第六章概率分析
教育与心理统计学第六章：概率分布
举例：
1、我们队将可能赢得今晚的这场比赛。 2、今天下午下雨的机会有40％。 3、这个冬天的周末我很可能有个约会。 4、我有50比50的机会通过今年的英语四
级考试。
概率的分类
1、后验概率(empirical definition of Probability)
以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作 为随机事件A的概率估计值，这样求得的概率称为 后验概率。
进行推论，从而确定推论正确或错误的概率。
一、正态分布及渐近正态分布
（一）样本平均数的分布
1、总体分布为正态， δ2已知，样本平均数 的分布为正 态分布
标准误，即样本均数的标准差，是描述均数抽样分布的 离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度，反映的是 样本均数之间的变异。
标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计 量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性， 用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。
第六章 概率分布
第一节 概率的基本概念 第二节 正态分布 第三节 二项分布 第四节 样本分布
第一节 概率的基本概念
一、什么是概率 随机现象（或随机事件）——在心理学研究中，通过实
验、问卷调查所获得的数据，常因主试、被试、施测 条件等因素的随机变化而呈现出不确定性，即使是相 同的被试在相同的观测条件下，多次重复测量结果也 还是上下波动，我们一般都无法事先确定每一次测量 的结果。 概率（probability）：随机事件出现可能性大小的客观 指标
2、计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己 的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
3、若能将一般的正态分布转化为标准正态分布， 计算概率时只需要查一张表
（三）标准正态分布表的编制与使用
概率与数理统计第六章
t
ｘ
ｙ
W {T t (n 1)}
2021/3/11
t
ｘ 16
6.2.1 单个正态总体均值的假设检验
例6.2 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例四乙基铅 中毒患者的脉搏数（次/分）如下：54，67，68，78，70，66， 67，70，65，69.已知人的脉搏次数服从正态分布．试问四乙基铅
在取6份水样，测定该有害物质含量，得如下数据： 0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰，0.530‰
能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定？ 0.05
练习2 一公司声称某种类型的电池的平均使用寿命至少为21.5小 时，有一实验室检验了该公司制造的6套电池，得到如下的寿命数 据（单位：小时）：19 18 22 20 16 25 设电池寿命服202从1/3/正11 态分布，试问这种类型的电池寿命是否低于该18 公
即提出假设： H0 : p 0.02 若 H0 正确，则取到次品为小概率事件.
2021/3/11
在一次试验中， 小概率事件是 几乎不可能发 生的．
小概率原理
2
6.1 假设检验的基本概念
2. 两类错误
犯了“弃真”错误 第一类错误
犯了“纳伪”错误 第二类错误
P(拒绝H0 | H0为真)
P(接受H0 | H0为假)
注意：我们总把含 有“等号”的情形 放在原假设．
在原假设 H0 为真的前提下，确定统计量
U
X 0
~
N (0,1)
n
2021/3/11
因为X
~
N
,
2
n
,
所以
X
~
N (0,1)
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
第六章 概率初步
辛二七数下导学案—50 第六章概率初步教学目的：复习本章知识点一、事件1、事件分为事件、事件、事件。
2、必然事件：事先就能肯定发生的事件。
也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是（或1）。
3、不可能事件：事先就能肯定发生的事件。
也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为。
4、不确定事件：事先无法肯定发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在和之间。
5、三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为，则为必然事件；若事件发生的可能性为，则为不可能事件；若事件不一定发生，即发生的可能性在之间，则为不确定事件。
6、简单地说，必然事件是发生的事件；不可能事件是绝对发生的事件；不确定事件是指有发生，也有可能发生的事件。
