2从算术到代数(2)
浙教版七年级第四章代数式教材分析
第四章代数式在完成了初中有理数、实数数集的扩充后，第四章学习代数式。
从数到式是学生学习上“质”的第一次飞跃。
学习了式以后，客观世界中的数学规律变得简捷明了，数量关系变得清晰，有一大部分运算更具有普遍意义。
但是学生要完成这个质的飞跃，必须先从大量的实例中体会、领悟，需要从已有的知识、经验出发。
刚进入初中的学生对这种认识和飞跃没有心理准备，他们感到好奇，又感到难于理解，教师应该有充分的思想准备。
原义教版教材对这一内容的处理方式是“先分散，再集中”，将整式内容分散于一元一次方程中，即先学一次式，紧接着学习一元一次方程。
目的是加强一次式与方程的有机联系，使整式的学习目的性明确，且分步到位。
体现适当降低要求，减缓坡度的意愿。
这样的安排各有利弊，弊病是使整式内容显得支离破碎，限制了一些一元一次方程的解法。
代数式运算的不熟练也直接影响到学生一元一次方程的学习。
另外，与原大纲比较，课标对整式运算的要求有所降低。
因此，我们觉得还是相对比较完整学习了整式的运算后再学一元一次方程，更有利于学习较系统掌握，更符合学习的认知规律。
本章的主要内容有：用字母表示数、代数式、整式和整式的加减。
在小学阶段，学生虽然已初步接触过用字母表示数，但学生对用字母表示数的意义和认识是非常肤浅的。
本章不仅要使学生进一步认识用字母表示数的意义，还要理解字母可以与数一起参与运算，可以用数、字母、运算符号组成的代数式表示具有某种普遍意义的数量关系。
本章可以说是“代数”之始，是今后继续学习方程、不等式、函数等代数知识的必要准备。
本章教学时间约需11课时，具体安排如下：4．1 用字母表示数1课时4．2 代数式1课时4．3 代数式的值1课时4．4 整式1课时4．5 合并同类项1课时4．6 整式的加减2课时复习、评估3课时，机动使用1课时，合计11课时。
一、教科书内容和课程教学目标（1）本章知识结构框图如下：（2）本章教学目标如下：（3）本章教学要求①在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；能解释某些简单代数式的实际背景和几何意义，发展符号感。
从算术思维到代数思维
从算术思维到代数思维从算术思维过渡到代数思维,是学生学习数学过程中极为重要的转变阶段,也是小学与初中数学教学衔接时面临的一个重要问题。
一、算术思维与代数思维从数学思维的角度来看,算术思维的运算过程是程序性的,着重的是利用数量的计算求出答案的过程。
这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点,甚至是直观的。
代数思维的运算过程是结构性的,侧重的是关系的符号化及其运算,是无法依赖直观的。
如“小明用24元钱买了5支相同的自动铅笔,还剩4元。
每支铅笔多少元?”解法一:24-4=20(元),20÷5=4(元);解法二:先假设每枝铅笔的价格是x元,并依题意列出式子24-5x=4,再求出x值。
解法一中,学生运用的是算术思维;解法二中,学生运用的是代数思维。
在算术思维中,表达式是一种思考的记录,是直接联结题目与答案的桥梁。
在代数思维中,表达式不再只是直接联结问题与答案之间的过程记录,同时也充当一个问题转译的角色。
因此,从代数思维的角度来看,解情境问题的过程被分成两部分,即列式与求式子的解。
一旦具体情境问题通过列式被转译成代数式(方程式),其运算过程即演变成一种与原问题情境无关的符号运算,运用的是具.从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。
绝大多数学生，经历认识上的这个过渡时，都不会自然而然、简简单单就完成的。
需要教师精心地设计活动，让每个学生都有机会经历，有机会感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。
在小学教学的诸概念中，方程是一个抽象的概念，方程，其含义是指含有未知数的等式。
它的刍形在各年级均有类似的式子反映，一年级的２＋（）＝５8－（）＝３可以理解为方程的起步，只是解法上没有特别的规定，高年级提出的解简易方程，作出了规范化要求，即必须书写“解”字。
再按数量关系求出未知数。
教材中强调的是利用数量关系求出未知数，例如：１８＋ｘ＝３０根据：加数＝和减另一个加数求得ｘ的值，像４＋３ｘ＝１０是让学生将“３ｘ”看作一个数，再按：加数=和减另一个加数得３Ｘ＝１０－４，３ｘ＝６、最后又按：因数＝积除以另一个因数求得Ｘ的值。
代数发展史
•对于两鼠穿墙问题，《九章算术》给出的解法便是享誉 古今的“盈不足术”。(回忆一下，这是我们小学时学过 •的)具体解法如下：
• 解：假设两只老鼠打洞2天，则仍差5寸(1寸为0.1 尺)，不能把墙打穿，假设打洞3天，就会多 出3尺7寸半，这样一来，便化繁为简，成为 了典型的“盈不足”问题：
两只老鼠相遇的 23.7530.522
3.2 代数运算
