2017年甘肃省张掖市高台一中高三理科一模数学试卷
甘肃省张掖市高考数学一模试卷(理科)
甘肃省张掖市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·温州模拟) 设集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|x2≤1}，则A∩B=（）A . （0，1）B . （0，1]C . [﹣1，1]D . [﹣1，+∞）2. （2分）已知为虚数单位，则复数的模等于（）A .B .C .D .3. （2分）等比数列的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，由的前n项的和是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·丽水期中) 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则该双曲线的离心率等于（）A .B .C . 或D . 或5. （2分） (2018高三上·湖北月考) 已知实数满足约束条件，若，，设表示向量在方向上的投影，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·定州期末) 任取，直线与圆相交于A,B 两点，则的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）把函数y= cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m 的最小值是（）A . ﹣B .C .D .8. （2分）(2018·永州模拟) 运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合，从集合中任取一个元素，则函数在是增函数的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式 x2+（a1﹣）x+c≥0的解集是[0，22]，则使得数列{an}的前n项和大于零的最大的正整数n的值是（）A . 11B . 12C . 13D . 不能确定10. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .11. （2分）圆C：（x+2）2+y2=32与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点，若直线AB恰好经过抛物线的焦点，则p等于（）A .B . 2C . 2D . 412. （2分） (2016高三上·怀化期中) 已知直线：bx+ay=0与直线：x﹣2y+2=0垂直，则二次函数f（x）=ax2﹣bx+a的说法正确的是（）A . f（x）开口方向朝上B . f（x）的对称轴为x=1C . f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增D . f（x）在（﹣∞，﹣1）上递减二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2﹣3，则f（﹣2）=________14. （2分） (2017高三上·嘉兴期中) 二项式中，所有的二项式系数之和为________；系数最大的项为________．15. （1分） (2016高二上·南阳期中) 在约束条件下，目标函数z=|x﹣y+4|的最大值为________16. （1分） (2016高二上·晋江期中) 已知数列{an}中，a1=﹣1，an+1•an=an+1﹣an ，则数列的通项公式an=________．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共45分)17. （5分） (2018高三上·信阳期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA+ cosA=2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c= b．试从中选出两个可以确△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积．（只写出一个方案即可）18. （5分） (2017高二下·南昌期末) 2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：K是否愿意提供志愿者服务愿意不愿意性别男生205女生1015（Ⅰ）用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；（Ⅲ）你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．19. （5分）(2017·安庆模拟) 在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC= ，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．20. （5分）已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程．21. （15分） (2016高三上·虎林期中) 设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．22. （5分）(2017·息县模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈[0，π））．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（Ⅰ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，求|AB|的最小值．23. （5分）设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共45分)17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
【精品】2017年甘肃省张掖市高考数学一诊试卷及参考答案(理科)
2017年甘肃省张掖市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|y=}，则A ∩B等于（）A．[﹣2，2]B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{0，1，2，3}2．（5分）若复数是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．3 C．﹣3 D．63．（5分）实数x，y满足，则使得z=2y﹣3x取得最小值的最优解是（）A．（1，0） B．（0，﹣2）C．（0，0） D．（2，2）4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．5．（5分）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=B．f（x）=（﹣＜x＜）C．f（x）=D．f（x）=x2ln（x2+1）6．（5分）下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”7．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B 两点的横坐标之和为，则|AB|=（）A．B．C．5 D．8．（5分）等差数列{a n}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A．1 B． C．D．9．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π10．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，2]C．[，+∞） D．[2，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）A．2468 B．3501 C．4032 D．573912．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3，若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2+，+∞） C ．（2﹣，+∞）D ．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知平面向量、满足||=||=1，⊥（﹣2），则|+|的值为 ．14．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使成立的概率为 ． 15．（5分）设f （x ）是（x 2+）6展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，则实数m 的取值范围是 ．16．（5分）定义在R 上的函数f （x ），对任意的实数x ，均有f （x +3）≤f （x ）+3，f （x +2）≥f （x ）+2且f （1）=2，则f （2015）的值为 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =﹣3S n +4，b n =﹣log 2a n +1． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式与数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）令c n=+，其中n ∈N*，若数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否95%的把握认为以45岁为界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x=a上的任意一点，且（+）•=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点（点A在第一象限），动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．21．（12分）设函数f（x）=﹣alnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，试求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（5分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线C3：ρ=2sinθ．（l）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜|x﹣1|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求+的最小值．2017年甘肃省张掖市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|y=}，则A ∩B等于（）A．[﹣2，2]B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{0，1，2，3}【解答】解：由B中y=，得到4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0，1，2}，故选：C．2．（5分）若复数是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣6 B．3 C．﹣3 D．6【解答】解：∵复数是虚数单位）==，∵这是一个纯虚数，∴a+3=0，3﹣a≠0，∴a=﹣3，故选C．3．（5分）实数x，y满足，则使得z=2y﹣3x取得最小值的最优解是（）A．（1，0） B．（0，﹣2）C．（0，0） D．（2，2）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y﹣3x得y=x+，平移直线y=x+由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，0），则z=2y﹣3x取得最小值的最优解（1，0），故选：A．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2=，又∵c=2a，∴a2+c2﹣b2=4a2﹣=3a2，∴利用余弦定理可得：cosB===，∴由于0＜B＜π，解得：sinB===．故选：A．5．（5分）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．f（x）=B．f（x）=（﹣＜x＜）C．f（x）=D．f（x）=x2ln（x2+1）【解答】解：根据程序框图可知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点，经验证：f（x）=不存在零点；f（x）=不存在零点；f（x）=x2ln（x2+1）为偶函数，f（x）=的定义域为全体实数，且f（﹣x）=﹣f（x），故此函数为奇函数，且令f（x）==0，得x=0，函数f（x）存在零点，故选：C．6．（5分）下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．7．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B 两点的横坐标之和为，则|AB|=（）A．B．C．5 D．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，设A，B的横坐标分别为x A，x B，则x A+x B=．∴|AF|=x A+1，|BF|=x B+1．∴|AB|=|AF|+|BF|=x A+x B+2=．故选：D．8．（5分）等差数列{a n}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（）A．1 B． C．D．【解答】解：由题意可得：因为数列{a n}是等差数列，所以设数列{a n}的通项公式为：a n=a1+（n﹣1）d，则a2n=a1+（2n﹣1）d，所以．因为是一个与n无关的常数，所以a1﹣d=0或d=0，所以可能是1或．故选B．9．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，且四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱AE与底面垂直，如图所示，根据四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC，根据直角三角形的勾股定理知AC==，∴R=，∴V=πR3=•=．故选：D．10．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，2]C．[，+∞） D．[2，+∞）【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=≤，即有2b≤c，∴4b2≤3c2，∴4（c2﹣a2）≤3c2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）A．2468 B．3501 C．4032 D．5739【解答】解：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A•+1=cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，可求：A=2．∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：=4，∴解得：ω=．又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，解得：φ=．∴函数的解析式为：f（x）=cos（x+）+2=﹣sin x+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=﹣（sin+sin+sin+…+sin）+2×2016=504×0+4032=4032．故选：C．12．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=3，若方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2+，+∞）C．（2﹣，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f[f（x）﹣log2x]=3，∴f（x）﹣log2x为大于0的常数，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t（t＞0），又由f（t）=3，即log2t+t=3，解得t=2；∴f（x）=log2x+2，f′（x）=，∴f（x）+f′（x）=log2x+2+=a，设g（x）=log2x+2+，则g′（x）=，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数取得最小值2+，∵方程f（x）+f′（x）=a有两个不同的实数根，∴a＞2+，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知平面向量、满足||=||=1，⊥（﹣2），则|+|的值为．【解答】解：∵||=||=1，且⊥（﹣2），∴•（﹣2）=﹣=0，∴，则|+|==．故答案为：．14．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数θ，则使成立的概率为．【解答】解：由得≤sin（θ+）≤1，∵0≤θ≤π，∴当0≤θ≤，则“”发生的概率P=．故答案为．15．（5分）设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是[5，+∞）．【解答】解：由题意可得f（x）=•x6•=•x3．由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2在区间[，]上恒成立，由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5，即m的范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞）．16．（5分）定义在R上的函数f（x），对任意的实数x，均有f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2且f（1）=2，则f（2015）的值为2016．【解答】解：令x=﹣1，则f（2）≤f（﹣1）+3，f（1）=2≥f（﹣1）+2，得f（﹣1）≤0，令x=0，则f（3）≤f（0）+3，f（2）≥f（0）+2．令x=1，f（4）≤f（1）+3=5，f（3）≥f（1）+2=4，．令x=2，则f（4）≥f（2）+2，f（0）+4≤f（2）+2≤f（4）≤5，得f（0）≤1，4≤f（3）≤f（0）+3，得f（0）≥1．得f（0）=1，∴5≤f（2）+2≤5，得f（2）+2=5，f（2）=3．∴3≤f（﹣1）+3，f（﹣1）≥0，得f（﹣1）=0，∵f（x+6）=f（x）+6，∴f（2015）=f（﹣1+6×336）=f（﹣1）+6×336=0+2016=2016．故答案为：2016．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n=﹣3S n+4，b n=﹣log2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式与数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=+，其中n∈N*，若数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（I）a n=﹣3S n+4，n≥2时，a n﹣1=﹣3S n﹣1+4，相减可得：a n﹣a n﹣1=﹣3a n，可得a n=．n=1时，a1=﹣3a1+4，解得a1=1．∴数列{a n}为等比数列，首项为1，公比为．∴a n=．b n=﹣log2a n+1=﹣=2n．（2）c n=+=+=+，其中n∈N*，设数列{}的前n项和为A n=+…+，∴=+…++，∴=+…+﹣=﹣，∴A n=2﹣．设数列的前n项和为B n．则B n=++…+=1﹣=．∴数列{c n}的前n项和T n=2﹣+．18．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否95%的把握认为以45岁为界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．．【解答】解：（1）由统计数据填2×2列联表如下，计算观测值，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休政策”的支持度有差异；（2）①抽到1人是45岁以下的概率，抽到1人是45岁以上的概率是，故所求的概率是P=×=；②根据题意，X的可能取值是0，1，2；计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，可得随机变量X的分布列为故数学期望为E（X）=0×+1×+2×=．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD中点为M，连ME，MF．…1分∵E是PC的中点∴ME是△PCD的中位线，∴ME平行且等于．∵F是AB中点且ABCD是菱形，∴AB平行且等于CD，∴ME平行且等于．∴ME平行且等于FB∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF．∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（Ⅱ）：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA．连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．建立如图所示的坐标系，则P（0，0，1），C（，3，0），D（0，2，0），F（，，0）易知=（，﹣，0）是平面PAB的一个法向量．设平面PCD的一个法向量为由，可取，设平面PAB与平面PCD所成锐角为θ，则cosθ==故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，右顶点为E，P为直线x=a上的任意一点，且（+）•=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点（点A在第一象限），动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．【解答】解：（I）F（c，0），E（a，0），设P（，y），则=（，﹣2y），=（c﹣a，0），∴（+）•=（c﹣）（c﹣a）=2，∵椭圆的离心率e=，∴a=2c，∴c=1，a=2，b==，∴椭圆C的方程为：=1．（II）直线AB的方程为x=1，代入椭圆方程得y=±．∴A（1，），设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题意可知△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∵∠MAB=∠NAB，∴k AM+k AN=0，∵k AM==，k AN==，∴+=2k+（k+m﹣）=2k﹣（k+m﹣）=0，∴（4k﹣2）m+4k2﹣8k+3=0恒成立，∴，解得k=．∴直线MN的斜率为定值．21．（12分）设函数f（x）=﹣alnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，试求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣lnx，f'（x）=x﹣，∵f'（1）=0，f（1）=，∴在点（1，f（1））处的切线方程y=；（Ⅱ）f'（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）递增，函数无极值；当a＞0时，在（0，）时递减，在（，+∞）时递增，函数的极小值为f（）=0；（Ⅲ）f（x）=﹣alnx在区间（1，e2]内恰有两个零点，∴y=与y=在区间（1，e2]内恰有两个交点，令g（x）=，g'（x）=，g（x）在（0，e）递增，在（e，e2）上递减，∴g（e）=，g（e2）=，∴∈[，），∴a∈（，]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（5分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线C3：ρ=2sinθ．（l）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．【解答】解：（l）曲线，消去参数α，得：y+x2=1，x∈[﹣1，1]，①∵曲线，∴ρcosθ+ρsinθ+1=0，∴曲线C2：x+y+1=0，②，联立①②，消去y可得：x2﹣x﹣2=0，解得x=﹣1或x=2（舍去），∴M（﹣1，0）．…（5分）（2）曲线C3：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，∴曲线C3：x2+（y﹣1）2=1，是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆设圆心C，点B到直线x+y+1=0的距离分别为d，d'，则：，，∴|AB|的最小值为．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜|x﹣1|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求+的最小值．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜|x﹣1|，即|2x﹣1|＜|x﹣1|，平方化简可得x（3x﹣2）＜0，求得0＜x＜，故不等式的解集为{x|0＜x＜}．（Ⅱ）函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）=|2x﹣1|+|2（x﹣1）﹣1|=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，当且仅当≤x≤时，取等号，故g（x）的最小值为a=2，∴m+n=2≥2（m＞0，n＞0），∴mn≤1，≥1，当且仅当m=n=1时，等号成立．∴+=m++n+=2+（+）=2+（+）=5++≥5+2，当且仅当=时，等号成立，故求+的最小值为5+2．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2017届甘肃省高台县第一中学高三质量检测数学试题 及答案
