人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 复习参考题》优质课教案_1
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 小结》优质课教案_1
（3）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程
2.（1）已知直线 与 垂直，求a的值
针对学生没有发现的问题引导学生质疑答疑
学生通过抢答的方式对有问题的题目进行讲解。
学生展示与点评
解：（1）
所以 ，所以BC边上的高所在的直线的方程为：
即：
（2）BC的中点坐标为（3，5）
提示学生数形结合寻找解题方法
（2）联立解得：
，所以点A(-3,3)
(2)点D(a,b)，由题意得
，（1）
，（2），(1)与（2）联立得到 ，
设点C（p,q）
由题意得
，所以C（9，-13）
所以AC的方程为：
学生完善整理学案
学生进行当堂检测
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课 时 教 学 设 计 尾 页（试用）
（2）斜截式：已知直线在 轴上的截距为 和斜率 ，则直线方程为 ,它不包括垂直于 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过 、 两点，则直线方程为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。
（4）截距式：已知直线在 轴和 轴上的截距为 ,则直线方程为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
（5）一般式：任何直线均可写成 (A,B不同时为0)的形式。
解：（1）
解得： 或
对学生进行分数评价，鼓励学生发散思维用不同的方法去完成题目
（2）（1） 解得： 或
（2） ，解得
解：（1）点M到已知直线的距离为
，设平行于已知直线的方程为
则M到该直线的距离为 ，则
设两条直线的方程为：
则M到该直线的距离为
，解得:
或 所以，三条直线的方程为
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最新人教版高中数学必修2第三章《直线与方程_复习》教案1
第三章直线与方程复习整体设计教学分析本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容大致分为三个部分：(1)直线的倾斜角和斜率；(2)直线方程；(3)两条直线的位置关系．可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生先阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①直线的倾斜角和斜率．②直线的方程和两直线的位置关系的应用．③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解．②处理直线综合问题的策略．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．思路2.为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①第一节是直线的倾斜角和斜率棳需 要注意什么?②第二节是直线的方程,有几种形式? 各自的适用范围怎样?③第三节是两直线的位置关系,分为哪些内容? 如何判断?④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类．对于画知识结构图，可让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识结构图．讨论结果：①直线的倾斜角(α)和斜率(k )：倾斜角范围：0°≤α<180°，斜率：k ∈R .k 与α的关系：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧不存在，α＝90°，tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，α∈[0°，90°)∪(90°，180°). 注意倾斜角为90°的直线的斜率不存在(分类讨论)．②直线方程的五种形式及适用范围：(a)斜截式：y ＝kx ＋b ，不含与x 轴垂直的直线．(b)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，不含与x 轴垂直的直线．(c)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，不含与x轴、y轴垂直的直线．(d)截距式：xa＋yb＝1，不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线．(e)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，无限制(可表示任何直线)．注：两点式的“改良”(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)＝0，可表示任何直线．③分为：两条直线的位置关系及点到直线的距离和两条平行线间的距离．判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合)．设l1：y＝k1x＋b1，A1x＋B1y＋C1＝0；l2：y＝k2x＋b2，A2x＋B2y＋C2＝0.(a)l1∩l2＝P⇔k1≠k2或仅有一个不存在⇔A1B2－A2B1≠0；l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一个为零一个不存在⇔A1A2＋B1B2＝0.(b)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.(c)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0.④第三章的知识结构图如图1所示．从几何直观到代数表示(建立直线的方程)从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)图1应用示例思路11求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x＋3y＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x＋2y－1＝0垂直；(3)经过点R(－2,3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1,2)且与点A(2,3)、B(4，－5)距离相等；(5)经过点N(－1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．解：(1)2x＋3y－1＝0.(2)2x－y＋5＝0.(3)x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.(4)4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.(5)3x＋y＝0或x－y＋4＝0.224，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，则当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m ＝±24.1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，则a 等于( )A ．0 B.16 C ．0或1 D ．0或162．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，则m 的值是________．答案：1.D 2.m ＝0或m ＝－12拓展提升问题：过点M (1,2)作l 1交x 正半轴于A ，作l 2交y 正半轴于B ，若l 1⊥l 2，且AB 恰平分四边形OAMB 的面积，求直线AB 的方程．解：设l 1：y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，l 2：y －2＝－1k(x －1)，即x ＋ky －2k －1＝0.则A (1－2k ，0)，B (0,2＋1k)． 则|OA |·|OB |＝|MA |·|MB |，∴|1－2k |·|2＋1k |＝(2k )2＋4·1＋(1k)2.解得k ＝34或k ＝－43. 则A (－53，0)，B (0，103)或A (52，0)，B (0，54)． ∴AB 方程为x －53＋y 103＝1或x 52＋y 54＝1， 即6x －3y ＋10＝0或2x ＋4y －10＝0.课堂小结本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．