抛物线的定义与标准方程 PPT课件
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(3)由焦点到准线的距离为52，可知 p＝52. ∴所求抛物线方程为 y2＝5x 或 y2＝－5x 或 x2 ＝5y 或 x2＝－5y.
考点三 抛物线的定义及其应用
对于抛物线中的最值问题，其求解方法为把到 焦点的距离化为到准线的距离，到准线的距离 化为到焦点的距离．
例3 (2011年青州高二检测)已知点A(12,6)，点 M到F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1. (1)求点M的轨迹方程G； (2)在G上是否存在一点P，使点P到点A的距离 与点P到x轴的距离之和取得最小值？若存在， 求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 先根据抛物线的定义求出抛物线 方程．再利用平面几何的有关性质求出最小值．
【思路点拨】
将方程化为
写出焦点坐标
标准形式 ―→ 及准线方程 ―→
判断开口方向 ―→ 确定p值
【解】 将 y＝2ax2 化为标准方程得 x2＝21ay. ∴焦点为(0，81a)，准线方程为 y＝－81a， 顶点坐标为(0,0)， 当 a>0 时，开口向上，p＝41a； 当 a<0 时，开口向下，p＝－41a.
2．标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标 准方程，只需求出p的值即可，常用待定系数 法．
(1)用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先 确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确 定时，可设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，或 者x2＝ay(a≠0)； (2)当抛物线不在标准位置时，用定义来求．
∴所求抛物线方程为 y2＝－43x. 当抛物线的焦点在 y 轴上时，
可设抛物线方程为 x2＝2py(p>0)， 把(－3,2)代入得(－3)2＝2p×2，∴p＝94， ∴所求抛物线方程为 x2＝92y. 综上，所求抛物线的方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y. (2)直线 x－2y－4＝0 与 x 轴的交点为(4,0)，与 y 轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0， －2)，
2．3 抛物线 2．3.1 抛物线的定义与标准方程
2.3.1
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．会求简单的抛物线的方程．
课前自主学案
温故夯基
1．二次函数的图象是_抛__物__线__．___ 2．y＝x2＋2 的最小值是_2__. 3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是 _x_＝_－_2_ba_. __
Fra Baidu bibliotek
课堂互动讲练
考点突破
考点一
确定抛物线的焦点、开口方向、准 线方程
根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一
定要先化为标准形式，找出 2p，进而求出 p 和p2的 值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐 标和准线方程．
例1 求抛物线y＝2ax2(a≠0)的顶点坐标、焦点 坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值．
知新益能
1．抛物线的定义
平面上到一个定点 F 和定直线 l 距离_相__等___的点
的轨迹叫作抛物线，定点 F 叫作抛物线的焦点，
定直线 l 叫作抛物线的_准__线___．___
思考感悟
1．如何理解抛物线的定义？ 提 示 ： (1) 抛 物 线 定 义 的 实 质 可 归 结 为 “ 一 动 三 定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的 焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即 点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1. (2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否 则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直 于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋ y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0， 轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．
例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． 【思路点拨】 首先判断焦点可能存在的位置， 设出适当的方程的形式，然后求出参数p即可．
【解】 (1)当抛物线的焦点在 x 轴上时， 可设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，
把点(－3,2)代入得 22＝－2p×(－3)，∴p＝23，
由图可知，当 A、P、F 三点共线时，|PA|＋|PF| 取最小值，为 13.此时直线 AF 的方程为 y＝152x＋ 1，
x2＝4y 由y＝152x＋1
，得 P 点坐标为(3，94)．
∴在抛物线 G 上存在点 P(3，94)，使得所求距离之 和最小为 13.
【名师点评】 根据抛物线的定义，平面内与一 个定点F和一条不过该点的直线l的距离相等的点 的集合叫作抛物线，另一方面，抛物线上的任意 一点到焦点的距离等于该点到准线的距离．就是 说，定义具有判定和性质的双重作用，本题利用 抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线 的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的 和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面 几何性质的典型运用．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点 坐标
准线方程
y2＝ 2px(p>0)
(p2，0)
x＝－p2
图形
标准方程 y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
焦点坐 标
(－p2，0)
(0，p2)
(0，－p2)
准线 方程
x＝p2 y＝ －p2
y＝p2
思考感悟 2．如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数 为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方 向也随之确定． 四种位置的抛物线标准方程的对比：
方法感悟
1．(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0.特别注意，当抛物线标准方程的 一次项系数为负时，不要出现错误． (2)只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛 物线方程才有标准形式． (3)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的 取值范围．如抛物线x2＝－2y，一次项变量y≤0， 所以抛物线开口向下．
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
(1)共同点： ①原点在抛物线上；②焦点在坐标轴上；
③焦点的非零坐标都是一次项系数的. (2)不同点： ①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端 为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py， 左端为x2；②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴 相同，焦点在x轴(或y轴)正半轴上，方程右端 取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同， 焦点在x轴(或y轴)负半轴上，方程右端取负 号．
【名师点评】 一般地，不论 a 符号如何，形如 y2 ＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为 F(a4，0)，准线方程 均为 x＝－a4；形如 x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为 F(0，a4)，准线方程为 y＝－a4，而 p(指焦点到准线 的距离)总是正数．
自我挑战1 已知抛物线的标准方程如下，分 别求其焦点坐标和准线方程． (1)y2＝6x；(2)2y2＋5x＝0.
