大物上-第6章刚体动力学 (2)
大学物理-刚体运动学
F
结论： • 力矩取决于力的大小、方
h
A
F
• 在刚体的定轴转动中，力矩只
有两个指向（r →F右手螺旋）
讨论
(1) 力对点的力矩
MO r F
Mo
O .
z
F
力对轴的力矩
M Z r F
r
(2)力对任意点的力矩，在
Mo
通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
dv d(ω r ) a dt dt dω dr r ω dt dt
O
刚体
r' P θ
r
×基点O
β r ω v
参 考 方 向
瞬时轴
定轴
aτ r
an v
第6章 刚体动力学
2
例 试求质量为m，长为l 的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。 (1) 转轴垂直于杆并通过杆的中点； J r 2 dm (2) 转轴垂直于杆并通过杆的一端。 解 (1) 取如图所示的坐标 在细杆上x 处取线元dx 线元的质量为
O
O
x
x dx
x'
细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为
m dm dx dx l
F//
F
(O' O r ) ( F// F )
rm
A r'
M O 'z ? M O' k
F
[(O' O r ) ( F// F )] k
[r F ] k
MZ
O O'
计算转动惯量的基本公式
大学物理-刚体运动动力学2
在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得
重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析（机械能）：EP1 0 Ek 1 0
2 2
例3 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且(d + r) < R 求 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 解 使用补偿法 设小圆盘的质量为m/ R m O′ r
则填满后的总质量为m+m/
m m/ π R2 R2 2 2 / m πr r
dh v，v a d dt dt
mgr 2 a 2 常量 mr J Z mgr 2 2 h 1 at 2 1 2 t 2 2 mr J Z
若滑轮质量不可忽略，怎样？
gt 2 J Z mr 2 ( 1) 2h
例2 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置
2 Jz Jx Jy
Jx Jy
1 J x J y mR 2 4
C
x
例1 求空心圆柱绕中心轴的转动惯量 z 解 为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值 m
R2 R1 l
圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为
dm 2 dJ R dm dV π R 2 dl 2 m 实心圆柱绕中心轴的转动惯量为 2 2 (π R2 π R1 )l
A Md (
积分形式 ） 若 M = C
大学物理 刚体运动学
Fi sin i f i sin θ i Δ m i a i Δ m i ri
将第 2 式两边乘以 ri
Fi ri sin i f i ri sin θ i Δ m i ri
2
对刚体中所有 质点求和：
Fi ri sin i f i ri sin θ i (Δ m i ri )
m
πR
2
2πr d r
m，R
mR
17
例：如图所示,滑轮质量m,半径R ( I mR ). (注意:在中学里 2 一般滑轮质量略去不计）求：物体的加速度和绳的张力。
2
1
T1 T1
T 2 T 2
( m 2 )： m 2 g T 2 m 2 a (1 )
9
(2) 外力不在垂直于转轴的平面内
P63 结论：z轴转动平面内的分量 的运算就是对z轴的力矩。
转轴
F1
F
F2
z
r轴
F
F 轴
0
r
P
转动平面
o
r
o
r F M zk
将F分解成 F1和F2。 F1与转轴平行， F 2 在转动平面内。 F1对转动无贡献，仅考虑 F2， M r F2 （有效力矩）。 F1 M 、 , 对转动无贡献。
d dt
I
d dt
2
质量是平动中惯性大小的量度。
转动惯量是转动中惯性大小的量度。
14
注意：转动惯量与质量有关，与运动速度无关。 质量一定时,与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。 转动惯量计算：
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
《刚体动力学 》课件
常用方法：拉格朗日方程、 哈密顿原理等
注意事项：需要熟练掌握 数学基础
数值法
定义：数值法 是一种通过数 值计算求解刚 体动力学问题
的方法
特点：精度高、 计算速度快、 适用于复杂问
题
常用算法：有 限元法、有限 差分法、有限
体积法等
应用领域：航 空航天、机械 制造、土木工
程等领域
近似法
近似法的定义和特点
刚体转动实例
风力发电机：利用风力驱动风车叶片旋转，通过变速器和齿轮装置将动力传递至发电机，最终 转化为电能。
搅拌机：利用电动机驱动搅拌器旋转，对物料进行搅拌、混合和输送等操作。
洗衣机：利用电动机驱动洗衣机的滚筒旋转，通过水和洗涤剂的作用将衣物清洗干净。
旋转木马：利用电动机驱动旋转木马旋转，使人们能够欣赏到各种美丽的景观和音乐。
物理教师
需要了解刚体 动力学知识的
相关人员
Part Three
刚体动力学概述
刚体定义
刚体：在运动过程中，其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体 刚体运动：刚体的运动是相对于其他物体的位置和姿态的变化
刚体动力学：研究刚体运动过程中所受到的力、力矩以及运动状态变化规律的科学
刚体动力学的研究对象：各种工程实际中的刚体，如机械零件、构件、机构等
动能定理
定义：动能定理是描述物体动能变化的定理 表达式：动能定理的表达式为ΔE=W 应用范围：动能定理适用于一切具有动能变化的物理系统 注意事项：在使用动能定理时需要注意初始和终了状态的动能
Part Five
刚体动力学应用实 例
刚体平动实例
刚体平动定义 刚体平动应用实例1 刚体平动应用实例2 刚体平动应用实例3
刚体动力学在各领 域的应用
《刚体动力学》课件
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
添加标题
公式：F=ma
添加标题
添加标题
注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
大学物理_第06章 刚体力学
接触点相同线速度时： 1r1 2r2
联立解得：
1
J1
J1 ( r1 r2
)2
J2
0
2
r1 r2
J1
J1
(
r1 r2
)2
J
2
0
书上177页
解： dm
2 rdr
m2 rdr R2
2mrdr R2
df
2mrdr R2
g
dM
r
2mrdr R2
g et
2mr 2dr R2
g
M
R
dM
0
R 0
2mr 2 dr R2
dm dV
其中、、分别为质量线密度、面密度和体密度。
转动惯量
2）. 转动惯量的计算：
质点、圆环、圆筒绕中心轴转动
z
z
Rm
oR m
R
m
o
质点的转动惯量为
Jo mR2
对于匀质圆环和薄圆筒，因各质元到轴的垂直距
离都相同，则有
Jo mR2
圆盘、圆柱绕中心轴转动
对于质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘取半径为 r宽
需要一个动力学方程 — 角动量定理
角动量定理： M dL
dt
转轴转动角动量表达式：
Mz
dLz dt
转轴分量角动量定理表达式：
n
Lz z mi (xi2 yi2 ) z J i1
转动定律：
Mz
dLz dt
d (J)
dt
J
d
dt
J
z v
r
P
当刚体绕固定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速 度的乘积等于外力对此轴的合力距。 — 定轴转动定律
刚体动力学2
J = ∑ mi ri 2
转动惯量
转动定律
M = Jβ
刚体是特殊质点系，转动定律和质心运 动定律非常相似：
G G M = Jβ
G G F = mac
4
§3.3 转动惯量
一、转动惯量的物理意义 转动惯量特点
J = ∑ mi ri = ∑ J i
2
第 第三 三章 章
转动惯量是转 动惯性的量度
质量是平动 惯性的量度
桌面支持力对轴不产生力矩，摩 擦力矩使圆盘转动停止。 设转动方向为正，转动定律
o
ω0
R
dω −M f = J β = J dt
14
第三 三章 章 设圆盘的体密度 ρ ，厚度 l，在圆盘上 第 半径r处，取宽为dr的细圆环为质元。 质量dm=ρdV=2πrlρdr ，摩擦力df=μN=μgdm G G G 2 d M = 2 πμρ glr dr 力矩 dM f = r × df 大小 f
转 动 定 律
第 第三 三章 章
o x 1 2 M = Fy = J β = ml β 3 y F = F = ma x方向上的质心运动定理 ∑ x cx c
【解】只有F的力矩引起转动，转动定律
线量和角量关系，细杆的质心在l/2处
F y
l acx = ac = β 2
解得
2 y= l 3
17
【例】 如图所示，两物体的质量
J = ∑ mi ri
2
2
J = ∫r dm
质量体分布 dm ρ= dV J = ∫V r 2 ρ d V
6
一些常见刚体的转动惯量 一些常见刚体的转动惯量
第 第三 三章 章
细杆
1 2 J = ml 12
《大学物理期末复习》刚体动力学课件
刚体的自由振动
