【数学】四川省内江市威远县竟力中学2013-2014高二(下)期中考试(文)
四川省威远中学2013-2014学年高二下学期数学综合检测试题(选修2-1、2-2)
2013-2014学年高二下综合测试试题1（选修2-1、2-2）姓名： 班级： 学号：一、选择题（每题5分，共50分）1．复数i iz +-=22（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．i 54B ．i 54-C ．54D ．54-2、若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面 A B C D 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为（ ） A．3B ．1 CD3、双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）A．B ．D ．1“按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） A ．62n + B ．62n - C ．82n + D ．82n -5．已知抛物线22(0)y px p =>上有一点M （4，y ），它到焦点F 的距离为5，则OFM ∆的面积（O 为原点）为（ ） A ． 1 B ．2 C D ．6、已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是边,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量 ,,OA OB OC 表示向量OG是 （ ）A ．111633OG OA OB OC =++ B ．112633OG OA OB OC =++C ．2233OG OA OB OC =++D ．122233OG OA OB OC =++7．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(- 8. 空间四边形OABC 中，OB=OC ，AOB=AOC=3π∠∠，则cos ,OA BC 的值是（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．09、当x 在(,)-∞+∞上变化时，导函数/()f x 的符号变化如下表：…①②③则函数()f x 的图象的大致形状为（ ）10．已知F 是椭圆12222=+b y a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点),则该椭圆的离心率是( )A ．22B ．42C ．21D ． 23二、填空题（每小题5分，共25分。
内江市威远县威远中学2013-2014学年高二下学期期中考试物理试题及答案试题
四川省内江市威远县威远中学2013-2014学年高二下学期期中考试物理试题第I卷一．选择题（每小题4分，选不全得2分，选错或不选得0分：共计48分）1.一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t 关系的图像是（）2．右图是法拉第研制成的世界上第一台发电机模型的原理图．将铜盘放在磁场中，让磁感线垂直穿过铜盘，图中a、b导线与铜盘的中轴线处在同一平面内，转动铜盘，就可以使闭合电路获得电流．若图中铜盘半径为L，匀强磁场的磁感应强度为B，回路总电阻为R，从上往下看逆时针匀速转动铜盘的角速度为ω．则下列说法正确的是（）A．回路中电流大小恒定B．回路中电流方向不变，且从a导线流进灯泡，再从b流向旋转的铜盘C．回路中有大小和方向作周期性变化的电流D．若将匀强磁场改为仍然垂直穿过铜盘的正弦变化的磁场，不转动铜盘，灯泡中也会有电流流过3.如图，沿波的传播方向上有间距均为1m的六个质点a、b、c、d、e、f，均静止在各自的平衡位置，一列横波以1m/s的速度水平向右传播，t=0时到达质点a，a开始由平衡位置向上运动，t=1s时，质点a第一次到达最高点，则在4s＜t＜5s这段时间内（）A．质点c的加速度逐渐减小 B．质点a的速度逐渐增大C．质点d向上运动 D．质点f始终保持静止4．如右上图所示，在匀强磁场中，放有一与线圈D相连接的平行导轨，要使放在线圈D中的线圈A（A、D两线圈同心共面）各处受到沿半径方向指向圆心的力，金属棒MN的运动情况可能是（）A．加速向右 B．加速向左C．减速向右 D．减速向左5．如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷。
设两列波的振幅均为5 cm，且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为1m/s和0.5m。
C点是BE连线的中点，下列说法中不．正确的是（）A．C、E两点都保持静止不动B．图示时刻A、B两点的竖直高度差为20cmC．C点的振幅可以达到10cmD．从图示的时刻起经0.25s，B点通过的路程为20cm6.家用日光灯的电路如图所示，S 为启动器，A 为灯管，L 为镇流器，关于日光灯的工作原理下列说法正确的是 （ ）A.镇流器的作用是将交流电变为直流电B.在日光灯的启动阶段，镇流器能提供一个瞬时高压，使灯管开始工作C.日光灯正常发光时，启动器中的两个触片是分离的D.日光灯正常发光时，灯管两端的电压为220V7．如图甲，一个理想变压器原、副线圈的匝数比n 1∶n 2=2∶1，副线圈两端接三条支路，每条支路上都接有一只灯泡，电路中L 为电感线圈、C 为电容器、R为定值电阻．当原线圈两端接有如图乙所示的交流电时，三只灯泡都能发光．如果加在原线圈两端的交流电电压的最大值保持不变，而将其频率变为原来的3倍，与改变前相比，下列说法中正确的有（ ）A.副线圈两端的电压仍为18VB.灯泡Ⅰ变亮C.灯泡Ⅱ变亮D.灯泡Ⅲ变亮8．如图，图线a 是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生正弦交流电的图象，当调整线圈转速后，所产生正弦交流电的图象如图线b 所示，以下关于这两个正弦交流电的说法不．正确的是 ( ) A. 交流电a 的瞬时值为t sin510u π=VB.线圈先后两次转速之比为3:2C.在图中t=0时刻穿过线圈的磁通量均为零D.交流电b 的最大值为320V 9.如图电路中，L 为电感线圈，C 为电容器，当开关S 由断开变为闭合时，则 （ ）A ．A 灯有电流通过，方向由a 到bB ．A 灯中无电流通过，不可能变亮C ．B 灯立即熄灭，c 点电势低于d 点电势D ．B 灯逐渐熄灭，c 点电势低于d 点电10.发电厂发电机的输出电压为U 1，发电厂至用户的输电导线的总电阻为R ，通过输电导线的电流为I ，输电线末端的电压为U 2，下面选项表示输电导线上损耗的功率的表达式错误的是 （ ） A. B. C.I 2R D.I(U 1-U 2)11.两根相距为L 的足够长的金属弯角光滑导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边与水平面的夹角为37°，质量均为m 的金属细杆ab 、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，导轨的电阻不计，回路总电阻为2R ，整个装置处于磁感应强度大小为B ，方向竖直向上的匀强磁场中，当ab 杆在平行于水平导轨的拉力F 作用下以速度v 沿导轨匀速运动时，cd 杆恰好处于静止状态，重力加速度为g ，以下说法正确的是（ ）A．ab杆所受拉力F的大小为mg sin37° B．回路中电流为C．回路中电流的总功率为mgv sin37° D．m与v大小的关系为m＝12．如图甲所示，等离子气流(由高温高压的等电量的正、负离子组成)由左方连续不断的以速度υ0射入P1和P2两极间的匀强磁场中，导线ab和cd的作用情况为：0～2 s内互相排斥，2～4s内互相吸引．规定向左为磁感应强度B的正方向，线圈A内磁感应强度B随时间t变化的图象可能是图乙中的:( )二．实验题（共计14分）13.某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中,已知单摆摆动过程中的摆角小于5°;在测量单摆的周期时,从单摆运动到最低点开始计时且记数为1,到第n次经过最低点所用的时间内为t;在测量单摆的摆长时,先用毫米刻度尺测得悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L,再用游标卡尺测得摆球的直径为d.(1)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g = ▲.(2)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的▲.A.单摆的悬点未固定紧,振动中出现松动,使摆线增长了B.把n次摆动的时间误记为(n + 1)次摆动的时间C.以摆线长作为摆长来计算D.以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算(3) 某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，用秒表测单摆完成40次全振动的时间如图所示，则单摆的周期为__ ▲___s。
2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二年级下册学期期中考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．命题“”的否定为（ ）[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-A ．B ．(]2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--<，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞<，-C ．D ．[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-](2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--≤，【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为是全称量词命题，[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-所以其否定为存在量词命题，即，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-故选：C2．双曲线的渐近线方程是（ ）22134x y -=A ．B ．43y x =±34y x =±C ．D ．y x =y =【答案】C【分析】根据焦点在x 轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】根据双曲线的渐近线方程：，22221x y a b -=b y x a =±知：的渐近线方程为.22134x y -=y x =故选：C.3．抛物线的准线方程是，则实数a 的值（ ）21x ya =2y =A ．B ．C ．8D ．-818-18【答案】A【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a 的值.【详解】由题意得：，解得：.124a -=18a =-故选：A4．若f ′(x 0)＝，则 等于（ ）2-0limx ∆→00()()f x f x x x -+∆∆A ．－1B ．－2C ．1D ．2【答案】D【分析】利用导数的定义求解,【详解】解：因为f ′(x 0)＝，2-所以 ，0lim x ∆→00()()f x f x x x -+∆∆Δ0limx →=-000()()()2f x x f x f x x +∆-'=-=∆故选：D5．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A ．＋＝1B ．＋y 2＝124x 23y 24x C ．＋＝1D ．x 2＋＝124y 23x 24y 【答案】A【分析】设出椭圆的标准方程，由题意可得，解得a ，c ，利用b 2＝a 2﹣c 2得到b 2,从而得23a a c =⎧⎨+=⎩到标准方程.【详解】设椭圆的方程为（a>b>0），由右焦点到短轴端点的距离为2知a=2, 右焦点到22221x y a b +=左顶点的距离为3知a+c=3,解得a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，因此椭圆的方程为＋＝1．24x 23y 故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属基础题．6．设k 为正实数，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）35k <<22153x y k k +=--A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示椭圆得出k 的范围，再由充分必要条件的定义判断即可.【详解】方程表示椭圆，则，解得.22153x y k k +=--503053k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩(3,4)(4,5)k ∈⋃即“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.35k <<22153x y k k +=--故选：B7．若双曲线C 1：－＝1与C 2：－＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距22x 28y 22x a 22y b 为b ＝（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】根据的方程求得渐近线的斜率，进而得到中的a,b 的关系，结合已知焦距，可求得b1C 2C 的值.【详解】由,1C 2=的渐近线斜率为,2C ba 由于它们有相同的渐近线，∴，2,2bb a a ∴＝＝C2的焦距2c＝c =又c == ，，2a ∴=4b ∴=故选B.【点睛】根据两双曲线有相同的渐近线，利用渐近线的斜率相等得到的关系是关键，双曲线的,a b 的平方关系为,椭圆的a,b,c 的关系为,一定要准确掌握.,,a b c 222a b c +=222b c a +=8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线的右支()222103x y a a -=>1F 2F 2P 上，且，则的面积为（ ）12PF PF ⊥12F PF △A ．B ．C ．D ．8643【答案】D【分析】利用离心率公式可求得的值，利用双曲线的定义以及勾股定理求出的值，再a 12PF PF ⋅利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，，2c e a ===1a =因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，P 1222PF PF a -==因为，由勾股定理可得，12PF PF ⊥22221212416PF PF F F c +===所以，，()2221212121221624PFPF PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=-⋅=所以，，因此，.126PF PF ⋅=1212116322PF F S PF PF =⋅=⨯=△故选：D.9．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了()21:20=->C y px p ()22:20C y px p =>一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，1C 2C 1F 2F P 1C 过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（ ）P x 2C Q 124==PF PQ p =A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】根据抛物线的对称性求出P 点横坐标，再由抛物线定义求出即可.p 【详解】因为，即，由抛物线的对称性知，24PQ =2PQ =1p x =-由抛物线定义可知，，即，解得，1||2P p PF x =-4(1)2p=--6p =故选：D10．已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得1F 2F ()222210x y a b a b +=>>P ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．1260F PF ∠=︒eA ．B ．C ．D．⎫⎪⎪⎭⎛ ⎝1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12⎡⎢⎣【答案】C【分析】根据题意分析，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，此时在P 0P 12F PF ∠中，，转化为，消去b ，求出椭圆离心率的取值范围.02Rt P OF △0230OP F ∠≥︒b ≤e【详解】如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当P P 12F PF ∠且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：P 0P 12F PF ∠存在点为椭圆上一点，使得，P 1260F PF ∠=︒中，，可得中，，012P F F ∴△10260F P F ∠≥︒02Rt P OF △0230OP F ∠≥︒所以，即，其中02P O OF≤b ≤c =，可得，即2223a c c ∴-≤224a c ≤2214c a ≥椭圆离心率，且 c e a =0a c >>112e ∴≤<故选:C11．已知F 是双曲线C ：的右焦点，P 是C 的左支上一点，，则的最2218y x -=(A PA PF +小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最12PF PF =+值.【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，2218y x -=1a =3c =()3,0F ()13,0F -当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，P 12PF PF -=12PF PF =+从而，又为定值，1122PA PF PA PF AF +=++≥+14AF ==所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），6PA PF +≥P 1AF 故选：B.12．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为()2222:10x y C a b a b +=>>，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与2222x y a b +=+222:116x y C a +=该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若面积的最大值为41，则椭圆C 的长轴长为（ ）MPQ A ．5B ．10C ．6D ．12【答案】B【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出PQ 22216x y a +=+，再利用基本不等式即可求解.222216)4(MP MQ PQ a ++==【详解】椭圆C 因为，所以为蒙日圆的直径，MP MQ ⊥PQ 所以，所以.PQ =222216)4(MP MQ PQ a ++==因为，当22216)2(2MP MQMP MQ a ≤++⋅=MP MQ ==所以面积的最大值为：.MPQ 26121MP MQ a =+⋅由面积的最大值为41，得，得，MPQ 24116a +=5a =故椭圆的长轴长为.C 10故选：B13．