 13β=-Q ,12cos 13β∴=, (10)()sin sin ∴=-+⎡⎤⎣⎦ααββ ……………………………………………………………… (12)()()sin cos cos sin =-+-αββαββ ………………………………………………… (13)412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ………………………………………………………………………… (14) 16. 解: (1) 依题意得()()f x f x -=-, (1)即3232()(4)()3()(6)(4)3(6)x m x m x n x m x mx n -+----+-=---+--, ……………… (2)∴22(4)2(6)0m x n -+-=, ……………………………………………………………………… (3) 故4m =,6n =. ……………………………………………………………………………………(4)(2)由(1)得3()12f x x x =-, ………………………………………………………………………(5)∴2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+, …………………………………………………… (6)当(3,2)x ∈--时, ()0f x '>, ()f x 单调递增; 当(2,2)x ∈-时, ()0f x '<, ()f x 单调递减;……………………………………………………………………………………………… (8)所以当2x =-时,()f x 有极大值16. (9)(3)9f -=Q , (2)16f =-, ……………………………………………………………………… (10) max ()(2)16f x f ∴=-=,min ()(2)16f x f ∴==-. (12)17.解:(1)由y =⋅u u r r m n,(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n , 得:12+=x y (2)即 :L 12+=x y Q 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 1(0,1)P ∴ 则 110,1a b == (3)Q数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, 1 (N )n a n n *∴=-∈, ………………………………… (4) 代入12+=x y , 得:2 1 (N )n b n n *=-∈ (5)(2) (1,21)n P n n --Q , 1(,21)n P n n +∴+,221121(1,21)(,21)515()1020n n OP OP n n n n n n n +∴⋅=--⋅+=--=--u u u r u u u u u r (8)Nn *∈Q , 所以当1n =时,1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r有最小值, 为3. (9)(3) 当2≥n 时, )12,1(--n n P n ,得:11),n n n a P P n +⋅=-u u u u u u r…………………………………(10)111(1)1n C n n n n===---, (12)23111111(1)()()12231n C C C n n n∴+++=-+-++-=--L L L . …………………… (14)18. 解: (1) 连结AM , 延长交BC 于P ; 连结AN , 延长交CD 于Q , 连结PQ . (1),M N Q 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心,23AM AN AP AQ ∴==. ...................................................... (3) //MN PQ ∴, 且,P Q 分别是,BC CD 的中点. ..................... (5) ∴//PQ BD , (6)由公理4知: //MN BD . (7)(2) 解:sin 1sin 12SB C SBC S SB SC B SC S SB SC B SC ''∆∆''''⋅∠==''⋅∠, ……………………… (10) 设点A '到平面SBC 的距离为h ', A 点到平面SBC 的距离为h .12SA SA '=Q , 12h h '∴=. …………………………………………… (12) 1131243SB C S A B C A SB C S ABC A SBCSBC S h V V V V S h ''∆''''''----∆'⋅===⋅. .................................... (13) 故三棱锥被分成的两部分的体积比为1:23. (14)19. 解: 在实施规划前, 由题设100)40(16012+--=x P (万元), 知每年只须投入40万, 即可获得最大利润100万元. 则10年的总利润为W 1=100×10=1000（万元）. …………………………………………… (3) 实施规划后的前5年中, 由题设100)40(16012+--=x P 知, 每年投入30万元时, 有最大利润8795max =P (万元). ………………………………………………………………………………………………………… (5) 前5年的利润和为8397558795=⨯(万元). (6)设在公路通车的后5年中, 每年用x 万元投资于本地的销售, 而用剩下的（60－x ）万元于外地区的销售投资, ………………………………………………………………………………………………………… (7) 则其总利润为5)2119160159(5]100)40(1601[222⨯+-+⨯+--=x x x W 4950)30(52+--=x . ……………………………… (9) 当x =30时，W 2|max =4950（万元）. (10)AB CD M NQPSC'B'A'CBA从而10年的总利润为495083975+（万元）. (11)1000495083975>+Θ,∴该规划方案有极大实施价值. …………………………………………… (12) 20. 解: (1) 由题设,()g x (2)f x =-2222x x a--=-. (2)(2) 设点(,)x y 在()y h x =的图象上, 点11(,)x y 在()y g x =的图象上, 且与点(,)x y 关于直线1y =对称, 则112x xy y=⎧⎨=-⎩, (4)2(),2()y g x y g x ∴-=∴=-, 即22()222x x ah x --=-+. (6)(3)由题设,21()2xx F x a =-+22222x x a ---+＝111()2(41)242x x a a -+-+ ………………… (7) 0a ≠Q① 当0a <时, 有114a -0<, 410a -<, 而2x0>, 12x 0>,()2F x ∴<, 这与()F x 的最小值2m >+矛盾; …………………………………………… (8) ② 当104a <≤时, 有114a -0>, 410a -≤, 此时()F x 在R 上是增函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (9) ③ 当4a ≥时, 有114a -0≤, 410a ->, 此时()F x 在R 上是减函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (10) ④当144a <<时, 有114a -0>,410a ->,()2F x ≥, (11)当且仅当2x=时取得等号,()F x 取最小值m=2. (12)又2m >+及144a <<, 得(4)(41)744144a a a a --⎧>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ …………………………………………… (13) 1212,21244a a a ⎧<<⎪⎪∴<<⎨⎪<<⎪⎩. (14)。

2020届湘豫名校高三联考(6月)数学(文)试题(解析版)