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确 定，要分类讨论．
自我挑战 2 分别求满足下列条件的抛物线的标 准方程．
(1)过点(3，－4)； (2)焦点在直线 x＋3y＋15＝0 上； (3)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线
的距离为52. 解：(1)∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0) 或 x2＝－2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－ 2p1y，
【解】 (1)点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距 离大1，即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线 y＝－1的距离”，所以点M的轨迹是以F为焦点， 直线y＝－1为准线的抛物线，此时，p＝2， 故所求抛物线方程G为x2＝4y.
(2)
如图，易判断知点 A 在抛物线外侧， 设 P(x，y)， 则 P 到 x 轴的距离即 y 值， 设 P 到准线 y＝－1 的距离为 d，则 y＝d－1. 故|PA|＋y＝|PA|＋d－1， 由抛物线定义知|PF|＝d. 于是|PA|＋d－1 ＝|PA|＋|PF|－1.
解：(1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右， 则焦点坐标是(32，0)，准线方程为 x＝－32. (2)将 2y2＋5x＝0 变形为 y2＝－52x， ∴2p＝52，p＝54，开口向左． ∴焦点为(－58，0)，准线方程为 x＝58.
考点二 求抛物线的标准方程
求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法．由 于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先 确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式， 然后再利用已知条件确定p的值．
自我挑战3 已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P 是 抛 物 线 上 的 动 点 ， 又 有 点 A(3 ， 2) ， 求 |PA| ＋ |PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标． 解：
将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝4x，得 y＝±2 3.
∵2 3>2，∴点 A 在抛物线内部． 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－1 的距离为 d， 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，由图可知， 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为 4， 即|PA|＋|PF|的最小值为 4， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝4x，得 x＝1. ∴点 P 坐标为(1,2)．
【名师点评】 (1)确定抛物线的标准方程，从 形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程
有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开
口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可 设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)， 焦 点 在 y 轴 上 的 抛 物 线 标 准 方 程 可 设 为 x2 ＝ 2my(m≠0)． (2)求抛物线标准方程的方法：
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， 即 2p＝136，2p1＝94.
∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0，得 y＝－5；令 y＝0，得 x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y 或 y2＝ －60x.
当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，
∵p2＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为 y2＝16x； 当焦点为(0，－2)时， 设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，
∵－p2＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为 x2＝－8y. 综上，所求抛物线方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
考点三 抛物线的定义及其应用
对于抛物线中的最值问题，其求解方法为把到 焦点的距离化为到准线的距离，到准线的距离 化为到焦点的距离．
例3 (2011年青州高二检测)已知点A(12,6)，点 M到F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1. (1)求点M的轨迹方程G； (2)在G上是否存在一点P，使点P到点A的距离 与点P到x轴的距离之和取得最小值？若存在， 求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 先根据抛物线的定义求出抛物线 方程．再利用平面几何的有关性质求出最小值．
【思路点拨】
将方程化为
写出焦点坐标
标准形式 ―→ 及准线方程 ―→
判断开口方向 ―→ 确定p值
【解】 将 y＝2ax2 化为标准方程得 x2＝21ay. ∴焦点为(0，81a)，准线方程为 y＝－81a， 顶点坐标为(0,0)， 当 a>0 时，开口向上，p＝41a； 当 a<0 时，开口向下，p＝－41a.
2．标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标 准方程，只需求出p的值即可，常用待定系数 法．
(1)用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先 确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确 定时，可设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，或 者x2＝ay(a≠0)； (2)当抛物线不在标准位置时，用定义来求．
∴所求抛物线方程为 y2＝－43x. 当抛物线的焦点在 y 轴上时，
可设抛物线方程为 x2＝2py(p>0)， 把(－3,2)代入得(－3)2＝2p×2，∴p＝94， ∴所求抛物线方程为 x2＝92y. 综上，所求抛物线的方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y. (2)直线 x－2y－4＝0 与 x 轴的交点为(4,0)，与 y 轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0， －2)，
2．3 抛物线 2．3.1 抛物线的定义与标准方程
2.3.1
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2．会求简单的抛物线的方程．
课前自主学案
温故夯基
1．二次函数的图象是_抛__物__线__．___ 2．y＝x2＋2 的最小值是_2__. 3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是 _x_＝_－_2_ba_. __
Fra Baidu bibliotek
课堂互动讲练
考点突破
考点一
确定抛物线的焦点、开口方向、准 线方程
根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一
定要先化为标准形式，找出 2p，进而求出 p 和p2的 值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐 标和准线方程．
例1 求抛物线y＝2ax2(a≠0)的顶点坐标、焦点 坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值．
知新益能
1．抛物线的定义
平面上到一个定点 F 和定直线 l 距离_相__等___的点
的轨迹叫作抛物线，定点 F 叫作抛物线的焦点，
定直线 l 叫作抛物线的_准__线___．___
思考感悟
1．如何理解抛物线的定义？ 提 示 ： (1) 抛 物 线 定 义 的 实 质 可 归 结 为 “ 一 动 三 定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的 焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即 点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1. (2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否 则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直 于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋ y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0， 轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．
例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． 【思路点拨】 首先判断焦点可能存在的位置， 设出适当的方程的形式，然后求出参数p即可．
【解】 (1)当抛物线的焦点在 x 轴上时， 可设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，
把点(－3,2)代入得 22＝－2p×(－3)，∴p＝23，
由图可知，当 A、P、F 三点共线时，|PA|＋|PF| 取最小值，为 13.此时直线 AF 的方程为 y＝152x＋ 1，
x2＝4y 由y＝152x＋1
，得 P 点坐标为(3，94)．
∴在抛物线 G 上存在点 P(3，94)，使得所求距离之 和最小为 13.
