【配套K12】2018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第10节导数的概念及计算习题理
【配套K12】2018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第11节导数在研究函数中的应用第五课时
第五课时利用导数研究函数零点专题f(x)=-ln x+ax2+bx.(1)若b=1-a,讨论f(x)的单调性;(2)若a=0时函数有两个不同的零点,求实数b的取值范围.解:(1)若b=1-a,则f(x)=-ln x+ax2+(1-a)x,f′(x)=-+ax+1-a==(x>0).(ⅰ)当a≥0时,x∈(0,1),f′(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减,x∈(1,+∞),f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.(ⅱ)当a<0时,令ax+1=0,得x=-.①当->1,即-1<a<0时,x∈(0,1)或x∈(-,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(1,-)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.②当-<1,即a<-1时,x∈(0,-)或x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;在x∈(-,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.③当-=1,即a=-1时,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,综上当a≥0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当-1<a<0时,f(x)在(0,1),(-,+∞)上单调递减,在(1,-)上单调递增;当a<-1时,f(x)在(0,-),(1,+∞)上单调递减,在(-,1)上单调递增;当a=-1时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.(2)若a=0,f(x)=-ln x+bx,令f(x)=0,得b=.设g(x)=,则g′(x)==,所以当0<x<e时,g′(x)>0;当x>e时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(e)=.又因为当x>e时,g(x)>0恒成立;当0<x<1时,g(x)<0,函数g(x)的大致图象为所以b的取值范围为(0,).f(x)=xe ax+ln x-e(a∈R).设g(x)=ln x+-e,若函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点,求实数a的范围.解:设h(x)=f(x)-g(x)=xe ax+ln x-e-(ln x+-e)=xe ax-=,由两函数图象有两个交点知,函数h(x)在(0,+∞)内有两个零点,令ϕ(x)=x2e ax-1,ϕ′(x)=ax2e ax+2xe ax=xe ax(ax+2).(1)当a≥0时,ϕ′(x)=xe ax(ax+2)>0,所以ϕ(x)在(0,+∞)上单调递增,由零点存在定理,ϕ(x)在(0,+∞)至多一个零点,与题设发生矛盾.(2)当a<0时,xe ax(ax+2)=0,则x=-.当x变化时,ϕ(x),ϕ′(x)变化情况如下表:) ,++ 0ϕϕ所以要使ϕ(x)=x2e ax-1在(0,+∞)内有两个零点,则ϕ(-)>0即可,得a2<,又因为a<0,所以-<a<0.综上可知,a的取值范围为(-,0).3.已知函数f(x)=e x+mx-2,g(x)=mx+ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m=-1时,试推断方程:|g(x)|=+是否有实数解.解:(1)由题意可得f′(x)=e x+m.当m≥0时,f′(x)>0,所以当m≥0时,函数f(x)的单调递增区间为R.当m<0时,令f′(x)>0,即e x+m>0,可得x>ln(-m),令f′(x)<0,即e x+m<0,可得x<ln(-m),所以当m<0时,函数f(x)的单调递增区间为(ln(-m),+∞),单调递减区间为(-∞,ln(-m)).(2)当m=-1时,g(x)=-x+ln x(x>0).易得g′(x)=-1,令g′(x)>0,可得0<x<1,令g′(x)<0,可得x>1,故g(x)在x=1处取得极大值,也是最大值.即g(x)≤g(1)=-1,所以|g(x)|≥1.令h(x)=+,所以h′(x)=,令h′(x)>0,可得0<x<e,令h′(x)<0,可得x>e,故h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值.所以h(x)≤h(e)=+<1,所以方程|g(x)|=+无实数解.4.(2015·江苏卷)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.解:(1)f′(x)=3x2+2ax,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=-.当a=0时,因为f′(x)=3x2>0(x≠0),所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,x∈(-∞,-)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(-,0)时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,-),(0,+∞)上单调递增,在(-,0)上单调递减;当a<0时,x∈(-∞,0)∪(-,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,-)时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0),(-,+∞)上单调递增,在(0,-)上单调递减. (2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(-)=a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f(-)=b(a3+b)<0,从而或又b=c-a,所以当a>0时,a3-a+c>0或当a<0时,a3-a+c<0.设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,)∪(,+∞),则在(-∞,-3)上g(a)<0,且在(1,)∪(,+∞)上g(a)>0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且g()=c-1≥0,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,)∪(,+∞).综上c=1.。
2018年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2. 11导数及其应用
2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.11导数及其应用一、变化率与导数、导数的运算<一）利用导数的定义求函数的导数1、相关链接<1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限。
<2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
b5E2RGbCAP2、例题解读〖例1〗求函数y=的在x=1处的导数。
解读：〖例2〗一质点运动的方程为。
（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度<用定义及求求导两种方法）分析<1）平均速度为；<2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。
解答：<1）∵∴Δs=8-3(1+Δt>2-(8-3×12>=-6Δt-3(Δt>2,.（3）定义法：质点在t=1时的瞬时速度（4）求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。
对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。
根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。
p1EanqFDPw<二）导数的运算1、相关链接<1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间<a,b）内的导数的基本步骤：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导；③整理得结果。
<2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
DXDiTa9E3d<3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。
【配套K12】2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.10导数的概念及运算模拟演练文
2018版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案 B解析 ∵f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.故选B.2．[2017·洛阳二练]曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7 答案 C 解析 f ′(x )＝2xx ＋－x 2＋a x ＋2＝x 2＋2x －ax ＋2， 又∵f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.3．[2017·河北质检]已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧kx 0＝ln x 0，k ＝1x 0，由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e，选C.4．[2017·海南文昌中学模拟]曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1 D ．y ＝－2x －1 答案 A解析 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1，故选A.5．[2017·上饶模拟]若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为( )A ．1 B. 2 C.22D. 3 答案 B解析 因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.6．直线x －2y ＋m ＝0与曲线y ＝x 相切，则切点的坐标为________． 答案 (1,1) 解析7．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x过点P (2，－5)， 得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.8．[2016·金版创新]函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )在R 上的导函数f ′(x )＞12，则不等式f (x )＜x ＋12的解集为__________． 答案 (－∞，1)解析 据已知f ′(x )＞12，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤fx －12x ′＝f ′(x )－12＞0，即函数F (x )＝f (x )－12x 在R 上为单调递增函数，又由f (1)＝1可得F (1)＝12，故f (x )＜1＋x 2＝12＋12x ，化简得f (x )－12x ＜12，即F (x )＜F (1)，由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞，1)． 9．[2017·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， 所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.10．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程．解 (1)f ′(x )＝1－ae x ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－ae＝0，解得a ＝e.(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x .设切点为(x 0，y 0)，①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0. 若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e. ∴l 的直线方程为y ＝(1－e)x －1.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2016·昆明调研]若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析 依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，则b ＝0，又m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.12．[2016·山东高考]若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3答案 A解析 设两切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．选项A 中，y ′＝cos x ，cos x 1cos x 2＝－1，当x 1＝0，x 2＝π时满足，故选项A 中的函数具有T 性质；选项B 、C 、D 中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，故选A.13．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)．14．[2017·云南大理月考]设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
配套K122018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1节函数及其表示教师用书