作业课本本章复习参考题A 组8、9、10.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．备课资料备用习题1．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P (2,3)，求经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程．解：依题意得2a 1＋3b 1＋1＝0，这说明Q 1(a 1，b 1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，同理，Q 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋3y ＋1＝0上．因为两点确定一直线，所以经过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.2．从点A (－4,1)出发的一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B (1,6)，求入射光线l 所在的直线方程．解：设B (1,6)关于直线l 1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4. ∴直线AB ′的方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0. 故直线l 的方程为3x －7y ＋19＝0.3．已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A (－1,2)、B (0,3)，试在l 上找一点P ，使得|P A |＋|PB |的值最小，并求出这个最小值．解：过点B (0,3)且与直线l 垂直的直线方程为l ′：y －3＝－12x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l ′相交于点Q (45，135)． 点B (0,3)关于点Q (45，135)的对称点为B ′(85，115)， 连接AB ′，则依平面几何知识，知AB ′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB ′的方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎨⎧x ＝1425，y ＝5325，即P (1425，5325)，相应的最小值为|AB ′|＝(－1－85)2＋(2－115)2＝1705.。
最新人教A版必修2高中数学 第三章《直线与方程》小结与复习教案
1212x x y y k --=高中数学 第三章《直线与方程》小结与复习教案新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：（1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合应用知识的能力。
2、过程与方法：对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象为直观，易于识记，同时凸现数学知识的发展和联系。
3、情感态度与价值观：通过知识的整合、梳理，理会直线的方程及其相互联系，进一步培养学生的数形结合思想和解决问题的能力。
二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系。
难点：利用直线方程相关知识解决问题。
三、教学过程（一）整合知识，发展思维1、直线的倾斜角和斜率公式：)(tan 211212x x x x y y k ≠--==α； 2、直线方程的五种形式：点斜式：)(00x x k y y -=- 两点式：121121x x x x y y y y --=-- 过点（0，b ） 过点（a ，0），（0，b ）斜截式：b kx y += 截距式：1=+by a x 一般式：Ax + By + C = 03、两条直线的位置关系：（1）两条直线相交：求两条直线的交点（解方程组）；两条直线垂直：12121-=⇔⊥k k l l 。
（2）两条直线平行：：2121//k k l l =⇔； 点到直线的距离公式：2200B A C By Ax d +++=；两条平行直线间的距离：2221B A C C d +-=。
（二）应用举例，深化巩固例1：直线033=--y x 的倾斜角是 。
变式：（1）若20πα<<，则直线x cot α – y – 3 = 0的倾斜角是 。
练习1：若02<<-απ，则直线x cot α – y – 3 = 0的倾斜角是 。
（2）直线x sin α – y – 3 = 0的倾斜角的变化范围是 。
练习2：直线x cos α – 3y – 3 = 0的倾斜角的变化范围是 。
新课标高中数学人教A版必修2第三章直线与方程优秀教案
备课资料已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：当0°≤α＜90°时,作出y=tanα在［0°,90°)区间内的函数图象；由图象观察可知：当α∈［0°,90°)，y=tanα＞0，并且随着α的增大，y不断增大，|y|也不断增大.所以，当α∈［0°,90°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.当90°＜α＜180°时,作出y=tanα在(90°,180°)区间内的函数图象;由图象观察可知：当α∈(90°,180°),y=tanα＜0，并且随着α的增大，y=tanα不断增大，|y|不断减小.所以,当α∈(90°,180°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.第三章直线与方程本章教材分析直线与方程是平面解析几何初步的第一章,用坐标法研究平面上最简单的图形——直线.本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.解析几何研究问题的主要方法是坐标法,它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是,首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程中,加强与图形的联系.直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫.教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同时渗透常用的数学思想方法（数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等）,体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入浅出的引导学生自己发现规律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并且及时鼓励，使同学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解决问题（尤其是实际问题）的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课标的要求和精神.3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要. 三维目标1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x 轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想.2.掌握经过两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2)的直线的斜率公式：k=1212x x y y --（x 1≠x 2），培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.如图1所示，在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.图1思路2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P 的直线l 的位置能确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?教师引入课题：倾斜角与斜率. 推进新课 新知探究 提出问题①怎样描述直线的倾斜程度呢？②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图2③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ ⑤正切函数的定义域是什么？ ⑥任何直线都有斜率么？⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB 的斜率是多少?活动:①与交角有关.当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了. ②考虑正方向.③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x 轴正方向的倾斜程度.规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°. ④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念. 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k=tanα. ⑤教师介绍正切函数的相关知识.⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x 轴的直线没有斜率. （倾斜角是90°的直线没有斜率）⑦已知直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线l 与x 轴不垂直，如何求直线l 的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果:①用倾斜角.②都不对.与定义中的x 轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率.⑦过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的斜率公式k=1212x x y y --.应用示例思路1例1 已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k 的值; 而当k=tanα＜0时,倾斜角α是钝角; 而当k=tanα＞0时,倾斜角α是锐角;而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.解:直线AB 的斜率k 1=71＞0,所以它的倾斜角α是锐角;直线BC 的斜率k 2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA 的斜率k 3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角. 变式训练已知A(1,33),B(0,23),求直线AB 的斜率及倾斜角.解:k AB =3013233=--,∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°,∴直线AB 的倾斜角为60°.例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线a,b,c,l.活动:要画出经过原点的直线a,只要再找出a 上的另外一点M.而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定.解:设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1=00--x y ,所以x=y.可令x=1,则y=1,于是点M 的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a. 同理,可作直线b,c,l. 变式训练1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°. 活动:指导学生根据定义直接求解. 解：(1)∵tan0°=0， ∴倾斜角为0°的直线斜率为0. (2)∵tan60°=3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3.(3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在. 点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( ) A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C.平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞) 答案：D思路2例1 求经过点A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角.解：k AB =)2(503----=1，即tanα=-1，又∵0°≤α＜180°，∴α=135°.∴该直线的斜率是-1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α. （1）P 1(-2,3)，P 2(-2,8)； （2）P 1(5,-2)，P 2(-2,-2). 解：（1）∵P 1P 2与x 轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°.（2）k=tanα=52)2(2-----=0，∴直线斜率为0，倾斜角α=0°.例2 已知三点A 、B 、C ，且直线AB 、AC 的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上. 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合，因此A 、B 、C 三点共线.点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线. 变式训练1.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(21,m)共线，求实数m 的值.解：k AB =2332--=-1，k AC =2213--m ，∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC .∴2213--m =-1.∴m=29.2.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则a 1+b 1的值等于_____________. 答案：21例 3 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD|的长.分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式.解：D 点的坐标为(-25,22-m )，∴k AD =025522----m =1.∴m=7.∴D 点坐标为(-25,25).∴|AD|=225)255()25(22=-+. 变式训练过点P(－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段A 的中心，求直线l 的斜率和倾斜角.答案：k=-1,倾斜角为43π.知能训练课本本节练习1、２、３、４. 拓展提升已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形.答案：(-∞,34)∪(-25,+∞).课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率;（2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围； （3）直线斜率的概念；（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法. 作业习题3.1 A 组3、4、5.设计感想本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要给学生充分的思考时间.备课资料备用习题1.已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试判断直线AB 与PQ 的位置关系.解:直线AB 的斜率k 1=32,直线PQ 的斜率k 2=-23,因为k 1·k 2=-1,所以AB ⊥PQ.2.求m 值,使过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过点P(1,2),Q(-5,0)的直线, (1)平行;(2)垂直.答案：(1)21;(2)-2.3.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC 的形状. 活动:先让学生作图猜想,然后给出证明. 答案：由斜率乘积为-1易知为直角三角形.4.已知两直线l 1:y=2k(x+2),l 2:y=3k(x-2),它们与x 轴围成一个三角形,若使P(3,3)在这三角形内,求k 的范围.图5解:如图5,l 1、l 2分别是过定点A(-2,0),B(2,0)的动直线,易知k AP =53,k BP =3,k AQ =143,k BQ =103.