08§1-5、6傅里叶变换
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第八章傅氏变换
并称F(ω)为f (t)的象函数
或傅里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或傅里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t) 与 F（）构成一个傅氏变换对，它们是由
许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包
含 0 - - 分量；
• 2. f (t) 是 F（）中各频率分量的分布密度，
即
lim
T
fT (t)
f
(t)
f (t) 1
2
f
( )e-j d e jtd
这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式
• 余弦傅氏积分公式
f (t) 2
0 0
f
( ) cos
d
cost
d
• 正弦傅氏积分公式
f (t) 2
0
f
(
)
sin
d
sin
t
d
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos nwt
bn
sin
nwt)
an cosnwt bn sin nwt an2 bn2 sin(nwt n )
An an2 bn2
n 1,2,;
f (t) Cne jwnt n
Cn
an
jbn 2
,
Cn
an
jbn 2
Cn Cn
an2 bn2 2
称为频谱密度函数 F（） 为振幅谱
arg F()为相位谱
正弦、余弦傅氏变换
余弦傅氏变换
f (t) 2
0 0
f
(
) cos
d
cost
傅里叶变换(对弄懂傅里叶变换很有帮助)
0
2、连续时间傅里叶级数
连续时间信号的傅里叶级数：
2 jk 0 t , 0 x (t ) a k e T0 k jk 0 t a 1 x (t )e dt k T0 T0
其中系数 a k 往往又称为 x (t ) 的频谱系数，它对信号 x (t ) 中 的每一个谐波分量的大小和初始相位作出度量。系数 a 0 就 是 x (t ) 中的直流或常数分量，也称为平均分量：
k 0
k
k 0 t C k sin k 0 t ) cos k 0 t C k sin k 0 t )
B0
(B
k 1
k
2、连续时间傅里叶级数
系数 a k 的确定：
x (t ) e
jn 0 t
ake
k
jk 0 t
e
jn 0 t
将上式两边从0到
T 0 2 / 0
T0
对 t 积分，有
jk 0 t
0
T0
x (t ) e
jn 0 t
dt 0 ( a k e
k
e
jn 0 t
) dt
0
T0
x (t )e
jn 0 t
dt a k ( 0 e
1 2
k
X ( jk 0 ) e
jk 0 t
0
3、连续时间傅里叶变换
随着T 0 或者 0
2 T0 0 ，x ( t ) 趋近于 x (t )
~
：
X ( jk 0 ) e
jk 0 t
2、连续时间傅里叶级数
连续时间信号的傅里叶级数：
2 jk 0 t , 0 x (t ) a k e T0 k jk 0 t a 1 x (t )e dt k T0 T0
其中系数 a k 往往又称为 x (t ) 的频谱系数，它对信号 x (t ) 中 的每一个谐波分量的大小和初始相位作出度量。系数 a 0 就 是 x (t ) 中的直流或常数分量，也称为平均分量：
k 0
k
k 0 t C k sin k 0 t ) cos k 0 t C k sin k 0 t )
B0
(B
k 1
k
2、连续时间傅里叶级数
系数 a k 的确定：
x (t ) e
jn 0 t
ake
k
jk 0 t
e
jn 0 t
将上式两边从0到
T 0 2 / 0
T0
对 t 积分，有
jk 0 t
0
T0
x (t ) e
jn 0 t
dt 0 ( a k e
k
e
jn 0 t
) dt
0
T0
x (t )e
jn 0 t
dt a k ( 0 e
1 2
k
X ( jk 0 ) e
jk 0 t
0
3、连续时间傅里叶变换
随着T 0 或者 0
2 T0 0 ，x ( t ) 趋近于 x (t )
~
：
X ( jk 0 ) e
jk 0 t
傅里叶变换(1)
ℱ 1 F1() F2 () f1(t) f2(t)
1.4.2 对称性质
若 F() =ℱ f (t) 则以 t 为自变量的函数 F(t)
的象函数为 2 f
即 ℱF(t) 2 f
1.4.3 相似性质
ℱ
1
f
1
2
F (t )
若F() =ℱ f (t) a 0 则
ℱ
f (at)
t c
解 F () f (t)e jtdt
c e jt dt 2 c e jtdt
c
0
2sin c
0
2c
0
例4 求函数
0 f (t) e t
和傅氏积分表达式.
