优选初高中衔接教材因式分解
初升高数学衔接班教案(学生版)因式分解
因式分解一、 【归纳初中知识】把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做因式分解。
初中阶段我们常用的两种因式分解方法有：方式①：提取公因式法 )(b a m bm am +=+方式①：公式法 ⎪⎩⎪⎨⎧+±=±-+=-±=+±))(())(()(2223322222b ab a b a b a b a b a b a b a b ab a二、 【衔接高中知识】下面我们介绍几种常用的高中因式分解的方法：方式①：分组分解法))(()()(n m y x ny x m y x ynxn ym xm ++=+++=+++方式①：十字相乘法 ))(()(2b nx a mx ab x na mb mnx ++=+++我们知道形如pq x q p x +++)(2这样的二次三项式可以分解为))((q x p x ++，它的特点是二次项系数为1，常数pq 与一次项系数q p +可以通过“十字相乘，乘积相加”的方式建立联系，得到))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++。
这种方法能推广到更深层次吗？下面来看二次三项式ab x na mb mnx +++)(2，将二次项系数mn 与常数项ab 建立十字形式：我们发现“十字相乘，乘积相加”刚好得到一次项系数na mb +，从而我们有***方式①：大除法我们引入这样一个问题：求方程023223=-+-x x x 的解显然，由观察得出_______是方程的一个根，那么该方程左边的多项式必定可以写成下面形式：=-+-23223x x x ___))(________1(-x ，那么我们如何确定空缺部分呢？下面我们介绍大除法：三、 【例题精讲】例1：分解因式（1）322-+x x（2）3442-+x x例2：分解因式（1）2)()(222----x x x x（2）2282y xy x --（3）y x xy x 6322--+（4）433-+x x例3：已知n 是正整数，且1001624+-n n 是质数，求n 的值课后习题1、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
初高中衔接之一---因式分解
新学期的基本要求：
1.做好间操，上好体育课，锻炼好身 体！
2.讲好个人卫生，教室等环境卫生。
3.遵规守纪，诚实守信！
4.尊敬师长，团结友爱，热爱集体！
（4）、完全立方公式 ：
a3 3a2b 3ab2 b3 a b3 ; a3 3a2b 3ab2 b3 a b3
二、十字相乘法：
1、二次项系数为 1 的二次三项式 x2 p q x pq 因式分解：
1
x2 p q x pq x px q 这里
p 十字交叉
1
q
3、含两个字母的二次三项式的因式分解：可以把这个二次三项式看作 是关于某个字母的二次三项式，把另一个字母看成已知数，写成十字相乘 形式
例 4、 2x 2 7xy 6 y2 (2x3y)(x2y)
练习：（1） 3x2 2xy 8y2 (3x4y)(x2y)
（2） x2 a 1 x a (xa)(x1)
01 初高中衔接之一---因式分解
新学期第一节课——
初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型 少而且简单，和初中相比，高中数学内容抽象，多 研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论 分析，这与初中相比增加了难度，因此不少同学进 入高中之后很不适应，面对新的教材，新的教学要 求，有时在初中学得不错的学生出现听不懂，学不 会的现象，导致成绩下滑. 造成这一后果的主要原 因是这些同学不了解高中阶段知识的特点，学不得 法，所以高中数学与初中相比，无论是知识的深度、 广度，还是知识的能力要求都是一次质的飞跃，这 就要求同学们必须掌握基础知识与技能,为进一步学 习作好准备。
1、配方法：关于 x 的二次三项式 ax2 bx c a(x b )2 c b2 . (a 0)
2a
初高中数学衔接教材-因式分解和韦达定理
初高中数学衔接教材乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法及待定系数法．1.1．提取公因式法与分组分解法、公式法例1 分解因式：（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）222223223292442456()(1)x y xy a ab b a b x x y xy ya b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）1.2．十字相乘法例2 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．1.3．关于x 的二次三项式ax 2+bx+c(a ≠0)的因式分解．（求根法）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练习： 一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。
01初高中衔接数学(因式分解)(师)
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b+=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b-=-+-． 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．例1：用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x + (2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．变式训练1：分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 22222222()()()()()()()()a a b a a b b a b a a b b a a b a b a a b b a a b b=+-+-++=+-++-+ 二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式例2：把2105ax ay by bx -+-分解因式．别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．变式训练2：分解因式：（1）x y xy x 332-+- （2）22x y ax ay -++小结：分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例3：分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++；解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --变式训练3：把下各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +-(4) 2215x x --p q x x 图1．1－1 －1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－42 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+= 2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++ (3) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (4) 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 把下列各式因式分解：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bxc ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例4：把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+324 1-⨯ (2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- 1 254yy -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．变式训练4：把下列各式因式分解：（1）=++2762x x （2）=+-91242m m（3）=-+2675x x （4）=-+22612y xy x巩固作业：A 组：1．把下列各式分解因式：(1) 327a + (2) 38m -(3) ()()2223y x y x --+ （4）x 2-2x+1 解： 222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ （3）()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++(4) (x-1)22．把下列各式分解因式：(1)933x x x +++ （2）2428x xy y z ++-解：32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++3．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 23736x x ++ (3)21126x x +-(4) 2245m mn n -- (5) 2673x x -- (6) 2282615x xy y +-解：(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+（4）(5)()m n m n -+（5）(21)(35)x x +-B 组：1、若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m2、不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数。