7、表示事件发生的可能性的方法通常有三种：（1）用可能性的大小。
（2）用表示。
（3）用表示。
二、等可能性1、等可能性：是指几种事件发生的可能性。
2、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有可能性。
（1）首先要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必然事件或不可能事件，则游戏是的；（2）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性，游戏才是的。
（3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性即可。
三、概率1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）= 。
2、必然事件发生的概率为，记作P（必然事件）= ；3、不可能事件发生的概率为，记作P（不可能事件）= ；4、不确定事件发生的概率在之间，记作 <P（不确定事件）< 。
5、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。
6、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。
北师大版七年级数学下册教学设计(含解析)：第六章概率初步1感受可能性
北师大版七年级数学下册教学设计（含解析）：第六章概率初步1感受可能性一. 教材分析本节课为人教版七年级数学下册第六章概率初步的第一节，主要内容是让学生感受可能性。
通过本节课的学习，学生能够理解随机事件的概念，并能用概率来描述事件的可能性。
教材通过丰富的实例，引导学生感受概率在生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了集合的概念，对一些基本的数学运算也有所了解。
但是，对于概率这一概念，学生可能比较陌生，难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和生活中的现象，帮助学生理解和掌握概率的概念。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解随机事件的概念，学会用概率来描述事件的可能性。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生感受概率在生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对概率学习的兴趣，培养学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生理解随机事件的概念，会用概率来描述事件的可能性。
2.难点：让学生理解概率的计算方法，并能运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，让学生感受概率的存在，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，并通过分析问题来理解概率的概念。
3.合作学习法：让学生在小组合作中，共同探讨问题的解决方案，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学素材：准备一些与生活相关的实例，如抛硬币、抽奖等，用于引导学生感受概率的存在。
2.教学工具：多媒体课件、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过抛硬币的实例，引导学生感受概率的存在。
例如，抛一枚硬币，正面朝上的概率是多少？让学生思考并回答。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，呈现一些与概率相关的实例，如抽奖、骰子等，让学生观察并思考其中的概率问题。
3.操练（10分钟）教师提出一些关于概率的问题，让学生进行计算。
例如，抛两枚硬币，同时正面朝上的概率是多少？让学生独立思考并回答。
第六章__概率分布
二、正态分布表的编制与使用
• （一）正态分布表的编制与结构
• 正态分布表的结构一般包括三栏
• 第一栏：Z分数单位；
• 第二栏：密度函数或比率数值（y）；
• 第三栏：概率值（p）。
• （二）正态分布表的使用
2
3
• 当g2=0时，正态分布的峰度；g2>0时，分布的峰度 比正态分布的峰度低阔；g2<0时，表明分布的峰度比 正态分布的峰度高狭。当N>1000时，g2值才比较可 靠。
• （三）累加次数曲线法
• 正态分布概率曲线和样本的累加频率曲线完全重
合说明样本分布为正态；若偏离，则不符合。
• 四、正态分布理论在测验中的应用
-0.84 -0.525 0 0.84 1.645 2.33
4.160 4.475 5.000 5.840 6.645 7.330
• （三）在能力分组或等级评定时确定人数
• ①将6个标准差除以分组的或等级的数目，做到Z
分数等距；
• ②查正态分布表，从Z求p，即各等级或各组在等