t 0 ( 0) 的傅氏变换
t0
解 F () f (t)e jt dt ete jtdt
0
e( j)t dt 1 e( jt)
ℱ [ t]=1, ℱ -1[1]= . t
t 1
t t0 与 e jt0 也构成了一个傅氏变换对,即 t t0 e jt0
1.4 傅立叶变换的性质
1.4.1 线性性质
设 F1() =ℱ f1(t) F2 () =ℱ f2(t) , 为常数则
ℱ f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
1.4.6 积分性质
若 F () =ℱ f (t)
则
ℱ [ t f ( )d ] 1 F ()
j
在这里 t
f ( )d
必须满足傅氏积分存在定理的条件,
若不满足,则这个广义积分应改为
ℱ
[
t
f ( )d ]
1 F () F(0) () j
1.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理
1.4.2 对称性质
若 F() =ℱ f (t) 则以 t 为自变量的函数 F(t)
的象函数为 2 f
即 ℱF(t) 2 f
1.4.3 相似性质
ℱ
1
f
1
2
F (t )
若F() =ℱ f (t) a 0 则
ℱ
f (at)
t c
解 F () f (t)e jtdt
c e jt dt 2 c e jtdt
c
0
2sin c
0
2c
0
例4 求函数
0 f (t) e t
和傅氏积分表达式.
t 0 ( 0) 的傅氏变换
t0
解 F () f (t)e jt dt ete jtdt
0
e( j)t dt 1 e( jt)
ℱ [ t]=1, ℱ -1[1]= . t
t 1
t t0 与 e jt0 也构成了一个傅氏变换对,即 t t0 e jt0
1.4 傅立叶变换的性质
1.4.1 线性性质
设 F1() =ℱ f1(t) F2 () =ℱ f2(t) , 为常数则
ℱ f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
1.4.6 积分性质
若 F () =ℱ f (t)
则
ℱ [ t f ( )d ] 1 F ()
j
在这里 t
f ( )d
必须满足傅氏积分存在定理的条件,
若不满足,则这个广义积分应改为
ℱ
[
t
f ( )d ]
1 F () F(0) () j
1.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理
傅里叶变换的性质
−τ / 2
t
Ωτ Ωτ = j 2 ESa sin 4 4
0
τ /2
t
f 2 (t ) = f ′′(t ) =
2E
τ
[δ (t + τ 2 )− 2δ (t ) + δ (t − τ 2 )]
− 4E /τ
f ′′(t ) 如图2-21(c)所示
Ωτ −j j Ω2τ 2E 2 e F2 (Ω ) = +e − 2 τ 2E Ωτ = 2 cos − 2 τ 2 8 E 2 Ωτ =− sin τ 4
−π / 2
Ω0
Ω
例2-5 求如图2.-18所示 f ( t ) 的 F (Ω ) 并作图。
A
f (t )
−
τ
2
τ
-A
2
t
解
图2.3-4
令 f1 (t ) = Agτ (t ) ， f (t ) = f1 (t ) cosΩ0t
Ω0 >> 2π /τ
F1 (Ω ) = AτSa (Ωτ / 2 )
dF (Ω ) ↔ (− jt ) f (t ) 则 dΩ 一般频域微分特性的实用形式为
，使其频谱
搬移到 Ω = Ω 0 附近。反之，频谱在 Ω = Ω 0 附近的高频 信号乘以 e jΩ0t ，其频谱被搬移到附近，这就是解调。 变频是将频谱在 Ω = Ω c 附近的信号 f (t ) 乘以 e jΩ0t ， 使其频谱搬移到 Ω = Ω c − Ω 0 附近。这些都是频移特性 的应用。
a > 0 令 at = x ， 则 dt = (1 / a )dx ， t = x / a 代入上式
Ω
F [ f (at )]
t
Ωτ Ωτ = j 2 ESa sin 4 4
0
τ /2
t
f 2 (t ) = f ′′(t ) =
2E
τ
[δ (t + τ 2 )− 2δ (t ) + δ (t − τ 2 )]
− 4E /τ
f ′′(t ) 如图2-21(c)所示
Ωτ −j j Ω2τ 2E 2 e F2 (Ω ) = +e − 2 τ 2E Ωτ = 2 cos − 2 τ 2 8 E 2 Ωτ =− sin τ 4
−π / 2
Ω0
Ω
例2-5 求如图2.-18所示 f ( t ) 的 F (Ω ) 并作图。
A
f (t )
−
τ
2
τ
-A
2
t
解
图2.3-4
令 f1 (t ) = Agτ (t ) ， f (t ) = f1 (t ) cosΩ0t
Ω0 >> 2π /τ
F1 (Ω ) = AτSa (Ωτ / 2 )
dF (Ω ) ↔ (− jt ) f (t ) 则 dΩ 一般频域微分特性的实用形式为
，使其频谱
搬移到 Ω = Ω 0 附近。反之，频谱在 Ω = Ω 0 附近的高频 信号乘以 e jΩ0t ，其频谱被搬移到附近，这就是解调。 变频是将频谱在 Ω = Ω c 附近的信号 f (t ) 乘以 e jΩ0t ， 使其频谱搬移到 Ω = Ω c − Ω 0 附近。这些都是频移特性 的应用。
a > 0 令 at = x ， 则 dt = (1 / a )dx ， t = x / a 代入上式
Ω
F [ f (at )]
§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
傅里叶全部公式
傅里叶全部公式
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域的数学工具。
它通过将时域函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
