河北省衡水市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版
2012-2013学年第一学期期末高二数学（理科）试题及答案
2012-2013学年第⼀学期期末⾼⼆数学（理科）试题及答案⾼⼆数学（理科）试题第1页共4页试卷类型：A肇庆市中⼩学教学质量评估2012—2013学年第⼀学期统⼀检测题⾼⼆数学（理科）注意事项：1. 答卷前，考⽣务必⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔将⾃⼰的班别、姓名、考号填写在答题卷的密封线内.2. 选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卷上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需要改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. ⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题⽬指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案⽆效.参考公式：球的体积公式：334R V π=，球的表⾯积公式：24R S π=，其中R 为球的半径⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，满分40分. 在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．命题“若x >5，则x >0”的否命题是A ．若x ≤5，则x ≤0B ．若x ≤0，则x ≤5C ．若x >5，则x ≤0D ．若x >0，则x >5 2．若a ∈R ，则“a =1”是“（a -1）（a +3）=0”的A ．充要条件B ．充分⽽不必要条件C ．必要⽽不充分条件D ．既不充分⼜不必要条件3．双曲线125422=-y x 的渐近线⽅程是 A ．x y 425±= B ．x y 254±= C ．x y 25±= D ．x y 52±= 4．已知直线l 1经过两点（-1，-2）、（-1，4），直线l 2经过两点（2，1）、（x ，6），且l 1// l 2，则x =A ．4B ．1C ．-2D ．2 5．已知p 、q 是两个命题，若“?（p ∨q ）”是真命题，则A ．p 、q 都是真命题B ．p 、q 都是假命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是真命题且q 是假命题⾼⼆数学（理科）试题第2页共4页6．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离⼼率为22，则双曲线12222=-by a x 的离⼼率为A ．26 B ．332 C ．2 D ． 37．将长⽅体截去⼀个四棱锥，得到的⼏何体如图所⽰，则该⼏何体的侧视图为8．已知M 是抛物线)0(22>=p px y 上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为A ．1B ．1或4C ．1或5D ．4或5⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，满分30分. 9．已知命题p ：?x ∈R ，322=+x x ，则?P 是▲ .10．空间四边形OABC 中，=，=，=，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N为BC 的中点，则= ▲ .11．抛物线24x y -=，则它的焦点坐标为▲ .12．圆锥轴截⾯是等腰直⾓三⾓形，其底⾯积为10，则它的侧⾯积为▲ .13．直线)1(-=x k y 与双曲线422=-y x 没有公共点，则k 的取值范围是▲ .14．如图，半径为2的圆O 中，∠AOB =90?，D 为OB 的中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，则线段DE 的长为▲ .三、解答题：本⼤题共6⼩题，满分80分. 解答须写出⽂字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本⼩题满分12分）三⾓形的三个顶点是A （4，0），B （6，7），C （0，3）. （1）求BC 边上的⾼所在直线的⽅程；（2）求BC 边上的中线所在直线的⽅程；（3）求BC 边的垂直平分线的⽅程.ABCDABDE⾼⼆数学（理科）试题第3页共4页16．（本⼩题满分13分）⼀个长、宽、⾼分别是80cm 、60cm 、55cm 的⽔槽中有⽔200000cm 3，现放⼊⼀个直径为50cm 的⽊球，且⽊球的三分之⼆在⽔中，三分之⼀在⽔上，那么⽔是否会从⽔槽中流出？17．（本⼩题满分13分）如图，四棱锥P —ABCD 的底⾯为正⽅形，侧棱P A ⊥平⾯ABCD ，且P A =AD =2，E 、F 、H 分别是线段P A 、PD 、AB 的中点. （1）求证：PD ⊥平⾯AHF ；（2）求证：平⾯PBC //平⾯EFH .18．（本⼩题满分14分）设⽅程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表⽰⼀个圆. （1）求m 的取值范围；（2）m 取何值时，圆的半径最⼤？并求出最⼤半径；（3）求圆⼼的轨迹⽅程.⾼⼆数学（理科）试题第4页共4页19．（本⼩题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，H 是正⽅形AA 1B 1B 的中⼼，221=AA ，C 1H ⊥平⾯AA 1B 1B ，且51=H C .（1）求异⾯直线AC 与A 1B 1所成⾓的余弦值；（2）求⼆⾯⾓A —A 1C 1—B 1的正弦值；（3）设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平⾯AA 1B 1B 内，且MN ⊥平⾯A 1B 1C 1，求线段BM 的长.20．（本⼩题满分14分）已知点P 是圆F 1：16)3(22=++y x 上任意⼀点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．（1）求点M 的轨迹C 的⽅程；（2）设轨迹C 与x 轴的两个左右交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意⼀点，KH ⊥x 轴，H 为垂⾜，延长HK 到点Q 使得HK =KQ ，连结AQ 延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．⾼⼆数学（理科）试题第5页共4页2012—2013学年第⼀学期统⼀检测题⾼⼆数学（理科）参考答案及评分标准⼀、选择题⼆、填空题9．?x ∈R ，322≠+x x 10．212132++-11．（0，161-） 12．210 13．),332()332,(+∞--∞ 14．553三、解答题 15．（本⼩题满分12分）解：（1）BC 边所在的直线的斜率320637=--=k ，（2分）因为BC 边上的⾼与BC 垂直，所以BC 边上的⾼所在直线的斜率为23-. （3分）⼜BC 边上的⾼经过点A （4，0），所以BC 边上的⾼所在的直线⽅程为)4(230--=-x y ，即01223=-+y x . （5分）（2）由已知得，BC 边中点E 的坐标是（3，5）. （7分）⼜A （4，0），所以直线AE 的⽅程为430540--=--x y ，即0205=-+y x . （9分）（3）由（1）得，BC 边所在的直线的斜率32=k ，所以BC 边的垂直平分线的斜率为23-，（10分）由（2）得，BC 边中点E 的坐标是（3，5），所以BC 边的垂直平分线的⽅程是)3(235--=-x y ，即01923=-+y x . （12分）16．（本⼩题满分13分）解：⽔槽的容积为264000556080=??=⽔槽V （cm 3）（4分）因为⽊球的三分之⼆在⽔中，所以⽊球在⽔中部分的体积为πππ9125000)250(983432331=?=?=R V （cm 3），（8分）所以⽔槽中⽔的体积与⽊球在⽔中部分的体积之和为⾼⼆数学（理科）试题第6页共260000491250002000009125000200000=πV （cm 3），（12分）所以V17．（本⼩题满分13分）证明：（1）因为AP =AD ，且F 为PD 的中点，所以PD ⊥AF . （1分）因为P A ⊥平⾯ABCD ，且AH ?平⾯ABCD ，所以AH ⊥P A ；（2分）因为ABCD 为正⽅形，所以AH ⊥AD ；（3分）⼜P A ∩AD =A ，所以AH ⊥平⾯P AD . （4分）因为PD ?平⾯P AD ，所以AH ⊥PD . （5分）⼜AH ∩AF =A ，所以PD ⊥平⾯AHF . （6分）（2）因为E 、H 分别是线段P A 、AB 的中点，所以EH //PB . （7分）⼜PB ?平⾯PBC ，EH ?平⾯PBC ，所以EH //平⾯PBC . （8分）因为E 、F 分别是线段P A 、PD 的中点，所以EF //AD ，（9分）因为ABCD 为正⽅形，所以AD //BC ，所以EF //BC ，（10分）⼜BC ?平⾯PBC ，EF ?平⾯PBC ，所以EF //平⾯PBC . （11分）因为EF ∩EH =E ，且EF ?平⾯EFH ，EH ?平⾯EFH ，所以平⾯PBC //平⾯EFH . （13分）18．（本⼩题满分14分）解：（1）由0422>-+F E D 得：0)916(4)41(4)3(44222>+--++m m m ，（2分）化简得：01672<--m m ，解得171<<-m . （4分）所以m 的取值范围是（71-，1）（5分）（2）因为圆的半径716)73(71674212222+--=++-=-+=m m m F E D r ，（7分）所以，当73=m 时，圆的半径最⼤，最⼤半径为774max =r . （9分）（3）设圆⼼C （x ，y ），则-=+=, 14,32m y m x 消去m 得，1)3(42--=x y . （12分）因为171<<-m ，所以4720<--=x y （4720<19．（本⼩题满分14分）解：如图所⽰，以B 为原点，建⽴空间直⾓坐标⾼⼆数学（理科）试题第7页共4页系，依题意得，A （22，0，0），B （0，0，0）， C （2，2-，5），)0,22,22(1A ， )0,22,0(1B ，)5,2,2(1C . （2分）（1）易得，)5,2,2(--=，)0,0,22(11-=B A ，（3分）所以322234||||,cos 111111==>=32. （5分）（2）易得，)0,22,0(1=，)5,2,2(11--=C A . （6分）设平⾯AA 1C 1的法向量),,(z y x =，则=?=?.0,0111C A AA m即=+--=.0522,022z y x y 不妨令5=x ，可得)2,0,5(=m . （7分）设平⾯A 1B 1C 1的法向量),,(z y x =，则=?=?. 0,01111B A C A n即=-=+--.022,0522x z y x 不妨令5=y ，可得)2,5,0(=. （8分）于是，72772||||,cos ==>==<，所以⼆⾯⾓A —A 1C 1—B 1的正弦值为753. （10分）（3）由N 为棱B 1C 1的中点得，)25,223,22(N .设M （a ，b ，0），则)25,223,22(b a --=，（11分）由MN ⊥平⾯A 1B 1C 1，得=?=?.0,01111C A MN B A即=?+-?-+-?-=-?-.0525)2()223()22()22(,0)22()22(b a a （12分）⾼⼆数学（理科）试题第8页共4页解得==.42,22b a 故)0,42,22(M （13分）因此41008121||=++=，即线段BM 的长为410. （14分）20．（本⼩题满分14分）解：（1）由题意得，())12,F F （1分）圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = （2分）从⽽12112||||||||4||MF MF MF MP F F +=+=>= （3分）所以点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中长轴24a =，焦距2c =则短半轴1b =，（4分）椭圆⽅程为：2214x y += （5分）（2）设()00,K x y ，则220014x y +=．因为HK KQ =，所以()00,2Q x y ，所以2OQ =，（6分）所以Q 点在以O 为圆⼼，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．（7分）⼜()2,0A -，所以直线AQ 的⽅程为()00222y y x x =++．（8分）令2x =，得0082,2y D x ??+．（9分）⼜()2,0B ，N 为DB 的中点，所以0042,2y N x ??+．（10分）所以()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ??=- ?+?．（11分）所以()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -?=-+?=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=．（13分）所以OQ NQ ⊥．故直线QN 与圆O 相切. （14分）。
河北省衡水市高二数学上学期期末考试试题 理 A版
衡水市第十四中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学（理）试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ）①若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题 ②“5>x ”是“0542>--x x ”的充分不必要条件 ③命题R x p ∈∃:，使得012<-+x x ，则R x p ∈∀⌝:，使得012≥-+x x ④命题“若0232=+-x x ，则1=x 或2=x ”的逆否命题为“若1≠x 或2≠x ，则0232≠+-x x ” A. 1 B. 2 C. 3 D.42.已知,1a ia R i-∈+为纯虚数，则a 的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．3.如图，正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为BC, CC 1中点，则异面直线1AB 与EF 所成角的大小为():A 30 :B 45 :C 90:D 604.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该A ．332 B ．3 C ．2或332 D ．332或3 5.正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为（ ）A ．3B ．3C ．23 D ．36.若双曲线x 2+ky 2=1的离心率是2，则实数k 的值是（ ）A ．-3B ．13-C ．3D ．137.已知22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 2恰好为y 2=4x 的焦点，A 是两曲线的交点，|AF 2|=53，那么椭圆的方程是( ) A.22143x y += B. 22154x y +=C. 2213x y += D.2212516x y += 8.曲线xy )21(=在0=x 点处的切线方程是 ( )A ．02ln 2ln =-+y x B. 012ln =-+y x C. 01=+-y x D. 01=-+y x 9 .由直线3π-=x ，3π=x ，0=y 与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为( ) A.21 B.1 C.23 D.3 10.若a>0,b>0,且函数224)(23---=bx ax x x f 在x=1处有极值，则ab 的最大值（ ） A.2 B.3 C.6 D.911. 对任意,25x R x x a a ∈-+-≥恒成立，则的取值范围是（ ）； A.[]2,5； B.(]-2∞，； C. (]-3∞，； D. (]-5∞， 12.函数)0(123)(2>+=x x x x f 取得最小值时x 为（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上．13.已知0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞是单调增函数，则a 的最大值是14. 19.抛物线2ax y =的准线方程是y =2，则a 的值为_____ 。