距的情况下应有的比率； • ③将比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分 组该有的人数。
• （二）二项分布
• 二项分布：试验仅有两种不同性质结果的概率分布。也称 两个对立事件的概率分布。
• 二项分布同二项定理有着密切的关系：
n 1 n1 n1 n1 n n (p+q)n =C0 p +C p q + +C pq +C n n n nq
x x n x (p +q)n = Cn pq n
心理统计学课件第六章 概率分布
（三）正态分布的特征
正态分布的形式是对称的，它的对称轴是 经过平均数点的垂线。
正态分布的中央点（即平均数点）最高， 然后逐渐向两侧下降。
正态曲线下的面积为1，平均数点的垂线 将面积划分为相等的两部分0.50。
正态分布曲线，标准差与概率有一定的数 量关系。
二、正态分布表的结构与使用
2、已知P值，求Z分数
已知从平均数开始的概率值，求Z值 已知位于两端的概率值，求该概率分界点
上的Z值 已知正态曲线中间部分的概率，特定区间的人数 求考试成绩中某一特定人数比率的分数界
限 按能力分组或等级评定时确定人数 将等级评定结果转化为测量数据
按能力分组或等级评定时确定人数
要把100人在某一能力上分成5个等级， 各等级应该有多少人？
将等级评定结果转化为测量数据
某教师评价全班50人的作文，有8人优， 17人良，20人中，5人及格，求各等级的 标准分数
求考试成绩中特定区间的人数
已知某年级200名学生考试呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲 的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低 的学生人数是多少？
求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10 分，要择优录取25%的学生进入高一级学 校学习，问最低分数线应是多少？
第六章 概率分布 第三节 正态分布
一、正态分布特征
（一）正态分布的概念 与二项概率分布对比 变量类型 图形
正态分布：
在一个概率分布中，中间频数多，两 端频数对称地减少，成为一种“钟”形对 称的理论概率分布。
（二）正态分布曲线
标准正态分布的密度函数：
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
教育统计学第六章 概率及概率分布
( 0, )
标准正态分布
如果把总频数看成是1，随机变量的分布密度是
f ( x)
1 2
( x )2 2 2
e
( 0 , )
二者相比：
f ( x)
N e 2
x 2
2 2
( 0, )
92 P( A) 0.514 179
87 P( B) 0.486 179
7 P (C / A) 0.076, 92 12 P (C / B ) 0.137, 87
P( AC ) P( A) P(C / A) 0.514 0.076 0.039
P( BC ) P( B) P(C / B) 0.486 0.137 0.067
由于F值是两个总体方差的比值，所以F值均为正 值，故F的图象处于正半轴的上方 ，其最小值为0，最 大值为无穷大。
F值可通过查值表求得
左右两侧临界值之间的关系为：
1 F1 / 2 df1 , df2 F / 2 df2 , df1
例如：查表得 则
F0.05 / 2 8,9 4.10
1 2 c5 c35 p( A1 ) 3 c40
0.301
2 1 c5 c35 p( A2 ) 3 0.035 c40
3 c5 p( A3 ) 3 c40
0.001
p( A) p( A1 A2 A3 ) p( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
例3 某班共有40名学生，如果其中只有5人没 有完成作业，而其它学生都较好地完成了作业。若 从该班中随机抽出3人检查作业完成情况，问至少 抽到一人未完成作业的概率是多少？
第六章.ppt数理统计
例：从鱼塘里捞一条鱼,这条鱼为鲤鱼的概率?
重复捞取鱼1000次，每次捞一条,有100次左右是鲤鱼,
近似认为再捞一次鱼是鲤鱼的概率为10%。
用频率近似概率
3、主观定义 人们根据经验和所掌握的信息对事件发 生的可能性给以主观的估计。
例：本拉登活着的概率；估计自己能考上大学 的概率；上一个新项目能否赚钱的概率。
（3）不可能事件：每次试验必然不会发生的事件 称为不可能事件。
上例中，观察正反面正面出现的次数为3次——这一事件为不可
能事件
二、事件的关系和运算
（1）包含——事件A发生必然导致B发生， A包含于B
例：抛两个硬币，观察正反面情况：可能结果：①1正2 反，②1反2正，③12全正，④12全反四个基本事件。
解：P（A）=40%，P（B）=50%，P（AB）=30%， P（A+B）=40%+50%-30%=60%； P（A/B）（抽一个公司，已知它进行销售预测，那么它研究 广告效果的概率）=P（AB）/P（B）=30%/50%=60%。 P（B/A）（已知这个公司研究广告效果，那么它进行销售 预测的概率是多少）=P（AB）/P（A）=30%/40%=75%。