第二章函数、导数及其应用[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]从近五年浙江高考试题来看，函数导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，各种难度的题目均有．第一节 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫做函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．(2017·金华十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x， x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14B [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝log 5125＝log 55－2＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝f (－2)＝2－2＝14，故选B.]4．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.【导学号：51062013】－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．](1)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．(2)(2017·浙江五校联考模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1).5分 (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.10分(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0).15分[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.【导学号：51062014】(1)x 2－1(x ≥1) (2)23 x ＋13(x ＞0) [(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x 1x－1，得f (x )＝23 x ＋13(x ＞0)．]☞角度1 求分段函数的函数值(1)(2017·温州联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)(2017·嘉兴市中学模拟)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，－x ，x ＜0，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016 B.14 C ．4D.12 016(1)C (2)C [(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C.(2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4，故选C.]☞角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017·台州二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或－1 C. 3D.3或－ 3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12(1)D (2)D [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2－b ＝4，解得b ＝12.]☞角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)(2017·温州一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2x ＋，0＜x ＜1，且f (x )＝－12，则x 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)－13 (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13.(2)当x <1时，x －1<0，ex －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x ≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．][规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．[思想与方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法．4．分段函数问题要分段求解．[易错与防范]1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．3．在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x0的范围不确定，要分类讨论．课时分层训练(三) 函数及其表示A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在D 中，定义域不同．] 2．(2017·浙江名校联考)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )A B C DB [A 项，定义域为[－2,0]，D 项，值域不是[0,2]，C 项，当x ＝0时有两个y 值与之对应．故选B.]3．(2017·宁波市质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1A [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.]4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )【导学号：51062015】A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1xD [函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]二、填空题6．(2017·温州二次质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.【导学号：51062016】1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f a ＜0，f2a ＋f a或⎩⎪⎨⎪⎧f a ，－f 2a，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式. 【导学号：51062017】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，4分即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.15分10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.4分 (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；8分 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________.【导学号：51062018】⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23.]3．根据如图211所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．图211[解] 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；3分当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；8分当1≤x ＜2时，f (x )＝1.10分所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.15分。
【配套K12】2018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第11节导数在研究函数中的应用第二课时
第二课时利用导数研究函数的极值与最值基础对点练(时间:30分钟)1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列命题:①-3是函数y=f(x)的极值点;②-1是函数y=f(x)的极小值点;③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确命题的序号是( B )(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)③④解析:由导数的图象知①f′(-3)=0,且两边异号,-3是函数y=f(x)的极值点,正确;②x=-1处,f′(-1)=0,但左右同号,错误;③x=0处切线的斜率应该大于零,错误;④f′(x)在(-3,1)上大于等于零,是增函数,正确.故选B.2.下列命题中正确的是( B )(A)函数y=x3-x2+x有两个极值点(B)函数y=48x-x3有两个极值点(C)函数y=x3有且只有一个极值点(D)函数y=e x-x无极值点解析:函数y=x3-x2+x求导得y′=3x2-2x+1,Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以y′>0恒成立,函数单调递增,不存在极值点,A错误;函数y=48x-x3求导得y′=48-3x2=3(4-x)(4+x),存在两个变号零点,所以函数y=48x-x3有两个极值点,B正确;函数y=x3求导得y′=3x2≥0恒成立,所以函数y=x3单调递增,不存在极值点,C错误;函数y=e x-x的导数y′=e x-1,令y′=0得x=0,且当x<0时,y′<0,当x>0时,y′>0,也就是说函数y=e x-x在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以x=0是一个极小值点,D错误.故选B.3.已知a≥1,f(x)=x3+3|x-a|,若函数f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M,m,则M-m的值为( C )(A)8 (B)-a3-3a+4(C)4 (D)-a3+3a+2解析:当x∈[-1,1]时,f(x)=x3+3(a-x)=x3-3x+3a(a≥1),对函数求导得f′(x)=3(x-1)(x+1).当-1≤x≤1时,f′(x)≤0,所以函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以M=f(-1)=3a+2,m=f(1)=3a-2,所以M-m=4.故选C.4.已知f(x)=x3-ax2+4x有两个极值点x1,x2,且f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,则实数a的取值范围是( A )(A)(,+∞) (B)[,+∞)(C)(-∞,) (D)(-∞,]解析:由题意得f′(x)=3x2-2ax+4.因为f(x)在区间(0,1)上有极大值,无极小值,所以f′(x)=0的两个根中x1∈(0,1),x2>1,所以f′(0)=4>0,f′(1)=7-2a<0,解得a>.故选A.5.若函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( B )(A)-10 (B)-71 (C)-15 (D)-22解析:因为f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f′(x)=0,解得x=-1或3.由表格可知当x=-1时,f(x)取得极大值,且f(-1)=-1-3+9+k=5+k,而f(4)=43-3×42-9×4+k=k-20<5+k,故最大值为f(-1)=5+k,所以5+k=10,解得k=5.所以f(x)=x3-3x2-9x+5.又极小值为f(3)=-22,区间端点值f(-4)=-71.所以函数f(x)在x=-4取得最小值-71.故选B.6.(2016·广西北海市高考一模)已知函数f(x)=ax-ln x,当x∈(0,e](e为自然对数的底数)时,函数f(x)的最小值为3,则a的值为( B )(A)e (B)e2(C)2e (D)2e2解析:函数的定义域为(0,+∞),函数的导数f′(x)=,①当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e]上单调递减,最小值f(e)<0,与题意不符;②当a>0时,f′(x)=0的根为.当0<<e,即a>时,f(x)在x∈(0,)上单调递减,在(,e)上单调递增.f(x)min=f()=1-ln=3,解得a=e2,③当≥e,即0<a≤时,f′(x)<0,f(x)在x∈(0,e)上单调递减,f(e)<0,与题意不符.综上所述a=e2,故选B.7.已知函数f(x)=-k(+ln x),若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为( A )(A)(-∞,e] (B)[0,e](C)(-∞,e) (D)[0,e)解析:因为函数f(x)=-k(+ln x),所以函数f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=-k(-+)=.因为x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,所以x=2是导函数f′(x)=0的唯一根.所以e x-kx=0在(0,+∞)无解,k≤e.故选A.8.已知函数f(x)=x3-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是.解析:依题意,f(x)的单调递减区间为(-1,1),由f′(x)=3x2-3a=3(x-)(x+),可得a=1,由f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2,可得1-3+b=2,故b=4.所以f(x)=x3-3x+4的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)+4=6.答案:69.(2017·湖北襄阳四中高三模拟)若函数f(x)=x2-ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围是.解析:函数的定义域为(0,+∞),令f′(x)=2x-==0,解得x=或x=-(舍去),所以函数在子区间(a-1,a+1)内存在极值等价于∈(a-1,a+1) (0,+∞),即解得1≤a<.答案:[1,)·安徽合肥联考)已知函数y=f(x)=.(1)求y=f(x)的最大值;(2)设实数a>0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=.令f′(x)==0,得x=e,因为当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上为增函数;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(e,+∞)上为减函数.所以f(x)max=f(e)=.(2)因为a>0,由题知F(x)=在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以F(x)在[a,2a]上的最小值F(x)min=min{F(a),F(2a)}.因为F(a)-F(2a)=ln ,所以当0<a≤2时,F(a)-F(2a)≤0,F(x)min=F(a)=ln a.