最新-1、与平行的单位向量是： 精品
立体几何中的向量方法：平行与垂直讲解
3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系【基础知识在线】知识点一 空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系【解密重点·难点·疑点】问题一：空间的方向向量与平面的法向量1. 空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向，这个向量a 叫做直线的方向向量.2. 直线α⊥l ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量.(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量. (2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可.(2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法:设法向量(),,,z y x u =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,00n b n a 得⎩⎨⎧=++=++,00321321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中的任一个赋值，求出另两个，所得u 即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量.4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 :设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则 线线平行：;,////R k b k a b a m l ∈=⇔⇔ 即：两直线平行或重合⇔两直线的方向向量共线． 线线垂直：;0=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a m l即：两直线垂直⇔两直线的方向向量垂直． 线面平行：;0//=⋅⇔⊥⇔u a u a l α 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外．线面垂直：;,//R k u k a u a l ∈=⇔⇔⊥α即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直．面面平行：;,////R k v k u v u ∈=⇔⇔βα 即：两平面平行⇔两平面的法向量共线． 面面垂直：.0=⋅⇔⊥⇔⊥v u v u βα即：两平面垂直两平面的法向量垂直．问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示1. 设直线m l ,的方向向量分别为()()321321,,,,,b b b b a a a a ==，则 线线平行：().,,////212121R k kc c kb b ka a b k a b a m l ∈===⇔=⇔⇔2. 设直线l 的方向向量分别为(),,,321a a a a =平面α的法向量分别为()321,,b b b u =， 线面平行：.00//212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔c c b b a a u a u a l α3.平面βα,的法向量分别为()()321321,,,,,b b b v a a a u ==，面面平行：().,,,////212121R k kc c kb b ka a v k u v u ∈===⇔=⇔⇔βα问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示1.设直线m l ,的方向向量分别为()()321321,,,,,b b b b a a a a ==，则 线线垂直：.00212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔⊥c c b b a a b a b a m l2.设直线l 的方向向量分别为(),,,321a a a a =平面α的法向量分别为()321,,b b b u =， 线面垂直：().,,,//212121R k kc c kb b ka a u k a u a l ∈===⇔=⇔⇔⊥α3.平面βα,的法向量分别为()()321321,,,,,b b b v a a a u ==， 面面垂直：.00212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔⊥c c b b a a v u v u βα【点拨思维·方法技巧】 一．求平面的法向量例1已知平面α经过三点()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1--C B A ，试求平面α的一个法向量． 【思维分析】先求出,,AC AB ，设出平面α的法向量为()z y x u ,,=，结合向量垂直时数量积为零的性质，联立方程组解题. [解析]()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1--C B A ，()(),3,4,2,4,2,1-=--=∴AC AB ，设平面α的法向量为()z y x u ,,=， 依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC u ABu即⎩⎨⎧=--=--0342042z y x z y x ，解得⎩⎨⎧==02z y x .令2,1==x y 则.∴平面α的一个法向量为()0,1,2=u ．【评析】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，设出平面的法向量,列出方程组，求出的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，取其中一组解(非零向量)即可．变式训练１．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是DCBB ,1AEF D A 11的法向量.证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1,0,21,1,1,0,0,1AE E A ,图3-2-1()(),01,1,0,21,0,01,011=⎪⎭⎫⎝⎛=A F D()0,0,1,1,21,0111-=⎪⎭⎫⎝⎛-=D A F D ．0,02121111=⋅=-=⋅D A AE F D AE ，111,D A AE F D AE ⊥⊥ , 又1111D D A F D = ，⊥∴AE 平面FD A 11AE ∴是平面F D A 11的法向量.． 二.证明平行问题例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：C B 1∥平面1ODC . 【思维分析】在平面内找与向量C B 1平行的向量D A 1，由向量的相等，得线线平行，从尔的线面平行.也可建立空间直角坐标系，求C B 1的方向向量和平面1ODC 的法向量，利用向量的垂直，可得线面平行.证明 方法一1B C =1A D ，又D A B 11∉,D A C B 11//∴,又⊂D A 1平面1ODC ， C B 1∴∥平面1ODC .方法二建系如图，设正方体的棱长为1，则可得()()()1,1,0,1,21,21,0,1,0,1,1,111C O C B ⎪⎭⎫⎝⎛，图3-2-2()⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--=0,21,21,1,21,21,1,0,111OC OD C B .设平面1ODC 的法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001OC n OD n ， 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=---0212102121y x z y x ，令1=x ，得1,1-==z y ，()1,1,1-=n ．()()01110111=-⨯-+⨯+⨯-=⋅∴n C B ， n C B ⊥∴1，C B 1∴∥平面1ODC .【评析】 向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径，一是在平面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证明平行．变式训练2．已知正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别在C D DB 1,上，且a F D DE 321==，其中a 为正方体棱长． 求证：EF ∥平面C C BB 11. 证明如图所示，建立空间直角坐标系xyz D -，则,32,3,0,0,3,3⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a F a a E 故⎪⎭⎫⎝⎛--=3,0,32a a EF ，又()0,,0a AB =显然为平面C C BB 11的一个法向量， 而()03,0,320,,0=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⋅a aa EF AB ，图3-2-3∴AE ⊥EF .又∉E 平面C C BB 11，因此EF ∥平面C C BB 11. 三.证明垂直问题例3.已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 上的动点．（1）求证：BD E A ⊥1；（2）若平面⊥BD A 1平面EBD ，试确定点E 的位置．【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于（1），110A E BD A E BD =⇒⊥；对于（2），利用已知条件平面⊥BD A 1平面EBD ，通过垂直条件下的向量数量积等于0，求得点E 的位置；取BD 的中点O ，易证OE A 1∠是二面角E BD A --1的平面角，利用向量数量积证明10AO EO =即可．[解析]以1,,DD DC DA 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设棱长为a ． （1）()()()()()a a C a a A a C a a B a A ,,0,,0,,0,,0,0,,,0,0,11， 设()m a E ,,0，则()()0,,,,,1a a BD a m a a E A --=--=，22100A E BD a a =-+=，所以BD E A ⊥1，即BD E A ⊥1．（2）法一：设BD 的中点为O ，连接OE ，1OA ,则⎪⎭⎫⎝⎛0,2,2a a O ， 所以()0,,,,2,2a a BD m a a OE --=⎪⎭⎫⎝⎛-=， 因为BCE ∆≌DCE ∆,所以EB ED =，所以BD OE ⊥,图3-2-4又⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a OA ,2,21，所以10OA BD =,所以BD OA ⊥1,所以OE A 1∠是二面角E BD A --1的平面角，因为平面⊥BD A 1平面EBD ，所以21π=∠OE A ， 所以10OA OE =，即2,04422a m am a a =∴=+--． 故当E 为1CC 的中点时，能使平面⊥BD A 1平面EBD ． 法二：E 为1CC 的中点，证明如下：由E 为1CC 的中点得⎪⎭⎫ ⎝⎛2,,0a a E ， 设BD 的中点为O ，连接OE ，1OA ,则⎪⎭⎫⎝⎛0,2,2a a O ， 所以()0,,,2,2,2a a BD a a a OE --=⎪⎭⎫⎝⎛-=，则0O EB D =，BD OE ⊥，即BD OE ⊥．又⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a OA ,2,21，所以10OA BD =,所以BD OA ⊥1,所以OE A 1∠是二面角E BD A --1的平面角，因为22210442a a a OA OE =--+=，所以OE OA ⊥1， 故OE OA ⊥1,即21π=∠OE A ，所以平面⊥BD A 1平面EBD ． 所以当E 为1CC 的中点时，能使平面⊥BD A 1平面EBD ．【评析】利用向量解决立体几何中的线线，线面，面面的位置关系问题一般经过以下几个步骤：恰当建系，求相关点的坐标，求相关向量坐标，向量运算，将向量运算结果还原成立体几何问题或结论．变式训练3． 在正棱锥ABC P -中，三条侧棱两两互相垂直，G 是PAB ∆的重心，F E ,分别为PB BC ,上的点，且2:1::==FB PF EC BE . 