（二）概率的运算法则
1、加法公式
两个互斥事件A、B，P（A+B）=P（A）+P（B） A、B互斥（A、B没有交集），P（A+B）（A、B至少 一个发生的概率）=P（A）+P（B）
2、乘法公式
（1）条件概率（事件B已经发生的条件下 事件A发生的概率）。 P（A/B）=P（AB）/P（B）
例：将一枚硬币掷两次，观察出现正反面的情况，设事件 A为“至少一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”， 现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 P（B/A）。 解：S={正正、正反、反正、反反}， A={正正、正反、反正}， B={正正，反反}， A已经发生（抛两次硬币后，知道至少有一次正面）， 那么掷出同一面的概率是1/3。
概率论与数理统计第六章第七章
二、常用的统计量
设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体X的一个样本， X1, X 2 ,, X n 是
这一样本的观察值。定义：
样本平均值（Sample mean） 样本方差(Sample variance)
X
1 n
n i 1
Xi
S 2
1 n -1
n i 1
(Xi
X )2
Sn2
1 n
n i 1
y2 e 2,
y
0
0,
其它
二、 2 分布
2. 2 分布的性质 （1） 2 分布的可加性
设 12 ~ 2 (n1 )， 2 2～（2 n 2 )
并且 12 , 2 2 相互独立，则有
12 2 2～（2 n1 n 2 )
二、 2 分布
（2） 2 分布的数学期望和方差
若 2 ~ 2 (n)
n i1
Xi
1 n
n i1
E( X i )
D 1 n
n i1
Xi
1 n2
n i1
D(Xi )
1 n2
nC C n
1
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
1
1
2
D 1 n
n i 1
Xi 1
C
n 2
1
四、辛钦（Khinchin）大数定律 (独立同分布随机变量序列的大数定律)
P 16 Xi 1920 1 P 16 Xi 1920
i1
i1
1 (0.8) 0.2119
因此，这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率近 似为0.2119。
第七章 数理统计的基本概念
数学初中教材第六章统计与概率
数学初中教材第六章统计与概率第六章统计与概率统计与概率是数学中的一个重要分支，它研究的是数据的收集、整理和分析，以及事件发生的可能性。
在初中数学教材中，第六章主要介绍了统计学和概率学的基本概念、方法和应用。
以下将对该章内容进行详细阐述。
1. 数据的收集与整理在统计学中，数据的收集与整理是一个至关重要的步骤。
统计学家通过采用调查、实验等方法，收集数据以便进一步分析。
而对于初中生来说，统计学通常以观察和调查为主要手段。
例如，学生们可以进行班级人数、学生身高、喜欢的运动等方面的调查，并将所收集到的数据进行整理和绘制图表，以便更好地观察和理解数据的规律。
2. 统计图表的制作与分析统计图表是展示数据规律的重要工具。
在初中数学教材中，常见的统计图表有条形图、折线图、饼图等。
学生们需要学会使用各种统计图表来呈现数据，并通过观察和分析统计图表来获取信息。
例如，通过观察条形图可以比较不同类别的数据之间的差异；通过观察折线图可以观察数据的趋势变化；通过观察饼图可以了解不同类别数据的占比情况。
掌握统计图表的制作与分析技巧，有助于初中生更好地理解和运用统计学知识。
3. 概率的基本概念与计算概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。
在初中数学中，概率常常运用在一些有限的随机试验中。
学生们需要了解概率的基本概念，如样本空间、事件、概率等，并学会计算概率。
例如，通过掷骰子的实验，可以计算出每个点数的出现概率；通过抽取扑克牌的实验，可以计算出不同花色或数字的概率。
初中生应逐步熟练掌握概率计算的方法，以便在实际问题中运用。
4. 事件的关系与概率模型在概率学中，事件之间存在着一定的关系。
在初中数学教材中，介绍了事件的互斥、对立、独立等关系，并引入了概率模型的概念。
学生们需要学会判断事件之间的关系，并利用概率模型，解决与事件相关的问题。
例如，当两个事件是互斥事件时，它们不能同时发生，概率之和等于各个事件的概率之和；当两个事件是独立事件时，它们相互之间的发生不影响彼此的概率。
概率论第六章
对有限总体，采用放回抽样所得到的样本为简单随 机样本。
当样本容量 n 与总体容量N 相比很小时, 可将无放 回抽样近似地看作放回抽样.(n/N<1/10)
对于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布， 所以总是用不放回抽样。
(X 1,X 2, ,X n)是 来 自 总 体 的 样 本 ,求 样 本 (X 1,X 2, ,X n)的 分 布 律 .