要使P(3,3)在三角形内必有⎪⎩⎪⎨⎧<>,2,3k k k k AP PB 得103＜k ＜1.(设计者:高建勇、杨海燕)3.1.2 两条直线平行与垂直的判定整体设计教学分析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明. 三维目标1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力. 重点难点教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直. 教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.推进新课新知探究提出问题①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②数形结合容易得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.图1充分性：如果k1=k2,即tanα1=tanα2,∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l1∥l2.⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.⑤l1∥l2⇔k1=k2.⑥l1⊥l2⇔k1k2=-1.应用示例例1 已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，１），Q（－1，2），判断直线BA与PＱ的位置关系，并证明你的结论.解:直线BA的斜率k BA=)4(23---=0.5,直线PQ的斜率k PQ=)3(112----=0.5,因为k BA =k PQ .所以直线BA ∥PQ. 变式训练若A(-2,3),B(3,-2),C(21,m)三点共线，则m 的值为( )A.21B.-21C.-2D.2分析：k AB =k BC ,32122332-+=+--m ,m=21.答案：A例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.解：AB 边所在直线的斜率k AB =-21, CD 边所在直线的斜率k CD =-21, BC 边所在直线的斜率k BC =23, DA 边所在直线的斜率k DA =23.因为k AB =k CD ,k BC =k DA ,所以AB ∥CD,BC ∥DA. 因此四边形ABCD 是平行四边形. 变式训练直线l 1：ax+3y+1=0，l 2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k 1，k 2.（1）a=_____________时，α1=150°； （2）a=_____________时，l 2⊥x 轴； （3）a=_____________时，l 1∥l 2；（4）a=_____________时，l 1、l 2重合； （5）a=_____________时，l 1⊥l 2.答案：（1）3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5知能训练习题3.1 A 组6、7. 拓展提升问题：已知P （－3，2），Q （3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ 的延长线、QP 的延长线相交，试分别求出a 的取值范围.（图2）图2解：直线l ：ax+y+3=0是过定点A （0，-3）的直线系，斜率为参变数-a ，易知PQ 、AQ 、AP 、l 的斜率分别为：k PQ =31，k AQ =37，k AP =35，k 1=-a.若l 与PQ 延长线相交，由图,可知k PQ ＜k 1＜k AQ ，解得-37＜a ＜-31； 若l 与PQ 相交，则k 1＞k AQ 或k 1＜k AP ，解得a ＜-37或a ＞35； 若l 与QP 的延长线相交，则k PQ ＞k 1＞k AP ，解得-31＜a ＜35.课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题. 作业习题3.1 A 组4、5.设计感想本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.备课资料 解析几何的应用解析几何又分为平面解析几何和空间解析几何.在平面解析几何中，除了研究有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质.在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面.椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用.比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的.总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质.运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案.(设计者:王清娥、杨海燕)3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程整体设计教学分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.三维目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.重点难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.方程y=kx＋b与直线l之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l上任意一点P(x1,y1)的坐标是方程y=kx＋b的解.(2)(x1,y1)是方程y=kx+b的解 点P(x1,y1)在直线l上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).推进新课 新知探究 提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l 的斜率k 且l 经过点P 1(x 1,y 1)，如何求直线l 的方程? ③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？ 讨论结果:①确定一条直线需要两个条件: a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1).③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在. ④a.x=0；b.x=x 1.⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线. ⑥y=kx+b. 应用示例思路1例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0, 这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程. 解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-3，又∵α∈［0°,180°)， ∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？ （2）l 1⊥l 2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2.(2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1. 变式训练判断下列直线的位置关系:(1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x.答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6), 当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)，Q （k k 46-,41624--k k )， 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k .变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32=0(S≠72). 因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40. 当且仅当k=－1时，S 有最小值40.因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导. 