现代数学和中学数学1微积分从黎曼到勒贝格概要共21页
黎曼积分与勒贝格积分的区别
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分学中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
在实际应用中，常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。
本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。
1. 定义黎曼积分是由德国数学家黎曼提出的，是微积分中最基本的积分形式。
对于一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上的黎曼积分定义为：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，Σ f(xi)Δxi表示对区间[a, b]进行分割，取各子区间上任意一点xi，然后求和得到的黎曼和，当分割数n趋于无穷大时，这个黎曼和的极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的黎曼积分。
而勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格提出的，是对黎曼积分的一种推广。
勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更广泛的函数类。
勒贝格积分的定义涉及到测度论的概念，需要引入测度空间的概念，因此比黎曼积分更加抽象和复杂。
2. 性质黎曼积分和勒贝格积分在性质上也有一些区别。
黎曼积分对函数的要求相对较高，需要函数在有限闭区间上有界且可积。
而勒贝格积分对函数的要求较低，只需要函数是可测的即可进行勒贝格积分。
此外，黎曼积分是通过分割区间并取极限的方式定义的，因此对分割的精细程度有一定要求，而勒贝格积分则是通过测度的概念来定义的，更加灵活和一般化。
3. 应用在实际应用中，黎曼积分和勒贝格积分各有其优势和适用范围。
黎曼积分在初等数学和物理等领域有着广泛的应用，例如计算曲线下面积、求定积分等。
而勒贝格积分则在测度论和概率论等领域有着重要的应用，能够处理更加复杂的函数和集合。
总的来说，黎曼积分是微积分中最基本的积分形式，适用于一般函数的积分计算；而勒贝格积分是对黎曼积分的推广，更加抽象和一般化，适用范围更广，能够处理更加复杂的函数和集合。
综上所述，黎曼积分和勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在一定的区别，各有其特点和适用范围。
黎曼积分与勒贝格积分
黎曼积分与勒贝格积分积分是微积分中重要的概念之一。
在实际问题中，我们常常需要求解一个区间内函数的面积或者体积。
这个过程就称为积分。
积分有很多种，今天我想和大家聊一聊黎曼积分和勒贝格积分。
一、黎曼积分黎曼积分最早是由德国的数学家黎曼提出的。
它是积分的一种基本形式，从历史上来看，黎曼积分是最早被人们所接受的一种积分形式。
黎曼积分的定义非常简单，假设有一个区间[a，b]，f(x)是[a，b]上的一个函数，我们将区间[a，b]进行分割，得到n个小区间[a1，b1]，[a2，b2]，……，[an-1，bn-1]，然后在每个小区间内分别取一点xi（ai≤xi≤bi），然后求出每个小区间上函数f(x)的取值和小区间长度之积的和，即∑f(xi)Δxi（i=1，2，……，n），当分割越来越细，n越来越大时，和式∑f(xi)Δxi的极限值就是函数f(x)在区间[a，b]上的黎曼积分。
黎曼积分的优点是在实际计算中比较简单，但它也有一些局限性，比如说不是所有的函数都可以积分，例如在非连续点处黎曼积分是没有定义的。
二、勒贝格积分勒贝格积分是20世纪初期法国的数学家勒贝格提出来的。
它是通过使用类似度量论的概念，对几乎处处连续的函数进行积分，从而将积分的适用范围扩展到了更广泛的函数上。
具体来说，假设有函数f（x），它在[a，b]上几乎处处连续，记E为f（x）在[a，b]上所有不连续点的集合。
我们可以在每个不连续点处定义一个容许误差，使得在这个误差以内f（x）可以任意变化，而在误差以外随着分割越来越细，误差的贡献趋近于0。
于是我们就得到了函数在[a，b]上的勒贝格积分。
勒贝格积分相对于黎曼积分而言，可以积分更多的函数，也避免了因非连续点而产生的积分误差。
但是它在实际计算上会稍稍麻烦一些。
三、总结黎曼积分和勒贝格积分是积分的两种基本形式。
黎曼积分在实际计算中比较简单，但不是所有函数都能够使用黎曼积分。
勒贝格积分是一种更加通用的积分形式，它可以积分更多的函数，但相对于黎曼积分而言，计算会有一些复杂。
黎曼积分与勒贝格积分的区别
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等。
在实际应用中，常常会遇到需要对不同类型的函数进行积分的情况。
而黎曼积分和勒贝格积分是两种常见的积分方法，它们在定义和适用范围上存在一些区别。
本文将详细介绍黎曼积分和勒贝格积分的区别。
一、黎曼积分黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，是最早被广泛应用的积分方法之一。
黎曼积分的定义是通过将区间[a, b]分成若干小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，计算函数在这些样本点处的取值与小区间长度的乘积，再将这些乘积相加得到的极限值。
黎曼积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，n是将区间[a, b]分成的小区间的个数，xi是每个小区间上的样本点，Δxi是每个小区间的长度。
黎曼积分的优点是定义简单，易于理解和计算。
但是，黎曼积分的适用范围有限，只能对一些特定类型的函数进行积分。
对于某些函数，黎曼积分可能不存在或者无法计算。
二、勒贝格积分勒贝格积分是由法国数学家勒贝格在20世纪初提出的，是对黎曼积分的一种推广。
勒贝格积分的定义是通过将函数的定义域分成若干个可测集，然后在每个可测集上计算函数的上积分和下积分，如果上积分和下积分相等，则称该函数是勒贝格可积的，其积分值即为上下积分的公共值。
勒贝格积分的计算公式如下：∫f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ+ -∫[a, b] f(x) dμ-其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，dμ是勒贝格测度，∫[a, b] f(x) dμ+和∫[a, b] f(x) dμ-分别是函数f(x)在积分区间上的上积分和下积分。
