备战2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题59 二项式的展开项

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2020年浙江高考数学一轮复习：二项式定理

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角度三：由已知条件求 n 的值或参数的值 5．(2019·浙江考前冲刺)若二项式(2x＋a x)n 的展开式中所有
项的二项式系数和为 32，x3 的系数是 160，则 n＝________， a＝________. 解析：∵2n＝32，∴n＝5，二项展开式的通项 Tr＋1＝ Cr5(2x)5－rarx2r＝C5r25－rarx5－2r，当 5－2r＝3 时，r＝4， ∴C45×2×a4＝160，解得 a＝±2. 答案：5 ±2
x
的展开式中，x2
的系数为________．
解析：x－2
1
5
x
的展开式的通项为
Tr＋1＝Cr5x5－r·－12r·x－2r＝－12rC5rx 5－32r .
令 5－32r＝2，解得 r＝2.
故展开式中 x2 的系数为－122C52＝52. 答案：52
[通法在握]
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求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk＋1＝ Cnkan－kbk 的特点，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第 m 项：此时 k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”
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[题点全练] 角度一：求展开式中的某一项
1．二项式4x2－1x6 展开式中的第 4 项为
A．－1 280x3
B．－1 280
C．240
D．－240
()
解析：4x2－1x6 展开式中的第 4 项为 T3＋1＝C36(4x2)3－1x3＝－1 280x3，选 A.
答案：A
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2．(2019·浙江名校联考)(1＋x－2)( x－2)5 的展开式中的常数

专题39 二项式展开项的通项及应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．【重点知识回眸】1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，其中的系数rn C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r rn C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r rr n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，nn C . 3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n n C C -=，，m n m n n C C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数rn C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n nC+ 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012r nn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，（4）常用结论①0n C ＝1；②1nn C =；③m n m n n C C -=；④11m m m n n n C C C -+=+.4.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①()11nx nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++；（5）证明不等式.【典型考题解析】热点一二项式展开式的通项公式的应用【典例1】（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【典例2】（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【典例3】（2022·山西·高三阶段练习）二项式()4x ay +的展开式中含22x y 项的系数为24，则=a ______．【典例4】（2022·全国·高考真题）81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．【总结提升】1.二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a ＋b )n 的展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r (r ＝0,1,2，…，n )求通项． ②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．2.已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．3.求解形如()()nma b c d ＋＋的展开式问题的思路 (1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222()()()(2)m m a b c d a ab b c d ＋＋＝＋＋＋，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如5752252()()[()()11]()11111()()x x x x x x x ＋－＝＋－－＝－－；(3)分别得到(),()nma b c d ＋＋的通项公式，综合考虑．4.求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．热点二形如()na b c ＋＋的展开式问题【典例5】（2021·江西南昌·高三阶段练习）5144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含3x -的项的系数为（） A ．1-B ．180C ．11520-D ．11520【典例6】（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（） A ．120B ．-120C ．60D ．30【典例7（2022·山东济南·模拟预测）()3221x x -+的展开式中，含3x 项的系数为______（用数字作答）. 【规律方法】求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．热点三二项式系数的和与各项的系数和问题【典例8】（2022·全国·高三专题练习）已知012233C 2C 2C 2C 2C 243n nn n n n n +++++=，则123C C C C nn n n n ++++=（）A ．31B ．32C ．15D ．16【典例9】（2023·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（） A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-【典例10】（2022·北京四中高三开学考试）设多项式51010910910(1)(1)x x a x a x a x a ++-=++++，则9a =___________，0246810a a a a a a +++++=___________. 【规律方法】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)． ①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝.②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝.热点四二项式系数的性质【典例11】（2023·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（） A ．7B ．8C ．9D ．10【典例12】（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1 B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240xC ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32【典例13】（2022·浙江·三模）在二项式4(2)+x 的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________．【规律方法】1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．2．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式(1)(1)2f f +-(1)(1)2f f --组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．热点五二项式定理应用【典例14】（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A ．222234510C C C C 165++++=B ．在第2022行中第1011个数最大C ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3【典例15】（2023·全国·高三专题练习（理））设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++，则a 除以9所得的余数为______．【典例16】（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.【规律方法】1.二项式定理应用的常见题型及求解策略（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．（3）近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项. 2.特别提醒: （1）分清是第项，而不是第项.（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转rn rr n C ab -1r +r 1r n r r r n T C a b -+=1r T +rn C a b n r a b n r n r化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及它们之间的大小关系.（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定； ②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置； ④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（） A ．160 B ．120 C ．90D ．602．（2022·全国·高三专题练习）()()52x y x y +-的展开式中的33x y 项系数为（） A ．30B ．10C ．-30D ．-103．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在812x x ⎫⎪⎭的展开式中5x 的系数为（）A ．454B ．458-C ．358D ．74．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（） A ．0B ．120-C ．120D ．160-5．（2022·全国·高三专题练习）设()011nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，若1263n a a a ++⋅⋅⋅+=，则展开式中系数最大的项是（） A ．315xB ．320xC ．321xD ．335x6．（2023·全国·高三专题练习）511x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（）n r r n n r 1r n r r r n T C a b -+=rn C a b 1r T +n r 1r T +1r +r a b n a b ()na b -A ．5B ．-5C ．15D ．-15二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）62⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中，下列结论正确的是（） A ．展开式共6项 B ．常数项为160C ．所有项的系数之和为729D ．所有项的二项式系数之和为648．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++9．（2022·河北张家口·三模）已知52(1)(0)b ax x b x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数为30，1x 项的系数为M ，则下列结论正确的是（） A ．0a > B ．323ab b -=C ．M 有最大值10D ．M 有最小值10-三、填空题10．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．11．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）在3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为 ____．12．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()31nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，则n =__________.（2）1921C C n nn n --+=__________.13．（2019·浙江·高考真题）在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.14．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）二项式3nx x ⎫⎝的展开式中共有11项，则n =___________，常数项的值为___________.15．（2022·全国·高三专题练习）在()413x +的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）四、解答题16．（2019·江苏·高考真题）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(13)3n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.。