高台县第一中学2017届高三质量检测数学试题一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、若集合{}{}1|lg(2),|2,x A x R y x B y R y x A -=∈=-=∈=∈，则()R C A B = ( )A .R B.(][),02,-∞+∞ C.[)2,+∞ D.(],0-∞2、已知复数2320131i i i i z i++++=+ ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A .第一像限B .第二像限C .第三像限D .第四像限3、理：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD内的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 16文：四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且3.476 5.648y x =-+；③y与x正相关且 5.4378.493y x=+；④y与x正相关且4.326 4.578y x=--.其中一定不正确．．．的结论的序号是 ( )A．①②B．②③C．③④D．①④4、已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是（）A.12 B.4π C.1 D.3π5、阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填人的条件是 ( )A. S<10?B. S<12?C. S<14?D. S<16?6、如图设抛物线21y x=-+的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在∆AOB内的概率是 ( )A. 56 B. 45C. 34D. 237、设实数x、y满足26260,0x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max231,22z x y x y=+-++的取值范围是( )A．[2,5] B．[2,9] C．[5,9] D．[1,9]-8、若△ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且(错误！未找到引用源。
甘肃省河西五市部分普通高中2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)
2017 年甘肃省河西五市部分一般高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1．已知会合 A={x||x| ＜ 2} ， B={ ﹣ 1， 0， 1， 2， 3} ，则 A ∩B= （）A．{0， 1} B．{0， 1，2} C． { ﹣1， 0， 1} D．{ ﹣1，0，1， 2} 2．已知向量=（，），=（，），则∠ ABC= （）A．30°B．45°C． 60° D ．120 °3．已知，，，则实数 a，b，c 的大小关系是（）A ． a＞ c＞ b B ． b＞ a＞ c C． a＞ b＞c D ．c＞ b＞ a4．设 i 为虚数单位，则（x+i ）6的睁开式中含x4的项为（）A ．﹣ 15x4B ． 15x4 C．﹣ 20ix 4 D ．20ix 45．已知随机变量 Z～ N（ 1， 1），其正态散布密度曲线以下图，若向正方形OABC 中随机扔掷 10000 个点，则落入暗影部分的点的个数的预计值为（）2附：若 Z～ N （μ，σ），则P（μ﹣σ＜ Z≤ μ+σ）=0.6826 ；P（μ﹣ 2σ＜ Z≤μ+2σ）；P（μ﹣3σ＜ Z≤ μ+3σ）．A ． 6038B ． 6587C． 7028 D ．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A ． 0B ． 2 C． 1 D ．37．要丈量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶的仰角是45°，在D 点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m ，则电视塔的高度是（）A ． 30mB ． 40m C．m D ．m8．设 p：实数 x， y 知足（ x﹣ 1）2 +（ y﹣ 1）2≤2， q：实数 x， y 知足，则p是q的（）A ．必需不充足条件B ．充足不用要条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件9．设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线2（ p＞ 0）上随意一点， M 是线段 PF y =2px上的点，且 |PM|=2|MF| ，则直线 OM 的斜率的最大值为（）A ．B ．C． D ．110．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积是（）A ．B ．C． D ．3 2 3 2 11．已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 [0，+∞）上递减，若不等式 f（ x ﹣x +a）+f（﹣ x +x ﹣a）≥ 2f（ 1）对 x∈ [0，1] 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣， 1] C．[1，3] D ．（﹣∞ 1]12．已知函数 f（ x）=sin（ωx+φ）（ω＞0， |φ|≤）， x= ﹣为 f（ x）的零点， x= 为y=f （ x）图象的对称轴，且 f （ x）在（，）上单一，则ω的最大值为（）A．11 B ． 9 C． 7 D ．5一．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（ a＞ 0， b＞ 0），若矩形ABCD 的四个极点在E 上， AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC| ，则 E 的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范 01 数列”{a n} 以下： {a n} 共有 2m 项，此中m 项为 0， m 项为 1，且对随意 k≤2m，a ，a a中12k 0 的个数许多于 1 的个数．若m=4，则不一样的“规范01 数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）记 U={1 ， 2，，100}n* ）和U 的子集T ，若T= ?，定义，对数列 {a } （ n∈NS T=0 ；若 T={t 1，t2，，t k} ，定义 S T= ++ + ．比如：T={1 ，3，66} 时，S T=a1+a3+a66．现设{a n} （ n∈ N *）是公比为 3 的等比数列，且当T={2 ， 4} 时， S T=30 ．（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）对随意正整数k（ 1≤ k≤ 100），若 T ? {1 ， 2，，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设 C? U， D? U ，S C≥ S D，求证： S C+S C∩D≥ 2S D．18．（ 12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AD ∥ BC ，∠ ADC= ∠ PAB=90°，BC=CD= AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°．（Ⅰ ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明原因；（Ⅱ ）若二面角P﹣CD ﹣ A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．19．（ 12 分）如图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化办理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合（Ⅱ ）成立 y 对于 t 的回归方程（系数精准到理量．y 与 t 的关系，请用有关系数加以说明；0.01 ），展望 2017 年我国生活垃圾无害化处参照数据：y i=9.32 ，t i y i=40.17 ，，≈ ．参照公式：有关系数r=回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：=，=﹣．20．（ 12 分）已知椭圆上两个不一样的点A ， B 对于直线y=mx+对称．（1）务实数 m 的取值范围；（2）求△ AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点）．21．（ 12 分）已知f（ x） =e ﹣，此中 e 为自然对数的底数．（1）设g（ x） =（ x+1） f ′（ x）（此中 f ′（ x）为f（ x）的导函数），判断g（ x）在（﹣1，+∞）上的单一性；（2）若 F（ x） =ln （ x+1）﹣ af（ x）+4 无零点，试确立正数 a 的取值范围．[ 选修4-4：坐标系与参数方程]22．（ 10 分）在直角坐标系xoy 中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ ）已知直线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t≠ 0），l 与C1交与点A ， l 与C2交与点 B ，且 |AB|= ，求α的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．已知函数 f （ x） =|2x﹣ 1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式 f（ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，务实数 a 的取值范围；（Ⅱ）设 m＞ 0， n＞ 0 且 m+n=1 ，求证：．2017 年甘肃省河西五市部分一般高中高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．已知会合A={x||x| ＜2}，B={ ﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0， 1} B．{0， 1，2} C． { ﹣1， 0， 1} D．{ ﹣1，0，1， 2} 【考点】交集及其运算．【剖析】先求出会合 A 和 B ，由此利用交集的定义能求出 A ∩ B．【解答】解：∵会合A={x||x| ＜ 2}={x| ﹣ 2＜x＜ 2} ，B={ ﹣1， 0， 1， 2， 3} ，∴A ∩B={ ﹣ 1，0，1}．应选： C．【评论】此题考察交集的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC= （）A．30°B．45°C． 60° D ．120 °【考点】数目积表示两个向量的夹角．【剖析】依据向量的坐标即可求出，及的值，从而依据向量夹角余弦公式即可求出【解答】解：cos∠ ABC 的值，依据∠，ABC 的范围即可得出∠；ABC 的值．∴；又 0°≤∠ ABC ≤ 180°；∴∠ ABC=30° ．应选 A．【评论】考察向量数目积的坐标运算，依据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数 a，b，c 的大小关系是（）A ． a＞ c＞ b B ． b＞ a＞ c C． a＞ b＞c D ．c＞ b＞ a【考点】对数值大小的比较．【剖析】化简= ，= = ，= =，从而得出．【解答】解：∵=，==，= =，而 0＜＜2，∴a＞ b＞ c．应选： C．【评论】此题考察了函数的单一性、指数函数与对数函数的单一性、微积分基本定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设 i 为虚数单位，则（x+i ）6的睁开式中含x4的项为（）A ．﹣ 15x4B ． 15x4 C．﹣ 20ix 4 D ．20ix 4【考点】二项式系数的性质．【剖析】利用二项睁开式的通项公式即可获得答案．【解答】解：（x+i ）6的睁开式中含x4的项为x4?i2=﹣15x4，应选： A．【评论】此题考察二项式定理，深刻理解二项睁开式的通项公式是快速作答的重点，属于中档题．5．已知随机变量 Z～ N（ 1， 1），其正态散布密度曲线以下图，若向正方形OABC 中随机扔掷 10000 个点，则落入暗影部分的点的个数的预计值为（）2附：若 Z～ N （μ，σ），则 P（μ﹣σ＜ Z≤ μ+σ）；P（μ﹣ 2σ＜ Z≤μ+2σ）；P（μ﹣3σ＜ Z≤ μ+3σ）．A ． 6038B ． 6587C． 7028 D ．7539 【考点】正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义．【剖析】求出P（ 0＜ X ≤1） =1﹣× 0.6826=1﹣，即可得出结论．【解答】解：由题意P（ 0＜X ≤ 1） =1﹣× 0.6826=1﹣，则落入暗影部分点的个数的预计值为10000× 0.6587=6587 ．应选： B．【评论】此题考察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义，考察正态散布中两个量μ σ和的应用，考察曲线的对称性，属于基础题．6．函数，则f（x）的最大值是（）A．0B．2C．1D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【剖析】议论当x＞ 0 时，运用一次函数的单一性，可得f（x）的范围；当x≤ 0 时，求出 f （x）的导数，单一区间和极大值，也为最大值，即可获得所求最大值．【解答】解：当x＞0 时， f（ x）=1﹣ 2x 递减，可得 f（ x）＜ 1；当 x≤ 0 时， f （x） =x 3﹣ 3x，导数 f ′（x） =3x 2﹣ 3=3（ x﹣ 1）（ x+1 ），当﹣ 1＜ x＜0 时， f ′（ x）＜ 0， f（ x）递减；当 x＜﹣ 1 时， f ′（ x）＞ 0，f （ x）递加．可得 x= ﹣ 1 处 f（ x）获得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则 f （x）的最大值为2．应选： B．【评论】此题考察分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考察分类议论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题．7．要丈量电视塔AB 的高度，在 C 点测得塔顶的仰角是45°，在 D 点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m ，则电视塔的高度是（）A ． 30mB ． 40m C．m D ．m【考点】解三角形的实质应用．【剖析】设出AB=x ，从而依据题意将BD、DC 用x 来表示，而后在△DBC 中利用余弦定理成立方程求得x，即可获得电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x ，则 BD= x， BC=x在△ DBC 中，∠ BCD=120°， CD=40 ，∴依据余弦定理，得BD 2 =BC 2+CD 2﹣2BC?CD?cos∠ DCB即：（2 2 2﹣2× 40?x?cos120°x） =（ 40）+x整理得 x2﹣ 20x﹣ 800=0，解之得x=40 或 x=﹣ 20（舍）即所求电视塔的高度为40 米．应选 B．【评论】此题给出实质应用问题，求电视塔的高度．侧重考察认识三角形的实质应用的知识，考察了运用数学知识、成立数学模型解决实质问题的能力．8．设 p：实数 x， y 知足（ x﹣ 1）2 +（ y﹣ 1）2≤2， q：实数 x， y 知足，则p是q的（）A ．必需不充足条件B ．充足不用要条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件【考点】简单线性规划的应用；必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】画出p， q 表示的平面地区，从而依据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（ x﹣ 1）2+（ y﹣ 1）2≤ 2 表示以（ 1，1）为圆心，以为半径的圆内地区（包括界限）；知足的可行域如图有暗影部分所示，故 p 是 q 的必需不充足条件，应选： A【评论】此题考察的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线y2=2px （ p＞ 0）上随意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF| ，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．B ．C． D ．1【考点】抛物线的简单性质．【剖析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，联合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），明显当 y0＜0， k OM＜ 0；当 y0＞ 0， k OM＞0．要求 k OM的最大值，设y0＞ 0，则= + =+=+（﹣）=+=（+，），可得 k OM ==≤=，当且仅当y02 =2p2，获得等号．应选： C．【评论】此题考察抛物线的方程及运用，考察直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考察运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】依据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积．【解答】解：做出几何体的直观图以下图：此中底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， AE ， DF 为底面的垂线，且 AE=2 ， DF=1 ，∴V=V E﹣ABC +V C﹣ADFE =+=．应选 D．【评论】此题考察了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R上的偶函数f（ x）在 [0，+∞）上递减，若不等式 f（ x3﹣x2+a）+f（﹣ x3+x 2 ﹣a）≥ 2f（ 1）对x∈ [0，1] 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A ． [ ，1] B．[﹣， 1] C．[1，3] D ．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单一性的综合．【剖析】依据函数奇偶性和单一性的关系将不等式进行转变，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R 上的偶函数f（ x）在 [0， +∞）上递减，∴不等式 f （ x3﹣ x2+a）+f （﹣ x3+x 2﹣ a）≥ 2f（ 1）等价为 2f（ x3﹣ x2+a）≥ 2f（ 1）即 f （x3﹣ x2+a）≥ f（ 1）对 x∈ [0， 1]恒成立，3 2即﹣ 1≤ x ﹣ x +a≤1 对 x∈ [0， 1]恒成立，即﹣ 1﹣ a≤x3﹣x2≤ 1﹣ a 对 x∈ [0， 1]恒成立，设 g（ x）=x 3﹣x2，则 g′（ x） =3x2﹣2x=x （ 3x﹣ 2），则 g（ x）在 [0，）上递减，在（，1]上递加，∵g（ 0） =g（ 1） =0，g（） =﹣，∴g（ x）∈ [﹣，0]，即即，得﹣≤ a≤ 1，应选： B．【评论】此题主要考察不等式恒成立问题，依据函数奇偶性和单一性的性质将不等式进行转化，利用参数分别法联合导数法，结构函数求函数的最值是解决此题的重点．12．已知函数 f（ x）=sin（ωx+φ）（ω＞0， |φ|≤）， x= ﹣为 f（ x）的零点， x= 为y=f （ x）图象的对称轴，且 f （ x）在（，）上单一，则ω的最大值为（）A．11 B ． 9 C． 7 D ．5【考点】正弦函数的对称性．【剖析】依据已知可得ω为正奇数，且ω≤ 12，联合 x=﹣为 f（x）的零点， x= 为 y=f（x）图象的对称轴，求出知足条件的分析式，并联合 f （x）在（，）上单一，可得ω的最大值．【解答】解：∵ x= ﹣为 f（ x）的零点， x= 为 y=f （ x）图象的对称轴，∴，即，（ n∈ N）即ω=2n+1，（ n∈ N）即ω为正奇数，∵f （x）在（，）上单一，则﹣= ≤，即 T= ≥，解得：ω≤ 12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈ Z，∵|φ|≤，φ=，∴ ﹣此时 f（ x）在（，）不但一，不知足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ， k∈ Z ，∵|φ|≤，∴φ=，此时 f（ x）在（，）单一，知足题意；故ω的最大值为9，应选： B【评论】此题考察的知识点是正弦型函数的图象和性质，此题转变困难，难度较大．一．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是9．【考点】程序框图．【剖析】依据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9 时，不知足a＞ b，故 a=5， b=7 ，当 a=5， b=7 时，不知足 a＞ b，故 a=9， b=5当 a=9， b=5 时，知足 a＞ b，故输出的 a 值为 9，故答案为： 9【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采纳模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（ a＞ 0， b＞ 0），若矩形ABCD 的四个极点在E 上， AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC| ，则 E 的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】可令 x=c ，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A ，B ，C，D 的坐标，由 2|AB|=3|BC| ，可得 a，b， c 的方程，运用离心率公式计算即可获得所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=± b=±，由题意可设 A （﹣ c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由 2|AB|=3|BC| ，可得2?=3?2c，即为 2b2=3ac，由 b2=c2﹣a2，e= ，可得 2e2﹣ 3e﹣ 2=0，解得 e=2（负的舍去）．故答案为： 2．【评论】此题考察双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的重点，考察运算能力，属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特色．【剖析】设圆台的侧面睁开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x ，由三角形相像求出x=96 cm ．推导出△ BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面睁开图的圆心角∠AOA′=α， OA=x ，由三角形相像可得，解得 x=96 cm ．则=，解得α=60°，所以△ BOB′为正三角形，则 BB′=OB=96+48=144 cm ．由下列图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．故答案为： 144cm．是中档题，解题时要要仔细审题，注意圆【评论】此题考察矩形铁皮长边的最小值的求法，台的性质的合理运用．16．定义“规范 01 数列”{a n} 以下： {a n} 共有 2m 项，此中m 项为 0， m 项为 1，且对随意 k ≤2m， a ， a a中 0 的个数许多于 1 的个数．若 m=4，则不一样的“规范 01 数列”共有141 2 k个．【考点】摆列、组合的实质应用．【剖析】由新定义可得，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为1，当 m=4 时，数列中有四个 0 和四个1，而后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4 ，说明数列有 8 项，知足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1， 0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0， 0， 1， 1， 1， 0，1；0， 0， 1，0， 0， 1，1， 1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0， 1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0， 1， 1， 0， 0， 1，1；0， 1， 0，0， 0， 1，1， 1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0， 1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1， 0， 1， 0， 1， 0，1．共 14 个．故答案为14【评论】此题是新定义题，考察数列的应用，重点是对题意的理解，列举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）（ 2016?江苏）记U={1 ，2，，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若 T= ?，定义 S T=0 ；若 T={t 1， t2，，t k} ，定义S T=++ +．比如：T={1，3，66} 时，S T=a1 +a3+a66．现设 {a n}（ n∈ N*）是公比为 3 的等比数列，且当 T={2 ，4} 时，S T=30 ．（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）对随意正整数k（ 1≤ k≤ 100），若 T ? {1 ， 2，，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设 C? U， D? U ，S C≥ S D，求证： S C+S C∩D≥ 2S D．【考点】数列的应用；会合的包括关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【剖析】（1）依据题意，由S T的定义，剖析可得S T =a2+a4=a2+9a2=30 ，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）依据题意，由 S T的定义，剖析可得2 k ﹣1，由等比数列的前S T≤ a1+a2+ a k=1+3+3 + +3n 项和公式计算可得证明；（3）设 A= ?C（ C∩D ）， B= ?D（C∩D ），则 A ∩ B= ?，从而剖析能够将原命题转变为证明S C≥ 2S B，分 2 种状况进行议论：①、若B= ?，②、若 B≠ ?，能够证明获得 S A≥ 2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当 T={2 ， 4} 时， S T=a2+a4=a2+9a2=30 ，所以 a2=3，从而 a1 = =1，故 a n=3n﹣1，（2） S T≤ a1+a2+ a k=1+3+3 2 + +3 k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设 A= ?C（ C∩ D）， B= ?D（C∩ D），则 A ∩B= ?，剖析可得 S C=S A +S C∩D， S D=S B+S C∩D，则 S C+S C∩D﹣ 2S D =S A﹣ 2S B，所以原命题的等价于证明 S C≥2S B，由条件 S C≥ S D，可得 S A≥ S B，①、若 B=?