“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是___________（满足条件即可）1x >x >m Z m ∈m .【答案】0（答案不唯一，满足且均可）.1m <Z m ∈【分析】利用充分不必要条件的定义求解.【详解】解：因为“”是“”的充分不必要条件，且，1x >x >m Z m ∈所以且，故可取0，1m <Z m ∈故答案为：0（答案不唯一，满足且均可）1m <Z m ∈14．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是3x =2212516x y +=,A B 1F 1ABF ___________.【答案】20【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解.3x =2212516x y +=2F 【详解】椭圆,所以，2212516x y +=22225169c a b =-=-=得，则椭圆的右焦点为，3c =2(3,0)F 所以直线经过椭圆的右焦点，3x =2212516x y +=2F 由椭圆的定义可知，的周长为1ABF .11121244520AF BF AB AF AF BF BF a ++=+++==⨯=故答案为：20.15．已知是抛物线的焦点，为坐标原点，点A 是抛物线上的点，且，则F 28C y x =：O C 8AF =的面积为_____________.AOF【答案】【分析】设，由抛物线的方程求得，再由抛物线定义列方程求得，从而求得(),A m n 4p =6m =n =±【详解】设，由抛物线方程得：，所以，(),A m n 28y x =28p =4p =由抛物线的定义得：，解得：，82p AF m =+=6m =又解得：，28n m =n =±所以的面积为：AOF 11222S OF n =⨯⨯=⨯⨯=故答案为：16．已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，2219y x +=11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭则直线AB 的方程为______．【答案】950x y +-=【分析】已知相交弦的中点，用点差法求出斜率，即可求解.【详解】在椭圆内，过点的直线与椭圆必11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，设，()1122,,(,)A x yB x y 且弦AB 被点P 平分，故直线AB 的斜率存在，两式相减得，222212121,1,99y y x x +=+=，121212120,99y y y yx x x x --+-=∴=--直线AB 的方程为.950x y +-=故答案为:950x y +-=【点睛】本题考查相交弦的中点问题，利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系，属于基础题.三、解答题17．分别求适合下列条件的方程：(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；(2)经过点的抛物线的标准方程.()2,4P --【答案】(1)或2212521x y +=2212521y x +=(2)或28y x =-2x y=-【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a 、c ，进而求出b ，即可求解；（2）设抛物线方程为或，将点P 坐标代入，即可求解.22(0)y px p =->22(0)x my m =->【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为()20a a >()20c c >由条件可得.所以.210,24a c ==5,2a c ==所以，22225421b a c =-=-=当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；x 2212521x y +=当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.y 2212521y x +=（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，x 22(0)y px p =->将点的坐标代入抛物线的标准方程得，P 1644p p =⇒=此时，所求抛物线的标准方程为；28y x =-当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，y 22(0)x my m =->将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，P 48m =12m =此时，所求抛物线的标准方程为.2x y =-综上所述，所求抛物线的标准方程为或.28y x =-2x y =-18．设集合，命题，命题{13},{11,0}A x B xm x m m =-<<=-<<+>∣:p x A ∈:q x B ∈(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；p q m (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.p qm 【答案】(1){}2(2).()2,+∞【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；p qA B =（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.p qA B 【详解】（1）由条件， 是的充要条件，{13}A x =-<<p q 得，即，解得，A B =1113m m -=-⎧⎨+=⎩2m =所以实数的取值范围是.m {}2（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，p qA B 所以，或，解得，01113m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩01113m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩m>2综上实数的取值范围是.a ()2,+∞19．已知，命题，；命题，a R ∈[]:1,2p x ∀∈2a x ≤:q x R ∃∈()2220x ax a +--=(1)若p 是真命题，求a 的最大值；(2)若为真命题，为假命题，求a 的取值范围.p q ∨p q ∧【答案】(1)1(2)()()2,11,∞-⋃+【分析】（1）由p 是真命题，列不等式，即可求得；（2）先求出p 、q 为真命题时a 的范围，再由复合命题的真假分类讨论，即可求解.【详解】（1）若p 是真命题，只需.()2mina x ≤因为在上单增，所以，所以.2y x =[]1,2x ∈()2min1x =1a ≤即a 的最大值为1.（2）若q 是真命题，即为关于x 的方程有实根，()2220x ax a +--=只需，解得：或.()24420a a ∆=+-≥1a ≥2a ≤-若p 是真命题，解得：.1a ≤因为为真命题，为假命题，p q ∨p q ∧所以p 、q 一真一假.当p 真q 假，则有：，所以.121a a ≤⎧⎨-<<⎩21a -<<当p 假q 真，则有：，所以.112a a a >⎧⎨≥≤-⎩或1a >综上所述：或.1a >11a -<<即a 的取值范围.()()2,11,-⋃+∞20．已知曲线C 上的每一个点到的距离减去它到y 轴的距离的差都是2.(2,0)F(1)求曲线C 的方程；(2)过F 作倾斜角为的直线交曲线C 于A 、B 两点，点，求ABD 的面积.45(2,0)D - 【答案】(1)()280y x x =≥(2)【分析】（1）利用求轨迹的直接法求解；（2）先设，与抛物线方程联立，求得弦长，再求得点D 到直线的距离，利用三角:20AB l x y --=形的面积公式求解.【详解】（1）解：设曲线上动点坐标为，,)x y （由题设得，)20x x +≥整理得.()280y x x =≥（2）设，:20AB l x y --=由，得，2208x y y x --=⎧⎨=⎩21240x x -+=所以，因为直线经过抛物线的焦点，1212x x +=故，1216AB x x p =++=又点D 到的距离，ABl d所以Δ12ABD S AB d =⋅=21．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点与点，过点的直线l 与椭圆C 12A ⎛ ⎝()2,0B ()1,0交于P ，Q 两点，直线，分别交直线于E ，F 两点．BP BQ 3x =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．PE QF ⋅ 【答案】(1)2214x y +=(2)见解析【分析】（1）设椭圆C 的方程为，由两点得出椭圆C 的标准方程；221mx ny +=,A B （2）联立直线l 与椭圆方程，由直线的方程得出坐标，再由韦达定理以及数量积公式，,BP BQ ,E F 得出的范围，进而得出的最值.PE QF ⋅ PE QF ⋅ 【详解】（1）设椭圆C 的方程为且，221(0,0,mx ny m n +=>>)m n ≠因为椭圆C 过点与点，所以，解得.12A ⎛ ⎝()2,0B 15141641m n m ⎧+=⎪⎨⎪=⎩141m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为.2214x y +=（2）设直线，:1l x ty =+()()1122,,,P x y Q x y 由，得，22114x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(1)440ty y ++-=即，则.()224230t y ty ++-=12122223,44t y y y y t t +=-=-++直线的方程分别为.,BP BQ 1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---令，则.3x =12123,,3,22y y E F x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭则，()()11111111323,2,21y x y ty PE x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，()()22222222323,2,21y x y ty QF x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以()()()()()()12121212222211y y ty ty PE QF ty ty ty ty --⋅=--+-- ()()2121212212122411y y t y y t y y t y y t y y ⎡⎤⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦-++⎣⎦2222222223344413244144t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫-+=+++ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎪++ ⎪++⎝⎭.()()()2222254451651444444t t t t t +-+===-+++因为，所以.244t +≥22115150,144444t t <≤≤-<++即的取值范围为.PE QF ⋅ 51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以存在最小值，且最小值为.PE QF ⋅ 1【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题，从12,x x 而由的范围，得出的取值范围.25144t -+PE QF ⋅ 22．以椭圆的中心为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设2222:1(0)x y C a b a b +=>>O 椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．C P F Q 2PQ =OPQ OFQ S = (1)求椭圆及其“准圆”的方程；C (2)若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，当C ED C M N 、时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．0OM ON ⋅= ED 【答案】（1）；（2）弦的长为定值224x y +=ED 【分析】（1）设椭圆的左焦点，，由得，又，即C (),0F c -0c >OPQ OFQ S = a =2PQ =且，所以，由“准圆”得定义即可求出结果；224a b +=222b c a +=223,1a b ==（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组ED (,R)y kx b k b =+∈C 1122(,)(,)M x y N x y 、代入消元得：，由韦达定理和，以及点到直2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=0OM ON ⋅= 线的距离的公式即可求出结果.【详解】（1）设椭圆的左焦点，，由得，C (),0F c -0c >OPQ OFQ S = a =又，即且，所以，2PQ =224a b +=222b c a +=223,1a b ==则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．C 2213x y +=C 224x y +=（2）设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈且与椭圆的交点，C 1122(,),(,)M x y N x y 联列方程组代入消元得：，2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=由．2121222633,1313kb b x x x x k k --+==++可得，22121223()()13b k y y kx b kx b k -=++=+由得，0OM ON ⋅= 12120x x y y +=即，所以，222222223334330131313b b k b k k k k ----+==+++()22314b k =+此时成立，()()2222236413332730k b k b k ∆=-+-=+>则原点到弦的距离O EDd====得原点到弦，则，O ED ED ==故弦的长为定值．ED 【点睛】关键点睛：本题的关键是采取设线法，设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈，联立椭圆方程，得到韦达定理式，根据，得，1122(,),(,)M x y N x y 1122(,)(,)M x y N x y 、12120x x y y +=利用，再代入整理成韦达定理可直接代入得式子，化简得到，再1212()()y y kx b kx b =++()22314b k =+利用几何法即可计算弦长为定值.。
【数学】四川省内江市威远县自强中学2013-2014学年高二上学期期中考试
高二数学第一学期期中考试高二数学试题第Ⅰ卷一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题意的，把正确选项的代号涂在答题卡上． （1）下列命题正确的是（A ）若a b >，则22ac bc > （B ）若a b >-，则a b -> （C ）若ac bc >，则a b > （D ）若a b >，则a c b c ->- （2）已知等差数列}{n a 中，642=+a a ，则=++++54321a a a a a （A ）30 （B ）15 （C ）65 （D ）610（3）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且A b a sin 3=，则=B sin （A ）3 （B ）33 （C ）36 （D ）36-（4）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且222a cb a b -+=，则角C 等于 （A ）3π（B ）4π或34π （C ）23π （D ）6π（5）等比数列{}n a 中，12a =,2q =,126n S =,则n = (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6（6）设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值（7）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（A）4 （B ）14 （C ）34 （D）3（8）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3（9）已知不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为 （A ）112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（B ）11,x 2x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 （C ）{}21x x -<<（D ）{}2,1x x <->或x（10）若正实数,a b 满足1a b +=，则1a +4b的最小值是 （A ）4 （B ）6 （C ） 8 （D ）9（11）方程2(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是 （A ）(5,4]-- （B ）(,4]-∞- （C ）(,2]-∞- （D ）(,5)(5,4]-∞-⋃--（12）若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ）43 （B ）34 （C ）73 （D ）37第Ⅱ卷二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上. （13）在ABC ∆中，已知2,120,c A a =∠==，则B ∠= ． （14）若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是,n n S T ，已知73n n S nT n =+，则55a b 等于 ．（15）已知函数221,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则不等式()2f x x -≤的解集是 ．（16）函数22()log ()f x x x a =-+在[2,)+∞上恒为正，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）1A2A120 105解关于x 的不等式：(1)()0x x a -+>． （18）（本小题满分12分）在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． （19）（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，前n 项和为n S ．数列{}n b 为等比数列，11b =，且226b S =，238b S +=．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求12111nS S S +++． （20）（本小题满分12分）已知函数2()(2)5f x x a x a =++++，a R ∈．（Ⅰ）若方程()0f x =有一正根和一个负根，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1x >-时，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. （21）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？