河北省衡水中学2013-2014学年高二上学期二调考试 数学理试题 含答案
2013—2014学年度上学期高二年级二调考试数学理科试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共2页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分)一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．若a ，b 都是实数，则“0>-b a ”是“022>-b a ”的(）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2.若点P 在椭圆2212x y +=上，1F 、2F 分别是该椭圆的两焦点，且1290F PF∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A. 1 B 。
2 C 。
D.123．下列命题中,是真命题的个数：（ ） （１）3x >且6y >是9x y +>的充要条件； (２)命题“若x AB ∈，则x A ∈"的逆命题与逆否命题；（３）命题“若3x <-，则13x ->”的否命题与逆否命题； （４）,x R y R ∀∈∃∈，使0x y +=。
A ．0个 B.1个 C 。
2个 D.3个 4. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n （n ＝1，2,3，…),若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 15D ．S 14 5．椭圆2249144xy +=内一点(3,2)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程 （ )A. 01223=-+y x B 。
23120x y +-=C.491440x y +-=D.941440x y +-=6。
方程(x+y —=0表示的曲线是( ）A 一个圆和一条直线B 半个圆和一条直线C 一个圆和两条射线D 一个圆和一条线段7．椭圆42x +32y =1上有n 个不同的点P 1，P 2,P 3，…，P n , F 是右焦点,|P 1F ｜，｜P 2F |，…，|P n F |组成等差数列，且公差d 〉1001，则n的最大值是（ ）A.99 B 。
重庆市2012-2013学年高二数学上学期期末测试试题 理(扫描版)新人教A版
重庆市2012-2013学年高二数学上学期期末测试试题理（扫描版）新人教A版重庆市2012年秋高二(上)期末测试卷数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1～5 BBADC 6～10 CCDAC9．提示：(1,0)F ，设00(,)P x y ，∵||4PF =，∴014x +=即03x =， 由焦半径公式，0||4PF a ex =-=，解得2a =∴P到右准线的距离为208a x c-=+10．提示：如图，各棱长均相等的三棱锥11ACB D 在面1111A B C D 上投 影为边长为的正方形，所求三棱锥体积为正方体体积减去 四个三棱锥的体积，即111463V =-⋅=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上. 11．x R ∀∈,+0ax b ≤12．3213．214．15三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）圆22:(2)(1)5C x y a -++=-∵圆C 与x 轴相切，∴51a -=即4a =.……………5分 （Ⅱ）圆22:(2)(1)1C x y -++=，∵过点(3,2)当切线斜率k 存在时，设切线方程：32y kx k =-+……………8分1=1=，解得43k =，4:23l y x =- 当切线斜率不存在时，显然3x =是圆C 的切线， ∴切线的方程为423y x =-或3x =.……………13分 17．（本小题满分13分）解：2:80p a a -<⇔-<<，:1q a >因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以p 、q 一真一假……………5分D CBAD 1C 1B 1A 1若p 真q假则(a ∈-……………8分 若p 假q真则)a ∈+∞……………11分 所以a的范围为([22,)-+∞……………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证：连接DB ，由长方体知1DD ⊥面ABCD 所以1DD DB ⊥，又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥， 所以AC ⊥面1DD B ，所以1BD AC ⊥……………6分 （Ⅱ）设点1C 到面1AB C 的距离为h . 由1111C AB CA B C C V V --=得1111133AB C B C C S h S AB ∆∆⋅=⋅，所以1111B C C AB C S AB h S ∆∆⋅===……13分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题得c a =22231a b +=，又222a b c =+，解得228,4a b == ∴椭圆方程为：22184x y +=……………5分（Ⅱ）设直线的斜率为k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得 12121212()2()0y y x x y y x x -+++⋅=-……………8分∵P 是AB 中点，∴124x x +=，122y y +=，1212y y k x x -=-代入上式得：440k +=，解得1k =-， ∴直线:30l x y +-=.………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵在矩形ABEF 中，N 是AE 中点，∴N 是FB 中点， 又M 是FC 中点，∴//MN CB∵//CB AD ，∴//MN AD ，∴//MN 平面ADF ……………5分ADCBA 1D 1C 1B 1（Ⅱ）∵AD AB ⊥，平面ABEF ⊥平面ADCB ，平面ABEF 平面ADCB AB =∴AD ⊥平面ABEF ，∴CB ⊥平面ABEF ，∴CFB ∠为直线CF 与平面ABEF 所成角， 由题cos CFB ∠=，∵2CB =，∴cos FBCFB FC∠===，解得FB =∴1AF =，……………7分以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AF 为z 轴正方向建立坐标系，则(0,0,1)F ，(2,2,0)C ，(0,2,1)E 设平面ACE 的法向量1(,,)n x y z =，(2,2,0)AC =，(0,2,1)AE =由1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得1(1,1,2)n =-同理可得平面ACF 的法向量2(1,1,0)n =-121212cos ,||||n n n n n n⋅<>==-⋅设二面角F AC E --的大小为θ 显然θ为锐角，∴cos θ=12分21．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）设M（-1,0)，圆M 的半径r =，由题意知||||PN PM r +=， 所以点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为的椭圆，于是由1a c ==得1b =，所以点P 的轨迹C 的方程为2212x y +=.……………4分（Ⅱ）因为点N 恰为ABE ∆的垂心，所以EN AB ⊥，EB AN ⊥.由EN AB ⊥得1EN k k ⋅=-，而1EN k =-，所以1k =，故方程为y x m =+.由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2234220xmx m ++-=， 由22480m ∆=->得m <<，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=，……………7分11(1,)NA x y =-，22(,1)EB x y =-，由EB AN ⊥，得0NA EB ⋅=，又211212212(1)(1)()(1)x x y y x x x x m x m -+-=-+++-12122(1)()(1)x x m x x m m =+-++-2444(1)(1)33m m m m m --=-+-2343m m +-=……………10分 所以2340m m +-=，解得43m =-或1m =（舍去），43m =-满足0∆>， 所以所求直线为43y x =-……………12分。
河北省邯郸市永年二中高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
某某省某某市永年二中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞02．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜3．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．4．（5分）抛物线y=﹣的准线方程为（）A．x=B．y=C．x=D．y=5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．146．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值X围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．8．（5分）若不等式x2+px+q＜0的解集为（﹣）则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣）D．R9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．y=±4x D．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：411．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．812．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为．14．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=．16．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式≤0恒成立，则m的最大值为．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）；若￢p是￢q的必要非充分条件，某某数m的取值X围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．20．（12分）已知二次函数．f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程（2）若y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点．某某数a的X围．21．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．22．（12分）已知圆A：（x+2）2+y2=，圆B：（x﹣2）2+y2=，动圆P与圆A、圆B均外切．（Ⅰ）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|的最小值．某某省某某市永年二中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0考点：命题的否定．分析：根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．解答：解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．2．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．3．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题4．（5分）抛物线y=﹣的准线方程为（）A．x=B．y=C．x=D．y=考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线方程化为标准方程，求出p，即可得到抛物线的准线方程．解答：解：抛物线方程y=﹣，可化为x2=﹣6y，∴2p=6，∴=，∴抛物线的准线方程为y=．故选B．点评：本题考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，将抛物线方程化为标准方程是关键．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．6．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值X围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的X围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义8．（5分）若不等式x2+px+q＜0的解集为（﹣）则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣）D．R考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由条件可得，﹣，是方程x2+px+q=0的两个实根，运用韦达定理求出p，q，再由二次不等式的解法，即可得到．解答：解：由条件可得，﹣，是方程x2+px+q=0的两个实根，则﹣=﹣p，且=q，即p=，q=﹣，则不等式qx2+px+1＞0，即为﹣x2+x+1＞0，即为x2﹣x﹣6＜0，解得，﹣2＜x＜3．故选B．点评：本题考查二次不等式的解法，考查韦达定理和运用，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．y=±4x D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用离心率公式，令c=t，a=2t，则b==t，再由渐近线方程，即可得到结论．