总结词
刚体的自由振动是指刚体在无外力作用下的振动，其振动频率由刚体的固有属性决定。
详细描述
刚体的自由振动是由其内部的弹性力和惯性力相互平衡而产生的。当刚体受到初始扰动 时，其内部的弹性力会试图将其恢复到平衡位置，而惯性力则试图保持其运动状态不变。 在无外力作用的情况下，这种相互作用会导致刚体进行周期性的振动。刚体的自由振动
自行车行驶的稳定性分析
自行车行驶的稳定性是保证骑行安全的关键因素之一。通过 刚体动力学原理，可以分析自行பைடு நூலகம்在行驶过程中的稳定性和 倾倒趋势。
在自行车倾倒过程中，车轮与地面之间的摩擦力、车身的质 心位置和转动惯量等因素都会影响自行车的稳定性。了解这 些因素之间的关系，有助于优化自行车的设计和骑行技巧， 提高行驶的安全性和稳定性。
ERA
刚体的定义与特性
刚体的定义
01
刚体是指在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持
不变的物体。
刚体的特性
02
刚体具有不可变形的特性，其形状和大小在力的作用下不会发
生改变。
刚体的运动
03
刚体的运动是指刚体在空间中的位置随时间的变化而变化的过
程。
刚体运动的基本形式
01
平动
转动
02
03
振动
刚体在空间中的位置随时间变化， 但刚体的各个点都沿着同一直线、 以相同的速度移动。
THANKS
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《大学物理期末复习》刚
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
体动力学课件
• 刚体动力学概述 • 刚体的转动惯量 • 刚体的转动定律 • 刚体的振动与波动 • 刚体动力学应用实例
刚体的静力学与动力学
刚体的静力学与动力学刚体是物理学中的重要概念之一，它是指一类在力的作用下没有形变的物体。
刚体的运动可以通过静力学和动力学来描述。
本文将对刚体的静力学和动力学进行探讨。
一、刚体的静力学静力学研究的是物体在力的作用下处于静止状态的力学性质和规律。
对于刚体的静力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 力矩力矩是刚体静力学中的重要概念，它描述了力对刚体产生转动的效应。
力矩等于力乘以作用点到旋转轴的距离，可以用以下公式表示：M = F × d其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示作用点到旋转轴的距离。
2. 杠杆原理杠杆原理是刚体静力学中的基本原理之一，它描述了力矩的平衡条件。
根据杠杆原理，如果一个杠杆系统在平衡状态下，力矩的总和为零：ΣM = 0即所有力矩的代数和等于零。
3. 平衡条件在刚体的静力学中，平衡条件是指物体在力的作用下保持平衡的条件。
根据平衡条件，刚体在平衡状态下，必须满足以下两个条件：(1) 力的合力为零，即ΣF = 0；(2) 力矩的总和为零，即ΣM = 0。
二、刚体的动力学动力学研究的是物体在力的作用下的运动学性质和规律。
对于刚体的动力学分析，我们需要了解以下几个基本概念和定律。
1. 动量和角动量动量是刚体动力学中的重要概念，它描述了物体的运动状态。
对于一个刚体，其动量等于质量乘以速度，可以用以下公式表示：p = mv其中，p表示动量，m表示质量，v表示速度。
角动量是刚体动力学中与转动相关的物理量，对于一个刚体，其角动量等于惯性矩乘以角速度，可以用以下公式表示：L = Iω其中，L表示角动量，I表示惯性矩，ω表示角速度。
2. 牛顿第二定律牛顿第二定律是刚体动力学的基本定律之一，它描述了力对物体的加速度产生的影响。
对于一个刚体，其受力等于质量乘以加速度，可以用以下公式表示：F = ma其中，F表示力，m表示质量，a表示加速度。
3. 动力学定律刚体的动力学定律包括动量定理和角动量定理。
《大学物理期末复习》刚体动力学课件
掌握弹性力对刚体运动的影响
详细描述
弹性力是刚体动力学中另一个重要的问题。解决这类问题需要掌握弹性力的计算方法， 包括胡克定律和弹性常数的概念，以及弹性力在不同运动状态下对刚体运动的影响。同 时，还需要考虑弹性力与刚体质量、加速度等因素的关系，以及弹性力对刚体振动和稳
定性的影响。
01
02
03
阻尼振动定义
刚体在受到阻尼作用下的 振动状态。
阻尼振动特点
振动的能量逐渐减小，最 终趋向于静止状态。
阻尼振动方程
通过求解刚体的运动方程 ，可以得到阻尼振动的解 。
05
刚体动力学中的常见问题 与解决方法
刚体在非惯性系中的运动问题
总结词
理解非惯性系中刚体的运动规律
详细描述
刚体在非惯性系中的运动问题主要涉及到相对运动和科里奥利力。解决这类问题需要理解非惯性系中 刚体的运动规律，掌握科里奥利力的计算方法，以及如何应用这些概念来分析具体的物理现象。
在实际应用中，可以通过合理设计结构、选择合适的材料、加强维护保养等方式来提高刚体的平衡与稳 定性。
刚体的平衡与稳定问题也是物理学中的一个重要研究领域，对于深入理解力学原理、发展新的技术手段 等方面具有重要意义。
04
刚体的振动与阻尼
刚体的自由振动
自由振动定义
刚体在没有任何外力作用下的振动状态。
自由振动特点
振动的周期和振幅与初始条件有关，不受外力影响。
自由振动方程
通过求解刚体的运动方程，可以得到自由振动的解。
刚体的受迫振动
1 2
受迫振动定义
刚体在外力作用下的振动状态。
受迫振动特点
振动的周期和振幅与外力有关，与初始条件无关 。
第六章刚体动力学_大学物理
第七章机械振动刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理掌握刚体的概念和刚体的基本运动理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法了解进动现象和基本描述§6.1 刚体和自由度的概念一. 力矩力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因.将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零.讨论:(1)力对点的力矩.(2) 力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法则确定.(3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图)求摩擦力对y 轴的力矩.解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为则该线元的摩擦力对y轴的力矩为积分得摩擦力对y轴的力矩为注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如二. 刚体对定轴的转动定律实验证明: 当力矩M为零时,则刚体保持静止或匀速转动,当存在M时,角加速度β与M成正比,而与转动惯量J 成反比,即.也可写成国际单位中k=1.若设作用在刚体上的外力对z轴的力矩总和为合外力矩,刚体对z 轴的转动惯量为J, 则有上式表明,刚体绕定轴转动时,刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩的代数和.该式称为刚体绕定轴转动微分方程,也称转动定律.讨论:(1) M 正比于β ,力矩越大,刚体的β越大(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同(3) 与牛顿定律比较,转动定律的理论证明:如右图,在刚体上任取一质量元,作用在质量元上的力可以分为两类:表示来自刚体意外一切力的合力(称外力),表示来自刚体内各质点对该质量元作用力的合理(称内力).刚体绕定轴Z 转动过程中,质量元以为半径作圆周运动,按牛顿第二定律,有将此矢量方程两边都投影到质量元的圆轨迹切线方向上,则有再将此式两边乘以,则得对固定轴的力矩对所有质量元求和,则得等式右边第一项为合外力矩;第二项为所有内力对z 轴的力矩总和,由于内力总是成对出现,而且每对内力大小相等、方向相反,且在一条作用线上,因此内力对z 轴的力矩的和恒等于零.又.则有即证.三. 转动惯量刚体对某Z 轴的转动惯量,等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和,即事实上刚体的质量是连续分布的,故上式中的求和可写为定积分,即刚体对轴转动惯量的大小决定于三个因素,即刚体的质量、质量对轴的分布情况和转轴的位置.(1) J 与刚体的总质量有关例 1 两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量解：在如图的棒上取一线元dx,则积分得其转动惯量为显然，本题中，则(2) J 与质量分布有关例2 圆环绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆环上取一线元dl,则积分得其转动惯量为例3 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量解: 在如图的圆盘上取一宽为dr的圆环带,令,则质量元则积分得圆盘的转动惯量为(3) J 与转轴的位置有关例 4 均匀细棒绕端点轴转动惯量解: 在如图棒上取一线元dx,积分得棒的转动惯量为例 5 均匀细棒对通过中心并与棒垂直得轴的转动惯量解: 如图,以杆的中心O为坐标原点,取Oxz坐标系.积分得棒对z轴的转动惯量为四. 平行轴定理及垂直轴定理1. 平行轴定理设刚体得质量为M,质心为C,刚体对通过质心某轴z(称为质心轴）得转动惯量为.如有另一与z 轴平行的任意轴,且z和两轴间的垂直距离L.刚体对轴的转动惯量设为,则可以证明：.即刚体对任意轴(轴)的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴(z轴)的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离L平方的乘积.