高考数学复习二项式定理.版块一.二项展开式1求展开式中的指定项.学生版

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr nT C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr nT C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．知识内容求展开式中的指定项⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rn C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．【例1】 632x ⎛- ⎝的展开式中的第四项是．【例2】 6y x ⎛⎫的展开式中，3x 的系数等于_ ___．【例3】 ((353121xx +的展开式中x 的系数是A ．4-B ．2-C ．2D ．4典例分析【例4】若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．【例5】 5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()x ∈R 展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于A ．1-B ．12C ．1D ．2【例6】若2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++，则2a 的值是（）A ．84B ．84-C ．280D ．280-【例7】 8()x -的展开式中62x y 项的系数是（）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【例8】若()554541031x a x a x a x a +=++⋅⋅⋅++，则2a 的值为（）A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x【例9】 64(1(1+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例10】在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【例11】在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【例12】在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例13】求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例14】在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是．（用数字作答）【例15】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例16】 291()2x x-展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例17】在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（）A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例18】在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（）A ．15-B ．85C ．120-D ．274【例19】在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是（用数字作答）【例20】求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．【例21】 64(1(1+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例22】在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【例23】在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【例24】在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例25】求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例26】在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是．（用数字作答）【例27】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例28】 291()2x x-展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例29】在8(1)(1)x x-+的展开式中5x的系数是（）A．−14 B．14 C．−28 D．28【例30】在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x-----的展开式中，含4x的项的系数是（）（A）15-（B）85 （C）120-（D）274【例31】在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x-+-+-+-+-的展开式中，含3x项的系数是（用数字作答）【例32】求26(1)x x+-展开式中5x的系数．【例33】在二项式521xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，含4x的项的系数是（）A．10-B．10C．5-D．5【例34】34(12)(1)x x+-的展开式中x的系数是______，2x的系数为______．【例35】 411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开中含2x 的项的系数为（）A ．4B ．6C ．10D ．12【例36】 ((6411的展开式中x 的系数是（）A ．4-B ．3-C ．3D ． 4【例37】求()()31011x x -+展开式中5x 的系数；【例38】在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例39】6(2)x +的展开式中3x 的系数是（） A ．20B ．40C ．80D ．160【例40】在4(1的展开式中，x 的系数为（用数字作答）【例41】在((333(1)11x +++的展开式中，x 的系数为 _____ （用数字作答）【例42】 91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的系数为（） A ．36-B ．84-C ．36D ．84【例43】若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a = ．（用数字作答）【例44】设常数0a >，24(ax展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例45】已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【例46】已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等 cos θ= ．【例47】 10的二项展开式的第6项的系数为（） A ．210- B ．252- C ．210 D ．252【例48】若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例49】若21()n x m ++与2(1)(*0)n mx n m +∈≠N ，的展开式中含n x 的系数相等，则实数m 的取值范围是（）A ．12(]23，B ．2[1)3， C ．(0)-∞， D ．(0)+∞，【例50】已知()π0sin cos a x x dx =+⎰，则二项式6⎛ ⎝ 展开式中含2x 项的系数是．【例51】在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么_______a =．【例52】已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k =______．【例53】4(的展开式中33x y 的系数为．【例54】若(1)n x +的展开式中，3x 的系数是x 的系数的7倍，求n ；【例55】10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________．【例56】已知a 为实数，10()x a +展开式中7x 的系数是15-，则a =_______．【例57】二项式41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．【例58】求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的二项式系数与系数．【例59】若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为_______．【例60】令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前2009项和为______．【例61】在7(1)ax +(1)a >的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，求a 的值．【例62】已知()52551110ax x bx a x +=++++，则b = ．【例63】在()1n x +展开式中，3x 与2x 的系数分别为a b ，，如果3ab =，那么b 的值为（） A ．70 B ．60 C ．55 D ．40【例64】若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80-，则实数a 的值是_______．【例65】设常数0a >，42ax⎛+ ⎝展开式中3x 的系数为32，则a = ．【例66】若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为5-，则n 等于（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【例67】设n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为_____【例68】已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则n =________．【例69】在220(1)x -的展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则第4r 项为______【例70】若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____．【例71】已知lg lg 2(21)x n x ++展开式中最后三项的系数的和是方程2lg(7272)0y y --=的正数解，它的中间项是410+，求x 的值．【例72】设数列{}n a 是等比数列，311232C m m m a +-=Α，公比q 是421()4x x +的展开式的第二项． ⑴用n x ，表示通项n a 与前n 项和n S ；⑵若1212C C C n n n n n n A S S S =+++用n x ，表示n A。

(天津专用)2020版高考数学大一轮复习10.2二项式定理课件

k k
2.形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,
常用赋值法,只需令x=1即可;形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)中各项系数之和为f(1),奇数
+…+ xn.若a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1+(-1)1 x + x2+…+(-1)n x n. Cn C1 C2 Cn n n n n
4.二项式系数的性质 (1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数⑤ 相等 ,事实上,这一性
质可直接由公式 = nr 得到. Cr n Cn (2)增减性
r
k
答案 -5
方法2
二项式系数与项的系数
0 1
C n , Cn ,…, 1.二项式系数与项的系数是不同的两个概念,二项式系数是指 Cn n ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除
变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,也与a,b的值有关,如(a+
Cn ,而项的系数是 Cn an-kbk. bx)n的展开式中,第k+1项的二项式系数是
就是Tr+1项的系数.
考向突破
考向求二项展开式中特定项或特定项的系数
例
1 (1)(x2+2) 2 1 的展开式的常数项是 ( x
5
)
A.-3
B.-2
6
C.2
D.3
.(用数字作答)

