北师大版数学必修二课件:柱、锥、台的侧面展开与面积
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北师大版高中数学必修二课件7.1柱、锥、台的侧面展开与面积.pptx
几何体 圆台
直棱柱
侧面展开图
侧面积公式 S圆台侧=_π__(_r_1+_r_2_)_l_ r1为上底面半径 r2为下底面半径 l为_侧__面__母__线__长__ S直棱柱侧=_c_h_ c为底面_周__长__
h为_高___
正棱锥 正棱台
S正棱锥侧=__12__c_h′___ c为底面__周__长__ h′为__斜__高__,即侧 面等腰三角形的高
探究点1圆柱、圆锥、圆台的侧面积 思考1:把圆柱的侧面沿着一条母线展开,得到什么 图形?展开的图形与原图有什么关系? 提示:长方形
长方形的面积等于圆柱的侧面积
r
l
长方形
宽= l
特别提醒
长 =2r S圆柱侧 = S长方形=2p rl
将空间图形问题转化为平面图形问题,是解立体几
何问题最基本、最常用的方法.
例3:一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和 6cm,高是求3三cm棱,台的侧面积.
2
分析:关键是求出斜高,注意图中的直角梯形
解
如图 O1,O 分别是上、下底面的中心,则 O1O
=3, 2
连接 A1O1 并延长交 B1C1 于 D1 ,连接 AO 并延长交 BC
于 D ,过 D1 作 D1E AD 于 E .
高中数学课件
(鼎尚图文*****整理制作)
§7简单几何体的再认识
7.1柱、锥、台的侧面展开与面积
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你知道 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?
1.掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.(重点) 2.能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积,熟悉 柱体与锥体、台体之间的转换关系.(难点)
思考2:把圆锥的侧面沿着一条母线展开,得到什么 图形?展开的图形与原图有什么关系?
2018-2019学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第一章 §7 第1课时 柱、锥、台的侧面展开与面积
讲一讲
1.(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的
表面积为( )
A.6π(4π+3)
B.8π(3π+1)
C.6π(4π+3)或8π(3π+1)
D.6π(4π+1)或8π(3π+2)
(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分,则这两部分侧面
积的比为( )
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
1.求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的 侧面积和(上、下)底面积之和.
2.求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成 基本的柱、锥、台,再通过这些基本柱、锥、台的表面 积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面积.
练一练 1.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展 开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
(1)设所求圆柱的底面半径为 r, 则Rr =HH-x,∴ r=R-HRx, ∴S 圆柱侧=2πrx=2πRx-2HπR·x2.
(2)∵S 圆柱侧是关于 x 的二次函数, ∴当 x=-2×2-πR2HπR=H2 时,S 圆柱侧有最大值, 即当圆柱的高是圆锥的高的一半时,它的侧面积 最大.
解决组合体的表面积问题,要充分考虑组合 体各部分的量之间的关系,将其转化为简单多面 体与旋转体的表面积问题进行求解.
(2)选 C 如图所示,PB 为圆锥的母线,O1,O2 分别为截面 与底面的圆心.∵O1 为 PO2 的中点,
∴PPOO12=PPAB=OO12AB=21,∴PA=AB,O2B=2O1A. ∵S 圆锥侧=12×2π·O1A·PA,S 圆台侧=12×2π·(O1A+O2B)·AB, ∴SS圆圆锥台侧侧=O1AO+1AO·P2BA·AB=31.
高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识7.1柱、锥、台的侧面展开与面积课件北师大版必修2
第十六页,共43页。
【自主解答】 设正三棱锥底面边长为 a,斜高为 h′,如图所示,过 O 作 OE⊥AB,连接 SE,则 SE⊥AB,且 SE=h′.
因为 S 侧=2S 底, 所以12×3a×h′= 43a2×2,所以 a= 3h′. 因为 SO⊥OE,所以 SO2+OE2=SE2, 所以 32+ 63× 3h′2=h′2, 所以 h′=2 3,所以 a= 3h′=6,
图 1-7-2
第二十四页,共43页。
【提示】 几何体的表面积为 S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24- 0.5π+2π=24+1.5π.