解答：解：双曲线的离心率为，则=，令c=t，a=2t，则b==t，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=±2x，故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2，由余弦定理可得 cosA=，再由3b=20acosA，可得 cosA=，从而可得=，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．解答：解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得 cosA===，又3b=20acosA，可得 cosA==．故有=，解得a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（ a﹣2）=6：5：4，故选D．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．11．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．解答：解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又，则b50=2．∴，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故选：B．点评：本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．12．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用三角恒等变换证明在△ABC中，A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；利用基本不等式求函数的最小值，证明命题q为真命题，再根据复合命题真值表依次判断可得答案．解答：解：∵在△ABC中，cos2B＞cos2A⇔1﹣2sin2B＞1﹣2sin2A⇔sin2B＜sin2A⇔sinA＞sinB⇔A＞B故A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件，即命题p为真命题；∵x∈（0，），∴函数y=+tanx+2﹣1≥2﹣1=1，∴命题q为真命题；由复合命题真值表知，p∧q为真命题；p∧（￢q）为假命题；￢p∧q为假命题；￢p∧￢q 为假命题，故选A．点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查基本不等式的应用及充要条件的判定，解题的关键是判断命题p，q的真假．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（y≠0）．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．解答：解：（1）∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，∴AB=8，BC+AC=10，∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∵2a=10，2c=8，∴b=3，所以椭圆的标准方程是（y≠0）．故答案为：（y≠0）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是2015届高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用．14．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=，n∈N*．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设，代入4a2=4a1+a3，能求出结果．解答：解：设，代入4a2=4a1+a3，解得q=2，∴，n∈N*．故答案为：，n∈N*．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．解答：解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式≤0恒成立，则m的最大值为16．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意，得m≤（+）（3a+b）=9+++1恒成立，构造函数g（a，b）=9+++1，利用基本不等式可求得g（a，b）min=16，从而可求m的最大值．解答：解：∵不等式≤0恒成立，∴≤+，又a＞0，b＞0，∴m≤（+）（3a+b）=9+++1恒成立，令g（a，b）=9+++1，则m≤g（a，b）min，∵g（a，b）=9+++1≥10+2=16（当且仅当a=b时取“=”），∴g（a，b）min=16，∴m≤16，∴m的最大值为16，故答案为：16．点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数的思想与等价转换的思想的综合应用，突出考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．考点：正弦定理；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）；若￢p是￢q的必要非充分条件，某某数m的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由命题p成立得x的X围为A，由命题q成立求得x的X围为B，由题意可得A⊊B，可得关于m的不等关系式，由此求得实数m的取值X围．解答：解：由p：﹣2≤x≤10，记A={x|p}={x|﹣2≤x≤10}．由q：x2﹣2x+1≤m2即x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0），得 1﹣m≤x≤1+m．…（6分）记B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即 p⇒q，且 q不能推出 p，∴A⊊B．…（8分）要使A⊊B，又m＞0，则只需，…（11分）∴m≥9，故所某某数m的取值X围是[9，+∞）．…（12分）点评：本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可求通项，进而可求b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和解答：解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．（12分）已知二次函数．f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程（2）若y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点．某某数a的X围．考点：命题的真假判断与应用；二次函数的性质；函数的零点．专题：计算题．分析：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题．依题意：x2+（2a﹣1）x﹣2a=0有实根，△=（2a﹣1）2+8a=（2a+1）2≥0对于任意的a∈R（R 为实数集）恒成立，得到f（x）=1必有实根．（2）依题意：要使y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点，只须，由此能求出实数a的X围．解答：（本大题12分）解：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题；…（3分）依题意：f（x）=1有实根，即x2+（2a﹣1）x﹣2a=0有实根∵△=（2a﹣1）2+8a=（2a+1）2≥0对于任意的a∈R（R为实数集）恒成立即x2+（2a﹣1）x﹣2a=0必有实根，从而f（x）=1必有实根…（6分）（2）依题意：要使y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点只须…（9分）即…（10分）解得：．（多带一个等号扣1分）…（12分）点评：本题考查命题的真假判断，某某数a的取值X围，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．考点：数列的求和．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据求得a 1，进而根据4S n=（a n+1）2和4S n﹣1=（a n﹣1+1）2（n≥2）两式相减整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，进而可得a n﹣a n﹣1=2判断出数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．求得其通项公式．（Ⅱ）把（1）中求得的a n代入中，即可求得b n，进而可用裂项法进行求和，得T n=根据使原式得证．解答：解：（Ⅰ）∵，∴a1=1．∵a n＞0，，∴4S n=（a n+1）2．①∴4S n﹣1=（a n﹣1+1）2（n≥2）．②①﹣②，得4a n=a n2+2a n﹣a n﹣12﹣2a n﹣1，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，而a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2）．故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）．T n=b1+b2++b n==．点评：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和问题是2015届高考中常考的题目，所以我们平时的时候应注意多积累数列求和的方法．22．（12分）已知圆A：（x+2）2+y2=，圆B：（x﹣2）2+y2=，动圆P与圆A、圆B均外切．（Ⅰ）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|﹣|PB|=2，从而得到点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，由此能求出动圆P的圆心的轨迹C的方程．（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|MN|的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|=r+，|PB|=r+，∴|PA|﹣|PB|=2，故点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，∴动圆P的圆心的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，由，解得﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），则|MN|=|y1﹣y2|==，当m2=0时，|MN|min=2（4﹣1）=6．点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查弦的最小值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．。
河北省唐山市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含标准答案
河北省唐山市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题扫描版含答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：唐山市2012～2013学年度高二年级第一学期期末考试理科数学甲卷参考答案及评分标准一、选择题： A 卷：ABBA CBDD ADCC B 卷：DBABCDADABCC二、填空题： （13）150︒ （14）2 （15）③④ （16）13三、解答题：（17）解：若命题p 为真，则有⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜4，0＜e 2＝1－m4＜12，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞4，0＜e 2＝1－4m ＜12， 解得2＜m ＜4或4＜m ＜8． …4分圆x 2＋y 2－4x ＋7－m ＝0化为(x －2)2＋y 2＝m －3．若命题q 为真，则有⎩⎨⎧m －3＞0，(1－2)2＋(－1)2＞m －3，解得3＜m ＜5． …8分 ∵p ∧q 为真命题，∴p 真q 真，故有⎩⎨⎧2＜m ＜4或4＜m ＜8，3＜m ＜5，即3＜m ＜5且m ≠4．故所求实数m 的取值范围是3＜m ＜5且m ≠4． …10分（18）解：（Ⅰ）由题意，设所求抛物线方程为y 2＝2px ，由点(1，2)在抛物线上，故2＝2p ，p ＝1，故所求抛物线C 的方程为y 2＝2x ． …5分（Ⅱ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b （k ≠0），由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2b ＝0，由题设，得y 1y 2＝2b k ＝－2，b ＝－k ， 所以直线AB 的方程为y ＝kx －k ＝k (x －1)，显然直线AB 过定点(1，0)．…11分 当直线AB 的方程为x ＝1时，易得A (1，2)，B (1，－2)，满足y 1y 2＝－2． 综上，直线AB 恒过定点(1，0)． …12分（19）解：（Ⅰ）连结CB 1，设BC 1与CB 1交于点F ，连结EF ．在△AB 1C 中，易知F 为CB 1的中点，又E 为AC 的中点，所以EF ∥AB 1．∵EF ⊂平面BEC 1，AB 1⊂/平面BEC 1，∴AB 1∥平面BEC 1． …6分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ， 则B (0，0，3)，C 1(1，2，0)，A (－1，0，0)，AB →＝(1，0，3)，EC 1→＝(1，2，0)，EB →＝(0，0，3)． …8分设平面BEC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BB 1z故有⎩⎪⎨⎪⎧n ·EB →＝0，n ·EC 1→＝0，即⎩⎨⎧3z ＝0，x ＋2y ＝0，因此可取n ＝(2，－1，0)．设AB 与平面BEC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝|AB →·n ||AB →|·|n |＝55．…12分（20）解：（Ⅰ）设切线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，即x ＋2y －2b ＝0，由题设，有|－2b |12＋22＝2，解得b ＝±5，所以切线l 的方程为x ＋2y ±25＝0．…6分（Ⅱ）设P (x 0，y 0)，则圆C 在点P 处的切线为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝x 20＋y 2x 0＝4x 0，即A (4x 0，0)，令x ＝0，得B (0，4y 0)，设M (x ，y )，由OM →＝OA →＋OB →，得⎩⎨⎧x ＝4x 0，y ＝4y 0，即⎩⎨⎧x 0＝4x ，y 0＝ 4y ．由点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(4x )2＋(4y )2＝4整理，得点M 的轨迹方程为4x 2＋4y 2＝1．