（22）（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a n =-（*n N ∈）． （Ⅰ）证明数列{3}n a +是等比数列，求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3n n nb a，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．高二数学答案一、选择题DBBAD BCDAD AC 二、填空题（13）30 （14）214（15）1[,)2-+∞ （16）1a >-三、解答题（17）由(1)()0x x a -+=得，1x =或x a =-， ……4分当1a <-时，不等式的解集为{|x x a >-或1}x <； 当1a =-时，不等式的解集为{|x x R ∈且1}x ≠；当1a >-时，不等式的解集为{|x x a <-或1}x >．……10分综上，当1a <-时，不等式的解集为{|x x a >-或1}x <；当1a =-时，不等式的解集为{|x x R ∈且1}x ≠；当1a >-时，不等式的解集为{|x x a <-或1}x >．……12分（18）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，A B C π++=，由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12sin 13A =，…………2分 由3cos 5B =，02B π<<，得4sin 5B =． …………4分 所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．……6分 （Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．…………9分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．……12分 （19）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，{}n b 的等比为q ，则11(1),n n n a n d b q-=+-=，依题意有(2)6338q d q d +=⎧⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩，或439d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去），……4分 故n a n =，12n n b -=．………………6分（Ⅱ）112(1)2n S n n n =+++=+， 12112()(1)1n S n n n n ==-++…………8分 12111111112[(1)()()]2231n S S S n n +++=-+-++-+…………10分 122(1)11n n n =-=++．…………12分 （20）（Ⅰ）设方程2(2)50x a x a ++++=有一正根和一个负根，则2(2)4(5)050a a a ⎧∆=+-+>⎨+<⎩，…………3分 解得5a <-．………………5分（Ⅱ）当1x >-时，不等式2(2)50x a x a ++++≥恒成立， 即2(1)25a x x x +≥---，因为1x >-，所以10x +>，……7分2225(1)44(1)111x x x a x x x x ----+-≥==-+-+++，…………10分而4(1)41xx -+-≤-+，当且仅当1x =时等号成立， 所以4a ≥-． (12)分（21）解：如图，连结12A B ，由已知22A B =122060A A ==1222A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，1A 2A120 105122A A B ∴△是等边三角形， …………4分1212A B A A ∴==， 由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，……………………6分在121A B B △中，由余弦定理，22212111211122cos45B B A B A B A B A B =+-⋅⋅22202202=+-⨯⨯200=12B B ∴= …………9分因此，乙船的速度的大小为6020=（海里/小时） …………11分答：乙船每小时航行海里 …………12分（22）（Ⅰ）因为23n n S a n =-，所以1123(1)n n S a n ++=-+，则11223n n n a a a ++=--，所以123n n a a +=+，1323n n a a ++=+，数列{3}n a +是等比数列，…………3分1113,36a S a ==+=，136232n n n a -+=⋅=⋅，所以323nn a =⋅-．………………5分 （Ⅱ）23n n n nb a n n ==⋅-，…………6分 23222322(12)n n T n n =+⋅+⋅++⋅-+++，令23222322n n T n '=+⋅+⋅++⋅，①2341222232(1)22n n n T n n +'=+⋅+⋅++-⋅+⋅，②①－②得，/21122222(12)2n n n n n T n n ++-=+++-⋅=---⋅，12(1)2n n T n +'=+-⋅，…………9分所以11(1)22(1)2n n T n n n +=-⋅+-+．…………10分（Ⅲ）设存在*,,s p r N ∈，且s p r <<，使得,,s p r a a a 成等差数列，则2p s r a a a =+， 即2(323)323323p s r ⋅-=⋅-+⋅-，…………12分 即1222p s r +=+，1212p s r s -+-=+，12,2p s r s -+-为偶数，而12r s -+为奇数， 所以1222p s r +=+不成立，故不存在满足条件的三项．…… 14分。
2014-2015学年四川省内江市威远县自强中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2014-2015学年四川省内江市威远县自强中学高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，若A∩B={a，b}，则a+b=（）A．6 B．7 C．8 D．92．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤4C．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0 D．∃x∈R，x2﹣2x+4＞03．（5分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）4．（5分）在数列{a n}中，a1=1，公比q=2，则a4的值为（）A．7 B．8 C．9 D．165．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）已知＜θ＜π，sin（+θ）=﹣，则tan（π﹣θ）的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．7．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）8．（5分）定义运算=ad﹣bc，若函数在[﹣4，m]上单调递减，则实数m的取值范围（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．[﹣4，﹣2]D．（﹣4，﹣2]9．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x ﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上）11．（5分）已知i是虚数单位，则复数=．12．（5分）幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为增函数，则m=．13．（5分）执行如图程序，输出S的值为．14．（5分）已sin（﹣x）=，则sin2x的值．15．（5分）关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知=（2，sinθ），=（1，cosθ），（1）若θ为锐角且=，求sinθ+cosθ的值；（2）若，求sin（2θ+）的值．17．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．18．（12分）已知，．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数的值域．19．（12分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．20．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=1+2log a n，数列{}的前n项和为T n．求证：T n＜．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年四川省内江市威远县自强中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，若A∩B={a，b}，则a+b=（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴A∩B={a，b}={3，4}，∴a+b=3+4=7．故选：B．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤4C．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0 D．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0【解答】解：特称命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定是全称命题：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0．故选：C．3．（5分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．4．（5分）在数列{a n}中，a1=1，公比q=2，则a4的值为（）A．7 B．8 C．9 D．16【解答】解：由等比数列的通项公式可得：a4=a1•q3=1×23=8故选：B．5．（5分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．6．（5分）已知＜θ＜π，sin（+θ）=﹣，则tan（π﹣θ）的值为（）A．B．﹣ C．﹣ D．【解答】解：∵＜θ＜π，sin（+θ）=﹣，∴cosθ=﹣，sin=．tan（π﹣θ）=﹣tanθ==．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f （2）f （4）＜0，∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C ．8．（5分）定义运算=ad ﹣bc ，若函数在[﹣4，m ]上单调递减，则实数m 的取值范围（ ） A ．[﹣2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣4，﹣2]【解答】解：由定义知f （x ）=（x ﹣1）（x +3）+2x=x 2+4x ﹣3=（x +2）2﹣7， f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调减，[﹣2，+∞）上单调增， 由题意得m ≤﹣2，又m ＞﹣4， 故选：D ．9．（5分）将函数y=sin （4x ﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．B ．x=C ．x=D ．x=﹣【解答】解：将函数y=sin （4x ﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g （x ）=sin （2x ﹣），再将g （x ）=sin （2x ﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g （x +）=sin [2（x +）﹣]=sin （2x +﹣）=sin （2x +），由2x +=kπ+（k ∈Z ），得：x=+，k ∈Z ．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A ．10．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=（|x ﹣a 2|+|x ﹣2a 2|﹣3a 2），若∀x ∈R ，f （x ﹣1）≤f （x ），则实数a 的取值范围为（ ）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【解答】解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上）11．（5分）已知i是虚数单位，则复数=i．【解答】解：===i．故答案为：i．12．（5分）幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为增函数，则m=2．【解答】解：∵函数f（x）=（m2﹣m﹣1）为幂函数，且在（0，+∞）是偶函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1．当m=﹣1时，幂函数f（x）=x﹣1在（0，+∞）上是减函数，不满足题意，应舍去；当m=2时，幂函数f（x）=x3在（0，+∞）上是增函数，满足题意；∴实数m的值为2．故答案为：213．（5分）执行如图程序，输出S的值为42．【解答】解：执行程序框图，有i=1，S=0S=2，i=3，不满足条件i＞6，有S=10，i=5不满足条件i＞6，有S=42，i=7满足条件i＞6，输出S的值为42．故答案为：42．14．（5分）已sin（﹣x）=，则sin2x的值．【解答】解：∵sin（﹣x）=，∴sin2x=cos（﹣2x）=cos2（﹣x）=1﹣2sin2（﹣x）=1﹣2×=，故答案为：．15．（5分）关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：①③．【解答】解：①由正切函数的图象可知函数y=tanx在第一象限是增函数，命题正确；②f（x）=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x，f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），故命题不正确；③∵0=4sin（2×﹣），∴命题正确；④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，故命题不正确．综上，所有正确的命题的题号：①③，故答案为：①③三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知=（2，sinθ），=（1，cosθ），（1）若θ为锐角且=，求sinθ+cosθ的值；（2）若，求sin（2θ+）的值．【解答】解：（1）∵=（2，sinθ），=（1，cosθ），=，∴2+sinθcosθ=，∴sinθcosθ=．∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=1+=．又∵θ为锐角，∴sinθ+cosθ=．（2）∵，∴2cosθ=sinθ，由∵cos2θ+sin2θ=1解得sinθ=，cosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=2××=，cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=﹣=﹣所以sin（2θ+）=sin2θcos+cos2θsin=×﹣×=17．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：）所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．18．（12分）已知，．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以，．因为=．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以=1﹣2sin2x+2sinx=，x∈R．因为sinx∈[﹣1，1]，所以，当时，f（x）取最大值；当sinx=﹣1时，f（x）取最小值﹣3．所以函数f（x）的值域为．19．（12分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．所以此次测试总人数为．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．…（4分）（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．…（7分）（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h．从这8人中随机抽取2人有C共28种情况．事件A包括2×6共12种情况．所以事件A的概率P==．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为．…（13分）20．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=1+2log a n，数列{}的前n项和为T n．求证：T n＜．【解答】（本小题满分（13分），（Ⅰ）小问（6分），（Ⅱ）小问7分）（Ⅰ）解：a1=S1=1，n≥2时，S n=2﹣a n，S n﹣1=2﹣a n﹣1，∴且n∈N*），∵a1=1，∴{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴．…（6分）（Ⅱ）证明：…（8分）令，…（10分）则=．…（13分）21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，f′（x）=x﹣+（a﹣2）=（x＞0）当a=1时，f′（x）=，f′（1）=﹣2，则所求的切线方程为：y﹣f（1）=﹣2（x﹣1），即4x+2y﹣3=0；（Ⅱ）①当﹣a=2，即a=﹣2时，f′（x）=≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当﹣a＜2，即﹣2＜a＜0时，由0＜x＜﹣a，或x＞2时，f′（x）＞0，﹣a＜x＜2时，f′（x）＜0．则f（x）在（0，﹣a），（2，+∞）单调递增，在（﹣a，2）上单调递减；③当﹣a＞2，即a＜﹣2时，由0＜x＜2或x＞﹣a时，f′（x）＞0；2＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2），（﹣a，+∞）上单调递增，在（2，﹣a）上单调递减；（Ⅲ）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1＜x2．由知f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1成立，令g（x）=f（x）﹣ax=x2﹣2aln x﹣2x，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g′（x）=x﹣﹣2≥0，即2a≤x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在（0，+∞）上恒成立．，则a≤﹣，故存在这样的实数a满足题意，其范围为（﹣∞，﹣]．。
