2014-2015年黑龙江省牡丹江一中高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)

2014-2015学年黑龙江省牡丹江一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（单选，共5×12=60分）1．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．2．（5分）参数方程表示的曲线是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆3．（5分）直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）A．B．C．D．5．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A．|FP1|+|FP2|=|FP3|B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3|D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|7．（5分）在方程（θ为参数且θ∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）A．（2，﹣7）B．（1，0） C．（，）D．（，）8．（5分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．9．（5分）在极坐标系中，已知点A（﹣2，﹣），B（，），O（0，0），则△ABO为（）A．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形 D．直角等腰三角形10．（5分）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5分）已知直线（t为参数）与曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+3=0交于A、B两点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．12．（5分）已知集合M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对所有m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范同是（）A．[﹣，]B．（﹣，）C．（﹣，]D．[﹣，]二、填空题：（共5x4=20分）13．（5分）将参数方程（θ为参数）化为普通方程为．14．（5分）直线为参数）上与点A（﹣2，3）的距离等于的点的坐标是．15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．16．（5分）实数x、y满足3x2+2y2=6x，则的最大值为．三、解答题：（17题10分，18题至22题各12分）17．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2=4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值．19．（12分）已知过点P（1，﹣2），倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m （1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M （﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线（φ为参数），经坐标变换（a＞0，b＞0）后所得曲线记为C．A、B是曲线C上两点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的普通方程；（2）求证：点O到直线AB的距离为定值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2014-2015学年黑龙江省牡丹江一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（单选，共5×12=60分）1．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：点M的极坐标为，由于和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，故选：D．2．（5分）参数方程表示的曲线是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解：参数方程，①2﹣②2可得：x2﹣y2=4．参数方程表示的曲线是双曲线．故选：B．3．（5分）直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选：A．4．（5分）在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）A．B．C．D．【解答】解：x B=a+t1cosθx C=a+t2cosθ对于中点M有x M=（x B+x C）=（a+t1cosθ+a+t2cosθ）=a+（t1+t2）cosθ同理y M=b+（t1+t2）sinθ∴线段BC的中点M对应的参数值是（t1+t2）故选：B．5．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，故选：B．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A．|FP1|+|FP2|=|FP3|B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3|D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|【解答】解：∵2x2=x1+x3，∴，∴由抛物线定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|故选：C．7．（5分）在方程（θ为参数且θ∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）A．（2，﹣7）B．（1，0） C．（，）D．（，）【解答】解：cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2x2=y∴方程（θ为参数且θ∈R）表示x2=（1﹣y）将点代入验证得C适合方程，故选：C．8．（5分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．【解答】解：将曲线（θ为参数，0≤θ≤π）消去参数θ，化为普通方程为（y≥0）．∵直线PO的倾斜角为，∴=1，∴直线po的方程为：y=x，联立（y≥0），解得，即P．故选：D．9．（5分）在极坐标系中，已知点A（﹣2，﹣），B（，），O（0，0），则△ABO为（）A．