初高中数学衔接：第2讲+因式分解
第2讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)；2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x +(2)30.12527b -解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+2.2提取公因式法与分组分解法【例3】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例4】分解因式：（1）()()255ab a b -+-； （2）32933x x x +++．解：（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．【例5】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++． （2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-练习：1．多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是__________． 2．()()()∙-=-+-y x x y n y x m _____． 3．()()()∙-=-+-222y x x y n y x m ____．4．()()()∙--=-++--z y x x z y n z y x m _________． 5．()()∙--=++---z y x z y x z y x m ______． 6．2105ax ay by bx -+-=_________________ 7．2222()()ab c d a b cd ---【答案】1．2xy ；2．()m n -；3．()m n +；4．()m n -；5．(1)m -．6．21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=-- 7．22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+2.3 十字相乘法2.3.1 形如2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法． 【例7】把下列各式因式分解：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1.1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－p qx x1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1来表示（如图2所示）．（2）由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图5）． 练习：把下列各式因式分解(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +- (4) 2215x x -- 解：(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-，∴276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+=，∴21336(4)(9)x x x x ++=++．(3)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=，∴2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x +-=+-+=-+．(4)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-，∴2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x --=+-+=-+． 【例8】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数；(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．－1 －2x x图1－1 －21 1图2－2 61 1图3－ay －byx x图4－1 1x y图5(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-．2.3.2 形如一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解我们知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bxc ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法．【例9】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 2.4 配方法【例10】把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =--，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．【练习】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 2.5 拆、添项法【例11】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．1．把下列各式分解因式： (1) 327a +(2) 38m -(3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6)3331121627x y c + 2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-(7) 27()5()2a b a b +-+-(8) 22(67)25x x --5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+-(2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +-- (7) 66321x y x --+(8) 2(1)()x x y xy x +-+参考答案1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)nax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．。
初高中数学衔接教材 时因式分解立方和差公式
初高中数学衔接教材第二课时课前练习：解下列不等式：（1）21x -< （2）213x +> (3)13x x -+-＞4．1.1乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-例题解析：例1 计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．（2）42(2)(2)(416)a a a a +-++例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．例3.已知3321,013x x x x +=+-求的值. 针对训练：1.填空，使之符号立方和或立方差公式：(1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27；(3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-82.填空，使之符号立言和或立方差公式：(1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________；(3) ( )(41 -xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________ 3.计算：(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)；(3)(2x-5)(4x 2+25+10x) (4)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)（5） （6） 3.已知x 2+y 2=6，xy=2，求x 6+y 6的值．1.2 分解因式1．分组分解法例1 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）12422+--a b a(3)ay bx by ax +-- (4)x x x x -+-235 (5)14424---a a a2.立方差公式例2.分解因式：（1）66b a - （2）3232)(b m b a m -+ 3.十字相乘法例3.分解因式：(1)226y xy x -- (2)12)(8)(222++-+x x x x(3)25122--x x (4)2675x x -+ 针对训练：（1）232)2(a x a --(2）8a 3－b 3； (3)6466y x - (4)4)4)(2(2-++-x x x(5))(22a a x x --+ (6)y x xy -+-1 \\(7)2265a ax x +- (8)22352x xy y +- (9)m m x m x +++-22)12(。
2024年初高中衔接数学-第2节+因式分解进阶+课件
一般地，分组分解大致分三步：
1. 将原式适当分组 2. 对每一组进行因式分解 3. 将经过处理的式子再分解
练习：
(1) x3 + x2 -y3-y2 = (1) abc +ab+bc+ac+ a+b+c+1 =
进阶：拆项、添项法
因式分解：
1. x3+x2+x-3= x3-1+x2-1+x-1
2. x4+4= x4+4x2+4-4x2
拆项：把多项式的某项拆成两项的和或差. 添项：把代数式添上两个互为相反数的项.