傅里叶变换和逆变换的公式如下：
傅里叶变换公式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^−jωt dt
逆傅里叶变换公式：f(t) = (1 / 2π) ∫[−∞,+∞] F(ω) e^jωt dω
其中，f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数，e是自然常数，j 是虚数单位√(-1)，ω是频率，t是时间。
此外，傅里叶级数展开公式也是傅里叶变换的一种形式，它用来将周期函数分解成一系列振幅和相位不同的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开公式：f(t) = a0/2 + ∑[n=1,∞] (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
其中，a0、an、bn是常数系数，表示不同频率分量的振幅，ω是基本频率。
这些公式是傅里叶变换和级数展开的基础公式，用于将函数在时域和频域之间进行转换，并在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。
需要注意的是，傅里叶变换和级数展开还有一些特定的性质和变体公式，这些公式可以根据具体的应用场景进行扩展和变换。
常见的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
= exp[- πu2]
= Gaus(u)
结论：
Gaus（x） F.T. Gaus（u）
7
五、余弦函数的傅里叶变换
F [cos（2πu0x） ] 其中 u0 = 1 / Τ Τ 为周期 ∞
= ∫ [cos2πu0 x ]• exp[− j2πux]dx
−∞
∫ =
∞ −∞
1 2
[exp(
j
2πu0
x)
x a
= a sin(πau) πau
= a sinc(au)
证明：根据相似性定理
6
四、高斯函数的傅里叶变换
Gaus(x) = exp[- πx2]
推导一维情况
F [Gaus(x) ]= F { exp[- πx2]}
∞
= ∫ exp[-πx2 ]• exp[− j2πux]dx −∞
−∞ 1/ 2
= ∫ exp(− j2πux)dx
rect
x a
=
1, 0,
−1/ 2
=1
1/2
exp(− j2πux)
− j2πu
-1/2
= sin(πu) πu
结论：
x ≤a 2
其它
= sinc(u) rect（x） F.T. sinc（u）
5
普遍型
F
rect
˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅
˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ F^g x ` G fx
ࡉᴹ F^g x a ` G fx exp j2Sfxa
࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ〫
਼ᰦ F^g x exp j2Sfax ` G fx fa ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
= Gaus(u)
结论：
Gaus（x） F.T. Gaus（u）
7
五、余弦函数的傅里叶变换
F [cos（2πu0x） ] 其中 u0 = 1 / Τ Τ 为周期 ∞
= ∫ [cos2πu0 x ]• exp[− j2πux]dx
−∞
∫ =
∞ −∞
1 2
[exp(
j
2πu0
x)
x a
= a sin(πau) πau
= a sinc(au)
证明：根据相似性定理
6
四、高斯函数的傅里叶变换
Gaus(x) = exp[- πx2]
推导一维情况
F [Gaus(x) ]= F { exp[- πx2]}
∞
= ∫ exp[-πx2 ]• exp[− j2πux]dx −∞
−∞ 1/ 2
= ∫ exp(− j2πux)dx
rect
x a
=
1, 0,
−1/ 2
=1
1/2
exp(− j2πux)
− j2πu
-1/2
= sin(πu) πu
结论：
x ≤a 2
其它
= sinc(u) rect（x） F.T. sinc（u）
5
普遍型
F
rect
˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅
˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ F^g x ` G fx
ࡉᴹ F^g x a ` G fx exp j2Sfxa
࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ〫
਼ᰦ F^g x exp j2Sfax ` G fx fa ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
傅里叶变换
f ( x) dx
收敛，则f(x) 可表示为傅里叶积分，且：
傅里叶积分值=[f(x+0) + f(x-0) ]/2
f (x) 0 A() cos(x)d 0 B()sin( x)d
0 C() cos[x ()]d
C() A2 () B2 ()
为振幅谱
() arctg[B() / A()] 为相位谱
傅里叶积分定理
对于偶函数，有傅里叶余弦积分
f (x) 0 A() cos(x)d
A()
2
0
f
( ) cosd
对称写法
f (x)
2
A() cos(x)d
0
A()
2
f ( ) cosd
0
对于奇函数，傅里叶正弦积分
f (x) 0 B()sin x)d
B( )
2
0
f
( ) sin
d
对称写法
f (x)
l
l
f ( )sin
n d
l
l l
[a0
k 1
(ak
cos
k
l
bk
sin
k
l
)]sin
n
l
d
bk
1 l
l l