当a>2时,F(a)-F(2a)>0,F(x)min=F(2a)=ln 2a.能力提升练(时间:15分钟)P(a,a)与曲线f(x)=xln x相切的直线有两条,则实数a的取值范围是( B )(A)(-∞,e) (B)(e,+∞)(C)(0,) (D)(1,+∞)解析:设切点为(m,mln m),由f(x)=xln x的导数为f′(x)=1+ln x,可得直线的斜率为1+ln m.由切线经过点P(a,a),可得1+ln m=,化简可得=,(*)由题意可得方程(*)有两解.设g(m)=,可得g′(m)=,当m>e时,g′(m)<0,g(m)递减;当0<m<e时,g′(m)>0,g(m)递增.可得g(m)在m=e处取得最大值,且m→0时,g(m)→-∞,m→+∞时,g(m)→0,即有0<<,解得a>e.故选B.12.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e x-1)(x-1)k(k=1,2),则( C )(A)当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值(B)当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值(C)当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值(D)当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值解析:①当k=1时,f(x)=(e x-1)(x-1),此时f′(x)=e x(x-1)+(e x-1)=e x·x-1,所以A,B项均错.②当k=2时,f(x)=(e x-1)(x-1)2,此时f′(x)=e x(x-1)2+(2x-2)(e x-1)=(x-1)[e x(x+1)-2],易知g(x)=e x(x+1)-2的零点介于0,1之间,不妨设为x0,则有故f(x)在x=1处取得极小值.故选C.13.已知函数f(x)=ln x-(m∈R)在区间[1,e]取得最小值4,则m=.解析:因为f′(x)=+=,当m≥0时,f′(x)>0,f(x)是[1,e]上的增函数,函数f(x)在x=1处取最小值,则-m=4,即m=-4不合题意;当m<0,-m>0时,当-m≤1,即-1≤m<0时,f′(x)>0,f(x)是增函数,故函数f(x)在x=1处取最小值,则-m=4,即m=-4不合题意;当-m≥e时,即m≤-e时,f′(x)<0,f(x)是减函数,函数f(x)在x=e处取最小值,则1-=4,故m=-3e合题意;当1<-m<e,即-e<m<-1时,函数f(x)在x=-m处取最小值,则ln(-m)+1=4,即m=-e3,不合题意.综上m=-3e.答案:-3e14.已知函数f(x)=xe x+ax2+2x+1在x=-1处取得极值.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数g(x)=f(x)-1在[-2,2]上的值域.解:(1)f′(x)=e x+xe x+2ax+2,因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f′(-1)=0,解得a=1.经检验a=1适合,所以f(x)=xe x+x2+2x+1,f′(x)=(x+1)(e x+2),当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1);当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,+∞).(2)因为g(x)=f(x)-1=xe x+x2+2x,所以g′(x)=f′(x)=e x+xe x+2x+2.由(1)知g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,故g(x)在[-2,2]上的极小值也是最小值.g(x)min=g(-1)=--1.又g(-2)=-,g(2)=8+2e2>g(-2),所以g(x)max=8+2e2,所以函数g(x)在[-2,2]上的值域为[--1,8+2e2].好题天天练1.(2016·河北衡水中学高考模拟)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象在A,B两点处的切线重合,则实数a的取值范围是( C )(A)(-2,-1) (B)(1,2)(C)(-1,+∞) (D)(-ln 2,+∞)解题关键:利用导数几何意义求出两段函数的切线,根据切线重合, 将其中一个切点横坐标表示为a的函数,求最值.解析:当x<0时,f(x)=x2+x+a的导数为f′(x)=2x+1;当x>0时,f(x)=ln x的导数为f′(x)=,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2,当x1<x2<0或0<x1<x2时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2,函数f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y-(+x1+a)=(2x1+1)(x-x1);函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y-ln x2=(x-x2).两直线重合的充要条件是=2x1+1,①ln x2-1=-+a,②由①及x1<0<x2得0<<1,由①②得a=ln x2+(-1)2-1,令t=,则0<t<1,且a=-ln t+t2-t-,设h(t)=-ln t+t2-t-(0<t<1),则h′(t)=-+t-<0,即h(t)在(0,1)上为减函数,则h(t)>h(1)=-ln 1-1=-1,则a>-1,可得函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-1,+∞).故选C.f(x)=2e x+ax2+ax+1有两个极值,则实数a的取值范围为.解析:因为f′(x)=2e x+ax+a,又函数f(x)=2e x+ax2+ax+1有两个极值,即f′(x)=2e x+ax+a=0有2个不等实根,设a=g(x)=(x≠-1),求导g′(x)==(x≠-1),可知函数g(x)只有一个极值点x=0,则函数g(x)在(-∞,-1),(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,且当x<-1时,g(x)>0,当x>-1时,g(x)≤-2,故要使函数y=a和函数y=g(x)有2个不同交点,就要a<-2.答案:(-∞,-2)。
配套K122018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.12定积分与微积分基本定理模拟演练理
2018版高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.12 定积分与微积分基本定理模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A .176B .143C .136D.116答案 A解析 质点在时间[1,2]内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 2．[2017·金版创新]函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，4－x 2，0＜x ≤2，则⎠⎛－22f x d x 的值为( ) A ．π＋6 B ．π－2 C ．2π D ．8答案 A解析 ⎠⎛2－2f (x )d x ＝⎠⎛-20 (2－x )d x ＋⎠⎛024－x 2d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 20－2＋14×π×22＝6＋π，故选A. 3.如图，在矩形O ABC 内：记抛物线y ＝x 2＋1与直线y ＝x ＋1围成的区域为M (图中阴影部分)．随机往矩形O ABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是( )A .118B .112C .16 D.13答案 B解析 根据定积分知识可得阴影部分面积S ＝⎠⎛01[(x ＋1)－(x 2＋1)]d x ＝16，点P 落在区域M 内的概率为关于面积的几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P ＝162＝112，故选B .4．[2017·合肥模拟]由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m ＞0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8答案 A解析 S ＝⎠⎛0m 2 (m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫mx －23x 32 ⎪⎪⎪m 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.5．[2017·广州质检]定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析 ∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x <0－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2 |0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2 |20＝8. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π2.的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．答案 32解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为S ＝12×1×1＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝12＋sin π2－sin0＝32.7．[2014·辽宁高考]正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABC D 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案 23解析 由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛-11－x 2x 22＝834＝23. 8．[2017·金版创新]若m >1，则f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x2d x 的最小值为________．答案 －1解析 f (m )＝⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x |m1＝m ＋4m－5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．9．求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．解 由图知解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2，得交点(1,1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝x 2，得交点(3,9)，由此所围图形面积为：S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝133.10．求由抛物线y 2＝x －1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积． 解 y ＝±x －1，y ′x ＝±12x －1 .∵过点(2,1)的直线斜率为y ′|x ＝2＝12，直线方程为y －1＝12(x －2)，即y ＝12x .同理，过点(2，－1)的直线方程为y ＝－12x ，抛物线顶点在(1,0)．如图所示．由抛物线y 2＝x －1与两条切线y ＝12x ，y ＝－12x 围成的图形面积为：S ＝S △AOB －2⎠⎛12x －1d x ＝12×2×2－2×⎪⎪⎪⎪23x －32 21＝2－43(1－0)＝23.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·河北五校联考]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 A解析 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3 |a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.12．图中阴影部分的面积是( )A ．16B ．18C ．20D ．22答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝4，则阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x 32 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪20＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223x 32 －12x 2＋4x 82＝163＋383＝18. 13．[2017·山西模拟]曲线x ＋y ＝1与两坐标轴所围成图形的面积是________． 答案 16解析 将曲线x ＋y ＝1转化为y ＝(1－x )2，且x ≥0，y ≥0.令y ＝0，可知曲线与x 轴交点为(1,0)，则曲线与两坐标轴所围成的面积S ＝⎠⎛01(1－x )2d x ＝⎠⎛01(1－2x ＋x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －43x 32 ＋12x 2 |1＝1－43＋12＝16. 14.[2017·信阳调研]在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t .即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.。
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第二篇函数、导数
对点自测
1.(2016·太原二模)函数y=x2+x在x=1到x=1+Δ x之间的平均变化率为 ( C )
(A)Δ x+2 (C)Δ x+3 (B)2Δ x+(Δ x)2 (D)3Δ x+(Δ x)2
解析:Δy=(1+Δx)2+1+Δx-1-1=Δx2+3Δx, 所以
故选C.
y =Δx+3, x
2.已知f(x)=2exsin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( (A)y=0 (C)y=x (B)y=2x (D)y=-2x
B )
解析:因为f(x)=2exsin x,
所以f(0)=0,
f′(x)=2ex·(sin x+cos x), 所以f′(0)=2, 所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.函数图象的切线与函数图象一定只有一个公共点吗? 提示:不一定,例y=x3在点(1,1)处的切线y=3x-2与y=x3有两个公共点.