变式训练如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地.∵AB 方程为2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x)］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30),当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2).例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1.图3AB 边的中点为E ，AB 边上中线 CE ：x －2y ＋1=0.设C 点坐标为(m ，n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1,∴n=-1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0. ∴m=－3.∴C 点为(－3，－1).设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a+,2). 又E 在AB 中线上,则21a+-4+1=0.∴a=5.∴B 点为(5，1).由两点式,得到AB ，AC 所在直线的方程AC ：x －y ＋2=0,AB ：x ＋2y －7=0. 点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点： (1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来. 变式训练已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）.∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512.知能训练课本本节练习1、２、３、４. 拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则k 1=tanα1＜k ＜k 2=tanα2.。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 复习参考题》教案_6
直线与方程习题课教案教学目标:1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；4.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；5.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标；6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
教学重点:1.根据已知条件熟练的选择适当的方程表示直线；2.熟练利用距离公式解决相关问题； 教学难点:根据已知条件熟练的选择适当的方程表示直线； 教学方法:探究、交流、讲授相结合。
教学过程:一、知识梳理（复习教材82110P -）（课前在导学案上完成，3分钟课堂展示） 1.直线倾斜角的取值范围 ，直线斜率的定义 ，当倾斜角为090时，斜率 ，过两点11122212(,),(,)()P x y P x y x x ≠的斜率公式 。
轴垂直的直线方程 ，与轴垂直的直线方程 。
3.已知两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，若12l l ∥则 ，若12l l ⊥则 ； 已知两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若12l l ∥，则 ，若12l l 、重合，则 ，若12l l ⊥则 。
4.与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可设为 ； 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可设为 ；过两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=交点的直线可设为 。
5.两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为 ，点000(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为 。
两平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=间的距离为 。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_2
3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。
理解直线倾斜角的唯一性。
理解直线斜率的存在性。
斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率与倾斜角的关系。
难点：倾斜角与斜率的关系的探究。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题北盘江大桥由云贵两省合作共建，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，相当于200层楼高——这也是世界最高的桥梁：大桥主桥采用主跨720m 钢桁架梁斜拉桥方案，为目前世界最大跨径的钢桁架梁斜拉桥。
于2016年12月29日通车，云南宣威城区至贵州六盘水的车程将从此前的5个小时左右，缩短为1个多小时。
桥梁上斜拉钢丝与桥面形成了之间具有不同的倾斜程度，这就是我们这节课所要研究的内容。
（二）新课探究，形成新知（1）动动手，画出满足条件的直线 1）在平面直角坐标系中画一条直线 2）在平面直角坐标系中画一条过原点的直线3）在平面直角坐标系中画一条与x 轴正方向所成的角为30°的直线4）在平面直角坐标系中画一条过原点且与x 轴正方向所成的角为 30°的直线（2）动动脑，回答下列问题1）在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线的位置呢？ 2）在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件： 1.两点可以确定一条直线2. 已知直线上一点和这条直线的方向 （3）直线的方向——倾斜角的概念形成问题：在如图的平面直角坐标系中，以哪个角刻画倾斜程度？倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_1
倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。思考2：在日常生活中，有没有其他表示倾斜程度的量？
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 ， ， 及 。
例1的作用是已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。
目的是加强数形结合。通过分析，得到为了方便的画出直线，还需要在确定一个点。从而说明用坐标法表示斜率公式的必要性。体会逻辑推理喝几何直观想象。
板书课题: 3.1.1倾斜角和斜率
通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于PPT的展示，直观的看出，过一点可以作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的必要性和形成过程。逐步渗透数学抽象这一核心素养。在几何画板上的操作直观的感受到倾斜程度不同。
既然斜率是直线倾斜程度的一个很好的代数表示？为什么还要引入过两点直线的斜率的公式呢？这是因为倾斜角的正切值表示斜率有其局限性：对有非特殊倾斜角的直线，正切值很难算出，有必要用其他更好的方法来计算斜率，自然而然引入过两点的直线的斜率公式。
重难点分析
重点：探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过
新课标人教A版高中数学必修2第三章《直线与方程》复习课程案例
分析：直接利用公式求解.
解：直线AB的斜率kAB
12 1; 43 7
B
直线BC的斜率
kBC0 1( 1 4)421 2;
y
A
O C
x
直线CA的斜率 kCA0132 3 31.
已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等
于( )
A.-1
B.1
C.-3
D.3
解：选C.因为 k A B=7 4- -3 5=2 , k A C=- 又x 1 - - A5 3 ，=- Bx ，4 -5 C, 三点共线，
1
中点坐标公式
x0
y
0
x1 x 2
2 y1 y 2
2
l2:x-2y=4. l2:3x+2y-12=0.