f ( )sin k d
l
ak bk
称为周期函数 的傅里叶系数
狄里希利定理：(傅里叶级数收敛条件）
若f(x)满足： (1)、处处连续，或在每个周期有有限个第一类间断点 (2)、或在每个周期有有限个极值点，级数收敛
2 0
x
0
x
a
0
sin( a )x dx
0
x
第五章傅里叶(Fourier)变换
sincx可将以竖线标在频率图上以ft为基础构造一周期为8的周期函数f则在t8时以竖线标在频率图上再将如果再将周期增加一倍令t16可计算出以竖线标在频率图上再将一般地对于周期ttiti当周期t越来越大时各个频率的正弦波的频率间隔越来越小而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状因此如果将方波函数ft看作是周期无穷大的周期函数则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是ft的各个频率成份上的分布52傅立叶积分与傅立叶变换一实数形式的傅立叶积分对任何一个非周期函数fx都可以看成是由某个周期函数gx当t2l时转化而来的
l
利用上述正交性，可以求得级数展开的各系数：
kpx kpx f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1
1 l a0 f ( ) d l 2l 1 l kp ak f ( ) cos d (k 1,2, ) l l l 1 l kp bk f ( ) sin d (k 1,2,) l l l
f ( x) a0 (ak cos
k 1
kpx kpx bk sin ) (5.1.3) l l
三角函数族是两两正交的
kpx (k 0), l cos l d x 0 l kpx l sin l d x 0 l kpx npx (k n), l cos l cos l d x 0 l kpx npx (k n), l sin l sin l d x 0 l kpx npx l sin l cos l d x 0
c0 ck e
k 1
i
kp x l
ck e
i
kp x l
l
利用上述正交性，可以求得级数展开的各系数：
kpx kpx f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1
1 l a0 f ( ) d l 2l 1 l kp ak f ( ) cos d (k 1,2, ) l l l 1 l kp bk f ( ) sin d (k 1,2,) l l l
f ( x) a0 (ak cos
k 1
kpx kpx bk sin ) (5.1.3) l l
三角函数族是两两正交的
kpx (k 0), l cos l d x 0 l kpx l sin l d x 0 l kpx npx (k n), l cos l cos l d x 0 l kpx npx (k n), l sin l sin l d x 0 l kpx npx l sin l cos l d x 0
c0 ck e
k 1
i
kp x l
ck e
i
kp x l
傅里叶变换性质
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
六．频移特性
交换积分顺序 ， 即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
续……
……续
证明
即
(flash)
频谱图
1 1 F G 0 G 0 2 2 E 0 E 0 Sa Sa 2 2 2 2
将包络线的频谱一分为 二，向左、右各平移 0
E 2
f 0
f t
F 0
F
O
t
O
f t d t f 0
t 0
1 f 0 2 1 2
F e jt d F d
F 0
F d F 0B
B
f t d t
2
2
T
t
(a)三脉冲信号的波形
F0 E Sa 2
E
F0
2
O
(b)
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
相同
例3-7-6（教材例3-4） 已知矩形调幅信号 f t Gt cos 0 t ,
常用信号的傅里叶变换
不满足绝对 可积条件
1
sgn(t )
e
t
et , f (t ) t e ,
sgn( t ) lim f (t )
0
t0 t 0
0
e
t
O 1
t
f (t ) F (j )
1
j
1
j
j 2
2
2
j 2 2 sgn(t ) lim F (j ) lim 0 0 2 2 j
0
1
(t ) ( ) j
1
▲
■
第 7页
三、 直流信号的傅里叶变换F [1]
构造 f (t)=e-t ，> 0←→
F ( j ) 2
2
2
f (t ) 1 lim f (t )
0
所以 又
0
F ( j ) lim F ( j ) lim
F (j )
2. 常用信号 F 变换对： δ(t)
dt
1
2πδ(ω)
( )
1 j
f (t ) e
j t
1 ε(t)
1 j
t 域
1
j t
ω 域
e -t ε(t)
Gτ(t) sgn (t)
Sa 2 2
j
dt
F j
f t
1
et f (t ) e t
F (j ) e
0
O
t
t j t
e
08§1-7傅里叶变换对
综合练习题
1,用至少两种方法证明 ,
comb( x ) rect( x ) = 1
2,求下列函数的傅里叶变换,并作简图: ,求下列函数的傅里叶变换,并作简图: 1) ) 2) ) 3) ) 4) )
f ( x ) = comb( x ) rect( x ) = δ (x)
g( x ) = rect( x ) cos(2πu0 x )
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
证明请查阅有关参考书
comb 函数
4
第一章 数学基础 § 1.7 常用函数的傅里叶变换
三,矩形函数的傅里叶变换 矩形函数的
根据定义
F [rect( x ) ] = ?