2020届湘豫名校高三联考（6月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{(2)0}M xx x =-<∣，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =（）A ．{0，1}B ．{－2，－1}C ．{1}D ．{0，1，2}【答案】C【解析】先求{(2)0}={02}M xx x x x =-<<<∣∣，再和{2,1,0,1,2}N =--直接求交集即可得解. 【详解】由{(2)0}={02}M xx x x x =-<<<∣∣， {2,1,0,1,2}N =--，可得{}1M N ⋂=，故选：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了一元二次不等式的计算，属于基础题. 2．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125ai i a a iai z i i i ++-+++===--+，又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.3．已知向量(3,1)a =，(21,)b k k =-，且()a b a +⊥，则k 的值是（）A ．1-B ．37C ．35D ．35【答案】A【解析】求出(22,1)a b k k +=++，再结合向量垂直的坐标运算求出得解. 【详解】由题意得(22,1)a b k k +=++，∵()a b a +⊥， ∴3(22)(1)0k k +++=，解得1k =-. 故选:A.本题考查向量的坐标运算，属于基础题.4．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（） A ．14B ．38C ．12D ．58【答案】B【解析】分析总的基本事件的个数和所求基本事件的个数，按照古典概型的概率公式即可求出结果. 【详解】从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为4416⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为()2,1，()3,1，()3,2，()4,1，()4,2，()4,3共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为63168=. 故选：B . 【点睛】本题考查古典概型的概率公式，考查不放回抽取求基本事件，属于基础题. 5．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos 4csin a C A =，已知ABC 的面积等于10，4b =，则a 的值为（）A ．233B ．283C ．263D ．253【答案】D【解析】先利用正弦定理化简3cos 4csin a C A =，可得3sin 5C =，然后利用三角形的面积为10，列方程可求出a 的值【详解】3cos 4sin a C c A =，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==，解得，3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去）4b =，ABC 的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =. 故选：D 【点睛】此题考查了正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题. 6．如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，22ED FC ==，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（）A ．13B ．5 C ．310D ．23【答案】C【解析】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF ,可得//AP BF ,故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角,结合已知,即可求得答案. 【详解】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF//PD FC 且PD FC =∴四边形PDFC 是平行四边形 ∴//PF DC 且PF DC =又四边形ABCD 是的正方形可得//AB DC 且AB DC = 故//AB PF 且AB PF =∴四边形ABPF 是的平行四边形 ∴//BF AP 且BF AP =故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角在Rt APD 根据勾股定理可得:2222215AP AD DP =+=+=在Rt EAD 根据勾股定理可得:22222222AE AD ED =+=+=在EAP 中根据余弦定理:2222cos EP EA AP EA AP EAP =+-⋅⋅∠可得：222cos 2EA AP EP EAP EA AP+-∠=⋅222523105===⋅⋅⋅ 故选:C 【点睛】本题考查求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义和将异面直线夹角转化为共面夹角的求法,考查分析能力和计算能力,属于中档题.7．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+，则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项；当x →+∞时，2()ln(1)x xe ef x x --=→+∞+，所以排除A 选项；当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项；综上可知，C 为正确选项，故选：C. 【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.8．执行如下的程序框图，则输出的S 是（）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=； 28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9．若将函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是（） A ．32B ．3C ．92D ．6【答案】A【解析】求出平移后图象对应的解析式，利用其与()f x 的关系结合诱导公式可求ω的最小值. 【详解】()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移23π个单位长度，得到()2sin 36g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()g x 与()f x 关于x 轴对称，则()()0g x f x +=，令6x πωα+=，则2sin sin 03ωπαα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即2sin sin 3ωπαα⎛⎫=- ⎪⎝⎭对任意的α∈R 恒成立，于是22,3k k Z ωπααππ⎛⎫+-=+∈ ⎪⎝⎭，故223k ωπππ=+()k ∈Z ，解得332k ω=+（k ∈Z ），故ω的最小正值是32，故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的图象变换以及诱导公式，注意两个角的正弦相等时，这两个角的终边要么重合，要么关于y 轴对称，本题属于中档题.10．已知O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线C ：22221x y a b-=（0b a >>）上有一点)Pm （0m >），点P 在x 轴上的射影恰好是双曲线C 的右焦点，过点P 作双曲线C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若平行四边形PAOB 的面积为34，则双曲线的标准方程是（） A ．2214yx -= B ．22123x y -= C ．2211922x y -= D ．2213722x y -=【答案】C【解析】由已知联立方程(b y x a b y m x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩求得A x ，则A OA x =，利用点到直线的距离公式求得P 到直线b y x a =的距离d ，根据面积公式34OA d ⋅=，化简计算求得,a b 即可得出结果. 【详解】据题意，双曲线的半焦距c =可设一条平行线方程为(b y m x a -=-，由(b y x ab y m x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得A x =则OA =P 到直线b y x a =的距离d =，2225324b m a ab-==，又22222222515m b a m a b a b-=⇒-=，∴32ab =，又c =2a =，2b =，所以双曲线的标准方程是2211922x y -=，故选:C. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11．已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8.母线12SA =，点B 在SA 上，且2SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（）A ．27πB ．32πC ．45πD ．81π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题意可得11,OA SO AO ，的长，在1O OA 中由勾股定理可求得R,取AS 中点N ，由已知条件可得OB 长，当截面圆面积最小时，当且仅当OB 垂直于截面，由勾股定理可得截面圆的半径，进而求得面积. 【详解】如图,球的球心为O ，半径为R ，则18SO =，OA R =，221145AO SA SO =-=，所以22211OA OO AO=+，即()()222845R R =-+，解得9R =，取SA 的中点N ，12SA =，2SB BA =，则2BN =，所以2235ON R AN =-=，227OB ON BN =+=，过点B 的平面被该球O 截，若截面面积最小，则OB 垂直于截面，此时截面圆半径为2242r R OB =-=，所以截面面积的最小值为232r ππ=.故选：B.【点睛】本题考查被球截得的截面面积最小值的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．12．已知函数2ln ,0,(),0,x x f x x ax x >⎧=⎨--⎩若方程()0f x x a --=有3个不同实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(,1)-∞-【答案】D【解析】当0x >时求出直线y x a =+与曲线ln y x =相切时得1a =-.再分别讨论1a <-，1a >-方程解的个数得解. 【详解】当直线y x a =+与曲线ln y x =相切时，设切点为(,ln )t t ，则切线斜率1(ln )1x tk x t'====，所以1t =，即10a +=，解得1a =-.又当0x ≤时，()()()10f x x a x x a =+⇔++=.所以：（1）当1a =-时，ln x x a =+（0x >）有1个实数根，此时()()()100x x a x ++=≤有1个实数根，不满足题意；（2）当1a <-时，ln x x a =+（0x >）有2个实数根，此时()()()100x x a x ++=≤有1个实数根，满足题意；（3）当1a >-时，ln x x a =+（0x >）无实数根，此时()()()100x x a x ++=≤最多有2个实数根，不满足题意. 综上得1a <-，故选:D 【点睛】本题考查函数与方程,讨论根的个数求解参数范围问题，属于基础题.二、填空题13．已知函数()()2log 3,021,0x x x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，若()112f a -=，则实数a =______.【答案】2log 3【解析】利用分段函数解析式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】当0x ≤时，33x -≥，()2221log 3log 3log 2x -≥>=. 所以10a ->，故()1122133121,2,1log log 31222a a f a a ---=-==-==-，所以2log 3a =. 故答案为：2log 3【点睛】本小题主要考查根据分段函数函数值求参数，属于基础题.14．若sin 2cos αα=，则22sin 22cos 2sin(4)ααπα-=-__________. 【答案】112【解析】根据同角公式得到tan 2α=，再根据二倍角公式得到4tan 23α=-，将所求式子用tan2α表示即可得到结果. 【详解】sin 2cos αα=，tan 2α∴=，则22tan 4tan 21tan 3ααα==--. 2222222sin 22cos 2sin 22cos 2sin 22cos 2tan 22sin(4)sin 42sin 2cos 22tan 2αααααααπααααα----∴===-2421341223⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.故答案为：112. 【点睛】本题考查了同角公式、诱导公式、二倍角的正弦、正切公式，属于基础题.15．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>2，点P 为椭圆上任意一点，则1214PF PF +的最小值是______. 【答案】94【解析】根据离心率以及短轴长，求得12PF PF +，再利用均值不等式，即可求得和的最小值. 【详解】据题意c a =1b =，解得2a =，c =1224PF PF a +==，所以()121212141144PF PF PF PF PF PF ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭∣(2112411955444PF PF PF PF ⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当212PF PF =，即283PF =，143PF =时等号成立. 故答案为：94. 【点睛】本题考查椭圆中的最值，涉及椭圆定义以及均值不等式的使用，属综合中档题. 16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为______.1【解析】ABC ，6AC =，sin 2sin C A =,即2ca=．根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹为圆, 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,求出B 的轨迹方程，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4,进而求得ABC 的面积，根据内切圆的性质，计算可得半径，进而得出结论．【详解】∵sin 2sin C A =，∴sin 2sin AB CCB A==为非零常数，故点B 的轨迹是圆. 以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()30A -,，()3,0C ，设(),B x y ， ∵2AB CB ==，221090x y x +-+=，整理得()22516x y -+=，因此，当ABC 面积最大时，AC 边上的高为圆的半径4.此时BC ==，AB =设内切圆的半径为r ，则()1164622r ⨯⨯=⨯，解得1r ==.1 【点睛】本题考查了阿波罗尼斯圆的应用、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，0n a >，前n 项和为n S ，若n a =*n N ∈，且2n ≥）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记132nn n a c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）2n nn T =.