【名师点评】 根据抛物线的定义，平面内与一 个定点F和一条不过该点的直线l的距离相等的点 的集合叫作抛物线，另一方面，抛物线上的任意 一点到焦点的距离等于该点到准线的距离．就是 说，定义具有判定和性质的双重作用，本题利用 抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线 的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的 和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面 几何性质的典型运用．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点 坐标
准线方程
y2＝ 2px(p>0)
(p2，0)
x＝－p2
图形
标准方程 y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
焦点坐 标
(－p2，0)
(0，p2)
(0，－p2)
准线 方程
x＝p2 y＝ －p2
y＝p2
思考感悟 2．如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数 为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方 向也随之确定． 四种位置的抛物线标准方程的对比：
方法感悟
1．(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0.特别注意，当抛物线标准方程的 一次项系数为负时，不要出现错误． (2)只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛 物线方程才有标准形式． (3)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的 取值范围．如抛物线x2＝－2y，一次项变量y≤0， 所以抛物线开口向下．
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
(1)共同点： ①原点在抛物线上；②焦点在坐标轴上；
③焦点的非零坐标都是一次项系数的. (2)不同点： ①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端 为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py， 左端为x2；②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴 相同，焦点在x轴(或y轴)正半轴上，方程右端 取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同， 焦点在x轴(或y轴)负半轴上，方程右端取负 号．
【名师点评】 一般地，不论 a 符号如何，形如 y2 ＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为 F(a4，0)，准线方程 均为 x＝－a4；形如 x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为 F(0，a4)，准线方程为 y＝－a4，而 p(指焦点到准线 的距离)总是正数．
自我挑战1 已知抛物线的标准方程如下，分 别求其焦点坐标和准线方程． (1)y2＝6x；(2)2y2＋5x＝0.
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确 定，要分类讨论．
自我挑战 2 分别求满足下列条件的抛物线的标 准方程．
(1)过点(3，－4)； (2)焦点在直线 x＋3y＋15＝0 上； (3)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线
的距离为52. 解：(1)∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0) 或 x2＝－2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－ 2p1y，
【解】 (1)点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距 离大1，即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线 y＝－1的距离”，所以点M的轨迹是以F为焦点， 直线y＝－1为准线的抛物线，此时，p＝2， 故所求抛物线方程G为x2＝4y.
(2)
如图，易判断知点 A 在抛物线外侧， 设 P(x，y)， 则 P 到 x 轴的距离即 y 值， 设 P 到准线 y＝－1 的距离为 d，则 y＝d－1. 故|PA|＋y＝|PA|＋d－1， 由抛物线定义知|PF|＝d. 于是|PA|＋d－1 ＝|PA|＋|PF|－1.
解：(1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右， 则焦点坐标是(32，0)，准线方程为 x＝－32. (2)将 2y2＋5x＝0 变形为 y2＝－52x， ∴2p＝52，p＝54，开口向左． ∴焦点为(－58，0)，准线方程为 x＝58.
考点二 求抛物线的标准方程
求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法．由 于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先 确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式， 然后再利用已知条件确定p的值．
自我挑战3 已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P 是 抛 物 线 上 的 动 点 ， 又 有 点 A(3 ， 2) ， 求 |PA| ＋ |PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标． 解：
将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝4x，得 y＝±2 3.
∵2 3>2，∴点 A 在抛物线内部． 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－1 的距离为 d， 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，由图可知， 当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为 4， 即|PA|＋|PF|的最小值为 4， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝4x，得 x＝1. ∴点 P 坐标为(1,2)．
【名师点评】 (1)确定抛物线的标准方程，从 形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程
有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开
口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可 设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)， 焦 点 在 y 轴 上 的 抛 物 线 标 准 方 程 可 设 为 x2 ＝ 2my(m≠0)． (2)求抛物线标准方程的方法：
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， 即 2p＝136，2p1＝94.
∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0，得 y＝－5；令 y＝0，得 x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y 或 y2＝ －60x.
当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，
∵p2＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为 y2＝16x； 当焦点为(0，－2)时， 设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，
∵－p2＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为 x2＝－8y. 综上，所求抛物线方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.