勒贝格积分的优点是适用范围广泛，可以对几乎所有的函数进行积分。
勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更复杂的函数和测度空间。
微积分简介
欧几里得
撰写《几何原本》，为几何学的发展奠定基 础。
微积分的发明：牛顿与莱布尼茨的贡献
牛顿
提出“牛顿三定律”，为物理学的发展奠定基础，同时发明了微积分。
莱布尼茨
发现微积分的基本原理，并发明了微积分的符号系统。
微积分的发展与完善：19世纪的数学家们
拉格朗日
01
对微积分进行进一步的完善和发展，提出“变分法”
微积分在物理学的应用前景
量子力学与相对论
微积分在量子力学和相对论等物理学领域中有着广泛的应用前景。
复杂系统与混沌理论
微积分可以用于研究复杂系统和混沌理论，揭示了许多自然现象和 社会现象中的规律和奥秘。
生物物理学与化学动力学
微积分在生物物理学和化学动力学等领域中也发挥着重要作用，为 研究生命科学和化学反应提供了重要的工具。
数学问题。
数值计算
02
了解数值计算的基本方法，能够使用数值计算解决一些实际问
题。
图形可视化
03
掌握图形可视化的基本方法，能够使用图形可视化解决一些实
际问题。
学习微积分的实际应用案例
物理应用
了解微积分在物理学中的应用，如牛顿定律、动 量、能量等。
经济应用
了解微积分在经济学中的应用，如最优化问题、 供需关系等。
04
微积分的未来发展
计算机对微积分的影响
计算能力的提升
随着计算机硬件的不断发展，计算能力得到了大幅提升，这为微积分的发展提供了强有力的支持。
数值计算与模拟
计算机可以用于进行大规模的数值计算和模拟，从而解决了许多微积分中的难题。
符号计算与可视化
计算机可以符号计算的方式进行微积分计算，同时还可以通过可视化技术将计算结果以图表的形式呈现 ，使得结果更加直观易懂。
黎曼积分与勒贝格定理
黎曼积分与勒贝格定理积分是高中数学中常见的概念。
但是，高中所学习的积分仅限于定积分和不定积分。
定积分是将函数沿一个区间上的曲线围成的面积作为函数在该区间上的积分值；不定积分是给定函数，求出一个新的函数，它的导数就是原函数。
然而，这两种积分方式都是基于实数集上的，无法处理某些函数在所有实数点处都没有定义的情况。
因此，需要引入黎曼积分和勒贝格定理。
一、黎曼积分黎曼积分的定义是：对于一个有界函数f(x)和定义域[a, b]的区间，将该区间分成n个小区间[a0, b0], [a1, b1], ..., [an-1, bn-1]，其中a=a0<b0<a1<b1<...<bn-1<b=n，将每个小区间分别乘以函数值的平均数，然后将所有小区间的积加起来，以这个和逼近该区间上的积分值。
当小区间数量趋近于无穷时，黎曼积分的定义域就变为实数集，可以处理实数集上的所有有界函数，且黎曼积分是线性的、可加的、对称的。
二、勒贝格定理然而，黎曼积分并不能处理某些非常规函数，如Dirichlet的函数。
为了解决这个问题，勒贝格定理被提出。
勒贝格定理的基本思想是在分割区间上进行划分，使得区间长度越来越小，同时令每个小区间上的函数差异越来越小。
这个过程被称为分割区间的细分。
在勒贝格定理中，将函数的可积性定义为上积分和下积分的差值不超过ε，ε为一个任意小的正数。
上积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最大的点相乘，下积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最小的点相乘。
勒贝格定理的唯一缺点是不能计算所有函数的积分值，但它可以保证对于所有可积函数，积分的解是唯一的。
三、黎曼积分和勒贝格定理的联系尽管黎曼积分和勒贝格定理的定义方式不同，但它们有很多相似之处。
首先，它们都可以处理有界函数；其次，都是线性、可加、对称的定理。
黎曼积分和勒贝格定理的区别在于它们如何处理不可数函数。
黎曼积分可以处理初等函数，但无法处理瑕积分。
从定义出发看黎曼积分和勒贝格积分
从微分、积分的角度谈谈R 积分与L 积分的关系一、从黎曼积分到勒贝格积分勒贝格积分是20世纪初（1902年）法国数学家勒贝格提出来的，它的发展比数学分析中所讲的黎曼积分（1854年）要迟半个世纪.我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要的作用，但是这些都限于古典范围.近代物理与概率论的发展，要求更为精密的数学工具.而且可以说，黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，这对量子力学中的物理量与一般随机量的数学期望值来说显然是不够用的.就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便.用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活深刻与自然的.在数学史上，正是由于这一类问题的提出，才促使勒贝格积分的产生.事实上，如果不用勒贝格测度概念，数学分析中的一些道理很难讲清楚，所以我们的前辈们在黎曼积分的基础上发展出了勒贝格积分.二、从定义出发看黎曼积分和勒贝格积分1、ℜ积分的定义设在f []b a ,上有界，对[]b a ,作分割}...{10b a T x x x n <<<<==即[]b a ,=nk kE1=.其中令}),(sup{E Mk kx x f ∈=，}),(inf{E m kkx x f ∈=，x x x k k k 1--=∆，],[101x x E =，],[1x x E k k k -=，n k ...3,2=x M k nk k T f s ∆=∑-1),( x m k nk k T f s ∆=∑-1),(}inf{)()(），（T f s dx x f R ba=⎰，),(sup{)(T f s dx x f R ba=⎰）（分别称为)(R 上积分和)(R 下积分，如果)(R 上、下积分存在且相等，则称)(x f 在[]b a ,上R 可积.将R 上、下积分的公共值记为)(x f 在[]b a ,上R 的积分，记为⎰ba dx x f R )()(.我们说黎曼积分的定义是从求曲边梯形的面积引入的，我们回忆一下其最原始的概念。
浅谈黎曼积分与勒贝格积分