【解析】（11=，再求出2n S n =即得解；（2）求出22n nnc -=，再利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）数列{}n a 中，1n n n a S S -=-（n *∈N ，且2n ≥）①，又n a n *∈N ，且2n ≥）②，÷①②()12n =≥，则数列1=为首项，公差为1的等差数列，()11n n =+-=，则2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，11a =也符合该式，则21n a n =-.（2）由（1）的结论得，21n a n =-，则13222n n n n a nc +--==；则2310122222n nnT --=++++，∴2341110132222222n n n n nT +---=+++++，两式错位相减可得：2312311111121111222222222222n n n n n n nT ++-----⎛⎫=++++-=-+++-⎪⎝⎭ 21111112222122212n n n n n ++-⋅-=--=-，∴2n n nT =.【点睛】本题主要考查等差数列的判定和数列通项的求法，考查错位相减法对数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==.（1）证明：平面ABM ⊥平面ABCD ；（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求三棱锥D CEM -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）29. 【解析】（1）先根据边长关系得AB AM ⊥，AD AM ⊥，从而证明AM ⊥平面ABCD ，再证明平面ABM ⊥平面ABCD ；（2）连接BD ，由2BE EM =得13DEM MDB S S =△△，再用等体积转化求解即可. 【详解】（1）∵在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==∴222AB AM BM +=，222AD AM DM +=，∴AB AM ⊥，AD AM ⊥，∵AD AB A ⋂=，∴AM ⊥平面ABCD又AM ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面ABCD .（2）连接BD ，∵2BE EM =，∴13DEM MDB S S =△△，于是1133D CEM C DEM C DBM M BCD V V V V ----===，又∵CDAB ，AB AD ⊥，∴CD AD ⊥，∴1112122CDB S CD AD =⨯⨯=⨯⨯=△， ∴11212333M BCD BCD V S MA -=⋅=⨯⨯=△，即1239D CEM M BCD V V --==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，等体积转化求几何体的体积，考查逻辑推理能力与数学运算能力，是中档题.19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(),2A a ，点P 为抛物线C 上的动点. （1）若PA PF +的最小值为4，求实数a 的值；（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA 外接圆的方程.【答案】（1）3或123-（2）()()22228x y -+-=.【解析】（1）对线段AF 与抛物线C 是否有公共点进行分类讨论，利用抛物线的定义以及三点共线可得出PA PF +的最小值，进而可求得实数a 的值；（2）推导出//MA x 轴且MO MA MP ==，设点(),2M t ，可得点()2,4P t ，将点P 的坐标代入抛物线C 的方程，求得t 的值，进而可求得OPA 外接圆的方程.【详解】（1）由题意()1,0F ，联立224y y x =⎧⎨=⎩，可得12x y =⎧⎨=⎩.①若线段AF 与抛物线C 没有公共点，即1a >时，点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ，由抛物线的定义可得PD PF =，则当A 、D 、P 三点共线时，PA PF +的最小值为()14AD a =--=，此时3a =； ②若线段AF 与抛物线C 有公共点，即1a ≤时，则当A 、P 、F 三点共线时，PA PF +的最小值为()22124AF a =-+=，此时123a =-，综上，实数a 的值为3或13-（2）因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，所以//MA x 轴且MO MA MP ==，设(),2M t ，则()2,4P t ，代入抛物线C 的方程得816t =，解得2t =，于是22MO MA MP ===，所以OPA 外接圆的方程为()()22228x y -+-=. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求折线段长度之和的最小值，同时也考查了三角形外接圆方程的求解，考查计算能力，属于中等题.20．为推进中小学体育评价体系改革，某调研员从一中学4000名学生中按照男女学生比例采用分层抽样的方法，从中随机抽取了400名学生进行某项体育测试（满分100分），记录他们的成绩，将记录的数据分成7组：(]30,40，(]40,50，(]50,60，(]60,70，(]70,80，(]80,90，(]90,100，并整理得到如图频率分布直方图.（1）根据该频率分布直方图，估计样本数据的中位数及4000名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（精确到0.01）；（2）已知样本中有三分之二的男生分数高于60分，且分数高于60分的男女人数相等，试估计该校男生和女生人数的比例；（3）若测试成绩2x x s <-（其中x 是成绩的平均值，s 是标准差），则认为该生测试成绩不达标，试估计该中学测试成绩不达标人数. 参考公式：()221nii i s x x p ==-∑（i p 是第i 组的频率）1.4≈10.8≈.【答案】（1）中位数为71.67，平均数为69；（2）9:7；（3）175.【解析】（1）根据中位数是频率分布直方图中使得两边面积相等数求解即可；平均数用每组中点值乘以每组的频率求解即可；（2）根据频率分布直方图计算出样本中高于60分的人数，在根据题意得到样本中男生的总人数为225人，女生的总人数175，再根据分层抽样得男女比例；（3）根据公式计算方差得标准差，再计算2x x s <-的范围，结合频率分布直方图得到不达标的占比，再估算即可. 【详解】解：（1）前4组的频率和为0.050.10.10.20.45+++=，故中位数为0.055707071.670.033+=+≈ 4000名学生的平均成绩为：0.05350.1450.1550.2650.3750.2850.059569⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图得样本中高于60分的人数占总人数的0.75，又因为分数高于60分的男女人数相等，故高于60分的男生、女生人数均为4000.750.5150⨯⨯=人，又因为样本中有三分之二的男生分数高于60分，所以样本中共有男生的21502253÷=人，女生175人，又因为样本是按照男女学生比例采用分层抽样的方法得到，故该校男生和女生人数的比例为225:1759:7=；（3）()()()2222135690.0545690.1nii i s x x p ==-=-⨯+-⨯∑()255690.1+-⨯()()2265690.275690.3+-⨯+-⨯()()2285690.295690.05234+-⨯+-⨯=所以15.12s ==≈，26915.12238.76x s -=-⨯=故测试成绩2x x s <-占比为0.050.8760.0438⨯=，该中学测试成绩不达标人数约为0.0438*******⨯≈. 【点睛】本题考查样本估计总体的相关知识，是中档题. 21．已知函数()ln 2f x x kx =++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax=-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g x f x >.【答案】（1）当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增；当k 0<时()f x 增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）证明见解析. 【解析】（1）根据函数解析式，求得定义域及导函数，讨论k 的取值情况，即可判断导函数符号，进而可得函数()f x 的单调区间；（2）将1k =-代入解析式，并将两个解析式代入不等式化简可得21ln 2xe e x >.当01x <<易证不等式成立，当1x >时，结合202e a <≤可将不等式化为21ln 2x e e x >，构造函数()22ln x e h x x x-=-，并求得()h x '，再构造函数()()221x x e x x -Φ=--，并求得()x Φ'.根据零点存在定理可证明存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即()x Φ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增；由()110Φ=-<，()20Φ=，可证明()h x 的单调情况，进而可知()h x 在2x =处取得最小值，即证明()()20h x h ≥>即可证明()()g x f x >成立. 【详解】（1）函数()ln 2f x x kx =++. 函数定义域为()0,∞+，()1+1kx f x k x x'=+= 当0k ≥时，可知()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增；当k 0<时，令()0f x '=，解得1x k=-，所以当10x k<<-时，()0f x '>；当1x k>-时()0f x '<；故此时()f x 单调增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；单调减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；综上所述：当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增；当k 0<时()f x 增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （2）证明：将1k =-代入函数解析式可得()ln 2f x x x =-+，()2xe g x x ax=-+，定义域为()0,∞+，要证()()g x f x >，即证ln x e ax x >，①当01x <≤时，e 1x >，ln 0ax x ≤，不等式显然成立， ②当1x >时，ln 0x x >，结合已知2102a e <≤可得，210ln ln 2ax x e x x <≤，于是转化为21ln 2xe e x >，即证22ln 0x e x x-->，令()22ln x e h x x x -=-，则()()2221x e x x h x x ---'=，令()()221x x e x x -Φ=--，则()221x x xe -'Φ=-，且在()0,∞+上单调递增，∵()2110e'Φ=-<，()230'Φ=>，存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即02021x x e -=，∴()x Φ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()110Φ=-<，()20Φ=，故当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， ∴()()21ln 20h x h ≥=->，故()0h x >，得证()()g x f x >. 【点睛】本题考查了利用导数分类讨论函数的单调性，通过构造函数法及导函数的符号判断函数的单调性，由零点存在定理判断极值点和极值，进而证明不等式成立，是高考的常考点，综合性强，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为()4,0，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C 、2C 于A 、B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=；()2224x y +-=（或2240x y y +-=）；（2）1tan 2α=. 【解析】（1）在曲线1C 的参数方程中消去参数ϕ，可得曲线1C 的直角坐标方程，再由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将曲线1C 的直角坐标方程化为极坐标方程，在曲线2C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得出24sin ρρθ=，再由极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,A ρα、()2,B ρα，将θα=分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程，可得14cos ρα=，24sin ρα=，进而可得出4cos 4sin AB αα=-及4sin AM α=，再由AB AM =可求得tan α的值.【详解】（1）22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），得22cos 2sin x y ϕϕ-=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）， ∴曲线1C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=.cos x ρθ=，sin y ρθ=，24cos 0ρρθ∴-=，所以，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，即24sin ρρθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以，曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程得224x y y +=，即()2224x y +-=；（2）依题意设()1,A ρα、()2,B ρα，由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=，由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=， 04πα<<，12ρρ∴>，124cos 4sin AB OA OB ρραα∴=-=-=-. OM 是圆1C 的直径，2OAM π∴∠=. 在Rt OAM 中，4sin AM α=，在Rt BAM 中，4AMB π∠=，AB AM ∴=，即4cos 4sin 4sin ααα-=，4cos 8sin αα∴=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化，同时也考查了利用极坐标方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.23．已知x ，y ，z 均为正数.（1）若1xy <，证明：4x z y z xyz +⋅+>；（2）若13xyz x y z =++，求2222xy y xx ⋅⋅的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）8.【解析】（1）利用基本不等式可得|x |2242z y z xz yz z xy +⋅+≥=01xy <<时，即可证明4x z y z xyz +⋅+>；（2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy ++=，然后利用基本不等式即可得到3xy yz xz ++≥，从而求出2222xy y xx ⋅⋅的最小值.【详解】（1）∵x ，y ，z 均为正数，∴()()4x z y z x z y z +⋅+=++≥=，当且仅当x y z ==时取等号.又∵01xy <<，∴44xyz >， ∴4x z y z xyz +⋅+>.（2）∵13xyz x y z =++，即1113yz xz xy++=.∵12yz yz +≥=，12xz xz +≥=，12xy xy +≥=，当且仅当1x y z ===时取等号， ∴1116xy yz xz xy yz xz+++++≥， ∴3xy yz xz ++≥，∴22228xy yx xz xy yz xz ++⋅⋅=≥，∴2222xy y xx ⋅⋅的最小值为8.【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属于中档题．。

