2019届高三一轮总复习文科数学检测：8-3圆的方程 含解析

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：B2．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2得，a 2＋b 2＝2.∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.答案：B3．若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2－λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15∪(1，＋∞) D ．R解析：4λ2＋4λ2－4(2λ2－λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)，故选A.答案：A4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)， PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：A5．已知点E (1,0)在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0的外部，则k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ C ．(－∞，1)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，1 解析：由方程表示圆知(－4)2＋22－4×5k ＞0，解得k ＜1.由点E 在圆的外部得12＋02－4×1＋2×0＋5k ＞0，解得k ＞35.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，1.答案：A6．(2017届人大附中模拟)过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA 、OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( )A ．点P (a ，b )一定在单位圆内B ．点P (a ，b )一定在单位圆上C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上解析：由题意得|OC →|＝a 2＋b 2＝1，所以点P (a ，b )在单位圆上，故选B. 答案：B7．(2018届西宁模拟)如果(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]解析：圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝2 2. 由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2， ∴22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3. 解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1. 答案：D8．(2018届邢台模拟)已知圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，P (2,2)是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( )A ．3 5B ．4 5C ．57D ．67解析：因为圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9， 所以圆心坐标为M (1,1)，半径r ＝3. 因为P (2,2)是圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦， 结合题意，得AC 是经过P 点的直径，BD 是与AC 垂直的弦． 因为|PM |＝(1－2)2＋(1－2)2＝2， ∴由垂径定理得|BD |＝2r 2－|PM |2＝27，因此，四边形ABCD 的面积是S ＝12|AC |·|BD |＝12×6×27＝67. 答案：D9．(2018届潍坊模拟)已知直线l ：x ＋2y －4＝0与坐标轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则经过O ，A ，B 三点的圆的标准方程为______________．解析：根据题意，直线l：x＋2y－4＝0与坐标轴的交点为(4,0)，(0,2)，经过O，A，B三点的圆即△OAB的外接圆，又△OAB是直角三角形，则其外接圆直径为|AB|，圆心为AB的中点，则2r＝(4－0)2＋(0－2)2＝25即r＝5，圆心坐标为(2,1)，则要求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝510．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1，3)，若M(m，6)在圆C内，则m的取值范围为________．解析：设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2＜10，解得0＜m＜4.答案：(0,4)11．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意知，圆的半径r＝12k2＋4－4k2＝124－3k2≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又a∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π412．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得 a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[能 力 提 升]1．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.答案：D2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：由(x －3)2＋(y －4)2＝1知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎨⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即AP →·BP →＝0，∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，∴m 2＝x 20＋y 2＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝34， ∴16≤m 2≤36，又m ＞0，∴4≤m ≤6，即m 的最大值为6.答案：B3．设A (－3,0)，B (3,0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为1∶2，则点P 的轨迹图形所围成的面积是________．解析：设P (x ，y )，则由题意有(x ＋3)2＋y 2(x －3)2＋y 2＝14，整理得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0，即(x ＋5)2＋y 2＝16， 所以点P 在半径为4的圆上，故其面积为16π. 答案：16π4．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)为顶点所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝55．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得，16－210≤t ≤16＋210， 所以所求的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有公共点，得|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤2 2.可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。