《组合数学》 工学研究生 2

西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目：组合数学考试日期：考试方式：闭卷任课教师：学生姓名：学号：一、 （10分）设盒子中有3n 个球，其中有n 个样子相同的红球和n 个样子相同的篮球，而其余的n 个球的颜色互相都不一样，且都不是红色或蓝色。

现从中随机取出n 个球（不考虑取出来的球的次序），且要求红球和篮球一样多。

那么，当n 为偶数时，可能有多少种不同的选取结果？① 分析问题 ………………………………………………………………………………………… 4分设红球选k 个，则篮球必选k 个，从而其它球应选n －2k 个，此时有k n n 2C 11-⋅⋅＝kn n2C -种不同的选取结果（k ＝0, 1, 2, …, n/2）。

② 总的选取结果数为02CC C n n nn n+++- ＝∑=-22Cn k k n n………………………………………… 4分③ 计算总的选取结果数为12-n …………………………………………………………………… 2分二、 （10分）请利用二项式展开的方法求652652被13除所得的余数。

① 展开()()∑=-⨯+=+⨯=652165265265265265225013225013652i i iiC …………………………… 3分 ② 展开()()∑=-+=+===1631163163163163163163465231333131622i i i i C ………………………… 3分③ 展开()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=+⨯=⋅==∑=5415454545431632131312133273333i i iC ………………… 3分④ 答：余数为3 ……………………………………………………………………………………… 1分三、 （10分）将n 元面值为1元的人民币分给四名同学，且要求同学甲与乙分得的钱一样多，同学丙与丁一样多，同时还要求甲同学至少分得2元钱。

问共有多少种不同的分法？① 分析问题，化为经典问题 …………………………………………………………… 2分 相当于将n 个相同的球放入4个不同的盒子，且甲盒与乙盒的球一样多，丙盒与丁盒的球一样多，同时甲盒至少放2个球。

② 进一步转换为两个盒子的问题 ………………………………………………………………… 2分 相当于将n 个相同的球放入2个大盒子A 和B ，每个盒子放偶数个球，且A 盒至少放4个球。

③ 写母函数()()()++++++=428641x x x x x x G …………………………………… 2分④ 求nx 的系数n a ………………………………………………………………………………… 2分()() +-+++++=k x k x x x x x G 2108641432⑤ 答：分法总数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥-=其它为偶数,04,12n n n na …………………………………………… 2分四、 （10分）设集合S ＝{1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3}，试问由集合S 的10个基本数字可构成多少个不同的四位数？【方法1】用母函数① 分析问题，写相应的（指）母函数 ……………………………………………………………… 4分()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=!4!11!3!2!114232e x x x x x x G② 母函数展开()!014200!479!131104e x x x x G +++++= ………………………………… 4分 ③ 答：共有79种分法 ……………………………………………………………………………… 2分【方法2】直接算排列组合 ① 集合{}3,2,1⋅∞⋅∞⋅∞='S 的4排列有43＝81种 …………………………………………… 4分② 不符合要求的排列有“1111”和“2222”2个 ……………………………………………… 4分 ③ 故构成的四位数有81－2＝79个 ……………………………………………………… 2分 五、 （10分）由a 、b 、c 、d 、e 五个基本符号组成n 位符号串，其中希望相邻的两个字母不能同时为a ，请问满足条件的串共有多少个？① 设满足要求的串有n a 个，分析问题 ………………………………………………… 3分 首字母不是a 的串有41-n a 个；若首字母为a ，则次字母一定不是a ，这样的串有241-⋅⋅n a 个 ② 建立递推关系⎩⎨⎧==+=--24,5442121a a a a a n n n ………………………………………………………… 3分③ 解得()()() ,2,1,022282342228234=--+++=n a n n n …………………… 3分④ 答：满足要求的串有()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++n n 22223422223481个 ………………… 1分六、 （10分）平面上有两两相交，但无3线共点的n 条直线，试求这n 条直线把平面分成多少个区域？① 设把平面划分为n a 个区域，分析问题 ……………………………… 3分 第n 条直线被原来的n －1条直线分为n 段，而每一段又把所在的区域一分为二，即增加一条直线，增加n 个新的区域。