，则 S B =0，故 S A≥2S B，②、若 B≠ ?，由 S A≥ S B可得 A ≠?，设 A 中最大元素为l， B 中最大元素为m，若 m≥ l+1 ，则其与S A＜ a i+1≤a m≤ S B相矛盾，因为 A ∩B= ?，所以 l≠ m，则 l≥ m+1，2 m﹣1≤=，即S A≥ 2S B，S B≤ a1+a2+ a m=1+3+3 + +3 =综上所述， S A≥2S B，故 S C+S C∩D≥ 2S D．【评论】此题考察数列的应用，波及新定义的内容，解题的重点是正确理解题目中对于新定义的描绘．18．（ 12 分）（ 2017?甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中，AD ∥ BC，∠ ADC= ∠ PAB=90°，BC=CD= AD ． E 为棱 AD 的中点，异面直线PA 与 CD 所成的角为90°．（Ⅰ）在平面 PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面 PBE ，并说明原因；（Ⅱ）若二面角P﹣CD ﹣ A 的大小为45°，求直线PA 与平面 PCE 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判断．【剖析】（ I）延伸 AB 交直线 CD 于点 M ，由点 E 为 AD 的中点，可得AE=ED=AD ，由BC=CD= AD ，可得 ED=BC ，已知 ED∥ BC ．可得四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD．利用线面平行的判断定理证明得直线CM ∥平面 PBE 即可．（I I ）以下图，由∠ ADC= ∠ PAB=90°，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°AB ∩ CD=M ，可得 AP⊥平面 ABCD ．由 CD⊥PD，PA⊥ AD ．所以∠ PDA 是二面角 P﹣ CD﹣ A 的平面角，大小为 45°．PA=AD ．不如设 AD=2 ，则 BC=CD=AD=1 ．可得 P（ 0， 0，2）， E（ 0， 1，0）， C（﹣ 1， 2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（ I ）延伸 AB 交直线 CD 于点 M ，∵点 E 为 AD 的中点，∴ AE=ED=AD ，∵BC=CD=AD ，∴ ED=BC ，∵AD ∥ BC ，即 ED ∥ BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥ CD．∵AB ∩ CD=M ，∴ M ∈ CD ，∴ CM ∥ BE，∵BE ? 平面 PBE，∴ CM ∥平面 PBE，∵M∈AB，AB ? 平面 PAB，∴M ∈平面 PAB ，故在平面PAB 内能够找到一点 M （M=AB ∩ CD），使得直线CM ∥平面PBE．（I I ）以下图，∵∠ ADC= ∠ PAB=90°，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°，AB ∩ CD=M ，∴AP ⊥平面ABCD ．∴CD ⊥ PD，PA⊥ AD ．所以∠ PDA 是二面角 P﹣ CD ﹣A 的平面角，大小为45°．∴PA=AD ．不如设 AD=2 ，则 BC=CD= AD=1 ．∴ P（ 0， 0， 2）， E（ 0，1， 0）， C（﹣ 1， 2， 0），∴ =（﹣ 1， 1， 0），=（0， 1，﹣ 2），=（ 0， 0， 2），设平面 PCE 的法向量为 = （ x， y，z），则，可得：．令 y=2 ，则 x=2 ， z=1，∴ =（ 2，2， 1）．设直线 PA 与平面 PCE 所成角为θ，则 sin θ====．【评论】此题考察了空间地点关系、空间角计算公式、法向量的性质，考察了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（ 12 分）（ 2017?甘肃一模）如图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化办理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用有关系数加以说明；（Ⅱ ）成立 y 对于 t 的回归方程（系数精准到0.01 ），展望 2017 年我国生活垃圾无害化处理量．参照数据：y i=9.32 ，t i y i=40.17 ，，≈ ．参照公式：有关系数r=回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【剖析】（Ⅰ）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正有关关系，将已知数据代入有关系数方程，可得答案；（Ⅱ）依据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017 年对应的t 值为 10，代入可展望 2017 年我国生活垃圾无害化办理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出， y 与 t 之间存在较强的正有关关系，∵y i=9.32 ，t i y i=40.17 ，，∴r ≈≈ ，∵＞，故 y 与 t 之间存在较强的正有关关系；（Ⅱ ）由≈ 1.331 及（Ⅰ）得 = ≈，=1.331 ﹣×．所以， y 对于 t 的回归方程为：=0.92+0.10t ．将 2017 年对应的t=10 代入回归方程得：=0.92+0.10 ×所以展望2017 年我国生活垃圾无害化办理量将约 1.92 亿吨．【评论】此题考察的知识点是线性回归方程，考察线性有关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要仔细．20．（12 分）（ 2015?浙江）已知椭圆上两个不一样的点A ，B 对于直线y=mx+对称．（1）务实数 m 的取值范围；（2）求△ AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【剖析】（ 1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣ my+n ，代入椭圆方程可得（2 2 m +2 ） y﹣2mny+n 2﹣ 2=0 ，设 A （x ，y ）， B（ x ， y ）．可得△＞ 0，设线段 AB 的中点 P（ x ，1 12 2 0y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线 y=mx+ ，可得，代入△＞ 0，即可解出．（2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为n，可得 S△OAB = ，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x= ﹣ my+n ，代入椭圆方程，可得（ m2+2） y2﹣ 2mny+n2﹣2=0 ，设 A （ x1， y1）， B（ x2， y2）．由题意，△ =4m 2n2﹣ 4（ m2+2）（ n2﹣ 2） =8（ m2﹣n2+2 ）＞0，设线段AB 的中点 P（x0， y0），则． x0 =﹣m×+n= ，因为点P 在直线 y=mx+ 上，∴= + ，∴，代入△＞ 0，可得 3m4 +4m2﹣ 4＞0，解得 m2 ，∴或 m ．（2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n，∴S△OAB = = |n|? = ，由均值不等式可得：n2（m2﹣ n2 +2）= ，∴S△AOB = ，当且仅当n2=m2﹣ n2+2 ，即2n2=m 2+2，又∵，解得m= ，当且仅当 m= 时， S△AOB获得最大值为．【评论】此题考察了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆订交问题转变为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直均分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考察了推理能力与计算能力，属于难题．21．（ 12 分）（ 2017?甘肃一模）已知f（ x） =e ﹣，此中 e 为自然对数的底数．（1）设g x）=（x+1 f ′ x）（此中f ′ x）为f x）的导函数），判断g x）在（﹣1 （）（（（（，+∞）上的单一性；（2）若 F（ x） =ln （ x+1）﹣ af（ x）+4 无零点，试确立正数 a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单一性；函数零点的判断定理．【剖析】（ 1）对函数 f （x）求导后知g（x），对 g（ x）求导后获得单一性．（2）利用导函数求得F（ x）的单一性及最值，而后对a分状况议论，利用F（ x）无零点分别求得 a 的取值范围，再取并集即可．【解答】解：（1）∵ f （x） =e﹣，∴f ′（ x）=﹣，∴g（ x） =（x+1）（﹣），∴g′（x） =[ （ x+3）﹣1]，当 x＞﹣ 1 时， g′（ x）＞ 0，∴g（ x）在（﹣ 1，+∞）上单一递加．（2）由 F（ x） =ln （ x+1）﹣ af（ x）+4 知， F′（x） =（﹣g（x）），1，+∞）由（ 1）知， g（ x）在（﹣ 1，+∞）上单一递加，且g（﹣ 1） =0 可知当x∈（﹣时， g（ x）∈（ 0，+∞），则 F′（ x） =（﹣g（x））有独一零点，设此零点为x=t ，易知 x∈（﹣ 1，t ）时， F′（ x）＞ 0， F（ x）单一递加；x∈（ t， +∞）时， F′（ t）＜ 0． F（ x）单一递减．知 F（ x）max=F（ t） =ln （ t+1 ）﹣ af（ t） +4 ，此中a= ，令 G（ x） =ln （ x+1 ）﹣+4，则 G′（ x） = ，易知f（ x）＞ 0 在（﹣1， +∞）上恒成立，∴G′（ x）＞ 0， G（ x）在（﹣1， +∞）上单一递加，且G（0） =0，①当0＜ a＜4 时， g（t） = ＞=g （ 0），由 g（ x）在（﹣1，+∞）上单一递加，知t＞ 0，则F（ x）max=F（ t） =G （ t）＞ G（0） =0，由 F（ x）在（﹣ 1， t）上单一递加，﹣1＜ e﹣4﹣ 1＜0＜ t， f （x）＞ 0，g（ t）＞ 0 在（﹣ 1，+∞）上均恒成立，则 F（ e﹣4﹣ 1） =﹣af（e﹣4﹣ 1）＜0，∴F（ t） F（ e﹣4﹣ 1）＜ 0∴F（ x）在（﹣ 1， t）上有零点，与条件不符；②当 a=4 时， g（ t） = = =g（ 0），由 g（x）的单一性可知t=0 ，则 F（ x）max=F（ t） =G （ t） =G （0） =0，此时 F（ x）有一个零点，与条件不符；③当 a＞ 4 时， g（ t） =＜=g（ 0），由 g（ x）的单一性知t＜0，则 F（ x）max=F（ t） =G （ t）＜ G（ 0） =0 ，此时 F（ x）没有零点．综上所述，当 F（ x）=ln（ x+1 ）﹣ af（ x）+4 无零点时，正数 a 的取值范围是a∈（ 4，+∞）．【评论】此题考察函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．（ 10 分）（ 2017?甘肃一模）在直角坐标系xoy 中，曲线 C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ ）将曲线 C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ ）已知直线 l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数， t≠ 0），l 与 C1交与点A ， l 与 C2交与点B ，且 |AB|= ，求α的值．【考点】参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．【剖析】（1）将曲线 C1的方程化为一般方程，而后转变求解C1的极坐标方程．（2）曲线 l 的参数方程为（＜α＜π， t 为参数， t≠ 0），化为 y=xtan α．由题意可得： |OA|=ρ，即可得出．1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=【解答】解：（1）曲线 C1的参数方程为（β为参数）．可得（ x﹣2 2， x= ρ cos，θy= ρ sin，θ1）+y =1∴C1的极坐标方程为2ρ﹣ 2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）曲线 l 的参数方程为（＜α＜π， t 为参数， t≠ 0），化为 y=xtan α．由题意可得： |OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|= ，∴|OA| ﹣ |OB|=﹣ 2cosα=，即 cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．【评论】此题考察了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为一般方程、两点之间的距离、圆的性质，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．[ 选修 4-5：不等式选讲]23．（ 2017?甘肃一模）已知函数f（ x） =|2x﹣ 1|+|2x+1|．（Ⅰ ）若不等式f（ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，务实数 a 的取值范围；（Ⅱ ）设 m＞ 0， n＞ 0 且 m+n=1 ，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【剖析】（Ⅰ ）求出f（ x）的最小值，不等式f（ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，可得a2﹣2a﹣ 1 ≤2，即可务实数 a 的取值范围；（Ⅱ ）要证：成立，只要证+ ≤ 2 ，利用剖析法的证明步骤，联合基本不等式证明即可．【解答】（Ⅰ）解： f（x） =|2x﹣ 1|+|2x+1≥ |（ 2x﹣1）﹣（ 2x+1） |=2，∵不等式 f （ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，∴a2﹣2a﹣ 1≤ 2，∴a2﹣2a﹣ 3≤ 0，∴﹣ 1≤ a≤3；（Ⅱ ）要证：成立，只要证+ ≤ 2 ，两边平方，整理即证（2m+1 ）（ 2n+1）≤ 4，即证 mn≤，又 m+n=1 ，∴mn≤=．故原不等式成立．【评论】此题考察剖析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的性质，考查逻辑推理能力以及计算能力．。
高台届高三数学上学期第一次检测试题理
甘肃省高台县2017届高三数学上学期第一次检测试题 理（无答案）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( )A.516 B.316 C.58 D.382. 已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X <0)＝( )．A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.843. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为 A ．65 B ．67 C.68 D ．694. A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A ．24种 B ．60种 C ．90种 D ．120种5．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310 B.29 C.78 D.796．已知X 的分布列为( ).则在下列式子中：①E (X )＝－13；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝3.正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．37. 某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )A ．144 B ．72 C ．36 D ．48 8．若随机变量X 的分布列为( )则当P(X<a)＝A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2)9．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4 B．－3 C．－2 D．－110．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )．A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.57611．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附表及公式3.841K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.a ＋b c＋d a＋c b＋d则下面的正确结论是( )A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”12．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )A．50种 B．51种 C．140种 D．141种第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下余弦曲线y ＝cos x 的方程变为________．14．把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有________种不同的放法．15．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．16．如图，用6种不同的颜色把图中A ，B ，C ，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种．(用数字作答) 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．18． (本小题满分12分) 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 19． (本小题满分10分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^ ＝y －b ^x ，其中x ，y为样本平均值．20．(本小题满分12分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：8已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为3.(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X ，求X 的分布列与数学期望．下面的临界值表供参考：参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋cb ＋d，(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )21．(本小题满分12分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与数学期望E (X )．22．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．。
2017年甘肃省张掖市肃南一中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
（1）求证：平面 ABD⊥平面 BCD； （2）求二面角 F﹣DG﹣C 的余弦值．
20． （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，F1、F2 分别为椭圆 C：
＝1（a
＞b＞0）的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆 C 上的一点，满足 ，且△EF1F2 的周长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 M 是线段 OF2 上的一点，过点 F2 且与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，若△MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形，求点 M 到直线 l 距离 的取值范围． 21． （12 分）设函数 f（x）＝aex（x+1） （其中 e＝2.71828…） ，g（x）＝x2+bx+2， 已知它们在 x＝0 处有相同的切线． （Ⅰ）求函数 f（x） ，g（x）的解析式； （Ⅱ）求函数 f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值； （Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数 k 的取值范围．
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请考生在第（22） 、 （23） （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分， 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑， 把答案填在 答题卡上．[选修 4-3 坐标系与参数方程] ，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ
18． （12 分）2015 年 9 月 3 日，抗战胜利 70 周年纪念活动在北京隆重举行，受 到全国人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚 会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这 三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如表所示：
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11． （5 分）如图，半圆的直径 AB＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A、B 的任 意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则 的最小值为（ ）
2017年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)含答案解析
2017年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2}D．{0，1，2，3}2．已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅ D．m⊥l，m⊥α5．在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，S n是数列{a n}的前n项和，则S2017=（）A．6051 B．4034 C．2017 D．10096．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2π B．8+2π C．4+πD．8+π7．若圆x2+y2+4x﹣2y﹣a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A．±2 B．﹣2 C．±4 D．48．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.99．已知实数x，y满足且ax﹣y+1﹣a=0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，]C．（﹣1，]D．[﹣，]10．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）11．设抛物线K：x2=2py（p＞0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）A．=p B．=p C．=2p D．=12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）+﹣f（x）﹣f（y）=0，若一族平行线x=x i（i=1，2，…，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），成等比数列，其中i=1，2，…，（x2，y2），…，（x n，y n），且x i，2f（1），x n﹣i+1n，则=（）A．2n B．1 C．D．二、填空题（每小题5分）13．已知向量=（1，﹣1），•=0，|﹣|=2，则||=．14．已知（a+）6（a＞0）展开式中的常数项是5，则a=．15．已知函数f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是．16．设数列{a n}满足：a1=1，a n=e2a n（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示+1连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程； （2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）．19．如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1． （1）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （2）若平面PAD 与PBC 所成的锐二面角的大小为，求线段PD 的长度．20．已知椭圆E ：x 2+3y 2=m 2（m ＞0）的左顶点是A ，左焦点为F ，上顶点为B ．（1）当△AFB 的面积为时，求m 的值；（2）若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点（不同于A ），以线段MN 为直径的圆过A 点，试探究直线l 是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．21．已知函数f （x ）=（x 2﹣x ﹣1）e x ．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．2017年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2}D．{0，1，2，3}【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}={﹣1，0，1，2，}，∴A∪B={﹣1，01，1，2，3}．故选：B．2．已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：=1+i，∴z+2=i﹣1，化为：z=﹣3+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，1）．故选：A．