高考数学一轮复习第十章第三节二项式定理突破热点

第三节二项式定理高频考点考点一求二项展开式中的特定项或特定项的系数1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n 项； (2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．[例1] (1)(2013·江西高考)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40(2)(2013·辽宁高考)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[自主解答] (1)此二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r(－1)r 2r x－3r＝C r5·(－1)r·2r·x10－5r.因为10－5r ＝0，所以r ＝2，所以常数项为T 3＝C 25·22＝40.(2)T r ＋1＝C rn (3x )n －r·x －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －r －32r ＝C r n ·3n －r·xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )，若T r ＋1是常数项，则有n －52r ＝0，即2n ＝5r (r ＝0,1，…，n )，当r ＝0,1时，n ＝0，52，不满足条件；当r ＝2时，n ＝5.[答案] (1)C (2)B【互动探究】若本例(2)中的条件“n ∈N *”改为“n ≥3”，其他条件不变，则展开式中的有理项最少有________项．解析：由本例(2)中的自主解答可知：T r ＋1＝C r n 3n －rxn －5r2(r ＝0,1,2，…，n )．即当⎝⎛⎭⎪⎫n －5r 2为整数时，T r ＋1为有理项．显然当n ＝3时，r 的取值最少，有r ＝0，r ＝2，即有理项为T 1、T 3两项．答案：2求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15 解析：选C T r ＋1＝C rn (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r nx n －3r 2，当r ＝4时，n －3r2＝0，又n ∈N *，所以n ＝12.2．(2014·昆明模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋x (1－x )4的展开式中x 的项为2x·C 4410(－x )4＋x C 0414(－x )0＝2x ＋x ＝3x .所以x 的系数为3.答案：3考点二二项式系数或各项系数和[例2] (1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝________.[自主解答] (1)由题意得：a ＝C m2m ，b ＝C m2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，∴13·2m ！m ！·m ！＝7·2m ＋1！m ！·m ＋1！，∴72m ＋1m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，选B.(2)由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.[答案] (1)B (2)256 【方法规律】赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中，令x ＝1得2n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n . 令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1＝63，∴n ＝6. 而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3. 2．(2014·丽水模拟)若(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013＋a 2 014x2 014(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2解析：选C 令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝－1.考点三二项式定理的应用[例(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位) [自主解答] (1)∵2n ＋2·3n ＋5n －a ＝4·2n ·3n＋5n －a＝4·6n＋5n －a ＝4(5＋1)n＋5n －a ＝4(C 0n 5n＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C nn )＋5n －a ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.【方法规律】1．整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．2．求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx .求证： (1)32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)；(2)3n>(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．证明：(1)∵32n ＋2－8n －9＝32·32n－8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n－8n －9 ＝9(C 0n 8n＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C nn ·1)－8n －9＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9＝9×82(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]，显然括号内是正整数，故原式能被64整除．(2)因为n ∈N *，且n >2，所以3n ＝(2＋1)n展开后至少有4项． (2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n ＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n－1，故3n>(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．————————————[课堂归纳——通法领悟]—————————— 1个公式——二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n an －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项；(2)通项公式中a ，b 的位置不能颠倒；(3)通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r ＋1项的二项式系数与第r ＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．。

高考数学专项总结：二项式题型总结

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9.解：∵ Tr +1 =
C
r
10( x )10 ຫໍສະໝຸດ r (− 31x
) r , ∴ 展开式的中间项为 C10 ( x ) 5 (− 3
5
1
x
)5
5
即： − 252 x 6 。当 n 为奇数时， (a + b) 的展开式的中间项是当 n 为偶数时， ( a + b) n 的展开式的中间项是 10.解：∵ Tr +1 =
令
3 r − 9 = 3 ，即 r = 8 2
8 C9 (−1) 8 ⋅ 2 − 4 ⋅ a 9−8 =
依题意，得
9 ，解得 a = −1 4
5 5− r 6
5.解： Tr +1 = C10 ( x ) 令5 −
r
10 − r
(− 3
1
x
r ) r = (−1) r C10 ⋅x
5 r = 0 ，即 r = 6 。 6
选修 2-3 二项式定理题型总结
二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。
一、求二项展开式
n 1． “ (a + b) ”型的展开式
2 7 3 2 3 4 5 2
四、利用二项式定理的性质解题 1．求中间项
【例 9】求（
x−3
1
x
)10 的展开式的中间项；
2．求有理项
【例 10】求 ( x −
1
3
x
)10 的展开式中有理项共有

高中数学专题讲义-二项展开式求展开式中的特定项

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容求展开式中的特定项里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．）常数项【例1】在()2043x +展开式中，系数为有理数的项共有项．典例分析【例2】 1003(23)+的展开式中共有_____项是有理项．【例3】 61034(1)(1)x x++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【例5】二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为．（用数字作答）【例6】若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【例7】在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为．【例8】在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于．【例10】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【例11】若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【例13】在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【例14】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例15】已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例16】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【例18】已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例19】 610(1(1++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 51(2x x+的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【例21】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【例22】已知312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则n 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【例23】在2)n x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【例24】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例25】 12(x -展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】已知2(n x的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【例27】已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例28】 12x ⎛- ⎝展开式中的常数项为（）A．1320-B．1320C．220-D．220【例29】求612xx⎛⎫++⎪⎝⎭展开式中的常数项．【例30】6122xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式的常数项是（用数字作答）【例31】在2nx⎫+⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n等于（）Ａ．3Ｂ．6Ｃ．9Ｄ．12【例32】1nxx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值是．【例33】若nxx⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31的展开式中存在常数项，则n的值可以是（）A．10B．11C．12D．14【例34】在261(2)x x-的展开式中常数项是，中间项是________．【例35】已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例36】若3(2n x的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【例37】已知2nx⎛- ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是（）A ．1-B ．1C ．45-D ．45【例38】若21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数和为512，则n 等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】若921axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中常数项为84，则a=_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【例40】若1nxx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10B．20C．30D．120有理项【例41】求二项式15的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】100的展开式中共有_______项是有理项．【例43】二项式15的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项；⑶有几个整式项．【例44】已知在n的展开式中，前三项的系数成等差数列①求n；②求展开式中的有理项．【例45】二项展开式15中，有理项的项数是（）A．3B．4C．5D．6【例46】在(1132的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则1 0px dx=⎰A．1 B．67C．76D．1113【例47】12的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（） A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项【例48】若(51a +=+a ，b 为有理数），则a b +=（） A ．45B ．55C ．70D ．80系数最大的项【例49】已知(n x +的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例51】已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例52】在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【例53】已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【例54】求10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例55】已知n展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【例56】设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．【例57】已知：223(3)n x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【例58】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例59】关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】在2nx ⎛ ⎝的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．（用数字作答）【例61】设)()21*4n n +∈N 的整数部分和小数部分分别为nM与n m ，则()n n n m M m +的值为．【例62】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab的取值范围．【例63】二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例64】如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例65】在二项式()1nx +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ∈N 的最小值为．。