这个结论称为平行轴定理.例1 : 求均匀细棒的转动惯量.解: 如图,已知均质杆对质心轴z 的转动惯量为,为通过杆的一端、且与z 轴平行的轴的转动惯量,按平行轴定理有2.垂直轴定理如右图所示, x、y轴在刚体内, z轴垂直于刚体.则刚体对z 轴的转动惯量等于其对x、y轴的转动惯量之和此即为垂直轴定理.例求对圆盘的一条直径的转动惯量解：以圆盘圆心C为坐标圆点,建立xyz 坐标系如右图.易求得圆盘对z 轴的转动惯量为根据垂直轴定理,有又则五. 转动定律的应用举例例1 一轻绳绕在半径r =20 cm 的飞轮边缘,在绳端施以F =98 N 的拉力,飞轮的转动惯量J =0.5 kg·m 2,飞轮与转轴间的摩擦不计,(如图)求: (1) 飞轮的角加速度(2) 如以重量P =98 N 的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度解: (1) 根据转动定律,有(2) 分别对物体和飞轮进行受力分析,如图所示,根据牛顿运动定律和转动定律,有，因为，所以有例2一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 在直棒上取如图的质量元dm ,则积分得整个直棒重力对轴O的力矩为又故由上式可以看出,重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩.则角加速度为:又, 则杆下摆至角速度为例3圆盘以在桌面上转动,受摩擦力而静止求到圆盘静止所需时间解:在圆盘内取一半径为r 的,厚度为dr 的环带, 其质量为该环带的摩擦力对质心轴的力矩为积分得圆盘的摩擦力力矩为由转动定律得所以,得则例4如图一个刚体系统,已知转动惯量,现有一水平作用力作用于距轴为处求轴对棒的作用力(也称轴反力)解: 设轴对棒的作用力为N,分解为.由转动定律得由质心运动定理得解得打击中心则思考题1. 刚体可有不止一个转动惯量吗? 除了刚体的形状和质量以外,要求它的转动惯量,还要已知什么信息?2.能否找到这样一个轴,刚体绕该轴的转动惯量比绕平行于该轴并通过质心的轴的转动惯量小?3.刚体在力矩作用下绕定轴转动,当力矩增大或减小时,其角速度和角加速度将如何变化?4.猫有一条长长的尾巴,它习惯于在阳台上睡觉,因而从阳台上掉下来的事情时有发生.长期的观察表明猫从高层的楼房的阳台掉到楼外的人行道上时,受伤的程度将随高度的增加而减少,据报道有只猫从32层楼掉下来,也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤.为什么会这样呢?(点击图片播放动画)§ 6.2 绕定轴转动刚体的动能动能定理一. 转动动能刚体I 绕定轴z 转动,转动惯量,某时刻t ,角速度ω ,角加速度为β,设想刚体是由大量质点组成,现研究质量为的质点i,如图.显然,质点i 的速度为,由质点动能的定义知,质量i 的动能为由于动能为标量且永为正,故整个刚体的动能E等于组成刚体所有质点动能的算数和,即即绕定轴转动刚体的动能,等于刚体对转动的转动惯量于其角速度平方乘积的一半. 将刚体绕定轴转动的动能与质点的动能加以比较,再一次看出转动惯量对应于质点的质量,即转动惯量是刚体绕轴转动惯性大小的量度.二.力矩的功力的累积过程——力矩的空间累积效应功的定义如图,设绕定轴z 转动刚体上P 点作用有一力,现研究刚体转动时力在其作用点P 的元路程ds 上的功.由图易得即作用在定轴转动刚体上的力的元功,等于该力对转轴的力矩于刚体的元角位移的乘积.这也称为力矩的元功.力矩作功的微分形式对一有限过程刚体从角坐标到的过程中,力矩对刚体所作的功为若力矩M为常数,则上式可以进一步写成既作用在定轴转动刚体上的常力矩在某一转动过程中对刚体所作的功,等于该力矩与刚体角位移的乘积.讨论:(1) 合力矩的功(2) 力矩的功就是力的功(3) 内力矩作功之和为零三. 转动动能定理——力矩功的效果力矩的元功此式表示绕定轴转动刚体动能的微分,等于作用在刚体上所有外力元功的代数和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的微分形式. 若定轴转动的刚体在外力作用下,角速度从变到,则由微分式,可得到式中A 表示刚体角速度从变到这一过程中,作用于刚体上的所有外力所作功的代数和. 上式表明,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和.这就是绕定轴转动刚体的动能定理的积分形式.刚体的机械能等于刚体的动能、重力势能之和.其中的重力势能为故刚体的机械能又可表示为刚体的机械能守恒,则有对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立.例1一根长为l , 质量为m 的均匀细直棒,可绕轴O 在竖直平面内转动,初始时它在水平位置求它由此下摆角时的解: 易得杆摆至角时对O 轴的力矩为由动能定理,重力矩作的功得又,由此得即例2图示装置可用来测量物体的转动惯量.待测物体A 装在转动架上,转轴Z 上装一半径为r的轻鼓轮,绳的一端缠绕在鼓轮上,另一端绕过定滑轮悬挂一质量为m 的重物.重物下落时,由绳带动被测物体A绕Z 轴转动.今测得重物由静止下落一段距离h .所用时间为t .求物体 A 对Z 轴的转动惯量.设绳子不可伸缩,绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计.待测物 A 的机械能:重物m 的机械能:由机械能守恒得:又则可得故,物体 A 对Z 轴的转动惯量为思考题1.两个重量相同的球分别用密度为的金属制成,今分别以角速度绕通过球心的轴转动,试问这两个球的能量之比多大?§ 6.3 动量矩和动量矩守恒定律一. 质点动量矩( 角动量) 定理和动量矩守恒定律1.质点的动量矩设一质点在平面S ,如图所示.在时刻t,质点的动量为,对某固定点O质点的位矢为,则质点对O点的动量矩(或质点对O点的角动量)定义为: 位矢和动量的矢积,即根据矢积定义,质点对O点动量的大小为:指向由右螺旋法则确定.(可以证明,质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩)特例：质点作圆周运动时,说明: (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关(2) 当质点作平面运动时,质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩例一质点m ,速度为v ,如图所示A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为.求此时刻质点对三个参考点的动量矩解: 质点对某点的动量矩, 在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩2. 质点的动量矩定理质点为m 的质点，在力的作用下运动，某一时刻t ,质点相对固定点O 的位矢为,速度为,按上述质点动量矩的定义,有两边对时间求导,得由于,故上式右边第二项为零,而第一项中,因此,上式右边第二项是作用在质点上所有力的合力对O 点的力矩,即此式表明,在惯性系中,质点对任意固定点O的动量矩对时间的导数,等于作用在质点上所有力的合力对同一点O 的力矩.这就是质点动量矩定理.质点动量矩定理的微分形式:质点动量矩定理的积分形式:质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量说明:(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩定理也可直接用来求解质点动力学问题,特别是质点在运动过程中始终和一个点或一根轴相关联的问题,例如单摆运动,行星运动等问题.3. 质点动量矩守恒定律在质点动量矩定理可以看出,当作用在质点上的合力对固定点的力矩恒为零时,质点对该点的动量矩为常矢量,即若时,=常矢量这就是质点动量守恒定律.讨论:(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一,它不仅适用于宏观体系,也适用于微观体系, 且在高速低速范围均适用(2) 通常对有心力：过O 点,M= 0, 动量矩守恒.例如由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积例发射一宇宙飞船去考察一质量为M 、半径为R 的行星, 当飞船静止于空间距行星中心4R 时,以速度发射一质量为m 的仪器.要使该仪器恰好掠过行星表面求θ 角及着陆滑行的初速度多大解:由引力场(有心力)系统的机械能守恒得由质点的动量矩守恒得则所以有二. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律1. 刚体定轴转动的动量矩刚体以角速度ω 绕定轴z转动时,刚体上任意一点均在各自所在的垂至于z轴的平面那作圆周运动,如图.由于刚体上任一质点对z轴的动量矩都具有相同的方向(或者说都具有相同的正负号),因此整个刚体对z轴的动量矩应为各质点对z轴的动量矩之和,即上式表明,绕定轴转动刚体对z 轴的动量矩,等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积.2. 刚体定轴转动的动量矩定理将动量矩表达式对时间求导,得由于刚体对给定轴的转动惯量是一常量,因此利用前面讲过的转动定律,可以将上式进一步写成上式表明,绕定轴转动刚体对z轴的动量矩对时间的导数,等于作用在刚体上所有外力对z轴的力矩的代数和.这就是刚体绕定轴转动情况下的动量矩定理.动量矩定理微分形式:将上式两边乘以dt并积分,得动量矩定理积分形式:,分别表示在时刻转动刚体对z轴得动量矩,成为在时间内对z 轴得冲量矩.冲量矩表示了力矩在一段时间间隔内的积累效应.