进阶：主元法
因式分解：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z=
解：原式=-(x2-2xy+y2)z+2x3-4x2y+2xy2=-(x2-2xy+y2)z+2x(x2-2xy+y2) =(2x-z)(x-y)2
－8x4y＋6x3y2－3x3y＝－__x_3y_(_8_x_－__6_y_＋__3_).
复习：公式法
1. a2－b2＝(a＋b)·(a－b) 2. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 3. a2－2ab＋b2＝(a－b)2 4. a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2) 5. a3－b3＝(a－b)·(a2＋ab＋b2) 6. a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3 7. a3－3a2b＋3ab2－b3＝(a－b)3 8. a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2
口诀：首尾化积，十字相乘，求和凑中，横向书写
进阶：双十字相乘法（二次六项式）
(1) x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝ (x－y＋1)(x＋3y＋2)
初高中数学衔接预习教材(共19讲)：第2讲因式分解
第 2讲因式分解2.1 公式法【例 1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1)8 x3(2)0.125 27b3【例 2】分解因式：(1)3a3b81b4(2)a7ab62.2 提取公因式法与分组分解法【例 3】把x2y2ax ay 分解因式．【例 4】分解因式：（1）a2 b 5 a 5 b ；（2）x39 3x23x ．【例 5】分解因式：（1）x39 3x23x ；（）2x 2xy y24x 5 y 6．2【例 6】把2x2 4 xy 2 y 28z2分解因式．2.3十字相乘法形如 x2( p q) x pq 型的因式分解【例7】把以下各式因式分解：（ 1） x2－ 3x＋2；（ 2） x2＋ 4x－ 12；（ 3）x2(a b)xy aby2；（ 4）xy 1 x y．【例 8】把以下各式因式分解：(1) x2xy 6 y2(2) (x2x)28( x2x) 122.3.2 形如一般二次三项式ax2bx c 型的因式分解【例 9】把以下各式因式分解：(1) 12x25x 2(2)5x26xy8y 22.4配方法【例 10】把以下对于x 的二次多项式分解因式：（1）2；（） x222x 12x4xy 4 y2.5 拆、添项法【例 11】分解因式x33x241．把以下各式分解因式：(1)a327(2)8 m3(3)27x38(4) 1 p3 1 q3(5) 8x3y31(6) 1 x3y3 1 c3864125216272．把以下各式分解因式：(1)xy3x4(2)x n 3x n y3(3)a2 (m n)3a2b3(4)y2 (x22x) 3y23．把以下各式分解因式：(1)x23x 2(2)x237 x 36(3) x211x 26(4)x2 6 x 27(5)m24mn 5n2(6)(a b)211(a b) 284．把以下各式分解因式：(1)ax510ax416ax3(2)a n 2a n 1b 6a n b2(3)(x2 2 x) 29(4)x47x218(5)6x27 x 3(6) 8x226xy15 y25．把以下各式分解因式：(1)3ax 3ay xy y2(2) 8x34x22x 1(3) 5x215x 2xy 6 y(4)4a220ab 25b236(5)4xy 1 4x2y2(6)a4 b a3 b2a2b2ab4参照答案1．(a3)( a23a 9),(2m)(42m m 2 ),(23x)(46x9x2 ),1(2 p q)(4 p2 2 pq q2 ),(2 xy 1)(4 x2 y22xy1),1( xy 2c)( x2 y22xyc 4c2 )6455252162．x(x y)( y2xy x2 ), x n ( x y)( x2xy y 2 ),a2 (m n b)[( m n) 2b( m n)b2 ], y2 (x1)2 (x44x33x2 2 x1) 3．( x2)( x1),( x 36)( x1),( x 13)( x2),( x9)( x3)( x9)( x3),( m5n)(m n),( a b4)( a b 7)4．ax3(x2)( x8), a n ( a3b)(a2b),( x3)(x1)(x22x3),( x3)( x3)( x22)(2 x3)(3x1),(2 x y)(4 x15 y)5．( x y)(3a y),(2 x1)2 (2 x1),( x3)(5 x2y),(2 a5b6)(2 a5b6) (12x y)(1 2 x y), ab(a b) 2 (a b) ．。
初高中衔接课因式分解
说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或 其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
（5）完全立方公式
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
（6）三数和平方公式
(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac)
8 x3
例5 分解因式：(1)ax5 -10ax4 16ax3
解 : (1)ax3( x 2)( x 8).
(2)8x2 26xy 15 y2
1 2
1 -8
(2)8x2 26xy 15 y2 (2x y)(4x 15 y).
