北京市2019届高三数学(理科)综合练习49 含答案

北京市2017届高三综合练习数学（理）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则U AB ð=A ．{}04x x ≤<B ．{}04x x <≤C ．{}10x x -≤≤D ．{}14x x -≤≤ 2.复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ． 第四象限3.已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为A ．6B ．2C ．32D ． 344.在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠ 等于A ．60或120B ．120C ．150D ．30或150 5.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,4x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4ρθπ=+，则直 线l 和曲线C 的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 6.下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ，=a ，2(1),λ=-b ，(11)-，=c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-；:r 若111adx =x⎰（1a >），则e =a . 其中所有的真命题是A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r7.直线y x =与函数22,,()42,x m f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[2,)+∞D ．(,1]-∞- 8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A. 1B.C.D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.二项式25(ax 展开式中的常数项为5，则实数a =_______.10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______.11.若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 .（第10题图）12.如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ．若CD =则AB =_______， EF =_________．13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加 投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件.当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）14.在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *+++=+∈，则此数表中的 第5行第3列的数是 ；记第3行的 数3，5，8，13，22， ⋅⋅⋅ 为数列{}n b ，则数列 {}n b 的通项公式为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分）已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M . （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ， 求()f A 的取值范围．16. （本小题满分13分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望.第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 …17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ， =4,=2,=1AB AE EF .（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ； （Ⅱ）求证：⊥AF 平面EBC ；（Ⅲ）求二面角--A FB D 的余弦值. 18. （本小题满分14分） 已知函数22()ln (0)af x a x x a x=++≠． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤． 19. （本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(A，B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且 P M P N =，求点P 的纵坐标的取值范围. 20．（本小题满分13分） 已知数列12:,,,n n A a a a (,2)n n ∈≥*N 满足01==n a a ，且当n k ≤≤2()*N k ∈时，1)(21=--k k a a ，令1()nn i i S A a ==∑．（Ⅰ）写出)(5A S 的所有可能的值； （Ⅱ）求)(n A S 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=？若存在，求出数列n A ；若不存在，ECBDMA F说明理由．数学答案（理工类）一、选择题：二、填空题：9.1 10. 13 11.1212. 3 13. 2**32100,020,,160,20,,N N x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈=⎨->∈⎩16 14. 16，121n n a n -=++三、解答题：15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由()12(cos 21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上， 所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=， 解得12m =. ……5分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分 所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()84P A C +==. 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584.…4分 （Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739281()843C C P B C ===.答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13. ……8分 （Ⅲ）X 的取值为2,3,4,5.12212222391(2)21C C C C P X C +===， 12212424394(3)21C C C C P X C +===，12212626393(4)7C C C C P X C +===， 1218391(5)3C C P X C ===. ……11分X 的数学期望234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……13分 17. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN //AB ，又14CM AC =，所以14MN AB =.又EF //AB 且14EF AB =，所以EF //MN ，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM //FN .又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以//EM 平面FBC . ……4分（Ⅱ）因为⊥EA 平面ABCD ，⊥AB AD ，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz .由已知可得(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F .显然=(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB .E DCMAFBN则=0,=0⋅⋅AF BC AF EB ， 所以,⊥⊥AF BC AF EB .即,⊥⊥AF BC AF EB ，故⊥AF 平面EBC . （Ⅲ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，由已知得，=(0,4,0),=(3,0,-2)BC FB ，=(4,4,0)-BD . ……9分 因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . 由已知可得⊥AB BC 且=EA AB A ，所以⊥BC 平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量. 设平面DFB 的一个法向量是()n =x,y,z .由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪⎨=⎪⎩y x,z x, 令2=x ，则(2,2,3)n =.所以cos <,n n n⋅>==⋅BC BC BC 由题意知二面角A-FB-D 锐角，故二面角A-FB-D . ……14分 18. （本小题满分14分）解：（I ）()f x 的定义域为{|0}x x >.()()22210a a f x x x x '=-+>.根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=，解得1a =-或32a =. ……3分 （II ）()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x +--+'=-+==>.（1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<.所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减. （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-.所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. ……9分 （III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a =-=-+-=---.2()ln(2)3ln(2)22g a a aa a -'=-+-=---， 令()0g a '=，得21e 2a =-.当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：2e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点. 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222最大值g a g =-=--⨯---2222131e ln e e e 222=-+=.所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立.……14分19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y 12=-，整理得221(2x y x +=≠. 所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2x y x +=≠. ………5分（II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0. ………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+.设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+， 所以2222(,)2121k kQ k k -++. ………9分 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++. 令0x =解得211212P k y k k k==++. .………10分当0k >时，因为12k k +≥04P y <≤=； 当0k <时，因为12k k +≤-0P y >≥= .………12分 综上所述，点P纵坐标的取值范围是[,44-. .………13分 20．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有： （1）01210,,,,.此时5()=4S A ；（2）01010,,,,.此时5()=2S A ； （3）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（4）01210,,,,.---此时5()=4S A -； （5）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（6）01010,,,,.--此时5()=2S A -； 所以，)(5A S 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分（Ⅱ）由1)(21=--k k a a ，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（n k ≤≤2，k ∈*N ），因为11n n n a a c ---=，所以 11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++ 11221n n a c c c c --==+++++．因为01==n a a ，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,,n c c c -是由21-n 个1和21-n 个1-构成的数列．所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．则当121,,,n c c c -的前21-n 项取1，后21-n 项取1-时)(n A S 最大， 此时)(n A S 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=．证明如下：假设121,,,n c c c -的前21-n 项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则 121,,,n c c c -的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤， 112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t =． 所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑． 所以)(n A S 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前21-n 项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，百度文库，精选习题试题习题，尽在百度 121,,,n c c c -的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则21(1)()2()4tn i i i n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()t i i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2-n 是奇数，而12()ti i i n m =-∑是偶数，因此不存在数列nA ，使得4)3()(2-=n A S n ．……13分。