• 引入数学符号之后，人们开始对于方程，方程组的叙 述做到了简约而不简单，而这个极大的简化也正式将 代数运算推上了历史的舞台。
• 而各种算术中的运算法则在代数运算中的通用性更是 大大的加速了人们对于方程求解这一类在日常生活和 科学研究中占据重要地位的数学问题的研究，最终导 致了新的数学学科的发现。
• 今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺， 小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半， 问几何日相逢？各穿几尺？
• 用今天的办法，设大鼠和小鼠在x日后相逢： • 我们得出这样的一个用数列求和的等式：
1 2 4 2 x 1 1 1 1 5 24 2 x
1.1.3 求解过程
• 由数列求和公式得：
代数发展史
整体脉络
• 1.算术与数的进制 • 2.数的表示与数的扩充 • 3.数学符号与代数运算 • 4.方程求解与抽象代数
1.1 算术
• 高斯说：“算术给予我们一个用之不竭、 充满乐趣的宝库。”
• 中国古代的政治制度，很大程度决定了 中国数学中“算”占据了最主要的地位， 所以毋庸置疑的是，中国古代数学对于 算术的重视程度和取得的成就都是世界 上数一数二的，而传承下来的著作，解 决掉的难题和让人拍案叫绝的计算方法 仍是当今数学界的瑰宝。
• 在这其中，丢番图，以及我们熟知的韦达，笛卡尔都做了 巨大的贡献，他们将繁琐的文字表达方式改进为使用 x,y,z代表未知量，用a,b,c代表已知量。
从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例
教海探索还愿意给他卖命；从鸿门宴座次的安排可见项羽妄自尊大且行事高调；从项羽对樊哙的态度可见项羽虽爱惜勇士却敌我不分；他最后一败涂地，乌江自刎，也是意料之中。
从这些细节都直指项羽也许勇猛但却没有领导智慧，沽名钓誉，倒行逆施。
所以即便项羽在鸿门宴中杀了刘邦，也会有“李邦”、“张邦”、“某邦”等出现，来阻止他夺取天下。
同时，我们可以以此为契机，探讨“性格与人生”的关系，延伸课堂，深化内容。
如此实施阅读教学，有助于学生深入文本，破除刻板印象，引导学生从“大英雄”项羽被“狡猾小人”刘邦夺取天下的惋惜情绪中上升到理性思考，提升学生的思辨能力。
再如：必修二《最后的常春藤叶》中，在文本教学完后，我们可以探讨，假设贝尔曼知道自己冒雨为琼珊画叶子会付出生命的代价，是否还会义无反顾地去？有学生认为贝尔曼会去，他善良性格使然；但是也有学生认为他不会去，毕竟人都是趋利避害的。
关于这个问题，在阅读教学课上可以展开一场辩论赛。
学生“斗志满满”，会极尽所能去说服对方。
这就会促使他们大范围去收集资料，深入文本去找出支撑自己观点的细节，会认真组织语言去撰写辩论稿，这个过程将非常有助于提升思维的深刻性。
笔者认为，高中语文阅读教学要树立发展学生思维能力和提升学生思维品质的理念，在教学内容选择上可以采用以学生的问题为导向，设置主问题，有的放矢，提高学生思维系统性；在教学方法上，应该尊重学生的主体地位，适当采用“自主学习合作探究”的方式来深入探究，提高学生思维的深刻性；在教学成果反馈方面，要求学生读思结合，甚至要求学生读写结合，以文字形式呈现思维结果等。
通过以上策略，以期望在阅读教学过程中有意识地提升学生思维的系统性、深刻性、灵敏性、独创性和辩证性。
参考文献［1］陈剑峰.真问题：语文高效课堂的基石——以《孔乙己》教学为例［J］.语文知识，2014（4）.［2］李光明.思维发展与提升导向下的高中语文研究性阅读教学探究［D］.黄冈师范学院，2019.［3］姚婧.批判性阅读教学的实施策略［J］.语文教学通讯（D刊），2018（7）.［4］余映潮.我对阅读教学“主问题”的研究与实践［D］.中学语文教学，2007（9）.［5］中华人民共和国教育部.普通高中语文课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.（作者单位：浙江省杭州市萧山区第六高级中学）从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例■陈雨《用字母表示数》是苏教版小学数学五年级上册第八单元的内容，是数学四大学习领域之一——“数与代数”的一个重要内容，是学生学习代数的基础。
初中数学教学中学生自学能力培养
初中数学教学中学生自学能力的培养在教学中，教学生“会学”比“学会”更重要。
教师要注重教给学生学习方法，不但可以使学生在一生学习中，能够钻研探索、获取和创造新知识，而且更有助于学生形成自奋其心、自求得知的良好学习习惯，从而形成较强的自学能力。
在教学实践中，我一直致力于培养每一届学生的自学能力，以现在的教是为了以后的不教而会学为理念，为学生的终生学习做准备。
一、激发学习兴趣，强化学习动机自学是一种个体的、自觉的活动，开展这项活动需要浓厚的学习兴趣和正确的学习动机。
学习兴趣和学习动机直接关系到自学的效果。