浅谈黎曼积分与勒贝格积分1 序言积分是整个分析数学中最基本的概念，我们已学过的积分有黎曼积分(简称R 积分)和勒贝格积分(简称L 积分)．黎曼积分产生于1854年，它对于处理诸如逐段连续函数以及一致收敛的级数来说是足够的．但对量子力学中的物理量与概率论中一般随机变量的数学期望是不够用的．而勒贝格积分是实变函数论的中心课题，由法国数学家勒贝格在20世纪初（1902年）提出来的．它是黎曼积分的推广与发展，是一种新型积分理论．它对于处理数学分析中的一些重要结果，如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿—莱布尼茨公式问题是相当灵活深刻与自然的．2 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系2.1 积分定义首先我们从两种不同的分划来考察这两种积分．定义1)146145](1[-P 设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，区间[]b a ,作分划b x x x a T n =<<<= 10:，将[]b a ,分成几部分，在每个小区间[]1,+i i x x 上任取一点i ξ，1,,1,0-=n i 记1--=∆i i i x x x ，作和)()(11i i n i i x x f -=--=∑ξσ．令)m ax (1i i x x -=+λ．如果对区间任意的分划与i ξ的任意取法，当0→λ时，σ趋于有限的极限I ，则称它为()x f 在[]b a ,上的黎曼积分，记为：dx x f R I ba⎰=)()(．而勒贝格积分有如下定理： 定理1)135](2[P 设()x f 是[]b a ,上的有界可测函数，()≤≤x f c d ．对于[]d c ,的分法，d y y y c n =<<<= 10，令[](){},,,;,max 111i i i i i ni y x f y b a x x e y y y <≤∈=-=∆--≤≤任取[]i i i y y ,1-∈η，则ini iy b a me dm x f ∑⎰=→∆=1],[lim)(η (ime 表示ie 的测度)此定理说明，勒贝格积分也如同建立黎曼积分那样，通过分划、近似求和、取极限三步来得到，但与黎曼积分不同之点是“分法”的不同．勒贝格积分是对函数值域[]d c ,进行分划．在集合[](){}i i i y x f y b a x x e <≤∈=-1,,;上，函数值()x f 变化不大，近似于()x f ，从而保证了极限i iy me ∑→∆ηlim的存在．而黎曼积分则是对定义区间[]b a ,的分划b x x x a n =<<<= 10，{}i ni x x ∆=∆≤≤1max ，取[]i i i x x ,1-∈ξ，此时，无论x∆怎样小，即分法无论怎样“细”，()x f 在[]i i x x ,1-上的变化可能是很大的．于是极限()ini ix xf ∆∑=→∆1limξ就有可能不存在，即黎曼不可积．因此有界可测函数虽然在[]b a ,上的勒贝格积分存在，但黎曼积分就不一定存在了．实质上，黎曼积分是将定义区间[]b a ,分成小区间[]i i x x ,1-，而勒贝格积分是将定义区间[]b a ,分成小的可测集i e ，()x f 虽在某个小的区间[]i i x x ,1-上可能变化很大，而在每个小集合i e 上可能变化很小．2.1 函数的可积范围勒贝格可积函数类比黎曼可积函数类广泛．勒贝格积分比较完整地扩充了黎曼积分，比较系统地克服了黎曼积分的某些缺陷．定理2)147](1[P 定义在有限区间上的函数若为R 可积，则必为L 可积，且积分值相等．（这说明勒贝格可积函数集是黎曼可积函数集的推广）．另外一方面，勒贝格可积却不一定黎曼可积．例1 函数()⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x x D ,1,0在[]10，上有界但不是R 可积的，却是L 可积的． 证 显然[]1,0,1)(∈≤x x D ．对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，1)(11=∆=∆∑∑==ni iin i ixx D ξ；当取i ξ全为无理数时，0)(1=∆∑=ini ixD ξ．所以不论T 多少小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即)(x D 在[]10，上R 不可积．可见黎曼可积函数类受到一定条件的限制． 而在L 积分定义下，此函数在[]10，上是勒贝格可积的，且 ()[]0)(1,0=⎰dm x D L ．可见勒贝格积分比黎曼积分的积分适应范围广．2.2 积分的可加性)101100](3[-P这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性．黎曼积分具有有限可加性，即若()n i E E E E i ni i ,,2,1,,1===，均为有限区间．(),j i E E j i ≠Φ= 则有()∑⎰⎰==ni E Eidx x f dx x f 1)(．但是黎曼积分不具有可数可加性．例如取 ()(],,2,1,1,11,1,11,1,0,1~=⎥⎦⎤⎝⎛+=⎥⎦⎤ ⎝⎛+===i i i E n E E x f i 则∞==1i iEE ， ni iEE 1~==， ()j i EE ji≠Φ= ，从而有1)(~+=⎰n ndx x f E， 1)()()()(211+=+++=⎰⎰⎰∑⎰=n ndx x f dx x f dx x f dx x f niE E E ni E ， 1)(=⎰dx x f E，=∑⎰∞=dx x f i E i1)( ++++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f nE E E )()()(21++-+--++-+-=1111113121211n n n n 1≠， 所以,)()(~1dx x f dx x f Eni E i⎰∑⎰==dx x f dx x f Ei E i⎰∑⎰≠∞=)()(1．对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷．我们有下面的定理做保证．定理3)101](3[P 设()x f 是有界可测集E 上的可积函数，∞=iiEE ，i E 等均可测且两两不相交，则有dm x f dm x f i E Ei∑⎰⎰∞==1)()(．对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解．我们知道，R 积分建立在具有有限可加性的测度之上，L 积分建立在具有可数可加性的L 测度之上，因此也就反映到了相应的积分上来了．2.3 可积函数的连续性连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数．