2020届全国大联考高三第六次联考文科数学试题及答案(解析版)

2020 届全国大联考高三第六次联考数学试题（文科）一、单选题11 ．已知集合 A x |1 x24 ，B x| y，则2e A B （）x 6x 5A．x|x 5 B．x|5 x 24C．x|x 1 或x 5 D．x|5 x 24【答案】 D【解析】首先求出集合 B ，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：∵x2 6x 5 0 ，解得1 x 5∴ B x|1 x 5 ，∴ e A B x|5 x 24 .故选： D【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设复数z满足z 2i z 1 ， z 在复平面内对应的点为（x, y），则（）A．2x 4y 3 0 B．2x 4y 3 0 C．4x 2y 3 0D．2x 4y 3 0【答案】 B【解析】设z x yi ，根据复数的几何意义得到x、y的关系式，即可得解；【详解】解：设z x yi∵ | z 2i | | z 1| ，∴ x2（y 2）2（x 1）2 y2，解得2x 4y 3 0 .故选： B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.223．若双曲线x2 y 1 的离心率为 3 ，则双曲线的焦距为（）a2 4【解析】依题意可得b24，再根据离心率求出 a 2，即可求出 c ，从而得解；【详解】22解： ∵ 双曲线 x y 1 的离心率为 3 ，a 24所以 e 21 42 3， ∴ a 22， ∴ c 6 ，双曲线的焦距为 2 6 .a故选： A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 4．在等差数列 a n 中，若 S n 为前 n 项和， 2a 9求得答案 . 【详解】a 7 12 ，13 a 1 a 13S 131 1313a 7 13 12 156 .故选： A.本题主要考查了求等差数列前 n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题 .55．已知a log 374，b log 2 m ，c ，若 a b c ，则正数m 可以为（）2【答案】a 11 12，则 S 13的值是（A ． 156 【答案】B ． 124C ． 136D ． 180因为 a 7 a 112a 9 a 11 12 ，可得 a 7 12 ，根据等差数列前 n 项和，即可Q a 7 a 11 2a 9 a 11 12，n 项【答案】 C【解析】首先根据对数函数的性质求出 a 的取值范围，再代入验证即可；解： ∵ 3 log 327 a log 374 log 381 4， ∴ 当 m 8时， b log 2 m 3满足a b c ， ∴ 实数 m 可以为 8. 故选： C 【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题 6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以 A 、 B 、 C 、 D 、 E 为顶点的多边形为正五边形，且5 1uuur 5 1 uuur5 1 AP ，则 AT 5 1ES 22【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【详解】uuur uur uuur 5 1 uuurSD SR RD QR .2 故选： A 【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．47． “ tan 2”是 “ tan2 ”的（）PT5 1uuur C ． 5 1 RDuuur 5 1 uuur 解：AT ES 2AD ．uu ur RC3A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】 A要条件的定义判断即可；首先利用二倍角正切公式由 tan 24，求出tan41 ， ∴ 可解得 tan 2或4”的充分不必要条件 .3 【答案】 C【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由 y 5log 3|x | 的图象沿 x 轴向左平x移 1个单位而得到，因为 y 5log 3| x| 为奇函数，即可得到函数图象关于( 1,0) 对称，x即可排除 A 、 D ，再根据x 0时函数值，排除 B ，即可得解. 【详解】∵y5log3 |x 1|的定义域为x|x 1 ，x1其图象可由 y 5log 3| x | 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到，x2tan解： ∵ tan 2 2 1 tan 2“tan 2”是 “tan2故选： A本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题属∵ y 5log 3 | x| 为奇函数，图象关于原点对称，x∴ y 5log 3 | x 1| 的图象关于点( 1,0) 成中心对称.x12g(x) sin xsin x33k 1k 1, k 2 Z ，k 2可排除 A 、 D 项 .当x 0时，y5log 3 | x 1| 0， ∴B 项不正确 .x1故选： C 【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题 . 9．已知将函数f(x)sin(x)(6，)的图象向右平移单位长度后得到函数g(x) 的图象，若 f (x)和 g(x) 的图象都关于x 对值为( )A ． 2B ．3C ． 4D ．因为将函数 f (x) sin( x )( 0 6，2)的图移个单位长度后g(x) 的图象，可得 g(x) sin xsin xQ 将函数 f (x) sin( x ) ( 06 ，)的图象向右平移个单位又 Q f (x) 和 g(x)的图象都关于 x对称，4得k1 k2 ，k1, k2 Z 3又 Q6， 3.故选： B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题 . 10．将一块边长为 acm 的正方形薄铁皮按如图（ 1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（ 2）放置，若 3 k 1 k 2 k 1,k 2 Z ，72 2cm 3，则a 的值为（）C ． 10D ． 12推导出 P M PN a ，且 PM PN ， MN2a ， 2aPM ，设 MN 中点为 O ，则 PO平面 ABCD ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．解：如图（ 4）， P MN 为该四棱锥的正视图，由图（ 3）可知， PM PN a ，且PM PN a 2 PMN 为等腰直角三角形可知， MN2 a ，设2MNO ，则 P O1平面 ABCD ， ∴ PO MN2a ，故选：V PABCD23 a 24 72 2 ，解得 a 12 .其A ．B ．6e 第 12 页共 20 页11 1A ．2 ,0 B ．,0 C ． 0,6e6e6e【答案】 Clnx【解析】令 F(x) f (x) 3kx 20，可得 k 2 ，要使得 F (x) 0有两个实数解，3x 2lnx即 y k 和 g (x) 2 有两个交点，结合已知，即可求得答案 .3x2令 F (x) f (x) 3kx 20 ，要使得 F (x) 0有两个实数解，即 y k 和 g(x) 1 2ln x3， 3x令 1 2ln x 0，可得 x e ，当 x (0, e) 时，g (x) 0，函数 g(x) 在 (0, e)上单调递增； x ( e, ) 时，g (x) 0，函数 g(x) 在 ( e, )上单调递减 1 当 x e 时， g (x) max ，6e可得 k ln x 3x 2本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题 11．已知函数 f(x) ln x ，若 F(x)2f (x) 3kx 2有 2 个零点，则实D ．0, 126eln xQ g (x)若直线y k 和g(x) ln 2x 有两个交点，则k 0, .3x 6e1实数k 的取值范围是0,故选： C.0，40，4 x 18kx 2 22 1 2k 2x 1 x 262， 2k 2Q0 POQ uu ur OP uuur OQ 0， uu ur OP uu ur OQx 1x 2 y 1y 2 x 1x 2 kx 1 2 kx 2 2解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题 .2x212．设过定点M (0,2) 的直线 l 与椭圆 C ： x y 2 1 交于不同的两点P ， Q ，若原点 O2在以 PQ 为直径的圆的外部，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为( ) A ．5, 6B ．5,6U 6, 5233C ．6, 5 D ．5,6U 6, 5 222【答案】 D 【解析】设直线 l ： ykx 2 ， P x 1 , y 1 ， Q x 2 , y 2 ，由原点O 在以 PQ 为直径的uuur uuur圆的外部，可得OP OQ 0 ，联立直线 l 与椭圆 C 方程，结合韦达定理，即可求得答案.解得 k 或 k2本题主要考查了根据零点求参数范围，显然直线0 不满足条件，故可设直线 l ：ykx 2 ， P x 1, y 1Q x 2 , y 2 ，由kx1 ，得 122k 28kx 6 0 ，Q64k 224 1 2k 20，直线l 的斜率k 的取值范围为k 5, 6 U 6 , 5 .22故选： D.【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．二、填空题13 ．已知盒中有 2 个红球， 2 个黄球，且每种颜色的两个球均按A，B 编号，现从中摸出 2 个球 (除颜色与编号外球没有区别) ，则恰好同时包含字母A，B 的概率为2【答案】 23【解析】根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共C42种情况，其中有C21C21种情况是两个球颜色不相同；11故其概率是P C2C222 2 2C42 6 32故答案为： 2 ．3【点睛】本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14．已知函数_____________________________________ f(x) 2 (x 0) ，则f ( 2) ；满足f(x) 0的x的取12 3x(x 0)值范围为______ .1【答案】 1 ( ,4)4【解析】首先由分段函数的解析式代入求值即可得到 f ( 2) ，分x 0 和x 0 两种情况讨论可得；【详解】21 所以 f ( 2)2 2，4∵ f (x) 0 ，∴ 当 x 0时， 0 f (x) 2x1 满足题意， ∴ x 0；x 0时，由 f (x) 12 3x 0，解得 x 4.综合可知：满足 f (x) 0 的 x 的取值范围为(,4) .1故答案为： 1 ； ( ,4) .4【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题 .a 3 a 2 5 ，则 a 4 8a 2的最小值405a 2 5，可得 a 1 ，因为q(q 1)答案 .解：因为 f (x)2x(x 0)12 3x(x 0)15 ．已知数列 a n 是各项均为正数的等比数列，若设等比数列 a n 的公比为q ，根据 a 3a 4 8a 23a 1q 5 q 28 8a 1 q5q9 2 ，根据均值不等式，即可求得q1设等比数列 a nq ，Q a 3 a 2 5，a 15 q(q 1)Q 等比数列 a nq 1，a 4 8a 22 a 1q qq 28 q195 q 1 2 40 ，当且仅当q 1 3 ，q1即q 4时，a4 8a2取得最小值40.故答案为：40 .【点睛】本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16．已知边长为 4 3 的菱形ABCD中， A 60 ，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C 为120 ，此时点A，B ，C，D 在同一个球面上，则该球的表面积为【答案】112【解析】分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O，半径为R，ON x，由勾股定理可得x、R2，再根据球的面积公式计算可得；【详解】如图，分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，则易得AM CM 6，MN 3，MD 2 3，CN 3 3 ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，R2设球心为O，半径为R，ON x，可得2R2故该球的表面积为S 4 R2112 .x2271 ，R228.2 (x3)212【点睛】本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题17 ．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进获得了一个容量为行了调查，200 的样本，其中城镇居民140 人，农村居民60 人 .在这些居民中，经常阅读的城镇居民有 100 人，农村居民有30 人 .1）填写下面列联表，并判断能否有99% 的把握认为经常阅读与居民居住地有关？（ 2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7 位居民中随机选取 2 人作交流发言，求被选中的 2 位居民都是经常阅读居民的概率 .K2 (a b)(c n(a d d)(a bc)c2)(b d)，其中 n a b c d附：10（ 1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（ 2）1021（ 1）根据题中数据得到列联表，然后计算出K2，与临界值表中的数据对照后可得结论；（ 2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求1）由题意可得：2200 （100 30 40 30）2则 K2（）8.477 6.635，140 60 130 70所以有 99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关 . （ 2）在城镇居民 140 人中，经常阅读的有 100 人，不经常阅读的有40 人 .采取分层抽样抽取7 人，则其中经常阅读的有 5 人，记为 A 、 B 、 C 、 D 、 E ；不经常阅读的有 2 人，记为 X 、 Y .从这 7 人中随机选取2 人作交流发言，所有可能的情况为 AB ， AC ，AD ， AE ， AX ，AY ， BC ， BD ， BE ， BX ， BY ， CD ， CE ， CX ， CY ， DE ， DX ， DY ，EX ， EY ， XY ，共 21 种，被选中的2 位居民都是经常阅读居民的情况有 10 种，【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力 .对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题 .318．已知在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ， c 4 2 ， cosC .5（ 1）若 B ，求 a 的值；4（ 2）若b 5 ，求 ABC 的面积 .【答案】（ 1） 7（ 2） 14 34【解析】（ 1）在 ABC 中， cosC ，可得 sin C ，结合正弦定理，即可求得答 55案；（ 2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案 . 【详解】所求概率为 P 10 213 （ 1）Q 在ABC中，cosC ，54 sinC ，5Q A （B C），acsin A sin Cc a sin A 7.sin C2)Q c 2a 2b 22abcosC ，32 a 225 6a ，2a 6a 7 0，解得 a 7，1 14absinC 7 5 14.2 2519．如图，在三棱锥P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC ， ABBC ， PA PC .点 E ， F ， O 分别为线段 PA ， PB ， AC 的中点，点G 是线段CO 的中点 .2）判断 FG 与平面 EBO 的位置关系，并证明（ 1）见解析（2） FG / /平面 EBO .见解析（ 1 ）要证 PA 平面 EBO ，只需证明 BO PA ， OE PA ，即可求得答案；2）连接 AF 交 BE 于点 Q ，连接 QO ，根据已知条件求证 FG/ /QO ，即可判断 FGsinA sin( B C) sin BcosC cosBsin C 2324 722 5 2 5 10S ABC 本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角，考查1）求证： PA 平面EBO .与平面EBO的位置关系，进而求得答案【详解】（ 1）PAC 平面 ABC ，平面 PAC I 平面 ABC AC ， BO 平面 ABC ，Q 在 PAC 内， O ， E 为所在边的中点，OE //PC ，又 QPA PC ， OE PA ，PA 平面 EBO .2）判断可知，FG / / 平面 EBO ，证明如下：连接 AF 交 BE 于点 Q ，连接 QO .Q E 、 F 、 O 分别为边 PA 、 PB 、 AC 的中点， AO2. OGFG//QO ，Q FG 平面 EBO ， QO 平面 EBO ， FG //平面 EBO .本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题 20．已知抛物线 M ： x 22 py （ p 0）的焦点 F 到点 N （ 1, 2）的距离为 10 .1）求抛物线 M的方程；Q AB BC ， O 为边 AC 的中点，BO AC ，Q 平面 BO 平面 PAC ，BO PA ，又 QQ 是PAB的重心，AQ 2QFAO OG2）过点N 作抛物线M 的两条切线，切点分别为A，B ，点A、B 分别在第一和第二象限内，求ABN 的面积 .2 27【答案】（ 1）x24y（ 2）2【解析】（1）因为F 0, p ，可得| FN | 1 p 2 10 ，即可求得答案；（2）分别设NA、NB 的斜率为k1 和k2，切点A x1, y1 ，B x2 , y2 ，可得过点N 的抛物线的切线方程为l ：y k（x 1） 2，联立直线l 方程和抛物线M 方程，得到关于x 一元二次方程，根据0 ，求得k1，k2，进而求得切点 A ，B 坐标，根据两点间距离公式求得| AN | ，根据点到直线距离公式求得点 B 到切线AN 的距离d ，进而求得ABN 的面积 .【详解】1) Q F 0, p ，2|FN | 1 p 2 10，解得p 2 ，抛物线M 的方程为x2 4y .NA、NB的斜率都存在，分别设为k1和k2，切点 A 2）由题意可知，x1, y1 ，B x 2, y 2又Q 由x 24y ，1 得 y x ，过点 Nl ： y k(x 1) 2，k(x 1)4y2,消掉可得x 24kx 4k 8 0，Q16k 216k232 0 ，即 k 20，解得k 1 1 ， k 2 2，12 2 x 1 2k 1 2 ，y 1x 1 k 1 1 ，4x 2 2k 2 4， y 2A(2,1)， B( 4,4) ，点 B 到切线AN 的距离为| 4 4 1| 9 2即 ABN 的面积为 27 .2本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，和圆锥曲线与直线交点问题时 ,通常用直线和圆锥曲线联立方程组sin x21 ．已知函数f (x) ， 0 x π . x1）求函数 f （x ）在 x 处的切线方程； 2| AN | (2 1)2 (1 2)23 2，切线 AN 的方程为 x y 0，S ABN1329227， 2解题关键是掌握抛物线定义,通过韦达定理建立起2）当0 m 时，证明： f （x ） mln x 对任意 x(0, ）恒成立 .（ 1） y4 2x4 （（ 1）因为f (x) xcosx sin x2 ，可得 x42，2）要证 f （x ） mlnx 对任意 x (0, x ）恒成立，即证 mxln x sin x 对任意x (0, )恒成立 .设 g(x) m xln x ，h(x) sin x ，当x (0, )时，h(x) sin x ,11) Q f (x)xcosx2 xsin x244函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程为 y 2 x .( 2)要证 f (x) mln x 对任意 x (0, ) 恒成立 .x即证 mxln x sin x 对任意 x(0,) 恒成立 . 设 g(x) mxln x ， h(x) sin x ，当 x (0, ) 时， h(x) sin x,1 ，Q g (x) m(ln x 1)，10 ，解得x ， eg(x)min本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题，解题关键是掌握由导数求Qf2，，令 g (x) 0x1 时，eg (x) 0 ，函数 1g （x ）在 0, 上单调递减； e 1x e 时， g（x ） 0 ，函数 1 g(x) 在上单调递增 . Qm(0, ），时， m xln x sinx 对任意 x （0, ）恒成立，即当 0时，f(x) mln x 对任意x(0, ) 恒成立 .2切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法，于难题 .22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求圆C 的极坐标方程；（ 2）直线l 的极坐标方程是sin6考查了分析能力和计算能力，属x 2 2cos（为参数），以O 为y 2sin3 ，射线OM : 与圆C 的交点为O 、6P ，与直线l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长 .（ 1） 4cos （ 2） 2 3 2（ 1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可；（ 2）设 P 1, 1 ， Q 2, 2 ，由 12 ，即可求出 1, 2，则 | PQ |126计算可得；【详解】4 cos 0 ，即圆C 的极坐标方程为 4cosf （x ）min a 3 7，即可求出参数的值；112）由m 4n4，可得 m 4（n 1） 8，再利用基本不等式求出的最小解：（ 1 ）圆 C 的参数方程x 2 2cosy 2sin为参数）可化为（x 2）2 y 24，2）设 P 1, 1 ，由14cos 1，解得123设 Q 2 , 2 ，由 2sin 22 26322，解得26∴ |PQ| 122 3 2.本题考考查了推理能力与计算能力，属于中档23．已知 a 0，函数 f （x ） | x a|（ 1）求 a 的值；（ 2）设 m, n 0， m 4n a ，求证：【答案】（ 1） a 4 .（ 2）见| 2x 6 | 有最小值 7.119.m n1 8f （x ） a 3 | x 3| ，所以当1)mn1 值，即可得证；解：1)f (x) |x a| |2x 6| |x a| |x 3|a 3 | x 3| ，当 x 3 时， f (x)mina 3 7 ，解得 a4(nm 1) nm1 ，即 m 83， n 13 时，等号成立119 mn182) ∵ m 4n 4 ， ∴ m4(n 1)8，11 mn111 mn1m 4(n 1)1 4(n 1) m5 8 m n1本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．|x 3| |(x a) (x 3)| |x 3|4.。