学习动机是直接推动学习活动的内部动力。
在平时课堂教学中注意这方面的引导和鼓励，以便形成正确的学习动机。
在培养学生自学数学能力时，一方面对学生说明进行自学数学的意义，另一方面让学生在数学学习中，获得成功的体验，以增强自学数学的兴趣。
数学活动是增强学习兴趣、激发学习动机的又一个主战场。
充分利用数学活动的优势，对学生及时进行学习兴趣、学习动机的引导和强化。
使学生在成功后有了学习兴趣，在失败时能更加明确学习目标，强化学习动机。
使学生从教师“指路”学习，变成自己“找路”学习。
通过这样的活动，加深了学生对数学知识的理解，使学生了解到生活离不开数学知识，培养了学生分析问题解决问题的能力，在学用结合上激发了学生的学习兴趣。
二、认真解决好学生的三个过渡1.从小学到初中的过渡学生从小学升入初中，学习环境、学习内容、学习方法等方面都有许多不适应、不熟悉的地方，需要有一个适应过程。
初一学生年龄只有十二、三岁，是儿童时期向青年时期过渡的阶段，他们有依赖性，不善于独立思考，习惯于具体形象的思维，记忆方面，机械记忆大大强于理解记忆，他们习惯于照老师讲的、书上写的去模仿套用解题，而不善于分析思考。
针对初一学生的上述特点，教学中注意逐步过渡：（1）用比较生动、形象的儿童语言，通过具体事例、实物演示，加强教学的直观性，逐步引导学生掌握教材，培养兴趣。
数学教学从算术到代数的转折
数学教学从算术到代数的转折作者：马毅摘要：七年级的数学教学是一个由小学算术到初中代数的一个转折点。
从算术走向代数，是学生在数学学习中的一大转折点，也是教师在教学中的一大教学转折点。
这个转折意味着从小学数学转折到中学数学，从前的学习都是实实在在的数与数，然后现在是要用字母表示数，从而在前进到方程、函数等数学的重要模块。
文章结合教学实践论述了初一教学中从算术到代数的转折以及它们的衔接应该注意的几个问题。
引言：数与代数的内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位，有着重要的教育价值，如：有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律；有助于学生形成运用数量关系进行思考的思维方式；有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展。
代数，乃是数学学习的关键点。
由算术进入代数范畴，不仅是引入了文字符号来处理运算，同时也代表着数学的学习要从具体情境进入抽象概念。
在所有国家的中小学数学课程中，代数均处于核心的地位。
因此，本文对处于这个过渡阶段的初一年级学生作为对象，采用文献研究结合教学实践的方法展开研究。
主要通过阅读文献，在教学实践的基础上，讨论了初一数学学生学习文字符号及一元一次方程的代数内容出现的问题，继而根据分析结果总结了初一学生从算数思维向代数思维过渡中面对的主要困难以及教师在教学中需要克服的障碍。
正文：初中一年级数学涉及的数、式和方程内容与小学数学中的算术数、简易方程、算术应用题等知识有关，但比小学内容更为丰富，抽象，复杂。
可见，从算术向代数过渡的阶段是学生数学学习中非常重要的转变阶段，学生需要实现从对数的思考向对符号思考的转变.在教学方法上也不尽相同。
要做好这块知识转折的教学，教师应做好以下几方面的工作。
1 揭示知识内在联系，注意新旧知识的衔接事物的发展总是有一个由低级到高级的过程。
人们认识事物也有一个特殊到一般的过程。
教学也应该遵循这种事物发展的客观规律，要充分发挥学生已有知识的优势，使之产生正迁移，从而达到掌握新知识的目的。
算术与代数的区别与联系
算术与代数的区别与联系 Prepared on 22 November 2020算术与代数的区别与联系好的数学教师应当具有这样一种专业素养，即是能够跳出细节并从整体上把握自己的教学内容，如什么是这一学期、这一学年，乃至整个学段和整个小学学习期间的主要教学内容，教师在教学中并应努力做好“承上启下”的工作。
显然，从这一角度去分析，弄清算术与代数（在此主要指初中代数――下同）之间的区别与联系就特别重要，因为，自然数、分数与小数的认识以及它们的运算正是小学数学教学（更为准确地说，应是“算术”教学）的主要内容，而且，代数思想在算术教学的渗透，不仅直接关系到我们的算术教学能否真正做到“居高临下”，对于学生顺利地由小学过渡到中学也是十分有利的。
当然，这也正是新一轮数学课程改革的一个明显特点，即是将原先属于初中代数的部分内容（负数和方程）下放到了小学，从而也就在这一方面提出了直接的要求。
一、同与不同1．从总体上说，这显然是算术与代数的一个重要区别，即有着不同的研究对象：算术主要集中于自然数、分数和小数的认识，包括相应的计算方法；代数的研究对象则不仅由具体的数扩展到了由字母和数字组成的（代数）式，也更加侧重于方程的研究与应用。
当然，从形式上看，代数中关于式的研究又应说是与算术中关于数的研究较为接近的。