上式表明,定轴转动刚体的动量矩在某一时间间隔内的增量,等于同一时间间隔内作用在刚体上的冲量矩.3. 刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律当作用在定轴转动刚体上的所有外力对转轴的力矩代数和为零时,根据动量矩定理式,刚体在运动过程中动量矩保持不变(守恒),即=0时,=常量.以上的讨论是对绕定轴转动的刚体进行的.对绕定轴转动的可变形物体来说,如果物体上各点绕定轴转动的角速度相同,即可用同一角速度来描述整个物体的转动状态,则某一时刻t , 物体对转动轴的动量矩也可表示为该物体在时刻t 对同一轴的转动惯量与角速度的乘积.只是由于物体上各点相对于轴的位置是可变的,所以对轴的转动惯量不再是一个常量,可表示为可以证明,这是可变形物体对转轴的动量矩对时间的导数仍然等于作用于该可变形物体的所有外力对同一轴的力矩的代数和,即仍成立. 这时如果作用在可变形物体上所有外力对该轴的力矩的代数和恒为零,则在运动过程中,可变形物体对转轴的动量矩保持不变(守恒).更一般地说,如果作用在质点系上所有外力对某一固定轴的力矩之和为零,则质点系对该轴的动量矩保持不变,这是动量矩守恒定律的更为一般的表述形式.动量矩守恒定律在实际生活中及工程中有着广泛的应用.例如花样滑冰的表演者可以容过伸展或收回手脚(改变对轴的转动惯量)的动作来调节旋转的角速度.例一长为l 的匀质细杆,可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动,开始时杆静止于水平位置.一质量与杆相同的昆虫以速度垂直落到距O点l /4 处的杆上,昆虫落下后立即向杆的端点爬行,如图所示.若要使杆以匀角速度转动.求昆虫沿杆爬行的速度解:设杆和昆虫的质量均为m ,昆虫与杆碰后以共同的角速度转动.昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统,和外力矩为零,动量矩守恒,故有化简此式可得杆的转动角速度,即由题可知,此后杆以此角速度作匀速转动.设碰后t 时刻,杆转过角,昆虫爬到距O 点为r的位置处, 此时,昆虫和杆系统所受合外力矩为根据动量定理,有由题设不变,所以其中的值为带入上式有因此,为了使保持不变,昆虫的爬行速率应为说明:此题使一个系统绕定轴转动问题.在解此题的过程中应用了动量矩定理,该定理与刚体绕定轴转动定律的区别.三. 进动如图为一玩具陀螺,我们发现如果陀螺不绕自身对称轴旋转,则它将在起重力对质点O的力矩作用下翻到.但是当陀螺以很高的转速绕自身对称轴(称作自转或自旋)时,尽管陀螺仍然受重力矩作用,陀螺却不会翻到.陀螺的重力对O点的力矩作用结果将使陀螺的自转轴沿虚线所示的路径画出一个圆锥面来.我们称陀螺高速旋转时,其轴绕铅直轴的转动为进动.陀螺绕其对称轴以角速度高速旋转,如下图.对固定点O,它的动量矩L 可近似(未计进动部分的动量矩)表示为作用在陀螺上的力对O 点的力矩只有重力的力矩.显然, 垂至于动量矩矢量,按动量矩定理→可见在极短的时间内,动量矩的增量与d与平行, 也垂直于.这表明,在dt 时间内,陀螺在重力矩作用下,其动量矩的大小未变,但方向却改变了(方向绕铅直轴z 转过了dθ角)事实上,由于,带入动量矩定理式中.得所以,若陀螺自转角速度保持不变,则进动角速度也应保持不变.实际上由于各种摩擦阻力矩的作用,将使不断减小,与此同时,进动角速度Ω 将逐渐增大,进动将变得不稳定.以上的分析是近似的,只适用于自转角速度比进动角速度Ω 大得多得情况.因为有进动的存在,陀螺的总动量矩除了上面考虑到的因自转运动产生的一部分外,尚有进动产生的部分.只有在时,才能不计及因进动而产生的动量矩.思考题1. 如果一个质点在作直线运动,那么质点相对于那些点动量矩守恒?2. 如果作用在质点上的总力矩垂直于质点的动量矩,那么质点动量矩的大小和方向会发生变化吗?3. 当刚体转动的角速度很大时,作用在上面的力及力矩是否一定很大?4. 一个人随着转台转动,两手各拿一只重量相等的哑铃,当他将两臂伸平,他和转台的转动角速度是否改变?5. 试说明: 两极冰山的融化是地球自转速度变化的原因之一.。
大学物理6刚体力学
d lim t 0 t dt
对于定轴转动有:
d d d d d 2 dt dt d dt d
2
速度和角速度的关系: 以转轴上某点O 为参考点
,
O'
v r r sin ωR
加速度和角速度、角加速度的关系: O
o
z
d lim k k t 0 t dt
d
y
x
特征: (1) 角速度是矢量, 它反映了刚体转动瞬时 角位移随时间变化的规律. (2) 定轴转动时, 转轴的方向已经给定, 角 速度的方向可用正负表示, 即满足标量 运算法则.
角加速度: 在任意时刻 t 附近的单位时间间隔内, 刚体转动角速度的变化量, 其方向由矢量运算法 则确定.
3. 描述刚体转动的物理量 角位移: 在时间间隔 t 内, 刚体上任一点相对于 某一特定转轴转过的角度为. z
o
x
特征: (1)角位移 是相对于某一特定转轴而言的. (2)角位移 不是矢量, 它的合成与转动的 先后次序有关, 不符合矢量的加法交换律.
z
y
z y
z y
角 位 移 不 是 矢 量
2
mi xi 2 d m i Fix m 2 dt i mi yi 2 d m i Fiy m 2 dt i mi zi 2 d m i Fiz m 2 dt i
若令
x c yc z c
i
i
M i = Fi ri sinθi
I = mi ri
i 2
称为外力Fi 对转轴的力矩 称为刚体对该转轴的转动惯量
大物刚体知识点总结
大物刚体知识点总结一、刚体的定义1. 刚体是指物体的形状和体积在力作用下不发生变化的物体。
在刚体下，物体各质点的相对位置和方向保持不变，即不发生变形。
二、刚体的运动1. 刚体的平动运动：平动运动是指刚体的质心随时间变化的运动。
在平动过程中，刚体的形状保持不变，但质心的位置会随时间而发生改变。
2. 刚体的转动运动：转动运动是指刚体沿着固定轴线进行的运动。
在转动过程中，刚体的质点围绕着轴线作圆周运动，形成了转动运动。
三、刚体的运动学1. 刚体的位移：刚体的位移是指刚体在运动过程中位置的变化。
对于平动运动的刚体，位移是指质心位置的变化；对于转动运动的刚体，位移是指刚体围绕轴线旋转的角度。
2. 刚体的速度：刚体的速度是指刚体在单位时间内的位移变化量。
在平动运动中，刚体的速度等于质心的速度；在转动运动中，刚体的速度等于刚体围绕轴线旋转的角速度。
3. 刚体的加速度：刚体的加速度是指刚体速度在单位时间内的变化量。
在平动运动中，刚体的加速度等于质心的加速度；在转动运动中，刚体的加速度等于刚体围绕轴线旋转的角加速度。
四、刚体的动力学1. 刚体的力：刚体受到外力时会发生平动运动或转动运动。
外力可以分为两种：切向力和法向力。
切向力可以使刚体产生转动运动，而法向力可以使刚体产生平动运动。
2. 刚体的力矩：力矩是指外力在刚体上产生转动效果的力。
力矩的大小等于力的大小乘以力臂的长度，方向由右手螺旋定则确定。
3. 刚体的转动惯量：转动惯量是描述刚体对转动运动的惯性大小的物理量。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布和转动轴的位置，通常用I表示。
4. 刚体的角动量：刚体的角动量是描述刚体旋转速度和转动惯量之间的关系的物理量。
角动量的大小等于刚体的转动惯量与角速度之积，通常用L表示。
五、刚体的静力学1. 刚体的平衡：刚体在受力作用下处于平衡状态时，受力点所受的合力和合力矩均为零。
平衡状态分为稳定平衡、不稳定平衡和中立平衡。
2. 刚体的支反力：刚体在受力作用下，支持刚体静止的力叫做支持力，与支持力相抵消的力叫做反力。
大学物理 刚体运动学(二)
大学物理刚体运动学（二）引言概述:在大学物理学中，刚体运动学是一个重要的概念，它是研究刚体在运动中的性质和规律的学科。
本文将围绕大学物理刚体运动学的相关内容展开探讨，并提供了一些关键的小点来帮助读者更好地理解这一主题。
正文内容:一、刚体的转动和力矩1. 刚体的转动运动的基本特点2. 刚体的转动惯量的概念和计算方法3. 力矩的定义和性质4. 力矩的计算方法和应用5. 刚体的平衡条件和力矩的平衡方程二、刚体的动力学1. 刚体的角加速度和角动量2. 动能定理在刚体运动中的应用3. 线性动量和角动量守恒定律在刚体运动中的应用4. 刚体的动力学方程和解析解的计算5. 刚体无滑动约束下的运动学和动力学分析三、刚体的绕轴转动1. 绕轴转动的基本概念和特性2. 绕轴转动的动力学方程和解析解的计算3. 绕轴转动中的动力学定律和数学模型4. 惯性矩和转动轴的相关性质5. 绕轴转动的能量守恒和动量守恒定律四、刚体的绕定点转动1. 绕定点转动的基本概念和特性2. 绕定点转动的动力学方程和解析解的计算3. 绕定点转动中的动力学定律和数学模型4. 定点作斜面转动的应用分析5. 定点作圆锥转动的应用分析五、刚体的滚动运动1. 刚体的滚动运动的基本特点2. 滚动运动中的动力学方程和解析解的计算3. 滚动运动与非滚动运动的能量守恒和动量守恒关系4. 滚动摩擦和离心力的计算方法5. 倾斜平面上的滚动运动分析总结:通过对大学物理刚体运动学的探讨，我们可以更好地理解刚体在运动中的性质和规律。
刚体的转动和力矩、动力学、绕轴转动、绕定点转动以及滚动运动都是刚体运动学中的重要内容。
了解这些概念和定律可以帮助我们解决与刚体运动相关的问题，并且为进一步深入研究提供了基础。
大学物理-力学中的刚体2
O轴
B
k1
P1
末态：
Ek2
=
1 2
JOω 2
A
θ
l
ω
4
C
Ep2
=
−mg
l 4
sinθ
1 2
Joω 2
−
mg
l 4
sinθ
=
0
由平行轴定理
Jo = Jc + md2
= 1 ml 2 + m ( 1 l ) 2
12
4
ω = 2 6g sinθ
7l
= 7 ml 2 48
应用质心运动定理：
KKK N + mg = maC
∫ ∫ W
θ2
= Mdθ=
ω2
Jωdω
=
1 2
Jω
2 2
−
1 2
Jω
2 1
θ1
ω1
定义：
EK
= 1 Jω 2 ─
2
刚体的转动动能.
