高考数学数列通项公式与数列求和专题复习(专题训练)

专题六、数列（二）
1.求数列的通项公式关键是找出数列的递推式。

根据数列的递推式的不同，数列通项公式的求解主要有14种题型。

2.数列求和的常用方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法；（6）周期法。

例1.如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列：1，3，6，10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，则
=∞
→n
n S n 3
lim
__________
例2.已知数列{n a }中，1a =1，n≥2时，32
3
83131--=--n n n a a ， 则{n a }的通项公式为___________
例3.（2017山东）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且12323,2x x x x +=-= （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点112211(,1),(,2)...(,1)n n P x P x P x n +++得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0,({})i n y x x x x ==所围成的区域的面积n T .
例4.已知函数4
1
21)(2
+-
=x x x f ，若数列{b n }满足：11=b ，)(21n n b f b =+（n ∈N *）．若对任意n ∈N *，都存在有M ∈Z ，使得
M b b b b n
<+⋅⋅⋅+++1
111321恒成立， 则整数M 的最小值是____________
变式训练：
1.已知数列{a n }满足a 1=3，a n+1•a n +a n+1+1=0，则a 2011=___________
2.数列{a n }中，11=a ，11-++⋅=
n n n n a a a a ，则{n a }的通项n a =___________
3.在数列{a n }中，a 1=2，na n+1=（n+1）a n +1，则{a n }通项公式n a =___________
4.（2012上海）若S n =sin 7
π+sin 72π+…+sin 7πn （n ∈N *），则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的
个数是___________个。

5.已知n
n n a a S 1
2+
=，则S 2014=____________ 6.已知数列{a n }满足a 2=1，)
2(1
1+=
-+n n a a n n ，若1212-+>n n a a ，n n a a 222<+（n ∈N +），则
数列{n n a )1(-}的前40项的和为____________ 7.已知函数2
sin
)(2
π
n n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则a 1+a 2+a 3+…+a 2014=____________ 8.已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=，且1
2
1
2
++++=
n n n n a a a a ，则如图中第10行所有数的和为_________
9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +1=2a n ，则使不等式a 12+a 22+…+a n 2＜5×2n+1成立的n 的最大值为____________
10.设S n 为数列{a n }的前n 项之和．若不等式2122
2
a n
S a n n λ≥+对任何等差数列{n a }及任何正整
数n 恒成立，则λ的最大值为________________
11.（2017闵行区一模）已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*
n N ∈，有2n n a a +=， 数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*
n N ∈），若数列2{}n
n
b a 中的任意一项都在该数列中重复出现无 数次，则满足要求的1b 的值为
12.给定100<≤x 对一切整数n ＞0，令=n x ⎪⎩⎪⎨⎧
≥-<----1
2121
2211
11n n n n x x x x ，，，则使60x x =成立的0x 的
个数为____________
13.如图，△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，…，△A n ﹣1B n A n 均为等腰直角三角形，其直角顶点B 1，B 2，…，B n （n ∈N *）在曲线)0(1
>=
x x
y 上，A 0与坐标原点O 重合，A i （i ∈N *）在x 轴正半轴上．设B n 的纵坐标为y n ，则y 1+y 2+…+y n =____________
14.如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），然后接着按图所示在x 轴，y 轴平行方向来回运动（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）…），若每秒运动一个单位长度，那么第2010秒时，这个粒子所在的位置为（ ）
A.（16，44） B .（15，44） C .（14，44） D .（13，44）
15.（2017普陀区一模）已知数列的各项均为正数，且，对任意的，均有
，；
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求； （3）设，数列的前项和为，是否存在正整数（），使得
、、成等比数列，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
16.（2017浦东新区一模）设数列{}n a 满足2
1241n n a a n n +=+-+，2
2n n b a n n =+-； （1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；
（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、r (2)q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当 排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)q r ； （3）若11a =，n n c b n =+
，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数；
{}n a 11a =*
n N ∈2114(1)n n n a a a +-=⋅+22log (1)1n n b a =+-{1}n a +{}n a {}n b {}n a {}n c 12100c c c ++⋅⋅⋅+1
1
n n n d b b +=
⋅{}n d n n T m 1m n <<1T m T n T m
17.（2017崇明县一模）已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和；
（1）若数列{}n a 是首项为
23
，公比为1
3-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；
（2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设n
n n
a c
b =，求证：数列{}n
c 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；
18.（2017徐家汇区一模）正数数列、满足：，且对一切，，是与的等差中项，是与的等比中项； （1）若，，求、的值；
（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；
（3）记，当，，指出与的大小关系并说明理由；
{}n a {}n b 11a b ≥2k ≥k N *
∈k a 1k a -1k b -k b 1k a -1k b -22a =21b =1a 1b {}n a n a ||n n n c a b =-2n ≥n N *
∈2n c c ++ 1c
19. （2017嘉定区一模）已知无穷数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =，
11n n n rS a a +=-，其中1a ≠，常数r N ∈；
（1）求证：2n n a a +-是一个定值；
（2）若数列{}n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*
n N ∈，都有n T n a a +=成立，则称{}n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期； （3）若数列{}n a 是各项均为有理数的等差数列，1
23
n n c -=⋅（*
n N ∈），问：数列{}n c 中的
所有项是否都是数列{}n a 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例；
20.如图，已知曲线C 1：)0(12>+=
x x x y 及曲线C 2：)0(31
>=x x
y ，C 1上的点P 1的横坐标为a 1（0＜a 1＜）．从C 1上的点P n （n ∈N +）作直线平行于x 轴，交曲线C 2于点Q n ，再从点Q n 作直线平行于y 轴，交曲线C 1于点P n+1．点P n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a n }
（Ⅰ）试求a n+1与a n 之间的关系，并证明：n n a a 2122
1
<<
-； （Ⅱ）若a 1=31，求证：|a 2﹣a 1|+|a 3﹣a 2|+…+|a n+1﹣a n |＜3
4
．。