( 2 ) ( 2 ,3 )
5、3种距离
（1).两点距离公式 |A B |(x1x2)2(y1y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
d| Ax0 By0 C| A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
直线的交点个数与直线位置的关系
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
求下列各对直线的交点坐标
(1)l1:2x+3y=12, (2)l1:x=2,
答案：( 1 ) ( 3 6 ,4 ) 77
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.2直线的方程 3.2.2 直线的两点式方程》优质课教案_0
直线的两点式方程导学案第一部分：复习1： 1．直线的点斜式方程_________________2．直线的斜截式方程_________________问 题1. 直线的点斜式方程和斜截式方程的使用条件_____________________问 题2．直线除了用点和倾斜角（斜率）确定外还常用的还有什么方法______________ 问 题3．已知直线l 过A （3，-5）和B （-2，5），如何求直线l 的方程.第二部分：合作探究探究1：设直线l 经过两点),(),,(222111y x P y x P ，其中2121,y y x x ≠≠，则直线l 斜率是什么？结合前面学过的点斜式写出直线l 的点斜式方程.一、直线的两点式方程：已知直线上两点),(111y x P ，),(222y x P ，且（21x x ≠，21y y ≠），则通过这两点的直线方程为 ，由于此方程是由直线上 确定，所以把它叫做直线的两点式方程，简称 。
讨论：1、两点式适用范围是什么？2、若点),(),,(222111y x P y x P 中有21x x =，或21y y =，此时过这两点的直线方程分别是什么？练习：写出过下列两点的直线的方程（写完后对照同学的答案看和自己写得是否一样，若不同，查找问题出在哪儿）① 过两点P 1(2,1)，P 2(0,-3)； ② 过两点A （0，5），B （5，0）探究2：已知直线l 与x 轴的交点为)0,(a A ，与y 轴的交点为),0(b B ，其中0,0≠≠b a . 求l 的方程.二、直线的截距式方程：我们把直线与x 轴的交点)0,(a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，直线与y 轴的交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距。
若直线l 与x 轴的交点为)0,(a A ，与y 轴的交点为),0(b B ，其中0≠a ，且0≠b ，则直线l 的方程是 ；该方程由直线在 确定，所以叫做直线的截距式方程，简称 。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《复习参考题》5
2021年优课教学设计直线与方程复习课〔第二课时〕〔人教A 版2021 课标版高中数学必修2第三章直线与方程——复习参考题〕一、教材分析普通高中课程标准实验教科书〔人教社A 版〕必修2中的?直线与方程?章节，作为高中阶段学习解析几何的入门章节，在整个高中教学体系中起到了很好的承上启下作用学生对直线来说可谓是“既熟悉又陌生〞，从引入直线“倾斜角〞，“斜率〞等概念，到各种直线的方程，位置关系，距离等问题的层层递进，让学生对直线以及解析几何有了更为深入的理解课本章末的复习参考题为本章的回忆复习提供了指引与素材，是作为对整章书内容非常好的系统归纳与提升的工具，既能帮助学生有效整合知识、提炼思想方法，也能引导学生掌握学习方法、感知数学应用本节课的教学内容虽然是复习课的第二课时，但仍然在本章一些重点与难点内容的选取上，与课本复习参考题有着很深的契合度，比方例1的含参数问题，是对课本B组第3题很好的一种变式训练；例2的方程求法那么是从另一个学习高度让学生自主的根据条件的不同选择不同的方程形式进行求解，与课本A11,B1,B4等题目相互对应；例3的综合应用那么是对本章内容的做一个升华处理，也与A12,B1,B9等问题相互照应，很好地让学生感受数形结合以及解析几何的魅力二、学情分析作为解析几何的入门章节，学生通过与初中知识的衔接，在高中知识背景下，更加系统地学习了倾斜角，斜率，各种方程形式，对直线有更深的了解与认识本课时为章末复习课的第二课时，第一课时已经对课本复习参考题进行了分类与讲评，通过本课时对复习参考题中几个重点问题予以变形拓展，从几个不同角度将知识与方法思想进行重新整合学生已经根本掌握直线方程的求法，直线斜率及其变化，以及简单的对称问题，本课时主要在复习知识、整合方法的同时，引导学生在直线相关问题的切入点，直线方程的选择，以及数形结合思想上有更多思考的角度与深入的分析，为后续解析几何的学习奠定良好的思想方法根底三、教学设计思想作为章末复习课的第二课时，本课是在已经处理章末复习参考题的根底上，将几个问题进行整合与综合提高，变式拓展，主要包括含参数直线系分析，直线方程的合理选择，以及处理相关几何问题的转化，通过创设师生交流、生生交流的教学情境，从易到难，由浅入深，逐步启发，引导推进，带着学生感知直线的变化，理解与思考“数与形〞的巧妙转变，以及知识点之间的转换与串联 教学手段上，借助多媒体平台，运用几何画板、－1,2，N 5,5关于直线对称； 〔3〕横纵截距相等且不为0，点P 4，3到直线的距离为3错误!