求证：平面GEF ⊥平面PBC . 证明 (1)方法一如图3-2-5所示，以三棱锥的顶点P 为原点，建立空间直角坐标系． 令3===PC PB PA ，则()()()()1,2,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3E C B A , ()()()0,0,0,0,1,1,0,1,0P G F ．()()0,0,1,0,0,3==∴FG PA ， FG PA FG PA //,3∴=∴ .而PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ，又⊂FG 平面GEF ，∴平面GEF ⊥平面PBC . 方法二 :同方法一，建立空间直角坐标系，则()()()0,1,1,0,1,0,1,2,0G F E ,()(),1,1,1,1,1,0--=--=EG EF设平面GEF 的法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EG n EF n ， 得0,0,y z x y z +=⎧⎨--=⎩，令1=y ，得0,1=-=x z ，()1,1,0-=n ． 而显然()0,0,3=PA 是平面PBC 的一个法向量. 又PA n PA n ⊥∴=⋅,0，即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量互相垂直，∴平面GEF ⊥平面PBC . 【课后习题答案】 练习（第104页）1.(1)答案：平行.提示：()()a b 32,1,236,3,6=--=--=.（2）答案：垂直.提示：()()()()02232212,3,22,2,1=⨯-+⨯+-⨯=-⋅-=⋅b a ,b a ⊥. （3）答案：平行.提示：()()a b 31,0,033,0,0-=-=-=.图3-2-52.提示：（1）.,,0βα⊥∴⊥∴=⋅v u v u （2）.//,//βα∴v u （3）u 与v 不垂直，也不平行，α∴与β相交.【自主探究提升】夯实基础1.已知()(),5,6,2,,3,8b n a m ==若m ∥n ，则b a +的值为( ) A.0 B.25 C.221 D.8答案:C . 提示：m ∥n ,()(),5,6,2,3,8b k a =∴即ka k bk 5,63,28===21=∴k 故8,25==b a ,221825=+=+b a .2. 已知()(),2,2,,2,5,1+=-=a a n m 若⊥m n ，则a 的值为( ) A.0B.6C.-6D.±6答案:B. 提示： ⊥m n ,()022251=+⨯-⨯+⨯∴m m ,6=∴m .3．平面α的一个法向量为()0,2,1，平面β的一个法向量为()0,1,2-，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定 答案: C.提示： ()()00,1,20,2,1=-⋅ ， ∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．4．已知()()y x b a ,,3,5,4,2==分别是直线21,l l 的方向向量，若1l ∥2l ，则( ) A ．15,6==y x B ．215,3==y xC ．15,3==y xD ．215,6==y x答案:D提示：1l ∥2l ，b a //∴， 则有yx 5432==，解方程得215,6==y x .5. 在正三棱柱111C B A ABC -中，B A C B 11⊥. 求证：B A AC 11⊥.证明: 建立空间直角坐标系xyz C -1， 设b CC a AB ==1,， 则()(),0,,0,,,0,0,2,23,,2,2311a B b a B a a A b a a A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛()()0,0,0,,0,01C b C ， ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴b aa ACb a C B b a a B A ,2,23,,,0,,2,23111. B A C B 11⊥ ，022211=+-=⋅∴b a B A C B ,而022211=-=⋅b a B A AC , B A AC 11⊥∴,即B A AC 11⊥.拓展延伸6．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g答案：D. 提示：2//;3//;b a a b d c d c =-⇒=-⇒而零向量与任何向量都平行.7．若直线l 的方向向量为()2,0,1=a ，平面α的法向量为()4,0,2--=u ，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．α⊂lD ．l 与α斜交图3-2-6答案： B. 提示：()()a u 22,0,124,0,2-=-=--= ，a u //∴，l ∴⊥α.8．已知()()1,3,2,1,1,1B A -，则直线AB 的模为1的方向向量是________________． 答案:⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛32,32,31,32,32,31 . 提示：()3,2,2,1==AB AB , 直线AB 的模为1的方向向量是()2,2,131±=±AB AB. 9．已知平面α经过点()0,0,0O ，且()1,1,1=u 是α的法向量，()z y x N ,,是平面α内任意一点，则z y x ,,满足的关系式是________________．答案: 0=++z y x . 提示：由题意()()0,,1,1,1=⋅=⋅z y x ON u ，即0=++z y x .10．若直线b a ,是两条异面直线，它们的方向向量分别是()1,1,1和()2,3,2--，则直线b a ,的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．答案:()5,4,1- (答案不唯一).提示： 设直线b a ,的公垂线的一个方向向量为()z y x u ,,=，b a ,的方向向量分别为b a ,，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00b u a u ,即⎩⎨⎧=--=++02320z y x z y x , 令1=x ，得5,4-==z y ，()5,4,1-=∴u .11．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a = ，则=z y x ::________________.答案:2:3:(4)-. 提示： 77(1,3,),(2,1,),0,0,44AB AC AB AC αα=--=---== 2243,::::()2:3:(4)4333x y x y z y y y z y ⎧=⎪⎪=-=-⎨⎪=-⎪⎩12.若非零向量()(),,,,,,222111z y x b z y x a ==则212121z z y y x x ==是a 与b 同向或反向的( )A.充分不必要条件B.C.充要条件D.不充分不必要条件答案:A.212121z z y y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立.13.如图3-2-7(a)所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，090=∠=∠CEF BCF ，2,3==EF AD .求证：AE ∥平面DCF.证明: 如图3-2-7（b ）所示，以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz C -.设c CF b BE a AB ===,,，则()()()0,0,3,,0,3,0,0,0B a A C ， ()()0,,0,0,,3c F b E , ()()(),0,,0,0,0,3,,,0b BE CB a b AE ==-=∴0,0=⋅=⋅∴BE CB AE CB ，BE CB AE CB ⊥⊥∴,.⊥∴CB 平面ABE ，又⊥CB 平面DCF ，∴平面ABE ∥平面DCF ，故AE ∥平面DCF .14. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱BC AB ,的中点，试在棱1BB 上找一图3-2-7（a ） (b)点M ，使得M D 1⊥平面1EFB .解析：建立空间直角坐标系x y z D -，设正方体的棱长为2，则()()()()2,2,2,2,0,0,0,2,1,0,1,211B D F E ．设()m M ,2,2，则()()()2,2,2,2,1,0,0,1,111-=---=-=m M D E B EF , ∵M D 1⊥平面1EFB∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥E B1,0,0111=⋅=⋅∴E B M D EF MD于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,⎧⎨⎩()1,2,2,1M m ∴=∴,即M 为棱1BB 的中点.图3-2-8。
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
向量平行公式
向量平行公式1. 引言在向量运算中，平行是一个重要而常见的概念。
两个向量平行意味着它们的方向相同或相反，即它们的夹角为0度或180度。
本文将介绍向量平行的定义、判定方法以及相关的公式。
2. 向量平行定义在二维和三维向量空间中，如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。
具体而言，向量u和向量v平行的条件为：•如果存在一个实数k (k ≠ 0)，使得向量u = k * v，则向量u和向量v平行。
这个定义表明，两个平行向量的长度可以不相等，只要它们的方向相同或相反即可。
3. 判定向量平行的方法在实际问题中，我们常常需要判定两个向量是否平行。
以下列举了两种常用的方法：3.1 使用坐标法如果给定向量u = (u1, u2) 和向量v = (v1, v2)，则可以使用坐标法判定它们是否平行。
具体步骤如下：1.比较两个向量的坐标比值，即计算k = *u**1* /*v**1* = *u**2* / *v**2*。
2.如果k相等且非零，则向量u和向量v平行。
3.如果k等于零，则向量u和向量v垂直。
4.如果k不相等，则向量u和向量v既不平行也不垂直。
3.2 使用内积（点积）法向量u和向量v的内积（也称为点积）可以用来判定它们是否平行。
内积的计算方法如下：1.计算向量u和向量v的内积：u · v = *u**1* * *v**1*+ *u**2* * *v**2* + … + *u**n* * *v**n*。
2.计算向量u的长度：|u| = √(u12 + u22 + … +*u**n*2 )。
3.计算向量v的长度：|v| = √(v12 + v22 + … +*v**n*2 )。
4.如果u · v = |u| * |v|，则向量u和向量v平行。
4. 向量平行公式在向量运算中，有几个常见的向量平行的公式，它们在解题过程中起到了重要的作用。
以下是几个常见的向量平行公式：4.1 向量倍数关系根据向量平行的定义，向量u和向量v平行的条件为u = k* v。
人教A版高考总复习文科数学精品课件 第5章 平面向量及其应用、复数 第1节 平面向量的概念及线性运算
角形的问题,可考虑利用向量知识来求解
对点训练2(2021云南昆明一中高三月考)设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,
且a-b=c,则a,b的夹角为
.
答案:60°
解析:设 a=,b=,则 c=a-b=,
则 a,b 的夹角为∠AOB,如图.
||
||
2.向量的线性运算
向量运算
加法
定义
求两个向量
和的运算
法则(或几何意义)
运算律
(1)交换律:
a+b=b+a;
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减去一个向
减法
量相当于加
上这个向量
的相反向量
a-b=a+(-b)
向量运算
数乘
定义
法则(或几何意义)
|λa|=|λ||a|;当λ>0时,λa的方
形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线及相似三角形的对
应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、
合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的线性运算中同样适用.
对点训练 3(2021 河南新乡二模)在△ABC 中, =
又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则| |=||, ∥ 且, 方向相同,因此 = .