2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”有何
异同? 提示:(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k= f′(x0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点, 也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f′(x)= -sin x x f′(x)= a ln a f′(x)=
f′(x)= ex
1 x ln a
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.1 精品
映射
按照某一个确定的对 应关系f,对于集合A中 的_任__意__一个元素x,在 集合B中都有_唯__一__确__定__ 的元素y与之对应
函数
映射
那么就称f:A→B为从 名称 集合A到集合B的一个
函数
那么就称对应f:A→B为 从集合A到集合B的一个 映射
记法
y=f(x),x∈A 对应f:A→B是一个映射
所kb 以23f92,(.x)=
2x 2. 39
【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围, 从而造成求出的函数定义域扩大而致误.
【规律方法】求函数解析式常用的四种方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成 关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析 式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次 函数)可用待定系数法.
【特别提醒】 1.判断函数相同的依据 (1)两个函数的定义域相同. (2)对应关系相同.
2.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函 数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 值域等于各段函数的值域的并集.
3.判断函数图象的常用结论 与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
【解析】要使函数f(x)有意义，必须使
x 2x2 0,
x
x＞解0,得
x
x
1,
x＜ 1 . 2
所以函数f(x)的定义域为 {x | x＜ 1}.
2
答案：{x | x 1}
2
考向二 求函数的解析式
【典例2】(1)已知 f ( x 1) x 2 x，则f(x)=
教育最新K122018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1节函数及其表示教师用书文北师大版
第二章函数、导数及其应用[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情][重点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度．2．函数的概念、图像及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、图像是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点．3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用是高考的重点与热点．4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与创新．[导学心语]1．注重基础：对函数的概念、图像、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用，要熟练掌握并灵活应用.2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系．3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，集合A 叫作函数的定义域；集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．(2017·南昌一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，2－x，x ≤0，则f (f (－4))＝________.4 [∵f (－4)＝24＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.]4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. －2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________.【导学号：66482021】① [由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N )的图像是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．](2)(2017·郑州模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f xx －1的定义域是________．(1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．[变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【导学号：66482022】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.【导学号：66482023】(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.(1)x 2－1(x ≥1) (2)23 x ＋13(x ＞0) [(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，用1x代替x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x 1x－1，得f (x )＝23 x ＋13(x ＞0)．]☞角度1(1)(2017·湖南衡阳八中一模)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)(2017·东北三省四市一联)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，－x ，x ＜0，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016B ．14 C ．4D ．12 016(1)C (2)C [(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.(2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4.] ☞角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或－1 C. 3D ．3或－ 3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1B ．78C ．34D ．12(1)D (2)D [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12.] ☞角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)(2017·石家庄一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2x ＋，0＜x ＜1，且f (x )＝－12，则x 的值为________．(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ex －1，x <1，x，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)－13 (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13.(2)当x <1时，x －1<0，ex －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x ≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．][规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．[思想与方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法．4．分段函数问题要分段求解．[易错与防范]1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．3．在求分段函数的值f (x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x0的范围不确定，要分类讨论．。
2018年高考数学一轮温习第二章函数导数及其应用课时达标12函数模型及其应用理
解析：设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，那么由题意，得
y＝
依题意有， ＝(p＋0.25)%，解之得x＝320(万元)．
4．世界人口在过去40年内翻了一番，那么每一年人口平均增加率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007
5≈1.017)( C )
A．1.5%B．1.6%
C．1.7%D．1.8%
解析：设每一年世界人口平均增加率为x，那么(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，那么40lg(1＋x)＝lg 2，因此lg(1＋x)＝ ≈0.007 5，因此100.007 5＝1＋x，得1＋x＝1.017，因此x＝1.7%.
5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，而且每一个月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每一个月增加的百分率相同．已知今年9月份两食堂的营业额又相等，那么今年5月份( A )
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植本钱最低时的上市天数是120.
(2)最低种植本钱是80(元/100 kg)．
解析：依照表中数据可知函数不单调，
因此Q＝at2＋bt＋c且开口向上，
对称轴t＝－ ＝ ＝120.
代入数据 得
因此西红柿种植本钱最低时的上市天数是120，最低种植本钱是14400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.
9．(2017·山东潍坊模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，取得西红柿种植本钱Q(单位：元/100 kg)与上市时刻t(单位：天)的数据关系如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
Hale Waihona Puke 11684116依照上表数据，从以下函数当选取一个函数描述西红柿种植本钱Q与上市时刻t的转变关系．
2018版高考数学一轮总温习 第2章节 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数讲义 文
解得116≤a＜1.
即实数 a 的取值范围是116，1.
触类旁通 应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型 函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时， 常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数 图象问题，利用数形结合法求解．
)
A.0，
2
2
B.
22，1
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[解析] 解法一：构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，当 a
＞1 时不满足条件，当 0＜a＜1 时，画出两个函数在0，12上
的图象，可知 f12＜g12，即 2＜loga12，a＞ 22，则 a 的取值
[解析] ∵0<c<1，∴当 a>b>1 时，logac>logbc，A 项错 误；
∵0<c<1，∴y＝logcx 在(0，＋∞)上单调递减，又 a>b>0， ∴logca<logcb，B 项正确； ∵0<c<1，∴函数 y＝xc 在(0，＋∞)上单调递增， 又∵a>b>0，∴ac>bc，C 项错误； ∵0<c<1，∴y＝cx 在(0，＋∞)上单调递减， 又∵a>b>0，∴ca<cb，D 项错误．故选 B.
考向 对数函数的图象及应用
例 2 (1)[2017·抚顺模拟] 函数 y＝lg |x－1|的图象是
(
)
[ 解析]
因为
y＝lg
|x－1|＝llgg
x－1，x＞1， 1－x，x＜1.
当 x＝1 时，函数无意义，故排除 B、D.