第二十五页,共43页。
探究 2 一个几何体的三视图如图 1-7-3 所示,请求出该几何体的表面积.
图 1-7-3
第二十六页,共43页。
【提示】 该几何体的直观图如图所示.
【答案】 6+2 3
第四十页,共43页。
5.如图 1-7-7 是一建筑物的三视图(单位:m),现需将其外壁用油漆粉刷一 遍,已知每平方米用漆 0.2 kg,问需要油漆多少千克?(无需求近似值)
图 1-7-7
第四十一页,共43页。
【解】 由三视图知,建筑物为一组合体,自上而下分别是圆锥和正四棱 柱,并且圆锥的底面半径为 3 m,母线长为 5 m,正四棱柱的高为 4 m,底面为 边长为 3 m 的正方形,圆锥的表面积为 πr2+πrl=9π+15π=24π(m2);四棱柱的 一个底面积为 9 m2,正四棱柱的侧面积为 4×4×3=48(m2),所以外壁面积为 24π -9+48=(24π+39)(m2),
大正棱锥侧
小正棱锥侧
=4×12×8×PE-4×12×4×PE1
=4×12×8×4 15-4×12×4×2 15
【自主解答】 设正三棱锥底面边长为 a,斜高为 h′,如图所示,过 O 作 OE⊥AB,连接 SE,则 SE⊥AB,且 SE=h′.
因为 S 侧=2S 底, 所以12×3a×h′= 43a2×2,所以 a= 3h′. 因为 SO⊥OE,所以 SO2+OE2=SE2, 所以 32+ 63× 3h′2=h′2, 所以 h′=2 3,所以 a= 3h′=6,
图 1-7-2
第二十四页,共43页。
【提示】 几何体的表面积为 S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24- 0.5π+2π=24+1.5π.
第二十五页,共43页。
探究 2 一个几何体的三视图如图 1-7-3 所示,请求出该几何体的表面积.
图 1-7-3
第二十六页,共43页。
【提示】 该几何体的直观图如图所示.
【答案】 6+2 3
第四十页,共43页。
5.如图 1-7-7 是一建筑物的三视图(单位:m),现需将其外壁用油漆粉刷一 遍,已知每平方米用漆 0.2 kg,问需要油漆多少千克?(无需求近似值)
图 1-7-7
第四十一页,共43页。
【解】 由三视图知,建筑物为一组合体,自上而下分别是圆锥和正四棱 柱,并且圆锥的底面半径为 3 m,母线长为 5 m,正四棱柱的高为 4 m,底面为 边长为 3 m 的正方形,圆锥的表面积为 πr2+πrl=9π+15π=24π(m2);四棱柱的 一个底面积为 9 m2,正四棱柱的侧面积为 4×4×3=48(m2),所以外壁面积为 24π -9+48=(24π+39)(m2),
大正棱锥侧
小正棱锥侧
=4×12×8×PE-4×12×4×PE1
=4×12×8×4 15-4×12×4×2 15
2020年高中数学第一章立体几何初步柱锥台的侧面展开与面积课件北师大版必修2
正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 的两底面的边 长分别是 4 cm 和 16 cm,高是 12 cm.求这个棱台的侧面积.
解:如图,由题意得 O1M1=12×4=2 cm,
OM=12×16=8 cm,OO1=12 cm.
过点 M1 作 M1N⊥OM 交 OM 于 N 点. 在 Rt△M1NM 中, M1M= M1N2+NM2= 122+8-22=6 5 cm. 即该正四棱台的斜高 h′=6 5 cm.
【规律总结】 解决组合体表面积问题,主要通过截面图形, 找到组合体各部分量之间的关系,把空间问题转化为平面问题求 解.
一圆锥底面半径为 2,母线长为 8,SA 为 一条母线,M 为 SA 的中点,由 A 点出发,经过圆 锥侧面绕一条绳子到 M 点,求绳子的最短长度.