2020-2021学年四川省内江市威远中学高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2020-2021学年四川省内江市威远中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知某双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2．已知椭圆+＝1上一点P到右焦点的距离是1，则点P到左焦点的距离是（）A．2B．4C．2﹣1D．4﹣1 3．（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+＝1B．+＝1C．+y2＝1D．+＝15．到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线6．已知函数f（x）＝x+lnx，则＝（）A．2B．C．D．37．直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB 的中点到y轴的距离为1，则p的值是（）A．1B．2C．3D．48．已知函数f（x）的图象与直线x+2y﹣1＝0相切于点（﹣2，f（﹣2）），则f（﹣2）+f′（﹣2）＝（）A．2B．1C．0D．9．已知f（x）＝x2+3xf'（1），则f'（2）＝（）A．1B．2C．4D．810．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．311．双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．312．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．14．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是．15．已知抛物线y＝x2和直线x﹣y﹣2＝0，则抛物线上的点到该直线的最短距离．16．已知点M（1，﹣1）和抛物线C：y＝x2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若＝0，则k＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知m＞0，p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．18．求适合下列条件的曲线的标准方程．（1）a＝4，b＝5，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．19．已知曲线y＝x2，（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）求曲线过点P（3，5）的切线方程．20．设直线y＝x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点．（1）求实数b的取值范围；（2）当b＝1时，求．21．已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线l：y＝kx+1与双曲线C相交于A、B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若，求实数k值．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知某双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：由双曲线方程可得：a2＝25，b2＝16，c2＝a2+b2＝41，∴．故选：A．2．已知椭圆+＝1上一点P到右焦点的距离是1，则点P到左焦点的距离是（）A．2B．4C．2﹣1D．4﹣1解：设椭圆+＝1上一点P到左焦点的距离为x，∵点P到右焦点的距离是1，∴1+x＝4，解得x＝4﹣1．故选：D．3．（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B．4．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+＝1B．+＝1C．+y2＝1D．+＝1解：∵x2+y2﹣2x﹣15＝0，∴（x﹣1）2+y2＝16，∴r＝4＝2a，∴a＝2，∵e＝，∴c＝1，∴b2＝3．故选：A．5．到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线解：∵F1（﹣3，0）、F2（3，0）∴|F1F2|＝6故到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以F1（﹣3，0）、F2（3，0）为端点的两条射线故选：D．6．已知函数f（x）＝x+lnx，则＝（）A．2B．C．D．3解：根据题意，对于函数f（x），有＝f′（2），又由f（x）＝x+lnx，则f′（x）＝1+，则有f′（2）＝1+＝；故选：B．7．直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，若AB 的中点到y轴的距离为1，则p的值是（）A．1B．2C．3D．4解：由题意设直线l方程：x＝my+，A（x1，y1）B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程可得：y2﹣2my﹣p2＝0，所以y1+y2＝2m，x1+x2＝m（y1+y2）＝2m2，由|AB|＝4可得x1+x2+p＝4，即2m2+p＝4，AB的中点的横坐标为m2，AB的中点到y轴的距离为1，所以m2＝1，所以2+p＝4，解得p＝2，故选：B．8．已知函数f（x）的图象与直线x+2y﹣1＝0相切于点（﹣2，f（﹣2）），则f（﹣2）+f′（﹣2）＝（）A．2B．1C．0D．解：由题意，f′（﹣2）＝，又﹣2+2f（﹣2）﹣1＝0，∴f（﹣2）＝．则f（﹣2）+f′（﹣2）＝．故选：B．9．已知f（x）＝x2+3xf'（1），则f'（2）＝（）A．1B．2C．4D．8解：根据题意，f（x）＝x2+3xf'（1），其导数f′（x）＝2x+3f'（1），令x＝1可得：f′（1）＝2+3f'（1），变形可得f′（1）＝﹣1，则有f′（x）＝2x﹣3，f'（2）＝2×2﹣3＝1；故选：A．10．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．3解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x＝﹣1的距离d2＝a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离d1＝则d1+d2＝a2+1＝当a＝时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．11．双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．3解：双曲线C：﹣＝1的右焦点为F（，0），渐近线方程为：y＝x，不妨P在第一象限，可得tan∠POF＝，P（，），所以△PFO的面积为：＝．故选：A．12．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10解：方法一：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，由图象知要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y＝x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，∴|DE|＝•|y1﹣y2|＝×＝8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝|DE|＝＝＝∴|AB|+|DE|＝+＝＝，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．14．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是1．解：由椭圆定义，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|＝4a2＝16，由勾股定理，|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝12，∴|PF1||PF2|＝2（a2﹣c2）＝2b2＝2，则△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|＝b2＝1．故答案为：1．15．已知抛物线y＝x2和直线x﹣y﹣2＝0，则抛物线上的点到该直线的最短距离．【解答】解，由抛物线是一个二次函数，故转化为抛物线的切线与所给直线平行时，两平行线之间的距离，∴y′＝2x，由直线x﹣y﹣2＝0可得该直线的斜率为1，设切点为（x），则2x0＝1，∴，切点为（），故切线方程为：y﹣＝（x﹣）即x﹣y﹣＝0，∴d＝＝，故答案为：．16．已知点M（1，﹣1）和抛物线C：y＝x2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若＝0，则k＝．解：抛物线C：y＝x2的焦点F（0，1），直线AB的方程为y＝kx+1，与抛物线x2＝4y联立，可得x2﹣4kx﹣4＝0，设A（x1，），B（x2，），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，由•＝0，即（1﹣x1，﹣1﹣）•（1﹣x2，﹣1﹣）＝（1﹣x1）（1﹣x2）+（1+）（1+）＝x1x2﹣（x1+x2）+2++＝﹣4﹣4k+3+＝4k2﹣4k+1＝0，解得k＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知m＞0，p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．解：当m＝5时，q：﹣4≤x≤6，由（x+1）（x﹣5）≤0，可得﹣1≤x≤5，即P：﹣1≤x≤5．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假，若p真q假，则，该不等式组无解；若p假q真，则，得﹣4≤x＜﹣1或5＜x≤6．综上所述，实数x的取值范围为{x|﹣4≤x＜﹣1或5＜x≤6}．18．求适合下列条件的曲线的标准方程．（1）a＝4，b＝5，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．解：（1）由题意，设方程为，∵a＝4，b＝5，∴a2＝16，b2＝25，所以双曲线的标准方程是．（2）∵焦点到准线的距离是2，∴2p＝4，∴当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝﹣4y．19．已知曲线y＝x2，（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）求曲线过点P（3，5）的切线方程．解：（1）函数f（x）＝x2，所以f′（x）＝2x，所以直线的斜率k＝f′（1）＝2，故直线的方程为y﹣1＝2（x﹣1），整理得y＝2x﹣1．（2）设直线与曲线相切于点（x0，y0），即点（），则直线的斜率为k＝2x0，所以切线的方程为，由于曲线经过点（3，5）所以，整理得x0＝1或5，所以切点的坐标为（1，1）和（5，25），所以切线的方程为y＝2x﹣1或y＝10x﹣25．20．设直线y＝x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点．（1）求实数b的取值范围；（2）当b＝1时，求．解：（1）将y＝x+b代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2＝0．①…因为直线y＝x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点，∴△＝16b2﹣12（2b2﹣2）＝24﹣8b2＞0∴（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b＝1 时，方程①为3x2+4x＝0．…解得．此时∴＝＝（利用弦长公式也可以）21．已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线l：y＝kx+1与双曲线C相交于A、B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若，求实数k值．解：（1）抛物线的焦点是（），则双曲线的．即a2+b2＝…（1分）设双曲线方程：…解得：…（2）联立方程：当…（未写△扣1分）由韦达定理：…设即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝0代入可得：，检验合格．…22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．【解答】（Ⅰ）解：由已知，得．所以a2＝2b2．所以C：，即x2+2y2＝2b2．因为椭圆C过点，所以，得b2＝4，a2＝8．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．根据题意，可设直线MN的方程为y＝k（x+2），由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2）．由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8＝0．则，．所以|MN|＝＝＝．同理可得|PQ|＝．所以＝＝．。
2018-2019学年四川省威远中学高二下学期期中考试数学(文)试题 解析版
2018-2019学年四川省威远中学高二下学期期中考试数学（文）试题解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若命题“”为假，且“”为假，则（）A.或为假B.假C.真D. 不能判断的真假【答案】B【解析】试题分析：因为“”为假，所以“”为真，又“”为假，所以为假，故选B．考点：1、复合命题的真假；2、命题的否定．2. 命题“对任意的”的否定是（）A. 不存在B. 存在C. 存在D. 对任意的【答案】C【解析】试题分析：命题的否定，除结论要否定外，存在量词必须作相应变化，例如“任意”与“存在”相互转换．考点：命题的否定．3. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则该抛物线的方程为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是4. 已知双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线方程确定几何量，即可得到双曲线的渐近线方程．详解：由题可得：故选A.点睛：本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5. 已知椭圆，若焦点在轴上且焦距为，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，显然m－2>10－m，即m>6，且()2－()2＝22，解得m＝8.答案：D6. “双曲线离心率”是“双曲线是等轴双曲线”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要件【答案】A【解析】分析：根据等轴双曲线的定义可知a=b，由此可做判断.详解：因为等轴栓曲线由a=b，所以，同理由可得a=b,故为充要条件，所以选A.点睛：考查等轴双曲线的定义，a=b是解题关键，属于基础题.7. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 4【答案】D【解析】因为椭圆的右焦点坐标为，又的焦点为所以，即8. 已知椭圆C：，直线：（），与C的公共点个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无法判断【答案】C【解析】分析：先分析直线所过的定点，然后代入椭圆看此点是否在椭圆内部即可.点睛：考查直线和椭圆的位置关系，正确求出直线的定点并检验是否在椭圆内部是解题关键，属于基础题.9. 已知两点（-1，0）、（1，0），且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程是( ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知c=1，=2，则=4，所以b2=3；所以选C10. 已知点P在椭圆+=1(a>b>0)上，点F为椭圆的右焦点，的最大值与最小值的比为2, 则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的最大值是，的最小值是，所以，即，故选B.11. 已知为抛物线上一个动点，点坐标（0，4），那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A. B. C. 5 D. 9【答案】A【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件以及三角不等式，转化求解即可．详解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），设点P到抛物线的准线的距离为d，根据抛物线的定义有d=|PF|，∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥|QF|＝，故选A.点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的定义的理解为解题关键，考查计算能力．属于中档题.12. 设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2或3 D.或【答案】D【解析】∵分别为双曲线的左、右焦点∴，∵∴点在双曲线的右支，的内切圆半径为.设，则.∵，即∴，即的外接圆半径为.∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍∴，即.∴∴或故选D...................二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若命题“任意实数，使”为真命题，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：开口向上的二次函数恒大于等于零，只需即可.详解：由题可得：任意实数，使为真命题，故即：，故答案为点睛：考查二次函数的图像，属于基础题.14. 已知椭圆的两个焦点是，点P在椭圆上，若=2，则的面积是________.【答案】【解析】可得是直角三角形的面积故答案为15. 已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=________.【答案】【解析】分析：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．详解：：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=-1，直线AF的斜率为k=，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=-k=，∴|PN|=2|PM|，故答案为点睛：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16. 下列三个命题中①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;③“双曲线上任意点M到两条渐近线距离的积为定值”的逆否命题其中是真命题的为________【答案】③【解析】分析：对题设逐一分析即可. ①先将原式化简，②根据垂直条件即可详解：①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;由二倍角公式可得：原式=，所以要最小正周期为π，由周期公式得，故为充要条件错误，②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;当a=3时，，故两直线平行不垂直，所以错误，③“双曲线上任意点M到两条渐近线距离的积为定值”的逆否命题；判断原命题即可，设双曲线上任一点M，渐近线为：，所以任意点M到两条渐近线距离的积为，所以为定值，原命题正确，故逆否命题正确，所以③为真命题，故答案为③点睛：考查三角函数的化简和周期计算，直线的平行垂直判定，双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，对命题逐一的认真分析和举反例是解题关键，属于中档题.