具体地说，尽管运算的对象不同，其涵义也有所扩展，特别是引进了合并同类项、因式分解等新的运算，但在数的运算与式的运算之间显然又有着直接的类比关系。
更为重要的是，两者似乎也有着共同的关注，即如何能够通过适当的计算求得最终的结果。
也正是在这样的意义上，一些学者提出：“算术在很大程度上是过程性的。
”另外，这显然也就是人们在算术的教学中何以特别重视算法的掌握以及计算的准确性和迅速性的直接原因。
然而，应当强调的是，如果我们对于式的教学采取完全相同的观点，即是唯一强调如何能够通过适当的计算求得所需要的结果，则就很可能因此而忽视了一个十分重要的代数思想：“代数即概括。
专题03从算术到代数
专题03 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项22(1)(1)n n n n 的特征入手.【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯. （江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*） （1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝22001时，求m 的值和这m 个数的积. （2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2—b 3，a 3＋b 5，a 4—b 7，…，其中第十个式子是（ ） A. a 10＋b 19 B. a 10-b 19 C. a 10-b 17 D. a 10-b 21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1（山东省济南市中考试题）（广东省广州市中考试题）B 级（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）(1)s b (1)s a (1)s b (1)sa某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高%，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（山东省竞赛试题）7.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A ．22c a bB ．2c abC ．2ab cD ．22a bc(“希望杯”邀请赛试题)9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）。
浙教版七年级(上)第三章实数教材分析
浙教版七年级（上）第三章实数教材分析桐庐县毕浦中学陈小林本章的主要内容是有理数的开方、平方根、立方根，无理数和实数及其运算。
本章教材主要从以下七个方面进行分析：1、新“课标”下的本章教学目标根据《数学课程标准》中的陈述，我们得到本章的教学目标如下：（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
（2）了解开方与乘方互逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
（3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围。
（5）会进行简单的实数四则运算，进一步认识近似数与有效数字的概念，能用计算器进行近似计算，并根据问题的要求对结果取近似值。
（6）能运用实数的运算解决一些简单的实际问题。
2、本章的知识结构实际计算的需要平方根开平方算术平方根用计算器求算术平方根无理数实数立方根开立方用计算器求立方根实数的运算3、本章的数学思想方法数学思想方法是数学知识的主要组成部分，也是数学教学的主要内容，通过分析，本章的数学思想方法主要有：（2）分类讨论的思想。
本章中关于实数的分类，就利用了这一思想。
（3）对立统一思想。
由于本章引入了无理数、实数的概念，把开方、平方及有理数运算和实数运算统一起来，所以，在这一章中，有利于对学生进行“对立统一”思想方法的教育。
（4）转化的思想。
本章中，通过“开方”的概念及计算器的应用，把有理数的运算转化为实数的运算。
这是非常重要的思想方法，对它的学习不仅解决了实数的运算，而且对进一步学习数学提供了一种重要的思想方法。
4、对本章教材的理解与处理本章教材注意突出学生的自主探索，通过一些熟悉的具体事物，让学生在观察、思考、探索中体会实数的意义，探索数量关系，掌握实数的运算，其教育价值体现在以下几个方面：（2）本章在数的概念的建立、扩充及运算的过程中，呈现给学生大量丰富的现实背景，并以学生已有的经验为出发点，关注知识的形成过程，关注学生的学习兴趣和自信心，关注学生探究和运用数学能力的发展，这将有助于培养学生的创新意识和发现能力。
数学思想方法的几次重大转折