…12分（21）解：（Ⅰ）由已知，△ADB 和△ADP 都是正三角形， O 为AD 的中点，故AD ⊥OP ，AD ⊥OB ， 所以AD ⊥平面POB ．又BC ∥AD ，所以BC ⊥平面POB ． …6分 （Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊥AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥OB ， …8分 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (0，3，0)，P (0，0，3)，AB →＝ (－1，3，0)，AP →＝(－1，0，3)．易知平面POB 的一个法向量为m ＝(1，0，0)． 设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝0，x －3z ＝0，因此可取n ＝(3，1，1）．设二面角A －PB －O 的大小为θ，PABCDOxyz- 11 - 所以cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝15 5． …12分（22）解：（Ⅰ）椭圆C 的离心率e 满足e 2＝1－b 2a 2＝ 3 4，所以a 2＝4b 2． ①点P (2，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以4a 2＋1b 2＝1． ②由①②，解得a 2＝8，b 2＝2，椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．…5分 （Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21＋4y 21＝8，x 22＋4y 22＝8，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0．因为直线OP 的方程为y ＝ 1 2x ，又线段AB 的中点D (x 1＋x 22，y 1＋y 22)在直线OP 上，所以y 1＋y 2＝ 12(x 1＋x 2)，所以(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0， 即直线l 的斜率k ＝－ 12． …7分 设直线l 的方程为y ＝－ 1 2x ＋m （m ≠0），代入x 28＋y 22＝1，并整理，得x 2－2mx ＋2(m 2－2)＝0，判别式∆＝4m 2－8(m 2－2)＝4(4－m 2)＞0，得0＜m 2＜4．所以|AB |＝√____________________(1＋ 1 4)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(4－m 2)． 点O 到直线AB 的距离d ＝|2m |5， …9分 所以△AOB 的面积S ＝ 12|AB |d ＝|m |4－m 2≤m 2＋(4－m 2)2＝2， 当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时，△AOB 的面积最大， 此时直线l 的方程为y ＝－ 1 2x ±2． …12分。
2012-2013上学期期末高二理数学试题
2012--2013学年度上学期期末考试高二（理）数学试题试卷满分150分 考试时间120分钟一、选择题（每题5分，共计60分）1、若集合{A x x=≤3，}x ∈Z ,{243B x x x =-+≤0，}x ∈Z ，则（ ）A. “x A ∈”是“x B ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x A ∈”是“x B ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x A ∈”是“x B ∈”的充要条件D. “x A∈”既不是“x B ∈”的充分条件，也不是“x B ∈”的必要条件2、 命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是（ ） A. 20,0x x x ∃>+>B. 20,x x x ∃>+≤0C. 20,x x x ∀>+≤0D. x ∀≤20,0x x +>3、如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy 的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23D ．34、.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是A .－21a +21b +c B .21a +21b +cC .21a －21b +c D .－21a －21b +c5、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） A ．4-B ．9C ．9-D ．6496、．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为A C B D ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） A ．60°B ．90°C．arccos3D．arccos67、已知F 1、F 2是椭圆162x+92y=1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ） A ．11 B ．10C ．9D ．168、在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A ．-5B ．1C ．2D ．39、已知{a n }是等差数列，a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710、过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+qp11（ ）A 、a 2B 、a21 C 、a 4 D 、a411、若x 2sin 、x sin 分别是θθcos sin 与的等差中项和等比中项，则x 2cos 的值为（ ）A 、8331+B 、8331-C 、8331±D 、421-12、给出下列命题：①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面；③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题（每题5分，共计20分）13、命题P ：关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题Q ：f(x)=－(1－3a －a 2)x 是减函数.若命题PVQ 为真命题,则实数a 的取值范围是________.14、若),(191+∈=+R y x yx ，则y x +的最小值是15、通过直线:240l x y ++=及圆22:2410C x y x y ++-+=的交点，并且有最小面积的圆C '的方程为16、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．该双曲线的标准方程为三、解答题（共计70分，其中17题10分，其它各题均为12分）17、若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x 满足()()()xf f x f y y =-.（1）求)1(f 的值;（2）若,1)6(=f 解不等式2)1()3(<--x f x f .18、已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，︒=∠60ABC ，E 、F 分别是棱CC ′与BB ′ 上的点，且EC=BC =2FB =2.（1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；（2）求截面AEF 与底面ABCD 所成二面角的大小. ．19、（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （I ）求证：A 1C //平面AB 1D ； （II ）求二面角B —AB 1—D 的大小；（III ）求点C 到平面AB 1D 的距离.20、已知双曲线12222=-by ax 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21、已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =2a n －2n(n ∈N*)（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若数列{b n }满足b n =log 2(a n +2)，而T n 为数列}2{+n n a b 的前n 项和，求T n .22、设21,F F 分别是椭圆的1422=+yx左，右焦点。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
2013-2014学年高一数学上学期期末联考试题及答案(新人教A版 第60套)
2013-2014学年度第一学期期末联考高一数学试题第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．每小题只有一个正确答案） 1．若{}{}0,1,2,12,A B x x==?则A B?（ ）A ．{}1B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,22．sin15cos15值为（ ）A ．12B ．14 C D 3． 函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)4．已知点(,3)P x 是角θ终边上一点，且4cos 5θ=-，则x 的值为（ ） A ．5B ．5-C ．4D ．4-5．已知8.028.01.1,8.0log ,7.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a c b <<6．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)7．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为： ()()123sin 100,3cos 100y t y t =π=π，则这两个声波合成后即21y y y +=的振幅为（ ）A ． 3B ．6C ．23D ． 8．下列函数中，不具有奇偶性的函数是 ( )A ．e e xxy -=- B ．1lg1xy x+=- C ．cos 2y x =D ．sin cos y x x =+9．若s i n ()(0,0,||)2y A x A ωϕωϕπ=+>><的最小值为2-，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图像过点（0，1），则其解析式是（ ）A ．2sin()6y x π=+B ．2sin()3y x π=+C ．2sin()26x y π=+D ． 2sin()23x y π=+ 10．如右图，点P 在半径为1的半圆上运动，AB 是直径， 当P 沿半圆弧从A 到B 运动时，点P 经过的路程x 与APB ∆的面积y 的函数()y f x =的图像是下图中的（ ）第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题后横线上） 11． 23(log 9)(log 4)⋅= ． 12．把函数y ＝3sin2x 的图象向左平移6π个单位得到图像的函数解析是 ． 13．已知tan 2α=，则cos 2α= ．14． 若函数()x f 满足(1)()f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()f x x =， 则()()()234f f f ++= ．15．函数()|cos |cos f x x x =-具备的性质有 ． （将所有符合题意的序号都填上） （1）()f x 是偶函数；A（2）()f x 是周期函数，且最小正周期为π； （3）()f x 在[,]2ππ上是增加的； （4）()f x 的最大值为2．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．已知集合{}12M x x =<<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=423x x N ． （1）求A B È；（2）设集合{}2P x a x a =<<+，若()P A B 腿，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知1tan 2,tan 3αβ=-=，其中0,0αβ<<π<<π． （1）求tan()αβ-的值； （2）求角αβ+的值．18．（本小题满分12分）已知函数()sin()sin()32f x x x ππ=++． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()()g x f x =-，求()g x 在区间[0,]2π上的值域．19．（本题满分12分）辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下:(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由:①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③log b y a x =．(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．20． (本小题满分13分) 已知函数21,0()21,1x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤，满足9()28c f =．(1)求常数c 的值； (2)解关于x 的不等式()1f x >+．21． (本小题满分14分)已知函数()||1mf x x x=+-(0)x ≠． （1）当2m =时，判断()f x 在(,0)-∞的单调性，并用定义证明． （2）若对任意x ∈R ，不等式 (2)0xf >恒成立，求m 的取值范围； （3）讨论()f x 零点的个数．2013-2014学年度第一学期期末联考高一数学参考答案参考答案： 一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A 二、填空题 11．4 12．6π 13．35- 14．1 15．（1）（3）（4） 三、解答题 16．解：（1）{}14A B x x ?<< ……………………6分（2）由（1）{}14A B x x ?<<， (9)分 124a a ì³ïï\íï+ ïî 12a\＃ (12)分17．解：（1）12tan tan 3tan()711tan tan 1(2)3αβαβαβ----===-++-⋅ (5)分（2）12tan tan 3tan()111tan tan 1(2)3αβαβαβ-+++===----⨯ (10)分因为1tan 20,tan 03αβ=-<=>， 所以2απ<<π，02βπ<< 所以22αβπ3π<+<，故4αβ3π+= (12)分18．解：1()(sin )cos 2f x x x x = ……………………2分21sin cos cos 22x x x =+1sin 2cos 2)4x x =++ (4)1sin(2)23x π=++……………………6分（1）所以22T π==π． ……………………8分（2）1()sin(2)23g x x π=+， 因为02x π≤≤，所以2333x ππ4π+≤≤，所以sin(213x π+)≤，11sin(2232x π+)≤， 所以()g x 在区间[0,]2π上的值域为1[]42-． (12)分19．