3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石【考点】简单随机抽样．【分析】根据224粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1536×=192石，故选：B．4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅ D．m⊥l，m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：设过l和l在平面α内的射影的平面为β，则当m⊥β时，有m⊥l，m∥α或m⊂α，故A，B正确．若m∥l，则m与平面α所成的夹角与l与平面α所成的夹角相等，即m与平面α斜交，故C正确．若m⊥α，设l与m所成的角为θ，则0＜θ＜．即m与l不可能垂直，故D 错误．故选：D．5．在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，S n是数列{a n}的前n项和，则S2017=（）A．6051 B．4034 C．2017 D．1009【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a1+a2017的值，由等差数列的前n项和公式求出S2017的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，因为a1+a2=1，a2016+a2017=3，所以a1+a2017=a2+a2016=2，所以S2017==2017，故选C．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2π B．8+2π C．4+πD．8+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．∴该几何体的体积V==8+．故选：D．7．若圆x2+y2+4x﹣2y﹣a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A．±2 B．﹣2 C．±4 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5+a2，r2=5+a2，则圆心（﹣2，1）到直线x+y+5=0的距离为=2，由12+（2）2=5+a2，得a=±2，故选：A．8．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．9．已知实数x，y满足且ax﹣y+1﹣a=0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，]C．（﹣1，]D．[﹣，]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出a的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可．【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：可知x≤﹣1，由ax﹣y+1﹣a=0，可得：a=，它的几何意义是可行域内的点与D（1，1）连线的斜率，由图形可知连线的斜率的最大值为K BD==．最小值大于与直线x+y=0平行时的斜率．可得a∈（﹣1，]．故选：C．10．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．【解答】解：∵f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，∴将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，可得：g（x）=sin[2（x﹣）+]+1=sin2x+1，∴令2x=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，∴当k=﹣1时，可得函数的图象的对称中心为（﹣，1），故选：A．11．设抛物线K：x2=2py（p＞0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）A．=p B．=p C．=2p D．=【考点】抛物线的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则K在点P处的切线方程为l：y﹣y0=（x﹣x0），再根据点到直线的距离公式，化简计算即可得到．【解答】解：设P（x0，y0），则K在点P处的切线方程为l：y﹣y0=（x﹣x0），则x02=2py0，得l：x0x﹣py﹣py0=0，又F（0，），所以d====•⇒=，故选：D12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）+﹣f（x）﹣f（y）=0，若一族平行线x=x i（i=1，2，…，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），且x i，2f（1），x n成等比数列，其中i=1，2，…，﹣i+1n，则=（）A ．2nB ．1C ．D ．【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用x i ，2f （1），x n ﹣i +1成等比数列，得x i x n ﹣i +1=1，f （x i ）+f （x n ﹣i +1）=f （x i x n ﹣i +1）+=1，求出2=1+1+…+1=n ，即可得出结论．【解答】解：由题意，f （1）=， ∵x i ，2f （1），x n ﹣i +1成等比数列， ∴x i x n ﹣i +1=1，∴f （x i ）+f （x n ﹣i +1）=f （x i x n ﹣i +1）+=1，∴2=1+1+…+1=n ，∴=故选：C ．二、填空题（每小题5分）13．已知向量=（1，﹣1），•=0，|﹣|=2，则||= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1）=， •=0，∴|﹣|2=||2﹣2+||2=4，∴||2=2，∴||=，故答案为：14．已知（a+）6（a ＞0）展开式中的常数项是5，则a=．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项的表达式，列方程求出a的值．【解答】解：（a+）6（a＞0）展开式中，通项公式为：T r=••=a6﹣r•••，+1令3﹣=0，解得r=2；∴展开式的常数项是a4••=5，解得a=±；又a＞0，∴a=．故答案为：．15．已知函数f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是（1，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x﹣1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，当a＞1时，函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象有唯一个交点，即方程f（x）﹣a=0有唯一解，．故答案为（1，+∞）．16．设数列{a n}满足：a1=1，a n=e2a n（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示+1连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为﹣．【考点】数列递推式．（n∈N*），可得a n=e﹣2（n﹣1）.﹣=n，化为：f（n）【分析】a1=1，a n=e2a n+1==．考查函数f（x）=的单调性，利用导数研究其单调性即可得出．（n∈N*），∴a n=e﹣2（n﹣1）．【解答】解：∵a1=1，a n=e2a n+1﹣=n，化为：f（n）==．考查函数f（x）=，f′（x）=（4x2﹣12x+3）•，令f′（x）=0，解得x1=，x2=，∴0＜x1＜1，2＜x1＜3．当x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，∴h（x）min=h（x2），即f（n）min=min{f（2），f（3）}，f（2）=＞f（3）=﹣．∴f（n）min=f（3）=﹣．故答案为：﹣．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知化简可得：b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知及正弦定理可得b=2sinθ，c=2sin（﹣θ），利用，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可求y=sin（2θ﹣）+，由0＜θ＜，可得范围﹣＜2θ﹣＜，利用正弦函数的图象可求最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，由题意可得：bc=﹣a2+b2+c2，可得：b2+c2=a2+bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=．…6分（2）由a=，A=及正弦定理可得：，∴b=2sinB=2sinθ，c=2sinC=2sin（﹣B）=2sin（﹣θ），∴y=bcsinA=sinθsin（﹣θ）=sinθ（cosθ+sinθ）=sin2θ﹣cos2θ+=sin（2θ﹣）+，由于0＜θ＜，可得：﹣＜2θ﹣＜，∴当2θ﹣=，即θ=时，y max=．…12分18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R （单词充电后能行驶的最大里程，R ∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程； （2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由表格分别求出第一组、第二组、第三组、第四组的频率，由此利用频率分布直方图能估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程．（2）由题意知ξ的可能取值为2，3.6，4.4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表格知第一组的频率为0.1，第二组的频率为，第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，∴频率分布直方图估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程为：125×0.1+175×0.35+225×0.4+275×0.15=205（公里）．（2）由题意知ξ的可能取值为2，3.6，4.4，P（ξ=2）=0.1，P（ξ=3.6）=0.75，P（ξ=4.4）=0.15，∴ξ的分布列为：Eξ=2×0.1+3.6×0.75+4.4×0.15=3.56．19．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，求线段PD的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设PC交DE于点N，连结MN，MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．（2）设PD=a，（a＞0），推导出PD⊥平面ABCD，以D为原点，DA，DC，DP 所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PD的长度．【解答】证明：（1）设PC交DE于点N，连结MN，在△PAC中，∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，又AC⊄平面MDE，MN⊂平面MDE，∴AC∥平面MDE．解：（2）设PD=a，（a＞0），∵四边形PDCE是矩形，四边形ABCD是梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，又∵∠BAD=∠ADC=90°，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），，平面PAD的法向量=（0，1，0），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=a，得=（a，a，2），∵平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，∴cos===，解得a=．∴线段PD的长度为．20．已知椭圆E：x2+3y2=m2（m＞0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B．（1）当△AFB的面积为时，求m的值；（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A 点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）将椭圆方程转化成标准方程，则三角形AFB的面积S=b×（b﹣c），代入即可求得m的值；（2）设直线AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得M和N的方程，当l的斜率不存在时，显然可得k=1，求得圆心为P（﹣，0），当l的斜率存在时，由利用两点的斜率公式求得k PM=k PN，直线l是否过定点．【解答】解：（1）由椭圆方程：，则a=m，b=，c=，由三角形AFB的面积S，S=b×（b﹣c）=，则（m﹣）﹣，解得：m=，∴m的值为；（2）由线段MN过直径的圆过A点，则MA⊥NA，设直线AM的斜率为k（k＞0），则直线AN的斜率为﹣，AM为y=k（x+m），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+1）x2+6k2mx+（3k2﹣1）m2=0，则x1（﹣m）=，则x1=，故y1=k（x1+m）=，则M（，），直线AN的方程为y=﹣（x+m），同理可得：N（，﹣），当l的斜率不存在时，显然可得k=1，此时M（﹣，），N（﹣，﹣），则圆心为P（﹣，0），由直线l总穿过x轴，证明当l的斜率存在时，也过点P（﹣，0），当l的斜率存在时，k PM===k PN（k＞0，k≠1），综上可知：l过定点（﹣，0）．21．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题可化为e x﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x2+x﹣2）e x=（x﹣1）（x+2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）方程a（+1）+ex=e x可化为e x﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，g′（x）=e x﹣2ax+a﹣e，设g′（x）=h（x），则h′（x）=e x﹣2a，①a＜0时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+a﹣e＜0，h（1）=﹣a＞0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x1，故g（x）在（0，x1）递减，在（x1，1）递增，而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）内存在唯一零点；②当0≤a≤时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；③当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），∴h（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）递增，h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣＜0，故＜a＜时，∀x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；④a≥时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞，则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x2，故g（x）在（0，x2）递增，在（x2，1）递减，而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，若＜a时，则h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，综上，a＜0时，方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），普通方程为（x﹣1）2+y2=1，（y＜0），极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（﹣，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），普通方程2x+y﹣6=0；（2）θ=﹣，，即P（，﹣）；θ=﹣代入曲线C的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q（6，﹣），2∴|PQ|=6﹣=5．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x 的取值范围．（2）当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函数f （x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3，此时，﹣2≤x≤1．（2）函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|=，而函数y=﹣ax+1表示过点（0，1），斜率为﹣a的一条直线，如图所示：当直线y=﹣ax+1过点A（1，3）时，3=﹣a+1，∴a=﹣2，当直线y=﹣ax+1过点B（﹣2，3）时，3=2a+1，∴a=1，故当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合可得要求的a的范围为（﹣2，1）．2017年4月3日。
甘肃省2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．74．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列一定为真的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．48．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+39．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．4011．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a______．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为______．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=______．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集的定义求出N在全集中的补集∁U N，再求（∁U N）∩M即可．【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，∴∁U N={x|x＜2}则（∁U N）∩M={x|0≤x＜2}．故选：A．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，∴log3a l+log3a2+…+log3a8==4log39=8．故选：C．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列一定为真的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称；特称．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假；则其否定形式为真，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，将目标函数变形为y=﹣x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，由可行域可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线截距最大，即z最大，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线截距最小，即z最小．解方程组得x=4，y=5．∴z的最大值m=4+5=9．解方程组得x=1，y=2．∴z的最小值n=1+2=3．∴m﹣n=6．故选：B．6．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角．【解答】解：设，，以，为邻边作平行四边形OACB，则=．∵||=||，∴四边形OACB是菱形．设OA=AC=1，则OC=．∴cos∠AOC==．∴∠AOC=30°．故选：D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，最长棱为PC=PB=BC=2，其他棱长都小于2，∴△PBC是该四面体各面中最大的面，∴△PBC的面积S==2，故选：C．8．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+3【考点】程序框图．【分析】由程序设计意图可知，②处应求通项，有a=a﹣3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求①处可填写：a＞0．【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a ﹣3，又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故①处可填写：a＞0．故选：A．9．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先判断出△ABC为以B为直角的直角三角形，进而求出△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程，代入点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），∴=（3，1），=（3，﹣9），∴•=0，故⊥，故△ABC为以B为直角的直角三角形，故AC为△ABC的外接圆的直径，∵k AC==﹣，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的斜率为，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程为y=（x+1），即3x﹣4y+3=0，故点B到直线l的距离d==1，故选：B．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．40【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由=5，确定A，B的坐标，即可求得||．【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵=5，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴||==35．故选：B．11．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．【解答】解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin （θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故选：C．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过所给关系式，构造新的函数g（x）=，对g（x）求导，得到关系．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵xf′（x）＜2f（x），∴∀x∈（0，+∞），∴g′（x）＜0恒成立∴g（x）是在（0，+∞）单调递减，∴g（1）＞g（2），即4f（1）＞f（2）故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a=±2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出a的值．【解答】解：（a﹣）5展开式的通项为T r+1=C5r•（a）5﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•C5r•a5﹣r•x，令=0，可得r=3，又r=3时，T4=（﹣1）3•C53•a2=﹣10a2，由题意得﹣10a2=﹣40，解得a=±2．故答案为：±2．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据余弦定理计算BC，可发现BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高．【解答】解：在△ABC中，BC==．∴BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．∴AB为△ABC所在球的截面的直径．取AB，A1B1的中点D，D1，则棱柱外接球的球心为DD1的中点O，设外接球的半径为r，则4πr2=12π，∴r=．即OB=，∴OD=．∴棱柱的高DD1=2OD=2．∴棱柱的体积V=S△ABC•DD1==．故答案为．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=﹣3．【考点】数列递推式．【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可．【解答】解：∵a n+1=a n+log2（1﹣）=log2（），∴a n+1﹣a n=log2（）∴a2﹣a1=log2，a3﹣a2=log2，…a n﹣a n=log2﹣1∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n）=log2（×…×）=log2（）=﹣log2n﹣1∴a n﹣2=﹣log2n，∴a n=2﹣log2n，∴a32=2﹣log232=﹣3，故答案为：﹣3．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2ln2﹣2] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣4e x有解，转化为g（x）=2x﹣4e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a≥0，即a≤2x﹣4e x有解，令g（x）=2x﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x=0，x=﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞﹣ln2∴当x=﹣ln2时，g（x）max=﹣2ln2﹣2，∴a≤﹣2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，﹣2ln2﹣2]．