1
-3
-2
-1
0
1
2) )
g( x ) = rect( x ) cos(2πu0 x )
F [cos(2πu0x)] ( )
1 = [δ ( u u0 ) + δ ( u + u0 ) ] 2
-u0
3 2 F (u) 1/2
x
0
u0
u
1 F [g ( x )] = sinc ( u ) [δ ( u u0 ) + δ ( u + u0 )] 2 1 1 = sinc ( u u0 ) + sinc ( u + u0 ) 2 2
四,高斯函数的傅里叶变换 高斯函数的
推导一维情况
Gaus(x) = exp[- πx2] F [Gaus(x) ]= F { exp[- πx2]}
傅里叶变换及反变换
物理意义：时域平移，对应频域相移，而幅频特性不变。
例： 求 (t - t 0 ) 的频谱。 (t t0 ) e jt0
(t-t0)
(1)
0 t0 t
|F(j)
1
0
φ()
0
7 时移特性： f (t t0 ) F ( j ) e j t0
时域平移，对应频域相移，幅频特性不变。
8 频移特性：
7 时移特性： f (t) F ( j ) 平移 f (t t0 ) F ( j ) e j t0
f (t) F ( j ) F ( j ) e j ( )
f (t t0 ) F ( j ) e jt0 F ( j ) e j ( )e jt0 F ( j ) e j ( )t0
F ( j ) Re[F ( j )] j Im[F ( j )] F *( j ) Re[F ( j )] j Im[F ( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
4 共轭特性
f (t) F ( j )，则 f * (t) F * ( j )
关于t
关于
证：若f (t)为偶函数，则 f (t) f (t)
F ( j ) f (t )e jtdt
F ( j ) f (t)e jtdt 令t
f ( )e j d f ( )e j d F ( j )
4 共轭特性
f (t) F ( j )，则 f * (t) F * ( j )
②：发生在一切频率上，是连续变化的；
③：各频率分量的系数 1 F ( j )d ，本身是无穷小量，
2
但F(jw)描述了各频率分量的相对关系，即描述了f(t)的频率特性；
数学物理方法1课件——第五章 傅里叶变换
∑ ∑ ∞ sin (2n −1) x
m sin (2n −1) x
f (x) =
= lim
n=1 2n −1
m→∞ n=1 2n −1
(−π < x < π )
m=1 1
0.5
-3 -2 -1 -0.5 -1
1
2
3
m=2 0.75
0.5 0.25
-3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75
第五章傅里叶变换51傅里叶级数52傅里叶变换53傅里叶变换的性质54函数约瑟夫傅里叶傅立叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文热的传播在论文中推导出著名的热传导方程并在求解该方程时发现函数可以由三角函数构成的级数形式表示从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数
第五章 傅里叶变换
§ 5.1 傅里叶级数 § 5.2 傅里叶变换 § 5.3 傅里叶变换的性质 § 5.4 δ函数
其中傅里叶变换系数为：
∫ A(k) = 1
∞
f (x) cos(kx)dx
π −∞
∫ B(k) = 1
∞
f (x) sin(kx)dx
π −∞
傅里叶变换存在的条件：
¾
函数
f (x) 在 (−∞, ∞) 区间内绝对可积，即积分
∞
∫−∞
f (x) dx 收敛
¾ 函数 f (x) 在任意有限区间内满足狄里希利条件，即 f (x) 分段
3. 展开式中的波数kn或频率ωn，取值是不连续的，
即 n = 0,1, 2,... (实数形式的展开) 或 n = 0, ±1, ±2,... (复数形式的展开)。
§ 5.2 傅里叶变换
1、实数形式的傅里叶积分变换
傅里叶积分定理：设函数f(x)是区间[-∞, ∞]上的非周期函数，
傅里叶积分变换
a. 线性性质
F f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( ) （1）
这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换 的线性组合。
证明：只需根据定义就可推出。 傅氏逆变换也具有类似的线性性质
F-1 F1() F2 () f1(t) f2 (t)
F ( ) (t) e jt dt 1
所以单位脉冲函数的频谱
F() 1
(t)及其频谱图表示在图1-11中。
图1-11
同样，当 f (t) (时t ，t0 )
F (。 ) e jt0
而f ( t )的振幅频谱为
F() 1
在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们 的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。
f (t) F-1 F ()
1
2
1
j
( )e jt d
1
( )e jt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
2 0
由于
sin
0
t d
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）
设
0 ,
(t )
1
t 0 或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
傅里叶变换
-
t 0
I ( t )dt 1 .