解 总体X的分布律P 为 {X x}px(1p )1 (x x 0, 1)
因 X 1 ,为 X 2 , ,X n 相互 ,且与X独 有相立 同的分 , 布
所 (X 以 1,X 2, ,X n)的分布律为
X 1 k ,X 2 k , ,X n k 独立 X k 同 且 分 与 布
E ( X 1 k ) E ( X 2 k ) E ( X n k ) k
由辛钦定理
A
k
1 n
n i 1
X
k i
P k , k
1, 2,
,
说明2
依概率收敛的序列性质知道 g为连续函数
g( A1, A2 ,, Ak ) P g(1, 2 ,, k )
10 i 1
( xi
x )2
390.0
9 10
s2
21
3. 经验分布函数(与总体分布函数F(x)相对应的统计量)
设 X 1 ,X 2 , ,X n 是 总 体 X 的 一 个 样 本 , 用 s (x ) , x 表 示 X 1 ,X 2 , ,X n 中 不 大 于 x 的 随 机 变 量 的 个 数 ,
基本概念: 个体 总体无有限限总总体体 样本 样本值 总体的分布 样本的分布
第六章概率初步(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解概率的基本概念。概率是描述事件发生机会的量，它是数学中的一个重要工具，帮助我们在不确定性中做出决策。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过抛硬币的实验，观察正面和反面朝上的概率，探讨概率在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调必然事件、不可能事件和随机事件的概念，以及概率的计算方法。对于难点部分，我会通过抛硬币和掷骰子的例子，帮助学生理解并掌握枚举法和树状图法的使用。
1.讨论主题：学生将围绕“概率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们教学难点与重点
1.教学重点
-理解并区分必然事件、不可能事件和随机事件，并能用符号表示。
-掌握概率的定义，了解概率是描述事件发生机会的量。
-学会运用枚举法和树状图法计算简单事件的概率。
-能够运用概率知识解决实际问题，如游戏、彩票等。
举例解释：
-重点之一是让学生能够明确各种事件的类型，例如，抛硬币正面朝上是随机事件，而抛一枚不均匀的骰子出现1点是必然事件。
-在解决实际问题时，如何从问题中抽象出数学模型，确定相关事件和计算概率是学生容易感到困惑的地方，需要教师引导和示范。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
第六章概率与概率分布-社会统计学
第六章概率与概率分布-社会统计学第六章概率与概率分布第⼀节概率论随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对⽴事件、互相独⽴事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法第⼆节概率的数学性质概率的数学性质（⾮负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运⽤概率⽅法进⾏统计推断的前提第三节概率分布、期望值与变异数概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数⼀、填空1．⽤古典法求算概率．在应⽤上有两个缺点：①它只适⽤于有限样本点的情况；②它假设（）。
2．分布函数)(x F 和)(x P 或)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系⼀样。
所不同的是，)(x F 累计的是（）。
3．如果A 和B （），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。
4．（）和（）为抽样推断提供了主要理论依据。
5．抽样推断中，判断⼀个样本估计量是否优良的标准是（）、（）、（）。
6．抽样设计的主要标准有（）和（）。
7．在抽样中，遵守（）是计算抽样误差的先决条件。
8．抽样平均误差和总体标志变动的⼤⼩成（），与样本容量的平⽅根成（）。
如果其他条件不变，抽样平均误差要减⼩到原来的1/4，则样本容量应（）。
9．若事件A 和事件B 不能同时发⽣，则称A 和B 是（）事件。
10．在⼀副扑克牌中单独抽取⼀次，抽到⼀张红桃或爱司的概率是（）；在⼀副扑克牌中单独抽取⼀次，抽到⼀张红桃且爱司的概率是（）。
⼆、单项选择1．古典概率的特点应为（）。
A 基本事件是有限个，并且是等可能的；B 基本事件是⽆限个，并且是等可能的；C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 基本事件是⽆限的，但可以是具有不同的可能性。
2．随机试验所有可能出现的结果，称为（）。
A 基本事件；B 样本；C 全部事件；D 样本空间。
概率论 第六章条件数学期望和特征函数
1 ,y 1− x
∈ (x, 1), x ∈ (0, 1)
2 6.8 解 由定理 2.1 知 X |{Y = 63} ∼ N (µ1 + ρ(σ1 /σ2 )(63 − µ2 ), (1 − ρ2 )σ1 ), Y |{X = 1.7} ∼ 2 2 N (µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), (1 − ρ )σ2 ) 故 2 (a)EY |{X = 1.7} = µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), Y |{X = 1.7}的标准差为 (1 − ρ2 )σ2 ,