2020版高考数学理科一轮复习课件(北师大版)：二项式定理

��
��
-3�� 2
,
令�� -3��
2
=1,得
5.(1-2x)7 的展开式中第 4 项的系数
是
.
[答案] -280
[解析] 二项展开式的通项为 Tr+1=C7�� ·(-2x)r=C7�� ·(-2)rxr,当 r=3 时,T4=C73·(-2)3·x3=-280x3,所以第 4 项的系数为-280.
课前双基巩固
6.在
��2
课堂考点探究
例 1 (1)(1-2x)5 的展开式中含 x3 项的系数为 ( )
A.-80
B.80
C.10
D.-10
(2)若
2
��-
1 ��
��
的展开式中含 x 项的系数为-80,则 n 等
于( )
A.5
B.6
C.7
D.8
[答案] (1)A (2)A
[解析] (1)(1-2x)5 的展开式的通项为
则 a0+a2+a4 的值为
.
[答案] 8
[解析] 令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=0,令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得 2a0+2a2+2a4=16,故 a0+a2+a4=8.
课前双基巩固
题组二常错题 ◆索引:二项展开式的通项记错致误;混淆二项式系数之和与各项系数之和致误.
课前双基巩固
对点演练
题组一常识题
1.[教材改编] 已知(x-3y)n的展开式中,第 5 项的二

高考数学一轮复习二项式定理

高考一轮复习--二项式定理二、高考考点1、对二项式定理的掌握与应用：以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；2、对二项展开式的性质的掌握与应用：二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题。

三、知识要点1、定义，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中（1）公式右边的多项式叫做的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数叫做二项式系数，第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；（2）叫做二项展开式的通项公式。

2.认知（1）二项展开式的特点与功能（Ⅰ）二项展开式的特点①项数：二项展开式共n+1（二项式的指数+1）项；②指数：二项展开式各项的第一字母a依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n；③系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b的幂指数；（Ⅱ）二项展开式的功能注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式。

因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据。

又注意到在的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列。

因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据。

（2）二项式系数的性质（Ⅰ）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。

（Ⅱ）单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值。

其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大。

（Ⅲ）组合总数公式：即二项展开式中各项的二项式系数之和等于（Ⅳ）“一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即四、典型例题例1、已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。

高考专题讲解之二项式定理

高考专题讲解之二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r r nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()n b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=- 。

2020年高考数学一轮复习高分点拨专题7.2 二项式定理(理科专用)(学生版) -精品

第二讲二项式定理1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b 1＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，它表示第r ＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C rn (r ∈{0,1,2，…，n })2．二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C mn . (2)C mn ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.考向一通项公式的运用【例1】（1）(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)（2）⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－23展开式中的常数项为。

（3））(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为。

（4）展开式中x 2的系数为。

【举一反三】【套路秘籍】---千里之行始于足下【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出1．展开式中项的系数是（）A．270 B．180 C．90 D．452．在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A．14 B．28 C．56 D．1123．在的展开式中，含项的系数为A． B． C． D．4．的展开式中的系数是（）A．27 B．-27 C．26 D．-26考向二二项式系数、系数【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.【举一反三】1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．402．若x 4(x ＋4)8＝a 0＋a 1(x ＋3)＋a 2(x ＋3)2＋…＋a 12(x ＋3)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝（）. A ．4B ．8C ．12D ．113．已知二项式展开式中含项的系数为，则实数的值是（）A ．B ．C ．D ．4．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于A ．B ．C ．D ．考向三二项式定理单调性【例3】若(n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A ．200 B ．110C ．210D ．150【举一反三】1．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为（） A ．10B ．42C ．50D ．1822．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（）项【套路总结】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.A．4 B．3 C．2 D．13．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有有理项的系数之和.考向四整除【例4】(1)若S＝C127＋C227＋…＋C2727，求S除以9的余数．【举一反三】1．设n∈N+,则7+72+…+7n除以9的余数为 ()A．0 B．2 C．7 D．0或72．可以整除（其中）的是（）A．9 B．10 C．11 D．123．除以的余数是（）A． B． C． D．4．237除以17，所得余数是（）A．－1 B．－2 C．15 D．16考向五求近似值【例5】_____（小数点后保留三位小数）．【套路总结】1.利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，（1＋x）n≈1＋nx.2.利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式数展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.【举一反三】1.求1.025的近似值．(精确到两位小数)【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．设，若与的二项展开式中的常数项相等，则（）A．4 B．-4 C．2 D．-22．已知二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为A．20 B．C．40 D．3．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a n(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)n a n等于A．(3n－1) B．(3n－2) C．(3n－2) D．(3n－1)4．若的展开式中的系数为，则（）A． B． C． D．5．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n，则二项式展开式中x2项的系数为( ) A．11 B．20 C．15 D．166．记，则（）A．81 B．365 C．481 D．7287．，则A．B．C．64 D．658．已知的展开式中常数项为-40，则的值为（）A．2 B．-2 C．±2 D．49．的展开式中，的系数为（）A．-10 B．-5C．5 D．010．的展开式的常数项是（）A．-3 B．-2 C．2 D．311．多项式的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数是（）A．B．C．D．12．若展开式中含项的系数为21，则实数的值为（）A．3 B．-3 C．2 D．-213．被49除所得的余数是A． B．C． D．14．若n 为正奇数，则112217?7?7?7n n n n n n n C C C ---++++L 被9除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．815．若二项式的展开式中的系数为，则展开式中除常数项外其余各项系数之和为____________．16．已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的二项式系数为_______.17．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则___．18．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为______．19．在的展开式中，二项式系数之和为，所有项的系数之和为，若，则__________．20．的展开式中的系数是______.（用数字作答）.21．若的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含项的系数是___ 22．展开式中的系数为________________23．在的展开式中，常数项为_____．24．在的展开式中，含的项的系数是__________．25．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝__________．26．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________． 27．_____（小数点后保留三位小数）．28．已知2235n n n a +⋅+-能被25整除，则最小值A=_____________________29．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有有理项的系数之和.30．已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中的含x2的项．31．（1）证明：为偶数（n∈N*）；（2）证明：大于的最小整数能被整除（n∈N*）.32．(1)设()42340123431x a a x a x a x a x -=++++. ①求01234a a a a a ++++； ②求024a a a ++； ③求1234a a a a +++；(2)求1227272727S C C C =+++L 除以9的余数．。