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
高三复习-向量平行公式和垂直公式是什么
向量平行公式和垂直公式是什么平面向量平行对应坐标交叉相乘相等，即x1y2＝x2y，垂直是内积为0。
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。
零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。
我们规定：零向量与任一向量平行。
平行于同一直线的一组向量是共线向量。
a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
向量平行、垂直公式a,b是两个向量a=（a1,a2）b=（b1,b2）a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数a垂直b：a1b1+a2b2=0向量相关定义负向量如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB 叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。
零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0。
零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。
规定：所有的零向量都相等。
当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示相同向量。
自由向量始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。
数学中只研究自由向量。
滑动向量沿着直线作用的向量称为滑动向量。
固定向量作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。
位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。
方向向量直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。
相反向量与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，有-(-a)=a，零向量的相反向量仍是零向量。
平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b 平行（共线），记作a∥b。
向量平行公式和垂直公式
向量平行公式和垂直公式向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
在向量运算中，判断向量是否平行或垂直是一项基础的操作。
本文将详细介绍向量的平行公式和垂直公式，并通过数学推导和几何解释来说明其原理和应用。
一、向量的定义和表示法向量是带有方向的量，可以用有序的两个点来表示。
通常使用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在笛卡尔坐标系中，向量通常用坐标表示，例如向量a可以表示为：a=(x,y)其中，x表示向量在x轴方向上的分量，y表示向量在y轴方向上的分量。
二、向量的平行概念两个向量a和b平行的概念是指它们的方向相同或相反。
具体来说，如果存在一个实数k，使得向量a与向量b的每个对应分量满足以下关系：a=k*b其中，k表示两个向量的比例因子。
如果k为正数，则表示两个向量的方向相同；如果k为负数，则表示两个向量的方向相反。
三、向量的平行判断公式根据向量的平行定义，可以推导出判断两个向量平行的方法。
假设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，向量a与b平行的条件可以表示为：x1/x2=y1/y2这个条件说明，两个向量的x轴分量和y轴分量的比例相等时，它们是平行的。
从几何上来看，这表示两个向量在坐标平面上的斜率相等，即它们的直线方程具有相同的斜率。
四、向量的垂直概念两个向量a和b垂直的概念是指它们的方向互为正交。
具体来说，如果向量a与向量b的内积等于0，则表示它们垂直。
内积的定义为：a·b=x1*x2+y1*y2其中，x1和y1分别是向量a的x轴分量和y轴分量，x2和y2分别是向量b的x轴分量和y轴分量。
五、向量的垂直判断公式根据向量的垂直定义，可以推导出判断两个向量垂直的方法。
向量a 和向量b垂直的条件可以表示为：x1*x2+y1*y2=0这个条件说明，两个向量的内积为0时，它们是垂直的。
从几何上来看，这表示两个向量在坐标平面上的直角。
空间向量例题及解答
C空间向量及其坐标运算例1：在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -+- B ．++2121C ．1122a b c -- D ．+--2121练习：已知长方体ABCD-A'B'C'D'，设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的点，且BN ∶NC'=3∶1，并且MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ例2 ：已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b求y x ,的值.练习1：点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，=＋＋xOM OA OB OC , 则x =练习2：下面命题正确的个数是 （ ）①若23p x y =+，则p 与x 、y 共面；②若23MP MA MB =+，则M 、P 、A 、B 共面；③若0OA OB OC OD +++=，则A 、B 、C 、D 共面；④若151263OP OA OB OC =+-，则P 、A 、B 、C 共面； A.1 B. 2 C.3 D.4练习3：如图,已知空间四边形ABCD 中,向量AB a =,AC b =,AD c =若M 为BC 的中点,G 为BCD △ 的重心，GM xa yb zc =++， 则(),,x y z =练习4：一正方体1111ABCD A BC D -，P 、M 为空间中任意两点，若1167PM PB AA BA AD =++-，那么点M 一定在 平面内例3：已知4,135,λ===⊥a b m =a +b,n =a +b,a,b m n ，则λ=练习1：若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°，则|OA -OB +2OC |＝C1练习2：若(3)a b +⊥)57(b a -，且(4)a b -⊥)57(b a -，则a 与b的夹角为____________。
向量的平行公式和垂直公式
向量的平行公式和垂直公式1. 向量基础知识向量，这玩意儿听上去有点高大上，其实就是我们生活中随处可见的方向和大小的结合。
想象一下，你站在一个十字路口，向东走三步，向北走四步，这就是一个向量的简单例子。
其实，向量就像一把钥匙，能打开数学的大门，带你走进几何的世界。
它不仅能表示物体的运动，还能用来描述力、速度等各种物理现象，简直是个万能小助手！所以，今天咱们就来聊聊向量的平行和垂直，看看它们有什么有趣的地方。
2. 向量的平行公式2.1 什么是平行首先，咱们得弄清楚“平行”这个词的意思。
简单来说，两条向量平行，就是它们在同一条线上，或者说它们的方向一致。
打个比方，就像两条路平行而行，永远不会相交。
不过，想要判断向量是不是平行，咱们得用个公式来帮助咯。
2.2 平行公式那么，平行公式是什么呢？在数学里，如果有两个向量 (mathbf{a = (x_1, y_1)) 和(mathbf{b = (x_2, y_2))，那么它们平行的条件就是存在一个非零的常数 (k)，使得：mathbf{b = k cdot mathbf{a。
听上去有点复杂，但其实就是把一个向量拉伸或缩短，方向不变。
换句话说，如果你把一根铅笔放在桌子上，然后再用一根长短不一的铅笔跟它平行放着，只要这两根铅笔的方向一致，那它们就是平行的！所以，记住，只要能找到那个(k)，平行就搞定了。
3. 向量的垂直公式3.1 什么是垂直再说说“垂直”，这可就有趣了！垂直的意思就是两条向量交叉，形成一个直角。
就像在一个十字路口，车可以向北走，也可以向东走，彼此之间恰好形成90度。
想象一下，如果你在做一场舞蹈表演，向左转的时候另一位舞者恰好向前走，这就是完美的垂直。
3.2 垂直公式那么，怎样才能知道两个向量是不是垂直呢？这就要用到向量的点积（也就是内积）了！如果两个向量 (mathbf{a = (x_1, y_1)) 和 (mathbf{b = (x_2, y_2)) 的点积为零，那么它们就是垂直的。
2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算(练习)教师版
第10讲 向量的概念和线性运算（练习）夯实基础一、单选题1．（2021·天津市第八中学高一月考）有关向量a 和向量b ，下列四个说法中： ①若0a =，则0a =； ②若a b =，则a b =或a b =-；③若//a b ，则a b =； ④若0a =，则0a -=.其中的正确有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由零向量的定义、向量的模、共线向量的定义，即可得出结果.【详解】由零向量的定义，可知①④正确；由向量的模定义，可知②不正确；由向量共线可知③不正确.故选：B2．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB （ ）A ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144AB ACD ．1344AB AC 【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得：1122EB ED DB AD CB =+=+= 111()()222AB AC AB AC ⨯++-3144AB AC =-. 故选：A ．3．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）平行四边形ABCD 中，BC BA CD +-等于（ ）A ．CBB ．BC C ．D ．AC 【答案】B【分析】由平行四边形ABCD 得，BA CD =，由此可得选项.【详解】在平行四边形ABCD 中，BA CD =，所以BC BA CD BC +-=，故选：B.4．（2021·浙江高一期末）已知AM 是ABC 的BC 边上的中线，若,AB a AC b ==，则AM 等于（ ）A ．()12b a -B ．()12a b +C ．()12a b -D ．()12a b -+ 【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算可求得结果.【详解】因为AM 是ABC 的BC 边上的中线，所以M 为BC 的中点，所以AM AB BM =+12AB BC =+()12AB AC AB =+- 11112222AB AC a b =+=+. 故选：B5．（2021·江苏省昆山中学高一月考）已知点O 为ABC 所在平面内一点，若动点P 满足()()0OP OA AB ACλλ=++，则点一定P 经过ABC 的（ ） A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心 【答案】D【分析】取BC 的中点D ，由()()0OP OA AB AC λλ=++，得2AP AD λ=，从而可得AP 与AD 共线，得直线AP 与直线AD 重合，进而得结论【详解】解：取BC 的中点D ，则2AB AC AD +=，因为()()0OP OA AB ACλλ=++，所以2AP AD λ=，所以AP 与AD 共线，即直线AP 与直线AD 重合，所以直线AP 一定过ABC 的重心，故选：D6．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一月考）下列各式中不能化简为AD 的是（ ）A ．