解:(1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ax b =+和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意，∴2y ax bx c =++． ……………………4分(2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入2y ax bx c =++中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++90361296511010090416c b a c b a c b a …………………… 6分 解得41=a ，10-=b ，126=c ……………………8分 ∴221110126(20)2644y x x x =-+=-+， ……………………10分 ∴当20x =时，y 有最小值min 26y =． ………………11分答：辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．…………12分20．解： (1)∵9()28c f =，即9128c c ⋅+=， 解得12c =． ……………………5分(2)由(1)得4111,022()121,12x x x f x x -⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤，由()1f x >+，得当102x <<12x <<； ……………………9分当112x <≤时，解得1528x <≤． ……………………12分∴不等式()1f x >+的解集为5{|}8x x <<． ……………………13分21．解析：（1）当2m =，且0x <时，2()1f x x x=-+-是单调递减的．………………… 1分证明：设120x x <<，则12121222()()1(1)f x f x x x x x -=-+---+- 211222()()x x x x =-+-2121122()()x x x x x x -=-+21122()(1)x x x x =-+ (3)分又120x x <<，所以210x x ->，120x x >，所以21122()(1)0x x x x -+> 所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故当2m =时，2()1f x x x=-+-在(,0)-∞上单调递减的． (4)分（2）由(2)0xf >得|2|102xx m+->， 变形为2(2)20x x m -+>，即22(2)x x m >-而22112(2)(2)24x x x-=--+，当122x =即1x =-时2max 1(2(2))4x x -=，所以14m >． ……………………9分（3）由()0f x =可得||0(0)x x x m x -+=≠，变为||(0)m x x x x =-+≠令22,0()||,0x x x g x x x x x x x ⎧-+>⎪=-=⎨+<⎪⎩作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得：当14m >或14m <-时，()f x 有1个零点．当14m =或0m =或14m =-时，()f x 有2个零点；当104m <<或104m -<<时，()f x 有3个零点． ……………………14分。
高中数学 学期综合测评(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。
2013-2014学年高一数学上学期期末试题 理 及答案(新人教A版 第129套)
鹤岗一中2013－2014学年度上学期期末考试高一数学试题(理科)2014年1月8日一． 选择题：（每题5分，共60分） 1．已知1cos 2x =-，且[]0,2x π∈，则角x 等于 ( )A.32π或34π B.3π-或32π C.32π-或32πD.32π-或3π2．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3sin 5α=,则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 （ ）A ．17 B ．17- C ．7 D ．7- 3．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 44. 0000sin 47sin17cos30cos17-等于 ( )A.12-B.12C.5.若 02x π≤≤sin cos x x =+，则x 的取值范围是 （ ） A. []0,π B. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ⋃ 5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⋃ 7,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．一个正方形边长为1,延长BA 至E ，使1AE =，连接,EC ED ，则sin CED ∠=（ ） 7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 图象，则只需将()sin 2g x x =的图象 （ ）A.向右平移6π个长度单位 B.向左平移6π个长度单位 C.向右平移3π个长度单位 D.向左平移3π个长度单位8．已知()0,απ∈,1sin cos 5αα+=-，则tan α等于 ( ) A. 34 B. 34- C. 43± D. 43-9．设001cos 7722a =+, 0202tan191tan 19b =-, c =则有( )A. b a c >>B. a b c >>C. a c b >>D. c b a >> 10. 若直线2k x π=()11k -≤≤与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像不相交,则k =A.14 B. 34- C. 14或34- D. 14-或34( ) 11.若函数()sin()1f x A x ωϕ=++(0,)ωϕπ><对任意实数t ，都有()()33f t f t ππ+=-+，记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则()3g π= （ ）A.12-B.12C. 1-D.112．设a R ∈，2()cos (sin cos )cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足()(0)3f f π-=，当11,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()f x 的值域为 （ ）A. []1,2B.C. ⎤⎦D. 2⎤⎦二．填空题: （每题5分,共20分）13．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x =，则5()3f π= .14．设(sin cos )sin cos f x x x x +=，则(cos )6f π= ．15．若4cos()sin 65x x π++=，则cos(2)3x π-＝ ．16．给出下列命题： ①函数2cos()32y x π=+是奇函数; ②存在实数α,使得3s i n c o s 2αα+=; ③若,αβ是第一象限角且αβ<,则tan tan αβ<； ④8x π=是函数5sin(2)4y x π=+的一条对称轴方程;⑤函数sin(2)3y x π=+的图像关于点(,0)12π成中心对称.把你认为正确的命题的序号都填在横线上______________.三、解答题:17.(本题10分)已知()()23sin()cos tan 2()sin(5)tan 2f παπααπαπααπ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=+-- （1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且1cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f απ+的值； （3）若20113πα=，求()f α的值． 18.(本题12分)设函数22()sin(2)333f x x x x π=++- (1) 求()f x 的最小正周期及其图像的对称轴方程； (2) 将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域. 19. (本题12分)已知sin 10α=，cos()5αβ-=，且02πβα<<<（1）求()tan 2αβ-； （2）求β.20. 在ABC ∆中，A B C >>，060B =，sin sin )22A C A C -+-= （1）求,A C 大小；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数sin(2)y x A =+的最值．21．(本题12分)已知函数2()2cos cos f x x x x a =++，且当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2.（1）求a 的值，并求()f x 的单调增区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =，求方程()2g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有根之和. 22．(本题12分)如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.鹤岗一中2013－2014学年度上学期期末考试高一数学试题(理科)答案一、选择题:1-----6 AABBDD 7------12 BBACCD 二、填空题：13．． 18- 15． 725 16． （1）、（4）三、解答题：17． 解:（1）2sin sin tan()()sin tan f αααααα--=-＝cos α-……….4分（2）∵1c o s ()25πα+=，∴1sin 5α=-cos α===∵α是第三象限角，cos α===∴()cos()cos f απαπα+=-+== ……………7分（3）∵201167033ππαπ==+ ∴()cos f αα=-＝cos(670)3ππ-+＝cos3π-＝12-…………….10分18．(1) 解：∵22()sin(2)3f x x x x π=+=1sin 222x x +)6x π+..........................4分 （1）∴22T ππ==，…………..6分 262x k πππ+=+，即62k x ππ=+，k Z ∈………8分（2）()))36g x x ππ=-+)2x π-= 2x ， ∵63x ππ-≤≤，∴2233x ππ-≤≤，∴1cos 212x -≤≤，∴2x ≤≤，∴()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡⎢⎣⎦. ………………12分19．(1) ()tan 2αβ-=-7 …………..6分 (2) 4πβ=……………..12分20．（1）0105,15A C == ………..7分（2）⎡-⎢⎣⎦最小值-112分21．解析： (1)()cos 2122sin(2)16f x x x a x a π=+++=+++ ……2分.∵0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦min ()22f x a =+=，故0a =，………………4分 ()2sin(2)16f x x π=++由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+, ()k Z ∈故()f x 的单调增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,()k Z ∈………………6分 （2）()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………………………9分由()2g x =得1sin 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4266x k πππ-=+或526k ππ+ 解得212k x ππ=+或24k x ππ=+,()k Z ∈； ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴12x π=或4π……………11分， 故方程所有根之和为πππ+=…………12分.301+=cos301=+，即三角形铁皮P M N 的面积为.5分7分且()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，所以时，y 取最大值，即即剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值为12分。
2012-2013学年高二数学 高中数学模块测试3 新人教A版必修1
必修1模块测试3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·重庆文)设U ＝R ，M ＝{x |x 2－2x >0}，则∁U M ＝( ) A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) [答案] A[解析] 该题考查二次不等式求解，集合的补集运算． 由x 2－2x >0得x >2或x <0. ∴∁U M ＝[0,2]．2．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) [答案] D[解析] 解法一：因为f (x )为R 上的减函数，所以1x<1.当x <0时显然成立；当x >0时，x >1.故选D. 解法二：因为f (x )为R 上的减函数，所以1x<1.作出函数y ＝1x的图像，观察其和直线y ＝1的位置关系，就可以得到正确的选项为D.3．若函数y ＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 [答案] B[解析] ∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ， ∵f (x )是偶函数，∴x 2＋(1＋a )x ＋a ＝x 2－(1＋a )x ＋a ， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1，故选B.4．(2011·上海文)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13 [答案] A[解析] 本题考查函数单调性，奇偶性．y ＝x －1是奇函数，y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，y ＝x 13是奇函数．5．设A ，B ，I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误的是( ) A ．(∁I A )∪B ＝I B ．(∁I A )∪(∁I B )＝I C ．A ∩(∁I B )＝∅ D ．(∁I A )∩(∁I B )＝∁I B [答案] B[解析] 利用Venn 图检验可发现B 错误． 6．