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（I）由向量平行列出方程解出cosA；（II）根据余弦定理和面积公式解出tanC，使用正弦定理求出c，代入面积公式解出面积．【解答】解：（I）∵∥．∴cos2﹣cos2（B+C）=0，即（1+cosA）﹣cos2A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=﹣．∴A=．（II）∵=，∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC．又∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴tanC=．∴C=．由正弦定理得，∴c==2．sinB=sin（A+C）=sin=．∴S△ABC===3．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：，解得t=60，∴n==0.4，a==0.8．∵0.15+0.3+n+p+0.05=1，∴p=0.1．（Ⅱ）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9，成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，XE（X）==1．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P （0，0，2），H （，，0），C （0，2，0），B （，﹣1，0），F （0，1，1），则平面PAC 的法向量为=（1，0，0）， 设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos ＜，＞==，即二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值是．20．已知椭圆C ：=l （a ＞b ＞0），F 1、F 2为左右焦点，下顶点为B 1，过F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，当直线l 的倾斜角为时，F 1B ⊥l ．（I ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线PM 、PN 的斜率记为k PM 、k PN ，且不为零，当直线l 垂直于x 轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得F 1（﹣c ，0），B 1（0，﹣b ），由题意知，从而b=，由此能求出椭圆C 的离心率．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），（x 0≠±c ），M （c ，），N （c ，﹣），则=，由此能求出存在最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，∴F1（﹣c，0），B1（0，﹣b），∵过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l，∴由题知F1B1⊥l，∴，∴，∴b=，∴e====．（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0≠±c），M（c，），N（c，﹣），则=﹣=，又P∈C，∴=1，得，∴=====，∴||=||=，又∵﹣a≤x0≤a，且x0≠±c，∴﹣1≤，且，∴||=≥=．∴存在最小值．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，结合a＞0，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，即可证明．【解答】（I）解：当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，即x+1﹣a≥0在[0，+∞）内恒成立，∴a≤x+1在[0，+∞）内恒成立，又x+1的最小值为1，∴a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1；（Ⅱ）证明：要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，注意到2016=2015+1，所以ln﹣=ln（1+）﹣=ln（1+）﹣．构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）内是增函数，∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，∴ln＞，∴．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）连接OD，证明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可证明CD为圆O的切线；（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB2=OE•OC，即可求OC的长．【解答】（I）证明：连接OD．∵AB为圆D的直径，∴AD⊥DB，∵AD∥OC，∴BD⊥OC，∴E为BD的中点，∴CB=CD，∴△OBC≌△ODC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD为圆O的切线；（Ⅱ）解：由题意，OB=OA=4，OE=AD=2，Rt△OBC中，BE⊥OC，∴OB2=OE•OC，∴OC==8．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得：+1=0，利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出．【解答】解（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，∴ρ1ρ2=1．∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=3，不等式即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，不等式恒成立，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．（Ⅱ）由f（x）≤1求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|，即|x﹣3|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|=4．由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x﹣3|+|x﹣1|≥4的解集为R．（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2．故有+=2（m＞0，n＞0），即+=1，∴m+2n=（m+2n）（+）=1++≥2，当且仅当=时，等号成立，故m+2n的最小值是2．2016年9月17日。
高三数学下学期第一次模拟考试试题理1
甘肃省武威市2017届高三数学下学期第一次模拟考试试）第I卷（60分）一. 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合P = {3,log2t/}. 0 = {d,b},若PDQ = {0},则P\JQ=（）扎{3,0} B. {3,0,2} C. {3,0,1} D. {3,0丄2}2.已知复数z满足（l-0z = 5 + /\则？=（）A. 2 + 3/ ”B. 2-3/C. 3 + 2,D. 3-2/3.在MBC中，a = 2、c = l, ZB = 60。
，那么Z?等于（）A. A/5*B. 5/3C. P1D. —24.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：'‘不便宜”是“好货的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件5.已知« , B是两个不同的平面，m, n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m丄o , mu 0 ,则（」丄B ：②若m丄n, m丄« ,则n〃a ；③若m〃，a 丄B ,则m丄B ,④若a C 0 =m, n〃m,且nG（】，nQ B ,则n// a » n// B （）A. ®®B.①②④C. ®®D.①③6.抛物线y = x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A . x2+（y-l）2 =2 B.（牙_l）2+（y_l）2 =4C. （x-l）2 + y2=lD. （x_l）2 + （y + l）2=5IT Tl 7.函数co$（2;v + 0）（-兀兰#5）的图象向右平移：个单位后，与函数戸=SIH（2A +—） 2* 3的图象重合，则卩的值为（）A.65兀~6D.8.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：•V2 ・4ln(x + l),x > 011 •已知函数/(x) = < ]若m < n 且/(〃2)= /(舁)，则”一加的取值范用()-x+Lx<0 12A. [3-2In2,2) B ・[3-21n2,2] C ・[幺一1,2] D ・[f —1,2)A ・ / W = sin AB ・ / (A ) = cos AC. /W = -X9. 圆柱被一个平而截去一部分后与半球(半径为厂)组成 一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如 图所示，若该几何体的表而积为16 + 20兀，则/•=()(A) 2 (B) 1 (C) 4 (D) 810. 如图所示，两个不共线向0B 的夹角为&， ACM 分别为创与0E 的中点，点U 在直线泗上，且 0C = xOA^yOB{x.y eR), 贝 ij x 2 +yB ・- D./籍氏函数/")/12.已知函数有两个极值点，则实数自的取值范围是（）A. （-co, 0）B. （0,》C. （0,1）D. （0,+«5）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列｛&｝的前n项和为若a,=4, S F3,则公差d二_14.B知向量旳=（人+1,1）卫=（久+2,2）,伽+詔）丄（7«-«）,则久=______________ .15.正三角形ABC的边长为2,将它沿髙AD翻折，使点B与点C间的距离为迈，此时四而体ABCD外接球表而积为 ____ .16.从圆A，2+= 4内任取一点P，则p到直线A- +〉, = 1的距•离小于近的槪率—.T三. 解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列｛"”｝的前"项和为S“，且满足4//S… = （n + 1）'a” （n e N*）. q = 1（1）求a”：（2）设b= —t数列0｝的前j项和为7；,求证：T… <-.你 418.（本小题满分12分）在2』17年髙校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制” 折算，排出前"名学生，并对这"名学生按成绩分组，第一组［75,80）,第二组［80,85）, 第三组［85,90）,第四组［90,95）,第五组［95,100］,如图为频率分布直方图的一部分，苴中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60（I）请在图中补全频率分布直方图；（II）若Q大学决左在成绩髙的第3, 4, 5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行而试.①若Q大学本次而试中有B、C、D三位考官，规左获得两位考官的认可即而试成功"且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官而试的概率依况为苏1,1,求甲同学面试成功的概率②若Q大学决泄在这6需学生中随机抽取3名学生接受考官B的而试，第3组中有§需学生被考官B而试，求§的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，W\CDEF为正方形，而ABCD为等腰梯形, AB // CD, AB = 2BC, ZABC = 60°, AC 丄FB.（I）求证：AC丄平而FBC：（ID线段ED上是否存在点0,使平而EAC丄平面QBC2证明你的结论20.（本小题满分12分）Z\ \已知点A（0,-2），椭圆E:匚+二=1（。
甘肃省河西五市部分普通高中2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)
2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix45．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．37．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．110．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．21．（12分）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】化简=，==，= =，进而得出．【解答】解：∵=，==，= =，而0＜＜2，∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix4【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．5．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论当x＞0时，运用一次函数的单调性，可得f（x）的范围；当x≤0时，求出f （x）的导数，单调区间和极大值，也为最大值，即可得到所求最大值．【解答】解：当x＞0时，f（x）=1﹣2x递减，可得f（x）＜1；当x≤0时，f（x）=x3﹣3x，导数f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得x=﹣1处f（x）取得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则f（x）的最大值为2．故选：B．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题．7．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120°整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍）即所求电视塔的高度为40米．故选B．【点评】本题给出实际应用问题，求电视塔的高度．着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力．8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM ==≤=，当且仅当y 02=2p 2，取得等号．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积． 【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面ABCD 是边长为2的正方形，AE ，DF 为底面的垂线， 且AE=2，DF=1，∴V=V E ﹣ABC +V C ﹣ADFE =+=．故选D ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，设g（x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），则g（x）在[0，）上递减，在（，1]上递增，∵g（0）=g（1）=0，g（）=﹣，∴g（x）∈[﹣，0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特征．【分析】设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似求出x=96 cm．推导出△BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似可得，解得x=96 cm．则=，解得α=60°，所以△BOB′为正三角形，则BB′=OB=96+48=144 cm．由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．故答案为：144cm．【点评】本题考查矩形铁皮长边的最小值的求法，是中档题，解题时要要认真审题，注意圆台的性质的合理运用．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有14个．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．18．（12分）（2017•甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•甘肃一模）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（Ⅱ）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，∴r≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（Ⅱ）由≈1.331及（Ⅰ）得=≈0.103，=1.331﹣0.103×4=0.92．所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0.10t．将2017年对应的t=10代入回归方程得：=0.92+0.10×10=1.92所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．20．（12分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•甘肃一模）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣，∴f′（x）=﹣，∴g（x）=（x+1）（﹣），∴g′（x）=[（x+3）﹣1]，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．（2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=（﹣g（x）），由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），则F′（x）=（﹣g（x））有唯一零点，设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，其中a=，令G（x）=ln（x+1）﹣+4，则G′（x）=，易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，①当0＜a＜4时，g（t）=＞=g（0），由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，则F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0∴F（x）在（﹣1，t）上有零点，与条件不符；②当a=4时，g （t ）===g （0），由g （x ）的单调性可知t=0，则F （x ）max =F （t ）=G （t ）=G （0）=0，此时F （x ）有一个零点，与条件不符；③当a ＞4时，g （t ）=＜=g （0），由g （x ）的单调性知t ＜0， 则F （x ）max =F （t ）=G （t ）＜G （0）=0，此时F （x ）没有零点．综上所述，当F （x ）=ln （x+1）﹣af （x ）+4无零点时，正数a 的取值范围是a ∈（4，+∞）． 【点评】本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•甘肃一模）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），l 与C 1交与点A ，l 与C 2交与点B ，且|AB|=，求α的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将曲线C 1的方程化为普通方程，然后转化求解C 1的极坐标方程．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=，即可得出．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为（β为参数）．可得（x ﹣1）2+y 2=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|=，∴|OA|﹣|OB|=﹣2cosα=，即cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，∴a2﹣2a﹣1≤2，∴a2﹣2a﹣3≤0，∴﹣1≤a≤3；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，两边平方，整理即证（2m+1）（2n+1）≤4，即证mn≤，又m+n=1，∴mn≤=．故原不等式成立．【点评】本题考查分析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的性质，考查逻辑推理能力以及计算能力．。
2017高考模拟试卷理数及答案
高三（2017届）数学模拟试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．设集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（ ）A （0，3）B （0，2）C （0，1）D （1，2） 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为（ ）A. 1B. iC. -1D. - i{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则27211log log a a +的值 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．在四边形ABCD 中，“AB =2DC ”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0, |φ|<2π)的图象（部分）如图所示，则f (x )的解析式是（ ）A ．f (x )=5sin(3πx -6π Ｂ．f (x )=5sin(6πx -6π)Ｃ．f (x )=5sin(3πx +6π) Ｄ． f (x )=5sin(6πx +6π)6.如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ．6?k >7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则( )A.a b c >>B.a cb >>C.b ac >> D. b c a >>8.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）x －5y O 5 2 5A ．433 B ．533 C ．23 D ．833x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 10．函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是( )11. 已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．95 B. 75 C. 58 D. 6512、已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为/()f x ，满足/()f x <()f x ,且()(2)f x f x -=+，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ）A. ()2,-+∞B. (0，+∞)C.(1, +∞)D.(2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）. 13. (4y x 的展开式中33x y 的系数为 。
甘肃省张掖市高台县第一中学高三下学期第四次模拟数学(理)试题Word版含解析