2 -1
4 15
4．求根法
若关于x的方程
的两个实数根是 x1, x2 ，
我们发现，二次项
系数
a
分解成
a1a2
，常数项
c
分解成
c1c2
，把
a1
,
a2
,
c1
,
c2
写成
a1 a2
c1 ，这里按 c2
斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2c1 ，那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
常用乘法公式 （1）平方差公式
a2 b2 (a b)(a b)
《 初、高中衔接：因式分解》教案
分 解 因 式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 说明：前面有*的供选用1．提取公因式法与分组分解法、公式法 例1 分解因式：（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）222223223292442456()(1)x y xy a ab b a b x x y xy ya b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）2．十字相乘法例2 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．－1 －2 x x 图1．2－1－1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．*例3 因式分解：（双十字相乘法）22222(1)282143(2)534(3)2x xy y x y x y x y xy y x y +-++--+++++--3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-． 解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1xx ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2xy =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．－1 1x y图1．2－5练 习1．选择题：（1）多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -（2）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（3）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．3．分解因式：（1）5（x －y ）3+10（y －x ）2()()22222c ab a b c +-+（）·()()()422232x x y x x y xy y x ---+-（） 44322a a -（）（5）8a 3－b 3； （6）x 2＋6x ＋8；（7）4(1)(2)x y y y x -++- （8）424139x x -+；()()422422292033710510596a ab b x x x x -+-+--（）（）*（11）2235294x xy y x y +-++-．*（12）222456x xy y x y +--+-．4．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．5．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．。
初高中衔接教材之因式分解
二、因式分解2-1因式与倍式如同因子与倍数的概念，如果代数式A 可以写成代数式B 与代数式C 的乘积，即A =B ⨯C 。
此时，我们说B 与C 是A 的因式，而A 是B 与C 的倍式。
例如：由232(1)(2)x x x x ++=++，可知1x +与2x +皆为232x x ++的因式，而232x x ++为1x +与2x +的倍式；由22()()x y x y x y -=+-，可知x y +与x y -皆为22x y -的因式，而22x y -为x y +与x y -的倍式。
下面就让我们先从多项式的除法来认识因式与倍式。
【多项式的除法】在小学时，我们会以下列的长除法（直式算法）来求出58除以13的商数为4，余数6：同时，我们也知道：58=13 ⨯ 4+6类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式算法（长除法）；为了简化计算，也常使用分离系数法。
事实上，这两种方法的差别在于计算过程中，有没有将文字符号写出来而已。
【范例1】求2(42)(1)x x x ++÷+的商式及余式。
4 13）58 52 6【解】 方法一：直式算法 方法二：分离系数法答：商式为3x +，余式为1-。
在自然数的除法，我们有下列的规则：其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。
同样的，在多项式的除法中，我们也有类似的规则：其中，除式不为零多项式，商式的次数等于被除式的次数减去除式的次数，且余式的次数要小于除式的次数或为零多项式。
在完成多项式的除法后，为了验证所得结果是否正确，除了重新检视运算过程外，也常用上述「被除式 = 除式 ⨯ 商式+余式」的概念来验算。
例如： (1)(3)(1)x x +++- （除式⨯商式+余式）=2431x x ++- =242x x ++（被除式）【范例2】求32(255)(2)x x x x +++÷+的商式及余式。
【解】答：商式为2x 2+x -1，余式为7。
使用分离系数法时，当除式或被除式缺项时，需要补0。
人教版初高中知识衔接分解因式知识要点
