高考理科数学 刷题增分练 13 三角函数的图象与变换

刷题增分练 13 三角函数的图象与变换刷题增分练⑬ 小题基础练提分快 一、选择题1．[2019·陕西质检]为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度 答案：D解析：函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．故选D.2．[2019·四川绵阳诊断]如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32 答案：D解析：∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫0，32，∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53.∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.故选D.3．[2019·石家庄检测]若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112B.52C.12D.32 答案：B解析：函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.4．[2019·安徽合肥教学质量检测]将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到函数y ＝cos2x ＋sin2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12 答案：D解析：y ＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∵将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ＋π4，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －φ＋π4的图象，即y ＝cos2x ＋sin2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，∴当a ＝12，φ＝π2时两个函数解析式相同．故选D.5．[2019·福建莆田二十四中模拟]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－22 C.3 D ．－ 3 答案：D解析：∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴f (0)＝A cos φ＝0.∵A >0,0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx .∵△EFG 是边长为2的等边三角形，∴y E ＝3＝A .又∵函数f (x )的最小正周期T ＝2FG ＝4，∴ω＝2π4＝π2.∴f (x )＝－3sin π2x .∴f (1)＝－ 3.故选D.6．[2019·贵阳监测]函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π6 B.π6C ．－π3 D.π3 答案：D解析：根据图象可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，则ω＝2，当x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝π12时，函数取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3.7．[2019·合肥模拟]已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，ω＝－π6 答案：D解析：由已知条件得，π＝2πω，因而ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象，由题意知g (x )为偶函数，则2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π6.8．[2019·安徽蚌埠教学质量检测]已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3 D.3π 答案：B解析：当正弦值等于余弦值时，正弦值为±22.由题意，得等边三角形的高为2，边长为2×33×2＝263，且边长为函数y ＝sin ωx 的最小正周期，故2πω＝263，解得ω＝6π2.二、非选择题9．如果将函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(－π<φ<0)的图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，且g (x )为奇函数，则φ＝________.答案：－π4解析：将函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(－π<φ<0)的图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )＝sin3x ＋π4＋φ(－π<φ<0)的图象，因为g (x )为奇函数，所以π4＋φ＝k π(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－π4.10．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________.答案：π6解析：两图象交点的横坐标为π3，有等式cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ成立，由φ的条件可知φ＝π6.11．[2019·保定模拟]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析：由两个三角函数的图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．[2019·江苏盐城模拟]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ，ω，φ为常数且A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．若f (α)＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值为________．答案：4＋335解析：由函数f (x )的图象知，A ＝2，最小正周期T ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝2，且－π2<φ<π2，∴φ＝－π6， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.由f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝65，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35. 又∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin α＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×32＋45×12＝4＋335.刷题课时增分练⑬ 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题1．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12 答案：B解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象，再将所得图象作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，故选B. 2．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝5π12D ．x ＝－5π12 答案：D解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，再向左平移π4个单位长度，得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，结合选项知，只有D 选项代入有y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，因此x ＝－5π12是所得函数图象的一条对称轴．故选D.3．[2019·福建厦门模拟]函数y ＝2cos x (0<x <π)和函数y ＝3tan x 的图象相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.3π2B.3π3C.2π2D.2π3 答案：A解析：由2cos x ＝3tan x ，x ∈(0，π)，得2cos 2x ＝3sin x ，即2sin 2x ＋3sin x－2＝0.解得sin x ＝12(sin x ＝－2舍去)．∵x ∈(0，π)，∴x ＝π6或x ＝5π6，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－3，∴S △OAB ＝32π.故选A.4．[2019·昆明调研]已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92 D ．6 答案：A解析：因为函数f (x )＝sin ωx 的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以2ω3π＝k π(k ∈Z )，即ω＝32k (k ∈Z ) ①，又函数f (x )＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，所以π4≤π2ω且ω>0，所以0<ω≤2 ②由①②得ω＝32，故选A.5．[2019·河北张家口模拟]已知ω>0，在函数y ＝4sin ωx 与y ＝4cos ωx 的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案：D解析：∵函数y ＝4sin ωx 与y ＝4cos ωx 的图象有交点，∴根据三角函数线可得出交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1π＋π4ω，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋5π4ω，－22，k 1，k 2都为整数．∵距离最短的两个交点的距离为6，∴这两个交点在同一周期内，∴36＝1ω2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π42＋(－22－22)2，解得ω＝π2.6．[2019·唐山摸底考试]把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝π6D ．x ＝－π12 答案：C解析：解法一 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，则x ＝π6，选择C.解法二 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，然后把选项代入检验，易知x ＝π6符合题意，选择C.7．[2019·河南八市重点高中测评]函数f(x)＝4x－3tan x在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为()答案：D解析：因为函数f(x)＝4x－3tan x是奇函数，排除B、C；通过特殊值f⎝⎛⎭⎪⎫π4＝π－3>0，且f⎝⎛⎭⎪⎫π3＝4π3－33＝4π－933<0，故选D.8.[2019·河北武邑中学调研]已知函数f(x)＝A sin⎝⎛⎭⎪⎫π3x＋φ⎝⎛⎭⎪⎫A>0，0<φ<π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，作PR⊥x 轴于点R，点R的坐标为(1,0)．若∠PRQ＝2π3，则f(0)＝() A.12 B.32C.34 D.24答案：B解析：过点Q作QH⊥x轴于点H.设P(1，A)，Q(a，－A)．由函数图象得2|a－1|＝2ππ3＝6，即|a－1|＝3.因为∠PRQ＝2π3，所以∠HRQ＝π6，则tan∠QRH＝A3＝33，解得A＝ 3.又P(1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝3sin⎝⎛⎭⎪⎫π3x＋π6，f(0)＝3sinπ6＝32.故选B.二、非选择题9．已知函数y＝5cos⎝⎛⎭⎪⎫2k＋13πx－π6(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a ＋3]上要使函数值54出现不少于4次且不多于8次，则k 的值为________．答案：2或3解析：令y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos 2k ＋13πx －π6＝14.因为函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14的有2次，而区间[a ，a ＋3]的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使长度3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度，即2×2π2k ＋13π≤3且4×2π2k ＋13π≥3，解得32≤k ≤72，又k ∈N ，故k 的值为2或3. 10．[2019·河北邯郸教学质量检测]已知函数f (x )＝－4cos (ωx ＋φ)e |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ＝________.答案：2解析：∵f (0)＝0，∴cos φ＝0.∵0<φ<π.∴φ＝π2.∵2πω＝2，∴ω＝π.∴ωφ＝2.11．[2019·安徽示范中学模拟]已知a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，f (x )＝2a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)若g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，画出函数y ＝g (x )的图象，讨论y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数．解析：(1)∵f (x )＝2a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x －cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为f (x )max ＝2＋1.(2)g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，利用“五点法”列表为：x －π2 －3π8 －π8 π8 3π8 π2 2x －π4 －5π4 －π －π2 0 π2 3π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 22 0 －1 0 1 22 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12 1 1－2 1 1＋2 2 描点作图如下．函数y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数，即函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝m 的交点个数．由图可知，当m <1－2或m >1＋2时，无零点； 当m ＝1－2或m ＝1＋2时，有1个零点； 当1－2<m <2或2<m <1＋2时，有2个零点； 当m ＝2时，有3个零点．。