② 建立递推关系 ()⎩⎨⎧=≥+=-22,11a n n a a n n …………………………………………… 3分③ 解得 ()() ,2,1,0121=++=n n n a n………………………………… 4分七、 （10分）现有t 种不同颜色的球，其中第i 种颜色的球有i n 个（i ＝1, 2, …, t ）。

要把这些球放入m个不同的盒子中，且使每个盒子至少放入一个球，问共有多少种不同的放法？① 分析问题，设全集S 和子集i A （i ＝1,2, …, n ） …………………………………………… 3分 设每个盒子不要求至少一个球的全部分配方案组成集合S ，其中第i 个盒子为空的所有分配方案构成集合i A （i =1, 2, …, m ）。

其次，将i n 个相同的球放入m 个不同的盒子的方案数为i n1n m C -+（即可重复组合数）∏=-+==ti S R 1n 1n m 0ii C，()∏=-+-==ti i A R 1n 1n 1m 1ii C，()∏=-+-==ti j i A A R 1n 1n 2m 2ii C()∏=-+-==ti k i i i k A A A R 1n 1n m ii k 21C （k =1, 2, …, m ）③ 由逐步淘汰原理计算结果 ……………………………………………………………………… 3分1L ＝m A A A 21＝()∑=-nk k knkR C 01＝()()∑∏==-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n0k 1n 1n m kn k i i C C 1ti k八、 （10分）某班每天放学后都要打扫卫生，其项目有扫地、整理桌椅、擦窗子和擦黑板共4项工作，故每天留下4名同学打扫卫生，每人恰好完成其中的一项。

而今天留下的4名同学中，甲愿意整理桌椅或擦窗子，乙则不愿意擦窗子，丙不愿意整理桌椅，丁同学对每一项工作都不挑剔。

那么，能给出多少种安排打扫卫生的方案，使得每个同学都不用干自己不愿意干的工作？方法I① 分析问题，对应为如下的棋盘布局问题 ……………………………………………………… 3分② 求禁区A 的棋盘多项式()A R ＝31+ ……………………………………… 2分或分离为2个小棋盘，()A R ＝()()22x 12x 1x +++＝322541x x x +++③ 套公式：()B N ＝()()()()()()!01!2!1!21A r n A r n A r n n n-+--+-- ……………………… 3分④ 答案：()B N ＝4!－4×3!＋5×2!－2×1!＋0×0!＝8 ………………………………………… 2分九、 （10分）设n 是大于1的奇数，证明在121-，122-，…，121--n 中必有一个数能被n 整除。

① 构造n 个正整数()n i a i i ,,2,12 == …………………………………………………… 4分 ② 令()n a r i i mod ≡，则由n 为奇数知令0≠i r ，即11-≤≤n r i （i =1,2,…,n ）…………… 6分 ③ 由抽屉原理知必有2个i r 相等，设k j r r =且j <k ……………………………………………… 6分 ④ 由此知n 整除()12222-=-=--j k j j k j k a a ……………………………………………… 6分 ⑤ 但n 为奇数，故n 不能整除j2，从而n 必整除12--jk （1≤k －j ≤n －1）……………… 6分另法：张国良，刘晓东十、 （10分）桌子上放着一些大小一样的等边三角形木框，且每个木框的每条边都被染成了彩色。

经统计，所用的颜色共有10种。

那么，如果按照木框的边的颜色异同对其进行分类，请问这些木框最多可以分成多少类。

① 写置换 …………………………………………………………………………………………… 4分1p ＝(1)(2)(3)，2p ＝(123)（旋转120°），3p ＝(132)（旋转270°） , 4p ＝(12)(3)（翻转），5p ＝(1) (23)（翻转），6p ＝(13)(2)（翻转）。

② 由Pólya 定理，木框分类数为L ＝()231031021041⋅+⋅+ ………………………… 4分 ③ 答案：木框最多的分类数为L ＝220 ………………………………………………………… 2分。