人教版初高中知识衔接分解因式知识要点1.因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．2.因式分解的方法:提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式)、配方法，十字相乘法，分组分解法，拆、添项法，求根法，待定系数法．３．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．４．十字相乘法：2()x p q x pq +++型的因式分解， 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．。
初高中教材衔接第二讲因式分解(初高中衔接教材)
第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各样恒等变形中起侧重要的作用．是一种重要的基本技术．因式分解的方法许多，除了初中课本波及到的提取公因式法和公式法 (平方差公式和完整平方公式 )外，还有公式法 (立方和、立方差公式 )、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等．一、公式法 ( 立方和、立方差公式)a3b3(a b)(a2ab b2 )a3b3(a b)(a2ab b2 )这就是说，两个数的立方和( 差 ) ，等于这两个数的和( 差) 乘以它们的平方和与它们积的差( 和) ．运用这两个公式，能够把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例 1】因式分解：(1)8x3(2)0.12527b3解： (1)8x323x3(2x)(42x x2 ) .(2)0.12527b30.53(3b)3(0.53b)[0.520.53b(3b)2 ](0.5 3b)(0.25 1.5b9b2 ) .说明： (1)在运用立方和 ( 差 ) 公式分解因式时，常常要逆用幂的运算法例，如8a3b3(2 ab)3，这里逆用了法例 (ab)n a n b n；(2)在运用立方和 ( 差 ) 公式分解因式时，必定要看准因式中各项的符．【例 2】因式分解：(1)3a3 b 81b4(2)a7ab6解： (1)3a3b 81b43b(a327b3 )3b(a3b)( a23ab 9b2 ) ．(2)a7ab 6a(a6b6 )a( a3b3 )(a3b3 )a(a b)(a2ab b2 )(a b)(a2ab b2 )a(a b)(a b)( a2ab b2 )(a2ab b2 ).a7ab6a(a6b6 ) a( a2b2 )(a4a2 b2b4 )a(a 2b2 )[( a2b2 )2a2b2 ]a(a b)(a b)(a2ab b2 )( a2ab b2 ).二、分组分解法以前方能够看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主假如二项式和三项式．而关于四项以上的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也没有公因式能够提取．所以，能够先将多项式分组办理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的重点在于怎样分组．【例3】把2ax10ay5by bx 分解因式．解：2ax10 ay5by bx2a( x 5 y)b( x 5 y)( x 5 y)(2 a b) .说明：用分组分解法，必定要想一想分组后可否持续达成因式分解，由此合理选择分组的方法．此题也能够将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不如一试．【例 4】把 ab(c 2 d 2 ) (a 2b 2 )cd 分解因式．解： ab(c 2d 2 ) (a 2 b 2 )cdabc 2 abd 2 a 2cd b 2 cd(abc 2a 2 cd ) (b 2cdabd 2 )ac(bc ad ) bd (bc ad )(bc ad )(ac bd ) .【例 5】把 2x 2 4xy 2 y 2 8z 2 分解因式．解： 2x 24xy 2 y 2 8z 2 2( x 22xy y 2 4z 2 )2[( x y)2(2 z)2 ] 2( xy 2z)( x y2z) .三、十字相乘法1． x 2 ( p q) x pq 型的因式分解(1)二次项系数是 1； (2) 常数项是两个数之积； (3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．x 2( p q)xpq x 2px qx pq x(x p) q( x p)( x p)( x q) .所以， x 2( p q) x pq(xp)( xq) .【例 6】因式分解：(1)x 27 x 6(2)x 2 13x36解： (1)x 2 7x6 [ x ( 1)][ x( 6)] ( x 1)( x 6) ．(2)x 2 13x 36(x 4)( x9) .【例 7】因式分解：(1)x 2 xy 6 y 2(2)( x 2 x) 28( x 2 x) 12解： (1)x 2 xy 6 y 2x 2yx62 (x 3y)(x 2 y) .(2) ( x 2x) 2 8( x 2 x) 12( x 2x 6)( x 2x 2)(x 3)( x 2)( x 2)( x 1) .2．一般二次三项式 ax 2bxc 型的因式分解大家知道， (a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 ) a 1a 2 x 2 (a 1c 2 a 2 c 1 ) x c 1 c 2 ． 