2. 动能定理
W外 = EK2 − EK1
合外力矩对刚体的功等 于转动动能的增量.
讨论：
注意它与质点系动能定理的区别
W外 = EK2 − EK1
W内 + W外 = EK 2 − EK 1 （一般质点系）
=
1 3
Ml
2ω
角动量守恒 Lo = Lm + LM
K v
30°
m
l mvsin150D = l 2 mω + 1 Ml 2ω
2
4
3
ω = 3mv
(3m + 4M )l
例：宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J =2×103 kgm2，正以
第6章刚体力学基础物体的弹性
第6章 刚体力学基础 物体的弹性质点（particle ）是一个忽略了物体形状和大小的理想模型．它遵循质点力学的规律即牛顿运动规律．然而，一个实际物体是有一定形状和大小的，而且在力的作用下会发生形变．如果撤去作用力，能恢复原状态的物体称为弹性体，否则称为塑性体．如果在力的作用下，产生的形变极其微小，从而可以被忽略不计，这样的物体称为刚体（rigid body ）．刚体可以看成是由彼此间距离不变的大量质点组成的有一定形状和大小的物体．如果实际物体在受到力的作用时其形变很小，则可以把它近似看成刚体．因此，刚体也是一个理想模型．本章主要研究刚体作定轴转动所遵循的力学规律．首先导出刚体定轴转动定律，然后讨论力矩对空间的累积作用即刚体定轴转动动能定理，以及力矩对时间的累积作用即角动量定理和角动量守恒定律，最后将简单介绍物体的弹性．6.1 刚体的转动6.1.1 刚体的平动和转动刚体的运动可以分为平动（translation ）和转动，它们是刚体的两种最简单也是最基本的运动形式．刚体的任何复杂运动都可以看作是这两种运动的合成．1．平动如图6-1所示，刚体在运动过程中，组成刚体的所有质点都沿平行路径运动，即连接刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行，这种运动称为平动．如活塞的运动、电梯的升降等．刚体在作平动时，组成刚体的各质点的运动是完全相同的．因此，我们可以用刚体上的一个质点（质元）的运动来替代整个刚体的运动，这就是刚体作平动时，可用质点力学来处理的原因．2. 刚体的定轴转动如果刚体上各个质点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动（rotation ），这条直线称为转轴（rotation axis ）．如果转轴在刚体的运动过程中相对于参照系是静止的，则称为定轴转动（fixed-axis rotation ）．例如旋转式的门窗、钟表指针的运动，离心机的转动等都属于定轴转动．如图6-2所示，溜冰运动员在原地绕自身轴的旋转也可近似看作是定轴转动．不难发现，上述运动的共同特征是转动体上各点均绕固定轴作半径不同的圆周运动． 6.1.2 描述刚体定轴转动的物理量刚体绕固定轴转动时，刚体上所有各质量元都在各自的平面内绕轴作半径不同的圆周运动．这些质元的线量（线速度、线加速度等）各不相同．然而，它们的角速度（angular velocity ）、角加速度（angular acceleration ）等角量却是相同的．因此，类似于圆周运动，我们采用角量图6-2芭蕾舞演员的定轴转动图6-1 刚体的平动同济内部使用来描述刚体的定轴转动．如图6-3所示，在刚体上任选一点P ，P 点离转轴距离为r ．过P 点作垂直于转轴的平面，该平面称为转动平面．P 点在此平面内作圆周运动．以转动平面与转轴的交点O 为原点，在转动平面内建立相对于参考系静止的坐标轴Ox ，这样就可以用角量即角位置（angular position ），角位移（angular displacement ），角速度和角加速度来描述刚体的定轴转动．1. 角位移P 点对O 点的位置矢量（位矢）r 与Ox 轴方向的夹角θ称为角位置．在刚体的转动过程中，θ随时间发生变化，是时间的函数)(t θ．刚体在t ∆时间内转过的角度θ∆称为角位移．一般规定沿逆时针方向的角位移为正，沿顺时针方向的角位移为负．角位移的国际单位是rad （弧度）．2. 角速度我们将角位移对时间的变化率定义为角速度，以ω表示．数学表达式为 tθt θt d d lim0=∆∆=→∆ω 6-1 角速度是矢量，其方向由右手螺旋法则确定．使四指沿着刚体转动的方向弯曲，拇指所指的方向就是角速度矢量的方向，如图6-4所示．在国际单位制中，角速度的单位为1s rad −⋅．3. 角加速度 角加速度是描述角速度对时间变化率的物理量，以β表示．数学表达式为220t d d d d lim t t t θωωβ==∆∆=→∆ 6-2角加速度也是矢量，当ω变大时β与ω同方向，当ω变小时β与ω反方向．在国际单位制中，角加速度单位为2s rad −⋅． 在刚体定轴转动中，角速度、角加速度的方向只有沿转轴的两个方向，所以计算中常作标量处理．6.1.3 角量与线量的关系由图6-5可知，线速度与角速度的关系为 ωθθR tR t R t s t t ==∆∆=∆∆=→∆→∆d d lim lim00v 6-3 线速度方向为P 点的切线方向．当P 点作变速圆周运动时，该点的加速度a 可分解为切向加速度t a 和法向加速度n a ，它们的大小分别为 βωωR tR t R t a ====d d d )(d d d t v 6-4 2222n ωωR RR R a ===v 6-5P 点加速度a 的大小为图6-3 刚体的定轴转动图6-5 角量与线量的关系图6-4 角速度的方向同济内部使用422222n 2t d d ωβ+=+ =+=R R t a a a v v 6-6 方向为tnarctana a =ϕ 6-7例题 6.1 卷扬机转筒的直径为cm 40，在制动的s 1.0内，转筒的运动方程为t t 42+−=θ（SI ）．试求（1）转筒边缘上一点P 的速度． （2）P 点的切向加速度及法向加速度．解 由题意，转筒在制动过程中的角速度和角加速度分别为1s rad 42d d −⋅+−==t tθω 2s rad 2d d −⋅−==tωβ 1s =t 时，1s rad 2.042−⋅=+−=t ω，所以（1）转筒边缘上一点P 的速度为11s m 04.0s rad 0.22m400.−−⋅=⋅×==ωr v （2）P 点的切向加速度及法向加速度分别为 22-t s m 04.0)s rad 2(2m40.0−⋅−=⋅−×==βr a 221-2n s m 80.0)s rad .02(2m04.0(−⋅=⋅×==ωr a 6.2 刚体定轴转动定律 转动惯量用角量描述刚体的定轴转动时，角位置和角速度是描述定轴转动的状态量，而角加速度则是描述定轴转动的状态改变量．那么，刚体运动状态改变的根本原因是什么？其遵循怎样的动力学规律呢？ 6.2.1力矩在外力作用下，一个具有固定轴的静止刚体（比如门或窗），可能发生转动也可能不发生转动．刚体是否转动以及转动的快慢，不仅与外力的大小有关，而且还与力的作用点位置和方向有关．力的大小、方向和作用点位置这三个因素组成了力矩（moment of force ）这一物理量，它是改变刚体转动状态的原因．如图6-6所示，设刚体所受外力F 在转动平面内，作用点为P 点．原点O 到力的作用线的垂直距离为d ，称为力F 对转轴的力臂（moment arm of force ）．力的大小与力臂的乘积，称为力对转轴的力矩，以M 表示，有ϕsin Fr Fd M == 6-8 式中r 为原点O 到力F 作用点P 的位矢大小，ϕ为矢径r 与力F 之间的夹角．图6-6 刚体所受的力矩同济内部使用如果外力不在转动平面内，则必须将外力分解成两个分力．一个是与转轴平行的分力，另一个是在转动平面内的分力．只有在转动平面内的分力才会影响刚体的转动状态．力矩是一个矢量．根据矢量的矢积定义，力矩M 为矢径r 与力F 的矢积，即 F r M ×= 6-9力矩的方向由右手螺旋法则确定：右手的四指由位矢r 的方向（经小于180°的角度）转到力F 的方向，拇指的指向就是力矩M 的方向，即M 的方向垂直于r 与F 组成的平面．力矩的大小则由式6-8给出．在定轴转动中，力矩的方向M 总是沿转轴的方向．因此，在定轴转动中，力矩可作为标量来处理．当有几个力同时作用在刚体上时，这几个力的合力矩就等于这几个力的力矩的代数和．在国际单位制中，力矩的单位为m N ⋅． 6.2.2 刚体定轴转动定律如图6-7所示，在刚体上任取一质元i m ∆，该质元到转轴的距离为i r ．质元所受到的合外力在转动平面内的分力为i F ，质元受到刚体内其它所有质元的合内力在转动平面内的分力为i f ．根据牛顿第二定律，沿运动切向分量的方程为βθϕi i i i i i r m f F ∆=+sin sin上式方程两边分别乘以i r ，可得βθϕ2sin sin i i i i i i i i r m r f r F =+式中，i i i r F ϕsin 是质元所受到的合外力i F 对转轴的力矩．而i i i r f θsin 则为质元所受的合内力i f 对转轴的力矩．由于质元所受的法向分量i i F ϕcos 和i i f θcos 的作用线均通过转轴，对转轴的力矩为零，故不作考虑．对于构成刚体的每一质元，均可列出上述方程，将所有方程相加，可得∑∑∑=+iiii iiii ii i rm r f r F βθϕ2sin sin 6-10式中∑ii i i r F ϕsin 是作用于刚体所有质元上的外力对转轴力矩的代数和，即刚体所受的合外力矩，用M 表示．∑ii i i r f θsin 是整个刚体所受的内力对转轴力矩的代数和．因内力总是成对出现，且等值反向，所以每一对内力矩的代数和均为零，即0sin =∑ii i i r f θ．而上述等式右边的∑ii i r m 2是由刚体本身性质决定的物理量，称为刚体对定轴的转动惯量（moment ofinertia ），以J 表示∑=ii i r m J 26-11于是，式6-10可写成βJ M = 6-12上式表明，对某定轴刚体所受的合外力矩等于刚体对该定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积．这就是刚体定轴转动定律（law of fixed-axis rotation ）．写成矢量形式为βM J = 6-13刚体定轴转动定律表述了力矩对刚体定轴转动的瞬时作用规律．式中力矩M 、转动惯量J 和角加速度β三个物理量都是同一时刻对应的同一个转轴．图6-7 刚体定轴转动定律同济内部使用6.2.3 转动惯量转动惯量是量度刚体转动惯性大小的物理量．