《组合数学》 工学研究生 2

西安电子科技大学

研究生课程考试试题

考试科目：组合数学

考试日期：考试方式：闭卷任课教师：学生姓名：学号：

一、 （10分）设盒子中有3n 个球，其中有n 个样子相同的红球和n 个样子相同的篮球，而其余的n 个

球的颜色互相都不一样，且都不是红色或蓝色。现从中随机取出n 个球（不考虑取出来的球的次序），且要求红球和篮球一样多。那么，当n 为偶数时，可能有多少种不同的选取结果？

① 分析问题 ………………………………………………………………………………………… 4分

设红球选k 个，则篮球必选k 个，从而其它球应选n －2k 个，此时有k n n 2C 11-⋅⋅＝k

n n

2C -种不同的选取结果（k ＝0, 1, 2, …, n/2）。 ② 总的选取结果数为02C

C C n n n

n n

+++- ＝

∑=-2

2C

n k k n n

………………………………………… 4分

③ 计算总的选取结果数为1

2-n …………………………………………………………………… 2分

二、 （10分）请利用二项式展开的方法求652

652

被13除所得的余数。

① 展开()

()∑=-⨯+=+⨯=652

1

652652

652

652

652

250132

25013652i i i

i

C …………………………… 3分 ② 展开()

()

∑=-+=+===1631

163163163

163

163

163

4652

3133

31316

2

2i i i i C ………………………… 3分

③ 展开()

()

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯+=+⨯=⋅==∑=54

15454

54

54

3163

21313121332733

33

i i i

C ………………… 3分

④ 答：余数为3 ……………………………………………………………………………………… 1分

三、 （10分）将n 元面值为1元的人民币分给四名同学，且要求同学甲与乙分得的钱一样多，同学丙与

丁一样多，同时还要求甲同学至少分得2元钱。问共有多少种不同的分法？

① 分析问题，化为经典问题 …………………………………………………………… 2分 相当于将n 个相同的球放入4个不同的盒子，且甲盒与乙盒的球一样多，丙盒与丁盒的球一

样多，同时甲盒至少放2个球。 ② 进一步转换为两个盒子的问题 ………………………………………………………………… 2分 相当于将n 个相同的球放入2个大盒子A 和B ，每个盒子放偶数个球，且A 盒至少放4个球。 ③ 写母函数()()()

++++++=4

2

8

6

4

1x x x x x x G …………………………………… 2分

④ 求n

x 的系数n a ………………………………………………………………………………… 2分

()() +-+++++=k x k x x x x x G 2108641432

⑤ 答：分法总数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥-=其它为偶数,

04,12n n n n

a …………………………………………… 2分

四、 （10分）设集合S ＝{1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3}，试问由集合S 的10个基本数字可构成多少个不同的

四位数？

【方法1】用母函数

① 分析问题，写相应的（指）母函数 ……………………………………………………………… 4分

()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+++⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛+++=!4!11!3!2!1142

32e x x x x x x G

② 母函数展开()!

014200

!479!13110

4e x x x x G +++++= ………………………………… 4分 ③ 答：共有79种分法 ……………………………………………………………………………… 2分

【方法2】直接算排列组合 ① 集合{}3,2,1⋅∞⋅∞⋅∞='S 的4排列有4

3＝81种 …………………………………………… 4分

② 不符合要求的排列有“1111”和“2222”2个 ……………………………………………… 4分 ③ 故构成的四位数有81－2＝79个 ……………………………………………………… 2分 五、 （10分）由a 、b 、c 、d 、e 五个基本符号组成n 位符号串，其中希望相邻的两个字母不能同时为a ，

请问满足条件的串共有多少个？

① 设满足要求的串有n a 个，分析问题 ………………………………………………… 3分 首字母不是a 的串有41-n a 个；若首字母为a ，则次字母一定不是a ，这样的串有241-⋅⋅n a 个 ② 建立递推关系⎩⎨

⎧==+=--24

,544212

1a a a a a n n n ………………………………………………………… 3分

③ 解得()()

() ,2,1,02228

2

342228234=--+++=n a n n n …………………… 3分

④ 答：满足要求的串有()()()()

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--+++n n 22223422223481

个 ………………… 1分

六、 （10分）平面上有两两相交，但无3线共点的n 条直线，试求这n 条直线把平面分成多少个区域？

① 设把平面划分为n a 个区域，分析问题 ……………………………… 3分 第n 条直线被原来的n －1条直线分为n 段，而每一段又把所在的区域一分为二，即增加一

条直线，增加n 个新的区域。 ② 建立递推关系 ()

⎩⎨⎧=≥+=-2

2,11a n n a a n n …………………………………………… 3分

③ 解得 ()() ,2,1,012

1=++=

n n n a n

………………………………… 4分

七、 （10分）现有t 种不同颜色的球，其中第i 种颜色的球有i n 个（i ＝1, 2, …, t ）。要把这些球放入m

个不同的盒子中，且使每个盒子至少放入一个球，问共有多少种不同的放法？

① 分析问题，设全集S 和子集i A （i ＝1,2, …, n ） …………………………………………… 3分 设每个盒子不要求至少一个球的全部分配方案组成集合S ，其中第i 个盒子为空的所有分配

方案构成集合i A （i =1, 2, …, m ）。 其次，将i n 个相同的球放入m 个不同的盒子的方案数为i n

1n m C -+（即可重复组合数）