定义1： 函数定义（工程中常用
）
满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数（
0 ( t 0 ), (i) (t ) ; ( t 0 ). ( ii )
函数 ）
-
( t )dt 1 .
t t 0时刻 函数定义
e
dt
iwx
e
iaw
f ( t a )e
iw ( t a )
iaw
f ( x )e
dx
F (w)
1 2
F ( w)e
iw( t a )
d f (t a ).
同理可证第二部分
参数
练习：
1）ℱ f ( t )
解： e 1）
在实轴任何有限区间可
积的，则
且 f ( t )
ℱ
ℱ f ( t ) 存在
iwF (w ) .
iwt
证明： t 时， f ( t ) e
f ( t ) 0;
iwt
ℱ f ( t )
f (t )e
iwt
dt f (t )e
-
iw
( t 0 ), ( t 0 ).
u ( t ) ( t )
4. 分段函数的单位阶跃函
数及其导数
1 ( x 0), 1 ) sgn( x ) 2u( x ) 1. 1 ( x 0).
2 ) x x sgn x x ( 2 u ( x ) 1).
t 0
I ( t )dt 1 .
定义1： 函数定义（工程中常用
）
满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数（
0 ( t 0 ), (i) (t ) ; ( t 0 ). ( ii )
函数 ）
-
( t )dt 1 .
t t 0时刻 函数定义
e
dt
iwx
e
iaw
f ( t a )e
iw ( t a )
iaw
f ( x )e
dx
F (w)
1 2
F ( w)e
iw( t a )
d f (t a ).
同理可证第二部分
参数
练习：
1）ℱ f ( t )
解： e 1）
在实轴任何有限区间可
积的，则
且 f ( t )
ℱ
ℱ f ( t ) 存在
iwF (w ) .
iwt
证明： t 时， f ( t ) e
f ( t ) 0;
iwt
ℱ f ( t )
f (t )e
iwt
dt f (t )e
-
iw
( t 0 ), ( t 0 ).
u ( t ) ( t )
4. 分段函数的单位阶跃函
数及其导数
1 ( x 0), 1 ) sgn( x ) 2u( x ) 1. 1 ( x 0).
2 ) x x sgn x x ( 2 u ( x ) 1).
08第八讲 离散傅里叶级数(DFS)
~ ~( n ) = IDFS [ X ( k )] = 1 x N
j nk 1 ~ N ∑ X ( k )e = N k =0
N −1
~ − X ( k )WN nk ∑
k =0
N −1
DFS［·］表示离散傅里叶级数正变换，IDFS［·］表示离散 傅里叶级数反变换。 只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道 了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列 值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。
~ (n 设) 和 ~2 (n ) 皆是周期为N的周期序列，们各自的DFS分 x x1
别为：
~ X 1 (k ) = DFS [ ~1 ( n )] x ~ X 2 ( k ) = DFS [ ~2 ( n )] x
第3章 离散傅里叶变换
2.3.1 线性
~ ~ ~ ( n ) + b~ ( n )] = aX ( k ) + bX ( k ) DFS [ax1 x2 1 2
~ X ( k ) = ∑ ~ ( n )e x
n =0
N −1
−j
2π kn N
~( n ) = 1 x N
~ ∑ X ( k )e
k =0
N −1
j
2π kn N
第3章 离散傅里叶变换
使用 WN = e
−j
2π N
表示为: 表示为
2π
N −1 N −1 − j nk ~ nk X ( k ) = DFS [ ~( n )] = ∑ ~( n )e N = ∑ ~( n )WN x x x n =0 n =0 2π
第3章离散傅里叶变换第八讲离散傅里叶级数dfs31引言32周期序列的离散傅里叶级数dfs33离散傅里叶级数dfs的性质第3章离散傅里叶变换xat??txptoottpxnton点xpnon点ntnabcdxaj?1?0o?0?xpjk??ok???xej???1txejk??s?oo??n点?st时域频域连续非周期非周期连续连续周期非周期离散离散非周期周期连续离散周期周期离散31傅里叶变换的几种可能形式第3章离散傅里叶变换表表31四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续散和周期周期和离散一个域的离散对应另一个域的周期延拓一个域的连续必定对应另一个域的非周期第3章离散傅里叶变换31引言数字计算机只能计算有限长离散序列序列的傅里叶变换和z变换
常用傅里叶变换表
5(3)代表狄拉克§函数分布•这 个变换展示了狄拉克§函数的 重要性：该函数是常函数的傅 立叶变换
19
变换23的频域对应
20
由变换3和24得到.