由转动定律βJ M =可以看出，当刚体所受的合外力矩一定时，转动惯量J 愈大，则其角加速度β就愈小；反之J 愈小，β就愈大．对于质量连续分布的刚体，式6-10可写成∫∫==VmV r m r J d d 22ρ 6-14式中ρ为物体的质量密度．在国际单位制中，转动惯量的单位为kg ·m 2．在实际工程上，对规则形状刚体的转动惯量常从手册或表中直接查出．表1-1列出了几种常见刚体对特定转轴的转动惯量．表1-1 几种常见刚体的转动惯量例题6-2 有一质量为m ，长为l 的均匀细杆，如图6-8所示．试求对下列转轴的转动惯量． （1）转轴通过杆的质心并与杆垂直． （2）转轴通过杆的一端并与杆垂直．解 （1）如图6-8(a)所示，以杆中心为坐标原点O ，距离原点x 处，取长为x d 的质元m d ，其质量为x x lmm d d d λ==，其中λ为单位长度的质量，称为质量线密度．该质元对通过杆的质心并与杆垂直的转轴的转动惯量为x x x lmx m x J d d d d 222λ=== 图6-8 例题6-2用图(a)(b)内部整个杆对转轴的转动惯量为23222121121d d ml l x x J J l l ====∫∫−λλ （2）如图6-8(b)所示，同理可得整个细杆对通过杆的一端的转动惯量为23023131d ml l x x J l ===∫λλ例题6-3 如图6-9(a)所示，一质量为m 的物体与绕在定滑轮上的轻绳相连，轻绳与定滑轮之间无相对滑动．设定滑轮的质量为0m ，半径为r ，可视为均质圆盘．试求物体m 由静止开始下落的过程中， （1）绳子的张力． （2）物体的加速度．（3）物体下落的速度与时间的关系． 解 用隔离体法对每一物体进行受力分析，如图6-9(b)所示．滑轮顺时针方向转动，故力矩方向垂直页面向里，设此方向为正．根据牛顿第二定律和定轴转动定律，立出方程． 对物体m ： ma T mg =− 对滑轮0m : βr m Tr 2021=由于绳与滑轮之间无相对滑动，滑轮边缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等，因此有βr a =联立上述方程组，得绳子的张力和物体的加速度分别为gm m m a gm m mm T 0222+=+=考虑到物体m 作匀加速直线运动，满足at =v ，故得物体下落的速度与时间的关系为gt Mm m+=22v由上述例题的解题过程可知，正确的受力分析是解题的关键．如果系统由刚体和质点共同组成，那么在列方程时，不但要同时应用牛顿运动定律和刚体定轴转动定律，而且还要考虑角量和线量的关系．6.3 刚体定轴转动的动能定理和功能原理6.3.1 刚体的转动动能和势能设刚体作定轴转动，在距离转轴为i r 处取一质元i m ∆．如某一时刻刚体角速度的大小为ω，则质元在该时刻的线速度大小为ωi i r =v ，按动能的定义，质元的动能为222k 2121ωi i i i r m m E i∆=∆=v (a) (b) 受力分析图6-9 例题6-3用图同济内部使用刚体的总动能为其所有质元的动能之和，即22k k )(21ωi i iir m E E i∑∑∆== 其中，2i i ir m ∑∆为刚体的转动惯量J ，所以上式可写为2k 21ωJ E =6-15 上式又称刚体的转动动能．类似分析，刚体重力势能应为刚体所有质元的重力势能之和．取任一质元i m ∆，其相对势能零点的高度为i z ，则刚体重力势能p E 为i i igz m E ∑∆=p刚体质心C 相对势能零点的高度C z 为∑∑∆∆=iiiii Cmz m z且刚体总质量∑∆=ii m m ，所以刚体的重力势能为C mgz E =p 6-16 即刚体的重力势能相当于刚体的质量m 集中在质心C 处的质点的重力势能． 6.3.2 刚体定轴转动的动能定理刚体转动动能的改变与外力矩做功有关，其关系可由转动定律导出．设在外力矩的作用下，刚体绕定轴转动的角速度由1ω变为2ω．在此过程中，相应于刚体转过了微小角位移θd ．此合外力矩所作的元功为ωωθωβd d d d d d d J tJθJ θM W ==== 当刚体从1t 时刻的1θ变化到2t 时刻的2θ时，合外力矩对刚体做的功为21222121d d 2121ωωωωθωωθθJ J J M W −===∫∫ 6-17 上式称为刚体定轴转动的动能定理．表明合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，反映了力矩对空间的累积效应．6.3.3 刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律如果刚体在定轴转动的过程中除受外力矩外，还受到摩擦力矩和重力矩作用，则按式6-17，有21222121d )(21ωωθθθJ J M M M W −=++=∫非保内保内外 上式中，外M 是指合外力矩．保内M 是指具有保守力性质的内力矩．所谓保守力是指这样一种力，它对物体所做的功与物体运动的路径无关，只与物体的起点和终点的位置有关，如重力、弹性力、静电场力等均属于保守力．非保守力则是指它对物体所做的功与物体运动的路径有关，如摩擦力、爆炸力等属于非保守力．显然，式中非保内M 是指具有非保守力性质的内力矩．若将地球和刚体视为一个系统，重力矩对刚体做功可用重力势能增量的负值来表示，因同济内部使用此上式可写为)21()21(d )(12122221C C mgz J mgz J M M W +−+=+=∫ωωθθθ非保内外 6-18式6-18称为重力场中刚体定轴转动的功能原理．如果外力矩和非保守内力矩不做功或做功之和为零，那么系统的机械能守恒．即 C mgz J +221ω=常量 6-196.4 刚体的角动量定理和角动量守恒定律在合外力矩作用下，刚体绕定轴转动的转动定律βJ M =描述了合外力矩对刚体作用的瞬时效应，现在我们进一步讨论外力矩在一段时间内的累积效应对刚体定轴转动的影响． 6.4.1 刚体对定轴的角动量如图6-10所示，设某一瞬时刚体绕轴转动的角速度为ω．在离轴i r 处取质元i m ∆，该质元在自身转动平面内绕轴作圆周运动．如此时质元的线速度为i v ，则质元对转轴的角动量（angular momentum ）i L 可定义为ωr p r L 2i i i i i i i i r m m ∆=∆×=×=v 6-20 式中i p 称为质元的动量（momentum ）．它是描述物体运动状态的一个物理量，大小为物体质量与速度的乘积，方向沿速度方向．由此可理解，角动量是描述物体转动运动状态的一个物理量．式6-20表示的是刚体上某一质元的角动量，又称质点的角动量．刚体绕定轴的总角动量L 应等于刚体上所有质元对该轴角动量的总和，即 ωL L∆==∑∑ii i i i r m 2 6-21其中∑∆ii i r m 2为刚体的转动惯量J ，因此，刚体对定轴的角动量可写为ωL J = 6-22 上式表明，刚体对定轴的角动量L 等于刚体对该轴的转动惯量J 与角速度ω的乘积，方向和角速度一致，沿转轴的方向，其大小为J ωL = 6-23在国际单位制中，角动量的单位为12s m kg −⋅⋅． 6.4.2 刚体的角动量定理根据刚体角动量的表达式，刚体定轴转动定律可写成 tLt J t JM d d d )(d d d ===ωω 6-24 上式表示，刚体所受的合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率．将上式改写为 L t M d d = 6-25 式中t M d 称为合外力矩对刚体的冲量矩（moment of impulse ），它反映了合外力矩对时间的累积效应．若刚体绕定轴转动过程中，合外力矩的作用时间从t 1到t 2，则将式6-25两边积分，得1221d L L t M t t −∫＝ 6-26图6-10 刚体对定轴的角动同济内部使用上式表明，在一段时间内作用在刚体上的合外力的冲量矩等于刚体在该段时间内的角动量的增量，这一结论称为刚体对该定轴的角动量定理（theorem of moment of impulse ）．在国际单位制中，冲量矩的单位为s m N ⋅⋅． 6.4.3 刚体的角动量守恒定律由角动量定理，如果刚体所受的合外力矩0=M ，则有=L 常量 6-26 即刚体的角动量保持不变．这一结论称为刚体对定轴的角动量守恒定律（law of conservation of angular momentum ）．刚体作定轴转动时，若转动惯量J 保持不变，则当刚体所受合外力矩等于零时，刚体将以恒定的角速度ω 绕定轴作匀速转动．如图6-11所示，轮船、飞机、火箭上用作导航定向的回转仪（gyroscope ）就是利用这一原理制成的．若物体上各质元相对于转轴的距离可发生变化，即物体的转动惯量是可变的．在物体所受合外力矩0=M 的情况下，物体绕定轴转动的角动量守恒，按式6-26，=ωJ 常量，ω与J 成反比关系．例如，一人站在能绕竖直轴转动的转台上，两手各握一个哑铃，如图6-12所示．开始时，他的两臂平举张开，在其他人推动下使他连同转台一起以一定的角速度转动．当他收拢双臂时，人和转台的转速将加快．这是因为在人收拢双臂的过程中，整个转动系统的转动惯量J 在变小．由于转动系统没有受到外力矩作用，因此系统的角动量守恒，ωJ 保持不变．当J 变小时，ω 随之增大．类似的例子有很多，如花样滑冰运动员、芭蕾舞演员以及跳水运动员等所做的许多令人叹为观止的优美旋转动作，都是角动量守恒定律的应用实例．例题6-4 一半径为R ，质量为0m 的均匀圆盘可绕垂直轴Oz 转动，角速度为0ω，如图6-13所示．设初始时刻质量为m 的人处于圆盘的中心O 处，求当此人走到圆盘的边缘时，圆盘相对地面的角速度ω．解 对圆盘和人组成的系统，其所受的合外力矩为零，因此系统角动量守恒．按题意，初始时刻系统角动量为020021ωR m L =当此人走到圆盘的边缘时，系统的角动量为ωω22021mR R m L +=因为0L L =，由上述关系可得图6-11 回旋仪图6-12 角动量守恒定律演示 图6-13 例题6-4用图同济内部使用0002ωωmm m +=6.4.4 陀螺的运动一个绕自身对称轴高速旋转的陀螺（top ），轴下端与地面的接触点O 为一定点，如图6-14(a)所示．当陀螺不转动时，由于作用于质心的重力对O 点的重力矩不为零，所以陀螺会因此而倾倒．但当它绕自身对称轴高速旋转时，尽管同样受到重力矩作用却不会倾倒，而是在绕自身对称轴旋转的同时，其对称轴还将绕通过固定点O 的铅直轴Oz 作回转运动．我们把刚体高速自转的同时，其自身对称轴还将绕竖直轴作回旋运动的现象称为旋进（precession ）或称为进动．现在我们用角动量定理来解释陀螺的旋进运动．