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z 满足3－iz ＝1＋i ，i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．2－2i B ．1－2i C ．2＋i D ．1＋2i 2．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件D ．命题“∃x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”3．已知a ＝0.7－13，b ＝0.6－13，c ＝log 2.11.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 4．若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( ) A ．80 B ．40 C.803 D.403 5．如图，A、B两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取2条网线，则这2条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是()A.56 B.12 C.13 D.166．已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P(1，－2)是C上的点，且y ＝2x是C的一条渐近线，则C的方程为()A.y22－x2＝1 B．2x2－y22＝1C.y22－x2＝1或2x2－y22＝1 D.y22－x2＝1或x2－y22＝17．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，a3＝5，S k＋2－S k＝36，则k的值为()A．8 B．7 C．6 D．58.某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：f (x )＝1x ，f (x )＝log 3(x 2＋1)，f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )＝2x －2－x ，则输出的函数是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝log 3(x 2＋1) C ．f (x )＝2x ＋2－x D ．f (x )＝2x －2－x9．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种 10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是( ) A.22π B.2π C ．2 2 D ．1－2π11．已知f (x )的定义域为(－2,2)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3＋ln 2－x 2＋x ，－2＜x ≤1－4x 2－5x ＋23，1＜x ＜2，如果f [x (x ＋1)]＜23，那么x 的取值范围是( )A ．－2＜x ＜－1或0＜x ＜1B ．x ＜－1或x ＞0C ．－2＜x ＜－54 D ．－1＜x ＜0 12.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，设∠DAB ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，设e 1＝f (θ)，e 1e 2＝g (θ)，则f (θ)，g (θ)的大致图象是( )第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13．在(4x －2－x )6的展开式中，常数项为________．14．已知下列表格所示数据的回归直线方程为y ∧＝3.8x ＋a ，则a 的值为________.15.经过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位：km/h)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中这100辆汽车时速的范围是[30,80]，数据分组为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]．设时速达到或超过60 km/h 的汽车有x 辆，则x 等于________．16．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝23，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝2a na n ＋1.(1)求证⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列； (2)若对任意的n ∈N *都有a n ＋1＜pa n ，求实数p 的取值范围． 18.(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的正切值．19. (本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过a 吨的每吨2元；超过a 吨而不超过(a ＋2)吨的，超出a 吨的部分每吨4元；超过(a ＋2)吨的，超出 (a ＋2)吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费y (元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：将12费用，求Y 的分布列和数学期望(精确到元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府决定适当下调a 的值(3＜a ＜4)，小明家响应政府号召节约用水，已知他家前3个月的月平均水费为11元，并且前3个月用水量x 的分布列为：请你求出今年调整的20．(本小题满分12分)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴三者长的平方成等差数列，直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，证明：直线l 过定点并求此定点．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln xa－x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求函数f(x)的单调区间；(2)若对一切正数x，都有f(x)≤－1恒成立，求a的取值集合．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若AB＝4AD，求∠BAD的大小．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22ty ＝22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A 、24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝x 2＋|2x －4|＋a .(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )＞x 2＋|x |的解集；(2)若不等式f (x )≥0的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围．区域D内围成的区域面积为S0，结合图象可知S0＝∫5π4π4(sin x－cos x)d x＝22，则所求概率P＝S0S D＝2π.1a n－1＝12×⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＝12n，即a n＝2n2n＋1，a n＋1＝2n＋12n＋1＋1，(2)由(1)可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤44x －8，4＜x ≤6.6x －20，x ＞6Y 的可能取值为6,8,12,16,22，Y 的分布列为：所以E (Y )＝6×112＋8×14＋12×14＋16×14＋22×16＝796≈13. (3)依题意，13[(4×4－2a )＋(6×6－4a －4)＋6]＝11， 得54－6a ＝33.解得a ＝3.5.故今年调整的a 值为3.5.得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴Δ＝(－2mt 2)2－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0， y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，代入①，得8分t 2m 2－3t 2＋3＋m·2mt 2t 2＋3＝0， ∴t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴m 2t 2＝1，适合Δ＞0.10分由题意，得mt＜0，∴mt＝－1，∴l的方程为x＝ty＋1，过定点(1，0).12分∈(0，＋∞)，g(t)≤－1恒成立，因此，当且仅当1a＝1，即a＝1时，1a ln1a－1a≤－1成立．故a的取值集合为{1}．22．解：(1)连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠B＋∠CAB＝90°，∵AD⊥CE，∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∵AC是弦，且直线CE和⊙O切于点C，∴∠ACD＝∠B，∴∠DAC＝∠CAB，即AC平分∠BAD.当0＜x≤2时，由f(x)＞x2＋|x|得－3x＋1＞0，解得x＜1 3.。
甘肃省张掖市高三第一次联考——数学(理)(1)数学(理)
参考答案1．C解析∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}， 故选C ． 2．A 解析：3(3)(12)63212(12)(12)55a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-，所以6320,0,655a aa +-=≠∴=- 3．D 解析：1410161011814111,30109102(17)2(13)(9)10n a a a a a a a d a a a d a d a d D++=∴=+=-=+-+=-+=-设等差数列的首项为公差为d 即故选4．A解析：略 5. B解析:由三视图知底面是边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为2.∴V ＝××1×1×2＝. 6.B 解析略 7．B解：cos AB AC AB AC A ⋅==1sin 12ABC S AB AC A ∆∴==， =()(1442252518y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当时等号成立取最值 考点：向量数量积及均值不等式点评：均值不等式求最值验证等号成立条件 8．B解析：因为，所以函数在上单调递增，故可排除C 选项；又因为时，，故可排除A 选项；当时，，故此时函数的图像在直线的上方，故D 错误，B 正确． 考点：函数的图像． 9． C 解析： 10. B解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S ＝720，则应是10×9×8＝720，所以i ＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体． 11．B解析：设为点P 的横坐标，则， 222120 PF PF a e x ⋅=- ，(-a≤≤a) 所以取值范围是[],而最大值取值范围是，所以于是得到，故椭圆的离心率的取值范围是,32⎣⎦，选B 。
甘肃省张掖市高台县中考数学一诊试卷(含解析)
2017年甘肃省张掖市高台县中考数学一诊试卷一、选择题1．方程x2=2x的根是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=22．如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是（）A．B．C．D．3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：164．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形5．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（）A．30° B．40° C．60° D．70°7．抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°9．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．1个10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题11．将抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的解析式为．12．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k= ．13．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是．14．已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为 cm．15．若，则= ．16．⊙O的半径为20，A，B在⊙O上，∠AOB=120°，则△AOB的面积为．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，∠A=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积．（结果保留根号和π）18．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分19．（6分）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．20．（6分）如图，已知△ABC，请作出该三角形的外接圆⊙O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要写作图过程）．21．（8分）小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB 的高度．（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）22．（8分）将形状和大小都一样的红、白两种颜色的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装有1个红球和1个白球，乙袋装有2个红球和1个白球，现从每个口袋中各随机摸出1个小球．（1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果；（2）有人说：“摸出‘两红’和摸出‘一红一白’这两个事件发生的概率相等．”你同意这种说法吗？为什么？23．（10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件如图，已知四边形BDEF是菱形，DC=BD，且DC=4，求AE的长度．25．（10分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．26．（10分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．27．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．28．（12分）如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD+DC+CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，这个“支撑架”总长的最大值是多少？2017年甘肃省张掖市高台县中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题1．方程x2=2x的根是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，则x=0或x﹣2=0，解得：x=0或x=2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从左边看去，就是两个长方形叠在一起，故选D．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．3．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【考点】S7：相似三角形的性质．【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．4．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【考点】LF：正方形的判定；L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；O1：命题与定理．【分析】A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选C．【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．5．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G4：反比例函数的性质．【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值．【解答】解：∵点A是反比例函数y=图象上一点，且AB⊥x轴于点B，∴S△AOB=|k|=2，解得：k=±4．∵反比例函数在第一象限有图象，∴k=4．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键．6．若sin（α﹣10o）=，则∠α为（）A．30° B．40° C．60° D．70°【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin（α﹣10o）=，得α﹣10=60°，α=70°，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．7．抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）【考点】H3：二次函数的性质．【分析】直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3（x﹣4）2+5，∴其顶点坐标为：（4，5）．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°【考点】M5：圆周角定理．【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案．【解答】解：由题意得∠BOC=2∠A=100°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键．9．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．1个【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线与x轴的交点情况判断b2﹣4ac的符号；根据抛物线与y轴的交点判断c的大小；根据开口方向和对称轴，判断b的符号；根据x=1时，y＜0，判断a+b+c的符号．【解答】解：（1）根据图象，该函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故（1）正确；（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）的下方，∴c＜1，故（2）错误；（3）对称轴x=﹣＜0，又函数图象的开口方向向下，∴a＜0，∴b＜0，故（3）正确；（4）根据图示可知，当x=1时，即y=a+b+c＜0，故（4）正确；故选：D．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C 时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是B；故选：B．【点评】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．二、填空题11．将抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣3 ．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移3个单位得y=2x2﹣3，再向左平移2个单位，得y=2（x+2）2﹣3；故所得抛物线的解析式为y=2（x+2）2﹣3．故答案为：y=2（x+2）2﹣3．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k= 7 ．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，3），∴k﹣1=2×3，解得：k=7．故答案为：7．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是得出k﹣1=2×3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k是关键．13．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】过A作AC⊥BO于点C，则可知AC和OC，利用三角函数的定义可求得答案．【解答】解：如图，过A作AC⊥BO于点C，设小正方格的边长为1，则AC=2，OC=4，在Rt△AOC中，tan∠AOB===，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键．14．已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为18 cm．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a=3cm，正六边形的周长l=6a=18cm，故答案为：18．【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．15．若，则= ．【考点】S1：比例的性质．【分析】设a=3k，b=4k，则代入计算即可．【解答】解：∵，∴设a=3k，b=4k，∴==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查了比例的性质，比较简单．设出a=3k，b=4k是解此题的关键．16．⊙O的半径为20，A，B在⊙O上，∠AOB=120°，则△AOB的面积为100．【考点】M2：垂径定理；T7：解直角三角形．【分析】根据题意画出相应的图形，过O作OC垂直于AB，由垂径定理得到C为AB的中点，再利用等腰三角形的两底角相等，由∠AOB=120°，求出∠A为30°，在直角△AOC中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半由OA的长求出OC的长，再利用勾股定理求出AC的长，由AB=2AC求出AB的长，利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．【解答】解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，如图所示，则C为AB的中点，即AC=BC，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，在Rt△AOC中，OA=20，∠A=30°，∴OC=OA=10，根据勾股定理得：AC==10，∴AB=2AC=20，则S△AOB=AB•OC=×20×10=100．故答案为：100．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，∠A=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积2﹣π．（结果保留根号和π）【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】连接OD，如图，先利用切线的性质得OD⊥AC，再计算出∠C=30°，接着利用解直角三角形得到∠COD=60°，OC=2OD=4，CD=OD=2，然后利用扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S△ODC﹣S扇形DOE进行计算即可．【解答】解：连接OD，如图，∵以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∵∠ABC=90°，∠A=60°，∴∠C=30°，在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=2OD=4，CD=OD=2，∴阴影部分的面积=S△ODC﹣S扇形DOE=×2×2﹣=2﹣π．故答案为2﹣π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了不规则图形面积的计算方法．18．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（）n﹣1．【考点】LB：矩形的性质；L8：菱形的性质．【分析】易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为（）2，依此类推，第n个矩形的面积为（）n﹣1．【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（）2﹣1=；第三个矩形的面积是（）3﹣1=；…故第n个矩形的面积为：（）n﹣1．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分19．计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．【解答】解：原式=1+﹣2×+4=5．【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，注意各部分的运算法则．20．如图，已知△ABC，请作出该三角形的外接圆⊙O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要写作图过程）．【考点】N2：作图—基本作图．【分析】由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作△ABC的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、OB长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆．【解答】解：如图所示：⊙O即为△ABC的外接圆．【点评】此题主要考查的是三角形外接圆的作法，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出外接圆的圆心．21．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据正切的定义分别求出AD、BD的长，计算即可．【解答】解：在Rt△ADC中，tan∠ACD=，∴AD=DC•tan∠ACD=9×=3米，在Rt△ADB中，tan∠BCD=，∴BD=CD=9米，∴AB=AD+BD=3+9≈14米．答：楼房AB的高度约为14米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．22．将形状和大小都一样的红、白两种颜色的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装有1个红球和1个白球，乙袋装有2个红球和1个白球，现从每个口袋中各随机摸出1个小球．（1）请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果；（2）有人说：“摸出‘两红’和摸出‘一红一白’这两个事件发生的概率相等．”你同意这种说法吗？为什么？【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答，比较即可．【解答】解：（1）列举所有等可能的结果，画树状图：（2）不同意这种说法．由（1）知，P（两红）==，P（一红一白）==．∴P（两红）＜P（一红一白）．【点评】画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（10分）（2017•高台县模拟）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（2017•高台县模拟）如图，已知四边形BDEF是菱形，DC=BD，且DC=4，求AE的长度．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．【分析】由菱形的性质可以推知EF=BD，且EF∥BD，则易证△AEF∽△ABC，所以根据相似三角形的对应边成比例来求AE的长度．【解答】解：如图，∵DC=BD，且DC=4，∴BD=8，BC=12．∵四边形BDEF是菱形，∴BE=EF=BD=FD=8，EF∥BD，∴△AEF∽△ABC，∴=，即=，∴AE=16，即AE的长度是16．【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质．相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．25．（10分）（2015•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【考点】L5：平行四边形的性质；KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理；LC：矩形的判定．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．26．（10分）（2013•成都）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A点代入一次函数解析式求出m的值，然后将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可得出反比例函数的表达式；（2）结合函数图象即可判断y1和y2的大小．【解答】解：（1）将A的坐标代入y1=x+1，得：m+1=2，解得：m=1，故点A坐标为（1，2），将点A的坐标代入：，得：2=，解得：k=2，则反比例函数的表达式y2=；（2）结合函数图象可得：当0＜x＜1时，y1＜y2；当x=1时，y1=y2；当x＞1时，y1＞y2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握．27．（10分）（2008•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．【考点】MD：切线的判定；M5：圆周角定理．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE 是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt △ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．28．（12分）（2008•佛山）如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD+DC+CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，这个“支撑架”总长的最大值是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）看图可得出M，P的坐标．（2）已知M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式．（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m， +m+3），D（m， +m+3）可得支撑架总长．【解答】解：（1）由题意得：M（12，0），P（6，6）；（2）由顶点P（6，6）设此函数解析式为：y=a（x﹣6）2+6，将点（0，3）代入得a=，∴y=（x﹣6）2+6=x2+x+3；（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m， m2+m+3），D（m， m2+m+3）∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（m2+m+3）+（12﹣2m）+（m2+m+3）=∵此二次函数的图象开口向下．∴当m=0时，AD+DC+CB有最大值为18．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．。