21
田变换1和25得到，应用了欧 拉公xt：cos(at)=(eiat+e-'at)/2.
22
由变换1和25得到
23
这里」是一个自然数*叫3)是狄拉克8函数分布的n阶微 分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合 使用，我们可以变 换所有多项 式。
时域信号
弧频率表示的傅里叶变换
注释
1
线性
2
时域平移
3
频域平移，变换2的频域对应
4
如果 值较大，则 会收缩到原
点附近，而会扩散并变得扁 平•当二元性性质。通 过交换日寸域变量和频域变量 得到・
6
傅里叶变换的微分性质
7
变换6的频域对应
变换本身就是一个
18
24
此处sgn( co)为符号函数;注意 此变镇专变接7和24是一致 的・
25
变换29的推广.
26
变换29的频域对应•
27
此处u(t)是单位阶跃函数；此 变换根据变换1和31得到.
28
u(t)是单位阶跃函数，且a>0.
34
狄拉克梳状函数一一有助于解 释或理解从连续到离散时间 的转变.
19
变换23的频域对应
20
由变换3和24得到.
21
田变换1和25得到，应用了欧 拉公xt：cos(at)=(eiat+e-'at)/2.
22
由变换1和25得到
23
这里」是一个自然数*叫3)是狄拉克8函数分布的n阶微 分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合 使用，我们可以变 换所有多项 式。
时域信号
弧频率表示的傅里叶变换
注释
1
线性
2
时域平移
3
频域平移，变换2的频域对应
4
如果 值较大，则 会收缩到原
点附近，而会扩散并变得扁 平•当二元性性质。通 过交换日寸域变量和频域变量 得到・
6
傅里叶变换的微分性质
7
变换6的频域对应
变换本身就是一个
18
24
此处sgn( co)为符号函数;注意 此变镇专变接7和24是一致 的・
25
变换29的推广.
26
变换29的频域对应•
27
此处u(t)是单位阶跃函数；此 变换根据变换1和31得到.
28
u(t)是单位阶跃函数，且a>0.
34
狄拉克梳状函数一一有助于解 释或理解从连续到离散时间 的转变.
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7、频率微商定理：
F ( j2x)( j2y)g( x, y) G(u, v)
uv
同理：
F
( j2x)m ( j2y)n g( x, y)
(mn) G( u, v) umv n
可用于求函数的付氏变换
8、共轭函数定理：
F g * (x, y) G* (u,v)
15
第一章 数学基础
9、卷积定理：
请自行证明
18
第一章 数学基础
§ 1.6 傅里叶变换定理
13、带宽定理： Δx • Δu 1
G( u,v ) — 频谱 ，傅里叶谱，角谱
物理意义：
• 一个空间函数 g(x,y) ，可视为向前传播的一列光波 • 它可分解为无穷多个传播方向不同的平面波
• 某一方向传播的平面波可视为一个空间单频信号
• 每个空间单频信号可看作原函数 g(x,y) 的傅里叶分量，其振幅
是该频率的函数 G( u,v )
4、空间位移定理：
F gx a, y b Gu, vexp- j2 ua vb
空域中发生位移，频域发生相移
13
第一章 数学基础
§ 1.6 傅里叶变换定理
5、频率位移定理：
F gx, yexp j2πu0 x v0 y Gu u0 , v v0
空域中发生相移，频谱发生位移
6、微商定理：
傅氏变换的记法 1) ℱ [ g( x, y )] = G ( u, v )
F.T.