解:将圆锥侧面展开在一个平面上(沿 SA 展开), ∵r=2,l=8, ∴∠MSA=2×82π=π2. 连接 AM,则 AM 为所求的最小值. 在 Rt△MSA 中,AM=
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧=2πrl, S 圆锥侧=___π_r_l ______. 其中 r 为底面半径,l 为侧面母线长. S 圆台侧=__π_(_r_1+__r_2_)l__. 其中 r1,r2 分别为上、下底面半径,l 为侧面母线长.
练一练 (1) 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一 半,且侧面积是 32π,则母线长为________.
∴r=H-H x·R, ∴S 圆柱侧=2πr·x =2π·x·H-H x·R =2πRx-2HπR·x2(0<x<H).
(2)由(1)知 S 圆柱侧表达式是一开口向下的二次函数. 当 x=--22×πR2HπR=H2 此时0<H2 <H时,满足题意. ∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时,它的侧面积最大.
柱锥台的侧面展开与面积
2
15
【拓展】已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30°,如图,求正四棱锥的侧面积和表面积.
解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成 Rt△ POE. ∵OE=2 cm,∠OPE=30°,∴PE=sinO3E0°=4(cm).因此 S 侧 =12Ch′=12×4×4×4=32(cm2),S 表面积=S 侧+S 底=32+16=48(cm2).
h
h
a
正四棱锥
S正 棱 锥 侧
1 2
ch
c为正棱锥的底周长,h 为斜高,
即侧面等腰三角形的高。
12
思考:把正三棱台侧面沿一条侧棱剪开再展开, 得到什么图形?侧面积怎么求?
S正棱台侧=
1(c 2
c'
)h'
h'
c、c分别为正棱台的上、
h'
下底的周长,h为斜高,
即侧面等腰梯形的高。
13
思考:将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进
表面积和侧面积
• 表面积:立体图形的所能触摸到的面 积之和叫做它的表面积。(每个面的 面积相加 )
• 侧面积指立体图形的各个侧面的面积 之和(除去底面)
注:表面积=侧面积+底面积.
1.旋转体
请大家思考: 1.柱、锥、台的侧面是什么? 2.如何计算柱、锥、台的侧面积
圆柱
圆锥
圆台
2.多面体
六棱柱
四棱锥
r1
l
r2
提示:扇环
扇环的面积等于圆台的 侧面积
S
在S0A 和S0B 中 因为 r1 x ,
r2 x l
即 x r1l ,
x
r2 r1
15
【拓展】已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30°,如图,求正四棱锥的侧面积和表面积.
解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成 Rt△ POE. ∵OE=2 cm,∠OPE=30°,∴PE=sinO3E0°=4(cm).因此 S 侧 =12Ch′=12×4×4×4=32(cm2),S 表面积=S 侧+S 底=32+16=48(cm2).
h
h
a
正四棱锥
S正 棱 锥 侧
1 2
ch
c为正棱锥的底周长,h 为斜高,
即侧面等腰三角形的高。
12
思考:把正三棱台侧面沿一条侧棱剪开再展开, 得到什么图形?侧面积怎么求?
S正棱台侧=
1(c 2
c'
)h'
h'
c、c分别为正棱台的上、
h'
下底的周长,h为斜高,
即侧面等腰梯形的高。
13
思考:将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进
表面积和侧面积
• 表面积:立体图形的所能触摸到的面 积之和叫做它的表面积。(每个面的 面积相加 )
• 侧面积指立体图形的各个侧面的面积 之和(除去底面)
注:表面积=侧面积+底面积.
1.旋转体
请大家思考: 1.柱、锥、台的侧面是什么? 2.如何计算柱、锥、台的侧面积
圆柱
圆锥
圆台
2.多面体
六棱柱
四棱锥
r1
l
r2
提示:扇环
扇环的面积等于圆台的 侧面积
S
在S0A 和S0B 中 因为 r1 x ,
r2 x l
即 x r1l ,
x
r2 r1
高中数学 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 北师大版必修2
△ABC 旋转后,AC 旋转形成圆锥的侧面积: S1=πrl1=π× 3×2 3=6π, AB 旋转形成圆锥的侧面积: S2=πrl2=π× 3×2=2 3π, 几何体的表面积为 6π+2 3π=(6+2 3)π.