(2011·天津理)已知a ＝5，b ＝5log 43.6，c ＝(15)，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b [答案] C[解析] ∵－log 30.3＝log 3103>1且103<3.4， ∴log 3103<log 33.4<log 23.4∵log 43.6<1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.7．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确[答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝5，f (3)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.8. 函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 [答案] B[解析] ∵当a >1或0<a <1时，a x与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝12.9．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( )A.124B.112C.18D.38 [答案] A[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18×13＝124，选A. 10．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值是( ) A ．0 B.12C ．1 D.52[答案] A[解析] 由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )得 －12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∴－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 又12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝0，故选A. 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．方程9x －6·3x－7＝0的解是________． [答案] x ＝log 37[解析] 原方程可化为(3x )2－6·3x－7＝0， 即(3x －7)(3x＋1)＝0，又∵3x ＋1>0，∴3x＝7，则原方程的解是x ＝log 37.12．若函数y ＝f (x )的值域为[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域为________．[答案] [2，103][解析] 令t ＝f (x )，则G (t )＝t ＋1t ，t ∈[12，3]，当t ∈[12，1]时，G (t )为减函数，∴G (1)≤G (t )≤G (12)，即2≤G (t )≤52；当t ∈(1,3]时，G (t )为增函数， ∴G (1)<G (t )≤G (3)，即2<G (t )≤103.综上可得2≤G (t )≤103，即F (x )的值域为[2，103]．13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为______．[答案] 2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0得x ＝－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋ln x ＝0得x ＝e 2，∴f (x )的零点个数为214.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．[答案] 3:2[解析] 设矩形的长为x ，则宽为1－4x 6，饲养场的总面积为y ，则有y ＝3x ·1－4x6＝－2x 2＋12x .当x ＝18时，y 有最大值，此时宽为112，故每个矩形的长宽之比为3:2时，围出的饲养场的总面积最大．15．(2011·江苏卷)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a .f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1，因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∪B ＝{12，－5,2}，求A ∩B .[解析] 由题意知，A ，B 中都至少有一个元素．若A 中只有一个元素，则a 2－4×2×2＝0，a ＝4或a ＝－4，此时A ＝{1}或A ＝{－1}，不符合题意；若B 中只有一个元素，则9－8a ＝0，a ＝98，此时B ＝{－32}，不符合题意．故A ，B 中均有两个元素．不妨设A ＝{x 1，x 2}，B ＝{x 3，x 4}，则x 1·x 2＝1，且x 1，x 2∈A ∪B ＝{12，－5,2}，所以A＝{12，2}； 又因为x 3＋x 4＝－3，且x 3，x 4∈A ∪B ＝{12，－5,2}，所以B ＝{－5,2}，所以A ∩B ＝{2}．17．(本小题满分12分)(2011·巢湖高一检测)已知：函数f (x )＝ax ＋bx＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，(1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间(0，12)上的单调性并证明．[解析] (1)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0. ∴f (x )＝ax ＋b x. 又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x.函数f (x )在区间(0，12)上为减函数．证明如下： 任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2) ＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(2－12x 1x 2)＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，12)上为减函数．18．(本小题满分12分)已知增函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，求满足f (x )＋f (x －3)≤2的x 的范围．[解析] 由f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )可知， 2＝1＋1＝f (2)＋f (2)＝f (4)， 所以f (x )＋f (x －3)≤2等价于f (x )＋f (x －3)≤f (4)，因为f (xy )＝f (x )＋f (y )， 所以f (x )＋f (x －3)＝f [x (x －3)]， 所以f [x (x －3)]≤f (4)．又因为y ＝f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增．所以⎩⎪⎨⎪⎧x (x －3)≤4x －3>0x >0⇒x ∈(3,4)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．[解析] ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0.∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0.在[0,1]内选取二等分点12，则f (12)＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间[0，12]和[12，1]内分别存在一个零点，又二次方程f (x )＝0最多有两个实根，∴方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．20．(本小题满分13分)(2012·潍坊模拟)定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时的解析式为f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值．[解析] (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x， 又∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴f (x )＝a ·2x －4x，x ∈[0,1]．(2)∵f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x，t ∈[1,2]． ∴g (t )＝at －t 2＝－(t －a2)2＋a 24.当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1；当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )最大值为a －1， 当2<a <4时，f (x )最大值为a 24，当a ≥4时，f (x )最大值为2a －4.21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝log 12 (x 2－mx －m .)(1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围．[解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12 (x 2－x －1)，由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52，∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)．(2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4. (3)由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1－3(1－3)2－m (1－3)－m >0⇒2－23≤m <2.即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。
2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题及答案(新人教A版 第120套)
高一数学必修2质量检测试题（卷）本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题. 满分150分，考试时间100分钟. 参考公式：1)2S c c h ''+正棱台或圆台侧＝（； S ch 正棱柱或圆柱侧＝；12S ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝； 13V S S h 下台体上＝（＋； V sh 柱体＝； V sh 锥体1＝3； 343V R π球＝ 第一部分（选择题，共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是A ．三点确定一个平面B ．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点C ．梯形一定是平面图形D ．四边形一定是平面图形2．空间直角坐标系中，点(3,4,0)A -与点(,1,6)B x -x 等于A ．2B ．8-C ．8或2D ．2或8-3．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是A ．58 B ．2 C ．511 D ．57 4．如图所示，直观图四边形A B C D ''''是一个底角为45°，腰和上底均为1的等 腰梯形，那么原平面图形的面积是A 2B 1C ．2D ．5．如果0A C <，且0B C <，直线0Ax By C ++=不经过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是A ．π220B ．π225C ．π200D ．50π7．圆222650x y x y a +-++=关于直线2y x b =+成轴对称图形，则a b -的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(,4)-∞C ．(4,)-+∞D ．(4,)+∞8．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ9．已知,a b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点A ．11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11, 26⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭10．过点(1,1)P 的直线将圆形区域22{(,)|9}x y x y +≤分成两部分，使得两部分的面积相差最大，则该直线的方程是A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=第二部分（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．11．若(3,3)A ,(,0)B a ,(0,)C b (0)ab ≠三点共线，则11a b+= ． 12．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的面积为 ．C D B A D B CA 13．以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 ．14．如图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的体积是 3cm ．15．三条直线10x y ++=，280x y -+=，350ax y +-=不能围成三角形，则 a 的取值集合是 ．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分15分）如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在的直线方程为220x y --=，点(2,0)C ．（1）求直线CD 的方程；（2）求AB 边上的高CE 所在的直线方程．17．（本小题满分15分）如图，在ABC ∆中，45ABC ︒∠=，90BAC ︒∠=，AD 是BC 上的高，沿 AD 把ABD ∆折起，使90BDC ︒∠=.（1）证明：平面ABD ⊥平面BDC ；（2）设1BD =，求三棱锥D ABC -的体积.18．（本小题满分15分）已知圆C 经过点(1,0)A -和(3,0)B ，且圆心在直线0x y -=上．（1）求圆C 的方程；（2）若点(,)P x y 为圆C 上任意一点，求点P 到直线240x y ++=的距离的最大值和最小值．19.（本小题满分15分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，求证：QG //平面PBC ．高一数学必修2质量检测试题答案2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.D3.B4.A5.C6.D7.B8.C9.D 10.A二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 11. 13 12. 49π 13. 22325(2)()24x y ++-= 14. 