()AB DC CB --B ．()AD CD DC -+ C ．()()CB MC DA BM -+-+D ．BM DA MB --+【答案】D【分析】根据向量加减法的法则，分别判断每个选项，得到正确答案.【详解】()AB DC CB AB BC CD AD --=++=； ()0AD CD DC AD AD -+=-=；()()()CB MC DA BM CB BM DA MC CM DA CM AD -+-+=-+--=--+=； 2BM DA MB MB AD AD --+=+≠.故选：D.【点睛】本题考查向量的加减运算，关键是准确灵活使用向量的加法和减法运算法则，注意使用相反向量进行转化.7．（2021·浙江高一期末）下列各式中，不能化简为PQ 的是（ ）A ．PA AB BQ +-B ．()()AB PC BA QC ++- C ．QC QP CQ -+D ．()AB PA BQ ++【答案】A 【分析】直接利用向量的加减法一一计算即可.【详解】对于A: PA AB BQ PB BQ +-=-;对于B: ()()AB PC BA QC AB BA PC QC CQ CP PQ ++-=++-=-=;对于C: QC QP CQ QC CQ QP PQ -+=+-=;对于D: ()AB PA BQ AB BQ PA PA AQ PQ ++=++=+=.故选：A二、填空题8．（2021·天津市第八中学高一月考）CD AM BC MB +++=___________.【答案】AD【分析】利用向量加法的三角形法则化简可得结果.【详解】CD AM BC MB AM MB BC CD AD +++=+++=.故答案为：AD .9．（2021·浙江高一期末）已知向量(),3a x =，()4,6b =且//a b ，则x =___________.【答案】2【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于x 的等式，由此可解得实数x 的值.【详解】已知向量(),3a x =，()4,6b =且//a b ，则64312x =⨯=，解得2x =. 故答案为：2.10．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，已知AD =3，B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有___________.【答案】,,,,,AC CA BD DB AD DA【分析】结合图形，分模长为2或3的向量求解.【详解】满足条件的向量有以下几类：模长为2的向量有：,,,AC CA BD DB .模长为3的向量有：,AD DA .故答案为：,,,,,AC CA BD DB AD DA11．（2021·江苏高一课时练习）若点A (－2，0)，B (3，4)，C (2，a )共线，则a ＝________. 【答案】165【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为A (－2，0)，B (3，4)，C (2，a ),所以(5,4),(4,),AB AC a →→==因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC →→，故5a －16＝0，所以a ＝165. 故答案为：165. 12．（2021·江苏高一课时练习）与向量()3,4a -＝平行的单位向量是________. 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设所求单位向量的坐标为(),x y ，由与向量()3,4-平行可得340y x --=，又由其为单位向量，则221x y +=，联立即可求出答案．【详解】解：设所求单位向量的坐标为(),x y ，由与向量()3,4-平行可得340y x --=，又由其为单位向量，则221x y +=， ∴224301x y x y +=⎧⎨+=⎩得：3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭13．（2021·全国高一课时练习）菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，|AB |＝1，则||BC CD +＝_____．【答案】1 【分析】易知ABD 为等边三角形，再利用平面向量的加法运算求解.【详解】因为在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°， 所以△ABD 为等边三角形，所以||||||1BC CD BD AB +===|．故答案为：114．（2021·全国高一课时练习）已知点()3,4A -与()1,2B -，点P 在直线AB 上，且AP PB =，则点P 的坐标为________．【答案】()1,1-【分析】根据模长相等关系可确定P 为线段AB 中点，由中点坐标公式计算得到结果.【详解】P 在直线AB 上，且AP PB =，P ∴为线段AB 中点，又()3,4A -，()1,2B -，()1,1P ∴-.故答案为：()1,1-.三、解答题15．（2021·江苏高一课时练习）已知点A (3,－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP |＝|PB |，求点P 的坐标.【答案】(1,－1).【分析】由||||AP PB =且P 在直线AB 上，知：P 在A 、B 之间，结合向量的坐标表示及AP PB =，可求P 的坐标.【详解】设P 点坐标为(x ,y )，又||||AP PB =知：P 在线段AB 上， ∴AP PB =，即 (x －3,y ＋4)＝(－1－x ,2－y )，∴3142x x y y -=--⎧⎨+=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩. ∴P 点坐标为(1,－1).16．（2021·全国高一课时练习）已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1,－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．【答案】D 可能为(0,1)-或(2,3)-或(6,15)．【分析】根据四点构成平行四边形分别为ABCD 时AB DC =、ABDC 时AB CD =、ADBC 时AD CB =，利用向量的坐标表示即可求D 的坐标.【详解】设点D 的坐标为(x ,y )，（1）当平行四边形为ABCD 时，即有AB DC =，∴(4,6)－(3,7)＝(1,－2)－(x ,y )，∴1121x y -=⎧⎨--=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩， ∴(0,1)D -．（2）同理，当平行四边形为ABDC 时，AB CD =，得(2,3)D -．（3）同理，当平行四边形为ADBC 时，AD CB =，得(6,15)D ．综上，D 可能为(0,1)-或(2,3)-或(6,15)．17．（2020·全国高一课时练习）已知(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =．（1）求3a b c +-的坐标；（2）求满足条件a mb nc =+的实数m ，n ．【答案】（1）(4，7)；（2）58,99m n ==. 【分析】（1）利用向量的坐标运算即可求3a b c +-的坐标.（2）由已知线性关系，结合坐标表示得到4322m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解方程组即可. 【详解】（1）根据题意，(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =，则3(9a b c +-=,6)(1+-,2)(4-,1)(4=,7)，（2）根据题意，若a mb nc =+，即(3,2)(1m =-,2)(4n +,1)，则有4322m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解可得5989m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故58,99m n ==. 18．（2020·全国高一单元测试）已知平面向量,a b ，(1,2)a =.(1)若(0,1)b =，求2a b +的值；(2)若(2,)b m =，a 与a b -共线，求实数m 的值.【答案】（1；（2）4.【分析】（1）求出2a b +，即可由坐标计算出模；（2）求出a b -，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ，所以2|2|14a b +=+=(2)(1,2)m -=--a b ，因为a 与a b -共线，所以1(2)2(1)0m ⨯--⨯-=，解得m ＝4.19．（2020·威远中学校高一月考（理））设两个非零向量a 与b 不共线.（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：,,A B D 三点共线.（2）试确定实数k ，使ka b +和a kb +反向共线.【答案】（1）见解析（2）1k =-【分析】（1）运用向量共线定理，证得AB 与BD 共线，即可得证；（2）由题意可得存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+，展开后，运用方程思想，即可得到所求值．【详解】（1）证明：∵AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，∴()()283283355BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+=. ∴AB 、BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线（2）∵ka b +与a kb +反向共线，∴存在实数()0λλ<，使()ka b a kb λ+=+ 即ka b a kb λλ+=+，∴()()1k a k b λλ-=-∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴10k k λλ-=-=，∴210k -=，∴1k =±，∵0λ<，∴1k =-【点睛】本题考查向量共线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 能力提升一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）向量PA →＝(k ，12)，PB →＝(4，5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为（ ）A ．－2B ．11C ．－2或11D ．2或11 【答案】C【分析】求出,AB BC →→的坐标即得解.【详解】由题得AB PB PA →→→=-＝(4－k ，－7)，BC PC PB →→→=-＝(6，k －5)， 由题知//AB BC →→，故(4－k )(k －5)－(－7)×6＝0，解得k ＝11或k ＝－2.故选：C【点睛】结论点睛：1122(,),(,),//a x y b x y a b →→→→==则12210x y x y -=.2．（2021·全国高一课时练习）已知()1,3A -、18,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且A 、B 、C 三点共线，则点C 的坐标可以是（ ）A ．()9,1-B ．()9,1-C ．()9,1D ．()9,1-- 【答案】C【分析】本题首先可设点C 的坐标为(),x y ，然后通过题意得出//AB AC ，再然后写出AB 、AC ，最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果.