比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的．非黎曼可积的函数的例子也是容易举出的．例如狄利克雷函数)(x D 就不是黎曼可积的．那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件．他将函数的可积性归结到了函数的内在性质——连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚．这个可积条件是：有界函数)(x f 在[]b a ,上黎曼可积的充要条件是)(x f 的不连续点集为零测度集．例如黎曼函数)(x R ⎪⎩⎪⎨⎧>==为无理数当为互质的整数）当x q p q q p x q ,0,,0(,1这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的．虽然在[]10，中有无穷多个有理点，而黎曼函数在[]10，上的不连续点有无穷多个，但这个函数在[]10，上仍然是黎曼可积的，且有⎰=100)(dx x R ，事实上，[]10，中的全体有理数组成一个零测度集．所以黎曼函数是黎曼可积的． 现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质．设)(x f 是可测集)(∞<⊂mE R E 上的连续函数，则)(x f 在E 上勒贝格可积⇔)(x f 在E 上勒贝格可测．那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性的区别在哪里？我们有下面的鲁津定理．设)(x f 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则对于任意0>δ，存在闭子集E E ⊂δ，使)(x f 在δE 上是连续函数，且δδ<-)(E E m ．从这个定理可以看出，在可测集E 上几乎处处有限的可测函数是基本连续的，或称为是近于连续的．因此勒贝格可积函数是近于连续的．对应于黎曼可积函数的情形，有0)(=-δE E m ．例如，在[]10，上定义的狄利克雷函数)(x D ： )(x D ⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x ,1,0显然)(x D 是有界函数，但)(x D 在[]10，上无处连续，所以在[]10，上)(x D 的所有不连续点组成的集合为[]1,0=E ，且01≠=mE ，所以)(x D 不是黎曼可积的，但)(x D 是简单函数，所以)(x D 是可测的，从而)(x D 是勒贝格可积的．通过上面的讨论，黎曼积分与勒贝格积分的区别也就不难看出． 2.4 积分与极限的交换勒贝格积分较黎曼积分优越些．对于黎曼积分来说，积分求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛（当然，这是充分条件），极限才可以与积分符号交换顺序．这从运算的角度看不仅不方便，限制也过强．而对于勒贝格积分，我们有勒贝格控制收敛定理，勒维定理．从这两个定理出发，我们可以得到对于非负可测函数项级数是可以逐项积分的．对于勒贝格积分来说，要使积分号与极限号能换序，无须一致收敛那样强的条件，只需可测函数列{}n f 几乎处处收敛(或更弱一些依测度收敛) ，且有可积的控制函数)(x g 就行．用狄利克雷函数)(x D 来说明，把[]10，中的有理点依次排列为 n r r r ,,,21， 做函数)(x D n ：)(x D n {}⎩⎨⎧∈=.,0,,,,121其余情形若n r r r x则{}N n n x D ∈)(几乎处处收敛于)(x D ，)(x D n ≤)(x D 且)(x D n .,0N n ∈≥因此在L 积分意义下，有[][]⎰⎰==∞→1,01,0.0)()()(limdm x D L dm x D n n但)(x D 不是R 可积的，就谈不上上述极限等式成立的可能性．尽管在R 积分意义下， ⎰=10,0)()(dx x D R n .N n ∈定理4)141](1[p （勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下述条件：)(x f n 的极限存在，)(x f )(lim x f n n ∞→=，且有可积函数)(x g 使);)(()(N n E x x g x f n ∈∈≤，那么，f 可积且有dm x f dm x f En n E)(lim )(⎰⎰∞→=．例2)208](1[P 求极限⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n ．解 因为nx xn nx522sin 121+在[]1,0上连续，所以在[]1,0上R 可积．又因为 212121222252211sin 1-+=+≤+x xn nx x n nx nx x n nx ， []1,02121L x ∈≤-，0sin 1lim52221=+∞→nx xn nxn ，[]1,0∈x ． 由勒贝格控制收敛定理，得 ⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n=nxdm x n nx L n 5]1,0[22sin 1)(lim 21⎰+∞→=[]001,0=⎰dm ．定理5)138](3[P 设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下面的条件：;)()(021 ≤≤≤x f x f ),()(lim x f x f n n =∞→则)(x f n 的积分序列收敛于)(x f 的积分：.)(lim )(dm x f dm x f n n E∞→=⎰定理6)137](1[P 设)(x f ，)(x u n ，)(N n ∈均为可测集E 上的非负可测函数，且)()(1x u x f n n ∑∞==，则.)()(1dm x u dm x f n En E∑⎰⎰∞==勒维定理用起来特别方便，在R 积分论中没有任何类似结果可与之比拟，试看一个简单例子．例4)207](1[P 设)(x f 0≥为可测函数,令 {}⎩⎨⎧=,0),()(x f x f n ,)(,)(n x f n x f >≤则当)(x f 几乎处处有限时,有{}⎰⎰=∞→EnEn dm x f dm x f )()(lim．证 令{}n n x f x f )()(=，则)(x f n )(,0x f n ≥单调上升,且几乎处处收敛于)(x f , 据勒维定理即知⎰⎰=∞→EEn n dm x f dm x f )()(lim ．2.5 牛顿—莱布尼茨公式数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式 dt t f a f b f ba)()()('⎰=-．