在本例条件不变的前提下,若将△ABC 绕直线 AC 旋转一周,求所成几何体的表面积. 解:由题意,旋转后得到的几何体是大小完全相同的圆锥组成 的组合体,过 B 向 AC 作垂线,如图,在 Rt△ABH 中,BH= 12AB=1,故所求几何体的全面积 S=2πrl=2π×1×2=4π.
总结圆柱、圆锥、圆台侧面积的求法,可以发现,这些空间几 何体的侧面积都是通过展开成平面图形,利用平面图形求面积 的方法求得的.这种化空间为平面的思想方法是一种常用的数 学方法,在解决问题过程中具有重要作用.
1.(1)若一个圆台的主视图和左视图都是一个上
底长为 4,下底长为 10,高等于 4 的等腰梯形,则该圆台的侧
解:(1)由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的 表面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积. 故其表面积 S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24-0.5π +2π=24+1.5π.故填 24+1.5π.
(2)如图所示,所得几何体为一个圆 柱内除去一个圆锥. 在直角梯形 ABCD 中,AD=a,BC=2a, AB=(2a-a)·tan 60°= 3a,DC=co2sa-60a°=2a. 又DD2′=D2C=a,所以 S 表=S 圆环+S 圆柱侧+S 圆 C+S = 圆锥侧 [π·(2a)2-πa2]+2π·2a· 3a+π·(2a)2+π·a·2a=(9 +4 3)πa2.
2.例题导读 P45 例 3.通过本例学习,学会求正棱台侧面积的方法.解答本 例时,要注意求解过程中涉及的高是正棱台的斜高,而不是正 棱台的高.
2020年高中数学第一章立体几何初步77.1柱、锥、台的侧面展开与面积课件北师大版必修2
∴S 上底=πa2,S 下底=π(2a)2=4πa2, S 侧=π(a+2a)·2a=6πa2. ∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面积之比为(πa2)∶ (4πa2)∶(6πa2)=1∶4∶6. 答案:1∶4∶6
设正三棱锥 S-ABC 的侧面积是底面积的 2 倍,正 三棱锥的高 SO=3,求此正三棱锥的表面积.
∴r=H-H x·R, ∴S 圆柱侧=2πr·x =2π·x·H-H x·R =2πRx-2HπR·x2(0<x<H).
(2)由(1)知 S 圆柱侧表达式是一开口向下的二次函数. 当 x=--22×πR2HπR=H2 此时0<H2 <H时,满足题意. ∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时,它的侧面积最大.
第一章 立体几何初步
§7 简单几何体的再认识 7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 掌握柱、锥、台的侧面积公式,能计算简单几何体的侧面积 及表面积.
1.侧面积:把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线 剪开后展开在一个平面上,__展_开__图______的面积就是它们的侧面 积.
h′为斜高.
练一练 (2) 已知正四棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则
此棱锥的侧面积为( )
A.6
B.12
C.24
D.48
解析:∵一个侧面三角形的面积为 S=12×6× 52-32=3×4 =12,
∴正四棱锥的侧面积为 12×4=48.
答案:D
求简单几何体的侧面积应注意什么? 答:无论求旋转体的侧面积还是多面体的表面积,应明确展 开图的形状,再求解侧面积公式中所需要的基本量.对于旋转体, 应在各旋转体的轴截面中,利用关键的直角三角形或直角梯形求 解各基本量;对于多面体,关键是利用直角三角形或直角梯形, 求出侧面的高.
设正三棱锥 S-ABC 的侧面积是底面积的 2 倍,正 三棱锥的高 SO=3,求此正三棱锥的表面积.
∴r=H-H x·R, ∴S 圆柱侧=2πr·x =2π·x·H-H x·R =2πRx-2HπR·x2(0<x<H).