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形 D．直角等腰三角形【解答】解：极坐标系下，点，则在直角坐标系下A（0，2），B（﹣1，1），C（0，0）∴AC=2，AB=BC=AC2=AB2+BC2三角形ABO为等腰直角三角形故选：D．10．（5分）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e===5，故选：D．11．（5分）已知直线（t为参数）与曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+3=0交于A、B 两点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．【解答】解：由直线（t为参数），得x﹣y﹣1=0，由ρ2﹣4ρcosθ+3=0，得x2+y2﹣4x+3=0，化为标准方程为：（x﹣2）2+y2=1，它表示圆心为（2，0），半径为1的圆．圆心到直线的距离为d==，∴弦长2=，故选：D．12．（5分）已知集合M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对所有m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范同是（）A．[﹣，]B．（﹣，）C．（﹣，]D．[﹣，]【解答】解：由题意，∵M∩N≠∅，∴y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m2）x2+4mbx+2b2﹣3=0∴△=16m2b2﹣4（1+2m2）（2b2﹣3）≥0∴2b2≤3+6m2∵对所有m∈R，均有M∩N≠∅，∴2b2≤3∴故选：A．二、填空题：（共5x4=20分）13．（5分）将参数方程（θ为参数）化为普通方程为y=x﹣2（2≤x≤3）．．【解答】解：由参数方程（θ为参数），把y=sin2θ代入x=2+sin2θ得x=2+y（0≤y≤1）．即y=x﹣2（2≤x≤3）．故答案为：y=x﹣2（2≤x≤3）．14．（5分）直线为参数）上与点A（﹣2，3）的距离等于的点的坐标是（﹣3，4）或（﹣1，2）．【解答】解：设直线上的点的坐标为（﹣2﹣t，3+），则由两点间的距离公式得：得：t=，∴距离等于的点的坐标是：（﹣3，4）或（﹣1，2），故答案为；（﹣3，4）或（﹣1，2）．15．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．【解答】解：直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0即x﹣y+2=0，曲线C：ρ=2 即=2，即x2+y2=4，表示以原点O为圆心，以2为半径的圆．设弦的中点为A（m，m+2），则由OA垂直于直线可得×1=﹣1，解得m=﹣1，故弦的中点为A（﹣1，1），它的极坐标为，故答案为．16．（5分）实数x、y满足3x2+2y2=6x，则的最大值为2．【解答】解：3x2+2y2=6x，配方得，3（x﹣1）2+2y2=3，令x=1+cosα，y=sinα，α∈[0，2π），则==•=，由于﹣1≤cosα≤1，则当cosα=1时，取得最大值=2．故答案为：2．三、解答题：（17题10分，18题至22题各12分）17．（10分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程．（2）设l与圆x2+y2=4相交于点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．【解答】解：（1）因为过点（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程，由题意，将x0=1，y0=1，α=代入上式得直线l的参数方程为（t为参数）．（2）因为A，B都在直线l上，故可设它们对应的参数分别为t1，t2，则点A，B的坐标分别为A，B，将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4中，整理得，则t1，t2是此方程的两根，由韦达定理得t1t2=﹣2，所以|PA|•|PB|=|t1t2|=2．即点P到A、B两点的距离之积为2．18．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=，试求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程是（t是参数），消去参数化为普通方程为y=x﹣m．（Ⅱ）曲线表示一个圆，圆心（2，0）、半径为2，求出圆心（2，0）到直线y=x﹣m的距离为d=，再由弦长公式求得d==，故有=，求得m=1，或m=3．19．（12分）已知过点P（1，﹣2），倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m （1）m取何值时，直线l和抛物线交于两点？（2）m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为．【解答】解：（1）由已知可得直线l：y+2=（x﹣1），联立得x2﹣x++2﹣m=0，因为有两个交点，所以﹣4（+2﹣m）＞0，解得m＞；（2）设直线l交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则x1+x2=，x1x2=+2﹣m，则|AB|===，解得，m=3．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．【解答】解（1）将直线l的参数方程消去参数t得：x=﹣1+y，∴直线l的极坐标方程，（3分）曲线C的极坐标方程化成：ρsinθ=ρ2cos2θ，其普通方程是：y=x2（2分）（2）将代入y=x2得，3分∵点M（﹣1，0）在直线上，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=2（2分）．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线（φ为参数），经坐标变换（a＞0，b＞0）后所得曲线记为C．A、B是曲线C上两点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的普通方程；（2）求证：点O到直线AB的距离为定值．【解答】解：（1）∵（a＞0，b＞0），∴，，∴（φ为参数）为曲线C的参数方程．…（3分）消参可得曲线C的普通方程为（a＞0，b＞0）…（6分）（2）以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系．…（7分）所以有，∴=，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），则|AB|=，∴点O到AB直线的距离为==∴点O到AB直线的距离为定值．…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）∴b=1∴椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。