在数学分析中通常在)(x f 有连续导数的假定下证明上述公式．或者将条件减弱些，但总要求)('x f 为R 可积才行．可是对L 积分情形，可以在)('x f 为L 可积的条件下进行讨论，并且由可积函数可引进一种绝对连续函数概念，后者几乎处处存在有限导数．看以下定理:在通常数学分析中，对微积分学基本定理，即牛顿—莱布尼茨公式 ⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(成立所给的条件是很严的；)(x f 在[]b a ,上连续，)()('x f x F =，[]b a x ,∈，即)(x F 是)(x f 的任一原函数．换言之有定理7)143](2[P 若)('x F 在[]b a ,上连续，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理的条件可减弱如下：定理8 若)(x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()()b a x x f x F ,,'∈=则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理9 若)(x f 在[]b a ,上可积(不一定连续)，且)()('x f x F =，[]b a x ,∈，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(而勒贝格积分中的牛顿-莱布尼茨公式成立的条件为:定理10)144](2[P 若)(x F 在[]b a ,上可微，且)('x F 有界，则)()('x f x F =勒贝格可积，且⎰-=baa Fb F dm x f L ).()()()(定理10告诉我们，对于具有有界导数的函数，牛顿—莱布尼茨公式成立．以上四个定理均给出牛顿—莱布尼茨公式成立的充分条件．那么什么是该公式成立的充要条件呢？我们叙述结果之前先给出定义２)145](2[P 设)(x f 定义在[]b a ,上，如果0,0>∃>∀δε，使得对于[]b a ,上任意有限个互不相交的开区间族{}),(i i a b ，当δ<-∑)(i iia b时，就有ε<-∑ii i a f b f )()(成立，则称)(x f 是[]b a ,上的一个绝对连续函数．定理11)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()('b a x a F x F dm t F L xa∈-=⎰成立的充要条件是)(x F 在[]b a ,上绝对连续．进而可得定理12)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()(b a x a F x F dt t f R xa∈-=⎰成立的充要条件是：（1）)(x f 在[]b a ,上黎曼可积，（2）)(x F ∃，在[]b a ,上绝对连续，使得)()('x f x F =在[]b a ,上几乎处处成立．【附注】定理12的充要条件（2）可改为 (2'))(x F ∃在[]b a ,上满足莱布尼茨条件，使得)('x F )(x f =在[]b a ,上几乎处处成立．其中)(x F 满足莱布尼茨条件是指:,,,021x x c ∀>∃[]212121)()(,,x x c x F x F b a x x -<-⇒∈．由定理11, 定理12可知，)(x f 勒贝格可积是不定积分存在的充要条件；而黎曼可积与原函数存在之间并无必然的联系，即存在黎曼可积但无原函数的函数，也有原函数存在但黎曼不可积的函数．例5)7574](4[-P符号函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=.0,1;0,0;0,1)sgn(x x x x 在[]1,1-上是黎曼可积的，但函数)sgn(x 不存在原函数．例6函数)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0,0,0,1cos 21sin 2222x x x x x 存在原函数)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 2x x xx 但)(x f 在[]1,1-上不是R 可积的，因为221cos 2xx 在[]1,1-上无界． 所以说勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越．3 总结综上所述，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且因为它所具有的独特的性质，解决了古典分析中许多解答不了的问题，使分析数学进入到现代分析时代．然而，随着函数论、概率论等各门学科的发展，也暴露出来勒贝格积分的局限性．数学的发展将是不可限量的．可以预测：随着依赖数学为基础的其他学科的发展，积分的发展也会越来越完善．参考文献[1] 郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要[M]．高等教育出版社，2004 [2] 朱玉堦．实变函数简编[M]．高等教育出版社，1987[3] 潘学锋．浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系[J]．甘肃联合大学学报，2007，09 [4] 汪秀荣．从黎曼积分、勒贝格积分看积分理论的发展[J]．广西师院学报，1996，09 [5] 张良勇，董晓芳．浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变[J]．高等函授学报，2006，08 [6] 周成林．勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系[J]．新乡教育学报，2005，09 [7] 刘晓辉，刘文菡．勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性[J]．新余高专学报，2006，02 [8] Serge Lang ．Realand Function Analysis 3rd ed [M]．Spring-Verlag ，1997。
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别黎曼积分和勒贝格积分是微积分中的重要概念，它们的联系与许多定理有着密不可分的关系，这篇文章首先将简要介绍它们的概念，然后讨论它们之间的联系和区别。