反过来，就获得： a 1a 2 x 2 (a 1c 2a 2c 1 ) x c 1c 2(a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 )我们发现，二次项系数a分解成 a 1a 2 ，常数项 c 分解成 c 1 c 2 ，把 a 1 , a 2 , c 1 ,c 2 写成a1c 1，这里按斜a 2 c 2线交错相乘，再相加，就获得a 1 c 2 a 2c 1 ，那么 ax 2 bx c 就能够分解成 (a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 ) ．这类 借助画十字交错线分解系数，进而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【例 8】因式分解：(1) 12 x 2 5x 2(2)5x 26xy 8 y 2解： (1) 12x25x2 (3x 2)(4 x1).3 24 1(2) 5x26 xy 8y2( x2 y)(5 x 4y) .1 254【例 9】因式分解：(1)( x 2 2x) 7( x 2 2x)8(2)x 22x 15 ax 5a剖析： 用十字相乘法分解因式也要注意分解完全，有时可能会多次使用十字相乘法，而且关于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项能够三、二组合.解： (1)原式(x 22x1)( x22x8)( x 1)2 ( x2)( x 4) .(2)原式( x 22x15)(ax5a)( x3)( x 5)a(x 5) (x 5)( x 3 a) .四、配方法【例 10】因式分解 (1)x26x 16（ 2）x24xy 4y2解： (1)x26x 16(x3)252(x 8)( x2) .(2)x24xy 4 y2( x24xy4y2 ) 8 y2( x 2y)28 y2(x 2 y 2 2 y)( x 2 y 2 2y) .说明：这类想法配成有完整平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，而后用平方差公式分解．五、拆 ( 添) 项法【例 11】因式分解x33x24解：x33x2 4 (x31)(3x23)(x1)(x2x1)3( x1)(x1)( x 1)[( x2x 1) 3( x 1)](x1)(x24x4)( x1)( x2) 2.说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按以下步骤进行：(1)假如多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 假如各项没有公因式，那么能够运用公式法或分组分解法或其余方法( 如十字相乘法) 来分解；(3)因式分解一定进行到每一个多项式因式都不可以再分解为止．。
初、高中衔接：因式分解总结
分 解 因 式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 说明：前面有*的供选用1．提取公因式法与分组分解法、公式法 例1 分解因式：（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）222223223292442456()(1)x y xy a ab b a b x x y xy ya b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）2．十字相乘法例2 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．－1 －2 x x 图1．2－1－1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．*例3 因式分解：（双十字相乘法）22222(1)282143(2)534(3)2x xy y x y x y x y xy y x y +-++--+++++--3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-． 解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1xx ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11xx ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2xy =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．－1 1x y图1．2－5练 习1．选择题：（1）多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -（2）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（3）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 3．分解因式：（1）5（x －y ）3+10（y －x ）2()()22222c ab a b c +-+（）·()()()422232x x y x x y xy y x ---+-（） 44322a a -（）（5）8a 3－b 3； （6）x 2＋6x ＋8；（7）4(1)(2)x y y y x -++- （8）424139x x -+；()()422422292033710510596a ab b x x x x -+-+--（）（）*（11）2235294x xy y x y +-++-．*（12）222456x xy y x y +--+-．4．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．5．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解
-4yz + 3x2 - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