备战人教版2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题59 二项式的展开项

专题59 二项式的展开项【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n ，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. 1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。

指数和为n（3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1nx +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。

如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C L 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。

对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n rr ab - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有rn C 种。

所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。

而二项式系数便是这个组合问题的结果。

【名师推荐资料】备战2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题60 特殊值法解决二项式展开式系数问题

专题60 特殊值法解决二项式展开式系数问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n ，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下．对于二项式系数问题，往往利用“赋值法”.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立.所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设()011222nnn n r n r r n nn n n n n a b C a C ab C a b C a b C b ---+=++++++L L ，①令1a b ==，可得：012n nn n n C C C =+++L②令1,1a b ==-，可得： ()012301nnn n n n n C C C C C =-+-+-L ，即：02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++L L （假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++=L L（2）设()()201221nnn f x x a a x a x a x =+=++++L① 令1x =，则有：()()0122111nn a a a a f ++++=⨯+=L ，即展开式系数和 ② 令0x =，则有：()()02010na f =⨯+=，即常数项③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211nn a a a a a f -+-++=-⨯+=-L()()()021311n n a a a a a a f -⇒+++-+++=-L L ，即偶次项系数和与奇次项系数和的差由①③即可求出()02n a a a +++L 和()131n a a a -+++L 的值.【经典例题】例1.【山东省2018年普通高校招生（春季）考试】在的展开式中，所有项的系数之和等于（）A. 32B. -32C. 1D. -1 【答案】D【解析】分析：令x=y=1，则得所有项的系数之和. 详解：令x=y=1，则得所有项的系数之和为，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.例2.【2018年【衡水金卷】（四）】在二项式8ax x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和记为S ，第r 项的系数记为r P ，若893S P =，则ab的值为（） A. 2 B. 4- C. 2或2- D. 2或4- 【答案】D例3.已知()()()()()921120121112111x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ，则1211a a a +++L 的值为（）A. 0B. 2C. 255D. 2- 【答案】B【解析】：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x =，得到01110a a a +++=L ，只需再求出0a 即可.令1x =可得02a =-，所以12112a a a +++=L答案：B 例4.设(42340123422x a a x a x a x a x +=++++，则()()2202413a a a a a ++-+的值为（）A. 16B. 16-C. 1D. 1- 【答案】A【解析】思路：所求()()()()22024130123401234a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+，在恒等式中令1x =可得：()40123422a a a a a ++++=+，令1x =-时()4123422a a a a a -+-+=-，所以()()()()4422024********a a a a a ++-+=+-=答案：A例5. 【2018届河南省郑州市一模】在3x x ⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则2x 的系数为（）A. 50B. 70C. 90D. 120 【答案】C令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．例6.在311nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是（） A. 462 B. 330 C. 682 D. 792 【答案】A【解析】311nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于12102411n n -=∴=，则中间项的二项式系数是561111462C C ==.故选A例7.【2018届百校联盟TOP20四月联考】已知的展开式中所有偶数项系数之和为496，则展开式中第3项的系数为_______.【答案】270【解析】分析：利用赋值法得到两式相减即故答案为：270例8.【2018届浙江省诸暨市高三上期末】已知，则______；则__________．【答案】 1 60【解析】令得：1=因为，所以例9.【2018届衡水金卷全国大联考】已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．【答案】16【解析】显然.令，得.所以.当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.例10.若()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++的值是（） A. 10 B. 20 C. 233 D. 233- 【答案】D令1x =可得：12345102345a a a a a =++++而在()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++中，令0x =可得：503243a =-=-0123452345233a a a a a a ∴+++++=-答案：D【精选精练】1．【2018届福建省莆田市第二次检测】若（）展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先根据二项式定理中所涉及的二项式系数和为，结合题中条件，求得，将代入二项式，将其展开式的通项写出，令幂指数为零，求得，再回代，求得结果，得到正确选项. 详解：根据二项式系数和的性质，可知，解得，所以的展开式的通项为，令，解得，所以其展开式的常数项为，故选B.2．【2018届安徽省合肥市三模】已知展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为A. 64B. 32C.D.【答案】B，解得，二项式系数之和为，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3．【2018届四川省雅安市三诊】已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（）A. B. C. D.【答案】A故选A.4．【2018届河北衡水金卷模拟一】()61231x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. 73-B. 61-C. 55-D. 63- 【答案】A【解析】令1x =，得()61231264x x ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭，而常数项为0166329C C -⨯+⨯=，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为64973--=-，故选A. 5．在的展开式中，各项系数的和是__________．【答案】1. 【解析】分析：令，即可得到二项展开式的各项系数的和．详解：由题意，令，即可得到二项展开式的各项系数的和为．点睛：本题主要考查了二项展开式各项系数的和求解，其中正确合理赋值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．6．【2018届贵州省凯里市第一中学四模】二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为__________．【答案】【解析】分析：先由奇数项的二项式系数之和为32确定n 值，然后根据二项展开式通项公式求出第4项即可. 详解：∵二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，∴，即展开式中的第项为故答案为：7．【2018届安徽省安庆市二模】如果13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x 的系数是______. 【答案】-1898．若13nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n =__________；该展开式中的常数项是__________．【答案】 3 -27【解析】（1）因为系数的绝对值之和为64，则当1x =时，有()3164n+=，所以3n =；（2）(()333321331331kk kk k k kk T Cx C x x ---+-⎛⎫==⋅⋅- ⎪⎝⎭，所以1k =，常数项为()11233127C ⋅⋅-=-.9.【2018届北京市海淀区高三上期末】已知()51nx -展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n =__________．【答案】6【解析】令二项式中的x=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得4264 2nnn==解得n=6故答案为：610．【2018届浙江省杭州市学军中学5月模拟】设，则__________，__________．【答案】. 80.点睛：（1）本题主要考查二项式定理求值，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和观察分析能力.(2)本题解题的关键是..11．【腾远2018年浙江红卷】已知的展开式中的系数为，则__________，此多项式的展开式中含的奇数次幂项的系数之和为__________．【答案】 -2 -32【解析】分析：由题意的，展开式中含的系数为，解得，令，分别令和，则两式相减，即可求解.详解：由题意的，展开式中含的系数为，解得，令，令，则；令，则，两式相减，则展开式中含奇次幂的系数之和为. 12．【2018年天津市河西区三模】设，则__________．【答案】211。