【配套K12】2018高考数学大一轮复习第二篇函数导数及其应用第9节函数模型及其应用习题理
第9节函数模型及其应用基础对点练(时间:30分钟)(A)一次函数 (B)二次函数(C)指数函数 (D)对数函数解析:由表可知,自变量x每增加1个单位,y的值增加2个单位,因此是一次函数模型.故选A.,每经过一年,剩余的物质为原来的,当剩余的物质为原来的时,需要经过( C )(A)5年(B)4年(C)3年(D)2年解析:由指数函数模型知()x=,解得x=3.3.A,B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处的D地建一座核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数为0.25,且A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月,要使供电费用最小,则x等于( B )(A)50 km (B) km (C)25 km (D)15 km解析:由题意知供电费用y=5x2+(100-x)2(10≤x≤90).则y=x2-500x+25 000=(x-)2+故x=时,y有最小值.故选B.4.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12),4 m,不考虑树的粗细,现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是( C )解析:设CD=x,则S=x(16-x)(4<x<16-a),u=S max=f(a)=5.某学校拟建一块周长为400米的操场,如图所示.操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,矩形的长应该设计成( B )(A)50 米(B)100 米(C)125 米(D)150 米解析:设矩形的长为x米,半圆的直径为d米,中间矩形的面积为S平方米,依题意可得,2x+πd=400,d=(0<x<200).S=dx=·x=(400-2x)·2x≤[]2=,当且仅当400-2x=2x,即x=100时,学生的做操区域最大.即矩形的长应该设计成100米.选B.6.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( B )(A)3.50分钟(B)3.75分钟(C)4.00分钟(D)4.25分钟解析:由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75分钟时,可食用率p最大. 7.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为( C )(A)上午10:00 (B)中午12:00(C)下午4:00 (D)下午6:00解析:当x∈[0,4]时,设y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x,当x∈[4,20]时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得解得所以y=400-20x.所以y=f(x)=由y≥240,得或所以3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4:00.8.某商场出售一种商品,每天可卖1 000件,每件可获利4元.据经验,若这种商品每件每降价0.1元,则比降价前每天可多卖出100件,为获得最好的经济效益每件单价应降低元.解析:设降低x元,总利润为y元,由题意得y=(1 000+×100)(4-x)(0≤x<4),化简得y=-1 000x2+3 000x+4 000,对应的二次函数图象对称轴为x=,因为∈[0,4),所以x=时y有最大值.答案:1.59.有某种细胞100个,其中占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过小时,细胞总数可以超过1010个.(参考数据:lg 3≈0.477,lg 2≈0.301)解析:现有细胞100个,先考虑经过1,2,3,4小时后的细胞总数,1小时后细胞总数为×100+×100×2=×100;2小时后细胞总数为××100+××100×2=×100;3小时后细胞总数为××100+××100×2=×100;4小时后细胞总数为××100+××100×2=×100;可见,细胞总数y(个)与时间x(时)之间的函数关系为y=100×()x,x∈N+.由100×()x>1010,得()x>108,两边取以10为底的对数,得xlg >8,所以x>.因为≈≈45.45,所以x>45.45,故经过46小时,细胞总数可以超过1010个.答案:4610.为了优化城市环境,方便民众出行,某市在某路段开设了一条仅供车身长为10 m的BRT 行驶的专用车道.据数据分析发现,该车道上行驶中前、后两辆BRT公交车间的安全距离d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系d=f(v).现已知车速为15 km/h时,安全距离为8 m;车速为45 km/h时,安全距离为38 m;出行堵车状况时,两车安全距离为2 m.(1)试确定d关于v的函数关系d=f(v);(2)车速v(km/h)为多少时,单位时间内通过这条车道的公共汽车数量最多,最多是多少辆? 解:(1)设d=f(v)=av2+bv+c(a≠0),将点(0,2),(15,8),(45,38)分别代入得⇒a=,b=,c=2.所以d=f(v)=v2+v+2.(2)设单位时间内通过的汽车数量为Q,则Q==≤=1 000(辆),当且仅当=,即v=30时等号成立.答:当v为30 km/h时通过的汽车数量最多,最多为1 000辆.能力提升练(时间:15分钟)11.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”;定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费为(单位:元)( C )(A)2[x+1] (B)2([x]+1)(C)2{x} (D){2x}解析:如x=1时,应付费2元,此时2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A,B;当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1排除D,故选C.12.(2016·北京东城区二模)一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购买一件商品,根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠券1:若标价超过50元,则付款时减免标价的10%;优惠券2:若标价超过100元,则付款时减免20元;优惠券3:若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多,则他购买的商品的标价可能为( C )(A)179元(B)199元(C)219元(D)239元解析:由题意,优惠券1比优惠券2减免的多,所以他购买的商品的标价超过200元.他购买的商品的标价为219元,优惠券1减免21.9元;优惠券2减免20元;优惠券3减免21.42元;标价为239元,优惠券1减免23.9元;优惠券2减免20元;优惠券3减免25.02元.故选C.13.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反应需要时间,以及汽车惯性有一个刹车距离,设停车安全距离为s,驾驶员反应时间内汽车所行距离为s1,刹车距离为s2,则s=s1+s2,而s1与反应时间t有关,s1=10ln(t+1),s2与车速v有关,s2=bv2.某人刹车反应时间为(-1)秒.当车速为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,若在限速100 km/h的高速公路上,则该汽车的安全距离为米.(精确到米)解析:因为刹车反应时间为(-1)秒,所以s1=10ln(-1+1)=10ln=5,当车速为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,则s2=b·602=20,解得b=,即s2=v2.若v=100,则s2=×1002≈56,s1=5,则该汽车的安全距离s=s1+s2≈5+56=61(米).答案:6114.某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x(百台),其总成本为g(x)万元(总成本=固定成本+生产成本),并且销售收入r(x)满足r(x)=假设该产品产销平衡,根据上述统计数据规律求:(1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围?(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?解:依题意得g(x)=x+3,设利润函数为f(x),则f(x)=r(x)-g(x),所以f(x)=(1)要使工厂有盈利,则有f(x)>0,因为f(x)>0⇔或⇒或⇒或7<x<10.5.⇒3<x≤7或7<x<10.5,即3<x<10.5.所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内.(2)当3<x≤7时,f(x)=-0.5(x-6)2+4.5,故当x=6时,f(x)有最大值4.5.而当x>7时,f(x)<10.5-7=3.5.所以当工厂生产600台产品时,盈利最大.15.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;(2)若该公司采用函数y=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.解:(1)设奖励函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[10,1 000]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③f(x)≤恒成立.函数模型f(x)=+2不符合公司要求.当x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(1 000)=+2=+2<9,所以f(x)≤9恒成立.因为x=10时,f(10)=+2>,所以f(x)≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.(2)对于函数模型f(x)=,即f(x)=10-,当3a+20>0,即a>-时递增,要使f(x)≤9对x∈[10,1 000]时恒成立,即f(1 000)≤9,所以3a+18≥1 000,所以a≥,要使f(x)≤对x∈[10,1 000]时恒成立,即≤,所以x2-48x+15a≥0恒成立,所以a≥.综上,a≥,所以满足条件的最小的正整数a的值为328.好题天天练(2016·江苏苏北三市高三最后一次模拟)经市场调查,某商品每吨的价格为x(1<x<14)百元时,该商品的月供给量为y1万吨且y1=ax+a2-a(a>0);月需求量为y2万吨且y2=-x2-x+1.当该商品的需求量大于供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量,该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若a=,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大?(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格,若该商品的均衡价格不低于每吨6百元,求实数a的取值范围.解:(1)若a=,由y2>y1,得-x2-x+1>x+×()2-.解得-40<x<6.因为1<x<14,所以1<x<6.设该商品的月销售额为g(x),则g(x)=当1<x<6时,g(x)=(x-)x<g(6)=.当6≤x<14时,g(x)=(-x2-x+1)x,则g′(x)=-(3x2+4x-224)=-(x-8)(3x+28),由g′(x)>0,得x<8,所以g(x)在[6,8)上是增函数,在(8,14)上是减函数,当x=8时,g(x)有最大值g(8)=,即若a=,商品价格为8百元时,该商品的月销售额最大.(2)设f(x)=y1-y2=x2+(+a)x+a2-1-a,因为a>0,所以f(x)在区间(1,14)上是增函数,若该商品的均衡价格不低于6百元,即函数f(x)在区间[6,14)上有零点,所以即解得0<a≤,即a的取值范围为(0,].。
【配套K12】2018高考数学大一轮复习升级增分训练导数的综合应用一文
升级增分训练 导数的综合应用（一）1．设函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋x －a －1(a ∈R)． (1)当a ＝－12时，求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥0时，不等式f (x )≥x －1在[1，＋∞)上恒成立． 解：(1)当a ＝－12时，f (x )＝ln x －12x 2＋x －12，且定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝1x－x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52x，(x ＞0)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间是⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋52；单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，＋∞．(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ＋1＝ln x ＋ax 2－a ， 则g ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x，所以当a ≥0时，g ′(x )＞0在[1，＋∞)上恒成立， 所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，且g (1)＝0， 所以g (x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即当a ≥0时，不等式f (x )≥x －1在[1，＋∞)上恒成立． 2．(2016·海口调研)已知函数f (x )＝mx －m x，g (x )＝3ln x ． (1)当m ＝4时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若x ∈(1，e](e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝4时，f (x )＝4x －4x ，f ′(x )＝4＋4x2，f ′(2)＝5，又f (2)＝6，∴所求切线方程为y －6＝5(x －2)， 即y ＝5x －4．(2)由题意知，x ∈(1，e]时，mx －mx－3ln x ＜3恒成立，即m (x 2－1)＜3x ＋3x ln x 恒成立， ∵x ∈(1，e]，∴x 2－1＞0， 则m ＜3x ＋3x ln x x 2－1恒成立．令h (x )＝3x ＋3x ln xx 2－1，x ∈(1，e]，则m ＜h (x )min ． h ′(x )＝－x 2＋x －6x 2－2＝－x 2＋x ＋6x 2－2，∵x ∈(1，e]， ∴h ′(x )＜0，即h (x )在(1，e]上是减函数． ∴当x ∈(1，e]时，h (x )min ＝h (e)＝9e －．∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，9e 2e －2．3．