【详解】设点C 的坐标为(),x y ，因为A 、B 、C 三点共线，所以//AB AC ，因为()1,3A -，18,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以77,2AB ，1,3AC x y ，则773102y x ，整理得27x y -=，将()9,1-、()9,1-、()9,1、()9,1--代入27x y -=中，只有()9,1满足，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查通过三点共线求点坐标，主要考查向量平行的相关性质，若11,a x y ，22,b x y ，//a b ，则12210x y x y -=，考查计算能力，是中档题.3．（2021·湖南长沙一中高一月考）在ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点，若AB x AC y AD =+，则（ ）A ．1x >B ．1y >C ．1x y +>D ．1xy 【答案】B【分析】设()01BD BC λλ=<<，由此用,AC AD 表示出AB ，则可得,x y 关于λ的表示，从而通过计算可判断出正确的选项.【详解】设()01BD BC λλ=<<，所以AD AB AC AB λλ-=-，所以()1AB AD AC λλ-=-，所以111AB AD AC λλλ=---， 所以1,11x y λλλ=-=--，所以01x λλ=-<-，11=11111y λλλλλλ-+==+>---， 又111x y λλ-+==-，()201xy λλ=-<-，故选：B.【点睛】结论点睛：已知平面中、、A B C 三点共线 (O 在该直线外)，若OA xOB yOC =+，则必有1x y +=.4．（2021·浙江高一期末）在ABC 中，M 为边BC 上的点，且2xAM AB y AC =+，满足则5432y x x y+++（ ）A ．有最小值8+B ．有最小值332C ．有最小值12D ．有最小值16【答案】D【分析】由,,M B C 三点共线得12xy +=，然后用基本不等式求最小值． 【详解】因为M 在边BC 上，且2xAM AB y AC =+，所以12x y +=且0,0x y >>， 5432534253422y x y x y x x y x y x y x y x y x y ⎛⎫++⎛⎫+=+++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭494416x y y x =++≥+=，当且仅当49x y y x =，即64,77x y ==时等号成立． 故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的三点共线，考查用基本不等式求最值．基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等，本题中原式没有定值，因此利用“1”的代换凑配出积为定值，这样和才有最小值．5．（2019·四川德阳市·什邡中学）已知O 为四边形ABCD 所在的平面内的一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA OC OB OD +=+，若点E 为AC 的中点，则EABBCDS S ∆∆=（ ） A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】B【分析】由OA OC OB OD +=+可得BA CD =，再由平行四边形数形结合求解即可. 【详解】∵向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA OC OB OD +=+， ∴OA OB OD OC -=-，即BA CD =，则四边形ABCD 为平行四边形，∵E 为AC 的中点，∴E 为对角线AC 与BD 的交点， 则EAB ECD ADE BCE S S S S ∆∆∆∆===，则12EAB BCD S S ∆∆=， 故选B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算及数形结合的能力，属于中档题.6．（2020·榆树市第一高级中学校高一期末）已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）A．(1⎤⎦B．(1⎤⎦ C．1⎤⎦D．)1,+∞【答案】C【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系,O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围.法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题. 二、填空题7．（2021·全国高一课时练习）ABC 是正三角形，给出下列等式： ①AB BC BC CA +=+； ②AC CB BA BC +=+； ③AB AC CA CB +=+；④AB BC AC CB BA CA ++=++．其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号) 【答案】①③④【分析】作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，AB BC AC +=，BC CA BA +=，AC BA =，①正确；对于②，AC CB AB +=，如下图所示，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCD ，由平面向量加法的平行四边形法则可得BA BC BD +=，显然AB BD ≠，②错误； 对于③，以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，则AB AC AE +=， 以CA 、CB 为邻边作平行四边形ACBF ，则CA CB CF +=. 由图可知，AE CF =，即AB AC CA CB +=+，③正确；对于④，2AB BC AC AC ++=，2CB BA CA CA ++=，因为AC CA =，④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键就是化简平面向量的运算结果，并作出图形，结合图形的几何特征进行判断.8．（2021·全国高一课时练习）已知(),2OA k =，()1,2OB k =，()1,1OC k =--，且相异三点A 、B 、C 共线，则实数k =________. 【答案】14-【分析】本题首先可根据向量的运算法则得出AB 、AC ，然后通过题意得出//AB AC ，最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.【详解】()1,22AB OB OA k k =-=--，12,3ACOC OA k ，因为相异三点A 、B 、C 共线，所以//AB AC ，则3122120k k k，解得14k =-或1k =，当1k =时，OA OB =，A 、B 重合，舍去，故答案为：14-.【点睛】关键点点睛：本题考查通过三点共线求参数，主要考查向量平行的相关性质，若11,ax y ，22,bx y ，//a b ，则12210x y x y -=，求出k 的值后要注意检验，考查计算能力，是中档题.9．（2021·内蒙古包头市·高一期末）在矩形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且满足2BE EC =，3CF FD ．若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为______． 【答案】1310【分析】本题首先可根据题意得出23BEAD 、14DF AB =，然后将AC AE AF λμ=+转化为2314AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再然后根据AC AB AD=+列出算式，最后通过计算即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像：因为2BE EC =，3CF FD ，所以2233BE BC AD ，1144DF DC AB ， 则23AEAB BE AB AD ，14AF AD DF AD AB ，故3142AB AD AC AE AF AD AB λμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+4231AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为AC AB AD =+，所以114213λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得910λ=，25μ=，1310λμ+=，故答案为：1310.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.10．（2020·全国高一）已知向量()1,3a =，1(2,)2b =-，若()//2c a b -，则单位向量c =______.【答案】34(,)55-或34(,)55-【分析】先求得2(3,4)a b -=-，由//(2)c a b -，设(3,4)c λλ=-，结合向量c 为单位向量，求得λ的值，即可求解.【详解】由题意，向量()1,3a =，1(2,)2b =-，可得2(3,4)a b -=-， 因为//(2)c a b -，设(3,4)c λλ=-，又由向量c1=，解得15λ=±， 所以34(,)55c =-或34(,)55c =-. 故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】利用两个向量共线的条件求向量的坐标，一般地，在求一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为()a R λλ∈，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ即可求得所求向量.11．（2020·江西高一期末（文））O 为坐标原点，已知向量()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =，,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+，则OD 的最小值为_______________【答案】【分析】根据题意得D 表示的区域为ABC 及内部的点，进而得当⊥OD AB 时，OD取得最小值，再计算即可得答案.【详解】()1,5OA =，()4,2OB =，()6,8OC =， 又,x y 为非负实数且01x y ≤+≤，CD xCA yCB =+， 所以D 表示的区域为ABC 及内部的点， 当⊥OD AB 时，OD 取得最小值， 因为AB 所在的直线方程为()()5251114y x x --=-=---，即60x y +-=，则OD 取得最小值为=故答案为：【点睛】本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确D 表示的区域，是中档题.12．（2019·四川遂宁市·高一期末（理））在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.【答案】494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,D(2,0)， 由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos (2M θ+，则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝22(3cos )sin )376cos 444θθθθ--+=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494． 故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题13．