湘赣粤2020届高三(6月)大联考文科数学试题(wd无答案)

湘赣粤2020届高三（6月）大联考文科数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，.则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知函数 f( x)＝ e x－( x＋1) 2( e为2.718 28…)，则 f( x)的大致图象是（）A．B．C．D．(★★★) 5. 平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，若，且，则的值为A．B．C．D．(★★) 6. 2011年国际数学协会正式宣布将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率.现用我国何承天发明“调日法”来得到的近似数，其原理是设实数的不足近似值和过剩近似值为和，则是更为精确的不足近似值或过剩近似值.若令，则第一次用“调日法”后得，它是的更为精确的不足近似值，即.若每次都取得简分数，则第次用调日法后的近似值为，则的值为（）A．2B．3C．4D．5(★★★) 7. 已知非零向量，满足，且，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．(★) 8. 如图所示的程序框图输出的值为（）A．B．0C．D．(★★★) 9. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数 k的取值范围是（）C．D．A．B．(★★★) 10. 已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．(★★★) 11. 点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为A．B．C．D．(★★★) 12. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 13. 曲线在点处的切线方程为________.(★) 14. 若满足，则的最小值为____________.(★★★) 15. 已知抛物线 C: （）的焦点为 F，准线为 l， M是 l上一点， N是线段与 C的交点，若， O为坐标原点，且的面积 S为，则 p的值为______.三、双空题(★★★) 16. 在中，内角所对的边分别为，若，则 ________ ，的最大值为 _________ .四、解答题(★★★) 17. 数列满足，．（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求正整数的最小值．(★★★) 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.(★★★) 19. 某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价（元/件）月销售量（万件）（1）若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用模型拟合与之间的关系，可得回归方程为，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数分别为和，请用说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到）参考数据：.(★★★★) 20. 设点为平面直角坐标系中的一个动点（其中为坐标系原点），点到定点的距离比到直线的距离大1，动点的轨迹方程为.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线相交于、两点.①若，求直线的直线方程；②分别过点，作曲线的切线且交于点，是否存在以为圆心，以为半径的圆与经过点且垂直于直线的直线相交于、两点，求的取值范围.(★★★★) 21. 设函数.（1）证明：函数在单调递增；（2）当时，恒成立，求整数的最小值.(★★★) 22. 已知曲线.直线（为参数），点的坐标为.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，求的值.(★★★) 23. 已知.（1）若不等式的解集为.求的值；（2）在（1）的条件下，若且，求证：.。

2020年湘赣粤高考数学模拟试卷(文科)(6月份) (含解析)