(2)由(1)知 S 圆柱侧表达式是一开口向下的二次函数. 当 x=--22×πR2HπR=H2 此时0<H2 <H时,满足题意. ∴当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时,它的侧面积最大.
第一章 立体几何初步
§7 简单几何体的再认识 7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 掌握柱、锥、台的侧面积公式,能计算简单几何体的侧面积 及表面积.
1.侧面积:把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线 剪开后展开在一个平面上,__展_开__图______的面积就是它们的侧面 积.
h′为斜高.
练一练 (2) 已知正四棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则
此棱锥的侧面积为( )
A.6
B.12
C.24
D.48
解析:∵一个侧面三角形的面积为 S=12×6× 52-32=3×4 =12,
∴正四棱锥的侧面积为 12×4=48.
答案:D
求简单几何体的侧面积应注意什么? 答:无论求旋转体的侧面积还是多面体的表面积,应明确展 开图的形状,再求解侧面积公式中所需要的基本量.对于旋转体, 应在各旋转体的轴截面中,利用关键的直角三角形或直角梯形求 解各基本量;对于多面体,关键是利用直角三角形或直角梯形, 求出侧面的高.
6.6.1柱、锥、台的侧面展开与面积+课件-高一下学期数学北师大版必修第二册
如下图所示,第一需求出各个展开图中的每部分平面图形的面积,然后求和即可.
新知探究
问题6 填写下表:
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图与侧面积
几何体
直棱柱
侧面展开图
侧面积
ch
S直棱柱侧=________,其中c为棱柱底周长,
h为棱柱的高.
正棱锥
1
ℎ′
2
S正棱锥侧=________,其中c为棱锥的底面周
2πr1
r1
圆台
O′
l
r2
O
2πr2
π(r1+r2)l
侧面积:S侧=________________;
2
2
π
+π
1
2 +π(r1+r2)l
表面积:S=________________________.
新知探究
问题5 类比圆柱、圆锥、圆台,那么直棱柱、正棱锥、正棱台的展开图是怎样的?如
何求棱柱、棱锥、棱台的表面积?
6.6 简单几何体的再认识
第1课时
新知探究
问题1 如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积?
圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线).
O′
l
设圆柱的底面半径为r,母线长为l,
O
r
则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.
新知探究
问题2 如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积?
1
3
设底面边长为a, 则由底面周长为4,得a=1,SE= 1 − =
,
4
2
1
3
= 3.
故S侧= × 4 ×
2
2
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北师版高中数学必修第二册精品课件 第6章 立体几何初步 §6 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
∴在 Rt△C1EF 中,斜高 C1F= +
=
∴S
(-)
+
(-)
=
(b-a).
2 2
侧= (4a+4b)· (b-a)= (b -a ).
反思感悟 1.正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等
腰梯形,只要弄清楚相对应的元素,求解就会很简单.
2.多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和.对于正棱锥
轴截面上,因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解
旋转体表面积的关键.
2.求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本的柱、
锥、台,再通过这些柱、锥、台的表面积,进行求和或作差,从
而求得几何体的表面积.
【变式训练1】 陀螺是中国民间最早的娱乐工具
之一,其种类很多,某陀螺的示意图如图6-6-2,它的
S 直棱柱侧=ch,c 为底面
周长,h 为高
几何体 侧面展开图
侧面积公式
S
正棱锥
正棱锥侧= ch'
,c 为
底面周长,h'为斜
高,即侧面等腰三
角形的高
几何体 侧面展开图
侧面积公式
S
正棱台
正棱台侧= (c1+c2)h'
,
c1 为上底面
周长,c2 为下底面周长,h'为斜
高,即侧面等腰梯形的高
4.已知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积
侧面积公式
S=(c1+c2)·h',其中
h'为正棱台的斜高,而不是高;错
2020_2021学年新教材高中数学第六章6.6.1柱锥台的侧面展开与面积课件北师大版必修第二册
S表面积=S圆台侧+S上底面积+S下底面积=____r1__r_2 _l____r12____r22___.
【思考】从运动的角度看,圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间存在怎么样的联系?