2020版高考数学新增分大一轮新高考第十章 10.3 二项式定理 Word版含解析

§二项式定理最新考纲能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．．二项式定理二项式定理(＋)＝＋－＋…＋－＋…＋(∈*) 二项展开式的通项公式＋＝－，它表示第＋项二项式系数二项展开式中各项的系数(∈{，…，}).二项式系数的性质()＝，＝. ＝＋.()＝. ()当是偶数时，12nT +项的二项式系数最大；当是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．()(＋)展开式的二项式系数和：＋＋＋…＋＝.概念方法微思考．(＋)与(＋)的展开式有何区别与联系？提示(＋)的展开式与(＋)的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．．二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点()项数为＋.()各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.()字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到.()二项式的系数从，，一直到，.．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中，的系数为时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()－是二项展开式的第项．(×)()二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)()(＋)的展开式中某一项的二项式系数与，无关．(√)()(－)的展开式第＋项的系数为－.(×)()(－)的展开式二项式系数和为－.(×)题组二教材改编．(＋)的展开式中，的系数等于()．．．．答案解析＋＝()＝，当＝时，的系数为·＝.。

备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题60 特殊值法解决二项式展开式系数问题

专题60 特殊值法解决二项式展开式系数问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n ，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下．对于二项式系数问题，往往利用“赋值法”.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立.所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设()011222nnn n r n r rn nn n n n n a b C a C ab C a b C a b C b ---+=++++++，①令1a b ==，可得：012n nn n n C C C =+++②令1,1a b ==-，可得： ()012301nnn n n nnC C C C C =-+-+-，即： 02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++=（2）设()()201221nn n f x x a a x a x a x =+=++++① 令1x =，则有：()()0122111nn a a a a f ++++=⨯+=，即展开式系数和② 令0x =，则有：()()02010na f =⨯+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211nn a a a a a f -+-++=-⨯+=-()()()021311n n a a a a a a f -⇒+++-+++=-，即偶次项系数和与奇次项系数和的差由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值.【经典例题】例1.【山东省2019年普通高校招生（春季）考试】在的展开式中，所有项的系数之和等于（）A. 32B. -32C. 1D. -1 【答案】D【解析】分析：令x=y=1，则得所有项的系数之和.详解：令x=y=1，则得所有项的系数之和为，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.例2.【2019年【衡水金卷】（四）】在二项式8ax⎛⎝的展开式中，所有项的系数之和记为S ，第r 项的系数记为r P ，若893S P =，则ab的值为（） A. 2 B. 4- C. 2或2- D. 2或4- 【答案】D例3.已知()()()()()921120121112111x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则1211a a a +++的值为（）A. 0B. 2C. 255D. 2- 【答案】B【解析】：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x =，得到01110a a a +++=，只需再求出0a 即可.令1x =可得02a =-，所以12112a a a +++=答案：B例4.设(4234012342x a a x a x a x a x +=++++，则()()2202413a a a a a ++-+的值为（）A. 16B. 16-C. 1D. 1- 【答案】A【解析】思路：所求()()()()22024130123401234a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+，在恒等式中令1x =可得：(4012342a a a a a ++++=+，令1x =-时(4012342a a a a a -+-+=-，所以()()((4422024132216a a a a a ++-+=+-=答案：A例5. 【2019届河南省郑州市一模】在x⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则2x 的系数为（）A. 50B. 70C. 90D. 120 【答案】C令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．例6.在n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是（） A. 462 B. 330 C. 682 D. 792 【答案】A【解析】n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于12102411n n -=∴=，则中间项的二项式系数是561111462C C ==.故选A例7.【2019届百校联盟TOP20四月联考】已知的展开式中所有偶数项系数之和为496，则展开式中第3项的系数为_______. 【答案】270【解析】分析：利用赋值法得到两式相减即故答案为：270例8.【2019届浙江省诸暨市高三上期末】已知，则______；则__________．【答案】 1 60 【解析】令得：1=因为，所以例9.【2019届衡水金卷全国大联考】已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．【答案】16【解析】显然.令，得.所以.当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.例10.若()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++的值是（）A. 10B. 20C. 233D. 233-【答案】D令1x =可得：12345102345a a a a a =++++而在()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++中，令0x =可得：503243a =-=-0123452345233a a a a a a ∴+++++=-答案：D【精选精练】1．【2019届福建省莆田市第二次检测】若（）展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先根据二项式定理中所涉及的二项式系数和为，结合题中条件，求得，将代入二项式，将其展开式的通项写出，令幂指数为零，求得，再回代，求得结果，得到正确选项. 