2020年湘赣粤高考数学模拟试卷(文科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x <√2}，B ={x|log 12x <2}，则A ∪B =( ) A. R B. {x|0<x <√2} C. {x|x >0}D. {x|14<x <√2}2. 已知z(1+2i)=5i ，则复数z 的共轭复数z −在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设a =201912020，b =log 2019√2020，c =log 202012019，则( )A. b >c >aB. c >b >aC. a >b >cD. a >c >b4. 已知函数f(x)=e x −(x +1)2(e 为自然对数的底数)，则f(x)的大致图象是( )A.B.C.D.5. 平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0,y 0)在单位圆O 上，设∠xOP =α，若α∈(π3,5π6)，且sin(α+π6)=35，则x 0的值为 ( )A. 3+4√310B. 3−4√310C. 4√3−310D. −4√3−3106. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和dc (a,b ，c ，d ∈N ∗)，则b+da+c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道e =2.71828…，若令135<e <145，则第一次用“调日法”后可得2710是e 的更为精确的不足近似值，即2710<e <145.若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得e 的更为精确的近似值为( )A.10940B. 197C. 6825D.167607.已知向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=2，|2a⃗+b⃗ |=2，则向量b⃗ 在向量a⃗方向上的投影是()A. −12B. −1 C. 12D. 18.执行如图所示的程序框图，输出的x值为()A. 3116B. 6332C. 12764D. 2551289.已知函数f(x)=e xx2+2klnx−kx，若x=2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是()A. (−∞,e24] B. (−∞,e2] C. (0,2] D. [2,+∞)10.已知直线y=kx(k≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若的面积为4a2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.已知A，B，C，D四点在同一个球的球面上，AB=BC=√6，∠ABC=90∘，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为()A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π12.函数f(x)=lnx−x−a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. [−1,+∞)D. (−1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x2(2x−lnx)在点(1,2)处的切线方程为____．14.设x，y满足约束条件{x−2≥0y+2≥0x+2y−6≤0，则z=x+y的最小值是________．15.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别内a，b，c，若a2sinC=4sinA，cosB=√74，则△ABC的面积为______．16.若抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴相交于一点K，P为抛物线上一点且∠KFP=2π，则△KFP的面积为__________．3三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）,n∈N∗．17.已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且S n=a n(a n+1)2(1)求证：数列{a n}是等差数列；,T n=b1+b2+⋯+b n，求T n．(2)设b n=12S n18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点D是BC的中点．(1)求证：A1B//平面ADC1；(2)若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．19.某商品在销售过程中投入的销售时间x与销售额y的统计数据如下表：用线性回归分析的方法预测该商品6月份的销售额．(参考公式：b ̂=∑ ni=1(x i −x −)(y i −y −)∑ n i=1(x i −x−)2，a ̂=y .−b ̂x .，其中x .，y .表示样本平均值)20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 在直线y =x −1上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(1,0)作互相垂直的两条直线l 1，l 2，l 1与曲线C 交于A ，B 两点，l 2与曲线C 交于E ，F 两点，线段AB 、EF 的中点分别为M ，N.求证：直线MN 过定点P ，并求出定点P 的坐标．21. 已知函数f(x)=lnx −ax ，a >0．(1)若a =12，求函数g(x)=xf(x)的单调区间； (2)证明：af(x)+2a ≤1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =1+12ty =√32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为{x =cosθy =2sinθ(θ为参数)，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．23. 已知a >0，b >0，且a +16b =4ab ，设ab 的最小值为M ．(1)求M 的值；(2)若不等式|x −l|+|x +1|≤M 在区间[m,m +2]上恒成立，求实数m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．解：∵A={x|0<x<√2},B={x|x>14}，∴A∪B={x|x>0}．故选：C．2.答案：D解析：解：由z(1+2i)=5i，得z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i，∴z−=2−i．则z−在复平面内所对应的点的坐标为(2,−1)，位于第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：本题考查指数，对数函数的性质及比较大小，属于基础题．根据指数，对数函数的性质知，a=201912020>1,b=log2019√2020∈(0,1),c=log202012019<0，从而可比较大小．解：根据指数，对数函数的性质知，a=201912020>1,b=log2019√2020∈(0,1),c=log20201<0，2019所以a>b>c，故选C．4.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数图象的应用，属于基础题．求出导数，数形结合可得极值点的范围，结合函数单调性求解即可．解：f′(x)=e x−2(x+1)，画出函数y=e x和函数y=2(x+1)的图象，由图得y=e x和y=2(x+1)的图象有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，由图可知−1<x1<0，x2>1，且x>x2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．观察四个图象只有C符合．故选C．5.答案：B解析：本题考查任意角的三角函数，同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式.点P(x 0,y 0)是单位圆O 上第一象限内的点，∠xOP =α，则x 0=cosα，又，展开求解即可．解：点P(x 0,y 0)是单位圆O 上第一象限内的点，∠xOP =α， ∵α∈(π3,5π6)，∴α+π6∈(π2,π)，，，=−45×√32+35×12=3−4√310，则x 0=cosα=3−4√310．故选B ．6.答案：B解析：本题考查类比推理，属于基础题．利用类比推理求解即可．解：第一次用“调日法”后得2710，即2710<e <145；第二次用“调日法”后得4115，即2710<e <4115；第三次用“调日法”后得6825，即2710<e <6825；第四次用“调日法”后得9535=197，故选B ．7.答案：B解析：解：∵|2a ⃗ +b ⃗ |=2，∴4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4，∵|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2 ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，∴向量b⃗ 在向量a⃗方向上的投影是−1|a⃗ |=−1，故选：B．根据|2a⃗+b⃗ |=2，两边平方得到4a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4，根据|a⃗|=1，|b⃗ |=2，做出两个向量的数量积，利用投影的公式得到结果．本题考查平面向量数量积的运算和性质，本题解题的关键是求出两个向量的数量积，再利用投影的公式得到结果．8.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，利用等比数列的求和公式可得答案．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x=1+12+(12)2+⋯+(12)6的值．由于x=1+12+(12)2+⋯+(12)6=1−1271−12=12764．故选C．9.答案：A解析：本题考查由函数的导函数确定极值问题，属于中档题．研究函数导数，得到导数只有唯一极值点的条件k=e xx2在(0,+∞)无变号零点，进而求解答案．解：∵函数f(x)的定义域是(0,+∞)∴f′(x)=e x(x−2)x3+2kx−k=(e x−kx2)(x−2)x3，∵x=2是函数f(x)的唯一一个极值点∴x=2是导函数f′(x)=0的唯一根，∴e x−kx2=0在(0,+∞)无变号零点，。

闽粤赣三省十校2020届高三数学下学期联考试题文(含解析)