提示:S圆柱侧=2πrl
S圆台侧=π(r1+r2)l
S圆锥侧=πrl.
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积 (1)直棱柱的底面周长为c,高为h.直棱柱的侧面展开图是一些矩形.如图:
A.27
B.64
C.54
D.36
【解析】选C.根据表面积的定义,组成正方体的表面共6个,且每个都是边长为3
的正方形.从而,其表面积为6×32=54.
3.(教材二次开发:练习改编)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等
于 ()
A.15B.15πΒιβλιοθήκη C.24πD.30π
【解析】选B.S侧=πrl=15π.
【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,
对角线A1C=15,B1D=9, 所以a2+52=152,b2+52=92,
所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=( AC)2 ( BD)2 a2 b=2 642,00 56
2
2
4
4
所以AB=8.
所以该直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是其侧面面积与底面面积的和. ( ) (2)三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周长. ( ) 提示:(1)√. (2)×.只有直棱柱才可以用cl来进行求解.
2.棱长为3的正方体的表面积为 ( )
【思考】从运动的角度看,圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间存在怎么样的联系?
提示:S圆柱侧=2πrl
S圆台侧=π(r1+r2)l
S圆锥侧=πrl.
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积 (1)直棱柱的底面周长为c,高为h.直棱柱的侧面展开图是一些矩形.如图:
A.27
B.64
C.54
D.36
【解析】选C.根据表面积的定义,组成正方体的表面共6个,且每个都是边长为3
的正方形.从而,其表面积为6×32=54.
3.(教材二次开发:练习改编)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等
于 ()
A.15B.15πΒιβλιοθήκη C.24πD.30π
【解析】选B.S侧=πrl=15π.
【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,
对角线A1C=15,B1D=9, 所以a2+52=152,b2+52=92,
所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=( AC)2 ( BD)2 a2 b=2 642,00 56
2
2
4
4
所以AB=8.
所以该直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是其侧面面积与底面面积的和. ( ) (2)三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周长. ( ) 提示:(1)√. (2)×.只有直棱柱才可以用cl来进行求解.
2.棱长为3的正方体的表面积为 ( )
北师大高中数学必修第二册6.6.1柱、锥、台的侧面展开与面积【课件】
所以 S 底= 43a2= 43×62=9 3, 所以 S 侧=2S 底=18 3, 则 S 表=S 侧+S 底=27 3.
状元随笔 在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理,求 出底面边长和斜高,从而求其侧面积,然后求表面积.
方法归纳
2.已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3,则该长方体 的表面积为( )
A.22 B.20 C.10 D.11
解析:长方体的表面积为 S 表=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22. 答案:A
3.若圆柱的轴截面为边长为 2 的正方形,求圆柱的侧面积( ) A.2π B.4π C.6π D.8π
解析:由轴截面的边长为 2 可知 r=1,l=2,∴S=2πr·l=4π. 答案:B
4.圆锥的侧面展开图是半径为 R 的半圆,则圆锥的高是________.
解析:设底面半径是 r,则 2πr=πR,
∴r=R2,∴圆锥的高 h=
R2-r2=
3 2 R.
答案:
3 2R
题型一 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积——师生共研 例 1 (1)若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形,则 该圆锥的侧面积为( ) A. 2π B.2 2π C.2π D.4π
解析:(1)设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,母线长为 l,由题意可 知 r=h= 22l.
则21( 2r)2=1,而 r=1,l= 2, 所以 S 圆锥侧=πrl= 2π. 答案:(1)A
(2)如图所示,已知直角梯形 ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB =5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.则以 AB 所在直线为轴旋转一周所得 几何体的表面积为________cm2.
圆台
高中数学北师大版2019必修第二册柱、锥、台的侧面展开与面积
正棱 台
S正棱台侧=12(c1+c2)·h′ c1、c2—上、下底面周 长 h′—棱台侧面的高
思考:2.如何求一个斜棱柱的侧面积?
提示:求出各侧面的面积,各侧面的面积之和就是斜棱柱的侧 面积.