10 15. 1{36}3-，， 三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分15分）解：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD . ∴2CD AB k k ==.………… 4分∴直线CD 的方程为2(2)y x =-，即240x y --=.………… 8分(2)∵CE AB ^， ∴112CD AB k k =-=-.…………12分 ∴直线CE 的方程为y ＝－12(x －2)，即x ＋2y －2＝0. …………15分 17．（本小题满分15分）解：（1）∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当ABD ∆折起后，,AD DC AD BD ⊥⊥，…………2分又BDDC D =， ∴AD ⊥平面BDC ，…………5分又∵AD 平面ABD , ∴平面ABD ⊥平面BDC ；…………7分（2）由（1）知,AD DC AD BD ⊥⊥，又∵45ABD ACD ︒∠=∠=，1BD AD DC ∴===,…………10分由（1）知, AD ⊥平面BDC , 又∵BD DC ⊥11111113326A BDC BDC V S AD -∆∴==⨯⨯⨯⨯=,…………14分 16D ABC A BDC V V --∴==…………15分 18．（本小题满分15分）解：(1) AB 的中点坐标为(1,0)， ∴圆心在直线1x =上, ………… 1分又知圆心在直线0x y -=上,∴圆心坐标是(1,1),圆心半径是r =,………… 4分∴圆方程是22(1)(1)5x y -+-=;………… 7分(2)设圆心到直线240x y ++=的距离d ==> ∴直线240x y ++=与圆C 相离, …………9分∴点P 到直线240x y ++==……12分=………… 15分 19.（本小题满分15分）证明：(1)AB 是圆O 的直径,得AC BC ⊥,… 1分由PA ⊥平面ABC ,BC平面ABC ,得PA BC ⊥,………3分又PA AC A =, PA 平面PAC ,AC 平面PAC ,……… 5分所以BC ⊥平面PAC .……… 6分(2)连OG 并延长交AC 于M ,连接,QM QO ,由G 为AOC ∆的重心，得M 为AC 中点．……… 8分由Q 为PA 中点，得//QM PC ,又O 为AB 中点，得//OM BC ,……… 10分因为,QM MO M =QM 平面QMO ,MO 平面QMO ,,BC PC C =BC 平面PBC ,PC 平面PBC ,……… 12分所以平面//QMO 平面PBC .……… 13分因为QG平面QMO ,所以//QG 平面PBC .……… 15分。
2013-2014学年高一数学上学期期末质量检测试题及答案(新人教A版 第13套)
资阳市2013—2014学年度高中一年级第一学期期末质量检测数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页. 全卷共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{123}A =，，，{3 4}B =，，则A B =(A) {3}(B) {124}，，(C) {1234}，，，(D) ∅2.函数lg y x =的定义域是 (A) ()-∞+∞， (B) [0)+∞，(C) (0)+∞，(D) (0)-∞，3.7tan4π=(A) 1(C) 4.如图，等腰梯形中位线的长和高都为x （0x >） (A) 21()2S x x =(B) 2()S x x = (C) 2()2S x x = (D) 21()4S x x =5.函数61y x =-在区间[34]，上的值域是 (A) [12]，(B) [34]，(C) [23]，6.三个实数2334222()()log 333p q r ===，，的大小关系正确的是(A) p q r >> (B) q r p >> (C) r p q >>(D) p r q >>7.设sin cos 2sin cos αααα+=-，则22sin cos 1sin cos αααα--=(A)43(B) 23-(C) 2-(D)328.函数xy a =，1()xy a=与1()xy a a=+（01a a >≠且）的大致图像正确的是9.在同一坐标系中，函数sin y x =与cos y x =的图像不具有下述哪种性质 (A) sin y x =的图像向左平移2π个单位后，与cos y x =的图像重合 (B) sin y x =与cos y x =的图像各自都是中心对称曲线 (C) sin y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=互相对称(D) sin y x =与cos y x =在某个区间00[]x x π+，上都为增函数10.设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①(1)()f x f x +=-对任意的x 都成立；② 当[01]x ∈，时，()cos 2xxf x m π=-⋅+e e （其中e 2.71828=…是自然对数的底数，m 是常数）.记()f x 在区间[20132016]，上的零点个数为n ，则 (A) 162m n =-=，(B) 1e 5m n =-=， (C) 132m n =-=，(D) e 14m n =-=，资阳市2013—2014学年度高中一年级第一学期期末质量检测数 学第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷共4页，用钢笔、圆珠笔或签字笔直接答在试题卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把答案直接填在题中横线上.11.计算124()9=______.12.已知函数()y f x =可用列表法表示如下,则[(1)]f f =______.13.函数(1)y x α=-中，x 是自变量，α是常数.当α在集合1{1231}2-，，，，中取不同的值时，所得五个函数的图像都要经过的一个定点坐标是________.14.若1()()21xf x x a =+-是偶函数，则a =_______. 15.关于函数sin(2)4y x π=+，给出它的以下四个结论：①最小正周期为π；②图像可由sin y x =的图像先向左平移4π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）而得到；③图像关于点(0)8π，对称；④图像关于直线58x π=对称 . 其中所有正确的结论的序号是__________.三、解答题: 本大题共6小题，共75分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本题满分12分）设全集U =R ，{|1215}A x x =<-<，1{|24}2x B x =≤≤，求A B ，R A B （）ð.17. （本题满分12分）已知函数1()f x x x=-， 求证：（Ⅰ）()f x 是奇函数；（Ⅱ）()f x 在(,0)-∞上是增函数.18. （本题满分12分）设1a >，函数log a y x =在闭区间[36]，上的最大值M 与最小值m 的差等于1.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）比较3M与6m的大小.19.（本题满分12分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足()802g t t =-（件），价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）． （Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （020t ≤≤）的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．20.（本题满分13分）函数()sin()f x A x ωϕ=+（00A ω>>，，||2ϕ<，x ∈R ）的部分图像如下，M 是图像的一个最低点，图像与x 轴的一个交点坐标为(0)2π，，与y 轴的交点坐标为(0，.（Ⅰ）求A ωϕ，，的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间.21.（本题满分14分）利用自然对数的底数e (271828=.e …)构建三个基本初等函数ln (0)xey e y x y x x===>，，. 探究发现，它们具有以下结论：三个函数的图像形成的图形（如图）具有“对称美”；图形中阴影区A 的面积为1等.M N ，是函数图像的交点.（Ⅰ）根据图形回答下列问题： ①写出图形的一条对称轴方程； ②说出阴影区B 的面积； ③写出M N ，的坐标.（Ⅱ）设()ln xe f x e x x=-+， 证明：对任意的正实数12x x ，，都有1212()()()22f x f x x x f ++≥.资阳市2013—2014学年度高中一年级第一学期期末质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分. 1-5. ACDBC ，6-10. CBADC.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11. 1；12. 0；13. 21()，；14.12；15. ①②④. 三、解答题: 本大题共6个小题，共75分.16.解：由121522613x x x <-<⇒<<⇒<<，∴{|13}A x x =<<； ···· 2分 由12124222122x x x -≤≤⇒≤≤⇒-≤≤，∴{|12}B x x =-≤≤. ··· 4分 ∴{|13}{|12}{|13}AB x x x x x x =<<-≤≤=-≤<.········ 7分R {|13}A x x x =≤≥或ð， ······················ 9分∴R {|13}{|12}{|11}A B x x x x x x x =≤≥-≤≤=-≤≤（）或ð. ···· 12分17.证：（1）()f x 的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，关于原点对称. ········ 1分1111()()()()()f x x f x x x x x x x x=--=--=-+=---，， ········ 3分 ∴()()f x f x -=-，()f x 是奇函数. ·················· 4分（2）设任意的12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <，则 ············· 5分 12121212211111()()()()()()f x f x x x x x x x x x -=---=-+-121212121212121211()()(1)()x x x x x x x x x x x x x x x x -+=-+=-+=-⋅. ······· 10分 ∵1200x x <<，，且12x x <，∴121200x x x x -<>，， ········· 11分∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x 在(0)-∞，上是增函数.····················· 12分 18.解：（1）∵1a >，log a y x =在(0)+∞，上是增函数，∴log a y x =在闭区间[36]，上是增函数. ················ 2分 ∴max min log 6log 3a a M y m y ====，， ··············· 4分 由1M m -=可知，log 6log 31a a -=， ∴6log log 2123aa a ==⇒=. ···················· 6分 （2）由2a =可知，2log y x =， ··················· 8分 ∴222log 61log 3log 3M m ==+=，， ················ 10分 ∴222log 61log 3log 333333M +===⨯，22222log 3log 3log 3log 3log 366(23)2333m ==⨯=⨯=⨯，∴36M m =. ····························· 12分 19.解：（1）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=--- ·· 2分 (30)(40)010.(40)(50)1020.t t t t t t +-≤<⎧=⎨--≤≤⎩， ， ················ 4分（2）当010t ≤<时，22101200(5)1225y t t t =-++=--+，y 的取值范围是[1200，1225]，在5t =时，y 取得最大值为1225； ···· 8分同理，当1020t ≤≤时，y 的取值范围是[6001200]，，在20t =时，y 得最小值为600． ··················· 10分 答：第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元． ················ 12分20.解: （1）由图可知，函数的周期4[()]422T πππ=⨯--=， ∴24ππω=，得12ω=. ······················· 4分 由图像与x 轴的一个交点坐标为(0)2π，，得1sin()022A πϕ⨯+=， ∴sin()044k ππϕϕπ+=⇒+=4k πϕπ⇒=-（Z k ∈）. ········ 5分 由||2πϕ<得，22ππϕ-<<，∴4πϕ=-. ··············· 6分 ∴1sin()24y A x π=-. 当0x =时，sin()24y A A π=-=⇒=. ·············· 7分 综上可知，1224A πωϕ===-，，. ················· 8分 （2）由12sin()24y x π=-，令13[22]2422x k k πππππ-∈++，（Z k ∈）， ·································· 10分 解得37[44]22x k k ππππ∈++，， ··················· 12分 ∴函数的单调递减区间是37[44]22k k ππππ++，（Z k ∈）. ········ 13分 21.解：（1）∵e y x =（0x >）的图像是反比例函数e y x =（0x ≠）的图像位于第 一象限内的一支，∴e y x=（0x >）的图像关于直线y x =对称. 又e x y =，e ln log y x x ==互为反函数，它们的图像关于直线y x =互相对称，从而可知：①三个函数的图像形成的图形的一条对称轴方程为y x =. ········· 2分 ②阴影区A 、B 关于直线y x =对称，故阴影区B 的面积为1. ······· 4分 ③(1)(1)e e M N ，，，. ························ 6分（2）12121212121212ln ln ln()()()222e e e e e e e e x x x x x x x xf x f x x x x x +-++-+++-+==，12121212122212122()ln ln 2222e e e e x x x x x x x x x xf x x x x +++++=+-=+-++， ……8分 12121212121212212ln()()()2()ln 2222e e e e e e x x x x x xf x f x x x x x x x f x x ++++-+++-=--++ 1212121212212ln()2ln 2222x x x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+e e e e e e ········ 9分1212121212()2ln 222e e e e x x x x x x x x x x +++-=+-+-+21212121212()4ln 2()2e x x x x x x x x x x +-+=+⋅+-+····· 10分212121212()ln 2()2e x x x x x x x x -+=+⋅+-+（*） ······ 11分∵1202x x +=≥， ················· 12分∴12ln2x x +≥12ln 02x x +-≥. ··········· 13分 从而可知（*）0≥，即1212()()()22f x f x x x f ++≥对任意的正实数12x x ，都成立. ·································· 14分 （其它解法请参照评分）.。