黎曼积分指定义在定义域上函数及其导数组成的可积函数，它的定义源于数学家黎曼的研究，主要包括类连续型函数及其衍生物的积分，这样的积分的计算可以方便的由柯西积分和分部积分来实现。
勒贝格积分（Leibniz Integral）又称作定积分，是微积分中极为重要的概念，它可以用来对被积函数与定义域范围内的某一点（通常作为积分上限）上的值作出定义，从而计算出函数在定义域内满足某种约束条件时的定量结果。
它是科学家勒贝格早期研究的体现，这类积分具有可积性、同参数性等特征。
黎曼积分和勒贝格积分之间的联系非常密切，它们最主要的区别在于它们的定义方式。
首先，它们各自的定义条件是不同的，前者要求函数及其导数连续，而后者则要求函数及其定义域范围内某一点上的值作出定义。
其次，在实际计算上，勒贝格积分更加困难一些，因为在函数的定义域范围内的某一点上的值的定义需要更多的计算才能得出，而黎曼积分则只要求函数及其导数的连续性，因此，计算上较为简单。
它们之间的联系也非常密切，首先，黎曼积分也可以用于计算勒贝格积分，它们都可以把复杂的积分分解为一系列更简单的积分
从而求得最终结果；其次，黎曼积分和勒贝格积分之间也存在多种比较关系，比如黎曼积分是微分方程的特殊形式，勒贝格积分也可用于定义解决特殊的积分问题。
总的来看，黎曼积分和勒贝格积分都是微积分中非常重要的概念，它们之间存在着一定的联系，而且在计算上也相互交互。
正是因为它们之间的联系，使得它们在实际计算中经常运用到一起，这样就可以更好地求解复杂的积分问题。
(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
4 iiiiniimMwxw1. 3、设xf是定义在ba,上的有界函数,则xf黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某一分割T,使得 TsTS成立. 4、定义在ba,上的函数xf黎曼可积的充分必要条件为xf在ba,上的一切间断点构成一个零测度集. 注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件 1、设xf是定义在可测集E上的有界函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为0,总存在E的某一分割D,使得 iiimEw. 2、设xf是定义在可测集E上的有界函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测. 3、设xf在ba,上的黎曼反常积分存在,则xf在ba,上勒贝格可积的充要条件为xf在ba,上的黎曼反常积分存在,且有 babadxxfdmxf,. 4、设xfn为E上的可测函数列,xfn在E上的极限函数几乎处处存在,且MdxxfEn,则xf在E上勒贝格可积. 5、设xf是是定义在可测集E上的连续函数,则xf在E上勒贝格可积的充要条件为xf在E上勒贝格可测. 黎曼积分与勒贝格积分的性质比较 黎曼积分的性质
微积分的发展历程
微积分的发展历程微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。
在数学史上，18世纪可以说是分析研究的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。
1）微积分的发展无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。
不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor）、麦克劳林（C.Maclaurin）、棣莫弗（A.de Moivre）、斯特林（J.Stirling）等。
泰勒（1685_1731）做过英国皇家学会秘书。
他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理其中v为独立变量z的增量，和为流数。
泰勒假定z随时间均匀变化，故为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：。
泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。
但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。
泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。
麦克劳林（1698_1746）是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《流数论》，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。
《流数论》中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。
麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。
微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。
微积分发展史课件
文艺复兴时期的数学与微积分思想的突破
文艺复兴时期，欧洲的数学家们开始系统地研究微积分，如意大利数学家卡瓦列里等人对极限、连续 等概念进行了系统化的研究。
英国物理学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立地发展出了微积分的基本理论，从而宣告了微积分 的诞生。
02
微积分的创立
牛顿的贡献
牛顿对微积分的贡献主要体现在他的 著作《自然哲学的数学原理》中。他 提出了流数术，也就是微积分的基本 理论和方法。
05
微积分的未来发展
微积分的理论发展
01
数学建模与仿真
微积分理论在未来的发展将更加深入 地与数学建模和仿真技术相结合，研 究更加复杂、精细的数学模型，提高 微积分的应用范围和效果。
02
机器学习和大数据分 析
随着机器学习和大数据分析技术的不 断发展，微积分理论将与这些技术相 结合，实现更高效、准确的微积分计 算和应用。
高等教育普及
微积分作为一门重要的数学课程将在高等教 育中得到更加广泛的普及和教育，提高大学 生的数学素养和思维能力。
中小学教育改革
微积分教育将进一步渗透到中小学教育中， 促进中小学教育改革和数学教育的创新发展 。
06
参考文献
参考文献
01
02
03
1. 罗伯特·卡尼格尔. 《微积分的 历程》. 人民邮电出版社.
2. 李大潜. 《微积分发展史》. 北 京高等教育出版社.
3. 张顺燕. 《微积分的思想和方 法》. 北京大学出版社.