三．解答题本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知.若p 是q 的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】【解析】分析：分别化简：p：x2-4x-5≤0，解得-1≤x≤5．q：|x-3|＜a（a＞0），可得3-a ＜x＜3+a．若p是q的充分不必要条件，则即可.详解：设，，因为是的充分不必要条件，从而有并 .故，解得点睛：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的有关知识，属于基础题．18. 已知命题p：，命题q：方程表示焦点在轴正半轴上的抛物线. （1）若命题为真命题，求实数k的取值范围；（2）若命题()Λ为真命题，求实数k的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据抛物线方程可知，；（2）若命题是真命题，则假真，则 .试题解析：（1）命题为真命题时，，解得或，则的取值范围是（2）命题为真命题，则和均为真命题，易知为真命题时，的取值范围是，则，解得，所以的取值范围是.19. 已知椭圆C的焦点（-2，0）、（2，0），且长轴长为6，设直线交椭圆C 于A、B两点，求线段AB的中点坐标【答案】【解析】分析：先由已知求出椭圆的标准方程，再由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．详解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上，其中c=2，a=3，从而b=1其标准方程为联立方程组，消去y得设A，B，则中点，=，所以所以线段AB中点坐标为点睛：本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映．20. 已知抛物线的顶点在原点，过点A且焦点在x轴（1）求抛物线方程（2）直线过定点B(-1,0)，与该抛物线相交所得弦长为8，求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）可先设出抛物线的方程：，然后代入点计算即可；（2）已知弦长所以要先分析斜率存在与不存在的情况，）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1验证即可，②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为联立方程根据弦长公式求解即可.详解：（1）设抛物线方程为抛物线过点，得p=2则（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1与抛物线交于、，弦长为4，不合题意②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为消y得弦长=解得得所以直线l方程为或点睛：考查抛物线的定义和标准方程，以及直线与抛物线的弦长公式的应用，注意讨论是解题容易漏的地方，属于基础题.21. 已知双曲线的离心率为，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)直线y＝kx＋m(k≠0, m≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用椭圆的离心率e＝，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为，建立方程，求得几何量，即可求得双曲线方程；（2）直线方程与双曲线方程联立，利用C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，可设CD的中点为P，则AP⊥CD，结合直线垂直，即可求得m的取值范围．详解：(1)－y2＝1.(2)消去y得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0⇒m2＋1＞3k2.①设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，因为AP⊥CD，所以k AP＝＝＝－，整理得3k2＝4m＋1.②联立①②得m2－4m＞0，所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.故m的取值范围为∪(4，＋∞)．点睛：本题考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力和几何分析能力，能正确找出对应几何等式是解题关键，属于中档题．22. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. 【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由题可得c=,离心率e=,结合椭圆a，b，c的关系即可求得方程；（2）因为点P到椭圆C的两条切线相互垂直, 若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0, 此时点P有四个点，当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),联立方程根据=0结合直线垂直等式可求出轨迹方程.详解：(1)因为c=,离心率e=,所以a=3,b=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,切线与椭圆只有一个公共点,则Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,进一步化简(-9)k2-2x0y0k+-4=0因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,则+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13, 所以点P的轨迹方程为+=13方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1.两条切线方程分别为+=1和+=1,因为两条切线都过点P(x0,y0),所以+=1且+=1,因为两条切线相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13, 所以点P的轨迹方程为+=13.点睛：考查椭圆的标准方程求法和基本性质，对于第二问则需要注意分析几何关系，找出核心的几何等式，对于轨迹方程，难点就在于等式如何找到，通常结合线线垂直、平行，线段相等等几何关系形成等式从而化出轨迹方程，属于较难题.。
四川省内江市威远县竟力中学2013-2014高二(下)期中考试卷(文科)
威远县竟力中学高2015级（下）期中考试卷一、选择题：（每题只有一个答案符合题意，每小题5分，共50分） 1．函数323922yx x x x 有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值2．椭圆221259x y +=上的点M 到焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，则ON 为 （ ）A ．4B ．2C ．8D ．233. 函数()1sin f x x x =+- ,()0,2x π∈，则函数（ ）A ．在()0,2π内是增函数B ．在()0,2π内是减函数C ．在()0,π内是增函数，在(),2ππ内是减函数D ．在()0,π内是减函数，在(),2ππ内是增函数4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为212y x =的准线上，则此双曲线的方程为( ) A. 22156x y -= B. 22175x y -= C. 22136x y -= D. 22143x y -= 5. 如图1所示为'()y f x =的图像，则下列判断正确的是①()f x 在(),1-∞上是增函数；②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在()2,4上是减函数，在()1,2-上是增函数；④2x =是()f x 的极小值点 （图A 、①②③ B 、①③④ C 、③④ D 、②③6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点()4,2平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．01232=-+y x D ．082=-+y x 7．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--8．设函数()f x 的图象如图2，则函数'()y f x =的图象可能是下图中的( )图 29． 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）A ． ),3[]3,(+∞--∞ B ． ]3,3[- C ． ),3()3,(+∞--∞ D ． )3,3(-10．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为( )A ．21B ．1C ．31 D ．2二、填空题：（每小题5分，共25分）11．曲线9y x =在点()3,3M 处的切线方程是_____ ．12．椭圆192522=+y x 的焦点1F 2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则 21PF F ∆ 的面积为_____ ． 13．函数()ln f x x x =的单调递减区间是_____ ．14．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为____、____．15．对于曲线C ∶1422-+-k y kx=1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜25其中所有正确命题的序号为_____ ．三、解答题：（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分） 16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去边长为多少时，盒子容积最大？17．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为2，求椭圆的标准方程．18．已知函数32()f x x ax bx c =+++，曲线()y f x =在点1x =处的切线为:310l x y -+=，若23x =时，()y f x =有极值．(1)求()y f x =的解析式； (2)求()y f x =在[]3,1-上的最大值和最小值．19．如图某抛物线形拱桥跨度是20m ，拱桥高度是4m ，在建桥时，每4m 需用一根支柱支撑，求其中最长支柱AB 的长．20.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值.(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.21.已知椭圆C 经过点3(1,)2A ,两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -.(1)求椭圆C 的方程；(2) P 、Q 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AP 的斜率与AQ 的斜率互为相反数,求证直线PQ 的斜率为定值,并求出这个定值.x yOP QA威远县竟力中学高2015级（下）期中考试卷（答案） 一．选择题1.C2.A3.A4.C5.D6.D7.C8.D9.B 10.D 二．填空题11.06=+-y x 12. 9 13.)1,0(e14. 32、16 15.③④三．解答题16.解：设小正方形的边长为x ，则x x x V )25)(28(--= 化简得)250(4026423<<+-=x x x x V 因为4052122'+-=x x V 令舍）或(1010'==⇒=x x V所以当1=x 时)(x V 取极大值18)1(=V因为)(x V 在)25,0(内只有一个极大值点，所以18)1()(max ==V x V即当小正方形的边长为1cm 时盒子的容积最大为183cm17.解：①焦点在x 轴上；由题意可知3223,4=⇒==c a c a 41216222=-=-=c a b ，所以椭圆的标准方程为141622=+y x②焦点在y 轴上；由题意可知4823,42222=⇒+===c c b a a c b 且 642=a ，所以椭圆的标准方程为1166422=+x y18.（1）解：由题意可知切点坐标为)3,1(3)1('=f 323=++b a 2=a所以3)1(=f ⇒31=+++c b a ⇒4-=b0)32('=f 03434=++b a 4=c所以442)(23+-+=x x x x f（2）解：由（1）知0)('443)('2=-+=x f x x x f 令得22-==x x 或所以)(x f 在2-=x 处取得极大值12)2(=-f在32=x 处取得极小值2768)32(=f又因为74121827)3(=+++-=-f ，34421)1(=+-+=f综上所述12)(max =x f ，2768)(min=x f .19.以拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系.设抛物线的标准方程为)0(22>-=p py x 由题意可知)4,10(-P 代入得)4(2100-⨯-=p 225=⇒p 抛物线方程为y x 252-=设点B 的坐标为),2(B y 可得254-=By点A 的坐标为)4,2(-所以25964254)4(=+-=--=B y AB20.（1）由题意可知0)32('0)1('=-=f f 得2,21-=-=b a 所以c x x x x f +--=221)(23，故可知23)('2--=x x x f 令0)('>x f 得321-<>x x 或所以)(x f 的单调增区间为)32,(),1(--∞+∞和单调减区间为)1,32(- （2）解：]2,1[-∈x ，2)(c x f <恒成立，即c c x x x -<--223221恒成立 即c c -2大于x x x 22123--的最大值 令x x x x g 221)(23--=由（1）中单调性可知)(x g 在]2,1[-上的最大值为2.所以12022-<>⇒>--c c c c 或21.解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为解得，（舍去）所以椭圆方程为。
四川省威远中学高二数学下学期期中试题文
四川省威远中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假2.命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则该抛物线的方程为( )A ．x y 82-= B. x y 82= C. x y 42-= D. x y 42= 4.已知双曲线方程为22193x y -=，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y =B ．y =C ．13y x =±D ．3y x =± 5．已知椭圆221102x y m m +=--，若焦点在y 轴上且焦距为4，则m 等于（ ） A.4 B.5 C. 7 D.86.“双曲线离心率2=e ”是“双曲线是等轴双曲线”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要件7. 若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．48.已知椭圆C ：13422=+y x ，直线l ：0=-+m my x （R m ∈），l 与C 的公共点个数为（ ）A. 0个B. 1个C.2个D. 无法判断9.已知两点1F （-1，0）、2F （1，0），且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A ．191622=+y xB ．1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 10.已知点P 在椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)上，点F 为椭圆的右焦点，PF 的最大值与最小值的比为2, 则这个椭圆的离心率为（ ） A. 21 B. 31 C. 41 D. 22 11.已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 点坐标（0，4），那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A.17 B.52 C. 5 D. 912.设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或3 D. 4或53二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．若命题“任意实数x ，使210x ax ++≥”为真命题，则实数a 的取值范围为__________．14．已知椭圆12422=+y x 的两个焦点是1F ，2F 点P 在椭圆上，若1PF -2PF =2，则21F PF ∆的面积是________.15.已知点A （2，0），抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=________.16.下列三个命题中①“k=1”是“函数y=cos 2kx-sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件;②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件; ③“双曲线1222=-y x 上任意点M 到两条渐近线距离的积为定值”的逆否命题 其中是真命题的为________三、解答题 本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知054:2≤--x x p ，)0(3:><-a a x q .若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.18. (本小题满分12分)已知命题p ：0342>+-k k ，命题q ：方程x k k y )2(22-=表示焦点在轴正半轴上的抛物线.（1）若命题q 为真命题，求实数k 的取值范围；（2）若命题(p ⌝)Λq 为真命题，求实数k 的取值范围.19. (本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点1F （-22，0）、2F （22，0），且长轴长为6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标20. (本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，过点A (4,4)-且焦点在x 轴（1）求抛物线方程（2）直线l 过定点B )0,1(-，与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l 的方程21. (本小题满分12分) 已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a ，0)的直线与原点的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (k ≠0, m ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．22.