在图6-14(b)中，设陀螺的质量为m ，对自身轴的转动惯量为J ，若陀螺自旋角速度为ω，则其绕自身轴的自旋角动量L 为ωL J =式中L 的方向沿陀螺自身的对称轴．以陀螺与地面的接触点O 为参考点，陀螺所受重力矩M 为g r M m C ×=其中C r 为陀螺质心位矢．M 的方向指向页面里，与陀螺的自旋角动量L 垂直．因此，重力矩不能改变L 的大小，而只能改变其方向．根据角动量定理，当重力矩作用于陀螺t d 时间后，陀螺自旋角动量L 的增量为t d d M L =L d 的方向与M 方向相同，即自旋角动量L 的方向将水平地转向L L d +方向，并不沿竖直方向向下倾斜．于是，自旋角动量L 在水平面内将连续偏转而形成绕竖直轴的旋进运动，即表现为沿一个圆锥面的转动．由图6-13(b)可以看出，陀螺自旋轴在t d 时间内转过的角度即旋进角为θϕsin d d L L =式中，θ为陀螺的自身轴与圆锥轴线之间的夹角．相应的旋进角速度Ω的大小为θϕsin d d L Mt Ω==6-27 上式说明，旋进角速度与外力矩M 成正比，而与自旋角动量L 成反比，亦即与自旋角速度ω成反比．回转效应有着广泛的应用．例如炮弹在飞行时，受到的空气阻力对其质心的力矩会使炮弹发生翻转．为了防止这种情况的发生，常在炮膛内壁刻有螺旋线（亦称来复线），使炮弹在射出时绕自己的对称轴高速旋转．这样，在空气阻力矩的作用下炮弹在前进中将绕自身的行进方向旋进而不至于翻转，如图6-15所示．(a) (b)图6-14 陀螺的选进图6-15 炮弹的旋进同济内部使用在微观领域，旋进的概念也经常用到．例如，原子中的电子同时参与自旋运动和绕核的运动，都具有角动量．当其处在外磁场中，电子受磁力矩的作用以外磁场方向为轴线作旋进．正是电子的这种旋进运动，导致了物质的抗磁性．地球本身就是一个很大的回转仪，因为地球有自转，又受到太阳及其他星体的引力，因而地球在运动中要旋进．6.5 物体的弹性前面我们研究了刚体的运动规律．然而，实际上真正的刚体是不存在的．任何一个物体在外力作用下，其形状和大小都会发生变化，即产生一定的形变（deformation ）．在物体的弹性限度内，如果撤去外力，物体能恢复原状，这种形变称为弹性形变（elastic deformation ），这样的物体称为弹性体．如果外力过大，物体的形变超出了弹性限度，物体便不能恢复原状，这种形变称为塑性形变（plastic deformation ），这样的物体称为塑性体．研究物体在外力作用下所产生的形变，在工程、生物和医学上都具有重要意义．6.5.1 应变 应力 弹性模量1．正应变和正应力如图6-16所示，设一原长为0l 、截面积为S 的匀质杆，当两端受到拉力F 作用时，杆伸长了l ∆．将杆的伸长量与原长度的比值称为应变（tensile strain ），用ε表示，即00l l l l l ∆=−=ε 6-28 ε是一个没有单位的纯数．当物体受到拉力（压力）时，其内部任一横截面处也会产生拉力（压力），所受拉力（压力）应该均匀分布在横截面上．将单位横截面上所受到的内力称为正应力（张应力）（tensile stress ），用σ表示，即S F =σ 6-29 在国际单位中，正应力的单位为2m N −⋅或Pa （帕斯卡）．根据胡克定律，材料在弹性形变范围内，正应力与正应变成正比．将正应力与正应变的比值称为弹性模量（elastic modulus ）（也称杨氏模量），用Y 表示，即因ε为纯数，所以弹性模量的单位与正应力相同，也为Pa ．杨氏模量只与材料的性质有关，而与外力及物体的形状无关．它反映了材料抵抗线性形变的能力，其量值越大，材料越不容易变形．2．切应变和切应力如图6-17所示，有一立方形物体，底面固定于台面上．现在其上表面施加一个与表面相切的作用力F ，由于物体处于平衡状态，可知在物体的下表面同时出现一个与表面相切，大小相等且方向相反的切向力F ′．设上下两表面的垂直距离为d ，两表面的相对位移为x ∆，则受到上述两个大小相等，方向相反的平行力（剪切力）作用所引起剪切形变的程度，可用切应变（shear strain ）来描述．用γ表示，即图6-16 物体的正应力 图6-17 物体的切应力济内部使用发生剪切形变时，物体中任意一个平行于底面的截面S 将物体分成上下两部分．两部分间具有与外力大小相等的切向内力的作用，使得它们之间也产生相对位移，我们把剪切力F 与截面S 之比称为切应力（shear stress ），用τ表示，即与正应变类似，当物体发生剪切形变时，在一定的弹性限度内，切应力与切应变成正比，我们将切应力与切应变的比值称为切变模量（shear modulus ），用G 表示，即实验表明，大多数金属材料的切变模量约为其杨氏模量的31～21．3. 体应变和体应力如图6-18所示，物体各部分在各个方向上受到同等压强时其体积发生变化而形状不变，我们把体积变化量V ∆与原体积0V 之比称为体应变（volume strain ），用θ表示，即当固体放在静止的液体或气体中时，固体将受到流体静压强的作用．静压强总是垂直于固体表面，且在固体内任一平面都有垂直于该平面的压强作用．这种压强也是一种应力，因此体应力（volume stress ）也可用压强p 表示．实验表明，当物体发生体应变时，在一定的弹性限度内，压强p 与体应变θ成正比，我们将压强与体应变的比值称为体变模量（bulk modulus ），用K 表示，即综上所述，应变是指物体在压力作用下的相对形变，也称为胁变．应力则反映了物体发生形变时其内部的受力情况，表示作用在单位面积上的内力，应力也称为胁强．表1-2给出了一些常见材料的弹性模量． 表1-2 几种常见材料的弹性模量 材料 杨氏模量Y （MPa ） 切变模量G （MPa ） 体变模量K （MPa ） 钢 20080 158 玻璃 7030 36 木材10 10 — 骨 16（拉伸）9（压缩）10 — 图6-18 物体的体应内用。
大物动力学知识点总结
大物动力学知识点总结1. 动力学概念动力学是研究物体运动规律的科学，它描述了物体的运动方式和变化规律。
动力学研究范围包括物体的速度、加速度和力学等相关问题。
动力学的研究对于分析物体的运动方式、设计运动控制系统等具有重要意义。
2. 牛顿运动定律牛顿运动定律是动力学研究的基础，它分为三条定律：- 第一定律：一个物体如果没有受到力的作用，将保持静止状态或匀速直线运动的状态。
- 第二定律：物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比，方向与此作用力一致。
- 第三定律：任何一个物体都受到另一个物体的作用力，两个作用力大小相等、方向相反。
3. 力的组合力的组合是动力学研究的关键问题之一，根据牛顿第二定律，物体所受的合力决定了物体的运动状态。
在实际问题中，物体受到多个不同方向的力的作用，合力的方向和大小将决定物体的加速度。
4. 动力学方程动力学方程是描述物体运动规律的数学形式，常见的动力学方程包括牛顿第二定律和万有引力定律。
这些方程描述了物体的运动状态与作用力之间的关系，为解决物体的运动问题提供了数学工具。
5. 刚体动力学刚体动力学是研究刚体运动规律的学科，它描述了刚体的运动方式和变化规律。
刚体的运动包括平移运动和旋转运动，刚体动力学研究了刚体的受力和角动量等相关问题。
6. 动能和势能动能和势能是动力学研究的重要概念，它们用来描述物体的能量状态和能量转化。
动能与物体的速度有关，势能与外力场的性质有关，它们之间的转化关系是动力学研究的核心问题。
7. 马达和发动机马达和发动机是动力学研究的应用领域，它们将动力学理论应用于实际问题中。
马达和发动机的工作原理基于动力学方程，利用电磁力或热力等形式的力来驱动机械运动。
8. 运动控制系统运动控制系统是将动力学理论应用于工程实践的重要领域，它涉及机器人控制、航天器控制、汽车控制等多个方面。
运动控制系统利用动力学理论分析物体的运动状态，设计控制算法来实现特定的运动规划。
9. 力学模型力学模型是动力学研究的重要工具，它将物体的运动规律抽象为数学模型，利用数学方法来分析物体的运动状态。
第六章刚体动力学
• ∆mk
M z =J z
dω
dt
【3】
合外力矩 M 合内力矩 = 0 刚体对z轴的转动惯量 J
F = ma
§ 6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
二. 刚体绕定轴转动的微分方程
M z
=J z
dω
dt
也称转动定律，是解决刚体绕定 轴转动动力学问题的基本方程。
转动惯量是标量，描述刚体对轴转动惯性大小的物理量。
=
98× 0.2 0.5 +10× 0.22
=
21.8
rad/s 2
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平
面内转动，初始时它在水平位置
求 它由此下摆 θ 角时的 ω
O•
ml x
θ
解 取一质元 M = ∫ xdm ⋅ g = g ∫ xdm
•C dm
M = mgxC
M = 1 mgl cosθ
M O (F )= r × F 【2】
O.
y
θ
F⊥
力矩的方向由右螺旋法则确定 x
r A
力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于 该力对该轴的力矩.
上述的力矩定义是普遍适用的，即使点和轴不在刚体上也适用。
例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 µ 的桌面转动 (如图)
求 摩擦力对y轴的力矩
三. 转动惯量
平行轴定理 J=z' J z + ML2 【5】
J z':刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴的转动惯量 L :两轴间垂直距离
z' z M
L C
平行轴定理说明：刚体对沿某一方向相互平行的各个轴的转动惯量中， 以刚体对质心轴的转动惯量最小。
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四. 平行轴定理
J z' J z ML2
z'
L
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴
C
L :两轴间垂直距离
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刚体动力学
例 均匀细棒的转动惯量
z
M
z
L
L 1 2 J Z M ML JZ 2 3
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刚体动力学