2) g ( x, y )
G傅立叶变换存在的条件？ • 广义傅立叶变换 • 虚、实、奇、偶函数傅立叶变换的性质
§ 1.5end
11
第一章 数学基础
§ 1.6
傅里叶变换定理1
设： F gx, y Gu, v F hx, y Hu, v
F
g( x, y)
xy
j2u j2vGu, v
同理： F gm,n x, y j2um j2vn Gu, v
其中
g m ,n
mng x, y x myn
Gm,n u, v
mn G u, v umv n
函数微商的傅里叶变换可转换为乘积运算 14
第一章 数学基础
§ 1.6 傅里叶变换定理
§ 1.6 傅里叶变换定理
F f ( x) • g( x) F (u) G(u)
F f ( x) g( x) F (u) • G(u)
10、自相关定理：
F f ( x) f ( x) | F (u) |2
F
f
(
x)
2
F (u)
F (u)
以上两条请自行证明
16
第一章 数学基础
§ 1.6 傅里叶变换定理
“多频信号”—— 除平面波以外的所有波形
*** 6
第一章 数学基础
§ 1.5 傅里叶变换
请判断： 零频 低频 高频
x
高频
低频
z 零频 y
7
第一章 数学基础
空间频谱
§ 1.5 傅里叶变换
一般情况下可视为各平面波分量的 振幅分布函数，
高频分量的振幅较小，低频分量的振幅较大，
形象地表达为
衍射物
入射波
第一章 数 学 基 础
§1.1 常用函数 §1.2 脉冲函数 §1.3 卷积 §1.4 相关函数 §1.5 傅里叶变换 §1.6 傅里叶变换定理 §1.7 常用函数的傅里叶变换
1
第一章 数学基础
§ 1.5 傅里叶变换 Fourier Transform
十九世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈 交的关于热传导的著名论文中，提出了傅里 叶级数，其意义是无法估量的。今天，傅里 叶分析方法已经广泛用于物理学的各个领 域 ……
频率的函数G( )
• 原函数 g(t) 可看作是所有傅里叶分量的加权的迭加，
G( )是其权重
3
第一章 数学基础
§ 1.5 傅里叶变换
空间函数的傅氏变换和逆变换
正变换
G(u) g( x)exp[ j2πux]dx
逆变换
g( x) G(u)exp[ j2ux]d u
u,v — 空间频率
1、线性定理：
F agx, y bhx, y a Gu, v b Hu, v
两个函数线性组合的变换等于两个函数变换的线性组合。
2、对称性定理：
F Gx, y g u,v
12
第一章 数学基础
3、相似性定理：
§ 1.6 傅里叶变换定理
F gax, by 1 G u , v
ab a b
即空域中坐标的扩展， 导致频域中坐标的压缩以及频谱幅度的变化。
8
• 1。 通过XY平面向Z方向传播的波，可以用无数不同方 向不同权重的平面波展开
•
2。 各个平面波分量的空间频率正比于 u cos
v cos
• 3。 低频分量对应于与主轴Z夹角不大的平面波分量, 高频分量对应于与主轴Z夹角较大的平面波分量,
x
0
y
z
9
第一章 数学基础
§ 1.5 傅里叶变换
11、帕色伐定理：
Parseval
f ( x) 2 dx F(u) 2 du
意义 空域 和 频域 能量守恒
（物空间） （像空间）
17
第一章 数学基础
§ 1.6 傅里叶变换定理
12、积分定理：
f ( x)dx F(0)
F(u)dx f (0)
意义
▪ 函数曲线下的面积 等于 频谱在原点的值 ▪ 函数在原点的值 等于 频谱曲线下的面积
• 原函数 g(x,y) 可看作是所有傅里叶分量的加权的迭加，
G( u,v ) 是其权重
*** 4
第一章 数学基础
§ 1.5 傅里叶变换
几个主要的物理概念
空间频率
沿某一特定方向传播的平面波 具有单一的空间频率
定义为: 其中:
u cos
v cos
x
cos cos
平面波的 方向余弦 0
y
2
第一章 数学基础 § 1.5 傅里叶变换
时间函数的傅氏变换和逆变换
正变换
逆变换
G( ) g(t) exp[ j2t]d t g(t) G( ) exp[ j2t]d
— 频率 2 — 圆频率 G( ) — 频谱 ，傅里叶谱
物理意义：
• 一个非周期函数 g(t)，可分解为无穷多个单频函数 • 每个单频函数可看作原函数 g(t) 的傅里叶分量，其振幅是该
平面波
z
5
第一章 数学基础
§ 1.5 傅里叶变换
“单频信号”—— 沿某一方向传播的平面波
“低频信号”—— 沿 , 角较大的方向传播的分量 ，与主
轴夹角不大的平面波分量
“高频信号”—— 沿 , 角较小的方向传播的分量，与主轴
夹角较大的平面波分量
“零频信号”—— 沿 z 轴方向传播的分量 = = 900