(2017·广西质检)设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)； (2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．解：f ′(x )＝c x ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋cx(x ＞0)，又f ′(1)＝0，所以f ′(x )＝x －x －cx(x ＞0)且c ≠1，b ＋c ＋1＝0．(1)因为x ＝1为f (x )的极大值点，所以c ＞1， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当1＜x ＜c 时，f ′(x )＜0； 当x ＞c 时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )． (2)①若c ＜0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．f (x )＝0恰有两解，则f (1)＜0，即12＋b ＜0，所以－12＜c ＜0；②若0＜c ＜1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ，f (x )极小值＝f (1)＝12＋b ，因为b ＝－1－c ，则f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极小值＝－12－c ＜0，从而f (x )＝0只有一解；③若c ＞1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极大值＝－12－c ＜0，则f (x )＝0只有一解．综上，使f (x )＝0恰有两解的c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0． 4．(2017·福建省质检)已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)，g (x )＝e x－x －1．曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处的切线相同．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ≥0时，g (x )≥kf (x )，求k 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a －1x ＋1(x ＞－1)，g ′(x )＝e x－1， 依题意，f ′(0)＝g ′(0)，即a －1＝0，解得a ＝1， 所以f ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1， 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0． 故f (x )的单调递减区间为(－1,0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)由(1)知，当x ＝0时，f (x )取得最小值0， 所以f (x )≥0，即x ≥ln(x ＋1)，从而e x≥x ＋1．设F (x )＝g (x )－kf (x )＝e x＋k ln(x ＋1)－(k ＋1)x －1， 则F ′(x )＝e x＋k x ＋1－(k ＋1)≥x ＋1＋kx ＋1－(k ＋1)， (ⅰ)当k ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋1x ＋1－2≥0(当且仅当x ＝0时等号成立)，此时F (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而F (x )≥F (0)＝0，即g (x )≥kf (x )．(ⅱ)当k ＜1时，因为f (x )≥0，所以f (x )≥kf (x )． 由(ⅰ)知g (x )－f (x )≥0，所以g (x )≥f (x )≥kf (x )， 故g (x )≥kf (x )．(ⅲ)当k ＞1时，令h (x )＝e x＋kx ＋1－(k ＋1)，则h ′(x )＝e x－k x ＋2，显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增， 又h ′(0)＝1－k ＜0，h ′(k －1)＝ek －1－1＞0，所以h ′(x )在(0，k －1)上存在唯一零点x 0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在[0，x 0)上单调递减， 从而h (x )＜h (0)＝0，即F ′(x )＜0， 所以F (x )在[0，x 0)上单调递减， 从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )＜F (0)＝0， 即g (x )＜kf (x )，不合题意．综上，实数k 的取值范围为(－∞，1]．5．(2016·石家庄质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x－e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≥g x ，gx ，f x ＜g x ，试讨论函数h (x )零点的个数．解：(1)由已知，f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x， 所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1， 由题意，知a ＝－1．(2)易知函数g (x )＝e x－e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x ＜1时，g (x )＜0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R 上单调递减，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，f (－1)＝34－a ＞0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点， 此时y ＝h (x )有两个零点；②当a ＞0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0， 两根为x 1＝－a3＜0，x 2＝ a3＞0， 则－ a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点， 而f ⎝⎛⎭⎪⎫－ a 3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－ a 33＋a ⎝⎛⎭⎪⎫－ a 3－14＝－2a3a 3－14＜0； 现在讨论极大值的情况：fa3＝－a 33＋aa 3－14＝2a3a 3－14， 当fa3＜0，即a ＜34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零， 此时y ＝h (x )有两个零点； 当fa3＝0，即a ＝34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝ a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点； 当fa3＞0，即a ＞34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a3， 若f (1)＝－1＋a －14＜0，即a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝－1＋a －14＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝－1＋a －14＞0，即a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a ＜34或a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34＜a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点． 6．已知函数f (x )＝ax ＋b ln x ＋1，此函数在点(1，f (1))处的切线为x 轴． (1)求函数f (x )的单调区间和最大值； (2)当x ＞0时，证明：1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x； (3)已知n ∈N *，n ≥2，求证：12＋13＋…＋1n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0，f＝0，因为f ′(x )＝a ＋bx，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝－x ＋ln x ＋1． 即f ′(x )＝－1＋1x＝1－xx，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0． 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)， 函数f (x )的最大值为f (1)＝0．(2)证明：由(1)知f (x )＝－x ＋ln x ＋1， 且f (x )≤0(当且仅当x ＝1时取等号)， 所以ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时取等号)．当x ＞0时，由x ＋1x ≠1，得ln x ＋1x ＜x ＋1x －1＝1x； 由xx ＋1≠1，得ln x x ＋1＜x x ＋1－1＝－1x ＋1⇒－ln x x ＋1＞1x ＋1⇒ln x ＋1x ＞1x ＋1． 故当x ＞0时，1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x． (3)证明：由(2)可知， 当x ＞0时，1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x． 取x ＝1,2，…，n －1，n ∈N *，n ≥2， 将所得各式相加，得12＋13＋…＋1n ＜ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＜1＋12＋…＋1n －1， 故12＋13＋…＋1n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1．。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算(含答案)
第10节导数的概念与计算课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为( C )(A)Δx++2 (B)Δx--2(C)Δx+2 (D)Δx-+2解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2=(Δx)2+2·(Δx),∴=Δx+2,选C.2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( D )(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x,∴f′(1)=2f′(1)+2,∴f′(1)=-2,∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.故选D.3.(2013合肥模拟)函数y=x2cos x在x=1处的导数是( B )(A)0 (B)2cos 1-sin 1(C)cos 1-sin 1 (D)1解析:∵y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x,∴在x=1处的导数为2cos 1-sin 1,故选B.4.(2013中山市期末)函数f(x)=x2-bx+a的图象如图所示,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( B )(A)(,)(B)(,1)(C)(1,2)(D)(2,3)解析:由题图知f(1)=1-b+a=0,0<f(0)=a<1,所以1<b<2.g(x)=ln x+2x-b,易知g(x)为(0,+∞)上的增函数,又g(1)=2-b>0,g()=ln +1-b<0,故函数g(x)的零点所在区间为(,1),故选B.5.(2013深圳调研)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程为( C )(A)y=-x-1 (B)y=-x+3(C)y=x+1 (D)y=x-1解析:y′=2-,所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为k=2-1=1,因此,在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1,故选C.6.(2013潍坊模拟)若曲线f(x)=x·sin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( D )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析:f′(x)=sin x+xcos x,依题意,f′()=1,且-×1=-1,解得a=2,故选D.7.(2013惠阳一中实验学校高三月考)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( D )(A)6e2(B)4e2(C)2e2(D)e2解析:∵y′=·,∴y′|x=4=·e2.∴曲线y=在点(4,e2)处的切线方程为y-e2=·e2(x-4).令y=0,得x=2,令x=0,得y=-e2,所以,切线与坐标轴所围成的三角形面积S=×2×|-e2|=e2.故选D.二、填空题8.设直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为.解析:由已知条件可得直线的斜率k=,y′=(ln x)′==,得切点的横坐标为x=2,切点坐标为(2,ln 2).由点(2,ln 2)在切线y=x+b上可得b=ln 2-×2=ln 2-1.答案:ln 2-19.(2013广东六校第三次联考)设P为曲线C:y=x3-x上的点,则曲线C 在点P处的切线的倾斜角的取值范围为.解析:设点P的横坐标是x,则曲线C在点P处的切线斜率是k=3x2-1≥-1,设切线的倾斜角是α,则tan α≥-1,α∈[0,π),解得α∈[0, )∪[,π).答案:[0, )∪[,π)10.等比数列{a n}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)],∴f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)]′∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a2012=(a1·a2012)1006=41006=22012.∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22012x.答案:y=22012x11.(2013广州高三调研)若直线y=2x+m是曲线y=xln x的切线,则实数m的值为.解析:设切点为(x0,x0ln x0),由y′=(xln x)′=ln x+x·=ln x+1得切线斜率为k=ln x0+1,故切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)·(x-x0),整理得y=(ln x0+1)x-x0,与y=2x+m比较得解得答案:-e三、解答题12.(1)求下列函数的导数.①y=(2x2+3)(3x-1);②y=(-2)2;③y=x-sin cos;(2)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f′(x)=xcos x.