THANKS
感谢观看
投资组合优化
微积分被广泛应用于投资组 合优化中，通过求解最优化 问题来获得最大收益或最小
化风险。
期权定价
微积分在期权定价模型中也 有着重要的应用，例如Black-
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
浅谈R积分和L积分的联系与区别数学学院数学与应用数学（师范）专业 2009级某某指导老师某某摘要：积分在整个分析数学中有着重要的地位，现有的积分有两种形式：一种是作为研究数学分析中心内容的黎曼积分（简称R积分），一种是作为研究实变函数核心内容的勒贝格积分（简称L积分），这两类积分既有密切的联系，又有本质的区别。
本文主要是从黎曼积分和勒贝格积分的定义出发，进行分析和比较，利用实例来归纳总结出它们的联系与区别。
关键词：黎曼积分；勒贝格积分；联系；区别Abstract: Integral plays a critical role in the whole of Analytic Mathematics. And the current integration has two forms: one is the Riemann integral (R integral) which is regarded as the central content of the study of the mathematical analysis. The other one is the Lebesgue integral (L integral) which is regarded as the core content of the study of the real variable function. The two kinds of integral not only have the close relations but also have the essential differences. According to the definition of the Riemann integral and the Lebesgue integral ,this paper analyses and makes a comparison with the definitions, which uses some examples to summarize their relations and differences.Key words:Riemann integral; Lebesgue integral; relation; difference1 引言积分学的历史很早，它起源于求积问题。
微积分发展简史
积分思想 阿基米德对抛物弓形的面积、球和球冠面积、
螺线下面积和旋转双曲体体积的研究。 开普勒用无穷小微元来确定曲边形的面积和体积。
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2.微积分的发展
十七世纪中叶，由于自然科学的急速发展，其他学 科给数学提出如下四种亟待解决的问题：
第一类是求瞬时速度的问题。
第二类是求曲线切线的问题。
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牛顿在1665年11月发明“正流数术”(微分法)，
次年5月又建立了“反流数术”(积分法)．1666年10
月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论
文，但他没有拿去发表。
牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种
特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数
术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系，
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微积分诞生以后，数学迎来了一次空前的繁荣时 期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。数学家们把微 积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，获 得了丰硕的成果；在数学本身，他们把微积分作为工具， 又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理论分支， 大大扩展了数学研究的范围。
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由于严格的极限理论的建立，无穷小量可用极限的语言清楚地加以描述，至此才解决 了有关的逻辑困难。而且由于ε −δ语言的建立，微积分的发展如虎添翼。
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实数理论
第一次数学危机之无理数的解决方案 魏尔斯特拉斯的无限十进小数表示法 戴德金分割 康托尔的柯西列方法 实数的完备性 确界存在定理---单调有界定理----区间套定理-----有限覆盖定理----聚点定理-----柯西收敛准则
09级计算机科学与技术师范班ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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读书笔记
最 新
版
本
012 第10章 第二次波折
013 第11章 康托尔
目录
014 第12章 沃尔泰拉
015 第13章 贝尔
016 第14章 勒贝格
017 后记
本书介绍了十多位优秀的数学家：牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼、刘维尔、魏尔斯特拉 斯、康托尔、沃尔泰拉、贝尔、勒贝格。然而，这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列 室。作者选择介绍了历史上的若干杰作（重要定理），优雅地呈现了微积分从创建到完善的漫长、曲折的过程。 本书兼具趣味性和学术性，对基础知识的要求很低，可作为本科生、研究生和数学工作者的微积分补充读物，更 是数学爱好者的佳肴。
译者序
致谢
第1章 牛顿
广义二项展开式 逆级数
《分析学》中求 面积的法则
牛顿的正弦级数 推导
第2章 莱布尼茨
变换定理
莱布尼茨级 数
第3章 伯努利兄弟
雅各布和他的垛 积级数
雅各布和调和级 数
约翰和x^x
第4章 欧拉
欧拉的一个微 1
分
欧拉的一个积 2
分
3
π的欧拉估值
4 引人注目的求
和
5
第10章 第二次波折
第11章 康托尔
区间的不可数性
实数的完备性
再论超越数的存 在
第12章 沃尔泰拉
汉克尔的函数分 类
沃尔泰拉病态函 数
病态函数的限度
第13章 贝尔
无处稠密集 贝尔分类定理
若干应用 贝尔的函数分类
第14章 勒贝格
回归黎曼积分 零测度
集合的测度 勒贝格积分
后记
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微积分的历程：从牛顿到勒贝格
微积分的历程：从牛顿到勒贝格20世纪杰出的数学家约翰·冯·诺伊曼（1903—1957）在论述微积分时写道：“微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。
”[1][1] John von Neumann, CollectedWorks, vol.1, Pergamon Press, 1961, p.3。
“微积分”这一名称最早出现在哪本书中？第一本微积分教科书又是谁人所写？微积分究竟是谁人发明的？著名的洛必达法则居然是伯努利的研究成果？谁被誉为“分析学的化身”？谁又被誉为“现代分析学之父”？哪些数学天才使微积分的创建过程终于画上完美的句号？……本书将带你一一探究上述问题。
下文节选自《微积分的历程》, 已获出版社授权许可, [遇见数学] 特此表示感谢!今天，在微积分出现3个多世纪之后，它依然值得我们这样赞美。
微积分俨如一座桥梁，它使学生们通过它从基础性的初等数学走向富于挑战性的高等数学，并且面对令人眼花缭乱的转换，从有限量转向无限量，从离散性转向连续性，从肤浅的表象转向深刻的本质。
所以，英语中通常在微积分一词calculus前面郑重地加上定冠词“the”，冯·诺伊曼在上述评价中就是这样做的。
“the calculus”（微积分）这种称谓同“the law”（定律）相似，用“the”特指微积分是一个浩如烟海的、独立存在且令人敬畏的科目。
一如任何重要的智力探索过程，微积分有着五彩斑斓的发展史和光怪陆离的史前史。