详解：根据二项式系数和的性质，可知，解得，所以的展开式的通项为，令，解得，所以其展开式的常数项为，故选B.2．【2019届安徽省合肥市三模】已知展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为A. 64B. 32C.D.【答案】B，解得，二项式系数之和为，故选B.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3．【2019届四川省雅安市三诊】已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（）A. B. C. D.【答案】A故选A.4．【2019届河北衡水金卷模拟一】()61231x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. 73-B. 61-C. 55-D. 63- 【答案】A【解析】令1x =，得()61231264x x ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭，而常数项为0166329C C -⨯+⨯=，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为64973--=-，故选A. 5．在的展开式中，各项系数的和是__________．【答案】1. 【解析】分析：令，即可得到二项展开式的各项系数的和．详解：由题意，令，即可得到二项展开式的各项系数的和为．点睛：本题主要考查了二项展开式各项系数的和求解，其中正确合理赋值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．6．【2019届贵州省凯里市第一中学四模】二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为__________．【答案】【解析】分析：先由奇数项的二项式系数之和为32确定n 值，然后根据二项展开式通项公式求出第4项即可. 详解：∵二项式的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，∴，即展开式中的第项为故答案为：7．【2019届安徽省安庆市二模】如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x 的系数是______. 【答案】-1898．若1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n =__________；该展开式中的常数项是__________．【答案】 3 -27【解析】（1）因为系数的绝对值之和为64，则当1x =时，有()3164n+=，所以3n =；（2）(()33332133131kkkk k k kk T CC x x ---+-⎛⎫==⋅⋅- ⎪⎝⎭，所以1k =，常数项为()11233127C ⋅⋅-=-.9.【2019届北京市海淀区高三上期末】已知()51nx -展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n =__________．【答案】6【解析】令二项式中的x=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得42642n nn ==解得n=6 故答案为：610．【2019届浙江省杭州市学军中学5月模拟】设，则__________，__________．【答案】. 80.点睛：（1）本题主要考查二项式定理求值，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和观察分析能力.(2)本题解题的关键是..11．【腾远2019年浙江红卷】已知的展开式中的系数为，则__________，此多项式的展开式中含的奇数次幂项的系数之和为__________．【答案】 -2 -32【解析】分析：由题意的，展开式中含的系数为，解得，令，分别令和，则两式相减，即可求解.详解：由题意的，展开式中含的系数为，解得，令，令，则；令，则，两式相减，则展开式中含奇次幂的系数之和为.12．【2019年天津市河西区三模】设，则__________．【答案】211。

高考培优课程秋季数学讲义：二项式定理—二项展开式【学生版】

高考培优数学“二项式定理—二项展开式”学生姓名授课日期教师姓名唐茂钢授课时长1h（1）掌握二项式定理展开式、通项公式、二项式系数性质，会用它们进行赋值运算以及简单的证明。

（2）二项式定理是高考的常考知识点之一，每年一道题，常以选择或填空形式出现，利用通项公式求展开式的特定项或某一项的系数较多。

利用二项式定理求多项式的系数或二项式的系数和，或者赋值运算是高考命题的常见题型。

少有综合性的大题。

1. 二项式定理的内容：()n n n n r r n r n n n n n b ab C b a C b a C a b a ++++++=+----1111通项公式：rr n r n r ba C T -+=1注意：区分二项式系数与某一项的系数，二项式系数是),,2,1,0(n r C rn =，而系数既包括二项式系数也包括二项式中系数和符号展出部分。

2. 二项展开式系数的性质：（1）rn n r n C C -= （2）rn r n r n C C C =+---111（3）nn n n n n n C C C C 2110=++++-（4）112312202--=++++=++++n k nn n k n n n C C C C C C【例1】（1）化简：3353433n C C C C ++++（2）求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→43435434433lim n P n P n P n P n n 【难度系数】2【解答】：【例2】在二项式12312⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，求（1）第3项；（2）二项展开式中排在最中间的项；（3）二项展开式中4x 项；（4）二项展开式中系数最大的项. 【难度系数】2 【解答】：【点评】求展开式中指定项和特定项以及系数最大的项。

对于二项式展开式的项、项的系数有关的问题，一般可由通项公式来解决；若将第（4）问改为求12212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 二项展开式中系数最大的项，则需从奇数项中去讨论系数最大项。

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专题59 二项式的展开项【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，本节内容考题比较灵活，热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n ，求参数的值等，难度控制在中等或中等以下．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. 1、二项式()()na b n N *+∈展开式()011222nn n n r n r r n nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们可以发现这样几个特点（1）()na b +完全展开后的项数为()1n +（2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。

如果是()na b -，则视为()na b +-⎡⎤⎣⎦进行展开（4）二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+= （注意是第1r +项）2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的和为2n二项式系数的多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。

对于()na b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n rr ab - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有rn C 种。