因式分解
-4yz + 3x2 - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
解原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2)
= (b + c + 2)(a + x)
因式分解
• 练习2: ab + ac + 2a + bx + cx + 2x
解原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2)
= (b + c + 2)(a + x)
解原式 = b(a + x) + c(a + x) + 2(a + x) = (a + x)(b + c + 2)
解原式 = b(a - 1) + (a - 1) = (a - 1)(b + 1)
因式分解
• 练习6: m3 + 4m4 - 5 - 20m
解原式 = (m3 - 5) + 4m(m3 - 5) = (m3 - 5)(1 + 4m)
解原式= m3(1 + 4m) - 5(1 + 4m) = (1+4m)(m3 - 5)
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x 2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
= (6x －5)(x ＋1) (12x 2＋2x－1 )
1
－5
6
－5
2
－1
－1－10=－11
1
1
－5＋6=1
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
因式分解
• 练习7: 3x3 + 6x2y - 3x2z - 6xyz
解原式 = 33xx(x2 + 2xy - xz - 2yz) = 3x[(x2 + 2xy) - (xz + 2yz)] = 3x[x(x + 2y) - z(x + 2y)]
俗的归纳成：“分组的目的是为了提 取，提取的目的是为了再提取”。
因式分解
将下列各式用分组分解法因式分解
• 练习1: ax + bx + cx + ay + by + cy
解原式 = x(a + b + c) + y(a + b + c)
= (a + b + c)(x + y)
因式分解
• 练习2: ab + ac + 2a + bx + cx + 2x
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例5 将 2x2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 分 解因式
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5x
＋3
=(5x＋3)(x－4) x
－4
－20x＋3x=－17x
例4 将 2(6x 2＋x) 2－11(6x 2＋x) ＋5 分
解原式 = (a + b )2 - (a + b) =(a + b)( a + b - 1)
因式分解
分组
找规律
ma - mb + m2 + mn + na - nb
解原式=(ma + na) - (mb + nb) + (m2 + mn) = a(m + n) - b(m + n) + m(m + n) = (m + n)(a - b + m)
因式分解
• 练习3:
mx + mx2 - n - nx
解原式 = mx(x + 1) - n(x + 1)
= (x + 1)(mx - n)
解原式 = (mx - n) + x(mx - n)
= (mx - n)(x + 1)
因式分解
• 练习4:
ab + a + b + 1
解原式 = a(b + 1) + (b + 1)
初高中衔接教材因式分解
在分组分解法中，我们学习 了形如 x 2＋(p＋q)x＋pq 的式子 的因式分解问题。 即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解： 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 =(2x 2－3xy－2y 2)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
因式分解
将下列各式用分组分解法因式分解 (a + b )2 - a - b
= (b + 1)(a + 1)
因式分解
• 练习5: ab - 1 + a - b
解原式 = a(b + 1) - (b + 1) = (b + 1)(a - 1)
因式分解
• 练习5: ab - 1 + a - b
解原式 = a(b + 1) - (b + 1) = (b + 1)(a
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，
借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 x2－6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=(x－2)(x－4) x
－4
－4x－2x=－6x
练习：分解因式 (x－y)2＋(x－y) －6
对于一般地二次三项式ax＋2 bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
解原式 = (6xy + 3x2) - (4yz + 2xz) = 3x(2y + x) - 2z(2y + x) = (2y + x)(3x - 2z)
因式分解
•分 析
• 在用分组分解法因式分解时，要注意分 组不能使一个多项式变为乘积形式，分 组的目的是分好的各组能提取各自的公 因式同时使各组提取公因式后剩下的多 项式又是各组的公因式，可以再提取， 从而使问题得到解决，上述规律可以通