(本小题满分12分)已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的一个焦点为(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若动点P(x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.威远中学2019届高二下学期半期考试试题文科数学参考答案一、选择题1-5 BCBAD 6-10 ADCCB 11-12 AD12.【解析】∵分别为双曲线的左、右焦点∴，∵∴点在双曲线的右支，的内切圆半径为. 设，则.∵，即∴，即的外接圆半径为.∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍∴，即.∴∴或二、填空题13. 14. 15. 16.①②③16.【解析】①“k=1”可以推出“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”,但是函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π,即y=cos2kx,T==π,k=±1.②“a=3”不能推出“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=;③设M点为，满足，点M到渐近线的距离分别为与，乘积得答案:①②③三、解答题17.试题解析：设，，因为是的充分不必要条件，从而有并 .故，解得 .............10分18解：（1）命题为真命题时，，解得或，则的取值范围是……………………6分（2）命题为真命题，则和均为真命题，易知为真命题时，的取值范围是，则，解得，所以的取值范围是. ……………………12分19解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上，其中c=2，a=3，从而b=1其标准方程为……………………6分联立方程组，消去y得设A，B，则中点，=，所以所以线段AB中点坐标为……………………12分20解：（1）设抛物线方程为抛物线过点，得p=2则……………………6分（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x=-1 与抛物线交于、，弦长为4，不合题意 ②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，直线为消y 得弦长=解得得所以直线l 方程为或……………………12分21.解：(1)3x2－y 2＝1.……………………6分(2)－y2＝1，x2消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知，1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0⇒m 2＋1＞3k 2.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝2x1＋x2＝1－3k23km ，y 0＝kx 0＋m ＝1－3k2m，因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝－03km ＝3km m ＋1－3k2＝－k 1，整理得3k 2＝4m ＋1.②联立①②得m 2－4m ＞0，所以m ＜0或m ＞4，又3k 2＝4m ＋1＞0，所以m ＞－41，因此－41＜m ＜0或m ＞4.故m 的取值范围为∪(4，＋∞)．……………………12分22.(1)因为c=,离心率e=,所以a=3,b=2,椭圆C 的标准方程为+=1.……………………6分(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,切线与椭圆只有一个公共点,则Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,进一步化简(-9)k2-2x0y0k+-4=0因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,则+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13, 所以点P的轨迹方程为+=13.……………………12分方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1.两条切线方程分别为+=1和+=1,因为两条切线都过点P(x0,y0),所以+=1且+=1,因为两条切线相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13, 所以点P的轨迹方程为+=13.。
四川省内江市威远中学校高二数学文下学期期末试卷含解析
四川省内江市威远中学校高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数满足，则复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D由题得,所以复数z对应的点为（2，-1），所以复数z对应的点在第四象限.故选D.2. 若双曲线的实轴的长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A． B．C． D．参考答案：C3. 直线与圆相切，则实数的值为（）A. B.或 C. 或 D.参考答案：B4. 在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（）A． B． C． D．参考答案：B 解析：垂直于在平面上的射影5. 已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】由命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，知￢p是假命题，￢q是真命题，由此能求出结果．【解答】解：∵命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，∴￢p是假命题，￢q是真命题，∴（￢p）∨q是假命题，p∧q是假命题，（￢p）∧（￢q）是假命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，故选D．6. 如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=9.5时，x3等于（）A．10 B．9 C．8 D．7参考答案：A【考点】E6：选择结构．【分析】根据已知中x1=6，x2=9，p=9.5，根据已知中的框图，分类讨论条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|满足和不满足时x3的值，最后综合讨论结果，即可得答案．【解答】解：当x1=6，x2=9时，|x1﹣x2|=3不满足|x1﹣x2|≤2，故此时输入x3的值，并判断|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，若满足条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，此时p===9.5，解得，x3=13，这与|x3﹣x1|=7，|x3﹣x2|=4，7＞4与条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|矛盾，故舍去，若不满足条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，此时p=，解得，x3=10，此时|x3﹣x1|=4，|x3﹣x2|=1，|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|不成立，符合题意，故选A．7. 的展开式中各项的二项式系数之和为（）A. －1B. 1C. －512D. 512参考答案：D【分析】展开式中所有项的二项式系数和为,令即可。
四川省内江市威远2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
威远2026届高二上期半期考试数学（答案在最后）出题人：第二小组做题人：第二小组本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一个水平放置的ABC V 用斜二测画法得到的直观图如图所示，且2O A O B ''''==，则其平面图形的面积是（）A.4B.C.D.8【答案】A 【解析】【分析】根据直观图画出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出平面图形的面积.【详解】由直观图可得如下平面图形：其中2OB O B ''==，24OA O A ''==，所以12442AOB S =⨯⨯=△.故选：A2.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，//l m ，则m α⊥C.若//l α，m α⊂，则//l mD.若//l α，//m α，则//l m【答案】B 【解析】【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确；//l α，m α⊂，则//l m ，l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.3.下列命题中正确的是（）A.点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B.若直线l 的方向向量为()1,1,2e =- ，平面α的法向量为()6,4,1m =-，则l α⊥C.已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+，则12m =-D.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30o 【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量对称性知识来判断A ，利用直线方向向量与法向量垂直，结合线与面的位置关系来判断B ，利用空间四点共面的性质来判断C ，利用直线方向向量与法向量夹角来判断D.【详解】对于A ，点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1-，A 选项错误；对于B ，若直线l 的方向向量为()1,1,2e =- ，平面α的法向量为()6,4,1m =-，因为()()1614210e m ⋅=⨯+-⨯+⨯-=，所以e m ⊥ ，则//l α或l α⊂，B 选项错误；对于C ，已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+，则1112m -+=，解得12m =，C 选项错误；对于D ，若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为()9018012030--= ，D 选项正确；故选：D.4.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11,2,3,90AB BC BB ABC ===∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点．当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为（）A.1B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】如图，将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，连结1AC 交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，则1BD =，利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可求解.【详解】将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如下图，连接1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，∵11,2,3,90AB BC BB ABC ︒===∠=，则AB BC ⊥，而1BB BC ⊥，由1AB BB B ⋂=且都在面11ABB A ，则BC ⊥面11ABB A ，又//BC 11B C ，则11B C ⊥面11ABB A ，即11B C ⊥面ABD ，点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时1AB BD AC CC =，即133BD=，得1BD =，又ABD 为直角三角形，此时三棱锥1D ABC -的体积为：11111111113323D ABC C ABD ABD V V S B C AB BD B C --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：C5.黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：π的值取35≈）A.2300.88cmB.2311.31cm C.2322.24cm D.2332.52cm 【答案】B 【解析】【分析】首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解.【详解】设该圆台的母线长为l ，两底面圆半径分别为R ，r （其中R r >），则222.5R =，214.4r =， 3.80.83h =-=，所以5l ===≈，故圆台部分的侧面积为()()21 π311.2276.7557.25cm S R r l =+≈⨯+⨯=，圆柱部分的侧面积为222π0.867.20.834.56cm S r =⋅=⨯⨯=，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为212276.7534.56 311.31cm S S +≈+=.故选：B.6.设直线l 的方程为cos 30x y θ+-=（θ∈R ），则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A.π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.2πππ,,24π⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围.【详解】设直线的斜率为k ，则[]cos 1,1k θ=-∈-，故1tan 1k α-≤=≤，而[)0,πα∈，故π3π0,,π44α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选：C.7.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥S ABCD -为阳马，且AB AD =，SD ⊥底面ABCD ．若E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与AD 所成的角为α，SE 与底面ABCD 所成的角为β，二面角S AE D --的平面角为γ，则（）A.βγα<<B.βαγ<<C.αγβ<<D.αβγ<<【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件作出SE 与AD 、与底面ABCD 所成的角，确定二面角S AE D --的平面角，再推理计算作答.【详解】四棱锥S ABCD -中，E 是线段AB 上的点(不含端点)，过E 作//EF AD 交CD 于F ，连接DE ，SF ，如图，则SEF ∠是SE 与AD 所成的角，即SEF α=∠，因SD ⊥底面ABCD ，则SED ∠是SE 与底面ABCD 所成的角，即SED β=∠，而AB ⊂底面ABCD ，则SD AB ⊥，又ABCD 是长方形，即AD AB ⊥，而SD AD D = ，,SD AD ⊂平面SAD ，则AB ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，即有SA AB ⊥，于是得SAD ∠是二面角S AE D --的平面角，SAD γ=∠，Rt SAD 中，tan tan SD SAD AD γ=∠=，Rt SED 中，tan tan SDSED EDβ=∠=，由SD ⊥底面ABCD ，EF ⊂底面ABCD 可得SD EF ⊥，而AD CD ⊥，则有EF CD ⊥，因SD CD D = ，,SD CD ⊂平面SCD ，则⊥EF 平面SCD ，又SF ⊂平面SCD ，有EF SF ⊥，tan tan SF SFSEF EF AD α=∠==，因,AD ED SD SF <<，即有SD SD SF ED AD AD<<，因此，tan tan tan βγα<<，而正切函数在(0,)2π上递增，所以βγα<<.故选：A8.如图，在三棱锥A BCD -中，,,AB AC AD 两两垂直，且3AB AC AD ===，以A 6为半径作球，则球面与底面BCD 的交线长度的和为（）A. B.C.3π2D.4【答案】C 【解析】【分析】由等体积公式求出截面圆的半径为r ==画出截面图形，再利用H 为BCD △的中心，求出1322HN =⨯=，再利用弦长公式求出EF ==出交线长度.【详解】由题意知三棱锥A BCD -为正三棱锥，故顶点A 在底面BCD 的射影为BCD △的中心H ，连接AH ，由D ABC A BCD V V --=三棱锥三棱锥，得111133332322AH ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，所以AH =，，所以截面圆的半径r ==，所以球面与底面BCD 的交线是以H 为半径的圆在BCD △内部部分，如图所示易求1322HN =⨯=，所以EF ==易得π2EHF ∠=，所以π2MHQ GHP ∠=∠=，所以交线长度和为π2π322-⨯=.故选：C.【点睛】本题为空间几何体交线问题，找到球面与三棱锥的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键.具体做法为由等体积公式求出截面圆的半径，画出截面图形，再利用H 为BCD △的中心，求出HN ，再利用弦长公式求出EF ，最后求出交线长度.二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，不分选对得部分分，共18分）9.直线12:,:(0)l y ax b l y bx a ab =+=-+≠的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】BC 【解析】【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定1l ，判断另外一条2l 是否与之相符.【详解】对于A ，由1l 可知，0,0a b ><，此时与2l 图象不符，故A 错误；对于B ，由1l 可知，0,0a b >>，此时2l 图象可能，故B 正确；对于C ，由1l 可知，0,0a b <>，此时2l 图象可能，故C 正确；对于D ，由1l 可知，0,0a b >>，此时与2l 图象不符，故D 错误.故选：BC.10.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面,2,,ABCD PA PE ED BF FC ===，则（）A.1122BE AP AB AD=-+ B.6BE =C.//EF 平面PABD.异面直线BE 与PA 夹角的余弦值为66【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据向量的线性运算判断A ，由向量模的坐标表示判断B ，根据数量积为0证明垂直判断C ，由异面直线所成角的向量求法判断D.