所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。

而二项式系数便是这个组合问题的结果。

3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。

二项式系数是展开式通项公式中的rn C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。

而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。

例如：()521x +展开式中第三项为()3223521T C x =⋅⋅，其中25C 为该项的二项式系数，而()3223352180T C x x =⋅⋅=化简后的结果80为该项的系数（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为1时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。

例如()51x + 展开式的第三项为 ()322351T C x =⋅⋅，可以计算出二项式系数与系数均为103、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如212,5x x就不是有理项。

4、()na b +与()na b -的联系：首先观察他们的通项公式：()na b +：1r n r r r n T C a b -+= ()n a b -：()()'11r rr n r r n r rr n n T C a b C a b --+=-=-两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。

其绝对值相等。

所以在考虑()na b -系数的绝对值问题时，可将其转化为求()na b +系数的问题 5、二项式系数的最大值：在01,,,nn n n C C C 中，数值最大的位于这列数的中间位置。

若n 为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如5n =时，最大项为2355C C =，若n 为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如6n =时，最大项为36C 证明：在01,,,n n n n C C C 中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为rn C ，则有()()()()()()11!!11!!1!1!1!!11!!11!1!r r n n r r n n n n r n r r n r C C r n r n n C C r n r n r r r n r -+⎧⎧≥≥⎪----⎡⎤⎪⎧≥⎪⎪⎣⎦⎪+-⇒⇒⎨⎨⎨≥⎪⎩⎪⎪≥≥⎪⎪--+⎩+-+⎡⎤⎣⎦⎩ 所以解得：1212n r n r +⎧≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩即1122n n r -+≤≤ 所以当n 为奇数时（21n k =-），不等式变为1k r k -≤≤，即1r k =-或r k =为中间项当n 为偶数时（2n k =），不等式变为11+22k r k -≤≤，即r k =为中间项 6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要构建不等式组计算求解.【经典例题】例1.【2019年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.例2.【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】例3.【山西省两市2019届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D. 【答案】B例4.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 例5. 【2019年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r +1项，再根据项的次数为零解得r ，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为例6.【2019年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】例7.【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．点睛：这几个题都是二项式定理的应用, 解题的关键是一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解．另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，一般都需先转化为方程(组)求出,n r ，然后代入通项公式求解．例8.【安徽省宿州市2019届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．例9.已知91x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为212-，则实数a 的值为__________ 【答案】-2【解析】思路：先利用通项公式求出3x 的项，在利用系数的条件求出a 的值即可解：99219911r rrrr rr T C xC x ax a --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9233r r ∴-=⇒= 3333493184T C x x a a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭3842122a a ∴=-⇒=- 答案：2a =-例10设0a ≠，n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012nn a a x a x a x ++++….若点()i i A i a ,，()012i =,,的位置如图所示，则a = .【答案】3【解析】根据题意知01a =，13a =，24a =，结合二项式定理得1221C 31C 4n n aa ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，即8133n a n a⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3a =. 【精选精练】1．在的展开式中，常数项为（）A. 135B. 105C. 30D. 152．【2019届湖北省5月冲刺】二项式展开式的常数项为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：先看作的二项式，再根据二项展开式的通项确定常数项.详解：因为=,所以，因此常数项为展开式中常数项：，选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 3．的展开式中不含有项的各项系数之和为（） A.B.C.D.【答案】D据此可得：的展开式中不含有项的各项系数之和为.本题选择D 选项. 4．在二项式1(1)2nx -的展开式中，偶数项二项式系数为32，则展开式的中间项为 A.52-B. 52C.352x -D.352x【答案】C【解析】偶数项二项式系数和为1522n -=，即6n =，中间项33461()2T C x =-=352x -，故选C5．【2019届河北省衡水中学三轮复习】展开式中的常数项为（）A.B.C.D.【答案】B故选B ．点睛：对于三项式的问题，解题时可转化为二项式求解；若无法转化，则要根据组合的方法求解．6．【2019届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知展开式中的常数项与展开式中的系数相等，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由展开式中的常数项与展开式中的系数相等，利用二项式的通项公式列方程求解即可.详解：的通项公式为，当时，常数项为，通项式为，当时，的系数为，故选A.7．【2019届河南省最后一次模拟】在的展开式中，含项的系数是__________．【答案】-44【解析】分析：,求出展开式中的系数，从而可得结果. 详解：,分别求出展开式中的项，所以含项为，含项的系数是，故答案为.8．【2019届湖北省黄冈中学5月三模】已知展开式的常数项是第7项，则正整数的值是_______. 【答案】109．【2019届浙江省金丽衢十二校第二次联考】在的展开式中，常数项为_____；系数最大的项是_____．【答案】【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得项的次数与系数，再根据次数为零，算出系数得常数项，根据系数大小比较，解得系数最大的项.详解：因为，所以由得常数项为因为系数最大的项系数为正，所以只需比较大小因此r=2时系数最大，项是，点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10．【腾远2019年浙江红卷】已知的展开式中的系数为，则__________，此多项式的展开式中含的奇数次幂项的系数之和为__________．【答案】 -2 -3211．【2019届湖北省华中师范大学第一附属中学5月押题】已知的展开式中，的系数为，则实数__________．【答案】【解析】分析：先求中的系数，再根据的系数为求出a的值.详解：令的通项为当x=3时，的系数为当x=2时，的系数为，所以1×（-80）+a×40=40a-80=-20,所以a=.故答案为：点睛：（1）本题主要考查二项式定理和二项式展开式的项的系数，意在考查学生对这些基础的掌握能力和分类讨论思想方法. (2)解答本题的关键是求中的系数，然后的系数为1×（-80）+a×40=40a-80.12．【2019届安徽省江南十校二模】二项式展开式中，只有第项的二次项系数最大，则展开式中常数项是__________．【答案】11令，得，即展开式中常数项是．。

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题59 二项式的展开项

2020年浙江高考数学一轮复习： 二项式定理