；〔4〕与直线2＋3＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6考点三：直线问题的综合应用【例3】三角形ABC 的一个顶点A 〔2，3〕，AB 边上的高所在的直线方程为－23=0，角B 的平分线所在的直线方程为 －4=0，求此三角形三边所在的直线方程．思路引导：1. 分析题目条件，结合图形找到解题的突破口在于AB 边上的高所在的直线方程，利用垂直直线系方程求方程AB ，再联立角平分线求出B 点坐标；2. 思考此题的难点——角B 的平分线应当如何应用，引导学生如何从几何性质去推导出对题目分析有利的条件，根据学生的认知情况，引导学生可能思考到的两个方向：一个是角平分线上的点到角两边距离相等；另一个那么是对称问题 根据两种思路给学生进行分析，详细解答思路二；3. 引导学生认识到角平分线问题实质上可以是一种线关于线对称的问题设计意图：含参数直线方程是解析几何问题中常见的命题模式，此题的设计意图从定点问题入手，引导学生在分析解析几何问题的同时应当辅助图像进行分析，选择恰当的分析点，从而解决不同类型的含参数问题 问题的设置符合认知的规律，层层递进，激发学生的学习兴趣，感知知识的发现与推导过程，体验数学思维的严谨和数形结合的魅力 设计意图：直线方程的形式多样，针对不同的条件类型选择恰当的方程是解题的关键 学生应当在平时的课堂和练习中培养一种良好的“嗅觉〞与第一反响，这是此题的最大目的 此题是这节课课堂互动的问题，让学生自己课堂完成，并答复选择该方程类型的原因与做法，由老师提问，学生进行分析，形成课堂良好的互动，在分析中比对各种不同方法的优劣性，同时提高学生分析问题的效率和增强学生做题的信心设计意图：以学生熟知的三角形为载体，让学生在解题过程中感受到解析几何题的环环相扣，在探究讨论中激发学生的学习兴趣，增强对所学知识的理解，提升探究与应用的意识A B C D A ′ A B CD 思路一图解 思路二图解【练习】三角形ABC的一个顶点A〔2，3〕，角B和角C的两个外角平分线所在的直线方程分别为－4=0和=，求直线BC所在的直线方程【思考】点A－4,1，B1,6，P为直线1：－＋3＝0上一点，求的最小值【本课小结】1.对于含参数直线方程，应善于从定点、斜率、截距等直线关键元素进行主动分析，找到解题的突破口；2.求解、假设直线方程时应当根据题目条件选择适当方程形式，结合图形，更快，更易，更准地求解直线方程；3.涉及斜率问题时应注意对斜率的存在性进行探讨；4.角平分线问题是线线对称问题的一种表达【介绍】肖朝欣，汕头市第一中学，高中中学一级教师。
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0543=+-y x x 直线与方程总复习参考题－－点、直线之间的对称问题
一、教学目标
1. 了解并掌握点、直线之间的四种对称问题；
2. 理解各种对称的实质，并能根据题目条件选择正确的对称方式解答问题;
3. 进一步熟练综合运用中点坐标公式、直线方程的知识，以及点与直线的对称问题，解决一些实际问题；
4. 体会“数”与“行”的内在联系，渗透数形结合与等价转化的数学思想。
二、教学的重难点
1. 教学的重点：点关于直线的对称问题
2. 教学的难点：直线关于直线的对称问题 三、教学的过程
（一）课前预习提纲——课本P114_ B 组 第一题
1.与直线
关于 轴对称的直线的方程为（ ） 0543.0543.=++=-+y x B y x A ）（）（
质疑：
你还能找到哪些点、直线的对称问题？这些问题又怎么解决呢？请与小组成员一起分享你的发现，并尝试解答以下练习 已知直线l:2x-3y+1=0,A(-1,-2) .
（1）求点A 关于直线l 的对称点A'的坐标；
（2）求直线m:3x-2y-6=0关于直线l 的对称直线m'的方程； （3）直线l 关于点A （-1，-2）的对称直线l'的方程.
（设计意图：让学生学会分析，归纳的能力，小组相互之间的协同能力） （二）根据预习提纲，投影各小组的结果 （学情预测：每个小组可能总结的不完整） （三）师生共同归纳总结 生成一
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧⎩⎨⎧⎩
⎨⎧线关于线的对称线关于点的对称直线的对称点关于线的对称点关于点的对称
点的对称称对 0543.0543.=--=+-y x D y x C ）（）（
1x
1
y
生成二
1. 点关于点的对称问题 关键：中点坐标公式
体验一：点A （ , ）关于原点对称的对称点坐标为 . 答案： 2. 点
关于直线的对称问题
关键是：中点在直线上和两条直线互相垂直关系
解析：令Q(m ，n ），则有：
()1022n b A m a B
m a n b A B C -⎧
⋅-=-⎪⎪-⎨
++⎪⋅+⋅+=⎪⎩
解方程组可得m ，n.