黑龙江省大庆市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版
某某实验中学2012—2013学年度第一学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 分别写有数字1，2，3，4的4X 卡片，从这4X 卡片中随机抽取2X ，则取出的2X 卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）A ．14B ．13 C ．12D ．232．如下图，是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,4D ．85,1.63．已知正方体ABCD -1111A B C D ，则1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）A 2B 3．23D 64．若抛物线2y 2(0)px p =>上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（ ）A. 2B.18C. 2或18D. 4或165．过点(0,1)且与曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为（ ） A ．210x y +-=B ．220x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y -+=6．在2012年12月30日那天，某某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y1110865a x y +-=2.3，则a ＝()A ．24B ．35.6C ．40.5D ．40 7. 已知椭圆的中心为原点，离心率3e =，且它的一个焦点与抛物线23x =-的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ．2214x y +=B ．221416x y +=C ．2214y x += D ．221164x y += 8. 直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC所成的角等于（ ）A ． 30°B ． 45°C ．60°D ．90°9. 已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值X 围是（ ）A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221,1 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,221 C. ()211+， D. ()+∞+,21 10. 右面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为（ ）A. ?90≤iB. ?100≤iC.?200≤iD. ?300≤i11．已知点p 是双曲线12222=-by a x 右支上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 是21F PF ∆的内心，2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则=λ（ ）A．2a BC ．b aD ．ab12．定义在R 上的函数(1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()()()0.30.333,log 3log 3,a f b f ππ=⋅=⋅3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D.a c b >>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）13．命题“04),2,1(2≥++∈∃mx x x ”是假命题，则m 的取值X 围为__________. 14．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：20～7：20之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00～8:00之间，则你父亲在离 开家前能得到报纸的概率是______.15．已知函数x ax x x f ln )(2-+=，a R ∈，若函数)(x f 在[]2,1上是减函数，则实数a 的取值X 围是________.16．如图BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，BCD 平面⊥AB ，23AB =，则点A 到平面MBC 的距离是__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出过程）17．（本小题满分10分）已知命题222:8200,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>， 若p 是q 的充分不必要条件，某某数m 的取值X 围.18. (本小题满分12分) 如图，四棱锥ABCD P -的底面 是正方形，ABCD PD 底面⊥，DC PD =，点E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F .（1）求证：EDB //平面PA ； （2）求证：EFD 平面⊥PB ； （3）求二面角D PB C --的大小.19．（本小题满分12分）定义在R 上的函数3)(23+++=cx bx ax x f 同时满足以下条件： ①)(x f 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数； ②)(x f '是偶函数；③)(x f 在0=x 处的切线与直线2y x =+垂直.(1)求函数)(x f y =的解析式；(2) 若方程0)(=-m x f 有3个不同的实根，某某数m 的取值X围. 20．（本小题满分12分）某培训班共有n 名学生，现将一次某学科考试成绩（单位:分）绘制成频率分布直方图，如图所示.其中落在[80,90)内的频数为36. (1)请根据图中所给数据，求出a 及n 的值；(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(即[)6050，，[]10090，)中分别抽取了几名学生的成绩? (3) 在(2)抽取的样本中，从由第一组和第五组抽取来的成绩中随机抽取2名学生的成绩，求所抽取2名学生成绩的平均分不低于70分的概率.FBEPDCA21. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知()()()()()2,,1,,,,0,2,0,221--x N x M y x P A A ，若实数λ使得⋅=⋅P A ON OM 12λPA 2（O 为坐标原点）.(Ⅰ) 求P 点的轨迹方程；(Ⅱ)当22=λ时，是否存在过点()2,0B 的直线l 与(Ⅰ)中P 点的轨迹交于不同的两点F E ,（E 在F B ,之间），且1>∆∆EOFOBES S .若存在,求出该直线的斜率的取值X 围,若不存在,说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数1()ln (1)xf x x a x +=-.（1）设a =1，讨论()f x 的单调性；（2）若对任意(0,1)x ∈，()2f x <-，某某数a 的取值X 围.理科数学参考答案一、选择题：DDDCD DCCCB BC 二、填空题：13.]5,(--∞ 14.1817 15.27-≤a 16.5152三、解答题：17．解：由282002x x x -->⇒<-或10x >， ………………2分即命题p 对应的集合为{2A x x =<-或10}x >，由22210(0)[(1)][(1)]0(0)x x m m x m x m m -+->>⇔--⋅-+>>1x m ⇔<-或1(0)x m m >+>即命题q 对应的集合为{1B x x m =<-或1,0}x m m >+>， ………………5分 因为p 是q 的充分不必要条件，知A 是B 的真子集.………………7分故有012110m m m >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得03m <≤. 即实数m 的取值X 围是(0,3].……10分18. 解：如图建立空间直角坐标系xyz D -，设1=DC .（1）)1,0,1(-=PA ,)21,0,21(-=EG ,所以EG PA 2=，即EG PA //，因此，EDB //平面PA .…4分（2）)1,1,1(-=PB ,)21,21,0(=DE ，故021210=-+=•DE PB ，所以DE PB ⊥. 又所以 EFD 平面⊥PB ………………8分 （3）由（2）知DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角D PB C --的平面角。
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衡水市第十四中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学
（理）试题
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．） 1.下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ）
①若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题 ②“5>x ”是“0542>--x x ”的充分不必要条件 ③命题R x p ∈∃:，使得012
<-+x x ，则R x p ∈∀⌝:，使得012
≥-+x x ④命题“若0232
=+-x x ，则1=x 或2=x ”的逆否命题为“若1≠x 或2≠x ，则0232
≠+-x x ” A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知,
1a i
a R i
-∈+为纯虚数，则a 的值为 （ ）
A ．1
B ．－1
C
D ．3.如图，正方体
1111
ABCD A B C D -中，,E F 分别为BC, CC 1中点，则异面直线
1
AB 与EF 所成角的大小为
()
:A 30 :B 45 :C 90
:D 60
4.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该
双曲线的离心率为 （ ） A ．
3
3
2 B ．
3 C ．2或
3
3
2 D ．
3
3
2或3 5.正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为（ ）
A ．
3 B C ．2
3
D
6.若双曲线x 2
+ky 2
=1的离心率是2，则实数k 的值是（ ）
A ．-3
B ．1
3
-
C ．3
D ．
13
7.已知22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点F 2恰好为y 2
=4x 的焦点，A 是两曲线的交点，
|AF 2|=
5
3
，那么椭圆的方程是( ) A.
22143x y += B. 22
154x y +=
C. 2213x y +=
D.
22
12516
x y += 8.曲线x
y )2
1(=在0=x 点处的切线方程是 ( )
A ．02ln 2ln =-+y x B. 012ln =-+y x C. 01=+-y x D. 01=-+y x 9 .由直线3
π
-=x ，3
π
=
x ，0=y 与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为
( ) A.
2
1
B.1
C.23
D.3
10.若a>0,b>0,且函数224)(2
3
---=bx ax x x f 在x=1处有极值，则ab 的最大值（ ） A.2 B.3 C.6 D.9
11. 对任意,25x R x x a a ∈-+-≥恒成立，则的取值范围是（ ）；
A.[]2,5；
B.(]-2∞，
； C. (]-3∞，； D. (]-5∞，
12.函数)0(12
3)(2>+
=x x
x x f 取得最小值时x 为（ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上．
13.已知0>a 函数ax x x f -=3
)(在),1[+∞是单调增函数，则a 的最大值是
14. 19.抛物线2
ax y =的准线方程是y =2，则a 的值为_____ 。
15.已知x>0，y>0，且x+4y=1,则
11
+x y
的最小值为 _____ 。
16. 用数学归纳法证明：“”在验证时，
左端计算所得的项为_____ ____ _____ ._
三．解答题：本大题共6小题，共70分，请给出各题详细的解答过程．
17. （10分）已知
时的极值为0．
（1）求常数a ，b 的值；（2） 求的单调区间．
18. （12分）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程.
19 （12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，
AD=DE=2AB，且F是CD的中点。
（I）求证：AF//平面BCE；
（II）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。
20. （12分）已知函数，曲线在点M处的切线恰好与直线垂直。
（1）求实数的值；
（2）若函数的取值范围。
21（12分）已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|﹣m
（I）当时，求f(x) >0的解集；
（II）若关于的不等式f(x) ≥2的解集是，求的取值范围．
22. （12分）如图，在直三棱柱中，，
，点、分别是、的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正切值.
理数答案
17
解：(1) 由题易知
解得a = 2，b = 9. 6分
(2) f (x) = x3 + 6 x 2 + 9 x + 4，
由
18 解：（1）由已知双曲线C的焦点为
由双曲线定义
所求双曲线为
（2）设，因为、在双曲线上
①
②
①－②得
弦AB的方程为即
经检验为所求直线方程.
20 解：（1）
①式…………1分
22 1.证明：直三棱柱中，，
所以平面，
11 ， 所以，所以所求值为…………………………14分。