数学思想方法的几次重大转折历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。
数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。
回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。
1.从算术到代数算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。
算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。
从算数发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的突破，也是数学在思想方法上的一次重大转折。
在算术解题法中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利。
而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。
在这个统一体中，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边。
解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。
解方程是古典(经典)代数最基本的内容。
方程在数学中占有重要的地位，它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对整个数学的进程产生巨大的影响。
特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关，例如，∙对二次方程的求解，导致虚数的发现；∙对五次和五次以上方程的求解，导致群论的诞生；∙对一次方程组的研究，导致线性代数的建立；∙应用方程解决几何问题，导致解析几何的形成；∙等等。
显然，代数解题法(相对于算术解题法)更具有新奇性和简单性(算术解题法需要更强的技巧)2.从常量数学到变量数学算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。
它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分内容，也称为常量数学。
数学思想方法的重大突破
数学思想方法的重大突破数学思想方法的最大突破一、数学思想方法的重大突破之从算术到代数【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。
历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系。
算术是代数的基础，代数由算术演进而来。
从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破。
一、代数学产生的历史必然性代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数。
初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。
从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础。
我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算。
算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。
算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以相象。
在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。
算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算。
也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果。
许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的。
算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型。
对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，在列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行。
从初一新生解题错误成因上分析教学方法上改进论文
从初一新生解题错误成因上的分析探究教学方法上的改进在数学学习过程中，学生解题出现错误是不可避免的。