闽粤赣三省十校2020届高三数学下学期联考试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x-15＜0}，B={x|0＜x＜7}，则A∪B等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】写出集合A，然后对集合A,B取并集即可.【详解】∵集合A={x|x2-2x-15＜0}={x|-3＜x＜5}， B={x|0＜x＜7}，∴A∪B={x|-3＜x＜7}=（-3，7）．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题.2.若α∈（，π），sinα=，则tanα=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数关系式求解即可.【详解】∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=，则tan．故选：C．【点睛】本题考查同角三角函数关系式的应用，属于简单题.3.如果复数（1-ai）的实部和虚部互为相反数，那么a等于（）A. B. C. D. 1 【答案】B【解析】【分析】先对复数进行化简，然后根据条件列出等式，即可得到a值.【详解】（1-ai）=复数的实部和虚部互为相反数，则，解得a=-1．故选：B．【点睛】本题考查复数的乘法运算以及复数的实部及虚部的概念，属于简单题.4.“log a b＞0（a＞0且a≠1）”是“a＞1且b＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由对数函数的性质得到a和b的范围，然后根据必要不充分条件的概念判断即可.【详解】由log a b＞0得：“a＞1且b＞1“或“0＜a＜1且0＜b＜1“，又“a＞1且b＞1“或“0＜a＜1且0＜b＜1“是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题之间的关系即可．5.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用等差数列的前n项和公式和等差中项公式化简即得解.【详解】据等差数列的前项和公式知，故答案为：【点睛】(1)本题主要考查等差数列的前n项和，考查等差中项公式的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项.6.圆（x-a）2+y2=4与直线y=-x相切于第二象限，则a的值是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到a值.【详解】根据题意，圆（x-a）2+y2=4的圆心为（a，0），半径r=2；若该圆（x-a）2+y2=4与直线y=-x相切于第二象限，必有a＜0且=2，解得a=-2；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆相切问题，利用圆心到直线的距离等于半径即可.7.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A. B. C. 0 D.【答案】C【解析】【分析】执行如图所示的程序框图，得到s的值呈周期性变化，且周期为6，进而可求解输出的结果，得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可知：n=1，S=0+=；满足条件n＜2020，执行循环，n=2，S=-=0；满足条件n＜2020，执行循环，n=3，S=0-1=-1；满足条件n＜2020，执行循环，n=4，S=-1-=-；满足条件n＜2020，执行循环，n=5，S=-+=-1；满足条件n＜2020，执行循环，n=6，S=-1+1=0；满足条件n＜2020，执行循环，n=7，S=0+=；满足条件n＜2020，执行循环，n=8，S=-=0；…观察规律可知，S的值以6为周期循环，而2020=336×6+2，所以输出S=0．故选：C．【点睛】本题考查循环结构的程序框图输出结果的计算问题，其中执行循环体，得出每次循环的计算规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若2S+a2=（b+c）2，则sinA 等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式利用面积公式和余弦定理进行化简得到sinA=2cosA+2，然后利用同角三角函数关系式进行计算即可得到答案.【详解】∵2S+a2=（b+c）2，∴2s=b2+c2-a2+2bc，bcsinA=2bccosA+2bc，∴sinA=2cosA+2，∵sin2A+cos2A=1，∴，整理可得，5sin2A-4sinA=0，∵sinA≠0，则sinA=故选：D．【点睛】本题考查余弦定理和面积公式的应用，考查同角三角函数关系式的应用，属于基础题.9.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】观察这个图可知，大正方形的边长为，总面积为，而阴影区域的边长为面积为，故飞镖落在阴影区域的概率为故答案选10.函数f（x）=（x2+tx）e x（实数t为常数，且t＜0）的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.【详解】由f（x）=0得x2+tx=0，得x=0或x=-t，即函数f（x）有两个零点，排除A，C，函数的导数f′（x）=（2x+t）e x+（x2+tx）e x=[x2+（t+2）x+t]e x，当x→-∞时，f′（x）＞0，即在x轴最左侧，函数f（x）为增函数，排除D，故选：B．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知该几何体是一个四棱锥且该四棱锥的外接球是所对应长方体的外接球，由求得球的半径，从而得到球的表面积.【详解】根据几何体的三视图，可知该几何体是一个四棱锥如图：该四棱锥的外接球是所对应长方体的外接球且长方体的长宽高分别为2，2,2故几何体的外接球半径R满足：4R2=4+4+12=20，解得：，故：S=，故选：A．【点睛】本题考查棱锥外接球表面积的求法，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；②若面ABC （SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球.12.已知直线y=2b与双曲线-=1（a＞0，b＞0）的斜率为正的渐近线交于点A，曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若，则双曲线的离心率为（）A. 4或B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意表示出点的坐标，又得到关于离心率的方程即可求出结果【详解】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x-2）=，则f（2）=______．【答案】2【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】由分段函数得f（2）=f（4-2）=6-4=2，故答案为：2．【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.14.若变量x，y满足约束条件则z=2x-y的最小值为______．【答案】【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，是以为顶点的三角形区域，可知当直线过点时取得最小值，代入求得最小值为.考点：线性规划.15.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，且∠DAB=90°，AB=2，AD=1，若点Q满足=2，则•=______．【答案】【解析】【分析】根据题意建立以点A为原点，AB,AD所在直线为x,y轴的平面直角坐标系，写出各点坐标，利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】根据题意建立以点A为原点，AB,AD所在直线为x,y轴的平面直角坐标系，如图所示；由AB=2CD，AB=2，AD=1，知A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），又，得Q（，0），所以=（-，1），=（-，1），则•=（-）×（-）+1×1=．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，通过建立坐标系求解是常用方法，属于基础题.16.将函数f（x）=cos2x图象向左平移（0＜＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[-，]上单调递减，且函数g（x）的最大负零点在区间（-，0）上，则的取值范围______．【答案】（，]【解析】【分析】由平移变换得到函数g(x)解析式，根据单调性得到≤≤，根据最大负零点所在区间得到＜＜，从而得到答案.【详解】将函数f（x）=cos2x图象向左平移（0＜＜）个单位得到函数g（x）=cos（2x+2φ）图象，若函数g（x）在区间[-，]上单调递减，则，得≤≤①．g（x）=cos（2x+2φ）=0,则2x+2φ=kπ+（），求得x=+-（），根据函数g（x）的最大负零点在区间（-，0）上，∴-<-＜0，求得＜＜②，由①②求得的取值范围为（，]，故答案为：（，]．【点睛】本题考查余弦函数图像的性质，考查图像的平移变换，属于中档题.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，首项a1=1，且a3+1是a2+1与a4+2的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】（1）a n=2n-1；（2）【解析】【分析】（1）设出数列的公差为d,根据等比中项列出等式，得到公差，即可得到通项公式；（2）利用裂项相消求和法可得结果.【详解】（1）设数列{a n}的公差为d，a1=1，且a3+1是a2+1与a4+2的等比中项，可得（a3+1）2=（a2+1）（a4+2），即（2+2d）2=（2+d）（3+3d），解得d=2或d=-1，当d=-1时，a3+1=0，a3+1是a2+1与a4+2的等比中项矛盾，舍去．∴d=2，a1=1数列{a n}的通项公式为a n=2n-1；（2），前n项和S n=1-+-+…+-=1-=．【点睛】本题考查等差数列基本量的运算和等比中项的概念，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.18.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底ABCD，SA=AD=1，点M是SD的中点，AN⊥SC，交SC于点N．（1）求证：SC⊥AM；（2）求△AMN的面积．【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】推导出，从而面SAD，进而，再推导出，从而面SCD，由此能证明．推导出及面AMN，由此能求出的面积．【详解】底面ABCD，平面ABCD，，，，面面SAD，，又，点M是SD的中点，，，面SCD，面SDC，是SD的中点，，∴，，，面AMN，，，的面积【点睛】本题考查线面垂直的证明及锥体体积公式，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识及体积的换底转化，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：月份i 7 8 9 10 11 12销售单价x i（元）9 9.5 10 10.5 11 8销售量y i（件）11 10 8 6 5 14（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．参考公式：回归直线方程，其中，参考数据：．【答案】（1）（2）可以认为所得到的回归直线方程是理想的（3）产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．【解析】分析：（1）先求均值，代入公式求，再根据回归直线方程过（）求，（2）计算，并与2比较进行判断，（3）先建立利润函数，根据二次函数性质求最大值.详解：（1）因为，，所以，则，于是关于的回归直线方程为；（2）当时，，则，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；（3）令销售利润为，则，∴当时，取最大值.所以该产品的销售单价定为元/件时，获得的利润最大.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.20.已知动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离少2．（1）求点P的轨迹E的方程．（2）过点F的两直线l1、l2分别与轨迹E交于A，B两点和C，D两点，且满足•=0，设M，N两点分别是线段AB，CD的中点，问直线MN是否恒过一定点，若经过，求定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）x2=4y；（2）（0，3）【解析】【分析】（1）由题意知动点P到点F的距离等于它到直线x＝﹣1的距离，可得点P轨迹E是抛物线．（2）根据题意可知直线l1，l2都有斜率，设直线l1的方程为y＝kx+1（k≠0），代入x2＝4y，利用根与系数的关系可得M（2k，2k2+1），由•=0，可得，设出直线l2，可得N，写出直线MN的方程，化简即可得出结论．【详解】（1）由题意知动点P到点F（0，1）的距离等于它到直线x=-1的距离相等，所以点P的轨迹E是抛物线，轨迹方程是x2=4y（2）根据题意可知，直线l1，l2都有斜率，设直线l1的方程为y=kx+1（k≠0），代入x2=4y，得x2-4kx-4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则∴M（2k，2k2+1）∵，∴设直线l2：，C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得N所以直线MN的方程为，化简得：y-3=x，所以直线MN恒过定点（0，3）．【点睛】本题考查抛物线的定义及其性质、考查直线过定点问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数的图象在点处的切线斜率为0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上没有零点，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）单调递增区间是，单调递减区间是．（Ⅱ）．【解析】试题分析：(1)由题意可得：据此可得函数的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)由题意有，设，所以在上是减函数，在上为增函数，结合函数的单调性可得.试题解析：(1),定义域为，因为，所以，令，得，令，得，故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.(2),由，得或（舍），设，所以在上是减函数，在上为增函数，因为在区间上没有零点，所以在上恒成立，由，得，令，则，当时，，所以在单调递减，所以当时，，故，即.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程．（2）若M是曲线C1上的一点，N是曲线C2上的一点，求|MN|的最小值．【答案】（1）C1：，C2：x+y-6=0；（2）【解析】【分析】（1）利用平方和为1消去参数θ得到曲线C1的直角坐标方程，利用y=ρsinθ,x=ρcosθ将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）设点M（4cosθ，3sinθ），利用点到直线的距离公式和正弦函数的性质可求得最值．【详解】（1）由题意得，cosθ=①，②①②式平方相加得：．所以曲线C1的直角坐标方程；曲线线C2的极坐标方程为，即ρsinθ+ρcosθ-6=0，所以曲线C2的直角坐标方程为x+y-6=0．（2）设点M（4cosθ，3sinθ），C2：x+y-6=0．由点到直线的距离公式得=，当sin（θ+α）=1时，．所以|MN|的最小值是．【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，正弦函数性质的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．23.已知a＞0，b＞0，且a+b=2；（1）若ab＜恒成立，求m的取值范围；（2）若+≥|x-1|+|x+2|恒成立，求x的取值范围．【答案】（1）m＞2；（2）-≤x≤【解析】【分析】（1）利用基本不等式求出ab的最大值，即可得到m的范围；（2）利用基本不等式求出+的最小值为8，然后解8≥|x﹣1|+|x+2|即可.【详解】（1）∵a＞0，b＞0，∴2=a+b≥2，即ab≤1，所以ab的最大值为1，当且仅当a=b=1时取等号，∴ab＜恒成立等价于1＜，解得m＞2．（2）∵+=（a+b）（+）=（9+1++）≥=8，当且仅当a=，b=时取等，∴+≥|x-1|+|x+2|恒成立等价于8≥|x-1|+|x+2|，①当x≤-2时，8≥-x+1-x-2，解得-≤x≤-2，②当-2＜x＜1时，8≥-x+1+x+2，解得-2＜x＜1，③当x≥1时，8≥x-1+x+2，解得1≤x≤，综上可得-≤x≤．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查零点分段法解不等式，属于基础题.。