•
理论推证
取一质量元 Fi fi mi ai
投影到圆轨 迹的切线方 向 O
ri
fi
Fi
Fi fi mi ai mi ri
2
mi
对固定轴的力矩 Fi ri fi ri mi ai ri mi ri 对所有质元
Fi r i fi r i ( mi ri
合内力矩 = 0
2
)
合外力矩 M
刚体的转动惯量 J
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刚体动力学
三. 转动惯量
定义式
J mi ri
2
质量不连续分布 质量连续分布
J r 2dm
•
计算转动惯量的三个要素:
(1)刚体总质量 (2)刚体质量对轴的分布 (3)转轴位置
1
h
由
R
2 2 0 2 ah
T1 T1
2 gh ( m 1 m 2 sin ) (m1 m 2 ) R 2 J
m2g
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m1g
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刚体动力学
§6.3
动量矩和动量矩守恒定律
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能 设系统包括有 N 个质量元 z m1 , m2 ,......., mi ,......, mN r1 , r2 ,.....ri , .....rN ri O v1 ,v 2 ,......,v i ,......v N
r
F
.
P
即：力的元功，等于该力对转轴的力矩与刚体元角位移的 乘积，称为力矩的元功。
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刚体动力学
•
对一有限过程
A Md
1
2
若M=C
A M ( 2 1 )
2
1
(1) 合力矩的功 A
讨论
M i d i i
dl R O m
J R dm
2 0
L
2π R
0
R 2dl
3
R
2
2π R
0
m dl 2π R mR 2 2π R
R m
例：圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr m 2mr 2π rdr 2 dr dm ds 2 πR R
J r dm
1
2
M i d Ai
i
(2) 力矩的功就是力的功。
(3) 内力矩作功之和为零。
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刚体动力学
三. 转动动能定理 —— 力矩功的效果
刚体也是一个质点系，根据质点系动能定理：
A A + A
i 外i i i i
内i
=Ek Ek0
而刚体在转动过程中，组成刚体的各个质点间不发生相对 位移，所以刚体的内力不做功：
使物体沿逆时针方向转动，则力矩为正方向，否则为负。 （图示为正方向）
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刚体动力学 讨论
(1) 力对点的力矩（非定轴转动）
Mo
MO r F
(2) 力对定轴力矩的矢量形式
F
O .
r
M Z r F
(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等 于该力对该轴的力矩。
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
(2) mg T ma
rO
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
F
mg
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
M z J
在国际单位中 k = 1
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体对 z 轴 的转动惯量
讨论 (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大 (2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3)与牛顿定律比较： M F , J m, a
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(1) J 与刚体的总质量有关 例：两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量 z
J x dx
2 0
L
L
0
M 1 2 x dx ML L 3
2
M O dx
L x
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J铁 J木
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刚体动力学
(2) J 与质量分布有关
例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量
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刚体动力学
例： 一定滑轮的质量为M,质量均匀分布在半径为R的圆盘上，质量 分别为m1和m 2的两个物体挂在绕过滑轮的两端。设轴间摩擦不计，绳 与滑轮间无相对滑动，绳的质量不计，绳的长度不变。 求：两物体的加速度和滑轮的角加速度。
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l
s
C
dm
mg
M 1 3 3g cos dω d d d mgl cos 2 J 2 ml 2l dt d dt d ω θ 3 gcos 3 gsin 0 d 0 2l d l
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刚体动力学
质心的势能
C
hc
hi EP 0
刚体的 1 2 机械能 E 2 J mghC
•
刚体的机械能守恒
1 2 J mghC C 2
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
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刚体动力学 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在 竖直平面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 角时的
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量 与其角速度平方乘积的一半
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刚体动力学
二. 力矩的功
力的累积过程——力矩的空间累积效应
dA F d r Frd cos Fr sin d M Z d
O
•
功的定义
d
r ' dr
0 m 2 R 0
dr
r O
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
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刚体动力学 (3) J 与转轴的位置有关 z M O dx
L 2 0
z M L O dx x
L x
J
1 x dx ML2 3
J
L/ 2
L / 2
x 2dx
1 ML2 12
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m2 T2 m 2 g sin m 2 a （2） m2 T1 R T 2 R J 滑轮 （3） a R （4） T2 2 ( m 1 m 2 sin ) gR a N 常数 T2 2 (m m ) R J
1 2
刚体动力学 例 质量为 m1 、m2 的两物体用细绳连接起来，放在固定 的光滑斜面上，细绳跨过半径为 R ，转动惯量为 J 的 定滑轮。斜面的倾角为 。 求 物体 m1 从静止开始下落 h 高度时的速度 R J a 解 受力分析，列方程 m1 m1 g T1 m1 a （1） m
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中 作用在刚体上所有外力所作功的总和。即绕定轴转动刚体的 动能定理。
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刚体动力学
•
刚体的机械能 刚体重力势能
mi
E EK EP E p mi ghi
mi hi mg mghC m
h r sin M z F r sin
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h
A
F
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刚体动力学 说明
（1）力矩取决于力的大小、方向和作用点
（2）在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向—沿转轴 的正方向和负方向（代数量） （3）方向由右螺旋法则确定：从z轴正端向负端看，若力
刚体动力学 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直 平面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 角时的
解 取一质元
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
m M xdm g g xdm g s cos ds 0 l 1 mgl cos 2
刚体动力学
第6章 刚体动力学
猫系统
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刚体动力学
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
• 力 • 力矩
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
力 F 对z 轴的力矩
z
r
F//