体验二：
（1）点A (a,b )关于 x 轴的对称点坐标为 （2）点A (a,b)关于 x 轴的对称点坐标为 （3）点A (a,b)关于直线 x=m 的对称点坐标为 （4）点A (a,b)关于直线 y=n 的对称点坐标为 （5）点A(a,b)关于直线 y=x 的对称点坐标为 （6）点A (a,b)关于直线 y= –x 的对称点坐标为
3.直线关于点的对称问题
)
,(1
1
y x A --'的坐标怎么求？
的对称点关于直线点Q C By Ax l b a P 0:),(=++ 答案：（1）（a ，– b ） （2）（–a ，b ） （3）（2m –a ，b ）
（4）（a ，2n –b ） （5）（b ，a ） （6）（–b ，–a ）
关键是：转化为点关于点的对称问题
.
),,(0点的对称直线方程关于求直线和的方程为：已知直线P l n m P C By Ax l =++ 方法一：转移代入法
上
在直线点的对称点点关于则上的任一点，）对称直线（解：设l y n x m M P M l y x M )2,2(,--'' 0)2()2(=+-+-'∴C y n B x m A l 方程为：所求对称直线
方法二：利用平行的性质和点到直线的距离 4.直线关于直线的对称问题
关键是：转化为点关于直线的对称问题
已知直线l 1：Ax+By+C=0,直线l2：Cx+Dy+E=0,求直线l 1关于直线l 2的对称直线 l 的方程.
回顾：
体验三：
已知直线l :2x-3y+1=0,A(-1,-2) .
）
（即则依题意有）（）设解：（13
4
,1333,134,133313
21201223212,3
2
,,1
-'=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=∙++=+-⨯--⨯='A b a a b b a k b a A l
102469)4(469346913
641330
33,43,4062301321330,136,1330,1361322-0-0123222,
,,0,22=+--=-'∴=--
=
∴==⇒⎩⎨⎧=--=+-'==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=∙=+⨯-+⨯∴'''
y x x y m k l m y x y x y x M b a a b b a m b a M l M M m m 即，的方程为直线）
的交点为（与，即直线）
（即上）在直线（的对称点关于直线则）（上取一点）在直线（ .0932.
9-321
62-3262-.1032//.
093201-4-3--2-2.
-4-,-2-2,1,,32
2
2
2
=--'∴=+++=+++≠=+-'∴'=--=+∴'--'y x l C C C C y x l l l y x y x l y x P A y x P l y x P 的方程为，解得则
）（方程为设方法二：，即）（）（上）在直线（）的对称点为（）关于点（则上任意一点，）为直线（）方法一：设（ （1）求点A 关于直线l 的对称点A'的坐标；
（2）求直线m :3x-2y-6=0关于直线l 的对称直线m'的方程； （3）直线l 关于点A （-1，-2）的对称直线l'的方程.
拓展一：
1. 一束光线过点 A(–2,3) 射在直线 x+y+1=0上反射后过点 B(1,2), 求反射光线所在的直线方程.
分析：根据光学的有关原理，点A 关于直线x+y+1=0的对称点A ’，在反射光
95)
1(5
1
2511,4-1,41)1(2
30
123
22-
上，中点在AA'且⊥A A' ∵,=+--=-'∴=∴'=-=⇒
⎪⎩⎪⎨⎧-=-∙+-=+++∴'y x x y B A k A b a a b b a l l b a A l A AB
即的方程为反射光线，）（即）（的对称点为关于直线解：设.)4,0(1,4,013:2)4,3(1,4,013:1.3的距离之差最大）和（到使得上求一点）在直线（的距离之和最小；）和（到使得上求一点）在直线（C A P P y x l B A Q Q y x l =--=--及其应用
题直线关于直线的对称问
直线关于点的对称问题点关于直线的对称问题
点关于点的对称问题
四种对称问题⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧线CB 的反向延长线上，然后由两点式写出BC 方程.
质疑：入射光线所在的直线方程呢？ 说明：与光线有关的问题可以用对称法
2.如图,一条河L 的某一侧有A 、B 两个村庄，问在河的什么位置上修桥，能使桥到两村的距离之和最小？
.
四、课堂反思小结
五、作业
测评P_71 跟踪检测-7。