解:(1)①法一y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.法二∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.②∵y=(-2)2=x-4+4,∴y′=x′-(4)′+4′=1-4×=1-2.③∵y=x-sin cos=x-sin x,∴y′=x′-(sin x)′=1-cos x.(2)由已知f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′=[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asinx+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. ∵f′(x)=xcos x,∴必须有即⇒a=d=1,b=c=0.13.已知函数f(x)=在x=处的切线为l,直线g(x)=kx+与l平行,求f(x)的图象上的点到直线g(x)的最短距离.解:因为f(x)=,所以f′(x)=.所以切线l的斜率为k=f′()=1,切点为T(,).所以切线l的方程为x-y+=0.因为切线l与直线g(x)=kx+平行,所以k=1,即g(x)=x+.f(x)的图象上的点到直线g(x)=x+的最短距离为切线l:x-y+=0与直线x-y+=0之间的距离,所以所求最短距离为=.14.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,∴当x=2时,y′=-1,y=,∴斜率最小的切线过,斜率k=-1,∴切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,∴tan α≥-1,∴α∈∪.B组15.(2012年高考辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( C )(A)1 (B)3 (C)-4 (D)-8解析:y=,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,点P的坐标为(4,8),点Q的坐标为(-2,2),∴在点P处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2,解得A(1,-4),则A点的纵坐标为-4.故选C.16.(2013河北保定一模)设函数f(x)=|sin x|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为α,则α等于( B )(A)-cos α(B)tan α(C)sin α(D)π解析:如图,若直线与函数有且仅有三个公共点,则直线y=kx与曲线y=-sin x(x∈[π,2π])相切,设切点为(α,-sin α),则-sin α=kα且k=-cos α,所以α=tan α.故选B.。
【配套K12】2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算理
第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作()00|x x f x y ''＝或，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f xg x ]′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.[1fx ]′＝－f x [fx2(f (x )≠0)．3.[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )1．(教材改编)若f (x )＝x ·e x，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2答案 C解析 f ′(x )＝e x＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2答案 A解析 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，当t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14.4．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝ .答案 － 2解析 因为f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ，所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2，即f ′(π2)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x .f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.5．曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程是 ． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.题型一 导数的计算 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝sin(2x ＋π3)；(5)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x)′＝1x －1x2.(3)y ′＝(cos xex )′＝cos x ′·e x－cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3)·2∴y ′＝2cos(2x ＋π3)．(5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′·u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋lnx 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 (1)2x ＋y ＋1＝0 (2)B解析 (1)设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 命题点2 求参数的值例3 (1)(2016·泉州模拟)函数y ＝e x的切线方程为y ＝mx ，则m ＝ .(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 答案 (1)e (2)D解析 (1)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x， 得00|e xx x y ＝＝，从而切线方程为000e e ()xxy x x －＝－， 又切线过定点(0,0)，从而000e e ()xxx －＝－， 解得x 0＝1，则m ＝e. (2)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D. 命题点3 导数与函数图象的关系例4 如图，点A (2,1)，B (3,0)，E (x,0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l .记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f ′(x )在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是下凸的；当x ∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f ′(x )在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的且图象是上凸的； 当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f ′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f x 1，y 0－y 1＝f x 1x 0－x 1求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．(1)(2017·郑州月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12(2)(2016·昆明模拟)设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2答案 (1)A (2)A解析 (1)设切点的横坐标为x 0，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)， 即切点的横坐标为3.(2)∵y ′＝－1－cos xsin 2x ，π2|1.x y ∴'＝＝－ 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.3．求曲线的切线方程典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．错解展示现场纠错解 易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)， 则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，0|x x k y '＝＝＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2， 所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．1秒 B ．1秒末和2秒末 C ．4秒末 D ．2秒末和4秒末答案 D解析 s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义知v ＝s ′(t )， 令s ′(t )＝0，得t ＝2或4， 即2秒末和4秒末的速度为零．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.4.(2017·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0. 5．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x， 设切点为(x 0，ln x 0)，则001|x x y x '＝＝， 切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)， 因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e. 6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 答案 A解析 由题意可知121(),2f x x -'=g ′(x )＝a x ， 由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14， 可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝ . 答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2.所以函数在(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)．将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝1＋3a ，解得a ＝1.8．(2016·邯郸模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 ．答案 12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)． ∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2. 9．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. *10.已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015的值为 ． 答案 －1解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 015＝12×23×34×…×2 0142 015×2 0152 016＝12 016， 则log 2 016x 1＋log 2 016x 2＋…＋log 2 016x 2 015＝log 2 016(x 1x 2…x 2 015)＝－1.11．已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0|x x y ＝＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．*13.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x. (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10二讲第1课时导数与函数的单调性
(3)f(x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－ .令f′(x)＝0，得x＝0.
当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
(4)f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x>0，
(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
考向2 含参数的函数的单调性——师生共研
例2 已知函数f(x)＝ (x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
注：文科(sin 2x)′＝(2sin xcos x)′＝2[(sin x)′·cos x＋sin x·(cos x)′]＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.
考点突破·互动探究
考点 函数的单调性
考向1 不含参数的函数的单调性——自主练透
例1 (1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( A )
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
③若a>1，则0< <1，
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
创新大课堂2018届高三数学文一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 第10节 精品
②几何意义 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝ f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t) 对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)＝lΔxi→m0 fx＋ΔΔxx－fx为 f(x)的导函数．
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′
＝－sin
x＋cos ex
x .
(3)y′＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′ ＝(2x＋2)′e2－x＋(x2＋2x－1)·(－e2－x) ＝(3－x2)′e2－x.