【全国百强校】2017届甘肃省高台县第一中学高三一模数学(理)试卷(带解析)
绝密★启用前【全国百强校】2017届甘肃省高台县第一中学高三一模数学（理）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则实数的值是（ ） A ． B ．C ．D ．2、已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3、已知集合，，则集合与集合的关系是（ ） A ．B ．C ．D ．4、在复平面内，两个共轭复数所对应的点（ ）A ．关于轴对称B ．关于轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线对称5、已知函数在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．6、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则主视图中的值是（ ）A ．B ．C ．D ．7、直线被圆截得的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8、、分别是双曲线（，）的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．9、甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ． B ． C ． D ．10、公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（ ） 参考数据：，，．A ．12B ．24C ．48D ．9611、将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）12、已知数列中，，，且，，成等比数列，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设是数列前项和，求.13、已知的顶点和顶点，顶点在椭圆上，则__________．14、有一个游戏，将标有数字1，2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为__________．15、已知直线、和平面、，下列命题中假命题的是____________（只填序号）． ①若，则平行于经过的任何平面； ②若，，则； ③若，，且，则；④若，且，则．16、定义1：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称函数在区间上存在二阶导数，记作，即．定义2：若函数在区间上的二阶导数恒为正，即恒成立，则称函数在区间上为凹函数． 已知函数在区间上为凹函数，则的取值范围是__________．三、解答题（题型注释）17、选修4-5：不等式选讲 已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对于，，有，，求证：．18、选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，它在点处的切线为直线．（Ⅰ）求直线的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点为椭圆上一点，求点到直线的距离的取值范围．19、设函数，，．（Ⅰ）试讨论的单调性； （Ⅱ）当时，在恒成立，求实数的取值．20、如图已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点，求证：为定值．21、如图<1>:在直角梯形中，，，，，于点，把沿折到的位置，使，如图<2>：若，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面的夹角．22、某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用、、三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表：假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：（Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；（Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案1、B2、C3、B4、A5、A6、C7、C8、D9、A10、B11、B12、（1）；（2）.13、314、 4 2 1 315、①②③④16、17、（1）；（2）详见解析.18、（1）；（2）.19、（1）详见解析；（2）.20、（1）；（2）详见解析.21、（1）详见解析；（2）.22、（1）；（2）分布列见解析，数学期望.【解析】1、试题分析：因为单位向量的夹角为，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式.2、试题分析：∵，∴.用降幂公式化简得：，∴，故选A.考点：三角恒等式.3、试题分析：由题意知：，所以，,故选B．考点：集合的概念与集合间的关系．4、试题分析：因为两个共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以所对应的点的坐标，横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此两个共轭复数所对应的点关于轴对称，故选A.考点：1、共轭复数的定义；2、复数的几何意义.5、不等式可变化为，令，所以，对在区间内任取两个实数恒成立。
甘肃省张掖市高台一中2017届高考一模试卷数学(文)
甘肃省张掖市高台一中2017届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数+i所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）将函数y=sin（x+）的图象上所有的点向左平移个的单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（+）C．y=sin （﹣）D．y=sin（+）4．（5分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：165．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．46．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．47．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．38．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）参考数据：，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．A．12 B．24 C．48 D．969．（5分）函数f（x）=ln x+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）的图象在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．2B．C．1 D．210．（5分）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A．B．C．D．11．（5分）函数y=log a（x﹣3）+2（a＞0且a≠1）过定点P，且角α的终边过点P，则sin2α+cos2α的值为（）A．B．C．4 D．512．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（﹣1，3]时，f（x）=，其中t＞0，若方程f（x）=恰有3个不同的实数根，则t的取值范围为（）A．（0，）B．（，2）C．（，3）D．（，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知|+|=|﹣|，那么向量与向量的关系是．14．（5分）若不等式组所表示的平面区域为D，若直线y﹣2=a（x+2）与D有公共点，则a的取值范围是．15．（5分）有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为、、、．16．（5分）已知△ABC的顶点A（﹣3，0）和顶点B（3，0），顶点C在椭圆+=1上，则=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}中，a3=5，a2+a6=14，且2，2，2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=a n﹣（﹣1）n n，数列{b n}的前n项和为T n，求T21．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如表：（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．19．（12分）如图＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2，如图＜2＞：若G，H 分别为D′B，D′E的中点．（Ⅰ）求证：GH⊥D′A；（Ⅱ）求三棱锥C﹣D′BE的体积．20．（12分）如图已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）求•的最小值，并求此时圆T的方程．21．（12分）已知f（x）=﹣x2﹣3，g（x）=2x ln x﹣ax且函数f（x）与g（x）在x=1处的切线平行．（Ⅰ）求函数g（x）在（1，g（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，g（x）﹣f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，它在点处的切线为直线l．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）已知点P为椭圆=1上一点，求点P到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜|x|+1；（Ⅱ）若对于x，y∈R，有|x﹣y﹣1|≤，|2y+1|≤，求证：f（x）＜1．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．B 9．D 10．D 11．A 12．B 二、填空题13．垂直14．a≤15．4，2，1，3 16．3三、解答题17．解：（I）∵2，2，2成等比数列，∴=2•2，∴2a n+1=a n+a n+2．∴数列{a n}为等差数列，设公差为d，∵a3=5，a5+a6=20，∴a1+2d=5，2a1+9d=20，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）b n=a n﹣（﹣1）n n=（2n﹣1）﹣（﹣1）n n．设数列{﹣（﹣1）n n}的前n项和为S n，则S n=﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n n．∴﹣S n=1﹣2+3+…+（﹣1）n（n﹣1）+（﹣1）n+1n，∴2S n=﹣1+1﹣1+…+（﹣1）n﹣（﹣1）n+1n=﹣（﹣1）n+1n，∴S n=+．∴T n=﹣﹣=n2﹣n﹣﹣．∴T21=212﹣21﹣﹣=425+．18．（Ⅰ）解：（Ⅰ）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种．其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．所以所求的概率P=．（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）．因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．19．（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD 于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2，ED=4，连结BE，GH，在三角形AED′中，可得ED′2=AE2+AD′2，可得AD′⊥AE，DC==2，AC=2，可得AC2+AD′2=CD′2，可得AD′⊥AC，因为AE∩AC=A，所以AD′⊥平面ABCD，可得AD′⊥BE，G，H分别为D′B，D′E的中点，可得GH∥BE，所以GH⊥D′A．（Ⅱ）三棱锥C﹣D′BE的体积为V．则V===．20．解：（1）由题意可得e==，椭圆的左顶点T（﹣2，0），可得a=2，c=，b==1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，﹣n），即有+n2=1，则•=（m+2，n）•（m+2，﹣n）=（m+2）2﹣n2=（m+2）2﹣1+=m2+4m+3=（m+）2﹣，由﹣2≤m≤2，可得m=﹣时，•的最小值为﹣，此时n2=，即有r2=（m+2）2+n2=，可得圆T的方程（x+2）2+y2=．21．解：（Ⅰ）f′（x）=﹣2x，故k=f′（1）=﹣2，而g′（x）=2（ln x+1）﹣a，故g′（1）=2﹣a，故2﹣a=﹣2，解得：a=4，故g（1）=﹣a=﹣4，故g（x）的切线方程是：y+4=﹣2（x﹣1），即2x+y+2=0；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，g（x）﹣f（x）≥0恒成立，等价于a≤x+2ln x+，令g（x）=x+2ln x+，x∈（0，+∞），g′（x）=1+﹣=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调减，当x=1时，g′（x）=0，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调增，∴g（x）min=g（1）=4，∴a≤4．22．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，∴ρ2cos2θ=2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为y=x2，∴y′=x，又M（2，）的直角坐标为（2，2），∴曲线C在点（2，2）处的切线方程为y﹣2=2（x﹣2），即直线l的直角坐标方程为：2x﹣y﹣2=0．（2）P为椭圆上一点，设P（cosα，2sinα），则P到直线l的距离d==，当sin（α﹣）=﹣时，d有最小值0．当sin（α﹣）=1时，d有最大值．∴P到直线l的距离的取值范围为：[0，]．23．解：（Ⅰ）不等式f（x）＜|x|+1，等价于|2x﹣1|＜|x|+1，x≤0，不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，即x＞0，不成立；0，不等式可化为﹣2x+1＜x+1，即x＞0，∴0＜x≤；x＞，不等式可化为2x﹣1＜x+1，即x＜2，∴＜x＜2；故不等式f（x）＜|x|+1的解集为（0，2）．（Ⅱ）∵|x﹣y﹣1|≤，|2y+1|≤，∴f（x）=|2x﹣1|=|2（x﹣y﹣1）+（2y+1）|≤|2（x﹣y﹣1）|+|（2y+1）|≤2•+＜1．。
甘肃省高台县高三数学上学期第一次检测试题 文(无答案)
甘肃省高台县2017届高三数学上学期第一次检测试题 文（无答案）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|20}A x x =->，集合2{|20}B x x x =-≤，则A B 等于( )A.[0,)+∞B.(,2]-∞C.[0,2)(2,)+∞D.∅2.若复数z 满足i z i +=-3)21(，则复数z 的虚部为 ( )A ．37-B ．i 37-C ．57D ．i 573.设x R ∈，则“1x =”是“3x x =”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件4.下列命题中，真命题的个数有( )①21,04x R x x ∀∈-+≥； ②22x x y -=-是奇函数； ③命题“若06,32≥-+-≤x x x 则” 的否命题.A.1个B.2个C.3个D.0个5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知35a =，1122S =，则数列{}n a 的公差d 为( )A.1-B.31-C.31D.1 6.已知向量(1,2)=a ，(1,0)=b ，(3,4)=c ．若()λ+⊥b a c，则实数λ的值为( )A. 12B. 35C. 113-D.311- 7. 一个体积为312的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）A．．8 C．．12 8. 已知),(,)1(log )1()3()(+∞-∞⎩⎨⎧≥<--=是x x x a x a x f a 上是增函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1,+∞）B ．（-∞,3）C ．[32 ,3） D ．（1 , 3）9.袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色不同．．的概率为( )A.54 B.53 C. 52D.5110.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =( )A. 322-B . 322C .36- D. 3612. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=-,且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20112012f f -+=A ．21log 3+B. 21log 3-+C. 1-D. 1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数y =的定义域是14.变量x ，y 满足条件100x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z=2x y -最大值为 ．15.阅读程序框图（如图所示），若输入0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =,则输出的数是 ．16.数列}{n a 的前n 项和记为 ,1,1=a s n )1(121≥+=+n s a n n ，则}{n a 的通项公式是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（12分）已知函数23cos 3cos sin 3)(2+-=x x x x f（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）ABC ∆三内角的对边长分别为c b a ,,，若 3,1,23)2(==-=c b B f 且b a >,求a ，并判断ABC ∆的形状．18.（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；（Ⅱ）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100＋1102＝105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；（Ⅲ）用分层抽样方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．19.（12分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P 、Q 分别是正方形AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心。
甘肃省河西五市部分普通高中2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)
2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix45．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜Z≤μ+ς）=0.6826；P（μ﹣2ς＜Z≤μ+2ς）=0.9544；P（μ﹣3ς＜Z≤μ+3ς）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．37．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M 是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．110．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1]B．[﹣，1]C．[1，3]D．（﹣∞1]12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E 上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C≥2S D．∩D18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．21．（12分）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】化简=，==，==，进而得出．【解答】解：∵=，==，==，而0＜＜2，∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．5．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜Z≤μ+ς）=0.6826；P（μ﹣2ς＜Z≤μ+2ς）=0.9544；P（μ﹣3ς＜Z≤μ+3ς）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和ς的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论当x＞0时，运用一次函数的单调性，可得f（x）的范围；当x≤0时，求出f（x）的导数，单调区间和极大值，也为最大值，即可得到所求最大值．【解答】解：当x＞0时，f（x）=1﹣2x递减，可得f（x）＜1；当x≤0时，f（x）=x3﹣3x，导数f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得x=﹣1处f（x）取得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则f（x）的最大值为2．故选：B．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题．7．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120°整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍）即所求电视塔的高度为40米．故选B．【点评】本题给出实际应用问题，求电视塔的高度．着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力．8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M 是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F （，0），设P （，y 0），要求k OM 的最大值，设y 0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F （，0），设P （，y 0），显然当y 0＜0，k OM ＜0；当y 0＞0，k OM ＞0． 要求k OM 的最大值，设y 0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM ==≤=，当且仅当y 02=2p 2，取得等号． 故选：C ．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积．【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面ABCD 是边长为2的正方形，AE ，DF 为底面的垂线， 且AE=2，DF=1，∴V=V E ﹣ABC +V C ﹣ADFE =+=．故选D ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递减，若不等式f （x 3﹣x 2+a ）+f （﹣x 3+x 2﹣a ）≥2f （1）对x ∈[0，1]恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[，1]B ．