特别是对于初一新生来说，因为刚从小学升入初中学习环境、学习内容、学习方法等方面都有许多不适应、不熟悉的地方，需要有一个适应过程。
在三个月来的初一数学教学过程中，我发现学生的有些错误思维是非常顽固的，比如说不善于独立思考，习惯于具体形象的思维，记忆方面，机械记忆大大强于理解记忆，他们习惯于照老师讲的、书上写的去模仿套用解题，而不善于分析思考。
针对这一系列的问题，本文结合教学实例，对干扰学生正确解题的原因进行分析，并就有关解决方案进行了多方面的尝试和创新。
一、成因分析就初中学生解题错误而言，造成错误的干扰来自以下两个方面：一是小学数学的干扰，二是初中数学前后知识的干扰。
(一)小学数学的干扰在初中一开始，学生学习小学数学形成的某些认识会妨碍他们学习代数初步知识，使其产生解题错误。
到目前为止，在教学过程中碰到比较多的问题如下：1，在小学数学中，解题结果常常是一个确定的数。
受此影响，学生在解答问题时出现混乱与错误。
2，小学数学中形成的一些结论都只是在没有学负数的情况下成立的。
也就是说，学生习惯于在非负数范围内讨论问题，容易忽视字母取负数的情况，导致解题错误。
3，学生习惯于算术解法解应用题，这在讲解一元一次方程时体现得尤为突出。
总之，初中开始阶段，学生解题错误的原因常可追溯到小学数学知识对其新学知识的影响。
讲清新学知识的意义(如用字母表示数)、范围(正数、0、负数)、方法与旧知识(具体数字、非负数、加减运算、算术方法)的不同。
有助于克服干扰，减少初始阶段的错误。
(二)初中数学前后知识的干扰随着初中知识的展开，初中数学知识本身也会前后相互干扰。
例如，在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3-7中7前面的符号“一”是减号给学生留下了深刻的印象。
紧接着学习代数和，又要强调把3-7看成正3与负7之和，“一”又成了负号。
华罗庚学校数学教材(六年级下)第10讲 从算术到代数(二)
本系列共14讲第十讲从算术到代数（二）.文档贡献者：与你的缘在上一讲中我们着重讲了在许多问题中算术方法是不可缺少的；在这一讲中，我们将通过一些例子看到代数方法不可取代的巨大优越性和强大威力，同时说明一元一次方程，多元一次方程组，不定方程的一般解法。
例1一个学生做25道数学题，对一题得4分，不答不给分，答错一题倒扣1分.他有3道题未做，得了73分.问他共答对了几道题？解：设对了x道题，则答错25－3－x道题.依题意列方程：4x－（25－3－x）=734x－22+x=735x＝95x＝19.答：这个学生答对了19道题.例2某水池装有甲、乙两个注水管，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满.现在要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合开的时间尽可能少，那么甲、乙两管最少需要合放多少小时？解：分析一下，由于要求甲、乙两管合放的时间尽可能少，所以必须让注水快的甲管在10个小时中全开着.其余的由乙管补足.设甲、乙两管最少需合放x小时，则：111011224x ×+×=22412x =1246x =×=4x 答：甲、乙两管最少需要合放4小时.例3甲、乙两队学生参加郊区夏令营，但只有一辆车接送，坐不下.甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行.车到途中某处让甲队学生下车步行，车立即返回接乙班学生并直开到夏令营，两班学生正好同时到达.已知学生步行速度为4千米/小时，汽车载学生时速度为40千米/小时，空车时速度为50千米/小时，问甲班学生应步行全程的几分之几？解：如图：设全程为x 千米，甲、乙两队分别步行a、b 千米.要使两队学生同时到达夏令营，只有他们两队步行的路程相等才行，故a=b.等量关系是：乙队走a 千米路程的时间正好等于汽车送完甲队又原路返回时遇到乙队的时间，即：240504x a x a a −−+=963x a=∴17a x =答：甲队步行了全程的。
17例4一个矩形长33厘米，宽32厘米，用正方形如下图分割，已知最小正方形边长为1厘米，第二个小正方形边长为4厘米，请在图中填出其余正方形的边长.解：设如图中第③个小正方形边长为x，则其余每个正方形的边长都可以用x 的代数式表达出来，如图所示.再由大长方形的长为33厘米可得关系式：2x＋1+x+11=333x=21x=7（厘米）.于是图中所有正方形的边长均可将x＝7代入，得如图所填的值.还可以用大正方形的宽为32厘米来验证所求值的正确性：2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32（厘米）.例5小明每天定时从家到学校，若小明每分钟走30米，则迟到3分钟；若小明每分钟走40米，则早到5分钟.求小明家到学校的距离.解：设小明家到学校的距离为S 米，则353040S S −=+去分母，方程两边同乘以120：4S－360=3S＋600S=960答：小明家离学校960米.