【详解】因为PA ⊥平面,,ABCD AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两互相垂直，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，而2AB AD AP ===，从而 t t ，()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0B C D ，()()()0,0,2,0,1,1,1,1,0P E F ，对于A ，11112222BE BA AE AB AD AP AP AB AD =+=-++=-+，故A 正确；对于B ，()2,1,1,BE BE =-==B 错误；对于C ，()1,0,1EF =- ，平面PAB 的一个法向量为()0,1,0,0n EF n =⋅=，故C 正确；对于D ，()()2,1,1,0,0,2BE AP =-= ，所以异面直线BE 与PA夹角的余弦值为6BE AP BE AP⋅== ，故D 正确．故选：ACD ．11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥P ABCD -，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是12，公共面ABCD 是一个边长为1的正方形，则（）A.该几何体的体积23B.直线PD 与平面ABCD 所成角的正切值为22C.异面直线AP 与CC 1的夹角正弦值为3D.存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上【答案】ABCD 【解析】【分析】对于A ，根据长方体和棱锥的体积公式求解即可；对于B ，连接,AC BD 交于O ，连接PO ，则可得PDO ∠为直线PD 与平面ABCD 所成角，然后求解即可；对于C ，由于11//CC AA ,则可得1A AP ∠的补角为异面直线AP 与1CC 的夹角，然后在1A AP 中求解即可；对于D ，先求出长方体的外接球半径，然后判断点P 是否在该球上即可.【详解】对于A ，该几何体的体积为111211112323⨯⨯+⨯⨯⨯=，故A 正确；对于B ，连接,AC BD 交于O ，连接PO ，由题意可知四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以⊥PO 平面ABCD ，所以PDO ∠为直线PD 与平面ABCD 所成角，因为正方形的边长为1，所以1222DO BD ==，所以122tan 222PO PDO DO ∠===，故B 正确；对于C ，设11111A C B D O ⋂=，因为11//CC AA ，所以1A AP ∠或其补角为异面直线AP 与1CC 的夹角,且136,22PA PA ====，所以2221111cos 23A A PA PA A AP A A PA +-∠==-⋅，所以异面直线AP 与1CC 的夹角余弦值为33,正弦值为3，故C 正确；对于D ，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心为M ，半径为R ，则M 为1OO 的中点，且2219(2)11(24R =++=，得34R =，因为113244PM PO OM R =+=+==，所以点P 长方体1111ABCD A B C D -的外接球上，所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，故D 正确.故选：ABCD.第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卡相应位置上.12.若直线1l ：220ax y -+=与直线2l ：()2410x a y +++=平行，则实数a =_____________.【答案】2-【解析】【分析】根据平行关系得到方程，求出答案.【详解】由题意得()()4220a a +-⨯-=，解得2a =-，检验符合.故答案为：2-13.已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC V 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________．【答案】2【解析】【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为正三棱柱SMN ABC -，设ABC V 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则2sin 32AB r ACB ===∠，可得r =设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接1,OA OO ，则112,2OA OO SA ==，因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得2SA =.故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．14.如图，边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使23AD BC ⋅= ，则三棱锥D ABC -的体积为______.【答案】2109【解析】【分析】根据题意，得到AC OB ⊥，AC OD ⊥，证得AC ⊥平面OBD ，设,,OA a OB b OD c === ，且,b c θ= ，由23AD BC ⋅= ，求得2cos 3θ=，得到5sin 3θ=，求得53OBD S = ，结合13OBD V S AC =⋅ ，即可求解.【详解】取AC 中点O ，连接,OB OD ，可则AC OB ⊥,AC OD ⊥，因为OB OD O = 且,OB OD ⊂平面OBD ，所以AC ⊥平面OBD ，设,,OA a OB b OD c === ，且,b c θ=，因为正方形ABCD 的边长为2，可得2a b c === ,a b a c ⊥⊥ ，又由,AD OD OA c a BC OC OB a b =-=-=-=-- ，因为23AD BC ⋅= ，可得2()()22cos 3AD BC c a a b θ⋅=-⋅--=-= ，解得2cos 3θ=，所以5sin 3θ=，所以1155sin 222233OBD S OB OD θ=⋅== ，所以三棱锥的体积为11521023339OBD V S AC =⋅=⨯⨯= .故答案为：2109四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知()1,1A ，()2,3B ，()4,0C ．求：（1）BC 边上的中线所在的直线方程；（2）AB 边垂直平分线方程；【答案】（1）430x y -+=（2）24110x y +-=【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式求出中点，然后利用两点坐标写出直线方程即可；（2）利用垂直平分线经过 t 的中点，且和 t 垂直求解即可.【小问1详解】由于()2,3B ，()4,0C ，则BC 中点坐标为33,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AE 的斜率3112134-==-AE k ，所以BC 边上的中线所在的直线方程为31(3)24-=-y x ，整理得430x y -+=；【小问2详解】由于(1,1)A ，()2,3B ，所以直线AB 的斜率31221AB k -==-， t 中点坐标为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，AB 边垂直平分线的斜率12k =-且过3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故AB 边垂直平分线方程为132,22y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭整理得24110x y +-=．16.如图，PA ⊥平面ABC ，AB 为圆O 的直径，E ，F 分别为棱PC ，PB 的中点．（1）证明：EF //平面ABC ．（2）证明：平面EFA ⊥平面PAC ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用中位线定理得到EF //BC ，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）由AB 为圆O 的直径，得到BC ⊥AC ，再利用线面垂直得到BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ，结合（1）中EF //BC ，所以EF ⊥平面PAC ，得到面面垂直.【小问1详解】因为E ，F 分别为棱PC ，PB 的中点，所以EF //BC ，因为EF ⊄平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以EF //平面ABC ；【小问2详解】因为AB 为圆O 的直径，所以BC ⊥AC ．因为PA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥PA ，又PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，由（1）知EF //BC ，所以EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面EFA ，所以平面EFA ⊥平面PAC ．17.已知一条动直线()()311620m x m y m ++---=，（1）求直线恒过的定点P 的坐标；（2）若直线与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AOB V 的面积为6，求直线的方程.【答案】（1）4,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）34120x y +-=【解析】【分析】（1）重新整理直线方程，由此列方程组来求得定点坐标.（2）利用截距式设出直线方程，根据三角形AOB 的面积以及P 点坐标求得直线的方程，再经过验证来确定正确答案.【小问1详解】由题意()()311620m x m y m ++---=，整理得()()36320x y m x y +-+--=，所以不管m 取何值时，直线恒过定点P 的坐标满足方程组360320x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即4,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】设直线方程为()1,0,0x y a b a b+=>>，则12ab =①，由直线恒过定点4,23P ⎛⎫⎪⎝⎭，得4213a b +=②，由①②整理得：2680a a -+=，解得4,3a b ==或2,6a b ==，所以直线方程为：143x y +=或126x y +=，即34120x y +-=或360x y +-=，又直线()()311620m x m y m ++---=的斜率()3163311m k m m +=-=--≠---，所以360x y +-=不合题意，则直线方程为34120x y +-=.18.如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC V 是正三角形，1A A ⊥平面ABC ，111224AB A A A C ===，M ，N 分别为棱1,AB B B的中点.（1）证明：1B B ⊥平面MCN ；（2）求直线1C C 与平面MCN 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出CM ⊥平面11,A ABB 再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可.【小问1详解】因为ABC V 是正三角形，M 为AB 中点，所以CM ⊥AB ，因为1A A ⊥平面,ABC CM ⊂平面ABC ，所以1CM A A ⊥，又11,,A A AB A A A AB =⊂ 平面11,A ABB 所以CM ⊥平面11,A ABB 又因为1B B ⊂平面11A ABB ，所以1CM B B ⊥，连接1AB ，易得11AB B B ==，所以22211AB AB B B =+，所以11AB B B ⊥，又因为1//AB MN ，所以1MN BB ⊥，因为MN CM M = ，,MN CM ⊂平面MCN ，所以1B B ⊥平面MCN .【小问2详解】取AC 中点O ，连接1,BO C O ，易知1,,OB OC OC 三条直线两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OB OC OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则113,1,2),3,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B B C C -，由（1）知平面MCN 的一个法向量为13,1,2)B B =- ，又1(0,2,2)C C =- ，所以1111113cos ,42222B B C C B B C C B B C C ⋅===⋅⋅ ，因为直线1A B 与平面FMN 所成的角为直线1B B 与1C C 所成角的余角，所以直线1A B 与平面FMN 所成的角的正弦值为34．19.已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量,a b 的夹角，记作,a b ．定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯ 是一个向量，它与向量,a b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅⋅ ．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4,DP DA E ==为线段AD 上一点，85AD BP ⨯=．（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的正弦值；（3）若M 为线段PB 上一点，且满足AD BP EM λ⨯= ，求λ．【答案】（1）2（2）223（3）10【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB m =，利用向量的坐标运算将条件等式AD BP ⨯= 转化为关于m 的方程求解可得；（2）利用法向量方法求二面角；（3）设PM PB μ= ，(01)AE AD γγ=≤≤ ，利用向量的坐标运算将条件AD BP EM λ⨯= 转化为垂直关系，结合模长AD BP ⨯= 等量关系，建立,,λμγ的方程组求解可得.【小问1详解】由题意，以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设AB m =(0)m >，由已知4DP DA ==，则(0,0,0),(4,0,0),(4,,0),(0,0,4)D A B m P ,则(4,0,0),(4,,4)AD BP m =-=-- ，则4,AD BP ==且cos ,AD BP AD BP AD BP ⋅=== .由题意知sin ,AD BP AD BP AD BP ⨯=⋅⋅= ,所以有2221cos ,320AD BP AD BP ⎡⎤⋅-=⎣⎦，则221616(32)132032m m ⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭，解得2m =（2m =-舍去），故AB 的长为2.【小问2详解】由（1）知，(0,0,0),(4,0,0),(4,2,0),(0,0,4)D A B P ,又E 为AD 的中点，则(2,0,0)E ，(2,0,4),(2,2,0)EP EB =-= ，平面EBA 的一个法向量为(0,0,1)m = ，设平面PEB 的法向量为(,,)n x y z = ，则240220n EP x z n EB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1z =，则2,2-==y x .故平面EPB 的一个法向量为(2,2,1)n =- ，设二面角P EB A --的平面角为θ，且()0,πθ∈，则1cos cos ,3m n m n m n θ⋅==== ，故22sin 3θ==.故二面角P EB A --的正弦值为3.【小问3详解】由（1）可得(4,0,4)AP =- ，(4,2,4)PB =- 由题意，设(01)PM PB μμ=≤≤ ，(01)AE AD γγ=≤≤，则()(4,0,4)(4,0,0)44,0,4EP AP AE AP AD γγγ=-=-=---=- 则(44,0,4)(4,2,4)(444,2,44)EM EP PM EP PB μγμγμμμ=+=+=-+-=-+- ，由AD BP EM λ⨯= 可知，,EM DA EM PB ⊥⊥，且AD BP EM λ⨯== ，由(4,0,0)DA = ，则4(444)0EM DA γμ⋅=-+= ，解得1γμ+=；则()0,2,44EM μμ=- ，则416(1)0EM PB μμ⋅=--= 解得45μ=，840,,55EM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则264161625255EM =+= ，又222163205EM λλ== ，解得10λ=.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理解新定义“向量积”，首先它是一个向量，解题中也要从方向与长度两个方面分析，如第三问中AD BP EM λ⨯= 的转化：一是该向量的垂直关系可得0EM DA ⋅= 与0EM PB ⋅= 两个等式；二是向量的模长AD BP EM λ⨯== .由此通过建立空间直角坐标系向量坐标化转化为方程组的求解即可.。
2018-2019学年四川省威远中学高二下学期期中考试数学(文)试题 解析版