[﹣，1]C ．[1，3]D ．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递减，∴不等式f （x 3﹣x 2+a ）+f （﹣x 3+x 2﹣a ）≥2f （1）等价为2f （x 3﹣x 2+a ）≥2f （1）即f （x 3﹣x 2+a ）≥f （1）对x ∈[0，1]恒成立， 即﹣1≤x 3﹣x 2+a ≤1对x ∈[0，1]恒成立， 即﹣1﹣a ≤x 3﹣x 2≤1﹣a 对x ∈[0，1]恒成立， 设g （x ）=x 3﹣x 2，则g′（x ）=3x 2﹣2x=x （3x ﹣2），则g （x ）在[0，）上递减，在（，1]上递增，∵g （0）=g （1）=0，g （）=﹣，∴g（x）∈[﹣，0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f （x ）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k ∈Z ，∵|φ|≤，∴φ=，此时f （x ）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选：B【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 9 ．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a ＞b ，故a=5，b=7， 当a=5，b=7时，不满足a ＞b ，故a=9，b=5 当a=9，b=5时，满足a ＞b ，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E 上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特征．【分析】设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似求出x=96 cm．推导出△BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似可得，解得x=96 cm．则=，解得α=60°，所以△BOB′为正三角形，则BB′=OB=96+48=144 cm．由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．故答案为：144cm．【点评】本题考查矩形铁皮长边的最小值的求法，是中档题，解题时要要认真审题，注意圆台的性质的合理运用．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有14个．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C≥2S D．∩D【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，≤a m≤S B相矛盾，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，≥2S D．故S C+S C∩D【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．18．（12分）（2017•甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P （0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED= AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM ∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB ∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•甘肃一模）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（Ⅱ）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵y i=9.32，【解答】解：t i y i=40.17，=0.55，∴r≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（Ⅱ）由≈1.331及（Ⅰ）得=≈0.103，=1.331﹣0.103×4=0.92．所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0.10t．将2017年对应的t=10代入回归方程得：=0.92+0.10×10=1.92所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．20．（12分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．=，再利用均值（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，==|n|•=，∴S△OAB由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，∴S△AOB解得m=，取得最大值为．当且仅当m=时，S△AOB【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•甘肃一模）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣，∴f′（x）=﹣，∴g（x）=（x+1）（﹣），∴g′（x）= [（x+3）﹣1]，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．（2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=（﹣g（x）），由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），则F′（x）=（﹣g（x））有唯一零点，设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，其中a=，令G（x）=ln（x+1）﹣+4，则G′（x）=，易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，①当0＜a＜4时，g（t）=＞=g（0），由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G （0）=0，由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，则F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0∴F（x）在（﹣1，t）上有零点，与条件不符；②当a=4时，g（t）===g（0），由g（x）的单调性可知t=0，则F（x）max=F（t）=G（t）=G（0）=0，此时F（x）有一个零点，与条件不符；③当a＞4时，g（t）=＜=g（0），由g（x）的单调性知t＜0，则F（x）max=F（t）=G（t）＜G（0）=0，此时F（x）没有零点．综上所述，当F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点时，正数a的取值范围是a ∈（4，+∞）．【点评】本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•甘肃一模）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求α的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将曲线C1的方程化为普通方程，然后转化求解C1的极坐标方程．（2）曲线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=，即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（β为参数）．可得（x﹣1）2+y2=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）曲线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|=，∴|OA|﹣|OB|=﹣2cosα=，即cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，∴a2﹣2a﹣1≤2，∴a2﹣2a﹣3≤0，∴﹣1≤a≤3；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，两边平方，整理即证（2m+1）（2n+1）≤4，即证mn≤，又m+n=1，∴mn≤=．故原不等式成立．【点评】本题考查分析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的性质，考查逻辑推理能力以及计算能力．。
甘肃省张掖市高台县第一中学高三数学下学期一诊试题 文 新人教B版
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合{||21|3}A x x =+>，集合{|B x y ==，则()R A C B ⋂=（ ） A.(1,2) B.(1,2] C.(1,)+∞ D.[1,2] 2．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A.－4B.－45C.4D.453．若||2,||1==a b ，且a 与b 的夹角为60，当||x -a b 取得最小值时，实数x 的值为（ ） A.2 B.2- C.1 D.1- 4．直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )． A ．[0，π) B. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:m ），则该几何体的体积为（ ）A.373mB.392mC.372mD.394m6．已知ABC ∆的面积为2，在ABC ∆所在的平面内有两点P 、Q ，满足=+,BQ QA 2=,则APQ ∆的面积为（ ）A.13 B.12 C.23D.1 7．执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为（ ）俯视图正视图侧视图A.7B.6C.5D.48．已知函数21,(0)()(1),(0)x x f x f x x -⎧⎪-≤=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A 、(],0-∞B 、[)0,1 Ｃ、(),1-∞ D 、[)0,+∞。
9．过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A 、B ，双曲线左顶点为M ，若0120AMB ∠=，则该双曲线的离心率为 （ ）A 2B ．3C ．3D ． 2 10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119SS ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．1211．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=( ) A ．0 B ．49 C ．49- D ．4 12．设F 为抛物线216y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++的值为 （ ）A ．36B ．24C ．16D ．12第Ⅱ卷 （90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan α= . 14．已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是 .15．若等比数列{}n a 的第5项是二项式613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a = .16．已知函数x x x f 2ln )(+=, 若2)4(2<-x f , 则实数x 的取值范围 . 三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小題满分12分）设函数2()2cos 23sin cos f x x x x m =+⋅+.其中,m x R ∈（1）求()f x 的最小正周期； （2）当]2,0[π∈x 时，求实数m 的值，使函数)(x f 的值域恰为17[,],22并求此时()f x 在R 上的对称中心.18．(本小題满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °，平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ；（2）求证：AB PE ⊥；（3）求二面角A PB E --的大小．19．(本小題满分12分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校 学校甲学校乙学校丙学校丁人数4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言． （Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．20．(本小題满分12分）已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，椭圆上的点P 满足1290PF F ∠=，且△12PF F 的面积为123PF F S ∆=． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，过点(1,0)Q 的动直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线AN 与直线4x =的交点为R ，证明：点R 总在直线BM 上.21．(本小題满分12分）已知函数，其中a 是实数，设A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2））为该函数图象上的点，且x 1＜x 2． （I ）指出函数f （x ）的单调区间；（II ）若函数f （x ）的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，求x 2﹣x 1的最小值； （III ）若函数f （x ）的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围． 四、选做题：22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点P ，BE CE =，点E 在BC 上．求证：PE 是⊙O 的切线．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
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2017年甘肃省张掖市高台一中高三理科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 在复平面内，两共轭复数所对应的点 A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x对称2. 已知集合M=−1,0,1，N= x x=ab,a,b∈M,且a≠b ，则集合M与集合N的关系是A. M=NB. M∩N=NC. M∪N=ND. M∩N=∅3. 已知两个单位向量e1，e2的夹角为45∘，且满足e1⊥λe2−e1，则实数λ的值为 A. 1B. 2C. 233D. 24. 直线x+2y−5+5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为 A. 1B. 2C. 4D. 465. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种6. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是 A. 2B. 92C. 32D. 37. 将函数y=sin2x+φ的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为 A. 34π B. π4C. 0D. −π48. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 参考数据：3=1.732，sin15∘≈0.2588，sin7.5∘≈0.1305．A. 12B. 24C. 48D. 969. 已知α∈R， sinα+2cosα=102，则tan2α= A. 43B. 34C. −34D. −4310. 甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率 A. 38B. 34C. 35D. 4511. F1，F2分别是双曲线x2a −y2b=1a>0,b>0的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为 A. 2B. 3C. 5D. 712. 已知函数f x=a ln x+1−x2在区间0,1内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式f p+1−f q+1p−q>1恒成立，则实数a的取值范围为 A. 15,+∞B. −∞,15C. 12,30D. −12,15二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知直线a，b和平面α，β，下列命题中假命题的是______（只填序号）．①若a∥b，则a平行于经过b的任何平面；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥α，b∥β，且α⊥β，则a⊥b；④若α∩β=a，且b∥α，则b∥a．14. 有一个游戏，将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为______，______，______，______．15. 已知△ABC的顶点A−3,0和顶点B3,0，顶点C在椭圆x225+y216=1上，则5sin Csin A+sin B= ______．16. 定义1：若函数f x在区间D上可导，即fʹx存在，且导函数fʹx在区间D上也可导，则称函数f x在区间D上的存在二阶导数，记作fʺx=fʹxʹ．定义2：若函数f x在区间D上的二阶导数恒为正，即fʺx>0恒成立，则称函数f x在区间D上为凹函数．已知函数f x=x3−32x2+1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知数列a n中，a3=5，a5+a6=20，且2a n，2a n+1，2a n+2成等差数列，数列b n满足b n=a n−−1n n．（1）求数列b n的通项公式；（2）设S n是数列b n前n项和，求S n．18. 某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据．（1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；（2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19. 如图（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到DʹEC的位置，使DʹA=23，如图（2），若G，H分别为DʹB，DʹE的中点．（1）求证：GH⊥平面ADʹC；（2）求平面DʹAB与平面DʹCE的夹角．20. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：x+22+y2=r2r>0，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求TM⋅TN的最小值；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证： OR ⋅ OS 是定值．21. 设函数f x=a2ln x+ax a≠0，g x=∫0x2t d t，F x=g x−f x．（1）试讨论F x的单调性；（2）当a>0时，−e2≤F x≤1−e在x∈1,e恒成立，求实数a的取值．22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，它在点M22,π4处的切线为直线l．（1）求直线l的直角坐标方程；（2）已知点P为椭圆x 23+y24=1上一点，求点P到直线l的距离的取值范围．23. 已知函数f x=2x−1，x∈R．（1）解不等式f x<x+1；（2）若对于x,y∈R，有x−y−1 ≤13，2y+1 ≤16，求证：f x<1．答案第一部分1. A2. B3. B4. C5. A6. C7. B8. B9. C 10. A11. D 12. A第二部分13. ①②③④14. 4；2；1；315. 316. 12,+∞第三部分17. （1）因为2a n，2a n+1，2a n+2成等差数列，所以2a n+1=a n+a n+2．所以数列a n为等差数列，设公差为d，因为a3=5，a5+a6=20，所以a1+2d=5，2a1+9d=20，解得a1=1，d=2．所以a n=1+2n−1=2n−1．所以b n=a n−−1n n=2n−1−−1n n．（2）设数列−1n n的前n项和为T n，则T n=−1+2−3+⋯+−1n n．所以−T n=1−2+3+⋯+−1n n−1+−1n+1n，所以2T n=−1+1−1+⋯+−1n−−1n+1n=−1−−1n−−1n+1n,所以T n=−1n−14+−1n n2．所以S n=n1+2n−12−−1n−14−−1n n2=n2−−1n−1−−1n n.18. （1）由人工降雨模拟试验的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表：方式实施地点大雨中雨小雨A甲P A1=13P A2=12P A3=16B乙P B1=14P B2=12P B3=14C丙P C1=16P C2=16P C3=23记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件E，则P E=P A2P B2P C2=12×12×16=124．（2）设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为p1，p2，p3，则p1=P A2=12，p2=P B1=14，p3=P C2+P C3=56，ξ的可能取值为0，1，2，3，Pξ=0=1−p11−p21−p3=1×3×1=3 48,Pξ=1=p11−p21−p3+1−p1p21−p3+1−p11−p2p3=1×3×1+1×1×1+1×3×5=19,Pξ=2=p1p21−p3+1−p1p2p3+p11−p2p3=12×14×16+12×14×56+12×34×56=21,Pξ=3=p1p2p3=12×14×56=548，所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P34819482148548Eξ=348×0+1948×1+2148×2+548×3=1912．19. （1）因为在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E 点，把△DEC沿CE折到DʹEC的位置，使DʹA=23，所以AE=CE=2，DʹE=6−2=4，DʹA2+AE2=DʹE2，CDʹ=22+42=25，所以ADʹ⊥AE，因为ADʹ⊥AB，ADʹ∩AB=A，所以ADʹ⊥平面ABCE，所以面ADʹC⊥ABCE，又因为ABCE是正方形，所以BE⊥AC，⇒BE⊥面ACDʹ，因为G，H分别为DʹB，DʹE的中点，所以GH∥BE，所以GH⊥平面ADʹC．（2）如图过点Dʹ作直线m∥AB，AB∥EC，所以直线m就是面DʹAB与平面DʹCE的交线，因为CE⊥AE，面AEDʹ⊥面ABCE于AE，所以CE⊥DʹE，即DʹE⊥m，因为ADʹ⊥AB，所以ADʹ⊥m，因为ADʹ⊂面ADʹB，DʹE⊂DʹCE，所以∠ADʹE就是平面DʹAB与平面DʹCE的夹角的平面角，在直角三角形ADʹE中，AE=2，DʹE=4，可得，所以∠ADʹE=30∘，平面DʹAB与平面DʹCE的夹角为30∘．20. （1）由题意可知：T−2,0，所以a=2．又ca =32，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=3，b=1．所以椭圆C的方程为x 24+y2=1．（2）设M x0,y0，N x0,−y0．把点M的坐标代入椭圆方程可得：y02=1−x024，TM⋅TN=x0+22−y02=x0+22−1−x02=5x0+82−1,因为−2<x0<2，所以当且仅当x0=−85时，TM⋅TN取得最小值−15．（3）设P x1,y1，直线MP的方程为：y−y1=y0−y1x0−x1x−x1，令y=0，可得x R=x1y0−y1x0y0−y1，同理可得：x S=x1y0+x0y1y0+y1，因为点M，P都在椭圆上，所以x02=41−y02，x12=41−y12，所以OR ⋅ OS =x R x S=x12y02−x02y12 y02−y12=41−y12y02−41−y02y12y02−y12=4是定值．21. （1）由题意得：g x=∫x2t d t=x2，所以F x=g x−f x=x2−a2ln x−ax x>0，Fʹx=2x−a2x −a=x−a2x+ax，a>0时，x∈0,a时，Fʹx<0，x∈a,+∞时，Fʹx>0，所以函数F x在0,a递减，在区间a,+∞递增；a<0时，x∈0,−a2时，Fʹx<0，x∈ −a2,+∞ 时，Fʹx>0，所以函数F x在区间0,−a2递减，在 −a2,+∞ 递增，综上，a>0时，函数F x在区间0,a递减，在a,+∞递增；a<0时，函数F x在区间0,−a2递减，在区间 −a2,+∞ 递增．（2）由题意得F1=g1−f1=1−a≤1−e，即a≥e，当a>0时，由（1）得F x在1,e内递减，故要使−e2≤F x≤1−e在x∈1,e恒成立，只需F1≤1−e, F e≥−e2,即1−a≤1−e,e2−a2a e≥−e2,即a≥e, a≤e,即a=e．22. （1）因为曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=2sinθ，所以ρ2cos2θ=2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为y=12x2，所以yʹ=x，又M22,π4的直角坐标为2,2，所以曲线C在点2,2处的切线方程为y−2=2x−2，即直线l的直角坐标方程为：2x−y−2=0．（2）P为椭圆x23+y24=1上一点，设P 3cosα,2sinα ，则P到直线l的距离d=3cos5=4sin α−π3+25，当sin α−π3=−12时，d有最小值0．当sin α−π3=1时，d有最大值655．所以P到直线l的距离的取值范围为：0,655．23. （1）不等式f x<x+1，等价于2x−1<x+1，x<0，不等式可化−2x+1<−x+1，即x>0，不成立；0≤x≤12，不等式可化为−2x+1<x+1，即x>0，所以0<x≤12；x>12，不等式可化为2x−1<x+1，即x<2，所以12<x<2；故不等式f x<x+1的解集0,2．（2）因为x−y−1 ≤13，2y+1 ≤16，所以f x=2x−1=2x−y−1+2y+1≤ 2x−y−1+2y+1≤2×13+16<1.。