有的问题必须用两个或更多的未知数才能列出方程，而且方程的个数也往往不只一个，我们称含有两个未知数并且未知数所在项的次数都是1次的这种方程为二元一次方程.例如x+y=5.适合这个二元一次方程的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解.如：方程x+y=5的正整数解有：x=1，y=4；x=2，y=3；x＝3，y=2，x=4，y=1这四个解.如果一个问题的两个未知数必须满足两个二元一次方程，这两个方程联立在一起就叫做二元一次方程组.同时适合这两个二元一次方程的每一对未知数的值叫做这个二元一次方程组的一个解.多个未知数的方程组也可以类似地定义，解法也类似，在这里举两个最简单的例子来介绍二元一次方程组的解法.常用的有代入消元法和加减消元法.总之都是先设法消去一个未知数.①代入消元法：例6解二元一次方程组把（2）中的y用（1）中的3x代替，就可以消去一个未知数y，得：x＋3x=84x=8x=2.再把x=2的值代入（1）或（2），得：y=6.∴这个方程组的解为②加减消元法：例7解方程组（2）－（1）得：6x=54x＝9.将x=9代入（1）或（2）得：11y=3∴原方程组的解为再看几个二元一次方程组的例子.例8一条路从甲地到乙地是下坡，从乙地到丙地是平路，一人骑车以每小时12千米的速度下坡，而以每小时9千米的速度通过平路到达丙地，共用了55分钟；回来时以每小时8千米的速度行至乙地，又以每小时4千米的速度行到甲地，共用了1.5小时.问从甲地到丙地共有多少千米？解：设从甲地到乙地为x千米，从乙地到丙地为y千米，依题意可得下列方程组：去分母，两端同乘以两个方程的分母的最小公倍数。
刍议算术思维到代数思维的转换
刍议算术思维到代数思维的转换摘要：算术的基本对象是数，代数的基本对象除了数之外还包含一些符号，在数学学习的过程中需要学生随着学习的深入实现从算术思维到代数思维的发展转变。
文章在阐述算术思维和代数思维内涵的基础上，立足于代数学习可能遇到的问题，就如何实现从算术思维到代数思维的转变进行探究。
关键词：算术思维；代数思维；转换算术思维到代数思维的转换是小学数学学习所面临的一个重点问题，在学生的数学知识积累到一定程度之后就需要教师引导学生将数学学习思维实现从算术思维到代数思维的转变，即要求教师在认识到代数学习程序复杂、过渡衔接困难的基础上，结合学生的认知特点和数学学习规律来积极探索一种新的教学方法和经验，从而使得学生的数学学习实现从数字到符号、从特殊到一般、从程序到结构的过渡转变。
一、算术思维和代数思维概述算术思维的运算流程是一种程序性的，强调的是借助数量的计算和统计分析来求解出答案的过程。
基于算术思维的计算过程体现出了情境性、特殊性、计算性的特点，一系列计算都是偏向直观的方向。
代数思维运算是结构性的，关注的是关系的符号化和运算，是不能够依赖直观来判断和获得的。
在算术思维中，表达式是辅助思考和最终思考结果的一个记录，也是连接题目和答案的桥梁。
在代数思维中，表达式不仅仅是连接问题和答案的一个记录形式，也扮演了翻译问题的角色。
从代数思维角度来看问题的解决分为情境分析问题和翻译转化分析，运算的过程会转变为一种和之前问题情境不相关的符号运算。
二、代数学习中遇到的问题从算术思维到代数思维转变的过程中光凭借反复的练习操作是不足够的，还需要在反复练习的过程中从量变到质变。
在小学阶段数学学习的时候会接触一些代数思想，例如，假设应用未知量x打造出方程的方式来解答数学应用题。
但是在进入初中之后学生的学习会遇到一些问题，表现在以下几个方面：第一，符号意义缺乏连续。
字数代数是从常量到变量数学学习转变的体现，通过对数、式和方程的学习不仅能够帮助学生掌握一种概念，而且还会帮助他们掌握各类代数思想。
《九章算术》中的代数部分
“实”的个位下边，图1图2图3图4“议得”x大于3而小于，就把作3为平方根的第图5图6议得平方根的个位数=5.用5乘以“借算”1得加上460得465.用5乘以465，从“实”内减去它，没有55225的平方根235.数学史话下面保留两个空层,把“算借”=1860867.图7图8通过估算可得x1>1，将其作为立方根的第一个数码，在“实”的百位上面.用乘以1000000得1000000，把它放在借算上面，称为“中行”图9图10又“议得”x2>2，将其放在立方根的第二个数码上，并放在“实”的十位上，把“中行”乘以2得60000，将其放在“法”的右边.用2的平方乘以“借算”得4000，将其放在“中行”的右边.又将这两个数加上“定法”得364000.用2以乘“法”，从"实"内减去所得的结果，余数图11图12图13再“议得”立方根的末位数为x3=3.用3乘以“中行”得1080，用3的平方乘以“借算”得9，将两数并入“定法”得44289为“法”,用3乘以”法”，从”实”内减去所得的结果，恰好为0，如图13.这样就得1860867的立方根123.开带从平方数学史话图14图15以上面所举的第1题为例，依照方程章的“方程演算如下：用(1)式内x的系数3乘以(2)式中的各项，得6 3z=102(4)将(4）式“直除”(1)式，也就是两次减去(1)式的各得5y+z=24，(5)同样，用(1)式内x的系数3乘以(3)式中的各项，6y+9z=78，(6)，筹式如图17.图16图17那么，利用直除法的方程术就是一种关于矩阵的计算.《九章算术》的方程章中有十八个联立一次方程组问题，其中二元的有八题，三元的有六题，四元的、五元的各有两题，都用上述的演算程序解答多元一次数学史话。