P (Y =y,N =n) P (N =n)
=
βα 1 Γ(n+α) n!Γ(α) (β +1)n+α
f (y,n)dy
=
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) dy, Γ(α+1)
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) . Γ(α+1)
6.16 解 (a) 设 Xi 为第 i 个人的等待时间, 则第一个电话的到达时间为 X(1) = min(X1 , X2 , . . . , Xn ), 最后一个电话的到达时间为 X(n) = max(X1 , X2 , · · · , Xn ), 对 ∀x > 0 有 P (X(1) ≤ x) = = = = = = 1 − P (X(1) > x) 1 − P (X1 > x, X2 > x, · · · , Xn > x) 1 − P (X1 > x)P (X2 > x) · · · P (Xn > x) 1 − P (X1 > x)n 1 − [1 − F (x)]n 1 − exp(−nxβ ),
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T 70 65 60 56
正态分布表的应用
①将原始数据整理为次数 分布表； ②计算各组上限以下累加 次数； ③计算各组中点以下累加 次数； ④计算各组中点以下累积 比率； ⑤查正态分布表，将概率 转化为Z分数； ⑥将正态化以后的Z值进行 线性转换：T=10Z+50
140135130125-
120115110105100959085807570-
122
117 112 107 102 97 92 87 82 77 72
28
16 16 8 9 8 7 6 6 5 5
0.14
-0.17 -0.40 -0.59 -0.73 -0.90 -1.06 -1.25 -1.46 -1.70 -2.12
51
48 46 44 43 41 39 38 35 33 29
分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；
先抽一白球、后抽一黑球。
3 2 2 3 P 0.48 5 5 5 5
例4
一枚硬币掷3次，或三枚硬币各掷一次，问出现两
次或两次以上H的概率是多少？
解：可能出现的情况有：HHH HHT HTH THH TTH
THT HTT TTT共8种。每种情况出现的概率，为
根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为
离散型随机变量与连续型随机变量。
当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离
散型随机变量。如投掷一枚硬币4次，几次正面朝上？因 取值只能为0、1、2、3、4，故为离散型随机变量。
离散分布与连续分布
离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分
布是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率 分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。
考察间断型随机变量，可以讲某个值以多大的概率
出现，而对于连续型随机变量，这样讲是没有意义的，
因为它的取值个数是无限的，这时我们只能讲取值在某
个区间的概率是多少。
经验分布与理论分布
经验分布是指根据观察或实验所获得的数据而编制
的次数分布或相对频率分布。经验分布往往是总体的一 个样本。
理论分布是按照随机变量概率分布函数（数学模型）
的事件发生的可能性较小。
概率的加法定理
互不相容事件：若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不 发生。 两互不相容事件和的概率等于这两个事件概率之和：
P( A B) P A PB
P ( A1 A2 An ) P A1 P A2 P An
即抽完第一张以后将所抽的牌再放回去，混合好后再抽 第二张。问第一次抽取红桃K第二次抽取方块K的概率是
多少？第一次抽取红桃，第二次抽取方块的概率是多少？
例2：
某一学生从５个试题中任意抽取一题，进行口试。如
果抽到每一题的概率为1／5，则抽到试题１或试题２的概 率是多少？ 如果前一个学生把抽过的试题还回后，后一 个学生再抽，则４个学生都抽到试题1的概率是多少？
132人，问每次抽取1人，抽到男生的概率是（）。 A. 0.66 B. 0.34 C. 0.33 D. 0.17
考研真题
5、两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是
（
）。
A. 0.17 B. 0.083 C. 0.014 D. 0.028 ）。
6、依分布函数的来源，可把概率分布划分为（ A.离散分布 C. 经验分布 B. 连续分布 D. 理论分布
N=180
x = 115.14
s=17.91
次数分布的正态化
假设研究对象总体呈正态分布，但由于抽样误差等
因素，样本的次数分布不是正态。这时需要按总体将样 本分布正态化。这种将样本原始分数分布转换成正态分
布，称作次数分布的正态化。
次数分布的正态化