（2020·全国高一单元测试）设直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点P ，其中(2,3),(3,2)A B -，试用向量的方法求实数m 的取值范围．【答案】45(,][,)32-∞-+∞.【分析】先讨论点P 与,A B 分别重合的情况，即将,A B 的坐标代入直线方程求解m ；再讨论P 与,A B 不重合的情况，利用共线向量的关系列式，AP PB λ=，将点(,)P x y 的坐标用λ进行表示，再代入直线方程求解.【详解】（1）P 与A 重合时，(2)320m ⨯-++=，所以5=2m ；.P 与B 重合时，3220m ++=，所以43m =-．（2）P 与A ，B 不重合时，设AP PB λ=，则0λ>； 设(,)P x y ，则(2,3)AP x y =+-，(3,2)PB x y =--.所以2(3)3(2)x x y y λλ+=-⎧⎨-=-⎩所以321231x y λλλλ-⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；把,x y 代入20mx y ++=可解得2534m m λ-=+，又因为0λ>，所以25034m m ->+． 所以43m <-或52m >. 由（1）（2）知，所求实数m 的取值范围是45(,][,)32-∞-+∞． 故答案为：45(,][,)32-∞-+∞.【点睛】直线与线段有交点的问题通常有两种求解方法：（1）通过找出直线的定点坐标，将直线与线段有交点转化为定点与线段两个端点的连线的斜率问题求解，需要注意斜率的变化趋势；（2）利用向量的方法求解，需要先求解交点与线段端点重合的情况，再根据共线向量的关系列式求解交点坐标.14．（2021·浙江高一期末）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x =-． （1）若点A ，B ，C 三点共线，求x 的值；（2）若ABC 为直角三角形，且B 为直角，求x 的值． 【答案】（1）19x =-；（2）1x =．【分析】（1）由点A ，B ，C 三点共线可得AB 和BC 共线，解关于x 的方程可得答案； （2）由ABC 为直角三角形可得AB BC ⊥，即0AB BC ⋅=，解关于x 的方程可得答案． 【详解】（1）(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x =-，∴(3,1)AB OB OA =-=，(1,6)BC OC OB x =-=--点A ，B ，C 三点共线，∴AB 和BC 共线， 361x ∴⨯=--，解得19x =-；（2）ABC 为直角三角形，且B 为直角，∴AB BC ⊥，∴3(1)60AB BC x ⋅=--+=，解得1x =．【点睛】方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.15．（2020·全国高一）已知向量(1,2),(2,1)a b ==-，k ､t 为正实数，211(1),x a t b y b tk a =++=-+.（1）若,x y ⊥求k 的最大值；（2）是否存在k ､t 使得//x y ？若存在，求出k 的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12；（2）不存在.理由见解析.【分析】（1）由,x y ⊥化简得2111t k t t t==++ ，再利用基本不等式求解.（2）根据//x y ，化简得：2110t k t++=，即20t t k ++=，再根据 k ､t 为正实数判断. 【详解】（1）因为向量(1,2),(2,1)a b ==-，k ､t 为正实数，所以()222111221(1)21,3,,x a t b t t y a b t k tk t k ⎛⎫=++=--+=-+=---+ ⎪⎝⎭. 因为,x y ⊥ 所以()()2212212130t t k t k t ⎛⎫⎛⎫----++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 211112t k t t t ==≤=++ ，当且仅当1t t =，即 1t =取等号， 所以k 的最大值12； （2）因为//x y ，所以()()222112213t t k t k t ⎛⎫⎛⎫---+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：2110t k t++=，即20t t k ++=， 因为 k ､t 为正实数，所以不存在k ､t ，使得//x y .【点睛】方法点睛：向量,a b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量,a b 不共线．16．（2021·浙江高一单元测试）已知平面非零向量a ，b 的夹角是23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标.【答案】（1）32；（2）1t =-，31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）对27a b +=进行平方，利用数量积公式可求得b ；（2）根据向量坐标运算的夹角公式可求得t ，设单位向量e 的坐标根据模长和共线可得答案. 【详解】（1）向量a ，b 的夹角是23π，由27a b +=得()()()22222224144cos 73a b a b a b b b π+=++⋅=++=， 解得32b =，1b =-舍去，所以32b =. （2）()2,0a =，(),3b t =，由向量a ，b 的夹角是23π得221cos 322ta b π===-⨯⨯，解得1t =-，1t =舍去， 因为(2,(3,a b t -=-=，设单位向量(,)e x y =，所以221x y+=，又e 与a b -共线， 所以3y =，求得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算，考查了向量的坐标运算及单位向量.17．（2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中）已知向量(),u x y =与向量(),2v y y x =-的对应关系用()v f u =表示.（1）证明：对任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nm mf a nf b +=+；（2）设()1,1a =，()1,0b =，求向量()f a 及()f b 的坐标；（3）求使()(),f c p q =（p 、q 为常数）的向量c 的坐标.【答案】（1）证明见解析；（2）()()1,1f a =，()()0,1f b =-；（3）()2,c p q p =-.【分析】（1）设出两个向量的坐标，通过坐标运算证明()()()f ma nb mf a nf b +=+；（2）根据题中所给的映射关系写出所求向量的坐标；（3）设出(),c x y =，结合()(),f c p q =通过建立方程组可求解向量c 的坐标.【详解】（1）设11,a x y ，22,b x y ，()1212,ma nb mx nx my ny ∴+=++， ()()()()121212,2f ma nb my ny my ny mx nx +=++-+，又()()()111111,2,2mf a m y y x my my mx =-=-，()()222,2nf b ny ny nx =-， 所以，()()()()111222,2,2my my mx m ny n f y n f a n x b +-+-=()()()121212,2my ny my ny mx nx =++-+，因此，对任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+；（2）()1,1a =，则()()()1,2111,1f a =⨯-=， ()1,0b =，()()()0,2010,1f b ∴=⨯-=-；（3）设(),c x y =，则()(),2f c y y x =-， ()(),f c p q =，()(),2,y y x p q ∴-=，则2y p y x q =⎧⎨-=⎩，解得2x p q y p =-⎧⎨=⎩， 因此，()2,c p q p =-.【点睛】本题考查平面向量新定义问题的求解，解题时要注意向量通过该映射关系的坐标与原坐标之间的关系，考查计算能力，属于中等题.。
高等数学习题库(理工科)
高等数学（工本）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设向量a={2，1，-1}与y 轴正向的夹角为β，则β满足( )A.0<β<2πB.β=2πC.2π<β<π D.β=π2.若fx(x0，y0)=fy(x0，y0)=0，则点(x0，y0)一定是函数f (x ，y)的( ) A.驻点 B.极大值点 C.极小值点 D.极值点3.设积分区域D 是由直线x=y ，y=0及x=2π所围成，则二重积分⎰⎰Ddxdy的值为( )A.21B.2πC.42πD.82π4.下列微分方程中为线性微分方程的是( )A.yx y dxdysin += B.xexxy dxyd )1(222+=-C.yx dxdycos = D.xdx dy x dxyd 1)(222=+5.在下列无穷级数中，收敛的无穷级数是( )A.∑∞=-1121n n B.∑∞=1)23(n nC.∑∞=1231n nD.∑∞=++12231n n n二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.已知向量a={-1，3，-4}和b={2，0，1}，则3a+b=_________. 7.设函数z=2x2-3y2，则全微分dz=_________.8.设积分区域D:x2+y2≤4，则二重积分⎰⎰Ddxdyy x f ),(在极坐标下化为二次积分为_________.9.微分方程y ″+y=8的一个特解y*=_________.10.无穷级数1+1+++++!1!31!21n 的和为_________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点（3，3，-2）并且与平面2x-y+z-3=0垂直的直线方程. 12.求空间曲线L ：x=2t ，y=t2，z=t3在点（2，1，1）处的法平面方程.13.求函数f (x ，y ，z)=x2-y+z2在点P （2，-1，2）处沿方向L={2，-1，2}的方向导数.14.已知函数z=f (2x+y ，x-3y)，其中f 具有连续的一阶偏导数，求y z∂∂.15.计算积分I=⎰⎰11.sin xdy yy dx16.计算三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydzy x22，其中积分区域Ω是由x2+y2=2，z=0及z=2所围成.17.计算对弧长的曲线积分⎰+C yx dse222，其中C 是圆周x2+y2=1.18.计算对坐标的曲线积分⎰-+Cdyy x ydx x )(2，其中C 为曲线y=x2从点（0，0）到（1，1）的一段弧.19.求微分方程y ″-2y ′-3y=0的通解.20.已知曲线y=f (x)上任意点（x ，y ）处的切线斜率为y-x ，且曲线过原点，求此曲线方程.21.判断无穷级数∑∞=+131n nn 的敛散性.22.求幂级数nn nnxn ∑∞=--1132)1(的收敛区间.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23．求函数f (x ，y)=x2+xy+y2-6x-3y 的极值. 24．求锥面z=22y x+被柱面z2=2x 所割下部分的曲面面积S.25．将函数f (x)=x -31展开为x 的幂级数.高等数学（一）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
向量平行关系公式
向量平行关系公式向量这玩意儿，在数学里可算是个有点特别的存在。
咱今儿就来好好唠唠向量平行关系公式。
先说说啥是向量。
想象一下，你在操场上跑步，从起点到终点，这个有方向有长度的“路径”就可以看作是一个向量。
向量平行呢，就是说两个向量在方向上是“一伙儿”的，要么完全相同，要么完全相反。