1.底面半径为3,母线为5的圆锥的侧面积为( )
A.12π
B.15π
C.24π
D.36π
B [圆锥的底面半径r=3,母线l=5,∴S圆锥侧=πrl=15π.]
[跟进训练] 2.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF, 其中底面ABCDEF是正六边形,点P在底面的 投影是正六边形的中心,底面边长为2 cm,侧 棱长为3 cm.求六棱锥P-ABCDEF的侧面积.
[解]
S侧面=6S△PCD=6×
1 2
×2×
12 2 cm2.
PC2-C2D2 =6 32-12 =
课堂 小结 提素 养
1. 多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和,求解时 不要漏掉部分面的面积.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面,就是说将 已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原 成圆锥,再借助相似的相关知识求解.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
多面体的侧面积
【例2】 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为 9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
[解] 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线 A1C=15,B1D=9,
∴a2+52=152,b2+52=92, ∴a2=200,b2=56. ∵该直四棱柱的底面是菱形, ∴AB2=A2C2+B2D2=a2+4 b2=200+4 56=64,∴AB=8. ∴直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
柱、锥、台的侧面展开与面积高中数学北师大版2019必修第二册
2.空间几何体的表面积运算,一般是转化为平面几何图形的运 算,往往通过解三角形来完成.
1.一个正四棱柱的对角线的长是 9 cm,全面积等于 144 cm2, 则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
112 或 72 [设底面边长,侧棱长分别为 a cm,l cm, 则2aa22++4aa2l+=l12=449,, ∴al==74, 或al==36., ∴S 侧=4×4×7=112(cm2), 或 S 侧=4×6×3=72(cm2).]
故此旋转体的表面积为 S=S1+S2+S3=52π.
1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因 此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.
2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射 影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
2.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面
∵OE=42=2,∠OPE=30°, ∴PE=sinO3E0°=21=4.
2 ∴S 正四棱锥侧=12ch′=12×(4×4)×4=32, S 表面积=42+32=48. 即该正四棱锥的侧面积是 32,表面积是 48.
1.要求锥体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所 需的条件,一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角 形求解相应的量.
3.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,求圆锥的底 面面积.
[解] 如图,设圆锥底面半径为=2πr.
解得 r= 2Sπ, 所以底面积为 πr2=π×2Sπ=S2. 所以圆锥的底面面积为S2.
谢谢
当堂达标 固双基
1.思考辨析 (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( ) (3)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相 等.( )
1.一个正四棱柱的对角线的长是 9 cm,全面积等于 144 cm2, 则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
112 或 72 [设底面边长,侧棱长分别为 a cm,l cm, 则2aa22++4aa2l+=l12=449,, ∴al==74, 或al==36., ∴S 侧=4×4×7=112(cm2), 或 S 侧=4×6×3=72(cm2).]
故此旋转体的表面积为 S=S1+S2+S3=52π.
1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因 此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.
2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射 影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
2.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面
∵OE=42=2,∠OPE=30°, ∴PE=sinO3E0°=21=4.
2 ∴S 正四棱锥侧=12ch′=12×(4×4)×4=32, S 表面积=42+32=48. 即该正四棱锥的侧面积是 32,表面积是 48.
1.要求锥体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所 需的条件,一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角 形求解相应的量.
3.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,求圆锥的底 面面积.
[解] 如图,设圆锥底面半径为=2πr.
解得 r= 2Sπ, 所以底面积为 πr2=π×2Sπ=S2. 所以圆锥的底面面积为S2.
谢谢
当堂达标 固双基
1.思考辨析 (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( ) (3)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相 等.( )
柱、锥、台的侧面展开与面积-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)
探
究 释
法.(重点)
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计算公式,培养学生数学运算素 养.
课 时 分 层 作 业
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1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积
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提
新 知
旋转体
侧面展开图
表面积公式
素 养
合 作 探
究 圆柱
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多面体的侧面积
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素
知
【例2】 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为 养
合 作
9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
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[解] 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线
提 素
知
养
AB的夹角为60°,且轴截面的一条对角线垂直于腰,求圆台的侧面
合
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