2018-2019学年四川省威远中学高二下学期期中考试数学（文）试题解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ）A.或为假B.假C.真D. 不能判断的真假【答案】B”为假，所以“”为真，又“B．考点：1、复合命题的真假；2、命题的否定．2. ）A.C.【答案】C【解析】试题分析：命题的否定，除结论要否定外，存在量词必须作相应变化，例如“任意”与“存在”相互转换．考点：命题的否定．3. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则该抛物线的方程为( )C.【答案】B【解析】4. 已知双曲线方程为( )C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线方程确定几何量，即可得到双曲线的渐近线方程．详解：由题可得：故选A.点睛：本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5. 已知椭圆）A. B. C. D.【答案】D【解析】将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，显然m－2>10－m，即m>6，且()2－()2＝22，解得m＝8.答案：D）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要件【答案】A【解析】分析：根据等轴双曲线的定义可知a=b，由此可做判断.详解：因为等轴栓曲线由a=b a=b,故为充要条件，所以选A.点睛：考查等轴双曲线的定义，a=b是解题关键，属于基础题.7. 若抛物线p的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 4【答案】D的焦点为8. 已知椭圆C，与C的公共点个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无法判断【答案】C【解析】分析：先分析直线所过的定点，然后代入椭圆看此点是否在椭圆内部即可.点睛：考查直线和椭圆的位置关系，正确求出直线的定点并检验是否在椭圆内部是解题关键，属于基础题.9. 已知两点-1，0）1，0）P的轨迹方程是( ）C.【答案】C【解析】由题意知c=1，则=4，所以b2=3；所以选C10. 已知点P上，点F为椭圆的右焦点，的最大值与最小值的比为2, 则这个椭圆的离心率为（）【答案】B的最小值是 B.11. 为抛物线上一个动点，0，4），那么点到点的距离与点线的准线距离之和的最小值是（）【答案】A【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件以及三角不等式，转化求解即可．详解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），设点P到抛物线的准线的距离为d，根据抛物线的定义有d=|PF|，∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥|QF| A.点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的定义的理解为解题关键，考查计算能力．属于中档题.12. 右焦点，的外接圆半径是其内切圆半径的）A. B. C. 2或3 D.或【答案】D，的外接圆半径是其内切圆半径的倍故选D...................二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. __________．.点睛：考查二次函数的图像，属于基础题.14. 已知椭圆，P是________.可得15. 已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=________.【解析】分析：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出，由此即可得到|FM|：|MN|的值．详解：：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=-1，直线AF的斜率为M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=-k=点睛：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16. 下列三个命题中①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;M到两条渐近线距离的积为定值”的逆否命题其中是真命题的为________【答案】③【解析】分析：对题设逐一分析即可. ①先将原式化简，②根据垂直条件即可详解：①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;由二倍角公式可得：原式所以要最小正周期为π，故为充要条件错误，②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;当a=3时，故两直线平行不垂直，所以错误，上任意点M到两条渐近线距离的积为定值”的逆否命题；判断原命题即可，设双曲线上任一点M值，原命题正确，故逆否命题正确，所以③为真命题，故答案为③点睛：考查三角函数的化简和周期计算，直线的平行垂直判定，双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，对命题逐一的认真分析和举反例是解题关键，属于中档题.三．解答题本大题共6个小题，共70分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 若p 是q 的充分不必要条件，求的取值范围.【解析】分析：分别化简：p：x2-4x-5≤0，解得-1≤x≤5．q：|x-3|＜a（a＞0），可得3-a＜x＜3+a．若p是q.详解：设，，因为是的充分不必要条件，从而有并 .故，解得点睛：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的有关知识，属于基础题．18. 已知命题p q. （1）若命题为真命题，求实数k的取值范围；（2）若命题Λ为真命题，求实数k的取值范围.【答案】（12【解析】试题分析：（1）根据抛物线方程可知，；（2试题解析：（1）命题为真命题时，（2，解得所以的取值范围是19. 已知椭圆C0）0），且长轴长为6C 于A、B两点，求线段AB的中点坐标【解析】分析：先由已知求出椭圆的标准方程，再由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．详解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上，其中c=2，a=3，从而b=1其标准方程为联立方程组，消去y得设A，B，则中点，=，所以所以线段AB中点坐标为点睛：本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映．20. 已知抛物线的顶点在原点，过点x轴（1）求抛物线方程（2）直线过定点B(-1,0)，与该抛物线相交所得弦长为8，求直线的方程【答案】（12【解析】分析：（1）可先设出抛物线的方程：，然后代入点计算即可；（2）已知弦长所以要先分析斜率存在与不存在的情况，）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1验证即可，②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为联立方程根据弦长公式求解即可.详解：（1）设抛物线方程为抛物线过点，得p=2则（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l：x=-1与抛物线交于、，弦长为4，不合题意②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为消y得弦长=解得得所以直线l方程为或点睛：考查抛物线的定义和标准方程，以及直线与抛物线的弦长公式的应用，注意讨论是解题容易漏的地方，属于基础题.21. A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点(1)求双曲线C的方程；(2)直线y＝kx＋m(k≠0, m≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m的取值范围．【答案】（12【解析】分析：（1）利用椭圆的离心率e A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点，建立方程，求得几何量，即可求得双曲线方程；（2）直线方程与双曲线方程联立，利用C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，可设CD的中点为P，则AP⊥CD，结合直线垂直，即可求得m的取值范围．详解：(1)－y2＝1.(2)消去y得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0⇒m2＋1＞3k2.①设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，因为AP⊥CD，所以k AP＝＝＝－，整理得3k2＝4m＋1.②联立①②得m2－4m＞0，所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.故m的取值范围为∪(4，＋∞)．点睛：本题考查了利用双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力和几何分析能力，能正确找出对应几何等式是解题关键，属于中档题．22. 已知椭圆的一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.【答案】（12【解析】分析：（1）由题可得c=,离心率e=,结合椭圆a，b，c的关系即可求得方程；（2）因为点P到椭圆C的两条切线相互垂直, 若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点，当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),结合直线垂直等式可求出轨迹方程.详解：(1)因为c=,离心率e=,所以a=3,b=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)方法一:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),代入+=1中,整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,切线与椭圆只有一个公共点,则Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,进一步化简(-9)k2-2x0y0k+-4=0因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,也就是=-1,则+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13方法二:若有一条切线斜率不存在,则另一条斜率为0,此时点P有四个点,分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2);当两条切线斜率都存在时,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1且+=1.两条切线方程分别为+=1和+=1,因为两条切线都过点P(x0,y0),所以+=1且+=1,因为两条切线相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1,也就是=-1,整理得+=13.显然,点(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也适合方程+=13,所以点P的轨迹方程为+=13.点睛：考查椭圆的标准方程求法和基本性质，对于第二问则需要注意分析几何关系，找出核心的几何等式，对于轨迹方程，难点就在于等式如何找到，通常结合线线垂直、平行，线段相等等几何关系形成等式从而化出轨迹方程，属于较难题.。
内江市威远中学高二数学上学期期中试题文
四川省内江市威远中学2020—2021学年高二数学上学期期中试题文本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、直线1y的倾斜角是（）3+=xA。
30 B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒2.以下空间几何体是旋转体的是（)A．圆锥B．棱台C．正方体D．三棱锥3．如果A·B〉0，B·C>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）A.16216π+B ．1628π+C ．8216π+D ．828π+5.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）A.若//m α，//n α，则//m n B 。
若//m α，//m β，则//αβ C 。
若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ D 。
若m α⊥，n α⊥，则//m n6.、一水平放置的平面图形,用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7.若直线220++=ax y 与直线840x ay ++=平行，则a 的值为（ ） A 。
4B 。
4-C 。
4-或4 D.2-8、如图,四棱锥P ABCD -中,M ，N 分别为AC ,PC 上的点，且//MN 平面PAD ,则()A ．//MN PDB ．//MN PAC ．//MN AD D ．以上均有可能9。
设直线()31y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点( )A ．(0，0）B ．（0，1）C ．（3,1）D ．(2，1）10.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH 为截面，长方形ABCD 为底面,则四边形EFGH 的形状为（ ） A ．梯形 B ．平行四边形 C ．可能是梯形也可能是平行四边形 D ．矩形11.一个正方体的平面展开图如图所示。
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威远县竟力中学高2015级（下）期中考试卷一、选择题：（每题只有一个答案符合题意，每小题5分，共50分） 1．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值2．椭圆221259x y +=上的点M 到焦点1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，则ON 为 （ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．233. 函数()1sin f x x x =+- ,()0,2x π∈，则函数（ ）A ．在()0,2π内是增函数B ．在()0,2π内是减函数C ．在()0,π内是增函数，在(),2ππ内是减函数D ．在()0,π内是减函数，在(),2ππ内是增函数4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>212y x=的准线上，则此双曲线的方程为( )A.22156x y -= B. 22175x y -= C.22136x y -= D. 22143x y -= 5. 如图1所示为'()y f x =的图像，则下列判断正确的是( )①()f x 在(),1-∞上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在()2,4上是减函数，在()1,2-上是增函数； ④2x =是()f x 的极小值点 （图1） A 、①②③ B 、①③④ C 、③④ D 、②③6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点()4,2平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．01232=-+y xD ．082=-+y x7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--8．设函数()f x 的图象如图2，则函数'()y f x =的图象可能是下图中的( )图 29． 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数的取值范围是（ ） A ． ),3[]3,(+∞--∞ B ． ]3,3[- C ． ),3()3,(+∞--∞ D ． )3,3(-10．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为( ) A ．21B ．1C ．31 D ．2二、填空题：（每小题5分，共25分）11．曲线9y x =在点()3,3M 处的切线方程是_____ ． 12．椭圆192522=+y x 的焦点1F 2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则21PF F ∆ 的面积为_____ ． 13．函数()ln f x x x =的单调递减区间是_____ ．14．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为____、____．15．对于曲线C ∶1422-+-k y kx=1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4;④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜25其中所有正确命题的序号为_____ ． 三、解答题：（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分） 16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 边长为多少时，盒子容积最大？17．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为2，求椭圆的标准方程．18．已知函数32()f x x ax bx c =+++，曲线()y f x =在点1x =处的切线为:310l x y -+=，若23x =时，()y f x =有极值． (1)求()y f x =的解析式；(2)求()y f x =在[]3,1-上的最大值和最小值．19．如图某抛物线形拱桥跨度是20m ，拱桥高度是4m ，在建桥时，每4m 需用一根支柱支撑，求其中最长支柱AB 的长．20.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.21.已知椭圆C 经过点3(1,)2A ,两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -.(1)求椭圆C 的方程；(2) P 、Q 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AP 的斜率与AQ 的斜率互为相反数,求证直线PQ 的斜率为定值,并求出这个定值.威远县竟力中学高2015级（下）期中考试卷（答案）一．选择题1.C2.A3.A4.C5.D6.D7.C8.D9.B 10.D 二．填空题11.06=+-y x 12. 9 13.)1,0(e14. 32、16 15.③④ 三．解答题16.解：设小正方形的边长为x ，则x x x V )25)(28(--=化简得)250(4026423<<+-=x x x x V 因为4052122'+-=x x V 令舍）或(31010'==⇒=x x V所以当1=x 时)(x V 取极大值18)1(=V因为)(x V 在)25,0(内只有一个极大值点，所以18)1()(max ==V x V 即当小正方形的边长为1cm 时盒子的容积最大为183cm17.解：①焦点在x 轴上；由题意可知3223,4=⇒==c a c a 41216222=-=-=c a b ，所以椭圆的标准方程为141622=+y x②焦点在y 轴上；由题意可知4823,42222=⇒+===c c b a a c b 且 642=a ，所以椭圆的标准方程为1166422=+x y18.（1）解：由题意可知切点坐标为)3,1(3)1('=f 323=++b a 2=a所以3)1(=f ⇒31=+++c b a ⇒4-=b0)32('=f 03434=++b a 4=c所以442)(23+-+=x x x x f（2）解：由（1）知0)('443)('2=-+=x f x x x f 令得22-==x x 或所以)(x f 在2-=x 处取得极大值12)2(=-f在32=x 处取得极小值2768)32(=f又因为74121827)3(=+++-=-f ，34421)1(=+-+=f综上所述12)(max =x f ，2768)(min =x f .19.以拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系.设抛物线的标准方程为)0(22>-=p py x 由题意可知)4,10(-P 代入得)4(2100-⨯-=p 225=⇒p 抛物线方程为y x 252-=设点B 的坐标为),2(B y 可得254-=By 点A 的坐标为)4,2(- 所以25964254)4(=+-=--=B y AB20.（1）由题意可知0)32('0)1('=-=f f 得2,21-=-=b a 所以c x x x x f +--=221)(23，故可知23)('2--=x x x f令0)('>x f 得321-<>x x 或所以)(x f 的单调增区间为)32,(),1(--∞+∞和单调减区间为)1,32(-（2）解：]2,1[-∈x ，2)(c x f <恒成立，即c c x x x -<--223221恒成立即cc-2大于xxx22123--的最大值令xxxxg221)(23--=由（1）中单调性可知)(xg在]2,1[-上的最大值为2.所以1222-<>⇒>--cccc或21.解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为解得，（舍去）所以椭圆方程为。
（2）设直线AE 方程为：代入得设，因为点在椭圆上，所以，又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得所以直线EF 的斜率即直线EF 的斜率为定值，其值为。