考点三 导数几何意义(高频型考点——全面发掘) [考情聚焦]
fx0＋2Δx－fx0 2Δx
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
[答案] 8
考点二 导数的计算(基础型考点——自主练透) [方法链接]
(1)求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简， 然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前 利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时 可以避使用商的求导法则，减少运算量；
角度二 求切点坐标 2．(2015·高考陕西卷)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲 线 y＝1x(x＞0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为________．
[答案] (1,1)
角度三 求参数的值 3．(2015·高考新课标卷Ⅱ)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处 的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝________. [解析] 因为 y′＝1＋1x，所以 y′|x＝1＝2，故切线的方程 为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0. 联立y2＝x－axy2－＋1＝a＋0 2x＋1 ，由 Δ＝0，得 a＝8. [答案] 8
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第10节导数的概念及计算基础对点练(时间:30分钟)1.函数f(x)=的导函数为( B )(A)f′(x)=(B)f′(x)=-(C)f′(x)=(D)f′(x)=-解析:函数的导数f′(x)===-.故选B.2.函数y=(e x+e-x)的导数是( A )(A)(e x-e-x) (B)(e x+e-x)(C)e x-e-x (D)e x+e-x解析:因为(e-x)′=-e-x,y=(e x+e-x),所以y′=(e x-e-x).故选A.y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)等于( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由导数的几何意义可知f′(1)=,又因为f(1)=×1+2=,所以f(1)+f′(1)=3.故选C.4.(2016·湖南重点中学考前练习)在直角坐标系xOy中,设P是曲线C:xy=1(x>0)上任意一点,l是曲线C在点P处的切线,且l交坐标轴于A,B两点,则下列结论正确的是( A )(A)△OAB的面积为定值2(B)△OAB的面积有最小值为3(C)△OAB的面积有最大值为4(D)△OAB的面积的取值范围是[3,4]解析:由题意,y=(x>0),则y′=-.设P(a,),则曲线C在点P处的切线方程为y-=-(x-a),令x=0可得y=;y=0可得x=2a,所以△OAB的面积为××2a=2,即定值2.故选A.5.(2016·广西贺州市高考模拟)已知e为自然对数的底数,曲线y=ae x+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex-y-1=0平行,则实数a等于( B )(A) (B) (C) (D)解析:y=ae x+x的导数为y′=ae x+1,可得曲线y=ae x+x在点(1,ae+1)处的切线斜率为ae+1,由切线与直线2ex-y-1=0平行,可得ae+1=2e,解得a=.故选B.6.(2016·宁夏吴忠市高考模拟)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为( B )(A)9x+y+16=0 (B)9x-y-16=0(C)9x-y+16=0 (D)9x+y-16=0解析:函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x)=3x2+2ax+(a-3).因为f′(x)是偶函数,所以2a=0,得a=0,即f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3,则f(2)=8-6=2,f′(2)=3×22-3=12-3=9,即(2,f(2))处切线的斜率为k=9,则对应的切线方程为y-2=9(x-2),即9x-y-16=0.故选B.7.(2016·广西柳州市高三下4月模拟)函数g(x)=x3+x2+3ln x+b(b∈R)在x=1处的切线过点(0,-5),则b的值为( B )(A)(B)(C)(D)解析:当x=1时,g(1)=1++b=+b,又g′(x)=3x2+5x+,所以切线斜率k=g′(1)=3+5+3=11,从而切线方程为y=11x-5,由于点(1,+b)在切线上,所以+b=11-5,解之得b=.故选B.8.(2016·湖南怀化市第二次高考模拟)已知函数f(x)=ln x-f′(1)x2+3x-4,则f′(1)= .解析:因为f(x)=ln x-f′(1)x2+3x-4,所以f′(x)=-2f′(1)x+3,所以f′(1)=1-2f′(1)+3,解得f′(1)=.答案:9.(2016·山东平度市第三次高考模拟)设函数f(x)=g(3x-2)+x2,函数y=g(x)在(1,g(1))处的切线方程是y=2x+3,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为.解析:因为f(x)=g(3x-2)+x2,所以f′(x)=3g′(3x-2)+2x.因为y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+3,所以g(1)=5,g′(1)=2,所以f′(1)=3g′(1)+2×1=6+2=8,f(1)=g(1)+1=6,所以y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为8.所以切线方程为8x-y-2=0.答案:8x-y-2=010.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.解析:f′(x)=x-a+.x>0,因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以x+-a=0有解,所以a=x+≥2.答案:[2,+∞)能力提升练(时间:15分钟)f(x)=x3-x2+ax-1存在两条斜率为3的切线,且切点的横坐标都大于零,则实数a的取值范围为( B )(A)(3,+∞) (B)(3,)(C)(-∞,] (D)(0,3)解析:f(x)=x3-x2+ax-1的导数为f′(x)=2x2-2x+a,由题意可得2x2-2x+a=3,即2x2-2x+a-3=0有两个不等的正根,设为x1,x2,则Δ=4-8(a-3)>0,x1+x2=1>0,x1x2=(a-3)>0,解得3<a<.故选B.y=a(a>0)与曲线y=ln有公共点,且在公共点处的切线相同,则a的值为( D )(A)e (B)e2(C)(D)解析:y=ln=ln x,设公共点的坐标为(m,ln m),由于函数y=f(x)=a(a>0)的导数f′(x)=,曲线y=g(x)=ln x的导数g′(x)=,则f′(m)=,g′(m)=.则由题意知f′(m)=g′(m),f(m)=g(m),得=(m>0),a=ln ,即a=,即ln=1,得=e,则a==.故选D.13.(2017·河北衡水中学高三上学期一调考试)设曲线f(x)=-e x-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为( D )(A)[-1,2] (B)(3,+∞)(C)[-,] (D)[-,]解析:由f(x)=-e x-x,得f′(x)=-e x-1,因为e x+1>1,所以∈(0,1),由g(x)=3ax+2cos x,得g′(x)=3a-2sin x,又-2sin x∈[-2,2],所以3a-2sin x∈[-2+3a,2+3a],要使过曲线f(x)=-e x-x上任意一点的切线l1,总存在过曲线g(x)=3ax+2cos x上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,即g′(x)·f′(x)=-1,则g′(x)=-=,因此解得-≤a≤.故选D.14.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=3x+e x+1,则f′(1)=.解析:令t=e x,则x=ln t,所以f(t)=3ln t++1,所以f′(t)=+,所以f′(1)=3+=.答案:15.曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是.解析:如图,所求最小值即曲线的斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),得y′==2,得x=,y=ln(2×)=0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是(,0),切点(,0)到y=2x的距离为=.答案:f(x)=e x-与直线y=kx有且仅有一个公共点,则实数k的最大值是.解析:由f(-x)=e-x-e x=-(e x-e-x)=-f(x),可得f(x)为奇函数,图象关于原点对称,且f′(x)=e x+e-x>0,f(x)在R上递增.由于曲线f(x)=e x-与直线y=kx均过原点(0,0),则函数f(x)与直线y=kx有且仅有交点(0,0),直线y=kx与曲线相切时,切点为(0,0),切线的斜率为k=e0+e0=2,当k<0时,显然只有一个交点(0,0),当0≤k≤2时,显然只有一个交点(0,0),当k>2时,有3个交点,则符合条件的k的最大值为2.答案:2好题天天练1.已知a,b为正实数,若直线y=x+a与曲线y=e x-b相切(其中e为自然对数的底数),则的取值范围为( A )(A)(0,) (B)(0,1)(C)(0,+∞) (D)[1,+∞)解题关键:由题意寻找a,b之间的关系,将转化为只含一个变量的式子求最值.解析:设切点为(m,n),y=e x-b的导数为y′=e x-b,直线y=x+a与曲线y=e x-b相切,可得e m-b=1,n=m+a=e m-b,即有m=b=1-a,即a+b=1(a,b∈(0,1)),则==,令t=3-a,t∈(2,3),即a=3-t.可得==t+-6,令h(t)=t+-6,则h′(t)=1-,当2<t<3时,h′(t)<0,则h(t)=t+-6在(2,3)上递减,可得t+∈(6,),则的取值范围为(0,).故选A.2.(2017·河南息县第一高级中学高三测试)函数f(x)=ln x在点P(x0,f(x0))处的切线l与函数g(x)=e x的图象也相切,则满足条件的切点P的个数有个.解题关键:根据公切线性质,建立关于x0的方程,转化为关于x0方程解的个数问题.解析:依题意函数f(x)=ln x在点P(x0,f(x0))处的切线l方程为y-ln x0=(x-x0),化简得y=+ln x0-1, ①斜率为,由题设l与g(x)的切点为(x1,g(x1)),则g′(x1)==,x1=ln,切线方程为y-=(x-ln),化简得y=-ln+, ②①②是同一条直线,故ln x0-1=-ln+=ln x0+,(1-)ln x0=+1,ln x0=1+,画出y=ln x,y=1+的图象,由图可知,有两个交点.答案:2。