那向量平行关系公式到底是啥？简单来说，如果有两个向量，咱就叫它们向量 a 和向量 b 吧，向量 a = （x1, y1），向量 b = （x2, y2），要是它们平行，那就得满足 x1*y2 - x2*y1 = 0 这个条件。
举个例子吧，有一次我在课堂上讲这个知识点，我就问同学们：“假如有个向量 A 是（2，4），另一个向量 B 是（4，8），它们平行不？”这时候班上的小王同学立马举手说：“老师，我觉得平行，因为2×8 - 4×4 = 0 。
”我笑着给他点了个赞，说：“小王同学反应真快，回答得完全正确！”这一下子，其他同学也都恍然大悟，课堂气氛一下子就活跃起来了。
再深入一点说，这个公式的用处可大了去了。
比如在解决几何问题的时候，要是能判断出两个向量平行，那就能得出好多有用的结论。
我记得有一次做一道几何题，题目给了两个线段的坐标，让我们判断它们是不是平行。
我一开始还觉得有点头疼，后来一想，这不就是向量平行的问题嘛，用这个公式一算，答案一下子就出来了。
那种豁然开朗的感觉，就像是在黑暗中突然找到了一盏明灯，别提多爽了。
还有啊，向量平行关系公式在物理中也有应用呢。
比如在研究力的合成和分解时，经常会用到向量的知识。
要是能熟练掌握这个公式，很多物理问题也能迎刃而解。
总之，向量平行关系公式虽然看起来简单，但真要把它用好了，那可是能解决好多难题的。
同学们在学习的时候可别马虎，要多做练习，多思考，把这个公式真正掌握在自己手里。
相信大家都能学好这部分知识，在数学的海洋里畅游无阻！。
向量平行与垂直公式
向量平行与垂直公式向量，这两个字对于很多同学来说，可能一开始就像两个调皮的小精灵，让人有点摸不着头脑。
不过别担心，今天咱们就来好好聊聊向量平行与垂直公式，把这两个小精灵给驯服了！先来说说向量平行公式。
想象一下，你正在操场上跑步，你的小伙伴和你朝着同一个方向跑，但是速度不一样。
这就有点像向量平行的情况啦。
如果有两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) ，那么当它们平行的时候，就有 x1y2 - x2y1 = 0 。
这个公式看起来有点复杂，但是咱们举个例子就清楚多啦。
比如说有向量 a = (2, 4) ，b = (4, 8) ，咱们来验证一下它们是不是平行。
按照公式，2×8 - 4×4 = 16 - 16 = 0 ，嘿，果然平行！这就好像你和小伙伴跑步，你跑两步，向前走四步，小伙伴跑四步，向前走八步，你们的方向是一致的，就是平行嘛。
再来说说向量垂直公式。
假设你和小伙伴不是朝着一个方向跑，而是一个朝正东，一个朝正北，这就是垂直的情况啦。
向量垂直的时候，如果还是向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) ，那就有 x1x2 + y1y2 = 0 。
举个例子，向量 a = (3, -4) ，b = (4, 3) ，来算算 3×4 + (-4)×3 = 12 -12 = 0 ，所以它们垂直。
这就好像你往东跑三步，往北跑负四步，小伙伴往东跑四步，往北跑三步，你们就形成了一个直角，相互垂直啦。
我还记得之前给学生们讲向量的时候，有个小同学总是搞混这两个公式。
我就给他举了个特别好玩的例子。
我说：“你想象一下，你是个超级英雄，正在空中飞行。
向量平行就像是你和你的队友一起朝着同一个坏蛋飞去，速度有快有慢，但方向一样。
向量垂直呢，就像是你和队友一个从左边冲向坏蛋，一个从右边冲向坏蛋，形成夹击之势。
”这小家伙听完，眼睛一下子亮了，后来再做题目就很少出错啦。
高三数学平行向量知识点
高三数学平行向量知识点平行向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何学和代数学领域。
在高三数学中，学生需要掌握与平行向量相关的一系列知识点。
本文将围绕高三数学平行向量知识点展开讨论，包括平行向量的定义、性质以及相关的运算规则。
一、平行向量的定义平行向量是指具有相同或相反方向的向量。
具体来说，如果向量A和向量B的起点相同或不存在起点，且它们的方向相同或相反，则称向量A与向量B平行。
二、平行向量的性质1. 平行向量具有相等的方向。
2. 平行向量的模长可以相等，也可以不相等。
3. 平行向量之间可以进行加法和减法运算。
4. 平行向量的数量积等于它们的模长乘积。
5. 两个非零向量平行的充要条件是它们的对应坐标成比例。
三、平行向量的运算规则1. 平行向量的加法设向量A(x₁,y₁)和向量B(x₂,y₂)是平行向量，它们的加法可以表示为：A +B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)其中，向量的加法满足交换律和结合律。
2. 平行向量的减法向量的减法可以通过将减法转化为加法来进行，即：A -B = A + (-B)其中，-B表示向量B的逆向量，即将向量B的横纵坐标取相反数。
3. 平行向量的数量积设向量A(x₁,y₁)和向量B(x₂,y₂)是平行向量，它们的数量积可以表示为：A·B = x₁x₂ + y₁y₂其中，数量积的结果是一个实数。
4. 平行向量的数量积运算规则（1）若A与B平行，且m与n为任意实数，则有：(mA)·(nB) = (mn)(A·B)（2）若A与B垂直，则有：A·B = 0四、常见问题解析1. 如何判断两个向量是否平行？两个向量平行的充要条件是它们的对应坐标成比例。
即，若向量A(x₁,y₁)和向量B(x₂,y₂)平行，则有：x₁/x₂ = y₁/y₂2. 平行向量与垂直向量的关系是什么？若向量A与向量B垂直，则可以推出它们不平行。
即，若A·B = 0，则向量A与向量B不平行。
平行向量的性质与运算
平行向量的性质与运算平行向量是指方向相同或相反的向量。
在数学和物理学中，对于平行向量的性质和运算有一些重要的规律和定理。
本文将介绍平行向量的定义以及其相关的运算性质。
一、平行向量的定义在二维和三维空间中，向量可以用有向线段来表示，其中有向线段的长度代表向量的大小，而线段的方向代表向量的方向。
若向量A和B的方向相同或相反，则称A和B为平行向量，记作A∥B。
平行向量有以下两个重要特点：1. 平行向量具有相同的方向。
即使向量A和B的长度不同，只要它们的方向相同或相反，我们仍然可以说它们是平行的。
2. 平行向量的大小可以不同。
向量的大小由其长度来表示，相同方向的向量长度可以不同。
在平面坐标系中，如果我们用向量OA和向量OB来表示两个平行向量，那么可以通过平移向量OA的起点至点O，使其终点重合于点O，那么向量OA和向量OB就可以看作是起点相同的平行向量了。
二、平行向量的性质平行向量具有一些重要的性质，它们对于解决向量问题时具有重要的指导作用。
1. 平行向量的加法若向量A∥B，则对于任意实数k，有kA∥kB。
即两个平行向量的任意倍数仍然是平行的。
这个性质可以用向量共线性的定义来证明。
2. 平行向量的减法若向量A∥B，则向量A-B的方向与A和B相同，且长度为A和B的长度之差的绝对值。
3. 平行向量的数量积若向量A∥B，则A·B = |A||B|。
这意味着平行向量的数量积等于它们的模的乘积。
4. 平行向量的向量积若向量A∥B，则A×B = 0。
也就是说，平行向量的向量积为零向量。
三、平行向量的运算在平行向量的运算中，我们主要涉及到平行向量的加法、减法和数量积。
1. 平行向量的加法设有平行向量A和B，且向量A的起点为O，终点为P，向量B的起点为O，终点为Q。
根据向量加法的几何意义，我们可以将向量B的起点O与点P相连，得到向量OP。
则向量OP即为A和B的和向量。
2. 平行向量的减法设有平行向量A和B，且向量A的起点为O，终点为P，向量B的起点为O，终点为Q。
物理单位向量知识点总结
物理单位向量知识点总结1. 基本概念单位向量是指长度为1的向量，通常用一个箭头上加上一个帽子来表示，例如$\hat{A}$。
单位向量在物理学中有广泛的应用，可以用来表示方向、计算向量的分量以及求解物理问题等。
2. 单位向量的性质(1) 长度为1一个向量的长度可以用向量的模的形式来表示，即$\|\vec{A}\| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 +A_z^2}$。
如果一个向量的长度为1，则称其为单位向量，记作$\hat{A}$。
单位向量$\hat{A}$的长度总是1，即$\|\hat{A}\| = 1$。
(2) 方向单位向量$\hat{A}$的方向与原向量$\vec{A}$的方向相同，但长度为1。
因此，单位向量$\hat{A}$可以用来表示原向量$\vec{A}$的方向。
(3) 表示在直角坐标系中，一个向量$\vec{A}$可以表示为$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} +A_z\hat{k}$，其中$\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$分别是x、y、z方向上的单位向量。
因此，单位向量的表示通常为$\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$。
3. 单位向量的求解(1) 二维向量的单位向量对于一个二维向量$\vec{A} = \langle A_x, A_y \rangle$，可以求解其单位向量$\hat{A}$。
首先计算向量$\vec{A}$的长度$\|\vec{A}\| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$，然后将$\vec{A}$的每个分量除以其长度，即可得到单位向量$\hat{A}$，即$\hat{A} =\frac{1}{\|\vec{A}\|}\langle A_x, A_y \rangle$。
(2) 三维向量的单位向量对于一个三维向量$\vec{A} = \langle A_x, A_y, A_z \rangle$，可以求解其单位向量$\hat{A}$。
向量平行和垂直的计算公式
向量平行和垂直的计算公式在我们学习数学的奇妙旅程中，向量这个家伙可是个重要角色。
今天咱们就来好好唠唠向量平行和垂直的计算公式。
先来说说向量平行的计算公式。
如果有两个非零向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$ 和 $\vec{b}=(x_2,y_2)$ ，那么当它们平行时，就有 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ 。
记得我之前教过一个学生小明，他一开始对这个公式那是相当迷糊。
有一次上课，我出了一道关于向量平行的题目：已知向量 $\vec{m}=(2, 4)$ 和向量 $\vec{n}=(a, 2a)$ ，且 $\vec{m} \parallel \vec{n}$ ，求$a$ 的值。
小明盯着题目看了半天，一脸茫然。
我走到他身边，问他哪里不懂。
他皱着眉头说：“老师，这个公式我记不住，也不知道怎么用。
”我笑着跟他说：“小明啊，你别把它想得太复杂。
你看，咱们就把数字往公式里代。
这道题里，$x_1 = 2$，$y_1 = 4$，$x_2 = a$，$y_2= 2a$，代入公式就是 $2×(2a) - a×4 = 0$ ，然后解这个方程，是不是就简单多啦？”小明听了，恍然大悟，赶紧动笔算起来。
说完平行，咱们再聊聊向量垂直的计算公式。
若两个非零向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$ 和 $\vec{b}=(x_2,y_2)$ 垂直，那就有 $x_1x_2 +y_1y_2 = 0$ 。
还是说小明这个例子，后来又碰到一道向量垂直的题：已知向量$\vec{p}=(3, -1)$ ，向量 $\vec{q}=(b, 3b)$ ，且 $\vec{p} \perp \vec{q}$ ，求 $b$ 。
有了上次的经验，小明这次主动尝试，把数字代入公式：$3×b + (-1)×(3b) = 0$ ，很快就算出了答案。
在学习向量平行和垂直的计算公式时，大家可别死记硬背，要多做几道题练练手，找找感觉。
北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度
2
2
+ ( + 2) =
当 x=-1 时,|a+b|取最小值,最小值为√2.