【免费下载】从算术思维过渡到代数思维是每一个学生必须面对的
从算术思维过渡到代数思维是每一个学生必须面对的。这个飞跃对于大多数学 生而言都会存在不同程度的困难，都将是一次挑战。这个过渡是个过程，而且 这个过程的长短对不同的学生而言也会存在差异，教师在教学中首先应重视对 学生代数思维的培养。应对不同的学生给予不同的关注和辅导，与此同时，教 师还应着眼于学生的发展，整体把握目标的达成。也就是说，“字母表示数”及 “方程”相关内容的学习是在第二学段高年级出现的，但对学生代数思维的培 养，不一定也不应该等到这个时候才开始。在前面的很多内容教学中应该有意 识地孕伏，让学生有机会在不同内容的学习中“找感觉”，积累经验，不断地为 完成好认识上的重要飞跃打基础。
正如《标准》所认为的：数学学习“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学 生学习数学的心理规律”。如果说数字符号是对生活中各种物体个数的抽象概括， 那么代数式则是对各种数字符号的抽象概括。在认识用字母表示数时，教材一 般从学生熟悉的生活中选择一些典型数量关系，先让学生用算式表示问题的结 果，再通过改变具体数量，抽象出用字母表示数，写出相应的含有字母的式子。 具体情境能激活学生已经积淀的算术层面对数量关系的理解，支撑学生在代数 层面对数量关系的理解。 注意挖掘已有的抽象素材。小学阶段的主要任务是培养代数思想的意识，因此 不能过早地引入抽象的代数符号和不必要的术语，以免增加学生的负担。现行 小学数学教学内容中就有许多抽象的表达形式的原型。只要将其作简单变形就 可以成为代数思维的极好素材，如填空题中，常见下列形式：27＋□＝91 这里 的“□”是用来表示要填的数的位置，如果换个写法，就变成了：27＋X＝91， 求 X 的值，这样就变成了一个方程问题了。这种形式的变化，有利于学生代数 思维的形成，但在初期不必给 X 起名叫“未知数”，而只要告诉学生这个数就可 以。 在以往的教学中，我们对估算教学的重视程度不够，往往都是很浅显的交给学 生一些简单的估算方法，没有在学生脑子里形成一种意识，一种习惯。通过这 次学习，使我意识到估算教学的重要性，是估算思想感悟与意识培养的统一体。 学生掌握了科学的估算方法，并能灵活运用，对提高学生的分析、判断能力， 培养学生思维的深刻性、灵活性和独创性都将起到积极的促进作用。而估算教 学中突出估算意识的培养，绝不只是在练习中增加几道习题就能解决的，而是 要经过长期的、有计划的、有步骤的渗透和训练，贯穿于小学数学教学的全过 程。
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4 的解为不等于0的自然数,
则k所能取的整数值是多少？
3.有一些分别标有6，12，18……的卡片,后一
张卡片上数总比前一张卡片上的数大6,小明拿 了相邻的3张卡片,且这些卡片的数字之和为342。
(1)猜猜小明拿到了哪3张卡片？
(2)小明能否拿到相邻的3张卡片使它们的数字 之和等于86？如果能拿到，请求出这3张卡片上 的数字各是多少？若不能拿到,请说明理由。
3 所以 m 2
变式训练:
①x＝2是下列哪个方程的解（ ）
④在-1，0，1，2，3五个数中___________是 方程x² -5x+6＝0的解
3.列方程 例4:一根铁丝,第一次用去了它的一半多1米,第 二次又用去了剩下的一半少1米,此时还余3.5米, 请问铁丝原长多少？ 归纳:列方程解决实际问题,把文字语学转化为 数学语言表达的代数式.先设未知数,再分析已知、 未知的数量关系,然后依等量关系列方程。
【三】课堂检测 1.P83－84 习题T1,T5,6,7,8,9.
2.一个数的
1 3
பைடு நூலகம்
与3的和比这个数的2倍少
1,求这个数(只列方程)
1 1 3、一堆煤，烧掉 后,又烧去 4 吨，还余 4
3 5 4
吨,这堆煤原来有多少吨？(只列方程)
拓展 1.一个两位数个位上的数是1,十位上的数 是x,把它们互调位置后，新两位数比原两 位数小18,问x是多少？ 2.关于x的方程 kx
课前检测 1.一元一次方程的相关概念。 2.x＝1是下列哪些方程的解
课堂探究 1.等式与方程
例:下列各式哪些是等式？哪些 是方程？哪些是一元一次方程？
2.一元一次方程的解 例:已知关于x的一元一次方程mx+3＝0 的解是x=2.试求m的值。 解：因为mx+3＝0的解是 x＝2 所以2m+3＝0