西西里岛锡拉丘兹城的阿基米德（大约公元前287—公元前212）曾用我们现在所知的一种最早的方法求出某些几何图形的面积、体积和表面积。
在漫长的800余年后，法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）采用一种非常现代的方法确定了曲线的切线斜率和曲线下面区域的面积。
他们以及其他许许多多著名的前辈数学家们把微积分推上了历史舞台。
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系,勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。
在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类,降低逐项积分与交换积分顺序的条件。
勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义，使得可积性的条件要求减弱了。
它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了.它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。
关键词:勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1。
1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n —1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-1x ∆ 2x ∆ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max -T 的细度，若()i ni iT x f ∆∑=→10limξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10l i m ξ1。
2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 ni i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一个L —分划2）设{}n E E E D 21=，{}''2'1'D nE E E =均为E 的一个L-分划,若对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细)3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==n i i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解,因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分.对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求{}k E 是单调增加的可测集合列，其并为E ，若极限()dx x f KE k ⎰∞→lim存在,则f 在E 上勒贝格可积，且有()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim当k E 是矩体k I 且()x f 在每个k I 上都是有界连续函数，同时满足()dxx f KE k ⎰∞→lim〈∞时，可以通过计算黎曼积分()dx x f E⎰而得到勒贝格积分()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim而且计算方法与k I 的选择没有关系，只需保证{}k I 单调增加到并集E 。
(2021年整理)黎曼积分和勒贝格积分定义的比较
黎曼积分和勒贝格积分定义的比较编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（黎曼积分和勒贝格积分定义的比较）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为黎曼积分和勒贝格积分定义的比较的全部内容。
目录1引言 02积分理论的发展 03黎曼积分和勒贝格积分定义的比较 (1)3.1黎曼积分 (1)3.2 勒贝格积分 (2)4黎曼积分与勒贝格积分的关系 (3)5黎曼积分和勒贝格积分性质的比较 (4)5.1 被积函数绝对可积性的比较 (4)5。
2 被积函数的有界性的比较 (4)5。
3中值定理 (5)5.4 被积函数连续性的比较 (6)5.5收敛条件 (6)6黎曼积分(广义)与勒贝格积分区别及联系 (8)7勒贝格积分的某些推广 (9)8结束语 (10)参考文献 (11)致谢 (12)黎曼积分和勒贝格积分的比较数学系本1001班王海荣指导老师：张炎彪摘要：本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发，探讨和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别与联系，通过两者的定义、被积函数的连续性，有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积分和勒贝格积分的比较上,从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问题上时比较的具有优势，同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推广,但是却不是黎曼反常积分的推广。
关键词：黎曼积分，勒贝格积分，连续性,有界性.Riemann integral and the Lebesgue integralWang HairongClass1001，Mathematics DepartmentTutor:Zhang YanbiaoAbstract : In my thesis, based on the knowledge of the Riemann integral and the Lebesgue integral, we want to explore and summarize the difference and connection between the Riemann integral and the Lebesgue integral。
微积分中的黎曼积分
微积分中的黎曼积分众所周知，微积分学是现代数学不可或缺的一部分，它在科学、工程、经济学等领域的应用广泛，是大学数学教育的重要内容之一。
在微积分的学习过程中，黎曼积分是不可避免的一部分，本文将从定义、性质和应用三个方面，介绍黎曼积分的相关知识。
一、定义黎曼积分是微积分学的基本概念之一，它是求解一个函数在某一区间上面积的数学方法。
也就是说，对于一个函数f(x)在[a,b]区间内的积分，黎曼积分的定义如下：$\int\limits_a^b {f(x)dx} = \lim \limits_{\Delta x \to0}[\sum\limits_{i=1}^n f(x_i)\Delta x]$，其中$\Delta x=\dfrac{b-a}{n}, x_i=a+i\Delta x$。
在这个式子中，我们可以看到，黎曼积分是由极限和求和两个部分组成的，后面的部分即为黎曼和。
二、性质黎曼积分有很多重要的性质，这里我们列举几个比较常见和有用的：1、可加性：对于函数f(x)在[a,b]区间和在[b,c]区间的积分，它们可以分别求积分，再将两个积分的结果加起来，即可得到f(x)在[a,c]区间的积分。
2、线性性：如果对于函数f(x)和g(x)，它们在[a,b]上积分都存在，则有：$\int\limits_a^b [\alpha f(x)+\betag(x)]dx=\alpha\int\limits_a^b f(x)dx+\beta\int\limits_a^b g(x)dx$，其中$\alpha$和$\beta$为常数。
3、积分中值定理：如果函数$f(x)$在区间[a,b]上连续，则存在一个$\xi\in(a,b)$，满足$\int\limits_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$。
也就是说，积分等于函数在区间中某一点的值乘以区间长度。
4、积分上下界：如果函数$f(x)$在区间[a,b]上连续，则存在$c\in[a,b]$，使得$\int\limits_a^bf(x)dx\leqslant(b-a)\max\limits_{a\leqslant x\leqslant b}f(x)$，且$\int\limits_a^bf(x)dx\geqslant(b-a)\min\limits_{a\leqslant x\leqslant b}f(x)$。