解析】江西省大联考2020届高三6月数学试卷(文科)试题 Word版含解析

高三数学试卷(文科)一､选择题1.已知集合{}240A x x x =-≤，{}20B x x =->，则A B =（） A. {}02x x ≤< B. {}2x x < C. {}04x x ≤≤ D. {}4x x ≤【★答案★】A【解析】【分析】解出集合A 、B 中的不等式即可. 【详解】因为{}{}24004A x x x x x =-≤=≤≤，所以{}02A B x x ⋂=≤<.故选：A【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力，较简单.2.复数12i1i z +=-，则z =（） A. 1322i - B. 1322i -- C. 1322i + D. 1322i -+【★答案★】B【解析】【分析】首先化简复数z ，再根据定义求z . 【详解】因为()()()()12i 1i 12i 13i1i 1i 1i 2z +++-+===--+，所以13i22z =--.故选：B【点睛】本题考查复数的运算，考查运算求解能力，属于基础题型.3.已知2a =，3b =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（）A. π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】A【解析】【分析】根据向量的夹角公式即可求出。

【详解】由题意可得，3cos,223a ba ba b⋅<>===⨯，由于向量夹角的范围为[]0,π，所以向量a与b的夹角为π6.故选：A．【点睛】本题主要考查向量夹角公式的应用，属于容易题．4.随着社会的发展与进步，传播和存储状态已全面进入数字时代，以数字格式存储，以互联网为平台进行传输的音乐——数字音乐已然融入了我们的日常生活.虽然我国音乐相关市场仍处在起步阶段，但政策利好使音乐产业逐渐得到资本市场更多的关注.对比如下两幅统计图，下列说法正确的是（）2011-2018年中国音乐产业投融资事件数量统计图2013-2021年中国录制音乐营收变化及趋势预测统计图A. 2011~2018年我国音乐产业投融资事件数量逐年增长B. 2013~2018年我国录制音乐营收与音乐产业投融资事件数量呈正相关关系C. 2016年我国音乐产业投融资事件的平均营收约为1.27亿美元D. 2013~2019年我国录制音乐营收年增长率最大的是2018年【★答案★】B【解析】【分析】根据所给柱状统计图逐个选项分析即可.【详解】对于A，2013年我国音乐产业投融资事件数为10，比2012年我国音乐产业投融资事件数11少，故A错误；对于B，由图可知2013~2018年我国录制音乐营收随音乐产业投融资事件数量的增加而增加，故呈正相关关系，故B正确；对于C，2016年我国音乐产业投融资事件的平均营收为6590.10÷≈亿美兀，故C错误；对于D，2013~2019年我国录制音乐营收年增长率最大的是2015年，年增长率为()373.6566÷≈-%，故D错误.故选：B【点睛】本题考查统计图的实际应用，考查数据处理能力，属于容易题.5.已知实数x，y满足不等式组4020250x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则34z x y=+-的最小值为（）A. 0B. 2C. 6D. 30【★答案★】B【解析】【分析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.【详解】由401203x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩(1,3),A ∴同理(3,1),B (7,9),C 如图，直线34z x y =+-平移到B 点时，z 取最小值为33142+⨯-=故选：B【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.6.用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形【★答案★】C【解析】【分析】不难作出截面是正三角形和正方形的例子，正六边形的例子是由相应棱的中点连接而成，利用反证法，和平面平行的性质定理可以证明不可能是正五边形．【详解】如图所示：截面的形状可能是正三角形（图1），正方形（图2），正六边形（图3）图1 图2 图3假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形．故选：C ．【点睛】本题主要考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，掌握正方体以及平面图形的几何特征，难点是借助于反证法，利用面面平行的性质定理判定C 错误，属于基础题．7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51a =，89a =，则12S =（）A. 30B. 60C. 90D. 120 【★答案★】B【解析】【分析】首先根据等差数列性质可知1125810a a a a +=+=，再代入前n 项和公式求12S .【详解】因为1125813+=+=，所以1125810a a a a +=+=，则()()1121211212660602a a S a a +⨯==+==.故选：B【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题型.8.已知函数()π4sin 36f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为[]0,m ，值域为[]2,4-，则m 的取值范围是（）A. 2π4π,99⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2π4π,99⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 2π4π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2π4π,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【★答案★】C【解析】【分析】根据已知可得πππ33666x m -≤-≤-，再结合值域为[]2,4-，即可确定π36m -的范围，进而可求出m 的取值范围.【详解】因为0x m ≤≤，所以πππ33666x m -≤-≤-，因为()24f x -≤≤，所以ππ7π3266m ≤-≤，解得2π4π99m ≤≤，故m 的取值范围是2π4π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力，属于基础题.9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线2x =对称，当02x <<时，()22x x f x +=-，则()5f =（） A. 3 B. 3- C. 7 D. 7-【★答案★】D【解析】【分析】由题意可得()()22f x f x +=-+，再将()5f 化成()1f -，即可得到★答案★；【详解】由题意可得()()22f x f x +=-+，所以()()()()()()35323211217f f f f f =+=-+=-=-=--=-. 故选：D.【点睛】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.10.在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（） A. π6 B. π4 C. π3 D. π2【★答案★】B【解析】【分析】把四面体ABCD 补成一个长，宽，高分别为2，2，1的长方体，取AB 的中点G ，连接GE ，GF ，运用条件可得GEF △是等腰直角三角形，然后可得出★答案★.【详解】如图，把四面体ABCD 补成一个长，宽，高分别为2，2，1的长方体，取AB 的中点G ，连接GE ，GF .因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//GF AC ，112GF AC ==，同理//GE BD ，112GE BD ==. 因为AC BD ⊥，所以GE GF ⊥，所以GEF △是等腰直角三角形，则π4EFG ∠=，即异面直线EF 与AC 所成的角为π4. 故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力与运算求解能力，属于基础题.11.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点()0,Q b .已知点P 在双曲线C 的左支上，且P ，Q ，F 不共线，若PQF △的周长的最小值是8a ，则双曲线C 的离心率是（）A. 3 3 C. 5 5【★答案★】D【解析】【分析】由双曲线的定义可得2PF PF a '=+，结合图示，可得当'P Q F 、、共线时，PQF △的周长最小，进而可得a 与c 的关系，代入公式，即可求出离心率。

闽粤赣三省十二校2020届高三上学期联合调研考试试题数学(文) 含答案

闽粤赣三省十二校2020届高三上学期联合调研考试试题数学（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}220A x R x x =∈--<，{}1,0,1-=B ，则A B =（）A ． {}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}02.已知()i z i 43=-()为虚数单位i ,则复数z 在复平面上所对应的点在（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.5.04.044.0,4,4.0log ===p n m ，则（）A.p n m <<B.n p m <<C.n m p <<D. m p n <<4.工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（） A.522 B.324C.535D. 5785.函数()ln xf x x=的图象大致为（） A ． B ． C ． D ．6.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 7，面积为12π，则椭圆C 的方程为（）A.116922=+y x B.14322=+y x C.1321822=+y x D.136422=+y x 7.已知43cos()si πn 6a a -+=，则7πsin()6a +的值为（） A.12B.3C.45-D.12-8. 如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =（） A43AD BE + B. 53AD BE + C. 4132AD BE + D. 5132AD BE +（8题图）（9题图）9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 在正视图上的对应点为P ，点C B A 、、在俯视图上的对应点为C B A 、、，则PA 与BC 所成角的余弦值为（） A.55B.25 C.22 D.51010.已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（）A.35B.317C.217D.49 11．已知奇函数()()()⎪⎭⎫⎝⎛><+-+=0,2cos sin 3ωπϕϕωϕωx x x f 对任意R x ∈都有()02=⎪⎭⎫ ⎝⎛++πx f xf ，现将()x f 图象向右平移3π个单位长度得到()x g 图象，则下列判断错误的是（） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()g x 图象关于直线712x π=对称C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称12.已知定义在R 上的可导函数()x f 的导函数为()x f '，满足()()x f x f >'，()1+=x f y 是偶函数，()220e f =，则不等式()x e x f 2<的解集为（）A.()2,∞-B.()0,∞-C.()+∞,0D. ()+∞,2第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13.已知函数()()⎩⎨⎧>-≤-=0,30,22x x f x x f x ，则()=2020f 。

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绝密★启用前
湘赣粤三省2020届高三毕业班下学期6月大联考
数学(文)试题
2020年6月
本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合{}32<-=x x A ,⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
==x y x A 2log 1．则A ∪B= A ．（－1,+∞） B ．（－1,5） C ．（－∞,1）∪（1,5） D ．（5,+∞）
2．已知i 为虚数单位,复数z 满足（2i+1）z=1－i,则z 在平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知20201
2019202020192020log 2019log ===c b a ，，,则
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞a ＞b
C ．c ＞b ＞a
D ．b ＞a ＞c
4．已知函数f （x ）=e x －（x+1）2（e 为自然对数的底）,则f （x ）的大致图象是
5．平面直角坐标系xOy 中,点)(00y x P ，在单位O 上,设α=∠xOP ,若)65,3(π
πα∈,且
5
3)6sin(=+πα,则0x 的值为 A ．
10343- B ．10343+ C ．10334- D ．10334--
6．2011年国际数学协会正式宣布将每年的3月14日设为国际数学节,来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率．现用我国何承天发明“调日法”来得到π的近似数,其原理是设实数x 的不足近似值和过剩近似值为a b 和c d )(*N d c b a ∈，，，,则c
a d
b ++是更为精确的不足近似值或过剩近似值．若令20631031<<π,则第一次用“调日法”后得15
47,它是π的更为精确的不足近似值,即20
631547<<π．若每次都取得简分数,则第n 次用调日法后π的近似值为36
113,则n 的值为 A ． 2 B ．3 C ．4 D ．5
7．已知非零向量r a ,r b 满足-=+r r r r a b a b ,且1=r a ,=r b 2=-r r r c a b ,则r a 在r c 方向上的投
影为。