2
2( + 1) + 2,
探究点三
利用坐标运算解决夹角与垂直问题
【例4】 已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
=
-3×7+(-4)×1
(-3)2 +(-4)2 72 +12
因为 θ∈[0,π],所以
3π
θ= ,即
4
m,n
=
-25
√2
=- .
2
25√2
3π
的夹角为 .
4
变式探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,
求实数t的值.
解 由已知得 c=(4,-3),
所以 c+td=(4,-3)+t(2,1)=(2t+4,t-3),
12 +12 · 22 +22
特别地,a⊥b⇔
(|a||b|≠0).
x1x2+y1y2=0
.
名师点睛
投影数量的坐标表示
由于向量 b=(x2,y2)在向量 a=(x1,y1)方向上的投影数量为|b|cos
·
(θ 为
||
12 +12
|a|cos
=
a 与 b 的夹角),从而向量 b 在向量 a 方向上的投影数量的坐标表示
所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15.
平面向量的单位向量与平行判断
平面向量的单位向量与平行判断平面向量是数学中的重要概念，它在几何和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将讨论平面向量的单位向量以及如何通过向量的坐标确定向量是否平行。
一、单位向量的概念与计算方法单位向量是向量的一个特殊类型，其长度为1。
通过将向量除以其模长，我们可以得到单位向量。
设有一个平面向量a，其坐标表示为(a₁, a₂)，则a的模长可以表示为：|a| = √(a₁² + a₂²)将向量a除以其模长，即可得到单位向量u。
u = a/|a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)二、单位向量的性质与应用1. 单位向量与方向：单位向量u与原向量a具有相同的方向，它们所表示的是同一个方向的向量。
2. 单位向量的长度：单位向量的长度为1，即|u| = 1，因此单位向量不受向量的放缩影响。
3. 向量的正交性：两个单位向量u₁和u₂如果垂直于彼此，则称它们正交。
正交单位向量在几何和物理学中有重要应用，例如描述力的分解等。
4. 向量的标准基：单位向量i和j是平面直角坐标系中的两个基本单位向量，它们分别指向x轴正向和y轴正向。
三、平面向量的平行判断设有两个平面向量a和b，我们可以通过对它们的坐标进行比较来判断它们是否平行。
如果向量a和向量b的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，那么a与b 平行的充要条件是：a₁/b₁ = a₂/b₂换句话说，a的x分量与b的x分量的比值等于a的y分量与b的y 分量的比值时，可以判断向量a与向量b平行。
四、实例分析现在我们通过一个实例来运用平面向量的单位向量与平行判断的知识。
设有两个向量a(3,4)和b(-6,-8)，我们首先计算它们的模长：|a| = √(3² + 4²) = 5|b| = √((-6)² + (-8)²) = 10然后，我们计算它们的单位向量：u₁ = (3/5, 4/5)u₂ = (-6/10, -8/10) = (-3/5, -4/5)可以看出，向量a和向量b的模长相等，因此它们的单位向量也相等，即u₁ = u₂。
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绍兴一中分校2018学年第一学期
高二数学第二次月考试卷
班级 学号 姓名 得分
一、选择（每题3分，共36分）
1、 空间四边形ABCD 中，若a AB =，b BD =，c AC =，则CD 等于
A 、c b a --
B 、)(c b a --
C 、-c )(a b -
D 、)(a c b -- （ ） 2、与 )6,7,6(-=→
b 平行的单位向量是：
A 、 （
)1216,1217,1216- B 、)116,117,116(-或)116,117,116(-- C 、)1216,1217,1216(
-或)121
6,1217,1216(-- D 、以上答案都不对。
（ ） 3、已知)1,1,0(-=→a ，)1,2,1(-=→b ，则→a 与→
b 的夹角是
A 、
30 B 、
60 C 、
90 D 、
150 （ ）
4、如果三点A （1，5，-2），B （2，4，1），C （a,3,b+2）在同一直线上，那么
A 、a=3,b=3-
B 、a=6,b= 1-
C 、a=3,b=2
D 、a=2-,b=1（ ） 5、ABC ∆中，ACB ∠=
90，P 是平面ABC 外一点，PA=PB=PC ，AC=12，P 到 平面ABC 的距离为8，则P 到BC 的距离为
A 、6
B 、8
C 、10
D 、12 （ ） 6、如图，空间四边形OABC 中，=, =, =, 点M 在OA 上， 且OM=2MA ，N 为BC 中点，则等于
A 、→→→+-c b a 213221
B 、→
→→++-c b a 212132
C 、 →→→-+c b a 322121
D 、 →
→→-+c b a 2
13232
7、下列说法中不正确的是
A 、 若一点P ),,(z y x 在坐标平面上，则z y x ,,中必有一个为0
B 、 若一点P ),,(z y x 在坐标轴上，则z y x ,,中必有两个为0
C 、 若AB =),,(z y x 平行于xoy 平面，则0=z
D 、 若AB =),,(z y x 平行于z 轴，则0=z
8、在空间中，两两相互垂直的平面最多有
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、无数个 （ ） 9、AB 、BC 、CD 为不在同一平面内的三条线段，AB 、BC 、CD 的中点分别为P 、 Q 、R ，且PQ=2，QR=5，PR=3，则AC 与BD 所成的角为
A 、 60
B 、 30
C 、 90
D 、
120 （ ） 10、a ,b 是两条异面直线，下列结论中正确的是
A 、 过不在a ,b 上的任一点，可作一个平面与a ,b 平行
B 、 过不在a ,b 上的任一点，可作一条直线与a ,b 相交
C 、 过不在a ,b 上的任一点，可作一条直线与a ,b 都平行
D 、 过不在a ,b 上的任一点，最多可作一个平面与a ,b 都平行 （ ） 11、直线a 垂直于平面α内无数条直线是“α⊥a ”的
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 （ ） 12、已知
E 、
F 是正方形ABCD 的边BC 与CD 的中点，M 为EF 的中点，现沿 AE 、EF 、AF 将正方形折成四面体，使D 、B 、C 重合，记为P ，则此四面体 中必有
A 、⊥AP 平面EFP
B 、⊥AM 平面EFP
C 、⊥PF 平面AEF
D 、⊥PM 平面AEF 二、填空（每题4分，共16分）
13、已知)2,4,2(-=→
a ，),2,1(m
b -=→
，且→
→
⊥b a ，则实数m= ▁▁▁▁ 14、已知ABC ∆的顶点坐标分别为A （4,4,3），B （2-,1-, 5），C （0,5,4）
点D 在AC 上,且ABD ∆的面积是ABC ∆面积的
3
1
，则BD 的长为▁▁▁▁ 15、PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，则当⊥PC ▁▁▁▁时，BC AC ⊥； 当⊥DC ▁▁▁▁时，DC PD ⊥。
16、若⊥PA 平面α，A 、B 是平面内两定点，C 是α内任一点，则当时BC PC ⊥时，
C 的轨迹是▁▁▁▁
三、解答题(共48分）
17、线段PQ 分别交两个平行面α、β于A 、B ，线段PD 交α、β于C 、
D ，线段QF 交α、β于F 、E. 已知PA=9，AB=12，BQ=16. S △ACF =72，求S △BD
E . (9分)
18、在正方体ABCD ─A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是A 1B 1，BB 1，B 1C 1的中点，用空
间向量的坐标运算证明：B 1D ⊥平面PMN 。
(9分)
19、如图，已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥面AC ，过A 作SB AE ⊥于E ，过E 作SC EF ⊥ 于F ，（1）求证：SC AF ⊥；
（2）若平面AEF 交SD 于G ，求证：SC AG ⊥ (10分)
C A
B
20、设)3,2,1(=，)2,1,2(=，)2,1,1(=，点Q 在直线OP 上运动，求当
∙取最小值时，的坐标。
(10分)
21、ABC ∆内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，已知：AB=10，BC=6，CD=8,⊥CD 平面,ABC E 是AD 中点。
求：异面直线BE 与AC 所成的角。
(10分)。