当样本原始分数不服从正态分布，先将原始分数的
频数转化为百分等级，将它视为正态分布的概率，然后 通过查正态分布表中概率值相对应的Z值，将其转换为Z
标准正态分布曲线的特点
①曲线以Ｚ＝０为中心双侧对称且在Ｚ＝０处达最高点；
②曲线从最高点向左右缓慢下降向两侧无限延伸，但终 不与基线相交；
③曲线拐点为正负一个标准差处；
④曲线的平均数为０，标准差为１；
⑤从Ｚ＝－3至Ｚ＝＋3之间几乎分布着全部数据。
正态分布表的特点
表中仅列有标准正态曲线下的面积，查表前应先将
总数
100
100
100
正态分布表的应用
例6：某年级进行数学能力测验后，拟按数学能力
将学生分成5个组。该测验参加人数为300人，平均分为 60分，标准差为13.2分，问各组人数及原始分数区间都
是怎样的？
分组
组中值 142 137 132 127
f 8 9 20 29
Z 2.01 1.50 1.04 0.57
原始变量Ｘ转换为Ｚ。
表中所列面积数据P，是从Ｚ＝０到某一正的Ｚ值
之间的面积。
正态分布表的使用：已知Z值求P
①求Ｚ＝0至某一正的Ｚ值之间的概率：直接查表； ②求两个Ｚ值之间的概率，两Ｚ值符号相同； ③求两个Ｚ值之间的概率，两Ｚ值符号相反； ④求某一Z值以上的概率，当Z＞0时； ⑤求某一Z值以上的概率，当Z<0时； ⑥求某一Z值以下的概率，当Z＞0时； ⑦求某一Z值以下的概率，当Z<0时。
p
0.49 0.45 0.35 0.30 0.20
Z -2.331 -I.645 -1.035 -0.840 -0.525
Z+5 2.669 3.355 3.965 4.160 4.475
10
11 13 25
50
20 5 1
0
0.30 0.45 0.49
0
0.84 1.645 2.33
5.000
5.840 6.645 7.330
计算出的概率分布。
经验分布与理论分布
身高分组 169166163160157f0 2 7 22 57 110 fe 1 7 24 60 104
1 y e 2 ( X )2 2 2
实际次数的分布为经验分布 理论次数的分布为理论分布
154151148145142139-
124
112 80 25 8 4
第六章 概率分布
后验概率
随机事件A的频率：对随机事件进行n次观测，其中某
一事件A出现的次数m与观测次数n的比值。
当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在一个常数P，
这个 Lim n n 因这种概率是由随机事件A出现的次数决定，故称后验 概率或统计概率。
运用T分数可迫使其成为正态。
二项试验
①一次试验只有两种可能结果，即“成功”和“失 败”； ②共有n次试验（n是大于1的自然数）； ③各次试验的结果互不影响，相互独立。 ④各次试验中“成功”的概率p相同，“失败”的
概率q也相同，且p+q=1。
2、某班200人的考试成绩呈正态分布，其平均数
为12，标准差为4。则成绩在8分和16分之间的人数占 全部人数的（ A. 34.13 ） B. 68.26 C. 90% D. 95%
考研真题
3、正态分布是由（）于1733年发现的。 A. 高斯 B. 拉普拉斯 C. 莫弗 D. 高赛
特
4、从n=200的学生样本中随机抽样，已知女生伟
1 若随机变量X的概率密度函数为：Y e 2
2 X
2 2
则称X 服从正态分布，记作：X ～N(, 2 )
正态分布曲线
①影响曲线形态的两个参数有两个：, 2
②决定曲线的中心位置， 2决定曲线的陡峭程度
③曲线相对于直线X 对称并在X 处达最大值
1 1 2 P A B P A P B 5 5 5
1 1 1 1 1 P A1 A2 A3 A4 5 5 5 5 625
例3：
从30个白球和20个黑球共50个球中随机抽取两次
（放回抽样），问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少？
概率的乘法定理
互相独立事件：事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生。 两互相独立事件积的概率等于两事件概率的积：
P( AB) P A PB
P( A1 A2 An ) P A1 P A2 P An
例1：
去掉大小王牌，从52张扑克牌中有放回的抽两张牌，
1 1 1 1 2 2 2 8
则：P（HHH)+P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=
1 1 1 1 1 8 8 8 8 2
概率分布
概率分布是指对随机变量取不同值时的概率的描述，
一般用概率分布函数进行描述。
只有了解随机变量的概率分布，才能使统计推论成
为可能。
离散随机变量与连续随机变量
先验概率
古典概率模型要求满足两个条件： ①试验的所有可能结果是有限的； ②每一个基本事件出现的可能性相等。 如果基本事件的总数为n，事件A包括m个基本事件，
则事件A的概率为：
P( A )
m n
概率的公理系统
1．任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间的正数， 即：0 ≤ P（A）≤1 2．不可能事件的概率等于零，即：P（A）= 0 3．必然事件的概率等于1，即：P（A）= 1 概率接近1的事件发生的可能性较大，而概率接近0
正态分布表的使用：已知P值求Z
①已知Z＝0到Z=Z0之间的面积，直接查表得Z； ②已知Z＝-Z0到Z=0之间的面积，查得Z前加上负号； ③已知曲线右侧尾端面积，怎样求Z? ④已知曲线左侧侧尾端面积，怎样求Z? ⑤已知正态曲线下中央部位 面积怎样求Z?